Matematika II
ˇ ych, definice, vlastnosti 4.1. Funkce v´ıce promenn´
Funkce v´ıce promˇ enn´ ych Funkce v´ıce promˇenn´ ych se v matematice zaˇcaly pouˇz´ıvat v r´amci rozvoje analytick´e geometrie v prostoru s poˇc´atkem 18. stol. I vy sami jste se jiˇz urˇcitˇe s funkcemi v´ıce promˇenn´ ych setkali. Jiˇz na stˇredn´ı ˇskole se ˇreˇs´ı u ´loha, jak vypoˇc´ıtat objem a povrch z´akladn´ıch geometrick´ ych tˇeles, napˇr. krychle, koule, kv´adru, atd. Poloˇzme si jednoduchou ot´azku. Jak se vypoˇc´ıt´a objem kv´adru? Odpovˇed’ na tuto ot´azku je dobˇre zn´am´a. Pro objem kv´adru o hran´ach a > 0, b > 0, c > 0 plat´ı vztah V = a · b · c. Z´aroveˇ n jsme si uvedli prvn´ı pˇr´ıklad funkce v´ıce promˇenn´ ych, konkr´etnˇe v tomto pˇr´ıpadˇe funkce tˇr´ı promˇenn´ ych. Skuteˇcnˇe, na V m˚ uˇzeme nahl´ıˇzet jako na funkci tˇr´ı promˇenn´ ych a, b a c. Za a, b a c dosazujeme konkr´etn´ı kladn´a re´aln´a ˇc´ısla, kter´a mezi sebou n´asob´ıme. V´ ysledkem je opˇet ˇc´ıslo kladn´e re´aln´e, kter´e m´a v´ yznam objemu pˇr´ısluˇsn´eho kv´adru. Pro z´apis t´eto skuteˇcnosti budeme pouˇz´ıvat analogick´e sch´ema jako pro funkci jedn´e promˇenn´e (f : R ⊇ A → R, A ∋ x 7→ f (x) = y ∈ R), tj. V : R+ × R+ × R+ → R, resp. V : R+ × R+ × R+ ∋ [a, b, c] 7→ V (a, b, c) = a · b · c ∈ R. Kaˇzd´e trojici kladn´ ych re´aln´ ych ˇc´ısel se pˇriˇrad´ı jejich souˇcin, coˇz je opˇet kladn´e re´aln´e ˇc´ıslo. Dalˇs´ıch podobn´ ych funkc´ı by se dala naj´ıt cel´a ˇrada. Zkuste sami vymyslet nˇejak´ y dalˇs´ı pˇr´ıklad funkce v´ıce promˇenn´ ych.
- 211 -
Matematika II
ˇ ych, definice, vlastnosti 4.1. Funkce v´ıce promenn´
Funkce v´ıce promˇ enn´ ych, definice, vlastnosti
4.
Pr˚ uvodce studiem V r´amci t´eto kapitoly se sezn´am´ıme s funkcemi v´ıce promˇenn´ ych, pˇredevˇs´ım se bude jednat o funkce dvou promˇenn´ ych, kter´e budeme ch´apat jako pˇrirozen´e zobecnˇen´ı pojmu funkce jedn´e promˇenn´e. Uk´aˇzeme si, ˇze aˇckoliv se nˇekter´e pojmy pro funkce v´ıce promˇenn´ ych definuj´ı analogicky jako v pˇr´ıpadˇe funkc´ı jedn´e promˇenn´e, tak jejich aplikace na konkr´etn´ı pˇr´ıklady je pomˇernˇe obt´ıˇzn´a. Toto se t´ yk´a pˇredevˇs´ım limit a spojitosti funkce v´ıce promˇenn´ ych.
C´ıle Funkce v´ıce promˇenn´ ych, funkce dvou promˇenn´ ych, funkce tˇr´ı promˇenn´ ych, definiˇcn´ı obor, graf, vrstevnice, limita, spojitost.
Pˇredpokl´ adan´ e znalosti Funkce jedn´e promˇenn´e, jej´ı definiˇcn´ı obor, funkˇcn´ı pˇredpis, graf. Limita a spojitost funkce jedn´e promˇenn´e, kuˇzeloseˇcky, soustavy rovnic.
