Algemene vormingsvak: Encyclopedie Auteur: K. A. Ramkhelawan disclaimer: vrijwaring auteursrechten schending. Bronvermelding laatste pagina.
India's Nul Ram Ram
Inhoudsopgave
Inleiding……………………………………………………..……………….3 Geschiedeniswiskunde…………………….…………………………….…..5 1)Ancient tijdperk (voor 500 BC)………………………………….………..6 a)Vedische tijdperk (1000BC-ten minste 6000BC)…………………………6 b)Eind Vedische tijdperk (1000 BC-500BC)………………………………..6 2)Beginmiddeleeuwen (500 BC- 400 AD) )………………………………...7 3)Middeleeuwen of Gouden tijdperk ( 400 AD- 1200 AD)………………...9 4)Eind middeleeuwen (1200 AD – 1800 AD) ……………………………...9 5)Moderne tijd (na 1800 AD)……………………………………………….9 Bronvermelding………………………………………………………….…10
Inleiding 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Met deze tien cijfers kunnen wij alle getallen schrijven. Meestal staan we er niet bij stil dat dit eigenlijk heel bijzonder is, en dat ons systeem veel handiger is dan de meeste andere systemen die in de geschiedenis gebruikt zijn. Een voorbeeld van zo'n onhandiger systeem zijn de Romeinse cijfers. Waarom is ons systeem zo handig? Omdat het een positiesysteem is, dat betekent dat de waarde van een cijfer van zijn positie afhangt. Dat blijkt uit het volgende voorbeeld. Met twee cijfers, 6 en 4, kun je verschillende getallen schrijven, bijvoorbeeld 46 en 64. De 6 in 64 staat voor zes tientallen, dus voor 6 maal 10, maar de zes in 46 staat voor 6 eenheden, dus voor 6 maal 1. Dus twee keer hetzelfde symbool, de 6, maar de waarde van de 6 hangt af van de plaats waar hij staat, en daarom betekent de 6 in 46 dus iets anders dan de 6 in 64. We hebben dit systeem te danken aan het vroeg-middeleeuwse India. Het is daar in de vijfde eeuw na Christus ontstaan uit een ouder systeem, het zogenaamde Brahmi-systeem. Dit bestond al in de derde eeuw voor Christus, ten tijde van de beroemde koning Ashoka. In het Brahmi-systeem waren er al de cijfers 1 tot en met 9, maar nog geen nul. Voor '10' was er een apart teken, een cirkel met twee pootjes eraan. Voor '20' weer een ander teken, een cirkel met een streepje erin; weer een ander teken voor 30, enzovoort. Er waren speciale tekens voor 100 en voor 1000. Het getal 1111 zou je in het Brahmi-systeem schrijven als het teken voor 1000, gevolgd door het teken voor 100, gevolgd door het teken voor 10 (die cirkel met twee pootjes erin), en dan een 1. Met zo'n systeem kom je niet erg ver, want voor 10.000 moet je weer een nieuw symbool uitvinden, voor 100.000 nog een, enzovoort. Maar in het dagelijks leven in de oudheid en middeleeuwen waren getallen groter dan 10.000 niet vaak nodig. Alleen in de sterrenkunde waren er toen grotere getallen nodig. In de vijfde of zesde eeuw na Christus is een onbekende Indiase sterrenkundige op het idee gekomen het Brahmisysteem te wijzigen. Hij voerde een symbool voor 0 in, en het principe dat je de cijfers 1 tot en met 9 niet alleen voor eenheden, maar ook voor tientallen, honderdtallen enzovoort kunt gebruiken, zoals wij dat tegenwoordig gewend zijn. In plaats van het symbool voor tien, die cirkel met twee pootjes, komt er nu een één gevolgd door een nul. In plaats van het speciale symbool voor twintig, de cirkel met het streepje erin, kun je nu schrijven: twee nul. Voor honderd kun je nu één-nul-nul schrijven, voor duizend één-nul-nulnul, enzovoort. Je hoeft dan nooit meer nieuwe tekens uit te vinden maar kunt de cijfers één tot en met negen en de nul steeds 'recyclen'. De 'nul' is dus een symbool om 'geen' aan te duiden. Op de vraag hoe onze onbekende Indiase geleerde op dit lumineuze idee gekomen is zijn door moderne historici verschillende antwoorden gegeven. Daarbij is ook de vraag van belang of er invloed uit andere culturen geweest is. Volgens sommige historici is dit niet het greview. Zij verwijzen naar een ontwikkeling in het Sanskrit, de heilige taal van India, om getallen op een bepaalde manier in woorden te schrijven. Bijvoorbeeld 'vijfhonderd drie' wordt in sommige teksten in het Sanskrit aangegeven als een woord voor vijf, gevolgd door een woord voor leeg, gevolgd door een woord voor drie. Onze onbekende Indiase geleerde hoefde alleen deze woorden door symbolen te vervangen en klaar is Kees, althans volgens deze historici.
