ANALISIS RELASI INPUT-OUTPUT DALAM EKONOMI DENGAN MATRIKS TRANSAKSI
La Chidir Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Halu Oleo (UHO) Kampus Bumi Tridharma, Anduonohu, Kendari, Indonesia ABSTRACT Input-output analysis is used to determine value of the total output to final demand. This research aimed to analyze the relationship that occur between the input and output in the form of discrete in economics, as well as to determine function of total output to final demand. The analysis method in this research uses basic matrix operations. The results indicate that a transaction matrix and technology matrix is formed by the relationship between input and output in each sector of the economy. Based on the application of applied mathematics discrete science about relations and matrices it is obtained a general formula which interprets the relationship. In the technology matrix there is final demand that mapping total output as a result of the relation between sectors. It’s mapping is the bijective function that formed in a matrix multiplication. Key words :
Input-Output Analysis, Economic Sector , Basic Operation Matrix, Matrix Of Transaction, Matrix Of Technology, Binary Relation and Bijective Function.
1. PENDAHULUAN Matematika diskrit merupakan cabang matematika yang membahas segala sesuatu yang bersifat diskrit. Relasi dan matriks adalah salah satu bagian dari ilmu matematika diskrit yang bisa diterapkan dalam ilmu lain. Dalam masalah yang berhubungan dengan elemenelemen diskrit, sering dijumpai adanya hubungan/relasi di antara objek-objek tersebut. Dalam kehidupan sehari-hari pun, relasi di antara objek-objek sering dibuat (Siang, 2006). Di dalam matematika diskrit matriks digunakan untuk merepresentasikan struktur diskrit. Struktur diskrit adalah struktur matematika abstrak yang digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut (Munir, 2005). Analisis masukan-keluaran (input-output analisis) merupakan suatu model matematis untuk menelaah struktur perekonomian yang saling kait mengait antar sektor dalam kegiatan ekonomi. Wassily W. Leontief dari Harvard University pertama kali memperkenalkan metode analisis seperti ini secara sederhana pada tahun 1936. Model ini lazim diterapkan untuk menganalisis perekonomian secara makro, nasional ataupun regional. Analisis input-output bertolak dari anggapan bahwa suatu sistem perekonomian terdiri atas sektor-sektor yang saling berkaitan. Masing-masing sektor menggunakan keluaran dari sektor lain sebagai masukan bagi keluaran yang akan dihasilkan, selanjutnya keluaran yang dihasilkan menjadi masukan bagi sektor lain. Selain
menjadi masukan bagi sektor lain, terdapat pula keluaran suatu sektor yang menjadi masukan bagi sektor itu sendiri dan sebagai konsumsi bagi pemakai akhir. Masukan dan keluaran yang terbentuk dari sektorsektor produksi dan konsumen terdistribusi secara acak yang membentuk hubungan/relasi yang bisa dianalisis. Penelitian ini menggunakan metode analisis statis yang berarti masukan-keluaran suatu sektor selalu konstan. Dari relasi input-output tersebut dapat dibentuk matriks transaksi yang terdiri dari beberapa komponen. Distribusi konsumsi, distribusi produksi dan nilai tambah merupakan koefiien yang nilainya dianggap konstan. Sedangkan ada komponen permintaan akhir dan keluaran total merupakan peubah yang saling bergantungan. Komposisi permintaan akhir dan keluaran total dipenelitian ini akan menentukan bagaimana relasi antar sektor input dan sektor output dalam matriks transaksi. Selain itu, menarik juga untuk menganalisis fungsi permintaan akhir dan keluaran total ataupun sebaliknya yang terjadi didalam analisis input-output pada sektorsektor ekonomi. 2. LANDASAN TEORI 2.1. Matriks Matriks adalah susunan skalar elemen-elemen dalam bentuk baris dan kolom. Matriks A yang berukuran dari m baris dan n kolom adalah : [
]
1
Matriks umumnya dituliskan dalam bentuk persegi panjang seperti di atas, namun bisa juga menuliskan matriks dengan notasi ringkas [ ].
