Analytická geometrie ( lekce)

Analytická geometrie (5. - 6. lekce)

Analytická geometrie (5. - 6. lekce) Sylva Potuˇ ˚ cková, Dana Stesková, Lubomír Sedláˇcek Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín

Zlín, 20. cˇ ervna 2011

Analytická geometrie (5. - 6. lekce) Analytická geometrie v prostoru Vektory

ˇ Vektorový soucin ˇ dvou vektoru, Vektorový soucin ˚ které leží na jedné pˇrímce, je nulový vektor. Vektorový souˇcin dvou vektoru˚ ~u, ~v neležících na jedné pˇrímce je vektor w, ~ který má tyto vlastnosti: ˇ 1 vektor w ~ je kolmý k obema vektorum ˚ ~u, ~v , 2

vektory ~u, ~v , w ~ tvoˇrí pravotoˇcivou bázi,

3

|w| ~ = |~u||~v | sin α, kde α je úhel vektoru˚ ~u, ~v .

Vektorový souˇcin w ~ vektoru˚ ~u, ~v znaˇcíme ~u × ~v , tj. w ~ = ~u × ~v . Pro každé dva vektory ~u, ~v platí ~v × ~u = −~u × ~v .


ˇ Geometrickým významem cˇ ísla |~u||~v | sin α je obsah rovnobežníku ˇ P U RV , kde |~v | sin α je velikost výšky v tomto rovnobežníku. V

~ v

R

|~ v | sin α

α P

~ u

U

ˇ obsah rovnobežníku:

S = |w| ~ = |~u||~v | sin α

obsah trojúhelníku:

S 0 = 12 |w| ~


vektory: ~u = (u1 , u2 , u3 ), ~v = (v1 , v2 , v3 ) ~u × ~v = (u2 v3 − u3 v2 , u3 v1 − u1 v3 , u1 v2 − u2 v1 ) Mnemotechnické pomucky ˚ pro výpoˇcet: 1. Souˇradnice vektoru˚ ~u, ~v napíšeme pod sebe: (u1 , u2 , u3 ) (v1 , v2 , v3 ) Nyní zakryjeme první souˇradnice obou vrcholu˚ a ke zbylé cˇ tveˇrici cˇ ísel u1 u2 v1 v2 vypoˇcítáme cˇ íslo u2 v3 − u3 v2 . Podobneˇ zakrytím druhých souˇradnic dostaneme u zbylé cˇ tveˇrice cˇ ísel cˇ íslo u1 v3 − u3 v1 a zakrytím tˇretích souˇradnic dostaneme cˇ íslo u1 v2 − u2 v1 . Dostali jsme trojici cˇ ísel (u2 v3 − u3 v2 , u1 v3 − u3 v1 , u1 v2 − u2 v1 ). Vidíme, že vynásobíme-li druhé cˇ íslo v trojici cˇ íslem −1, dostaneme souˇradnice vektorového souˇcinu ~u × ~v .


vektory: ~u = (u1 , u2 , u3 ), ~v = (v1 , v2 , v3 ) ~u × ~v = (u2 v3 − u3 v2 , u3 v1 − u1 v3 , u1 v2 − u2 v1 ) 2. Souˇradnice vektoru˚ ~u, ~v zapíšeme do následujícího schématu: u2

u3

v2

u1

v3 u2 v3 − v2 u3

u2

v1 u3 v1 − v3 u1

v2 u1 v2 − v1 u2

Ve tˇretím ˇrádku jsou souˇradnice vektorového souˇcinu ~u × ~v . Pˇri výpoˇctu jeho souˇradnic násobíme cˇ ísla spojená cˇ arou. Pˇritom souˇciny cˇ ísel spojených cˇ arou \ opatˇríme znaménkem plus a souˇciny cˇ ísel spojených cˇ arou / opatˇríme znaménkem minus.


ˇ Smíšený soucin ˇ vektoru˚ ~a, ~b, ~c je cˇ íslo (~a × ~b) · ~c. Smíšený soucin Pro každé tˇri vektory ~a, ~b, ~c v prostoru platí (~a × ~b) · ~c = (~b × ~c) · ~a = (~c × ~a) · ~b.


