Analytická geometrie ( lekce)

Analytická geometrie (3. - 4. lekce)

Analytická geometrie (3. - 4. lekce) Sylva Potuˇ ˚ cková, Dana Stesková, Lubomír Sedláˇcek Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín

Zlín, 16. cˇ ervna 2011

Analytická geometrie (3. - 4. lekce) Analytická geometrie v prostoru Pˇríklad 1

Pˇríklad 1. Algebraicky upravte následující vyjádˇrení vektoru ~v pomocí vektoru˚ ~a, ~b, ~c: ~v = 4(~a + 3~b − 0.5~c) − 3(−2~a + 4~b − ~c) − 5(2~a − ~b + 0.4~c).


Pˇríklad 1. Algebraicky upravte následující vyjádˇrení vektoru ~v pomocí vektoru˚ ~a, ~b, ~c: ~v = 4(~a + 3~b − 0.5~c) − 3(−2~a + 4~b − ~c) − 5(2~a − ~b + 0.4~c). ˇ Rešení: ~v = 4(~a + 3~b − 0.5~c) − 3(−2~a + 4~b − ~c) − 5(2~a − ~b + 0.4~c) =


Pˇríklad 1. Algebraicky upravte následující vyjádˇrení vektoru ~v pomocí vektoru˚ ~a, ~b, ~c: ~v = 4(~a + 3~b − 0.5~c) − 3(−2~a + 4~b − ~c) − 5(2~a − ~b + 0.4~c). ˇ Rešení: ~v = 4(~a + 3~b − 0.5~c) − 3(−2~a + 4~b − ~c) − 5(2~a − ~b + 0.4~c) = = 4~a + 12~b − 2~c + 6~a − 12~b + 3~c − 10~a + 5~b − 2~c =


Pˇríklad 1. Algebraicky upravte následující vyjádˇrení vektoru ~v pomocí vektoru˚ ~a, ~b, ~c: ~v = 4(~a + 3~b − 0.5~c) − 3(−2~a + 4~b − ~c) − 5(2~a − ~b + 0.4~c). ˇ Rešení: ~v = 4(~a + 3~b − 0.5~c) − 3(−2~a + 4~b − ~c) − 5(2~a − ~b + 0.4~c) = = 4~a + 12~b − 2~c + 6~a − 12~b + 3~c − 10~a + 5~b − 2~c = = 5~b − ~c


Pˇríklad 2. Jsou dány vektory ~b = (1, −2, −5), ~c = (2, −7, 1), d~ = (3, −9, 2). Urˇcete souˇradnice vektoru ~a, platí-li: ~ a) ~a − ~b + 2~c = 3d,

~ b) 2~a + ~b = 3~c − d.


Pˇríklad 2. Jsou dány vektory ~b = (1, −2, −5), ~c = (2, −7, 1), d~ = (3, −9, 2). Urˇcete souˇradnice vektoru ~a, platí-li: ~ a) ~a − ~b + 2~c = 3d, ˇ Rešení: a)

~a − ~b + 2~c = 3d~

~ b) 2~a + ~b = 3~c − d.


Pˇríklad 2. Jsou dány vektory ~b = (1, −2, −5), ~c = (2, −7, 1), d~ = (3, −9, 2). Urˇcete souˇradnice vektoru ~a, platí-li: ~ a) ~a − ~b + 2~c = 3d, ˇ Rešení: a)

~a − ~b + 2~c = 3d~ ~a = ~b − 2~c + 3d~

~ b) 2~a + ~b = 3~c − d.



~ b) 2~a + ~b = 3~c − d.

ˇ Rešení: a)

~a − ~b + 2~c = 3d~ ~a = ~b − 2~c + 3d~ ~a = (1, −2, −5) − 2 · (2, −7, 1) + 3 · (3, −9, 2)



~ b) 2~a + ~b = 3~c − d.