elementer bertanda dari A. Jumlah det(A) dinamakan determinan A. Jika diberikan matriks [
]
2.2. Jenis Matriks Matriks Identitas (I) adalah suatu matriks bujur sangkar yang nilainya 1 untuk setiap entri pada diagonal utama dari kiri atau ke kanan bawah dan nol disetiap tempat yang lain. I=[
] adalah matriks identitas berukuran
Suatu matriks yang terdiri atas hanya satu baris adalah suatu vektor baris dimensi-n dan sebaliknya suatu vektor baris dimensi-n adalah matriks berdimensi . Misalkan
[
]
⃗
Suatu matriks yang terdiri atas hanya satu kolom adalah suatu vektor kolom dimensi-m dan sebaliknya suatu vektor kolom dimensi-m adalah matriks . Misalkan
[
]
(1) Minor entri dinyatakan oleh dan didefinisikan menjadi determinan submatriks yang tetap setelah baris ke-i dan kolom ke-j dicoret dari A. Bilangan dinyatakan oleh dan dinamakan kofaktor entri . Kofaktor dan minor elemen hanya berbeda dalam tandanya yaitu . Transpos matriks A dinamakan adjoin A dan dinyatakan dengan adj(A). 2.4. Matriks Tak Singular Suatu matriks persegi disebut tak singular atau invertible (dapat dibalik) jika ada suatu matriks sedemikian sehingga suatu matriks B dengan sifat di atas disebut invers dari matriks A. Jika A tidak mempunyai invers, matriks A disebut singular
⃗⃗
2.5. Invers Matriks 2.3. Operasi Dasar Matriks Transpos dari matriks [ ] yang berukuran adalah matriks yang berukuran dengan kolom A sebagai barisnya dan baris A sebagai kolomnya. Transpos dari matriks A diberi notasi atau atau A’. Dalam penjumlahan matriks, jika
[
] dan
[ ] adalah dua buah matriks berukuran , maka jumlah/selisih kedua matriks tersebut, yaitu adalah matriks [ ] yang berukuran , di mana setiap entri dari C adalah jumlah/selisih entri-entri yang berkorespondensi dari matriks A dan B. Dengan demikian, [ ]. Cara mengalikan dua buah matriks adalah dengan mengalikan elemen baris matriks pertama dengan elemen kolom matriks kedua yang berkorespondensi, lalu menjumlahkannya. Ini berarti bahwa syarat dua buah matriks dapat dikalikan jika banyaknya kolom matriks pertama harus sama dengan banyaknya baris pada matriks kedua.Jadi, Misalkan k adalah sebuah skalar. Perkalian matriks A dengan skalar k adalah mengalikan setiap elemen matriks dengan k. Fungsi determinan dinyatakan oleh det(A), dan didefinisikan det(A) sebagai jumlah semua hasil kali
Matriks invers dari suatu matriks adalah tunggal. Karena matriks invers adalah tunggal, maka untuk selanjutnya matriks invers dari A dapat ditulis dengan . Sebuah matriks A kuadrat dapat dibalik jika dan hanya jika . . Jika A adalah matriks yang dapat dibalik, maka : (2) 2.6. Relasi Biner Perkalian kartesian (cartesian products) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan terurut (ordered pairs) yang mungkin terbentuk dengan komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B. Dinotasikan dengan { } (3) | Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari . Dinotasikan dengan 2.7. Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A
2
dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B. Jika f adalah fungsi dari A ke B dapat dituliskan : yang artinya f memetakan A ke B. Dituliskan jika elemen a di dalam A dihubungkan dengan elemen b di dalam B. Himpunn A disebut daerah asal (domain) dari f dan himpunan B disebut daerah hasil (codomain) dari f. 2.8. Fungsi Bijektif dan Invers Fungsi Misalkan adalah suatu fungsi. Karena tidak semua relasi dari Y ke X merupakan fungsi. Akan tetapi, jika merupakan fungsi yang bijektif, maka setiap elemen memiliki setiap kawan di X. Itu berarti bahwa relasi dari Y ke X merupakan fungsi juga. Fungsi dari Y ke X disebut invers fungsi f (simbol ).
