Analyse en voorspelling van sterftekansen en de invloed hiervan op de Technische Voorziening van een pensioenfonds

Analyse en voorspelling van sterftekansen en de invloed hiervan op de Technische Voorziening van een pensioenfonds Ellen Weerts Afstudeerscriptie juli 2009

Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Leerstoel Stochastische Besliskunde Begeleider TU/e: prof. dr. ir. J. van der Wal Begeleider Watson Wyatt: ir. drs. R.G.C Sebregts AAG

2

Voorwoord Deze scriptie dient als afronding van mijn studie Industrial and Applied Mathematics, richting Statistics, Probability and Operations Research, aan de Technische Universiteit van Eindhoven. Tevens dient deze scriptie ook als afronding van mijn stage bij Watson Wyatt Eindhoven. Watson Wyatt is onder andere actief op het gebied van pensioenadvisering voor pensioenfondsen en pensioenrecht. Het onderwerp van deze scriptie, het analyseren en voorspellen van sterftekansen en de invloed op de Technische Voorziening van een pensioenfonds, speelt hierbij een belangrijke rol. Graag wil ik Ron Sebregts en Jan van der Wal bedanken voor de goede begeleiding gedurende mijn stage. Daarnaast zou ik graag mijn collega’s van Watson Wyatt Eindhoven willen bedanken voor hun hulp, maar zeker ook voor de gezellige tijd. Ook zou ik graag mijn ouders willen bedanken. Zij hebben het tenslotte mogelijk gemaakt dat ik deze studie kon volgen. Tot slot zou ik graag mijn vriend Tom, maar ook mijn vrienden/vriendinnen willen bedanken voor de steun en interesse in deze scriptie. In het bijzonder wil ik Linda bedanken voor het feit dat ze gedurende onze hele studie altijd voor me klaar stond. Ellen Weerts

4

Samenvatting Er bestaan reeds veel verschillende modellen voor het voorspellen van sterftekansen, zoals de prognose van het Actuarieel Genootschap (AG), de prognose van het CBS en het prognosemodel van Lee-Carter (dat in de Verenigde Staten gebruikt wordt). Deze methoden zijn echter niet allemaal even makkelijk te begrijpen en vaak niet makkelijk te reproduceren. Daarom is het eerste doel van de scriptie de sterftekansen te analyseren en een eenvoudig model te ontwikkelen om de sterftekansen zo goed mogelijk te kunnen voorspellen. Bij de analyse van de sterftekansen blijkt dat tussen 1970 en 1990 een sterke toename in levensverwachting heeft plaatsgevonden voor zowel mannen als vrouwen. Tussen 1990 en 2000 is er bij vrouwen bijna geen toename in levensverwachting geweest. Bij mannen wel, alleen is die toename minder sterk dan in de jaren ervoor. Vanaf 2003 zijn de sterftekansen voor beiden weer sterk gedaald; er heeft dus een trendbreuk plaatsgevonden. Het zelf ontwikkelde model is een model op basis van sterftetrends, Voorspelling1 genoemd. Of dit model de sterftekansen voor de toekomst goed kan voorspellen weet niemand, omdat de sterftekansen voor de toekomst niet bekend zijn. Er is wel op verschillende manieren gekeken of de uitkomsten van het model aannemelijk zijn, bijvoorbeeld door het model te testen op data tot en met 2005 en dan voor 2006 en 2007 te kijken of de voorspelling overeenkomt met de werkelijke waarden. Het blijkt dat de prognose afwijkt, maar dat was bij de prognose van het AG, de prognose van het CBS en bij het prognosemodel van Lee-Carter ook het geval. Het tweede doel van de scriptie is om te kijken wat de invloed is van de verschillende prognoses op de Technische Voorziening (TV) van een pensioenfonds. De TV die een pensioenfonds verplicht dient aan te houden, wordt bepaald op basis van individuele voorzieningen. Deze individuele voorziening wordt onder andere berekend door voor elke persoon de opgebouwde aanspraak op ouderdomspensioen en nabestaandenpensioen te vermenigvuldigen met de bijbehorende factoren. Deze factoren hangen af van rente en sterfte. De TV die een pensioenfonds moet aanhouden, blijkt volgens Voorspelling1 gemiddeld 5% hoger te zijn dan volgens de prognose van het AG. De TV die volgens het CBS moet worden aangehouden is 4,5% hoger dan de TV volgens het AG. Verder blijkt dat de invloed van verandering van rente groter is dan de verandering van sterftekansen. Voor deze renteveranderingen dekken pensioenfondsen zich tegenwoordig steeds meer in. Sterfte-ontwikkeling speelt dus een steeds belangrijkere rol bij de bepaling van de voorziening. De eindconclusie van deze scriptie is dat sterftekansen erg moeilijk zijn te voorspellen; de toekomst is immers onzeker. De sterftekansen van de AG prognose lijken echter aan de hoge kant. Door deze te hoge sterftekansen, lijkt de TV die de pensioenfondsen momenteel aanhoudt te laag. Het is dus erg belangrijk de sterftekansen goed te monitoren en zo goed mogelijk te voorspellen. Desnoods door elk jaar een nieuwe prognose uit te brengen. Met een eenvoudig model zoals is ontwikkeld in deze scriptie, kan dit op een effectieve en efficiënte wijze.

6

Inhoudsopgave Voorwoord

3

Samenvatting

5

1 Inleiding 11 1.1 Doel van de scriptie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Structuur van de scriptie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Het pensioengebouw 2.1 De 1e pijler . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 AOW . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Anw . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 De 2e pijler . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Ouderdomspensioen . . . . . . 2.2.2 Nabestaandenpensioen . . . . . 2.2.3 Arbeidsongeschiktheidspensioen 2.3 De 3e pijler . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 De verschillende pensioenregelingen . . 2.4.1 Beschikbare premieregeling . . . 2.4.2 Eindloonregeling . . . . . . . . 2.4.3 Middelloonregeling . . . . . . . 2.5 Samenvatting . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

3 Actuari¨ ele aspecten van pensioen 3.1 Het Financieel Toetsingskader . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Technische Voorziening (TV) . . . . . . . . . 3.1.2 Kostendekkende premie . . . . . . . . . . . . 3.1.3 (Minimaal) vereist eigen vermogen . . . . . . 3.1.4 Continu¨ıteitsanalyse . . . . . . . . . . . . . . 3.1.5 Herstelplannen . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Interestrekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Sterftekansberekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Factoren berekenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Factor voor ouderdomspensioen (OP-factor) . 3.4.2 Factor voor nabestaandenpensioen (NP-factor) 3.5 De gemiddelde levensduur . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Samenvatting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

13 14 14 14 15 15 15 15 16 16 16 17 17 18

. . . . . . . . . . . . .

19 19 19 20 20 20 20 21 21 22 23 23 25 25

8

INHOUDSOPGAVE

4 Bestaande modellen voor het opstellen van een prognosetafel 4.1 Prognose van het AG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 De gebruikte data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Het Van Broekhoven algoritme . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Het CRC-model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4 Prognose vs werkelijke cijfers 2004-2007 . . . . . . . . . . 4.2 Prognose van het CBS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Het CBS model 2008-2050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Hart- en vaatziekten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Kwaadaardige nieuwvormingen . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Levensverwachting oude vs nieuwe prognose . . . . . . . 4.3 Prognose volgens het Lee-Carter model . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Het Lee-Carter model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Prognose vs werkelijke cijfers 2006-2007 . . . . . . . . . . 4.4 Conclusie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Analyse van de sterftekansen 1950-2007 5.1 De sterftekansen door de jaren heen . . . 5.2 Spreiding in sterftekansen . . . . . . . . 5.2.1 De verwachte sterftekans . . . . . 5.2.2 Programma voor de simulatie . . 5.2.3 De gesimuleerde sterftekansen . . 5.3 De toekomst van de levensverwachting . 5.4 Conclusie . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

6 Eigen ontwikkelde modellen voor het opstellen 6.1 Het afronden van de data . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Het afrondingsalgoritme . . . . . . . . . 6.1.2 Toelichting op gemaakte keuzes . . . . . 6.2 Voorspellingen op basis van sterftetrend . . . . 6.2.1 Model voor mannen . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Model voor vrouwen . . . . . . . . . . . 6.3 Voorspellingen op basis van generaties . . . . . 6.3.1 Het model . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Conclusie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

41 41 46 46 47 47 49 52

van een prognosetafel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

53 53 54 55 57 57 59 60 61 62

. . . . . .

63 63 63 65 67 69 72

. . . .

73 73 73 74 75

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

7 Plausibiliteit van het eigen ontwikkelde prognosemodel 7.1 Controle van de afronding . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Controle voor mannen . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Controle voor vrouwen . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Controle model op basis van verleden . . . . . . . . . . . . 7.3 Verandering in levensverwachting . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Conclusie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Gevoeligheidsanalyse op de TV 8.1 TV bij gebruik van verschillende 8.1.1 Jong pensioenfonds . . . 8.1.2 Standaard pensioenfonds 8.1.3 Oud pensioenfonds . . .

. . . . . . . . . . . . . .

27 27 27 29 30 32 32 33 34 35 37 39 39 40 40

prognosemodellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

INHOUDSOPGAVE

8.2 8.3 8.4

8.1.4 Samenvatting . . . . . . TV bij gebruik van verschillende TV bij gebruik van verschillende Conclusie . . . . . . . . . . . .

9 . . . . . . . data . . . . rekenrentes . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

76 76 77 78

Conclusie en discussie

79

Bijlagen

85

A Toelichting op enkele begrippen uit het pensioengebouw A.1 De 1e pijler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1.1 WAO, WIA en Wajong . . . . . . . . . . . . . . . . A.1.2 IOAW en IOAZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 De 3e pijler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.1 Lijfrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.2 Kapitaalverzekering . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.3 Arbeidsongeschiktheidsverzekering . . . . . . . . . . A.2.4 Premievrijstelling bij arbeidsongeschiktheid . . . .

85 85 85 86 86 86 86 87 87

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

B Recursieve formule voor OP- en NP factoren

89

C Ervaringssterfte

91

D Simulatie code

93

Bibliografie

95

10

INHOUDSOPGAVE

Hoofdstuk 1 Inleiding Iedereen die in Nederland woont of werkt bouwt pensioen op volgens de Algemene Ouderdomswet (AOW). Daarnaast is het mogelijk om aanvullend pensioen op te bouwen via een levensverzekeraar of pensioenfonds. Het is de taak van de Nederlandse Bank (DNB) om toezicht te houden op deze instellingen. DNB controleert pensioenfondsen op basis van de Pensioenwet (Pw). Om de opgebouwde rechten van deelnemers in de toekomst te kunnen uitkeren reserveert een pensioenfonds geld. De hoogte van de gereserveerde geldsom wordt de Technische Voorziening (TV) genoemd. Ieder pensioenfonds moet zijn verplichtingen kunnen nakomen. Om als pensioenfonds te voldoen aan deze eis is het van belang de waarde van de voorziening nauwkeurig vast te stellen en de risico’s behorende hierbij af te dekken. Door goed toezicht te houden verkleint DNB de kans dat pensioenfondsen en levensverzekeraars in moeilijkheden komen. Toch hebben veel pensioenfondsen momenteel een dekkingstekort, dat wil zeggen te weinig vermogen in verhouding tot de TV, vanwege de economische crisis. Ze hebben een herstelplan ingeleverd bij DNB waarin ze laten zien door welke maatregelen ze over drie jaar uit de financiële problemen zijn. De waarde van een pensioenverplichting is afhankelijk van drie onzekere factoren, namelijk sterfte, inflatie en rente. In deze scriptie zal de nadruk liggen op de onzekerheid met betrekking tot sterfte. Als een deelnemer overlijdt, hoeft zijn ouderdomspensioen in de toekomst niet meer uitgekeerd te worden. Daarentegen als een nabestaandenpensioen verzekerd is en de deelnemer een partner heeft of kinderen jonger dan 18 jaar, dan moet dit nabestaandenpensioen vanaf het moment van overlijden jaarlijks uitgekeerd worden (zolang de partner en kinderen aan bepaalde voorwaarden voldoen). Er spelen dus twee overlijdensrisico’s een rol bij het bepalen van de pensioenverplichting. De onzekerheid over de rente, die elke maand anders is, wordt in deze scriptie aangenomen altijd 4% te zijn. Onzekerheid over inflatie is van toepassing op ge¨ındexeerde verplichtingen. Ook deze onzekere factor wordt buiten beschouwing gelaten. In de berekening voor de pensioenverplichting wordt in deze scriptie dus geen rekening gehouden met indexatie; er wordt uitgegaan van nominale verplichtingen.

1.1

Doel van de scriptie

Aangezien de negatieve gevolgen van onderschatting van het aantal ouderen op bijvoorbeeld de oudedagreserveringen, investeringen in de gezondheidszorg en andere voorzieningen behoorlijk zijn, is onderzoek naar sterftekansen erg belangrijk. Er bestaan reeds veel verschillende modellen voor het voorspellen van sterftekansen. Deze methoden zijn echter niet allemaal even makkelijk te begrijpen en vaak niet makkelijk en dus niet snel te reproduceren. De bedoeling

12

Inleiding

van deze scriptie is om de beschikbare data te analyseren en vervolgens een zo eenvoudig mogelijk model op te stellen dat de sterftekansen zo goed mogelijk kan voorspellen. Daarna worden deze voorspelde sterftekansen vergeleken met de voorspelde sterftekansen van het Actuarieel Genootschap (AG). Ook wordt er gekeken naar de invloed van deze twee verschillende prognoses op de Technische Voorziening (TV) van een pensioenfonds.

1.2

Structuur van de scriptie

Watson Wyatt is onder andere actief op het gebied van pensioenadvisering voor pensioenfondsen en pensioenrecht. Daarom wordt in hoofdstuk 2 eerst besproken uit welke pijlers het pensioengebouw bestaat en op welke manieren er pensioen kan worden opgebouwd. In hoofdstuk 3 wordt uitgelegd wat de rol is van het Financieel Toetsingskader bij het vaststellen van de Technische Voorziening. Ook wordt uitgelegd hoe factoren bepaald kunnen worden waarmee de Technische Voorziening van een pensioenfonds wordt berekend. Aangezien voor de berekening van deze factoren, en dus ook voor de Technische Voorziening, onder andere toekomstige sterftekansen nodig zijn, bestaan er verschillende modellen om sterftekansen mee te voorspellen. In hoofdstuk 4 worden drie van zulke modellen beschreven, namelijk de AG prognose, de CBS prognose en het Lee-Carter model. Ook wordt gekeken hoe goed deze modellen het heden kunnen voorspellen op basis van het verleden. Deze modellen blijken niet eenvoudig te reproduceren. Dit leidt tot het eerste doel van de scriptie, het analyseren en eenvoudig voorspellen van de sterftekansen. Deze analyse gebeurt in hoofdstuk 5. Ook wordt er in dat hoofdstuk gekeken naar de toekomst van de levensverwachting. In hoofdstuk 6 wordt eerst een zelf ontwikkeld afrondingsalgoritme besproken en vervolgens worden de twee zelf ontwikkelde prognosemodellen uitgelegd. Een van deze prognoses, Voorspelling1, wordt gebruikt in deze scriptie en het andere model is een aanbeveling voor verder onderzoek. Maar hoe plausibel is Voorspelling1 eigenlijk? Dit wordt bekeken in hoofdstuk 7 door de afgeronde sterftekansen te vergelijken met de ruwe sterftekansen, maar ook door het heden te voorspellen op basis van het verleden. In hoofdstuk 8 komt het tweede doel van deze scriptie aan bod; de invloed van de verschillende prognoses op de Technische Voorziening van pensioenfondsen. Ook wordt er gekeken naar het verschil in Technische Voorziening als we Voorspelling1 gebruiken met verschillende invoerdata. Tot slot volgt er een conclusie en discussie.

Hoofdstuk 2 Het pensioengebouw Een van de practices bij Watson Wyatt is Benefits, ofwel pensioenactuariaat. Pensioen is een verzamelnaam voor periodieke uitkeringen (meestal maandelijks), die het vroegere salaris vervangen in geval van ouderdom of arbeidsongeschiktheid. In het geval van overlijden is pensioen een vervangend salaris voor de nabestaanden. Het Nederlandse pensioengebouw bestaat uit drie pijlers. Tot de eerste pijler behoren de voorzieningen die door de overheid zijn getroffen. Tot de tweede pijler behoren de voorzieningen die tot stand komen in overleg tussen werkgever en werknemer. Tot de derde pijler behoren de voorzieningen die individueel door iemand getroffen worden als aanvulling op zijn/haar AOW en ouderdomspensioen (zie [1]). Een overzicht hiervan is te zien in het schema in figuur 2.1.

O u d e r d o m

A O W

O u d e r d o m s p e n s io e n

L ijfr e n te K a p ita a lv e r z e k e r in g

O v e r lijd e n

A n w

N a b e s ta a n d e n p e n s io e n

L ijfr e n te K a p ita a lv e r z e k e r in g

A r b e id s o n g e s c h ik t

W

A O /W I A a jo n g I O A W /I O A Z W

A r b p e n P r e a r b

e id s o n g e s c h ik th e id s s io e n m ie v r ijs te llin g b ij e id s o n g e s c h ik th e id

A r b e id s o n g e s c h ik th e id s r e n te P r e m ie v r ijs te llin g b ij a r b e id s o n g e s c h ik th e id

Figuur 2.1: Het 3-pijler systeem

Het totale pensioen bestaat uit de inkomsten van de drie pijlers bij elkaar opgeteld. In dit hoofdstuk zullen de belangrijkste begrippen uit figuur 2.1 worden toegelicht. In deze scriptie ligt de nadruk echter op de tweede pijler, omdat deze pijler werkgerelateerd is. Pensioen uit deze pijler kan bij een pensioenfonds worden ondergebracht. De voorziening die een pensioenfonds dient aan te houden, is gebaseerd op de aanspraken die de deelnemers hebben opgebouwd. De opbouw van deze aanspraken kan op verschillende manieren gebeuren. De drie meest voorkomende pensioenregelingen zijn de eindloonregeling, de middellloonregeling en de beschikbare premieregeling. Ook deze regelingen worden in dit hoofdstuk nader toegelicht.

14

2.1

Het pensioengebouw

De 1e pijler

De AOW en de Anw zijn verplichte verzekeringen voor alle inwoners van Nederland vanaf 15 jaar, werkend of niet werkend. De WAO, WIA en Wajong zijn wetten die recht geven op uitkering in geval van langdurige arbeidsongeschiktheid. Het zijn werknemersverzekeringen. De IOAW en de IOAZ zijn inkomensvoorzieningen voor oudere en gedeeltelijk arbeidsongeschikte werkloze werknemers of gewezen zelfstandigen. Het zijn geen sociale verzekeringen maar voorzieningen. Ze worden niet door premies gefinancierd, maar uit algemene middelen. In deze sectie zullen de begrippen AOW en Anw nader toegelicht worden. Voor een toelichting van de andere begrippen zie bijlage A.

2.1.1

AOW

AOW staat voor algemene ouderdomswet. De AOW is een volksverzekering. Dit betekent dat iedereen die tot de kring van verzekerden behoort, is verzekerd en iedereen moet verplicht over het inkomen premie betalen. Als hoofdregel behoort iemand tot de kring van verzekerden als hij/zij in Nederland woont, maar ook als hij/zij in het buitenland woont en in Nederland een baan heeft. Men spaart echter niet voor zijn/haar eigen AOW, maar men betaalt voor de mensen die al 65 jaar of ouder zijn. Verder geldt dat de AOW is gebaseerd op 50 jaar. Voor elk jaar dat men niet verzekerd is, bijvoorbeeld door te wonen in het buitenland, wordt 2% gekort op de uitkering. Gebaseerd op de 50 verzekerde jaren, is de AOW een bodemvoorziening voor de noodzakelijke kosten van levensonderhoud na het 65e jaar. De AOW garandeert een uitkering op minimumniveau, zodat men geen beroep op de bijstand hoeft te doen. De hoogte van de uitkering is wel afhankelijk van de leefvorm van de AOW’er. Een ongehuwde AOW’er krijgt netto 70% van het nettominimumloon en een gehuwde AOW’er krijgt 50%, zodat hij/zij samen met zijn/haar partner 100% krijgt. Als de partner van een gehuwde AOW’er echter nog geen 65 is dan heeft deze recht op de AOW-toeslag. Indien de partner een baan heeft, dan wordt via een vrijlatingsregeling bepaald hoeveel er gekort moet worden op de toeslag (de 50% voor de partner dus) die de AOW’er voor zijn/haar partner krijgt. De AOW-toeslag verdwijnt overigens vanaf 2015. Op het moment dat een AOW’er overlijdt, stopt de uitkering.

2.1.2

Anw

Anw staat voor algemene nabestaandenwet. Ook dit is, evenals de AOW, een volksverzekering. Iedereen die tot de kring van verzekerden behoort, is dus verzekerd. De Anw wordt gefinancierd door premies. De Anw-premie wordt betaald door alle verzekerden, ongeacht de leeftijd. De Anw dekt het risico van overlijden van de partner (gehuwd of ongehuwd samenwonend) en van de ouders. Het maakt niet uit hoe lang men al verzekerd is, omdat het een risicoverzekering is. De partner heeft echter alleen maar recht op deze uitkering als hij/zij met een ongehuwd kind onder de 18 achterblijft, als hij/zij voor meer dan 45% arbeidsongeschikt is of als hij/zij is geboren voor 1950. Wezen jonger dan 16 jaar hebben recht op een wezenuitkering. Deze uitkering stopt als hij/zij erkend, gewettigd of geadopteerd wordt. Wezen ouder dan 16 jaar hebben recht op een wezenuitkering als ze jonger dan 21 zijn en meer dan 213 klokuren per kwartaal aan school besteden, als ze 16 of 17 zijn en meer dan 45% arbeidsongeschikt zijn of als ze jonger dan 21 zijn en zorg dragen voor een huishouden met minstens één andere wees met wezenuitkering. Verder is het zo dat de nabestaandenuitkering ten hoogste het sociaal minimum voor een alleenstaande bedraagt, dus 70% van het nettominimumloon. Als de nabestaande andere inkomsten heeft, dan wordt via een vrijlatingsregeling bepaald hoeveel er gekort moet worden op de uitkering. Op het moment dat de nabestaande overlijdt, stopt de uitkering.

2.2 De 2e pijler

2.2

15

De 2e pijler

De verzekerde risico’s bij een pensioenregeling zijn de risico’s van ouderdom, overlijden en arbeidsongeschiktheid. De pensioengerechtigden zijn de (gewezen) werknemer, de (gewezen) partner en hun eigen kinderen en pleegkinderen jonger dan 30 jaar. De tweede pijler is werkgerelateerd en een aanvulling op de eerste pijler.

2.2.1

Ouderdomspensioen

Een ouderdomspensioen zorgt bij ouderdom van een(gewezen) werknemer voor een inkomen. Het wordt opgebouwd in de relatie werknemer/werkgever. Als de werknemer de dienstbetrekking met de werkgever beëindigt, betekent dit niet dat hij daardoor zijn opgebouwde pensioenaanspraken verliest. Verder is er geen minimumpensioenleeftijd, maar meestal gaat het op 65 jarige leeftijd in. Uiterlijk dient het op 70-jarige leeftijd in te gaan. Zodra de arbeidswerkzaamheden door pensionering zijn beëindigd, kan geen pensioen meer worden opgebouwd en dient de uitkeringsfase in te treden. Men kan onder bepaalde voorwaarden wel al van het pensioen genieten, terwijl de arbeidswerkzaamheden in die dienstbetrekking nog niet zijn beëindigd. De uitkering van het ouderdomspensioen is levenslang.

2.2.2

Nabestaandenpensioen

Wanneer een werknemer overlijdt dan krijgen zijn nabestaanden op grond van het nabestaandenpensioen een uitkering. Nabestaanden zijn de partner van de werknemer en eventuele kinderen. De hoogte van de uitkering is voor beide categorieën verschillend. Het partnerpensioen is maximaal 70% van het ouderdomspensioen. Een ex-echtgenoot of ex-partner kan ook aanspraak maken op het partnerpensioen. Hij/zij krijgt dan een zodanige premievrije aanspraak op het partnerpensioen als de werknemer ten behoeve van de gewezen partner zou hebben verkregen indien op het tijdstip van de scheiding zijn deelneming aan de pensioenregeling zou zijn beëindigd. Soms bevat een pensioenregeling een bepaling op grond waarvan een partnerpensioen eindigt op het moment dat de partner hertrouwt. Op het moment dat het ouderdomspensioen al is ingegaan en de huidige partner overlijdt of er een echtscheiding plaatsvindt, dan kan een eventuele nieuwe partner geen aanspraak meer maken op het nabestaandenpensioen. Het wezenpensioen wordt direct na het overlijden uitgekeerd aan de kinderen van de overledene. Over het algemeen eindigt het wezenpensioen op 18-jarige leeftijd. Wanneer een kind nog studeert of arbeidsongeschikt is dan kan het wezenpensioen doorlopen tot 30-jarige leeftijd. Het wezenpensioen bedraagt maximaal 14% van het ouderdomspensioen.

2.2.3

Arbeidsongeschiktheidspensioen

Als een werknemer langer dan een jaar arbeidsongeschikt is, vindt een uitkering op grond van het arbeidsongeschiktheidspensioen plaats. De maximale hoogte van de uitkering is niet wettelijk bepaald, maar wordt overgelaten aan wat naar maatschappelijke opvattingen redelijk wordt geacht. De hoogte wordt ook bepaald door de mate van arbeidsongeschiktheid. Een arbeidsongeschiktheidspensioen heeft voornamelijk betekenis voor werknemers met een loon boven het maximum premieloon voor de werknemersverzekeringen. Op het moment dat de werknemer weer arbeidsgeschikt wordt verklaard, dan wel bij het behalen van de pensioenleeftijd als ook op het moment van overlijden, wordt het arbeidsongeschiktheidspensioen stopgezet.

16

Het pensioengebouw

Premievrijstelling bij arbeidsongeschiktheid kan worden verzekerd. Deze dekking zorgt ervoor dat bij arbeidsongeschiktheid de opbouw van het ouderdomspensioen gewoon doorgaat.

2.3

De 3e pijler

Ook bij deze verzekeringen kan weer een onderscheid gemaakt worden tussen een uitkering bij ouderdom, bij overlijden en bij arbeidsongeschiktheid. Bij deze pijler behoren de voorzieningen die iemand extra kan opbouwen bovenop het pensioen uit de eerste twee pijlers. Het verschil tussen deze voorzieningen en de voorzieningen uit de eerste twee pijlers is de manier waarop er belasting wordt geheven. Een ander verschil is dat de nabestaande in deze pijler iedere persoon kan zijn. Het hoeft dus geen gezinslid te zijn. In bijlage A zijn de belangrijkste voorzieningen toegelicht.

2.4

De verschillende pensioenregelingen

Een pensioenfonds moet genoeg voorziening aanhouden om de opgebouwde aanspraken van de deelnemers in de toekomst te kunnen uitkeren. De opbouw van deze aanspraken kan op verschillende manieren gebeuren. Deze manier van opbouwen wordt vastgelegd in de pensioenregeling. Een pensioenregeling kan als een van de belangrijkste secundaire arbeidsvoorwaarden worden beschouwd. De inhoud van een pensioenregeling is bepalend voor het pensioensysteem dat zal worden toegepast. Er zijn drie soorten pensioenovereenkomsten, namelijk • premieovereenkomst (hierbij is de ingelegde premie gegarandeerd) • uitkeringsovereenkomst (hierbij is de uitkering vooraf gegarandeerd) • kapitaalovereenkomst (hierbij is het verzekerd kapitaal gegarandeerd) De drie meest voorkomende pensioenregelingen zijn de beschikbare premieregeling, de eindloonregeling en de middelloonregeling. De eindloon- en middelloonregeling zijn beide uitkeringsovereenkomsten.

2.4.1

Beschikbare premieregeling

Bij een beschikbare premieregeling is niet de pensioenuitkomst de maatstaf maar vormen de premies het uitgangspunt van de pensioentoezegging. Er is sprake van een premieovereenkomst. De premie hangt af van factoren zoals leeftijd, carrière- en salarisverloop. Een te verwachten pensioen op basis van een beschikbare premieregeling mag niet hoger zijn dan een pensioen op basis van een eindloonregeling. Een voordeel van een beschikbare premieregeling is dat gestreefd wordt naar een volwaardige pensioenopbouw van 70% van het eindloon. Een ander voordeel is dat men bijvoorbeeld alleen een ouderdomspensioen verzekert in plaats van een ouderdomspensioen én een nabestaandenpensioen. Een nadeel is dat voor oudere werknemers die laat carrière maken, maar ook bij een hoge inflatie, het kan voorkomen dat er geen volwaardige pensioenopbouw plaatsvindt. Andere nadelen kunnen zijn tegenvallende rendementen en de hoogte van de rekenrente op het moment dat een werknemer zijn pensioen wil laten ingaan.

2.4 De verschillende pensioenregelingen

2.4.2

17

Eindloonregeling

Bij een eindloonregeling wordt per dienstjaar vanaf de datum van indiensttreding of vanaf de startdatum van de regeling, een vast percentage aan pensioen opgebouwd van de laatst geldende pensioengrondslag. De pensioengrondslag is gelijk aan een jaarsalaris verminderd met de franchise. De franchise is een bepaald bedrag waarover je geen pensioen opbouwt, omdat je al een AOW-uitkering krijgt zodra je 65 jaar wordt. Over elke toekomstige verhoging van de pensioengrondslag worden daarom pensioenaanspraken toegekend over alle achterliggende dienstjaren vanaf de datum van indiensttreding respectievelijk vanaf de startdatum van de regeling, backservice genoemd, maar ook over alle toekomstige dienstjaren, comingservice genoemd. De hoogte van het bereikbare ouderdomspensioen hangt dus af van het salaris dat de deelnemer op de pensioendatum heeft. Dit is te zien in figuur 2.2.

Figuur 2.2: Eindloonregeling De maximale opbouw van pensioen bij een eindloonregeling is 2% van de pensioengrondslag per jaar. Een voordeel van de eindloonregeling is dat een salarisverhoging invloed heeft op het al opgebouwde deel. Over de voorgaande jaren worden de pensioenaanspraken namelijk verhoogd, zodat de pensioenaanspraak gelijk blijft aan de 70% van de pensioengrondslag.

2.4.3

Middelloonregeling

Een middelloonregeling wordt ook wel een gemiddelde salarisregeling of opbouwregeling genoemd. In dit systeem wordt per dienstjaar vanaf de datum van indiensttreding of vanaf de startdatum van de regeling, een vast percentage aan pensioen opgebouwd van de in dat jaar geldende pensioengrondslag. Het op de pensioendatum uit te keren pensioen wordt berekend door het in ieder dienstjaar opgebouwde pensioen (verhoogd met eventuele indexaties) bij elkaar op te tellen. Dit is te zien in figuur 2.3.

Figuur 2.3: Middelloonregeling De maximale opbouw van pensioen bij een middelloonregeling is 2,25% van de pensioengrondslag per jaar. Een salarisverhoging bij een middelloonregeling heeft geen gevolgen voor het al opgebouwde pensioen, maar wel voor het nog op te bouwen pensioen. Afhankelijk van de

18

Het pensioengebouw

regeling worden de opgebouwde aanspraken jaarlijks verhoogd met een indexatie. Werknemers met een sterk stijgend salaris zijn met een middelloonregeling minder goed af dan met een eindloonregeling.

2.5

Samenvatting

In dit hoofdstuk hebben we gezien dat het Nederlandse pensioengebouw bestaat uit drie pijlers. De AOW samen met het opgebouwde ouderdomspensioen en een eventuele extra opgebouwde voorziening uit de derde pijler is het pensioen. De manier hoe een pensioen uit de tweede pijler wordt opgebouwd ligt vast in de pensioenregeling die is overeengekomen tussen werknemer en werkgever. De werkgever heeft weer een overeenkomst met een pensioenfonds (of verzekeraar) die de door de werknemer betaalde pensioenpremie in ontvangst neemt. Op deze manier bouwt een deelnemer bij het pensioenfonds pensioenaanspraken op. Voor deze opgebouwde aanspraken dient een pensioenfonds genoeg geld te reserveren om in de toekomst te kunnen uitkeren. De hoogte van de gereserveerde geldsom wordt de Technische Voorziening (TV) genoemd. Hoe deze voorziening wordt vastgesteld en aan welke eisen deze moet voldoen, zal worden uitgelegd in het volgende hoofdstuk.