4.1.
Definice funkce v´ıce promˇ enn´ ych
V´ yklad Definice 4.1.1. Necht’ M ⊆ Rn , M 6= ∅. Funkc´ı v´ıce promˇ enn´ ych budeme rozumˇet kaˇzd´e zobrazen´ı f : M → R. Mnoˇzinu M naz´ yv´ame definiˇcn´ım oborem funkce f a znaˇc´ıme Df . Mnoˇzina Rn je tvoˇren´a uspoˇr´adan´ ymi n-ticemi re´aln´ ych ˇc´ısel. Jedn´a se o zkr´a-
- 212 -
Matematika II
ˇ ych, definice, vlastnosti 4.1. Funkce v´ıce promenn´
cen´ y z´apis kart´ezsk´eho souˇcinu n mnoˇzin re´aln´ ych ˇc´ısel, tj. Rn = |R×R×. {z . .×R}. n
Pozn´ amka
Pˇripomeˇ nme, ˇze kart´ ezsk´ ym souˇ cinem mnoˇzin A a B rozum´ıme mnoˇzinu A × B = {[a, b] | a ∈ A ∧ b ∈ B}. Napˇr. je-li A = {1, 2, 3}, B = {m, n}, pak A × B = {[1, m], [1, n], [2, m][2, n], [3, m], [3, n]}. Prvky mnoˇziny Rn , uspoˇr´adan´e n-tice, znaˇc´ıme X = [x1 , x2 , . . . , xn ], xi ∈ Rn , 1 ≤ i ≤ n. Funkce v´ıce promˇenn´ ych je tedy zobrazen´ı, kter´e kaˇzd´emu bodu X = [x1 , x2 , . . . , xn ] ∈ Df pˇriˇrad´ı jedin´e re´aln´e ˇc´ıslo y ∈ R. Pouˇz´ıv´ame z´apis ˇ ıslu y ˇr´ık´ame funkˇ y = f (x1 , x2 , . . . , xn ) nebo zkr´acenˇe y = f (X). C´ cn´ı hodnota v bodˇe X.
Pozn´ amka 1. V souladu s terminologi´ı, kterou pouˇz´ıv´ame u funkce jedn´e promˇenn´e, x1 , x2 . . . , xn budeme naz´yvat nez´ avisl´ e promˇ enn´ e, argumenty funkce f , y bude z´ avisl´ a promˇ enn´ a. 2. Pro funkci dvou promˇenn´ych vol´ıme m´ısto y = f (x1 , x2 ) oznaˇcen´ı z = f (x, y). 3. Pro funkci tˇr´ı promˇenn´ych vol´ıme m´ısto y = f (x1 , x2 , x3 ) oznaˇcen´ı u = f (x, y, z). 4. Nen´ı-li zad´an definiˇcn´ı obor, pak se j´ım rozum´ı maxim´aln´ı ,,pˇr´ıpustn´a“ podmnoˇzina v Rn , tj. mnoˇzina bod˚ u, ve kter´ych m´a dan´a funkce smysl, ve kter´ych existuje funkˇcn´ı hodnotu. 5. Kromˇe oznaˇcen´ı Df pro definiˇcn´ı obor funkce se tak´e pouˇz´ıv´a D(f ), Dom f .
- 213 -
ˇ ych, definice, vlastnosti 4.1. Funkce v´ıce promenn´
Matematika II
ˇ sen´ Reˇ eu ´lohy Pˇ r´ıklad 4.1.1. Urˇcete a graficky zn´azornˇete definiˇcn´ı obor funkce ln(x + 1) z=p . 4 − x2 − y 2
ˇ sen´ı: Sestav´ıme jednotliv´e omezuj´ıc´ı podm´ınky, kter´e n´am vymez´ı hledaReˇ nou podmnoˇzinu v R2 . 1. Logaritmus je schopen p˚ usobit pouze na kladn´a re´aln´a ˇc´ısla, tedy x+1>0
⇒
x > −1.
2. Neum´ıme dˇelit nulou. Proto ve zlomku mus´ı b´ yt jmenovatel r˚ uzn´ y od nuly, coˇz n´am d´av´a podm´ınku p 4 − x2 − y 2 6= 0
⇒
4 − x2 − y 2 6= 0
⇒
x2 + y 2 6= 4.