berasal dari sektor lain. Keluaran dari sektor ini juga dapat digunakan oleh sektor lain. Sektor tersebut pula memberi keluaran yang digunakan sebagai masukan sektor itu sendiri atau pun dikonsumsi sebagai permintaan akhir yang didistribusikan ke konsumen. Masukan dan keluaran yang dimaksud ialah pemasukan dan pengeluaran nilai dari/ke masing-masing sektor ekonomi. Pada akhirnya relasi masukan-keluaran tersebut disajikan dalam bentuk tabel yang disebut matriks transaksi. Tabel 1. Matriks Transaksi
Misalkan adalah fungi bijektif dan misalkan pula . Harga invers fungsi f didefinisikan sebagai berikut : elemen
sedemikian hingga
Jadi,
Tabel transaksi dapat dituliskan dalam bentuk notasi matriks. Misalnya melambangkan keluaran dari sektor i yang dipergunakan sebagai masukan oleh sektor j, melambangkan permintaan akhir terhadap keluaran sektor i, melambangkan nilai tambah sektor j, dan adalah keluaran total sektor j. Pemakaian total oleh sektor i adalah : ∑
Gambar 1. Invers Fungsi Keluaran total dari sektor j adalah :
2.9. Representasi Relasi Dengan Matriks { } Misalkan R adalah relasi dari { }. Relasi R dapat disajikan dengan dan matriks [ ],
[
(4)
]
yang dalam hal ini {
2.10. Matriks Relasi Input-Output a. Matriks Transaksi Langkah awal dalam analisis masukan-keluaran adalah menyusun suatu tabel yang berisi keterangketerangan tentang bagaimana keluaran suatu sektor terdistribusi ke sektor-sektor lain sebagai masukan dan ke pemakai akhir sebagai barang konsumsi. Sebagaimana proses yang terjadi antarsektor ekonomi, ketika suatu sektor menggunakan keluaran yang
∑
(5)
Dari matriks transaksi di atas dapat diketahui, bahwa bagi sektor j untuk memproduksi keluaran sejumlah diperlukan masukan-masukan dari sektor 1 hingga sektor n dan sejumlah tertentu nilai tambah atau masukan primer. Hal ini berarti bahwa masing-masing kolom menggambarkan hubungan masukan-keluaran antar sektor. Pada saat yang sama matriks transaksi memberikan informasi tentang bagaimana keluaran dari suatu sektor terdistribusi di antara sektor-sektor yang ada, termasuk sektor konsumen akhir. b. Matriks Teknologi Jika nilai setiap unsur dalam matriks transaksi tersebut dibagi dengan nilai jumlah baris atau nilai jumlah kolom yang bersesuaian (misal dibagi ), maka diperoleh suatu rasio yang dinamakan koefisien teknologi. (6)
3
Bila persamaan (9) diuraikan maka diperoleh,
Koefisien teknologi adalah suatu rasio yang menjelaskan jumlah atau nilai keluar sektor 1 yang diperlukan sebagai masukan untuk menghasilkan satu unit keluaran di sektor j.
(10)
Jika semua koefisien teknologi yang ada dihitung ( dihitung untuk semua i dan j) dan hasil-hasilnya disajikan dalam suatu matriks, diperoleh sebuah matriks teknologi. Jadi, matriks teknologi adalah suatu matriks analisis masukan-keluaran yang unsur-unsurnya berupa koefisien teknologi.
Dari persamaan (2.24) dapat dibentuk perkalian matriks [
]
[
[
]
[
][ ]
[
][ ]
Matriks Teknologi atau ][ ] (11)
D dan V masing-masing adalah matriks kolom permintaan akhir dan matriks kolom keluaran total, I adalah matriks satuan, sedangkan A adalah matriks teknologi yang dibentuk berdasarkan matriks transaksi.
