Akoestische filterwerking van periodiek ruwe plafonds



 

Faculteit Ingenieurswetenschappen

Vakgroep Mechanica van Materialen en Constructies Voorzitter: Prof. dr. ir. J. Degrieck

Akoestische filterwerking van periodiek ruwe plafonds door Katrien Dewijngaert Katelijn Vanderhaeghe

Promotoren: Prof. dr. N. F. Declercq (Georgia Institute of Technology) en Prof. dr. ir. P. Verleysen (Universiteit Gent)

Scriptie ingediend tot het behalen van de academische graad van Burgerlijk ingenieur-architect

Academiejaar 2006–2007

Woord vooraf Allereerst wensen wij onze promotoren te bedanken voor hun bijdrage aan dit eindwerk, Nico F. Declercq voor de inhoudelijke en morele steun vanuit Metz en Patricia Verleysen voor de ondersteuning te Gent. We willen ook Prof. dr. ir. J. Degrieck bedanken omdat we deze thesis aan zijn vakgroep mochten schrijven. Daarnaast wensen wij een speciaal woord van dank te richten aan Prof. dr. F. Brackx voor de opheldering van een aantal analytische problemen. Katrien wil haar familie en vriend bedanken voor de steun bij het schrijven van deze thesis. Katelijn wil graag haar vriend Thomas Van Wassenhove en haar familie bedanken voor de interesse en aanmoediging. Bovendien wil ze deze thesis in het bijzonder opdragen aan haar grootvader, een man met een enorme wilskracht.

“De auteurs geven de toelating deze scriptie voor consultatie beschikbaar te stellen en delen van de scriptie te kopiëren voor persoonlijk gebruik. Elk ander gebruik valt onder de beperkingen van het auteursrecht, in het bijzonder met betrekking tot de verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit deze scriptie.” Gent, 4 juni 2007

De auteurs, Katrien Dewijngaert

Katelijn Vanderhaeghe

Samenvatting Deze thesis beschrijft het onderzoek naar bouwkundige toepassingen van akoestische diffractie. Dit onderzoek is gebaseerd op de theorie over diffractie van homogene golven, geformuleerd door N. F. Declercq [1], [2], J.-M. Claeys en O. Leroy [3]. In de architectuur zijn talrijke voorbeelden te vinden van geribbelde oppervlakken. Alvar Aalto paste in zijn ontwerp voor de voordrachtszaal van de bibliotheek in Viipuri (Finland) reeds geribbelde oppervlakken toe om een ideale akoestiek te creëren. Aalto’s modernistische ontwerp vormt de rode draad in ons onderzoek naar de invloed van verschillende parameters op het diffractiefenomeen. Uit dit onderzoek blijkt dat het geluid gelijkmatig verstrooid wordt als gevolg van diffractie. Echter, met deze verstrooiing gaat een grote verzwakking van de geluidsintensiteiten gepaard. Een specifiek kenmerk van het toepassen van een geribbeld plafond, is dat het frequentiedomein waarbinnen de verzwakking optreedt gerelateerd is aan de karakteristieken van de ribbel. Bijgevolg is het zelfs mogelijk om een ruwheid te ontwerpen die binnen een vooropgesteld frequentiegebied de intensiteiten meer afzwakt dan klassieke technieken zoals akoestische plafonds en baffles. Het is dus interessant om geribbelde oppervlakken aan te brengen in ruimtes waar piekintensiteiten binnen een bepaald frequentiedomein moeten gedempt worden, bijvoorbeeld een zwembad, een fabriekshal, een refter, enzovoort. Het geribbelde oppervlak kan de akoestische kwaliteit van dergelijke ruimtes optimaliseren. Trefwoorden: akoestiek, diffractie, akoestische filterwerking, geribbeld plafond.