3. Odmocnina je schopna p˚ usobit pouze na re´aln´a ˇc´ısla nez´aporn´a, 4 − x2 − y 2 ≥ 0
⇒
x2 + y 2 ≤ 4.
Vˇsechny tˇri podm´ınky mus´ı platit souˇcasnˇe, kaˇzd´a z nich vymezuje podmnoˇzinu v R2 . Definiˇcn´ım oborem bude pr˚ unik jednotliv´ ych podmnoˇzin, Obr. 4.1.1. Podm´ınka 1. urˇcuje mnoˇzinu uspoˇr´adan´ ych dvojic re´aln´ ych ˇc´ısel [x, y] ∈ R2 , pro kter´e plat´ı x > −1. Jedn´a se o polorovinu s hraniˇcn´ı pˇr´ımkou x = −1, ta ale do t´eto mnoˇziny nepatˇr´ı. Proto ji v grafick´em vyj´adˇren´ı vyznaˇc´ıme ˇc´arkovanˇe. Podm´ınka 2. urˇcuje mnoˇzinu bod˚ u [x, y] ∈ R2 , pro kter´e plat´ı x2 + y 2 6= 4. Jedn´a se o vˇsechny body roviny, kter´e neleˇz´ı na kruˇznici se stˇredem v poˇc´atku a s polomˇerem 2. Tuto skuteˇcnost vyznaˇc´ıme tak, ˇze do grafick´eho vyj´adˇren´ı nakresl´ıme ˇc´arkovanˇe kruˇznici se stˇredem v poˇc´atku a polomˇerem 2. Bude to znamenat, ˇze body, kter´e leˇz´ı na t´eto kruˇznici, do definiˇcn´ıho oboru nepatˇr´ı. Podm´ınka 3. urˇcuje mnoˇzinu bod˚ u [x, y] ∈ R2 , pro kter´e plat´ı x2 + y 2 ≤ 4. Jedn´a se o kruh se stˇredem v poˇc´atku a polomˇerem 2.
- 214 -
ˇ ych, definice, vlastnosti 4.1. Funkce v´ıce promenn´
Matematika II
y
x = −1 2
x
−1
−2 Obr. 4.1.1 Pˇ r´ıklad 4.1.2. Urˇcete a graficky zn´azornˇete definiˇcn´ı obor funkce z=
p y sin x.
ˇ sen´ı: Zformulujeme omezuj´ıc´ı podm´ınku na definiˇcn´ı obor, y sin x ≥ 0. Reˇ Tato nerovnice je splnˇena, kdyˇz oba ˇcinitel´e jsou bud’ souˇcasnˇe nez´aporn´ı, nebo souˇcasnˇe nekladn´ı, y sin x ≥ 0
⇒
(y ≥ 0 ∧ sin x ≥ 0) ∨ (y ≤ 0 ∧ sin x ≤ 0).
ˇ sen´ım prvn´ı nerovnice Zb´ yv´a diskutovat podm´ınku sin x ≥ 0 resp. sin x ≤ 0. Reˇ je sjednocen´ı interval˚ u [ x∈ h0 + k2π, π + k2πi, kde Z je mnoˇzina cel´ ych ˇc´ısel. k∈Z
Pro hodnoty x z tˇechto interval˚ u je funkce sin x nez´aporn´a, ˇcerven´a ˇc´ast sinusoidy,
Obr. 4.1.2.
y 1 −4π
−3π
−2π
0
−π −1
Obr. 4.1.2
- 215 -
π
2π
3π
x
ˇ ych, definice, vlastnosti 4.1. Funkce v´ıce promenn´
Matematika II
ˇ sen´ım druh´e nerovnice je sjednocen´ı interval˚ Reˇ u [ x∈ h−π + k2π, 0 + k2πi. k∈Z
Pro hodnoty x z tˇechto interval˚ u je funkce sin x nekladn´a, modr´a ˇc´ast sinusoidy, Obr. 4.1.3.
