Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok

Sorozatok, határérték

Függvények határértéke, folytonosság

A differenciálszámítás

Analízis Pintér Miklós [email protected]

Ősz

Analízis

Függvénydiszkusszió

Otthoni munka






Otthoni munka

Alapfogalmak

Halmazok

Definíció I

Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x ∈ A (x ∈ / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak.

I

A ⊆ B (A ⊂ B) jelentése: A (valódi) részhalmaza B-nek.

Példa Legyen egy halmaz szimpatikus ha nem tartalmazza önmagát. Legyen S a szimpatikus halmazok összessége. Ekkor S szimpatikus?

Analízis






Otthoni munka

Alapfogalmak

Függvények

Definíció Legyen A és B tetszőlegesen rögzített halmazok. Ekkor f : A → B-t az A halmazon értelmezett függvénynek nevezzük, ha minden a ∈ A-ra f (a) a B halmaz pontosan egy eleme. Az A halmazt f értelmezés tartományának (jelölés: Df ), az f (A) halmazt az f értékkészletének (jelölés: Rf ) nevezzük. Az f függvény

Analízis

I

injektív, ha (a 6= b) ⇒ (f (a) 6= f (b)),

I

szűrjektív, ha f (A) = B,

I

bĳektív, ha injektív és szűrjektív.






Otthoni munka

Alapfogalmak

Halmazok számossága Definíció I

Az A halmazt végesnek (véges számosságúnak) nevezzük, ha elemeinek száma véges.

I

Az A halmaz megszámlálhatóan végtelen számosságú, ha létezik f : A → N bĳekció.

I

Az A halmaz kontinuum számosságú, ha létezik f : A → R bĳekció.

Feladat A következő halmazok számossága megegyezik: N, Z, Q, páros természetes számok halmaza, 2 hatványainak halmaza.

Feladat R nem megszámlálhatóan végtelen. Analízis






Otthoni munka

Valós számok

Rendezett halmazok Definíció I

Legyen A tetszőleges halmaz. A rendezésén egy olyan < relációt értünk, amelyre 1. Ha x , y ∈ A, akkor x < y , x = y , x > y összefüggések közül pontosan egy teljesül. 2. Ha x , y , z ∈ A, x < y és y < z, akkor x < z.

I

Az A halmazt rendezett halmaznak nevezzük, ha egy < rendezés van definiálva rajta (jelölés: (A, <)).

Példa N a természetes számok halmaza a „szokásos” relációval rendezett halmaz.

Analízis






Otthoni munka

Valós számok

Felsőhatár-tulajdonság

Definíció

Analízis

I

Legyen (A, <) rendezett halmaz. B ⊆ A felülről (alulról) korlátos, ha van olyan k ∈ A, hogy minden x ∈ B-re x ≤ k (x ≥ k). k-t a B halmaz felső (alsó) korlátjának nevezzük.

I

A B felülről (alulról) korlátos halmaz legkisebb felső (legnagyobb alsó) korlátját a B halmaz szuprémumának (infimumának) nevezzük, és sup B-vel (inf B-vel) jelöljük.

I

Egy A rendezett halmaz felsőhatár-tulajdonságú, ha tetszőleges B ⊆ A nemüres, felülről korlátos halmaz esetén sup B létezik.






Otthoni munka

Valós számok

Tétel Tegyük fel, hogy A rendezett halmaz fh-tulajdonságú. Ekkor ha B ⊆ A nemüres alulról korlátos halmaz, akkor inf B létezik.

Bizonyítás. Legyen C ⊆ A a B halmaz alsó korlátjainak halmaza. B alulról korlátos, tehát C 6= ∅. Ekkor mivel A fh-tulajdonságú, így sup C létezik. Azt állítjuk, hogy sup C = inf B. (1) sup C nem kisebb, mint B alsó korlátjai. (2) Tegyük fel, hogy sup C nem alsó korlátja B-nek. Ekkor létezik b ∈ B, hogy b < sup C . Mivel minden c ∈ C -re c ≤ b, így sup C nem a legkisebb felső korlátja C -nek, ami ellentmondás.

Példa N fh-tulajdonságú rendezett halmaz.

Analízis






Otthoni munka

Valós számok

Testek Definíció Az F halmazt az összeadás és szorzás művelettekkel, mint struktúrát testnek nevezzük, ha teljesíti a következő, ún. testaxiómákat: tetszőleges x , y , z ∈ F esetén

Analízis

I

x + y ∈ F,

I

x + y = y + x,

I

(x + y ) + z = x + (y + z),

I

létezik 0 ∈ F (x -től független), hogy x + 0 = x ,

I

létezik −x ∈ F (x -től függő), hogy x + (−x ) = 0,

I

xy ∈ F ,





Valós számok

Definíció (folytatás)

Analízis

I

xy = yx ,

I

(xy )z = x (yz),

I

létezik 1 ∈ F (x -től független) 1 6= 0, hogy 1x = x ,

I

létezik 1/x ∈ F (x -től függő) x 6= 0, hogy x (1/x ) = 1,

I

x (y + z) = xy + xz.


Otthoni munka






Otthoni munka

Valós számok

Fh-tulajdonságú rendezett test Definíció Az F testet rendezett testnek nevezzük, ha I

F rendezett halmaz,

I

x , y , z ∈ F és y < z, akkor x + y < x + z,

I

x , y ∈ F , x > 0 és y > 0, akkor xy > 0.

Példa Q, a racionális számok halmaza rendezett test.

Tétel Létezik fh-tulajdonságú rendezett test, amely tartalmazza Q-t. Ezt a fh-tulajdonságú rendezett testet a valós számok halmazának nevezzük, és R-rel jelöljük. Analízis






Otthoni munka

Valós számok

Távolság, környezet

Definíció A d függvényt távolságfüggvénynek nevezzük, ha tetszőleges x , y , z ∈ R esetén I

d(x , x ) = 0, és ha x 6= y , akkor d(x , y ) > 0

I

d(x , y ) = d(y , x ),

I

d(x , y ) ≤ d(x , z) + d(y , z).

Következmény A tetszőleges x , y ∈ R-hez |x − y |-t rendelő függvény távolságfüggvény.

Analízis






Otthoni munka

Valós számok

Definíció I

Az (a, b) = {x ∈ R | a < x < b} ([a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} ) halmazt nyílt (zárt) intervallumnak nevezzük.

I

Az (a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b} ([a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b} ) halmazt balról nyílt, jobbról zárt (balról zár, jobbról nyílt) intervallumnak nevezzük.

Definíció Az (x − ε, x + ε) = {y ∈ R | |x − y | < ε} nyílt intervallumot az x ∈ R pont ε > 0 környezetének nevezzük.

Analízis






Otthoni munka

Sorozatok

Sorozatok Definíció Az a : N −→ R függvényt (valós) sorozatnak nevezzük, és elemeit a1 , a2 , . . .-vel jelöljük.

