Analyse Voorbeeldexamens CITO 2013 Carla Barkelau, redacteur SCORE Rekenen
Wat krijgen leerlingen in de Citotoetsen 2F en 3F? Hoe verhouden het niveau en de accenten zich tot de uitwerkingen van de referentieniveaus door het SLO? Bereidt ons rekenprogramma SCORE leerlingen goed voor? Dat waren de vragen waarmee we de nieuwe CITO-proeftoetsen hebben doorgenomen. Hier volgt een verslag van de uitkomsten. Aandachtspunten in de analyse: • verdeling kale sommen – contextsommen • verdeling multiple choice – open vragen • moeilijkheidsgraad/complexiteit van de opgaven • verdeling van opgaven over de rekendomeinen (welke krijgen nadruk?) • aard van de opgaven (welke oplossingsmethoden moet je beheersen? • relatie tot de concretisering door de SLO • aansluiting van SCORE op de CITO-voorbeeldtoetsen. Conclusie/samenvatting De CITO-opgaven vonden we vaak origineel, aansprekend en uitdagend. Onze redactie heeft zich erdoor laten inspireren. De kale sommen van CITO zijn vrij eenvoudig. In de contextsommen van CITO 2F zit de complexiteit voor een groot deel in het aantal rekenstappen en in het ‘terugrekenen’. Op niveau 3F zit de complexiteit vooral in het onderdeel ‘procenten’ (wat moet je op 100% stellen) en ‘samengestelde eenheden’. De moeilijkheid ten opzichte van van 2F zit vaak in een extra stap in de berekening en in verhoudingsrekenen. Dit laatste is verweven in veel opgaven. De opgaven bevatten meer tekst en informatie dan die van 2F. Dit kan lastig zijn voor leerlingen die moeite hebben met lezen. Verder moeten leerlingen op 3F de stof echt snappen, zodat ze ook opgaven kunnen maken die iets afwijken van de gangbare vraagstelling. Voor een aantal CITO-opgaven geldt dat de moeilijkheidsgraad iets hoger is dan het niveau zoals dat wordt omschreven in de conceptsyllabus 2F en 3F van de SLO. Het is onze ambitie ervoor te zorgen dat SCORE de leerlingen optimaal op het rekenexamen voorbereidt. We hebben daarom een aantal nieuwe opgaven ontwikkeld geïnspireerd op die van CITO en een aantal CITO-opgaven in SCORE overgenomen (zie voorbeelden in deze tekst).
Cito Voorbeeldexamen 2F
Cijferen Twintig procent van de Citotoets (12 van de 60 opdrachten) bestaat uit pure rekensommen, zonder rekenmachine. Alles komt aan bod: alle bewerkingen, sommen met procenten, breuken en decimale getallen. De sommen zijn relatief eenvoudig (misschien met uitzondering van rekenen met decimale getallen voor leerlingen op niveau 2F). Wie het handig rekenen onder de knie heeft, zou deze opgaven zonder kladpapier moeten kunnen maken. Rekenen in context De overige opdrachten (80%) mogen met de rekenmachine en zijn in context (gegevens in de tekst, in een tabel en/of een grafiek). Alle domeinen komen aan bod, vaak in combinatie met elkaar: Getallen, Verhoudingen, Meten & Meetkunde en Verbanden. Bijvoorbeeld: -‐ een grafiek aflezen en met de gegevens daarvan een percentage berekenen (verbanden en verhoudingen). -‐ 1 kg kost € … , hoeveel kost 322 g? (metriek en verhoudingen) -‐ gegeven: maten van een aquarium in cm’s; 1 visje heeft 3 l water nodig. Hoeveel vissen mogen maximaal in dit aquarium? (meten, metriek en verhoudingen). Lastige opgaven
Redundantie Vaak moet de informatie uit tabellen worden gehaald, waarbij de leerling zelf de juiste gegevens moet kiezen. Omgekeerde bewerkingen Vaak worden omgekeerde bewerkingen gevraagd. Bijvoorbeeld: “Een vierkant dakterras van 144 m2, wat is de lengte van het dakterras?” “Een viertal afschrijvingen en een negatief saldo. Wat was het saldo vóór deze afschrijvingen?” “Drie vriendinnen hebben € 75,-. Een concertkaartje kost € 17,50, de bus kost € 3,40 p.p. Hoeveel houden ze over voor eten en drinken?” (Vraag 38): “Basketbal-record: 277 keer raak in 1 uur. Om de hoeveel seconden schoot deze speelster gemiddeld raak?” Leerlingen zijn gewend het aantal schoten per minuut of seconde uit te rekenen. Hier wordt een omgekeerde bewerking gevraagd: “om de hoeveel seconden”.