Het is echter wel toevallig dat dit soort woordgetallen in het Sanskrit vooral voorkomen in teksten over sterrenkunde vanaf de vijfde eeuw na Christus. Dit is een periode waarin er in India een nieuwe opbloei van de sterrenkunde plaatsvindt. Die opbloei was geïnspireerd door de sterrenkunde van het oude Babylon en Griekenland. Dat dat zo is staat vast omdat veel resultaten en ook een aantal vaktermen in de Indiase sterrenkunde van Griekse oorsprong zijn. De Griekse en Babylonische sterrenkundigen in de oudheid rekenden in een zestigtallig positiestelsel, en zij hadden een symbool voor de nul. Zij zijn het geweest die de cirkel in 360 graden verdeeld hebben, de graad in 60 minuten en de minuut in 60 seconden. De Grieken schreven de getallen 1 tot en met 59 met de letters van hun alfabet, dus 1 = alfa, 2 = bèta, enzovoort tot en met 10 = iota. Het getal 11 was iota plus alfa, 12 iota plus bèta, tot en met 20 = kappa, en zo verder tot en met 59. Voor 60 schreven zij alfa (= 1) gevolgd door een rondje, een afkorting van het woord 'ouden' (spreek uit: oeden), wat `niets' betekent. 61 was dan alfa-alfa, en zo verder. De Indiase sterrekundigen moeten met dit systeem bekend geweest zijn. Het lijkt daarom waarschijnlijk dat onze onbekende Indiase sterrenkundige als volgt geredeneerd heeft: Een positiestelsel is heel handig, maar dat Griekse zestigtallig stelsel met al die letters van het alfabet is toch wel ingewikkeld. Welnu, dan maken we er een tientallig stelsel van, en we gebruiken voor de cijfers 1 tot en met 9 het Brahmi-systeem dat iedereen toch al kent. We hoeven dan alleen een teken voor de nul toe te voegen. Die woordgetallen in het Sanskrit zouden dan vanuit dezelfde gedachte zijn ontstaan. Tegenwoordig spreekt men niet van 'Indiase cijfers', maar ten onrechte van 'Arabische cijfers', en dit heeft te maken met de verdere geschiedenis. Het systeem heeft een lange en moeizame weg door diverse culturen moeten afleggen voordat het uiteindelijk werd geaccepteerd. Vanaf de ontdekking in India in de vijfde eeuw na Christus naar het Westen. Omstreeks het jaar 775 arriveerde een delegatie van Indiase geleerden aan het hof van de kalief in Bagdad, de hoofdstad van het toenmalig Islamitisch wereldrijk. Die geleerden waren uitgenodigd om de Indiase sterrenkunde uit te leggen. Hierdoor werd ook het Indiase systeem om getallen te schrijven (dat is dus het moderne systeem) in Bagdad bekend. Kort daarna, omstreeks 800, verscheen er in het Arabisch een leerboekje over het rekenen met deze Indiase cijfers van Mohammad ibn Musa al-Khorezmi. Al-Khorezmi kwam uit de stad Khorezm, het tegenwoordige Khiwa in Uzbekistan. Deze stad behoorde toen tot het Perzisch cultuurgebied. Al-Khorezmi was niet een geniaal wiskundige maar wel een enorm goed onderwijzer. In zijn boekje legt hij duidelijk en met veel voorbeeldjes uit hoe je met die getallen kunt rekenen in een bakje met zand of op een leitje (er was toen nog niet veel papier). Je zou het boekje bijna op de lagere school nog kunnen gebruiken. Exemplaren van het boekje kwamen al gauw terecht in het uiterste Westen van de toenmalige Islamitische wereld, dat is Spanje. Het boekje is daar in de 12e eeuw in het Latijn vertaald, nadat een groot deel van Spanje door de Christenen was veroverd. Tot voor kort hadden we van het boekje alleen een gedeelte van de Latijnse vertaling; kort geleden is een handschrift van de hele Latijnse vertaling ontdekt. Van de Arabische grondtekst is praktisch niets over.