ˇ ˇ pomocí vektoru˚ tˇrí Pˇredpokládejme, že je zadán rovnobežnost en svých hran vycházejících z jednoho bodu. Vektory oznaˇcíme ~a, ~b, ~c, jejich spoleˇcný poˇcáteˇcní bod P a jejich koncové body A, B, C. ˇ ˇ oznaˇcíme K, L, M , N . Zbývající vrcholy rovnobežnost enu N

M C

L

~ c B ~b

K P

~ a

A

ˇ ˇ P AKBCLM N : V = |(~a × ~b) · ~c | obsah rovnobežnost enu ˇ P ABC: V 0 = 61 V obsah cˇ tyˇrstenu

Analytická geometrie (5. - 6. lekce) Analytická geometrie v prostoru Pˇríklad 1

Pˇríklad 1. Urˇcete vektorový souˇcin vektoru˚ ~u, ~v , jestliže platí: ~u = (−2, −3, 1),

~v = (3, 4, −2).


Pˇríklad 1. Urˇcete vektorový souˇcin vektoru˚ ~u, ~v , jestliže platí: ~u = (−2, −3, 1), ˇ Rešení:

~u = (−2, −3, 1) ~v = ( 3, 4, −2)

~u × ~v =

~v = (3, 4, −2).



~u = (−2, −3, 1) ~v = ( 3, 4, −2)

~u × ~v = (−3) · (−2) − 1 · 4;

~v = (3, 4, −2).



~v = (3, 4, −2).

~u = (−2, −3, 1) ~v = ( 3, 4, −2)

~u × ~v = (−3) · (−2) − 1 · 4; − [(−2) · (−2) − 1 · 3];



~v = (3, 4, −2).

~u = (−2, −3, 1) ~v = ( 3, 4, −2)

~u × ~v = (−3) · (−2) − 1 · 4; − [(−2) · (−2) − 1 · 3]; (−2) · 4 − (−3) · 3 =



~v = (3, 4, −2).

~u = (−2, −3, 1) ~v = ( 3, 4, −2)

~u × ~v = (−3) · (−2) − 1 · 4; − [(−2) · (−2) − 1 · 3]; (−2) · 4 − (−3) · 3 = = (2, −1, 1)


Pˇríklad 2. ˇ alesponˇ jeden vektor, který je kolmý k daným vektorum Najdete ˚ ~a = (6, 0, −12),

~b = (2, 3, −6).


Pˇríklad 2. ˇ alesponˇ jeden vektor, který je kolmý k daným vektorum Najdete ˚ ~a = (6, 0, −12), ˇ Rešení:

~u ⊥ ~a ∧ ~u ⊥ ~b ⇐⇒

~b = (2, 3, −6).



~b = (2, 3, −6).

~u ⊥ ~a ∧ ~u ⊥ ~b ⇐⇒ ~u = ~a × ~b



~b = (2, 3, −6).

~u ⊥ ~a ∧ ~u ⊥ ~b ⇐⇒ ~u = ~a × ~b ~a

=

(6, 0, −12)

~b

=

(2, 3, −6)

~a × ~b

=



~b = (2, 3, −6).

~u ⊥ ~a ∧ ~u ⊥ ~b ⇐⇒ ~u = ~a × ~b ~a

=

(6, 0, −12)

~b

=

(2, 3, −6)

~a × ~b

=

(36, 12, 18)



~b = (2, 3, −6).

~u ⊥ ~a ∧ ~u ⊥ ~b ⇐⇒ ~u = ~a × ~b ~a

=

(6, 0, −12)

~b

=

(2, 3, −6)

~a × ~b

=

(36, 12, 18)

~u

=

(36, 12, 18)

~u0

=

(6, 2, 3)


Pˇríklad 3. ˇ obsah rovnobežníka ˇ Užitím vektorového souˇcinu vypoˇctete urˇceného vektory ~u = (−2, −3, 2), ~v = (3, 4, −2).


