ANALISIS ALIRAN DAN PERPINDAHAN PANAS FLUIDA SISKO DALAM KEADAAN STEDI Nama Mahasiswa : NRP : Jurusan : Dosen Pembimbing :
Nuri Anggi Nirmalasari 1207 100 017 Matematika FMIPA-ITS Prof. DR. Basuki Widodo, M.Sc. Drs. Kamiran, M.Si.
Abstrak Fluida Sisko dikatakan sebagai fluida non-Newtonian karena perilakunya yang menyimpang dari hukum Newton. Pada aliran fluida Sisko dalam pipa, hubungan antara besar tegangan geser dan regangan gesernya akan linear bila batas tegangan geser mulai terlampaui. Oleh sebab itu perlu diketahui bagaimana profil kecepatan dan perpindahan panas yang terjadi pada aliran fluida sisko di dalam pipa. Pada Tugas Akhir ini dikaji tentang model kecepatan aliran dan perpindahan panas fluida sisko yang mengalir dalam pipa untuk mengetahui bagaimana profil kecepatan dan perpindahan panasnya. Untuk itu dibuat asumsi dan batasan masalah serta digunakan hukum kekekalan massa, persamaan momentum linier, persamaan tekanan pada fluida bergerak dan persamaan konveksi panas. Model yang diperoleh merupakan sistem persamaan diferensial biasa (PDB). Model tersebut selanjutnya diselesaikan secara numerik menggunakan metode beda hingga dengan skema pusat dan divisualisasikan dengan bantuan program Matlab 7.10. Dari visualisasi hubungan antara jari-jari silinder dengan kecepatan aliran fluida yang ditunjukkan dalam bentuk grafik, kecepatan fluida Newtonian lebih besar daripada fuida sisko saat n=1, dan sebaliknya untuk n=0. Temperatur fluida sisko selalu lebih besar daripada fluida Newtonian. Dengan demikian terlihat bahwa profil kecepatan dan temperatur fluida sisko dipengaruhi oleh besarnya tekanan yang diberikan dan nilai parameter material b, selain itu distribusi panas juga dipengaruhi oleh bilangan Brinkman. Kata kunci: fluida sisko, kecepatan aliran, perpindahan panas, metode beda hingga. Salah satu cara untuk mengatasi masalah tersebut yaitu dengan memberikan energi panas pada fluida sisko sebelum fluida dialirkan ke dalam pipa , karena fluida sisko memiliki sifat unik yaitu dapat menahan tegangan geser tertentu tanpa dapat mengalir, namun bila tegangan luluhnya terlewati fluida tersebut akan mengalir seperti air. Hal ini menyebabkan sulitnya memprediksi bagaimana profil kecepatan aliran dan perpindahan panas dalam pipa . Bagaimanapun profil kecepatan aliran dan perpindahan panas sangat dibutuhkan guna mengetahui langkah-langkah yang efektif dalam
1. PENDAHULUAN Seiring perkembangan jaman, maka sektor industri dan teknik berkembang dengan pesat. Dan fluida berbentuk cairan (liquid) banyak digunakan pada bidang industri dan teknik. Misalnya dalam bidang industri fluida digunakan sebagai bahan pembuatan plastik, cairan pelumas pada sistem pelumasan, pembuatan lilin, dan lain sebagainya. Fluida sendiri pada dasarnya terdiri atas dua macam, yaitu cair dan gas. Dan fluida fase cair dibagi lagi menjadi dua karakteristik yaitu fluida Newtonian dan fluida non-Newtonian. Fluida Newtonian merupakan fluida yang perilakunya sesuai dengan hukum Newton, dalam hal ini contohnya adalah air, sedangkan fluida yang banyak digunakan pada bidang industri adalah fluida nonNewtonian. Dan salah satu fluida non-Newtonian yang digunakan adalah fluida sisko. Akan tetapi perilaku fluida sisko yang menyimpang dari hukum Newton membuat fluida tersebut sulit mengalir dalam pipa . Dikatakan menyimpang karena fluida tersebut tidak dapat mengalir dalam pipa tanpa adanya energi panas atau kerja yang diberikan pada fluida sisko sebelum dialirkan dalam pipa . Masalah yang timbul akibat perilaku fluida sisko yang tidak wajar akan menjadi penghambat bagi kerja industri tersebut.
