A tantárgy neve: Matematika I. Heti óraszám: 3+3 (6 kredit)
Tantárgy kódja: GEMAN011B (anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) A tárgy lezárása: aláírás + kollokvium
Oktatók: Dr. Varga Péter
ETF (előtan. feltétel): ---
Algebra, lineáris algebra: 1. Komplex számok. Műveletek algebrai és trigonometrikus alakban. Polinomok, gyöktényezős alak, poinomok maradékos osztása. 2. Műveletek síkbeli, térbeli és n-dimenziós vektorokkal. 3. Hajlásszög, vetületvektor, terület, térfogat számolása vektorműveletek segítségével. 4. Néhány térgörbe és felület leírása vektorokkal. 5. Determinánsok. Műveletek mátrixokkal, inverz mátrix, saj'tvektorok. 6. Lineáris egyenletrendszerek megoldása Cramer- szabállyal, eliminációval. Számsorozatok, egyváltozós valós függvények (f : R→R): 7. Számsorozatok konvergenciája. Néhány nevezetes határérték. 8. Fogalmak egyváltozós valós függvény jellemzésére: ért. t. – ért. k., szimmetriák, monotonitás – szélsőérték, konvexitás – inflexiós pont, korlátosság, aszimptóták, folytonosság – szakadási helyek. Inverz függvény. 9. Hatvány, exponenciális, logaritmus és hiperbolikusz függvények. 10. Trigonometrikus és arkusz függvények. Differenciálszámítás (egyv. valós fgv.): 11. A differenciálhányados értelmezése, a derivált fogalma. Alapfüggvények deriváltja. Deriválási szabályok. 12. Sebesség, gyorsulás. Síkgörbe érintője. Taylor-polinom. 13. Függvényvizsgálat: monotonitás-lokális szélsőérték, konvexitás-inflexiós pont. Tantárgyi követelmények: 1. A félév elismerésének feltételei: 2. Aláírás: a két félévközi zárthelyi legalább elégséges szintű teljesítése. 3. Sikeres vizsga Ajánlott jegyzetek: (1) SZARKA ZOLTÁN – RAISZ PÉTERNÉ: Matematika I., II., Miskolci Egyetemi Kiadó, 1998. (2) KÁLOVICS FERENC: Matematikai analízis mérnökhallgatóknak, Miskolci Egyetemi Kiadó, 1997. Az (1) alatti két jegyzetet mindenkinek, a (2) alatti jegyzetet csak jó középiskolai háttérrel rendelkező hallgatóknak ajánljuk.
1
1. hét Komplex számok. Műveletek algebrai és trigonometrikus alakban. Ismétlés: N, Z, Q, R, … Műveletek algebrai alakban: Számolási szabály: mint többtagú kifejezésekkel, csak i ⋅ i = i 2 = −1. Ábrázolás, elnevezések: Re z, Im z, z , z . Műveletek trigonometrikus alakban: Ábra, a + bi = r (cos ϕ+ i sin ϕ) . Szorzás, osztás, hatványozás, gyökvonás trigonometrikus alakban (az első képlet levezetése).
Feladatok 1. Végezzük el algebrai alakban a következő műveleteket:
( 2 + 3i) − ( 2 + i) +
2 + 3i , 2 +i
2
1 + i , 1 −i
(1 + i ) 3 ,
(3 +5i)(1 −i), 3
1.
2. Adja meg a következő kifejezések értékeit algebrai alakban: Re( 2 +3i) −Im(2 +i) +
i , 2 −i
3 −i + −4 .
3. Számítsuk ki a következő értékeket algebrai vagy (és) trigonometrikus alakban : (1 −i)16 ,
(1 + i)(cos π / 3 + i sin π / 3),
−1 + i ,
3
8i .
