Vol. 4, No. 1, Oktober 2015, Halaman: 1 - 6, ISSN: 1907-4247 (Print), ISSN: 2477-4863 (Online) Alamat Website: http://cantilever.unsri.ac.id
ANALISIS DINAMIS SISTEM STRUKTUR DENGAN SKEMA MASSA KONSISTEN Binsar Hariandja Program Studi Teknik Sipil, Institut Teknologi Bandung (Jalan Ganesha 10, Bandung) E-mail:
[email protected]
Abstract The paper deals with frequency analysis of irreguler framed structures. The analysis used finite element method cast in matrix formulation. Apart from frequency analysis of framed structures that assumed to be of frame with relative rigid floor system, and the mass of structure is lumped at each floor, the analysis adopted consistent mass formulation. To reduce structural degrees of freedom, static condensation and multi-point constraint algorithms where used. The natural frequency resulted out of proposed analysis was then compared to that obtained by assuming rigid floor. The difference was due to the different schemes used in the consideration of inertial mass forces. Key Words: dynamic analysis, finite element method, multi-point constraints, static condensation, natural frequency.
gaya lateral (misalnya gempa), lantai per lantai dianggap sebagai sub-sistem diafragma yang kaku, sehingga perpindahan sistem struktur hanya merupakan simpangan horizontal dari tiap lantai. Lihat Gambar 1 sebagai penjelasan. Untuk contoh portal bidang ini, ada 6 x 3 = 18 derajat kebebasan aktif pada titik simpul (nodes) 2, 3, 5, 6, 8 dan 9. Jika dianggap bahwa lantai merupakan sub-sistem kaku, maka hanya ada 2 derajat kebebasan berupa simpangan (sway) lantai 1 dan lantai 2. Dengan pengambilan asumsi ini, jumlah derajat kebebasan direduksi dari 18 menjadi 2. Model inilah yang lazim digunakan dalam analisis sistem struktur portal terhadap gaya lateral, yang untuk sistem portal yang reguler, solusi masih memberikan hasil yang cukup baik. Sekarang, tinjaulah sistem struktur dalam Gambar 2 yang pada hakekatnya merupakan sistem struktur Gambar 1, tetapi dengan kolom tengah bawah 45 yang dihilangkan. Terhadap gaya lateral,
1. PENDAHULUAN Dalam konteks penerapan metoda numerik, lazimnya analisis dilakukan dengan menggunakan model diskrit sebagai representasi struktur yang sebenarnya. Model diskrit disusun dengan mengambil beberapa asumsi yang menyederhanakan kerumitan geometri sistem struktur. Agar asumsi yang diambil tidak menimbulkan deviasi yang tidak bisa diterima dari pada solusi, model diskrit yang digunakan diambil lebih halus. Sayangnya, penghalusan model diskrit menimbulkan jumlah derajat kebebasan yang semakin besar. Untuk mengatasi hal ini, diambil beberapa teknik reduksi jumlah derajat kebebasan, misalnya dengan mengasumsikan suatu hubungan antar komponen derajat kebebasan. Teknik ini lazim dinamakan sebagai proses kondensasi. Cara lain adalah dengan mengambil asumsi dari pada medan perpindahan sistem struktur. Dalam analisis sistem struktur berdinding geser terhadap 1
Hariandja, B. / Analisis Dinamis Sistem Struktur dengan Skema Massa Konsisten / Cantilever, Vol. 4, No. 1, Oktober 2015 (1 – 6)
maka selain mengalami perpindahan horizontal, sistem struktur juga akan mengalami perpindahan vertikal di titik simpul 5 dan dengan demikian juga perpindahan vertikal titik simpul 6. Perpindahan ini lazim dinamakan efek Vierendel. Kalau dalam model struktur Gambar 1, keseimbangan cukup diterapkan di arah kedua perpindahan horisontal, maka dalam model struktur Gambar 2, keseimbangan juga harus ditinjau di arah perpindaha vertikal dan juga di arah rotasi titik-titik simpul. Pengandaian bahwa lantai per lantai merupakan subsistem yang kaku, tidak lagi akan memberikan hasil yang cukup teliti. Maksud dan tujuan tulisan ini adalah menyusun suatu analisis sistem struktur yang merupakan sistem portal yang ireguler, atau sistem struktur yang tidak merupakan sistem portal sama sekali, dengan menggunakan model diskrit serta medan perpindahan dan massa yang konsisten. Dalam hal ini, derajat kebebasan yang aktif semua disertakan dalam analisis dengan konsekuensi jumlah derajat kebebasan yang besar. Jumlah derajat kebebasan kemudian diredusir dengan menerapkan kondensasi statis (statical condensation) atas beberapa derajat kebebasan.