ˇ Rešení: a)

~a − ~b + 2~c = 3d~ ~a = ~b − 2~c + 3d~ ~a = (1, −2, −5) − 2 · (2, −7, 1) + 3 · (3, −9, 2) ~a = (6, −15, −1)


~b = (1, −2, −5), ~c = (2, −7, 1), d~ = (3, −9, 2) ˇ Rešení: b)

2~a + ~b = 3~c − d~


~b = (1, −2, −5), ~c = (2, −7, 1), d~ = (3, −9, 2) ˇ Rešení: b)

2~a + ~b = 3~c − d~ 2~a = −~b + 3~c − d~


~b = (1, −2, −5), ~c = (2, −7, 1), d~ = (3, −9, 2) ˇ Rešení: b)

2~a + ~b = 3~c − d~ 2~a = −~b + 3~c − d~ ~a =

1 2

~ · (−~b + 3~c − d)


~b = (1, −2, −5), ~c = (2, −7, 1), d~ = (3, −9, 2) ˇ Rešení: b)

2~a + ~b = 3~c − d~ 2~a = −~b + 3~c − d~ ~a =

1 2

~ · (−~b + 3~c − d)

~a = (1, −5, 3)


Pˇríklad 3. Urˇcete neznámou souˇradnici vektoru ~u tak, aby vektor ~u byl lineární kombinací vektoru˚ ~v , w: ~ ~u = (3, u2 , 5), ~v = (4, −1, 0), w ~ = (3, 2, 1).


Pˇríklad 3. Urˇcete neznámou souˇradnici vektoru ~u tak, aby vektor ~u byl lineární kombinací vektoru˚ ~v , w: ~ ~u = (3, u2 , 5), ~v = (4, −1, 0), w ~ = (3, 2, 1). ˇ Rešení: platí:

~u

=

a · ~v + b · w, ~ a, b ∈ R



~u

=

a · ~v + b · w, ~ a, b ∈ R

(3, u2 , 5)

=

a · (4, −1, 0) + b · (3, 2, 1)



~u

=

a · ~v + b · w, ~ a, b ∈ R

(3, u2 , 5)

=

a · (4, −1, 0) + b · (3, 2, 1) 3

=

4a + 3b



~u

=

a · ~v + b · w, ~ a, b ∈ R

(3, u2 , 5)

=

a · (4, −1, 0) + b · (3, 2, 1) 3

=

4a + 3b

u2

=

−a + 2b



~u

=

a · ~v + b · w, ~ a, b ∈ R

(3, u2 , 5)

=

a · (4, −1, 0) + b · (3, 2, 1) 3

=

4a + 3b

u2

=

−a + 2b

5

=

b



~u

=

a · ~v + b · w, ~ a, b ∈ R

(3, u2 , 5)

=

a · (4, −1, 0) + b · (3, 2, 1) 3

=

4a + 3b

u2

=

−a + 2b

5 = b b = 5, a = −3, u2 = 13


Pˇríklad 4.

−−→ ˇ velikost vektoru ~v = M N , jestliže M [8, −3, −4], Vypoˇctete N [−3, −1, 6].


Pˇríklad 4.

−−→ ˇ velikost vektoru ~v = M N , jestliže M [8, −3, −4], Vypoˇctete N [−3, −1, 6]. −−→ ˇ ~v = M N = N − M = Rešení:


Pˇríklad 4.

−−→ ˇ velikost vektoru ~v = M N , jestliže M [8, −3, −4], Vypoˇctete N [−3, −1, 6]. −−→ ˇ ~v = M N = N − M = (−11, 2, 10) Rešení:


Pˇríklad 4.

−−→ ˇ velikost vektoru ~v = M N , jestliže M [8, −3, −4], Vypoˇctete N [−3, −1, 6]. −−→ ˇ ~v = M N = N − M = (−11, 2, 10) Rešení: |~v | =


Pˇríklad 4.

−−→ ˇ velikost vektoru ~v = M N , jestliže M [8, −3, −4], Vypoˇctete N [−3, −1, 6]. −−→ ˇ ~v = M N = N − M = (−11, 2, 10) Rešení: p |~v | = (−11)2 + 22 + 102


Pˇríklad 4.