Hoofdstuk 3 Actuari¨ ele aspecten van pensioen In het vorige hoofdstuk zijn de drie pijlers besproken waaruit het pensioen bestaat en de drie mogelijke pensioenregelingen die de manier van pensioenopbouw vastleggen. Het pensioen is namelijk onderworpen aan bepaalde regels die vermeld zijn in de Pensioenwet. Het Financieel Toetsingskader (FTK) is verankerd in deze pensioenwet. Het bevat nadere uitleg van de begrippen en verplichtingen die in de pensioenwet worden gesteld. Een pensioenfonds is verplicht op elk moment genoeg bezittingen te hebben om aan de verplichtingen te kunnen voldoen. Bij de berekening van deze verplichtingen, de Technische Voorziening, worden onder andere rente en sterftekansen gebruikt. In dit hoofdstuk zal worden uitgelegd hoe de voorziening berekend wordt; namelijk met behulp van factoren die afhangen van rente en sterfte.

3.1

Het Financieel Toetsingskader

Het doel van het Financieel Toetsingskader, FTK genoemd, is het bereiken van meer transparantie en betere vergelijkbaarheid van financiële kerngegevens van instellingen. Bovendien sluit het toezicht op deze wijze beter aan bij de internationale ontwikkelingen in de financiële wereld op het gebied van risicobeheer en verslaglegging. In het besluit FTK komen de volgende onderwerpen voor: • technische voorzieningen • kostendekkende premie • (minimaal) vereist eigen vermogen • continu¨ıteitsanalyse • herstelplannen

3.1.1

Technische Voorziening (TV)

De Technische Voorziening (TV) moet minstens voldoende zijn om de opgebouwde onvoorwaardelijke rechten te dekken. De rente die moet worden gehanteerd bij het vaststellen van deze voorziening is de actuele rentetermijnstructuur die DNB maandelijks publiceert. Voor de sterfte dient het pensioenfonds rekening te houden met de verwachte stijging van de overlevingskansen. Daarom heeft het AG een prognosetafel 2005-2050 opgesteld, waarin deze verwachte stijging al is verwerkt. Er hoeft vervolgens geen rekening gehouden te worden met onzekerheden rond de verwachtingen. Een buffer voor deze onzekerheden maakt deel uit van het vereist eigen vermogen dat fondsen moeten aanhouden. Watson Wyatt gebruikt de rentetermijnstructuur van DNB en de prognosetafel van het AG.

20

3.1.2

Actuari¨ ele aspecten van pensioen

Kostendekkende premie

De kostendekkende premie is gelijk aan de actuarieel benodigde premie voor de inkoop van de onvoorwaardelijke onderdelen van de pensioentoezegging. De kostendekkende premie moet worden vastgesteld op basis van de sterftegrondslagen die ook voor de TV worden gehanteerd. De rekenrente kan wel afwijken van de rekenrente bij de TV. Een consequentie van het FTK is dus dat de kostendekkende premie van jaar tot jaar kan variëren.

3.1.3

(Minimaal) vereist eigen vermogen

Een pensioenfonds is verplicht op elk moment genoeg bezittingen te hebben om aan de verplichtingen te kunnen voldoen. Het totale minimaal vereist eigen vermogen moet 5% van de TV zijn. Dit wordt een dekkingsgraad van 105% genoemd. Als een pensioenfonds een dekkingsgraad van minder dan 105% heeft, dan spreekt men van een dekkingstekort. Daarnaast moet er een extra buffer aan eigen vermogen aanwezig zijn. Deze buffer plus het minimaal vereist eigen vermogen wordt het vereist eigen vermogen genoemd. Zo wordt met 97,5% zekerheid voorkomen dat het pensioenfonds binnen een periode van een jaar over minder waarden beschikt dan de TV. De hoogte van het vereist eigen vermogen in de evenwichtssituatie is afhankelijk van het risicoprofiel van het fonds. Het vereist eigen vermogen verschilt dus per pensioenfonds. Stel een fonds moet een vereist eigen vermogen van 17% van de TV hebben. Dan betekent dit dat het fonds een dekkingsgraad van minimaal 117 % moet hebben. Als het pensioenfonds dan een dekkingsgraad van minder dan 117% heeft, spreekt men van een reservetekort.

3.1.4

Continu¨ıteitsanalyse

Bij de continu¨ıteitsanalyse wordt getoetst of de risico’s op lange termijn (15 jaar) zich binnen de geldende risiconormen bevinden. Deze toets is vooral bedoeld om inzage te krijgen in de financiële opzet van de instelling en om de kapitaaltoereikendheid te toetsen.

3.1.5

Herstelplannen

Indien het eigen vermogen van een pensioenfonds lager is dan het vereist eigen vermogen maar hoger dan het minimaal eigen vermogen, dus bij een reservetekort, moet het pensioenfonds binnen drie maanden een langetermijn herstelplan indienen bij DNB. Dit herstelplan geeft aan hoe het pensioenfonds binnen de maximale termijn van 15 jaar zal gaan voldoen aan de eis van het vereist eigen vermogen. Indien het eigen vermogen van een pensioenfonds lager is dan het minimaal vereist eigen vermogen, dus bij een dekkingstekort, moet het pensioenfonds binnen twee maanden een kortetermijn herstelplan indienen bij DNB. Uit dit plan moet blijken hoe het pensioenfonds binnen drie jaar het eigen vermogen zal laten toenemen tot minstens het minimaal vereist eigen vermogen. Momenteel zitten we midden in de kredietcrisis, waardoor de nominale rentetermijnstructuur, maar ook de aandelenkoersen, de afgelopen tijd flink zijn gedaald. Dit houdt in dat veel pensioenfondsen een reservetekort, of zelfs een dekkingstekort hebben. Vanwege deze extreme situatie wordt door DNB onder bepaalde voorwaarden toegestaan om pas na vijf jaar uit dekkingstekort te geraken.

3.2 Interestrekening

3.2

21

Interestrekening

Vanaf het moment dat een pensioenfonds een premie of koopsom ontvangt, houdt dit het geld natuurlijk niet passief vast. Het geld wordt belegd waardoor een rendement, ook wel rente of interest genoemd, wordt behaald. Indien deze rente niet wordt opgenomen, maar weer opnieuw wordt belegd, dan zal ook over deze rente weer rente gegenereerd worden. Op deze manier groeit het startkapitaal in de tijd steeds sneller. Dit effect wordt ook wel rente op rente ofwel samengestelde interest genoemd. Het rendement dat het pensioenfonds veronderstelt te behalen wordt de rekenrente genoemd. Deze rekenrente wordt bepaald aan de hand van de nominale rentetermijnstructuur op dat moment (maandelijks gepubliceerd door DNB) en verschilt dus per maand. Deze schommelingen in rekenrente hebben grote invloed op de TV van een pensioenfonds. Een pensioenfonds kan deze schommelingen echter hedgen. Hedgen wil zeggen het afdekken van de beleggingsrisico’s door middel van termijncontracten, zoals bijvoorbeeld swaptions. Dat zijn opties om in de toekomst een swap (derivaat waarbij een partij een bepaalde kasstroom of risico wisselt tegen dat van een andere partij) tegen een bepaald renteniveau. Dat betekent dat je bent gevrijwaard van de gevolgen van een mogelijke rentedaling beneden dit niveau. Dat kost natuurlijk wel premie (zie [2]). Aangezien steeds meer fondsen ervoor kiezen om dit renterisico af te dekken wordt het sterfterisico steeds belangrijker.

3.3

Sterftekansberekening

Pensioenen zijn gekoppeld aan personen, die elk jaar met een bepaalde kans blijven leven dan wel overlijden. Factoren die invloed hebben op deze overlevingskansen/sterftekansen, zowel positief als negatief, zijn: • ontwikkelingen op medisch en genetisch gebied • ontwikkelingen in het gedrag en de levenswijze • ontwikkelingen in het milieu • ontstaan van nieuwe ziekten • calamiteiten Voor de bepaling van het sterftepatroon maakt het pensioenfonds gebruik van overlevingstafels. Er zijn twee verschillende soorten overlevingstafels, periodetafels en generatietafels. Periodetafels zijn ééndimensionale tafels, dat wil zeggen één kolom met voor iedere leeftijd een bepaalde sterftekans. Generatietafels zijn tweedimensionale tafels, dat wil zeggen dat voor elke leeftijd de sterftekans per geboortejaar wordt weergegeven. Generatietafels bieden naast waarnemingen uit het verleden ook de mogelijkheid om toekomstige ontwikkelingen mee te nemen. In dat geval wordt gesproken van prognosetafels. Tegenwoordig gebruikt men prognosetafels bij het opstellen van een TV, vanwege de nadelen van de traditionele overlevingstafels, zoals de Gehele Bevolking Mannen (GBM) en Gehele Bevolking Vrouwen (GBV). Dit zijn periodetafels en die houden dus geen rekening met de ontwikkeling van de sterftekansen in de toekomst, terwijl dit wel van belang is voor een verantwoorde vaststelling van de TV. Een ander punt is dat zowel de periode- als de prognosetafels worden berekend op basis van cijfers van de gehele bevolking. Uit onderzoeken is echter gebleken dat de sterfte onder verzekerden lager ligt dan de sterfte onder de gehele bevolking. Bij Watson Wyatt wordt daarom gewerkt met ervaringssterfte. Ervaringssterfte houdt in dat de sterftekans van een θjarige uit de prognosetafel vermenigvuldigd wordt met een bepaald percentage behorende bij

22


leeftijd θ en geslacht. Door deze ervaringssterfte toe te passen, wordt de sterftekans verlaagd met als gevolg dat de resterende levensduur hoger is. Zie bijlage C voor de percentages van de gebruikte ervaringssterfte.

3.4

Factoren berekenen

Om te bepalen hoe groot de TV van een pensioenfonds moet zijn, wordt gebruik gemaakt van factoren die afgeleid zijn van sterftekansen en rekenrente. Met behulp van deze factoren kun je berekenen wat de contante waarde van een opgebouwde aanspraak is. De contante waarde is de waarde op dit moment. Deze heb je onder de aangenomen rekenrente en sterftekansen nodig om de toekomstige uitkeringen die voortvloeien uit de opgebouwde aanspraak te doen. De rekenrente is het rentepercentage dat je elk jaar over het ingelegde bedrag krijgt. Dit kan een vast, maar ook een variabel percentage zijn. Een pensioenuitkering is een periodieke uitkering. Een reeks van periodieke betalingen wordt ook wel aangeduid met annu¨ıteit. Wanneer de periodieke betalingen aan het begin van elk jaar plaatsvinden dan spreekt men van een prenumerando annu¨ıteit. Als de periodieke betalingen aan het eind van elk jaar plaatsvinden dan spreekt men van een postnumerando annu¨ıteit. Laten we eerst nog een paar definities geven: • x = leeftijd man • y = leeftijd vrouw • px = P(x-jarige man wordt x + 1 jaar) = overlevingskans van een man op leeftijd x • t px = px · px+1 · . . . · px+t−1 = t-jarige overlevingskans van een man op leeftijd x • qx = 1 − px = sterftekans van een man op leeftijd x • t qx = 1 − t px =

t X

z px qx+z

z=0

• i = rentepercentage/100 • v=

1 1+i

¨x = direct ingaande levenslange prenumerando gelijkblijvende uitkering • a • ax = direct ingaande levenslange postnumerando gelijkblijvende uitkering voor de man • a ¯x = direct ingaande levenslange continue gelijkblijvende uitkering voor de man ¨xy = direct ingaande prenumerando gelijkblijvende uitkering zolang de man én de vrouw • a in leven zijn • a ¨x|y = ingaande prenumerando gelijkblijvende uitkering vanaf het moment dat de man overlijdt, zolang de vrouw leeft ¨x,m = prenumerando gelijkblijvende uitkering gedurende m jaar voor de man • a • n |¨ ax = prenumerando levenslange gelijkblijvende uitkering n jaar uitgesteld voor de man Als we in bovenstaande definities x en y verwisselen, dan heeft men de definities voor de vrouw. Uiteraard moet dan in de definitie ook ’man’ door ’vrouw’ worden vervangen en vice versa.

3.4 Factoren berekenen

3.4.1

23

Factor voor ouderdomspensioen (OP-factor)

De totale voorziening die een pensioenfonds verplicht dient aan te houden, wordt bepaald op basis van de individuele voorzieningen. Deze individuele voorziening wordt onder andere berekend door voor elke persoon de opgebouwde aanspraak op ouderdomspensioen te vermenigvuldigen met de bijbehorende factor, waardoor je de contante waarde bepaalt. Met andere woorden je maakt de opgebouwde aanspraak contant. Voor iedere persoon die nog niet met pensioen is wordt dus de 65−x |¨ ax ofwel 65−y |¨ ay berekend (uitgaande van een pensioenleeftijd van 65 jaar) en voor iedere persoon die wel al met pensioen is de a ¨x ofwel a ÿ . Dit zijn dan de OP-factoren. Dit kun je als volgt beredeneren. Stel men wil weten wat men als 60-jarige in moet leggen om vanaf 65 jaar elk jaar 1 euro aan pensioen te krijgen. Dan hebben we dus de factor nodig die hoort bij een 60-jarige. Met behulp van deze factor berekenen we dan de zogenoemde contante waarde. Die 1 euro kunnen we namelijk contant maken door rekening te houden met de rente die men nog gedurende 5 jaar over het ingelegde bedrag krijgt. Als iemand 60 is en hij wil op 1 zijn 65e 1 euro ontvangen, dan hoeft hij maar (1+i) 5 in te leggen op zijn 60e. Bovendien moet de persoon in kwestie ook nog die jaren overleven. Je krijgt dus 1 euro op je 65e met kans p60 · p61 · p62 · p63 · p64 =5 p60 en 1 euro op je 66e met kans p60 · p61 · p62 · p63 · p64 · p65 =6 p60 , etc. Op deze manier volgt er dus de volgende formule voor de berekening van de factor: 5 p60

(1 + i)5

+

6 p60

(1 + i)6

+

7 p60

(1 + i)7

+. . . . . . =

∞ X

v t t p60 = 65−60 |¨ ax = 5 |¨ ax = OP-factor 60-jarige man

t=65−60

In het algemeen geldt voor een x-jarige man (zie [3]): Factor OP x-jarige man =

ax 65−x |¨

= a ¨x − a ¨x,65−x 65−x−1 ∞ X X v t t px v t t px − = =

t=0 ∞ X

t=0

v t t px

t=65−x

Als we in bovenstaande formules x en y zouden verwisselen, dan vinden we de formule voor de OP-factor van de vrouw.

3.4.2

Factor voor nabestaandenpensioen (NP-factor)

De totale voorziening die een pensioenfonds verplicht dient aan te houden, wordt bepaald op basis van de individuele voorzieningen. Deze individuele voorziening wordt onder andere berekend door voor elke persoon de opgebouwde aanspraak op nabestaandenpensioen te vermenigvuldigen met de bijbehorende factor, waardoor de contante waarde wordt bepaalt. Met andere woorden je maakt de opgebouwde aanspraak contant. Als je aanneemt dat iedere persoon een partner heeft van het andere geslacht, dan wordt voor iedere persoon de a ¨x|y ofwel a ÿ|x berekend. Dit zijn de NP-factoren. Dit kun je als volgt beredeneren. Stel men wil weten wat men als 60 jarige in moet leggen zodat zodra hij overlijdt zijn even oude vrouw direct 1 euro krijgt. Dan hebben we dus weer de factor nodig die hoort bij een 60 jarige. Alleen kijken we nu per jaar. Elk jaar heeft de man namelijk een kans om te overlijden en vanaf dan krijgt de vrouw de uitkering zolang als zij nog

24


leeft. Als de man meteen overlijdt, dus op zijn 60e, dan krijgt de vrouw direct 1 euro en ook de jaren erna krijgt ze 1 euro op voorwaarde dat ze dus nog leeft. Die ene euro die ze op haar 1 61e krijgt kun je nu weer contant maken, want er is maar 1+i nodig op haar 60e om op haar 61e die ene euro te kunnen betalen. Maar het kan ook zo zijn dat de man zijn 60e overleeft en op zijn 61e sterft. In dat geval moet de vrouw ook haar 60e overleven en dan krijgt ze op 1 haar 61e die 1 euro uitbetaald. Alleen hoefde hiervoor maar 1+i ingelegd te zijn. Uiteindelijk krijgen we dan de volgende formule: py=60 2 py=60 3 py=60 + + + . . . . . .) 2 (1 + i) (1 + i) (1 + i)3 py=60 3 py=60 2 py=60 + + . . . . . .) +px=60 qx=61 ( + 2 (1 + i) (1 + i) (1 + i)3 2 py=60 3 py=60 +2 px=60 qx=62 ( + + . . . . . .) + . . . . . . . . . 2 (1 + i) (1 + i)3 ∞ ∞ X X = v z z py=60 t px=60 q(x=60)+t qx=60 (1 +

t=0

=

∞ X ∞ X

z=t t px=60

q(x=60)+t v z z py=60

t px=60

q(x=60)+t v z z py=60

z px=60

q(x=60)+z v t t py=60

t=0 z=t

= = =

∞ X z X z=0 t=0 ∞ X t X

t=0 z=0 ∞ t X X t v t py=60 z px=60 t=0 z=0

q(x=60)+z

= a ¨x=60|y=60 = NP-factor 60-jarige man als partner een 60-jarige vrouw In het algemeen geldt voor een x-jarige man met een y-jarige partner (zie [3]): Factor NP x-jarige man met een y-jarige vrouw = a ¨x|y = a ÿ − a ¨xy ∞ ∞ X X = v t t py − v t t px t py t=0

= = =

∞ X t=0 ∞ X t=0 ∞ X t=0

t=0

v t t py (1 − t px ) v t t p y t qx t

v t py

t X

z px

qx+z

z=0

Als we in bovenstaande formule x en y verwisselen, dan vinden we de formule voor de NP-factor van de vrouw met een mannelijke partner.

3.5 De gemiddelde levensduur

25

Voor het numeriek berekenen van de factoren wordt het programma Excel gebruikt. Om de formules voor de OP- en NP-factoren makkelijk te kunnen invoeren in Excel is het beter om een recursieve formule te gebruiken. In bijlage B wordt uitgelegd hoe deze recursieve formule wordt opgesteld.

3.5

De gemiddelde levensduur

Een manier om te weten te komen hoe lang pensioen gemiddeld uitgekeerd moet worden, is door te kijken naar het gemiddeld aantal nog te leven jaren als iemand nu θ jaar oud is. Laten we beginnen met de levensduur van een 0-jarige. Definieer Nθ,θ+j als het aantal jaren dat een nu θ jarige de komende j jaar in leven is. We weten dat P(0-jarige wordt 1 jaar) = p0 . Er geldt nu dat E[N0,1 ] = 1 · p0 + 0 · (1 − p0 ) = p0 E[N0,2 ] = 2 · 2 p0 + 1 · 1 p0 · (1 − 1 p1 ) = 2 p0 + 1 p0 E[N0,3 ] = 3 · 3 p0 + 2 · 2 p0 · (1 − 1 p2 ) + 1 · 1 p0 · (1 − 1 p1 ) = 3 p0 + 2 p0 + 1 p0 .. . E[N0,j ] = j p0 + j−1 p0 + . . . . . . + 2 p0 + 1 p0 Stel dat we aannemen dat vanaf 126 jaar de overlevingskans nul is, dus p126 = p127 = . . . = 0. Voor een θ-jarige is de gemiddelde levensduur als volgt te berekenen: E[Nθ,126 ] = 126 pθ + 125 pθ + 124 pθ + . . . . . . + 1 pθ + 0 pθ Dit komt overeen met een direct prenumerando uitkering voor een θ-jarige en een P∞ ingaande 1 t rente van 0%. Immers a ¨θ = t=0 v t pθ met v = 1+i . Als i = 0, dan is E[Nθ,∞ ] = a ¨θ =

∞ X

t pθ .

t=0

Als we nu θ = 65 nemen dan kunnen we ’het gemiddeld aantal jaar dat een pensioen uitgekeerd moet worden’ berekenen.

3.6

Samenvatting

In dit hoofdstuk hebben we gezien dat in het FTK is opgenomen aan welke eisen een pensioenfonds moet voldoen. Zo moet een fonds een TV aanhouden. Daarbovenop moeten ze bijvoorbeeld nog een vereist eigen vermogen (circa 17% van de TV) in kas hebben. Voor de berekening van deze TV zijn factoren nodig. Deze factoren hangen af van zowel de rekenrente als de sterftekansen. Voor de rente moet de actuele rentetermijnstructuur (vastgesteld door DNB) worden gebruikt en voor sterfte de AG prognosetafel 2005-2050. Er mag ook een andere overlevingstafel worden gebruikt, mits deze een gelijke of hogere TV vaststelt als bij gebruik van de AG prognosetafel. In het volgende hoofdstuk zal worden uitgelegd hoe de prognosetafel van het AG is opgesteld. Verder zullen er nog twee andere bekende prognoses worden besproken, zoals de prognose van het CBS en de prognose op basis van het Lee-Carter model.

26


Hoofdstuk 4 Bestaande modellen voor het opstellen van een prognosetafel Overlevingstafels worden in actuariële kring gehanteerd als basis voor de berekening van voorzieningen voor pensioenaanspraken, verzekeringsverplichtingen en prijzen van verzekeringsproducten. Voor de berekening van de TV gebruikt Watson Wyatt de prognosetafel van het Actuarieel Genootschap (AG). In dit hoofdstuk wordt uitgelegd welke data en welk model het AG gebruikt voor het opstellen van hun prognose. Een ander bekend model is het prognosemodel van het CBS. Zij maken bij hun voorspelling gebruik van doodsoorzaken. In de Verenigde Staten wordt het Lee-Carter model gebruikt om sterftekansen te voorspellen. Ook deze twee prognosemodellen zullen in dit hoofdstuk worden toegelicht.

4.1

Prognose van het AG

Het AG stelde in het verleden elke vijf jaar de periodetafels Gehele Bevolking Mannen (GBM) en Gehele Bevolking Vrouwen (GBV) op. Deze waren gebaseerd op de waarnemingen van vijf opeenvolgende jaren. In 2003 kwam bijvoorbeeld GBM/GBV 1995-2000 uit. Watson Wyatt gebruikte deze tafels, echter met toepassing van enkele correcties. Zo verhoogde Watson Wyatt voor sommige fondsen de TV met een jaarlijkse opslag om alvast te anticiperen op een nieuwe overlevingstafel. Uit het verleden bleek namelijk dat de TV op basis van twee opeenvolgende periodetafels circa 1,25% scheelt. Na bijvoorbeeld twee (van de vijf) jaar werd dan de TV verhoogd met 0,5%. Verder gebruikte Watson Wyatt voor iedere deelnemer een leeftijdsterugstelling van bijvoorbeeld drie jaar voor mannen en één jaar voor vrouwen, omdat de beroepsbevolking een hogere levensverwachting heeft dan de totale bevolking. In plaats van deze leeftijdsterugstelling gebruiken ze nu de ervaringssterfte. Als correctie voor de daling in sterftekansen maakt het AG nu prognosetafels (generatietafels) in plaats van periodetafels. Deze prognose heeft als uitgangspunt de GBM/GBV 2000-2005. Voor de berekening van de GBM/GBV rond het AG de ruwe sterftekansen van het CBS af met behulp van het Van Broekhoven algoritme, zie sectie 4.1.2. Tot slot wordt met behulp van het CRC-model, zie sectie 4.1.3, een prognose opgesteld.

4.1.1

De gebruikte data

De basisgegevens voor de GBM/GBV zijn afkomstig van het Centraal Bureau voor de Statistiek (CBS). De door het CBS gebruikte gegevens zijn:

28

Bestaande modellen voor het opstellen van een prognosetafel

• leeftijd van het aantal levenden per geslacht die op 1 januari zijn opgenomen in de GBA (Gemeentelijke Basis Administratie) • het aantal sterfgevallen van de in de GBA opgenomen personen • het migratiesaldo • overige correcties De afgeronde kansen die het AG gebruikt voor het opstellen van de prognosetafel zijn gebaseerd op de ruwe sterftekansen van het CBS. Het CBS berekent rechtstreeks deze ruwe sterftekansen uit de waargenomen aantallen overledenen en overlevenden in de periode die in beschouwing wordt genomen. In de berekening neemt het CBS ook migratie en een correctie mee. Dit gaat als volgt: Definieer T Bt (totale bevolking) =

t+2 X

# mensen van leeftijd θ op 1 januari in jaar j

j=t−2

OBt (overleden bevolking) =

t+2 X

# overleden mensen van leeftijd θ gedurende jaar j

j=t−2

M St (migratiesaldo) =

t+2 X

# migranten van leeftijd θ gedurende jaar j

j=t−2

OBgt (generatie) =

t+2 X

# overleden mensen van leeftijd θ in jaar j uit generatie (j − θ)

j=t−2

M Sgt (generatie) =

t+2 X

# migranten van leeftijd θ gedurende jaar j uit generatie (j − θ)

j=t−2

De formule die het CBS hanteert voor de berekening van de sterftekansen is nu als volgt: Sterftekans leeftijd θ in jaar (t) =

OBt T Bt + OBgt − 0, 5 · M Sgt + 0, 25 · M St

Deze formule is echter niet helemaal correct. De correctie 0, 25 · M St is tegenwoordig niet meer goed. Het CBS gebruikte deze term omdat ze in het verleden geen splitsing van leeftijden in geboortejaren hadden. Nu hebben ze dat wel, dus hoort die term er eigenlijk niet meer in thuis. Het CBS weet dit, maar vanwege de consistentie houden ze het toch nog aan. De termen OBgt en M Sgt zijn vanwege deze geboortejaren. Gedurende jaar t zijn namelijk de mensen uit twee verschillende generaties θ jaar oud. De immigratie in jaar t zit in de bevolkingscijfers van 1 januari van jaar t+1. Echter in jaar t lopen de immigranten het risico te overlijden. Dit gebeurt gemiddeld genomen gedurende een half jaar, vandaar de factor 0,5 voor M Sgt . Verder wordt een gemiddelde genomen over 5 jaar zodat het effect van afzonderlijke jaren wat kleiner wordt. Op deze manier voorkomt men dus te sterke fluctuaties van de sterftekansen per kalenderjaar als er in een bepaald jaar bijvoorbeeld een extreme winter of zomer of een griepepidemie is geweest.

4.1 Prognose van het AG

4.1.2

29

Het Van Broekhoven algoritme

We weten nu hoe het AG aan de ruwe sterftekansen komt. Deze ruwe kansen vertonen echter nog een onregelmatig verloop, vooral op hoge leeftijden. Een dergelijk verloop is voor actuariële doeleinden ongewenst. We willen namelijk dat op hoge leeftijd de sterftekans van een θ-jarige kleiner is dan de sterftekans van een (θ + 1)-jarige. Bij de ruwe cijfers is dit niet altijd het geval. Daarom worden de ruwe sterftekansen door het AG afgerond met behulp van het Van Broekhoven algoritme, zie [4]. De doelstellingen van deze afronding zijn als volgt: • minimaliseren van de kwadratische afwijking tussen de ruwe en de afgeronde sterftekansen • de met de afgeronde sterftekansen berekende gemiddelde levensduur wijkt niet of nauwelijks af van de met de ruwe sterftekansen berekende levensduur • over het gehele leeftijdsbereik wordt een goede fit bereikt tussen de ruwe en de afgeronde sterftekansen. Definieer nu: • qrθ = de ruwe sterftekansen voor leeftijd θ • qθ = de met het Van Broekhoven algoritme afgeronde sterftekansen voor leeftijd θ Om de ruwe data glad te strijken wordt de kleinste kwadraten methode gebruikt. De kleinste kwadraten methode wordt echter niet direct op de ruwe sterftekansen toegepast, maar op een transformatie daarvan, aangeduid met f r(θ) = ln[− ln(1 − qrθ )]. Het algoritme bepaalt vervolgens m X [f (θ + k) − f r(θ + k)]2 , min A,B,C

k=−m

waarbij het AG veronderstelt dat m = 5 en f (θ) = A + Bθ + Cθ2 . Voor de leeftijden 0 en 1 geldt dat qr0 = q0 en qr1 = q1 en voor de leeftijden θ = 2, . . . , 5 wordt gebruikt dat m = θ − 1. f (θ) De resulterende f (θ) levert nu de gladgestreken sterftekansen via q(θ) = 1 − e−e . Hoe hoger de waarde van m des te gladder is de benadering, omdat de lokale regressie gebaseerd is op een groot aantal datapunten. Verder rechtvaardigt het AG de toepassing van dit algoritme vanuit de gedachte dat de sterftewet van Gompertz (dat wil zeggen de sterfte-intensiteit stijgt exponentieel [3]) overeenkomt met een lineaire f (θ + k). Aangezien niet voor alle leeftijdsintervallen de waargenomen sterftekansen lineair zijn, wordt uitgegaan van een kwadratische functie f (θ + k). Een Gompertz verdeelde populatie wordt dus niet door het algoritme vervormd. Echter data die afkomstig is uit een populatie met een andere verdeling zullen op een of andere manier wel vervormd worden. Het is mogelijk f (θ) te bepalen met behulp van matrix rekening. Dan geldt dat: f (θ) = [1 θ θ2 ](X T X)−1 X T Z met

     X=   

1 θ−m (θ − m)2 1 θ − m + 1 (θ − m + 1)2 .. .. .. . . . .. .. .. . . . 1 θ + m − 1 (θ + m − 1)2 1 θ+m (θ + m)2





       

    en Z =    

f r(θ − m) f r(θ − m + 1) .. . .. . f r(θ + m − 1) f r(θ + m)

        

30


In Excel zijn met behulp van deze methode de ruwe sterftecijfers glad gemaakt. Het gaf nauwelijks tot geen verschil met de glad gemaakte data van het AG. In figuur 4.1 zijn zowel de ruwe sterftekansen uit de GBM 2000-2005 als de met het Van Broekhoven algoritme afgeronde sterftekansen te zien. V e r s c h ille n

r u w

e n

a f g e r o n d

1 ,0 0 0 0 0 0 0

S te rfte k a n s

0 ,1 0 0 0 0 0 0

0 ,0 1 0 0 0 0 0

G

B M

0 0 - 0 5

a fg e r o n d

G

B M

0 0 - 0 5

r u w

0 ,0 0 1 0 0 0 0

1 1 9

9 8

1 1 2

L e e f t ijd

1 0 5

9 1

8 4

7 7

7 0

6 3

5 6

4 9

4 2

3 5

2 8

2 1

7 1 4

0

0 ,0 0 0 1 0 0 0

Figuur 4.1: Ruwe sterftekansen vs afgeronde sterftekansen Het valt op dat de lijn van de afgeronde sterftekansen inderdaad een redelijk gladde versie is van de lijn die door de ruwe sterftekansen loopt. Als je echter inzoomt op een klein deel van de grafiek dan ziet dit eruit als in figuur 4.2. S ta a r t v a n

s te r fte k a n s e n

G B M

0 0 -0 5 a fg e r o n d

0 ,6 0 0 0 0 0 0 0 ,5 5 0 0 0 0 0

S te rfte k a n s

0 ,5 0 0 0 0 0 0 0 ,4 5 0 0 0 0 0

G B M

0 0 -0 5 a fg e ro n d

0 ,4 0 0 0 0 0 0 0 ,3 5 0 0 0 0 0

1 0 8

1 0 7

1 0 6

1 0 5

1 0 4

1 0 3

1 0 2

1 0 1

1 0 0

9 9

9 8

9 7

9 6

9 5

0 ,3 0 0 0 0 0 0 L e e ftijd

Figuur 4.2: De met het Van Broekhoven algoritme afgeronde sterftekansen vanaf leeftijd 95

Het valt op dat de afronding toch niet zo glad is als dat op het eerste ogenblik lijkt. Dit komt doordat voor elke leeftijd θ een kwadratisch polynoom f door de ruwe sterftekansen van de leeftijden θ − 5 tot en met θ + 5 wordt gefit. Als we in dit polynoom f dan de leeftijd θ invullen dan vinden we de waarde van de getransformeerde sterftekans voor een θ-jarige.