Pˇríklad 3. ˇ obsah rovnobežníka ˇ Užitím vektorového souˇcinu vypoˇctete urˇceného vektory ~u = (−2, −3, 2), ~v = (3, 4, −2). ˇ Rešení:

ˇ Obsah rovnobežníka

S=



ˇ Obsah rovnobežníka

~ S = |~u × ~v | = |w|



ˇ Obsah rovnobežníka w ~ = ~u × ~v :

~ S = |~u × ~v | = |w|

~u

=

(−2, −3, 2)

~v

=

( 3, 4, −2)

w ~

=




~ S = |~u × ~v | = |w|

~u

=

(−2, −3, 2)

~v

=

( 3, 4, −2)

w ~

=

(−2, 2, 1)




S = |w| ~ =

~ S = |~u × ~v | = |w|

~u

=

(−2, −3, 2)

~v

=

( 3, 4, −2)

w ~

=

(−2, 2, 1)




~ S = |~u × ~v | = |w|

~u

=

(−2, −3, 2)

~v

=

( 3, 4, −2)

w ~ = (−2, 2, 1) p S = |w| ~ = (−2)2 + 22 + 12 =




~ S = |~u × ~v | = |w|

~u

=

(−2, −3, 2)

~v

=

( 3, 4, −2)

w ~ = (−2, 2, 1) p √ S = |w| ~ = (−2)2 + 22 + 12 = 9 = 3 S=3


Pˇríklad 4. ˇ obsah trojúhelníku s vrcholy Užitím vektorového souˇcinu vypoˇctete A[5, 1, 4], B[−1, −2, 6], C[2, 3, −2].


Pˇríklad 4. ˇ obsah trojúhelníku s vrcholy Užitím vektorového souˇcinu vypoˇctete A[5, 1, 4], B[−1, −2, 6], C[2, 3, −2]. C ~b

ˇ Rešení: A

~ c

B


Pˇríklad 4. ˇ obsah trojúhelníku s vrcholy Užitím vektorového souˇcinu vypoˇctete A[5, 1, 4], B[−1, −2, 6], C[2, 3, −2]. C

−−→ ~c = AB = B − A = (−6, −3, 2) → ~b = − AC = C − A = (−3, 2, −6)

~b

ˇ Rešení: A

~ c

B



−−→ ~c = AB = B − A = (−6, −3, 2) → ~b = − AC = C − A = (−3, 2, −6)

~b

ˇ Rešení: A

~ c

obsah ∆ABC:

B

S =



−−→ ~c = AB = B − A = (−6, −3, 2) → ~b = − AC = C − A = (−3, 2, −6)

~b

ˇ Rešení: A

~ c

obsah ∆ABC:

B

S =

1 2

· ~c × ~b



−−→ ~c = AB = B − A = (−6, −3, 2) → ~b = − AC = C − A = (−3, 2, −6)

~b

ˇ Rešení: A

~ c

obsah ∆ABC:

B

S =

1 2

· ~c × ~b

w ~ = ~c × ~b =



−−→ ~c = AB = B − A = (−6, −3, 2) → ~b = − AC = C − A = (−3, 2, −6)

~b

ˇ Rešení: A

~ c

obsah ∆ABC:

B

S =

1 2

· ~c × ~b

w ~ = ~c × ~b = (14, −42, −21)



−−→ ~c = AB = B − A = (−6, −3, 2) → ~b = − AC = C − A = (−3, 2, −6)

~b

ˇ Rešení: A

~ c

obsah ∆ABC:

B

S =

1 2

· ~c × ~b

w ~ = ~c × ~b = (14, −42, −21) S = S =

1 2

· |w| ~



−−→ ~c = AB = B − A = (−6, −3, 2) → ~b = − AC = C − A = (−3, 2, −6)

~b

ˇ Rešení: A

~ c

obsah ∆ABC:

B

S =

1 2

· ~c × ~b

w ~ = ~c × ~b = (14, −42, −21) S =

1 2

S =

1 2

· |w| ~ p · 142 + (−42)2 + (−21)2 =



−−→ ~c = AB = B − A = (−6, −3, 2) → ~b = − AC = C − A = (−3, 2, −6)

~b

ˇ Rešení: A

~ c

obsah ∆ABC:

B

S =

1 2

· ~c × ~b

w ~ = ~c × ~b = (14, −42, −21) S =

1 2

S =

1 2

· |w| ~ p · 142 + (−42)2 + (−21)2 =

S = 24.5

1 2

· 49


Pˇríklad 5. ˇ ABCD s vrcholy A[−2, 1, 4], B[−1, 0, −1], Je dán cˇ tyˇrsten C[−4, −1, 6], D[−2, −2, −5]. ˇ obsah steny ˇ ABC. a) Vypoˇctete ˇ objem cˇ tyˇrstenu ˇ ABCD. b) Vypoˇctete


Pˇríklad 5. ˇ ABCD s vrcholy A[−2, 1, 4], B[−1, 0, −1], Je dán cˇ tyˇrsten C[−4, −1, 6], D[−2, −2, −5]. ˇ obsah steny ˇ ABC. a) Vypoˇctete ˇ objem cˇ tyˇrstenu ˇ ABCD. b) Vypoˇctete ˇ Rešení: D

~ c

B

C ~b

~ a A


Pˇríklad 5. ˇ ABCD s vrcholy A[−2, 1, 4], B[−1, 0, −1], Je dán cˇ tyˇrsten C[−4, −1, 6], D[−2, −2, −5]. ˇ obsah steny ˇ ABC. a) Vypoˇctete ˇ objem cˇ tyˇrstenu ˇ ABCD. b) Vypoˇctete ˇ Rešení: D

~ c

B

C ~b

~ a A

−−→ ~a = AB = B − A = (1, −1, −5) → ~b = − AC = C − A = (−2, −2, 2) −−→ ~c = AD = D − A = (0, −3, −9)


D

~a = ( 1, −1, −5) ~ c

B

C ~b

~ a A

a)

SABC =

~b = (−2, −2, 2)


D

~a = ( 1, −1, −5) ~ c

B

C ~b

~ a A

a)

SABC =

1 2

· ~a × ~b

~b = (−2, −2, 2)


D

~a = ( 1, −1, −5) ~ c

B

C ~b

~ a A

a)

SABC = ~a × ~b =

1 2

· ~a × ~b

~b = (−2, −2, 2)


D

~a = ( 1, −1, −5) ~ c

B

C ~b

~ a A

a)

SABC =

1 2

· ~a × ~b

~a × ~b = (−12, 8, −4)

~b = (−2, −2, 2)


D

~a = ( 1, −1, −5) ~ c

B

C ~b

~ a A

a)

SABC =

1 2

· ~a × ~b

~a × ~b = (−12, 8, −4) ~a × ~b =

~b = (−2, −2, 2)


D

~a = ( 1, −1, −5) ~ c

B

C ~b

~b = (−2, −2, 2)

~ a A

a)

SABC =

1 2

· ~a × ~b

~a × ~b = (−12, 8, −4) p ~a × ~b = (−12)2 + 82 + (−4)2 =


D

~a = ( 1, −1, −5) ~ c

B

C ~b

~b = (−2, −2, 2)

~ a A

a)

SABC =

1 2

· ~a × ~b

~a × ~b = (−12, 8, −4) p √ √ ~a × ~b = (−12)2 + 82 + (−4)2 = 224 = 4 · 14


D

~a = ( 1, −1, −5) ~ c

B

C ~b

~b = (−2, −2, 2)

~ a A

a)

SABC =

1 2

· ~a × ~b

~a × ~b = (−12, 8, −4) p √ √ ~a × ~b = (−12)2 + 82 + (−4)2 = 224 = 4 · 14 √ S = 12 · ~a × ~b = 12 · 4 · 14


D

~a = ( 1, −1, −5) ~ c

B

C ~b

~b = (−2, −2, 2)

~ a A

a)

SABC =

1 2

· ~a × ~b

~a × ~b = (−12, 8, −4) p √ √ ~a × ~b = (−12)2 + 82 + (−4)2 = 224 = 4 · 14 √ S = 12 · ~a × ~b = 12 · 4 · 14 √ S = 2 · 14


D

~a = ( 1, −1, −5) ~ c

B

C ~b

~ a A

b)

V =

~b = (−2, −2, 2) ~c = ( 0, −3, −9)


D

~a = ( 1, −1, −5) ~ c

B

C ~b

~ a A

b)

V =

1 6

· ~a × ~b · ~c

~b = (−2, −2, 2) ~c = ( 0, −3, −9)


