Analízis I. jegyzet. László István november 3

Analízis I. jegyzet László István 2008. november 3.

Tartalomjegyzék 1. Halmazok 1.1. Halmaz fogalma . . . . . . . . . . . . . 1.2. Halmaz megadása . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Explicit megadás . . . . . . . . 1.2.2. Implicit megadás . . . . . . . . 1.3. Halmazok szemléltetése: Venn-diagram 1.4. Halmazrelációk . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Egyenlőség . . . . . . . . . . . 1.4.2. Diszjunkt halmazok . . . . . . 1.4.3. Részhalmaz . . . . . . . . . . . 1.4.4. Valódi részhalmaz . . . . . . . 1.5. Halmazműveletek . . . . . . . . . . . . 1.5.1. Metszet . . . . . . . . . . . . . 1.5.2. Unió . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3. Különbség . . . . . . . . . . . . 1.5.4. Szimmetrikus különbség . . . . 1.5.5. Komplementer . . . . . . . . . 1.5.6. Descartes-szorzat . . . . . . . . 1.6. Összetett műveletek, azonosságok . . . 1.7. Gyakorló feladatok . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 5 6 6 6 6 7 7 8 8 9 10 10 11 11 12 13 13 14 16

2. Nevezetes számhalmazok, műveletek 2.1. Természetes számok . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Alapműveletek . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. A számegyenes . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Negatív és egész számok . . . . . . . . . . . . . 2.3. Racionális számok . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Irracionális számok . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Valós számok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Intervallumok . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. A valós számokon túl . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Számrendszerek, számábrázolás . . . . . . . . . 2.7.1. Helyiértékek, számrendszerek . . . . . . 2.7.2. A gyakorlatban használt számrendszerek

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

17 17 18 18 18 19 20 22 23 24 24 24 25

1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

TARTALOMJEGYZÉK

2

2.7.3. Természetes (előjel nélküli) számok bináris ábrázolása 2.7.4. Előjel nélküli bináris számok összeadása és szorzása . 2.7.5. Negatív számok bináris ábrázolása . . . . . . . . . . . 2.7.6. Előjeles bináris számok összeadása és szorzása . . . . 2.7.7. Racionális számok ábrázolása, helyiértékes törtek . . . 2.7.8. Irracionális számok ábrázolása . . . . . . . . . . . . . 2.8. Gyakorló feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

26 27 27 28 29 32 32

3. Koordinátarendszerek, ponthalmazok 34 3.1. Koordinátarendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.1.1. Descartes-féle derékszögű koordinátarendszer . . . . . . . 35 3.1.2. Polárkoordinátarendszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.1.3. Szögmérés, szögmértékek . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.4. Koordináta-transzformációk derékszögű és poláris rendszer között . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2. Síkbeli ponthalmazok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2.1. Görbék általában . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2.2. Egyenesek egyenletei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.3. Egyenesek konstruálása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2.3.1. Adott ponton átmenő, adott meredekségű egyenes egyenlete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2.3.2. Két pontra illesztett egyenes egyenlete . . . . . . 48 3.2.4. Egyenesekkel határolt tartományok . . . . . . . . . . . . . 50 3.2.5. Körök, körlapok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.2.6. Egyéb görbék és tartományok . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.2.7. Koordináta-csere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2.8. Összetett alakzatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2.9. Ponthalmazok polárkoordinátarendszerben . . . . . . . . 56 3.3. Gyakorló feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4. Függvénytani alapok 4.1. Függvény fogalma . . 4.2. Inverz függvény . . . . 4.3. Leszűkítés, kiterjesztés 4.4. Kompozíció . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

62 62 65 66 66

5. Egyváltozós valós függvények 5.1. Függvény megadása . . . . . . . 5.2. Függvény grafikonja . . . . . . . 5.3. Leszűkítés . . . . . . . . . . . . . 5.4. Inverz függvény . . . . . . . . . . 5.5. Kompozíció . . . . . . . . . . . . 5.6. Alapvető függvény-tulajdonságok 5.6.1. Monotonitás . . . . . . . 5.6.2. Korlátosság . . . . . . . . 5.6.3. Paritás . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

68 68 69 72 73 77 79 79 81 83

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

TARTALOMJEGYZÉK

3

5.6.3.1. Paritás és műveletek . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.4. Periodicitás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7. Gyakorló feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Alapfüggvények 6.1. Konstans függvények . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Identitásfüggvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Hatványfüggvények . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1. Pozitív egész kitevőjű hatványfüggvények 6.3.2. Zérus kitevőjű hatványfüggvény . . . . . . 6.3.3. Negatív egész kitevőjű hatványfüggvények 6.3.4. Gyökfüggvények . . . . . . . . . . . . . . 6.3.5. Racionális kitevőjű hatványfüggvények . . 6.4. Exponenciális függvények . . . . . . . . . . . . . 6.4.1. Az e szám . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5. Logaritmus függvények . . . . . . . . . . . . . . . 6.6. Trigonometrikus függvények . . . . . . . . . . . . 6.6.1. Szinusz és koszinusz függvény . . . . . . . 6.6.2. Tangens és kotangens függvény . . . . . . 6.7. Arkuszfüggvények . . . . . . . . . . . . . . . . .

86 87 88

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

90 90 90 90 92 93 93 93 96 96 97 99 101 102 102 106

7. Függvények képzése 7.1. Lineáris transzformációk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1. Argumentumon kívüli transzformációk . . . . . . . . . . 7.1.2. Argumentumon belüli transzformációk . . . . . . . . . . 7.1.3. Az általános lineáris transzformáció . . . . . . . . . . . 7.2. Függvények képzése alapműveletekkel . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1. Függvények összege és különbsége . . . . . . . . . . . . 7.2.2. Függvények szorzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.3. Reciprok függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.4. Függvények hányadosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Polinomok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1. A polinomfüggvények grafikonja . . . . . . . . . . . . . 7.3.2. A polinom gyökei és gyöktényezős alakja . . . . . . . . . 7.4. Interpoláció polinomokkal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1. Lineáris illesztés két pontra . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1.1. Az első módszer: egyenletrendszer . . . . . . . 7.4.1.2. A második módszer: bázisfüggvények . . . . . 7.4.2. Másodfokú illesztés három pontra . . . . . . . . . . . . 7.4.2.1. Az első módszer: egyenletrendszer . . . . . . . 7.4.2.2. A második módszer: bázisfüggvények . . . . . 7.4.3. Az általános eset: a Lagrange-féle interpolációs polinom 7.5. Gyakorló feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

110 110 110 112 115 117 117 117 121 121 121 125 127 130 130 131 131 132 133 133 135 136

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

Bevezető Az analízis elemzést, vizsgálatot jelent. Vizsgálni, elemezni sokmindent lehet (pl. a kémia vagy a pszichológia is használja a fogalmat), ám a matematikában ezen hagyományosan függvények vizsgálatát szoktuk érteni. A függvények a világ matematikai leírásának olyan alapvető fontosságú képződményei, hogy a matematika tudományának egyik fő ága éppen ezekkel, típusaikkal, tulajdonságaikkal foglalkozik. Ezt az ágat magát analízisnek nevezik, magyarul függvénytannak mondhatjuk. A függvények családja igen gazdag, a világ sokfélesége függvények sokféleségét igényli. Ebben a kurzusban ezek közül csupán ún. egyváltozós függvények („számokhoz számokat rendelő”) analízisével foglalkozunk. A függvénytan bonyolultabb eseteihez is az egyváltozós analízisen át vezet az út. Ez a jegyzet mérnök-informatikus hallgatók számára készült, a függvénytanba (egyváltozós analízisbe) való bevezetés céljával. Szem előtt kívánja tartani, hogy – nem matematikusok, hanem mérnökök számára készül – nem tankönyv, hanem jegyzet Ez azt jelenti, hogy inkább próbál szemléletes lenni, mint formálisan precíz, inkább próbálja körülírni, intuitív módon bevezetni a fogalmakat és összefüggéseket, mint definíciók és tételek logikailag megkérdőjelezhetetlen rendszereként, inkább próbálja felvetni az építkezés során előkerülő kérdéseket, mint egy-egy mégoly pontos, ám nehezen érthető definícióval, előzmények nélkül elejét venni azoknak. E jegyzet vázul szolgál a tárgy előadásaihoz, a fejezetek végén elhelyezett gyakorló feladatok révén pedig a csoportos gyakorlatokhoz is.

4

1. fejezet

Halmazok A tantárgyunk alapját képező függvény fogalma a halmaz fogalmára épül.1 Ebben a szakaszban áttekintjük a halmazokkal kapcsolatos alapvető ismereteket.

1.1. Halmaz fogalma Halmaz : Dolgok jól meghatározott összessége. A halmaz alapfogalom, vagyis matematikai értelemben más, egyszerűbb fogalomra nem vezethető vissza, fent valójában nem is a definícióját, csak egy körülírását látjuk. Akkor tekintjük a halmazt jól meghatározottnak, ha bármilyen dologról egyértelműen eldönthető, hogy hozzá tartozik-e a halmazhoz vagy sem. Halmazhoz tartozás : Bármely a dolog kétféle módon viszonyulhat egy (jól meghatározott) A halmazhoz: eleme annak, vagy sem. Jelölés: a ∈ A ill. a ∈ /A Vizsgálhatjuk, hogy egy halmaznak hány eleme van: mennyi a halmaz számossága. Halmazok tartalmazhatnak véges darabszámú elemet, de akár végtelen sokat is.2 Számosság : Véges halmazok számossága alatt az elemszámukat értjük. Jelölés : |A| Negatív számosság nincs, viszont létezik zérus elemszámú halmaz. Üreshalmaz : Az üreshalmaz nem tartalmaz egy elemet sem, számossága 0. Egyetlen ilyen halmaz létezik. Jelölés: ∅ 1 Érdekességként

említjük, hogy a modern, axiomatikus elméleti megalapozás szerint a matematika a halmaz-függvény fogalompárra építhető. Kettejük összefonódására jellemző, hogy bármelyiküket tekinthetjük alapfogalomnak, másikuk utána már származtatható. A klasszikus tárgyalásmódban mégis inkább a halmazból szokás kiindulni. 2 Érdekes módon végtelen halmazok számosságán belül is lehet különbséget tenni (mintha bizonyos végtelen mennyiségek között is lenne „több” és „kevesebb”), de ezzel itt nem foglalkozunk.

5

1. FEJEZET. HALMAZOK

6

1.2. Halmaz megadása 1.2.1. Explicit megadás A legegyszerűbb megadási mód az elemek felsorolása. } { Példa : A = 2; 7,24; 5614; −39; 49 ; B = {Andi; Bandi; Cili} (A megadás rendszerint {} zárójelek között történik.) Az első öt számot, a második három embert tartalmaz. Például a számítógépes adatbázisok táblái (rekordok sorozata) ilyen, felsorolással megadott halmazok. Felsorolással természetesen elméletileg is csak véges, gyakorlatilag pedig leginkább csak viszonylag kis elemszámú halmazokat lehet megadni.

1.2.2. Implicit megadás Megfelelő az is, ha olyan meghatározást, tulajdonságot, eljárást adunk, amivel bármiről eldönthető, eleme-e a halmaznak. Példák : A={az iskolával adott időpontban jogviszonyban lévő hallgatók}; B = ={a bázakerettyei lakosok}; C ={1000-nél kisebb természetes számok}; D ={prímszámok}; E ={egy adott 200 jegyű szám prímtényezői}; F ={a Fibonacci-sorozat első 10000 eleme} Hangsúlyozzuk, hogy nem szükséges részben vagy egészben felsorolva látni, vagy akár elképzelni ezen halmazok elemeit ahhoz, hogy a halmazt meghatározottnak tekinthessük. Pl. szükség esetén egy emberről a lakcím-kártyája alapján eldönthető, hogy bázakerettyei lakos-e vagy sem, egy adott számról pedig véges idő alatt eldönthető, hogy prím-e. Egészen bonyolult, gyakorlatilag esetleg kivitelezhetetlen eljárás is lehet a kritérium: pl. egy igen nagy szám prímtényezős felbontása nem biztos, hogy megoldható a Nap kihűléséig, de belátható, hogy az eljárás véges idő alatt eredményre vezet; attól, hogy esetleg gyakorlatilag nem tudjuk megmondani egy – akár véges – halmaz elemeit, halmazelméleti értelemben még jól meghatározott lehet.

1.3. Halmazok szemléltetése : Venn-diagram Halmazok szemléltetésének legáltalánosabb módja a Venn-diagram. Speciális halmazok szerkezetének érzékeltetésére léteznek speciális – adott célra jobban megfelelő – szemléltetések, de halmazok egymáshoz való viszonyának (relációjának), ill. a rajtuk végzett műveletek alapjainak megértéséhez ez az egyszerű, alsó tagozatból ismert eljárás megfelelő. A Venn-diagram egy síkbeli (papíron ábrázolható) modell, melyben a halmazokat tartományokkal ábrázoljuk. Egyes elemeknek a halmazhoz való tartozását úgy érzékeltetjük, hogy az elemet jelző grafikus szimbólumot a halmazt szimbolizáló tartományon belül vagy kívül helyezzük el. A tartományok viszonyával modellezhető a szimbolizált halmazok viszonya.

1. FEJEZET. HALMAZOK B

7 C

F

D

E

A A : háromszögek; B : hegyesszögű háromszögek; C : derékszögű háromszögek; D : tompaszögű háromszögek; E : egyenlő szárú háromszögek ; F : egyenlő oldalú háromszögek 1.1. ábra. Háromszögek osztályozásának Venn-diagramja.

1.4. Halmazrelációk A reláció általában két dolog viszonyát jelenti valamely szempontból – ti. hogy az adott szempontból kapcsolatban vannak-e.3 Az alábbiakban sorra vesszük a legfontosabb relációkat, vagyis azokat az alapvető viszonyokat, melyek két halmaz között lehetségesek.

1.4.1. Egyenlőség Egyenlőség : Két halmazt pontosan akkor tekintünk egyenlőnek, ha ugyanazokat az elemeket tartalmazzák. ∀x ∈ A : x ∈ B, ∀y ∈ B : y ∈ A Jelölés : A = B Ha két halmaz nem egyenlő, akkor az pontosan azt jelenti, hogy a két érintett közül valamely halmaznak legalább egy olyan eleme van, ami a másiknak nem eleme. Néhány tulajdonság: – minden halmaz egyenlő önmagával: A = A (a reláció reflexív) – az egyenlőség kölcsönös: A = B ⇔ B = A (a reláció szimmetrikus) – „valamivel egyenlők egymással is egyenlők” : A = B ∧ B = C ⇒ A = C (a reláció tranzitív) 3 Egy reláció maga is egy halmaz, mely azon elempárok összességéből áll, melyek az adott szempont szerint kapcsolatban vannak egymással, vagyis melyek az adott relációnak elemei.


8

– egyenlő halmazok számossága is egyenlő

1.4.2. Diszjunkt halmazok Diszjunkt (különálló) halmazok : Ha nem létezik olyan elem, mely egy A és egy B halmaznak egyaránt eleme, akkor azt mondjuk, hogy a két halmaz különálló, vagy diszjunkt. ∀x ∈ A : x ∈ / B, ∀y ∈ B : y ∈ /A Az ilyen halmazoknak nincs tehát közös elemük, a metszet művelete szerint: A ∩ B = ∅ A

B

1.2. ábra. Diszjunkt halmazok. Néhány tulajdonság: – Egy nemüres halmaz soha nem diszjunkt önmagához: A ∩ A = A 6= ∅ (a reláció irreflexív) – A diszjunktság kölcsönös: A∩B = ∅ ⇔ B ∩A = ∅ (a reláció szimmetrikus) – „Valamihez diszjunktak egymáshoz nem okvetlenül diszjunktak” : pl. a páros ill. 4-gyel osztható számok halmaza egyaránt diszjunkt a páratlan számok halmazához, de előbbiek egymástól nem különállók (a reláció nem tranzitív) – Az üreshalmaz minden halmazhoz diszjunkt: A ∩ ∅ = ∅

1.4.3. Részhalmaz Részhalmaz : Ha egy A halmaz minden eleme a B halmaznak is eleme, akkor azt mondjuk, hogy A halmaz részhalmaza a B halmaznak. ∀x ∈ A x ∈ B Jelölés: A ⊆ B Néhány tulajdonság: – Egyenlő halmazok részhalmazai egymásnak, minden halmaz részhalmaza önmagának: A ⊆ A (a reláció reflexív)


9 B

A

1.3. ábra. Részhalmaz: A ⊆ B – Különböző halmazok nem lehetnek kölcsönösen egymás részhalmazai: A⊆ ⊆ B ∧ B ⊆ A ⇔ A = B (a reláció antiszimmetrikus) – „Részhalmaz részhalmaza szintén részhalmaz” : A ⊆ B ∧B ⊆ C ⇒ A ⊆ C (a reláció tranzitív) – Az üreshalmaz bármely halmaznak részhalmaza: ∅ ⊆ A – Egy halmaz valamely részhalmazának számossága nem lehet nagyobb az eredeti halmaz számosságánál: A ⊆ B ⇒ |A| ≤ |B|

1.4.4. Valódi részhalmaz Valódi részhalmaz : Ha A halmaz részhalmaza a B halmaznak, de nem egyenlő vele, akkor azt mondjuk, hogy A halmaz valódi részhalmaza a B halmaznak. Jelölés: A ⊂ B Néhány tulajdonság: – Nincs olyan halmaz, mely önmaga valódi részhalmaza (a reláció irreflexív) – Két halmaz nem lehet kölcsönösen egymás valódi részhalmaza (a reláció antiszimmetrikus) – „Valódi részhalmaz valódi részhalmaza szintén valódi részhalmaz” : A⊂B∧ ∧ B ⊂ C ⇒ A ⊂ C (a reláció tranzitív) – Az üreshalmaz önmagán kívül bármely halmaznak valódi részhalmaza – Egy halmaz valamely valódi részhalmazának számossága nem lehet nagyobb az eredeti halmaz számosságánál: A ⊂ B ⇒ |A| ≤ |B|. (Véges halmazt tekintve a valódi részhalmaz számossága már egyenlő sem lehet az eredetiével, végtelennél lehet: pl. a páros számok az egész számok valódi részhalmazát alkotják, mégis egyaránt (megszámlálhatóan) végtelen számosságúak.)


10

1.5. Halmazműveletek A halmazműveletek során két adott halmazból – meghatározott módon – egy harmadik keletkezik.4 Egy tipikus gyakorlati megvalósulása a halmazműveletek működésének, amikor pl. egy adatbázis-lekérdezést futtatunk egy táblán. A lekérdezésben megfogalmazott logikai műveletek mögötti halmazművelet eredménye a lekérdezés eredménye, ami szintén tábla – rekordokból álló halmaz. Az alábbiakban áttekintjük az alapvető halmazműveleteket.

1.5.1. Metszet Halmazok metszete : A és B halmazok metszetén azon elemek halmazát értjük, melynek elemei A-nak és B-nek is elemei. Jelölés: A ∩ B A ∩ B = {a | a ∈ A ∧ a ∈ B} A

B

1.4. ábra. Két halmaz metszete: A ∩ B Néhány tulajdonság: – A művelet eredménye az operandusok sorrendjétől független, vagyis a metszetképzés művelete kommutatív : A ∩ B = B ∩ A – Mivel (A∩B)∩C =A∩(B∩C), a metszetképzés művelete asszociatív, tehát értelmes az ilyen leírás is: A ∩ B ∩ C – Tetszőleges halmaz önmagával vett metszete önmaga: A ∩ A = A – Tetszőleges halmaz üreshalmazzal képzett metszete üreshalmaz: A∩∅ = ∅ – Ha a két érintett halmaz diszjunkt, akkor A ∩ B = ∅ – Két halmaz metszete mindkét halmaznak részhalmaza: A ∩ B ⊆ A és A ∩ ∩B ⊆B. Így tehát két halmaz metszetének számossága nem lehet nagyobb a kisebb számmosságúénál: |A ∩ B| ≤ min (|A| , |B|) 4 A műveletek olyan függvények (lám, milyen elválaszthatatlanul jár együtt halmaz és függvény fogalma !), melyek két elemből alkotott párhoz egy harmadikat rendelnek. A számok közti közismert alapműveletek is ilyenek : pl. az összeadás két számból egy harmadikat „csinál” – két számhoz egy harmadikat rendel.


11

1.5.2. Unió Halmazok uniója : A és B halmazok unióján (egyesítésén) azon elemek halmazát értjük, melynek elemei A-nak vagy B-nek (legalább egyiknek) elemei. Jelölés: A ∪ B A ∪ B = {a | a ∈ A ∨ a ∈ B} A

B

1.5. ábra. Két halmaz uniója: A ∪ B Néhány tulajdonság: – A művelet eredménye az operandusok sorrendjétől független, vagyis az unióképzés művelete kommutatív : A ∪ B = B ∪ A – Mivel (A∪B)∪C = A∪(B ∪C), az unióképzés művelete asszociatív, tehát értelmes az ilyen leírás is: A ∪ B ∪ C – Tetszőleges halmaz önmagával képzett uniója önmaga: A ∪ A = A – Tetszőleges halmaz üreshalmazzal képzett uniója önmaga: A ∪ ∅ = A – Két halmaz uniójának mindkét halmaz részhalmaza: A ⊆ A ∪ B és B ⊆ ⊆ A ∪ B. Így tehát két halmaz uniójának számossága nem lehet kisebb a nagyobb számmosságúénál: |A ∪ B| ≥ max (|A| , |B|)

1.5.3. Különbség Halmazok különbsége : A és B halmazok különbségén azon elemek halmazát értjük, melynek elemei A-nak elemei, de B-nek nem. Jelölés: A \ B A \ B = {a | a ∈ A ∧ a ∈ / B} Néhány tulajdonság: – A művelet eredménye nem független az operandusok sorrendjétől, tehát nem kommutatív : A \ B 6= B \ A Pl. ha A ⊂ B, akkor A \ B = ∅, viszont B \ A 6= ∅


12 A

B

1.6. ábra. Két halmaz különbsége: A \ B – Mivel (A \ B)\C eredménye nem okvetlenül egyezik meg A\(B \ C) eredményével, a művelet nem asszociatív. – A különbség részhalmaza a kisebbítendőnek: A \ B ⊆ A. Így tehát két halmaz különbségének számossága nem lehet nagyobb a kisebbítendő számosságánál: |A \ B| ≤ |A|

1.5.4. Szimmetrikus különbség Szimmetrikus különbség : A és B halmazok szimmetrikus különbségén azon elemek halmazát értjük, melynek elemei A és B közül pontosan egyiknek elemei. Jelölés: A 4 B A 4 B = {x | (x ∈ A ∧ x ∈ / B) ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ / A)} A

B

1.7. ábra. Két halmaz szimmetrikus különbsége: A 4 B Néhány tulajdonság: – Az előzőekkel ez így is kifejezhető: A4B=(A\B)∪(B\A)=(A∪B)\(A∩B) – A művelet eredménye az operandusok sorrendjétől független, vagyis a művelet kommutatív : A 4 B = B 4 A – Saját részhalmazzal képzett szimmetrikus különbség maga az egyszerű különbség: A ⊆ B ⇒ A 4 B = B \ A


13

– Két halmaz szimmetrikus különbsége részhalmaza az uniójuknak: A4B ⊆ ⊆A∪B. Így tehát két halmaz szimmetrikus különbségének számossága nem lehet nagyobb uniójuk számosságánál: |A 4 B| ≤ |A ∪ B| – Diszjunkt halmazok szimmetrikus különbsége az uniójukkal egyenlő: A ∩ ∩B = ∅ ⇒ A4B = A∪B

1.5.5. Komplementer Az eddigi kétoperandusú műveletek után ez egyetlen operandussal rendelkezik. A komplementer halmaz az eredetinek egy adott alaphalmazra vonatkozó kiegészítő halmaza. (Voltaképp az adott alaphalmaz maga is egy operandus, csak rögzített.) Komplementer halmaz : Legyen adott egy U alaphalmaz. Egy A ⊆ U halmaz komplementerén az U \ A halmazt értjük. Jelölés: A

A

1.8. ábra. Komplementer. Néhány tulajdonság: – Halmaz saját komplementerével vett uniója a teljes alaphalmazt adja: A∪ ∪A = U – Bármely halmaz diszjunkt saját komplementeréhez: A ∩ A = ∅

1.5.6. Descartes-szorzat Míg a fenti halmazműveletek eredményhalmazainak elemei az operandusok („bemeneti” halmazok) elemei közül kerülnek ki, a Descartes-szorzattal adódó eredményhalmaz elemei nem ilyenek, hanem az operandusok elemeiből képzett struktúrák: rendezett n-esek. Rendezett n-es : Olyan n-elemű felsorolás, melyben számít az elemek sorrendje. Jelölés : (a1 ; a2 ; ...; an )


14

Bármilyen elemek szerepelhetnek egy ilyen felsorolásban – pl. „(tollam; telefonom; macskám)” ilyen sorrendű felsorolása egy rendezett hármas, „(tollam; macskám; telefonom)” már egy másik rendezett hármas, mivel más a felsorolás sorrendje. Két rendezett hármas egyenlőségéhez nem elég az elemekből képzett halmazok egyenlősége – a felsorolási sorrendnek is egyezni kell. A gyakorlatban gyakran 2 vagy 3 elemű felsorolással talákozunk. Ezek neve speciálisan rendezett pár, ill. rendezett hármas. Descartes-szorzat : Adottak az A1 ; A2 ; ...; An halmazok. Ezek Descartes-szorzatán azon (a1 ; a2 ; ...; an ) rendezett n-esek összességét értjük, melyeknek első, második stb. eleme rendre ezen halmazokból kerül ki. Jelölés: A1 ×A2 ×...×An = {(a1 ; a2 ; ...; an ) | a1 ∈ A1 ; a2 ∈ A2 ; ...; an ∈ An } Egyszerű kombinatorikai meggondolással adódik, hogy véges elemszámú halmazok Descartes-szorzatának elemszáma a tényezők elemszámának szorzata: |A1 × A2 × ... × An | = |A1 | · |A2 | · ... · |An | Példa : Legyen A = {1; 2; 3}, B = {4; 5}. Mi a két halmaz Descartes-szorzata? A × B = {(1; 4) ; (1; 5) ; (2; 4) ; (2; 5) ; (3; 4) ; (3; 5)} – A Descartes-szorzat mint halmaz számpárokat tartalmaz. A szorzat elemszáma láthatóan a tényezők elemszámainak szorzata. Igaz-e, hogy (5; 2) ∈ A×B ? – Nem igaz, (2; 5) ∈ A×B, de az elemek megfordításával adódó pár nem ugyanaz. Igaz-e, hogy 2 ∈ A×B ? – Nem igaz, mivel A×B elemei már formálisan is eleve rendezett párok, nem pedig számok. Más kérdés, hogy 2 eleme több olyan párnak is, melyek A × B-nek elemei. Példa : Ha N a nők, F a férfiak halmaza, akkor hogy tekintünk a házaspárok H halmazára? A házaspárok a nők és férfiak Descartes-szorzatának részhalmaza: H ⊂ ⊂ N ×F . N ×F ugyanis a nőkből és férfiakból elméletileg alkotható párok összességét jelenti, de ezeknek csak töredéke valódi házassági kapcsolat. A Descartes-szorzat értelmének egyik gyakorlati megtestesülése pl. egy adatbázisrekord, melynek egyes mezői különféle halmazokból érkeznek. Egy konkrét rekord eleme az illető halmazok Descartes-szorzatának, egy ezekból alkotott tábla pedig részhalmaza annak. Gyakran megtörténik, hogy a Descartes-szorzat tényezői megegyeznek, vagyis halmazok önmagukkal vett Descartes-szorzatát képezzük. Példa : A valós számhalmaz önmagával képzett Descartes-szorzata a valós számpárok halmaza: R × R = {(x; y) | x ∈ R, y ∈ R} Jelölés : halmaz önmagával vett Descartes-szorzatának jelölésére használható a hatványozás szimbóluma is: R × R = R2 , R × R × R = R3

1.6. Összetett műveletek, azonosságok A megismert alapműveletekből összetettebb formulák, bonyolultabb halmazműveletek is felépíthetők. Egy komplexebb formula is elemi műveletek egymás utáni


15

elvégzésére bomlik; Venn-diagram segíthet az egyes műveletek – s így a formula egészének – kiértékelésénél. Mintapélda : Tekintsük a következő összetett halmazműveletet: ((A \ B) ∩ C) ∪ ((B ∩ C) \ A) Ábrázoljuk Venn-diagramon a művelet eredményét! C

C

A

B

A

B

1.9. ábra. Az ((A \ B) ∩ C) ∪ ((B ∩ C) \ A) formula kiértékelésének egyes részletei. A formulát a zárójelezésnek megfelelően részekre bontjuk. Kívülről befelé haladva látjuk, hogy legkülső (utoljára végrehajtandó) műveletként két nagyobb egység unióját kell képezni. Az első egységen belül egy metszetképzést látunk, melynek operandusa maga is különbség. Hasonlóképp járunk el a másik ágon is, majd az elemekre bontott formula kiértékelését alulról építjük vissza. C

A

B

1.10. ábra. ((A \ B) ∩ C) ∪ ((B ∩ C) \ A) művelet végeredménye. A Venn-diagramon megjelenített eredményhalmaz nyilván egyéb módokon is kifejezhető. Kis gyakorlattal fejben is ki tudunk találni rá újabb műveletsorokat, pl. ((A ∩ C) ∪ (B ∩ C))\(A ∩ B) vagy ((A ∪ B) ∩ C)\(A ∩ B ∩ C), esetleg (A ∩ C) 4 (B ∩ C).


