Analisis Model Fluida Casson untuk Aliran Darah dalam Stenosis Arteri

Prosiding Simposium Nasional Inovasi Pembelajaran dan Sains 2011 (SNIPS 2011) 22-23 Juni 2011, Bandung, Indonesia

Analisis Model Fluida Casson untuk Aliran Darah dalam Stenosis Arteri Riri Jonuarti* dan Freddy Haryanto Diterima 21 Mei 2011, direvisi 15 Juni 2011, diterbitkan 2 Agustus 2011 Abstrak Beberapa peneliti telah menemukan bukti bahwa dinamika fluida pembuluh darah memainkan peran utama dalam pengembangan dan perkembangan penyakit arteri. Arteri yang menyempit disebabkan oleh perkembangan plak aterosklerosis yang mencuat ke dalam lumen, mengakibatkan terjadinya stenosis arteri. Ketika sebuah obstruksi (penghalang) berkembang dalam arteri, salah satu konsekuensi paling serius adalah resistansi aliran meningkat dan terjadi pengurangan jumlah aliran darah ke tempat tertentu yang dipasok melalui arteri. Telah dibuat simulasi kecepatan aliran darah dalam pembuluh arteri dan dalam kaitannya dengan penyakit stenosis. Dalam simulasi ini digunakan aliran berdenyut dan darah dianggap sebagai fluida yang dinamis, mampat dan kental. Untuk stenosis telah digunakan model fluida Casson. Profil kecepatan aliran dalam pembuluh arteri dengan variasi jarak stenosis dari sumbu pembuluh darah diperoleh makin jauh posisi stenosis dari sumbu pembuluh darah makin rendah kecepatan aliran. Resistansi aliran bertambah dengan bertambahnya ukuran (tinggi dan panjang) stenosis. Kata-kata kunci: aliran darah, arteri, femoralis, fluida Casson, stenosis. pemahaman, diagnosis dan penyakit penyumbatan arteri.

Pendahuluan Proses peredaran darah dipengaruhi oleh kecepatan darah, luas penampang pembuluh darah, tekanan darah dan kerja otot yang terdapat pada jantung dan pembuluh darah. Salah satu pembuluh darah yang ditinjau pada tulisan ini adalah pembuluh darah arteri femoralis. Arteri femoralis adalah arteri yang memanjang dari pangkal paha sampai lutut. Arteri ini adalah arteri utama yang membawa pasokan darah ke tungkai bawah.

Teori Aliran darah dalam arteri didorong oleh jantung, oleh karena itu alirannya berdenyut. Model sederhana untuk aliran berdenyut dikembangkan oleh Womersley [4]. Untuk aliran darah yang berosilasi dimodelkan dari fluida yang mampat dalam silinder, melingkar lurus dengan panjang l, dan jari-jari R yang terisi fluida dengan kerapatan ρ dan kekentalan µ.

Ada banyak bukti bahwa dinamika fluida pembuluh darah memainkan peran utama dalam pengembangan dan perkembangan penyakit arteri [1,2]. Salah satu dari penyakit arteri adalah penyempitan arteri atau di dalam istilah kedokteran dikenal juga dengan stenosis arteri. Arteri yang menyempit disebabkan oleh perkembangan plak aterosklerosis yang mencuat ke dalam lumen, mengakibatkan terjadinya stenosis arteri. Ketika sebuah obstruksi (penghalang) berkembang dalam arteri, salah satu konsekuensi paling serius adalah resistansi aliran meningkat dan terjadi pengurangan jumlah aliran darah ke tempat tertentu yang dipasok melalui arteri.

Bila aliran tunak, maka gradien tekanan adalah (p1 – p2)/l bernilai konstan, dengan p1 dan p2 adalah tekanan pada ujung-ujung pipa. Anggap w adalah kecepatan longitudinal cairan pada suatu titik pada jarak r dari sumbu pipa. Persamaan gerak cairan dinyatakan dengan:

.

(1)

dengan solusinya: .