Definíció Legyen f : N → N egy monoton növő függvény. Ekkor a bn = an ◦ f sorozatot az {an } sorozat részsorozatának nevezzük.

Példa

Analízis

I

an = 1,

I

an = (−1)n .






Sorozatok

Határérték

Definíció Az {an } sorozat konvergens, ha létezik a0 ∈ R, hogy tetszőleges ε > 0-hoz létezik olyan n∗ ∈ N (ε-tól függő) szám, hogy minden n ≥ n∗ -re an ∈ (a0 − ε, a0 + ε) (másképpen |an − a0 | < ε). a0 -t az {an } sorozat határértékének nevezzük.

Példa

1 1 → 0 (alternatív jelölés: lim = 0). n→∞ n n

Analízis

Otthoni munka






Otthoni munka

Sorozatok

Állítás A határérték egyértelmű. Tehát, ha an → a és an → b, akkor a = b.

Bizonyítás. |a − b| . Ekkor létezik na , nb ∈ N, 2 hogy minden n ≥ na -ra |an − a| < ε és minden n ≥ nb -re |an − b| < ε. Ekkor azonban minden n ≥ max{na , nb }-re |an − a| < ε és |an − b| < ε, tehát |a − b| < 2ε ami ellentmondás. Indirekt tegyük fel, hogy a 6= b. Legyen ε =

Analízis






Sorozatok

Sorozatok tulajdonságai

Definíció I

Az {an } sorozat monoton növő (fogyó), ha minden n-re an ≤ an+1 (an ≥ an+1 ).

I

Az {an } sorozat korlátos, ha értékkészlete korlátos halmaz.

Példa Az

Analízis

1 sorozat monoton és korlátos. n

Otthoni munka





Konvergens sorozatok

A konvergens sorozatok tulajdonságai

Állítás Legyenek an → a, bn → b konvergens sorozatok. Ekkor

Analízis

I

an + bn → a + b,

I

minden c ∈ R-re can → ca, és c + an → c + a,

I

an bn → ab,

I

Ha minden n-re an 6= 0, és a 6= 0, akkor 1/an → 1/a,

I

Ha bn ≤ an , akkor b ≤ a.


Otthoni munka






Otthoni munka


Bizonyítás. an + bn → a + b: Legyen ε > 0 tetszőlegesen rögzített. Ekkor létezik na , nb , hogy minden n ≥ na -ra |an − a| < ε/2 és minden n ≥ nb -re |bn − b| < ε/2. Ekkor minden n ≥ max{na , nb }-re |(an + bn ) − (a + b)| = |(an − a) + (bn − b)| ≤ |an − a| + |bn − b| < ε. Minden c ∈ R-re can → ca, és c + an → c + a: Házi feladat. an bn → ab: an és bn sorozatok konvergensek, így |an | és |bn | sorozatok is konvergensek tehát korlátosak is. Legyen ka és kb rendre |an | és |bn | egy felső korlátja. Legyen továbbá k = max{ka , kb }. Legyen ε > 0 tetszőlegesen ε rögzített. Ekkor létezik na , nb , hogy minden n ≥ na -ra |an − a| < 2k és minden ε n ≥ nb -re |bn − b| < 2k . Ekkor minden n ≥ max{na , nb }-re |an bn − ab| = |an (bn − b) + b(an − a)| ≤ |an ||bn − b| + |b||an − a| < ε.

Analízis






Otthoni munka


folytatás. Ha minden n-re an 6= 0 és a 6= 0, akkor 1/an → 1/a: Legyen m olyan index, 1 1 hogy minden n ≥ m-re |an − a| < |a|. Ekkor minden n ≥ m-re |an | > |a|. 2 2 Legyen ε > 0 tetszőlegesen rögzített. Ekkor létezik n∗ > m, hogy minden 1 n ≥ n∗ -ra |an − a| < |a|2 ε. Tehát, minden n ≥ n∗ -ra 2 1 − 1 = an − a < 2 |an − a| < ε. an a an a |a|2 |a − b| . 2 Ekkor létezik na , nb ∈ N, hogy minden n ≥ na -ra |an − a| < ε és minden n ≥ nb -re |bn − b| < ε. Ekkor azonban miden n ≥ max{na , nb }-re |an − a| < ε és |bn − b| < ε, tehát bn − an > 0 ami ellentmondás. Ha bn ≤ an , akkor b ≤ a: Indirekt tegyük fel, hogy b > a. Legyen ε =

Analízis






Konvergens sorozatok tulajdonságai II

Tétel I

Minden konvergens sorozat korlátos.

I

Minden monoton korlátos sorozat konvergens.

I

Minden korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.

Példa an = (−1)n .

Analízis


Otthoni munka






Otthoni munka


Bizonyítás. Minden konvergens sorozat korlátos: Legyen a0 az {an } sorozat határértéke, és legyen ε > 0 tetszőlegesen rögzített. Ekkor létezik olyan n∗ szám, hogy minden n ≥ n∗ -ra an ∈ (a0 − ε, a0 + ε). Tehát az {an } sorozatnak csak véges sok eleme (maximum n∗ − 1) van az (a0 − ε, a0 + ε) intervallumon kívül. Legyen f a kivül maradó elemek közül a legnagyobb és a a legkisebb. Ekkor max{f , a0 + ε} és min{a, a0 − ε} rendre felsó ill. alsó korlátja {an }-nek. Minden monoton korlátos sorozat konvergens: Tegyük fel, hogy {an } monoton növő sorozat és k felső korlátja {an }-nek. Ekkor sup{an } létezik, és an → sup{an }, hiszen minden ε > 0-hoz létezik oylan n∗ , hogy minden n ≥ n∗ -ra |an − sup{an }| < ε (legkisebb felső korlát és monoton növő sorozat). Az {an } monoton fogyó eset belátása teljesen hasonlóan megy.

Analízis






Otthoni munka


folytatás. Minden korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata: Legyen a {cn } felső és alsó korlátja rendre f és a. Ekkor az [a, a+f ] és [ a+f , f ] intervallumok 2 2 legalább egyikében végtelen sok eleme van {cn }-nek. Legyen [a1 , f1 ] az egyik olyan intervallum, amiben {cn }-nek végtelen sok eleme van. Legyen b1 egy 1 1 tetszőleges eleme {cn }-nek [a1 , f1 ]-ből. Ekkor az [a1 , a1 +f ] és [ a1 +f , f1 ] 2 2 intervallumok legalább egyikében végtelen sok eleme van {cn }-nek. Legyen [a2 , f2 ] az egyik olyan intervallum, amiben {cn }-nek végtelen sok eleme van. Legyen b2 egy olyan eleme {cn }-nek [a2 , f2 ]-ből, hogy b2 {cn }-beli indexe (sorszáma) nagyobb, mint b1 {cn }-beli indexe. Folytatva a fenti eljárást, a kapott {bn } sorozat a {cn } sorozat részsorozata. {an } monoton növő felülről korlátos, {fn } pedig monoton fogyó alulról korlátos sorozat, továbbá minden f −a , tehát lim an = lim fn . Ekkor an ≤ bn ≤ fn , így n-re fn − an < n→∞ n→∞ n bn → lim an = lim fn . n→∞

Analízis

n→∞





Állítás

I

1 → 0, na √ n Ha a > 0, akkor a → 1, √ n n → 1,

I

Ha a > 0 és α ∈ R, akkor

I

Ha |x | < 1, akkor x n → 0.