1: CITO Getallen in context, omgekeerde bewerking in SCORE 2F. Rekenen met kalenderdagen Opvallend in de toets van 2013 vonden we twee vraagstukken over kalenderdagen (Vraag 15 en 32); in de toets van 2012 kwamen ze niet voor): “1x per dag ½ pil, 28 pillen, 27 maart beginnen met de kuur, wanneer is de laatste dag?” en “Jasper geboren 25-11-1999, Jesse geboren 15-2-2000. Hoeveel dagen is Jasper ouder dan Jesse?” Je moet de lengte van de maanden weten en je kunt hierin snel rekenfouten maken. Begrip van maten en eenheden (Vraag 14): Een plaatje met maten, zonder eenheden. Bereken de oppervlakte van de woonkamer en keuken in m². Leerlingen moeten zelf inzien dat de gegeven maten in mm’s zijn.
2: Oppervlakte berekenen en begrip van eenheden in SCORE 2F
Inzichtvraag met stapelgrafiek (Vraag 27): “Gegeven: een stapelgrafiek met chocolavoorkeur van aantallen jongens en meisjes. Hoeveel procent van de leerlingen koos melkchocolade?” Voor het beantwoorden van deze vraag moeten leerlingen ten eerste weten hoe ze een stapelgrafiek moeten aflezen en ten tweede dat je het percentage berekent door het totaal aantal leerlingen met een voorkeur voor melkchocolade te delen door het totaal aantal leerlingen (meisjes + jongens). Een echte inzichtvraag. Andere lastige opgave (Vraag 18): “Doornenburgse jongens: 6 halen 4 betalen. Prijs per stuk: € 0,89. Hoeveel betaal je voor 14 stuks?” Voor 12 stuks betaal je de prijs van 8 stuks. Voor 2 stuks betaal je de normale prijs. Fout gerekend wordt de uitwerking: 6 stuks kosten 4 x 0,89 en 14 stuks kosten (4 x 0,89) : 6 x 14 Maar misschien dat de bakker de prijs wel zo berekent? Verschillen CITO en SLO 2F Een aantal CITO-opgaven is moeilijker dan de uitwerking van de SLO voor niveau 2F. In de conceptsyllabus van de SLO voor niveau 2F staat op blz. 39 dat leerlingen: 1. met een gegeven percentage, een prijs inclusief btw of nieuwe prijs met korting kunnen berekenen; 2. met twee bedragen, b.v. een kortingspercentage of winstpercentage kunnen berekenen. Volgens SLO punt 1 hierboven is op niveau 2F dus gegeven wat 100% is. In de CITO-proeftoets wordt in enkele opgaven echter verondersteld dat leerlingen kunnen verhoudingsrekenen met procenten en breuken.