16

Az azonosságok olyan, változókat tartalmazó egyenlőségek, melyek a változók aktuális értékétől függetlenül – tetszőleges értékre – igazak. Segítségükkel formulák igény szerint átalakíthatók. Miután a halmazok között definiáltuk az egyenlőséget és a műveleteket, megemlítünk néhány azonosságot. Néhány alapvető halmazműveleti azonosság : A \ (A ∩ B) = A \ B (A \ B) ∩ C = (A ∩ C) \ B A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C) Ezek az azonosságok igazolhatók pl. úgy, hogy az egyenlőség oldalait külön kiértékeljük Venn-diagramon, és az eredményeket összevetjük.

1.7. Gyakorló feladatok I. A háromszögek osztályozásának Venn-diagramját vázoljuk egy papírra, és minden tartományába rajzoljunk egy oda tartozó háromszöget. II. Helyezzük el egy Venn-diagramon a következő halmazok rendszerét: trapézok (T R), deltoidok (D), paralelogrammák (P ), négyzetek (N ), téglalapok (T L), rombuszok (R) Az ábra minden tartományába rajzoljunk példaként egy megfelelő négyszöget. III. Ábrázoljuk Venn-diagramon a következő műveletek eredményét. A∪B A∪B ((C 4 A) ∪ (C \ B)) ∩ A ((A ∪ B) ∩ B) ∩ C (((A ∪ B) ∪ C) ∪ A) \ B IV. Döntsük el az alábbi egyenlőségekről, hogy azonosságok-e. ? (A ∪ B) ∩ C = A ∪ (B ∩ C) ?

A = B \A ?

(A ∪ B) ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B)∪ (B ∩ C) ∪ (C ∩ A) ∪ B ?

(A \ B) \ C = A \ (B \ C) ?

(A 4 B) 4 C = A 4 (B 4 C) ?

A4B = A 4 B

2. fejezet

Nevezetes számhalmazok, műveletek A szám absztrakció, mely eredendően mennyiségek mérésére, jellemzésére született, aztán persze a matematika fejlődésével elvontabb tartalmakkal is gazdagodott – természetes számoktól komplex számokig, almák megszámlálásától elektromágneses terek leírásáig sokmindenre használható. Az alábbiakban röviden áttekintjük a számfogalom kialakulásának fokozatait, ahogy azt története során az emberiség, ill. tanulmányai során bárki egyénileg végigjárja.

2.1. Természetes számok A számfogalom első, legegyszerűbb szintje dolgok megszámlálásából születik. Azt is szokták mondani, hogy ezek lényegében a pozitív egész számok (esetleg a 0), de ebben a meghatározásban olyan kifejezések („pozitív”, „egész”) szerepelnek, melyek épp a fogalom további fejlődése során nyernek értelmet. Vegyük észre, hogy a természetes számok lényegében darabszámok – valójában véges halmazok számosságai. Pl. a „3” szám egy olyan absztrakt tulajdonság, mely pl. három elefántot, három palacsintasütőt, vagy egy-egy kutyát-macskáthörcsögöt tartalmazó, egymásra egyébként nem is hasonlító halmaz közös jellemzője. Értelemszerűen szimbolizálható három vonás rajzolásával (pl. római szám!), vagy három ujjunk felmutatásával. Ezek a számok születnek a legtermészetesebb módon. A „nulla” valójában már egy kis absztrakció, annak felismerése, hogy a „semmi is valami” – jelölésre érdemes. Amúgy ez éppen az üreshalmaz számossága. Természetes számok : Darabszámok – véges halmazok számosságai: {1,2,3,4,5, ...} Jelölés: N+ , N+ 0 A jelölés a „naturalis” (természetes) szó kezdőbetűjét őrzi. A „nulla” beleértése körüli bizonytalanságot érdemes egyértelműsíteni a jelölésben látható indexekkel. 17

2. FEJEZET. NEVEZETES SZÁMHALMAZOK, MŰVELETEK

18

2.1.1. Alapműveletek Az első számok megszületése hamar magával hozza az első művelet megszületését. Ha valahány dolog mellé újabb valahány dolgot teszünk, az összeadás művelete adja az összesített darabszámot. Az összeadás művelete bizonyos értelemben az unió halmazműveletből születik. + Összeadás : Ha a∈N+ 0 és b∈N0 két véges, diszjunkt A és B halmaz elemszáma (számossága), akkor a + b az A ∪ B halmaz elemszáma: a + b = |A ∪ B|

Ha valahány dolog közül néhányat elveszünk, a megmaradók darabszámát a kivonás művelete adja. A számok kivonásának gyökere a halmazok különbségének képzésénél keresendő. + Kivonás : Ha B ⊆ A, a ∈ N+ 0 és b ∈ N0 pedig ezen A és B halmazok elemszámai, akkor a − b az A \ B halmaz elemszáma: a − b = |A \ B|

Nem célunk itt részletesebben belemenni további műveletekbe és tulajdonságaikba, csupán a halmazelméleti vonatkozások okán említettük a fentieket. A szorzás a természetes számok szintjén voltaképp ismételt összeadásokat jelent, az osztás komplikáltabb.

2.1.2. A számegyenes A természetes számok összessége egyesével növekvő sorozatként felfűzhető egy egyenesre. Ezzel meg is kezdődik a (valós) számok szerkezetét tükröző szemléletes modell felépítése: a számegyenes benépesítése. A számegyenes mint modell az összeadás és kivonás értelmezésénél lehetővé teszi a „lépegetős” szemléletet. 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2.1. ábra. Természetes számok és összeadás a számegyenesen: „5 + 3 = 8”

2.2. Negatív és egész számok A kivonás fentebb látott „halmazos” értelmezésével nem lépünk ki a természetes számok köréből. A „lépegetős” szemlélet viszont felveti, hogy kisebb számból nagyobbat kivonva – „visszafelé lépegetve” – folytatható a számegyenes az ellenkező irányban, a természetes számok indukálta zérus-oldali határon túl. A negatív számok bevezetése számolástechnikai praktikum: a „hiányzó” jellemzése egyenértékűvé, egy modellben kezelhetővé válik a „létezővel”. (Kisiskolásoknak pl. az „adósság” fogalmával (pénz hiányával) magyarázzák a negatív számokat.) Egész számok – immár negatív számokkal kibővített – halmazának jelölése: − Z. Szokásosak még a Z+ 0 , Z stb. variációk is.

2. FEJEZET. NEVEZETES SZÁMHALMAZOK, MŰVELETEK −5 −4 −3 −2 −1

0

1

2

3

4

19

5

2.2. ábra. Kivonás és negatív számok a számegyenesen: „2 − 5 = −3”

2.3. Racionális számok Az osztás műveletének alapja az a szándék, hogy egy mennyiséget egyenlő részekre osszunk. Könnyen érthető, hogy a természetes számok bázisán a feladat csak bizonyos elemszámú halmazok megfelelő számú részre osztásakor hajtható végre tökéletesen. Lényegében ezek módjának és kritériumainak vizsgálatából fejlődik ki a számelmélet nevű matematikai tudományág, benne az oszthatóság fogalmával, a prímszámok rejtélyes halmazával és egészen modern és gyakorlatias felhasználási módokkal, mint pl. az RSA titkosítás, melyre pl. napjaink internetes adatforgalmának biztonsága nagyrészt épül. Ha az osztás nem hajtható végre egész végeredménnyel, akkor új szám születik: egy tört, egy racionális szám – belépünk az egységnyi távolságra sorakozó egész számok közti hézagokba. Egyre nagyobb osztóval az egységnyi hossz egyre finomabb felbontásához jutunk. Egyre újabb osztókat alkalmazva, majd az osztott részekből akárhányat véve egyre több új szám keletkezik, egyre sűrűbben benépesítve az egész számok, sőt aztán egymás közti hézagaikat is. Racionális szám : A két egész hányadosaként felírt törteket racionális számoknak nevezzük. (p, q ∈ Z, x = pq ) Jelölés: Q 1 10 1 9 1 8

2 10 2 9

3 10

4 10

5 10

3 9 2 8

1 7

4 9 3 8 3 7

2 6 1 5

5 8

8 10 7 9

5 7

3 6

6 7

4 6

5 6

3 5

4 5

2 4 1 3

9 10 8 9 7 8

6 8

4 7

2 5 1 4

7 10 6 9

4 8

2 7 1 6

6 10 5 9

3 4 2 3

1 2

0

1 2.3. ábra. A racionális számok születése.

Egy megfelelő törthöz egyetlen racionális szám tartozik, viszont egy racionális számhoz több – végtelen sok – tört tartozik, hiszen ha egy van, annak 4 6 = 15 = ... bármelyik bővített alakja is megegyező értéket ad. Pl. 52 = 10 Könnyen érthető, hogy a számegyenes bármilyen kis szakaszát tekintve (bármennyire „ránagyítva”) újabb felosztások sokasága jelenik meg, vagyis bármely


20

kicsiny szakaszon (intervallumon) van racionális szám, sőt, végtelen sok van: a racionális számok halmaza „mindenütt sűrű”. Tétel : A racionális számok halmaza a négy alapműveletre zárt: két racionális szám összege, különbsége, szorzata és hányadosa is (a nullával osztástól eltekintve) racionális szám. Könnyen megmutatható, hogy ab ill. dc , egész számok hányadosaként felírt racionális számok között végzett alapműveletek is ilyeneket adnak eredményül: a c ad ± bc ± = b d bd ac a c · = b d bd a c a d ad ÷ = · = b d b c bc Akkor tehát a racionális számok folytonosan ki is töltik a számegyenes minden elképzelhető pozícióját? Ha igen, akkor minden rendben, hiszen tetszőleges finomsággal tudunk jellemezni mennyiségeket, az alapműveleteket pedig hibátlanul el tudjuk végezni – lényegében egyszerű egész aritmetikával; megvannak a gyakorlatilag értelmes, racionális számok. Szép kerek lenne ez így, de még szebb, hogy nem így van – Istennek van humora...

2.4. Irracionális számok A racionális számok roppant sűrűsége mellett döbbenetes, szinte felfoghatatlan, hihetetlen, irracionális, hogy bizonyos pontok „kimaradnak” – „megússzák” az egyre finomabb felosztásokkal keletkező racionális helyek „sortüzét”. A racionalitás-irracionalitás problémakör egyik szemléletes kérdése a következő. Kérdés : Tudunk-e úgy egyenest illeszteni egy koordinátarendszer origójára, hogy egyetlen (egész koordinátájú) rácspontot se érintsen? Érezzük, hogy egy elindított egyenessel a rácsszerkezetben (végtelen) hosszan haladva „nem könnyű” minden rácspontot kikerülni. (Vagy mégis?) Ez a kérdés így éppen az irracionális számok létezésére vonatkozik: a valamely rácspontot érintő egyenesek meredekség-értéke (iránytangense) nyilván racionális, hiszen ha az egyenes átmegy az (x; y) koordinátájú ponton, akkor a meredeksége m = xy , vagyis egészek hányadosa, vagyis racionális. Az irracionális meredekség-értékkel rendelkező egyenesek viszont minden rácspontot „kikerülnek” – bár csak „épp hogy”, ugyanis végtelen útjuk során tetszőleges közelségbe kerülnek rácspontokhoz.


y

9 2

2

√

2

7 6

21

1 6 7

1 2

2 9

x

2.4. ábra. Racionális és irracionális meredekségek koordináta-rácson. A probléma √ bonyolultságához képest meglepően egyszerűen belátható, hogy például a 2 nem lehet racionális, vagyis nem létezik olyan egészekből álló tört, melyet – tehát számlálót és nevezőt – négyzetre emelve 2-t kapnánk (vagyis a négyzetre emelt számláló éppen kétszerese lenne a négyzetre emelt nevezőnek). Úgy is mondhatjuk: nincs két olyan egész szám, hogy egyiknek a négyzete épp a másik négyzetének kétszerese lenne. √ Tétel : 2 irracionális. √ 2 Bizonyítás : Ha 2 = pq alakú kifejezés lenne (p, q ∈ Z), akkor pq2 = 2, p2 = = 2q 2 . Könnyen belátható, hogy egy négyzetszám nem lehet egy másik négyzetszám kétszerese. Egy négyzetszám ugyanis minden prímtényezőjéből páros számút tartalmaz, tehát az utolsó egyenlőségünk bal oldalán a 2 prímtényező páros sokszor, jobb oldalán pedig (a külső 2-es szorzóval) páratlanszor szerepel.√Tehát utóbbi egyenlőség – és visszamenőleg az eredeti – nem lehet igaz: 2 nem írható fel pq alakban. (Itt persze azért felhasználtunk egy nagyon erős és nem triviális tételt: a számelmélet alaptételét, mely a prímtényezőkre bontás egyértelműségéről szól.) Felmerül a kérdés, van-e értelme foglalkozni ilyen számokkal. A racionális számokkal tetszőleges, minden igényt kielégítő pontossággal tudjuk ábrázolni a gyakorlatban előforduló mennyiségeket, a műszaki tudományok pedig a számításokban alapvetően megelégszenek egy kellően nagy véges pontossággal. Ilyen értelemben akár azt is mondhatjuk, hogy közvetlenül nincs szükségünk irracioná-


22

lis számokra.1 Kicsit közvetettebben azonban ezek is jól használható számok, a műveletek hatóköre hibátlanul kiterjeszthető, így ezeket is teljes értékű számnak tekintjük. Irracionális számok : A nem racionális, ám a számegyenesen pozícióval azonosítható számokat irracionális számoknak nevezzük. Jelölés: Q∗ Q ∩ Q∗ = ∅ Ne gondoljuk, hogy nehéz irracionális számot találni. Pl. ha egy már van, akkor ebből bármely racionális számmal végzett alapművelet újabb irracionális számot √ alkot. Pl. x = 2 +√1 biztosan irracionális, hiszen ha racionális lenne, akkor átrendezve x − 1 = 2 egyenlőség nyilván nem lehet igaz, mivel a bal oldal a műveleti zártság miatt racionális, a jobb oldal pedig bizonyítottan irracionális, és ez ellentmondás. Így tehát egyetlen irracionális szám ismeretében máris végtelen sok újabbat generálhatunk. √ Ráadásul rövid meggondolás után látszik, hogy a 2-nél látott gondolatmenet bármely nem-négyzetszám esetén működik, vagyis ha egy egész szám négyzetgyöke nem egész, akkor már biztosan irracionális. Egyéb utakon is lehet irracionális számokat találni; összességében az derül ki, hogy az irracionális számok „többen” („sűrűbben”) vannak, mint a racionálisak, de ezt részletesebben itt nem tárgyaljuk. Tétel : Racionális és irracionális szám között végzett alapműveletek eredménye irracionális. Tegyük fel, hogy x ∈ Q, y ∈ / Q. Lehet-e racionális pl. z = x + y ? Ha z ∈ Q lenne, akkor átrendezve y = = z −x jobboldala a racionális számokra vonatkozó műveleti zártság miatt racionális, tehát y is az kellene legyen, miközben kiinduláskor ezt irracionálisnak feltételeztük. Ez az ellentmondás arra utal, hogy z – és így a művelet eredménye – nem lehet racionális. Az összeadáson kívül a többi műveletre is hasonlóképp belátható az állítás. Az irracionális számok halmaza ezzel együtt nem zárt még az alapműveletekre sem: √ √két irracionális szám összege, szorzata stb. könnyen lehet racionális, pl. 2 · 18 = 6. Két irracionális szám között végzett alapművelet eredményének racionalitására általános szabály nem létezik: lehet racionális és irracionális. Egyedi esetekben megfelelő körülmények között el lehet dönteni.

2.5. Valós számok A racionális és irracionális számok együttesen már folytonosan töltik ki a modellezésül használt számegyenest. Ezek összességét – a folytonos számegyenes pontjaival szimbolizált számok összességét nevezzük valós számoknak. 1 Elsőre „haszontalannak” (legalábbis gyakorlatias szempontból kevésbé fontosnak) tűnő dolgokra épülő elméleteknek is bármikor lehet gyakorlati haszna ; a matematika története tele van ilyenekkel – aki kicsit ért a matematikához, a (rövidtávú és túlzottan konkrét) hasznosság kérdését nem feszegeti.


23

Valós számok – immár irracionális számokkal kibővített halmazának jelölése: − R. Szokásosak még a R+ 0 , R stb. variációk is. ∗ R = Q∪Q Q∗

Q

Z

N

R 2.5. ábra. A megismert számhalmazok szerkezetének áttekintése. A megismert számhalmazok egymáshoz való viszonya a következőképpen foglalható össze: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, Q∗ ⊂ R, Q ∩ Q∗ = ∅

2.5.1. Intervallumok A valós számhalmaz (számegyenes) gyakran használt részhalmazai a számközök vagy intervallumok. Ezek a speciális halmazok lényegében két adott szám közti valós számok összességét jelentik. Nem lényegtelen apróság, hogy magukat a végpontokat jelző számokat az intervallumhoz tartozónak tekintjük-e – eszerint zártság szempontjából különböző módosulatokat ismerünk, melyeket jelöléssel is megkülönböztetünk. Véges intervallum : Legyen a, b ∈ R, a < b. E két szám a következő intervallumokat határozza meg: [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} (zárt intervallum) ]a, b[ = {x ∈ R | a < x < b} (nyílt intervallum) [a, b[ = {x ∈ R | a ≤ x < b} (balról zárt, jobbról nyílt intervallum) ]a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b} (balról nyílt, jobbról zárt intervallum) A végesek mellé ezzel a jelölésmóddal hozzávehetünk végtelen hosszú intervallumokat, melyek legalább egyik oldalon nem rendelkeznek véges határral. Ilyenkor az intervallum határának a ∞ („végtelen”) szimbólumot használjuk. Mivel azonban ez nem egy valós szám, hanem egy minden valós számon túli, megfoghatatlan elméleti képződmény, nem tartozhat hozzá az intervallumhoz – ezt fejezzük ki azzal, hogy a ∞ oldalán az intervallum mindig nyitott. Pl. ]0; ∞[=R+ , ]−∞; 0] = R− 0.

2. FEJEZET. NEVEZETES SZÁMHALMAZOK, MŰVELETEK a

24

b [a, b]

a

b ]a, b[

a

b [a, b[

a

b ]a, b]

2.6. ábra. Intervallumok ábrázolása.

2.6. A valós számokon túl A számfogalom bővítése ezen a ponton nem ér véget. Ahogy a valós számok egy egyenest, úgy az ún. komplex számok (C) egy (a valós számegyenest is tartalmazó) síkot népesítenek be. A komplex számok fontos szerephez jutnak a műszaki tudományokban, de ezzel a témával itt most nem foglalkozunk. Csupán érdekességként említjük, hogy a számfogalom végleges lezárását – még a komplex számokon is túl – az ún. kvaterniók jelentik, melyek modellje már nem egyenes (egydimenziós tér), nem sík (kétdimenziós tér), hanem a négydimenziós tér.

2.7. Számrendszerek, számábrázolás A számfogalom felépítésével szorosan együtt jár a számok jelölésére szolgáló szimbólumrendszer kialakulása. Itt egy külön szakaszban röviden áttekintünk néhány, a számok leírt és számítógépen ábrázolt alakjaival kapcsolatos fontosabb tudnivalót.

2.7.1. Helyiértékek, számrendszerek Ha természetes számokat (darabszámokat) kell jelölnünk, gyakran folyamodunk ma is ahhoz, hogy papíron vonalakat rajzolunk (pl. kategóriánkénti kigyűjtésnél). Minden bizonnyal ezt tették korai elődeink is, akár a barlang falára feljegyezve a napok múlását, vagy az elejtett vadak számát. Ha sok vonás esetén pl. áthúzással csoportokat alkotunk, esetleg egyéb jelöléssel nagyobb csoportokat, akkor a csoportosítás ötletével máris eljutottunk a helyiértékes számábrázolás alapötletéig. Csupán egy alapszámban kell megegyeznünk, mely szerint a csoportosítást végezzük: ennyi elemet sorolunk egy csoportba, ennyi csoportból készítünk nagyobb csoportot stb. – a csoportosítási elv bármely 1-nél nagyobb egészre mint alapszámra működik. Bármilyen alapszámot alkalmazzunk is, teljes értékű számrendszert tudunk rá alkotni: a számrendszer helyiértékeit az alapszám hatványai adják, és szük-


25

ségünk van az alapszámnak megfelelő mennyiségű szimbólumra (számjegyre) az egyes helyiértékek mennyiségének jelöléséhez. (Zérustól az alapszámtól eggyel kevesebbig kellenek a számjegyek.) Könnyen belátható, hogy így tetszőleges természetes számhoz kölcsönösen egyértelműen rendelhető egy szimbólum: a szám adott számrendszer-beli alakja; pl. a 3519 „szimbólum” alatt egész pontosan a 3 · 103 + 5 · 102 + 1 · 101 + 9 · 100 értéket értjük. Nem helyiérték-alapú számábrázolások is ismeretesek (pl. a római számok), de ezek történeti érdekességükön túl valós matematikai tartalmat kevésbé hordoznak, komoly munkára alkalmatlanok.

2.7.2. A gyakorlatban használt számrendszerek A gyakorlatban leginkább a tízes (decimális) számrendszert használjuk, ha ezt szoktuk meg, ebben gondolkodunk legkönnyebben. Ennek gyökere természetesen mindig kéznél lévő számolóeszközünk: ujjaink száma. A matematikatörténet azonban ismer ettől eltérő számrendszereket: pl. a 12-es és 60-as alapúakat – előbbi emlékét őrzi pl. a „tucat” fogalma, utóbbiét a szög- és időmérésben használatos egységek. Számok puszta jelölésére bármely számrendszer alkalmas, de vannak, amelyek bizonyos célokra praktikusabbak a többinél. A 12-es és 60-as számrendszer például azért jó, mert alapszámaik nagyságukhoz képest viszonylag sok osztóval rendelkeznek: a 12 négy valódi osztóval, a 60 tíz valódi osztóval rendelkezik. A 12-nél alig kisebb 10-nek pl. csak két valódi osztója van. Egy számrendszerben az alapszám hatványaira és valódi osztóira léteznek a legkönnyebb oszthatósági szabályok, a fejben számolás tehát a viszonylag sok osztóval rendelkező alapszámú rendszerekben könnyű. 10-es számrendszerben a legkönnyebb oszthatósági szabályok a 2-ről és az 5-ről szólnak, mert ezek az alapszám valódi osztói. Pl. 12-es rendszerben a 2, 3, 4, 6 számokkal való oszthatóság az utolsó jeggyel eldönthető. Ebből a szempontból nyilván legelőnytelenebbek a prím alapú rendszerek. Egészen más szempontok nyomán, a számítástechnika fejlődésével kaptak kiemelt szerepet a 2-es (bináris) és egyéb 2-hatvány alapú számrendszerek. A 2-es a legkisebb elképzelhető alapszám egy számrendszer számára, mindössze két számjegyet használ: 0, 1. Két állapot megkülönböztetése és reprezentálása technikailag könnyű feladat: azonosítható egy kétállapotú elemmel – pl. egy áramköri kapcsolóval. Egy ilyen bináris számjegy a bit (bi nary digit). A számítógépek belső architektúrája – a processzor működése, a memória felépítése – erre alapul. A memória nyolcites egységekből (bájt) áll, melyek egyenként 28 = 256 érték megkülönböztetésére alkalmasak. Egy 32-bites processzor – egy lépésben – 32 bites számokkal (32 jegyű kettes számrendszerbeli) számokkal tud műveleteket végezni. A kettes számrendszer előnyével együtt járó hátránya, hogy a kis alapszám miatt terjengős: a számok felírásához viszonylag sok jegy szükséges. Ezért alkalmazunk 2-hatvány alapú számrendszereket (leginkább 16-os, hexadecimális rendszert), hogy a bináris logikához illeszkedően, ám mégis annál tömörebben jelölhessünk számokat.


26

A 16-os számrendszerben 16 számjegyre van szükség, ezért a rendelkezésünkre álló 10 számjegy mellett szükséges további hatot az ábécé betűiből választjuk: A; B; C; D; E; F – ezek értéke 10-től 15-ig terjed.

2.7.3. Természetes (előjel nélküli) számok bináris ábrázolása n biten 2n féle érték különböztethető meg – a számok 0-tól 2n −1-ig ábrázolhatók. Pl. 8 biten a legnagyobb ábrázolható érték 111111112 = 255 ; 0-tól 255-ig ez összesen 28 = 256 különböző érték. Egy adott számrendszerben felírt szám értékének meghatározásakor (dekódolásakor) az egyes helyiértékekből a megfelelő szimbólum szerinti darabszámot kell venni, majd ezeket az összes helyiértékre összeadni. Mintapélda : Mennyi az értéke az 1100101100112 bináris számnak? 211 2048 1

210 1024 1

29 512 0

28 256 0

27 128 1

26 64 0

25 32 1

24 16 1

23 8 0

22 4 0

21 2 1

20 1 1

2.7. ábra. Bináris szám értékének meghatározása. Mivel minden helyiértékből csak 0 vagy 1 darab lehet, mindössze annyi a dolgunk, hogy az 1-es értékű helyiértékeket összeadjuk: 2048 + 1024 + 128 + 32 + 16 + 2 + 1 = 3251, tehát 1100101100112 = 325110 Egy érték adott számrendszerben való felírásához meg kell keresnünk azt a legnagyobb helyiértéket, ami az ábrázolandó számban megvan, majd ezen a helyiértéken jelölni kell, hogy hányszor van meg. A már kifejezett értéket le kell vonnunk az eredetiből, és a maradékra ismételni az eljárást – amíg a teljes mennyiség el nem fogy. Mintapélda : Mennyi 2510 értéke binárisan? Az átalakítást a következőképp végezzük: 2510 − 2048 = 462, 462 − 256 = 211 2048 1

210 1024 0

29 512 0

28 256 1

27 128 1

26 64 1

25 32 0

24 16 0

23 8 1

22 4 1

21 2 1

20 1 0

2.8. ábra. Szám felírása bináris alakban. = 206, 206 − 128 = 78, 78 − 64 = 14, 14 − 8 = 6, 6 − 4 = 2, 2 − 2 = 0. Tehát 251010 = 100111001112 . A logika bármely más számrendszerben hasonló, pl. 16-os számrendszerben is megadhatók a fenti számok: 325110 = CB316 ill. 251010 = 9CE16 .


27

A bináris és hexadecimális számrendszerek között könnyen kezelhető közvetlen átjárás is van – épp erre lett kitalálva a 16-os számrendszer. Mivel 24 = 16, a bináris számjegyek (bitek) minden 4-es csoportja egy hexadecimális számjegynek felel meg. 9 1

0

C 0

1

1

1

E 0

0

1

1

1

0

2.9. ábra. A bináris és hexadecimális számjegyek megfeleltetése, a 2510 alakjai.

2.7.4. Előjel nélküli bináris számok összeadása és szorzása Az összeadás és szorzás hasonló aritmetikával végezhető, ahogy tízes számrendszerben, az átviteleknél figyelembe véve, hogy az alapszám 2. Példa : Végezzük el a 23 + 19 összeadást! + =

1

1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0

1010102 valóban 23 + 19 = 42. Példa : Végezzük el a 23 · 19 szorzást! 1 0 1 1 0 1 0 0 0

1 1 0

1 1 0 0 1

1 1 0 0 0 1 1 1

·

1

0 0 1 0 0

0 1 1 1 1 1 1 0 1

0

0

1

1

1101101012 valóban 23 · 19 = 437.

2.7.5. Negatív számok bináris ábrázolása Írásban a negatív számot úgy jelöljük, hogy a pozitív megfelelője (abszolútértéke) elé negatív előjelet teszünk. A számítógépi ábrázolásban is megtehetnénk ezt, de egy ennél kicsit ravaszabb eljárás használatos, ami elsőre kicsit furcsa, ám a számolás gyakorlati kivitelezését megkönnyíti. Az ábrázoláshoz rendelkezésre álló bitek közül a legmagasabb helyiértékűt használjuk az előjel tárolására: 0 érték pozitív, 1 érték negatív előjelet jelent. Vagyis egy előjeles bináris szám legfelső bitjéből azonnal látható az előjele. Pozitív szám ábrázolása így megegyezik az előjel nélküli alak ábrázolásánál látottakkal.


28

A negatív számokat ún. kettes komplemenssel ábrázoljuk. Kettes komplemens : Egy n-bites, nemnegatív x szám kettes komplemensén a 2n − x számot (annak alsó n bitjét) értjük. A 0 kettes komplemense önmaga. A kettes komplemens formálisan úgy is megkapható, hogy minden bitet ellenkezőjére váltunk, majd hozzáadunk 1-et. A bitek átbillentése önmagában 2n − 1 − x megalkotását jelenti. Pl. 8 bit esetén 28 −1 = 255 = %11111111. Az x szám bitjeinek átbillentésével adódó számban az eredetihez képest pont ellentétesen lesznek 1 és 0 jegyek, vagyis együtt a csupa 1 jegyekből álló n bites számot, esetünkben 255-öt adják. Hozzáadva 1-et már valóban 2n − x-et (itt 256 − x-et) kapunk. Mintapélda : Hogyan ábrázoljuk nyolc biten a −12 értéket? A +12 a következőképp néz ki nyolc biten: 000011002 . Minden bitet ellenkezőjére váltva: 111100112 . Ehhez 1-et adva: 111101002 . Ez tehát a −2 alakja 8 biten. (Előjel nélküli számként értelmezve ez 244 = 28 − 12.) Miért ez a komplikáltnak tűnő eljárás? Azért, mert ilyen módon ábrázolt számokkal a műveletek előjel-szabályai (az esetleges túlcsorduló bitek levágása után) automatikusan helyesen működnek, miközben egyszerű előjel nélküli aritmetikával számolhatunk.

2.7.6. Előjeles bináris számok összeadása és szorzása Mintapélda : Végezzük el a 37 − 12 kivonást. Valójában a 37 + (−12) összeadást fogjuk elvégezni: 0 0 1 0 0 1 0 1 + 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 A túlcsorduló bit figyelembe vétele nélkül adódó 110012 = 25 valóban a helyes eredmény. Vegyük észre, hogy előjel nélküli értelmezés szerint voltaképp a 37 + 244 = 37 + +(256 − 12) összeadást végeztük el, ami pontosan 256-tal több 37−12 értékénél. Éppen ez a „felesleg” válik le a túlcsorduló bit levágásakor – ezért ad az eljárás helyes eredményt. Mintapélda : Végezzük el a (−3) · 8 szorzást (nyolc biten)!