−−→ ˇ velikost vektoru ~v = M N , jestliže M [8, −3, −4], Vypoˇctete N [−3, −1, 6]. −−→ ˇ ~v = M N = N − M = (−11, 2, 10) Rešení: p |~v | = (−11)2 + 22 + 102 |~v | = 15


Pˇríklad 5. Jsou dány body A[3, 2, 1], B[1, −3, 0], C[0, 2, 5]. Urˇcete skalární souˇcin −−→ −→ vektoru˚ ~u · ~v , kde ~u = AB, ~v = AC.


Pˇríklad 5. Jsou dány body A[3, 2, 1], B[1, −3, 0], C[0, 2, 5]. Urˇcete skalární souˇcin −−→ −→ vektoru˚ ~u · ~v , kde ~u = AB, ~v = AC. −−→ ˇ ~u = AB = B − A = Rešení:


Pˇríklad 5. Jsou dány body A[3, 2, 1], B[1, −3, 0], C[0, 2, 5]. Urˇcete skalární souˇcin −−→ −→ vektoru˚ ~u · ~v , kde ~u = AB, ~v = AC. −−→ ˇ ~u = AB = B − A = (−2, −5, −1) Rešení:


Pˇríklad 5. Jsou dány body A[3, 2, 1], B[1, −3, 0], C[0, 2, 5]. Urˇcete skalární souˇcin −−→ −→ vektoru˚ ~u · ~v , kde ~u = AB, ~v = AC. −−→ ˇ ~u = AB = B − A = (−2, −5, −1) Rešení: −→ ~v = AC = C − A =


Pˇríklad 5. Jsou dány body A[3, 2, 1], B[1, −3, 0], C[0, 2, 5]. Urˇcete skalární souˇcin −−→ −→ vektoru˚ ~u · ~v , kde ~u = AB, ~v = AC. −−→ ˇ ~u = AB = B − A = (−2, −5, −1) Rešení: −→ ~v = AC = C − A = (−3, 0, 4)


Pˇríklad 5. Jsou dány body A[3, 2, 1], B[1, −3, 0], C[0, 2, 5]. Urˇcete skalární souˇcin −−→ −→ vektoru˚ ~u · ~v , kde ~u = AB, ~v = AC. −−→ ˇ ~u = AB = B − A = (−2, −5, −1) Rešení: −→ ~v = AC = C − A = (−3, 0, 4) ~u · ~v =


Pˇríklad 5. Jsou dány body A[3, 2, 1], B[1, −3, 0], C[0, 2, 5]. Urˇcete skalární souˇcin −−→ −→ vektoru˚ ~u · ~v , kde ~u = AB, ~v = AC. −−→ ˇ ~u = AB = B − A = (−2, −5, −1) Rešení: −→ ~v = AC = C − A = (−3, 0, 4) ~u · ~v = (−2) · (−3) + (−5) · 0 + (−1) · 4


Pˇríklad 5. Jsou dány body A[3, 2, 1], B[1, −3, 0], C[0, 2, 5]. Urˇcete skalární souˇcin −−→ −→ vektoru˚ ~u · ~v , kde ~u = AB, ~v = AC. −−→ ˇ ~u = AB = B − A = (−2, −5, −1) Rešení: −→ ~v = AC = C − A = (−3, 0, 4) ~u · ~v = (−2) · (−3) + (−5) · 0 + (−1) · 4 ~u · ~v = 2


Pˇríklad 6. Jsou dány vektory ~a = (2, 3, −1), ~b = (1, −2, 3), ~c = (2, −1, 1). Urˇcete souˇradnice vektoru ~x, platí-li ~x ⊥ ~a

∧

~x ⊥ ~b

∧

~x · ~c = −6.


Pˇríklad 6. Jsou dány vektory ~a = (2, 3, −1), ~b = (1, −2, 3), ~c = (2, −1, 1). Urˇcete souˇradnice vektoru ~x, platí-li ~x ⊥ ~a ˇ Rešení:

∧

~x ⊥ ~b

∧

~x · ~c = −6.

oznaˇcme hledaný vektor ~x = (x1 , x2 , x3 )



∧

~x ⊥ ~b

∧

~x · ~c = −6.