ii

Periodically corrugated ceilings serving as an acoustic filter Katrien Dewijngaert and Katelijn Vanderhaeghe Advisors: N. F. Declercq and P. Verleysen Abstract - In this research the theory of the diffraction of homogeneous waves is applied to investigate the acoustics of rectangular rooms with a corrugated ceiling. The effect of differing geometrical and material parameters is studied in order to find a corrugation that can filter peak frequencies that are uncomfortable to the human ear. Keywords - acoustic filter, room acoustics, corrugated ceiling I. INTRODUCTION The research concerning the acoustics of the theatre at Epidauros, Greece, executed by N. F. Declercq and C. Dekeyser [1] shows that a diffraction grating can be used to filter low frequencies, which results in a decrease of environmental noise. In the presented research this feature is used to reduce noise of a specific frequency band by means of a corrugated ceiling. II. STRUCTURE OF THE SIMULATION MODEL

rays with the ceiling is modelled as a plane wave interaction. It should be mentioned that when modelling the sound waves, the decrease in amplitude and the phase shift for a spherical source due to the distance between source, ceiling and listener are taken into account. In the geometrical model sound rays can reach the listener in many different ways. Sound can directly interact with the ceiling or reach the ceiling after it has been reflected by the ground or the sidewalls. Furthermore, sound waves that have been scattered by the ceiling can reach the listener uninterrupted or after reflection on the adjacent surfaces. A sound wave is assumed to be detected by a listener if the distance from the ray to the listener is smaller than a predetermined range. Only in this case the perceived sound intensity should be considered. The procedure described above explains the interaction of one ray with the ceiling and the perception of the sound by one listener. A complete analysis of the room acoustics consists of a repetition of this procedure for different frequencies and an equal number of diffraction points and listeners.

A. Diffraction of homogeneous sound waves on periodically corrugated surfaces Acoustic diffraction occurs when a homogeneous sound wave interacts with a periodically corrugated surface between a liquid and a solid. The incident wave generates reflected and material (longitudinal and shear) waves that are scattered into different directions, contrary to the symmetrical reflection on a smooth surface described by Snell’s law. Each diffraction order m corresponds to a direction of propagation that can be deduced by means of the grating equation and the dispersion relation. The amplitude of the diffracted waves can be calculated by applying the diffraction theory formulated by Claeys and Leroy [2]. The presented research focuses on room acoustics, so only the reflected sound field is considered.

III. SIMULATION RESULTS In order to understand the diffraction phenomenon at periodically corrugated ceilings, we make a case-study of the acoustics of a discussion room in the library of Viipuri (Finland), designed by Alvar Aalto. Afterwards, we will implement the results of the casestudy when optimising the variables of a specific ceiling. A. Acoustics discussion room

B. Model The diffraction theory is implemented in a computer model. In the developed model parameters such as the height H and the length D of the rectangular room, material properties, the period Λ and the height h of the corrugation can be varied. The speaker is represented by a spherical source that equally spreads sound waves in all directions. Due to the normalization of the generated sound field, the summation of the amplitudes of all beams is equal to unity. At considerable distances from the sound source the sound field pattern in each of the rays approximates a plane wave. Thus the interaction of the

Figure 1: Sound intensity (dB) discussion room

It is important to note that only the diffracted sound field has been considered: the presence of the ceiling doesn’t

iii

affect the sound waves from source to listener and therefore the direct sound field has been omitted. Figure 1 displays the sound intensity in dB for different frequencies and listener positions in the discussion room. Only reflections on the sidewalls have been taken into account (the reflections on the floor are neglected due to the absorbing qualities of clothing and chairs). The period of the corrugation Λ is 2.25 m, the corrugation height h is 0.50 m. The x position of the sound source amounts to 1 m: the sound source is located near one of the sidewalls. The initial goal of Aalto’s sinusoidal ceiling was to scatter the sound, so that every listener in the room experienced the same sound quality. However, by means of figure 1 we can conclude that diffraction at a corrugated ceiling generally results in a decreased sound intensity in the considered sound spectrum interval in accordance with the limitations imposed on the model by Wirgin [3], [4]. This feature can be an unwanted aspect of this ceiling type when its original objective is diffusion. Consequently, diffusion by means of a corrugated surface is only possible if we accept its sound absorbing effect.

corrugation that is able to reduce the sound intensity in the spectrum 3000-4000 Hz is derived. Noise of these frequencies can originate from children yelling in a gymnasium or swimming pool or even from industrial production processes. The chosen corrugation period Λ is 0.09 m, the corresponding corrugation height h is 0.03 m.