y 1 −2π
−3π
0
−π
π
2π
3π
4π x
−1 Obr. 4.1.3 Grafick´e vyj´adˇren´ı definiˇcn´ıho oboru zadan´e funkce je na Obr. 4.1.4.
y
−3π
−π
−4π
π 0
−2π
2π
3π x
Obr. 4.1.4 Vezmeme-li napˇr. x ∈ (0, π), hodnota funkce sin x ≥ 0 a souˇcasnˇe mus´ı b´ yt y ≥ 0. Pˇ r´ıklad 4.1.3. Urˇcete a graficky zn´azornˇete definiˇcn´ı obor funkce z = arcsin(x + y). ˇ sen´ı: Funkce arkus sinus je schopna p˚ Reˇ usobit pouze na re´aln´a ˇc´ısla z intervalu h−1, 1i. Mus´ıme zaˇr´ıdit, ˇze argument funkce arkus sinus bude nab´ yvat jen hodnot z intervalu h−1, 1i. Dost´av´ame omezuj´ıc´ı podm´ınku na definiˇcn´ı obor ve tvaru −1 ≤ x + y ≤ 1. Jedn´a se o syst´em dvou nerovnic, −1 ≤ x + y
∧
x + y ≤ 1.
∧
y ≤ 1 − x.
ˇ sen´ım pak bude Reˇ −1 − x ≤ y
- 216 -
ˇ ych, definice, vlastnosti 4.1. Funkce v´ıce promenn´
Matematika II
Definiˇcn´ım oborem je pr˚ unik dvou poloprostor˚ u s hraniˇcn´ımi pˇr´ımkami y = −1−x a y = 1 − x. Nejdˇr´ıve zakresl´ıme hraniˇcn´ı pˇr´ımky a pak vyznaˇc´ıme vlastn´ı pr˚ unik poloprostor˚ u, viz. Obr. 4.1.5.
y 1 y = −1−x 1 x
−1 y = 1−x −1
Obr. 4.1.5 Pˇ r´ıklad 4.1.4. Urˇcete a graficky zn´azornˇete definiˇcn´ı obor funkce tˇr´ı promˇenn´ ych u = arcsin x + arcsin y + arcsin z. ˇ sen´ı: Funkce arkus sinus je schopna p˚ Reˇ usobit jen na ˇc´ısla z intervalu h−1, 1i, −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1 ∧ −1 ≤ z ≤ 1. Definiˇcn´ı obor: Du = {[x, y, z] ∈ R3 | |x| ≤ 1 ∧ |y| ≤ 1 ∧ |z| ≤ 1}, jedn´a se o krychli se stˇredem v poˇc´atku a d´elkou hrany 2.
z
1
1
1
y
x
Obr. 4.1.6
- 217 -
ˇ ych, definice, vlastnosti 4.1. Funkce v´ıce promenn´
Matematika II
´ Ulohy k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı x+y−5 . x−y+8 p 2. Urˇcete a naˇcrtnˇete definiˇcn´ı obor funkce z = 16 − x2 − 4y 2 . p 3. Urˇcete a naˇcrtnˇete definiˇcn´ı obor funkce z = y 2 − 1. 1. Urˇcete a naˇcrtnˇete definiˇcn´ı obor funkce z =
4. Urˇcete a naˇcrtnˇete definiˇcn´ı obor funkce z = ln x + ln y − ln(1 − x − y). 5. Urˇcete a naˇcrtnˇete definiˇcn´ı obor funkce z = ln(y(x + 2)). 1 . 6. Urˇcete a naˇcrtnˇete definiˇcn´ı obor funkce z = arcsin x · arccos y 1 7. Urˇcete a naˇcrtnˇete definiˇcn´ı obor funkce z = (1 − x2 − y 2 )− 2 arccos 2x. 8. Urˇcete a naˇcrtnˇete definiˇcn´ı obor funkce z = arccos(x − y 2 + 1). p 9. Urˇcete a naˇcrtnˇete definiˇcn´ı obor funkce z = cos(2x − y).
