Bab V
Analisis Model dan Contoh Numerik
Bab V ini membahas analisis model dan contoh numerik. Sub bab V.1 menyajikan analisis model yang terdiri dari analisis model kerusakan produk dan model ongkos garansi. Pada sub bab V.2 diberikan contoh numerik untuk mengGambarkan solusi model, dan sub bab V.3 membahas analisis sensitifitas untuk mengetahui pengaruh perubahan parameter terhadap solusi model.
V.1
Analisis Model Analisis model terdiri atas dua bagian yaitu analisis model kerusakan
produk dan analisis model ongkos garansi. Penjelasan dari kedua bagian tersebut diberikan berikut ini. V.1.1 Analisis Model Kerusakan Produk Pada sub bab ini akan dijelaskan perilaku fungsi laju kerusakan r(t) dan fungsi densitas f(t) terhadap parameter λ dan μ. Kedua fungsi ini berperan penting dalam penentuan model ongkos garansi. Fungsi Laju Kerusakan r(t) Fungsi laju kerusakan r(t)
adalah fungsi yang meningkat dengan lama
penggunaan produk t, durasi penggunaan produk τ(t) dan siklus penggunaan produk N(t). r(t) ditentukan oleh parameter λ dan μ. Fungsi r(t) diberikan oleh persamaan IV.8. Perilaku fungsi r(t) terhadap parameter λ ditunjukkan pada Tabel 5.1 berikut. Nilai parameter λ = 1, 2, 3, 5, 10, 15, dan μ = 1, untuk t = 0, …, 3 Tabel 5.1 Nilai r(t) Untuk λ = 1, 2, 3, 5, 10, 15, dan μ = 1 t
λ 1
2
3
5
10
15
0
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1
3,716
4,722
5,811
7,861
12,917
17,941
2
6,245
8,444
10,562
14,694
24,826
34,879
3
8,749
12,111
15,312
21,528
36,736
51,816
42
Grafik hubungan antara nilai fungsi r(t) dan nilai t dari Tabel 5.1 ditunjukkan oleh Gambar 5.1.
50,000
40,000 λ=1 λ=2
30,000
r(t)
λ=3 λ=5
20,000
λ=10 λ=15
10,000
0,000 0
1
2
3
t
Gambar 5.1 Grafik r(t) dan t Untuk λ = 1, 2, 3, 5, 10, 15 dan μ = 1
Dari Gambar 5.1 terlihat bahwa fungsi r(t) meningkat dengan pertambahan nilai parameter λ, untuk nilai t tetap. Tabel 5.2 menjelaskan perilaku fungsi r(t) terhadap parameter μ. Nilai parameter 1 dan μ = 1, 2, 3, 5, 10, 15 untuk waktu t = 0, …, 3. Tabel 5.2 Nilai r(t) Untuk λ = 1 dan μ = 1, 2, 3, 5, 10, 15 t
μ 1
2
3
5
10
15
0
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1
3,716
3,544
3,434
3,305
3,174
3,121
2
6,245
5,888
5,687
5,472
5,264
5,184
3
8,749
8,222
7,937
7,639
7,355
7,246
43
Grafik hubungan antara nilai fungsi r(t) dan nilai t pada Tabel 5.2 dijelaskan dengan Gambar 5.2.
10,000 9,000 8,000 7,000 μ=1 6,000
r(t)
μ=2 μ=3
5,000
μ=5
4,000
μ=10 3,000
μ=15
2,000 1,000 0,000 0
1
2
3
t
Gambar 5.2 Grafik r(t) dan t Untuk dan, λ = 1 dan μ = 1, 2, 3, 5, 10, 15
Dari Gambar 5.2 terlihat bahwa fungsi r(t) menurun dengan pertambahan nilai parameter μ, untuk nilai t tetap. Semakin sering produk digunakan maka semakin besar nilai λ sehingga fungsi r(t) meningkat. Sebaliknya semakin sering produk berada pada kondisi tidak digunakan maka nilai μ bertambah sehingga fungsi r(t) menurun. Dari penjelasan tersebut dapat disimpulkan bahwa fungsi r(t) meningkat untuk kenaikan nilai λ dan menurun untuk kenaikan nilai μ. Tetapi nilai λ lebih berpengaruh terhadap fungsi r(t) dibandingkan dengan nilai μ.
44
Fungsi Densitas f(t) Fungsi densitas f(t) mengindikasikan distribusi kerusakan produk selama rentang waktu tertentu. Fungsi f(t) diberikan oleh persamaan IV.11. Perilaku fungsi f(t) terhadap parameter λ diberikan oleh Gambar 5.3. λ = 1, 2, 3, 5, 10, 15 dan μ = 1 untuk t = 0, …, 3.