I I

Analízis

Ha a > 0, akkor

nα → 0, (1 + a)n



Otthoni munka






Otthoni munka


Bizonyítás. 1 → 0: Legyen ε > 0 tetszőlegesen rögzített, és na 1 (1/a) N = (1/ε) . Ekkor minden n > N-re a < ε. n

Ha a > 0, akkor

√ √ Ha a > 0, akkor n a → 1: Tegyük fel, hogy a > 1. Ekkor legyen xn = n a − 1. xn > 0 és (Bernoulli-egyenlőtlenség) 1 + nxn ≤ (1 + xn )n = a, tehát , így xn → 0. Ha a = 1, akkor az állítás nyilvánvaló, ha 0 < a < 1, 0 < xn ≤ a−1 n 1 akkor legyen xn = √ − 1 és követhetjük az a > 1 esetet (Házi feladat). n a

Analízis






Otthoni munka


folytatás.

√ √ n n → 1: Legyen xn = n n − 1. Ekkor xn ≥ 0 r és (binomiális tétel) n(n − 1) 2 n = (1 + xn )n ≥ xn2 , tehát 0 ≤ xn ≤ (n ≥ 2), így xn → 0. 2 n−1

nα → 0: Legyen k > max{α, 0} tetszőlegesen (1 + a)n k k rögzített. Ha n > 2k, akkor (1 + a)n > kn ak = n(n−1)···(n−k+1) ak > n2k ak! . k!

Ha a > 0 és α ∈ R, akkor

Ekkor 0 <

nα (1+a)n

<

2k k! α−k n ak

(n > 2k), így (α − k < 0)

Ha |x | < 1, akkor x n → 0: Házi feladat.

Analízis

nα (1+a)n

→ 0.






Az e szám

Az e szám

Állítás Az (1 + n1 )n sorozat konvergens.

Bizonyítás. (1) Az (1 + n1 )n sorozat monoton: A számtani és mértani közepek közötti

p

egyenlőtlenségből n+1 (1 + n1 )n < 1 n+1 (1 + n1 )n < (1 + n+1 ) .

Analízis

1+n(1+ n1 ) n+1

=

n+2 n+1

=1+

1 . n+1

Tehát

Otthoni munka






Otthoni munka

Az e szám

folytatás. (2) Az (1 + n1 )n sorozat korlátos: Legyen m > 1 tetszőlegesen rögzített természetes szám. A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenségből n(1+ 1 )+m(1− 1 )

p

n m = n+m = 1. Ekkor (1 + n1 )n (1 − m1 )m < n+m n+m 1 n 1 m 1 n 1 (1 + n ) (1 − m ) < 1, tehát (1 + n ) < (1 + m−1 )m . Mivel m > 1 rögzített, 1 n így minden n-re (1 + n ) kisebb, mint egy rögzített érték. n+m

Definíció A lim n→∞

Analízis

1+

1 n

n határértékét Euler-féle számnak nevezzük és e-vel jelöljük.






Otthoni munka

Függvények határértéke

Határérték Definíció Legyen A ⊆ R tetszőleges halmaz. Az x ∈ R torlódási pontja az A halmaznak, ha tetszőleges ε > 0 esetén (x − ε, x + ε) ∩ (A \ {x }) 6= ∅.

Példa I

A = {1} torlódási pontjai: ∅,

I

A = (1, ∞] torlódási pontjai: [1, ∞].

Definíció Legyen f tetszőlegesen rögzített függvény, és legyen x0 torlódási pontja Df -nek. Ekkor p x0 -beli határértéke f -nek (jelölés: lim f (x ) = p), ha minden xn → x0 , x0

xn ∈ Df minden n-re, sorozatra lim f (xn ) = p. n→∞

Analízis






Állítás Ha lim f (x ) = a és lim f (x ) = b, akkor a = b. x0

x0

Bizonyítás. Lsd. a határérték egyértelműségére vonatkozó állítást.

Példa lim 3

Analízis

x 2 − 5x + 6 . x −3


Otthoni munka







Függvény határérték II. Állítás Legyen f és g olyan függvény, hogy x0 torlódási pontja Df -nek és Dg -nek, továbbá lim f (x ) = p és lim g(x ) = q. Ekkor x0 I

x0

lim(f + g)(x ) = p + q, x0

I

lim(fg)(x ) = pq,

I

ha q 6= 0, akkor lim(f /g)(x ) = p/q,

I

ha f (x ) ≤ g(x ) minden x ∈ Df ∩ Dg esetén, akkor p ≤ q.

x0 x0

Bizonyítás. Lsd. a konvergens sorozatok tulajdonságaira vonatkozó állítást.

Analízis

Otthoni munka






Otthoni munka

Függvények folytonossága

Függvények folytonossága Definíció Az f függvény folytonos az x0 ∈ Df pontban, ha x0 izolált pontja Df -nek vagy x0 torlódási pontja Df -nek és lim f (x ) = f (x0 ). Azt mondjuk, hogy az f x0

függvény folytonos, ha f az értelmezési tartományának minden pontjában folytonos.

Állítás Legyenek f , g x0 -ban folytonos függvények. Ekkor I

f + g folytonos x0 -ban,

I

fg folytonos x0 -ban,

I

ha g(x0 ) 6= 0, akkor f /g folytonos x0 -ban.

Bizonyítás. Lsd. a függvények határértékére vonatkozó állítást. Analízis






Otthoni munka

Függvények folytonossága

Állítás Ha g folytonos x0 -ban és f folytonos g(x0 )-ban, akkor f ◦ g folytonos x0 -ban.

Bizonyítás. Legyen xn → x0 , xn 6= x0 , g(xn ) ∈ Df , g(xn ) 6= g(x0 ) (minden n-re) tetszőleges sorozat. g folytonos x0 -ban, tehát g(xn ) → g(x0 ) konvergens sorozat. f folytonos g(x0 )-ban, tehát f ◦ g(xn ) → f ◦ g(x0 ) szintén konvergens sorozat. Mivel xn tetszőlegesen rögzített volt, így lim f ◦ g(x ) = f ◦ g(x0 ). x0

Analízis






Otthoni munka

Folytonos függvények intervallumon

Folytonos függvények korlátos zárt intervallumon Tétel (Bolzano-tétel) Ha f folytonos az [a, b] (korlátos, zárt) intervallumon, és f (a) < 0 < f (b), vagy f (a) > 0 > f (b), akkor létezik x0 ∈ [a, b], hogy f (x0 ) = 0.