B. Influence of input parameters

Figure 2 displays the sound intensity in dB in a room in which the selected ceiling is implemented. In this figure reflections have not been considered. A strong influence in the frequency spectrum 3000-4000 Hz can be measured. The ability to reduce the sound level in this spectrum is even better than the absorbing qualities of a classic acoustic ceiling or baffle system.

The period Λ of the corrugation strongly influences the diffraction pattern. This influence can be explained by means of the transition frequency of the –1st order given by formula (1) f =

mv Λ ( ±1 + sin (θ inc ) )

Figure 2: Sound intensity (dB) due to optimised corrugation

(1)

with m the diffraction order, v the sound velocity, Λ the corrugation period and θinc the angle of incidence. Below the transition frequency of the –1st order the sound waves of that order are evanescent and the ceiling acts as a flat surface. By altering the period Λ the transition frequency changes, together with the frequency interval in which the diffraction phenomenon takes place. Hence, it is possible to optimise the characteristics of a corrugation form, if one desires to diminish the noise in a specific frequency band. By varying the height h of the corrugation one can influence the reduction of the sound level. The lower the corrugation height, the more the impact on the sound intensity is comparable to the effect of a flat ceiling. High corrugations on the other hand strongly cut down the sound intensity. The specific proportions of a room may influence the acoustics due to the appearance of spatial interference of sound waves. Other parameters, such as material properties and corrugation forms turn out to be of little importance. C. Optimising corrugation for frequencies between 3000-4000 Hz There is abundant evidence of the correlation between the characteristics of a corrugated surface and the frequency spectrum in which the corrugation causes damping. As an example of this correlation, a

IV. CONCLUSIONS A corrugated ceiling acts as a sound diffuser. However, the sound intensity is decreased in such a way that it has a negative impact on the speech intelligibility and general acoustics in a discussion room. On the other hand, the effect of reducing the noise by means of a corrugated surface can be useful in specific circumstances e.g. environments with peak intensities occurring in a certain frequency band. Further research concerning sound quality and reverberation time in rooms where a corrugated ceiling is applied, would be recommended. We also suggest a search for corrugations that can influence a broader frequency spectrum, such as the spectrum of the human voice (27-4000 Hz). REFERENCES [1] N. F. Declercq and Dekeyser C. Acoustic diffraction effects at the Hellenistic amphitheatre of Epidaurus: Seat rows responsible for the marvelous acoustics. J. Acoust. Soc. Am., 121:2011 – 2022, 2007. [2] J.-M. Claeys and O. Leroy. Diffraction of plane waves by periodic surfaces. Revue du Cethedec, 72:183 – 193, 1982. [3] A. Wirgin. Reflection from a corrugated surface. J. Acoust. Soc. Am., 68:692 – 699, 1980. [4] A. Wirgin. New theoretical approach to scattering from a periodic interface. Opt. Commun., 27:189 – 194, 1978.

iv

Inhoudsopgave Samenvatting

ii

Extended abstract

iii

1 Inleiding

3

2 Diffractiefenomeen 2.1 Toepassingsdomein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Beschrijving invallend en gediffracteerd geluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Corrugatievorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 6 6 13

3 Geometrie 3.1 Geometrische parameters . . . . . . . . . . . . 3.2 Modellering geluid . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Opdeling sferische bron in segmenten . . 3.2.2 Geometrie bron, spiegelbron en publiek 3.2.3 Berekening per diffractiepunt . . . . . .

. . . . .

16 16 17 17 18 20

. . . . . . . . .

25 25 26 34 37 37 37 39 40 43

. . . .

44 44 44 45 51

4 Simulaties voordrachtszaal 4.1 Simulatie basisgeval . . . . . . . . . 4.1.1 Excentrisch opgestelde bron . 4.1.2 Centraal opgestelde bron . . 4.2 Onderzoek verscheidene parameters . 4.2.1 Materiaalkeuze . . . . . . . . 4.2.2 Invloed periode en hoogte . . 4.2.3 Invloed corrugatievorm . . . 4.2.4 Invloed geometrie ruimte . . 4.3 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Bouwkundige toepassingen 5.1 Probleemstelling . . . . . . . . . . 5.2 Optimalisatie ruwheid . . . . . . . 5.2.1 Excentrisch opgestelde bron 5.2.2 Centraal opgestelde bron .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

1

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . .

Inhoudsopgave

5.3

5.2.3 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hypotheses omtrent verder onderzoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55 56

6 Besluit

58

A Overgangsfrequentie eerste orde

59

B Geribbelde staalplaat

62

C Onregelmatige zaagtand

64

D Absorptieco¨ effici¨ enten

67

E Invloedsgebied ribbel

68

Bibliografie

71

2

Hoofdstuk 1

Inleiding Deze thesis beschrijft het onderzoek naar de akoestische voordelen van geribbelde plafonds. Wanneer geluidsgolven interageren met een geribbeld oppervlak, treedt er diffractie op. Het diffractiefenomeen verklaart waarom geluid kan gedempt of verstrooid worden na contact met een geribbeld oppervlak. Een geluidsstraal wordt immers ontbonden in verschillende componenten, ordes genoemd, die volgens verschillende uitvalshoeken het oppervlak verlaten. Op deze wijze wordt de akoestische energie verdeeld over een scala aan uitvalsrichtingen. Dit fenomeen verschilt van symmetrische reflectie aan vlakke oppervlakken. In zijn doctoraatsproefschrift gaf N. F. Declercq [1] een verklaring voor de akoestische diffractiefenomenen die zich voordoen aan het oppervlak van de Maya-piramide El Castillo te ChichenItza. De echo, die wordt teweeggebracht door een handklap, lijkt op het geluid van een typische Mexicaanse vogel, de quetzal. De trapvorm van de piramide fungeert als diffractierooster voor het geluid. C. Dekeyser [2] paste de diffractietheorie toe om aan te tonen dat de trappen van het Oudgrieks theater in Epidauros bijdragen tot de goede akoestiek. In de hedendaagse architectuur zijn verscheidene voorbeelden te vinden van geribbelde plafonds en wanden. Deze geribbelde oppervlakken zijn in vele gevallen gekozen om esthetische redenen, in andere gevallen bewust of onbewust toegepast om de akoestische prestaties van de ruimte te verbeteren. Een eerste, vroeg-modernistisch voorbeeld is de voordrachtszaal van de bibliotheek van Viipuri (1927-1931), in Finland, ontworpen door Alvar Aalto (zie figuur 1.1 en referentiewerken [4], [5] en [6]). Het plafond van het auditorium is gegolfd en bestaat uit dunne houten latjes die aangebracht zijn volgens een curve die elk punt op het plafond akoestisch levendig maakt. Aalto acht het debat evenwaardig aan de lezing. Daarom moet de akoestiek, in tegenstelling tot die in een concertzaal, in twee richtingen werken. Het is Aalto’s bedoeling elke plek, zowel voor de zender als voor de ontvanger van een signaal, akoestisch gelijkwaardig te maken als er zonder stemverheffing gesproken wordt.

3

Hoofdstuk 1. Inleiding

Figuur 1.1: Interieurbeeld discussieruimte bibliotheek te Viipuri (links) en plafond (rechts)

Een tweede voorbeeld van een ruimte met een geribbeld plafond, is het Nederlands Danstheater in Den Haag, ontworpen door het Office for Metropolitan Architecture (zie figuur 1.2). In deze theaterzaal werd een golvend plafond toegepast, dat bestaat uit geribbelde staalplaten. Het plafond is jammer genoeg moeilijk te simuleren met behulp van simulatiesoftware omdat we de ribbel niet kunnnen uitschrijven door middel van een eenvoudig functievoorschrift f (x). Andere voorbeelden uit de architectuur zijn de kamermuziekzaal van het Concertgebouw te Brugge, ontworpen door Robbrecht en Daem architecten, het Bogcaffé te Kopenhagen, het Casa da Musica in Porto, ontworpen door het Office for Metropolitan Architecture, enzovoort.