U2
U2
P2
STRUKTUR
Dalam pasal ini dilakukan pembahasan analisis sistem struktur reguler terhadap gaya eksitasi gempa, dengan mengambil asumsi bahwa lantai per lantai merupakan sub-sistem yang kaku. Struktur dalam Gambar 1 ditampilkan kembali dalam Gambar 3 dengan menuliskan gaya-gaya beserta konsiderasi keseimbangan gaya horizontal. Keseimbangan gaya-gaya horizontal pada level tingkat 1 dan tingkat 2 memberikan sistem persamaan simultan yang dalam notasi matriks dituliskan dalam bentuk 36EI 72EI − 3 U M 0 U&& M L3 1 && 1 L 1 + 1 36EI 36EI && = −M Ut U 0 M U 2 2 2 2 − L3 L3 5
10
12
3
18
1
9
16
14
8
4
(1)
17
11 2
6
U2
7
15
13 20
19
9
6
3
2. ANALISIS SISTEM PORTAL REGULER
Gambar 3. Derajat Kebebasan Struktur Ireguler
P1
U1 2
U1
5
8
1
4
7
U1
dalam
mana
{ U1 , U 2 }
adalah
perpindahan
horisontal lantai 1 dan lantai 2, { M1 , M 2 } massa lantai 1 dan lantai 2, { U&&1 , U&&2 } percepatan lantai 1
Gambar 1. Struktur Reguler, Lantai per Lantai Kaku
&& percepatan tanah, EI kekakuan lentur dan 2, U t kolom dan L panjang kolom. Untuk struktur dalam Gambar 2 diperoleh persamaan
3
9
6
36EI 60EI − 3 U M L3 0 U&&1 M1 && 1 + 1 =− U (2) 36EI 36L EI U2 0 M2 U&&2 M2 t − 3 3 L L
8
2 1
5
4
7
Dengan menggunakan prosedur yang standard, dari Pers. (1) dapat dihitung frekuensi alami dengan ragam yang koresponden.
Gambar 2. Struktur Ireguler, Lantai per Lantai Tidak Kaku
2
Hariandja, B. / Analisis Dinamis Sistem Struktur dengan Skema Massa Konsisten / Cantilever, Vol. 4, No. 1, Oktober 2015 (1 – 6)
[K ff ] [K fr ]{U f } {Pf } = [K ] [K ] rr {U r } {Pr } rf
3. ANALISIS SISTEM STRUKTUR DENGAN MODEL MASSA KONSISTEN Dalam model massa yang konsisten seperti ini, semua derajat kebebasan dianggap aktif dan disertakan dalam persamaan keseimbangan struktur seperti dalam Gambar 4. Untuk dapat memperhitungkan gaya-gaya akibat akselerasi tanah, perletakan 1 dan 7 diberi derajat kebebasan horisontal. Dengan demikian ada 20 derajat kebebasan. Derajat kebebasan diatur sedemikian
yang secara konsisten dapat digunakan untuk menyusun gaya-gaya inersia akibat percepatan tanah dan keseimbangan sistem struktur. Pertama, untuk mendapatkan vektor gaya dalam struktur akibat akselerasi gaya gempa, disusun persamaan-persamaan sebagai berikut. Karena medan percepatan merupakan turunan dari pada medan perpindahan terhadap waktu, maka percepatan tanah juga mengikuti pola medan perpindahan yang secara kinematis dimungkinkan (kinematically admissible) maka dapat dituliskan
hingga U1 dan U 2 merupakan derajat kebebasan dasar (master degrees of freedom), U 3 hingga U 18
[K ff ] [K fr ]{U&& f } {0} [K ] [K ] && = (5) rr {U r } {0} rf
merupakan derajat kebebasan terkondens (slave degrees of freedom), semua ini merupakan derajat kebebasan yang bebas (free degrees of freedom), sedangkan U 19
dan
U 20
merupakan derajat
Percepatan gempa mengakibatkan pondasi struktur sebesar
kebebasan terkekang (restrained degrees of freedom). Dengan demikian, vektor perpindahan {U } didekomposir atas vektor perpindahan dasar
{U&& } = PP r
{U m } , vektor perpindahan terkondensir {U s } , dan vektor