Sedangkan nilai yang tidak konstan dibentuk dalam matriks kolom, yaitu permintaan akhir (D) dan keluaran total (V).
[
]
[ ]
(7)
Jika matriks tak singular, yakni , maka akan diperoleh fungsi balikan matriks yang juga berlaku pada fungsi matriks (11), yaitu
(8)
(12) Dari persamaan (4) yaitu :
Ini berarti jika matriks A dan vektor D diketahui, maka vektor V dapat dicari secara langsung menuruti kaidah matriks. Dengan kata lain, jika masing-masing koefisien masukan antar sektor dan permintaan akhir untuk setiap sektor diketahui datanya, maka dapatlah dihitung keluaran total dari masing-msaing sektor.
∑ dan koefisien diperoleh bahwa diperoleh
⁄ , dari koefisien teknologi (6) , sehingga dari (4) dan (6)
3. HASIL DAN PEMBAHASAN 3.1. Analisis Relasi Input-Output Penelitian ini menggunakan data klasifikasi dari sembilan sektor ekonomi dalam pemerintahan pada tahun 2005. Data ini berbentuk Tabel IO yang merupakan Tabel Input-Output Nasional tahun 2005. Data diperoleh dari Badan Pusat Statistik yang membagi Tabel Input-Ouput Nasional 2005 dalam 9 (Sembilan) sektor.
∑ Atau ∑
(9)
Tabel 2. Matriks transaksi berupa tabel I-O (Milyar Rupiah) Nasional 2005 Skt 1 2 3 4 5 6 7 8 9 NT IM TI
1 32.519 0 43.163 269 4.342 11.114 5.279 6.586 2.533 375.615 9.461 490.881
2 49 27.370 11.435 277 4.013 2.944 3.663 2.985 3.428 317.170 13.917 387.251
3 210.813 118.352 410.803 24.184 2.447 107.949 53.080 44.420 20.801 795.681 339.615 2.128.145
4 0 12.560 20.908 13.504 848 3.223 1.064 2.440 170 26.911 7.266 88.894
5 9.255 30.856 171.184 248 589 49.182 15.738 22.142 3.379 206.862 69.006 578.441
6 32.471 13 85.027 10.813 9.272 30.822 35.826 59.330 11.342 433.186 22.834 730.936
7
8
73 25 55.936 4.010 6.378 13.239 28.703 15.957 35.478 194.422 44.205 398.426
64 0 9.645 2.282 10.103 4.841 9.316 46.934 11.964 239.391 17.648 352.188
9 10.219 674 88.914 5.754 11.468 30.244 17.737 18.067 19.332 287.654 43.051 533.114
PA 195.418 197.401 1.231.130 27.553 528.981 477.378 228.020 133.327 424.687
TO 490.881 387.251 2.128.145 88.894 578.441 730.936 398.426 352.188 533.114
sumber : www.bps.go.id/index.php (Badan Pusat Statistik (BPS))
4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 PA NT IM TO TI
Keterangan : : Pertanian : Pertambangan & Penggalian : Industri Pengolahan : Listrik, Gas, & Air Bersih : Bangunan : Perdagangan, Hotel & Restoran : Pengangkutan & Komunikasi : Keuangan Real Estate & Jasa Perusahaan : Jasa-Jasa : Permintaan Akhir : Nilai Tambah : Impor : Total Output : Total Input
Misalkan suatu saat sektor 1 (Pertanian) mengalami perkembangan yang begitu menguntungkan sehingga timbul potensi untuk mengembangkan perekonomian. Dengan pemisalan ini dilakukanlah peningkatan permintaan akhir akhir hanya pada beberapa sektor, sedangkan sektor lain mengalami penyesuaian. Dari kesembilan sektor di atas, dengan mengubah target permintaan akhir pada masing-masing sektor menjadi seperti berikut : 1) Sektor 1 dari 195.418 ditingkatkan menjadi 550.000 2) Sektor 2 dari 197.401 diturunkan menjadi 100.000 3) Sektor 3 dari 1.231.130 ditingkatkan jadi 1.500.000 4) Sektor 4 dari 27.553 ditingkatkan menjadi 50.000 5) Sektor 5 dari 528.981 ditingkatkan menjadi 700.000 6) Sektor 6 dari 477.378 ditingkatkan menjadi 650.000 7) Sektor 7 dari 228.020 ditingkatkan menjadi 300.000 8) Sektor 8 dari 133.327 diturunkan menjadi 70.000 9) Sektor 9 dari 424.687 diturunkan menjadi 250.000
3.3. Pengurangan Matriks Identittas dengan Matriks Teknologi Pengurangan matriks identitas dengan matriks teknologi dimaksudkan untuk mencari nilai matriks , selanjutnya dapat dinotasikan dalam matriks sebagai berikut :