4.1.3

Het CRC-model

Het CRC (Commissie Referentietarief Collectief)-model is het model dat het AG gebruikt om de prognose 2005-2050 op te stellen. Het model gaat uit van de waargenomen sterftekansen

4.1 Prognose van het AG

31

van de hele bevolking. Op basis van de waargenomen historische ontwikkelingen en de daarin te onderkennen trends worden de sterftekansen voor iedere leeftijd geëxtrapoleerd. Daarbij zijn de volgende uitgangspunten in acht genomen: • Eerst worden de ruwe sterftekansen van het CBS voor 1988 en voor 2003 met behulp van het van Broekhoven algoritme afgerond (sectie 4.1.2). • De jaarlijkse reductie van de sterftekans wordt verondersteld een vast percentage te zijn bij gegeven leeftijd en geslacht. De formule voor de reductiefactor van leeftijd θ is: αθ = (

Q2003,θ (2003−1988)−1 ) Q1988,θ

Hierin is Qt,θ de afgeronde sterftekans voor leeftijd θ in jaar t. • Vervolgens worden de reductiefactoren per geslacht op basis van een 11-jarig voortschrijdend gemiddelde over de leeftijden afgerond. • De sterftekansen voor 2005,. . . , 2050 kunnen worden berekend met de formule: q2003+k,θ = (αθ )k Q2003,θ voor k = 1, . . . , 50. • Daar waar de sterftekansen van vrouwen boven de sterftekansen van mannen komen, zijn de reductiefactoren van de vrouwen zodanig aangepast dat de sterftekansen van mannen en vrouwen in het jaar 2050 gelijk zijn. Zie het boek van het AG [5] voor meer details van het model. De voorspelling van het AG ziet eruit als in figuur 4.3. V o o r s p e llin g

2 0 0 5 -2 0 5 5 m

a n n e n

1 ,0 0 0 0 0 0 0 0 ,9 0 0 0 0 0 0 0 ,8 0 0 0 0 0 0

S te rfte k a n s

0 ,7 0 0 0 0 0 0 0 ,6 0 0 0 0 0 0 0 ,5 0 0 0 0 0 0 0 ,4 0 0 0 0 0 0 0 ,3 0 0 0 0 0 0 0 ,2 0 0 0 0 0 0

2 0 0 8

0 ,1 0 0 0 0 0 0

2 0 5 0

2 0 0 2 0 2 2 0 3 2 0 4 8

4

0

6

2 0 0 2 0 2 2 0 3 2 0 4 9

5

1

7

2 0 0 2 0 2 2 0 3 2 0 5 0

6

2

8

1

7

3

9

2

8

4

0

2 0 1 2 0 2 2 0 3 2 0 5 3

9

5

1

2 0 1 2 0 2 2 0 4 2 0 5 4

0

6

2

2 0 1 2 0 2 2 0 4 2 0 5 5

1

7

3

2 0 1 4 2 0 2 8 2 0 4 2

2 0 1 5 2 0 2 9 2 0 4 3

1 2 0

2 0 1 7 2 0 3 1 2 0 4 5

Figuur 4.3: Voorspelling van de sterftekansen voor mannen

1 1 5

2 0 1 6 2 0 3 0 2 0 4 4

9 5

1 1 0

7

3

9

5

1 0 5

L e e ftijd 2 0 0 2 0 1 2 0 3 2 0 4

1 0 0

9 0

8 5

8 0

7 5

7 0

6 5

6 0

5 5

2 0 1 2 0 2 2 0 3 2 0 5

5 0

2 0 0 2 0 2 2 0 3 2 0 5

4 5

4 0

3 5

3 0

2 5

2 0

1 5

5 1 0

0

0 ,0 0 0 0 0 0 0

2 0 1 8 2 0 3 2 2 0 4 6

32


Deze prognose lijkt er vrij apart uit te zien. Tot en met leeftijd 85 neemt de sterftekans per kalenderjaar af, dan is tot en met leeftijd 95 de sterftekans vrijwel gelijk voor alle kalenderjaren, vervolgens neemt de sterftekans weer af per kalenderjaar tot en met leeftijd 105 en vanaf dan zijn de sterftekansen van alle kalenderjaren weer gelijk. Voor vrouwen heeft de grafiek dezelfde vorm, alleen zijn de verschillen in sterftekansen tussen 2008 en 2050 nog kleiner dan bij de mannen. Bij vrouwen is er volgens het AG dus minder sterfteverbetering dan bij mannen.

4.1.4

Prognose vs werkelijke cijfers 2004-2007

De prognose van het AG is gemaakt voor 2005 tot en met 2050. Officieel is de prognosetafel opgesteld vanaf 2000-2005 tot en met 2050-2055, dat wil zeggen van 2003 tot en met 2053. Hierbij is 2000-2005 gelijk aan de GBM/GBV 2000-2005. Aangezien we nu een paar jaar verder zijn, kunnen we voor 2004 tot en met 2007 de sterftekansen uit de prognose vergelijken met de ruwe 5-jaars gemiddelde sterftekansen afgerond door het Van Broekhoven algoritme. Dit ziet er voor mannen en vrouwen uit als in figuur 4.4. A fw ijk in g s p e r c e n ta g e v a n p r o g n o s e A G to v r u w e d a ta a fg e r o n d e 5 -ja a r s g e m d a ta

A fw ijk in g s p e r c e n ta g e v a n p r o g n o s e A G to v r u w e d a ta a fg e r o n d e 5 -ja a r s g e m d a ta

5 0 ,0 0 %

5 0 ,0 0 %

4 0 ,0 0 %

4 0 ,0 0 %

2 0 0 7

-3 0 ,0 0 %

-4 0 ,0 0 %

-4 0 ,0 0 %

8 8

8 4

8 0

7 6

7 2

6 8

6 4

6 0

5 6

5 2

4 8

4 4

4 0

3 6

3 2

2 8

2 4

2 0

-2 0 ,0 0 %

-3 0 ,0 0 %

-5 0 ,0 0 %

1 6

-1 0 ,0 0 %

8

0 ,0 0 % 1 2

8 8

8 4

8 0

7 6

7 2

6 8

6 4

6 0

5 6

5 2

4 8

4 4

4 0

3 6

3 2

2 8

2 4

2 0

1 6

8 1 2

4

-2 0 ,0 0 %

2 0 0 6

2 0 0 5

1 0 ,0 0 %

4

2 0 0 5

0 ,0 0 %

2 0 0 4

2 0 ,0 0 % P e r c e n ta g e

1 0 ,0 0 %

0

P e r c e n ta g e

2 0 ,0 0 %

-1 0 ,0 0 %

3 0 ,0 0 %

2 0 0 4

0

3 0 ,0 0 %

2 0 0 6

2 0 0 7

-5 0 ,0 0 % L e e ftijd

L e e ftijd

Figuur 4.4: De afwijkingen van mannen links en van vrouwen rechts We zien dat de afwijking van de prognose van het AG ten opzichte van de afgeronde gemiddelde data bij mannen voor 2004 maximaal 16% is en voor 2007 maximaal 31%. Voor vrouwen is deze afwijking voor 2004 maximaal 11% is en voor 2007 maximaal 32%. We zien dat de afwijking bij zowel mannen als vrouwen voor de meeste leeftijden positief is, wat dus betekent dat de de sterftekansen uit de AG prognose voor deze leeftijden hoger zijn dan de afgeronde gemiddelde data.

4.2

Prognose van het CBS

Het CBS publiceert niet alleen de bevolkingscijfers, het maakt ook zelf sterfteprognoses. De prognose van het CBS wordt opgesteld aan de hand van sterfte naar doodsoorzaken. Het onderscheiden van doodsoorzaken geeft meer inzicht in de factoren die de veranderingen in de sterfte bepalen, zoals doorbraken in de medische wetenschap en leefstijl. De te onderscheiden doodsoorzaken kunnen per prognose verschillen.

4.2 Prognose van het CBS

33

Zo zijn de te onderscheiden doodsoorzaken in de prognose 2004-2050 als volgt (zie [6]): • kwaadaardige nieuwvormingen; gesplitst in longkanker, borstkanker, prostaatkanker en een groep ’overige’ kanker • hart- en vaatziekten • ziekten van ademhalingsorganen • niet-natuurlijke doodsoorzaken • diabetes • overige doodsoorzaken De te onderscheiden doodsoorzaken in de prognose 2008-2050 zijn (zie [7]): • hart- en vaatziekten • kwaadaardige nieuwvormingen, onderscheiden naar longkanker, borstkanker, prostaatkanker en een groep ’overige’ kanker • COPD (chronic obstructive pulmonary disease; verzamelnaam voor chronische vernauwingen van de luchtwegen, zoals bronchitis) • niet-natuurlijke doodsoorzaken • overige doodsoorzaken In de volgende subsecties zal besproken worden hoe het model voor de prognose eruit ziet en op welke manier het CBS de twee grootste doodsoorzaken, namelijk hart- en vaatziekten en kwaadaardige nieuwvormingen, meeneemt in deze prognose, zie [7]. COPD is verantwoordelijk voor 10% van de totale sterfte, niet-natuurlijke doodsoorzaken voor 4% en overige doodsoorzaken voor 23%. Let wel, als het aantal sterfgevallen door de andere doodsoorzaken in de toekomst terugloopt, dan betekent dit dat de sterfte in de groep ’overige doodsoorzaken’ belangrijker wordt.

4.2.1

Het CBS model 2008-2050

In de prognose 2008-2050 worden per leeftijdsgroep en per geslacht de meest voorkomende doodsoorzaken geprognosticeerd. De gebruikte leeftijdsgroepen zijn 0, 1-19,20-49, 50-69, 70-79 en 80 jaar en ouder. Vanaf 80-jarige leeftijd worden geen doodsoorzaken meer onderscheiden. De in de vorige prognoses gehanteerde randvoorwaarde dat de overlevingskans per doodsoorzaak en leeftijdsklasse voor vrouwen hoger moet zijn dan voor mannen, tenzij de meest recente waarneming het tegenovergestelde toont, is losgelaten. Sterfte door longkanker is een voorbeeld hiervan. Bij het opstellen van de prognose tot en met leeftijd 80 wordt gewerkt met de kernindicator ’de overlevingskans per leeftijdsinterval’. Per doodsoorzaak worden veronderstellingen opgesteld over het toekomstig verloop van deze indicator bij mannen en vrouwen. De relatieve afname van de sterftekans is geschat door de logaritme van de sterftekans te fitten met een lineair regressie model, met periode als verklarende variabele. De geschatte jaarlijkse reductie wordt toegepast vanaf het laatste waarnemingsjaar. Bij enkele doodsoorzaken worden de kansen aangepast op basis van inhoudelijke inzichten, verkregen door onder andere artsen.

34


De waardes van de overlevingskansen worden bepaald voor de steekjaren 2018, 2034 en 2050. Door middel van interpolatie worden de overlevingskansen van de tussenliggende jaren berekend. Bij het opstellen van de prognose vanaf leeftijd 80 wordt alleen nog maar rekening gehouden met de totale sterfte, onafhankelijk van doodsoorzaak. Bij sterfgevallen van 80-plussers spelen namelijk vaak meerdere oorzaken tegelijk een rol. Bij mannen bestaat er een relatie tussen de sterftetrends op middelbare leeftijd en die op hoge leeftijd binnen hetzelfde geboortecohort. Bij vrouwen is er geen duidelijk verband tussen de sterfteontwikkeling op middelbare en op hoge leeftijden per geboortecohort. In de sterfteprognose worden daarom voor vrouwen van 80 jaar of ouder recente trends in de periodesterfte doorgetrokken. Bij mannen wordt aan de hand van de waargenomen ontwikkelingen per geboortecohort op middelbare leeftijden de ontwikkelingen op hoge leeftijden geschat. Voor de langere termijn, als er geen waarnemingen meer zijn voor de cohortsterfte op middelbare leeftijd, wordt net zoals bij de vrouwen aangesloten op de veronderstelde cohortontwikkelingen bij de 70- tot 80-jarigen.

4.2.2

Hart- en vaatziekten

In 2007 waren hart- en vaatziekten nog maar verantwoordelijk voor ongeveer 33% van de totale sterfte, zie linker grafiek in figuur 4.5. Daarmee heeft hart- en vaatziekten de eerste plaats afgestaan aan kwaadaardige nieuwvormingen. In figuur 4.5 is de rechter grafiek het aantal sterftes aan hart- en vaatziekten per 100.000 mannen/vrouwen gestandariseerd voor de leeftijdssamenstelling van de bevolking per geslacht met standaardjaar 2007 (zie [7]). Hierin is te zien dat sinds 1970 de sterfte door hart- en vaatziekten voor zowel mannen als vrouwen ruim gehalveerd is. P e r c e n ta g e a a n ta l s te r fte s d o o r h a r t- e n v a a tz ie k te n v a n h e t a a n ta l s te r fte s d o o r a lle o o r z a k e n 5 0 ,0 % 4 5 ,0 % 4 0 ,0 %

P e r c e n ta g e

3 5 ,0 % 3 0 ,0 %

M a n

2 5 ,0 %

V ro u w

2 0 ,0 % 1 5 ,0 % 1 0 ,0 % 5 ,0 %

2 0 0 7

2 0 0 5

2 0 0 3

2 0 0 1

1 9 9 9

1 9 9 7

1 9 9 5

1 9 9 3

1 9 9 1

1 9 8 9

1 9 8 7

1 9 8 5

1 9 8 3

1 9 8 1

1 9 7 9

1 9 7 7

1 9 7 5

1 9 7 3

1 9 7 1

1 9 6 9

0 ,0 %

J a a rta l

Figuur 4.5: Sterftepercentage (links) en het aantal per 100.000 mannen/vrouwen (rechts) door hart- en vaatziekten De coronaire hartziekten (zoals acute hartinfarcten) is de grootste doodsoorzaak binnen de hart- en vaatziekten. Voor mannen is dit ongeveer een derde en bij vrouwen is dit een kwart van de totale sterfte door hart- en vaatziekten. Op de tweede plaats komen de beroertes (voor mannen 20% en voor vrouwen 26%). De sterke daling van de coronaire hartziekten zijn vooral te danken aan een snellere diagnostiek, een betere behandeling van de hartziekten zelf (bypass, dotteren) en betere medicatie (bloeddruk- en cholesterolverlagers). Daarnaast is er tegenwoordig ook meer aandacht besteed aan preventie. Leefstijlen zoals roken, overgewicht, lichamelijke inactiviteit, alcoholgebruik, te grote inname van verzadigde vetten en te geringe consumptie van groenten, fruit en vezels hebben grote invloed op het ontstaan van hart- en vaatziekten.


35

Ter voorkoming van deze slechte gewoonten, worden volop campagnes gevoerd door onder andere SIRE en het Voedingscentrum. Ook het rookverbod in de horeca zal waarschijnlijk in positieve zin bijdragen. De vraag is of voor de toekomst deze dalende trend wel of niet doorzet. In de voorgaande prognoses werd verondersteld dat de daling van de sterfterisico’s voor hart- en vaatziekten rond 2018 zou afzwakken ten opzichte van het tempo sinds 1970. Deze veronderstelling is in de huidige prognose losgelaten, want er is geen reden om de waargenomen trend voor de toekomst te wijzigen. Het totale percentage rokers daalt namelijk nog steeds en ook de bloeddrukbehandelingen zijn steeds beter. Daarentegen stijgt het aantal mensen met overgewicht en diabetes wel. Deze oorzaken zijn echter beter aan te pakken. Zo is, en wordt nog steeds, veel onderzoek gedaan naar het ontstaan van diabetes en de preventie ervan. Ook wordt er volop onderzoek gedaan naar voeding en de effecten van bepaalde voeding op het lichaam.

4.2.3

Kwaadaardige nieuwvormingen

In 2007 waren de kwaadaardige nieuwvormingen in totaal verantwoordelijk voor 27% bij de vrouwen en 33% bij de mannen van de totale sterfte, zie figuur 4.6. Van 1986 tot en met 2003 is de verhouding tussen het aantal sterftes door kanker en het totale aantal sterftes ongeveer gelijk gebleven. De laatste jaren is deze verhouding echter toegenomen. Dit wil zeggen dat er in ieder geval geen verbetering is geweest in het aantal sterftes door kanker (ten opzichte van de andere doodsoorzaken). P e r c e n ta g e a a n ta l s te r fte s d o o r k w a a d a a r d ig e n ie u w v o r m in g e n v a n h e t a a n ta l s te r fte s d o o r a lle o o r z a k e n 4 0 ,0 % 3 5 ,0 %

P e r c e n ta g e

3 0 ,0 % 2 5 ,0 % M a n V ro u w

2 0 ,0 % 1 5 ,0 % 1 0 ,0 % 5 ,0 %

2 0 0 7

2 0 0 5

2 0 0 3

2 0 0 1

1 9 9 9

1 9 9 7

1 9 9 5

1 9 9 3

1 9 9 1

1 9 8 9

1 9 8 7

1 9 8 5

1 9 8 3

1 9 8 1

1 9 7 9

1 9 7 7

1 9 7 5

1 9 7 3

1 9 7 1

1 9 6 9

0 ,0 %

J a a rta l

Figuur 4.6: Percentage sterfte door kwaadaardige nieuwvormingen t.o.v. het totale aantal sterftes Bij zowel mannen als vrouwen is longkanker de grootste doodsoorzaak binnen de kwaadaardige nieuwvormingen. In 2007 is dit bij mannen 30% van het totale aantal kwaadaardige nieuwvormingen en bij vrouwen 19%. Het verloop van longkanker in verhouding tot het totale aantal sterftes veroorzaakt door alle oorzaken is te zien in de linker grafiek van figuur 4.7. In de rechter grafiek is het aantal sterftes door longkanker te zien per 100.000 mannen/vrouwen gestandariseerd voor de leeftijdssamenstelling van de bevolking per geslacht met standaardjaar 2007 (zie [7]).

36

Bestaande modellen voor het opstellen van een prognosetafel P e r c e n ta g e a a n ta l s te r fte s d o o r lo n g k a n k e r v a n h e t a a n ta l s te r fte s d o o r a lle o o r z a k e n 1 4 ,0 % 1 2 ,0 %

P e r c e n ta g e

1 0 ,0 % 8 ,0 %

M a n

V ro u w

6 ,0 % 4 ,0 % 2 ,0 %

2 0 0 7

2 0 0 5

2 0 0 3

2 0 0 1

1 9 9 9

1 9 9 7

1 9 9 5

1 9 9 3

1 9 9 1

1 9 8 9

1 9 8 7

1 9 8 5

1 9 8 3

1 9 8 1

1 9 7 9

1 9 7 7

1 9 7 5

1 9 7 3

1 9 7 1

1 9 6 9

0 ,0 %

J a a rta l

Figuur 4.7: Het sterftepercentage (links) en het aantal sterftes per 100.000 mannen/vrouwen (rechts) door longkanker

Zoals in de grafieken is te zien geldt voor vrouwen dat het sterfte aandeel door longkanker groter is geworden, zowel absoluut als relatief. Voor mannen is het aantal sterftes per 100.000 mannen vanaf 1988 flink gedaald. Het percentage is ook gedaald vanaf 1988, echter vanaf 2003 is dit weer gestegen. Dit houdt in dat het aandeel sterfte door longkanker ten opzichte van de totale sterfte de laatste jaren is gestegen. Longkanker is een nog moeilijk te behandelen vorm van kanker. De hoofdoorzaak van longkanker is roken. Het rookverbod in de horeca zal in de toekomst waarschijnlijk bijdragen aan een daling van de sterfte door longkanker. In de prognose is voor mannen het volgende verondersteld voor de ontwikkeling van sterfte door longkanker: Een stijging in overleving tot 2018, vervolgens een stabilisatie tot 2034 en tot slot weer een stijging in overleving tot 2050. Deze ontwikkeling heeft het CBS gebaseerd op het rookgedrag. Voor vrouwen tot 50 jaar wordt stabilisatie verondersteld tot 2018 en vervolgens een lichte stijging in de overleving. Voor vrouwen van 50 tot 70 jaar wordt verondersteld dat de overlevingskans rond 2018 stabiliseert en na 2034 gaat stijgen. Voor vrouwen van 70 tot 80 jaar wordt verondersteld dat de overlevingskans blijft dalen tot 2034 en vervolgens stabiliseert. De tweede grote doodsoorzaak is bij mannen prostaatkanker (11% van totale aantal kwaadaardige nieuwvormingen) en bij vrouwen borstkanker (18% van totale aantal kwaadaardige nieuwvormingen). Het verloop van deze twee oorzaken in verhouding tot het totale aantal sterftes door alle oorzaken is te zien in figuur 4.8.

P e r c e n ta g e a a n ta l s te r fte s d o o r b o r s tk a n k e r /p r o s ta a tk a n k e r v a n h e t a a n ta l s te r fte s d o o r a lle o o r z a k e n 6 ,0 % 5 ,0 %

P e r c e n ta g e

4 ,0 %

M a n (p ro s ta a t k a n k e r)

3 ,0 % V ro u w (b o rs tk a n k e r)

2 ,0 % 1 ,0 %

2 0 0 7

2 0 0 5

2 0 0 3

2 0 0 1

1 9 9 9

1 9 9 7

1 9 9 5

1 9 9 3

1 9 9 1

1 9 8 9

1 9 8 7

1 9 8 5

1 9 8 3

1 9 8 1

1 9 7 9

1 9 7 7

1 9 7 5

1 9 7 3

1 9 7 1

1 9 6 9

0 ,0 %

J a a rta l

Figuur 4.8: Het sterftepercentage door borst- en prostaatkanker tov de totale sterfte


37

In de grafiek is te zien dat voor vrouwen het sterfte aandeel door borstkanker kleiner is geworden. In 2007 is het aantal sterfgevallen door longkanker zelfs voor het eerst hoger dan de sterfte door borstkanker, zie grafiek 4.7 en 4.8. Voor mannen is het aandeel van prostaatkanker ten opzichte van de totale sterfte juist toegenomen. In figuur 4.9 is links het aantal sterftes door borstkanker te zien per 100.000 vrouwen en rechts het aantal sterftes door prostaatkanker per 100.000 mannen. Beide zijn gestandariseerd voor de leeftijdssamenstelling van de bevolking per geslacht met standaardjaar 2007 (zie [7]).

Figuur 4.9: Het aantal sterftes per 100.000 vrouwen/mannen door borstkanker/prostaatkanker

Voor vrouwen is ook hier een duidelijke daling te zien in aantal sterftes door borstkanker per 100.000 vrouwen. Deze daling wordt deels veroorzaakt door de invoering van het bevolkingsonderzoek, waardoor borstkanker eerder wordt ontdekt, en deels door meer succesvolle behandelingen. Voor mannen is vanaf 1995 een daling te zien in sterftes door prostaatkanker per 100.000 mannen. De vroegere opsporing en daarmee vroegere behandeling van prostaatkanker heeft bijgedragen aan deze daling. Het totaal aantal sterfgevallen is dus gedaald vanaf 1995, echter het aandeel van prostaatkanker in de totale sterfte is gestegen. In de prognose heeft het CBS voor mannen het volgende verondersteld voor de ontwikkeling van sterfte door prostaatkanker: De stijging in de overleving sinds 1995 wordt afgezwakt met een factor 0,5 tot en met 2050, omdat het percentage mannen waarbij de ziekte vroeg wordt ontdekt niet kan blijven dalen. Voor vrouwen heeft het CBS in de prognose het volgende verondersteld voor de ontwikkeling van sterfte door borstkanker: De huidige dalende trend wordt voor alle leeftijden afgezwakt doorgezet met een factor 0,5.

4.2.4

Levensverwachting oude vs nieuwe prognose

Het CBS maakt iedere twee jaar een prognose op basis van doodsoorzaken. Na elke twee jaar blijkt dat ze de sterftekansen te hoog hebben ingeschat. De dalende trend wordt steeds bij iedere prognose afgevlakt. Overigens vlakt de prognose van het AG de dalende trend van de sterftekansen ook af. Het verschil in levensduur van een 65-jarige volgens de verschillende prognoses van het CBS is te zien in grafiek 4.10.

38

Bestaande modellen voor het opstellen van een prognosetafel L e v e n s v e r w a c h tin g v a n e e n 6 5 -ja r ig e m a n

L e v e n s v e r w a c h tin g v a n e e n 6 5 -ja r ig e v r o u w

2 2

2 5

1 9

C B S 0 4 -5 0 C B S 0 6 -5 0

1 8

C B S 0 8 -5 0

1 7

# ja r e n n o g te le v e n

2 4

2 0

G e m

1 6 1 5

2 3

C B S 0 4 -5 0 C B S 0 6 -5 0

2 2

C B S 0 8 -5 0

2 1 2 0

J a a rta l

2 0 4 9

2 0 4 7

2 0 4 5

2 0 4 3

2 0 4 1

2 0 3 9

2 0 3 7

2 0 3 5

2 0 3 3

2 0 3 1

2 0 2 9

2 0 2 7

2 0 2 5

2 0 2 3

2 0 2 1

2 0 1 9

2 0 1 7

2 0 1 5

2 0 1 3

2 0 1 1

2 0 0 9

2 0 0 7

2 0 0 5

2 0 0 3

2 0 5 0

2 0 4 8

2 0 4 6

2 0 4 4

2 0 4 2

2 0 4 0

2 0 3 8

2 0 3 6

2 0 3 4

2 0 3 2

2 0 3 0

2 0 2 8

2 0 2 6

2 0 2 4

2 0 2 2

2 0 2 0

2 0 1 8

2 0 1 6

2 0 1 4

2 0 1 2

2 0 1 0

2 0 0 8

2 0 0 6

2 0 0 4

2 0 0 2

2 0 0 0

1 9 2 0 0 1

G e m

# ja r e n n o g te le v e n

2 1

J a a rta l

Figuur 4.10: De prognoses van het CBS voor de levensduur van een 65-jarige man en vrouw

De prognose van 2004-2050 voorspelt voor 2006 een levensverwachting voor een 65-jarige vrouw die 0,5 jaar lager is dan de daadwerkelijke waarde in 2006. De prognose van 2006-2050 voorspelt een levensverwachting voor een 65-jarige man die 0,4 jaar lager is dan de daadwerkelijke waarde in 2008. In 2050 zijn de verschillen tussen de verschillende prognoses nog groter, namelijk ongeveer 1 jaar per opeenvolgende prognose. De voorspellingen blijken dus keer op keer weer te laag ingeschat te worden, waardoor bij herziening van de prognosetafels blijkt dat de mensen toch weer langer zijn blijven leven dan men dacht. Deze verschillen zijn vooral veroorzaakt doordat in de vorige prognoses werd aangenomen dat de snelle sterftereductie bij hart- en vaatziekten op termijn sterk zou vertragen. Deze veronderstelling is in de huidige prognose losgelaten. Ook het omslagmoment van stijgende naar dalende sterfterisico’s voor longkanker is vervroegd bij 20- tot 50-jarige vrouwen en naar een later tijdstip verschoven bij 70- tot 80-jarige. In figuur 4.11 zijn de eenjarige overlevingskansen van drie leeftijdsgroepen te zien, links voor mannen en rechts voor vrouwen.

Figuur 4.11: Overlevingskansen van mannen (links) en vrouwen (rechts) tot 80 jaar

In deze grafiek is te zien dat de grootste toename in overlevingskans tussen de twee CBS prognoses plaatsvindt bij de leeftijdsgroep 70-79 jaar. De toename van de overlevingskans tot 80 jaar wordt vooral veroorzaakt door het feit dat er meer vijftigers de 80-jarige leeftijd bereiken. Bij de leeftijden tot 50 jaar treedt niet meer veel verandering op (zie [7]).

4.3 Prognose volgens het Lee-Carter model

4.3

39

Prognose volgens het Lee-Carter model

In de Verenigde Staten wordt onder andere het Lee-Carter model gebruikt voor de ’continuous mortality investigation’. Het is een model dat gebruik maakt van de waargenomen sterfteintensiteiten. Het bestaat uit twee delen, namelijk een verdelingsfunctie voor de sterfte over de leeftijden en een tijdreeksmodel voor het doortrekken van trends uit de geschiedenis. In de volgende subsectie zal dit model verder uitgelegd worden. Tot slot zal er gekeken worden hoe groot de afwijkingen tussen de prognose volgens het Lee-Carter model en de ruwe data zijn.

4.3.1

Het Lee-Carter model

De centrale sterftekans m(θ, t) =

D(θ, t) # overledenen van leeftijd θ gedurende jaar t = N (θ, t) # levenden van leeftijd θ op 1 januari van jaar t

is een benadering voor de sterfte-intensiteit µ(θ, t) en wordt gemodelleerd door de volgende vergelijking: ln[m(θ, t)] = a(θ) + b(θ)k(t) Hierin is a(θ) de historisch gemiddelde geschatte ln[m(θ, t)] per leeftijd θ en b(θ) is de mate waarin ln[m(θ, t)] afhangt van een algemene sterfte-index k(t). Het idee voor de prognose is, dat we voor iedere leeftijd θ een a(θ) en b(θ) bepalen en dan vervolgens met behulp van k(t) een tijdreeksmodel te maken. De opzet van het model verloopt in de volgende stappen: 1. Eerst wordt op basis van zoveel mogelijk beschikbare sterftedata a(θ) bepaald, omdat deze nodig is voor het bepalen P van b(θ) en k(t). Dit gaat als volgt: a(θ) = T1 Tt=1 ln[m(θ, t)], met t = 1, . . . , T . 2. Om b(θ) en k(t) te bepalen moeten we de matrix R(θ, t) = ln[m(θ, t)] − a(θ) creëren. Op deze matrix R wordt vervolgens de ’singular value decomposition’ toegepast. Daaruit volgt R = U SV T . Met behulp van de de matrices U , S en V kunnen nu b(θ) en k(t) bepaald worden. De eerste kolom van matrix U is gelijk aan b(θ), dat wil zeggen b(θ) = U (θ, 1). De eerste kolom van matrix V vermenigvuldigd met het eerste getal uit matrix S is gelijk aan k(t), dat wil zeggen k(t) = S(1, 1) · V (t, 1). Eisen voor b(θ) en k(t) zijn b(θ) · b(θ) = 1 en k(t) = 0. 3. Vervolgens wordt k(t) zodanig herschat, dat de totale sterfte-aantallen van het model voor ieder historisch jaar overeenkomen met de geschatte sterfte-aantallen. Met andere P woorden er moet gelden: Dt = Tt=1 N (θ, t) · ea(θ)+b(θ)·k(t) . 4. Nu zijn a(θ), b(θ) en k(t) bekend en kan met behulp van k(t) een voorspelling gedaan worden. De één-jarige sterftekansen zijn nu als volgt: q(θ, t) ≈ 1 − e−m(θ,t) . Zie voor meer details van het model Lee en Carter [8].

40


4.3.2

Prognose vs werkelijke cijfers 2006-2007

Het Lee-Carter model is een vrij ingewikkeld model om de sterftekansen mee te voorspellen. Bij zowel het AG als bij het CBS waren grote afwijkingen te zien als we de sterftekansen van de prognose vergeleken met de waargenomen sterftekansen. Maar hoe verhouden de afwijkingen zich bij het Lee-Carter model? Om hierop antwoord te kunnen geven, hebben we het Lee-Carter model toegepast op data van 1950 tot en met 2005 om vervolgens een voorspelling voor 2006 tot en met 2050 te doen. De afwijking van de sterftekansen volgens de Lee-Carter prognose ten opzichte van de ruwe sterftekansen (m(θ, t)) ziet eruit als in figuur 4.12. A fw ijk in g s p e r c e n ta g e v a n L e e -C a r te r to v r u w e d a ta t/m 2 0 0 5

A fw ijk in g s p e r c e n ta g e v a n L e e -C a r te r to v r u w e d a ta t/m 2 0 0 5

6 0 ,0 0 %

8 0 ,0 0 % 6 0 ,0 0 %

0 ,0 0 %

2 0 0 7

1 2 0

1 1 5

1 1 0

1 0 5

9 5

1 0 0

9 0

8 5

8 0

7 5

7 0

6 5

6 0

5 5

5 0

4 5

4 0

3 5

3 0

2 5

2 0

1 5

1 0 -2 0 ,0 0 %

P e rc e n ta g e

2 0 0 6

5

2 0 ,0 0 %

0

P e rc e n ta g e

4 0 ,0 0 %

4 0 ,0 0 %

2 0 0 6

2 0 ,0 0 %

2 0 0 7

1 2 0

1 1 5

1 1 0

9 5

1 0 5

1 0 0

9 0

8 5

8 0

7 5

7 0

6 5

6 0

5 5

5 0

4 5

4 0

3 5

3 0

2 5

2 0

1 5

5 1 0

0

0 ,0 0 %

-4 0 ,0 0 %

-2 0 ,0 0 %

-6 0 ,0 0 %

-4 0 ,0 0 %

L e e ftijd

L e e ftijd

Figuur 4.12: De afwijkingen van mannen links en vrouwen rechts We zien dat de afwijking tot en met 50 jaar bij vrouwen hoger is dan bij mannen. Tussen 60 en 80 jaar is de afwijking bij vrouwen juist kleiner dan bij mannen (bij vrouwen ongeveer tussen 0% en 10% en bij mannen tussen 0% en 30%). Voor 85 jaar en ouder zijn de sterftekansen volgens de Lee-Carter prognose lager in vergelijking met de ruwe sterftekansen.