4. Oldja meg a következő egyenleteket C-ben: z 2 −2z + 2 = 0, x 5 + x 3 − x 2 −1 = 0.
2
2. hét Műveletek vektorokkal Elnevezések: Síkbeli-térbeli vektorok, szabad vektor, a , a 0 egységvektor, nullvektor, hajlásszög. Műveletek geom.-i értelmezése térbeli vektorokra: Összeadás: 2 ábra, tulajdonságok: komm., asszoc., invert. a − b ≡ a + binv. , Kivonás: 2 ábra α ( β a ) = (α⋅β)a , αa +βa = (α+β)a , Szorzás számmal: 1 ábra, tulajdonságok: Skaláris szorzat: 1 ábra, tulajdonságok: komm., disztrib. Vektoriális szorzat: 1 ábra, tulajdonságok: a ×b =−( b ×a ), disztrib. a b c ≡(a ×b ) c , Vegyesszorzat: tulajdonságok: a b c =b c a =c a b ,
...
a b c =−b a c
Műveletek koordinátákkal adott térbeli vektorokkal: Ábra, OA = a = a1i + a 2 j +a 3k = (a1, a 2 , a 3 ) ;
a =... ,
a 0 = ...
a + b = (a1, a 2 , a 3 ) +( b1, b 2 , b3 ) = (a1i +a 2 j +a 3k ) +( b1i + b 2 j + b3k ) = (a1 + b1 ) i +... = (a1 +a 2 ,...) a −b =...
λa = ...
a b =... a ×b =... a b c =...
Műveletek n-dimenziós vektorokkal: Az első 4 művelet értelmezése.
Feladatok 1. Legyenek a , b , c egy térbeli háromszög csúcspontjaihoz mutató helyvektorok. Adja meg a súlyponthoz mutató helyvektort ezen vektorok segítségével! 2. Legyen v =(3,−2, 3. Legyen a =2 i +2 j, a +b ,
4. Legyen
b −c , 5 b ,
3 ).
Ábrázolja v − t és v 0 − t ! Számítsa ki v −t és v 0 − t !
b =(1,− 1,3), −a ,
a =( 2, 1, −1, 3),
c =− 3i +j +2 k.
a ⋅ b , c ⋅ b, a ×b
,
Számítsa ki a következőket:
b× a, c × a , ab c , b a c , c ab .
b =(1, −1, 3, 2) .
Számítsa ki
b ( 2a +b )
értékét !
3
3. hét Vektorok alkalmazásai I. Erők eredője: Ábra, F = F1 + F2 . Munka kiszámítása: Ábra, W = F ⋅ s .
Ábra, W = F ⋅ s .
Hajlásszög: a ⋅b
Ábrák, cos γ = a ⋅ b , merőlegesség. Vetületvektor: Ábrák, v = a ⋅ b 0 b 0 .
(
)
Paralelogramma, háromszög területe: Ábrák, Tpar. = a × b , Thsz. = Paralelepipedon térfogata: Ábra, Vpl. =A t ⋅m = a ×b Három vektor egy síkban …
1 a × b , párhuzamosság. 2
⋅m = a ×b ⋅ c cos γ =a b c
, ahol γ hegyesszög .
Vpl. =a b c
.
Feladatok b = j, c =( 2,0,2) . Mutassa meg a következő 3 tulajdonságot: 1. Legyen a =2i − j −2k , a ⊥ c, az a ×b és c vektorok párhuzamosak, továbbá az a , b, ( 4, 2, −4) vektorok egy síkban vannak !
2. Legyen a =i − j +k , b =(2, −2, 1) . Számítsa ki a két vektor által meghatározott paralelogramma területét és a -nak a b -re eső merőleges vetületvektorát! 3. Legyen a =(3, 0, 3), b =i + 6 j +k. Számítsa ki a két vektor hajlásszögét és b -nek az a -ra eső merőleges vetületvektorát! 4. Legyen a =3i +j +2k , b =( −1,3,2), c = j −k . Számítsa ki: a és c hajlásszögét, az a és b által meghatározott háromszög területét, az a , b és c által meghatározott paralelepipedon térfogatát !
4
4. hét Vektorok alkalmazásai II. Egyenes egyenlete: Ábra, r ( t ) = r0 + tv,
paraméteres egyenletrendszer.