3.2. Transformasi Matriks Transaksi ke dalam Bentuk Matriks Teknologi Mengacu pada persamaan (6) tentang koefisien teknologi yaitu
dengan
dan
=
, dimana : Besarnya output dari sektor dipergunakan sebagai input oleh sektor
=
Total Ouput (Keluaran Total) dari sektor
yang
Misalkan adalah matriks teknologi, maka berdasarkan tabel 2 di atas dapat dibentuk matriks teknologi sebagai berikut : [
] dengan
3.4. Menentukan Invers dari Matriks Penentuan invers dari matriks dimaksudkan untuk mengetahui informasi penting tentang bagaimana kenaikan produksi dari suatu sektor. Yang invers matriksnya diselesaikan dengan menggunakan aplikasi matlab yang hasilnya sebagai berikut :
dan
Atau dengan memasukkan nilai-nilai pada tabel di atas, maka diperoleh :
5
3.5. Menentukan Keluaran Total Berdasar pada Target Baru dari Permintaan Akhir Berdasarkan Tabel 1. Matriks Transaksi, di mana adalah matriks kolom dari keluaran total dan adalah matriks kolom dari target baru pada permintaan akhir. Maka dapat diperoleh matriks kolom atau keluaran total dengan mengacu pada persamaan (12) yaitu . Sehingga matriks dapat dinotasikan sebagai berikut :
dari keluaran total awal, dan pada sektor 9 mengalami penurunan hanya 30% dari keluaran total awal. Dengan membandingkan komposisi keluaran total pada data awal dan data baru seperti Tabel 3 di atas, maka dapat dikatakan komposisi inilah yang membuktikan bahwa masing-masing sektor mempunyai relasi antarsektor, tepatnya relasi itu terjadi pada inputoutput masing-masing sektor.
3.7. Analisis Fungsi Keluaran Permintaan Akhir
Total
Terhadap
Untuk menentukan keluaran total dapat digunakan fungsi pertama ( ) sesuai persamaan (12) yaitu : (13) Misalkan himpunan adalah himpunan semua vektor atau permintaan akhir dan himpunan adalah himpunan semua vektor atau keluaran total. Jika , dan
adalah fungsi bijektif dan misalkan didefinisikan dengan :
Berdasarkan persamaan (13) , atau dapat dituliskan
3.6. Analisis Komposisi Keluaran Total Antar Sektor Dengan telah diperolehnya nilai keluaran total terhadap permintaan akhir pada masing-masing sektor, dapat dilihat bahwa komposisi yang berbeda terjadi pada perubahan pemintaan akhir dan keluaran totalnya. Meskipun ada beberapa sektor yang tetap mengalami penurunan dan ada juga yang mengalami peningkatan. Tabel 3. Perbandingan Data Awal dan Data Baru
maka
diketahui
Dengan mengalikan kedua ruas dengan akan diperoleh :
, maka
(14) Ternyata terdapat fungsi kedua yang berupa persamaan (14) dimana merupakan persamaan untuk menentukan permintaan akhir atau matriks . Dari persamaan (14) dapat disimpulkan bahwa: Dengan menganggap sebagai faktor pengali pada , maka dapat dibentuk fungsi balikan yaitu dengan sebagai faktor pengalinya. Jadi, dengan sedemikian sehingga
Bila diamati sektor 2, sektor 8, dan sektor 9 yang target permintaan akhirnya turun sekitar setengahnya berakibat pada penurunan keluaran totalnya. Namun, penurunan keluaran total pada ketiga sektor tersebut bahkan tidak mencapai setengahnya. Seperti pada sektor 2 yang mengalami penurunan hanya 14% dari keluaran total awal, pada sektor 8 mengalami penurunan hanya 7%
Sehingga terlihat bahwa fungsi keluaran total tehadap permintaan akhir memiliki fungsi balikan berupa fungsi permintaan akhir terhadap keluaran total . Fungsi invers ini dapat digambarkan sebagai berikut :
6
Daftar Pustaka Anton, H. 1987. Aljabar Linear Elementer. Edisi Kelima. Jakarta: Erlangga.