2,600 2,400 2,200 2,000 1,800 1,600
λ=1 λ=2
1,400
λ=3
f(t)
λ=5
1,200
λ=10 1,000
λ=15
0,800 0,600 0,400 0,200 0,000 0
1
2
3
t
Gambar 5.3 Grafik f(t) dan t Untuk λ = 1, 2, 3, 5, 10, 15 dan μ = 1
45
Dari Gambar 5.3 terlihat bahwa fungsi f(t) meningkat dengan pertambahan nilai parameter λ, untuk nilai t tetap. Perilaku fungsi f(t) terhadap parameter μ dijelaskan oleh Gambar 5.4. Nilai parameter 1 dan μ = 1, 2, 3, 5, 10, 15 untuk waktu t = 0, 1, …, 3.
1,200
1,000
0,800 μ=1 μ=2
f(t)
μ=3
0,600
μ=5 μ=10 μ=15 0,400
0,200
0,000 0
1
2
3
t
Gambar 5.4 Grafik f(t) dan t Untuk λ = 1 dan μ = 1, 2, 3, 5, 10, 15 Dari Gambar 5.4 terlihat bahwa fungsi f(t) menurun dengan pertambahan nilai parameter μ, untuk nilai t tetap. Dari penjelasan tersebut dapat disimpulkan bahwa parameter λ berpengaruh terhadap fungsi r(t) dibandingkan parameter μ.
46
lebih
V.1.2 Analisis Model Ongkos Garansi Ekspektasi ongkos garansi dipengaruhi oleh laju kerusakan produk r(t) dan strategi layanan garansi yang diberikan. Ekspektasi ongkos garansi dengan strategi layanan Js(W1) diberikan oleh persamaan IV.17. Bagian ini akan memberikan nilai W1 optimal yang meminimasi nilai Js(W1). Secara analitik Nilai W1* diperoleh dengan kondisi turunan pertama dan turunan kedua sebagai berikut:
d J s (W1 ) 0 dW1 dan
d
2
dW12
J s (W1 ) 0 Solusi secara analitik tidak dapat diperoleh karena rumitnya persamaan
sehingga pencarian W1* dilakukan dengan cara numerik. Berikut diberikan algoritma untuk mendapatkan W1*. Langkah–langkah untuk mendapatkan solusi dari permasalahan tersebut adalah: 1.
Tentukan nilai parameter-parameter yang dipertimbangkan dalam model
2.
Cari nilai W1* yang meminimumkan Js(W1) dengan menggunakan algoritma golden section. Algoritma pencarian solusi tersebut adalah sebagai berikut: Langkah inisialisasi 1. Tentukan panjang interval penghentian l 0. 2. Tentukan interval awal pencarian [a1, b1 ]. 3. Tentukan Z1 a1 1 b1 a1 dan Z 2 a1 b1 a1 , α=0,618. 4. Hitung nilai Js(Z1k) dan Js(Z2k), tentukan k =1 dan lanjut ke langkah utama. Langkah utama 1. Jika bk a k l , berhenti, solusi optimal terletak pada interval [ak, bk]. Jika sebaliknya, untuk J s Z1k J s Z2k lanjut ke langkah 2 dan untuk
J s Z1k J s Z2k lanjut ke langkah 3. 2. Tentukan
a k 1 Z1k
dan
bk 1 bk .
Ttentukan
Z1k 1 Z 2k
dan
Z 2k 1 ak 1 bk 1 ak 1 . Hitung nilai Js(Z2k+1), lanjut ke langkah 4.
47
3. Tentukan a k 1 a k dan bk 1 Z 2k . Selanjutnya tetapkan Z 2k 1 Z1k dan Z1k 1 ak 1 1 bk 1 ak 1 . Hitung nilai Js(Z1k+1) dan lanjut ke langkah 4. 4. Ganti k dengan k+1 dan kembali ke langkah 1.
V.2
Contoh Numerik Pada sub bab ini akan diberikan contoh numerik untuk mendapatkan
Gambaran solusi W1*. V.2.1 Penentuan parameter Penentuan nilai parameter merupakan langkah awal dalam mencari solusi model. Parameter yang digunakan dalam penghitungan nilai ekspektasi ongkos garansi Js(W1) ditampilkan pada Tabel pada Tabel 5.3 berikut: Tabel 5.3 Nilai Parameter Strategi Layanan Parameter
Nilai
Satuan
W
3
Satuan waktu ( bulan, tahun)
Cr
2
Satuan uang / produk
Cm
1
Satuan uang / produk
λ
1
Jumlah kondisi digunakan / satuan waktu
μ
1
Jumlah kondisi tidak digunakan / satuan waktu
V.2.2 Hasil numerik Metode numerik yang menggunakan algoritma golden section dengan langkah inisialisasi sebagai berikut: 1. Panjang interval penghentian l 0,1. 2. Interval awal pencarian [a1, b1 ] = [0, 3]. 3. Z1 = 1,146 dan Z2 = 1,854. Dengan menggunakan nilai parameter pada Tabel 5.3, maka hasil rinci perhitungan dengan algoritma golden section seperti pada Tabel 5.4 berikut.