mengatasi masalah yang timbul akibat perilaku fluida sisko yang tidak wajar. Oleh karena itu model matematika dibuat berdasarkan persamaan fluida sisko yang telah ditentukan, dan persamaan yang berlaku terhadap fluida secara umum seperti hukum kekekalam massa, persamaan momentum linier, persamaan tekanan fluida bergerak dan persamaan konveksi panas. Diharapkan terbentuk model matematika yang dapat menjelaskan bagaimana hubungan antara parameterparameter yang berlaku dengan kecepatan aliran dan temperatur fluida sisko dalam pipa . Dibuat beberapa asumsi berdasarkan kondisi ideal sehingga memudahkan dalam pemodelan serta perhitungan numeriknya. Model matematika yang didapat
1
diselesaikan menggunakan metode beda hingga dengan skema pusat, dan hasil penyelesaian dari model ini divisualisasikan menggunakan bantuan program Matlab 7.10. Pada penelitian ini diberikan batasan masalah dan asumsi sebagai berikut : 1. Tipe aliran fluida sisko yang mengalir dalam pipa adalah seragam stedi. 2. Diasumsikan pipa yang digunakan adalah pipa annulus dengan panjang (L). 3. Penampang pipa berupa silinder dengan diameter (D). 4. Luas penampang pipa adalah konstan .
fluida yang sangat langka sehingga untuk mendapatkannya pun sangat sulit. Pada beberapa kasus fluida ini digunakan untuk melapisi pipa dalam pada pipa annulus Dengan demikian untuk aliran fluida sisko dalam pipa annulus dengan gerakan yang dimulai dari luar pipa memiliki persamaan tensor tegangan sebagai berikut (M.khan, 2010): (2.2) Dimana p adalah tekanan, I tensor identitas dan S merupakan tensor tegangan extra (tegangan yang terjadi pada aliran fluida sisko) yang didefinisikan sebagai berikut : [
2. DASAR TEORI 2.1 Fluida Zat yang tersebar di alam dibedakan dalam tiga fase, yaitu fase padat, cair dan gas. Karena fase cair dan gas memiliki karakter tidak mempertahankan bentuk yang tetap, maka keduanya mempunyai kemampuan untuk mengalir, dengan demikian keduanya disebut fluida. Fluida merupakan zat yang berubah bentuk secara kontinu (terus menerus) bila terkena tegangan geser, betapapun kecilnya tegangan geser itu. Perbedaan zat cair dan gas ialah zat cair merupakan zat yang tak mampu mampat (incosmpressible) sedangkan gas merupakan zat yang mampu mampat (compressible). Kemampatan sendiri adalah perubahan (pengecilan) volume karena adanya perubahan (penambahan) tekanan. Untuk fluida cair tekanan dapat diabaikan dan viskositasnya akan turun dengan cepat bila temperaturnya dinaikkan. Viskositas atau kekentalan adalah sifat dari fluida untuk melawan tegangan geser pada waktu bergerak atau mengalir. Contoh dari fluida kental, dimana mempunyai kekentalan besar adalah : minyak, oli, sirup dan sebagainya, sedangkan air merupakan contoh dari fluida encer, dimana mempunyai kekentalan kecil. Untuk fluida pada umumnya, tegangan dan laju regangan geser (gradient kecepatan) dapat dikaitkan dalam suatu hubungan dalam bentuk (Munson,2004): ̇ (2.1) Dimana : = tegangan geser = kekentalan (viskositas) ̇ = laju regangan geser
|√
(
)|
]
(2.3)
Dimana: (2.4) dan (2.5) Pada persamaan diatas , V adalah kecepatan, A1 merupakan tensor Rivlin-Erickson pertama, sedangkan n, a dan b merupakan beberapa parameter yang didefinisikan berbeda untuk beberapa fluida yang berbeda pula. Aliran fluida sisko yang akan dianalisis ialah kecepatan aliran dan temperatur fluida dalam keadaan steady, berikut persamaan dari kecepatan ( ) dan temperatur ( ) fluida terhadap jari-jari pipa: ( ) (2.6) ( ) (2.7)