perpindahan
terkekang
(4)
{U r } . Vektor
19 && Ut 20
akselerasi
= {Pr }U&&t
(6)
yang dengan Pers. (5) memberikan
perpindahan dasar {U m } dan vektor perpindahan
{U&& } = −{[K ] [K ]{P }}U&& = {P }U&& −1
f
terkondens {U s } membentuk vektor perpindahan bebas {U f } . Dengan demikian, keseimbangan
ff
fr
r
t
f
t
(7)
sehingga percepatan struktur menjadi
dalam Pers. (1) didekomposir dalam bentuk
{U&&} = {{PP }}U&& f
2
r
t
[ ] [ ]{ }
K −1 K fs = ff U&&r (8) [I ]
Perpindahan ini kemudian digunakan untuk menyusun gaya inersia pada elemen sebagai berikut. Pertama, percepatan ujung elemen dihitung dengan
1
{U&&e }= [Te ]{U&&} pada tata sumbu global, dan
Gambar 4. Keseimbangan Gaya-gaya Pada Lantai
[Kmm] [Kms ] [Kmr ]{Um} {Pm} [K ] [K ] [ K ] {U } = {P } s ss sr s sm [Krm ] [ Krs ] [Krr ] {Ur } {Pr }
(9)
{u&&e } = [Re ]{U&&e } (3)
(10)
pada tata sumbu lokal. Percepatan titik bermateri elemen menjadi
atau
0 0 N4 (x) 0 0 u(x) N1(x) = {u&&e} (11) 0 N ( x ) N ( x ) 0 N ( x ) N w ( x ) 2 3 5 6 (x)
3
Hariandja, B. / Analisis Dinamis Sistem Struktur dengan Skema Massa Konsisten / Cantilever, Vol. 4, No. 1, Oktober 2015 (1 – 6)
gaya inersia struktur digabungkan dalam sistem persamaan keseimbangan dinamis dalam bentuk
dalam mana [3] N1(x) = 1− x / L
[Kmm] [Kms ] [Kmr ]{Um} [M mm] [Mms ] [Mmr ]{U&&m} {0} [K ] [K ] [K ]{U } + [M ] [M ] [M ]{U&& } = {0} (18) ss sr s sm ss sr s sm [Krm ] [Krs ] [Krr ]{Ur } [Mrm ] [M rs ] [M rr ] {U&&r } {0}
N2 (x) = 1 − 3(x / L)2 + 2(x / L)3 N3 ( x) = L[(x / L) − 2(x / L)2 + (x / L)3 ] N4 (x) = x / L
(12)
(12)
dalam mana sub-sub matriks yang berkaitan dengan matriks massa dalam Pers. (18) disusun berdasarkan komputasi beban inersia ekivalen dalam Pers. (8). Bentuk persamaan keseimbangan juga dapat dipartisi dalam bentuk
N5 (x) = 3(x / L)2 − 2(x / L)3 N6 (x) = L[−2(x / L)2 + (x / L)3 ]
Kerja luar yang dilakukan oleh gaya inersia di arah perpindahan { u , w } menjadi
δW = ∫ {δu} [N]mdx+ ∫∫{δu} [N]mda T
T
{ } { }
&& {0} [Kmm] [Kms]{Um} [Mmm] [Mms] U m [K ] [K ]{U } + [M ] [M ] && = (19) ss s sm ss Us {0} sm
(13)
Solusi dari pada Pers. (18) adalah dengan terlebih dahulu melakukan proses kondensasi yang merupakan penyelesaian sebagian dari pada submatriks yang berkaitan dengan perpindahan terkekang. Solusi antara untuk perpindahan terkekang memberikan
yang jika perpindahan maya juga diinterpolasikan serupa dengan Pers. (11), akan menghasilkan matriks massa elemen dalam bentuk
l
[me ] = ∫ 0
N1N1 0 0 N4N1 0 0
0 0 N1N4 0 0 N2N2 N2N3 0 N2N5 N2N6 N3N2 N3N3 0 N3N5 N3N6 {u&&e}mAdx 0 0 N4N4 0 0 N5N2 N5N3 0 N5N5 N5N6 N6N2 N6N3 0 N6N5 N6N6
{Us} = −[Kss]−1{[Ksm]{Um} +[Msm]{U&&m}+[Mss]{U&&s}}
(14)
dan kemudian digunakan untuk mendapatkan persamaan
dengan hasil
[K ]{U ' mm
L / 3 0 m e = 0 mA m/ 6 0 0
[ ]
0 0 2 13L / 35 11L / 210 2 3 11L / 210 L / 105 0 0 2 9L / 70 3L / 420 2 3 11L / 210 L / 140
0 0 2 9L / 70 11L / 210 2 3 0 13L / 420 L / 140 (15) L/3 0 0 2 0 13L / 35 11L / 210 2 3 0 11L / 210 L / 105
L/ 6 0
[K ] = [K [M ] = [M ' mm
' mm
' } + [M mm ]{U&&m }= {0}
( 21)
] − [K ms ][K ss ]−1 [K sm ] −1 mm ] − [M ms ][K ss ] [M sm ]