Omdat het boekje van Al-Khorezmi zo goed was, verwacht u misschien dat iedereen in de Arabische wereld het nieuwe systeem enthousiast accepteerde. Maar dat was bepaald niet zo. De Arabische sterrenkundigen gebruikten het zestigtallig systeem van hun Griekse voorgangers, en zij schreven de getallen 1 tot en met 59 met de letters van het alfabet, net zoals de Grieken dat gedaan hadden. De schrijvers en belastingambtenaren schreven getallen meestal voluit in woorden. Al-Khorezmi moest dus proberen die mensen van het nut van het Indiase systeem te overtuigen. Zijn voornaamste argument was dat je er heel handig mee kunt rekenen, ook met heel grote getallen. Bekend is dat Al-Khorezmi als voorbeeld de beroemde schaakbordopgave gebruikt heeft. Het schaakspel was in die tijd populair in het Perzisch cultuurgebied, waar Al-Khorezmi vandaan kwam. Nu komt de opgave. Op het eerste vakje van een schaakbord leggen we 1 graankorrel, op het tweede vakje twee, op het derde vakje vier, op het vierde vakje acht. Zo gaan we door: op het volgende vakje komt steeds het dubbele van het aantal graankorrels van het vorige. Vraag: Hoeveel graankorrels liggen er op het hele schaakbord? Al-Khorezmi rekent het antwoord met het nieuwe systeem gemakkelijk uit, en het resultaat is: 18.446.744.073.709.551.615. (Dit is twee tot de 64e macht min 1) Helaas heeft hij met deze en dergelijke argumenten niet iedereen kunnen overtuigen. Het Indiase systeem heeft daarom in de middeleeuws islamitische wereld een marginale rol gespeeld, in elk greview in de eerste eeuwen. Toen het boekje van Al-Khorezmi in het Latijn vertaald werd, was men in het Christelijke Europa ook niet meteen enthousiast. Men was gewend getallen in Romeinse cijfers op de schrijven en met een rekenbord met steentjes te rekenen. Deze methode voldeed goed in de dagelijkse middeleeuwse praktijk, waarin grote getallen niet nodig waren. Dus waarom zou men dit nieuwe onbekende systeem uit de Arabische wereld aannemen? Een probleem was ook, dat de vorm van de cijfers niet erg bekend was, en dat men er dus gemakkelijk mee kon frauderen. Bijvoorbeeld, als je een bepaald cijfer op een onduidelijke manier in een contract schreef, dan kon je later altijd beweren dat er een ander cijfer was bedoeld. In de stad Florence zijn de Indiase cijfers daarom een tijdlang verboden geweest. Zo hebben de Indiase cijfers dus ook in middeleeuws Europa een moeilijke start gemaakt. Er was wel één geleerde die het nut van de nieuwe cijfers inzag. Dat was Leonardo Fibonacci, zoon van een koopman, die door zijn vader naar de Arabische wereld gestuurd werd. Leonardo studeerde wiskunde aan een heel goede school in de stad Bougie in Algerije, en toen hij in Italië terug was, schreef hij een boek over het rekenen met de nieuwe cijfers. Dat was omstreeks 1200. Het keerpunt kwam in de 14e eeuw. De kooplieden in Italië hadden te maken met een groeiende handel en daarbij waren steeds meer en steeds ingewikkeldere berekeningen nodig. Onder andere door het boek van Leonaro Fibonacci raakten veel kooplieden