(verhoudingsrekenen met procenten en breuken) (Vraag 55): “Vier op de vijf kandidaten slaagt in één keer. Vorig jaar zijn 636 kandidaten in één keer geslaagd. Hoeveel kandidaten zijn niet in één keer geslaagd?” Dit is een verhoudingsvraagstuk met een breuk: 4/5 is 636 kandidaten, 1/5 is ? kandidaten. (Vraag 49, proeftoets 2012): “Gegeven: 25% korting, nu € 270. Hoeveel € is de fiets goedkoper geworden?” € 270 is 75%, wat is 25%? (of met een tussenstap Wat is 100%?) In -‐ -‐ -‐
de conceptsyllabus van de SLO voor niveau 2F staat op blz. 19: optellen en aftrekken met negatieve getallen is niveau 2F aftrekken van een negatief getal is niveau 2S delen met en vermenigvuldigen met een negatief getal is niveau 2S
In de CITO-proeftoets 2013 zit een vraag waarbij leerlingen geacht worden een negatief getal te delen.
(negatieve getallen vermenigvuldigen of delen) (vraag 40) Een zevental temperatuur metingen (negatief, nul, positief), wat is de gemiddelde temperatuur? De som die gemaakt moet worden is: -7/7 = -1.
3: CITO Gemiddelde berekenen met negatieve/positieve getallen in SCORE 2F In de conceptsyllabus van de SLO staat op blz. 35: “Op referentie-niveau 2F volstaan beschrijvingen waar sprake is van 1 op … Op 2S kunnen ook beschrijvingen in de vorm ‘3 van de 5’ voorkomen.”) Twee opgaven uit de CITO-voorbeeldtoets zouden volgens het referentiekader van de SLO niveau 2S zijn (dus geen 2F):
(een op de…) (vraag 51; mc-vraag) “4 van de 7 stemmen waren voor de winnaar. Er zijn 355.280 stemmen geteld. Hoeveel waren voor de winnaar?” (vraag 55) “4 op de 5 slagen in één keer. Hoeveel kandidaten zijn niet in één keer geslaagd?”. Cito Voorbeeldexamen 3F
Cijferen Ook op 3F is 20% van de vragen een rekensom zonder context, die zonder rekenmachine gemaakt moet worden (12 van de 60 opgaven). De sommen zijn eenvoudig qua getallen en qua bewerkingen. Het is wel nodig dat je handig rekenen hebt geleerd. (b.v. 17 x 2½ + 13 x 2½ = ).
Leerlingen moeten de regels m.b.t. volgorde van bewerken kunnen toepassen. De moeilijkheidsgraad verschilt niet veel van niveau 2F. -‐ bijvoorbeeld 3F: 87% van 1500 = 2F: 40% van 85 = -‐ bijvoorbeeld 3F: 60 : 0,15 = 2F: 56,8 : 8 =
Rekenen in context De overige 80% (48 vragen) mag met de rekenmachine. Vaak is sprake van terugrekenen. De vragen zijn combinaties van domeinen. Bijvoorbeeld vraag 14: inhoud zwembad berekenen, m3 naar liters, liters per minuut, hoe laat beginnen met pompen als het zwembad om een bepaalde tijd leeg moet zijn? Verzwaring 3F t.o.v. 2F De moeilijkheid ten opzichte van van 2F zit vaak in een extra stap in de berekening en in verhoudingsrekenen. Soms moeten leerlingen uit meerdere gegevens in tabellen, grafieken of plaatjes, de juiste gegevens selecteren (redundantie, bijvoorbeeld in vraag 16). Er ligt veel nadruk op ‘procenten’, ‘tijdrekenen’ en ‘samengestelde eenheden’. De opgaven bevatten meer tekst en informatie dan bij 2F. Dit kan lastig zijn als je moeite hebben met lezen.
Procenten (en verhoudingsrekenen) Bij 3F moeten leerlingen kunnen verhoudingsrekenen o.a. met procenten. Bijvoorbeeld 3F uit 2012, vraag 11: een cirkeldiagram met percentages favoriete sporten. Hockey (28%) is met 252 leerlingen het meest favoriet. Van hoeveel leerlingen is handbal (9%) de favoriete sport. 28% verhoudt zich tot 252, zoals 9% zich verhoudt tot …
4: Aflezen uit een grafiek; verhoudingsrekenen met procenten in SCORE 3F.