(2)

Bila gradien tekanan tidak konstan, maka persamaan (1) berbentuk:

Stenosis ini berhubungan dengan penumpukkan zat lemak (seperti kolesterol) pada dinding dalam pembuluh arteri ataupun perubahan patologis dalam struktur jarigan [3]. Perkembangan dari stenosis ini dapat menyebabkan gangguan peredaran darah yang serius, dimana pada stenosis, perilaku aliran darah sangat berbeda dari keadaan arteri normal. Dengan demikian, studi aliran darah pada stenosis memainkan peran penting untuk

ISBN xxx-x-xxxx-xxxx-x

pengobatan

.

(3)

Tinjau gradien tekanan sinusoidal yang terdiri dari sinus dan kosinus,

1

http://portal.fi.itb.ac.id/cps/


.

matematis untuk jari-jari bagian dinyatakan sebagai berikut [5,6]:

(4)

stenosis

Dengan frekuensi osilasi adalah ω/2π. Subsitusi persamaan (4) ke persamaan (3) diperoleh: .

,(10) dengan R0 adalah jari-jari arteri normal (tanpa stenosis), R(z) adalah jari-jari arteri dalam daerah stenosis, L adalah panjang arteri, L0 adalah panjang stenosis, d adalah lokasi stenosis, pi adalah tekanan inlet, po adalah tekanan outlet, δh adalah tinggi maksimum stenosis.

(5)

Penyelesaian dari persamaan ini akan memberikan komponen aksial dan radial dari laju aliran darah dalam arteri. Solusi persamaan (5) diperoleh dengan cara pemisahan variabel sebagai berikut: .

Dalam model fluida Casson, persamaan konstitutif adalah:

(6)

Dengan memasukan persamaan (6) ke dalam persamaan (5) diperoleh: .

, (11)

,

(7)

dengan w adalah kecepatan aksial, τ0 adalah 2 tegangan dan η adalah viskositas fluida.

Persamaan (7) merupakan persamaan Bessel, dengan solusi sebagai berikut:

Resistansi aliran diperoleh dengan menerapkan persamaan konstitutif; yaitu:

,

,

(8)

(12)

dengan koefisien f, g, dan h diberikan oleh persamaan berikut [6].

Akhirnya, persamaan (6) menjadi: ,

(9) ,

dengan J0 adalah fungsi Bessel untuk orde nol, v = µ/ρ adalah viskositas kinematika, y = r/R dan α

(13)

dan G1, G2 dan G3 diberikan dalam persamaan:

adalah parameter tanpa dimensi yang

=

dikenal sebagai bilangan Womersley.

, (14)

L0

d

δh R0

pi

R(z)

0

τ0

p0

, (15)

z

L Gambar 1. Geometri dari arteri stenosis.

. (16)

Diasumsikan bahwa stenosis terbentuk dalam arteri secara simetris radial bergantung pada jarak aksial z dan tinggi pertumbuhannya, seperti terlihat dalam Gambar 1. Model


2



Terlihat profil kecepatan aliran darah dalam Gambar 3 menunjukkan pola yang sama untuk setiap bilangan Womersley, namun dengan nilai kecepatan yang berbeda, seperti diplot dalam Gambar 4. Ketika bilangan Womersley makin besar, terlihat profil kecepatan menjadi lebih 0 datar. Profil kecepatan untuk ∆ωt = 180 0 memiliki nilai yang sama dengan ∆ωt = 0 tetapi dengan tanda yang berlawanan. Hal ini mengikuti pola dari sumber aliran berdenyut (berosilasi) yang menggunakan gradien tekanan sinusoidal yang terdiri dari sinus dan kosinus, dimana terjadi pembalikan fase setelah 1800.