10. Urˇcete a naˇcrtnˇete definiˇcn´ı obor funkce z = tg (arcsin(x + y)).
V´ ysledky u ´lohy k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. Omezuj´ıc´ı podm´ınka: x − y + 8 6= 0. Definiˇcn´ı obor: Dz = {[x, y] ∈ R2 | y 6= x + 8}, Obr. 4.1.7. 2. Omezuj´ıc´ı podm´ınka: 16 − x2 − 4y 2 ≥ 0. Definiˇcn´ı obor: Dz = {[x, y] ∈ R2 | x2 + 4y 2 ≤ 16}, Obr. 4.1.8.
y
y = x+8
y
8
2
−8 x
4 x
−4 −2
Obr. 4.1.7
Obr. 4.1.8
- 218 -
ˇ ych, definice, vlastnosti 4.1. Funkce v´ıce promenn´
Matematika II
3. Omezuj´ıc´ı podm´ınka: y 2 −1 ≥ 0. Definiˇcn´ı obor: Dz = {[x, y] ∈ R2 | y 2 ≥ 1}, Obr. 4.1.9 4. Omezuj´ıc´ı podm´ınky: x > 0 ∧ y > 0 ∧ 1 − x − y > 0. Definiˇcn´ı obor: Dz = {[x, y] ∈ R2 | x > 0 ∧ y > 0 ∧ y < 1 − x}, Obr. 4.1.10.
y
y y = 1−x 1
1 x
1
x
−1
Obr. 4.1.9
Obr. 4.1.10
5. Omezuj´ıc´ı podm´ınky: y(x + 2) > 0. Definiˇcn´ı obor: Dz = {[x, y] ∈ R2 | (y > 0 ∧ x + 2 > 0) ∨ (y < 0 ∧ x + 2 < 0)}, Obr. 4.1.11. 6. Omezuj´ıc´ı podm´ınky: arcsin x 6= 0 ∧ −1 ≤ x ≤ 1 ∧ arccos y 6= 0 ∧ −1 ≤ y ≤ 1. Definiˇcn´ı obor: Dz = {[x, y] ∈ R2 | x 6= 0 ∧ −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y < 1}, Obr. 4.1.12.
y y 1 −2 x
Obr. 4.1.11
1
Obr. 4.1.12
- 219 -
x
ˇ ych, definice, vlastnosti 4.1. Funkce v´ıce promenn´
Matematika II
7. Omezuj´ıc´ı podm´ınky: 1 − x2 − y 2 ≥ 0 ∧
p
1 − x2 − y 2 6= 0 ∧ −1 ≤ 2x ≤ 1.
Definiˇcn´ı obor: Dz = {[x, y] ∈ R2 | x2 + y 2 < 1 ∧ − 21 ≤ x ≤ 12 }, Obr. 4.1.13. 8. Omezuj´ıc´ı podm´ınka: −1 ≤ x − y 2 + 1 ≤ 1. Definiˇcn´ı obor: Dz = {[x, y] ∈ R2 | y 2 ≤ x + 2 ∧ x ≤ y 2 }, Obr. 4.1.14.
y
y y2 = x+2 y2 = x
−1
−
1 2
1 2
x
1
x
−2
Obr. 4.1.13
Obr. 4.1.14
9. Omezuj´ıc´ı podm´ınka: cos(2x − y) ≥ 0. Definiˇcn´ı obor: Dz = {[x, y] ∈ R2 | 2x − y ∈ ∪k∈Z h− π2 + 2kπ, π2 + 2kπi}, Obr. 4.1.15. 10. Omezuj´ıc´ı podm´ınky: arcsin(x + y) 6=
π 2
+ kπ ∧ −1 ≤ x + y ≤ 1, k ∈ Z.
Definiˇcn´ı obor: Dz = {[x, y] ∈ R2 | − 1 < x + y < 1}, Obr. 4.1.16.
y = 2x+k2π +
π 2
y
y
y = 1−x x
x y = −1−x
y = 2x+k2π −
π 2
Obr. 4.1.15
Obr. 4.1.16
- 220 -
ˇ ych, definice, vlastnosti 4.1. Funkce v´ıce promenn´
Matematika II
Kontroln´ı test 1. Urˇcete a naˇcrtnˇete definiˇcn´ı obor funkce z =
p ln(x + y).