Lastige opgaven
Stijgings- en dalingspercentages Zowel de toets van 2012 als die van 2013 bevatten ca. drie van opgaven waarbij de leerling moet verhoudingsrekenen met procenten. Gevraagd wordt naar de stijging/daling ten opzichte van het jaar ervoor. De leerling moet snappen welk bedrag of aantal op 100% gesteld moet worden. Bijvoorbeeld 3F uit 2012, vraag 6: Premie ziektekosten 2012: € 102,50 p/m. Stijging van € 36 p/jaar t.o.v. 2011. Hoeveel procent is de premie van 2012 gestegen t.o.v. 2011? € 3 stijging t.o.v. van € 102,50 - € 3 = € 99,50. De stijging is 3,0 %. (De uitkomst is 3,015. De leerling moet deze afronden op 1 decimaal dus op 3,0 en niet op 3.)
5: CITO Stijgings- en dalingspercentages, verhoudingsrekenen in SCORE 3F Bijvoorbeeld 3F uit 2012, vraag 20: Tabel met aantallen verkochte auto’s in 2010 (Volkswagen Polo: 38.316) en stijgings- en dalingspercentages tov 2009 (+ 24%). Hoeveel Volkswagens Polo’s zijn er in 2010 meer verkocht dan in 2009? Leerlingen moeten dan geleerd hebben dat je het aantal in 2010 kunt stellen op 124% en het aantal in 2009 op 100%. Fout is als ze b.v. aantal in 2010 stellen op 100% en het aantal in 2009 op 76%.
Breuken (en verhoudingsrekenen) Een mooi voorbeeld van verhoudingsrekenen met breuken is vraag 43 uit 2013: Lengtes snaren van een harp. C-snaar = 1, E-snaar = 4/5 = 96 cm, Fsnaar = ¾ = ? cm. Antwoord: de C-snaar is 96 x 5/4 = 120 cm, de F-snaar is ¾ x 120 cm = 90 cm.
6: CITO Stijgings- en dalingspercentages, verhoudingsrekenen in SCORE 3F
Percentage van een percentage In 3F komen 3 à 4 opgaven voor waarbij een percentage van een percentage genomen moet worden. Bijvoorbeeld 3F uit 2012, vraag 10 (multiple choice): Een loonsverhoging van 4%, een jaar later nog eens een loonsverhoging van 3%. Hoeveel procent is haar loon in totaal gestegen? Antwoord: 7,12%. € 100 x 1,03 x 1,04 = € 107,12 stijging 7,12%. Deze opgave is extra lastig omdat er geen bedragen gegeven zijn, alleen percentages. De overige vergelijkbare opgaven zijn wat makkelijker. Bijvoorbeeld vraag 58, (2012): € 100 tegen 4% rente, een jaar later € 100 erbij. Hoeveel staat een jaar daarna op de rekening? Overig verhoudingsrekenen Bijvoorbeeld geldkoersen, vraag 28 uit 2013: “Kunstwerk, waarde november 2009: € 32,7 miljoen; waarde november 1986: $ 385.000. Koers, nov 2009: € 1 = $ 1,34. Wat is de gemiddelde waardestijging per jaar in duizenden $? Bijvoorbeeld vraag 20, 2013: Wat is de breedte nieuwe tv , als deze dezelfde breedte-hoogte verhouding heeft als de oude tv? Gegeven zijn de breedte en de diagonaal van de oude tv in cm’s en de diagonaal van de nieuwe tv in inches. Met eenzelfde breedte-hoogte verhouding moet je de breedte en hoogte met eenzelfde getal kunnen vermenigvuldigen om de maten van de ene tv om te rekenen naar de maten van de andere tv. Maar snapt een leerling ook dat je dezelfde vermenigvuldigingsfactor mag loslaten op de
diagonaal (Pythagoras)? Wij vinden de opgave te moeilijk. Wij hanteren een eenvoudiger versie in SCORE (zie voorbeeld 8).
7: Verhoudingsrekenen in SCORE 3F.