48
Tabel 5.4. Hasil Perhitungan Algoritma Golden Section Iterasi 1 2 3 4 5 6 7 8 9
a 0,000 0,000 0,708 1,146 1,146 1,146 1,249 1,249 1,288
b 3,000 1,854 1,854 1,854 1,584 1,416 1,416 1,352 1,352
l 3,000 1,854 1,146 0,708 0,438 0,270 0,167 0,103
Z1 1,146 0,708 1,146 1,416 1,313 1,249 1,313 1,288
Z2 1,854 1,146 1,416 1,584 1,416 1,313 1,352 1,313
Js(Z1) 10,283 10,952 10,283 10,246 10,224 10,233 10,224 10,226
Js(Z2) 10,862 10,283 10,246 10,381 10,246 10,224 10,227 10,224
Pencarian berhenti sampai iterasi ke sembilan dengan interval pencarian (1,288; 1,352). Nilai W1* diestimasi sebagai nilai tengah interval pencarian yaitu 1,320 dengan nilai Js(W1) adalah 10,244. V.2.3 Verifikasi Program Program Mathcad bersifat sensitif terhadap perubahan nilai awal pencarian. Verifikasi program dilakukan untuk memastikan bahwa program yang digunakan memberikan hasil yang benar. Verifikasi dilakukan dengan membandingkan hasil perhitungan yang diperoleh dari
program Mathcad 13
dengan hasil algoritma golden section. Hasil verifikasi program untuk nilai parameter dari Tabel 5.3 dengan W = 2, 3, 4, dan 5 diberikan pada Tabel 5.5.
Tabel 5.5 Verifikasi Program W
Mathcad 13 W1*
Golden Section
Js(W1)
W1 *
Js(W1)
Error (%)
2
0,767
5,923
0,756
5,924
1,434
3
1,315
10,224
1,320
10,224
0,380
4
1,848
15,812
1,846
15,812
0,108
5
2,372
22,668
2,368
22,668
0,169
Dari Tabel 5.5, nilai W1* yang diperoleh dari algoritma golden section dengan W1* hasil program Mathcad 13 hampir sama. Ini dapat dilihat dari nilai error yang relatif kecil, antara 0,1% hingga 1,5%. Karena itu perhitungan ekspektasi ongkos layanan garansi selanjutnya menggunakan Mathcad 13.
49
V.3
Analisis Sensitifitas Analisis sensitifitas dilakukan untuk melihat pengaruh perubahan
parameter terhadap perilaku solusi model. Nilai parameter yang diubah adalah parameter λ, parameter ongkos penggantian Cr, dan parameter periode garansi W. Perubahan parameter yang dilakukan adalah: λ = 1, 2, 3, 5, 10, 15, dengan μ = 1; Cr = 2, 3, 5, 7, 10, dengan Cm = 1, untuk
1.
W = 2 dan W = 3. 2. W = 2 dan W = 3; Cr = 2, 3, 5, 7, 10, dengan Cm = 1, untuk λ = 3. Ekspektasi ongkos garansi dengan strategi layanan Js(W1) dibandingkan dengan ekspektasi ongkos garansi dengan strategi layanan Jr(W). V.3.1 Perubahan Parameter λ Tabel 5.6 menampilkan perilaku W1* dan Js(W1) untuk nilai λ = 1, 2, 3, 5, 10, 15, dan W = 2.
Tabel 5.6. Ekspektasi Ongkos Garansi Untuk W = 2 Cr λ
2
3
5
7
10
Jr(W)
W1
Js(W1)
W1
Js(W1)
W1
Js(W1)
W1
Js(W1)
W1
Js(W1)
1
0,767
5,923
0,770
6,920
0,775
8,914
0,780
10,908
0,789
13,898
7,377
2
0,814
6,946
0,814
7,946
0,815
9,945
0,816
11,944
0,817
14,942
9,519
3
0,845
7,959
0,845
8,959
0,845
10,959
0,845
12,958
0,845
15,958 11,609
5
0,883
9,973
0,883
10,973
0,883
12,973
0,883
14,973
0,883
17,973 15,718
10
0,927
14,988
0,927
15,988
0,927
17,988
0,927
19,988
0,927
22,988 25,834
15
0,947
19,993
0,947
20,993
0,947
22,993
0,947
24,993
0,947
27,993 35,833
Dari Tabel 5.6, untuk Cr = 3 dapat dijelaskan bahwa nilai W1 dan Js(W1) bertambah untuk kenaikan λ, dan nilai Js(W1) kurang dari nilai Jr(W) untuk semua λ. Pada λ = 3, diperoleh nilai W1 adalah sama untuk semua Cr, sedangkan nilai Js(W1) bertambah untuk kenaikan Cr. Nilai Js(W1) kurang dari nilai Jr(W) untuk Cr = 2, 3, dan 5, sedangkan untuk Cr = 7 dan 10, nilai Js(W1) lebih dari nilai Jr(W). Dari penjelasan tersebut diketahui bahwa untuk Cr = 3 garansi dengan strategi layanan tepat diterapkan dari pada garansi dengan perbaikan. Untuk λ = 3, strategi layanan garansi tepat diterapkan hanya hingga Cr = 5. Jika Cr lebih dari 5 maka garansi dengan perbaikan lebih tepat diterapkan. 50
Perilaku W1* dan Js(W1) untuk nilai
λ = 1, 2, 3, 5, 10, 15, dan W = 3
ditampilkan pada Tabel 5.7.