Csavarvonal egyenlete: Ábra, pl.: r ( t ) = ( 2 cos t , 2 sin t , t ), t ∈[0, 2π) . Viviani-görbe egyenlete:
(
Ábra, pl.: r ( t ) = 1 + cos t , sin t ,
)
t 2 − 2 cos t = 1 + cos t , sin t , 2 sin , t ∈[0, 2π) . 2
Sík egyenlete: Ábra,
r (α, β) = r0 + αu + βv, paraméteres egyenletrendszer. Ábra, n ⋅ ( r − r0 ) = 0, Ax + By + Cz = D .
Hengerfelület egyenlete: Ábra, r (α, β) = rvg (α) +βa , ahol …
Feladatok 1. Adja meg a P1 (1,1,0) , P2 ( 2,2,3) pontokon átmenő egyenes és a
Q1 ( 2,0,0) , Q 2 (0,3,0), Q3 (0,0,4) pontokon átmenő sík döféspontját! 2. Adja meg a P1 (1,2,−1) és P2 (3,2,2) pontokon átmenő egyenes egyenletét! Adja meg az egyenes döféspontjait a koordinátasíkokkal, adja meg az egyenes origótól mért távolságát ! 3. Adja meg a (0, 3, 0) középpontú, 2 egység sugarú, az (x, z) síkkal párhuzamos körvonal pontjaihoz mutató helyvektort! Milyen paraméterértéknél kapja meg a (2, 3, 0), (0, 3, 2) ill. (0, 3, -2) pontokat? 4. Adja meg a (0, 3, 0) középpontú, 2 egység sugarú, az (x, z) síkkal párhuzamos körvonal és az a = (0,1,0) vektor (alkotók irányvektora) által meghatározott végtelen hengerfelület pontjaihoz mutató helyvektort! Milyen paraméterértékeknél kapja meg a (2, 7, 0), (0, 9, 2) ill. (0, 1, 2) pontokat?
5
5. hét Determinánsok Definíció: A valós vagy komplex számokból (kifejezésekből) … (definíció első sor szerinti kifejtéssel). Tulajdonságok: (1) A definícióban szereplő kifejtést az első sor helyett végezhetjük másik sor vagy oszlop szerint is, ha figyelembe vesszük az előjelszabályt. (2) Ha két sort felcserélünk, akkor a determináns értéke (-1)-szeresre változik. (3) A determináns értéke nem változik, ha valamely sor (oszlop) számszorosát hozzáadjuk egy másik sorhoz (oszlophoz). Elimináció: A (2) és (3) tulajdonság felhasználásával elérjük, hogy a főátló alatt csupa 0 legyen. Ekkor a determináns értékét a főátlóban szereplő elemek szorzata adja meg. Mátrixok Definíció: A valós számokból (kifejezésekből) felépített … Összeadás: …, tul.: komm., asszoc., invert.; Kivonás: …, tul.: --Szorzás számmal: …, tul.: (αβ)A =α(βA ), λ(A +B) =λA +λB ; Szorzás: …, tul.: asszoc., disztrib. Inverz mátrix:
a11 a A = 21 ... a n1
a12 a 22 ... a n2
... a1n + D11 ... a 2 n 1 − D12 −1 , det A ≠ 0 , A = ... ... det A ... ... a nn ± D1n
− D 21 + D 22 ... D 2 n
... ± D n1 ... D n 2 és Dij az a ij − hez ... ... ... D nn
Feladatok 1. Számítsa ki az alábbi determinánsok értékét a definíció alapján (kifejtéssel) és eliminációval is: 1 3 7 1
1 5 4 2
2 −3 −1 6
0 2. A = 7
1 , 4
1 3. A = 2
0 4
1 14 , 19 −2
−i 2i 2i
− 5 B= 2 5 , 3
2i 2i , ahol i ∈C, −i
(
3 , 6
2 B = 0 1
2 4. Számítsuk ki az A = 3
2i −i 2i
4 , 5
2 −x 1 1
1 2 −x 1
1 1 . 2 −x
)
C = 2A + B A = ?