Metode Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode kajian pustaka dan simulasi. Untuk mencapai tujuan penelitian akan dilakukan kegiatan-kegiatan seperti digambarkan dalam diagram alir pada Gambar 2. Persamaan Aliran Darah

Persamaan umum aliran darah dalam arteri (Pers(9))

Persamaan aliran darah arteri untuk kasus stenosis Persamaan resistansi aliran darah model fluida Casson (Pers(12))

Profil Ke cepatan 14 Kecepatan (cm/s)

Hasil profil kecepatan Hasil profil kecepatan

Analisa dan Kesimpulan

12 Bil. Womersley : 3.34

10

Bil. Womersley : 3.52

8


6


4


2 0 -1

Gambar 2. Diagram alir penelitian.

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Posisi radial

Gambar 4. Profil kecepatan aliran darah dalam arteri untuk beberapa bilangan Wormersley pada saat ∆ωt = 00.

Hasil dan diskusi Hasil simulasi profil kecepatan untuk beberapa nilai bilangan Womersley (α) diperlihatkan dalam Gambar 3, dimana profil kecepatan diambil plot antara posisi radial terhadap posisi sudut (ωt) yang berbeda-beda.

Gambar 4 memperlihatkan profil kecepatan 0 aliran darah saat ∆ωt = 0 untuk beberapa nilai bilangan Womersley. Terlihat bahwa hubungan bilangan Womersley dengan kecepatan aliran adalah semakin kecil bilangan Womersley semakin besar kecepatan aliran. Misalnya untuk bilangan Womersley paling kecil 3,34 kecepatannya berfluktuasi disekitar 12 sampai 13 cm/s, besar kecepatan aliran untuk bilangan ini adalah paling besar diantara tiga bilangan Womersley lainnya. Dalam Gambar 4 juga terlihat profil kecepatan memiliki puncak maksimum dan minimum yang tingginya berbeda untuk setiap bilangan Womersley yang dipakai. Rata-rata untuk tiap-tiap bilangan Womersley puncak maksimumnya terletak pada posisi radial antara 0,4 sampai 0,8, sedangkan untuk puncak minimunnya untuk semua variasi bilangan Womerley terletak di sumbu pembuluh darah. Adanya puncak maksimum dan puncak minimum pada profil kecepatan ini dikarenakan aliran darah dipompa oleh jantung yang menghasilkan gradien tekanan yang berdenyut sehingga aliran darah berosilasi. Simulasi profil kecepatan aliran darah pada kasus stenosis dibuat dengan parameter sebagai berikut: α = 3,52; R0 = 0,24 cm; L = 10 cm, ρ = 1,05 g/cm3, dan µ = 3,0 x 10-3 Kg/m.s. Profil kecepatan aliran dalam pembuluh arteri dengan variasi jarak stenosis dari sumbu pembuluh darah (Ri) diperlihatkan dalam Gambar 5. Dari hasil simulasi diperoleh makin jauh posisi stenosis dari sumbu pembuluh darah makin rendah kecepatan aliran. Hal ini

Gambar 3. Profil kecepatan aliran darah dalam arteri untuk beberapa bilangan Womersley. Profil 0 kecepatan diplot untuk interval ∆ωt = 15 . (a). α = 3,34. (b). α = 3,52. (c). α = 3,75, (d). α = 4,00.


-0.8

3



disebabkan oleh makin jauh posisi stenosis dari sumbu pembuluh darah, berarti juga makin kecil ukuran stenosis, sehingga penampang lintang aliran yang dilalui darah makin besar.

dengan bertambahnya ukuran (tinggi dan panjang) stenosis. Hal ini terjadi karena pada stenosis terdapat penghalang yang terbentuk dari plak pada dinding-dinding pembuluh darah. Kurva tinggi stenosis terhadap resistansi aliran untuk beberapa nilai tegangan geser diperlihatkan dalam Gambar 6b. Perhitungan 3 diambil untuk nilai n = 1, ρ = 1,05 g/cm , µ = 3,5 -3 x 10 Kg/m.s, dan L0 = 0,5L. Dalam Gambar 6b terlihat bahwa resistansi aliran berkurang apabila tegangan geser bertambah. Misalnya untuk tegangan geser yang bernilai rendah seperti 0 Pa, 0,02 Pa dan 0,04 Pa resistansi alirannya cenderung bertambah sangat besar seiring bertambahnya ukuran stenosis. Sedangkan untuk nilai tegangan geser yang relatif besar yaitu 19,25 Pa, kenaikan resistansi aliran terhadap bertambahnya ukuran stenosis tidak terlalu besar. Hal ini terjadi karena tegangan geser membuat pembuluh darah menjadi lentur sehingga memudahkan darah mengalir. Hasil simulasi ini mempunyai pola yang sama dengan hasil yang diperoleh oleh Joshi.P dkk [6].