~x ⊥ ~a

⇔



∧

~x ⊥ ~b

∧

~x · ~c = −6.


~x ⊥ ~a

⇔

~x · ~a = 0

⇔



∧

~x ⊥ ~b

∧

~x · ~c = −6.


~x ⊥ ~a

⇔

~x · ~a = 0

⇔

2x1 + 3x2 − x3 =

0



∧

~x ⊥ ~b

∧

~x · ~c = −6.


~x ⊥ ~a ~x ⊥ ~b

⇔ ⇔

~x · ~a = 0 ~x · ~b = 0

⇔ ⇔

2x1 + 3x2 − x3 =

0



∧

~x ⊥ ~b

∧

~x · ~c = −6.


~x ⊥ ~a ~x ⊥ ~b

⇔ ⇔

~x · ~a = 0 ~x · ~b = 0

⇔

2x1 + 3x2 − x3 =

0

⇔

x1 − 2x2 + 3x3 =

0



∧

~x ⊥ ~b

∧

~x · ~c = −6.


~x ⊥ ~a ~x ⊥ ~b

⇔ ⇔

~x · ~a = 0 ~x · ~b = 0

⇔

2x1 + 3x2 − x3 =

0

⇔

x1 − 2x2 + 3x3 =

0

~x · ~c = −6

⇔



∧

~x ⊥ ~b

∧

~x · ~c = −6.


~x ⊥ ~a ~x ⊥ ~b

⇔ ⇔

~x · ~a = 0 ~x · ~b = 0

⇔

2x1 + 3x2 − x3 =

⇔

x1 − 2x2 + 3x3 =

0

~x · ~c = −6

⇔

2x1 − x2 + x3 =

−6

0



∧

~x ⊥ ~b

∧

~x · ~c = −6.


~x ⊥ ~a ~x ⊥ ~b

⇔ ⇔

~x · ~a = 0 ~x · ~b = 0

⇔

2x1 + 3x2 − x3 =

⇔

x1 − 2x2 + 3x3 =

0

~x · ~c = −6

⇔

2x1 − x2 + x3 =

−6

ˇrešení soustavy:

x1 = −3,

0

x2 = 3, x3 = 3



∧

~x ⊥ ~b

∧

~x · ~c = −6.


~x ⊥ ~a ~x ⊥ ~b

⇔ ⇔

~x · ~a = 0 ~x · ~b = 0

⇔

2x1 + 3x2 − x3 =

⇔

x1 − 2x2 + 3x3 =

0

~x · ~c = −6

⇔

2x1 − x2 + x3 =

−6

ˇrešení soustavy: hledaný vektor:

x1 = −3,

0

x2 = 3, x3 = 3

~x = (−3, 3, 3)


Pˇríklad 7 Jsou dány vektory ~a = (a1 , 0, 4), ~b = (2, b2 , −4), ~c = (−5, 0, 2), d~ = (2, −3, 4), ~e = (3, −2, 2). a) Urˇcete a1 tak, aby |~a| = 5. b) Urˇcete b2 tak, aby ~b ⊥ ~e. ~ ~e. ˇ zda vektor ~c je lineární kombinací vektoru˚ d, c) Zjistete,


Pˇríklad 7 Jsou dány vektory ~a = (a1 , 0, 4), ~b = (2, b2 , −4), ~c = (−5, 0, 2), d~ = (2, −3, 4), ~e = (3, −2, 2). a) Urˇcete a1 tak, aby |~a| = 5. b) Urˇcete b2 tak, aby ~b ⊥ ~e. ~ ~e. ˇ zda vektor ~c je lineární kombinací vektoru˚ d, c) Zjistete, ˇ Rešení: a) |~a| = 5 p |~a| = a21 + 00 + 42



) porovnáme:

p

a21 + 42 = 5



) porovnáme:

p

a21 + 42 = 5

a21 + 16 = 25



) porovnáme:

p

a21 + 42 = 5

a21 + 16 = 25 a21 = 9



) porovnáme:

p

a21 + 42 = 5

a21 + 16 = 25 a21 = 9

a1 = 3 ∨

a1 = −3


ˇ Rešení:

b) ~b = (2, b2 , −4), ~e = (3, −2, 2)