1 0

1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1 0 0

1 0 0 0 0 1 0 0 0 1

·

0

0

0

0

1

0

0 0 0 1 0 0 0 1

0 0 1 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0

0 0

0

29

0

A túlcsorduló biteket figyelmen kívül hagyva (ezért nem folytattuk az alsó sorban az összeadást) a nyolcbites eredmény 111010002 , ami előjeles számként értelmezve valóban −24 (annak kettes komplemensként való ábrázolása). Mintapélda : Végezzük el a (−3) · (−8) szorzást nyolc biten! 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0

0 0 1 1 1 1 0 0

1 1 0 1 1 1 0 0 0 0

·

1

1

1

1

1

0

1 0 1 1 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 1

1 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0

0 0

0

0

A túlcsorduló biteket figyelmen kívül hagyva a nyolcbites eredmény 110002 , ami valóban +24.

2.7.7. Racionális számok ábrázolása, helyiértékes törtek A racionális számok egészekből képzett törtek. Eltérő nevezőjű törtek összehasonlítása és a velük való számolás azonban körülményes (közös nevező stb.), ezért a gyakorlatban szeretjük használni a tizedes törteket, melyek helyiértékes írásmóddal képesek leírni nem egész számokat is. Tizedes törtek nagysága könnyen összehasonlítható, a számolások jól definiált aritmetika szerint végezhetők. A tizedes tört olyan helyiértékes írásmód, melyben az alapszám negatív kitevőjű hatványait is helyiértékként is használjuk, pl. 1,234 = 1 · 100 + 2 · 10−1 + + 3 · 10−2 + 4 · 10−3 . Két egész szám egymással való osztása az ismert aritmetika („írásban osztás”) szerint végezhető. Ez az algoritmus olykor véges lépésben befejeződik (véges sok tizedesjeggyel leírható számot eredményez), máskor végtelen ciklusba kerül (végtelen szakaszos tizedes törtet eredményez). Pl. 52 =0,4, viszont 13 =0,33333...= ˙ = 0.3.


30

Akkor keletkezik végtelen hosszú tört, ha az osztási algoritmus végső („nullákat lehozós”) fázisában mindig újabb, zérustól különböző osztási maradék jelentkezik (pl. az 1/3 osztáskor szépen megfigyelhető, hogy mindig 1 a maradék). Egy n egész számmal való osztáskor véges számú – összesen n−1 zérustól különböző – osztási maradék keletkezhet, így ha az eljárás nem áll meg véges lépésben, akkor előbb-utóbb törvényszerűen előkerül valamelyik, korábban már előfordult maradék, és nyilván szakaszos ismétlődés kezdődik. (Ez azt is jelenti, hogy az ismétlődő szakasz hossza mindenképp kisebb az osztó értékénél.) A szakaszos ismétlődés nem az ábrázolt szám abszolút tulajdonsága, hanem az éppen aktuális számrendszer alapszámához való viszonyának sajátossága. Az említett 1/3 szám tízes számrendszerbeli (tizedes tört) alakja végtelen szakaszos, de pl. hármas számrendszerben („harmados tört” alakban) egyszerűen 1/3=0,13 , mivel a „harmadospont” utáni első, 1/3-os helyiértékből 1 van. Tehát változhat, hogy egy adott racionális szám különböző számrendszerekben felírva véges-e vagy épp szakaszos végtelen, de semmiképp sem szakasz nélküli végtelen – az már az irracionális számok jellegzetessége. Példa : Tekintsük az 1

1057 495

hányadost. Mi a tizedes tört alakja?

0 5 7 9 9 0 6 7 4 9 1 7 1 4 2 2

:

4

9

5

0 5 5 8 6 4 1

0 5 5 0 7 5 7 5 0

=

2, 1 3

5

3

Látható, hogy egy korábbi maradék (175) ismét megjelenik – innen kezdve ˙˙ nyilván végtelen ismétlődés indul: 1057 495 = 2,13535... Tétel : Racionális számok tizedes tört alakja véges vagy szakaszos végtelen. Fordítva is igaz: egy véges vagy szakaszos végtelen tizedes tört értéke biztosan racionális szám. A tétel első irányát a fentiekben indokoltuk, a megfordítás illusztrálására eljárást adunk arra, hogyan határozható meg két egész hányadosaként egy megfelelő alakú (véges, vagy szakaszos végtelen) tizedes tört értéke. Mintapélda : Mi a tört alakja az 1,2345 tizedes törtnek? A véges tizedes törtek természetes tört alakját egyszerű meghatározni. A tizedesvesszőt a végére toljuk (10 annyiadik hatványával szorozva, ahány pozícióval hátrébb kell tenni), majd a kapott egész számot 10 megfelelő hatványával osztva már fel is írtunk egy alkalmas, egészekből álló törtet, mely lehetőség szerint egyszerűsíthető is. 1,2345 =

12345 2469 = 10000 2000


31

Az eredményül kapott osztás ellenőrizhetően a kiindulási tizedes törtet adja eredményül. ˙ 5345345... ˙ Mintapélda : Mi a tört alakja az 1,234 tizedes törtnek? ˙ 5345345... ˙ x = 1,234 A tizedesvesszőt két megfelelő szorzással az ismétlődő szakasz elé, ill. mögé toljuk: ˙ 5345345... ˙ 10x = 12, 34 ˙ 5345345... ˙ 10000x = 12345, 34 Így két olyan végtelen szakaszos tizedes törtet kapunk, melyekben a tizedesvessző utáni rész megegyezik, tehát kivonással kiejthető2 : 10000x − 10x =

12333

9990x =

12333 12333 x = 9990 4111 x = 3330

Az eredményül kapott osztás ellenőrizhetően a kiindulási tizedes törtet adja eredményül. A tizedes törtekhez hasonló helyiértékes tört-ábrázolási eljárás bármely más számrendszerben is elképzelhető. Pl. tört számok ábrázolása a számítógépen a tizedes törtekre emlékeztető „kettedes törtek” segítségével történik. Ez a bináris ábrázolás értelemszerű kiterjesztése a törtek felé – a decimális rendszerhez hasonlóan. Mintapélda : Mennyi az 1,011012 kettedes tört (decimális) értéke? Az egész ábrázoláshoz hasonlóan a nem-zérus helyiértékeket kell összead20 1 1

2−1

2−2

2−3

2−4

2−5

1 2

1 4

1 8

1 16

1 32

0

1

1

0

1

2.10. ábra. Kettedes tört értékének kiszámítása. 1 ni: 1,011012 = 1 + 14 + 18 + 32 = 0,40625 2 E szemléletesen érthető eljárás – bár vethet fel elméleti kérdéseket – bizonyíthatóan helyesen működik. Pontos háttere a mértani sorok elméletében tisztázható.


32

Mintapélda : Mi a kettedes tört alakja a 3,1415 decimális értéknek? Az egészeknél látottakhoz hasonló logika szerint járunk el a „kettedes21 2 1

20 1 1

1 2

2−1 = 0,5 0

1 4

2−2 = 0,25 0

1 8

2−3 = 0,125 1

1 16

2−4 = 0,0625 0

1 32

2−5 = 0,03125 0

1 64

2−6 = 0,015625 1

2.11. ábra. Érték felírása kettedes törttel. vessző” után is – megkeressük a törtrészből kihasítható legnagyobb helyiértéket, 1-est írunk be hozzá, majd a maradékkal ismételjük az eljárást: 3,1415−2 = 1,1415; 1,1415−1 = 0,1415; 0,1415−0,125 = 0,0165; 0,0165− − 0,015625 = 0,000875 ; stb. Tehát 3,141510 = 11,001001...2 A racionális számok számítógépen való ábrázolása ún. lebegőpontos számként történik. Ebben alapgondolatként szerepel a „kettedes tört” alak, de további ötletek is, melyek részletesebb tárgyalására itt nem vállalkozunk.

2.7.8. Irracionális számok ábrázolása Itt nem is nagyon van más dolgunk, mint kijelenteni, hogy irracionális számokat ábrázolni általánosan nem tudunk. Ezt úgy értjük, hogy nincs véges szimbólumrendszerünk, mellyel valamennyi irracionális szám√felírható lenne; voltaképp csak egyedi jelöléseket használhatunk, mint pl. π, e, 2, ln 3. Az irracionális számok fogalmának bevezetésekor láttuk, hogy ezek lényege épp az, hogy minden racionális arányt elkerülnek. Racionális arányokkal tetszőleges pontossággal megközelíthetők ugyan, tetszőleges sok tizedesjegyük felírható, de tizedes tört alakjuk √ √ szakasz nélküli végtelen. Szimbolikus számítások végezhetők velük, pl. a 2· 18 = 6 igazságával tisztában vagyunk anélkül, hogy a szereplőket „pontosan” ismernénk. Számítógépen is modellezhetők szimbolikus számítások (pl. számítógépes algebrai rendszerekben, mint a Maple vagy a Mathematica), de gyakorlati számítások szereplői és eredményei kizárólag racionális számok lehetnek.

2.8. Gyakorló feladatok I. Döntsük el a következő értékekről, hogy racionálisak vagy irracionálisak: √ √ √ √ √ √ √ (√ √ ( √ )2 ) (√ ) 3; 3 · 3 ; 3 + 3; 3 − 3 ; 2+1 2−1 ; 2 + 5; 2+ 5 ; √ √5+2 5−2

II. Adottak az alábbi halmazok. A = ]−5; 3]; B = [0; 7[; C = R+ ; D = N+ 0 ; E = ]−∞; −1] Végezzük el a kijelölt műveleteket és ábrázoljuk az eredményt számegyenesen. Próbáljuk kifejezni az eredményül adódó intervallumot az eredeti műveletsortól eltérő módon.


33

( ) A ∩ B ; B \ C ; C ∪ D ; B ∩ D ; (A ∩ B) \ C ; C ∩ D ∪ B Fejezzük ki az eredetileg adott halmazokkal tetszőleges műveletek felhasználásával az alábbi halmazokat: ]3; 7[; R ; R− ; ]−5; 0[; ]−1; 0[ III. Előjel nélküli számként tekintve végezzük el a számrendszerek közti átváltásokat: bináris decimális hexadecimális 100110011010 4F5A 52435 IV. Írjuk fel nyolc bites előjeles egészként a következő értékeket: −1 ; 19 ; 127; −128; 0; −34 V. Az előforduló negatív számokat nyolc biten kettes komplemensükkel ábrázolva végezzük el nyolc biten az alábbi műveleteket: 76 + (−84) ; 25 + 39 ; 17 + (−43) ; −10 + (−24); 12 · 6 ; 3 · (−4) ; (−17) · (−6) VI. Adjuk meg a következő tizedes törtek természetes tört alakját: ˙ ˙ ˙ ˙ 4234234... ˙ 34,6473; 54, 2˙ 32323...; 54,23˙ 23232...; 6,63˙ 53535...; 9,654723 VII. Végezzük el az alábbi törtek átváltását: bináris decimális 1,1010 0,1234

3. fejezet

Koordinátarendszerek, ponthalmazok Az analízisben a függvények tárgyalásának szinte minden szintjén segítségül hívjuk szemléletes megjelenítésüket: grafikonjukat. Ez a geometriai képződmény ugyan nem azonos az absztrakt függvénnyel, de annak igen jó modellje. Erre és egyéb célokra is jó eszköz a koordinátarendszerekben való modellezés. Az alábbiakban megismerkedünk többféle koordinátarendszerrel és a modellezés lehetőségeivel.

3.1. Koordinátarendszerek A koordinátarendszerek olyan konstrukciók, melyek a geometriai tér és a számok világa között létesítenek kapcsolatot; a geometriai tér egyes pontjainak számokat (koordinátákat) feleltetnek meg. A gyakorlatban a leggyakrabban előforduló modellezendő terek egy-, két- és háromdimenziósak – valamely pont jellemzéséhez éppen annyi koordinátára van szükség, amennyi a vizsgált tér dimenziószáma. A koordinátarendszerek segítségével pontok és koordináták között egyértelmű megfeleltetést végzünk: egy ponthoz egyértelműen megállapíthatók a koordinátái, koordinátákhoz pedig egyértelműen meghatározható a tér egy pontja. Az egydimenziós tér geometriai megtestesülése egy egyszerű egyenes. A számegyenes voltaképpen ennek az egyenesnek a skálázása – koordinátarendszere. Az egyenes minden pontja egy valós számnak feleltethető meg és viszont. A számegyenes (az egyenes „skálázása”, „mérőszalagja”) jól definiálható egy kezdőpontjával (zérus), ill. az egység hosszával. A kétdimenziós geometriai tér megtestesülése egy euklideszi sík. Egy síkon már több, jellegében is eltérő koordinátarendszer alakítható ki, de mindannyiukban közös, hogy a kétdimenziós tér pontjainak két koordinátát: koordináta-párt feleltetnek meg. A háromdimenziós euklideszi tér voltaképp a minket körülvevő tér. A térbeli koordinátarendszerek a pozíciókat három koordinátával: koordináta-hármassal 34

3. FEJEZET. KOORDINÁTARENDSZEREK, PONTHALMAZOK

35

azonosítják. Különböző célokra különféle koordinátarendszerek lehetnek alkalmasak; bizonyos dolgok egyikben látszanak szemléletesebben, mások egy másikban. A koordinátarendszerek sokféleségében túlzottan elmélyülni itt nem célunk, csupán két gyakran alkalmazott, további tanulmányainkhoz fontos síkbeli rendszert tekintünk át.

3.1.1. Descartes-féle derékszögű koordinátarendszer A Descartes-rendszer a kéttengelyű koordinátarendszerek legismertebb – bár nem egyetlen – képviselője. A kéttengelyű rendszerekben a kezdőponton (origón) két koordinátatengely (irányított számegyenes) nyugszik. Általánosságban nem feltétel, hogy e tengelyek skálaegységei egyenlők legyenek, és a tengelyek sem okvetlenül merőlegesek. A Descartes-féle koordinátarendszer olyan speciális kéttengelyű rendszer, melynek tengelyei egymásra merőlegesek, a skálaegység pedig mindkét tengelyen ugyanakkora. A gyakorlatban ezt a rendszert használjuk leggyakrabban pl. függvényábrázolásokhoz. Könnyen megtörténhet viszont, hogy pl. nagyobb – vagy épp kisebb – értéktartomány átfogása érdekében megváltoztatjuk az y-tengely skálázását az x-tengelyhez képest, sőt, akár nem is egyenletes, hanem logaritmikus skálázást használunk. Ilyen módosításokkal már nem nevezzük Descartes-rendszernek. A Descartes-rendszerben ábrázolható koordináta-párok összessége épp a valós számhalmaz önmagával vett Descartes-szorzata: R × R = R2 . y

P

y 1 1

x

x

3.1. ábra. Síkbeli derékszögű koordinátarendszer. A koordinátarendszer kezdőpontja (a tengelyek metszéspontja) az origó. Pontból koordináták : A P pontból az egyes tengelyekre rendre a másikkal párhuzamos egyeneseket bocsátunk, majd a képződő metszéspontok mérő-


36

számait meghatározzuk az egyes tengelyeken, és belőlük koordináta-párt képzünk. Koordinátákból pont : Az egyes koordinátáknak megfelelelő pontokat rendre megkeressük a tengelyeken, majd ezeken át rendre a másik tengellyel párhuzamos egyeneseket húzunk. A két kapott egyenes metszéspontját tekintjük a koordináták által meghatározott pontnak. A pontokat (x; y) ∈ R2 koordináta-párral jellemezzük. A konstrukció biztosítja, hogy a koordinátasík minden pontjához egyértelműen létezik koordinátapár és viszont. Mindkét koordináta számára tetszőleges valós érték megengedett.

3.1.2. Polárkoordinátarendszer Ez nem kéttengelyű rendszer – a kezdőponton (origón) egyetlen polártengely (irányított számgyenes) nyugszik. A sík pontjait itt is két adattal jellemezzük: az origótól való távolsággal (sugár: r), ill. az origóból a ponton át húzott félegyenes polártengellyel bezárt szögével (polárszög : ϕ). P r ϕ 0

1

3.2. ábra. Síkbeli polárkoordinátarendszer. Pontból koordináták : Az origót (O) összekötjük a kérdéses P ponttal. E szakasz hossza lesz az első polárkoordináta (r). A ϕ polárszög a polártengelytől az OP félegyenesig pozitív körüljárási irányban (óramutató járásával ellentétesen) mért legkisebb nemnegatív szög. Könnyen meggondolható, hogy ez az átalakítás mindenképpen nemnegatív sugarat eredményez: r ∈ R+ 0 . A leírt konstrukció szerint a polártengelyre eső pontok polárszöge zérus és teljes szög között változhat. A polártengely pontjainak polárszöge zérus, ekkor az egyértelműség kedvéért teljes szög már nem engedhető meg, vagyis a polárszög értéktartománya: ϕ ∈ [0; 2π[ (radiánban). (r; ϕ) ∈ R+ 0 × × [0; 2π[ Koordinátákból pont : A polártengelyen r értékénél felvett pontot az origó körül a ϕ irányított polárszöggel elforgatjuk. Vegyük észre, hogy ez utóbbi eljárás nem csupán a fenti korlátozások szerinti koordinátákat képes elfogadni, s így különböző koordinátákból is juthatunk egyazon ponthoz. Pl. az (1; 0) és (−1; 3π) koordináta-párok ugyanazt a pontot jelentik (persze utóbbi nem teljesíti a korlátokat). Pontok és koordináták között csak akkor kölcsönösen egyértelmű a megfeleltetés, ha a koordinátákra a fent említett korlátozásokat tesszük.


37

3.1.3. Szögmérés, szögmértékek Mivel jelen témában óhatatlanul előkerül a kérdés, röviden összefoglaljuk szögméréssel és szögmértékekkel kapcsolatos ismereteinket. Síkbeli szög : Két, egy pontból induló félegyenessel határolt síktartományt szögtartománynak (vagy röviden szögnek ) nevezünk. Az említett pontot a szög csúcsának, a félegyeneseket a szög szárainak nevezzük. A szögmérés célja egy ilyen tartomány „nagyságának” számszerű jellemzése; vannak „kisebb” és „nagyobb” szögek. Valamiképp a szögtartománynak a teljes síkból való részesedéseként szeretnénk értelmezni a szögmérést. Egy (nem zérus) szögtartomány területe maga is végtelen, tehát nem egyszerűen területarányításról van szó.

3.3. ábra. Szög és mérése.

Szögmérés : A szög csúcsa mint középpont köré kört rajzolunk, a szöget e körnek a szögtartományba eső ívével jellemezzük. Ebben az elvben minden szögmérési mód megegyezik, csupán „technikai részletkérdésekben” különböznek. Az eredeti ókori szögmérési módszerek lényege az, hogy a teljes kört valahány egyenlő részre osztják, és a mérni kívánt ív (szög) értékét ezen egységek ill. részegységeik megszámlálásával fejezik ki. A klasszikus, Babilóniából eredő, a hatvanas számrendszer emlékét őrző 360 fokos szögmérték pl. ilyen. (A 360-nak sok osztója van, vagyis a teljes szög sokféle felosztása egész számokkal kifejezhető: pl. a derékszög 90, a szabályos háromszög szöge 60 fok.) Egy másik, újfok nevű mérték szerint a teljes kört 400 egységre osztják, így a nevezetes derékszög kereken 100 fokos. (Ez egyébként hiába tűnik szép kerek számnak, mégsem olyan jó, mert ezzel a mértékkel a ˙ szabályos háromszög szögei nem fejezhetők ki „szépen” : 66, 666...°) Ezek a szögmértékek bizonyos gyakorlati célokra nagyon megfelelők, mégis elvi probléma velük, hogy konvencionálisak – vagyis teljesen önkényes megállapodáson múlik, hogy hány részre osztott skálával dolgozzunk. Ez gyakorlatban


38

is okozhatna félreértéseket, bizonyos matematikai formulák pedig kimondottan érzékenyek a mértékegység megválasztására. Ennek megoldására szolgál az abszolút ívmérték (radián) bevezetése. Egyszerűen azt mondjuk, hogy a méréshez használt kör sugara 1 legyen1 , és e kör mérendő szögtartományba eső ívének fizikai hossza legyen a szög mértéke. Ívmérték (radián) : Egy szög ívmértéke a szög csúcsa körül rajzolt egység sugarú kör szögtartományba eső ívének hossza. Alapvető felismerésünk ezzel kapcsolatban az, hogy a (360°-os szögként ismert) teljes szög ívmértéke az 1 sugarú kör kerülete: 2π ≈ 6,28 radián. Bármely egyéb szög innen akár közvetve, egyszerű egyenes arányossággal számolható: pl. az egyenesszög π, a derékszög π/2 radián. Bizonyos szempontból ez rendkívül kellemetlen eredménynek tűnhet, hiszen a geometriailag legnevezetesebb szögek (a teljes szög és felosztásai) nemhogy nem kerek vagy egész, de kimondottan irracionális számokkal jellemezhetők csak. Gyakorlatban persze az irracionális tartalmat hordozó π mellett jól értelmezhető racionális együtthatók fejezik ki a megszokott nevezetes szögeket: π2 ; π π 3 ; 4 stb. Az alábbi arány jó kiindulópont lehet a mértékek közti átváltáshoz; azt fejezi ki, hogy egy adott szög fokban kifejezett értéke éppen úgy aránylik a fokban kifejezett egyenesszöghöz (180), mint a radiánban kifejezett értéke a radiánban kifejezett egyenesszöghöz (π) : f ok rad = 180 π Ebből átrendezve képletek is adhatók a fok-rad átváltásra: f ok =

f ok rad · 180; rad = ·π π 180

Példa : 120° hány radián? Akár ránézésre is látható, hogy ez az egyenesszög kétharmada, ezek szerint 2 2π 120 2 3 π vagy 3 . A fenti képlet használatával: rad = 180 · π = 3 π. Példa : 5π 4 radián hány fok? Ez π ötnegyede, vagyis egy negyedet kell rátenni a 180°-ként jellemezhető egyenesszögre. 180-hoz negyedét hozzáadva ez 225°. A képlet szerint: f ok= 5π = π4 · 180 = 54 · 180 = 225.

3.1.4. Koordináta-transzformációk derékszögű és poláris rendszer között Megtörténik, hogy egy adott síkon kétféle szemlélettel is kell dolgozni, mert az ábrázolt rendszer bizonyos tulajdonságai egyik, egyebek egy másik koordinátarendszerben láthatók jobban. Gyakori eset, hogy egy síkon egyszerre tekintünk 1 Ez egy egzakt mérték, az „1” (az egység) a természet és a matematika alapvető képződménye.


39

egy Descartes-féle és egy polár-rendszert, melyek ráadásul közös origóval rendelkeznek, utóbbi polártengelye pedig éppen egybeesik előbbi x-tengelyével. y

P

y r ϕ

x

x

3.4. ábra. Koordináták átalakítása Descartes- és polár-rendszerek között. Mi a kapcsolat egy adott pont derékszögű- és polárkoordinátái között? Az ábra szerint magától értetődik a következő két összefüggés: x = r · cos (ϕ) ; y = r · sin (ϕ) Ezek egyszersmind az átalakító formulák az (r; ϕ) → (x; y) irányhoz. Mik a fordított irány formulái, amikoris (x; y) derékszögű koordinátákból kell meghatározni az (r; ϕ) polárkoordinátákat? Az ábra szerint r könnyen meghatározható Pitagorasz-tétellel: √ r = x2 + y 2 ϕ meghatározásához a következő összefüggés tesz jó szolgálatot: y r · sin(ϕ) sin(ϕ) = = = tg(ϕ) x r · cos(ϕ) cos(ϕ) Az I. síknegyedben ez minden további nélkül működik, a többiben kis meggondolást igényel. Többféle helyes út létezik, itt vázolunk egyet. Kiszámítunk egy ϕ∗ (lényegében I. síknegyedbe transzformált) értéket, majd ebből a síknegyed megfelelő azonosítása után (ti. hogy melyikben van a vizsgált pont) az ismert transzformációkkal számoljuk a [0; 2π[-beli ϕ-t (ha x 6= 0 ; 0 esetén triviálisan azonosítható y előjeléből a szög: π2 vagy − π2 ). (¯ y ¯) ¯ ¯ ϕ∗ = arctan ¯ ¯ x ∗ I. síknegyed: ϕ1 = ϕ ; II. síknegyed: ϕ2 = π−ϕ∗ ; III. síknegyed: ϕ3 = π+ϕ∗ ; IV. síknegyed: ϕ4 = 2π − ϕ∗


40

y

ϕ∗

ϕ2

x ϕ3

ϕ4

3.5. ábra. Szögek transzformációja a síknegyedek között. ( ) Mintapélda : Mik a derékszögű koordinátái a 4; 2π 3 polárkoordinátákkal adott pontnak? A ponthoz tehát egy r = 4 hosszúságú, ϕ = 2π 3 = 120° irányszögű vektor húzható. Valójában ennek derékszögű koordinátáit keressük: ( x = r · cos(ϕ) = 4 · cos (

2π 3

)

( ) 1 = 4· − = −2 2 √

)

√ 3 = 2 · 3 ≈ 3,46 2 √ ) ( Tehát a keresett derékszögű koordináták: −2; 2 · 3 . ( √ ) Mintapélda : Mik a polárkoordinátái a − 3; −1 derékszögű koordinátákkal adott pontnak? A ponthoz húzható helyvektor hossza Pitagorasz tételével számolható: √( √ √ )2 √ √ 2 2 2 r = x +y = − 3 + (−1) = 3 + 1 = 4 = 2 y

= r · sin(ϕ) = 4 · sin

2π 3

= 4·

Szükség van még a helyvektor irányszögére. A fentebb javasolt módszer szerint: ¯) (¯ ( ) ¯ −1 ¯ π 1 ϕ∗ = arctan ¯¯ √ ¯¯ = arctan √ = 6 − 3 3 Mivel mindkét derékszögű koordináta negatív, tudjuk, hogy a III. síknegyedben vagyunk: π 7π ϕ = π + ϕ∗ = π + = 6 6 ( 7π ) Tehát a keresett polárkoordináták: 2; 6 .


41

3.2. Síkbeli ponthalmazok A koordinátarendszer rögzítése után a koordinátasíkot (koordinátapárokkal jellemzett pontok összességét) mint modellező felületet tekintjük. Modellje a geometriai értelemben vett euklideszi síknak (ahogy azt koordináta-geometriában – más néven analitikus geometriában – használjuk), és szemléltetőeszköze lehet bárminek, amit számpárokkal tudunk jellemezni – pl. függvényeknek. Ha külön nem jelezzük, az ismert Descartes-féle derékszögű koordinátarendszert alkalmazzuk. A koordinátasík közvetlenül valós számpárok mint koordinátapárok ábrázolására használható. Valós számpár : Valós számpáron két valós szám olyan együttesét jelöljük, melyben megkülönböztetjük az elemek sorrendjét; a párnak van első és második eleme. Jelölés: (x; y), x ∈ R, y ∈ R vagy (x; y) ∈ R2 Fontos az elemek sorrendjének megkülönböztetése, pl. (3; 1) 6= (1; 3). Véges ponthalmazok képe diszkrét pontok összessége. y A(3; 4)

B(−3; 1) x

C(2; −3)

3.6. ábra. Véges ponthalmaz: H = {(3; 4) ; (−3; 1) ; (2; −3)} Végtelen sok pontot tartalmazó halmazt explicit módon nem tudunk megadni, valamilyen formula segítségével kell definiálni. Általában egyenlőségek görbét, egyenlőtlenségek tartományokat definiálnak.2 2 Vegyük észre itt is a kettősséget : a definiáló egyenlőségek, egyenlőtlenségek számokat használnak, miközben görbéket és tartományokat említünk. Az alapvetően számpárokra vonatkozó absztrakt definíció szemléletes geometriai képződménnyel azonosítható, modellezhető, ám nem azonos azzal.


42

3.2.1. Görbék általában Görbe alatt szemléletünk a vékony vonalként (tollal) rajzolt alakzatokat érti. A fogalom precízebb matematikai definiálására itt nem vállalkozunk – ez a szemléletes kép céljainkhoz lényegében megfelelő, amennyiben kellően vékony (elméletileg zérus vastagságú) tollhegyet gondolunk el. Görbe általános egyenlete : Görbét mint ponthalmazt { } többnyire a következő alakban definiálunk: g = (x; y) ∈ R2 | e (x; y) , ahol e (x; y) egy x-et és y-t tartalmazó egyenlet. Emellett előfordulhatnak még a definícióban a változók értékeire vonatkozó korlátozások. A görbe tehát pontosan azon (x; y) koordinátapárok halmaza, melyek kielégítik a definiáló egyenletet. (Ez behelyettesítéssel eldönthető, tehát a görbe – halmazelméleti értelemben – egy jól definiált ponthalmaz.) { } Példa : g = (x; y) ∈ R2 | y = x3 − 3x2 El tudjuk-e dönteni számpárokról (pontokról), hogy rajta vannak-e a görbén? Pl. az A (0; 0), B (0; 1) és C (3; 0) pontok közül behelyettesítéssel eldönthető, hogy A, C ∈ g, hiszen a behelyettesítéssel kapott egyenlőségek teljesülnek (0 = 03 −3·02 és 0 = 33 −3·32 ), viszont B ∈ / g, mivel a hozzá tartozó egyenlőség nem teljesül (1 6= 03 − 3 · 02 ). y

B A

C

x

D 3.7. ábra. Az y = x3 − 3x2 egyenletű ponthalmaz (görbe) ábrázolása. Tudunk-e mondani sok olyan számpárt (pontot), ami eleme ennek a halmaznak (rajta van a görbén)? A definiáló egyenlőség explicit alakú (y-ra van rendezve) – jobboldalon x


43

helyére tetszőleges (valós) értéket helyettesítve közvetlenül kiszámítható az egyenlőséget kielégítő y. Pl. x = 2 esetén y = 23 − 3 · 22 = −4, tehát D (2; −4) ∈ g. Ezek szerint tetszőleges sok pont található, melyek összessége beláthatóan egy görbét alkot. A görbék és a definiáló egyenletek sokfélék, akár nagyon bonyolultak is lehetnek, nem mindig könnyen látható köztük az összefüggés. Speciális görbetípusokat ugyanakkor speciális alakú egyenletek írnak le – egyszerűbb esetekben szabályokat tudunk mondani görbe és egyenletének összefüggéseire, görbe alakjából következtethetünk egyenletének alakjára és viszont. A következőkben néhány egyszerűbb, gyakorlatban fontos alapesetet tekintünk át.