a)Dz = {[x, y] ∈ R2 | y > 1 − x} b)Dz = {[x, y] ∈ R2 | y ≤ 1 − x}
y
y y = 1−x
1 y = 1−x 1 1 1
x
x
Obr. 4.1.17
Obr. 4.1.18
c)Dz = {[x, y] ∈ R2 | y ≥ 1 − x}
d)Dz = {[x, y] ∈ R2 | y < 1 − x}
y
y y = 1−x
1
y = 1−x
1
1 1
x
x
Obr. 4.1.19
Obr. 4.1.20
2. Urˇcete a naˇcrtnˇete definiˇcn´ı obor funkce z = ln(xy − 3). a)Dz = {[x, y] ∈ R2 | xy > 3}
b)Dz = {[x, y] ∈ R2 | xy ≤ −3}
y
y 3 y= x
3 y=− x x
Obr. 4.1.21
x
Obr. 4.1.22
- 221 -
ˇ ych, definice, vlastnosti 4.1. Funkce v´ıce promenn´
Matematika II
c)Dz = {[x, y] ∈ R2 | xy < −3}
d)Dz = {[x, y] ∈ R2 | xy ≥ 3}
y
y 3 y= x
3 y=− x x
x
Obr. 4.1.23
Obr. 4.1.24 x2 + y 2 − 17 . 3. Urˇcete a naˇcrtnˇete definiˇcn´ı obor funkce z = arcsin 8 a) Dz = {[x, y] ∈ R2 | x2 + y 2 = 9 b) Dz = {[x, y] ∈ R2 | x2 + y 2 > 9 ∨ x2 + y 2 ≤ 25}
∧ x2 + y 2 < 25}
y
y
3
−5 −3
5x
3
−5 −3
Obr. 4.1.25
5x
Obr. 4.1.26
c) Dz = {[x, y] ∈ R2 | x2 + y 2 ≥ 9
d) Dz = {[x, y] ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 9}
∧ x2 + y 2 ≤ 25}
y
y
3
−5 −3
5x
3
−3
Obr. 4.1.27
Obr. 4.1.28
- 222 -
x
ˇ ych, definice, vlastnosti 4.1. Funkce v´ıce promenn´
Matematika II
1 4. Urˇcete a naˇcrtnˇete definiˇcn´ı obor funkce z = p . x2 + y 2 − 9 a)Dz = {[x, y] ∈ R2 | x2 + y 2 6= 9} b)Dz = {[x, y] ∈ R2 | x2 + y 2 > 9}
y
y
x
3
−3
3
−3
x
Obr. 4.1.29
Obr. 4.1.30
c)Dz = {[x, y] ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 9}
d)Dz = {[x, y] ∈ R2 | x2 + y 2 ≥ 9}
y
y
x
3
−3
3
−3
x
Obr. 4.1.31
Obr. 4.1.32 µ 2 ¶ 2x 2 5. Urˇcete a naˇcrtnˇete definiˇcn´ı obor funkce z = arccos + 2y − 1 . 9
a)Dz = {[x, y] ∈ R2 | x2 + 9y 2 ≥ 9}
b)Dz = {[x, y] ∈ R2 | x2 + 9y 2 ≤ 9}
y
y 1
1 3
3 x
Obr. 4.1.33
x
Obr. 4.1.34
- 223 -
ˇ ych, definice, vlastnosti 4.1. Funkce v´ıce promenn´
Matematika II
c)Dz = {[x, y] ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 1}
d)Dz = {[x, y] ∈ R2 | x2 + 9y 2 6= 9}
y
y
1
1 3 1
x
x
Obr. 4.1.35
Obr. 4.1.36
6. Urˇcete a naˇcrtnˇete definiˇcn´ı obor funkce z =
2+
1 . + y 2 − 9)
sin(x2
a)Dz = {[x, y] ∈ R2 | x2 + y 2 6= 9} b)Dz = {[x, y] ∈ R2 | x 6= 0 ∧ y 6= 0}
y
y
x
3
−3
x
Obr. 4.1.37
Obr. 4.1.38
c)Dz = {[x, y] ∈ R2 | x2 + y 2 ≥ 9}
d)Dz = R2
y
y
3
−3
x
Obr. 4.1.39
x
Obr. 4.1.40
- 224 -
ˇ ych, definice, vlastnosti 4.1. Funkce v´ıce promenn´
Matematika II
7. Urˇcete a naˇcrtnˇete definiˇcn´ı obor funkce z = a) Dz = {[x, y] ∈ R2 | y ≥ x2 − 1
p p 1 − x2 + y + 1 − x2 − y.