~b ⊥ ~e ⇔


ˇ Rešení:

b) ~b = (2, b2 , −4), ~e = (3, −2, 2)

~b ⊥ ~e ⇔ ~b · ~e = 0 ⇔


ˇ Rešení:

b) ~b = (2, b2 , −4), ~e = (3, −2, 2)

~b ⊥ ~e ⇔ ~b · ~e = 0 ⇔ 6 − 2b2 − 8 = 0

⇒


ˇ Rešení:

b) ~b = (2, b2 , −4), ~e = (3, −2, 2)

~b ⊥ ~e ⇔ ~b · ~e = 0 ⇔ 6 − 2b2 − 8 = 0

⇒

b2 = −1


ˇ Rešení:

b) ~b = (2, b2 , −4), ~e = (3, −2, 2)

~b ⊥ ~e ⇔ ~b · ~e = 0 ⇔ 6 − 2b2 − 8 = 0 ˇ Rešení: má platit:

⇒

b2 = −1

c) ~c = (−5, 0, 2), d~ = (2, −3, 4), ~e = (3, −2, 2) ~c

=

k · d~ + l · ~e, k, l ∈ R


ˇ Rešení:

b) ~b = (2, b2 , −4), ~e = (3, −2, 2)


⇒

b2 = −1

c) ~c = (−5, 0, 2), d~ = (2, −3, 4), ~e = (3, −2, 2) ~c

=

k · d~ + l · ~e, k, l ∈ R

(−5, 0, 2)

=

k · (2, −3, 4) + l · (3, −2, 2)


ˇ Rešení:

b) ~b = (2, b2 , −4), ~e = (3, −2, 2)


⇒

b2 = −1

c) ~c = (−5, 0, 2), d~ = (2, −3, 4), ~e = (3, −2, 2) ~c

=

k · d~ + l · ~e, k, l ∈ R

(−5, 0, 2)

=

k · (2, −3, 4) + l · (3, −2, 2)

−5

=

2k + 3l


ˇ Rešení:

b) ~b = (2, b2 , −4), ~e = (3, −2, 2)


⇒

b2 = −1

c) ~c = (−5, 0, 2), d~ = (2, −3, 4), ~e = (3, −2, 2) ~c

=

k · d~ + l · ~e, k, l ∈ R

(−5, 0, 2)

=

k · (2, −3, 4) + l · (3, −2, 2)

−5

=

2k + 3l

0

=

−3k − 2l


ˇ Rešení:

b) ~b = (2, b2 , −4), ~e = (3, −2, 2)


⇒

b2 = −1

c) ~c = (−5, 0, 2), d~ = (2, −3, 4), ~e = (3, −2, 2) ~c

=

k · d~ + l · ~e, k, l ∈ R

(−5, 0, 2)

=

k · (2, −3, 4) + l · (3, −2, 2)

−5

=

2k + 3l

0

=

−3k − 2l

2

=

4k + 2l


ˇ Rešení:

b) ~b = (2, b2 , −4), ~e = (3, −2, 2)


⇒

b2 = −1

c) ~c = (−5, 0, 2), d~ = (2, −3, 4), ~e = (3, −2, 2) ~c

=

k · d~ + l · ~e, k, l ∈ R

(−5, 0, 2)

=

k · (2, −3, 4) + l · (3, −2, 2)

−5

=

2k + 3l

0

=

−3k − 2l

2 = 4k + 2l k = 2, l = −3


ˇ Rešení:

b) ~b = (2, b2 , −4), ~e = (3, −2, 2)


⇒

b2 = −1

c) ~c = (−5, 0, 2), d~ = (2, −3, 4), ~e = (3, −2, 2) ~c

=

k · d~ + l · ~e, k, l ∈ R

(−5, 0, 2)

=

k · (2, −3, 4) + l · (3, −2, 2)

−5

=

2k + 3l

0

=

−3k − 2l

2 = 4k + 2l k = 2, l = −3 ~ ~e. Vektor ~c je lineární kombinací vektoru˚ d,

Analytická geometrie (3. - 4. lekce) Analytická geometrie v prostoru Pˇríklady k proviˇcení

Cviˇcení 1 ˇ Jsou dány vektory ~a = (2, −1, −1), ~b = (3, 2, 1), ~c = (1, −3, 2). Najdete souˇradnice vektoru ~u, pro který platí ~a · ~u = 2,

~b · ~u = 7,

~c · ~u = −1.