3.2.2. Egyenesek egyenletei A görbék (mint ponthalmaz-típus) legegyszerűbb esetei az egyenesek. Az egyenes geometriai értelemben vett alapfogalom. Analitikus geometriában egyenletük jellegzetessége a linearitás. Egyenes egyenlete : Pontosan azok az egyenletek jellemeznek egy egyenest, melyek x ill. y legfeljebb elsőfokú kifejezéseit tartalmazzák – legalább egyiket közülük elsőfokon, és lehetnek az egyenletben konstansok is. Példák : y = 2x − 1 ; 3x − 4y = 2; x = y ; y = 2; egyenes egyenletei.

x 2

+ y3 = 1 mindannyian egy-egy

Egy adott egyenlet is átrendezéssel különböző alakokat ölthet. Egyes jellegzetes alakokból könnyen leolvasható a leírt egyenes elhelyezkedése, ill. fordítva: adott egyenesekhez könnyen felírható az egyenlet. Az alábbiakban áttekintünk néhány, erre vonatkozó szabályszerűséget. Általános alak : Az egyenes egyenletének általános alakja: Ax + By + C = 0 ahol A, B, C ∈ R, ahol A és B közül legalább egyik nem zérus, vagyis nem hiányozhat az egyenletből egyszerre x és y is. Az alak jellegzetessége a 0-ra rendezettség. Minden (A; B; C) ∈ R3 (A és B egyszerre nem zérus) számhármashoz egyértelműen létezik az említett alakú egyenlettel rendelkező egyenes. Másik oldalról nézve: minden egyenesnek létezik általános alakú egyenlete, méghozzá végtelen sok, hiszen egy egyenlet bármelyik konstansszorosa is ekvivalens az eredetivel. Két általános alakú egyenlet akkor takarja ugyanazt az egyenest, ha bennük az A : B : C arányrendszer ugyanaz. Az általános alakból könnyen kinyerhető információ az egyenes (egy) normálvektora: ~n = (A; B). Ha A, B, C konstansok közül valamelyik(ek) értéke zérus (persze A és B egyszerre semmiképp), speciális egyenesekhez jutunk. Könnyű meggondolni, hogy

3. FEJEZET. KOORDINÁTARENDSZEREK, PONTHALMAZOK x = −2

44

y y = 2x

y=3

x

3.8. ábra. Példák speciális helyzetű egyenesekre. A=0 mellett y=c típusú (x-tengellyel párhuzamos), B=0 mellett x=c típusú (ytengellyel párhuzamos) egyenesekhez jutunk. C = 0 origón átmenő egyenesekhez vezet. Meredekség-alak : Az egyenes egyenletének meredekség-alakja: y = mx + b ahol m a meredekség (vagy iránytangens), b pedig az y-tengellyel vett metszet. Az alak jellegzetessége az y-ra rendezettség. m szemléletes jelentése: az egyenesen két tetszőleges pont között mérhető ∆y és ∆x eltérések aránya. ∆y (m (x + ∆x) + b) − (mx + b) mx + m∆x + b − mx − b = = =m ∆x ∆x ∆x x egységnyi megváltozására y megváltozása éppen m. Az ábra szerint a meredekség a jelölt derékszögű háromszög befogóinak megfelelő aránya, mely másrészt az egyenes x-tengellyel bezárt szögének – a jelölt háromszög egy szögének tangense is. Ezért szokás a meredekséget iránytangensnek is nevezni. b szemléletes jelentése: az egyenes y-tengellyel vett metszete. Könnyen látható, hogy az y = mx + b egyenletből x = 0 mellett épp y = m · 0 + b = b adódik, tehát az y-tengelyen itt a metszéspont. Ez az alak az egyenes függvény-grafikonként való értelmezéséhez a legmegfelelőbb, miután y-ra rendezett (explicit) egyenlőség.


45

y

∆y = 3 b=1

∆x = 2

x

3.9. ábra. Meredekség-egyenlet értelmezése: y = 32 x + 1 Az egyenletben m és b tetszőleges valós értékek lehetnek, minden (m; b) ∈ ∈ R2 értékpárhoz egyértelműen tartozik egy egyenes. Ugyanakkor nem minden egyenesnek létezik meredekség-egyenlete: pontosan az y-tengellyel párhuzamos egyeneseknek nincs, mert meredekségük nem fejezhető ki valós értékkel. Az ilyen egyenesek egyenlete x = c alakú, ami nem meredekség-alak, hiszen y nem is szerepel benne. Tengelymetszet-alak : Az egyenes egyenletének tengelymetszet-alakja: x y + =1 a b ahol a és b rendre az x és y tengelyekkel vett metszeteket jelentik. (a 6= 0, b 6= 0) Az alak jellegzetessége az egyenlet jobb oldalán álló 1, továbbá x és y változók együtthatóinak reciprokos felírása. Az alak előállításához a konstanst jobb oldalra kell vinni, majd leosztani vele, és a képződő együtthatókat reciprokos alakban írni. A tengelymetszet-alak előnye, hogy azonnal láthatók benne a leírt egyenes koordinátatengelyekkel való metszetei, így könnyen elképzelhető az elhelyezkedése. Mint mondottuk, a és b az x és y tengelyekkel vett metszeteket jelentik. Pl. a-ra a következő gondolatmenet miatt: Ha az egyenes x-tengellyel való metszetét keressük, akkor egy y=0 koordinátával


46

y

b=2

a=1

3.10. ábra. Metszet-egyenlet értelmezése:

x

x 1

+ y2 = 1

rendelkező pontot keresünk. Az egyenletbe ezt beírva x y x 0 x + =1⇒ + =1⇒ =1⇒x=a a b a b a adódik. A másik tengellyel való metszetre analóg módon y = b. a és b tetszőleges valós, nem-zérus konstansok lehetnek (zérus esetén az osztás 2 miatt értelmetlen is az alak), de amúgy minden (a; b) ∈ (R \ {0}) számpárhoz egyértelműen létezik egyenes. Ugyanakkor nem minden egyenesnek létezik tengelymetszet-alakja: fentiek szerint a tengelyekkel párhuzamos, valamint az origón átmenő egyeneseknek nincs (előbbieknek nincs meg a szükséges két tengelymetszet, utóbbiaknál egybeesnek és nullák). Pontosan ezeknek az egyeneseknek nincs tengelymetszetegyenletük, minden egyébnek van. Példa : Tekintsünk egy olyan egyenest, mely az x-tengelyt -3-nál, az y-tengelyt 2-nél metszi. Írjuk fel ezen egyenes egyenleteinek mindhárom említett alakját! A megadási módból legkézenfekvőbb a metszet-egyenlet felírása: x y + =1 −3 2 Ebből y-ra rendezve adódik a meredekség-alak: 2 −2x + 3y = 6 ⇒ 3y = 2x + 6 ⇒ y = x + 2 3


47

y

x

3.11. ábra. Az x-tengelyt -3-nál, y-tengelyt 2-nél metsző egyenes. Ez szépen összhangban van az ábrával. Az előbbi levezetés egy köztes állapotából könnyen megvan az általános alak is: 2x − 3y + 6 = 0 Példa : Tekintsük a 4x − 3y − 6 = 0 általános egyenlettel adott egyenest. Írjuk fel az egyenlet további alakjait, és ezek nyomán ábrázoljuk is az egyenest! A meredekség-egyenlet: 4 y = x−2 3 A metszet-egyenlet levezetése: 4x − 3y = 6 ⇒

4x 3y 2 y x y − = 1 ⇒ x+ =1⇒ 3 + =1 6 6 3 −2 −2 2

Ezek láthatóan összhangban vannak egymással és az ábrával is.

3.2.3. Egyenesek konstruálása Egyeneseket (és azokat leíró egyenleteket) sokféle kiindulási adatból alkothatunk: pl. egy pont és mellé egy irányvektor, normálvektor vagy iránytangens valamelyike, vagy két pontból. Ezek a középiskolai anyagból is ismerősek lehetnek; a teljesség igénye nélkül kiemelünk közülük az alábbiakban kettőt, melyek a továbbiakhoz közvetlenül lehetnek fontosak. A módok közti különbséget a bázisadatok különbözősége adja – a végeredményül adódó egyenletek előzményektől függetlenül, igény szerint transzformálhatók fentebb tárgyalt alakjaik között.


48

y

x

3.12. ábra. A 4x − 3y − 6 = 0 egyenletű egyenes. 3.2.3.1. Adott ponton átmenő, adott meredekségű egyenes egyenlete Adott az egyenes egy P0 fixpontja és az m meredeksége. Az egyenlet felírásához azon pontok – (x; y) koordináta-párok – összességét kell meghatároznunk, melyek a kérdéses egyenesen vannak. Éppen az egyenes pontjai azok, melyeknek koordinátáinak a fixpont koordinátáitól való eltérése a meredekségben adott aránnyal kifejezhető: ∆y y − y0 = =m ∆x x − x0 Az összefüggés sokféleképp átrendezhető, az explicit alak: y = y0 + m (x − x0 ) Az egyenletben m, x0 , y0 adott esetben konkrét értékek, tehát csak x és y a változók, ahogy annak formálisan lennie kell. 3.2.3.2. Két pontra illesztett egyenes egyenlete Adott az egyenes két (különböző x-koordinátákkal rendelkező) pontja: P1 és P2 . Az egyenlet felírása visszavezethető a meredekséggel adott esetre, miután a megadott pontok bármelyike használható fixpontnak, a meredekség pedig kettejük koordináta-eltéréseinek arányából kiszámítható: m=

y2 − y1 ∆y = ∆x x2 − x1


49

y P

y

∆y = y − y0 y0

P0 ∆x = x − x0 x x0

x

3.13. ábra. Fixponttal és meredekséggel adott egyenes egyenletének alapgondolata. Ebből pl. az explicit alak: y = y1 +

y2 − y1 (x − x1 ) x2 − x1

Példa : Írjuk fel az A = (3; 4) ; B = (−3; 1) ; C = (2; −3) csúcsokkal rendelkező háromszög oldalegyeneseinek egyenletét. Az AB oldalegyenes: y = y1 +

y2 − y1 1−4 −3 1 (x − x1 ) = 4+ (x − 3) = 4+ (x − 3) = 4+ (x − 3) x2 − x1 −3 − 3 −6 2 1 y = x + 2,5 2

Hasonlóképp BC : y=y1 +

y2 − y1 −3 − 1 −4 4 (x − x1 )=1+ (x − (−3))=1+ (x + 3)=1− (x + 3) x2 − x1 2 − (−3) 5 5 7 4 y = − x− 5 5

AC : y = y1 +

y2 − y1 −3 − 4 −7 (x − x1 ) = 4+ (x − 3) = 4+ (x − 3) = 4+7 (x − 3) x2 − x1 2−3 −1 y = 7x − 17


50

y P2

y2

∆y = y2 − y1 y1

P1 ∆x = x2 − x1 x x1

x2

3.14. ábra. Két pontra illesztett egyenes.

3.2.4. Egyenesekkel határolt tartományok Az egyenesek pontjainak analitikus (egyenlettel való) jellemzése után könnyű leírni az egyenes partjain lévő tartományokat is: ezek a félsíkok. Félsíkok mint ponthalmazok és az ismert halmazműveletek felhasználásával pedig már sávok, szögtartományok, háromszögek, egyéb síkidomok is könnyen definiálhatók. Ahogy görbéket egyenletekkel, úgy tartományokat általában egyenlőtlenségekkel lehet definiálni, melyek alakilag általában rokonai a tartományt határoló görbék egyenleteinek. Félsík : Ha egy egyenes egyenletében az „=” relációt „<” vagy „>” ill. „≤” vagy „≥” relációra cseréljük, az adódó egyenlőtlenség éppen az eredeti egyenes valamely partján lévő félsík pontjainak koordinátáira igaz – a lineáris egyenlőtlenségek félsíkokat határoznak meg. Ha a relációban megengedjük az egyenlőséget is, akkor a határoló egyenes pontjai maguk is a leírt ponthalmazhoz tartoznak, ekkor zárt, különben nyílt félsíkról beszélünk. Ha az y-ra rendezett explicit alak „y > ...” alakú, akkor a határoló egyenes „feletti”, egyébként az egyenes „alatti” félsíkra kell gondolni. Ha az x-re rendezett explicit alak „x>...” alakú, akkor a határoló egyenestől „ jobbra” eső, egyébként az egyenestől „balra” eső félsíkra kell gondolni. { } Példa : Ábrázoljuk a következő ponthalmazt: T = (x; y) ∈ R2 | x − y > −2 Egyenlőség esetén az x − y = −2 ⇒ y = x + 2 egyenletű egyenessel lenne dolgunk. Ez az egyenes lesz a határvonala a fent definiált félsíknak, ám ahhoz nem tartozhat hozzá, tehát nyílt félsíkról van szó.


51

y A

B x

C

3.15. ábra. Háromszög oldalegyenesei. y

x

{ } 3.16. ábra. (x; y) ∈ R2 | x − y > −2 félsík ábrázolása. Az egyenlőtlenség y-ra rendezett alakja: y < x + 2, ezek szerint a határoló egyenes „alatti” félsíkot kell tekintenünk. Rendezhetjük x-re is: x > y − 2, eszerint értelmezve a határoló egyenestől „ jobbra” eső félsíkot tekintjük. Mindkét értelmezés szerint ugyanaz a végeredmény adódik. Félsíkokra mint ponthalmazokra alkalmazott halmazműveletekkel különféle sávok, szögtartományok, sokszögek is definiálhatók analitikusan. Példa : Adjunk formális definíciót az A=(3; 4) ; B=(−3; 1) ; C =(2; −3) csúcsokkal rendelkező háromszög pontjainak halmazára (az oldalakat is beleértve). Korábban ugyanezen háromszögnek már felírtuk és ábrázoltuk az oldalegyeneseit: 1 AB : y = x + 2,5 2


52

y A

B x

C

3.17. ábra. Háromszög mint félsíkok metszete. 4 7 BC : y = − x − 5 5 AC : y = 7x − 17 Az ábra szerint a háromszög belseje az AB oldalegyenes „alatti”, a BC oldalegyenes „feletti” és az AC oldalegyenes „feletti” tartományok metszete. Erre és a fenti (y-ra rendezett explicit) egyenletekre építve a formális definíció: { } 1 4 7 2 H = (x; y) ∈ R | y ≤ x + 2,5 ∧ y ≥ − x − ∧ y ≥ 7x − 17 2 5 5

3.2.5. Körök, körlapok y P2

y2 d y1 P1

y2 − y1

x2 − x1 x

x1

x2

3.18. ábra. A Pitagorasz-tételre épülő távolság-formula.


53

A kör(vonal) a geometriai definíció szerint a sík egy adott ponttól adott távolságra lévő pontjainak halmaza. A Descartes-féle koordinátarendszerben √ 2

P1 (x1 ; y1 ) és P2 (x2 ; y2 ) pontok euklideszi távolságát a d= (x2 − x1 ) + (y2 − y1 ) (Pitagorasz tételén alapuló) formula adja. Erre épül a köregyenlet, miszerint a kör épp azon P (x; y) pontok halmaza, melyek egy O (x0 ; y0 ) ponttól épp r > 0 távolságra vannak: √ 2 2 2 (x − x0 ) + (y − y0 ) = r ⇔ (x − x0 ) + (y − y0 ) = r2 Ez az egyenlet egyéb, ebből átrendezhető alakokban is állhat. Például az alábbi alak is köregyenletet takarhat: x2 + y 2 + Ax + By + C = 0 Ilyenkor szükséges kritérium, hogy ne legyen az egyenletben vegyes tag (xy), továbbá a másodfokú tagok együtthatója megegyezzen (itt most 1). Ilyenkor teljes négyzetté alakítva ez az alábbi alakot ölti: )2 ( )2 ( A2 B B2 A − + y+ − +C = 0 x+ 2 4 2 4 ( ( ))2 ( ( ))2 A B A2 + B 2 x− − + y− − = −C 2 2 4 Ezt összevetve a szabvány alakú köregyenlettel: A B A2 + B 2 x0 = − ; y0 = − ; r2 = −C 2 2 4 A középponttól a sugárnál kisebb távolságra lévő pontok egy körlapot alkotnak. Ez értelemszerűen egy egyenlőtlenséggel definiálható: 2

2

2

2

(x − x0 ) + (y − y0 ) < r2 Hasonlóan a kör külső pontjai: (x − x0 ) + (y − y0 ) > r2 Utóbbi két egyenlőtlenségben az egyenlőség megengedése a határoló körvonalnak a ponthalmazhoz tartozását jelentené. Példa : Ábrázoljuk a következő egyenlettel adott ponthalmazt: x2 + y 2 + 2y + 1 < 4x Fentiek szerint egyenlőség esetén alakilag ez egy köregyenlet lehetne. Átrendezést, teljes négyzetté alakítás alkalmazunk: x2 − 4x + y 2 + 2y + 1 < 0

2


54

y

x

3.19. ábra. Az x2 + y 2 + 2y + 1 < 4x egyenlőtlenséggel definiált nyílt körlap. A szaggatott vonal azt jelöli, hogy maga a határgörbe nem tartozik a halmazhoz. 2

2

(x − 2) − 4 + (y + 1) < 0 2

2

(x − 2) + (y + 1) < 4 2

2

(x − 2) + (y − (−1)) < 22 Utóbbi alakból leolvasható, hogy a határgörbe egy kör, melynek középpontja O (2; −1), sugara r = 2. A „<” reláció szerint a kör belsejéről van szó, a határvonalat nem beleértve.

3.2.6. Egyéb görbék és tartományok Számtalan további görbetípus létezik különféle alakú egyenletekkel. Legjobban az olyan egyenletek kezelhetők, melyek átrendezhetők explicit alakúra, vagyis az y vagy x változó valamelyike kifejezhető egy kizárólag a másikat tartalmazó formulával: „y = f (x)” vagy „x = f (y)”. Ilyen egyenletek segítségével nem csupán tesztelni lehet egy adott számpárt, hogy teljesíti-e az összefüggést (a hozzá tartozó pont rajta van-e a görbén), hanem könnyen alkotható tetszőleges számú pont, hiszen az egyik változó viszonylag szabad megválasztása után a hozzá tartozó pár egzaktul számítható. Lényegében az első típusba tartozók a függvénygörbeként ismertek. Példa : Adjuk meg az 2x −x=y 2 +cos y egyenlettel definiált ponthalmaz néhány pontját! A fenti kétváltozós implicit egyenlet ponthalmazt definiál, hiszen adott


55

(x; y) pár nyilván behelyettesíthető, az egyenlőség vizsgálható, a halmazhoz tartozás eldönthető. Azt rögtön látjuk, hogy nem üreshalmazról van szó: pl. a (0; 0) pont (origó) ellenőrizhetően teljesíti az egyenletet – ez egy triviális megoldás. Ugyanakkor nem tűnik könnyű feladatnak további számpárokat mondani, vagy egyáltalán eldönteni, hogy vannak-e még ilyenek. x vagy y bármelyikének rögzítésével ugyanis a másik változóra egzaktul nem, csak közelítéssel megoldható transzcendens egyenlet adódik. Példa : Adjuk meg az x = y 3 − 5y 2 egyenletű görbe néhány pontját! Mivel ez egy x-re rendezett explicit alakú egyenlet, méghozzá a jobboldal y-nak tetszőleges valós számra értelmezhető racionális kifejezése, tetszőleges számú pontot (számpárt) könnyű mondani. Pl. y = 1 értékhez x = 13 − − 5 · 12 = −4 tartozik, és bármely egyéb értékre is hasonlóan számolható. y

x

3.20. ábra. Az y ≥ x + sin (2x) explicit egyenlőtlenséggel definiált tartomány. Az explicit egyenlettel adott görbékkel határolt tartományok is könnyen leírhatók. Az egyeneseknél látottakhoz hasonlóan elmondható: ha az y-ra rendezett explicit alak „y > ...” alakú, akkor a határoló görbe „feletti”, egyébként a görbe „alatti” tartományra kell gondolni. Ha az x-re rendezett explicit alak „x > ...” alakú, akkor a határoló görbétől „ jobbra” eső, egyébként a görbétől „balra” eső tartományra kell gondolni.

3.2.7. Koordináta-csere A Descartes-koordinátarendszerben adott (x; y) ill. (y; x) koordinátájú pontok geometriailag egymás tükörképei az y = x egyenletű egyenesre.


56

y y=x P (2; 4) y ≥ x2 + 1

P 0 (4; 2)

x

x ≥ y2 + 1

3.21. ábra. Koordinátacsere mint tükrözés. Ebből következik, hogy ha egy ponthalmaz (görbe, tartomány) definiáló formulájában (egyenlet, egyenlőtlenség) az x és y változókat formálisan felcseréljük, akkor a teljes eredeti ponthalmaznak az y = x egyenletű egyenesre való tükörképét kapjuk, hiszen pontosan azok az (y; x) párok teljesítik a felcseréléssel adódó egyenletet vagy egyenlőtlenséget, melyekhez (x; y) az eredetit teljesíti.

3.2.8. Összetett alakzatok Két vagy esetleg több, különféle módon definiált ponthalmazból halmazműveletek segítségével (metszetképzéssel, egyesítéssel stb.) újabbak alkothatók – a lehetőségek tárháza már a fentebb vázolt alapesetekből indulva is igen gazdag. Példa : Tekintsük a következő pontok halmazát: { } x+2 2 2 2 2 H= (x; y) ∈ R | y ≥ x − 1 ∧ y ≤ − ∧ (x − 1) + (y + 1) ≤ 9 ∧ y + (x − 1) ≤ 3 2 A bonyolultnak látszó definíció részekre bontható: az egyes egyenletek ill. egyenlőtlenségek fentebb tárgyalt, egyszerűbb tartományokat takarnak. Mivel a definícióban lévő „és” kapcsolatok (∧) miatt ezeknek egyidejűleg teljesülni kell, mindannyiuk közös része az a tartomány, melyről a definíció szól.

3.2.9. Ponthalmazok polárkoordinátarendszerben Mint a Descartes-rendszertől eltérő, a polárkoordinátarendszer bizonyos ponthalmazok modellezésére jobban, másokra kevésbé alkalmas annál. Az alábbi-


57

y

x

3.1. táblázat. Tartományok metszeteként előállított tartomány. akban ízelítőül mutatunk néhány példát, mennyiben hasonlíthat-különbözhet geometriai megvalósulásában a két koordinátarendszerben ugyanazon formulával megadott görbe.

3.3. Gyakorló feladatok I. Végezzük el a következő szögek átváltását fok és radián mértékek között: fok rad 30 3π 2

240 7π 6

-150 1 39 II. (Ábrázoljuk pontokat: ) ( polárkoordinátarendszerben ) ( a következő ) 13π 4; π4 ; 5; 3π ; (−1; π); (2; 0) ; (1; 1) ; 3; − 4 6 III. Végezzük el a következő koordinátapárok átváltását Descartes- és polárrendszer között:

3. FEJEZET. KOORDINÁTARENDSZEREK, PONTHALMAZOK y

x 0 1

3.22. ábra. y = x; ϕ = r y

x

0 1

3.23. ábra. y = sin 3x; ϕ = sin 3r y

x

0 1

3.24. ábra. y = x2 − 4 ; ϕ = r2 − 4

58


y

x

0 1

3.25. ábra. x = 3 sin 3y ; r = 3 sin 3ϕ

y

x 0 1

3.26. ábra. x = y 2 ; r = ϕ2

59

3. FEJEZET. KOORDINÁTARENDSZEREK, PONTHALMAZOK Descartes (2; 2)

60

polár (2; 2)

(3; 4) (−1; −1) (

√ ) 2; − 12

(

6; 54 π

(

2; π2

)

)

IV. A következő egyenes-egyenleteket írjuk át a tárgyalt lehetséges alakjaikba és ábrázoljuk is az egyenest: y x 6 + 2 = 1; y = −2x − 4 ; 3x − 2y − 4 = 0 ; 7x + 4y = 12 V. Írjuk fel a következő, fixponttal és meredekséggel adott egyenesek egyenletét minden lehetséges tárgyalt alakjukkal. Készítsünk ábrákat is. P0 = (2; 1) ; m = 43 P0 = (−3; 4) ; m = − 23 P0 = (0; 0) ; m = 2 P0 = (4; 1) ; m = 0 VI. Írjuk fel a következő, két ponttal adott egyenesek egyenletét minden lehetséges tárgyalt alakjukkal. Készítsünk ábrákat is. P1 = (2; −1); P2 = (4; 3) P1 = (−1; −1); P2 = (4; −1) P1 = (2; −1); P2 = (2; 3) P1 = (0; 3) ; P2 = (4; 0) VII. Írjuk fel az alábbi három csúcsponttal rendelkező háromszög oldalegyeneseinek egyenletét. Adjunk formális definíciót a háromszög belső pontjainak halmazára. A = (3; 5) ; B = (−4; 1) ; C = (1; −1) VIII. Ábrázoljuk Descartes- és polárkoordinátarendszerben is az alább adott ponthalmazokat. Szükség esetén számoljunk ki konkrét értékeket, használjunk számológépet. H1 = {(x; y) ∈ [1; 2] × ]2; 3[} ; H1p = {(r; ϕ) ∈ [1; 2] × ]2; 3[} H2 ={(x; { y) ∈ ([1; 2] ∩ Z) × (]2; } 4[ ∩ Z)} ;{H2p ={(r; ϕ) ∈ ([1; 2] ∩}Z) × (]2; 4[ ∩ Z)} H3 = (x; y) ∈ R2 | y = x + 1 ; H3p = (r; ϕ) ∈ R2 | ϕ = r + 1 H4 ={(x; y) ∈ [1; 2] × ]2; 3[ | y = x + 1} ; H4p ={(r; ϕ) ∈ [1; 2] × ]2; 3[ | ϕ = r + 1} IX. Ábrázoljuk Descartes-koordinátarendszerben az alábbi ponthalmazokat. { } H1 = (x; y) ∈ R2 | y ≥ x2 ∧ x + y < 3 – Soroljuk fel a halmaz összes, egész koordinátákkal rendelkező pontpárját! { } H2 = {(x; y) ∈ R2 | x2 + y 2 + 2 = 0 } 2

2

H3 = (x; y) ∈ R2 | (x + 3) − 16 = − (2 − y) { } H4 ={ (x; y) ∈ R2 | x2 + 2x + y}2 − 4y − 4 > 0 A = (x; y) ∈ R2 | x2 + y 2 < 4

3. FEJEZET. KOORDINÁTARENDSZEREK, PONTHALMAZOK { } B = {(x; y) ∈ R2 | y ≥ 2x} C = (x; y) ∈ R2 | x > 2y A∩B ∩C A∪B ∪C A¯ ∩ (B \ C) X. Adjunk formális definíciót az alább ábrázolt ponthalmazokra. ...

61

4. fejezet

Függvénytani alapok A függvény a matematika egyik legáltalánosabb és legalapvetőbb fogalma. Az alapvetőt nem csupán a fontosságára értjük, hanem abban az értelemben is, hogy a matematika fogalmakat egymásra építő rendszerében nem nagyon találunk olyat, ami logikailag megelőzné.1 Tárgyunk keretében nagyrészt egyváltozós valós függvényekkel foglalkozunk, ám a függvény fogalma ennél sokkal tágabb – akár még számoknak sem kell előfordulni egy függvény kapcsán. A függvénytan rendelkezik olyan alapszintű fogalmakkal, melyek a legtágabb értelemben érvényesek függvényekre – köztük természetesen az egyváltozós valós függvényekre is, viszont ott már sok speciális fogalmat és eszközt is használunk, melyek olykor elfedik ezt az alapszintű tartalmat. (Sokan hajlamosak például keverni a függvény és a görbe fogalmát.) Ebben a fejezetben ezt a fogalmi alapot foglaljuk össze. A külön fejezetbe helyezés épp a további részletek mint zavaró tényezők közül való kiemelést célozza.

4.1. Függvény fogalma Két halmaz közti hozzárendelés elemeik megfelelő egymáshoz rendelését jelenti. Ezt úgy képzelhetjük, hogy a halmazok elemei között kapcsolatokat hozunk létre, melyeket például egy ábrán vonalakkal vagy nyilakkal szimbolizálhatunk. Nyilakkal rögtön szimbolizálni lehet a kapcsolatban rejlő aszimmetriát (pl. emberek közötti szülő-gyermek kapcsolat esetén definiálni lehet, hogy a nyíl a leszármazott felé mutasson). A nyílhegy nélküli vonal szimmetrikus kapcsolatnál használható, ilyenkor viszont kettős nyilat is rajzolhatunk. A hozzárendelés két oldalán akár ugyanaz a halmaz is állhat – az ábrán persze ilyenkor kétszer lerajzolva. A függvény az ilyen hozzárendelések egy speciális típusa, melyben a hozzárendelések határozottan az egyik halmazból a másikba irányulnak, az „indulási 1 Szokás ugyan a halmaz fogalmára építeni, de a modern axiomatika szerint fordítva is lehetne : a függvényt alapnak tekintve definiálható a halmaz.