2.3 Koordinat Polar Silinder Dalam beberapa persoalan hubungan diferensial dapat dijelaskan dalam koordinat polar silinder. Dengan koordinat silinder, tempat kedudukan sebuah titik ditunjukkan oleh koordinat-koordinat dan . Koordinat adalah jarak radial dari sumbu , adalah sudut yang diukur dari sebuah garis sejajar dengan sumbu- (dengan arah yang berlawanan perputaran jarum jam dianggap positif), dan adalah koordinat sepanjang sumbu- . Komponenkomponen kecepatan adalah kecepatan radial, , kecepatan tangensial, , dan kecepatan aksial, . Jadi, kecepatan pada sebuah titik sembarang dapat dinyatakan sebagai : ̂ ̂ ̂ (2.8) Dimana ̂ , ̂ , dan ̂ masing-masing adalah vektorvektor satuan dalam arah dan . Untuk fluida tak mampu-mampat aliran steady, kerapatan fluida, , konstan disuluruh medan aliran sehingga persamaan 2.2 Fluida Sisko Fluida sisko merupakan salah satu fluida yang menjadi: ( ) termasuk kedalam karakterikstik bingham plastic. (2.9) Dimana seperti telah dijelaskan sebelumnya, fluida ini akan mengalir seperti air pada saat mencapai regangan geser tertentu. Fluida sisko merupakan
2
2.4 Persamaan Dasar Aliran Fluida 2.4.1 Persamaan Kontinuitas (Hukum Kekekalan Massa) Massa fluida yang bergerak tidak berubah ketika mengalir. Dengan demikian persamaan kontinuitas adalah pernyataan bahwa massa adalah kekal, berikut persamaan kontinuitas: (2.10)
. Dengan kondisi-kondisi ini, akibatnya persamaan Navier-Stokes pada fluida Newtonian berubah menjadi: ( )+ (2.13) * Dengan kondisi batas pada dan pada , dimana adalah jari-jari silinder dalam dan dan merupakan kecepatan dan jari-jari silinder luar.
2.4.2 Persamaan Tekanan Fluida Bergerak Pada aliran fluida dalam suatu pipa, gradient tekanan aliran hanya terjadi sepanjang sumbu- , dengan demikian berlaku : (2.11)
r 𝑧
Gambar 2.1 Aliran fluida melalui annulus
2.4.3 Persamaaan Momentum Linier Persamaan Navier-Stokes (dinamakan dari Claude-Louis Navier dan George Gabriel Stokes) adalah serangkaian persamaan yang menjelaskan pergerakan dari suatu fluida baik cairan ataupun gas. Persamaan-persamaan ini menyatakan bahwa perubahan dalam momentum partikel-partikel fluida bergantung hanya kepadagaya viskos yang bekerja pada fluida. Oleh karena itu, persamaan NavierStokes menjelaskan kesetimbangan gaya-gaya yang bekerja pada fluida. Bentuk umum persamaan Navier-Stokes untuk momentum linier adalah: (2.12) Dimana: adalah densitas fluida, adalah vektor kecepatan, adalah tensor yang menyatakan gaya-gaya yang bekerja pada aliran fluida
2.6 Persamaan Distribusi Panas Pada Fluida Pada aliran fluida, perpindahan panas termasuk salah satu faktor yang sangat penting. Berikut persamaan distribusi panas secara umum pada benda tiga dimensi (Lienhard, 2005): ̇ (2.14) Atau pada fluida sisko persamaan perpindahan panas dinyatakan dalam bentuk (M.Khan, 2010): (2.15) Dimana adalah densitas, adalah kapasitas panas pada tekanan konstan, adalah fluks panas yang persamaannya ditentukan sebagai berikut: (2.16) 2.7 Metode Beda Hingga Pusat Suatu fungsi dari suatu variabel bebas didiferensialkan kali di dalam interval [ ], dengan cukup kecil, dapat diuraikan dalam bentuk deret pangkat menurut deret Taylor sebagai berikut:
2.5 Aliran di Dalam Pipa Annulus Aliran fluida tak mampu mampat melalui tabung bundar lurus dengan luas penampang konstan biasanya disebut sebagai aliran Hagen-Poiseulli, atau singkatannya aliran Poiseulli. Aliran tersebut dinamakan demikian untuk menghormati J.L. Poiseulli (1799-1869), seorang ahli fisiska Prancis, dan G.H.L Hagen (1797-1884), seorang insinyur hirolik Jerman. Poiseulli tertarik pada aliran darah melalui pembuluh-pembuluh kapiler dan mendeduksi secara eksperimental hukum hambatan untuk aliran laminar melalui tabung bundar. Penelitian Hagen mengenai aliran dalam tabung juga dilakukan dengan eksperimen. Pada aliran melalui pipa annulus yaitu pipa yang terdiri dari dua silinder tetap yang sepusat (Gambar ) koordinat yang digunakan adalah koordinat silinder karena akan lebih mudah untuk geometri yang silinder. Diasumsikan bahwa aliran sejajar dengan dinding sehingga dan ,
(
)
( )
( )
( )+
( ) (
)
( )
( )
(2.17) ( )-
( ) (2.18) Dengan mengurangkan persamaan (2.17) dan (2.18), diperoleh pendekatan turunan pertama : (
)
(
)
( )(
(
)
(2.19)
) ( ) (2.20) Dengan menambahkan persamaan (2.17) dan (2.18), diperoleh pendekatan turunan kedua sebagai berikut:
3
(
)
(
)
(
)
(
)
Dimana , merupakan tegangan geser aliran fluida Newtonian. Karena pada tugas akhir ini yang digunakan adalah fluida sisko dengan tegangan geser , maka persamaan (4.1), menjadi: ( ) (4.2) Karena tekanan hanya terjadi sepanjang sumbudengan menggunakan aturan rantai, diferensial tekanan menjadi: (4.3) Dengan mensubtitusikan persamaan (2.11) pada (4.3), sehingga didapatkan: (4.4) Dengan demikian didapat persamaan diferensial kecepatan aliran fluida berdasarkan persamaan momentum linier adalah sebagai berikut: ( ) (4.5) merupakakn tegangan geser yang berlaku pada fluida sisko, mengacu pada persamaan sebelumnya didapat:
(2.21)
( )(
) ( ) (2.22) Pendekatan bentuk turunan fungsi dari fungsi variabel lebih dari dua dapat dilakukan dengan cara yang sama. 3. PROSEDUR KERJA 1. Studi literatur. 2. Pemodelan kecepatan aliran dan perpindahan panas fluida sisko. 3. Penyelesaian numerik. 4. Visualisasi hasil penyelesaian. 4. PEMODELAN DAN PENYELESAIAN NUMERIK 4.1.1 Pemodelan Matematika Kecepatan Aliran Persamaan kecepatan aliran fluida sisko dalam pipa diturunkan dari persamaan kontinuitas (Hukum Kekekalan Massa) dan persamaan tekanan fluida bergerak yang dibentuk kedalam koordinat polar silinder, sehingga didapat model kecepatan aliran dengan mensubtitusikan persamaan tekanan tensor fluida sisko pada persamaan yang telah didapat. Pada Tugas Akhir ini didasarkan pada model kecepatan aliran fluida tak mampu mampat steady dengan beberapa asumsi sebagai berikut: 1. Pipa lurus dan horizontal. 2. Luas penampang pipa konstan. 3. Pipa berbentuk annulus dengan pusat jari-jari sama. 4. Jenis alirannya merupakan aliran seragam stedi. 5. Variabel bebas yang berpengaruh hanya jari-jari pipa. 6. Fluida aliran adalah fluida sisko. Akan tetapi pada Tugas Akhir ini, fluida yang digunakan adalah fluida sisko, dimana meskipun fluida ini termasuk kedalam karakteristik fluida non-Newtonian akan tetapi pada saat batas tegangan gesernya terlampaui aliran fluida mirip seperti air. Dengan demikian, berdasarkan asumsiasumsi yang telah dibuat, model matematika yang dikembangkan untuk menjelaskan profil kecepatan aliran fluida sisko dalam pipa annulus terdiri dari persamaan tekanan pada fluida bergerak dalam koordinat polar silinder pada bab 2. Karena fluida hanya bergerak sepanjang sumbu- , maka percepatan radial dan tangensialnya adalah nol, sehingga tekanan pada arah dan juga nol seperti pada persamaan (2.11). Dari persamaan Navier-Stokes (2.13) , dapat ditulis kembali sebagai berikut: ( )+ (4.1) *
( )
[
]
(4.6)