mm
(22)
Solusi dari pada Pers. (21) untuk {U m } kemudian dimasukkan ke dalam Pers. (20) untuk mendapatkan {U s } dalam melengkapi solusi. Dengan demikian, didapatkan orde yang lebih rendah dalam menentukan frekuensi alami dari pada sistem struktur. Yang menjadi pertanyaan adalah, bagai mana memilih derajat kebebasan yang akan dikondensir dalam {U s } dan derajat kebebasan yang akan dipertahankan dalam {U m } . Umumnya, derajat kebebasan paling luar yang merupakan batas-batas sistem struktur perlu dipertahankan. Kemudian, dapat dilakukan proses sensitivitas untuk mengenali derajat kebebasan yang dominan serta yang perlu ikut dipertahankan. Ini dilakukan dalam proses pemrograman dalam bab berikut ini.
(16)
dan merakitkannya ke dalam matriks massa struktur dengan menggunakan matriks tujuan n
[M ] = ∑[Ti ]T [Ri ]T [mi ][Ri ][Ti ]
m
dalam mana
dalam mana m adalah massa balok per meter kubik, A luas penampang dan L panjang balok. Terlihat bahwa matriks massa bersifat simetri dan dapat dirakitkan ke dalam matriks massa struktur dengan melakukan transformasi dari tata sumbu lokal ke tata sumbu global
{me } = [Re ]{M e }
(20)
(17)
i =1
yang identik dengan perakitan matriks kekakuan global. Matriks kekakuan, matriks massa dan vektor 4
Hariandja, B. / Analisis Dinamis Sistem Struktur dengan Skema Massa Konsisten / Cantilever, Vol. 4, No. 1, Oktober 2015 (1 – 6)
memisalkan bahwa lantai per lantai adalah kaku, dan bahwa sistem struktur ireguler dianalisis secara matriks konsisten, namun dengan meninggalkan derajat kebebasan yang sama dengan analisis yang pertama, yaitu simpangan horisontal lantai 1 dan lantai 2. Lihat Tabel 1 sebagai penjelasan.
4. PENYUSUNAN PROGRAM KOMPUTER Suatu program paket komputer untuk analisis dinamis sistem struktur yang telah dipaparkan dalam Bab III, telah disusun dengan menggunakan bahasa tinggi Fortran. Program tersebut disusun mampu melakukan perhitungan-perhitungan analisis, termasuk proses kondensasi statis [1] dan proses kekangan multi titik [3] sebagai mana telah diuraikan dalam Bab III tersebut. Pertama, diatur urutan derajat kebebasan menurut pola dalam Pers. (18) untuk mendapatkan susunan dalam urutan {U m } , {U s } dan {U r } .
Tabel 1. Pembagian Pola Analisis
Analisis I 1 II 2
Keterangan portal 2 tingkat, reguler, lantai kaku portal 2 tingkat, ireguler, lantai kaku portal 2 tingkat, ireguler, model konsisten
Berdasarkan hasil dari pada ketiga ragam analisis dalam Tabel 1, didapatkan kaji banding hasil keluaran sebagai berikut. Pertama, untuk dua ragam, didapatkan hasil frekuensi alami seperti dalam Tabel 2. Terlihat bahwa frequensi alami Ragam II.1 identik dengan frequensi alami Ragam I karena didasarkan atas asumsi yang sama. Namun, frequensi alami Ragam II.2 berbeda dengan frequensi alami kedua ragam yang pertama, karena didasarkan atas massa yang konsisten. Jika pada analisis kedua ragam yang pertama, massa dipusatkan (lumbed) pada level perpindahan 1 dan 2, maka massa pada analisis yang ketiga tersebar seturut dengan lokasi titik bermateri komponen batang.