62

4. FEJEZET. FÜGGVÉNYTANI ALAPOK

A

63

B

4.1. ábra. Halmazok közti általános hozzárendelés: a két halmaz elemei között kötöttségek nélkül létesíthetünk aszimmetrikus vagy szimmetrikus hozzárendeléseket. oldal” minden eleméhez pedig pontosan egy elem rendelhető a túloldalról. Függvény : Ha egy A halmaz minden eleméhez egy B halmaz pontosan egy elemét rendeljük hozzá, akkor egy A-ból B -be képező függvényt adunk meg. A a függvény értelmezési tartománya, B a képhalmaza. (Úgy is mondhatjuk, hogy a függvény A-ból B-be irányuló egyértelmű hozzárendelés vagy leképezés.) Jelölés: f : A → B (ez egy f nevű, A-ból B-be képező függvény)

A

B

4.2. ábra. Függvény mint egyértelmű hozzárendelés: a hozzárendelések határozottan egyik halmazból a másik felé irányulnak; minden elemhez pontosan egy. Az érték-oldalon előforduló elemek összessége az értékkészlet. Vegyük észre, hogy a hozzárendelés során minden A-beli elemtől a definíció szerint pontosan egyetlen nyíl indul, ám egyáltalán nem kötelező, hogy a képhalmaz minden eleméhez egyetlen nyíl érkezzen. Lehet, hogy egy sem érkezik (az ilyen képhalmaz-beli elem nincs benne az értékkészletben), de érkezhet akár több is. Úgy is tekinthetünk a függvényre, mint egy „átalakító gépre” : a „valamihez valamit rendelés” helyett „valamiből valamivé átalakítást” is képzelhetünk. A függvény elnevezés maga arra utal, hogy ez a képződmény azt írja le, miként függ a „bemenő” értéktől a „kimenő” érték.2 2 Ismeretes,

hogy az elterjedt programozási nyelvek (Pascal, C++, C#, Java, PHP stb.)


64

Értelmezési tartomány : Azon elemek összessége, melyekhez a függvény képes elvégezni a hozzárendelést – fenti definíció szerint ez maga az A halmaz. Jelölés: Df (ez egy f nevű függvény értelmezési tartománya, egy g nevűé pl. Dg ) Értékkészlet : Azon elemek összessége, melyek a hozzárendelés „kimeneti” oldalán valóban előfordulnak, vagyis amelyekhez létezik olyan Df -beli elem, melyhez a függvény épp a kérdéses elemet rendeli. Jelölés: Rf Rf = {y | ∃x ∈ Df : f (x) = y} Df , Rf tehát maguk is halmazok. Képhalmaz : Bármely olyan halmaz, melyből a függvény értékei kikerülhetnek, vagyis amelynek az Rf részhalmaza. A fentebbi definícióban a B halmaz ilyen: Rf ⊆ B Mi indokolja a képhalmaz és az értékkészlet megkülönböztetését? Adott hozzárendeléshez könnyen megadható egy olyan bővebb halmaz, melyből az értékek elvileg kikerülhetnek. Pl. egy „szokásos” (egyváltozós valós) függvény értékei valós számok lesznek (és mondjuk nem macskák), tehát a teljes valós számhalmaz megfelel képhalmaznak. Ugyanakkor gyakran részletesebb vizsgálatot igényel, hogy ebből a függvény valójában mely értékeket veszi fel (pl. csak pozitív számokat). A képhalmaz úgymond „eleve” látszik – a függvény felállításának formális szintjén eldől – az értékkészlet pedig vizsgálatot igényel. A hozzárendelésben szereplő halmazok tisztázása fontos a keretek miatt, ám a függvény „lelke” mégiscsak a hozzárendelés módjában rejlik. Véges (elemszámú) értelmezési tartomány esetén elvileg lehetséges a hozzárendelés felsorolásként való megadása: felsoroljuk, hogy az egyes elemekhez miket rendelünk. A gyakorlatban persze ez is csak viszonylag kis elemszámú halmazokra működhet. Ha az értelmezési tartomány túl sok – leggyakrabban végtelen sok – elemet tartalmaz, akkor mindenképpen szükségünk van egy jól definiált hozzárendelési szabályra. Hozzárendelési szabály : Jól definiált eljárás, mellyel az értelmezési tartomány tetszőleges eleméhez megtalálhatjuk a képhalmaz hozzá rendelt elemét. A függvény többnyire akkor tekinthető jól meghatározottnak, ha adott az értelmezési tartománya és a hozzárendelési szabály. (Az értékkészlet ezekből elvileg már generálható.) tartalmaznak függvénynek (function) nevezett programozási egységeket (sőt, olykor csak azt). Ezeket nem véletlenül hívják így, hiszen bemenő paraméterek összességéhez egyetlen kimeneti objektumot „gyártanak le” (rendelnek), így matematikai értelemben is függvények. Az ilyen programozói függvény típusaként épp a visszaadandó adat típusát kell megadni. Ez a konstrukció annyira gyakori, hogy a nyelvek egy részében még function kulcsszó sincs, hanem inkább void (üres) típussal jelzik, ha kivételesen nincs visszaadandó érték.


65

Ez nem jelenti azt, hogy egy függvény definíciójában okvetlenül ezeket kell megadni, de ezeknek a definícióból legalább közvetve kinyerhetőknek kell lenni. Elképzelhető, hogy olykor épp az értékkészletet könnyebb megadni, vagy hogy a hozzárendelési szabály önmagában meghatározza az értelmezési tartományt.

4.2. Inverz függvény Egy függvény invertálása általánosságban a megfordítását jelenti; invertáláskor lényegében a fentebbiek szerinti, hozzárendelést szimbolizáló nyilakat kell megfordítani. Ezt minden bizonnyal meg lehet tenni, kérdés azonban, hogy a megfordítással adódó hozzárendelés maga is függvény-e. Könnyen meggondolható, hogy az egyetlen probléma az lehet, ha valamely Rf -beli elemhez több nyíl is érkezett, mivel a nyilak megfordítása után ezen elemtől több nyíl indulna. Ha ilyen probléma nincs, akkor a megfordítás működik, a nyilak fordulásával kialakuló új hozzárendelés is egyértelmű, az adódó új függvény értelmezési tartománya és értékkészlete értelemszerűen az eredetihez képest felcseréltek.

Df

Rf

4.3. ábra. A függvény megfordításának problémája: amely elemhez eredetileg több hozzárendelés is érkezett, abból megfordítás után több hozzárendelés is indul. Inverz függvény : Ha egy függvény értékkészletének minden eleméhez pontosan egy olyan Df -beli elem létezik, melyhez a kérdéses Rf -beli elem rendelődik, akkor a függvényt invertálhatónak nevezzük. (∀y ∈ Rf ∃! x ∈ ∈ Df : f (x) = y) Az eredeti függvény inverzén (inverz függvényén) ekkor azt a függvényt értjük, melynek értelmezési tartománya az eredeti függvény értékkészlete és viszont, továbbá minden elemhez azt rendeli, amelyhez az eredeti függvény a kérdéses elemet. Jelölés: f¯ : Rf → Df , f¯ (f (x)) = x Kizárólag a kölcsönösen egyértelmű megfeleltetések fordíthatók meg (invertálhatók). Ezeket a függvénytan bijektív leképezésnek, röviden bijekciónak is nevezi. Egy függvény megfordításával újabb függvény keletkezik, így ez egy függvényképzési mód is.


A

66

B

4.4. ábra. Kölcsönösen egyértelmű (megfordítható, invertálható) hozzárendelés: bijekció. Ha egy függvény teljes egészében nem invertálható, lehet próbálkozni valamely szűkítésének invertálásával.

4.3. Leszűkítés, kiterjesztés Egy adott függvény leszűkítése alapvetően az értelmezési tartomány leszűkítését jelenti. Függvény leszűkítése : Egy f1 függvényt az f függvény leszűkítésének nevezünk, ha Df1 ⊆ Df , és ∀x ∈ Df1 esetén f1 (x) = f (x). Vagyis a szűkített függvény az eredeti értelmezési tartománynak csak egy részén működik, ám ott az eredeti függvénnyel azonos módon. Az értelmezési tartomány szűkítésével az értékkészletből is eshetnek ki elemek, ezért a szűkítés gyakran az értékkészlet szűkülésével is jár, de nem okvetlenül. Ha ugyanazt az értéket több helyen is felveszi a függvény, és a szűkítéssel ezek közül nem minden hely záródik ki, akkor az adott érték megmarad az értékkészletben. Bijekciók szűkítésekor viszont mindenképp szűkül az értékkészlet is. Rf1 ⊆ Rf A kiterjesztés ezzel szemben a függvény működési területének kiterjesztését jelenti. Függvény kiterjesztése : Ha egy f1 függvény az f függvény leszűkítése, akkor f -et f1 kiterjesztésének mondjuk. Tehát a kiterjesztés tágabb területen működik, de az alapul szolgáló függvény működési területén mindenképpen azzal megegyezően.

4.4. Kompozíció A kompozíció egy olyan művelet, mellyel két függvényből harmadikat képezünk. Ez egy olyan abszolút függvényképzési mód, mely semmit nem használ ki a hozzárendelésekben szereplő halmazok belső tulajdonságaiból – egy általános


67

kétoperandusú függvényképző-művelet. (Az egyváltozós valós függvények alapműveletekkel történő képzése, összeadása, kivonása stb. a valós számhalmazon belüli műveletekre alapul.) x

g(x)

g

f

f (g(x))

4.5. ábra. Kompozíció mint függvények összefűzése. Lényegét tekintve függvények egymás utáni alkalmazásáról, összefűzéséről van szó: az egyik függvény „kimenetét” rögtön a másik „bemenetére” továbbítjuk. Kompozíció : Legyen adott egy f és egy g függvény. Kettejük f ◦g kompozícióján azt a függvényt értjük, mely minden alkalmas x elemhez az f (g (x)) (vagyis f által a g (x)-hez rendelt) elemet rendeli. Ilyenkor g-t a kompozíció belső, f -et a külső függvényének mondjuk. A kompozíció működése azt feltételezi, hogy az elsőként működő belső függvény olyan értéket produkál, amit a másodikként sorra kerülő külső függvény el tud fogadni. Akkor képezhető tehát nemüres kompozíció, ha létezik olyan értéke gnek, mely f értelmezési tartományában van: Rg ∩ Df 6= ∅. A kompozíció értelmezési tartománya Dg azon elemeiből áll, melyekhez a g által rendelt érték f értelmezési tartományában van: Df ◦g = {x ∈ Dg | g (x) ∈ Df } – úgy is szoktuk mondani, hogy Rg ∩ Df ősképe Dg -ben. Mivel a kompozíció „bemenő” értékét először a belső g függvénynek kell elfogadni, így Df ◦g ⊆ Dg . Ugyanakkor a kompozíció „kimenő” értékét végsősoron a külső f függvény hozza létre, ezért Rf ◦g ⊆ Rf – ez Rg ∩ Df képe Rf -ben. (Tehát a kompozícióban gyakran a szereplő függvények alkalmas szűkítései működnek.) Df ◦g

Dg

Rf ◦g

Rg

Df

Rf

4.6. ábra. Hozzárendelés működése a kompozícióban.

5. fejezet

Egyváltozós valós függvények A függvényekre általánosan igaz, hogy két halmaz közti egyértelmű hozzárendelések, de a szóban forgó halmazokra valójában semmiféle megkötés nincs, ezáltal a függvények rettentően sokfélék lehetnek. A középiskolai tanulmányokból ismert – és ezen a kurzuson is használt – függvények valós számokhoz valós számokat rendelnek, vagyis be- és kimeneteiken is valós számokat látunk; értelmezési tartományuk és értékkészletük egyaránt a valós számok valamely részhalmaza. Ezeken kívül is sok érdekes függvény van, de ezekkel jelenleg nem feladatunk foglalkozni. E kurzus során „függvény” alatt hallgatólagosan mindig egyváltozós valós függvényt kell érteni, hacsak nem kimondottan hangsúlyozunk ettől eltérőt. Az egyváltozós valós függvények a függvények sokszínű családjának csak egy csoportját jelentik, mégis kiemelt fontosságúak. Igaz, hogy „csak” számokkal dolgoznak, de mivel a világban sokminden számszerűsíthető, a számok kezelésére kifejlesztett apparátus már önmagában is széleskörűen alkalmazható. Ráadásul az egyváltozós valós függvények bonyolultabb „rokonaik” számára is alapul szolgálnak, az egyváltozós analízis eredményeire épül a bonyolultabb függvények analízise is. Egyváltozós valós függvény : Egy f függvényt egyváltozós valós függvénynek nevezzük, ha értelmezési tartománya és értékkészlete egyaránt valós számhalmazok (a valós számok halmazának részhalmazai): Df ⊆R, Rf ⊆R Ezek tehát valós számokhoz valós számokat rendelő függvények.

5.1. Függvény megadása Egyváltozós valós függvény valós számokhoz valós számokat rendel. A hozzárendelés a gyakorlatilag fontos esetek túlnyomó részében egy olyan algebrai formula segítségével történik, mely tartalmaz egy ún. független változót (gyakran x-et), és jól definiált algebrai módszerekkel (többnyire) kiértékelhető. Ez a hozzárendelő formula önmagában még nem azonos a függvénnyel, de majdnem: annak

68

5. FEJEZET. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK

69

mindenképpen „lelke” – a gyakorlatban leginkább használt függvényeket bizony nagy részben egymaga meghatározza. Példa : f (x) =

x x2 − 1

Ha kíváncsiak vagyunk, hogy ezen formulával definiált függvény mit rendel pl. 2-höz, akkor ezt az értéket kell behelyettesítenünk: f (2) = 222−1 = 32 , tehát ez a függvény 2-höz 23 -ot rendel. Mit rendel 1-hez ? f (1) = 121−1 = 10 , vagyis nem tudjuk végrehajtani a kiértékelést. Erre az x-re nem értékelhető ki a formula, nem végezhető el a hozzárendelés. Tehát 1 ∈ / Df , de ez nem valamiféle önkényes definíció eredménye, hanem a formula értelmezhetőségének korlátaiból adódó feltétel. Könnyen kideríthető, hogy a formula csak a ±1 értékekre nem értelmezhető, ezért a formula implicite a Df = R \ {−1; +1} értelmezési tartományt indukálja. Egyéb szempontok alapján lehet definiálni a függvény számára a formulából természetes módon adódótól eltérő értelmezési tartományt, de a formula értelmezhetőségével ellentétbe nem kerülhetünk. A fenti példában látott formula mellé pl. „önkényesen” előírhatjuk a Df = = [2; +∞[ értelmezési tartományt, mely láthatóan szűkítése lesz a formula által indukáltnak. Szükség esetén ki is terjeszthetjük a függvény értelmezési tartományát, de akkor a formula által kezelhetetlen helyeken külön definíciót kell készítenünk: { x (|x| = 6 1) x2 −1 f (x) = 0 (|x| = 1) A gyakorlatban sokszor csupán egy algebrai formulát mondunk a függvény meghatározásaként, semmi többet. Ez – mint láttuk – szigorúan ugyan még nem azonos a függvénnyel, viszont ha külön nem definiálunk értelmezési tartományt, akkor úgy szoktuk érteni, hogy az értelmezési tartomány a valós számok lehető legbővebb részhalmaza, amin a formula értelmezhető. Erre a kiegészítésre tekintettel a pusztán formulával adott függvényt is többnyire jól meghatározottnak tekintjük.

5.2. Függvény grafikonja A függvény mint hozzárendelés elvont fogalom. Gondolkodásunk szereti a szemléletes – tehát leginkább szemmel, látással érzékelhető – modelleket. A függvények grafikus szemléltetésére használatos konstrukciót grafikonnak nevezzük. A függvény két halmaz között, egy elemi hozzárendelés pedig két elem – jelen esetben két valós szám között működik; úgy is tekinthetjük, hogy a függvény megfelelően összerendelt értékpárok összessége (halmaza!).1 1 A függvény maga is tekinthető halmaznak – újabb példa a halmaz és függvény fogalmainak összefonódására.


70

y

x

2

5.1. ábra. Az f (x) = (x + 1) − 3 függvény grafikonja. Az (0; −2) pont pl. azért van a függvény grafikonján, mert 0-hoz -2-t rendel. Egyváltozós valós függvény grafikonja általában nem más, mint az összerendelt számpárok összességének mint koordinátapároknak valamely kétparaméteres (síkbeli) koordinátarendszerben való ábrázolása. Az alkalmazott koordinátarendszer többnyire egy kéttengelyű Descartes-rendszer (ha nem hangsúlyozunk ettől eltérőt, általában mindig erre kell gondolni), de elvileg egyéb rendszer is elképzelhető (lásd a „Koordinátarendszerek, ponthalmazok” c. fejezetet). Egyváltozós függvény grafikonja : }Egyváltozós f függvény grafikonján a H= { = (x; y) ∈ R2 | x ∈ Df , y = f (x) ponthalmazt értjük. Vagyis éppen azok az (x; y) koordinátájú pontok tartoznak a függvény grafikonjához, melyekre igaz, hogy az ábrázolt függvény x-hez y-t rendeli. A grafikonnak nevezett ponthalmaz a gyakorlatilag fontos esetekben geometriai értelemben vett görbe, vagy esetleg néhány görbe-szakasz együttese; tollal megrajzolható vonalként gondolunk rá – és ebben nagyrészt igazunk is van. Vegyük viszont észre, hogy a valóságban valamely függvény grafikonjának igazából mindig csak egy részlete rajzolható le, már csak azért is, mert az értelmezési tartomány ill. az értékkészlet gyakran végtelen kiterjedésű, ilyet pedig nyilván nem tudunk egy véges tartományban modellezni. Ugyanakkor a grafikon adott szempontból fontos részlete jól megragadhatja a lényeget, szemléletünk pedig képes a véges ábra mint modell kiterjesztésére – a grafikon így voltaképp a fizikailag lerajzolt részletén túl a fejünkben a láthatatlan részeivel is kiegészülő modelljévé válik az ábrázolt függvénynek. Pl. az f (x) = x2 függvény grafikonját nem tudjuk lerajzolni, legfeljebb egy véges részletét a végtelen kiterjedésű parabolának, de a lerajzolt részletből elgondoljuk a folytatást. Egyenest sem látott


71

y

x

5.2. ábra. Az f (x) = x2x−1 függvény grafikonja. Pontosabban a grafikon lényegi részlete – a teljes grafikon végtelen kiterjedésű objektum lenne. még senki teljes végtelen hosszában, de van róla valamilyen elképzelésünk.2 Nem nehéz példát mondani olyan függvényre, melynek megszokott fogalmaink szerinti grafikonja nem is létezik, lerajzolhatatlan, elképzelni sem könnyű. A függvénytan egyik könnyen definiálható, ám nehezen érthető, szinte mindenre ellenpéldaként hozható legbetegebb függvénye a teljes valós számhalmazon értelmezett Dirichlet-függvény, mely a racionális helyeken 1, irracionális helyeken 0 értéket vesz fel: { 1 (x ∈ Q) D (x) = 0 (x ∈ / Q) Csupán két értéke van, ám hihetetlen módon „ugrál”, mivel bármely kicsiny intervallumon végtelen sok racionális és irracionális szám is van. A grafikon pontjai az y =0 és az y =1 egyenesek mentén csoportosulnak, a grafikon mégsem vonalszerű, mert mindenhol szakad – megrajzolhatatlan! Már-már filozófiai kérdések tárgyalása helyett azonban térjünk vissza a gyakorlatiasabb valósághoz: tárgyunkban függvények grafikonjaként többnyire görbék fognak szerepelni, melyeket szemléletünk (zérus vastagságú) tollal lerajzolható vonalnak tekint. Az ilyen tulajdonságú, akár koordinátarendszerben is ábrázolható, akár egyenlettel is felírható geometriai görbék között a függvénygrafikonok olyan speciális csoportot képviselnek, melyeknek nem tartozhat két különböző pontja ugyanazon x-koordinátához. Descartes-rendszerben ábrázolt függvénygörbe esetén ez azt jelenti, hogy nem lehet „egymás fölött” a görbe 2 Hogy ez mennyire helytálló, az persze mindig kétséges – Bolyai János geometriája alapjaiban rengeti meg világképünket, ha elkezdünk vele foglalkozni.


72

y

x

5.3. ábra. Nem minden görbe függvénygrafikon; a függvény egy adott x-hez nem rendelhet több y értéket. Ennek a görbének pl. x = 0 vagy x = 1 koordinátáknál több pontja is van, nem egyértelmű, hogy közülük melyiket rendelné az adott függvény ezekhez az x-ekhez. két pontja, a görbe nem „hajolhat be” maga alá-fölé, hiszen az azt jelentené, hogy valamely x ∈ Df értékhez több y ∈ Rf hozzárendelt érték tartozna, amit a függvény mint egyértelmű hozzárendelés fogalma alapjaiban tilt. (Egy körnek pl. közismerten létezik analitikus egyenlete, ám egyváltozós függvény grafikonjaként elképzelhetetlen.3 )

5.3. Leszűkítés Mint említettük, a gyakorlatban grafikonnak tekintett véges kiterjedésű ábra valójában csak része a teljes elméleti grafikonnak – igazából a függvény egy leszűkítésének grafikonját látjuk. A grafikon (tehát pl. az itt szereplő ábrák) számítógéppel való elkészítéséhez megfelelő szűkítést kell alkalmazni. Példa : Fentebb láttuk az f (x) = x2x−1 függvény grafikonjának egy [−5; 5] × × [−5; 5] tartományba eső részét. A grafikon több görbeszakaszból áll, melyek ábrázolásához sok-sok x-re kiszámoltuk a függvény értékét, hogy a kapott pontokat ábrázolhassuk. Honnan lehet tudni, hogy mely tartományban kell ezeket az x-eket választani, hogy a függvénynek épp a kívánt tartományba eső szakaszai jelenjenek meg? 3 Természetesen ezt Descartes-rendszerben értjük. Polár-rendszerben r = c akalú konstans függvénnyel könnyen előállítható kör.


73

Gyakorlatilag a függvény – az értelmezési tartomány – megfelelő szűkítését alkalmazzuk. Első lépésben rögtön x ∈ [−5; 5] értékekre szűkítünk. Ez azonban még csak a könnyebbik szakasza a munkának. A nehézséget az x = ±1 helyeken tapasztalható szingularitások jelentik. Nem is elsősorban az, hogy a függvény e helyeken nem értelmezhető, hanem hogy a közelben 0-tól nagyon távoli értékek keletkezhetnek: ha túl közel megyünk az x-ekkel a problémás helyekhez, akkor a megrajzolt vonal „fel és le” kilóg. (Pl. x = 1,01-nél f (x) ≈ 50,25 lenne.) A megrajzolt függvény jellegéből látszik, hogy mind −1, mind +1 körül egy kis „hézagot” kell hagyni. A szűkítést az értékekre való tekintettel kell végezni: x −5 ≤ f (x) = 2 ≤5 x −1 Ez a fenti egyenlőtlenség-rendszer megoldását jelenti x-re. Pl. a jobboldali egyenlőtlenség a következőképp alakul: x x2 − 1

−5 ≤ 0 ⇔

−5x2 + x + 5 ≤0 x2 − 1

Ez másodfokú[ törtes egyenlőtlenség, melynek megoldása a következő: M1 = ] [ √ [ √ 1+ 101 1− 101 ;1 ∪ ; +∞ . Ehhez hasonlóan a másik egyen=]−∞; −1]∪ 10 ] 10 ] [ ] √ √ lőtlenség megoldása: M2 = −∞; −1−10 101 ∪ −1; −1+10 101 ∪ [1; +∞[. A végleges megoldás (a szűkítés értelmezési tartománya) ezek ill. az elején megállapított [−5; 5] intervallum metszete: [ ] [ ] [ ] √ √ √ √ −1 − 101 1 − 101 −1 + 101 1 + 101 Df ∗ = −5; ∪ ; ∪ ;5 10 10 10 10 A görbe megrajzolása tehát három részből áll – a fenti három intervallumon kell x-értékeket venni pl. egy ciklussal és a kiszámolt pontokat összekötni. Az ábra éppen a rendelkezésre álló területet fogja kitölteni.

5.4. Inverz függvény Az előző fejezetben tárgyaltuk, mit értünk függvény megfordításán (inverzén). Lényegében az derült ki, hogy pontosan azok a függvények fordíthatók meg, melyek nem veszik fel egynél többször ugyanazt az értéket – vagyis minden értéket pontosan egyszer vesznek fel. A megfordítás ilyenkor egyszerűen a hozzárendelés irányának a megfordítását jelenti összességében és minden egyes elemi hozzárendelésre is – az értelmezési tartomány és értékkészlet szerepe természetszerűen felcserélődik. Mit jelent mindez egyváltozós valós függvényekre, szemléletesen? A grafikon-szemlélet szerint pontosan azok a függvények invertálhatók, melyek grafikonját tetszőleges, x-tengellyel párhuzamos egyenessel metszve legfeljebb egy metszéspontot kapunk.


74

Pl. az egyenes-grafikonnal rendelkező függvények – a konstans függvények kivételével – mind ilyenek, tehát a nem-konstans lineáris függvények biztosan invertálhatók. Biztosan nem invertálhatók viszont teljes valójukban pl. a másodfokú függvények, vagy a jellegzetesen periodikus trigonometrikus függvények. y

y x x1

x2

2

5.4. ábra. Az f (x) = (x + 1) − 3 függvény grafikonja alapján nyilván nem invertálható, mivel ugyanazt az y-értéket többször is felveszi, ezért megfordítás után ehhez az ismétlődő értékhez többfélét kellene rendelni, ez pedig a függvény egyértelműségével nem fér össze. Invertálható függvények (bijekciók) kölcsönösen egyértelmű kapcsolatot létesítenek x ∈ Df és y ∈ Rf értékek között. Ezt a kapcsolatot általában a hozzárendelési szabályként használt algebrai formula kétváltozós egyenlőség formájában írja le. A két változó közül bármelyikbe konkrét megfelelő értéket helyettesítve a másikra egyenletet kapunk, melynek megoldása szolgáltatja a hozzárendelt elemet. A formula lehetőség szerint explicit (y-ra rendezett) alakban szerepel. Az inverz függvény (explicit) formulájának megalkotása formailag mindössze az eredetileg y-ra rendezett egyenlőség x-re való átrendezését jelenti. Az eredetinek tekintett, x-hez y-t rendelő függvény szempontjából az inverz függvény éppen fordított: y-hoz x rendelését végzi. Az inverz függvény azonban önmagában teljes értékű függvény, csupán egy speciális tulajdonsága az, hogy történetesen valamely másik függvénnyel mi a viszonya. Ezért az átrendezett formulában formális változócserét alkalmazunk, hogy a szokásoknak megfelelően ez a függvény is az önmaga szempontjából „indulási oldalon” x-szel jelölt értékeket fogadhasson. Általánosságban igaz, hogy inverz függvény-párok grafikonjai geometriai értelemben egymás tükörképei az y = x egyenletű egyenesre mint tengelyre vonatkozóan. Ez könnyen érthető az inverz függvény-párok működése nyomán. Ha f


75

valamely x-hez adott y-t rendeli, akkor f ezt épp fordítva csinálja: y-hoz éppen x-et – tehát míg f grafikonján az (x; y), addig f¯ grafikonján épp (y; x) van rajta. Márpedig a koordinátacsere épp az y = x egyenesre való tükrözést jelenti – és persze mindez valamennyi pontra, tehát a grafikonok egészére is igaz. y

x

5.5. ábra. f (x) = 2x + 4 ill. f¯ = 12 x − 2 inverz függvény-párok grafikonjai. Jól látható az inverz grafikon-párokra általában is érvényes tükörszimmetria. Példa : Alkossuk meg az f (x) = 2x + 4 függvény f¯ inverzét! Az említett függvény értelmezési tartománya és értékkészlete is a teljes valós halmaz: Df = Rf = R. A függvény nyilván invertálható, hiszen nincs ismétlődő értéke. Egyetlen érdemi feladatunk az inverz formula megadása: 1 1 y = 2x + 4 ⇔ 2x = y − 4 ⇔ x = y − 2 −→ y = x − 2 2 2 Tehát f¯ (x) = 21 x − 2, Df¯ = Rf¯ = R. Ha egy függvény teljes egészében nem invertálható, akkor is gyakran lehet benne találni olyan részeket (szűkítéseket), amik már kölcsönösen egyértelműek – csupán ki kell zárni az ismétlődő értékek ősképei közül egy kivételével mindet. 2

Példa : Invertáljuk az f (x) = (x + 1) − 3 függvényt. A rövid válasz: ez a függvény nem invertálható, mivel másodfokú lévén valamilyen parabola lesz a grafikonja, ami – bármilyen helyzetű is – okvetlenül érték-ismétlődést jelent. Ugyanakkor le lehet szűkíteni sokféleképp, hogy invertálhatóvá váljon. Pl.