4.4

Conclusie

In dit hoofdstuk hebben we gezien hoe drie verschillende prognosemodellen zijn opgesteld. Bij de prognose van het AG is de ruwe data (vijf-jaars gemiddelde sterftekansen) die gebruikt wordt niet helemaal correct. Deze vijf jaars gemiddelde ruwe sterftekansen worden vervolgens afgerond. Daarna worden reductiefactoren bepaald op basis van deze data. Ook deze reductiefactoren worden weer gemiddeld (over 11 jaar). Vervolgens maken ze nog de aanname dat in werkelijkheid de sterftekansen van de mannen niet lager kunnen zijn dan de sterftekansen van vrouwen, vandaar dat ze de reductiefactoren aanpassen om dit doel te bereiken. Er wordt dus veel afgerond en de gemaakte aanname valt te betwijfelen. Het CBS maakt een prognose door de sterfte naar doodsoorzaak te voorspellen. Deze methode is erg moeilijk te reproduceren door iemand anders dan het CBS, omdat er gebruik wordt gemaakt van inhoudelijke inzichten, verkregen van onder andere artsen. Bovendien kost het veel tijd om de prognose op te stellen. Het Lee-Carter model is een model dat bestaat uit een verdelingsfunctie voor de sterfte over de leeftijden en een tijdreeksmodel voor het doortrekken van trends uit de geschiedenis. Het is een ingewikkeld model en het kost aardig wat tijd om het model uit te voeren. Alle drie de modellen zijn dus ingewikkeld en tijdrovend. Daarnaast zijn voor alle drie de modellen afwijkingen te zien als we op basis van data uit het verleden het heden voorspellen. Daarom gaan we in het vervolg van deze scriptie kijken hoe de sterftekansen zich door de jaren heen hebben gedragen. Op basis daarvan zal er een eenvoudig prognosemodel ontwikkeld worden.

Hoofdstuk 5 Analyse van de sterftekansen 1950-2007 In hoofdstuk 4 hebben we de drie bekendste prognosemodellen gezien. Deze modellen zijn niet eenvoudig te reproduceren. Het doel van deze scriptie is de sterftekansen te analyseren en een eenvoudig model op te stellen om de sterftekansen te voorspellen. Laten we daarom nu beginnen met de analyse van de sterftekansen. Via Statline op de website van het CBS zijn de kerncijfers van de bevolking te krijgen voor de leeftijden θ = 0, . . . , 98 in de kalenderjaren t = 1950, . . . , 2007. Hierin staat onder andere opgesplitst voor mannen en vrouwen het aantal mannen/vrouwen van leeftijd θ op 1 januari van kalenderjaar t en het aantal gestorven mannen/vrouwen van leeftijd θ per kalenderjaar t. Bij het berekenen van de sterftekansen in een bepaald jaar heeft het CBS ook migratie meegenomen. De invloed van migratie is echter erg klein. Daarom zijn in de berekening van de sterftekansen in dit onderzoek de migratiecijfers niet meegenomen. Met behulp van de volgende formule kunnen we de ruwe sterftekansen berekenen: qrθ,t =

# overleden mensen van leeftijd θ gedurende jaar t Aθ,t = # mensen in leven van leeftijd θ op 1 januari van jaar t Rθ,t

met θ = 0, . . . , 98 en t = 1950, . . . , 2007. De op deze wijze verkregen sterftekansen worden in dit hoofdstuk geanalyseerd.

5.1

De sterftekansen door de jaren heen

Zoals we zagen in sectie 4.2.4, moet het CBS elke twee jaar haar prognose bijstellen. Blijkbaar zijn de afgelopen jaren de sterftekansen veel meer gedaald dan men dacht op basis van de sterftekansen uit het verleden. Dit is ook te zien in figuur 5.1. In dit figuur is de procentuele afwijking te zien van de sterftekans van iemand van leeftijd θ in jaar t ten opzichte van de gemiddelde sterftekans voor een θ-jarige berekend over 1950 tot en met 2007. Als het afwijkingspercentage van een θ-jarige in jaar t positief is dan wil dat zeggen dat de sterftekans voor die θ-jarige in jaar t hoger is dan de gemiddelde sterftekans van de θ-jarigen van 1950 tot en met 2007. Als het percentage lager is dan geldt het tegenovergestelde. Wat meteen opvalt zijn de twee duidelijke diagonalen bij zowel mannen als vrouwen. Deze diagonalen representeren de generaties 1920 (een jaar na Spaanse griep) en 1946 (een jaar na tweede wereldoorlog). Deze twee generaties hebben een hogere sterftekans voor alle leeftijden dan de generaties ervoor en erna. Bij mannen zijn de generaties van 1880 tot en met 1890 een stuk beter dan de omliggende. Bij vrouwen zijn dit juist erg slechte generaties. Als we nu niet per generatie kijken, maar per leeftijd (met andere woorden horizontaal), dan valt op dat

42

Analyse van de sterftekansen 1950-2007

de sterfte van 0 tot 12 jaar ontzettend is verbeterd vanaf 1950 tot 2007 bij zowel mannen als vrouwen. . . . . . .

1 9 5 0 0

. . . . . .

2 0 0 7

. . . . . . . .

9 9

0

1 9 5 0

> 1 5 0 %

1 0 0 -1 4 0 %

6 0 -9 0 %

5 0 %

4 0 %

3 0 %

2 0 %

1 0 %

0 %

-1 0 %

> 1 5 0 %

1 0 0 -1 4 0 %

6 0 -9 0 %

5 0 %

4 0 %

3 0 %

2 0 %

1 0 %

0 %

-1 0 %

. . . . . .

-2 0 %

-3 0 %

-4 0 %

-5 0 %

-6 0 -9 0 %

-2 0 %

-3 0 %

-4 0 %

-5 0 %

-6 0 -9 0 %

. . . . . .

> 9 0 %

2 0 0 7

. . . . . . . .

9 9 > 9 0 %

Figuur 5.1: De afwijking van de sterftekans tov de gem sterftekans per leeftijd voor 1950-2007; boven mannen en beneden vrouwen Als we naar het hele figuur kijken, dan valt op dat bij mannen de algemene dalende trend voor 0 tot en met 30 jarigen tegelijk inzet met de vrouwen (ongeveer rond 1976). Voor de leeftijden 30 tot en met 85 geldt voor mannen dat hoe hoger de leeftijd des te later de daling pas is begonnen. Van 85 tot en met 99 jaar zijn de sterftekansen vanaf 1950 vrij geleidelijk gedaald, want de afwijkingen liggen over de hele linie ongeveer tussen de 20% en -20%. Bij vrouwen is de daling voor alle leeftijden tegelijk begonnen. Voor de 0 tot en met 45 jarigen en voor de 65

5.1 De sterftekansen door de jaren heen

43

tot en met 90-jarigen is een flinke daling te zien van 1950 tot en met 2007. Voor de 45 tot en met 65-jarigen zijn de sterftekansen wel gedaald, maar veel minder sterk. Om preciezer te kunnen zien hoe sterk de sterftekansen de laatste jaren zijn gedaald, is dezelfde figuur nog een keer gemaakt, maar dan voor 1990 tot en met 2007. Dit is te zien in figuur 5.2. Hierin is de procentuele afwijking te zien van de sterftekans van iemand van leeftijd θ in jaar t ten opzichte van de gemiddelde sterftekans voor een θ-jarige berekend over 1990 tot en met 2007. 1 9 9 0

0

. . . . .

2 0 0 7

1 9 9 0

0

> 9 0 %

.

.

6 0 - 9 0 %

.

> 9 0 %

.

5 0 %

.

6 0 - 9 0 %

4 0 %

.

3 0 %

4 0 %

2 0 %

3 0 %

1 0 %

.

.

- 2 0 %

.

- 1 0 %

.

- 3 0 %

.

2 0 %

0 %

.

- 4 0 %

2 0 0 7

.

5 0 %

.

. . . . .

1 0 %

.

0 %

.

- 1 0 % - 2 0 % - 3 0 %

- 5 0 %

- 4 0 %

- 6 0 - 7 0 %

- 5 0 %

< - 7 0 %

- 6 0 - 7 0 % < - 7 0 %

9 9

9 9

Figuur 5.2: De afwijking van de sterftekans tov de gem sterftekans per leeftijd voor 1990-2007; links mannen en rechts vrouwen

Er is te zien dat bij mannen vanaf 1990 een sterkere daling in sterftekansen heeft plaatsgevonden dan bij vrouwen. Daarnaast is de versnelling van deze daling bij mannen vanaf 2003 begonnen voor de leeftijden tot en met 85 jaar. Voor vrouwen is deze versnelling van de daling voor alle leeftijden te zien, maar wel in mindere mate en pas vanaf 2004. Verder is bij vrouwen een sterkere fluctuatie van de sterftekansen te zien bij de leeftijden van 0 tot en met 30 dan bij mannen. Een andere manier om te kijken hoe de ruwe data zich heeft ontwikkeld in de loop der jaren is door te kijken naar de kans dat een 0-jarige θ jaar oud wordt, zie sectie 3.5. Deze kansen zijn berekend op basis van de ruwe sterftekansen uit een bepaald kalenderjaar en dus niet op basis van generaties. De overlevingscurve is voor mannen links te zien in figuur 5.3 en voor vrouwen rechts. In de grafieken is te zien dat bij de mannen de ruimte tussen de curve van 1970 en 1990 bijna net zo groot is als de ruimte tussen de curve van 2000 en 2007. Dit betekent dus een extreme toename in levensverwachting vanaf 2000 in vergelijking met het verleden. Tussen 1950 en 1970 is helemaal niet veel verbetering te zien, alleen op de lagere leeftijden. In 1970 is de kans om 60 jaar of ouder te worden zelfs kleiner dan in 1950. Bij vrouwen is er een grote verbetering te zien tussen 1950 en 1970, maar ook tussen 1970 en 1990. Tussen 1990 en 2003 is vrijwel geen

44

Analyse van de sterftekansen 1950-2007 K a n s d a t e e n 0 -ja r ig e m a n le e ftijd x b e r e ik t

K a n s d a t e e n 0 -ja r ig e v r o u w

1 ,0

1 ,0

0 ,9

0 ,9

0 ,8

0 ,8

2 0 0 7

1 2 5

1 2 0

1 1 5

1 1 0

9 5

1 0 5

9 0

1 0 0

8 5

8 0

7 5

7 0

6 5

6 0

5 5

5 0

4 5

4 0

3 5

3 0

2 5

1 2 5

1 2 0

1 1 5

1 1 0

9 5

1 0 5

1 0 0

9 0

8 5

8 0

7 5

7 0

6 5

6 0

5 5

5 0

4 5

4 0

3 5

3 0

2 5

2 0

5

0 ,0 1 5

0 ,0

0

2 0 0 5

0 ,2 0 ,1

1 0

2 0 0 3

0 ,3

0 ,1

T e b e r e ik e n le e ftijd

2 0 0 0

2 0

0 ,2

1 9 9 0

0 ,4

5

0

2 0 0 3 2 0 0 5 2 0 0 7

0 ,3

1 9 7 0

0 ,5

1 5

0 ,4

0

0 ,6

0

0 ,5

1 9 5 0

0 ,7

0

1 0

0 ,6

0

K a n s

1 9 5 1 9 7 1 9 9 2 0 0

0 ,7

K a n s

le e ftijd x b e r e ik t

T e b e r e ik e n le e ftijd

Figuur 5.3: Overlevingscurve o.b.v. de ruwe sterftekansen uit verschillende jaren (links man en rechts vrouw

toename te zien. Daarna is de toename wel weer te zien. De ruimte tussen de curve van 2000 en 2007 is veel kleiner dan de ruimte tussen die curves bij mannen. Mannen hebben dus een sterkere toename in levensverwachting de afgelopen jaren, dan vrouwen. In een artikel van het CBS over de toekomst van de levensverwachting [9] staat dat de overlevingscurve steeds rechthoekiger wordt. Hiermee wordt bedoeld dat meer mensen tot op hoge leeftijd in leven blijven, maar daarna het overlijden in een steeds kortere tijdsspanne plaatsvindt. Aangezien een meer rechthoekige vorm van de overlevingscurve inhoudt dat de gemiddelde leeftijd bij overlijden sneller toeneemt dan de hoogste waargenomen levensduur, wordt dit verschijnsel vaak opgevat als bewijs dat de levensverwachting een biologische limiet nadert. In de grafieken van figuur 5.3 is dit rechthoekiger worden van de overlevingscurve een beetje te zien, vooral bij de vrouwen. Het hoeft echter niet perse te duiden op een biologische leeftijdslimiet, want de eindleeftijd schuift in dit geval bij de vrouwen gewoon een stukje mee. In tabelvorm ziet de ruwe levensverwachting voor een 0-jarige eruit als in figuur 5.4.

Figuur 5.4: Tabel van de ontwikkeling in ruwe levensverwachting van een 0-jarige De tabel toont dat vrouwen tot en met 1990 een veel sterkere daling in sterftekansen hebben gehad dan mannen, waardoor het verschil in levensverwachting tussen mannen en vrouwen steeds groter werd. Echter vanaf 1990 hebben mannen een sterkere daling in sterftekansen meegemaakt dan vrouwen. Het verschil in levensverwachting tussen mannen en vrouwen wordt dus vanaf 1990 kleiner. Verder is te zien dat voor mannen de sterke daling die vanaf 2000 plaatsvond veel groter is dan de daling in het verleden. In 7 jaar hebben mannen namelijk een winst geboekt van 2,4 jaar wat betreft de levensverwachting en vrouwen een winst van 1,7 jaar. Voor een pensioenfonds is het vooral interessant om te weten hoe lang een 65-jarige gemiddeld nog leeft. Als we daarom kijken naar het totale gemiddeld aantal jaren nog te leven van een 65-jarige vanaf 1850, dan ziet dit eruit als in figuur 5.5.

5.1 De sterftekansen door de jaren heen

45

0 0 0 0

2 0 0 6

1 9 9 4

1 9 8 2

0

1 8 5 0

2 0 0 4

1 9 9 7

1 9 9 0

1 9 8 3

1 9 7 6

1 9 6 9

1 9 6 2

1 9 5 5

1 9 4 8

1 9 4 1

1 9 3 4

1 9 2 7

1 9 2 0

1 9 1 3

1 9 0 6

1 8 9 9

1 8 9 2

1 8 8 5

1 8 7 8

1 8 7 1

1 8 6 4

1 8 5 7

1 8 5 0

0 ,0 0

0

1 9 7 0

2 ,0 0

0

1 9 5 8

4 ,0 0

0

1 9 4 6

6 ,0 0

0

1 9 3 4

8 ,0 0

0

1 9 2 2

1 0 ,0 0

0

1 9 1 0

1 2 ,0 0

0

1 8 9 8

1 4 ,0 0

A a n ta l ja r e n

A a n ta l ja r e n

1 6 ,0 0

2 2 ,0 2 0 ,0 1 8 ,0 1 6 ,0 1 4 ,0 1 2 ,0 1 0 ,0 8 ,0 6 ,0 4 ,0 2 ,0 0 ,0

1 8 8 6

1 8 ,0 0

1 8 7 4

2 0 ,0 0

A a n ta l n o g te le v e n ja r e n a ls n u 6 5 ja a r N e d e r la n d v r o u w e n

1 8 6 2

A a n ta l n o g te le v e n ja r e n a ls n u 6 5 ja a r N e d e r la n d m a n n e n

J a a r ta l

J a a r ta l

Figuur 5.5: De levensverwachting van een 65-jarige in Nederland van 1850 t/m 2050

Bij de mannen is er eerst een lineaire trend te zien met een grotere piek naar beneden bij 1945, het einde van de tweede wereldoorlog. Daarna is er een flinke stijging in levensverwachting vanwege het feit dat de ’zwakkeren’ al gestorven zijn gedurende de oorlog; de ’sterkeren’ zijn overgebleven. Daarna daalt de lijn weer iets, maar vanaf 1972 is er wederom een stijgende trend. Bij de vrouwen is er tot en met 1945 ongeveer dezelfde lineaire trend te zien als bij de mannen. Echter van 1945 tot en met 1980 is er in tegenstelling tot bij de mannen een sterke lineaire trend omhoog te zien, veel sterker dan de trend tot en met 1945. Daarna zwakt deze stijging weer af. In Frankrijk is een soortgelijke trend te zien, zie figuur 5.6. Alleen blijft bij de mannen het gemiddeld aantal jaren nog te leven van 1850 tot en met 1945 schommelen tussen de 9 en 12 jaar. Van 1946 tot en met 1970 treedt er een lichte stijging op en vanaf 1971 stijgt het gemiddeld aantal jaren nog te leven nog sterker. Deze stijging is groter dan in Nederland. In 2006 ligt daarom de gemiddelde leeftijd van een 65-jarige man in Frankrijk 1,3 jaar hoger dan in Nederland. Bij de vrouwen is het verloop tot en met 1980 vrijwel identiek, maar vanaf dan blijft het gemiddeld aantal jaren nog te leven in Frankrijk stijgen, terwijl het in Nederland vanaf dan afzwakt. A a n ta l n o g te le v e n ja r e n a ls n u 6 5 ja a r F r a n k r ijk m a n n e n

2 4

2 0

2 2

1 8

2 0

1 6

1 8

1 4 1 2 1 0

A a n ta l ja r e n 8 6

1 6 1 4 1 2 1 0 8 6

4 4

2 2

2 0 0 6

1 9 9 4

1 9 8 2

1 9 7 0

1 9 5 8

1 9 4 6

1 9 3 4

1 9 2 2

1 9 1 0

1 8 9 8

1 8 8 6

1 8 7 4

2 0 0 4

1 9 9 7

1 9 9 0

1 9 8 3

1 9 7 6

1 9 6 9

1 9 6 2

1 9 5 5

1 9 4 8

0

1 8 6 2

J a a rta l

1 9 4 1

1 9 3 4

1 9 2 7

1 9 2 0

1 9 1 3

1 9 0 6

1 8 9 9

1 8 9 2

1 8 8 5

1 8 7 8

1 8 7 1

1 8 6 4

1 8 5 7

1 8 5 0

0

1 8 5 0

A a n ta l ja r e n

A a n ta l n o g te le v e n ja r e n a ls n u 6 5 ja a r F r a n k r ijk v r o u w e n

J a a r ta l

Figuur 5.6: De levensverwachting van een 65-jarige in Frankrijk van 1850 t/m 2050

Zowel in Frankrijk als in Nederland stijgt het gemiddeld aantal jaren nog te leven van een 65jarige man al vanaf 1850. De gerontologische groep, zoals is beschreven in hoofdstuk 6, beweert dat die stijging steeds meer afvlakt, maar waarom? Er is zelfs een sterkere stijging te zien vanaf 1993.

46

5.2


Spreiding in sterftekansen

Het aantal mensen van een bepaalde leeftijd wordt naarmate de leeftijd toeneemt steeds kleiner. Hierdoor wordt de betrouwbaarheid van de ruwe sterftekansen naarmate de leeftijd toeneemt steeds slechter. Om te kijken hoe groot de spreiding in de sterftekansen kan zijn, is er in Visual Basic een simulatie geschreven, zie bijlage D voor de programmacode. Deze simulatie simuleert 200 keer hoeveel sterftegevallen er in een bepaald jaar zijn. In sectie 5.2.1 wordt uitgelegd volgende welke verdeling mensen sterven en in sectie 5.2.2 wordt uitgelegd hoe het simulatieprogramma werkt. Hoe groot deze spreiding van de sterftekansen is na 200 runs wordt nader toegelicht in sectie 5.2.3.

5.2.1

De verwachte sterftekans

Allereerst een paar notaties: • Rx,t is het aantal mensen van leeftijd x aan het begin van kalenderjaar t • Ax,t is het geobserveerde aantal overleden mensen op leeftijd x in jaar t • qx,t is de verwachte sterftekans op leeftijd x in jaar t • K is de realisatie van Ax,t en dus een random variabele die het aantal doden in een jaar weergeeft Aangezien de berekening voor elk jaar en voor elke leeftijd hetzelfde is, laten we in het vervolg de x en de t in de notatie weg. Neem aan dat de kans op overlijden van het ene individu onafhankelijk is van de kans op overlijden van het andere individu. Dan kan K beschouwd worden als de som van een aantal Bernoulli random variabelen Xi , i = 1, . . . , R, met kans q ∈ [0, 1]. Dus Xi heeft verwachting q en variantie q(1 − q). De som van R Bernoulli verdeelde random variabelen is binomiaal verdeeld met parameters R en q. Dus de kansdichtheidsfunctie is als volgt: R! P(K = k) = q k (1 − q)R−k k!(R − k)! De verwachting en de variantie kunnen we als volgt berekenen: E[K] = E[

R X

Xi ] = Rq

i=1 R X Var[K] = Var[ Xi ] = Rq(1 − q) i=1

In de praktijk zijn R en A bekend, maar q is onbekend. Daarom bepalen we voor q een maximum likelihood schatter q ∗ ∈ [0, 1] (zie [10]). Laat log L(q) = log P(K = A) = l(q) = ln(

R! ) + A ln q + (R − A) ln(1 − q) k!(R − k)!

Deze functie l(q) is concaaf, dus door middel van l0 (q) = 0 is q ∗ te vinden. A R−A ∂l(q ∗ ) = ∗− =0 ∗ ∂q q 1 − q∗

⇒

q∗ =

A R

5.2 Spreiding in sterftekansen

47

Hiermee volgt dat R X E[q ∗ ] = E[ Xi /R] = q i=1 ∗

Var[q ] = Var[

R X

Xi /R] = q(1 − q)/R

i=1

5.2.2

Programma voor de simulatie

In de simulatie worden per leeftijd θ 200 sterftekansen gegenereerd uitgaande van de sterftekansen uit het jaar 2000. Op deze manier kunnen we dan kijken hoeveel spreiding er in de sterftekansen en dus ook in de prognose kan zitten. Met name op hoge leeftijden, waar het aantal in leven zijnde θ-jarigen afneemt, weten we niet hoe betrouwbaar de cijfers zijn die we nu als waar aannemen. In sectie 5.2.1 is uitgelegd dat A, het aantal doden per jaar, BIN(R, q) verdeeld is. Aangezien R, het aantal mensen op het begin van een jaar, grote waarden kan aannemen, is het behoorlijk bewerkelijk om de exacte kansen te berekenen. Nu is het zo dat als geldt Rq > 5 en R(1−q) > 5, dan kan de BIN(R, q)-verdeling benaderd worden met een N(Rq, Rq(1 − q))- verdeling. In onze situatie geldt inderdaad dat Rq > 5 en dat R(1 − q) > 5 voor alle voorkomende waarden van R en q. Definieer het gesimuleerde aantal doden van leeftijd θ in jaar t als Dθ,t . Er geldt dat Aθ,t de realisatie is van het aantal doden van leeftijd θ in jaar t. Neem nu aan dat deze waarden de A A echte gemiddelden zijn. Aangezien geldt dat qθ,t = Rθ,t , volgt dat Dθ,t ∼ N (Aθ,t , Aθ,t (1 − Rθ,t )). θ,t θ,t De stappen van het programma zijn als volgt: • Voor een bepaald jaar t, in dit geval t = 2000, en voor iedere leeftijd θ ∈ (0, 98) worden Aθ,t en Rθ,t ingelezen uit de ruwe data van het CBS. Hierbij wordt dus geen sterfteverbetering meegenomen, omdat we de sterftekansen van het jaar 2000 gebruiken. • Per leeftijd θ wordt 200 keer een N (0, 1)-verdeeld random getal gegenereerd door middel van het Law-Kelton algoritme. Noem dit random getal rvθi met i = 1, . . . , 200 en θ = 0, . . . , 98. • Het aantal doden in jaar t van leeftijd θ in run i wordt nu als volgt bepaald: Dθi ,t = A rvθi ∗ Aθ,t (1 − Rθ,t ) + Aθ,t , met θ = 0, . . . , 98 en i = 1, . . . , 200. θ,t Nu geldt dus inderdaad: Dθ,t ∼ N (Aθ,t , Aθ,t (1 −

Aθ,t )). Rθ,t

• Voor t = 2000 wordt het volgende gedaan om de 200 sterftekansen per θ-jarige te krijgen: D i ,t qθi ,t = Rθθ,t met θ = 0, . . . , 98 en i = 1, . . . , 200.

5.2.3

De gesimuleerde sterftekansen

Om te kijken hoeveel spreiding er in de sterftekansen kan zitten, zijn de 200 gesimuleerde sterftekansen van mannen geplot in figuur 5.7. Rechts is een uitvergroting te zien van de sterftekansen voor mannen van 80 tot en met 99 jaar.

48

Analyse van de sterftekansen 1950-2007 2 0 0 r u n s ja a r 2 0 0 0 v a n 2 5 t/m 9 8 ja a r m a n n e n

0 ,7 0 0 0 0 0

0 ,7 0 0 0 0 0

8 3

9 3

0 ,5 0 0 0 0 0 S te r fte k a n s

0 ,5 0 0 0 0 0

S t e r f t e k a n s

9 8 ja a r

0 ,6 0 0 0 0 0

0 ,6 0 0 0 0 0

0 ,4 0 0 0 0 0 0 ,3 0 0 0 0 0

0 ,4 0 0 0 0 0 0 ,3 0 0 0 0 0

0 ,2 0 0 0 0 0

0 ,2 0 0 0 0 0

0 ,1 0 0 0 0 0

0 ,1 0 0 0 0 0

0 ,0 0 0 0 0 0

2 0 0 r u n s ja a r 2 0 0 0 v a n 8 0 t/m m a n n e n

0 ,0 0 0 0 0 0

2 5 2 8 3 1 3 4 3 7 4 0 4 3 4 6 4 9 5 2 5 5 5 8 6 1 6 4 6 7 7 0 7 3 7 6 7 9 8 2 8 5 8 8 9 1 9 4 9 7

L e e ftijd

8 0

8 1

8 2

8 4

8 5

8 6

8 7

8 8

8 9

L e e ftijd

9 0

9 1

9 2

9 4

9 5

9 6

9 7

9 8

Figuur 5.7: De 200 gesimuleerde sterftekansen van mannen in het jaar 2000

Zoals verwacht is de spreiding op hoge leeftijd het grootste. Dit komt doordat de groep x-jarige mannen op hoge leeftijden steeds kleiner wordt, waardoor de fluctuatie in de sterftekansen steeds groter wordt. In figuur 5.8 zijn de 200 gesimuleerde sterftekansen van vrouwen geplot. Rechts is een uitvergroting te zien van de sterftekansen voor vrouwen van 80 tot en met 99 jaar.

2 0 0 r u n s ja a r 2 0 0 0 v a n 2 5 t/m 9 8 ja a r v ro u w e n

0 ,7 0 0 0 0 0

0 ,7 0 0 0 0 0

8 3

9 3

0 ,5 0 0 0 0 0 S te r fte k a n s

0 ,5 0 0 0 0 0

S te r fte k a n s

9 8 ja a r

0 ,6 0 0 0 0 0

0 ,6 0 0 0 0 0

0 ,4 0 0 0 0 0 0 ,3 0 0 0 0 0

0 ,4 0 0 0 0 0 0 ,3 0 0 0 0 0

0 ,2 0 0 0 0 0

0 ,2 0 0 0 0 0

0 ,1 0 0 0 0 0

0 ,1 0 0 0 0 0

0 ,0 0 0 0 0 0

2 0 0 r u n s ja a r 2 0 0 0 v a n 8 0 t/m v ro u w e n

2 5 2 8 3 1 3 4 3 7 4 0 4 3 4 6 4 9 5 2 5 5 5 8 6 1 6 4 6 7 7 0 7 3 7 6 7 9 8 2 8 5 8 8 9 1 9 4 9 7

L e e ftijd

0 ,0 0 0 0 0 0

8 0

8 1

8 2

8 4

8 5

8 6

8 7

8 8

8 9

L e e ftijd

9 0

9 1

9 2

9 4

9 5

9 6

9 7

9 8

Figuur 5.8: De 200 ruwe gesimuleerde sterftekansen van vrouwen in het jaar 2000

Voor vrouwen is de spreiding op hoge leeftijden veel minder dan bij mannen. Dit komt doordat het aantal vrouwen op hoge leeftijden veel groter is dan het aantal mannen, dus dan zijn de sterftekansen betrouwbaarder. Volgens de ruwe data van het CBS geldt R65,2000 = 1.131, dat wil zeggen √ het aantal mannelijke doden van 65 jaar in het jaar 2000 is 1131. De standaard deviatie is 1.131 = 33, 63. Als we nu kijken naar de 200 simulatieruns voor mannen, dan ziet dit eruit als in figuur 5.9. Voor deze 200 simulatieruns geldt dat: E[# mannelijke doden van 65 jaar in 2000] = 1.129 σ(# mannelijke doden van 65 jaar in 2000) = 33, 93

5.3 De toekomst van de levensverwachting

49

g e s im u le e r d e a a n ta l d o d e n v a n 6 5 ja a r in 2 0 0 0 1 2 5 0

A a n ta l d o d e n

1 2 0 0 1 1 5 0 1 1 0 0 1 0 5 0 1 0 0 0 9 5 0

R u n 1 9 9

R u n 1 9 0

R u n 1 8 1

R u n 1 7 2

R u n 1 6 3

R u n 1 5 4

R u n 1 4 5

R u n 1 3 6

R u n 1 2 7

R u n 1 1 8

R u n 1 0 9

R u n 9 1

R u n 1 0 0

R u n 8 2

R u n 7 3

R u n 6 4

R u n 5 5

R u n 4 6

R u n 3 7

R u n 2 8

R u n 1 9

R u n 1

R u n 1 0

9 0 0

Figuur 5.9: Het gesimuleerde aantal doden van 65 jaar in het jaar 2000

Deze waarden liggen komen vrijwel overeen met de werkelijke waarden, ondanks dat het maar 200 runs zijn. Er geldt namelijk hoe meer runs hoe nauwkeuriger de schatting van de verwachting en spreiding is.

5.3

De toekomst van de levensverwachting

Zoals we hebben gezien in tabel 5.4 heeft er de afgelopen jaren een flinke daling in de sterftekansen plaatsgevonden, vooral bij mannen. De vraag is nu of en ook hoe lang deze daling zal doorzetten. En wat gebeurt er daarna met de sterftekansen; stabiliseren ze, nemen ze toe, of blijven ze toch afnemen? De vraag hoe de levensverwachting zich in de toekomst zal ontwikkelen lijkt deskundigen in twee kampen te verdelen met sterk verschillende meningen. Zo beschouwt de gerontologische school veroudering als een natuurlijk proces dat maar in bescheiden mate kan worden be¨ınvloed. Zij gaan uit van een geleidelijke afvlakking van de stijgende levensverwachting, tot circa 85 jaar. (Gerontologie is de wetenschap die zich bezig houdt met veroudering.) Daarentegen verwacht de geriatrische school dat de gunstige trend in de levensverwachting uit de afgelopen jaren in de komende decennia zal aanhouden. Dit zou uiteindelijk leiden tot een levensverwachtingen van 100 jaar of meer. (Geriatrie is een vorm van geneeskunde die zich richt op preventie, diagnostiek en behandeling van ziekten die oorzakelijk samenhangen met de veroudering.) Laten we kijken naar figuur 5.10 (bron: presentatie van APG).