Gambar 2. Fungsi Balikan
dan
Dapat disimpulkan bahwa fungsi di atas merupakan fungsi yang invertible, sehingga pada matriks transaksi terdapat fungsi bijektif (berkorespondensi satu-satu). Pemetaan itu terjadi pada permintaan akhir yang memetakan keluaran total akibat adanya relasi antar sektor. 4. PENUTUP 4.1. Kesimpulan
Dowling, E. T., 1980. Matematika untuk Ekonomi. Terjemahan Bambang Sugiarto. Jakarta: Erlangga. Dumairy. 1999. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi. Yogyakarta : Penerbit BPFE Johannes, H., & Handoko, B. S. 1989. Pengantar Matematika Untuk Ekonomi. Jakarta: LP3S Matthews, K. R. 1998. Elementary Linear Algebra. Second Online Version. Departement of Mathematics Queensland University
Pada analisis Input Output terdapat relasi antarsektor, tepatnya relasi ini terjadi pada input dan output masingmasing sektor. Dalam menjalankan perekonomian, relasi antarsektor ini sangat berguna sebagai pendukung dalam sistem yang terkait dengannya. Dan dengan bantuan matriks, maka dapat dituliskan relasi ini dalam bentuk matriks transaksi dan matriks teknologi.
Purwanto, H., Indriani, G., & Damayanti, E. 2005. Aljabar Linear. Cirebon: Ercontara Rajawali.
Pada fungsi keluaran total dengan sebagai faktor pengali yang memetakan keluran total dari pemintaan akhir. Dengan menggunakan dasar matriks sebagai matriks yang invertible, maka dapat dibentuk matriks sebagai faktor pengali pada fungsi permintaan akhir . Karena memiliki fungsi balikan berupa maka dapat disimpulkan bahwa pemetaan yang terjadi pada permintaan akhir yang memetakan keluaran total merupakan fungsi bijektif (berkoespondensi satusatu), karena didapat membentuk fungsi balikannya. Fungsi ini dibentuk dalam perkalian matriks dengan dan sebagai faktor pengalinya.
Munir, R. 2005. Matematika Diskrit. Edisi Ketiga. Bandung: Penerbit Informatika.
Rahayu, Y., & Nurhadiono, B. 2012. Implementasi Matriks Pada Matematika Bisnis dan Ekonomi. Program Studi Teknik Informatika FIK Universitas Dian Nuwantoro Semarang.
Siang, J. J. 2006. Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer. Yogyakarta: Penerbit Andi.
4.2. Saran Sebagaimana diketahui, model input-output atau lebih dikenal dengan model ekonomi leontif terdiri dari dua jenis yaitu model input-output terbuka dan model inputoutput tertutup. Dalam tulisan ini, peneliti menganalisis relasi input-output antarsektor pada model input-output terbuka. Serta data yang digunakan oleh peneliti pada tulisan ini merupakan data dimana total output sama dengan total input. Bagi peneliti yang tertarik dengan analisis relasi input-output ini dapat mengkaji lebih jauh tentang relasi yang terjadi pada model input-output tertutup. Selain itu bagaimana relasi yang terjadi jika total output lebih besar dari total inputnya atau sebaliknya jika total output lebih kecil dari total outputnya.
7