8: CITO Rekenen met verhoudingen in SCORE 3F Samengestelde eenheden Bij samengestelde eenheden gaat het natuurlijk ook om verhoudingsrekenen.
In 2013 waren er nog wat meer opgaven dan in 2012. (2012: 6 stuks; 2013: 10 stuks). We hebben de indruk dat de vragen ook ingewikkelder zijn dan in 2012. Bij eenvoudige vragen over samengestelde eenheden moeten leerlingen een variabele berekenen als er twee gegeven zijn. Bijvoorbeeld de tijd en afstand zijn gegeven. Vraag: bereken de snelheid. De opgave hieronder is moelijker omdat deze over een tijdsverschil gaat: (Vraag 23, 2013): Schaatsen 1500 m. Twee kloktijden met honderdste seconden: 1.46,89 en 1.46,98. Hoe ver moest de ene ongeveer nog schaatsen toen de ander al over de finish was? Het gaat hier niet om het berekenen van één van de variabelen de snelheid, afstand, tijd, waarbij er twee gegeven zijn. Hoe los je deze opgave op? Het verschil is 9/100 seconden. De snelheid was ongeveer 1500 m in 1 minuut en 47 seconden = 107 seconden. 1500 m in 107 sec, hoeveel m in 0,09 sec? 1,26 m. (multiple choice: 1,3 cm; 13 cm; 1,3 m; 13 m).
Tijd In de voorbeeldtoets van 2013 zitten in totaal 6 rekenopgaven (10%!) met tijd. In 2012 was dat er maar 1 (< 2%). Opvallend is dat de toets van 2013, net als in de toets 2F van 2013, twee vragen bevat waarbij je weet moet hebben van kalenderdagen. (Vraag 8, 2013): Top 2000, start 25 december 12.00 u tot de jaarwisseling. 2000 liedjes. Hoeveel liedjes per uur? (Vraag 37, 2013): 2004 is schrikkeljaar. 13 februari is een vrijdag. Op welke dag viel 1 april? Rekenen met grafieken Bij de meeste opdrachten met grafieken kun je vrij eenvoudig de gegevens aflezen waarmee je vervolgens een bewerking moet doen. Bij één opdracht (zowel in 2012 als 2013) moeten leerlingen iets meer van grafieken snappen. Die van 2013 is iets gecompliceerder maar wel multiple choice. Bijvoorbeeld vraag 13, 2012, staafdiagram met verkochte ijsjes met resp. 1, 2 en 3 bolletjes in 4 verschillende maanden. In welke maand zijn de meeste bolletjes ijs verkocht? Leerlingen moeten dan snappen dat hetgeen ze aflezen op de Y-as, vermenigvuldigd moet worden met het aantal bolletjes (1, 2 of 3) om het totaal aantal bolletjes te berekenen. Bijvoorbeeld vraag 48, 2013, multiple choice: staafdiagram met verschillende slaapbehoeften in uren per leeftijdscategorie. Meisje van 17 jaar, hoeveel jaar in haar leven heeft zij geslapen? Deze opgave moet je slim aanpakken, hij is m.c. Anders ben je te lang aan het rekenen. 1e levensjaar 15 uur slaap, 2e en 3e levensjaar 13 u, 4e en 5e jaar 12 u, 6e t/m 11e jaar 10,5 uur, 12e t/m 17e jaar 9,5 uur. Reken eerst eens met een gemiddelde 10,5 uur slaap per dag
gedurende 17 jaar en kijk op hoeveel jaar slaap je uitkomt! Als je rekent met 9,5 uur slaap gedurende 17 jaar, dan kom je bij een foutief antwoord uit.