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy f (a) < 0 < f (b) (a fordított eset Házi feladat). Legyen A = {x ∈ [a, b] | f (x ) < 0} és ξ = sup A. Ekkor tetszőleges ε > 0-hoz létezik x ∈ A, hogy |ξ − x | < ε. Magyarán, létezik xn ∈ A konvergens sorozat, hogy xn → ξ, így f folytonossága miatt lim f (xn ) = f (ξ) ≤ 0. Tehát ξ 6= b. Ekkor n→∞

azonban tetszőleges y ∈ (ξ, b] pontra f (y ) ≥ 0, hiszen ξ A legkisebb felső korlátja. Ekkor létezik yn ∈ (ξ, b], yn → ξ konvergens sorozat, hogy f (yn ) ≥ 0 ∀n-re. f folytonos, tehát lim f (yn ) = f (ξ) ≥ 0, így f (ξ) = 0. n→∞

Analízis






Otthoni munka


Tétel (Weierstrass-tétel) Legyen f folytonos az [a, b], a < b (korlátos, zárt) intervallumon. Ekkor f felveszi maximumát és minimumát [a, b]-n.

Bizonyítás. Azt mutatjuk meg, hogy f felveszi maximumát [a, b]-n a minimum belátása Házi feladat. Indirekt tegyük fel, hogy f nem felülről korlátos [a, b]-n. Ekkor létezik xn ∈ [a, b] sorozat, hogy f (xn ) → ∞. Azonban, xn -nek van konvergens részsorozata yn → y0 , y0 ∈ [a, b], és lim f (yn ) 6= f (y0 ), ami ellentmond f n→∞

folytonosságának. Tehát f felülről korlátos [a, b]. Ekkor létezik xn , x0 ∈ [a, b], xn → x0 konvergens sorozat, hogy f (xn ) → sup f (x ), tehát x ∈[a,b]

lim f (xn ) = f (x0 ) = sup f (x ), így f (x0 ) maximuma f -nek [a, b]-n.

n→∞

Analízis

x ∈[a,b]





Példák

Példa x 333 + x 2 + 12 = 0.

Példa f (x ) =

sin x , 0,

ha x ∈ [0, π] \ {π/2} . ha x = π/2

Példa f (x ) = x 2 , Df = (0, 2].

Analízis



Otthoni munka






Otthoni munka


Állítás Legyen f az I intervallumon invertálható folytonos függvény. Ekkor f −1 folytonos f (I)-n.

Bizonyítás. Először megmutatjuk, hogy f szigorúan monoton függvény I-n. Legyen x , y ∈ I, x < y tetszőlegesen rögzített. Tegyük fel, hogy f (x ) < f (y ) (az f (x ) > f (y ) eset Házi feladat). Legyen továbbá z ∈ I \ {x , y } tetszőlegesen rögzített. (1) z < x : Indirekt tegyük fel, hogy f (z) > f (x ), és legyen c = min{f (z), f (y )}. Ekkor létezik olyan v ∈ [z, x ] és w ∈ [x , y ], hogy f (v ) = c = f (w ), ami ellentmond f invertálhatóságának. A (2) és (3) eset Házi feladat.

Analízis






Otthoni munka


folytatás. Most megmutatjuk, hogy f −1 folytonos I-n. Legyen xn → x0 , xn , x0 ∈ f (I) tetszőleges monoton növő sorozat (az xn → x0 , xn , x0 ∈ f (I) monoton fogyó eset Házi feladat). Legyen továbbá, y0 = f −1 (x0 ), yn = f −1 (xn ). Azt kell látnunk, hogy yn → y0 . Feltehetjük, hogy f szigorúan monoton növő (lsd. előző pont, a szigorúan monoton fogyó eset Házi feladat), tehát yn < yn+1 < y0 minden n-re. Ekkor yn monoton korlátos sorozat, tehát konvergens, és yn → sup{yn }. Azt kell látnunk, hogy sup{yn } = y0 . f folytonos, tehát sup{yn } = f −1 ◦ f (sup{yn }) = f −1 ( lim f (yn )) = f −1 ( lim xn ) = f −1 (x0 ) = n→∞

y0 .

Analízis

n→∞






Otthoni munka

Elemi függvények folytonossága

Folytonos függvények

Állítás A sin x és e x függvények folytonosak.

Bizonyítás. sin x folytonos: Világos, hogy minden x ∈ R-re | sin x | ≤ |x |. Legyen x0 , xn → x0 sorozat tetszőlegesen rögzített. 0 | sin xn − sin x0 | = 2 sin(xn2−x0 ) cos(x2n +x0 ) ≤ 2 xn −x 1 = |xn − x0 |. Tehát 2 lim sin(xn ) = sin(x0 ). x0 és xn → x0 tetszőlegesen rögzített volt, így kész is

n→∞

vagyunk.

Analízis






Otthoni munka


folytatás. e x folytonos: Legyen x0 , xn → x0 sorozat tetszőlegesen rögzített. Könnyen n látható, hogy minden x -re 1 + xn ≥ 1 + x , tehát e x ≥ 1 + x , és szintén minden x -re e −x ≥ 1 − x , tehát a két egyenlőtlenségből következik, hogy 1 . Legyen xn − x0 → 0. Ekkor feltehetjük, minden x > −1-re 1 + x ≤ e x ≤ 1−x hogy minden n-re 1 + (xn − x0 ) ≤ e xn −x0 ≤ 1−(xn1−x0 ) , tehát lim e xn

lim e xn −x0 = n→∞

n→∞ e x0

= 1, így lim e xn = e x0 . x0 és xn → x0 tetszőlegesen n→∞

rögzített volt, így kész is vagyunk.

Analízis






Otthoni munka


Következmény Az exponenciális függvények, a logaritmus függvények, a hatványfüggvények, a polinomok és a trigonometrikus függvények folytonosak.

Bizonyítás. Lsd. a sin x és e x és az inverz függvény folytonosságát.

Analízis






Otthoni munka


Állítás lim 0

sin x = 1. x

Bizonyítás. sin x páros függvény, így elég ha az xn → 0, x xn ∈ (0, π2 ] tetszőlegesen rögzített sorozatot vizsgáljuk. Ekkor minden n-re sin xn < xn < tan xn és minden n-re 1 < sinxnxn < cos1xn , tehát 1 > sinxnxn > cos xn . cos x folytonos függvény, így lim sinx x = 1. sin x páratlan függvény, tehát

0

Analízis







Következmény lim 0

1 − cos x = 0. x

Bizonyítás. lim 0

0.