er van overtuigd dat het Indiase systeem het beste was. Het systeem werd daarom ingevoerd aan de Italiaanse 'business schools' uit die tijd. Hierdoor verdrong het uiteindelijk de Romeinse cijfers en de rekenborden. Na de ontwikkeling van de boekdrukkunst werd de vorm van de cijfers gestandaardiseerd op de manier zoals we die nu kennen. De geschiedenis raakte in dit hele proces op de achtergrond. De Indiase oorsprong van de cijfers werd vergeten. In Europa sprak men van Arabische cijfers en men noemde het systeem naar Algorezmi, de geleerde van omstreeks 800 uit Bagdad. Zijn naam werd eerst verlatijnst tot Algorismi, en daarna verbasterd tot het moderne woord algoritme. Dat
woord is tegenwoordig in de moderne informatica heel populair, het betekent rekenmethode in het algemeen. Ons woord cijfer is afgeleid van het arabische sifr, dat betekent 'lege plaats' of nul. Velen in het middeleeuws Europa konden niet begrijpen hoe je nu een symbool, de nul, dat is dus 'iets', kunt gebruiken om 'niets' aan te geven. De nul was daarom de steen des aanstoots van het hele systeem, en zo komt het dat de naam voor de nul, sifr, gaandeweg ook werd gebruikt om de resterende symbolen aan te geven. Geschiedenis van de Indiase wiskunde Ganit (wiskunde) werd al eeuwen geleden heel belangrijk beschouwd. De Veda’s(kennis, die 6000 BC waren samengesteld), de heilige boeken van de Indiërs die lange tijd gewoon verbaal overgebracht werden, totdat iemand ze op papier bracht bevatten uitgebreid bewijs hierover. Het zijn vier delen die grotendeels over filosofie gaan. Zoals alle grote Indiase filosoof staat de naam van de filosoof niet vermeld op de boeken. Begrippen zoals delen, vermenigvuldigen, optellen en aftrekken werden toen al gebruikt. De Indiërs hadden toen al een concept van de nul en oneindig. In de Veda vinden ook de basis van algebra terug. De geschiedenis van de Indiase wiskunde kan in vijf delen verdeeld worden. Als volgt: 1)Ancient tijdperk (voor 500 BC) a)Vedische tijdperk (1000BC-ten minste 6000BC) b)Eind Vedische tijdperk (1000 BC-500BC) 2)Begin middeleeuwen (500 BC- 400 AD) 3) Middeleeuwen of Gouden tijdperk ( 400 AD- 1200 AD) 4) Eind middeleeuwen (1200 AD – 1800 AD) 5) Moderne tijd (na 1800 AD) In dit tijdperk zien we de opkomst van de numerieke wiskunde n.l. algebra en de geometrische wiskunde. We zien behalve dat ze in dit tijdperk ontstonden ook nog hoe nauwkeurig het ‘bedacht’ werd. Ancient tijdperk is te verdelen in twee hoofdlijnen. De numerieke wiskunde bloeide uit het Vedische tijdperk en de geometrische wiskunde uit het eind Vedische tijdperk. 1a) Vedische tijdperk (1000BC-ten minste 6000BC) Cijfers en decimalen werden al gebruikt in de Veda’s 600 voor Christus. Er is een Richa(fragmentje) in de Veda, dat als volgt luidt: In this age the discovery of ZERO and "10th place value method"(writing number based on 10) is great contribution to world by India in the arena of Mathematics. If "zero" and "10 based numbers" were not discovered, it would not have been possible today to write big numbers.