9: CITO Rekenen met grafieken in SCORE 3F. Formules In de toets van 2013 zitten meer opgaven met formules: 3 opdrachten met invoervariabele berekenen en 3 opdrachten met uitvoervariabelen berekenen. (In 2012 waren dat er respectievelijk 1 en 1 opgave.) In de toets van 2013 worden de formules vaak in woorden gegeven. De vragen zijn (of lijken) ingewikkelder door grotere hoeveelheid tekst, meer stappen of doordat je gegevens uit een tekening moet halen (b.v. Parthenon vraag 42, 2013): Vraag 42, 2013: Gegeven is de formule: breedte Partheon / max hoogte Partheon ≈ 1,618. Wat is de hoogte? Eerst bereken je de breedte m.b.v. het plaatje en de tekst. Dan kan je de hoogte berekenen. Bij deze opgave vinden we het jammer dat de maten alleen tekstueel zijn weergegeven en niet in de afbeelding staan: “de open ruimte tussen 2 kolommen is aan de onderkant 2,20 m, de kolommen zijn aan de onderkant 1,90 m”. Leerlingen die moeite hebben met lezen zijn hier in een nadeel. (Vraag 2, 2013): formule in woorden: framehoogte in inch = binnenbeenlengte x 0,226. Grotere of kleinere framemaat kiezen afhankelijk van sportief- of tourgebruik. De vraag bevat heel veel tekst. Er is sprake van een tabel aflezen en van meerdere stappen.
Denkprobleem (Vraag 38, 2013): 13 tafeltennissers spelen precies 1x tegen elke andere speler. Hoeveel wedstrijden worden in totaal gespeeld? Dit soort opgaven zijn we verder niet tegengekomen. We vinden ‘m moeilijk en nogal wiskundig (2S?).
Meten De proeftoets van 2013 lijkt meer opgaven te bevatten die meetkundig inzicht vergen (zoals vraag 42 Parthenon, vraag 43 de snaren van de harp, vraag 46 trap met optrede en aantrede). Feitelijk vraagt alleen vraag 57 echt meetkundig inzicht: vraag 57, 2013. Bloembollen in een tuin plaatsen op bepaalde afstand van de rand en op bepaalde afstand van elkaar. Hoeveel bloembollen in tuin van .. x .. meter.
10: CITO, Meetkundig inzicht in SCORE 3F Metriek, inhoud, oppervlakte (Vraag 54, 2012): Net als in de toets van 2F is er een opgave waarbij de eenheid ontbreekt. Leerlingen kunnen het gewicht van een pot jam kan aflezen (455). Ze moeten zelf inzien dat het om grammen gaat. “Murat mag max. 20 kg bagage meenemen, zijn bagage weegt 13,5 kg. Hoeveel potten jam kan hij meenemen?” vraag 46, 2012, Strooizout op gemeentelijke wegen. Hoeveel strooibeurten met 1200 ton zout. Gegeven: 10 g/m2, 800 km weg, wegen zijn gemiddeld 5 m breed. (Oppervlakte berekenen en omrekenen van km naar m en van gram naar ton en verhoudingsrekenen.)
11: Metriek en verhoudingsrekenen in SCORE Rekenen 3F. Figuren en aanzichten Alleen in 2012 staan hierover twee opgaven (vraag 48 en 49): - Bouwwerk van blokjes, zichtbaar en niet zichtbaar. Hoeveel blokjes? - Uitslag (2D representatie) van een prisma, de figuur benoemen. Schalen Zowel in 2012 als 2013 komen schaalvragen voor. Dit is natuurlijk ook verhoudingsrekenen. - Vraag 29, 2013, multiple choice. Schaal en werkelijke afmeting zijn gegeven. Wat is het papierformaat? - Vraag 55, 2012. Schaal gegeven, afstand op de kaart gegeven. Werkelijke afstand? - Vraag 43, 2012, Werkelijke hoogte en hoogte schaalmodel gegeven. Breedte schaalmodel gegeven. Wat is de werkelijke breedte? Oplossen door verhoudingsrekenen of door eerst de schaal te berekenen. Tot slot We hopen dat de informatie uit dit artikel u helpt in de voorbereiding van uw leerlingen op de rekentoets. Ook zijn we benieuwd naar uw ervaringen met de CITO-toets en met SCORE. We zouden daarover graag van u horen. U kunt mij bereiken via de e- mail:
[email protected].