Analízis

1−cos x x

= lim 0

1−sin(x + π ) 2 x

= lim 0

1−cos x sin π −cos π sin x 2 2 x

= − cos

π 2

lim 0

sin x x

=

Otthoni munka






Otthoni munka


Állítás x lim 0

e −1 = 1. x

Bizonyítás. Az e x folytonosságának bizonyításakor már láttuk, hogy minden x -re x 1 1 + x ≤ e x ≤ 1−x , tehát x ≤ e x − 1 ≤ 1−x . Legyen xn → 0 tetszőlegesen xn 1 rögzített. Ekkor, ha −1 < xn < 0, akkor 1−xn ≤ e xn−1 ≤ 1, ha pedig xn > 0, xn xn 1 akkor 1 ≤ e xn−1 ≤ 1−x . Tehát lim e xn−1 = 1. xn → 0 tetszőlegesen rögzített n n→∞

volt, így kész is vagyunk.

Analízis






Otthoni munka

A derivált fogalma

A derivált fogalma Definíció Legyen f olyan függvény, hogy [a, b] ⊆ Df . Ekkor tetszőleges x0 ∈ [a, b] esetén képezzük a következő függvényt (differencia hányados): Φ(x ) =

f (x ) − f (x0 ) x − x0

(x ∈ (a, b), x 6= x0 ),

(1)

és legyen lim Φ(x ) = f 0 (x0 ),

(2)

x0

feltéve, hogy a (2) határérték létezik. Az ilyen módon kapott f 0 függvényt, amelynek értelmezési tartománya azon x0 ∈ [a, b]-k halmaza, amelyekre a fenti határérték létezik; az f függvény deriváltjának nevezzük és f 0 -vel jelöljük.

Analízis






Otthoni munka

A derivált fogalma

Definíció I

Ha f 0 értelmezve van x0 ∈ [a, b]-ben, akkor azt mondjuk f differenciálható x0 -ban.

I

Ha f 0 értelmezve van az A ⊆ [a, b] halmazon, akkor azt mondjuk, hogy f differenciálható az A halmazon.

I

Ha f az értelmezési tartományának minden [a, b] intervallumán differenciálható, akkor azt mondjuk, hogy f differenciálható.

Példa

Analízis

I

f (x ) = x 2 ,

I

f (x ) = ln(−x 2 ).






Otthoni munka

A derivált fogalma

Tétel Ha f differenciálható függvény x0 ∈ (a, b) ⊆ Df -ben, akkor f folytonos x0 -ban.

Bizonyítás. lim f (x ) − f (x0 ) = lim x0

x0

f (x ) − f (x0 ) (x − x0 ) = f 0 (x0 )0 = 0. x − x0

Példa I

f (x ) = |x |,

I

f (x ) =

Analízis

0, 1

ha x < 0 különben

.






Otthoni munka

Differenciálási szabályok

Differenciálási szabályok Tétel Legyen f és g differenciálható függvények x0 ∈ [a, b] ⊆ Df ∩ Dg -ben. Ekkor cf (c ∈ R), f + g, fg, f /g (feltéve, hogy g(x0 ) 6= 0) függvények differenciálhatóak x0 -ban, és I

(cf )0 (x0 ) = cf 0 (x0 ),

I

(f + g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) + g 0 (x0 ),

I

(fg)0 (x0 ) = f 0 (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g 0 (x0 ),

I

(f /g)0 (x0 ) =

f 0 (x0 )g(x0 )−f (x0 )g 0 (x0 ) . g 2 (x0 )

Bizonyítás. (cf )0 (x0 ) = cf 0 (x0 ) és (f + g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) + g 0 (x0 ): Lsd. a függvény határértékekre vonatozó állítást. Analízis






Otthoni munka


folytatás. (fg)0 (x0 ) = f 0 (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g 0 (x0 ): Legyen h = fg, ekkor h(x ) − h(x0 ) = f (x )(g(x ) − g(x0 )) + g(x0 )(f (x ) − f (x0 )). Tehát )−g(x0 )) (x0 )) 0) lim h(xx)−h(x = lim f (x )(g(x + lim g(x0 )(fx(x−x)−f , így −x0 x −x0 0 x0

lim x0

x0

h(x )−h(x0 ) x −x0

(f /g)0 (x0 ) = h(x )−h(x0 ) x −x0

=

x0

= f (x0 )g 0 (x0 ) + g(x0 )f 0 (x0 ). f 0 (x0 )g(x0 )−f (x0 )g 0 (x0 ) : g 2 (x0 )

1 g(x )g(x0 )

Legyen h = f /g, ekkor

(x0 ) 0) g(x ) f (xx)−f − f (x ) g(xx)−g(x . Mindkét oldal x0 -beli −x0 −x0

határértékét véve megkapjuk a bizonyítanadó állítást.

Analízis






Otthoni munka


Tétel Legyen a g függvény folytonos [a, b] ⊆ Dg -n és deriválható x0 ∈ [a, b]-ben, az f függvény pedig értelmezett egy g(x0 )-t tartalmazó olyan zárt intervallumon I-n, hogy Rg ⊆ I, és differenciálható g(x0 )-ban. Ekkor f ◦ g differenciálható x0 -ban és (f ◦ g)0 (x0 ) = f 0 ◦ g(x0 )g 0 (x0 ).

Bizonyítás. Legyen y = g(x ), y0 = g(x0 ). A differenciálás definíciójából g(x ) − g(x0 ) = (x − x0 )(g 0 (x0 ) + u(x )), és f (y ) − f (y0 ) = (y − y0 )(f 0 (y0 ) + v (y )), ahol x ∈ (a, b), y ∈ I, lim u(x ) = 0, x0

lim v (y ) = 0. Ekkor f ◦ g(x ) − f ◦ g(x0 ) = (g(x ) − g(x0 ))(f 0 (y0 ) + v (y )) = y0

(x − x0 )(g 0 (x0 ) + u(x ))(f 0 (y0 ) + v (y )). x 6= x0 esetén: f ◦g(x )−f ◦g(x0 ) = (g 0 (x0 ) + u(x ))(f 0 (y0 ) + v (y )), így x −x0 lim x0

Analízis

f ◦g(x )−f ◦g(x0 ) x −x0

= f 0 (y0 )g 0 (x0 ) = f 0 ◦ g(x0 )g 0 (x0 ).






Otthoni munka


Tétel Legyen f az x0 ∈ [a, b] ⊆ Df pontban differenciálható, invertálható folytonos függvény. Ha f 0 (x0 ) 6= 0, akkor f −1 differenciálható f (x0 )-ban, és (f −1 )0 (f (x0 )) = f 0 (x1 0 ) .