4
0
1 9
5 6
3 2 , 0
3 B = 2 1
C = A ⋅B =?
2 −1 1
−1 3 mátrixok inverzét, majd ellenőrizzük az −1
eredményt !
6
6. hét Lineáris egyenletrendszerek Elnevezések, megoldhatóság:
a11x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1 a 21x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2 ; ............................................... a k1x1 + a k 2 x 2 + ... + a kn x n = b k
Ha b1 = b 2 = ... = b k = 0, akkor ...
x + y = 5 x − y = 1 Pl.:
x + y = 5 x + y = 6 x +y =5 2 x + 2 y = 10
Cramer-szabály: Ha
a 11 k = n és D = ... a n1
... ... ...
a 1n D D ... ≠ 0, akkor egyértelmű a megoldás és : x 1 = 1 ; x 2 = 2 ; ... D D a nn
Elimináció (Gauss):
a11 a 21 ... a k1
a12 a 22 ... ak2
... a1n b1 ... a 2 n b 2 ⇒ … Megengedett átalakítások: …, Cél: … ... ... ... ... a kn b k
Feladatok
x + 2 y − 3z = 4
1. Oldja meg az 2 x − y + z = 10 lin. e. rsz.-t Cramer-szabállyal és eliminációval is ! 3x + 2 y − 5z = 12
2. Oldja meg az
x + 2 y − 3u + 3v = 4 2 x − y + u − 2 v = 10 lin. e. rsz.-t eliminációval ! 2 x + 5 y − 9u + 6 v = 6 3x + 2 y − 5u + v = 12
7
x + y + 2z = 1
3. A t paraméter ( t ∈ R ) mely értékeire nem oldható meg az 2 x + 3y + 6z = 3 egyenletrendszer? x + 2y + t 2 z = t Milyen t-re lesz egyértelmű a megoldás, milyen t-re kapunk végtelen sok megoldást?
8
7. hét Számsorozat határértéke Számsorozat fogalma, megadása: Számsorozatról akkor beszélünk, ha … 2n 2 4 6 200 , n ∈N+; , , , ... , , ... Pl.: a n = n +3 4 5 6 103 Pl.: b1 = 0, b 2 = 1, b n = b n −1 + 2b n −2 , n ∈ N, n ≥ 3 ; implicit m. Határérték: Az „a” számot az
{a n }
1 lim 1 + n n →∞
n →∞
explicit megadás;
0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, ...
(ábra),
számsorozat határértékének … Konvergens, divergens számsorozat.
Nevezetes határértékek: 1 lim = 0, q < 1 esetén lim q n = 0, n →∞ n n →∞ lim n n = 1,
(ábra),
c > 0 esetén lim n c = 1, n →∞
n
létezik, irrac. szám, ezután „e” –vel jelöljük.
Műveletek számsorozatokkal, tétel: a n és b n adott számsorozatok ugyanolyan indexezéssel. A két sorozat összegén, különbségén, …
{ }
Ha
{ }
{a n }
{bn }
és
konvergens számsorozatok, akkor
lim (c ⋅ a n ) = c lim a n ;
n→∞
n→∞
lim (a n ± b n ) = lim a n ± lim b n ;
n→∞
n→∞
lim a n an = n →∞ , felt. h. a nev. ≠ 0; lim b n n →∞ b n lim
n →∞
n→∞
lim (a n b n ) = lim a n ⋅ lim b n ;
n →∞
n →∞
n →∞
lim k a n = k lim a n .
n →∞
n →∞
Feladatok 1. Vizsgálja meg a következő számsorozatokat konvergencia szempontjából: 2n − 4 n 1−n an = , n ∈ N+ ; , n ∈ N . ( −1) 3n +1 n + 1 2. Határozza meg a következő értékeket az ismert nevezetes határértékek felhasználásával: 3n 2 −n lim , n →∞ 2n 2 +1
2n lim , n →∞ n 2 +1
0.2 n +1 lim , n →∞ 0.5n
1
5 n lim , n →∞ n
2k
1 lim 1 + k →∞ k
.