Figuur 5.10: De levensverwachting van een vrouw uit het land met op dat moment de hoogste levensverwachting

50


Hierin zien we het land met de op dat moment hoogste levensverwachting. Er is duidelijk een lineaire trend te zien met een toename in levensverwachting van 3 maanden per kalenderjaar. De geriatrische school noemt een aantal redenen waarom een voortzetting van de stijgende, lineaire trend waarschijnlijk is. Een reden is dat deskundigen steeds hebben gesteld dat de levensverwachting een limiet benadert en het telkens bij het verkeerde eind hebben gehad. Een andere reden is dat de trendmatige toename van het land met de de hoogste levensverwachting zou moeten afvlakken als de levensverwachting een limiet benadert. [9] Maar hoe doet Nederland het ten opzichte van deze beste landen? In figuur 5.11 is te zien hoe de Nederlandse vrouwen (links) en mannen (rechts) het doen ten opzichte van die lineaire lijn (bron: presentatie van APG).

g e n r w e N o o la n d Z e e u w N ie

d la n IJ s

a n J a p g e n r w e N o o

d la n IJ s

a n J a p

la n d Z e e u w e i N

Figuur 5.11: De levensverwachting van vrouwen (links) en van mannen (rechts) in Nederland (zwarte lijn) tov het land met hoogste levensverwachting op dat moment (gekleurde lijn) Tot en met 1950 heeft de curve van mannen ongeveer dezelfde vorm als de curve van vrouwen. Alleen de piek rond 1945 is bij mannen iets groter dan bij vrouwen, vanwege de vele mannen die aan het front zijn gestorven tijdens de tweede wereldoorlog. Vanaf 1950 tot 1970 gaat de curve bij vrouwen naar de lineaire lijn toe, terwijl de curve van de mannen er juist vanaf gaat. Vanaf 1970 loopt de curve weer gelijk aan de lineaire lijn, alleen 10 jaar lager. Bij vrouwen gaat vanaf 1985 de curve ook weg van de lineaire lijn. Deze afwijkingen ten opzichte van de lineaire lijn, komt waarschijnlijk door het percentage rokers.

Figuur 5.12: Het percentage mannelijke en vrouwelijke rokers in Nederland In grafiek 5.12 is het percentage mannelijke en vrouwelijke rokers in Nederland te zien voor elk kalenderjaar (bron: presentatie van APG).

5.3 De toekomst van de levensverwachting

51

De vraag is nog steeds hoe gaat deze Nederlandse curve in de toekomst verder? In figuur 5.13 is de lineaire trend van de vrouwen in Japan te zien samen met de Nederlandse levensverwachting van de man verlengd met de afgelopen drie CBS-voorspellingen (bron: presentatie van APG). L e v e n s v e rw a c h tin g

J a a rta l

Figuur 5.13: De voorspelling van het CBS voor mannen

De voorspelling van het CBS wijkt steeds weer van de lineaire trend af, terwijl het zelfs lijkt alsof de levensverwachting van de man net weer langzaam naar de lineaire lijn toe gaat. De mening die wel alle wetenschappers delen is het feit dat er geen biologische reden is waarom de mens niet veel ouder kan worden. We lopen immers niet met een biologische klok rond die afloopt wanneer we moeten sterven. Niet de ouderdom is dodelijk, maar de ziekte die aan ouderdom gerelateerd is [11]. De vraag is dan wel hoe goed we vat kunnen krijgen op die ouderdomsziekten. Ongeveer 64% van alle sterfte doet zich voor op de leeftijd van 75 jaar of ouder. Hiervan is 55% man en 72% vrouw. Bij veel ziekten werd tot voor kort altijd rust onmisbaar geacht voor genezing. Hoewel nu veel minder bedrust wordt voorgeschreven, gaat ziekenhuisopname nog steeds gepaard met veel bedlegerigheid. Bedlegerigheid van enige duur leidt echter tot veranderingen in de meeste orgaansystemen, die op complicaties kunnen uitlopen. Geriatrische patiënten zijn door hun verminderde fysiologische reserve extra gevoelig voor die gevolgen. Zo kunnen trombose, gedaalde vitale capaciteit, verminderde eetlust, obstipatie, spieratrofie, decubitus, vereenzaming en afgenomen energiebehoefte gevolgen zijn van bedlegerigheid die voor ouderen grote invloed kunnen hebben op hun gesteldheid (zie [12]). Op dit gebied is er dus genoeg ruimte voor gezondheidsverbeteringen. Verder laat ook de leefstijl van ouderen vaak te wensen over. Zo heeft 60% van de ouderen overgewicht, hun voedingspatroon en lichaamsbeweging zijn verre van optimaal en 25% van alle oudere mannen rookt. Daarom zijn er ook op dit gebied veel mogelijkheden wat betreft gezondheidsverbetering (zie [9]). Een andere mogelijkheid voor een langere levensverwachting is de vermindering van het aantal sterfgevallen binnen de twee grootste groepen, namelijk hart- en vaatziekten en kwaadaardige nieuwvormingen. Op het gebied van de preventie van deze ziekten zijn momenteel veel ontwikkelingen gaande. Zo is er de verwachting dat er over twee jaar een soort ’superpil’ voor het hart op de markt komt. Deze pil bestaat uit vier substanties die dokters nu veel voorschrijven bij de preventie van hart- en vaatziekten. Naar schatting zou deze pil het aantal sterfgevallen door cardiovasculaire ziekten met minstens 80% kunnen verminderen [13]. Ook is er een bloedtest om borstkanker bij jonge vrouwen vroegtijdig op te sporen wanneer het op een mammografie

52


nog niet te zien is. Als de Indiase pilotstudie succesvol blijkt, dan zal deze test ook in de Westerse ziekenhuizen ge¨ıntroduceerd worden. Daarnaast is er een robotje ontwikkeld dat niet alleen borstkanker kan ontdekken, maar ook meteen de kwaadaardige cellen kan vernietigen (ingebracht in borst en aangestuurd door arts). Tot slot is er een nieuw medicijn (in pilvorm) dat metastatische borstkanker (uitzaaiing vanuit elders) kan behandelen. Zie [14] voor deze drie ontwikkelingen.

5.4

Conclusie

In dit hoofdstuk hebben we gezien dat er twee generaties zijn (1920 en 1946) die veel lagere sterftekansen hebben dan de generaties ervoor en erna. Verder hebben we gezien dat de sterftekansen voor mannen pas zijn beginnen te dalen vanaf 1970. Vanaf 2003 is deze daling flink toegenomen. Voor vrouwen zijn juist tussen 1950 en 1990 de sterftekansen sterk gedaald, vervolgens is tot en met 2003 deze daling flink afgenomen en vanaf 2004 is de daling weer toegenomen. Ook hebben we gezien dat de spreiding van de sterftekansen voor mannen toeneemt vanaf 85 jaar en bij vrouwen vanaf 90 jaar. Bij vrouwen is deze spreiding kleiner dan bij mannen, omdat op hoge leeftijd de populatie vrouwen groter is dan de populatie mannen. Tot slot hebben we gezien dat het land met in dat kalenderjaar de hoogste levensverwachting al vanaf 1880 lineair toeneemt met ongeveer 3 maanden per kalenderjaar. De levensverwachting van de Nederlandse vrouwen is tussen 1940 en 1970 bijna gelijk aan de hoogste levensverwachting, echter vanaf 1970 wordt deze levensverwachting geleidelijk lager dan de lineaire lijn (in 2005 ongeveer 5 jaar). Bij de Nederlandse mannen loopt vanaf 1970 de levensverwachting parallel aan de lineaire lijn van het land met de hoogste levensverwachting, maar wel ongeveer 10 jaar lager. In de prognose van het CBS wordt deze lineaire trend echter afgebogen. Maar waarom? Er is namelijk nog veel ruimte voor verbetering van het aantal sterftes, zowel bij de twee grootste doodsoorzaken als bij ouderdomsziekten. De toekomstige levensverwachting zou dus toch kunnen blijven dalen. Maar óf de huidige sterk dalende trend doorzet en zo ja hoe lang, dat blijft de vraag. In de volgende hoofdstukken zullen we toch proberen de data zo goed, maar ook zo eenvoudig mogelijk, te voorspellen.

Hoofdstuk 6 Eigen ontwikkelde modellen voor het opstellen van een prognosetafel Nu we de data hebben geanalyseerd is het de bedoeling een zo goed mogelijke voorspelling te doen over de ontwikkeling van de sterftekansen in de toekomst. De overlevingskansen nemen in de tijd echter niet constant toe. Dit compliceert het voorspellen van de ontwikkeling van de overlevingskansen in hoge mate. Om deze sterftekansen te voorspellen kunnen verschillende modellen gebruikt worden. In hoofdstuk 4 hebben we al drie verschillende modellen gezien. De bestaande modellen voor het opstellen van prognosetafels zijn niet allemaal makkelijk uit te voeren. Het model van het CBS bijvoorbeeld gebruikt hun ’kennis’ over de medische wetenschap om bepaalde aannamen te maken voor het verloop van het aantal doden aan een bepaalde ziekte. Aangezien deze kennis subjectief is en het CBS niet precies uitlegt hoe dit wordt toegepast, kan iemand buiten het CBS deze prognose erg moeilijk reproduceren. In de praktijk moet er een balans zijn tussen enerzijds de kwaliteit en anderzijds de bruikbaarheid en inzichtelijkheid van het model. In dit hoofdstuk zullen twee prognosemodellen besproken worden die eenvoudig en snel zijn te reproduceren. In deze twee prognoses worden als basis de afgeronde sterftekansen volgens de methode uit paragraaf 6.1 gebruikt. Voor alle handelingen die gedaan moeten worden, zoals de kleinste kwadraten methode, het schuin inlezen van de sterftekansen, etc, zijn programma’s geschreven in Visual Basic.

6.1

Het afronden van de data

We hebben in sectie 4.1.2 gezien dat de sterftekansen afgerond met het Van Broekhoven algoritme geen vloeiend verloop hebben. Dit komt doordat het algoritme steeds een kwadratisch polynoom fit op basis van 10 sterftekansen. Aangezien het allemaal om voorspellingen gaat die waarschijnlijk nooit precies uitkomen, kan men zich afvragen waarom je dan wel zo precies die sterftekansen moet afronden. Waarom zou je niet een zo goed mogelijke vloeiende stijgende lijn door de ruwe data fitten? Daarom is een andere manier om de ruwe sterftekansen glad te maken door een exponentiële functie te fitten. Maar waarom een exponentiële functie? De redenen hiervoor zijn als volgt: • Een e-macht geeft positieve waarden wat handig is omdat sterftekansen ook niet negatief kunnen zijn. • Gezien het verloop van de data lijkt een exponentiële functie een goede fit Het verloop van de sterftekansen voor zowel mannen als vrouwen is voor het jaar 2007 te zien in figuur 6.1.

54

Eigen ontwikkelde modellen voor het opstellen van een prognosetafel R u w e s te r fte k a n s e n in 2 0 0 7 o p lo g a r itm is c h e s c h a a l 1 ,0 0 0 0 0 0 0

S te rfte k a n s

0 ,1 0 0 0 0 0 0 0 ,0 1 0 0 0 0 0

M a n V ro u w

0 ,0 0 1 0 0 0 0 0 ,0 0 0 1 0 0 0

1 2 5

1 2 0

1 1 5

1 1 0

9 5

1 0 5

1 0 0

9 0

8 5

8 0

7 5

7 0

6 5

6 0

5 5

5 0

4 5

4 0

3 5

3 0

2 5

2 0

1 5

5 1 0

0

0 ,0 0 0 0 1 0 0 L e e ftijd

Figuur 6.1: Grafiek op logaritmische schaal van de sterftekansen van mannen en vrouwen in 2007

Een mogelijke verklaring waarom de sterftekansen bij mannen tussen de 18 en 30 jaar zo hoog zijn, is het grote aantal verkeersslachtoffers op die leeftijden. Verder loopt de lijn van 30 tot en met 98 jaar vrij lineair bij mannen. Voor vrouwen is de lijn van 25 tot en met 98 jaar niet helemaal lineair, er zit een lichte golf in.

6.1.1

Het afrondingsalgoritme

Definieer weer: • qrx = de ruwe sterftekansen van mannen voor leeftijd x • qx = de afgeronde sterftekansen van mannen voor leeftijd x • qry = de ruwe sterftekansen van vrouwen voor leeftijd y • qy = de afgeronde sterftekansen van vrouwen voor leeftijd y Voor het bepalen van de qx voor een gegeven x wordt uitgegaan van de waargenomen sterftekansen qrx met x = 25, . . . , 85 voor mannen. Voor het bepalen van de qy voor een gegeven y wordt uitgegaan van de waargenomen sterftekansen en qry met y = 25, . . . , 90 voor vrouwen. We beginnen bij x = y = 25, vanwege het afwijkende verloop van de sterftekansen bij de leeftijden van 0 tot en met 25 jaar. Dit afwijkende verloop is goed te zien in figuur 6.1. Voor een pensioenfonds is dit slechte deel echter niet relevant, omdat bijna alle deelnemers ouder zijn dan 25 jaar. De reden waarom we de sterftekansen boven de 85 voor mannen en boven de 90 voor vrouwen buiten beschouwing laten, is de kleine populatie op hoge leeftijd. De sterftekans voor deze hoge leeftijden fluctueert hierdoor namelijk sterk. Deze fluctuatie (ruis) is voor mannen te zien in de rechter grafiek van figuur 5.7 en voor vrouwen in de rechter grafiek van figuur 5.8. Om de ruwe data glad te maken wordt de kleinste kwadraten methode gebruikt. De kleinste kwadraten methode wordt echter niet direct op de ruwe sterftekansen toegepast, maar op een qrx ). Deze transformatie transformatie daarvan, voor mannen aangeduid met f r(x) = ln( 1−qr x passen we toe, zodat voor de afgeronde sterftekansen geldt qx ∈ [0, 1]. Bij vrouwen wordt dezelfde transformatie toegepast vanwege dezelfde reden.

6.1 Het afronden van de data

55

Het algoritme bepaalt vervolgens voor mannen en vrouwen respectievelijk min

A1 ,A2

85 X

2

[f (xi ) − f r(xi )]

90 X

min

a1 ,a2 ,a3 ,a4

i=25

[f (yi ) − f r(yi )]2

i=25

met f (x) = A1 + A2 xc en f (y) = a1 + a2 y + a3 y 2 + a4 y 3 . In de volgende sectie zal de keuze voor deze functies nader worden toegelicht. Met behulp van de gevonden A1 en A2 kun je de sterftekansen voor de mannen voor leeftijden 0 t/m 125 bepalen door: eA1 +A2 x ef (x) qx = = 1 + eA1 +A2 xc 1 + ef (x) Voor de vrouwen zijn met behulp van de gevonden a1 , a2 , a3 en a4 de sterftekansen voor leeftijden 0 t/m 125 te bepalen door: 2

3

ea1 +a2 y+a3 y +a4 y ef (y) qy = = 1 + ef (y) 1 + ea1 +a2 y+a3 y2 +a4 y3 De versie van de kleinste kwadraten die in Excel het makkelijkste is uit te voeren is de versie die gebruik maakt van matrices, namelijk f (x) = [1 xc ](X T X)−1 X T Z1 met

   X= 

1 x25 .. .. . . .. .. . . 1 x85





   

  , Y = 

f (y) = [1 y y 2 y 3 ](Y T Y )−1 Y T Z2

en

 1 y25 .. ..  . .  .. ..  . .  1 y90

   , Z1 =  

f r(x25 ) .. . .. . f r(x85 )





   

  en Z2 =  

f r(y25 ) .. . .. . f r(y90 )

    

Hieruit volgen voor mannen de A1 en A2 , want [A1 A2 ]T = (X T X)−1 X T Z1 . Voor vrouwen volgen de a1 , a2 , a3 en a4 , want [a1 a2 a3 a4 ]T = (Y T Y )−1 Y T Z2 .

6.1.2

Toelichting op gemaakte keuzes

De keuze om bij mannen een lineaire functie voor f (x) te gebruiken (c=1) is gebaseerd op het feit dat f r(x) bij benadering een rechte lijn vormt, zie grafiek 6.2. fr ( x ) v o o r d a ta u it 2 0 0 7 2 ,0 0 0 0 0 0 0 ,0 0 0 0 0 0

W a a rd e

-2 ,0 0 0 0 0 0

fr(x ) (c = 1 ) f(x )

-4 ,0 0 0 0 0 0

G e n e ra tie 1 9 2 0

-6 ,0 0 0 0 0 0

G e n e ra tie 1 9 4 6

-8 ,0 0 0 0 0 0

9 7

9 3

8 9

8 5

8 1

7 7

7 3

6 9

6 5

6 1

5 7

5 3

4 9

4 5

4 1

3 7

3 3

2 9

2 5

-1 0 ,0 0 0 0 0 0

L e e ftijd

Figuur 6.2: De functie f r(x) en de gefitte functie f (x)

56

Eigen ontwikkelde modellen voor het opstellen van een prognosetafel

In deze grafiek zie je de twee slechtere generaties uit 1946 en 1920, die ook in figuur 5.1 en 5.2 duidelijk te zien waren. De roze lijn in de grafiek is de lineaire fit voor f r(x). Wat opvalt is dat vanaf 33 tot en met 70 jaar f (x) iets hoger ligt dan f r(x) en vanaf 70 jaar juist veel lager. De fit is dus twijfelachtig. Aangezien de afgeronde sterftekansen worden berekend met behulp van deze fit, gaan we kijken wat het effect is op de afgeronde sterftekansen. In figuur 6.3 zijn de ruwe (tot en met 99 jaar) versus de afgeronde sterftekansen te zien (rechts op logaritmische schaal).

D e s te rfte k a n s e n v o o r 2 0 0 7 ru w v s a fg e ro n d

D e s te rfte k a n s e n v o o r 2 0 0 7 ru w v s a fg e ro n d 1 ,0 0 0 0 0 0 0

1 ,0 0 0 ,9 0 0 ,8 0

0 ,1 0 0 0 0 0 0

g la d g e m a a k te q x

0 ,6 0 0 ,5 0

ru w e q x

0 ,4 0

s te rfte k a n s

s te rfte k a n s

0 ,7 0


0 ,0 1 0 0 0 0 0

ru w e q x

0 ,0 0 1 0 0 0 0

0 ,3 0 0 ,2 0

0 ,0 0 0 1 0 0 0

0 ,1 0 0 ,0 0

1 2 5

1 2 1

1 1 7

1 1 3

1 0 9

9 7

1 0 5

9 3

1 0 1

8 9

8 5

8 1

7 7

7 3

6 9

6 5

6 1

5 7

5 3

4 9

4 5

4 1

3 7

3 3

2 9

2 5

1 2 5

1 2 1

1 1 7

1 1 3

1 0 9

9 7

1 0 5

9 3

1 0 1

8 9

8 5

8 1

7 7

7 3

6 9

6 5

6 1

5 7

5 3

4 9

4 5

4 1

3 7

3 3

2 9

2 5

0 ,0 0 0 0 1 0 0

le e ftijd

le e ftijd

Figuur 6.3: De ruwe sterftekansen vs de afgeronde sterftekansen van mannen in 2007 De afronding blijkt de werkelijkheid niet goed te benaderen. Van 33 tot en met 70 jaar is de afronding hoger dan de werkelijke cijfers en vanaf 85 jaar is de afronding te laag. Bij de fit van f r(x) was dit ook het geval. Daarom is nu de volgende functie gebruikt bij het afronden van de c sterftekansen: eA1 +A2 x . Voor de mannen is voor verschillende jaartallen gekeken welke waarde van c de beste fit geeft. Door middel van trial and error bleek, als we kijken naar 1 decimaal, c = 1, 5 het beste te zijn. In hoofdstuk 7 zal nader worden toegelicht waarom c = 1, 5 veel beter is dan bijvoorbeeld c = 1, 7. In figuur 6.4 zijn dezelfde sterftekansen gebruikt als in figuur 6.2 en figuur 6.3. fr ( x ) v o o r d a ta u it 2 0 0 7

D e s te rfte k a n s e n v o o r 2 0 0 7 ru w v s a fg e ro n d

2 ,0 0 0 0 0 0

1 ,0 0 0 0 0 0 0

1 ,0 0 0 0 0 0 0 ,0 0 0 0 0 0

0 ,1 0 0 0 0 0 0

W a a rd e

-2 ,0 0 0 0 0 0

fr(x ) (c = 1 ,5 ) f(x )

-3 ,0 0 0 0 0 0 -4 ,0 0 0 0 0 0 -5 ,0 0 0 0 0 0

s te rfte k a n s

-1 ,0 0 0 0 0 0


0 ,0 1 0 0 0 0 0

ru w e q x

0 ,0 0 1 0 0 0 0

-6 ,0 0 0 0 0 0 -7 ,0 0 0 0 0 0

0 ,0 0 0 1 0 0 0

-8 ,0 0 0 0 0 0 -9 ,0 0 0 0 0 0

L e e ftijd

1 2 5

1 2 1

1 1 7

1 1 3

1 0 9

1 0 5

1 0 1

9 7

9 3

8 9

8 5

8 1

7 7

7 3

6 9

6 5

6 1

5 7

5 3

4 9

4 5

4 1

3 7

3 3

2 9

2 5

9 7

9 3

8 9

8 5

8 1

7 7

7 3

6 9

6 5

6 1

5 7

5 3

4 9

4 5

4 1

3 7

3 3

2 9

2 5

0 ,0 0 0 0 1 0 0

le e ftijd

Figuur 6.4: c = 1, 5: Links f r(x) inclusief fit en rechts de ruwe vs de afgeronde sterftekansen Met deze fit voor f r(x) benaderen nu de afgeronde sterftekansen de werkelijke sterftekansen een stuk beter. Voor vrouwen ziet de grafiek van f r(y) eruit als in figuur 6.5. Er zijn drie verschillende fits gebruikt, namelijk een eerstegraads, een tweedegraads en een derdegraads polynoom.

6.2 Voorspellingen op basis van sterftetrend

57 D e s te rfte k a n s e n v o o r 2 0 0 7 ru w v s a fg e ro n d

fr ( y ) v o o r d a ta u it 2 0 0 7 2 ,0 0 0 0 0 0 1 ,0 0 0 0

0 ,0 0 0 0 0 0

fr(y )

0 ,1 0 0 0

(d e rd e g ra a d s ) f(y )

-4 ,0 0 0 0 0 0

W

2

R

-6 ,0 0 0 0 0 0

R

P o ly . ( fr ( y ) )

= 0 ,9 8 4 7

2

= 0 ,9 9 2

R ^ 2 = 0 ,9 9 6 5

-8 ,0 0 0 0 0 0

s te r fte k a n s

g la d g e m a a k te q y

0 ,0 1 0 0

ru w e q y

0 ,0 0 1 0

L in e a r ( fr ( y ) ) 0 ,0 0 0 1

1 2 5

1 2 1

1 1 7

1 1 3

1 0 9

1 0 5

9 7

9 3

1 0 1

8 9

8 5

8 1

7 7

7 3

6 9

6 5

6 1

5 7

5 3

4 9

4 5

4 1

3 7

3 3

9 7

9 4

9 1

8 8

8 5

8 2

7 9

7 6

7 3

7 0

6 7

6 4

6 1

5 8

5 5

5 2

4 9

4 6

4 3

4 0

3 7

3 4

3 1

2 8

2 5

L e e ftijd

2 9

0 ,0 0 0 0

-1 0 ,0 0 0 0 0 0

2 5

a a r d e

-2 ,0 0 0 0 0 0

L e e ftijd

Figuur 6.5: Derdegraads polynoom: Links f r(y) inclusief fit en rechts de ruwe vs afgeronde sterftekansen

Zoals te zien komt de lineaire fit niet helemaal overeen, vanwege de ’golvende’ vorm van de curve van f r(y). De keuze om de getransformeerde sterftekansen van vrouwen te fitten met een derdegraads polynoom zal in hoofdstuk 7 nader worden toegelicht. Het blijkt namelijk dat de afgeronde sterftekansen structureel niet kloppen ten opzichte van de ruwe sterftekansen als we een van de andere twee functies gebruiken.

6.2

Voorspellingen op basis van sterftetrend

Het eerste model is gebaseerd op de sterftetrend die zich in de loop der jaren heeft voorgedaan. Deze manier van voorspellen komt overeen met het begin van het model van Cairns, Blake en Dowd [15]. Zij gebruiken het verloop van deze trends als startpunt van hun model. Echter het vervolg van het model is erg complex. In deze scriptie zijn we op zoek naar een eenvoudig model. Daarom is het model van Cairns et al. alleen als uitgangspunt gebruikt voor dit model. Vervolgens is er door middel van logisch nadenken op een eigen manier mee verder gewerkt. Zoals beschreven in sectie 6.1 worden per kalenderjaar de getransformeerde sterftekansen van 1,5 mannen afgerond met behulp van de functie eA1 +A2 x . De getransformeerde sterftekansen 2 3 van vrouwen worden afgerond met behulp van de functie ea1 +a2 y+a3 y +a4 y . Aangezien voor mannen en vrouwen twee verschillende functies worden gebruikt, zullen we in sectie 6.2.1 het model voor mannen bespreken en in sectie 6.2.2 het model voor vrouwen. In de volgende hoofdstukken zullen we als naam voor deze prognose op basis van sterftetrend ’Voorspelling1’ gebruiken.

6.2.1

Model voor mannen 1,5

Voor mannen ronden we een transformatie van de ruwe sterftekansen af met de functie eA1 +A2 x voor de jaren 1950 tot en met 2007. Hierdoor hebben we nu ook de verschillende waarden van A1 en van A2 voor 1950 tot en met 2007. Deze A1 en A2 gaan we nu gebruiken om de A1 en de A2 voor de toekomstige jaren, 2008 tot en met 2050, te voorspellen. Aan de hand van die A1 en A2 kunnen dan de sterftekansen per kalenderjaar worden bepaald voor leeftijd x door middel van 1,5 eA1 +A2 x qx = 1 + eA1 +A2 x1,5

58


De grafieken van A1 en A2 voor mannen zijn te zien in figuur 6.6. Er geldt dat A1 vanaf 1950 blijft dalen terwijl A2 juist stijgt. F it d o o r r u w e A 2 m a n

F it d o o r r u w e A 1 m a n -7 ,0 0

0 ,0 0 9 4 0 ,0 0 9 2

-8 ,5 0

k w a d r a tis c h e fit A 1

a a r d e

ru w A 1

0 ,0 0 8 8

W

0 ,0 0 9 0

-8 ,0 0

0 ,0 0 8 4

ru w A 2

0 ,0 0 8 6

-9 ,0 0

0 ,0 0 8 2

-9 ,5 0

0 ,0 0 7 8

lin e a ir e fit A 2

y = 1 E -0 5 x + 0 ,0 0 8 6 R ^ 2 = 0 ,8 2 7 3

J a a r

2 0 0 6

2 0 0 2

1 9 9 8

1 9 9 4

1 9 9 0

1 9 8 6

1 9 8 2

1 9 7 8

1 9 7 4

1 9 7 0

1 9 6 6

1 9 6 2

1 9 5 8

1 9 5 4

1 9 5 0

2 0 0 6

2 0 0 2

1 9 9 8

1 9 9 4

1 9 9 0

1 9 8 6

1 9 8 2

1 9 7 8

1 9 7 4

1 9 7 0

1 9 6 6

1 9 6 2

1 9 5 8

1 9 5 0

0 ,0 0 8 0 1 9 5 4

a a r d e

-7 ,5 0

W

0 ,0 0 9 6

y = -0 ,0 0 0 2 x ^ 2 - 0 ,0 0 1 1 x - 8 ,2 4 1 R ^ 2 = 0 ,9 5 2

J a a r

Figuur 6.6: De A1 en A2 voor de man van 1950 t/m 2007

In de grafieken uit figuur 6.6 is de rode lijn de fit voor respectievelijk A1 en A2 . Voor beide kunnen we de hele dataset gebruiken. Op basis van deze dataset kunnen we A1 het beste kwadratisch fitten vanwege de duidelijk zichtbare boog in de data. Kwadratisch lijkt een goede fit, want R2 = 0, 95. Vanaf 2003 is een sterke daling van A1 te zien. Voor A2 is een lineaire fit het beste, omdat de waarden van A2 vrijwel lineair oplopen. Bij 1956, 1970 en 1992 zijn wel drie duidelijke veranderingen van trend te zien. Stel we zouden zowel A1 als A2 lineair fitten, dan blijkt dat de sterftekansen voor 2008 tot en met 2050 steeds groter worden in plaats van kleiner. Dit is niet realistisch, vandaar dat een kwadratische fit voor A1 de beste optie is. Nu we de waarden hebben van A1 en A2 voor 2008 tot en met 2050, kunnen we de sterftekansen voor 2008 tot en met 2050 berekenen. Deze sterftekansen nemen per jaar flink af bij de man, zie figuur 6.7. V o o r s p e llin g 1 2 0 0 8 -2 0 5 0 m a n n e n 1 ,0 0 0 0 0 0 0 0 ,9 0 0 0 0 0 0 0 ,8 0 0 0 0 0 0

S te rfte k a n s

0 ,7 0 0 0 0 0 0 0 ,6 0 0 0 0 0 0 0 ,5 0 0 0 0 0 0 0 ,4 0 0 0 0 0 0 0 ,3 0 0 0 0 0 0 0 ,2 0 0 0 0 0 0 0 ,1 0 0 0 0 0 0

2 0 0 2 0 2 2 0 3 2 0 4 4

2

0

8

2 0 0 2 0 2 2 0 3 2 0 4 5

3

1

9

2 0 1 2 0 2 2 0 3 2 0 4 6

4

2

0

2 0 1 2 0 2 2 0 3 2 0 4 7

5

3

1

2 0 1 2 0 2 2 0 3 2 0 4 8

6

4

2

2 0 1 2 0 2 2 0 3 2 0 4 9

7

5

3

2 0 1 2 0 2 2 0 3 2 0 5 0

8

6

4

2 0 1 5 2 0 2 7 2 0 3 9

2 0 1 6 2 0 2 8 2 0 4 0

2 0 1 7 2 0 2 9 2 0 4 1

2 0 1 8 2 0 3 0 2 0 4 2

Figuur 6.7: De voorspelling 2008-2050 voor mannen

1 2 5

1 2 0

1 1 5

1 1 0

1 0 5

1 0 0

L e e ftijd

9 5

9 0

8 5

8 0

7 5

7 0

6 5

6 0

5 5

5 0

4 5

4 0

3 5

3 0

2 5

2 0

1 5

1 0

5

0

0 ,0 0 0 0 0 0 0

2 0 1 9 2 0 3 1 2 0 4 3

6.2 Voorspellingen op basis van sterftetrend

59

De vraag is nu, is deze daling in sterftekansen reëel? Zoals al besproken in hoofdstuk 4.2 zijn er de mening van de gerontologische school (veroudering als een natuurlijk proces dat maar in bescheiden mate kan worden be¨ınvloed) en de geriatrische school (de gunstige trend in de levensverwachting uit de afgelopen jaren zal in de komende decennia aanhouden). Het CBS maakt iedere twee jaar een prognose op basis van doodsoorzaken. Na elke twee jaar blijkt weer dat de sterftekansen te hoog ingeschat zijn. De dalende trend wordt bij iedere prognose tóch weer afgevlakt, net zoals bij de prognose van het AG. De voorspellingen blijken dus keer op keer weer te laag ingeschat te worden, waardoor bij herziening van de prognosetafels blijkt dat de mensen toch weer langer zijn blijven leven dan men dacht. Hierdoor moet de TV van een pensioenfonds ook weer naar boven worden bijgesteld. De sterke daling in sterftekansen in Voorspelling1 kan dus best reëel zijn.