76

y

x

2

5.6. ábra. Az f (x) = (x + 1) − 3 függvény (leszűkítésének) invertálása. bármely szigorúan monoton intervallum megfelel, de trükkösebb megoldások is léteznek. Pl. legyen Df = [−3; −2]∪[−1; 0[. Ez láthatóan két olyan – szigorúan monoton – görbeszakasz, melyek y-vetületei között nincs átfedés, tehát nincs érték-ismétlődés, vagyis biztosan invertálható. Az értékkészlet láthatóan Rf = [−3; 1]. Ez lesz az inverz értelmezési tartománya: Df¯ = Rf . Mi lesz a formula? 2

2

y = (x + 1) − 3 ⇔ (x + 1) = y + 3 Az x-re való átrendezés folyamatában ezen a ponton gondban vagyunk, ugyanis ennek az egyenletnek x-re nem egyértelmű a megoldása √ – éppen ez a probléma a függvény teljes invertálhatóságával: x + 1 = ± y + 3. Tehát két érték közül is választhatunk. Mivel a négyzetgyökös kifejezés értéke biztosan nemnegatív, a szükséges előjelet az dönti el, hogy az egyenlet baloldalán milyen előjelű érték áll. Látjuk, hogy x ≥ −1 esetén pozitív, különben negatív értékről van szó – eszerint kell az előjelet választani: a [−1; 0[ intervallumra eső szakasz inverz formulájához „+”, a [−3; −2] √ intervallumra eső szakaszhoz „-” jeles változattal lépünk tovább: x=± y + 3−1 Mindezeket figyelembe véve (formális változó-csere után) az inverz függvényre a következő, szakaszonként eltérő definíció adódik: { √ √x + 3 − 1 (x ∈ [−3; −2[) f¯ (x) = − x + 3 − 1 (x ∈ [−2; 1])


77

5.5. Kompozíció A kompozícióról mint abszolút függvényképző műveletről már volt szó. Minden, amit ott említettünk, természetesen érvényes az egyváltozós valós függvényekre is, hiszen ezek az általános függvényfogalom speciális esetei, a tágabb értelemben is igaz kijelentések nyilván itt is teljesülnek. Itt most néhány olyan szempontot említünk, amely kimondottan az egyváltozós valós függvények oldaláról tesz hozzá az általános fogalomhoz. Ha valós függvényekből képezünk kompozíciót, akkor az eredményül keletkező függvénynek (mint minden függvénynek) mindenek előtt a hozzárendelő formulájára és az értelmezési tartományára van szükségünk. Az összetett formula képzése érthető okokból mindössze annyiból áll, hogy a külső függvény formulájában x (minden előfordulása) helyére a belső függvény teljes formuláját be kell írnunk. Ez formálisan mindig könnyen végrehajtható, ami nem jelenti azt, hogy valódi kompozíció keletkezett – akár az is megtörténhet, hogy a kapott formula egyetlen valós számra sem értelmezhető. Fontos, hogy a belső függvény értékkészletének és a külső függvény értelmezési tarományának metszete ne legyen üres: legyen olyan értéke a belső függvénynek, melyet a külső függvény „fel tud dolgozni”. A kompozíció „összeillesztésekor” – ahogy azt láttuk az általános tárgyalásnál – a komponensek szűkülnek, ezt figyelembe kell venni. Két függvény természetesen két irányban is összefűzhető (belső-külső függvények szerepe kétféleképp osztható ki). A kompozícióképzés messzemenően nem kommutatív; az összefűzési sorrend nem mindegy, a kétféle módon képzett kompozíció (értelmezési tartományban, formulában, grafikon alakjában stb.) radikálisan eltérő függvényeket eredményezhet. Példa : Tekintsük a következő két függvényt: f (x) = 1 − x2 , ill. g (x) = log2 x. Képezzük ezekből mindkét lehetséges kompozíciót. A f ◦ g kompozíció külső függvénye f – ennek formulájába x helyére be kell írni g teljes formuláját, így kapjuk meg a kompozíció formuláját: 2

(f ◦ g) (x) = 1 − (log2 x) = 1 − log22 x Látható, hogy a formula kiértékelésekor először x logaritmusát kell venni (a belső függvény dolgozik először), majd ennek 1-ből kivont négyzetét vesszük (külső függvény működik másodszor). Kérdés még a függvény értelmezési tartománya. Mivel a kiértékelés során első lépésben a log2 x értéket kell képezni, az első probléma itt léphet fel, az első kikötés emiatt: x > 0. (Ez a belső függvény értelmezési tartománya; ennek része kell legyen a teljes kompozíció értelmezési tartománya is, hiszen amit az elsőként működő belső függvény nem fogad el, arra biztosan nem fog működni a teljes kompozíció sem.) Mivel a külső függvény a teljes valós számhalmazon értelmezhető, bármit elfogad a bemenetén, újabb kikötést nem kell tenni. Tehát Df ◦g = R+ .


78

y

x

y

x

5.7. ábra. A kompozíció értékkészletének megállapítása az 2 (f ◦ g) (x) = 1 − (log2 x) = 1 − log22 x függvény esetén. A belső függvény (y-tengelyen megjelenő) értékkészletét a külső függvény értelmezési tartományára (x-tengely) helyezzük, és leolvassuk a keletkező értékkészletet.


79

Mivel a belső függvény értékkészlete a teljes valós számhalmaz, a kompozíció működése során a külső függvény teljes értékkészlete (]−∞; 1]) előáll – ez lesz a kompozíció értékkészlete. Tehát Rf ◦g = ]−∞; 1] Lássuk a fordított irányt. A g ◦ f kompozíció esetében a g formulájának x értéke helyettesítődik f formulájával: ( ) (g ◦ f ) (x) = log2 1 − x2 Ezúttal a kiértékelés első fázisa (belső függvény alkalmazása) a simább: 1 − x2 bármilyen x-re kiértékelhető. Ezt az értéket viszont a külső függvénnyel még „meg kell etetni”, és mivel az „válogatós”, korlátozást kell tenni: 1−x2 > 0. Ez a korlátozás egy szűkítést fogalmaz meg – közvetlenül a belső függvény értékkészletére. Ennek megoldása: −1 < x < 1. Ez lesz a megfelelően szűkített belső függvény – s így a teljes kompozíció – értelmezési tartománya. Tehát Dg◦f = ]−1; 1[. Így viszont – különösen a szűkített – belső függvény értékkészlete a külső függvény értelmezési tartományának csak egy részét fedi le – a kompozícióban a külső függvény egy szűkítése működik. Bár önmagában a külső log2 x értékkészlete a teljes valós számhalmaz lenne, ez most leszűkül. Rövid vizsgálattal kiderül, hogy a ]−1; 1[ intervallumra szűkített belső 1−x2 függvény értékkészlete ]0; 1]. Erre a halmazra mint értelmezési tartományra szűkítve a log2 x függvény – így a teljes kompozíció – értékészlete a ]−∞; 0] intervallumra szűkül. Az ugyanazon függvényekből előállított kétféle kompozíció látványosan eltér egymástól.

5.6. Alapvető függvény-tulajdonságok Az itt következő tulajdonságok jellegezetesen egyváltozós valós függvényekre jellemzők, mivel kihasználják a számok között definiálható műveleteket és relációkat.

5.6.1. Monotonitás A monotonitás fogalmánál lényegében azt vizsgáljuk, hogy a függvény milyen növekedési tendenciát mutat. Monotonitás : Legyen adott egy f egyváltozós valós függvény, és egy H ⊆ Df halmaz. Ha ∀ (x1 ; x2 ) ∈ H 2 esetén x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) (tehát nagyobb „bemenő” értékhez nagyobb „kimenő” érték tartozik), akkor azt mondjuk, hogy f H-n szigorúan monoton növő.


80

y

x

y

x

5.8. ábra. A kompozíció értékkészletének megállapítása az ( ) (g ◦ f ) (x) = log2 1 − x2 függvény esetén. A belső függvény (y-tengelyen megjelenő) értékkészletét a külső függvény értelmezési tartományára (x-tengely) helyezzük, vesszük azt a részét, ahol a külső függvény értelmezhető (Rf ∩ Dg ), majd leolvassuk a keletkező értékkészletet.


81

y

x

log2 (1 − x2 )

1 − log22 (x)

5.9. ábra. Ugyanazon két függvény kétféle kompozíciója jelentősen eltérhet. Hasonló körülmények mellett x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) esetén (tehát nagyobb „bemenő” értékhez kisebb „kimenő” érték tartozik) szigorú monoton csökkenésről beszélünk. Ha a függvényértékek között egyenlőséget is megengedünk, egyszerűen monoton növekedést ill. csökkenést mondunk (szigorú nélkül) : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ) ill. x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 ). A monotonitás olykor az értelmezési tartomány egyik-másik valódi (gyakran intervallum) részhalmazára teljesül, de lehet a függvény globális tulajdonsága is, ha a teljes értelmezési tartományra érvényes a definíció valamely változata. A szigorú monotonitás nyilván hordozza a „sima” monotonitást, az ellentétes szigorú monotonitások egymást kizárják, de konstans függvények (vagy függvény-szakaszok) egyszerre monoton növők és csökkenők a definíció szerint. A monotonitást leginkább intervallumokra szokás vizsgálni, olykor a függvény egészére állapítjuk meg, vagy gyakran felosztjuk az értelmezési tartományt olyan intervallumokra, melyeken a függvény monoton (monotonitási intervallumok, monotonitásvizsgálat).

5.6.2. Korlátosság Az egyoldali korlátosság szemléletes jelentése az, hogy el lehet helyezni megfelelő „magasságban” vagy „mélységben” olyan, x-tengellyel párhuzamos egyenest, mely „fölé” ill. „alá” a vizsgált halmazon (akár a teljes értelmezési tartományon) soha nem megy a függvény grafikonja. Egyoldali korlátosság : Legyen adott egy f egyváltozós valós függvény, és egy


82

y

f (x1 ) f (x2 ) x x1

x2

5.10. ábra. A monotonitás alapgondolata. Szigorú monoton csökkenés esetén a függvény egyre nagyobb „bemenő” értékekhez egyre kisebb „kimenő” értékeket rendel. H ⊆ Df halmaz. Ha ∃Kf ∈ R érték, melyre ∀x ∈ H esetén f (x) ≤ Kf , akkor azt mondjuk, hogy f H-n felülről korlátos. Hasonló körülmények mellett, ha ∃Ka ∈ R, melyre ∀x ∈ H esetén f (x) ≥ ≥ Ka , akkor alulról korlátosságról beszélünk. (Valójában tehát az értékkészlet korlátjairól van szó.) Ha egy függvény teljes értelmezési tartományán felülről vagy alulról korlátos, akkor magát a függvényt felülről vagy alulról korlátosnak mondjuk. Ha létezik felső korlát – ami „fölé” nem megy a függvény –, akkor nyilván végtelen sok létezik, hiszen a megtaláltnál bármely nagyobb érték is megfelelő a célra. Gyakorlati szempontból sokszor az a valódi kérdés, hogy ezek közül melyik a legkisebb, vagyis melyik szorítja meg legjobban a függvényt: ez a legkisebb felső korlát. Hasonló módon alulról korlátosság esetén végtelen sok alsó korlát létezik, közülük kiemelésre érdemes a legnagyobb alsó korlát. Korlátosság : Az egyetlen szóval kifejezett korlátosság mindkét oldali korlátosságot jelenti: akkor nevezzük a függvényt egy adott halmazon (esetleg teljes értelmezési tartományán) korlátosnak, ha alulról és felülről is korlátos. A (kétoldali) korlátosság szemléletes jelentése az, hogy létezik egy olyan, xtengellyel párhuzamos egyenesekkel határolt sáv, melyből a függvény grafikonja a vizsgált halmazon (esetleg a teljes értelmezési tartományon) nem lép ki.


83

y Kf 2 Kf 1

x

Ka 5.11. ábra. Függvény és korlátai.

5.6.3. Paritás A paritás egy szimmetria-tulajdonság: a függvény grafikonjának bizonyos geometriai szimmetriáira épül. Az y-tengelyre geometriai értelemben tengelyesen szimmetrikus grafikonnal rendelkező függvényt párosnak, az origóra mint centrumra geometriai értelemben középpontosan szimmetrikus grafikonnal rendelkező függvényt páratlannak nevezzük.4 A szemléletes tartalom alapján könnyen érthető a paritás tulajdonságának absztrakt meghatározása is. Páros függvény : Ha ∀x ∈ Df esetén f (−x) = f (x), akkor az f függvényt párosnak nevezzük. (Szemléletesen: az origóra szimmetrikus x értékekre a függvényértékek megegyeznek.) Páratlan függvény : Ha ∀x ∈Df esetén f (−x) = −f (x), akkor az f függvényt páratlannak nevezzük. (Szemléletesen: az origóra szimmetrikus x értékekre a függvényértékek egymás ellentettjei.) A definiáló egyenlőségek akár azonosságokként is használhatók; páros függvény argumentumában az előjel kicserélhető az érték megváltozása nélkül, páratlan függvény argumentumából pedig a negatív előjel „kihozható” ill. fordítva: „bevihető”. A páros függvények jellegükből adódóan nyilván nem invertálhatók. 4 Az elnevezés hátterében az áll, hogy a páros ill. páratlan kitevőjű hatványfüggvények tipikusan ezekkel a szimmetriákkal rendelkeznek. Ez nem jelenti azt, hogy maga a fogalom csak ezekre a típusokra lenne értelmezhető.


84

y

−x

x

x

f (−x) = f (x)

5.12. ábra. Páros függvény, jellegzetes, y-tengelyre való szimmetriával. Fontos megjegyezni, hogy a paritás fogalma nem egyszerűen annyit jelent, hogy a függvénygrafikon geometriai értelemben tengelyesen vagy középpontosan szimmetrikus, hanem hogy kimondottan az y-tengelyre vagy az origóra. Tehát pl. egy másodfokú függvény grafikonja mindig egy nyilván tengelyesen szimmetrikus parabola, ám ha a szimmetriatengely nem esik egybe az y-tengellyel, akkor már nincs paritása. Paritással rendelkező függvények a definíció értelmében természetszerűen 0ra szimmetrikus értelmezési tartománnyal rendelkeznek, páratlan függvényeknek pedig az értékkészlete is 0-ra szimmetrikus halmaz. Vegyük észre, hogy mindkét lehetséges paritás egy-egy erős szimmetriatulajdonság. Általános esetben egy függvény gyakran egyiket sem teljesíti – ilyenkor azt mondjuk, hogy a függvénynek nincs paritása. Az alapfüggvények közül tipikusan páros függvények a páros (akár negatív) kitevőjű hatványfüggvények és a koszinuszfüggvény. Tipikusan páratlanok a páratlan kitevőjű hatványfüggvények, a szinusz, tangens és kotangens függvények. Jellemzően paritás nélküliek (egyik paritási szimmetriával sem rendelkeznek) az exponenciális és logaritmusfüggvények. A paritás olykor bonyolultnak tűnő formulák esetén is viszonylag egyszerűen kimutatható formális úton – a függvény ábrázolása nélkül. Az így kideríthető, szimmetriára vonatkozó információ éppen a függvény vizsgálatához, a grafikon megrajzolásához is segítséget nyújthat. Példa : Vizsgáljuk meg az f (x) = x2x−1 függvény paritását. A függvény értelmezési tartománya ±1-nél „lyukas”, így Df ugyan nem


85

y

f (x) =

−x

x x

f (−x) = −f (x)

5.13. ábra. Páratlan függvény, jellegzetes, origóra való szimmetriával. a teljes számegyenes, ám szimmetrikus, tehát van esélye a paritásnak. Mindkét paritás formálisan az általános f (−x) értéknek az f (x) értékhez való viszonyát vizsgálja: páros esetben ezek egyenlők, páratlan esetben egymás ellentettjei. A formális vizsgálat mindig f (−x)felírásával indul: f (−x) =

−x 2

(−x) − 1

=

−x x =− 2 = −f (x) x2 − 1 x −1

Mivel tehát kiderült, hogy az általános −x-hez rendelt érték az x-hez rendelt ellentettje (f (−x) = −f (x)), a függvényünk páratlan. Példa : Vizsgáljuk meg az f (x) = x sin x függvény paritását. Az értelmezési tartomány R. Induljunk ismét az f (−x) értékből: f (−x) = (−x) sin (−x) = (−x) (− sin x) = x sin x = f (x) A levezetés során felhasználtuk, hogy a szinusz páratlan, ezért sin (−x) = = − sin x. Végeredményben az derült ki, hogy a vizsgált függvény páros. Példa : Vizsgáljuk meg az f (x) = cos x · ex függvény paritását. f (−x) = cos (−x) · e−x = cos x ·

1 cos x = x ex e

Ez az alak jól összevethető az eredeti formulával (f (x) értékével), és látható, hogy általában nem egyenlő azzal, és nem is csak előjelben különbözik. Ez a függvény így sem nem páros, sem nem páratlan: nincs paritása.


86

5.6.3.1. Paritás és műveletek Ismert paritású függvényekből alapműveletekkel ill. kompozícióval képzett függvények paritása a komponensek paritásából az esetek egy részében általános érvényű szabályokkal megállapítható. Tétel : Azonos paritású függvények összege és különbsége a komponensekkel egyező paritású. Példaként igazoljuk az állítást két páratlan függvény összegére. Két páratlan függvény összegzése esetén: (f + g) (−x)=f (−x)+g (−x)=−f (x)+(−g (x))=− (f (x) + g (x))=− (f + g) (x) Vagyis páratlan függvények összege valóban páratlan. A többi esetre is hasonlóképp végezhető a bizonyítás. Tétel : Különböző paritású függvények összege és különbsége paritás nélküli. Például legyen f páros, g páratlan függvény: (f + g) (−x) = f (−x) + g (−x) = f (x) + (−g (x)) = f (x) − g (x) Ez nyilván az (f + g) (x) = f (x) + g (x) értékkel, és annak ellentettjével sem azonosan egyenlő. Tétel : Azonos paritású függvények szorzata és hányadosa páros, különböző paritásúaké páratlan. Például igazoljuk az állítást páratlan f és páros g függvény hányadosára: ( ) ( ) f f (−x) −f (x) f (x) f (−x) = = =− =− (x) g g (−x) g (x) g (x) g Vagyis a hányados páratlan. Nézzük ugyanezt páratlanok hányadosára: ( ) ( ) f f (−x) −f (x) f (x) f (−x) = = = = (x) g g (−x) −g (x) g (x) g Most az eredmény páros. Vegyük észre, hogy a formális levezetések során a páros függvények argumentumából az előjel egyszerűen „eltűnik”, míg páratlanokból „kiemelődik”. A kiemelt előjelekből a szorzás ill. osztás előjel-szabálya szerint pontosan akkor lesz pozitív, ha mindkét összetevőből kiemeltünk egy-egy negatív előjelet (két páratlan függvény szerepelt), vagy éppen egyet sem emeltünk ki (két páros függvény szerepelt). Tétel : Paritással rendelkező függvények kompozíciója pontosan akkor páratlan, ha a kompozíció mindkét komponense páratlan, egyéb esetekben mindig páros. Két páratlan függvény kompozíciójának formális paritásvizsgálata: (f ◦ g) (−x) = f (g (−x)) = f (−g (x)) = −f (g (x)) = − (f ◦ g) (x)


87

Vegyük észre, hogy a levezetés során a negatív előjel az összetétel mindkét szintjén átemelődött a páratlanság miatt. Ha az összetevők közül bármelyik páros, akkor a negatív előjelet „lenyeli” – végleg elveszik és a kompozíció párossá válik. Tétel : Paritás nélküli és paritásos függvények szorzata és hányadosa paritás nélküli. Mivel a paritással rendelkező függvények zártak a szorzás és osztás műveleteire, indirekt módon az állítás azonnal adódik. Pl. vegyünk egy f paritással rendelkező függvényt és egy g paritás nélkülit. Ha a h = f g függvénynek lenne paritása, akkor a g = hf függvénynek is kellene a korábbi tétel miatt, ami ellentmondás. Ezen túl általánosságban nem lehet mondani szabályszerűségeket arra, hogy milyen paritású függvény keletkezik paritás nélküliek felhasználásával – akár egymás között, akár paritásossal „keresztezve” őket: eredményként olykor paritással rendelkező, olykor paritás nélküli függvény keletkezik. cos x Példa : Vizsgáljuk meg az f (x) = sin 2 x függvény paritását. A nevezőt kétféle szemlélettel is tekinthetjük. Ha sin x·sin x szorzatként tekintjük, akkor az ide vonatkozó műveleti szabály szerint páratlan függvények szorzatából páros keletkezik, páros számlálóból és páros nevezőből képzett hányados pedig páros, tehát a vizsgált függvény páros. 2 Ha a sin2 x = (sin x) függvényt f (x) = x2 külső és g (x) = sin x belső függvények kompozíciójaként értelmezzük, akkor a paritás ide vonatkozó műveleti szabálya szerint az összetétel páros (hiszen nem két páratlan komponensből keletkezett). A nevezőről most más úton derült ki, hogy páros, természetesen a végeredmény is ugyanaz.

Példa : Vizsgáljuk meg az f (x) = 2x + 2−x függvény paritását. Paritással nem rendelkező függvények összegéről van szó, erre általános műveleti szabályok nem mondanak semmi biztosat. Egyedi formális vizsgálatot végrehajtva: f (−x) = 2−x + 2−(−x) = 2−x + 2x = f (x) Vagyis egész egyszerűen kiderül, hogy a függvény páros szimmetriával rendelkezik, miközben két, nyilván paritás nélküli tag összegéből állt elő.

5.6.4. Periodicitás A periodicitás – periodikus ismétlődés – a természet bizonyos jelenségeinek lényeges sajátossága. Legkönnyebben felismerhető formái – így tudatunkban ősképei a járás, a napszakok, évszakok váltakozása, a körmozgások, rezgések. A függvénytanban periodikus függvényeknek azokat tekintjük, melyeknek van egy ismétlődő szakaszuk – ez éppen a trigonometrikus függvények csoportjának jellegzetessége. Mint tudjuk, a trigonometrikus függvények gyökere a körmozgás.


88

y p

p

f (x) = f (x + p)

x x

x+p

5.14. ábra. Periodikus függvény. A periódus hossza meghatározott, de az ismétlődő görbeszakasz ebben a hosszban sokféleképp kiválasztható. Periodikus függvény : Adott egy f függvény. Ha ∃p ∈ R+ szám, hogy ∀x ∈ ∈ Df esetén f (x + p) = f (x), akkor a függvényt p szerint periodikusnak mondjuk. Egy p szerint periodikus függvény nyilván p többszörösei szerint is periodikus. A függvény periódusán általában a legkisebb megfelelő tulajdonságú p számot értjük. A definíció szemléletesen azt mondja, hogy egy periodikus függvény bizonyos távolságra lévő x-ekhez azonos értékeket rendel – vagyis van ismétlődő szakasza. A definíció implicite magában hordozza az értelmezési tartomány periodikusságát is: ∀x ∈ Df esetén x + p ∈ Df . Az alapfüggvények közül a trigonometrikus függvények periodikusak és leginkább ezeket lehet felhasználni újabb periodikus függvények „gyártásához”. A szinusz és koszinusz függvények periódusa 2π, a tangens és kotangens függvények periódusa π.

5.7. Gyakorló feladatok I. Tekintsük az alábbi formulákkal adott függvényeket. Állapítsuk meg értelmezési tartományukat (a valós számok lehető legbővebb részhalmazát, melyen a formula értelmezhető). Állapítsuk meg az értékkészletet is. Szűkítsük le az értelmezési tartományt az adott H1 halmazra, és vizsgáljuk meg, mi a leszűkített függvény értékkészlete. Végül határozzuk meg az értelmezési tartománynak (egy) olyan szűkítését, mely által az értékkészlet


89

a megadott H2 halmazra szűkül. f (x) = 37 x + 4 ; H1 = [−2; 3]; H2 = ]1; 2[ 3 f (x) = (x + 1) − 2 ; H1 = [−2; 3]; H2 = ]1; 2[ f (x) = −x2 + 4x − 7; H1 = [−1; 0] ∪ ]1; 2[; H2 = ]−7; −4] f (x) = x12 ; H1 = [−1; ] 3] \ {0} [ ; H2 = [2; 3[ f (x) = x21−4 ; H1 = − 21 ; 2 ; H2 = [−2; −1] II. Tekintsük az alábbi formulákkal adott függvényeket. Állapítsuk meg, melyikük kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés (bijekció). Bijekció esetén alkossuk meg az inverz függvényt (formula, értelmezési tartomány, értékkészlet). Ha nem kölcsönösen egyértelmű az eredeti függvény, akkor keressünk alkalmas szűkítést, mely már bijekció, és azt invertáljuk. Ábrázoljuk a függvényt és inverzét közös koordinátarendszerben! f (x) = − 54 x + 4 f (x) = x3 + 1 f (x) = 2x−2 − 4 f (x) = − log3 (x + 1) − 3 f (x) = −x2 + 4x − 7 f (x) = x21−4 III. A megfelelő grafikonok segítségével oldjuk meg a következő egyenleteket, egyenlőtlenségeket. (x − 1) (x − 3) < 3 2−x < 4 1 < log3 x < 2 − π4 ≤ arctan x ≤ π4 π π 2 ≤ arccos x ≤ 3 IV. Tekintsük a megadott függvényeket és képezzük belőlük a kívánt kompozíciókat! Mindig állapítsuk meg az egyes komponensek értelmezési tartományát, értékkészletét ill. ugyanezt a kompozíciókra is. f1 (x) = cos x; f2 (x) = x1 ; f3 (x) = x2 ; f4 (x) = tan x; f5 (x) = 2x ; f6 (x) = = sin x + 1; f7 (x) = log3 x f1 ◦ f5 ; f5 ◦ f6 ; f2 ◦ f3 ; f3 ◦ f2 ; f2 ◦ f5 ; f7 ◦ f4 V. Vizsgáljuk meg a következő függvények paritását. 2 f (x) = x2x+1 ; f (x) = x2 −2x+2; f (x) = −2 cos x+1 ; f (x) = 2 sin x cos x; x f (x) = x3 sin 2x; f (x) = e−x · sin x; f (x) = 33x −1 +1

6. fejezet

Alapfüggvények Az egyváltozós valós függvények családja igen gazdag és sokszínű. A gyakorlatban (mérnöki, műszaki tudományokban) használatos legváltozatosabb függvények zöméről azonban kiderül, hogy végsősoron alig néhány alapvető típusból és képzési módból felépíthetők. Ez azért fontos, mert a függvénytan egészére igaz, hogy ha az alapvető típusokra és képzési módokra törvényszerűségeket találunk, akkor a függvények teljes, ezekkel származtatható arzenálját kézben tarthatjuk. A következőkben áttekintjük az alapvető típusokat. Nem okvetlenül a logikai értelemben legalapvetőbbekre gondolunk, hanem a gyakorlati alkalmazás szempontjából jelentősebbekre, megfelelően csoportosítva.

6.1. Konstans függvények A konstans függvények a legegyszerűbb függvények: minden bemeneti értékhez ugyanazt a valós kimeneti konstanst rendelik: f (x) = c. Az értelmezési tartomány a teljes valós számhalmaz, az értékkészlet egyetlen elemből áll: Df = R ; Rf = {c}. Ez az önmagában érdektelennek tűnő típus elméleti szempontból fontos, mivel logikai értelemben további függvények képzésének egyik bázisa.

6.2. Identitásfüggvény Az identitásfüggvény minden elemhez saját magát rendeli: f (x)=x. Értelmezési tartománya és értékkészlete egyaránt a valós számhalmaz: Df = R ; Rf = R. Az identitásfüggvény fontos elméleti alapeset további függvények képzéséhez.

6.3. Hatványfüggvények Hatványfüggvények alatt a különféle kitevőjű hatványozásokkal előállítható függvényeket értjük, általános alakjuk: f (x) = xα 90

6. FEJEZET. ALAPFÜGGVÉNYEK

91

y

f (x) = 2

x

6.1. ábra. Konstans függvény grafikonja.

y f (x) = x

x

6.2. ábra. Az identitásfüggvény grafikonja.


92

A hatványozás műveletét először természetes módon pozitív egész kitevőkre értelmezzük, majd zérus és negatív egész kitevőkre, végül racionális sőt irracionális kitevőkre is kiterjesztjük. Ennek során a hatvány alapja kezdetben tetszőleges valós szám lehet, majd a nulla ill. a negatív számok kizáródnak.

6.3.1. Pozitív egész kitevőjű hatványfüggvények f10

y

f4 f2

x

6.3. ábra. Páros kitevőjű hatványfüggvények grafikonjai: f2 (x) = x2 ; f4 (x) = x4 ; f10 (x) = x10 n∈N+ mellett f (x)=xn esetben pozitív egész kitevőjű hatványfüggvényekről beszélünk. Ezek a teljes valós számhalmazon értelmezhetők: Df = R. Az n kitevő paritásától függően két jellegzetes altípus létezik. Páros kitevő esetén y-tengelyre szimmetrikus, jellemzően „U” alakú grafikonnal rendelkező, 1 kizárólag nemnegatív értékeket felvevő függvényhez jutunk (Rf = R+ 0 ). Páratlan kitevő esetén az origóra szimmetrikus grafikont kapunk, az „U” alak negatív x-tartományba eső szárának x-tengelyre való tükrözésével – megfelelően annak, hogy negatív szám páratlan kitevőjű hatványának értéke is negatív.2 (Rf = R) A csoport legismertebb képviselői közé tartoznak az f (x) = x2 ill. f (x) = x3 1 Gyakori tévedés, hogy ezeket a grafikonokat összefoglalóan parabolának nevezik. A parabola egy speciális geometriai tulajdonságokkal rendelkező ún. másodrendű görbe, mely tulajdonságokat kizárólag a másodfokú hatványfüggvény grafikonja teljesíti – csak ezt nevezhetjük parabolának, a többire csak azt mondhatjuk, hogy „U” alakúak. 2 Ezekből a jellegzetes, a kitevő paritásától függő szimmetria-tulajdonságokból születik a paritás nevű általános függvény-tulajdonság.


93

függvények.3 Kiemelt gyakorlati jelentőségükre utal a csoporton belüli egyedi elnevezésük: „négyzet” ill. „köb” – ezek a hatványok (hatványfüggvények) eredendően adott oldalú négyzet területének ill. kocka térfogatának kiszámítására születtek. A többi pozitív páros ill. páratlan kitevőjű hatványfüggvény jellegében ezek egyikére vagy másikára hasonlít.

6.3.2. Zérus kitevőjű hatványfüggvény A nulla kivételével bármely szám nulladik hatványa 1. Ez a definíció-szerű kijelentés valójában egy logikus következmény: ha egy szám hatványkitevőjének 1-gyel való növelése az alappal való szorzást jelent, akkor a csökkentés osztást kell hogy jelentsen, és mivel az első hatvány alatt nyilván magát az alapot kell értenünk, a zérus kitevő az alap önmagával való osztása révén 1 kell legyen. Ez a gondolatmenet a valós számok közül egyedül a zérus alapra nem működik, hiszen az alappal való osztás ekkor nullával való osztást jelentene. Mindezek nyomán: f (x)=x0 majdnem megegyezik a konstans 1 függvénnyel, viszont értelmezési tartományában nincs zérus – ennyiben annak szűkítése (Df =R\ \ {0}).