Dengan demikian, derajat kebebasan dasar, terkondensir dan terkekang tersusun berkelompok seperti dalam Pers. (3) atau (18). Sayangnya, proses ini akan memperbesar lebar pita (bandwidth) dari pada matriks kekakuan struktur. Cara kedua adalah dengan tidak perlu menyusun derajat kebebasan {U m } , {U s } dan {U r } secara berurutan. Kemungkinan derajat kebebasan terkondens berada di antara derajat kebebasan dasar. Dengan demikian, penyelesaian antara seperti dalam Pers. (19) dan solusi dalam Pers. (21) tidak dapat diterapkan karena persamaan keseimbangan tidak terpartisi seperti dalam Pers. (18). Untuk pola proses seperti ini, pelaksanaan proses kondensasi dapat dilakukan secara baris per baris (row wise) ketimbang secara partisi matriks (matrix wise) [2]. Program yang sudah tersusun kemudian diterapkan terhadap kasus struktur portal reguler dalam Gambar 1 dan portal irreguler dalam Gambar 2. Proses studi kasus ini dipaparkan dalam bab berikut ini.
Tabel 2. Perbandingan Frekuensi Alami
Analisis I II.1 II.2
5. STUDI KASUS
Frekuensi Alami (rad/det) ragam 1 ragam 2 1.684 0.202 1.684 0.202 1.197 0.5366
Dengan demikian, analisis ragam yang ketiga akan lebih mendekati kenyataan dibandingkan dengan analisis ragam yang memisalkan tingkat kaku dibandingkan dengan kolom, dan massa dipusatkan pada level tingkat. Kesalahan yang diakibatkan oleh asumsi ini relatif kecil untuk portal reguler, namun kesalahan akan semakin besar untuk portal yang semakin ireguler. Untuk portal ireguler atau struktur yang paling umum, analisis lebih tepat jika menggunakan massa yang konsisten.
Studi kasus dalam hal ini dilakukan dengan menggunakan program paket komputer yang telah disusun terhadap sistem struktur dalam Gambar 1. Analisis dilakukan dalam dua pola. Pertama, analisis dilakukan dengan mengikuti asumsi bahwa lantai per lantai adalah kaku. Kedua, analisis digunakan terhadap struktur ireguler dalam Gambar 2. Dalam model ini, dilakukan dua jenis analisis, yaitu dengan 5
Hariandja, B. / Analisis Dinamis Sistem Struktur dengan Skema Massa Konsisten / Cantilever, Vol. 4, No. 1, Oktober 2015 (1 – 6) 3) Hariandja, B., 2015, Metoda Elemen Hingga, Penerbit Teknik Sipil, Universitas Pancasila, Jakarta.
6. KESIMPULAN Dari kaji banding hasil analisis yang dilakukan dalam Bab 5, disimpulkan bahwa penyederhanaan sistem struktur yang lazim diambil dalam analisis dinamis sistem struktur portal, yang mengasumsikan bahwa lantai per lantai adalah kaku, menghasilkan ketelitian hasil analisis yang tergantung kepada reguler tidaknya sistem struktur. Untuk sistem struktur portal yang reguler, pengandaian tersebut masih memberikan hasil yang cukup baik. Namun, untuk struktur yang ireguler, selain perpindahan yang bersifat simpangan ke samping (side sway), muncul pula pola perpindahan yang vertikal serta perpindahan rotasi titik-titk simpul. Untuk kasus yang demikian ini, sebaiknya digunakan model diskrit dan analisis yang konsisten, sebagai mana telah dibahas dalam tulisan ini. Program yang telah disusun khusus untuk analisis frekuensi dalam tulisan ini, siap dikembangkan untuk digunakan dalam analisis dinamis sistem struktur yang reguler maupun yang tidak. Program tersebut telah dilengkapi dengan algoritma kondensasi statis untuk mengurangi derajat kebebasan sistem diskrit struktur, dan dilengkapi pula dengan algoritma kekangan multi titik untuk dapat memproses persamaan yang mengkaitkan hubungan antar komponen perpindahan struktur. UCAPAN TERIMA KASIH Penyusunan program komputer yang dituliskan dalam bahasa Fortran serta khusus diperuntukkan bagi penelitian ini dibantu oleh Jeply Murdiaman, pengetikan naskah serta penggambaran yang teliti dilakukan oleh Setriwaldi. Untuk itu, penulis menghaturkan banyak terima kasih. REFERENSI 1) Paz, M., 1987, Dinamika Struktur: Teori dan Perhitungan, alih bahasa oleh Manu, A.P., Penerbit Erlangga, Jakarta. 2) Hariandja, B., 1997, Analisis Struktur Berbentuk Rangka Dalam Formulasi Matriks, Penerbit Aksara Hutasada, Bandung.
6