6.2.2

Model voor vrouwen

Voor vrouwen ronden we een transformatie van de ruwe sterftekansen af met behulp van de 2 3 functie ea1 +a2 y+a3 y +a4 y voor de jaren 1950 tot en met 2007. Hierdoor hebben we dus ook de verschillende waarden van a1 tot en met a4 voor 1950 tot en met 2007. Deze waarden gaan we nu gebruiken om de a1 , a2 , a3 en a4 voor de toekomstige jaren, 2008 tot en met 2050, te voorspellen. Aan de hand van die a1 tot en met a4 kunnen dan de sterftekansen per kalenderjaar worden bepaald voor leeftijd y door middel van 2

3

ea1 +a2 y+a3 y +a4 y qy = 1 + ea1 +a2 y+a3 y2 +a4 y3 De grafieken van a1 , a2 , a3 en a4 voor vrouwen zijn te zien in figuur 6.8. Er geldt dat a1 en a3 vanaf 1950 blijft dalen terwijl a2 en a4 juist stijgen. F it d o o r r u w e a 1 v r o u w

F it d o o r r u w e a 2 v r o u w

-6 ,0 0

0 ,3 0 0 0

-9 ,0 0

ru w a 1

-1 0 ,0 0

lin e a ir e fit a 1

-1 1 ,0 0

0 ,2 0 0 0

W

-1 2 ,0 0

0 ,1 5 0 0

ru w a 2

0 ,1 0 0 0

y = 0 ,0 0 4 x - 0 ,0 0 3 8 R ^ 2 = 0 ,9 0 1 2

0 ,0 5 0 0

-1 3 ,0 0

0 ,0 0 0 0

-1 4 ,0 0 -1 5 ,0 0

2 0 0 6

2 0 0 2

1 9 9 8

1 9 9 4

1 9 9 0

1 9 8 6

1 9 8 2

1 9 7 8

1 9 7 4

1 9 7 0

1 9 6 6

1 9 6 2

1 9 5 8

1 9 5 0

2 0 0 6

2 0 0 2

1 9 9 8

1 9 9 4

1 9 8 6

1 9 8 2

1 9 7 8

1 9 7 4

1 9 7 0

1 9 6 6

1 9 6 2

1 9 5 8

1 9 5 4

1 9 5 0

1 9 9 0

J a a r

J a a r



0 ,0 0 2 0

0 ,0 0 0 0 2 5

0 ,0 0 1 0

0 ,0 0 0 0 2 0 ru w a 3

-0 ,0 0 1 0


-0 ,0 0 2 0

y = -7 E -0 5 x + 0 ,0 0 1 2 R ^ 2 = 0 ,9 0 5 3

-0 ,0 0 3 0

W a a rd e

0 ,0 0 0 0 1 5

0 ,0 0 0 0

0 ,0 0 0 0 1 0

ru w a 4 lin e a ir e fit a 4

0 ,0 0 0 0 0 5

y = 4 E -0 7 x - 3 E -0 6 R ^ 2 = 0 ,8 9 8 8

0 ,0 0 0 0 0 0 -0 ,0 0 0 0 0 5

-0 ,0 0 4 0

J a a r

J a a r

Figuur 6.8: De a1 tot en met a4 voor de vrouw van 1950 t/m 2007

2 0 0 6

2 0 0 2

1 9 9 8

1 9 9 4

1 9 9 0

1 9 8 6

1 9 8 2

1 9 7 8

1 9 7 4

1 9 7 0

1 9 6 6

1 9 6 2

1 9 5 8

1 9 5 4

1 9 5 0

2 0 0 6

2 0 0 2

1 9 9 8

1 9 9 4

1 9 9 0

1 9 8 6

1 9 8 2

1 9 7 8

1 9 7 4

1 9 7 0

1 9 6 6

1 9 6 2

1 9 5 8

1 9 5 4

-0 ,0 0 0 0 1 0 1 9 5 0

W a a rd e


-0 ,0 5 0 0 1 9 5 4

W a a rd e

0 ,2 5 0 0

y = -0 ,0 8 4 1 x - 7 ,9 7 4 R ^ 2 = 0 ,9 1 2 1

-8 ,0 0

a a r d e

-7 ,0 0

60


In figuur 6.8 is te zien dat voor alle a’s de trend lineair is. Vanaf 1982 is er wel een kleine verandering te zien qua trend. Toch lijkt er weinig reden om data weg te laten. Voor alle a’s gebruiken we dus alle data en fitten we een lineaire lijn. Nu we de waarden van a1 tot en met a4 voor 2008 tot en met 2050 hebben bepaald, kunnen we de sterftekansen voor 2008 tot en met 2050 berekenen. Deze sterftekansen nemen per jaar veel minder af dan bij de mannen, zie figuur 6.9. Dit is op basis van de analyse uit hoofdstuk 5 zeer reëel, aangezien de sterke daling bij vrouwen de afgelopen jaren een beetje is afgenomen, terwijl die daling bij mannen juist flink is toegenomen.

V o o r s p e llin g 1 2 0 0 8 -2 0 5 0 v r o u w e n 1 ,0 0 0 0 0 0 0 0 ,9 0 0 0 0 0 0 0 ,8 0 0 0 0 0 0

S te rfte k a n s

0 ,7 0 0 0 0 0 0 0 ,6 0 0 0 0 0 0 0 ,5 0 0 0 0 0 0 0 ,4 0 0 0 0 0 0 0 ,3 0 0 0 0 0 0 0 ,2 0 0 0 0 0 0 0 ,1 0 0 0 0 0 0

4

2

0

8

2 0 0 2 0 2 2 0 3 2 0 4 5

3

1

9

2 0 1 2 0 2 2 0 3 2 0 4 6

4

2

0

2 0 1 2 0 2 2 0 3 2 0 4 7

5

3

1

2 0 1 2 0 2 2 0 3 2 0 4 8

6

4

2

2 0 1 2 0 2 2 0 3 2 0 4 9

7

5

3

2 0 1 2 0 2 2 0 3 2 0 5 0

8

6

4

2 0 1 5 2 0 2 7 2 0 3 9

2 0 1 6 2 0 2 8 2 0 4 0

2 0 1 7 2 0 2 9 2 0 4 1

2 0 1 8 2 0 3 0 2 0 4 2

1 2 5

1 2 0

1 1 5

1 1 0

9 5

1 0 5

L e e ftijd 2 0 0 2 0 2 2 0 3 2 0 4

1 0 0

9 0

8 5

8 0

7 5

7 0

6 5

6 0

5 5

5 0

4 5

4 0

3 5

3 0

2 5

2 0

1 5

5

1 0

0

0 ,0 0 0 0 0 0 0

2 0 1 9 2 0 3 1 2 0 4 3

Figuur 6.9: De voorspelling 2008-2050 voor vrouwen

6.3

Voorspellingen op basis van generaties

Het tweede model is gebaseerd op het sterftepatroon per generatie. In het hoofdstuk over de analyse van sterftekansen kwamen er twee duidelijk generaties naar voren. Dit wekt meteen de vraag of het niet beter is de sterftekansen voor generaties te voorspellen in plaats van per kalenderjaar. Daarnaast is het voor de bepaling van de TV van een pensioenfonds nodig om te weten wat de gemiddelde resterende levensverwachting is van alle personen die in één kalenderjaar 65 worden en dus allemaal in hetzelfde jaar zijn geboren. Deze methode heeft echter als nadeel dat de levensverwachting van deze personen pas over 35 jaar uitgerekend kan worden omdat dan pas bijna het hele cohort is uitgestorven. Dit tekort aan data bleek problemen te geven bij het voorspellen van de sterftekansen. Daarom is deze methode in het vervolg van deze scriptie niet meer gebruikt. Aangezien het wel een goede methode kan zijn voor verder onderzoek, zal het model kort beschreven worden.

6.3 Voorspellingen op basis van generaties

6.3.1

61

Het model

In 2007 is de generatie van 1882 helemaal uitgestorven als we aannemen dat mensen niet ouder dan 125 jaar worden. Daarom kijken we naar de generaties geboren in 1882 tot en met 2007. De sterftetafel met de afgeronde sterftekansen moet dan schuin worden afgelezen. In figuur 6.10 is een voorbeeld te zien voor de generatie van 1950. We nemen dan de 0-jarige sterftekans in 1950, de 1-jarige sterftekans in 1951, etc, tot en met de 57-jarige sterftekans in 2007.

Figuur 6.10: Uit de afgeronde sterftetafel de sterftekansen per generatie uitlezen De data die voorhanden is, zijn de sterftekansen van 1950 tot en met 2007. Voor de generatie uit 1882 hebben we dan de sterftekans van een 68-jarige in 1950 tot en met de sterftekans van een 125-jarige in 2007. Voor de generatie uit 1883 hebben we de sterftekans van een 67-jarige in 1950 tot en met de sterftekans van een 124-jarige in 2007, etc. Voor de generaties van 1882 tot en met 1950 zijn er dus per generatie voor 58 leeftijden de sterftekansen voorhanden. Voor de generaties van 1951 tot en met 2007 gaat dit op dezelfde manier, alleen wordt per generatie het aantal leeftijden waarvoor de sterftekansen voorhanden zijn steeds één minder. Voor de generatie 2007 is er alleen nog maar de sterftekans van een 0-jarige bekend. Voor alle generaties hebben we nu dus maar een deel van de sterftekansen, terwijl we graag voor alle leeftijden de sterftekansen willen weten, of in ieder geval vanaf 20 jaar. Daarom gaan we met behulp van het algoritme uit sectie 6.1 per generatie een functie fitten door de beschikbare data. Voor deze fit gebruiken we de data vanaf 25 jaar of indien de beschikbare data pas na 25 jaar begint dan de data vanaf de leeftijd dat de data beschikbaar is. De sterftekans van bijvoorbeeld een 24-jarige man zouden we dan als volgt kunnen berekenen: c

qθ=24

eA1 +A2 ∗(−1) = 1 + eA1 +A2 ∗(−1)c

Om geen complexe sterftekans te krijgen, moeten we dus c = 1 gebruiken. Voor de generaties vanaf 1974 zijn er te weinig sterftekansen beschikbaar om een goede fit te kunnen maken. Voor 1974 geldt bijvoorbeeld dat we een fit moeten maken op basis van de sterftekansen vanaf 25 jaar tot en met 33 jaar, want in 2007 hebben de mensen uit generatie 1974 de leeftijd 33. Dit is erg weinig data om een goede fit op te kunnen baseren, aangezien er een verschillend verloop van de sterftekansen voor 30 jaar en na 30 jaar plaatsvindt (zie figuur 6.1).

62


In figuur 6.11 zijn voor een paar mannelijke generaties de sterftekansen uitgezet tegen de leeftijd.

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 2 2 2 2

1 2 1

2

1 1 3

9 7

8 9

1 0 5

L e e fitjd

8 1

7 3

6 5

5 7

4 9

4 1

3 3

2 5

1 8 8 1 9 0 1 9 2 1 9 4 1 9 6 1 9 7

9

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 7

1 ,0 0 ,9 0 ,8 0 ,7 0 ,6 0 ,5 0 ,4 0 ,3 0 ,2 0 ,1 0 ,0

1

S te r fte k a n s

S te r fte k a n s e n p e r g e n e r a tie

Figuur 6.11: De sterftekansen voor een paar generaties

Je ziet dat voor de generaties van 1962 en 1972 de sterftekansen veel te laag liggen. Een 125jarige heeft daar namelijk kleiner of gelijk aan 50% kans om te overlijden. De sterftekansen zijn dus erg onbetrouwbaar op deze manier. Wat nu nog resteert is de omzetting van sterftekansen per generatie naar sterftekansen per kalenderjaar. We hebben nu namelijk de sterftekansen van een 0-jarige tot en met een 125jarige van de generaties 1882 tot en met 1974. Wat we willen is een prognosetafel, dat wil zeggen de sterftekansen per kalenderjaar van 2007 tot en met 2050. De 60-jarige sterftekans uit generatie 1960 wordt nu dus de 60-jarige sterftekans in het kalenderjaar 2020 en de 61-jarige sterftekans uit generatie 1960 wordt nu de 61-jarige sterftekans in het kalenderjaar 2021, etc. Omdat we vanaf 1974 geen fit hebben gemaakt, zijn de sterftekansen in 2008 pas vanaf 35 jaar beschikbaar, in 2009 pas vanaf 36 jaar, etc.

6.4

Conclusie

In dit hoofdstuk hebben we twee modellen gezien om sterftekansen te voorspellen. Het model op basis van generaties zal in het vervolg van deze scriptie niet meer aan bod komen. Het tekort aan data bleek problemen te geven bij het voorspellen van de sterftekansen. Het is wel een aanrader voor verder onderzoek, omdat we in de figuren 5.1 gezien hebben dat bepaalde generaties beter (of slechter) zijn dan andere. Het model op basis van sterftetrends, Voorspelling1 genaamd, is een eenvoudig en snel uit te voeren prognosemodel. Maar hoe geloofwaardig is dit model? In het volgende hoofdstuk zal daarom een aantal controles worden uitgevoerd om te kijken hoe plausibel dit model is.

Hoofdstuk 7 Plausibiliteit van het eigen ontwikkelde prognosemodel In het vorige hoofdstuk is het zelf ontwikkelde afrondingsalgoritme en het zelf ontwikkelde model op basis van sterftetrends uitgelegd. In dit hoofdstuk wordt gecontroleerd of deze afrondingsfuncties robuust genoeg zijn, maar ook of deze functies de ruwe data goed weerspiegelen. Vervolgens wordt Voorspelling1 gecontroleerd, door het model toe te passen op het verleden. We gebruiken dus bijvoorbeeld data tot en met 2000 en voorspellen daarmee de sterftekansen voor 2001 tot en met 2007.

7.1

Controle van de afronding

Zoals we hebben gezien in sectie 6.2, wordt er voor mannen een andere afrondingsfunctie gebruikt dan voor vrouwen. De keuze voor deze afrondingsfunctie wordt in dit hoofdstuk nader toegelicht. De controle is opgesplitst in een controle voor mannen en een controle voor vrouwen.

7.1.1

Controle voor mannen c

Een transformatie van de ruwe sterftekansen wordt bij mannen afgerond met de functie eA1 +A2 x , met c = 1, 5. Maar hoe robuust is deze functie eigenlijk? Zoals is beschreven in sectie 5.2 is er een simulatie geschreven in Visual Basic om te kijken hoe groot de spreiding in sterftekansen kan zijn. Om te kijken hoe deze functie reageert op de spreiding van de sterftekansen, gaan we de ruwe gesimuleerde sterftekansen afronden met behulp van de methode die beschreven is in c sectie 6.1. We gebruiken dus voor alle 200 runs de functie eA1 +A2 x met c = 1, 5. De afgeronde sterftekansen zijn geplot in grafiek 7.1. 2 0 0 r u n s ja a r 2 0 0 0 g la d g e m a a k t m a n n e n v a n 8 0 t/m 9 8 ja a r

0 ,7 0 0 0 0 0

0 0

0 ,6 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 ,5 0 0 0 0 0

S te rfte k a n s

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 ,4 0 0 0 0 0 0 ,3 0 0 0 0 0 0 ,2 0 0 0 0 0 0 ,1 0 0 0 0 0

0 0 1 2 1

1 1 5

1 0 9

9 7

9 1

1 0 3

L e e ftijd

8 5

7 9

7 3

6 7

6 1

5 5

4 9

4 3

0 0 3 7

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

3 1

1 ,0 0 ,9 0 ,8 0 ,7 0 ,6 0 ,5 0 ,4 0 ,3 0 ,2 0 ,1 0 ,0

2 5

S te rfte k a n s

2 0 0 r u n s ja a r 2 0 0 0 g la d g e m a a k t m a n n e n v a n 2 5 t/m 1 2 5 ja a r

0 ,0 0 0 0 0 0

8 0

8 1

8 2

8 3

8 4

8 5

8 6

8 7

8 8

8 9

9 0

L e e ftijd

9 1

9 2

9 3

9 4

9 5

9 6

9 7

9 8

Figuur 7.1: De 200 afgeronde gesimuleerde sterftekansen van mannen in het jaar 2000

64

Plausibiliteit van het eigen ontwikkelde prognosemodel

In de rechter grafiek is te zien dat vanaf 80 jaar de afgeronde functies steeds iets verder uit elkaar gaan lopen. Dit komt door de grotere spreiding van de sterftekansen op hoge leeftijden, zoals ook in de rechter grafiek van figuur 5.7 te zien was. De e-macht reageert bij mannen dus matig op de grote spreiding in ruwe data, wat aangeeft dat de stochastiek van beperkte invloed is. Een manier om het effect te onderzoeken van het uiteenlopen van de lijnen, is door te kijken naar het gemiddeld aantal jaren nog te leven als iemand nu x jaar oud is. In sectie 3.5 is de manier van berekenen van ’het gemiddeld aantal jaren nog te leven’ uitgelegd. Voor respectievelijk x = 30, 55, 65 en 85 is voor alle 200 simulaties het gemiddeld aantal nog te leven jaren voor de mannen geplot. Dit is te zien in figuur 7.2.

Figuur 7.2: Het gesimuleerde gemiddeld aantal jaren nog te leven (man op leeftijd 30, 55, 65 en 85) Met de sterftekansen van het jaar 2000 (dus zonder sterfteverbetering) wordt een 30-jarige man gemiddeld 77,4 jaar oud, een 55-jarige man gemiddeld 78,8 jaar oud, een 65-jarige man gemiddeld 80,7 jaar oud en een 85-jarige man gemiddeld 89,3 jaar oud. De standaard deviatie, die de mate van spreiding aangeeft, is erg klein. De invloed van de uiteenlopende lijnen in grafiek 7.1 is dus niet groot. Nu we weten dat de e-macht robuust genoeg is, willen we kunnen beoordelen of de afgeronde en voorspelde sterftekansen logisch zijn. Laten we kijken naar figuur 7.3. In de linker drie

7.1 Controle van de afronding

65 c

grafieken is voor de afronding en voorspelling eA1 +A2 x met c = 1, 5 gebruikt en in de rechter c grafieken eA1 +A2 x met c = 1, 7. 0 ,0 0 1 8

r u w e

0 ,0 0 1 6

3 0

ja r ig e

0 ,0 0 1 8

r u w e

0 ,0 0 1 6

3 0

ja r ig e

0 ,0 0 1 4

0 ,0 0 1 4 0 ,0 0 1 2

a fg e r o n d ja r ig e

0 ,0 0 1 0

3 0

0 ,0 0 0 8

0 ,0 0 1 2 0 ,0 0 1 0


3 0

V o o r s p 1

0 8 - 5 0

0 ,0 0 0 8

0 ,0 0 0 6

V o o r s p 1

0 ,0 0 0 4

0 8 - 5 0

0 ,0 0 0 2

0 ,0 0 0 6 0 ,0 0 0 4 0 ,0 0 0 2 0 ,0 0 0 0

r u w e

0 ,0 0 7 0

5 0

ja r ig e

0 ,0 0 6 0

2 0 4 6

0 8 - 5 0

2 0 4 0

2 0 3 4

2 0 2 8

2 0 2 2

2 0 1 6

2 0 1 0

2 0 0 4

1 9 9 8

1 9 9 2

1 9 8 6

1 9 8 0

1 9 7 4

1 9 6 8

1 9 5 6

2 0 4 6

0 ,0 0 8 0

A G

1 9 5 0

0 8 - 5 0

2 0 4 0

2 0 3 4

2 0 2 8

2 0 2 2

2 0 1 6

2 0 1 0

2 0 0 4

1 9 9 8

1 9 9 2

1 9 8 6

1 9 8 0

1 9 7 4

1 9 6 8

1 9 6 2

1 9 5 6

1 9 5 0

A G

1 9 6 2

0 ,0 0 0 0

0 ,0 0 8 0

r u w e

0 ,0 0 7 0

5 0

ja r ig e

0 ,0 0 6 0

0 ,0 0 5 0 0 ,0 0 4 0 0 ,0 0 3 0 0 ,0 0 2 0


5 0

V o o r s p 1

0 8 - 5 0

0 ,0 0 5 0 0 ,0 0 4 0 0 ,0 0 3 0 0 ,0 0 2 0


5 0

V o o r s p 1

0 8 - 5 0

0 ,0 0 1 0

0 ,0 0 1 0

0 ,0 0 0 0

0 ,0 6 0 0

r u w e

7 0

ja r ig e

0 ,0 5 0 0

2 0 4 6

0 8 - 5 0

2 0 4 0

2 0 3 4

2 0 2 8

2 0 2 2

2 0 1 6

2 0 1 0

2 0 0 4

1 9 9 8

1 9 9 2

1 9 8 6

1 9 8 0

1 9 7 4

1 9 6 8

1 9 5 6

A G

1 9 5 0

2 0 4 6

0 8 - 5 0

2 0 4 0

2 0 3 4

2 0 2 8

2 0 2 2

2 0 1 6

2 0 1 0

2 0 0 4

1 9 9 8

1 9 9 2

1 9 8 6

1 9 8 0

1 9 7 4

1 9 6 8

1 9 6 2

1 9 5 6

1 9 5 0

A G

1 9 6 2

0 ,0 0 0 0

0 ,0 6 0 0

r u w e

7 0

ja r ig e

0 ,0 5 0 0

0 ,0 4 0 0 0 ,0 3 0 0 0 ,0 2 0 0


7 0

V o o r s p 1

0 8 - 5 0

0 ,0 1 0 0

0 ,0 4 0 0 0 ,0 3 0 0 0 ,0 2 0 0


7 0

V o o r s p 1

0 8 - 5 0

0 ,0 1 0 0 0 ,0 0 0 0

2 0 4 6

0 8 - 5 0

2 0 4 0

2 0 3 4

2 0 2 8

2 0 2 2

2 0 1 6

2 0 1 0

2 0 0 4

1 9 9 8

1 9 9 2

1 9 8 6

1 9 8 0

1 9 7 4

1 9 6 8

A G

1 9 6 2

0 8 - 5 0

1 9 5 6

2 0 4 6

2 0 4 0

2 0 3 4

2 0 2 8

2 0 2 2

2 0 1 6

2 0 1 0

2 0 0 4

1 9 9 8

1 9 9 2

1 9 8 6

1 9 8 0

1 9 7 4

1 9 6 8

1 9 6 2

1 9 5 6

1 9 5 0

A G

1 9 5 0

0 ,0 0 0 0

Figuur 7.3: De afgeronde sterftekansen van de man verlengd met de AG prognose en voorspellling1; links met c = 1, 5 en rechts met c = 1, 7 In figuur 7.3 zijn de ruwe en de afgeronde sterftekansen van een x-jarige man in 1950 tot en met 2007 geplot, voor x = 30, 50 en 70. Voor die x-jarige man zijn de sterftekansen van het AG en van Voorspelling1 van 2008 tot en met 2050 in dezelfde grafiek geplot. Wat meteen opvalt is het verschil in de afgeronde data als we c = 1, 5 gebruiken of c = 1, 7. In de rechter grafieken zien we een grote fluctuatie in de afrondingen bij de 30- en 70-jarigen. Daarnaast weerspiegelt de afronding de ruwe cijfers helemaal niet. In de linker grafieken is de afronding veel beter. Alleen bij de 70-jarigen zijn de afgeronde sterftekansen tussen 1962 en 1986 enigszins aan de lage kant. Voor c = 1, 3 zijn er ook grote afwijkingen tussen de afgeronde en de ruwe data. Door middel van ’trial and error’ is gebleken dat c = 1, 5 de beste afronding geeft (als we op 1 decimaal nauwkeurig kijken). Wat verder nog opvalt is dat de voorspelling van het AG voor de leeftijden 30 en 50 een stuk hoger ligt dan Voorspelling1. Het AG zwakt de lineaire daling die vanaf ongeveer 1970 is opgetreden flink af. Bij Voorspelling1 wordt dit niet gedaan. In tabel 5.4 hebben we gezien dat vanaf 1970 de mannen een grotere stijging in levensverwachting hebben meegemaakt dan in de jaren ervoor. Dit verschijnsel is ook te zien in figuur 7.3. Vooral bij de 50- en 70-jarigen is er rond 1972 een omslag van een stijgende trend in een dalende trend.

7.1.2

Controle voor vrouwen

Een transformatie van de ruwe sterftekansen wordt bij vrouwen afgerond met de functie 2 3 ea1 +a2 y+a3 y +a4 y . Maar hoe robuust is deze functie eigenlijk? De 200 runs met ruwe gesimuleerde sterftekansen gaan we afronden met behulp van de methode die beschreven is in sectie 6.1. In figuur 7.4 kijken we hoe deze functie reageert op de spreiding van de sterftekansen.

66

Plausibiliteit van het eigen ontwikkelde prognosemodel 2 0 0 r u n s ja a r 2 0 0 0 g la d g e m a a k t v r o u w e n v a n 8 0 t/m 9 8 ja a r

0 ,7 0 0 0 0 0

0 0

0 ,6 0 0 0 0 0

0 0

0 ,5 0 0 0 0 0

0 0

0 ,4 0 0 0 0 0

0 0

S te rfte k a n s

0 0 0 0 0 0 0 0

0 ,3 0 0 0 0 0 0 ,2 0 0 0 0 0

0 0

0 ,1 0 0 0 0 0

0 0

0 ,0 0 0 0 0 0

1 2 1

1 1 5

1 0 9

9 7

L e e ftijd

1 0 3

9 1

8 5

7 9

7 3

6 7

6 1

5 5

4 9

4 3

0 0 3 7

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

3 1

1 ,0 0 ,9 0 ,8 0 ,7 0 ,6 0 ,5 0 ,4 0 ,3 0 ,2 0 ,1 0 ,0

2 5

S te rfte k a n s

2 0 0 r u n s ja a r 2 0 0 0 g la d g e m a a k t v r o u w e n v a n 2 5 t/m 1 2 5 ja a r

8 0

8 1

8 2

8 3

8 4

8 5

8 6

8 7

8 8

8 9

L e e ftijd

9 0

9 1

9 2

9 3

9 4

9 5

9 6

9 7

9 8

Figuur 7.4: De 200 afgeronde gesimuleerde sterftekansen van vrouwen in het jaar 2000 Wat we zien is dat de afgeronde functies vanaf 80 jaar een klein beetje uit elkaar lopen. Bij de vrouwen is dit minder dan bij de mannen. Dit komt doordat in de ruwe sterftekansen van de vrouwen minder spreiding voorkomt vanwege de grotere populatie vrouwen. Ook bij vrouwen reageert de e-macht dus matig op de grote spreiding in ruwe data. Om het effect te onderzoeken van het uiteenlopen van de lijnen, is ook voor vrouwen gekeken naar het gemiddeld aantal jaren nog te leven als iemand nu y jaar oud is. Voor vrouwen geldt dat met de sterftekansen van het jaar 2000 een 30-jarige vrouw gemiddeld 81,5 jaar oud wordt, een 55-jarige vrouw gemiddeld 82,6 jaar oud, een 65-jarige vrouw gemiddeld 83,9 jaar oud en een 85-jarige vrouw gemiddeld 90,8 jaar oud. De standaard deviatie is voor alle 4 de leeftijden ongeveer 0, 02 kleiner dan bij mannen. Deze kleinere spreiding was ook te zien in de grafieken uit figuur 5.8. Dus ook voor de vrouwen geldt dat de invloed van de uiteenlopende lijnen niet zo groot is. Nu we gezien hebben dat ook deze e-macht robuust genoeg is, willen we controleren wat de beste afondingsfunctie is. Voor vrouwen zijn in figuur 7.5 de ruwe en de afgeronde sterftekansen van een y-jarige in 1950 tot en met 2007 geplot, voor y = 30, 50 en 70. Voor die y-jarige vrouw zijn de sterftekansen van het AG en van Voorspelling1 van 2008 tot en met 2050 in dezelfde grafiek geplot. 0 ,0 0 1 2

r u w e

3 0

ja r ig e

0 ,0 0 1 2 0 ,0 0 1 0

0 ,0 0 1 0 0 ,0 0 0 8 0 ,0 0 0 6 0 ,0 0 0 4


3 0

V o o r s p 1

0 8 - 5 0

0 ,0 0 0 8


3 0

V o o r s p 1

0 8 - 5 0

0 ,0 0 0 6 0 ,0 0 0 4

A G

0 8 - 5 0

0 ,0 0 0 2

0 ,0 0 0 2

0 ,0 0 0 0

r u w e

5 0

ja r ig e

0 ,0 0 4 0 0 ,0 0 3 0 0 ,0 0 2 0


5 0

V o o r s p 1

0 8 - 5 0

ja r ig e

2 0 4 6

0 ,0 0 6 0 0 ,0 0 5 0

0 ,0 0 5 0

3 0

2 0 4 0

2 0 3 4

2 0 2 8

2 0 2 2

2 0 1 6

2 0 1 0

2 0 0 4

1 9 9 8

1 9 9 2

1 9 8 6

1 9 8 0

1 9 7 4

1 9 6 8

1 9 5 6

2 0 4 6

0 ,0 0 6 0

r u w e

1 9 5 0

0 8 - 5 0

2 0 4 0

2 0 3 4

2 0 2 8

2 0 2 2

2 0 1 6

2 0 1 0

2 0 0 4

1 9 9 8

1 9 9 2

1 9 8 6

1 9 8 0

1 9 7 4

1 9 6 8

1 9 6 2

1 9 5 6

1 9 5 0

A G

1 9 6 2

0 ,0 0 0 0

0 ,0 0 4 0


5 0

V o o r s p 1

0 8 - 5 0

0 ,0 0 3 0 0 ,0 0 2 0

A G

0 8 - 5 0

0 ,0 0 1 0

0 ,0 0 1 0

0 ,0 0 0 0

r u w e

0 ,0 3 5 0

7 0

ja r ig e

ja r ig e

2 0 4 6

5 0

2 0 4 0

2 0 3 4

2 0 2 8

2 0 2 2

2 0 1 6

2 0 1 0

2 0 0 4

1 9 9 8

1 9 9 2

1 9 8 6

1 9 8 0

1 9 7 4

1 9 6 8

1 9 5 6

2 0 4 6

0 ,0 4 0 0

r u w e

1 9 5 0

0 8 - 5 0

2 0 4 0

2 0 3 4

2 0 2 8

2 0 2 2

2 0 1 6

2 0 1 0

2 0 0 4

1 9 9 8

1 9 9 2

1 9 8 6

1 9 8 0

1 9 7 4

1 9 6 8

1 9 6 2

1 9 5 6

1 9 5 0

A G

1 9 6 2

0 ,0 0 0 0

0 ,0 4 0 0 0 ,0 3 5 0


7 0

V o o r s p 1

0 8 - 5 0

0 ,0 3 0 0

0 ,0 3 0 0 0 ,0 2 5 0


0 ,0 2 0 0 0 ,0 1 5 0

V o o r s p 1

0 ,0 1 0 0

7 0

0 ,0 2 5 0 0 ,0 2 0 0

0 8 - 5 0

0 ,0 1 5 0

A G

0 ,0 1 0 0

0 8 - 5 0

0 ,0 0 5 0 0 ,0 0 0 0

ja r ig e

2 0 4 6

7 0

2 0 4 0

2 0 3 4

2 0 2 8

2 0 2 2

2 0 1 6

2 0 1 0

2 0 0 4

1 9 9 8

1 9 9 2

1 9 8 6

1 9 8 0

1 9 7 4

r u w e

1 9 6 8

0 8 - 5 0

1 9 6 2

2 0 4 6

2 0 4 0

2 0 3 4

2 0 2 8

2 0 2 2

2 0 1 6

2 0 1 0

2 0 0 4

1 9 9 8

1 9 9 2

1 9 8 6

1 9 8 0

1 9 7 4

1 9 6 8

1 9 6 2

1 9 5 6

1 9 5 0

A G

1 9 5 6

0 ,0 0 0 0

1 9 5 0

0 ,0 0 5 0

Figuur 7.5: De afgeronde sterftekansen van de vrouw verlengd met de AG prognose en voorspellling1. Links: derdegraads polynoom, rechts: c = 1, 5

7.2 Controle model op basis van verleden

67 2

3

In de linker drie grafieken in figuur 7.5 is voor de afronding en voorspelling ea1 +a2 y+a3 y +a4 y c gebruikt en in de rechter grafieken eA1 +A2 y met c = 1, 5. Wat meteen opvalt in figuur 7.5 is 2 3 c wederom het verschil in de afgeronde data als we ea1 +a2 y+a3 y +a4 y of ea1 +a2 y met c = 1, 5. In de rechter grafieken weerspiegelt de afronding de ruwe cijfers niet. Bovendien is bij de 70-jarigen de fluctuatie van de afronding veel groter dan de fluctuatie bij de ruwe cijfers, terwijl het afronden er net voor moet zorgen dat de grote fluctuaties worden afgevlakt. Daarnaast is de afronding voor de 30- en 70-jarigen structureel te hoog en voor een 50-jarige juist veel te laag. Dit verschijnsel doet zich ook voor als we een kwadratisch polynoom gebruiken. Bovendien hebben we in figuur 6.5 uit hoofdstuk 6 gezien dat zowel een lineaire fit als een kwadratische fit geen goede benadering is voor de getransformeerde sterftekansen (f r(y)). Een derdegraads polynoom geeft dus de beste afronding, wat ook te zien is in de linker grafieken. Wat verder nog opvalt is dat bij de linker grafieken de voorspelling van het AG voor de 30-jarigen dezelfde vorm heeft als Voorspelling1, alleen ligt de curve iets hoger. Bij de 50-jarigen valt op dat de voorspelling van het AG een aparte vorm heeft. Deze vorm van voorspelling is niet wat je zou verwachten op basis van de sterftekansen. Bij de 70-jarigen is de voorspelling van het AG een stuk hoger dan Voorspelling1. Het AG zwakt de daling die al vanaf 1950 plaatsvindt flink af. Bij Voorspelling1 wordt dit niet gedaan. In tabel 5.4 hebben we gezien dat de levensverwachting van de vrouwen al vanaf 1950 stijgt. De mate van stijging is wel in de loop der jaren iets afgezwakt. Dit verschijnsel is ook terug te zien in de linker grafieken van figuur 7.5.