Het is niet exact bekend door wie en wanneer de nul bedacht is, maar het werd sinds het Vedische tijdperk in India gebruikt. Het tientallig positiesysteem verspreidde van India naar Arabie. Van daaruit ging het over naar de Westerse wereld. Vandaar dat de cijfers 1-9 ‘hindsa’ genoemd worden door de Arabieren en 0-9 hindu-arabische cijfers. 1b) Eind Vedische tijdperk (1000 BC-500BC) 1b.1) Shulv and Vedang Jyotish Time Vedi was heel belangrijk bij het uitoefenen van rituelen. Daarvoor werden verschillende geomits(geometrie: zoals je ziet komt dit woord voort uit het Sanskrit) gemaakt. Om dit alles te berekenen werd geometrische wiskunde ontwikkeld. Die kennis was in de Shulv Sutras(Shulv Formulae) beschikbaar. Shulv betekent koord of touw. Het koord werd gebruikt om in de meetkunde te meten bij het maken van Vedis. Toen waren er drie grote formulators n.l.: Baudhayan, Aapstamb and Pratyayan. Behalve hun waren ook: Manav, Matrayan, Varah and Bandhul grote wiskundigen in die tijd. De stelling van Pythagoras zien we terug in de ‘Baudhayan Sulv Sutra’(Baudhayan Sulv formulae 1000 BC). In een Deerghchatursh (driehoek) is de Chetra (wortel) van Rajju (hypotenusa, de schuine zijde) gelijk aan de som van de wortel van de of Parshvamani (aanliggende zijde) en de Triyangmani (tegenoverstaande zijde). Het maken van ‘Vedi’ was nodig voor ‘Yagya’s’. Dat zijn ceremonien en rituelen die op bepaalde tijden van een dag, maand of jaar gehouden en uitgeoefend worden. Om die tijden zo exact mogelijk te berekenen werd Geotish Shastra ontwikkeld(astrology). In Geotish Shastra (astrology) werden tijd, positie en beweging van de sterren berekend. In het boek Vedanga Jyotish (tenminste 1000 voor Christus) zien we dat astrologen al konden optellen, vermenigvuldigen, aftrekken, enz. In het onderstaande staat er; vermenigvuldig de datum met 11, tel het op met ‘Bhansh’ of ‘Parv’(waarschijnlijk constanten) en deel het dan met het ‘Nakshatra’ nummer. Op deze manier kom je op de ‘Nakshtra’ datum. 1b.2) Surya Pragyapti Time In literatuur over de Jain, een geloof, zien we ook uitgebreide uitleg over de wiskunde. We find elaborated description of Mathematics in the Jain literature. In feite is de uitleg in Jain literatuur makkelijker te begrijpen voor de gewone mens. Dit in tegenstelling tot de manier waarop het in de Veda’s wordt uitgedrukt. Het is blijkbaar daar gericht op de filosofen. Jammer genoeg zijn de boeken die in die tijd geschreven waren vergaan. Met uitzondering van de boeken: Vaychali Ganit, Surya Siddhanta en Ganita Anoyog. Uit de beperkte literatuur uit die tijd kunnen we concluderen dat de wiskunde ook in dit tijdperk behoorlijk ontwikkelde. Sathanang Sutra, Bhagvati Sutra en Anoyogdwar Sutra zijn de bekendste boeken van die tijd. Behalve die zijn ook de boeken Tatvarthaadigyam Sutra Bhashya van Jain filosoof Omaswati
(135 voor Christus) en het boek getiteld Tiloyapannati van Aacharya (Guru) Yativrisham (176 voor Christus) bekend. Het boek Vaychali Ganit beschrijft uitgebreid de basis van vermenigvuldigingen in de wiskunde, exponenten, worteltrekken, etc. Vaychali Ganit is het bewijs dat 300 voor Christus in India de wiskunde als tegenwoordig, gebruikt werd. De oorsprong van de moderne Trignometrie in het boek Surya Siddhanta te vinden is. Erin wordt Zya(Sine, tegenwoordig Sinus), Otkram Zya(Versesine), en Kotizya(Cosine, tegenwoordig Cosinus) aangehaald. In Arabie werd het woord Zya verandert naar "Jaib". Het woord Trikonmiti is een Indiase woord, waaruit Trignometrie voorkomt. Triognometrie werd gebruikt om de positie en beweging van planeten