Bizonyítás. Az f −1 ◦ f összetett függvényt vizsgáljuk. f differenciálható x0 -ban, f −1 szigorúan monoton és folytonos egy f (x0 )-t tartalmazó nyílt intervallumon. Ekkor lim x0

Analízis

f −1 ◦f (x )−f −1 ◦f (x0 ) f (x )−f (x0 )

f −1 ◦f (x )−f −1 ◦f (x0 ) f (x )−f (x0 )

=

=

x −x0 f (x )−f (x0 )

1 . f 0 (x0 )

=

1 f (x )−f (x0 ) x −x0

. f 0 (x0 ) 6= 0, így






Otthoni munka


Állítás (sin x )0 = cos x .

Bizonyítás. Legyen x0 ∈ R tetszőlegesen rögzített. Φ(x ) = Tehát, lim x0

Analízis

x −x0 2 x −x0 2

sin

cos

x +x0 2

= lim cos x0

x +x0 2

sin x −sin x0 x −x0

= cos x0 .

=2

sin

x −x0 2

cos x −x0

x +x0 2

.







Állítás (e x )0 = e x .

Bizonyítás. Legyen x0 ∈ R tetszőlegesen rögzített. Φ(x ) = x0

e lim x0

Analízis

e x −x0 −1 x −x0

x0

=e .

e x −e x0 x −x0

= e x0 e

x −x0

−1 . x −x0

Tehát,

Otthoni munka





Következmény Az elemi függvények deriváltfüggvényei: f f0 c 0 xα αx α−1 cos x − sin x 1 tan x cos2 x cot x − sin12 x x a ax ln a 1 ln x x 1 loga x x ln a √1 arcsin x 2 1−x

arccos x arctan x arccot x Analízis

−√ 1

1−x 2 1 1+x 2 1 − 1+x 2



Otthoni munka






Otthoni munka

A derivált folytonossága

Definíció Legyen f értelmezett az (a, b) intervallumon. f -nek az x0 ∈ (a, b) pontban szakadása van, ha f nem folyotnos x0 -ban. f -nek az x0 ∈ (a, b) pontban elsőfajú (egyszerű) szakadása van, ha f -nek szakadása van x0 -ban, és lim f (x ) x0 +

valamint lim f (x ) létezik. Egyébként a szakadást másodfajúnak nevezzük. x0−

Tétel (Darboux-tétel) Legyen f olyan az [a, b] intervallumon differenciálható függvény, hogy f 0 (a) < f 0 (b) (f 0 (a) > f 0 (b)). Ekkor, minden olyan λ-hoz, hogy f 0 (a) < λ < f 0 (b) (f 0 (a) > λ > f 0 (b)) létezik x0 ∈ (a, b) amelyre f 0 (x0 ) = λ.

Analízis






Otthoni munka


Bizonyítás. Legyen g(x ) = f (x ) − λx . Ekkor g 0 (a) < 0 (g 0 (b) < 0), és létezik olyan x1 ∈ (a, b), hogy g(x1 ) < g(a) (g(x1 ) > g(b)); g 0 (b) > 0 (g 0 (a) > 0), és létezik olyan x2 ∈ (a, b), hogy g(x2 ) < g(b) (g(x2 ) > g(a)). Tehát g felveszi minimumat (maximumát) [a, b]-n egy x0 ∈ (a, b) pontban. Ekkor g 0 (x0 ) = 0, tehát f 0 (x0 ) = λ.

Következmény Ha f differenciálható az [a, b] intervallumon, akkor f 0 -nek nem lehet elsőfajú szakadása [a, b]-n.

Analízis






Otthoni munka


Példa Legyen f (x ) =

x 2 sin x1 , 0

ha x 6= 0 . különben

f differenciálható: Ha x0 6= 0, akkor f 0 (x0 ) = 2x0 sin

1

− cos

1

.

x0 x 0 x 2 sin 1 1 x Ha x0 = 0, akkor lim x = lim x sin x ≤ lim |x | = 0, így f 0 (0) = 0. 0 0 0

Tehát f differenciálható, de f 0 nem folytonos, f 0 -nek másodfajú szakadása van a 0 pontban.

Analízis






Otthoni munka

L’Hosptial-szabály

Tétel Legyen f és g differenciálható függvények az (a, b) intervallumon, és g 0 (x ) 6= 0 f 0 (x ) = c. Ha minden x ∈ (a, b)-re (−∞ ≤ a < b ≤ ∞). Legyen továbbá lim 0 a g (x ) lim f (x ) = lim g(x ) = 0 , a

(3)

a

vagy ha lim g(x ) = ∞ ,

(4)

a

akkor lim a

Analízis

f (x ) =c . g(x )

(5)



L’Hosptial-szabály

Példa I

lim π

tan 3x tan x

2

I

lim 0

I

lim π

I

lim

x cot x −1 x2 √ 3 tan x −1 2 sin2 x −1

4

0

Analízis

arcsin 2x −2 arcsin x x3




Otthoni munka






Otthoni munka

Lokális szélsőérték


Definíció Legyen f tetszőlegesen rögzített függvény. f -nek lokális maximuma (minimuma) van az x0 ∈ Df pontban, ha létezik olyan δ > 0, hogy tetszőleges x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ Df -re f (x0 ) ≥ f (x ) (f (x0 ) ≤ f (x )).

Tétel Legyen f értelmezett az [a, b] intervallumon. Ha f -nek az x0 ∈ (a, b) pontban lokális maximuma (minimuma) van és f 0 (x0 ) létezik, akkor f 0 (x0 ) = 0.

Analízis







Bizonyítás. A lokális maximum esetet látjuk be, a lokális minimum esete hasonlóan bizonyíható. Legyen δ > 0 az a szám, hogy minden x ∈ (x0 − δ, x0 + δ)-ra f (x ) ≤ f (x0 ). Ha x ∈ (x0 − δ, x0 ), akkor f (x ) − f (x0 ) ≥0. x − x0 Ha pedg x ∈ (x0 , x0 + δ), akkor f (x ) − f (x0 ) ≤0. x − x0 Tehát f 0 (x0 ) ≥ 0 és f 0 (x0 ) ≤ 0, így f 0 (x0 ) = 0.

Analízis

Otthoni munka






Otthoni munka


Tétel (Középérték-tétel) Ha f olyan, az [a, b] intervallumon folytonos függvény, amely differenciálható az (a, b) intervallumon, akkor létezik x0 ∈ (a, b), hogy f (b) − f (a) = (b − a)f 0 (x0 ) .

Analízis






Otthoni munka


Bizonyítás. Legyen h(x ) = (f (b) − f (a))x − (b − a)f (x )

x ∈ [a, b] .

Ekkor h folytonos [a, b]-n, differenciálható (a, b)-n és h(a) = f (b)a − f (a)b = h(b) . Azt mutatjuk meg, hogy létezik x0 ∈ (a, b), hogy h0 (x0 ) = 0. Ha h konstans függvény, akkor kész vagyunk. Ha létezik y ∈ (a, b), hogy h(y ) > h(a), akkor legyen x0 ∈ (a, b) az a pont, ahol h felveszi maximumát. Ekkor az előző tétel miatt h0 (x0 ) = 0. Ha létezik y ∈ (a, b), hogy h(y ) < h(a), akkor legyen x0 ∈ (a, b) az a pont, ahol h felveszi minimumát. Ekkor az előző tétel miatt h0 (x0 ) = 0.