b) Dz = {[x, y] ∈ R2 | y ≤ x2 + 1
∧ y ≤ −x2 + 1}
∧ y ≥ −x2 − 1}
y
y y = x2+1 y = x2−1 x
x y = −x2−1
y = −x2+1
Obr. 4.1.41
Obr. 4.1.42
c) Dz = {[x, y] ∈ R2 | y ≤ −x2 + 1
d) Dz = {[x, y] ∈ R2 | y ≤ x2 + 1
∧ y ≥ −x2 − 1}
∧ y ≥ x2 − 1}
y
y
y = −x2+1
x
x y = x2+1 y = x2−1
y = −x2−1
Obr. 4.1.43
Obr. 4.1.44
- 225 -
ˇ ych, definice, vlastnosti 4.1. Funkce v´ıce promenn´
Matematika II
8. Urˇcete a naˇcrtnˇete definiˇcn´ı obor funkce z =
a) Dz = {[x, y] ∈ R2 |
s
y − x2 . x3 − y
b) Dz = {[x, y] ∈ R2 |
(y > x2 ∧ y < x3 )
y ≥ x2 ∧ y < x3 }
∨ (y < x2 ∧ y > x3 )}
y
y y = x2
y = x2
x
x
y = x3
y = x3
Obr. 4.1.45
Obr. 4.1.46
c) Dz = {[x, y] ∈ R2 |
d) Dz = {[x, y] ∈ R2 |
y ≥ x2 ∨ y < x3 }
(y ≥ x2 ∧ y < x3 )} ∨ (y ≤ x2 ∧ y > x3 )}
y
y y = x2
y = x2 x
x
3
y=x
y = x3
Obr. 4.1.47
Obr. 4.1.48
- 226 -
ˇ ych, definice, vlastnosti 4.1. Funkce v´ıce promenn´
Matematika II
9. Urˇcete a naˇcrtnˇete definiˇcn´ı obor funkce z =
p sin(y − x2 ).
b) Dz = {[x, y] ∈ R2 | y − x2 ∈ S k∈Z (0 + 2kπ, π + 2kπi}
a) Dz = {[x, y] ∈ R2 | y − x2 ∈ S k∈Z (0 + 2kπ, π + 2kπ)}
y
y
x
x
y = x2+kπ
y = x2+kπ
Obr. 4.1.49
Obr. 4.1.50
d) Dz = {[x, y] ∈ R2 | y − x2 ∈ S k∈Z h0 + 2kπ, π + 2kπ)}
c) Dz = {[x, y] ∈ R2 | y − x2 ∈ S k∈Z h0 + 2kπ, π + 2kπi}
y
y
x
x
y = x2+kπ
y = x2+kπ
Obr. 4.1.51
Obr. 4.1.52
10. Urˇcete a naˇcrtnˇete definiˇcn´ı obor funkce z =
- 227 -
1 + arcsin x + arccos y. x2 − y 2
ˇ ych, definice, vlastnosti 4.1. Funkce v´ıce promenn´
Matematika II
a) Dz = {[x, y] ∈ R2 |
b) Dz = {[x, y] ∈ R2 |
|x| ≤ 1 ∧ |y| ≤ 1 ∧ |y| = 6 |x|}
y
y = −x
|x| ≤ 1 ∧ |y| ≤ 1 ∧ y 6= x}
y
y=x
y=x
1 x
1 x
Obr. 4.1.53
Obr. 4.1.54
c) Dz = {[x, y] ∈ R2 |
d) Dz = {[x, y] ∈ R2 |
(|x| ≤ 1 ∨ |y| ≤ 1) ∧ y 6= x}
y
y
y=x
1
|x| < 1 ∧ |y| < 1}
1 x
x
Obr. 4.1.55
Obr. 4.1.56
V´ ysledky testu 1. c), 2. a), 3. c), 4. b), 5. b), 6. d), 7. a), 8. d), 9. c), 10. a).
- 228 -