7.2

Controle model op basis van verleden

We hebben in hoofdstuk 4 gezien dat de voorspellingen op basis van de bestaande modellen van het AG, CBS en Lee-Carter, alle drie afwijkingen vertonen ten opzichte van de werkelijke sterftecijfers. De vraag is nu of Voorspelling1 dit probleem ook heeft. Daarom zullen we voor t = 1990, 1995, 2000 en 2006 de sterftekansen vanaf jaar t + 1 tot en met 2007 voorspellen met behulp van Voorspelling1. Hierbij gebruiken we de sterftekansen vanaf 1950 tot en met jaar t. In figuur 7.6 zijn voor de mannen de afwijkingspercentages te zien van de sterftekansen uit Voorspelling1 ten opzichte van de afgeronde sterftekansen. Als het percentage negatief is, dan is de sterftekans van Voorspelling1 lager dan de afgeronde sterftekans en als het percentage positief is dan is de voorspelling hoger dan de afronding. In de grafieken uit figuur 7.6 is te zien dat tussen de lijn 2005 en de lijn 2006 steeds een grote sprong zit. Dit geeft aan dat in 2006 en 2007 de sterftekansen voor mannen dus veel sterker gedaald zijn dan in de jaren ervoor. Als we naar de grafiek linksboven kijken, dan zien we dat de de sterftekansen van Voorspelling1 eerst lager zijn dan de afgeronde sterftekansen en daarna hoger. Voorspelling1 op basis van data tot en met 1990 geeft voor de lage leeftijden dus een te lage sterftekans ten opzichte van de afronding. Dit betekent dat de daling van de sterftekansen voor mannen tot en met 1990 sterker was dan de daling na 1990. Dit hebben we ook gezien in de tabel over de toename in levensverwachting in sectie 5.1. In de andere grafieken is het afwijkingspercentage positief, dus de sterftekansen van Voorspelling1 zijn hoger dan de afgeronde sterftekansen. Dit komt overeen met de gegevens uit tabel 5.4, waarin te zien was dat de daling vanaf 1990 tot en met 2000 zwakker is dan de daling vanaf 2000. Wat verder nog opvalt is dat de voorspelling voor het eerste jaar na de gebruikte data een steeds groter wordend afwijkingspercentage heeft.

68

Plausibiliteit van het eigen ontwikkelde prognosemodel A fw ijk in g s p e r c e n ta g e v a n v o o r s p e llin g 1 t.o .v . a fr o n d in g d a ta t/m 1 9 9 0

A fw ijk in g s p e r c e n ta g e v a n v o o r s p e llin g 1 t.o .v . a fr o n d in g d a ta t/m 1 9 9 5

2 5 ,0 %

2 5 ,0 %

7 8 9 0 1 2

1 9 9 9

1 5 ,0 %

2 0 0 0 2 0 0 1

1 0 ,0 %

2 0 0 2 2 0 0 3 2 0 0 4

5 ,0 % 3

2 0 0 5

4

2 0 0 6 5

2 0 0 7

1 2 5

1 2 1

1 1 7

1 1 3

1 0 9

9 7

1 0 5

1 0 1

9 3

8 9

8 5

8 1

7 7

-5 ,0 %

-1 5 ,0 %

L e e ftijd

L e e ftijd



2 5 ,0 %

2 5 ,0 %

2 0 ,0 %

2 0 0 1

2 0 ,0 %

2 0 0 3 2 0 0 4

1 0 ,0 %

2 0 0 5 5 ,0 %

P e rc e n ta g e

2 0 0 2

1 5 ,0 %

1 5 ,0 % 2 0 0 7 1 0 ,0 %

2 0 0 6 5 ,0 %

2 0 0 7

1 2 5

1 2 1

1 1 7

1 1 3

1 0 9

1 0 5

1 0 1

9 7

9 3

8 9

8 5

8 1

7 7

7 3

6 9

6 5

6 1

5 7

5 3

4 9

4 5

4 1

3 7

3 3

2 9

2 5

0 ,0 %

1 2 5

1 2 1

1 1 7

1 1 3

1 0 9

1 0 5

9 7

9 3

8 9

8 5

8 1

1 0 1

L e e ftijd

7 7

7 3

6 9

6 5

6 1

5 7

5 3

4 9

4 5

4 1

3 7

2 5

3 3

0 ,0 %

-5 ,0 %

2 9

P e rc e n ta g e

7 3

6 9

6 5

6 1

5 7

5 3

7

4 9

0 ,0 % 6

4 5

-1 0 ,0 %

5 6

4 1

-5 ,0 %

1 9 9 7 1 9 9 8

4

3 7

1 2 5

1 2 1

1 1 7

1 1 3

1 0 9

1 0 5

9 7

9 3

1 0 1

8 9

8 5

8 1

7 7

7 3

6 9

6 5

6 1

5 7

5 3

4 9

4 5

4 1

3 7

3 3

2 9

2 5

0 ,0 %

3

3 3

5 ,0 %

1 9 9 6

2 0 ,0 % 2

2 9

1 0 ,0 %

1

2 5

P e rc e n ta g e

1 5 ,0 %

1 9 9 1 9 9 1 9 9 1 9 9 1 9 9 1 9 9 1 9 9 1 9 9 1 9 9 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0

P e rc e n ta g e

2 0 ,0 %

L e e ftijd

Figuur 7.6: De afwijkingspercentages voor mannen van Voorspelling1 tov de afronding op basis van verschillende data

Voor 1991 is dit maximaal 2%, voor 1996, 4%, voor 2001 8% en voor 2006 zelfs 16%. De lage afwijking bij 1991 en 1996 wil zeggen dat de data voor 1995 vrij geleidelijk is gedaald. De grote afwijking bij 2006 ten opzichte van 2001 duidt dus op een hele sterke daling van de sterftekansen vanaf 2000. Dit hebben we ook gezien in tabel 5.4. De sterker dalende trend in de sterftekansen vanaf 2000 is dus in kleine mate zichtbaar in de sterftekansen. Als een bepaalde trend langer aanhoudt, dan wordt deze pas goed zichtbaar in de voorspelling. Voor vrouwen zijn de afwijkingspercentages van de sterftekansen uit Voorspelling1 ten opzichte van de afgeronde sterftekansen te zien in figuur 7.7. A fw ijk in g s p e r c e n ta g e v a n v o o r s p e llin g 1 to v a fg e r o n d in g d a ta t/m 1 9 9 5

A fw ijk in g s p e r c e n ta g e v a n v o o r s p e llin g 1 to v a fg e r o n d in g d a ta t/m 1 9 9 0 4 0 ,0 0 %

4 0 ,0 0 %

1 9 9 1

1 9 9 6

1 9 9 2 1 9 9 3

3 0 ,0 0 %

1 9 9 7

3 0 ,0 0 %

1 9 9 4

1 9 9 8

1 9 9 5 1 9 9 6

2 0 0 1 2 0 0 2 2 0 0 4

-1 0 ,0 0 %

2 0 0 2 2 0 0 3 1 2 5

1 2 2

1 1 9

1 1 6

1 1 3

1 1 0

1 0 7

1 0 4

9 8

1 0 1

9 5

9 2

8 9

8 6

8 3

8 0

7 7

7 4

7 1

6 8

6 5

6 2

5 9

5 6

5 3

5 0

4 7

4 4

4 1

0 ,0 0 %

2 0 0 3

2 6

1 2 4

1 2 1

1 1 8

1 1 5

1 1 2

1 0 9

1 0 6

1 0 3

1 0 0

9 7

9 4

9 1

8 8

8 5

8 2

7 9

7 6

7 3

7 0

6 7

6 4

6 1

5 8

5 5

5 2

4 9

4 6

4 3

4 0

3 7

3 4

3 1

2 8

2 5

0 ,0 0 %

2 0 0 1

3 8

2 0 0 0

2 0 0 0

1 0 ,0 0 %

3 5

1 9 9 9

1 0 ,0 0 %

1 9 9 9

3 2

1 9 9 8

2 9

1 9 9 7

2 0 ,0 0 %

P e rc e n ta g e

P e rc e n ta g e

2 0 ,0 0 %

2 0 0 6

2 0 0 6 2 0 0 7

-2 0 ,0 0 %

L e e ftijd

L e e ftijd

A fw ijk in g s p e r c e n ta g e v a n v o o r s p e llin g 1 to v a fg e r o n d in g d a ta t/m 2 0 0 0

A fw ijk in g s p e r c e n ta g e v a n v o o r s p e llin g 1 to v a fg e r o n d in g d a ta t/m 2 0 0 6 4 0 ,0 0 %

3 0 ,0 0 %

2 0 0 1 2 0 0 2

2 0 0 7

-2 0 ,0 0 %

1 2 5

1 2 2

1 1 9

1 1 6

1 1 3

1 1 0

1 0 7

1 0 4

1 0 1

9 8

9 5

9 2

8 9

8 6

8 3

8 0

7 7

7 4

7 1

6 8

6 5

6 2

5 9

5 6

5 3

5 0

4 7

4 4

0 ,0 0 %

4 1

2 0 0 6

3 8

1 2 5

1 2 2

1 1 9

1 1 6

1 1 3

1 1 0

1 0 7

1 0 4

1 0 1

9 8

9 5

9 2

8 9

8 6

8 3

8 0

7 7

7 4

7 1

6 8

6 5

6 2

5 9

5 6

5 3

5 0

4 7

4 4

4 1

3 8

3 5

3 2

2 9

2 6

0 ,0 0 %

-1 0 ,0 0 %

2 0 0 7

1 0 ,0 0 %

3 5

2 0 0 5

2 0 ,0 0 %

3 2

2 0 0 4

2 9

2 0 0 3 1 0 ,0 0 %

P e rc e n ta g e

2 0 ,0 0 %

2 6

3 0 ,0 0 %

P e rc e n ta g e

2 0 0 7

-2 0 ,0 0 %

4 0 ,0 0 %

2 0 0 4 2 0 0 5

-1 0 ,0 0 %

2 0 0 5

-1 0 ,0 0 %

-2 0 ,0 0 %

L e e ftijd

L e e ftijd

Figuur 7.7: De afwijkingspercentages voor vrouwen van Voorspelling1 tov de afronding op basis van verschillende data

7.3 Verandering in levensverwachting

69

In de grafieken in figuur 7.7 is te zien dat als er meer data wordt meegenomen, de percentages steeds meer richting nul gaan. Vooral bij de voorspelling op basis van data tot en met 2006 liggen de afwijkingspercentages vanaf 55 jaar rond 0%. Een verklaring waarom de afwijkingen negatief zijn en dus de sterftekansen van Voorspelling1 lager zijn dan de sterftekansen van de afronding, is de minder sterke daling vanaf 1990. We hebben in de tabel in sectie 5.1 gezien dat van 1990 tot en met 2000 de levensverwachting vrij weinig is toegenomen ten opzichte van de jaren voor 1990. Hierdoor is in de voorspelling de sterk dalende trend van voor 1990 voortgezet, terwijl deze daling in werkelijkheid niet meer zo sterk bleek te zijn. Vanaf 2000 neemt de daling van de sterftekansen weer toe, waardoor de afwijking bij de voorspelling op basis van data tot en met 2006 juist rond de 0% ligt. Deze controle op basis van het verleden wijst dus uit dat de veranderingen in sterftetrends die optreden door de jaren heen van grote invloed zijn op de voorspelling. Dit was echter ook al duidelijk te zien bij de AG prognose, bij de CBS prognose en bij de voorspellingen op basis van het Lee-Carter model. Bovendien waren deze afwijkingen van te voren ook wel te verwachten, omdat Voorspelling1 gebaseerd is op sterftetrends. Aangezien de afgelopen 5 jaar de sterftekansen sterker zijn gedaald dan de jaren daarvoor, komt de voorspelling van de sterftekansen voor die jaren veel te hoog uit. De dalende trend is dan immers maar gedeeltelijk in het model verwerkt.

7.3

Verandering in levensverwachting

In figuur 7.2 hebben we gezien dat een 65-jarige man op basis van de sterftekansen van 2000 nog gemiddeld 15,7 jaar te leven heeft en een 65-jarige vrouw gemiddeld 18,9 jaar. Maar hoe verandert dit gemiddeld aantal nog te leven jaren in de loop der jaren? En door welke leeftijdsgroep wordt deze verandering veroorzaakt? Een manier om te zien hoe de levensverwachting van een 65-jarige veranderd is aan de hand van de grafieken in figuur 7.8. K a n s d a t 6 5 -ja r ig e m a n le e ftijd x b e r e ik t

K a n s d a t 6 5 -ja r ig e v r o u w

1 ,0 0

1 ,0 0

0 ,8 0

0 ,8 0

0 ,9 0

le e ftijd x b e r e ik t

0 ,9 0 0 ,7 0

0 ,7 0 0 ,6 0

K a n s

K a n s

0 ,5 0 0 ,4 0

0 ,6 0 0 ,5 0 0 ,4 0 0 ,3 0

0 ,3 0

0 ,2 0

0 ,2 0

0 ,1 0

0 ,1 0

0 8 -0 8

V o o rs p 1 4 0 -4 0

V o o rs p 1 0 8 -0 8 V o o rs p 1 5 0 -5 0

V o o rs p 1 2 0 -2 0 A G

0 8 -5 0

V o o rs p 1 3 0 -3 0 V o o rs p 1 0 8 -5 0

0 8 -0 8

V o o rs p 1 4 0 -4 0

V o o rs p 1 0 8 -0 8 V o o rs p 1 5 0 -5 0

V o o rs p 1 2 0 -2 0 A G

0 8 -5 0

1 1 0

1 0 7

1 0 4

9 8

1 0 1

T e b e r e ik e n le e ftijd A G

9 5

9 2

8 9

8 6

8 3

8 0

7 7

7 4

7 1

6 8

1 1 0

1 0 7

1 0 4

1 0 1

9 8

9 5

9 2

8 9

8 6

8 3

8 0

7 7

7 4

7 1

6 8

6 5

T e b e r e ik e n le e ftijd A G

6 5

0 ,0 0

0 ,0 0

V o o rs p 1 3 0 -3 0 V o o rs p 1 0 8 -5 0

Figuur 7.8: De overlevingscurve voor een 65-jarige man en voor een 65-jarige vrouw op basis van verschillende sterftetafels Hierin betekent AG 08-08 de sterftekansen uit de AG prognose van 2008, dus de sterftetafel verticaal afgelezen. AG 08-50 betekent de sterftetafel schuin aflezen, dus voor een 25-jarige in 2008 eerst de 25-jarige sterftekans uit 2008 aflezen, dan de 26-jarige sterftekans uit 2009, etc. De prognose van het AG (2008-2050) begint bij de mannen vanaf 80 jaar ten opzichte van de Voorspelling1 prognose (2008-2050) sneller te dalen. Het verschil tussen de twee prognoses

70


wordt dus steeds groter. Dat wil zeggen, de sterftekansen op hogere leeftijden bij de AG prognose zijn groter dan bij Voorspelling1. Bij de vrouwen is het verschil tussen de AG prognose 08-50 en Voorspelling1 08-50 voor alle leeftijden behoorlijk groot. Dit verschil is zelfs groter dan bij de mannen. In figuur 6.7 en 6.9 hebben we echter gezien dat bij Voorspelling1 de daling van 2008 tot en met 2050 bij mannen veel groter is dan bij vrouwen. Dit betekent dat het AG de daling in sterftekansen van de vrouwen op hoge leeftijden voor de toekomst dus erg heeft afgezwakt. Om preciezer te kunnen zien welke leeftijdsgroepen de sterfteverbetering veroorzaken, is er een tabel gemaakt voor zowel de mannen als de vrouwen. Deze tabellen zijn te zien in figuur 7.9 en figuur 7.10. In de tabellen geven de percentages aan hoe groot de invloed van een leeftijdsgroep is op het totaal aantal nog te leven jaren.

Figuur 7.9: De levensverwachting van 65-jarige man op basis van verschillende sterftetafels

Figuur 7.10: De levensverwachting van 65-jarige vrouw op basis van verschillende sterftetafels

Als we Voorspelling1 08-50 nu vergelijken met AG 08-50, dan zien we dat het percentage bij 65 tot 75 jaar en bij 75 tot 85 jaar lager is bij Voorspelling1 dan bij het AG. De percentages bij 85 tot 95 en bij 95 en ouder zijn juist veel groter. In figuur 7.8 wordt het verschil tussen AG 08-50 en Voorsp1 08-50 dus veroorzaakt door de 85-plussers. Als we nu naar voorsp1 10-10 tot en met voorsp1 50-50 kijken, dan zien we dat de percentages bij 65 tot 75 jaar steeds lager worden, terwijl de percentages bij 85 tot 95 jaar en bij 95 jaar en ouder juist steeds groter worden. De invloed van 85-plussers wordt dus, naarmate we verder in de prognose komen, steeds groter. Dit betekent dat de ’winst’ in het aantal jaren nog te leven van een 65-jarige man wordt veroorzaakt door de steeds kleiner wordende sterftekansen van mensen boven de 85 jaar. Bij het AG is dit verschijnsel ook te zien, echter in mindere mate. Bij beide prognoses is het gemiddeld aantal jaren nog te leven op basis van alleen 2008 lager dan op basis van de prognose 2008-2050. Dit komt doordat in het laatste geval de sterftetafel schuin wordt doorlopen, waardoor sterfteverbetering wordt meegenomen in de berekening. Wat verder nog opvalt in deze tabel is dat als we naar de prognoses van 2008-2008 kijken dan zien we dat het CBS het hoogste gemiddeld aantal nog te leven jaren voor een 65-jarige heeft en Voorspelling1

7.3 Verandering in levensverwachting

71

het kleinste aantal. Voor de prognoses van 2008-2050 heeft het CBS nog steeds het hoogste aantal nog te leven jaren, maar nu heeft het AG het kleinste aantal jaren. Dit betekent dat de daling in sterftekansen van 2008 tot en met 2050 bij Voorspelling1 veel groter is dan bij het AG. Als we naar de prognoses van 2050-2050, dan zien we Voorspelling1 nu het hoogste aantal nog te leven jaren heeft voor en 65-jarige. De sterftekansen van Voorspelling1 dalen dus ook veel harder dan de sterftekansen van het CBS. Bij de vrouwen is er sprake van hetzelfde patroon. Zoals we hebben gezien bij sectie 5.3 zijn er landen die het beter doen dan Nederland. Laten we nu eens kijken naar de levensverwachting van Nederland ten opzichte van Frankrijk. Als we kijken naar de data vanaf 1950, zoals we die ook in Voorspelling1 gebruiken, dan ziet dit eruit als in figuur 7.11.

3 0 ,0 0

2 5 ,0 0

2 5 ,0 0

2 0 ,0 0

2 0 ,0 0

A a n ta l ja r e n

3 0 ,0 0

1 5 ,0 0

2

y = 0 ,0 0 2 x - 0 ,0 8 4 5 x + 1 4 ,5 8 3 2 R = 0 ,9 2 4 7

y = 0 ,0 9 7 7 x + 1 4 ,6 9 7 2 R = 0 ,9 5 9 2

1 0 ,0 0 5 ,0 0

2 0 5 0

2 0 0 4

1 9 9 8

1 9 9 2

1 9 8 6

1 9 8 0

1 9 7 4

1 9 5 0

1 9 6 8

0 ,0 0 2 0 5 0

2 0 0 5

2 0 0 0

1 9 9 5

1 9 9 0

1 9 8 5

1 9 8 0

1 9 6 5

= 0 ,4 8 5 9

1 9 6 0

1 9 5 5

1 9 5 0

0 ,0 0

2

1 9 7 5

R

1 5 ,0 0

1 9 6 2

y = 0 ,0 3 0 7 x + 1 3 ,4 5

5 ,0 0


1 9 5 6

1 0 ,0 0

1 9 7 0

A a n ta l ja r e n


J a a rta l

J a a rta l

Figuur 7.11: De levensverwachting van een 65-jarige in Nederland van 1950 t/m 2050 Voor 65-jarige vrouwen komt in 2050 het gemiddeld aantal jaren nog te leven uit op 24,5. Voor mannen is een lineaire fit wederom niet echt goed. Een kwadratische fit zou echter wel een erg zware aanname zijn. Het gemiddeld aantal nog te leven jaren van een 65-jarige man, zal dus ergens ertussenin uitkomen. We zien bij de mannen een omslag van een kleine daling in een langzame stijging in 1972. Vanaf 1993 is er een sterkere stijging van de levensverwachting te zien. Daarom maken we nu ook nog een fit op basis van de data vanaf 1993, zie figuur 7.12.

0 0 0

2 0 5 0

5

3

1

9 1 9 9 1 9 9 1 9 9 1 9 9 2 0 0 2 0 0 2 0 0

7

0 J a a rta l

0 0 0

y = 0 ,0 8 4 2 x + 1 8 ,7 2 R = 0 ,8 2 2

0 0 0 0 0

2 0 5 0

0

0

5

= 0 ,9 4 8 2

0

3

0

R

2

0

1

y = 0 ,1 6 2 3 x + 1 4 ,1 7 3 0

0

9

0

0

7

0

A a n ta l ja r e n

0

2 4 ,0 2 2 ,0 2 0 ,0 1 8 ,0 1 6 ,0 1 4 ,0 1 2 ,0 1 0 ,0 8 ,0 6 ,0 4 ,0 2 ,0 0 ,0

5

0

3

0


1 9 9 1 9 9 1 9 9 1 9 9 2 0 0 2 0 0 2 0 0

0

5

2 4 ,0 2 2 ,0 2 0 ,0 1 8 ,0 1 6 ,0 1 4 ,0 1 2 ,0 1 0 ,0 8 ,0 6 ,0 4 ,0 2 ,0 0 ,0

3

A a n ta l ja r e n


J a a rta l

Figuur 7.12: De levensverwachting van een 65-jarige in Nederland van 1993 t/m 2050 Het gemiddeld aantal nog te leven jaren in 2050 van zowel een 65-jarige man als een 65-jarige vrouw zou uitkomen op 23,6 jaar. In de tabellen was te zien dat het gemiddeld aantal jaren nog te leven voor een 65-jarige man in 2050 volgens het AG 20,11 jaar is en volgens Voorspelling1

72


24,15 jaar. Bij vrouwen is het gemiddeld aantal jaren nog te leven voor een 65-jarige vrouw volgens het AG 21,81 jaar en volgens Voorspelling1 24,88 jaar. De waarde van de fit uit figuur 7.11 voor vrouwen en uit figuur 7.12 voor mannen is dus voor beide bijna gelijk aan de waarde van Voorspelling1. De levensverwachting volgens het AG is veel te laag. Het AG heeft de daling van de sterftekansen kennelijk afgezwakt. In sectie 5.3 hebben we gezien dat het CBS de prognose afzwakt ten opzichte van de lineaire trend die zich voordoet als we elk kalenderjaar kijken naar de hoogste levensverwachting die voorkomt in de wereld. Maar hoe zit dit bij Voorspelling1? In grafiek 7.13 is voor mannen en vrouwen te zien hoe Voorspelling1 de levensverwachting voor een 0-jarige voorspelt ten opzichte van de lineaire lijn gevormd door het land met de hoogste levensverwachting. D e le v e n s v e r w a c h tin g v a n e e n 0 -ja r ig e v a n a f 2 0 0 8 is v o o r s p e llin g 1 g e b r u ik t

D e le v e n s v e r w a c h tin g v a n e e n 0 -ja r ig e v a n a f 2 0 0 8 is v o o r s p e llin g 1 g e b r u ik t 1 0 5

1 0 5

M a n n e n le v e n s v e r w a c h tin g

8 5 7 5

B e s te le v e n s v e r w a c h tin g u it h e le w e r e ld

6 5 5 5

V o o r s p e llin g 1

V ro u w e n le v e n s v e r w a c h ti n g

8 5 7 5

B e le v n g w e

6 5

s te e n s v e rw a c h ti u it h e le r e ld

V o o r s p e llin g 1

5 5 4 5

4 5 3 5

9 5

L e v e n s v e r w a c h tin g

L e v e n s v e r w a c h tin g

9 5

3 5 1 8 8 0

1 8 9 0

1 9 0 0

1 9 1 0

1 9 2 0

1 9 3 0

1 9 4 0

1 9 5 0

1 9 6 0

1 9 7 0

J a a rta l

1 9 8 0

1 9 9 0

2 0 0 0

2 0 1 0

2 0 2 0

2 0 3 0

2 0 4 0

2 0 5 0

1 8 8 0

1 8 9 0

1 9 0 0

1 9 1 0

1 9 2 0

1 9 3 0

1 9 4 0

1 9 5 0

1 9 6 0

1 9 7 0

1 9 8 0

1 9 9 0

2 0 0 0

2 0 1 0

2 0 2 0

2 0 3 0

2 0 4 0

2 0 5 0

J a a rta l

Figuur 7.13: De levensverwachting van een 0-jarige links voor mannen en rechts voor vrouwen ten opzichte van het land met de hoogste levensverwachting in dat jaar Er is te zien dat Voorspelling1 bij mannen parallel loopt aan de lineaire lijn. Bij vrouwen loopt Voorspelling1 iets van de lineaire lijn af.

7.4

Conclusie

In dit hoofdstuk hebben we gezien dat de stochastiek in de sterftekansen van beperkte invloed is op zowel de afronding van de sterftekansen als de gemiddelde levensduur van een 65-jarige. Ook weerspiegelen de afgeronde sterftekansen de ruwe sterftekansen goed als we kijken naar een bepaalde leeftijd in 1950 tot en met 2007. De controle die is uitgevoerd op basis van het verleden gaf wel afwijkingen, net zoals we gezien hebben bij de bestaand modellen in hoofdstuk 4. De verklaring voor de afwijkingen is het feit dat de sterftekansen de afgelopen jaren sterk gedaald zijn, vooral bij mannen. Deze daling wordt dan maar gedeeltelijk meegenomen in het model, waardoor de sterftekansen van Voorspelling1 hoger zijn dan de werkelijke sterftekansen. Verder hebben we de prognoses van het AG en het CBS vergeleken met Voorspelling1. Hierbij hebben we gezien dat voor 2008 Voorspelling1 de laagste levensverwachting verwachtte en voor 2050 juist de hoogste. De daling in sterftekansen is dus bij Voorspelling1 veel groter dan bij het AG en CBS. Voor de prognose 2008-2050 verwacht het CBS de hoogste levensverwachting voor een 65-jarige en het AG de laagste. In het volgende hoofdstuk gaan we kijken wat de invloed is op de TV als we gebruik maken van deze drie verschillende prognoses.

Hoofdstuk 8 Gevoeligheidsanalyse op de TV In deze scriptie hebben we tot nu toe bestaande prognosemodellen bekeken, de sterftekansen geanalyseerd en zelf een prognosemodel opgesteld en gecontroleerd. In sectie 7.1 is wel duidelijk te zien dat de sterftekansen van Voorspelling1 lager zijn dan de sterftekansen van het AG. Voor het berekenen van de TV wordt door Watson Wyatt de prognosetafel van het AG gebruikt. Maar wat betekent dit verschil in sterftekansen voor de TV van een pensioenfonds? Hoeveel voorziening moeten ze dan meer of minder aanhouden? En wat is de invloed op de TV als we als uitgangspunt van Voorspelling1 de sterftekansen van 1950 tot en met 2000 gebruiken in plaats van de sterftekansen van 1950 tot en met 2007? In dit hoofdstuk zullen deze vragen beantwoord worden.

8.1

TV bij gebruik van verschillende prognosemodellen

Voor het berekenen van de TV gebruiken we in deze sectie de sterftekansen van het AG, de sterftekansen van het CBS en de sterftekansen uit Voorspelling1. We zullen nu gaan kijken wat de invloed van deze kansen is op de TV van drie verschillende pensioenfondsen; een jong fonds, een standaard fonds en een oud fonds. Voor de berekening van deze TV nemen we een rekenrente van 4%. In de figuren 8.1, 8.2 en 8.3 zijn kolom 1 en kolom 4 de TV op basis van de sterftekansen van het AG. In kolom 2 en 5 is de TV op basis van de sterftekansen van Voorspelling1 en kolom 3 en 6 is de TV op basis van de sterftekansen van het CBS. In kolom 1, 2 en 3 is geen ervaringssterfte toegepast; in kolom 4, 5 en 6 wel. De percentages in kolom 2 en 3 is het procentuele verschil in voorziening tussen die kolom en kolom 1 (het AG). De percentages in kolom 5 en 6 is het procentuele verschil in voorziening tussen die kolom en kolom 4 (het AG met ervaringssterfte).

8.1.1

Jong pensioenfonds

Het bestand van het jonge pensioenfonds dat gebruikt wordt, heeft een gemiddelde leeftijd van 35,63 jaar. Hierbij wordt geen rekening gehouden met het gewicht van de voorziening. In figuur 8.1 zijn de technische voorzieningen te zien voor een jong pensioenfonds gebaseerd op verschillende prognoses. De TV op basis van Voorspelling1 is 6,54% hoger dan de TV op basis van de AG prognose en de TV op basis van de CBS prognose is 3,62% hoger. Voor een jong fonds moet de TV op basis van Voorspelling1 dus enkele procenten hoger zijn dan de TV op basis van het CBS. Als we ook naar het verschil per leeftijdsgroep tussen Voorspelling1 en het CBS kijken, dan zien we

74

Gevoeligheidsanalyse op de TV

Figuur 8.1: De TV voor een jong pensioenfonds op basis van drie verschillende prognoses

dat tot leeftijdscohort 50-59 de TV volgens Voorspelling1 hoger moet zijn dan volgens het CBS en vanaf leeftijdscohort 60-69 is het juist omgekeerd. Dit wil zeggen dat de sterftekansen van Voorspelling1 op lagere leeftijden iets lager zijn dan de sterftekansen van het CBS en op hogere leeftijd iets hoger. Omdat een jong fonds bestaat uit meer mensen jonger dan 60 jaar dan ouder dan 60 jaar moet de TV volgens Voorspelling1 hoger zijn dan de TV volgens het CBS. Ten opzichte van het AG zijn zowel de sterftekansen van Voorspelling1 als van het CBS veel lager voor alle leeftijden. Aangezien Watson Wyatt ervaringssterfte gebruikt, is in kolom 4, 5 en 6 de ervaringssterfte wel meegenomen. De TV wordt dan natuurlijk hoger, maar het percentage van de TV volgens het AG ten opzichte van de TV van Voorspelling1 is iets lager. Het verschil in voorziening met of zonder ervaringssterfte is dik 2%. De bovenstaande conclusies veranderen echter niet door het gebruik van ervaringssterfte.

8.1.2

Standaard pensioenfonds

Het bestand dat gebruikt wordt voor een standaard pensioenfonds heeft een gemiddelde leeftijd van 49,77 jaar. In figuur 8.2 zijn de technische voorzieningen te zien voor een standaard pensioenfonds gebaseerd op verschillende prognoses.

Figuur 8.2: De TV voor een gemiddeld pensioenfonds op basis van drie verschillende prognoses De TV op basis van Voorspelling1 is 4,90% hoger dan de TV op basis van de AG prognose. De TV op basis van de CBS prognose is 4,71% hoger dan de TV op basis van de AG prognose.