te bestuderen en vast te stellen. In deze periode kwam de Indiase wiskunde in Arabie terecht toen Beez ganit(wiskunde) zich zo snel ontwikkelde. De Indiers maaktten regels voor het optellen, delen, vermenigvuldigen met symbolen: +, -. X. Een heel grote bijdrage van de wiskundige Brahmgupt(628 AD) is: ‘the multiplication of a positive number with a negative number comes out to be a negative number and multiplication of a positive number with a positive number comes out to be a positive number’. ‘When a positive number is divided by a positive number the result is a positive number and when a positive number is divided by a negative number or a negative number is divided by a positive number the result is a negative number.’ Indiers gebruikten symbolen voor het trekken van wortels, oppervlakte berekening en exponent berekening. Die symbolen worden hedendaags ook in de wiskunde gebruikt. In het boek getiteld Anoyogdwar Sutra worden enkele regels voor exponent rekenen in Beez Ganit (later werd dit Algebra genoemd) uitgelegd. Hieronder enkele voorbeelden. Zo zie je dat Beez ganit in deze periode behoorlijk uitbreidde. Zonder enige twijfel kunnen we dan aannemen dan ook Aank Ganit(numerieke wiskunde) ook vanuit India naar Arabie verspreidde, waar het later naar de Westerse wereld ging. Het was de Arabische wiskundige Al-Khorizmi, zoals in de inleiding al verteld is, die deze kennis in de Arabie presenteerde vanwaar het later in het Latijns vertaald werd en naar de Westerse wereld verspreidde. Tot 400 AD oftewel het Gouden tijdperk was er nog geen notie van moderne Algebra zoals die in India. Het was pas in 275 AD toen het concept van Beez ganit, de moderne Algebra in boeken van Diofantus te vinden was. Tegen die tijd waren de Indiers veel en veel verder op dat gebied. 3) Middeleeuwen of Gouden tijdperk ( 400 AD- 1200 AD) Deze periode wordt het gouden tijdperk genoemd omdat hier wiskundigen zoals Aryabhatt, Brahmgupt, Mahaveeracharya, Bhaskaracharya de wiskunde de ‘finishing touch’ gaven. De oorspronkelijke forumules in de Veda’s werden grondig bestudeerd en met hun uiterste naar voren gebracht potentie. Mede daardoor werd de eerste ruimte sateliet naar de grote wiskundige "Aryabhatt" genaamd. 4) Eind middeleeuwen (1200 AD – 1800 AD)
Hier wordt het werk van Bhaskaracharya, de tweede(1114 AD) geprezen. Hij heeft enkele goede boeken geschreven n.l.: Siddhanta Shiromani, Leelavati Beezganitam, Gola Addhaya, Griha Ganitam and Karan Kautoohal. Hij gaf ook nog de laatste aanpassingen aan de numerieke wiskunde, Beez Ganit (Algebra), en Trikonmiti (Trignometry). In zijn boek rond 1500 AD heeft de wiskundige Neel Kantha uit Kerla ontwikkeld om Sine(sinus) r uit te rekenen5) Moderne tijd (na 1800 AD) Hierna vonden er geen grote ontwikkelingen op mathematisch gebied meer plaats. De volgende wiskundige schreven in deze periode enkele boeken. ·
Nrisingh Bapudev Shastri (1831 AD)
Hij schreef boeken over geometrische wiskunde, numerieke wiskunde en trignometrie. ·
Sudhakar Dwivedi (1831 AD)
Hij schreef boeken o.a. Deergha Vritta Lakshan(karakteristieken van de ellips). ·
Ramanujam (1889 AD)
Swami Bharti Krishnateerthaji Maharaj (1884-1960 AD) ·
Hij schreef het boek genaamd Vedic Ganit.
Bronvermelding: - Astronomy in Ancient India - Facets of India : Ancient and Modern: http://www.geocities.com/dipalsarvesh/mathematics.html - Geschiedenis van de wiskunde: http://www.smartxt.nl/wiskundegeschiedenis/ http://www.math.uu.nl/people/hogend/Europa.html - India mathematics: http://mtcs.truman.edu/~thammond/history/India.html - Winkler Prins encyclopdie