Dari persamaan (4.5) dan (4.6) didapat persamaan diferensial kecepatan aliran fluida sisko sebagai berikut: ( (
( )
)
)
(4.7)
Dari model kecepatan aliran fluida sisko dalam pipa yang ditunjukkan oleh persamaan (4.7), dapat disimpulkan bahwa profil kecepatan dipengaruhi oleh jari-jari penampang pipa, , tekanan aliran, , dan tegangan geser fluida sisko, selain itu terdapat parameter material, a dan b yang mana untuk setiap fluida memiliki parameter yang berbeda-beda. Untuk fluida Newtonian memiliki nilai b=0, sedangkan untuk fluida sisko yang merupakan fluida nonNewtonian nilai b≠0. 4.1.2 Pemodelan Matematika Perpindahan Panas Telah dijelaskan sebelumnya persamaan perpindahan panas secara umum, sedangkan persamaan perpindahan panas untuk fluida sisko mengacu pada persamaan (2.15) yaitu dimana , sehingga persamaan (2.15) dapat ditulis menjadi: ( ) (4.8) Sehingga didapat persamaan distribusi panas sebagai berikut: (
4
)
[
( )
]( )
(4.9)
4.2 Model Kecepatan Aliran dan Perpindahan Panas Non-dimensional Model kecepatan aliran dan perpindahan panas yang telah didapat masih tergantung pada satuan, sehingga belum bisa diterapkan pada berbagai kasus, supaya model matematika kecepatan aliran dan perpindahan panas tersebut dapat diterapkan pada berbagai kondisi dengan satuan yang bervariasi, maka persamaan (4.7) dan (4.9) akan dibentuk kedalam persamaan non-dimensional. Berikut variabel non-dimensional yang akan disubtitusikan pada persamaan (4.7) dan (4.9):
( (
)
)
(
(
)
)
(4.15)
(
)
(
(
)
( (
) ) ( ) (
) (
)
( )
⁄ )
(
) ) (
) (
[
(
)
Maka selanjutnya didapatkan skema numerik untuk adalah: ( ) ( ) ( ) (4.16) Dengan dan diperoleh matriks tridiagonal secara umum sebagai berikut:
( ) (
(
)
)
(
)] [
]
(4.17) (
[
[
)]
]
Dimana merupakan bilangan Brinkman. Dengan demikian didapat model matematika Dengan definisi dan cara yang sama didapat skema kecepatan aliran fluida sisko non-dimensional numerik untuk persamaan (4.13) sebagai berikut: ( ) ( ) ( sebagai berikut: ( ) ((
( )
) ( ))
(
)
)
(4.18)
Dan selanjutnya didapatkan skema numerik untuk adalah: ( ) ( ) ( ) dan persamaan perpindahan panas sebagai berikut: (4.19) ( ) ( ( ) )( ) (4.11) diperoleh matriks tridiagonal sebagai berikut: (
( )
)( )
(4.10)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) Penyelesaian Numerik ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ( ) Penyelesaian Numerik kecepatan Aliran ( )] [ ( ) Pada persamaan kecepatan aliran (4.10) [ terdapat nilai power index . Pada Tugas Akhir ini (4.20) akan dibandingkan bagaimana profil kecepatan )] antara fluida sisko dan fluida non-Newtonian pada [ ] [( 4.3.2 Penyelesaian Numerik Perpindahan Panas saat dan . Dengan demikian saat persamaan perpindahan panas disini juga persamaan (4.10) menjadi: dipengaruhi oleh index power , sehingga akan (4.12) dilakukan penyelesaian secara numerik pada Sedangkan untuk persamaan (4.24) menjadi: persamaan (4.11) untuk dan . Dengan , persamaan (4.11), menjadi: (4.13) demikian untuk Pada persamaan tersebut, tiap kondisi dapat didekati ( ) ( )( ) (4.21) dengan skema beda hingga. Dengan menerapkan Sedangkan untuk , persamaan (4.11), menjadi: pendekatan metode beda hingga pusat untuk model ( )( ) ( ) (4.22) kecepatan aliran fluida sisko menjadi: (4.14) didapat skema numerik untuk persamaan (4.21), sebagai berikut: Karena aliran fluida sisko terjadi diluar silinder ⁄ , dalam, maka , dimana untuk pendiskritan sebanyak . Dengan demikian persamaan (4.14) menjadi:
4.3 4.3.1
5
]
(
(
(
)
)
)
(
)
(
)
3.