8.1 TV bij gebruik van verschillende prognosemodellen

75

Voor een gemiddeld fonds moet de TV op basis van het CBS dus ongeveer gelijk aan de TV op basis van Voorspelling1. Als we ook naar het verschil per leeftijdsgroep tussen Voorspelling1 en het CBS kijken, dan zien we wederom dat tot leeftijdscohort 50-59 de TV volgens Voorspelling1 hoger moet zijn dan volgens het CBS en vanaf leeftijdscohort 60-69 is het juist omgekeerd. Een gemiddeld fonds bestaat uit ongeveer evenveel 60-plussers als mensen onder de 60, waardoor de TV volgens het CBS dus ongeveer gelijk moet zijn aan de TV volgens Voorspelling1. Ten opzichte van het AG zijn zowel de sterftekansen van Voorspelling1 als van het CBS veel lager voor alle leeftijden. In kolom 4, 5 en 6 is de ervaringssterfte wel meegenomen bij het berekenen van de TV. De TV wordt natuurlijk hoger, maar het percentage van de TV volgens het AG ten opzichte van de TV volgens Voorspelling1 en volgens het CBS is iets lager. Het verschil in voorziening met of zonder ervaringssterfte is ongeveer 3%. Ook hier geldt weer dat de bovenstaande conclusies niet veranderen door het gebruik van ervaringssterfte.

8.1.3

Oud pensioenfonds

Het bestand dat gebruikt wordt voor een oud pensioenfonds heeft een gemiddelde leeftijd van 57,69 jaar. In figuur 8.3 zijn de technische voorzieningen te zien voor een oud pensioenfonds gebaseerd op verschillende prognoses.

Figuur 8.3: De TV voor een oud pensioenfonds op basis van drie verschillende prognoses De TV op basis van Voorspelling1 is 3,66% hoger dan de TV op basis van de AG prognose en de TV op basis van de CBS prognose is 4,73% hoger. Voor een oud fonds moet de TV op basis van het CBS dus hoger zijn dan de TV op basis van Voorspelling1. Als we ook naar het verschil per leeftijdsgroep tussen Voorspelling1 en het CBS kijken, dan zien we wederom dat tot leeftijdscohort 50-59 de TV volgens Voorspelling1 hoger moet zijn dan volgens het CBS en vanaf leeftijdscohort 60-69 is het juist omgekeerd. Een oud fonds bestaat uit veel meer 60plussers dan mensen onder de 60, waardoor de TV volgens het CBS dus veel hoger moet zijn dan volgens Voorspelling1. Ten opzichte van het AG zijn zowel de sterftekansen van Voorspelling1 als van het CBS veel lager voor alle leeftijden. Als we ervaringssterfte meenemen, te zien in de kolommen 4,5 en 6, dan wordt de TV natuurlijk hoger, maar het percentage van de TV volgens het AG ten opzichte van de TV van Voorspelling1 is iets lager. Het verschil in voorziening met of zonder ervaringssterfte is een kleine 3%. Wederom geldtdat de bovenstaande conclusies niet veranderen door het gebruik van ervaringssterfte.

76

8.1.4


Samenvatting

Voor een jong fonds moet de TV op basis van het CBS veel lager zijn dan de TV op basis van Voorspelling1. Voor een standaard fonds moet de TV op basis van het CBS dus vrijwel gelijk zijn aan de TV op basis van Voorspelling1. Voor een oud fonds moet de TV op basis van het CBS dus hoger zijn dan de TV op basis van Voorspelling1. De TV moet volgens Voorspelling1 ten opzichte van de TV van het AG dus relatief steeds lager zijn (van jong naar oud fonds), terwijl de TV volgens het CBS procentueel juist hoger wordt. Dit betekent dat het verschil in sterftekansen tussen Voorspelling1 en het AG op lage leeftijden veel groter is dan op hoge leeftijden. Het verschil in sterftekansen tussen het CBS en het AG is juist op hoge leeftijden veel groter dan op lage leeftijden. Voorspelling1 is gebaseerd op de sterftetrend uit het verleden die wordt geëxtrapoleerd voor de toekomst. De CBS prognose is gebaseerd op doodsoorzaken en de verwachte invloed van deze oorzaken op de sterfte in de toekomst. Beide hebben dus een heel ander uitgangspunt, maar toch moet volgens beide prognoses een veel hogere voorziening worden aangehouden dan volgens het AG. Hieruit volgt dus dat de sterftekansen van het AG veel te hoog zijn. De TV die pensioenfondsen nu aanhouden, gebruik makend van de AG prognose, is dus gemiddeld gezien ongeveer 4,5% te laag.

8.2

TV bij gebruik van verschillende data

In deze sectie wordt er gekeken wat de invloed op de TV zou zijn als we als uitgangspunt van Voorspelling1 verschillende data zouden gebruiken om 2008 tot en met 2050 te voorspellen. In figuur 8.4 zijn de technische voorzieningen te zien voor een pensioenfonds met gemiddelde leeftijd 52,33 gebaseerd op Voorspelling1 met verschillende invoerdata. Zo worden bijvoorbeeld bij ”data t/m 2004”de sterftekansen van 1950 tot en met 2004 gebruikt om de sterftekansen van 2005 tot en met 2050 te voorspellen.

Figuur 8.4: De TV voor een gemiddeld pensioenfonds op basis van verschillende data We zien dat als we steeds een jaar meer data meenemen vanaf 2003 de TV ten opzichte van de TV volgens het AG steeds meer moet zijn. Dit komt door de daling in sterftekansen die vanaf 2003 weer heeft plaatsgevonden, zoals we gezien hebben in hoofdstuk 5. Wat verder opvalt is het hoge percentage bij de kolom van data tot en met 1990. Op basis van data tot en met 1990 zouden we 8,78% meer voorziening moeten aanhouden dan volgens de AG prognose. Dit is te verklaren door wat we gezien hebben in de grafieken uit sectie 7.2. Als we Voorspelling1 namelijk controleren op basis van het verleden en we gebruiken de data tot en met 1990, dan komt eruit dat de sterftekansen voor de toekomstige jaren voor lage leeftijden te laag voorspeld worden. Dit komt door de sterke daling die de mannen en vrouwen hebben meegemaakt van 1970 tot en met 1990. Van 1990 tot en met 2000 hebben de mannen en vrouwen een mindere

8.3 TV bij gebruik van verschillende rekenrentes

77

stijging in levensverwachting gehad, zie de tabel in sectie 5.1. Daarom daalt ook de TV tussen de kolommen met data tot en met 1990 en met data tot en met 2000. Echter welke periode we ook als invoerdata gebruiken, de TV moet gebaseerd op Voorspelling1 altijd een stuk hoger zijn dan de TV gebaseerd op de AG prognose. Hierbij wordt vanaf 2003 het verschil steeds groter naarmate de periode van de invoerdata groter wordt. Dit is een gevolg van de afnemende sterfte vanaf 2003. Het is natuurlijk niet bekend of deze trend zich blijft doorzetten in de toekomst. Het kan zijn dat deze trend afzwakt of zelfs omslaat.

8.3

TV bij gebruik van verschillende rekenrentes

We hebben gezien dat als we Voorspelling1 of de CBS prognose gebruiken in plaats van de AG prognosetafel bij het berekenen van de TV dat de voorziening gemiddeld over de drie pensioenfondsen ongeveer 4,5% hoger moet zijn. Bij de berekening van deze voorziening hebben we de rente constant gehouden op 4%. Watson Wyatt gebruikt bij het bepalen van de TV echter altijd de nominale rentetermijnstructuur. Deze wordt maandelijks door de Nederlandse Bank gepubliceerd en fluctueert dus nogal. Momenteel (31 mei 2009) komt deze rente overeen met een vaste rekenrente van circa 3,9%. Voor de jaarwerken van 2008 wordt de nominale rente van december 2008 gehanteerd. De bijbehorende vaste rekenrente is circa 3,5%. Om gevoel te krijgen hoe groot de invloed van dit renterisico is ten opzichte van het sterfterisico, zullen we de TV berekenen op basis van de twee verschillende rekenrentes, namelijk 4% en 3,5%. In figuur 8.5 zijn de technische voorzieningen voor een jong, standaard en oud pensioenfonds berekend op basis van die twee verschillende rentes.

Figuur 8.5: De TV voor een standaard pensioenfonds op basis van twee verschillende rekenrentes Voor een jong fonds is de rente natuurlijk veel belangrijker dan voor een oud fonds. Het duurt gemiddeld namelijk langer voordat de uitkeringen plaatsvinden, waardoor er langer rendement over de ingelegde bedragen gemaakt kan worden. Dit is ook terug te zien in de tabel. Voor een jong fonds geldt dat als we bij de berekening van de TV Voorspelling1 gebruiken in plaats van de AG prognose dat dit 6,54% scheelt, maar als we de AG prognose gebruiken met 3,5% in plaats van met 4% dan scheelt dit 13,16% in de TV. De rente heeft dus veel meer invloed dan de sterftekansen. Bij een gemiddeld fonds is deze invloed al iets kleiner en bij een oud fonds nog kleiner. De sterftekansen kan een pensioenfonds zelf niet be¨ınvloeden, althans ze kunnen zich er heel moeilijk voor indekken. Voor de schommelingen in de rente daarentegen kunnen ze zich wel indekken. Aangezien steeds meer fondsen ervoor kiezen om het renterisico af te dekken wordt het sterfterisico steeds belangrijker. Daarom is het dus wel belangrijk om onderzoek te doen naar het zo goed mogelijk voorspellen van sterftekansen en dit ook zo vaak mogelijk te updaten.

78

8.4


Conclusie

In dit hoofdstuk hebben we gezien dat volgens zowel de prognose van het CBS als volgens Voorspelling1 een veel hogere voorziening dient te worden aangehouden dan volgens het AG. Hieruit volgt dus dat de sterftekansen van het AG veel te hoog lijken te zijn. De TV die pensioenfondsen nu aanhouden, gebruik makend van de AG prognose, is dan gemiddeld gezien ongeveer 4,5% te laag. Zelfs als we verschillende periodes als invoerdata gebruiken dan dient de TV gebaseerd op Voorspelling1 altijd een stuk hoger te zijn dan de TV gebaseerd op de AG prognose. Verder hebben we nog gezien dat het renterisico veel groter is dan het sterfterisico. Echter steeds meer fondsen kiezen ervoor om het renterisico af te dekken, waardoor het sterfterisico steeds belangrijker wordt. Daarom is het zeer belangrijk om onderzoek te doen naar het zo goed mogelijk voorspellen van sterftekansen en dit ook zo vaak mogelijk te updaten.

Conclusie en discussie Analyse sterftekansen Het eerste doel van de scriptie is de sterftekansen te analyseren en een eenvoudig model te ontwikkelen om de sterftekansen zo goed mogelijk te kunnen voorspellen. Bij de analyse van de sterftekansen hebben we gezien dat tussen 1970 en 1990 een sterke toename in levensverwachting heeft plaatsgevonden voor zowel mannen als vrouwen. Tussen 1990 en 2000 is er bij vrouwen bijna geen toename in levensverwachting geweest. Bij mannen wel, alleen is die daling minder sterk dan in de jaren ervoor. Vanaf 2003 zijn de sterftekansen voor beiden weer sterk gedaald; er heeft infeite een trendbreuk plaatsgevonden. Zelf ontwikkelde prognosemodel Het model dat is ontwikkeld is het model op basis van sterftetrends, Voorspelling1 genoemd. Of dit model de sterftekansen voor de toekomst goed kan voorspellen weet niemand, omdat de sterftekansen voor de toekomst niet bekend zijn. We kunnen wel kijken of de uitkomsten van het model aannemelijk zijn. Dit is op verschillende manieren gedaan. De eerste manier voor het controleren van het prognosemodel is door bijvoorbeeld de sterftekansen van 1950 tot en met 2005 als uitgangspunt te nemen om vervolgens de sterftekansen voor 2006 en 2007 te voorspellen. Hierbij viel op dat bij mannen de voorspelling voor het eerste jaar na de gebruikte data een steeds groter wordend afwijkingspercentage heeft ten opzichte van de afronding. Voor 1991 is het afwijkingspercentage namelijk maximaal 2%, voor 1996, 4%, voor 2001 8% en voor 2006 zelfs 16%. De lage afwijking bij 1991 en 1996 wil dus zeggen dat de sterftekansen voor 1995 vrij geleidelijk zijn gedaald. De grote afwijking bij 2006 ten opzichte van 2001 duidt dus op een hele sterke daling van de sterftekansen vanaf 2000. Een trendbreuk is dus moeilijk op te nemen in het model. Zelfs een model zoals Lee-Carter, waarin een tijdreeksmodel voor het doortrekken van trends uit de geschiedenis is verwerkt, geeft geen goede voorspellingen voor de sterftekansen van 2006 en 2007. Bij vrouwen is bij Voorspelling1 met data tot en met 1990 de sterk dalende trend van voor 1990 voortgezet, terwijl deze daling in werkelijkheid niet meer zo sterk bleek te zijn. Hierdoor zijn de sterftekansen van Voorspelling1 lager dan de afgeronde sterftekansen. Vanaf 2000 neemt de daling van de sterftekansen weer toe, waardoor de afwijking bij de voorspelling op basis van data tot en met 2006 juist rond de 0% ligt. Overigens vertonen de sterftekansen volgens de AG prognose ook grote afwijkingen voor 2004 tot en met 2007. Een manier om Voorspelling1 te controleren is door te kijken naar het gemiddeld aantal jaren nog te leven van een 65-jarige. We hebben gezien dat als we vanaf 1950 de lineair stijgende trend van de levensverwachting van een 65-jarige vrouw voortzetten dit in 2050 uitkomt op gemiddeld nog 24,5 jaar te leven. Vanaf 1993 is er een sterkere stijging van de levensverwachting van een 65-jarige man te zien. Als we deze stijgende trend lineair voortzetten dan heeft een 65-jarige man in 2050 nog gemiddeld 23,6 jaar te leven. Dit is bij zowel mannen als bij

80


vrouwen vrijwel gelijk aan het gemiddeld aantal jaren nog te leven volgens Voorspelling1. Het gemiddeld aantal jaren nog te leven voor een 65-jarige in 2050 is volgens het AG veel lager, namelijk 20,1 jaar voor mannen en 21,8 jaar voor vrouwen. Voorspelling1 ligt dus wel in de lijn der verwachting als de stijgende trend zo door blijft gaan. Invloed van verschillende prognose op de voorziening Het tweede doel van de scriptie is om te kijken wat de invloed is van de verschillende prognoses op de Technische Voorziening (TV) van een pensioenfonds. De TV die een pensioenfonds verplicht dient aan te houden, wordt bepaald op basis van individuele voorzieningen. Deze individuele voorziening wordt onder andere berekend door voor elke persoon de opgebouwde aanspraak op ouderdomspensioen en nabestaandenpensioen te vermenigvuldigen met de bijbehorende factoren. Deze factoren hangen af van rente en sterfte. We hebben gezien dat de TV van een jong fonds volgens Voorspelling1 6,5% hoger moet zijn dan volgens het AG. De TV van een standaard fonds moet 4,9% hoger zijn en de TV van een oud fonds moet 3,7% hoger zijn. Indien we verschillende invoerdata gebruiken als uitgangspunt voor Voorspelling1, dan varieert de TV die moet worden aangehouden. De TV blijft echter voor een standaard fonds wel altijd minstens 3% hoger dan de TV volgens het AG. De TV die volgens het CBS moet worden aangehouden is bij de drie fondsen respectievelijk 3,6%, 4,9% en 4,7% hoger dan de TV volgens het AG. Verder hebben we gezien dat de invloed van verandering van rente groter is dan de verandering van sterftekansen. Voor deze renteveranderingen dekken pensioenfondsen zich tegenwoordig steeds meer in. Sterfte-ontwikkeling speelt dus een steeds belangrijkere rol bij de bepaling van de TV. Lineaire trend in levensverwachting Een ander belangrijk punt dat in deze scriptie naar voren is gekomen is het volgende. Als we voor elk kalenderjaar naar het land kijken met op dat moment de hoogste levensverwachting, dan blijkt dit een lineaire trend te vertonen; de levensverwachting neemt jaarlijks met ongeveer 3 maanden toe. De levensverwachting van Nederland loopt vrij parallel aan die lineaire trend. In veel prognoses, bijvoorbeeld die van het CBS, wordt echter van de lineair stijgende trend in levensverwachting afgeweken. Maar waarom zouden we dat doen? Er is namelijk nog ruimte genoeg voor het verlagen van de sterftekansen en dus het voortzetten van de lineaire trend. In de medische wereld wordt er namelijk veel onderzoek gedaan naar het voorkomen, een vroegere diagnostiek en een betere behandeling van ziekten. Zo zijn er enkele belangrijke ontwikkelingen gaande voor hart- en vaatziekten, maar ook voor borstkanker. Daarnaast wordt er onderzoek gedaan naar factoren die het leven bij dieren kunnen verlengen. Misschien dat de wetenschappers in de toekomst ook dergelijke factoren voor mensen vinden. Verder vindt het grootste gedeelte van alle sterfte boven de 75 jaar plaats. Bij ouderen is daarom veel sterfteverbetering mogelijk. Dit kan gebeuren door betere voeding, meer bewegen en niet meer roken. Het feit dat Voorspelling1 een prognose blijkt te geven die voor mannen wel parallel loopt aan de lineaire lijn en voor vrouwen er iets vanaf loopt, is dus reëel. Eindconclusie De eindconclusie van deze scriptie is dat sterftekansen erg moeilijk zijn te voorspellen; de toekomst is immers onzeker. De sterftekansen van de AG prognose lijken echter aan de hoge kant. Dit komt onder andere doordat in de huidige prognose de vanaf 2003 sterk dalende trend van de sterftekansen nog niet is meegenomen. Daarnaast zwakken ze door het afronden en middelen van de sterftekansen en reductiefactoren, de daling in sterftekansen af. Door deze te

8.4 Conclusie

81

hoge sterftekansen, lijkt de TV die pensioenfondsen aanhouden te laag. Het is dus erg belangrijk de sterftekansen goed te monitoren en zo goed mogelijk te voorspellen. Desnoods door elk jaar een nieuwe prognose uit te brengen. Met een eenvoudig model, zoals Voorspelling1, kan dit op een effectieve en efficiënte manier. En waarom zou de prognosetafel maar één keer in de vijf jaar bijgesteld worden terwijl de nominale rentetermijnstructuur iedere maand wordt uitgebracht?

82


Bijlagen

Bijlage A Toelichting op enkele begrippen uit het pensioengebouw In dit hoofdstuk worden de niet toegelichte begrippen uit hoofdstuk 2 uitgelegd.

A.1

De 1e pijler

Een toelichting op de resterende begrippen uit de 1e pijler.

A.1.1

WAO, WIA en Wajong

WAO, WIA, WAZ en Wajong zijn wetten die recht geven op uitkering in geval van langdurige arbeidsongeschiktheid. WAO staat voor wet op de arbeidsongeschiktheidsverzekering, WIA staat voor wet werk en inkomen naar arbeidsvermogen, WAZ staat voor wet op de arbeidsongeschiktheidsverzekering zelfstandigen en de Wajong staat voor wet arbeidsongeschiktheidsvoorziening jonggehandicapten. Iemand is arbeidsongeschikt als hij/zij door zijn/haar beperkingen, veroorzaakt door ziekte, met arbeid niet meer zijn oude loon kan verdienen. Het percentage van ongeschiktheid is (het oude loon minus het theoretisch te verdienen nieuwe loon) gedeeld door het oude loon maal 100%. De WIA verzekert werknemers die twee jaar ziek zijn geweest voor een loonvervangende of loonaanvullende uitkering. Tijdens de twee jaar ziekte moet de werkgever minstens 70% van het loon (tot het maximale dagloon) doorbetalen. De WIA heeft per 29-12-2005 de WAO vervangen, omdat men zich moet concentreren op wat men wel nog kan en niet op wat men niet meer kan. De WIA bevat financiële prikkels voor werkgevers en werknemers die erop gericht zijn dat werknemers zoveel mogelijk aan het werk blijven of gaan. De WIA bestaat uit de IVA (regeling inkomensvoorziening volledig arbeidsongeschikten) en uit de WGA (regeling werkhervatting gedeeltelijk arbeidsongeschikten). Mensen die voor 80 tot 100% arbeidsongeschikt zijn en ook niet meer kunnen herstellen worden volledig en duurzaam arbeidsongeschikt genoemd. Deze mensen hebben recht op een uitkering van 75% van het laatste loon tot het 65e levensjaar via de IVA. Mensen die volledig arbeidsongeschikt zijn, maar niet duurzaam, krijgen een uitkering van 70% van het dagloon via het WGA. Mensen die gedeeltelijk arbeidsongeschikt zijn, dat wil zeggen voor minstens 35%, krijgen ook een uitkering via het WGA. Ze moeten echter wel blijven werken voor zover dat mogelijk is. Hun inkomen wordt dan aangevuld met een uitkering, zodat ze in totaal uitkomen op 70% van het laatste loon. De Wajong is bedoeld voor mensen die arbeidsongeschikt zijn geworden, maar nog geen arbeidsverleden hebben. Om in aanmerking te komen voor een uitkering moet de jongere voor

86

Toelichting op enkele begrippen uit het pensioengebouw

minstens 25% arbeidsongeschikt zijn. De uitkering gaat in na 52 weken. De WAZ is hetzelfde als de WAO regeling, maar dan voor zelfstandigen. Deze regeling is per 1-8-2004 afgeschaft.

A.1.2

IOAW en IOAZ

IOAW staat voor wet inkomensvoorziening oudere en gedeeltelijk arbeidsongeschikte werkloze werknemers. IOAZ staat voor wet inkomensvoorziening oudere en gedeeltelijk arbeidsongeschikte gewezen zelfstandigen. De IOAW volgt op de werkeloosheidsuitkering op grond van de WW. De hoogte van de IOAW uitkering is gelijk aan de bijstandsuitkering, alleen heeft de IOAW geen vermogenstoets en een beperktere inkomenstoets. Werknemers die na hun 50e levensjaar werkloos zijn geworden en nadien de volledige uitkeringsduur van de loongerelateerde WW-uitkering hebben bereikt en werknemers die na hun 57,5e levensjaar werkloos zijn geworden en nadien de volledige uitkeringsduur van de kortdurende WW-uitkering hebben bereikt, komen in aanmerking voor de IOAW. De IOAZ kan een aanvulling zijn op de WAZ uitkering en wordt gegeven nadat de zelfstandige zijn bedrijf heeft beëindigd. De hoogte van de IOAZ uitkering is gelijk aan de bijstandsuitkering, maar deze heeft een aangepaste vermogenstoets. Voor deze uitkering komen in aanmerking gewezen zelfstandigen van 55 jaar of ouder, waarvan het inkomen beneden het sociaal minimum blijft, die de afgelopen drie jaar als zelfstandige een gemiddeld inkomen hebben gehad onder het sociaal minimum en die in de zeven jaar daarvoor gewerkt hebben. Ook komen in aanmerking voor een IOAZ uitkering gedeeltelijk arbeidsongeschikte gewezen zelfstandigen die hun bedrijf hebben moeten beëindigen als gevolg van arbeidsongeschiktheid en daarna minder gaan verdienen dan het sociaal minimum.

A.2

De 3e pijler

Een toelichting op de begrippen uit de 3e pijler.

A.2.1

Lijfrente

Er zijn twee voorwaarden waaraan een lijfrente moet voldoen. Ten eerste moet de periodieke uitkering deel uit maken van een reeks van uitkeringen en ten tweede is de uitkering van de periodieke uitkering afhankelijk van het in leven zijn van de verzekerde (het lijf) op de datum van de uitkeringen. De lijfrente kan levenslang, maar ook voor een bepaalde periode worden uitgekeerd. Er zijn verschillende soorten lijfrenten, namelijk (tijdelijke) oudedagslijfrente, nabestaandenlijfrente, combinatievormen ervan en lijfrente meerderjarige, invalide kinderen.

A.2.2

Kapitaalverzekering

Een kapitaalverzekering heeft verschillende functies. Zo kan het gebruikt worden voor het opbouwen van een oudedagsvoorziening, het aflossen van een geldlening of het afdekken van fiscale claims. De kapitaalverzekering is onderworpen aan een reeks van fiscale bepalingen. Vooral is van belang dat uit een kapitaalverzekering een inkomstenbelastingvrije uitkering kan voortvloeien.

A.2 De 3e pijler

A.2.3

87

Arbeidsongeschiktheidsverzekering

Er bestaat geen wettelijke lijfrente- of kapitaalverzekering die voorziet in een uitkering bij arbeidsongeschiktheid. Wel kan een aparte arbeidsongeschiktheidsverzekering worden afgesloten. Bij arbeidsongeschiktheid voorziet deze verzekering in een periodieke uitkering.

A.2.4

Premievrijstelling bij arbeidsongeschiktheid

Bij een lijf- of kapitaalverzekering kan wel premievrijstelling bij arbeidsongeschiktheid worden meeverzekerd. Bij arbeidsongeschiktheid krijgt de verzekeringnemer geheel of gedeeltelijk vrijstelling van premiebetaling.

88

Toelichting op enkele begrippen uit het pensioengebouw

Bijlage B Recursieve formule voor OP- en NP factoren Voor het numeriek berekenen van factoren wordt het programma Excel gebruikt. Om deze formule makkelijk te kunnen invoeren in Excel is het beter om een recursieve formule te gebruiken. Als we aannemen dat vanaf 126 jarige leeftijd de sterftekans 1 is, en dus de overlevingskans 0, dan gaat de recursieve formule voor een direct ingaande levenslange prenumerando gelijkblijvende uitkering, a ¨θ , als volgt: a ¨126 = 1 a ¨125 = 1 + 1 |¨ a126 ∗

= 1 + v 1 · p125 · a ¨126 ∗∗

1

= 1 + v · p125 · 1 =

∞ X

v t t p125

t=0

a ¨124 = 1 + 1 |¨ a125 ∗

= 1 + v 1 · p124 · a ¨125 1 = 1 + v · p124 · (1 + v 1 · p125 · 1) ∞ X ∗∗ = 1 + v 1 · p124 + v 2 · 2 p124 = v t t p124 t=0

a ¨123 = 1 + 1 |¨ a124 ∗

= 1 + v 1 · p123 · a ¨124 1 = 1 + v · p123 · (1 + v 1 · p124 + v 2 · 2 p124 ) ∞ X ∗∗ 1 2 3 = 1 + v · p123 + v · 2 p123 + v · 3 p123 = v t t p123 t=0

.. . .. . 1

2

3

a ¨1 = 1 + v p1 + v · 2 p1 + v · 3 p1 + . . . . . . + v

125

∗∗

∞ X

∗∗

t=0 ∞ X

· 125 p1 =

a ¨0 = 1 + v 1 p0 + v 2 · 2 p0 + v 3 · 3 p0 + . . . . . . + v 126 · 126 p0 =

t=0

v t t p1 v t t p0

90

Recursieve formule voor OP- en NP factoren ∗

In de afleiding zijn de formules achter = de recursieve formules om in Excel in te voeren. ∗∗ De formules achter = is een controle. De sommaties in de recursie gelden namelijk, omdat t px = px · px+1 · . . . · px+t−1 en p126 = p127 = . . . = 0. Op deze manier kun je ook makkelijk een variabele rente invoeren. De OP-factor kan nu berekend worden met de volgende formule: Factor OP x-jarige man = a ¨x − a ¨x,65−x en de NP-factor met de formule: Factor NP x-jarige man met een y-jarige vrouw = a ÿ − a ¨xy

Bijlage C Ervaringssterfte In onderstaande tabel zijn de percentages voor de ervaringssterfte te zien (Watson Wyatt). Leeftijd 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

Man 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97

Vrouw 0,688 0,688 0,688 0,688 0,688 0,688 0,688 0,688 0,688 0,688 0,688 0,688 0,688 0,688 0,688 0,688 0,688 0,688 0,688 0,688 0,688 0,688 0,688 0,688 0,688 0,695 0,696 0,697 0,698 0,699 0,7 0,701 0,702

33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66

0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97

0,703 0,704 0,705 0,706 0,707 0,708 0,709 0,711 0,712 0,713 0,714 0,715 0,716 0,717 0,718 0,719 0,72 0,721 0,722 0,723 0,724 0,725 0,726 0,727 0,728 0,729 0,73 0,731 0,732 0,733 0,734 0,735 0,736 0,737

67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100-125

0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,98 0,99 1

0,738 0,739 0,74 0,741 0,742 0,743 0,744 0,745 0,746 0,747 0,748 0,749 0,75 0,751 0,764 0,785 0,805 0,826 0,846 0,867 0,887 0,908 0,928 0,93 0,9382 0,9464 0,9546 0,9628 0,971 0,9792 0,9874 0,9956 1 1

92

Ervaringssterfte

Bijlage D Simulatie code Sub Genereer_Sterftekans_2000() Dim sigma, mu, R As Double ’Voor het jaar 2000 en 25 t/m 99 jaar de mu en sigma aflezen en vervolgens het aantal overledenen simuleren For j = 3 To 76 ’leeftijd 25 staat in rij 3 en leeftijd 98 in rij 76 A = Sheet1.Cells(j, 12) ’in kolom 12 staat het aantal sterftes in jaar 2000 R = Sheet1.Cells(j, 2) ’in kolom 2 staat het aantal mensen op 1 jan 2000 sigma = Sqr(A*(1-(A/R))) For i = 1 To 10 Sheet2.Cells(j + 6, i + 1) = Round(Trekken_Normale_Verdeling() * sigma + A, 0) ’wegschrijven van de per leeftijd 200 keer gesimuleerde aantal sterftes Next i Next j ’Voor het jaar 2006 en 25 t/m 99 jaar de mu en sigma aflezen en vervolgens het aantal overledenen simuleren For j = 3 To 77 A = Sheet1.Cells(j, 18) R = Sheet1.Cells(j, 8) sigma = Sqr(A*(1-(A/R))) For i = 1 To 10 Sheet2.Cells(j + 6, i + 13) = Round(Trekken_Normale_Verdeling() * sigma + A, 0) Next i Next j End Sub Public Function Trekken_Normale_Verdeling() ’een N(0,1) verdeeld random getal genereren Dim u1, u2, v1, v2, w, y, x1, x2 As Double ’Op basis van het Law-Kelton algoritme line1: Randomize u1 = Rnd()

94 Randomize u2 = Rnd() v1 = 2 * u1 - 1 v2 = 2 * u2 - 1 w = v1 * v1 + v2 * v2 If w > 1 Then GoTo line1 Else y = Sqr(-2 * Log(w) / w) x1 = v1 * y x2 = v2 * y End If Trekken_Normale_Verdeling = x1 End Function

Simulatie code

Bibliografie [1] D.W. Bakker et al., De pensioengids, Kluwer 2008 [2] R. Muller en B. Dijkman, Niets doen is geen optie, PricewaterhouseCoopers: de Pensioenfondsen Update, september 2005 [3] H. Wolthuis en R. Bruning, Levensverzekeringswiskunde deel 1, 1996 [4] W.J. Willemse, Aantekeningen bij het smoothing algoritme van het AG, 2 november 2006 [5] Actuarieel Genootschap, AG over sterfte en overleven, AG-tafels 2000-2005 en Prognosetafels [6] A. de Jong en A. van der Meulen, Prognose van sterfte naar doodsoorzaken: model en veronderstellingen, CBS bevolkingstrends, 2e kwartaal 2005 [7] A. van der Meulen, C. van Duin en J. Garssen, Bevolkingsprognose 2008-2050: model en veronderstellingen betreffende sterfte, CBS bevolkingstrends, 1e kwartaal 2009 [8] R.D. Lee en L.R. Carter, Modeling and forecasting U.S. mortality, Journal of the American Statistical Association, Sept. 1992, Vol. 87, No. 419 [9] J. Garssen, De toekomst van onze levensverwachting, CBS bevolkingstrends, 3e kwartaal 2005 [10] A. Azzalini, Statistical inference based on the likelihood, Chapman and Hall 1996 [11] H. Schellekens, Iedereen haalt 125 jaar, het Financieel Dagblad, 20 maart 2009 [12] F. Eulderink, T.J. Heeren, D.L. Knook en G.J. Ligthart, Inleiding gerontologie en geriatrie, 1999 [13] C. de Ruyk, Medische doorbraken: superpil voor je hart, website www.goedgevoel.be, 31 januari 2009 [14] C. de Ruyk, Medische doorbraken: www.goedgevoel.be, 31 januari 2009

eenvoudige test voor borstkanker,

website

[15] A.J.G. Cairns, D. Blake en K. Dowd, A two-factor model for stochastic mortality with parameter uncertainty: theory and calibration, Journal of risk and insurance, december 2006

Analyse en voorspelling van sterftekansen en de invloed hiervan op de Technische Voorziening van een pensioenfonds

Recommend Documents