[~ u = (2, −1, 3)]


Cviˇcení 2 Jsou dány vektory ~a = (1, r, −2), ~b = (−r, 4, 2 + r), ~c = (1, 3, −2), d~ = (2, 1, −1), ~e = (3, −4, 5). a) Urˇcete r tak, aby velikost vektoru ~a byla 3. b) Urˇcete r tak, aby vektory ~a, ~b byly navzájem kolmé. ~ ˇ všechny vektory, které jsou kolmé k vektorum c) Najdete ˚ ~c, d. ~ ~e. ˇ zda vektor ~c je lineární kombinací vektoru˚ d, d) Zjistete, [a) r1 = −2, r2 = 2,

b) r = 4,

c) (k, 3k, 5k), k ∈ R − {0},

d) ne]


Cviˇcení 3 V trojúhelníku ABC je ~c = (2, 6, −4), ~b = (4, 2, −2), kde ~c = B − A, ~b = C − A. ˇ souˇradnice vektoru, ˇ ˇ a) Vypoˇctete ˚ jejichž umísteními jsou težnice ˇ ˇ jsou trojúhelníku ABC, pˇriˇcemž poˇcáteˇcní body techto umístení vrcholy daného trojúhelníku. ~tc a strana ˇ velikost ostrého úhlu, který svírá težnice ˇ b) Vypoˇctete CB.

a) ~ ta = (3, 4, −3), ~ tb = (0, −5, 3), ~ tc = (−3, 1, 0),

. b) |C1 CB| = 49◦ 480


Cviˇcení 4 Jsou dány body A[−1, 1, −1], B[5, 1, 7], C[4, 2, 3], D[1, 2, −1]. ˇ a) Dokažte, že ABCD je lichobežník. ˇ b) Které strany jsou základnami lichobežníku ABCD a v jakém ˇ jsou jejich délky? pomeru c) Vypoˇcítejte velikost úhlu BAD. [b) Základnami jsou strany AB a CD, pˇritom platí |AB| : |CD| = 2 : 1 , . c) |BAD| = 57◦ 330


Cviˇcení 5 Je dán pravidelný cˇ tyˇrboký jehlan ABCDV s podstavnou hranou a = 4 cm a výškou v = 6 cm; stˇred hrany BC je oznaˇcen E. Zvolte vhodneˇ soustavu souˇradnic v prostoru a ˇrešte následující úkoly. a) Vypoˇcítejte délku boˇcní hrany jehlanu. b) Urˇcete velikost α úhlu vektoru˚ ~u = V − E a ~v = D − A. c) Urˇcete velikost β úhlu vektoru˚ ~u = V − E a w ~ = C − A. h

√ a) |AV | = 2 11 cm,

b) α = 90◦ ,

. c) β = 102◦ 550

i


Cviˇcení 6 ˇ Urˇcete bod D tak, aby obrazec ABCD byl rovnobežník, je-li dáno A[2, −3, 1],

B[4, 0, −3],

C[−2, 3, −4].

[D[−4, 0, 0]]


Cviˇcení 7 Jsou dány body A[20, −5, 10], B[8, 4, −10], C[−4, 13, 10], D[8, 4, 10]. ˇ a) Dokažte, že ABCD je rovnobežník. b) Vypoˇcítejte velikost úhlu DAB. c) Vypoˇcítejte velikost úhlu ABD. b 53◦ 080 ,

c) 90◦

Analytická geometrie ( lekce)

Recommend Documents