Analízis






Otthoni munka

Monotonitás

Monotonitás

Állítás Legyen f az (a, b) intervallumon differenciálható függvény. Ekkor 1. ha f 0 (x ) ≥ 0 (f 0 (x ) > 0) minden x ∈ (a, b)-re, akkor f (szigorúan) monoton növő (a, b)-n, 2. ha f 0 (x ) = 0 minden x ∈ (a, b)-re, akkor f konstans (a, b)-n, 3. ha f 0 (x ) ≤ 0 (f 0 (x ) < 0) minden x ∈ (a, b)-re, akkor f (szigorúan) monoton fogyó (a, b)-n, 4. ha f monoton növő (fogyó) (a, b)-n, akkor f 0 (x ) ≥ 0 (f 0 (x ) ≤ 0) minden x ∈ (a, b)-re.

Analízis






Otthoni munka

Monotonitás

Bizonyítás. Legyen x1 , x2 ∈ (a, b) x1 < x2 tetszőlegesen rögzített. A Középérték-tétel miatt létezik x0 ∈ (x1 , x2 ), hogy f (x2 ) − f (x1 ) = (x2 − x1 )f 0 (x0 ) . Az állítások közvetlenül leolvashatóak (6)-ből.

Példa x 3 , sin x ,

Analízis

1 . x

(6)






Otthoni munka

Konvexitás

Konvexitás Definíció Legyen f az I intervallumon értelmezett függvény. f (szigorúan) konvex az I intervallumon, ha tetszőleges x1 , x2 ∈ I-re és tetszőleges α ∈ (0, 1)-re, αf (x1 ) + (1 − α)f (x2 ) ≥ f (αx1 + (1 − α)x2 ) (αf (x1 ) + (1 − α)f (x2 ) > f (αx1 + (1 − α)x2 )).

Definíció Legyen f az I intervallumon értelmezett függvény. f (szigorúan) konkáv, ha −f (szigorúan) konvex.

Definíció f konvex (konkáv), ha Df intervallum, és azon f konvex (konkáv).

Analízis






Konvexitás

Konvexitás II.

Tétel Legyen f az (a, b) intervallumon értelmezett konvex függvény. Ekkor f folytonos (a, b)-n.

Bizonyítás. Legyen x0 ∈ (a, b) tetszőlegesen rögzített. Azt mutatjuk meg, hogy lim f (x ) = f (x0 ) (lim f (x ) = f (x0 ) belátása teljesen hasonlóan megy). x0+

x0−

Legyen {xn } ∈ (x0 , b) tetszőleges olyan sorozat, hogy xn → x0 de f (xn ) 9 f (x0 ). Feltehetjük, hogy f (xn ) → c, ahol c lehet ±∞ is.

Analízis

Otthoni munka






Konvexitás

folytatás. f konvex, így minden α ∈ (0, 1)-re f (x ) ≤ αf (x0 ) + (1 − α)f (b), ahol x = αx0 + (1 − α)b. Speciálisan, minden xn -hez létezik αn ∈ (0, 1), hogy xn = αn x0 + (1 − αn )b, és ahogy xn → x0 , úgy αn → 1. Tehát c ≤ f (x0 ). f konvex, így minden α ∈ (0, 1)-re f (x ) ≤ αf (a) + (1 − α)f (xn ), ahol x = αa + (1 − α)xn . Speciálisan, minden xn -hez létezik αn ∈ (0, 1), hogy x0 = αn a + (1 − αn )xn , és ahogy xn → x0 , úgy αn → 0. Tehát c ≥ f (x0 ). Összegezve a fentieket: f (x0 ) = c, ami ellentmond f (xn ) 9 f (x0 )-nak.

Következmény Legyen f az (a, b) intervallumon értelmezett konkáv függvény. Ekkor f folytonos (a, b)-n.

Analízis

Otthoni munka






Otthoni munka

Konvexitás

Állítás Legyenek f , g konvex (konkáv) függvények az I intervallumon. Ekkor f + g is konvex (konkáv) függvény az I intervallumon.

Bizonyítás. A konkáv esetet bizonyítjuk, a konvex eset belátása teljesen analóg módon megy. Legyen x1 , x2 ∈ I tetszőlegesen rögzítettek. f és g konkávak I-n, tehát tetszőleges α ∈ (0, 1)-re f (αx1 + (1 − αx2 )) ≥ αf (x1 ) + (1 − α)f (x2 ) g(αx1 + (1 − αx2 )) ≥ αg(x1 ) + (1 − α)g(x2 ) .

Analízis






Konvexitás

folytatás. Tehát (f + g)(αx1 + (1 − αx2 )) ≥ α(f + g)(x1 ) + (1 − α)(f + g)(x2 ) .

Példa I

x 2,

I

ex .

2

Analízis

Otthoni munka






Differenciálható konvex függvények


Állítás Legyen f az (a, b) intervallumon differenciálható függvény. Ekkor 1. f pontosan akkor (szigorúan) konvex (a, b)-n, ha f 0 (x ) (szigorúan) monoton növő (a, b)-n, 2. f pontosan akkor (szigorúan) konkáv (a, b)-n, ha f 0 (x ) (szigorúan) monoton fogyó (a, b)-n.

Analízis

Otthoni munka







Bizonyítás. A (szigorúan) konvex esetet bizonyítjuk, a (szigorúan) konkáv eset abból közvetlenül következik. Akkor: Legyen x1 , x3 ∈ (a, b) x1 < x3 , α ∈ (0, 1) tetszőlegesen rögzített, és x2 = αx1 + (1 − α)x3 . Tekintsük a következő kifejezéseket f (x2 ) − f (x1 ) , x2 − x1

f (x3 ) − f (x2 ) . x3 − x2

A Középérték-tételből következik, hogy létezik y1 ∈ (x1 , x2 ) és y2 ∈ (x2 , x3 ), hogy f 0 (y1 ) =

Analízis

f (x2 ) − f (x1 ) , x2 − x1

f 0 (y2 ) =

f (x3 ) − f (x2 ) . x3 − x2

Otthoni munka






Otthoni munka


folytatás. Mivel f 0 (szigorúan) monoton növő, így f (x2 ) − f (x1 ) f (x3 ) − f (x2 ) ≤ (<) . x2 − x1 x3 − x2 A fenti kifejezésből könnyű számolással adódik, hogy f (αx1 + (1 − α)x3 ) ≤ (<) αf (x1 ) + (1 − α)f (x3 ) . x1 , x3 ∈ (a, b), α ∈ (0, 1) tetszőlegesen rögzítettek voltak, tehát f (szigorúan) konvex.