Memasukkan kondisi batas ke dalam skema numerik penyelesaian model matematika kecepatan aliran, yaitu persamaan (4.17). 4. Skema numerik yang berupa matrik tridiagonal diselesaikan, sehingga didapat nilai kecepatan pada titik-titik sepanjang jari-jari pipa. 5. Selanjutnya nilai kecepatan dimasukkan ke dalam skema numerik penyelesaian model matematika perpindahan panas yaitu persamaan (4.25) 6. Selanjutnya dihitung nilai error berdasarkan penyelesaian numerik dan penyelesaian eksak. Selanjutnya untuk persamaan kecepatan aliran dan perpindahan dengan power index , yang ditunjukkan oleh persamaan (4.20) dan (4.28) diselesaiakan dengan algoritma diatas. 5.2 Visualisasi Distribusi Kecepatan Aliran Dengan Power Index n=0 Diberikan tekanan . dengan variasi parameter material untuk fluida Newtonian, dan dan untuk fluida Sisko. Berdasarkan grafik akan dianalisis distribusi kecepatan untuk banyak pendiskritan dan jari-jari silinder luar yang berbeda-beda, sebagai berikut:
( )
[( )]
(4.23)
Dan selanjutnya didapatkan skema numerik untuk adalah: ( ) ( ) ( ) )
[(
(
)]
(4.24)
diperoleh matriks tridiagonal sebagai berikut: (
)
(
(
)
) ) ( ) (
( (
) (
)
( )
) ) (
(
) (
[
( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) [( (
)
(
)] [
]
( ) ( ( (
) ) )
[ (
)) ]
(4.25)
)]
[(
)]
Selanjutnya dilakukan pendiskritan pada persamaan (4.22), yaitu persamaan perpindahan panas fluida sisko dengan power index . Sehingga didapat skema numerik persamaan (4.22) sebagai berikut: ( ) ( ) ( ( ) (
)
(
)
)(
)
(4.26)
Dengan demikian didapatkan skema numerik untuk sebagai berikut: ( ) ( ) ( ) ( )( ) (4.27) Dari skema numerik diatas dibentuk suatu sistem persamaan perpindahan panas dalam bentuk matriks sebagai berikut: (
)
(
( (
) (
) ) ( ) (
Gambar 5.1 Distribusi kecepatan aliran dengan power index , dan
) (
)
( )
) ) (
(
) (
[
(
( ( )) ( ( )) ( ( )) ) ( ( )) [( (
)) ]
)
(
)] [
]
(4.28) [(
)]
5. VISUALISASI DAN PEMBAHASAN 5.1 Algoritma Program Disusun algoritman penyelesaian sebagai berikut: 1. Mendefinisikan parameter-parameter yang dibutuhkan. 2. Mendefinisiskan kondisi batas yang telah Gambar 5.2 Distribusi kecepatan aliran dengan ditentukan pada bab 4. power index , dan
6
Gambar 5.3 Distribusi kecepatan aliran dengan power index , dan Pada gambar (5.1) sampai dengan (5.3) diberikan jumlah pendiskritan yang berbeda untuk pendefinisian parameter yang sama. Dari ketiga grafik tersebut dapat disimpulkan bahwa semakin banyak dilakukan pendiskritan maka kelengkungan kurva semakin landai. Sedangkan pada gambar (5.3) diberikan panjang jari-jari silinder yang berbeda yaitu , terlihat perbedaan antara grafik dengan dan . Pada gambar (5.2) terlihat kecepatan disekitar jari-jari masih belum mendekati satu, sedangkan pada gambar (5.3) kecepatan mendekati 1 pada jari-jari dsekitar 20. Dengan demikian dapat disimpulkan kecepatan akan mencapai kondisi batas akhir pada jari-jari disekitar 20. Selain itu dengan power index sama dengan nol, kecepatan aliran pada fluida sisko lebih besar dibandingkan fluida Newtonian, dengan kata lain semakin besar nilai b maka kecepatan aliran fluida semakin besar. 5.3 Visualisasi Distribusi Kecepatan Aliran Dengan Power Index n=1 Diberikan tekanan . dengan variasi parameter material untuk fluida Newtonian, dan dan untuk fluida Sisko. Berdasarkan grafik akan dianalisis distribusi kecepatan untuk banyak pendiskritan dan jari-jari silinder luar yang berbeda-beda, sebagai berikut:
Gambar 5.5 Distribusi kecepatan aliran dengan power index , dan
Gambar 5.6 Distribusi kecepatan aliran dengan power index , dan Tidak jauh berbeda seperti distribusi kecepatan aliran fluida dengan power index , pada gambar (5.6) dapat diketahui kecepatan mendekati 1 pada jari-jari dsekitar 20. Dengan demikian dapat disimpulkan kecepatan akan mencapai kondisi batas akhir pada jari-jari disekitar 20. Akan tetapi beda kecepatan tiap nilan b disini sangat jauh. Berbeda dengan distribusi kecepatan dengan power index , dari grafik dapat disimpulkan bahwa untuk power index , kecepatan aliran pada fluida sisko lebih kecil dibandingkan fluida Newtonian, atau dengan kata lain semakin besar nilai b, maka kecepatan aliran semakin kecil . 5.4 Visualisasi Distribusi Panas Dengan Power Index n=0 Diberikan tekanan dan bilangan Brinkman 1, dengan variasi parameter material untuk fluida Newtonian, dan dan untuk fluida Sisko. Berdasarkan grafik akan dianalisis distribusi panas untuk banyak pendiskritan dan jari-jari silinder luar yang berbeda-beda, sebagai berikut:
Gambar 5.4 Distribusi kecepatan aliran dengan power index , dan
7
Diberikan tekanan dan bilangan Brinkman 1, dengan variasi parameter material untuk fluida Newtonian, dan dan untuk fluida Sisko. Berdasarkan grafik akan dianalisis distribusi panas untuk banyak pendiskritan dan jari-jari silinder luar yang berbeda-beda, sebagai berikut:
Gambar 5.7 Distribusi panas dengan power index , dan
Gambar 5.10 Distribusi panas dengan power index , dan
Gambar 5.8 Distribusi panas dengan power index , dan
Gambar 5.11 Distribusi panas dengan power index dan ,
Gambar 5.9 Distribusi panas dengan power index , dan Dari grafik yang ditunjukkan pada gambar (5.7) sampai (5.9) terlihat bahwa kurva semakin landai dengan pendiskritan yang lebih banyak. Dengan demikian semakin banyak pendiskritan, hasil perhitungan secara numerik akan semakin mendekati hasil yang sebenarnya. Dengan memberikan nilai parameter material Gambar 5.12 Distribusi panas dengan power index yang berbeda-beda terlihat bahwa semakin besar , dan nilai b yang diberikan maka distribusi temparatur Dari grafik distribusi temperatur diatas terlihat semakin besar, yang berarti pada distribusi panas, bahwa gafik yang dihasilkan tidak berbeda dengan temperatur fluida sisko lebih besar dari temperatur grafik distribusi temperatur untuk power index fluida Newtonian. , berbeda dengan distribusi kecepatan aliran, untuk distribusi panas dengan power index 5.5 Visualisasi Distribusi Panas Dengan Power dan power index , temperataur semakin tinggi Index n=1 untuk nilai parameter material b yang lebih besar.
8
Dengan demikian dapat disimpulkan temperatur ( ) ( ( ) )( ) fluida sisko selalu lebih tinggi dari fluida Newtonian. Selain itu akan dianalisis bagaimana pengaruh 3. Dari penyelesaian numerik dan visualisinya bilangan Brikman terhadap distribusi panas fluida. dalam bentuk grafik dengan menggunakan Karena dari grafik distribusi panas diatas tidak bantuan program Matlab 7.10, terlihat bahwa: berbeda untuk pemberian power index, maka dapat a. untuk power index , distribusi diambil salah satu saja untuk menganalisis pengaruh kecepatan fluida sisko lebih besar dibandingkan bilangan Brinkman terhadap distribusi panas. fluida Newtonian, atau dapat disimpulkan semakin besar nilai parameter material b, maka kecepatan aliran fluida semakin besar. Begitu juga dengan temperatur, semakin besar seiring kenaikan nilai b. b. Sebaliknya untuk power index , semakin besar nilai parameter b, maka kecepatan aliran fluida semakin kecil. Namun untuk temperatur semakin tinggi untuk nilai b yang semakin besar. c. Temperatur juga dipengaruhi oleh bilangan Brinkman, semakin besar bilangan Brinkman yang diberikan, maka temperatur semakin Gambar 5.13 Distribusi panas dengan dengan variasi tinggi. Bilangan Brikman Dengan demikian terlihat bahwa distribusi kecepatan Bilangan Brinkman merupakan bilangan yang aliran dan temperatur fluida Sisko dipengaruhi oleh mempengaruhi besarnya temperatur pada fluida. Dari grafik distribusi panas pada gambar (5.13) terlihat nilai parameter-parameter yang diberikan. bahwa semakin besar bilangan Brinkman yang diberikan, maka temperatur fluida sisko semakin besar. Dengan membandingkan antara hasil penyelesaian numerik dan eksak untuk distribusi kecepatan aliran didapat error rata-rata 0.0534 dan distribusi panas didapat error 0.0697. Melihat nilai error rata-rata yang dihasilkan dari kecepatan aliran dan perpindahan panas fluida sisko, maka terlihat bahwa ketepatan perhitungan secara numerik dipengaruhi oleh banyaknya pendiskritan. Dari besarnya nilai error yang didapat maka metode beda hingga dengan skema pusat dapat digunakan untuk menyelesaiakan model matematika kecepatan aliran dan distribusi panas fluida sisko dalam pipa.