D

~a = ( 1, −1, −5) ~ c

B

C ~b

~ a A

b)

V = ~a × ~b =

1 6

· ~a × ~b · ~c

~b = (−2, −2, 2) ~c = ( 0, −3, −9)


D

~a = ( 1, −1, −5) ~ c

B

C ~b

~ a A

b)

V =

1 6

· ~a × ~b · ~c

~a × ~b = (−12, 8, −4)

~b = (−2, −2, 2) ~c = ( 0, −3, −9)


D

~a = ( 1, −1, −5) ~ c

B

C ~b

~ a A

b)

V =

1 6

· ~a × ~b · ~c

~a × ~b = (−12, 8, −4) ~a × ~b · ~c =

~b = (−2, −2, 2) ~c = ( 0, −3, −9)


D

~a = ( 1, −1, −5) ~ c

B

C ~b

~ a

~b = (−2, −2, 2) ~c = ( 0, −3, −9)

A

b)

V =

1 6

· ~a × ~b · ~c

~a × ~b = (−12, 8, −4) ~a × ~b · ~c = (−12) · 0 + 8 · (−3) + (−4) · (−9) =


D

~a = ( 1, −1, −5) ~ c

B

C ~b

~ a

~b = (−2, −2, 2) ~c = ( 0, −3, −9)

A

b)

V =

1 6

· ~a × ~b · ~c

~a × ~b = (−12, 8, −4) ~a × ~b · ~c = (−12) · 0 + 8 · (−3) + (−4) · (−9) = 12


D

~a = ( 1, −1, −5) ~ c

B

C ~b

~ a

~b = (−2, −2, 2) ~c = ( 0, −3, −9)

A

b)

V =

1 6

· ~a × ~b · ~c

~a × ~b = (−12, 8, −4) ~a × ~b · ~c = (−12) · 0 + 8 · (−3) + (−4) · (−9) = 12 V =

1 6

· 12


D

~a = ( 1, −1, −5) ~ c

B

C ~b

~ a

~b = (−2, −2, 2) ~c = ( 0, −3, −9)

A

b)

V =

1 6

· ~a × ~b · ~c

~a × ~b = (−12, 8, −4) ~a × ~b · ~c = (−12) · 0 + 8 · (−3) + (−4) · (−9) = 12 V =

1 6

V =2

· 12

Analytická geometrie (5. - 6. lekce) Analytická geometrie v prostoru Pˇríklady k proviˇcení

Cviˇcení 1 ˇ ABCD, kde A[1, 3, −2], B[1, −1, 2], C[6, 1, 10], Je dán cˇ tyˇrsten D[4, 3, −2]. ˇ rte, že body A, B, C neleží v jedné pˇrímce. a) Oveˇ ˇ rte, že vektor D − A není lineární kombinací vektoru˚ C − A, b) Oveˇ B − A. ˇ obsah steny ˇ ABC. c) Vypoˇctete ˇ objem daného cˇ tyˇrstenu. ˇ d) Vypoˇctete [c) 24, 5,

d) 20]


Cviˇcení 2 Jsou dány body A[2, 6, 0], B[−3, 4, 5], C[1, 4, −2], D[5, 0, 3]. ˇ ˇ ABCEDF GH a urˇcete a) Vypoˇcítejte objem rovnobežnost enu ˇ ˇ eˇ ACD. nejaký vektor kolmý ke sten ˇ ˇ BAKCDLM N . b) Vypoˇcítejte povrch a objem rovnobežnost enu ˇ objem a povrch cˇ tyˇrstenu ˇ ABCD. c) Vypoˇctete 

 a) Objem V = 156, vektor ~ n = (6, 1, −4) . b) Objem V = 156, povrch S = 266,44  . c) Objem V = 26, povrch S = 77,16


Cviˇcení 3 Jsou dány body A[3, 1, −2], B[−1, 1, −2], C[1, 6, 10], D[3, 4, −2]. ˇ ABCD. a) Vypoˇcítejte objem cˇ tyˇrstenu ˇ ABCD. b) Vypoˇcítejte povrch cˇ tyˇrstenu [a) 24,

b) 81.06]

Analytická geometrie ( lekce)

Recommend Documents