6.3.3. Negatív egész kitevőjű hatványfüggvények Számok negatív kitevőjű hatványai formailag a kitevő lépésenkénti csökkentésével – tartalmilag az alappal való ismételt osztásokkal keletkeznek. Ezért ezek értelmezési tartománya is Df = R \ {0}. A pozitív kitevőjű megfelelőknél látottakhoz hasonlóan – a kitevő paritásától függően – itt is két jellegezetes altípus mutatkozik. Ezek jellegzetes képviselői az f (x) = x1 ill. f (x) = x12 függvények. A páros kitevőjűek értékkészlete Rf = R+ , a páratlanoké Rf = R \ {0}.

6.3.4. Gyökfüggvények

√ Gyökfüggvények alatt az f (x) = n x alakú függvényeket értjük (n ∈ N+ √). A gyökvonás műveletének lényegét tekintve könnyen kimutatható, hogy n x = 1 = x n . (Ugyanis az egylőség bármelyik oldalának n-edik hatványa éppen x.) A gyökvonás tehát megfelelő hatványozásként is értelmezhető. Ezért sorolhatók a gyökfüggvények is a hatványfüggvények közé, ill. éppen ezek segítségével válnak értelmezhetővé a tört alakú – racionális – hatványkitevők. n paritásától függően ezúttal is két jellegzetes altípus különül el. Páros kitevőjű gyökvonás csak nemnegatív számból elképzelhető – megfelelően annak, hogy páros kitevőjű hatvány csak nemnegatív értékeket vehet fel. Definíció szerint a páros kitevőjű gyökfüggvény értéke is csak nemnegatív lehet (az egyértelműség kedvéért). Ezért tehát ilyen esetekben Df = Rf = R+ 0. 3 Az identitásfüggvény maga is beletartozik a páratlan kitevőjű hatványfüggvények csoportjába, sőt ezzel „kezdődnek”, mégsem ezt szoktuk a csoport jellegzetes képviselőjeként említeni, mivel túl speciális. Az f (x) = x3 függvény jobban mutatja a csoport jellegzetességeit.


94

f5 f3

y f11

x

6.4. ábra. Páratlan kitevőjű hatványfüggvények grafikonjai: f3 (x) = x3 ; f5 (x) = x5 ; f11 (x) = x11

y

x

6.5. ábra. Negatív páratlan kitevőjű hatványfüggvények: f1 (x) = f3 (x) = x13 ; f5 (x) = x15

1 x

;


95

y

x

6.6. ábra. Negatív páros kitevőjű hatványfüggvények: f2 (x) = f6 (x) = x16

1 x2

; f4 (x) =

y

x

6.7. ábra. Páros kitevőjű gyökfüggvények grafikonjai: f2 (x) = √ √ f4 (x) = 4 x; f6 (x) = 6 x

√

x;

1 x4

;


96

Páratlan kitevőjű gyöke tetszőleges valós számnak értelmezhető, az értékkészlet is a teljes valós számhalmaz lehet: Df = Rf = R. A páratlan kitevőjű gyökfüggvények a megfelelő hatványfüggvények inverzei, a páros kitevőjű gyökfüggvények a megfelelő hatványfüggvények nemnegatív xértékekhez tartozó „felének” („U” jobb szára) inverzei.

6.3.5. Racionális kitevőjű hatványfüggvények

√ n Egy tört alakú kitevő formálisan a következőképp értelmezhető: x k = k xn (nyilván mindkét oldal k-adik hatványa xn ).√Negatív alap esetén azonban könnyen √ 6 3 6 ellentmondásra juthatunk: pl. (−4) 4 = 4 (−4) = 4 4096 = 8, viszont (−4) 2 = √ 3 √ = (−4) = −64 nem is értelmezhető, pedig a kitevőben mindkét formális tört ugyanazt a számot takarja. Mindezek miatt egy általános racionális kitevő csak pozitív alapokra értelmezhető. Ezekre a függvényekre Df = Rf = R+ .

6.4. Exponenciális függvények Az exponenciális függvények f (x) = ax (a > 0, a 6= 1) alakúak. A hatványfüggvényekhez hasonlóan a formula itt is egy hatványozás, azonban fontos különbség, hogy míg ott az x független változó az alapban „fut”, addig itt a kitevőben.4 Mivel itt a kitevőt a lehető legtágabb értelemben (az összes valós számra) szeretnénk értelmezni, a fentebb is látottak szerint csak pozitív hatványalapot engedélyezhetünk, ezért szükséges az a > 0 feltétel. A lehetséges alapok közül az 1-et azért szoktuk kizárni, mert annak bármely hatványa 1, így konstans függvvényt megvalósító speciális esetként gyakran „kilóg” az exponenciális függvények összességére tett megállapítások közül (pl. nem szigorúan monoton, ahogy egyébként bármely másik exponenciális függvény). Exponenciális függvény végtelen sok van (végtelen sokféle alappal), de a teljes csoport legfontosabb jellemzője az értékarányos változás. Ez lehet növekedés vagy csökkenés, de ennek üteme mindenhol a pillanatnyi függvényértékkel arányos. Az exponenciális jellegű – mennyiséggel arányos – változások teljesen hétköznapiak. Egy élőlény-populáció ideális (korlátozások nélküli) körülmények közötti létszámának alakulása ilyen tulajdonságú (nagyobb populációnak nagyobb a szaporulata), eszerint szaporodik a kamatos kamattal a bankban a pénz (több pénz többet kamatozik), eszerint fogy a radioaktív anyag bomláskor (több anyagból több bomlik el), sőt még a sör habja is így csökken. Az exponenciális függvények speciális szűkítései éppen mértani sorozatok. Példa : Ha egységnyi pénzösszeget teszünk be a bankba 10%-os éves kamatra, mennyi a féléves, havi, heti ill. a napi kamat? A 10% éves kamat azt jelenti, hogy egy év alatt a betett pénz névértéke 4 Az

exponens kitevőt jelent ; a függvénytípus neve is innen származik.


97

110%-ra, 1,1-szeresre nő: q1 = 1,1. Ha a pénzt éveken át bent hagyjuk, és évente megvizsgáljuk az összeget, nem egyenletes, hanem gyorsuló növekedést látunk, hiszen a kamattal növelt összeg kamatozik – egyre több pénznek pedig a kamata is egyre több. Az éves lépésekben megfigyelt összegek mértani sorozatot alkotnak, q1 = 1,1 hányadossal. Mennyi a gyarapodás fél év alatt? A kérdés megválaszolásához értelmeznünk kellene a leíró függvényt a rendes évenkénti eredmények köztes pontjaiban is. Félévenként jóváírt kamat esetén félévkor az eredeti összeg egy bizonyos aránnyal (q2 ) növekszik, vagyis az eredeti a0 betett összeghez képest a0 q2 lesz. Újabb fél év után (év végén) már a félévi, kamattal növelt összeg növekszik ugyanilyen arányban – év végén az összeg a0 q22 . Ez akkor lesz egyenlő az éves jóváírás szerint adódó a0 q1 értékkel, ha q22 = q1 , vagyis √ q2 = q1 ≈ 1,0488, vagyis a féléves kamat kb. 4,88% – tehát kevesebb az éves kamat felénél! (Mivel a növekedés nem egyenletes, hanem gyorsuló, az időarányosnál kevesebb kamat is elég, mert gyorsuló növekedés mellett a maradék idő „behozza” a késést.) Hasonló √gondolatmenettel belátható, hogy a havi, heti √ √ ill. napi kamatok rendre 12 1,1 − 1 ≈ 0,7974% ; 52 1,1 − 1 ≈ 0,1835%; 365 1,1 − 1 ≈ 0,0261%. Mint látjuk, egy adott exponenciális növekedés megfelelő mértani sorozatokkal tetszőleges finomsággal lekövethető. A folyamatot folytonosan az exponenciális függvény képes leírni. Az összes exponenciális függvény fontos közös tulajdonsága, hogy a0 = 1, vagyis az összes grafikon az y-tengelyt 1-nél metszi. Mindre igaz, hogy Df = R, ill. Rf = R+ . Két jellegzetes altípus különíthető el: a 0 < a < 1 alapúak folyamatos csökkenést, az a > 1 alapúak folyamatos növekedést mutatnak. Az összes exponenciális függvény grafikonja egy rá jellemző meredekséggel halad át a nevezetes közös ponton: a nagyobb alapúak nagyobb, a kisebb alapúak kisebb meredekséggel (a növekvők pozitívval, a csökkenők negatívval).

6.4.1. Az e szám Rendkívül érdekes és fontos kérdés, hogy az exponenciális függvények közül melyik – milyen alapú – az, amely éppen 1-es meredekséggel (45 fokban) metszi az y-tengelyt. Minden exponenciális függvény végig értékarányos változást mutat, vagyis a függvény változási sebessége mindenhol arányos a függvény pillanatnyi értékével. Ha megtalálnánk azt az exponenciális függvényt, mely az y-tengelyt éppen 1es meredekséggel metszi, akkor – mivel ennél az átmetszési pontnál maga a függvényérték is 1 – azt a függvényt találjuk meg, melynek változási sebessége („meredeksége”)5 mindenhol nemhogy arányos a függvényértékkel, de egyenlő vele! 5 A „változási sebesség” és a „meredekség” voltaképpen az ún. differenciálhányados fogalmát takarja, a vázolt probléma pedig a differenciálszámítás egyik alapkérdése.


98

y

x

6.8. ábra. Páros kitevőjű gyökfüggvények grafikonjai: f3 (x) = √ √ f5 (x) = 5 x; f7 (x) = 7 x

y

x

6.9. ábra. Exponenciális függvények.

√ 3

x;


99

Gyakorlatilag azt kérdezzük, hogy az egységnyi sebességgel induló értékarányos növekedés hova jut el időegység alatt? Ez a kérdés vezet el a matematika egyik legnevezetesebb konstansához. Az e szám : A matematika egyik legnevezetesebb konstansa az az e-vel jelölt szám, mely éppen annak az exponenciális függvénynek az alapszáma, melynek grafikonja az y-tengelyt 1-es meredekséggel metszi. e egy irracionális szám, melynek közelítő értéke e≈2,718281828... (A „1828” szakasz kétszeri ismétlődése véletlen, nem szakaszos tizedes törtről van szó, a továbbiakban ez a szakasz nem ismétlődik.) y

x

6.10. ábra. Az f (x) = ex függvény grafikonja. Az e-alapú exponenciális függvény az analízis egyik legnevezetesebb függvénye. Az f (x) = ex függvény meredeksége mindenhol egyenlő az értékével. Érdekes, hogy ehhez a szép tulajdonsághoz egy ilyen „csúnya” irracionális számra van szükség – persze egy mélyebb szinten éppen ez a szépség. A felvetődött fogalmakat részletesebben a differenciálszámítás tárgyalja.

6.5. Logaritmus függvények A logaritmus függvények f (x) = loga x (a > 0, a 6= 1) alakúak. Adott a alapú logaritmus minden x-hez mint hatványértékhez azt a kitevőt rendeli, melyre az alapot emelni kell ahhoz, hogy x-et kapjunk. A logaritmus azt méri, hogy a megfelelő exponenciális függvény milyen kitevő mellett ér el egy kívánt értéket. Mindezek nyomán a logaritmus függvény a megfelelő exponenciális függvény inverze. Az összes logaritmus függvény fontos közös tulajdonsága, hogy loga 1 =


100

y

x

6.11. ábra. Exponenciális és logaritmus függvény inverz-párok: f1 = 2x ; f2 = log2 x

y

x

6.12. ábra. Logaritmus függvények.


101

= 0, vagyis az összes grafikon az x-tengelyt 1-nél metszi. Mindre igaz, hogy Df = R+ , ill. Rf = R. Az exponenciális függvényekhez hasonlóan két jellegzetes altípus különíthető el: a 0 < a < 1 alapúak folyamatos csökkenést, az a > 1 alapúak folyamatos növekedést mutatnak. Az exponenciális függvényekhez hasonlóan az összes logaritmus függvény grafikonja egy rá jellemző meredekséggel halad át a nevezetes közös ponton. y

x

6.13. ábra. Az f (x) = ln x függvény grafikonja. Ahogy az exponenciális függvények között kiemelt szerepű az e alapú, úgy a logaritmus függvények között is – még külön jelölést is kap: ln x = loge x. „ln” „logaritmus naturalis”-t, természetes alapú logaritmust jelent. A nevezetes közös ponton az x-tengely 1 értékénél éppen ez halad át egységnyi meredekséggel.

6.6. Trigonometrikus függvények A trigonometria neve szerint a háromszögek tudománya. A benne tárgyalt összefüggések egy része szögek és távolságértékek (arányok) között teremt kapcsolatot – ún. szögfüggvény. Ezek definíciója és gyakorlati alkalmazása is jórészt a geometriához kötődik, ám függvénytani értelemben is figyelemreméltóak – az analízis külön csoportként tárgyalja őket. Sokféle trigonometrikus függvényt ismerünk, ám ezek jórészt egymásból is származtathatók. Logikai értelemben létezik köztük olyan alapvető, melyből a szokásos függvénytranszformációkkal a többiek felépíthetők. Leginkább a szinuszt szoktuk ilyen származtatási alapnak tekinteni. A sokféle származtatható-


102

ból gyakorlati szempontból fontosként a szinusz mellett a koszinusz, tangens és kotangens függvényeket szoktuk említeni. A trigonometrikus függvényekkel születik meg a periodicitás (szakaszos ismétlődés) jellegzetessége.

6.6.1. Szinusz és koszinusz függvény6 y

sinϕ

1

ϕ x

cosϕ

6.14. ábra. A sin x és cos x függvények származtatása. A szinusz és koszinusz függvények az adott (radiánban mért!) irányszögű egységvektor (Descartes-rendszerbeli) vetületeiként születnek. Az értékek [−1; 1]beli periodikus változása természetes következmény. (Df =R, Rf =[−1; 1]) Hangsúlyozzuk, hogy míg geometria alkalmazások során a gyakorlatban praktikus, fokban való szögmérést alkalmazhatjuk, függvénytanban kizárólag az ívmérték (radián) alkalmazása helyes. A grafikonok jellegét tekintve egészen közeli rokonokról van szó, szinte egyformák: egyszerű eltolással egymásba átvihetők (a pótszögek közti összefüggés ( ) következményeként: cos (x) = sin π2 − x ). Ugyanakkor a köztük lévő különbség is jelentőséggel bír, mivel éppen eltérő szimmetria- (paritási) tulajdonságaik vannak, továbbá él köztük a nevezetes sin2 x + cos2 x = 1 összefüggés.

6.6.2. Tangens és kotangens függvény A tangens és kotangensfüggvény származtatható a szinusz és koszinusz függvényekből, de önálló gyakorlati jelentőségük és szemléletes tartalmuk is van. 6 A latin sinus kifejezés öblöt jelent – az elnevezés a jellegzetes hullám-alakú grafikon öbleiből ered.


103

y

x

6.15. ábra. A sin x függvény grafikonja.

y

x

6.16. ábra. A cos x függvény grafikonja.


104

y

sin(x) x cos(x)

6.17. ábra. A sin x és cos x függvények grafikonjai.

y

ctgϕ tgϕ ϕ x

6.18. ábra. A tan x és cot x függvények származtatása.


105

y

x

6.19. ábra. A tan x függvény grafikonja.

y

x

6.20. ábra. A cot x függvény grafikonja.


106

sin x A tangens (tan x = cos {x ) függvény a }koszinusz függvény zérushelyeinél nem értelmezhető: Dtan = R \ π2 + kπ | k ∈ Z x A kotangens (cot x = cos sin x ) függvény a szinusz függvény zérushelyeinél nem értelmezhető: Dtan = R \ {kπ | k ∈ Z} Az értékkészlete mindkét típusnak Rtan = Rcot = R.

6.7. Arkuszfüggvények Az arkuszfüggvények lényegében a trigonometrikus függvények inverzeiként születnek. Ilyen értelemben maguk is trigonometrikus függvények, de gyakran külön csoportban emlegetjük őket – jellegzetesen eltérő tulajdonságaik vannak (például nem periodikusak). Persze a trigonometrikus függvények jellegzetes periodikussága éles ellentétben áll az invertálhatósággal (minden értéket csak egyszer vehet fel a függvény) – minden értéküket nemhogy többször, de kimondottan végtelen sokszor veszik fel. Pontosabban fogalmazva tehát: az arkuszfüggvények a trigonomterikus függvények megfelelő leszűkítéseinek inverzei. A leszűkítésre elméletileg sok lehetőség adódik, de praktikus az alábbiak szerint végezni – ezek lesznek az arkuszfüggvények.


107

y

x

6.21. ábra. A tan x és cot x függvények grafikonja.

y

x

6.22. ábra. Az arcsin x függvény és származtatása.


108

y

x

6.23. ábra. Az arccos x függvény és származtatása.

y

x

6.24. ábra. Az arctan x függvény és származtatása.


109

y

x

6.25. ábra. Az arcctg (x) függvény és származtatása.

7. fejezet

Függvények képzése Az alapfüggvényekből különféle módszerekkel képezhetünk újabbakat. Ilyenek például a lineáris és egyéb transzformációk, az algebrai műveletek, a kompozíció vagy az inverzképzés.

7.1. Lineáris transzformációk Ha egy eredetileg ismert f (x) függvényen – annak formuláján – olyan átalakításokat végzünk, melynek során születő grafikon az eredeti grafikonból geometriailag x és y irányú nyújtások (zsugorítások) ill. megfelelő eltolás(ok) egymás utáni alkalmazásával (a transzformációk ún. szorzatával) származtatható, akkor a függvény lineáris transzformációjáról beszélünk. Megmutatható, hogy a grafikon ilyen geometriai transzformációinak a függvény formulájában milyen algebrai átalakítások felelnek meg. Lényegében azt mondhatjuk, hogy az eredeti függvény bemenő és kimenő értékeinek lineáris transzformációiról van szó: konstansok hozzáadásáról (kivonásáról) ill. konstansokkal való szorzásról (osztásról). (A kivonás és osztás nyilván helyettesíthető megfelelő összeadással és szorzással.)

7.1.1. Argumentumon kívüli transzformációk Ezek a függő változó (y) transzformációi – mondhatjuk, hogy a változások az y-tengely mentén történnek. Az eredeti függvényérték konstanssal való szorzása a konstans értékének megfelelő nyújtást (osztás zsugorítást) eredményez. Amennyiben a szorzó (osztó) konstans negatív, a nyújtás mellé egy x-tengelyre való tükrözés is járul: ún. tükrözve nyújtás történik. (A változás y irányban zajlik!) Konstans hozzáadása (vagy kivonása, de ez is értelmezhető negatív konstans hozzáadásaként) értelemszerű változást jelent minden értékre, így a grafikon a konstansnak megfelelően eltolódik az y-tengely mentén.

110

7. FEJEZET. FÜGGVÉNYEK KÉPZÉSE

111

y 4sin(x) 3sin(x)

sin(x) x − 12 sin(x) −2sin(x)

7.1. ábra. Függvény és konstansszorosai.

y

sin(x) + 4 sin(x) + 3

x sin(x)

sin(x) − 2

7.2. ábra. Függvény és eltoltjai.


112

√ Példa : Ábrázoljuk az f (x) = 3 − 2 x függvény grafikonját. A transzformáció jól láthatóan egy tükrözve nyújtásból és egy eltolásból y

√

x

x √ 3−2 x

√ −2 x

√ 7.3. ábra. Az f (x) = 3 − 2 x függvény grafikonja és a transzformáció lépései. áll.

7.1.2. Argumentumon belüli transzformációk Ezek a független (x) változó transzformációi – a változások az x-tengely mentén zajlanak. A transzformációk (konstanssal szorzás, konstans hozzáadása) a független változóval még a függvény általi „feldolgozás előtt” történnek ezért ezek a transzformációk az előbbiekhez képest fordított értelemben működnek. Argumentumon belüli konstanssal való szorzás x-irányú zsugorítást (nyújtást) okoz. (1-nél nagyobb abszolútértékű konstanssal való szorzás okozza a zsugorítást, kisebb a nyújtást!) Argumentumon belül konstans hozzáadása (kivonása) x-tengely menti eltolást eredményez – az előjellel ellentétes értelemben. 2

Példa : Ábrázoljuk az f (x) = (x + 2) függvény grafikonját. Vegyük észre, hogy a formula kiértékelésekor pl. x=0 mellett már a 0+2= = 2 értéket emeljük négyzetre, vagyis a függvény mindenhol 2-vel „előbbre jár” az f0 (x) = x2 függvényhez képest. Az eltolás az x-tengely mentén, a hozzáadott konstans előjelével ellentétes irányban történik. Példa : Ábrázoljuk az f (x) = sin 2x függvény grafikonját.


113

y (x + 2)2

x2

x

2

7.4. ábra. Az f (x) = (x + 2) függvény grafikonja x irányú eltolással adódik.

y

sin(x)

sin(2x) x

7.5. ábra. Az f (x) = sin 2x függvény grafikonja x irányú zsugorítással adódik.


114

Itt az argumentumon belüli 2-vel való szorzás x irányban a grafikon felére zsugorodását okozza. Vegyük észre, hogy pl. x = π4 esetén már a 2 · π4 = π2 érték szinuszát vesszük, vagyis a transzformált függvény már feleakkora x mellett eléri azt az értéket, amit az eredeti. Példa : Ábrázoljuk az f (x) = 2x+1 függvény grafikonját. y 2x

2x+1 x

7.6. ábra. Az f (x) = 2x+1 függvény grafikonja. Az exponenciális függvények ilyen transzformációja kétféleképp is értelmezhető. A függvény érdekessége, hogy a transzformáció kétféleképp értelmezhető. Tekinthetjük úgy, hogy a 2-es alapú exponenciális függvény agrumentumán belüli konstans hozzáadása miatt 1-gyel „balra” tolást kell alkalmazni. Ugyanakkor 2x+1 = 2x ·21 = 2·2x , ezen utóbbi alak szerint az alkalmazandó transzformáció a kétszeres nyújtás y irányban. E két transzformáció hatása általában jelentősen eltérő, viszont az exponenciális függvény sajátosságai folytán mindkét értelmezés helyes és ugyanarra az eredményre vezet. Példa : Ábrázoljuk az f (x) = log2 2x függvény grafikonját. Az előbbiekhez hasonlóan itt is kétféle transzformációs értelmezés lehetséges. Az argumentumon belüli 2-vel szorzás x-irányú felére zsugorítást jelez. Ugyanakkor log2 2x = log2 2 + log2 x = 1 + log2 x, ez utóbbi alak pedig az eredeti függvény y-irányú eltolását követeli. E két transzformáció hatása általában jelentősen eltérő, viszont a logarit-


115

mus függvény sajátosságai folytán mindkét értelmezés helyes és ugyanarra az eredményre vezet.

7.1.3. Az általános lineáris transzformáció Tegyük fel, hogy ismerjük egy f függvény y = f (x) grafikonját. Ha ehhez képest a függvény formulájában olyan változások történnek, melyek után a formula az alábbi alakba rendezhető, akkor a transzformált grafikon az eredetiből megfelelő nyújtásokkal (zsugorításokkal) és eltolásokkal – tehát lineáris transzformációkkal – származtatható, és a szükséges transzformációk paraméterei pedig ebből az alakból kinyerhetők: ( ) y −b x−a =f B A Megmutatható, hogy ekkor a helyes grafikon úgy adódik, hogy egy (a; b) vektorral eltolt „segéd-koordinátarendszerben” rajzoljuk meg az eredeti grafikon xirányban A-szorosára, y-irányban B-szeresére nyújtott (negatív értékek esetén tükrözve nyújtott) változatát. Példa : Rajzoljuk meg a következő függvény grafikonját: √ f (x) (= y) = −3 2x + 4 + 1 √ A helyzet kulcsa az y= x függvény, melynek grafikonját ismerjük. A függvényünk ennek valamilyen lineáris transzformációja. Rendezzük a formulát az általános transzformációs sablon-formulának megfelelő alakra. Az átrendezés során először az alapul tekintett függvény „körül” lebontunk mindent: y −1 √ = 2x + 4 −3 Ebben a fázisban b és B paraméterek már azonosíthatók. Most rendezzünk az argumentumon belül is a kívánt alakra. Ennek érdekében kiemeljük x együtthatóját: y −1 √ = 2 (x + 2) −3 Mivel a sablonhoz formálisan osztásra és kivonásra van szükségünk, a 2-vel való szorzást 12 -del való osztássá, 2 hozzáadását -2 kivonásává alakítjuk: √ y −1 x − (−2) = 1 −3 2 Ebből az alakból leolvasható minden szükséges paraméter: a = −2 ; b = 1; A = −3; B = 21 . Ezek szerint egy eltolt segédkoordinátarendszert kell felvennünk, melynek origója a (−2; 1) pontban van, majd ebben ábrázolni √ a x függvény x-irányban felére nyújtott (tehát zsugorított), y-irányban pedig -3-szorosára (tehát x-tengelyre tükrözve 3-szorosára) nyújtott változatát.


116

y

log2 (2x) log2 (x) x

7.7. ábra. Az f (x) = log2 2x függvény grafikonja. A logaritmus függvények ilyen transzformációja kétféleképp is értelmezhető.

y

√

x x

√ 7.8. ábra. Az f (x) = −3 2x + 4 + 1 függvény grafikonja és a transzformáció lépései.


117

7.2. Függvények képzése alapműveletekkel Két egyváltozós valós függvényből alapműveletekkel egy harmadikat képezhetünk. Nem abszolút függvényképzési módról van szó: általános értelemben függvények összege, különbsége stb. nem értelmezhető. Mivel azonban az egyváltozós valós függvények számokkal „dolgoznak”, az ezeken mint függvényértékeken végzett műveletekkel lehetségessé válik a műveleteknek teljes függvényekre való értelmezése. Valójában adott „bemenő” x értékre a műveletben szereplő két függvénykomponens által hozzárendelt értékek (függvény-értékek) mint számok között végezzük a műveletet; ezen elemi érték-képzések összessége az a függvény, melyet a függvények között végzett művelet eredményének tekintünk. Nyilvánvaló követelmény a pontonkénti érték-képzéshez, hogy egy adott „bemenő” x értékre a művelet mindkét függvény-operandusának értelmezhetőnek kell lenni. Így az eredmény-függvény értelmezési tartományának a komponensek értelmezési tartományának közös részét – metszetét – érdemes tekinteni.

7.2.1. Függvények összege és különbsége Függvények összege, különbsége : Legyen adott az f és g egyváltozós valós függvény. E két függvény összegén ill. különbségén azt a függvényt értjük, mely ∀x ∈ Df ∩ Dg elemhez az f (x) ± g (x) értéket rendeli. (f ± g) : Df ∩ Dg → R, (f ± g) (x) = f (x) ± g (x) Függvények pontonkénti összeadásáról ill. kivonásáról van szó. (A kivonás is értelmezhető egy függvény mínusz egyszeresének hozzáadásaként.) Voltaképpen egyik függvényt „ráültetjük” a másikra. Ezt szokták szuperpozíciónak is nevezni. Bizonyos speciális esetekben a képződő függvény grafikonjának a komponensek grafikonjához való viszonya jól szemlélteti ezt a módot.

7.2.2. Függvények szorzata Függvények szorzata : Legyen adott az f és g egyváltozós valós függvény. E két függvény szorzatán azt a függvényt értjük, mely ∀x ∈ Df ∩Dg elemhez az f (x) · g (x) értéket rendeli. (f · g) : Df ∩ Dg → R, (f · g) (x) = f (x) · g (x) Mivel az alapműveletek közül az osztás nem értelmezhető tetszőleges valós számpárra (az osztó nem lehet 0), ezért függvények hányadosának definíciójában (az értelmezési tartománynál) erre is tekintettel kell lenni. Függvényértékek pontonkénti összeszorzásáról van szó. Az eredmény grafikonja már nehezebben jósolható pusztán szemlélettel a tényezők grafikonja nyomán, mint az egyszerű szuperpozíciónál, de bizonyos speciális esetekben mégis szemléletes. Tipikusan jól érthető példák születnek, ha az egyik tényező szinusz vagy koszinuszfüggvény. Ezek értéke ugyanis -1 és +1 között változik, ezért a szorzat


118

y

x

7.9. ábra. Az f (x) = x + x1 függvény és az egyes tagok grafikonjai. Figyelmet érdemel, hogy a függvény az x = 1 és x = −1 helyeken „fordul” (szélsőértéke van). y

x

7.10. ábra. Az f (x) = x + sin x függvény és az egyes tagok grafikonjai. Figyelmet érdemel, hogy a függvény szigorúan monoton növő, de vannak „zérus meredekségű” helyei.


119

y

x

7.11. ábra. Az f (x) = sin x + sin55x függvény és az egyes tagok grafikonjai.

y

x

7.12. ábra. Az f (x) = x · sin 4x függvény és az egyes tényezők grafikonjai.


120

y

x

7.13. ábra. Az f (x) = 1.3x · sin 4x függvény és az egyes tényezők grafikonjai.

y

x

( ) 2 7.14. ábra. Az f (x) = 1 + x6 · sin 4x függvény és az egyes tényezők grafikonjai.


121

grafikonjában a másik tényező és annak ellentettje mint burkológörbék közti hullámzást tapasztalunk.