3. Milyen „határozatlan alakok” fordulnak elő az alábbi határértékek kiszámolásakor: n
lim
n→∞
2 +4
n +1
3n + 4 n
,
1 1 + n n2 lim , 1 n→∞ 1 + n +1 n
lim n 2 + 4n − n , n→∞
1 lim 1 + 2n n→∞
n
?
9
8. hét Fogalmak egyváltozós valós függvények jellemzésére Ha olyan függvény (egyértelmű hozzárendelés) adott, amely valós számokhoz valós számokat rendel, akkor egyváltozós valós függvényről beszélünk. Jele: f : R → R , f ( x ) = ... Értelmezési tartomány, értékkészlet: f : R →R , f ( x ) = x +2 ; Pl.: Venn-diagramm, ábrázolás, Dom f = [ −2, ∞), Ran f = [0, ∞). Szimmetria: Pl.: f : R →R , f ( x ) = x 2 ; f : R →R , f ( x ) = sin x , ... (Páros, páratlan, periodikus függvények.) Monotonitás, szélsőérték: Pl.: f : R →R , f ( x ) = 4 −x 2 … Konvexitás, inflexiós pont: Pl.: f : R →R , f ( x ) = x 3 … Korlátosság: 2 f : R → R , f ( x ) = sin x , inf f ( x ) = ?, sup f ( x ) = ? Pl.: f : R → R , f ( x ) = 4 − x ; x∈R
x∈R
Aszimptóta: Pl.: f : R →R , f ( x ) =1 / x … Határérték, folytonosság, szakadási helyek: Pl.:
x 2 −1 1 , x = 1; f ( x ) = sgn x , x = 0; f ( x ) = , x = 0. x −1 x lim f ( x ) = lim f ( x ) = f (a ) , lim f ( x ) = lim f ( x ) ≠ f (a ) , lim f ( x ) ≠ lim f ( x ) , … x →a − x →a + x →a − x →a + x →a − x →a +
f ( x ) = x + 1, x = 1;
f (x ) =
esetek. Inverz függvény: Pl.: f : R →R , f ( x ) = 2 x + 4
…
Feladatok 1. Vázolja az alábbi egyváltozós valós függvényeket és jellemezze őket a tanult fogalmak (ért. t. – ért. k., szimmetriák, monotonitás – szélsőérték, konvexitás – inflexiós pont, korlátosság, aszimptóták, folytonosság – g:R → R , g ( x ) = 4 −x 2 . szakadási helyek) segítségével: f : R →R , f ( x ) = x 2 −4 ,
2. Vázolja az alábbi egyváltozós valós függvényeket és jellemezze őket az szakadási tulajdonság szerint:
f (x) = x 2 ,
f (x) =
x2 − 4 , x −2
f ( x ) = 2 − x + sgn (2 − x ) ,
x = 2 helyen folytonosság, f (x) =
1 . x −2
3. Van-e inverze az f : R →R , f ( x ) = 4 − 2 x ; g : R →R , g ( x ) = 1 −x 2 / 9 , x ≥0 függvényeknek? Ha igen, akkor adja meg, majd ábrázolja az eredeti és inverz függvényt is.
10
9. hét Nevezetes függvénytípusok, I. Hatványfüggvények: f : R →R , f ( x ) = x k ,
ahol k ≠ 0.