Tabel 5.7. Ekspektasi Ongkos Garansi Untuk W = 3 Cr λ
2
3
5
7
10
Jr(W)
W1
Js(W1)
W1
Js(W1)
W1
Js(W1)
W1
Js(W1)
W1
Js(W1)
1
1,315
10,224
1,315
11,224
1,315
13,224
3,000
14,875
3,000
14,875 14,875
2
1,359
12,584
1,359
13,584
1,359
15,584
1,359
17,584
3,000
19,796 19,796
3
1,385
14,907
1,385
15,907
1,385
17,907
1,385
19,907
1,385
22,907 24,547
5
1,415
19,498
1,415
20,498
1,415
22,498
1,415
24,498
1,415
27,498 33,829
10
1,449
30,850
1,449
31,850
1,449
33,850
1,449
35,850
1,449
38,850 56,615
15
1,463
42,144
1,463
43,144
1,463
45,144
1,463
47,144
1,463
50,144 79,230
Dari Tabel 5.7, untuk Cr = 3 diperoleh bahwa nilai W1 dan Js(W1) bertambah untuk kenaikan λ, dan nilai Js(W1) kurang dari nilai Jr(W) untuk semua λ. Pada λ = 3, diperoleh nilai W1 adalah sama untuk semua Cr, sedangkan nilai Js(W1) bertambah untuk kenaikan Cr. Nilai Js(W1) kurang dari nilai Jr(W) untuk seluruh Cr. Dari penjelasan tersebut diketahui bahwa untuk Cr = 3 strategi layanan garansi tepat diterapkan dari pada rektifikasi dengan perbaikan. Untuk
λ = 3,
strategi layanan garansi tepat diterapkan untuk seluruh Cr. Dari penjelasan Tabel 5.6 dan 5.7 dapat disimpulkan bahwa untuk nilai Cr tertentu, nilai W1 dan Js(W1) meningkat dengan kenaikan λ. untuk nilai λ tertentu, nilai W1 tetap atau meningkat dengan kenaikan nilai Cr , sedangkan nilai Js(W1) meningkat dengan kenaikan nilai Cr. V.3.2 Perubahan Parameter W Tabel 5.8 menampilkan perilaku W1* dan Js(W1) untuk nilai W = 2 dan 3, dan λ = 3.
51
Tabel 5.8. Ekspektasi Ongkos Garansi Untuk λ = 3 Cr W
2
3
5
7
10
Jr(W)
W1
Js(W1)
W1
Js(W1)
W1
Js(W1)
W1
Js(W1)
W1
Js(W1)
2
0,814
6,946
0,814
7,946
0,815
9,945
0,816
11,944
0,817
14,942
3
1,359
12,584
1,359
13,584
1,359
15,584
1,359
17,584
3,000
19,796 19,796
9,519
Dari Tabel 5.8 terlihat bahwa untuk Cr = 5, nilai W1 dan Js(W1) meningkat untuk pertambahan nilai W. Nilai Js(W1) kurang dari nilai Jr(W) untuk kedua nilai W. Pada W = 2, nilai W1 dan Js(W1) meningkat untuk pertambahan nilai Cr. Nilai Js(W1) kurang dari nilai Jr(W) untuk nilai Cr = 2, 3, 5, dan 7. Hal yang sama terjadi untuk W = 3, sehingga diperoleh bahwa pada W = 2 dan 3, serta λ = 3, strategi layanan garansi tepat diterapkan hanya hingga Cr = 7. Jika Cr lebih dari 7 maka garansi dengan perbaikan tepat diterapkan. Dari uraian di atas disimpulkan bahwa untuk nilai Cr tertentu, nilai W1 dan Js(W1) meningkat dengan kenaikan W. untuk nilai W tertentu, nilai W1 tetap atau meningkat dengan kenaikan nilai Cr , sedangkan nilai Js(W1) meningkat dengan kenaikan nilai Cr.
52