Analízis






Otthoni munka


folytatás. Csak akkor: Legyen x1 , x3 ∈ (a, b) x1 < x3 , α ∈ (0, 1) tetszőlegesen rögzített, és x2 = αx1 + (1 − α)x3 . f (szigorúan) konvex, tehát f (x2 ) − f (x1 ) f (x3 ) − f (x1 ) f (x3 ) − f (x2 ) ≤ (<) ≤ (<) . x2 − x1 x3 − x1 x3 − x2 f differenciálható (a, b)-n, tehát f 0 (x1 ) = lim x1 +

Analízis

f (x ) − f (x1 ) , x − x1

f 0 (x3 ) = lim x3−

f (x3 ) − f (x ) . x3 − x







folytatás. Ekkor azonban f 0 (x1 ) = lim x1 +

f (x3 ) − f (x1 ) f (x3 ) − f (x ) , ≤ (<) x3 − x x3 − x1

és f (x3 ) − f (x1 ) f (x ) − f (x1 ) ≤ (<) lim = f 0 (x3 ) . x3 + x3 − x1 x − x1 Tehát f 0 (x1 ) ≤ (<) f 0 (x3 ). Mivel x1 , x3 ∈ (a, b), α ∈ (0, 1) tetszőlegesen rögzítettek voltak, így f 0 (szigorúan) monoton növő.

Analízis

Otthoni munka







Következmény Legyen f az (a, b) intervallumon kétszer differenciálható függvény. Ekkor 1. f pontosan akkor konvex (a, b)-n, ha f 00 (x ) ≥ 0 minden x ∈ (a, b)-re, 2. f pontosan akkor konkáv (a, b)-n, ha f 00 (x ) ≤ 0 minden x ∈ (a, b)-re.

Példa

Analízis

I

f (x ) = x 3 ,

I

g(x ) = sin x ,

I

h(x ) = x1 .

Otthoni munka







Inflexiós pont

Definíció x0 inflexiós pontja f -nek, ha létezik olyan δ > 0, hogy az (x0 − δ, x0 + δ) intervallumon f differenciálható, és minden x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) \ {x0 }-ra f 0 (x0 ) > f 0 (x ) vagy minden x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) \ {x0 }-ra f 0 (x0 ) < f 0 (x ).

Állítás Ha f kétszer differenciálható az (a, b) intervallumon és x0 ∈ (a, b) inflexiós pontja f -nek, akkor f 00 (x0 ) = 0.

Bizonyítás. x0 f 0 -nek lokális szélsőértékhelye, így f 00 (x0 ) = 0.

Analízis

Otthoni munka






Lokális szélsőérték létezésének feltételei

A lokális szélsőérték létezésének szükséges feltétele

Definíció x0 az f függvény stacionárius pontja, ha f 0 (x0 ) = 0.

Következmény (A lokális szélsőérték létezésének szükséges feltétele) Legyen f differenciálható (a, b)-n; ekkor, ha x0 ∈ (a, b) f -nek lokális szélsőértékhelye, akkor x0 stacionárius pontja f -nek.

Példa

Analízis

I

f (x ) = x 5 ,

I

g(x ) = x 2 .

Otthoni munka






Otthoni munka


A lokális szélsőérték létezésének elégséges feltétele

Állítás (A lokális szélsőérték létezésének elégséges feltétele) Legyen f az (x0 − δ, x0 + δ) intervallumon folytonos, az (x0 − δ, x0 ) és (x0 , x0 + δ) intervallumokon differenciálható függvény. Ha f 0 (x ) ≥ 0 minden x ∈ (x0 − δ, x0 )-ra és f 0 (x ) ≤ 0 minden x ∈ (x0 , x0 + δ)-ra (f 0 (x ) ≤ 0 minden x ∈ (x0 − δ, x0 )-ra és f 0 (x ) ≥ 0 minden x ∈ (x0 , x0 + δ)-ra), akkor f -nek lokális maximuma (minimuma) van x0 -ban.

Analízis






Otthoni munka


Bizonyítás. A lokális maximum esetet bizonyítjuk, a lokális minimum teljesen hasonló módon látható. Ha f 0 (x ) ≥ 0 minden x ∈ (x0 − δ, x0 )-ra és f folytonos (x0 − δ, x0 ]-n, akkor f monoton növő (x0 − δ, x0 ]-n. Tehát minden x ∈ (x0 − δ, x0 ]-ra f (x0 ) ≥ f (x ). Ha f 0 (x ) ≤ 0 minden x ∈ (x0 , x0 + δ)-ra és f folytonos [x0 , x0 + δ)-n, akkor f monoton fogyó [x0 , x0 + δ)-n. Tehát minden x ∈ [x0 , x0 + δ)-ra f (x0 ) ≥ f (x ). Összegezve a fentieket: x ∈ (x0 − δ, x0 + δ)-ra f (x0 ) ≥ f (x ), tehát x0 lokális maximumhelye f -nek.

Példa f (x ) = |x |, g(x ) =

Analízis

p 3

(x − 3)2 , h(x ) =

|x |, 1

ha x 6= 0 különben






Otthoni munka


Állítás Legyen f az (x0 − δ, x0 + δ) intervallumon kétszer differenciálható, f 00 (x0 ) = 0, és f 00 szigorúan monoton növő (fogyó) (x0 − δ, x0 + δ)-on. Ekkor x0 inflexiós pontja f -nek, f szigorúan konkáv (konvex) (x0 − δ, x0 )-on és szigorúan konvex (konkáv) (x0 , x0 + δ)-on.

Bizonyítás. Ha f 00 szigorúan monoton növő (fogyó) (x0 − δ, x0 + δ)-on és f 00 (x0 ) = 0, akkor minden x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) \ {x0 }-ra f 0 (x0 ) > f 0 (x ) (f 0 (x0 ) < f 0 (x )), tehát x0 inflexiós pontja f -nek. Továbbá, ha f 00 szigorúan monoton növő (fogyó) az (x0 − δ, x0 + δ)-on és f 00 (x0 ) = 0, akkor minden x ∈ (x0 − δ, x0 )-ra f 00 (x ) < 0 (f 00 (x ) > 0), és minden x ∈ (x0 , x0 + δ)-ra f 00 (x ) > 0 (f 00 (x ) < 0). Tehát f szigorúan konkváv (konvex) (x0 − δ, x0 )-on, és szigorúan konvex (konkáv) (x0 , x0 + δ)-on.

Analízis




Példák

Példák

I

f (x ) = x 3 + 2x 2 − 3x + 12,

I

g(x ) = x 2 e x , sin x h(x ) = , 2 + cos x 2 2−x k(x ) = . 1 + x4

I

I

Analízis



Otthoni munka


Analízis





I

Kötelező anyag: Előadás anyaga

I

Egyéb olvasnivaló érdeklődőknek: Laczkovich Miklós – T. Sós Vera: Analízis I. megfelelő részei.

Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Recommend Documents