A k=1, 2, 1/2, -1 esetekhez tartozó függvények ábrája …
Azonosságok: ( u + v) 2 = u 2 + 2uv + v 2 , u 2 − v 2 = (u − v)(u + v),
(uv) k = u k v k ,
k
uk u = k , ... v v
Exponenciális függvények: f : R →R , f ( x ) = a x ,
ahol a ∈R , a > 0, a ≠1. Az a=2, e, 10 esetekhez tartozó ábrák …
Azonosságok: a u a v = a u + v , Logaritmusfüggvények:
f : R → R , f ( x ) = log a x ,
au a
v
(a )
u v
= a u −v ,
= a u ⋅v , …
ahol a ∈ R , a > 0, a ≠ 1. Az a=2, e, 10 esetekhez tartozó ábrák …
Azonosságok:
log a (uv) = log a u + log a v,
log a
u = log a u − log a v, v
log a u k = k ⋅ log a u,
log a u =
log b u , ... log b a
Hiperbolikus függvények:
f : R → R, f (x) =
e x − e −x = sh x; 2
ábra …
f : R → R , f (x) =
ábra …
f : R → R, f (x) =
e x + e −x = ch x; 2
ábra
…
f : R → R, f (x) = …
e x − e −x e x + e−x
= th x;
e x + e −x e x − e −x
= cth x; ábra
Azonosságok: ch 2 u −sh 2 u =1,
sh ( u ±v) = shu ⋅ chv ±chu ⋅shv,
ch ( u ±v) = chu ⋅ chv ±shu ⋅shu ,
sh 2 x =... , ch 2 x =...
Feladatok 1. Számítsa ki az alábbi értékeket a definíciók alapján: 2 83
−
2 3
( 2 )4 ,
1 , log 4 8 − log 9 3, e Némelyik értéket „ellenőrizze” zsebszámológép segítségével! ,
8
,
log 2 64,
lg 0.01,
ln
sh (ln 2), ch (ln 3).
2. Vázolja az f : R →R , f ( x ) =1 −chx , g : R →R , g ( x ) = sgn(ln x ) függvényeket és jellemezze őket a tanult fogalmak (7 féle) segítségével!
3. Igazolja az
lg x =
ln x , ln 10
ch 2 x + sh 2 x = ch 2 x
összefüggéseket a definíciók alapján!
11
10. hét Nevezetes függvénytípusok, II. Trigonometrikus függvények: Szögek mérése, szögfüggvény definíciók, nevezetes szögfüggvényértékek. f : R →R , f ( x ) = sin x; ábra … f : R →R , f ( x ) = cos x; ábra … f : R →R , f ( x ) = tg x; ábra … f : R →R , f ( x ) = ctg x; ábra … Azonosságok: sin 2 u +cos 2 u =1,
sin( u ±v) = sin u ⋅ cos v ±cos u ⋅sin v,
cos(u ± v) =...,
sin 2u =... , cos 2u =...
Arkusz-függvények: π π f : − , →[ −1,1], f ( x ) = sin x; 2 2 π π g : [ −1,1] → − , , g ( x ) = arcsin x , ahol sin(arcsin x ) = x. 2 2 Ábrák, … f : [0, π] →[−1,1], f ( x ) = cos x; g : [−1,1] →[0, π], g ( x ) = arccos x , ahol cos(arccos x ) = x. Ábrák, … π π f : − , →( −∞, ∞), f ( x ) = tg x; 2 2 π π g : ( −∞, ∞) →− , , g ( x ) = arctg x , ahol tg (arctg x ) = x. 2 2 Ábrák, … f : ( 0, π) →( −∞, ∞), f ( x ) = ctg x; g : ( −∞, ∞) →( 0, π), g ( x ) = arcctg x , ahol ctg (arcctg x ) = x. Ábrák, … Azonosságok:
π − arcsin u , 2 cos(arcsin u ) = 1 −u 2 , … arccos u =
arcctg u =
π − arctg u , 2
arcsin u = arctg
u
,
1 −u 2
Feladatok 1. Számítsa ki az alábbi értékeket a definíciók alapján: sin
3π 3π 2π 5 π , cos− , tg , ctg , arcsin(−1) , arccos(−0.5) , arctg1, arcctg ( −1) , arcsinsin 2 4 3 6 6
π arccos cos − 6 .
(Némelyik értéket „ellenőrizze” zsebszámológép segítségével!)