Gambar 5. Profil kecepatan aliran darah untuk beberapa nilai jarak stenosis dari sumbu pembuluh darah.

Kesimpulan Makin besar bilangan Womersley, terlihat profil kecepatan menjadi tumpul. Profil 0 kecepatan untuk ∆ωt = 180 memiliki nilai yang 0 sama dengan ∆ωt = 0 tetapi dengan tanda yang berlawanan. Makin jauh posisi stenosis dari sumbu pembuluh darah makin rendah kecepatan aliran. Hal ini disebabkan oleh makin jauh posisi stenosis dari sumbu pembuluh darah, berarti juga makin kecil ukuran stenosis, sehingga penampang lintang aliran yang dilalui darah makin besar. Untuk model fluida Casson, resistansi aliran bertambah dengan bertambahnya ukuran (tinggi dan panjang) stenosis. Sedangkan resistansi aliran berkurang apabila tegangan geser bertambah. Referensi [1] Srivastava. L.M, (1985): Flow of couple stress fluid through stenotic blood vessels. J. Biomech, 18, 479–85. [2] Tu. C, dan Deville. M, (1996): Pulsatile flow of non-Newtonian fluids through arterial stenosis. J. Biomech, 29, 899–908. [3] Liepsch. D, M. Singh, dan L. Martin, (1992): Experimental analysis of the influence of stenotic geometry on steady flow, Biorheology 29, 419–431. [4] Womersley. J.R. (1955): Method for the Calculation of Velocity, Rate of Flow and Viscous Drag in Arteries when the Pressure Gradient is Known. J. Physiol. 127. 553-563. [5] Sankar. D.S dan Hemalatha, (2006): Pulsatile flow of Hershel-Bulkley fluid through stenosed arteries- A mathematical

Gambar 6. (a).Variasi nilai resistansi aliran (λ) dengan tinggi stenosis (δ/R0) saat τ = 19,25 Pa untuk beberapa nilai panjang stenosis (L0). (b). Variasi nilai resistansi aliran (λ) dengan tinggi stenosis (δ/R0) untuk beberapa nilai tegangan geser (τ). Kurva tinggi stenosis terhadap resistansi aliran untuk nilai panjang stenosis berturut-turut L0 = 0,1L, L0 = 0,5L, dan L0 = L diperlihatkan dalam Gambar 6a. Perhitungan dilakukan dengan parameter-parameter; n = 1, R0 = 2,4 mm, ρ = 1,05 g/cm3, µ = 3,5 x 10-3 Kg/m.s, τ = 19,25 Pa, dan α = 3,59. Dalam Gambar 6a terlihat bahwa resistansi aliran bertambah


4



model, International Journal of Non-Linier Mechanics 41, 979-990. [6] Joshi. P, Pathak. A, dan Joshi, B. K, (2010): Modelling of arterial stenosis and its effect on flow of blood, International Journal of Applied Mathematics and Computation, 2 (4), 23-31. Riri Jonuarti* Nuclear Physics and Biophysis Research Division Institut Teknologi Bandung [email protected]

Freddy Haryanto Nuclear Physics and Biophysis Research Division Institut Teknologi Bandung [email protected]

*Corresponding author


5


Analisis Model Fluida Casson untuk Aliran Darah dalam Stenosis Arteri

Recommend Documents