7.2.3. Reciprok függvények

( ) 1 Legyen adott egy f (x) függvény. Ekkor az f1 (x)= f (x) függvény értékei az eredeti f értékének reciprokai. A reciprok-képzés tartja az előjelet: pozitív értékek reciproka is pozitív, negatívoké negatív. Emellett 1-nél nagyobb abszolútértékű szám reciproka 1-nél kisebb abszolútértékű és viszont. Zérusnak természetesen nincs reciproka. Mindezek alapján a grafikon transzformációjára azt lehet mondani, hogy az eredeti zérushelyeknél a reciprok nem értelmezhető (szakadása lesz), egyébként pedig az x-tengely alatti és feletti részek külön-külön – nyilván nemlineáris módon – „kifordulnak” : a ]0; 1[ intervallumba eső értékek az ]1; +∞[ tartományba, a ]−1; 0[-ba esős a ]−∞; −1[-be transzformálódnak. A tengelyhez közeli értékek a tengelytől távolra (a végtelen közelébe) kerülnek és viszont.

7.2.4. Függvények hányadosa Függvények hányadosa : Legyen adott az f és g egyváltozós valós függvény. E két függvény hányadosán azt a D f = (Df ∩ Dg ) \ {x ∈ Dg | g (x) = 0} g

halmazon értelmezett függvényt értjük, mely ∀x ∈ D f elemhez az g értéket ( ) rendeli. ( ) f (x) f f g : D f → R, g (x) = g(x)

f (x) g(x)

g

A hányados függvény grafikonja már gyakran kevéssé hordoz közvetlen szemléletes tartalmat. Felfogható viszont olyan szorzatként, ahol az egyik tényező a számláló, másik a nevező reciproka, így eszerint is lehet vizsgálni.

7.3. Polinomok A polinomok (polinomfüggvények) kiemelt fontosságúak a függvénytanban. Kellően változatos viselkedésűek, ugyanakkor technikailag viszonylag könnyen kezelhetők. Közvetlenül is alkalmasak sokféle probléma modellezésére, de különös elvi fontosságukat abból nyerik, hogy megmutatható: egyéb, nem ebbe a kategóriába tartozó függvényeket is – valójában a műszaki alkalmazásoknál gyakorlatban előforduló összes alap- és azokból közvetve képzett függvényt – jól meg lehet közelíteni polinomokkal. Polinom : Az an xn +an−1 xn−1 +. . .+a2 x2 +a1 x+a0 =

n ∑ k=0

ak xk alakú kifejezést

n-edfokú (egyváltozós) polinomnak nevezzük, ha n ∈ N+ 0 és an 6= 0. Az ak értékek a polinom együtthatói, melyek elvileg tetszőleges valós számok lehetnek (a főegyüttható nem lehet nulla). A gyakorlatban ezek sok-


122

y

x

7.15. ábra. Az f (x) = cos x · sin 7x függvény és az egyes tényezők grafikonjai.

y

x

7.16. ábra. A reciprok függvény grafikonjának képzési elve.


123

y

x

7.17. ábra. Az f (x) =

1 1+x2

függvény grafikonja és képzési módja.

y

x

7.18. ábra. Az f (x) =

1 x2 −1

függvény grafikonja és képzési módja.


124

y

x

7.19. ábra. Az f (x) =

cos x x

= cos (x) · x1 függvény grafikonja.

y

x

7.20. ábra. Az f (x) =

x cos x

= x · cos1 x függvény grafikonja.


125

szor racionális, vagy akár egész számok. Ennek megfelelően szokás beszélni valós, racionális vagy egész együtthatós polinomokról. Polinomfüggvény : Azokat a teljes valós számhalmazon értelmezett függvényeket nevezzük polinomfüggvényeknek, melynek hozzárendelési formulája polinom.1 Azt is mondhatjuk, hogy a polinom pozitív egész kitevőjű hatványfüggvények (és konstans függvény) megfelelő együtthatókkal való szorzatából képzett összeg (ún. lineáris kombináció). A hatványfüggvények – köztük az identitással – és a konstans függvények (nulladfokú polinom!) így maguk is a polinomfüggvények speciális esetei. Példák polinomokra : p (x) = 5x3 − 3x + 1 harmadfokú polinom; p (x) = − −x7 + 2345x hetedfokú polinom; p (x) = x elsőfokú polinom; p (x) = −6 nulladfokú polinom. Vegyük észre, hogy egy polinom kiértékeléséhez (adott x mellett a formula értékének kiszámításához) csak az összeadás és szorzás alapműveleteire van szükség (a pozitív egész kitevőjű hatványozás szorzások ismétléseként fogható fel). Ebben az értelemben tehát kimondottan egyszerű függvénytípusról van szó – az exponenciális, logaritmus vagy trigonometrikus függvényekhez képest. Mivel a kiértékeléshez kizárólag alkalmazott összeadás és szorzás műveletei a racionális (Q) ill. egész (Z) számok halmazán külön-külön is zártak, nyilvánvaló, hogy racionális együtthatójú polinomok értéke minden racionális helyen racionális, sőt, egész együtthatós polinomok értéke minden egész helyen egész érték. Ezért szokták azt is mondani, hogy a polinomok racionális egész kifejezések.

7.3.1. A polinomfüggvények grafikonja A polinomfüggvények grafikonjának jellegzetes sajátossága, hogy ahogy az xtengely mentén −∞-től +∞-ig végigkísérjük életüket, először megérkeznek a végtelenből, kalandoznak a tengely „közelében”, akár azt néhányszor át is metszve, majd egyszer véglegesen eltávolodván ismét a végtelenbe távoznak az értékek. E globális tendencia megfigyelésére már az egyszerű f (x)=x2 és az f (x)=x3 függvények is alkalmasak. Előbbi „fentről” érkezik, és ugyanoda távozik, utóbbi „lentről” érkezik és „felfelé” távozik. Általában is igaz, hogy a páros fokszámú polinomfüggvények azonos oldalon közelednek a végtelenből és távolodnak a végtelenbe, páratlan fokszámúak pedig ellentétes oldalon. Az is igaz, hogy pozitív főegyüttható esetén éppen az említett függvényeknél megfigyelhető viselkedés érvényes, negatív esetén pedig azzal ellentétes: pl. f (x) = −x2 −∞-ből érkezik és ugyanoda távozik, f (x) = −x3 pedig +∞-ből érkezik és −∞-be távozik. 1 Szögezzük le, hogy a polinom szigorúan értelmezve csupán egy bizonyos típusú algebrai kifejezés (és nem függvény), ezért – ha félreértésre adhat okot – hangsúlyosan polinomfüggvénynek szoktuk nevezni az ezzel mint formulával képzett függvényt. A szóhasználat utóbbit is gyakran polinomnak rövidíti, de – különösen függvénytanban – ezalatt általában polinomfüggvényt értünk.


126

y

x

7.21. ábra. A páros fokszámú polinomfüggvények tipikus viselkedése. Az x-tengely „mentén töltött idején” kívül a széleken azonos oldalon távozik a végtelenbe. y

x

7.22. ábra. A páratlan fokszámú polinomfüggvények tipikus viselkedése. Az x-tengely „mentén töltött idején” kívül a széleken ellentétes oldalon távozik a végtelenbe.


127

Mindezek nyomán az is érthető, hogy a páros kitevőjű polinomfüggvények egyik oldalról mindig korlátosak, míg a páratlan kitevőjűek nem. Ezt a viselkedést azért a főegyüttható (a legmagasabb fokszámú hatvány együtthatója) szabja meg, mivel abszolútértékben hosszútávon a legmagasabb kitevőjű tag növekszik leggyorsabban – az alacsonyabb kitevőjű tagok csak „egy ideig” bírják tartani a lépést még nagy együtthatóval is. A polinomfüggvény legfigyelemreméltóbb része éppen az a – végtelen hosszú útjához képest – „rövid” szakasz, amit az x-tengely közelében tölt. Ezalatt ugyanis érdekes viselkedést mutathat: többször megfordulhat, növekedhet-csökkenhet, görbületi tendenciát válthat, alakjával jól megközelítve követhet egyéb függvényeket, áthaladhat előírt pontokon stb. Mindezt folytonosan, „szép ívekkel” teszi. Egy n-edfokú polinomfüggvénynek legfeljebb n darab zérushelye lehet (vagyis legfeljebb n-szer átmetszheti az x-tengelyt). Ez megtörténhet ennél kevesebbszer is, de a végtelenbe tartásról a „széleken” fentebb mondottak szerint nyilvánvaló, hogy egy páratlan fokszámú polinom páratlan számú, páros fokszámú pedig páros számú zérushellyel rendelkezhet csak. Kérdés : Lehetséges-e, hogy egy polinomnak egyetlen zérushelye sincs? Igen, lehetséges, hiszen a páros fokszámú polinomfüggvények egyik oldalról korlátosak, így megfelelő eltolással (a konstans tag megfelelő megválasztásával) mindig elérhető, hogy a grafikon az x-tengely egyik oldalán maradjon. (Pl. a p (x) = x2 + 1 negatív diszkriminánsú másodfokú polinomnak nyilván nincs zérushelye.) Kérdés : Lehetséges-e, hogy egy páratlan fokszámú polinomfüggvénynek egyetlen zérushelye sincs? Ez nem lehetséges, páratlan fokszámú polinomfüggvény mindig egyik oldali végtelenből a másik oldali felé tart, így legalább egyszer a zérus értéken is át kell haladnia.

7.3.2. A polinom gyökei és gyöktényezős alakja Nagyon egyszerű előállítani olyan polinomot, mely pontosan bizonyos adott (páronként különböző) x1 ; x2 . . . xn értékeknél metszi a tengelyt (vagyis ezeknél van éppen zérushelye, ezek a gyökei ). A polinomot olyan elsőfokú polinomok (lineáris kifejezések) szorzataként kell előállítani, melyeknek éppen ezek a gyökei: p (x) = (x − x1 ) (x − x2 ) . . . (x − xn ) =

n ∏

(x − xi )

i=1

Ez a szorzat láthatóan pontosan akkor nulla, ha valamely tényezője zérus, márpedig x = x1 esetén éppen az első tényező zérus, x = x2 esetén a második, stb. A kifejezés mellé nyilván tehetünk egy tetszőleges (nem-zérus) konstans szorzót is, a helyzet nem változik: pont ugyanazokon a helyeken lesznek a zérus értékek. Be lehet bizonyítani, hogy e konstans szorzótól eltekintve egyértelműen létezik az az n-edfokú polinom, mely éppen az adott helyeken zérus.


128

Példa : Írjunk fel olyan polinomot, mely éppen az x = −2; 0; 1 helyeken metszi az x-tengelyt. y

x

( ) 7.23. ábra. Az f (x) = a (x + 2) x (x − 1) = a x3 + x2 − 2x alakú polinomfüggvények családja. Mindannyian ugyanazon gyököknél metszik a tengelyt, egymásból nyújtással (zsugorítással) képezhetők. A család grafikonjainak összessége a teljes koordinátasíkot lefedi. Ez a polinom leginkább egy háromtényezős szorzatként képzelhető el: p0 (x) = (x − (−2)) (x − 0) (x − 1) = (x + 2) x (x − 1) A zárójelek felbontásával adódó szabványos alak: p0 (x) = x3 + x2 − 2x. Ennek a polinomnak tetszőleges a-szorosa is megfelelő: ap0 (x)=a (x + 2) x (x − 1)= = ax + ax2 − 2ax. (A feladat kritériumainak egyébként minden olyan polinom is megfelel, mely az imént kapott család tagjainak valamilyen valós gyökökkel nem ( 2 ren-) delkező polinommal való szorzásával adódik. Például: p (x)=p (x)· x +1 = 1 ( ) ( )( ) =(x + 2) x (x − 1)· x2 + 1 = x3 + x2 − 2x · x2 + 1 =x5 +x4 +x3 −2x2 −2x. Ez már nem egyszerűen az alapmegoldás konstansszorosa, hiszen ötödfokú polinom, azonban csak három (valós) gyökkel.) Polinom gyöktényezős alakja : Adott egy n-edfokú p (x) polinom. Bizonyítható, hogy ennek pontosan akkor van n darab különböző (valós) zérushelye, ha felírható a következő alakban: p (x) = a (x − x1 ) (x − x2 ) . . . (x − xn ) = a

n ∏

i=1

(x − xi )


129

Ezt az alakot nevezzük a polinom gyöktényezős alakjának. Az a érték a polinom főegyütthatója: a beszorzás utáni szabványos alakban a legmagasabb kitevőjű tag együtthatója, mely a függvénynek a „széleken” (az x változó±∞-be tartó értékeire) való viselkedését alapvetően meghatározza. Példa : Írjuk fel azt a harmadfokú polinomot, mely éppen az x = −2; 0; 1 helyeken metszi az x-tengelyt, x = 2-nél pedig y = 3 értéket vesz fel. y

x

7.24. ábra. Az f (x) =

3 8

( ) (x + 2) x (x − 1) = 83 x3 + x2 − 2x = 83 x3 + 38 x2 − 34 x polinomfüggvény grafikonja.

A fentebbi feladatban tárgyalt p (x) = a (x + 2) x (x − 1) polinom-családból biztos lesz megfelelő (méghozzá egyértelműen), hiszen a család egésze a teljes koordinátasíkot lefedi – közülük valamelyik épp a kívánt (2; 3) ponton fog átmenni. Feladatunk az ehhez a kiegészítő feltételhez tartozó a érték kiválasztása: p (2) = a (2 + 2) · 2 · (2 − 1) = 3 8a = 3 Ebból a = 83 adódik. Voltaképpen arról van szó, hogy az alapul szolgáló p0 (x) = (x + 2) x (x − 1) 2-nél vett értéke éppen 8. Ennek nyolcada vesz fel a kívánt helyen éppen 1-et, ennek háromszorosa pedig 3-at. Láttuk tehát, hogyan lehet a gyökök felhasználásával előállítani egy megfelelő polinomot. A fordított feladat: egy adott polinomhoz meghatározni a gyököket


130

ill. lehetőleg elsőfokú, de legalábbis minél kisebb fokszámú tényezők szorzatára bontani. Ez a problémakör (lényegében az n-edfokú egyenlet megoldása) az algebra 2 tudományágának egyik alapfeladata. Az első- és másodfokú egyenletek megoldhatóságának vizsgálata és megoldási módszere közismert középiskolai tananyag. A magasabb fokú esetek megoldása bonyolultabb, de harmad- és negyedfok esetében általánosan is elvégezhető.3 Ötödfoktól kezdve általános megoldási módszer (megoldóképlet) bizonyítottan nincs – bár sok speciális esetre léteznek megoldások.

7.4. Interpoláció polinomokkal Gyakori feladat, hogy egy függvénynek bizonyos helyeken ismerjük az értékét (pl. valamilyen mérés nyomán), ám pontos formuláját nem. Pedig jó lenne ismerni a problémát leíró függvényt az ismert adatpontok között4 is, hogy újabb mérések nélkül tudjuk jósolni megfelelő helyeken az adatokat. Az interpoláció a függvénytanban azt jelenti, hogy függvényt próbálunk illeszteni adott pontokra, hogy segítségével a köztes értékeket is kiszámíthassuk. Különböző feladatokhoz más-más interpolációs eljárások lehetnek optimálisak, ennek kiválasztása, ellenőrzése, tesztelése, tökéletesítése, a közelítés hibájának becslése stb. szerteágazó feladat. Itt most azzal a változattal foglalkozunk, amikor polinomfüggvényt illesztünk a pontokra. A polinomokkal való interpoláció segítségével képesek vagyunk elvileg tetszőleges számú előírt ponton áthaladó függvényt előállítani – adott pontokra „szép”, ívelt görbét illeszthetünk. Fontos lépést tettünk már ebben az irányban, mikor a gyöktényezős alakot felhasználva adott zérushelyekkel rendelkező polinomokat írtunk fel. Az ennek a problémának egy speciális esete volt, melyet itt felhasználunk és továbbfejlesztünk. A továbbiakban egyszerűbb speciális esetektől indulva haladunk az általános megoldás felé.

7.4.1. Lineáris illesztés két pontra Az első, legegyszerűbb esetben tegyük fel, hogy két helyen adott a függvény értéke (két pontja adott a grafikonnak). Geometriai értelemben két pontra egyértelműen illeszthető egyenes, az egyenes grafikonok mögött pedig lineáris függvények (elsőfokú polinomok) állnak, tehát függvénytani értelemben egy elsőfokú polinomiális interpolációt fogunk végezni. (A probléma rokona a két pontra 2 A szó az arab „al-dzsabr” (∼átalakítani, átrendezni) kifejezésből származik. Eredetileg a matematikán belül az algebra az egyenletek-egyenletrendszerek megoldásának tudománya volt, mára mindenféle, a számhalmaznál absztraktabb, műveletekkel rendelkező halmazok szerkezetével foglalkozó átfogó tudományág lett. 3 A harmadfokú egyenlet megoldóképlete kiemelt tudománytörténeti jelentőségű : ennek kapcsán fedezték fel a komplex számokat. 4 Az „inter ” jelentése : között, köztes : itt a pontok közti értékek közelítő kiszámításáról van szó.


131

illesztett egyenes koordináta-geometriai felírásának, azonban a későbbi általánosítás kedvéért itt egy újabb nézőpontból közelítjük meg a kérdést.) Adottak az x1 6= x2 helyeken a függvényértékek: f (x1 ) = y1 és f (x2 ) = = y2 . A keresett függvényünk lineáris, tehát a következő alakú: f (x) = a1 x+a0 . A konkrét függvény meghatározása a formulában lévő ismeretlen a1 elsőfokú együttható és a0 nulladfokú együttható (konstans) meghatározását jelenti. (Ha y1 = y2 , akkor nyilván konstans függvény lesz az illesztés, vagyis a1 = 0.) 7.4.1.1. Az első módszer : egyenletrendszer A két ismert (x1 ; y1 ) és (x2 ; y2 ) adatpárból a követelményekre egyenletrendszert írhatunk fel: { y1 = a1 x1 + a0 y2 = a1 x2 + a0 E két egyenletből a két ismeretlen (a1 ; a0 ) meghatározható. Példa : Adott két adatpár: P1 (−2; 1) és P2 (4; 4). Illesszünk ezekre lineáris függvényt. A megoldást f (x) = a1 x + a0 alakban keressük. Az adatok nyomán a következő egyenletrendszert írhatjuk fel: { 1 = a1 · (−2) + a0 4 = a1 · 4 + a0 Ennek megoldása: a1 = 21 ; a0 = 2. Ezek nyomán a megfelelő függvény (elsőfokú interpolációs polinom): 1 f (x) = x + 2 2 7.4.1.2. A második módszer : bázisfüggvények Az itt következő eljárás a lineáris esetre kissé túlbonyolítottnak tűnik (mert az is, gyakorlatban erre a verébre nem kell ekkora ágyúval lőni), de az elv átvihető a továbbiakra, melyek szempontjából viszont ez a belépő szintű eset – ezért érdemes végiggondolni itt is. Adatonként egy (itt tehát összesen két) lineáris bázisfüggvényt használunk. Az f1 bázisfüggvénytől azt várjuk, hogy az x1 értéknél 1 értéket, a másiknál (tehát x2 -nél) zérus értéket vegyen fel. A gyöktényezős alaknál mondottak szerint ez úgy valósítható meg, hogy egy f1 (x) = a (x − x2 ) alakú függvényt keresünk. Ennek értéke x = x2 -nél nyilván zérus (f1 (x2 )=a (x2 − x2 )=a·0=0), x=x1 -nél pedig éppen f1 (x1 )=a (x1 − x2 )= 1 = 1 értéket írunk elő, tehát ebből a = x1 −x következik (nullával osztástól nem 2 kell félni, mert az előírt x1 és x2 értékek különbözők). Tehát az első bázisfüggvényünk: f1 (x) =

x − x2 x1 − x2


132

Hasonló úton a másik bázisfüggvény: f2 (x) =

x − x1 x2 − x1

Tehát az f1 bázisfüggvény x1 -nél 1, x2 -nél 0 értéket vesz fel. Ha a függvényt megszorozzuk az y1 értékkel, akkor x1 -nél már a kívánt y1 , x2 -nél viszont továbbra is zérus értéket vesz fel. Hasonlóan az f2 bázisfüggvény y2 -vel szorozva x2 -nél y2 , x1 -nél viszont zérus értéket vesz fel. Ha ezt a két tagot összeadjuk, az összegfüggvényben mindkét eredeti adatnál a megfelelő érték adódik, hiszen a megfelelő tag hozza a kívánt értéket, míg a másik zérussal járul hozzá, tehát azt nem változtatja. Tehát a keresett függvény: f (x) = y1

x − x2 x − x1 + y2 x1 − x2 x2 − x1

Ez a formula jelen esetben ugyan algebrailag egyszerűbb alakra is rendezhető, de ezt most nem erőltetjük, mivel ez az alak közelebb áll a háttérben álló logikához és a későbbi általánosításhoz. Példa : Adott két adatpár: P1 (−2; 1) és P2 (4; 4). Illesszünk ezekre lineáris függvényt. Az előző feladat ismétlődik, de ezúttal a bázisfüggvények módszerével fogunk dolgozni. Az elmondottak szerint a bázisfüggvények: f1 (x) =

x − x2 x−4 x−4 = = x1 − x2 (−2) − 4 −6

f2 (x) =

x − x1 x − (−2) x + 2 = = x2 − x1 4 − (−2) 6

Ezek felhasználásával: x − x2 x − x1 x−4 x + 2 −x + 4 + 4x + 8 3x + 12 1 f (x)=y1 +y2 =1· +4· = = = x+2 x1 − x2 x2 − x1 −6 6 6 6 2 Láthatóan az előbbivel egyező megoldás adódik.

7.4.2. Másodfokú illesztés három pontra Legyen adott három (páronként különböző) x1 ; x2 ; x3 érték, hozzájuk tartozó y1 ; y2 ; y3 értékekkel – a grafikonnak adott három pontja. Geometriailag e három pontra egyértelműen illeszthető olyan parabola, melynek tengelye a koordinátarendszer y-tengelyével párhuzamos. (Két pontra illeszthető, ilyen tulajdonságú parabola-sereg a teljes síkot lefedi; lesz köztük pontosan egy, mely a kívánt harmadik ponton áthalad.) Az illeszkedő függvényt tehát most egy (legfeljebb) másodfokú polinom alakjában keressük: f (x) = a2 x2 +a1 x+a0 . Ezúttal a formulában három meghatározandó együttható van, melyhez éppen három adat áll rendelkezésre. Az elsőfokú illesztésnél látott elvek és módszerek itt is működnek.


133

7.4.2.1. Az első módszer : egyenletrendszer A három ismert (x1 ; y1 ), (x2 ; y2 ) és (x3 ; y3 ) adatpárból a következő egyenletrendszert írhatjuk fel:   y1 = a2 x21 + a1 x1 + a0 y2 = a2 x22 + a1 x2 + a0  y3 = a2 x23 + a1 x3 + a0 Ebből az egyenletrendszerből az ismeretlen a2 ; a1 ; a0 együtthatók mint ismeretlenek meghatározhatók. Példa : Tekintsük a következő pontokat: P1 (−2; 1), P2 (2; 5) és P3 (4; 4). Illesszünk ezekre másodfokú függvényt. A megoldást f (x) = a2 x2 +a1 x+a0 alakban keressük. Az adatok nyomán a következő egyenletrendszert írhatjuk fel:  2  1 = a2 · (−2) + a1 · (−2) + a0 5 = a2 · 22 + a1 · 2 + a0  4 = a2 · 42 + a1 · 4 + a0 Ennek megoldása: a2 = − 14 ; a1 = 1; a0 = 4. Ezekből a megfelelő függvény (másodfokú interpolációs polinom): 1 f (x) = − x2 + x + 4 4 7.4.2.2. A második módszer : bázisfüggvények Adatonként egy (összesen három) bázisfüggvény fog szerepelni. Mindegyik fi bázisfüggvény a megfelelő xi adatnál éppen 1 értéket, a többinél 0 értéket vesz fel. Pl. az f1 bázisfüggvény x1 -nél 1 értéket, x2 -nél és x3 -nál nullát vesz fel. A gyöktényezős alaknál mondottak szerint ezt a függvényt f1 (x)=a (x − x2 ) (x − x3 ) alakban keressük. Ez biztos, hogy a zérushelyeket teljesíti, csupán a értéke kérdéses, ezt úgy kell megválasztani, hogy x1 -nél éppen f1 (x1 )=a (x1 − x2 ) (x1 − x3 )= 1 = 1 teljesüljön. Ebből a = (x1 −x2 )(x következik. 1 −x3 ) Ezek szerint f1 bázisfüggvényünk: f1 (x) =

(x − x2 ) (x − x3 ) (x1 − x2 ) (x1 − x3 )

Hasonlóképp adódik a másik kettő is: f2 (x) =

(x − x1 ) (x − x3 ) (x2 − x1 ) (x2 − x3 )

f3 (x) =

(x − x1 ) (x − x2 ) (x3 − x1 ) (x3 − x2 )


134

y P2

P1 x

7.25. ábra. Lineáris függvény illesztése a P1 (−2; 1) és P2 (4; 4) pontokra. Az ábrán a bázisok és a tagfüggvények is láthatók.

y

P2 P3

P1 x

7.26. ábra. Másodfokú függvény illesztése a P1 (−2; 1), P2 (2; 5) és P3 (4; 4) pontokra. Az ábrán a bázisok és a tagfüggvények is láthatók.


135

Ha ezeket rendre beszorozzuk a felvenni kívánt yi értékekkel, három olyan tagfüggvényt kapunk, mely a feladatban előírt helyek közül egyben a kívánt értéket veszi fel, a többiben pedig nullát. Így ezek összege minden előírt helyen a megfelelő lesz, hiszen az oda tartozó tagfüggvény hozza a kívánt értéket, a másik kettő pedig – nulla lévén – ezt „nem rontja el”. Tehát a keresett interpolációs függvény: f (x) = y1

(x − x2 ) (x − x3 ) (x − x1 ) (x − x3 ) (x − x1 ) (x − x2 ) + y2 + y3 (x1 − x2 ) (x1 − x3 ) (x2 − x1 ) (x2 − x3 ) (x3 − x1 ) (x3 − x2 )

Példa : Tekintsük a következő pontokat: P1 (−2; 1), P2 (2; 5) és P3 (4; 4). Illesszünk ezekre másodfokú függvényt. Az előző feladat ismétlődik, de ezúttal a bázisfüggvények módszerével fogunk dolgozni. Az elmondottak szerint a bázisfüggvények: f1 (x) =

(x − 2) (x − 4) (x − 2) (x − 4) = ((−2) − 2) ((−2) − 4) 24

f2 (x) =

(x − (−2)) (x − 4) (x + 2) (x − 4) = (2 − (−2)) (2 − 4) −8

f3 (x) =

(x − (−2)) (x − 2) (x + 2) (x − 2) = (4 − (−2)) (4 − 2) 12

Ezek felhasználásával: f (x) = y1

(x − x2 ) (x − x3 ) (x − x1 ) (x − x3 ) (x − x1 ) (x − x2 ) +y2 +y3 (x1 − x2 ) (x1 − x3 ) (x2 − x1 ) (x2 − x3 ) (x3 − x1 ) (x3 − x2 )

f (x) = 1 · Átalakítva:

(x − 2) (x − 4) (x + 2) (x − 4) (x + 2) (x − 2) +5· +4· 24 −8 12

( ) ( ) 4 x2 − 4 x2 − 6x + 8 5 x2 − 2x − 8 f (x) = + + 24 −8 12

1 f (x) = − x2 + x + 4 4 Ez pedig azonos a másik módszerrel kapott eredménnyel.

7.4.3. Az általános eset : a Lagrange-féle interpolációs polinom Tétel : Ha n darab különböző x1 ; x2 . . . xn tékeket, akkor ezekhez egyértelműen polinomfüggvény, melyre f (xi ) = yi – pontokon áthalad. Ez a Lagrange-féle

értékhez megadunk y1 ; y2 . . . yn érlétezik egy legfeljebb n − 1-edfokú vagyis melynek grafikonja a kijelölt interpolációs polinom.


136

7.5. Gyakorló feladatok I. Állapítsuk meg a következő függvények értelmezési tartományát. Ábrázoljuk őket és állapítsuk meg az értékkészletüket is. 4 f (x) = − (x − 3) + 2 f (x) = cos (x + π) + 2 f (x) = sin (2x) f (x) = arctan (2x) + 1 arcsin( x 2) f (x) = √2 f (x) = 4 1 − 2x − 1 f (x) = 3 log2 (x + 3) + 1 II. Az összetevők grafikonjaira épített meggondolásokkal, lényeges helyek figyelembevételével vázoljuk a következő függvények képét. f (x) = 2x − x12 f (x) = x2 + x1 f (x) = x − cos x −x f (x) = x √+ 3 f (x) = x − x III. Az összetevők grafikonjaira épített meggondolásokkal, lényeges helyek figyelembevételével vázoljuk a következő függvények képét. f (x) = x+2 2 cos 2x f (x) = √ log2 x · cos x f (x) = x sin x IV. Az összetevők grafikonjaira épített meggondolásokkal, lényeges helyek figyelembevételével vázoljuk a következő függvények képét. f (x) = sin1 x f (x) = x22+ 1 f (x) = f (x) = f (x) =

1 3x

2

1 log2 x x sin x

V. Írjuk fel azon (minimális fokszámú) polinomot, mely pontosan a megadott zérushelyekkel rendelkezik, továbbá egy ezeken kívüli helyen a kívánt értékkel. f (−3) = 5 ; zérushelyek: −1 ; 2 f (1) = 1 ; zérushelyek: −1; 2 f (1) = 0 ; zérushelyek: −1; 2 f (0) = −5 ; zérushelyek: −2 ; 2 ; 5 VI. Illesszük a lehető legalacsonyabb fokszámú polinomot a következő pontokra. P1 (−2; 5); P2 (4; −1) P1 (−1; 4); P2 (1; 4) P1 (0; 0) ; P2 (1; −2); P3 (2; 6)

7. FEJEZET. FÜGGVÉNYEK KÉPZÉSE P1 (−1; −2); P2 (1; 3); P3 (4; 2) P1 (−2; 1) ; P2 (1; 2); P3 (4; 3)

137

Analízis I. jegyzet. László István november 3

Recommend Documents