2. Vázolja az f : R →R , f ( x ) = 2 cos( x + π / 2), f : R →R , f ( x ) = π−arctg x és jellemezze őket a tanult fogalmak (7 féle) segítségével! 3. Igazolja a sin 2 x + cos 2 x = 1 és arcsin x = arctg
x
1 −x2 (Utóbbinál elég igazolni, hogy a két oldal tangense megegyezik.)
,
ha
függvényeket
−1 < x < 1 azonosságokat!
12
11. hét Egyváltozós valós függvény differenciálhányadosa, deriváltja Definíció:
x=a
Adott az f : R →R , f ( x ) = ... függvény és az
f ′(a ),
Jele:
df (a ). dx
Azt
a
f ( x ) − f (a ) x →a x −a lim
hely. A
függvényt,
amely
értéket …
...
Jele:
df . Az f ′ függvény deriváltját második dx derivátját harmadik deriváltnak (jele f ′′′ ) …
f ′ ( részletesebben : f ′ : R → R , f ′( x ) = ...), deriváltnak (jele
f ′′ ), f ′′
2
Pl.: f ( x ) = x , a =1.5 ;
( )'
( )′ = ?
f ′(a ) = x 2 1.5 = ?,
f ′( x ) = x 2
Alapfüggvények deriváltjai (a képletek a dom f ∩dom f ′ halmazon érvényesek): (c)′ = 0; ′ x k = ... ⇒ k = 1, 2, −1, 1 / 2 esetén : ... ′ a x = ... ⇒ a = 2, e, 10 esetén : ... ( log x )′ = ... ⇒ a = 2, e, 10 esetén : ...
( ) ( )
a
Hiperbolikus fgv.: … Trigonometrikus fgv.: … Arkusz fgv. :… Deriválási szabályok:
(cf ( x ) )′ = ...,
(f ( x ) ±g ( x ) )′ = ...,
′ f (x ) g ( x ) = ...,
(f ( x )g ( x ) )′ = ...,
(Feltéve, hogy a deriváltak léteznek a kérdéses intervallumokon.) Pl.:
(f (g ( x )) )′ = f ′(g ( x )) g′( x ) .
…
Feladatok 1. f ( x ) = 3x 2 + x ln x , 2. f ( x ) = x sin x +
x2 ex
,
f ′( x ) = ?,
f ′(1) = ?
f ′′( x ) = ?,
f ′′(5) = ?
f ′( x ) = ?,
f ′(0) = ?
f ′′( x ) = ?,
f ′′(0) = ?
3. Deriválási feladatok:
((5 + 2x) ) ; ( 10
(sh
6
′
)
′ x ⋅ sh x 6 ;
)
′ ln(3x + 2 x + 6) ; 2
′ 6x − 6 cos x ;
(
′ 5 + sin 5x ; 4x 4x + e
)
′ 3x + 3x ; 3
′ arctg 6 x π + ln 6 x ;
(6
x
+x6
)
(6)
;
(lg 3x − x arcsin x )′;
( ch 4x ) ( 4) ;
3
(
)
d ch ( x 2 − a 2 ) ; dx
d ( A sin(ωt + α) ). dt
13
12. hét A differenciálhányados alkalmazásai, I. Sebesség, gyorsulás:
s = s( t ) , t 0 adottak ⇒ Pl.: s =
1 2 gt ; 2
s ( t ) =
s ( t ) − s( t 0 ) ∆s = lim = s ( t 0 ), t − t0 t →t 0 ∆t t →t 0
v( t 0 ) = lim
1 g ⋅ 2 t = gt = v; 2
a ( t 0 ) = ... = s( t 0 ) .
s( t ) = g = a .
Érintő meredeksége, egyenlete: Kövessük egy ábrán
x − a,
Taylor - polinom: f : R → R , f ( x ) = ...,
f ( x ) − f (a ),
f ( x ) − f (a ) , x −a
lim
x →a
f ( x ) − f (a ) x −a
jelentését: …
x =a :
f ( x ) ≈ c 0 + c1 ( x − a ) + ... + c n ( x − a ) n ; f ( x ) ≈ f (a ) +
f ′(a ) f ′′(a ) f ( n ) (a ) (x − a ) + ( x − a ) 2 + ... + ( x − a ) n = Tn ( x ); 1! 2! n!
f ( x ) = f (a ) +
f ′(a ) f ′′(a ) f ( n ) (a ) f ( n +1) (ξ) (x − a ) + ( x − a ) 2 + ... + (x − a) n + ( x − a ) n +1 = Tn ( x ) + R n ( x ), 1! 2! n! (n +1)!