6.2 Saran Untuk pengembangan penelitian selanjutnya, disarankan: 1.Pada Tugas Akhir ini analisis yang dilakukan menggunakan asumsi bahwa aliran fluida sisko dalam pipa annulus dalam keadaan steady, selanjutnya dapat dikembangkan penelitian untuk menganalisis profil kecepatan aliran dan perpindahan panas fluida sisko dalam pipa dalam keadaan unsteady. 2.Tugas Akhir ini masih bersifat analitis pada tahap pemodelan dan numerik untuk penyelesaiannya, belum ada data laboraturium yang dipakai sebagai pembanding. Diharapkan kedepannya bisa dilakukan uji laboraturium sehingga model tersebut dapat diterapkan di lapangan.
6. SIMPULAN 6.1 Kesimpulan Berdasarkan pembahasan dari bab sebelumnya maka Daftar Pustaka Abdia, Gunaidi. 2006. Matlab Programming. dapat disimpulkan bahwa: Bandung: Informatika. 1. Model matematika yang menggambarkan Alfijar, Julian. Mekanika Fluida II. perilaku kecepatan aliran fluida sisko dalam http://alfijar.files.wordpress.com/2008/01/pe pipa dapat dinyatakan sebagai berikut: rtemuan-iii-dan-iii.ppt-Mirip. Diakses pada *( ( ) ) + ( ( ) ) tanggal 1 Maret 2011 pukul 11.00 WIB. Arhami, Muhammad dan Desiani, Anita. 2005. Pemrograman Matlab. Yogyakarta: ANDI. 2. Sedangkan model matematika yang Khan, M. et. al. 2010. Steady Flow and Heat menggambarkan perpindahan panas yang terjadi Transfer of a Sisko Fluid In Annular Pipe. ketika fluida sisko mengalir dalam pipa Journal of Heat and Mass Transfer. 53: dinyatakan sebagai berikut:
9
1290-1297. Departmen of Mathematics, Pakistan. Lienhard IV, John H dan Lienhard V, John H. 2005. A Heat Transfer Textbook. University of Houston. USA. Munson, Bruce R. et. al. 2004. Mekanika Fluida. Edisi Keempat Harinaldi dan Budiarso, penerjemah. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Fundamental of Fluid Mechanics. Sajid, M and Hayat, T. 2008. Wire Coating Analysis by Withdrawal From A Bath of Sisko Fluid. Journal of Applied Mathematics and Computation. 199: 13-22. Departmen of Mathematics, Pakistan. Saragi, Elfrida. Solusi Analitik dan Numerik Konduksi Panas Pada Pembangkit Energi. http://www.batan.go.id/ppin/lokakarya/LKST N_ 10/Elfrida-.pdf. Diakses pada tanggal 2 Maret 2011 pukul 12.00 WIB. Siddiq, A.m. et. al. 2009. On Taylor’s Scraping Problem and Flow of A Sisko Fluid. Journal of Mathe matical Modelling and Analysis. 14: 515-529. Department of Mthematics, York Campus, York, PA 17403, USA. Streeter, Victor L and Wylie, E Benjamin. 1999. Mekanika Fluida. Edisi Delapan Arko Prijono, penerjemah. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Fluid Mechanics. Sweet, Erik. 2003. Analytical and Numerical Solutions of Differential Equations Arising In Fluid Flow and Heat Transfer Problems. University of Central Florida Orlando, Florida. Ruwanto, Bambang. 2003. Matematika Untuk Fisika dan Teknik. Yogyakarta: Adicita Karya Nusa.
10