Feladatok
1. Ábrázolja az
y2 x2 + =1 , 9 4
y ≥ 0 egyenletű görbét és adja meg az
x=2
helyhez tartozó
érintőegyenes egyenletét ! 2. Ábrázolja az
y2 x2 + =1 9 4
egyenletű görbét és keresse meg azokat a pontokat, ahol az érintőegyenes
párhuzamos a szögfelező egyenessel ! 3.
π Taylor - polinom, hibakorlát: f ( x ) = sin x , a = 0, T5 ( x ) = ?, hibabecslés x ∈− , 4
π − re . 4
4.
π Taylor - polinom, hibakorlát: f ( x ) = cos x , a = 0, T4 ( x ) = ?, hibabecslés x ∈− , 4
π − re . 4
14
13. hét A differenciálhányados alkalmazásai, II. Monotonitás – szélsőérték: Ábráról ill. f ( x ) = f (a ) + f ′(ξ)( x − a ) -ból: f ′( x ) > 0 az (u , v) − ben
⇒ f szig. mon. nő ( u , v) − ben ;
f ′( x ) < 0 az (u , v) − ben
⇒ f szig. mon. csökk. (u , v) − ben . (Feltesszük, hogy …) 1 Ábráról ill. f ( x ) = f (a ) + f ′(a )( x − a ) + f ′′(ξ)( x − a ) 2 -ből: 2 f ′(a ) = 0 , f ′′(a ) > 0 ⇒ f − nek " a"−ban lok. min . van ; f ′(a ) = 0 , f ′′(a ) < 0 ⇒ f − nek " a"−ban lok. max . van . (Feltesszük, hogy …) Konvexitás – inflexiós pont: 1 Ábráról ill. f ( x ) = f (a ) + f ′(a )( x − a ) + f ′′(ξ)( x − a ) 2 -ből: 2 f ′′( x ) > 0 az ( u , v) − ben ⇒ f konvex ( u , v) − ben ; f ′′( x ) < 0 az ( u , v) − ben ⇒ f konkáv ( u , v) − ben . (Feltesszük, hogy …) 1 1 2 3 Ábráról ill. f ( x ) = f (a ) + f ′(a )( x − a ) + f ′′(a )( x − a ) + f ′′′(ξ)( x − a ) -ből: 2 6 f ′′(a ) = 0 , f ′′′(a ) ≠ 0 ⇒ f − nek " a"−ban infl. pontja van. (Feltesszük, hogy …)
Feladatok 1. Keressen lokális szélsőértékeket és inflexiós pontokat az f : R →R , f ( x ) = x 4 −2 x 2 függvény esetén (a deriváltak felhasználásával)! 2. Keressen lokális szélsőértékeket és inflexiós pontokat az f : R →R , f ( x ) = xe −x függvény esetén (a deriváltak felhasználásával)! 3. Ábrázolja az f : R →R , f ( x ) = 2x 3 −3x 2 függvényt néhány szélsőértékhelyek, inflexiós pontok, viselkedés ±∞ -ben) felhasználásával! 4. Ábrázolja az
f : R → R, f (x) =
tulajdonság
(zérushelyek,
2
függvényt néhány tulajdonság (szélsőértékhelyek, inflexiós 1+ x 2 pontok, viselkedés ±∞ -ben) felhasználásával!
5. Ábrázolja az f : R → R , f ( x ) = 2 x +
1
függvényt néhány tulajdonság (szakadási helyek, szélsőértékx2 helyek, inflexiós pontok, aszimptóták) felhasználásával!
15