Figuur 1.2: Nederlands Danstheater Den Haag

Naast het effect van verstrooiing van het geluid kan diffractie ook het geluid verzwakken. Afzwakking is zelf ook een gevolg van verstrooiing, maar hierbij worden de ordes die de meeste energie meedragen, gemanipuleerd. Door deze manipulatie moet het geluid een grotere afstand afleggen vooraleer het de toehoorders bereikt, met een relatief zwakker signaal als gevolg. Deze benadering kan vooral interessant blijken in ruimtes waarbij men een verzwakking van het geluid

4

Hoofdstuk 1. Inleiding

nastreeft in een bepaald frequentiedomein. Hierbij denken we bijvoorbeeld aan zwembaden, sportzalen en fabriekshallen, waarbij we met behulp van het ontwikkelde simulatieprogramma en op basis van het opgemeten geluidsspectrum in deze ruimtes een specifieke corrugatie zouden kunnen ontwerpen. In de hierboven genoemde ruimtes kunnen hoge geluidsintensiteiten optreden die als zeer storend worden ervaren. In zwembaden en sportzalen gaat het vooral om hoge geluidsniveaus veroorzaakt door het geschreeuw van kinderen of publiek. Machines in fabriekshallen produceren vaak storende geluiden waarvan het geluidsspectrum ondubbelzinnig kan vastgelegd worden. Bovendien worden nu al geribbelde plafonds aangebracht in utilitaire ruimten. Als men de ribbel zou kunnen afstemmen op geluid dat men wil dempen in een specifiek frequentiedomein, zou men de bijkomende kost aan absorberend materiaal kunnen drukken. Bovendien is het toepassen van akoestische baffles minder aangewezen in sommige omgevingen. Het nut van het aanbrengen van geribbelde oppervlakken bij de hierboven genoemde toepassingen zal in dit werk onderzocht worden via simulaties in Matlab. We spitsen ons hierbij vooral toe op de analyse van frequentiespectra en het aandeel van de verschillende gediffracteerde ordes hierin. In het volgende hoofdstuk wordt de theorie van de diffractie uiteengezet. Hoofdstuk 3 beschrijft hoe de diffractietheorie werd ge¨ımplementeerd in de simulatiesoftware. In hoofdstuk 4 vormt de voordrachtszaal ontworpen door Alvar Aalto de leidraad voor het onderzoek naar de invloed van verschillende parameters. De besluiten uit hoofdstuk 4 vormen de basis voor hoofdstuk 5, waarin we bouwkundige toepassingen van diffractie onderzoeken.

5

Hoofdstuk 2

Diffractiefenomeen Beschouwen we een geribbeld oppervlak dat zich tussen twee media bevindt: een vloeistof en een vaste stof. Wanneer een homogene geluidsgolf invalt op dit oppervlak dan treedt er diffractie op. Door diffractie wordt slechts een deel van de invallende golf gereflecteerd, het andere deel wordt omgezet in materiaalgolven (longitudinaal en transversaal). Om dit fenomeen theoretisch te beschrijven en te programmeren in Matlab hebben we ons gebaseerd op de theorie voor harmonische vlakke homogene golven, zoals geformuleerd in het oorspronkelijke werk van Claeys en Leroy [3], gebaseerd op het werk van Lord Rayleigh [7].

2.1

Toepassingsdomein

De theorie van diffractie is enkel geldig wanneer voldaan is aan de voorwaarden opgesteld door Lipmann [8] en Wirgin [9], [10]. Buiten het frequentiedomein waar aan de beide voorwaarden voldaan is, levert de diffractietheorie onnauwkeurige resultaten op. In het gebied waar de afwijkingen van de voorwaarden klein zijn, krijgen we enkel voor het geluidsveld in de ribbels zelf afwijkende resultaten. Lipmann stelde dat de invallende golflengte van dezelfde grootteorde moet zijn als de corrugatieperiode en dat de corrugatiehoogte niet groter mag zijn dan de invallende golflengte. Wirgin heeft de voorwaarden verfijnd en toont aan dat de door Rayleigh [7] geformuleerde theorie wat betreft de ontbinding van geluid in homogene golven geldig is, wanneer voldaan is aan de onderstaande twee voorwaarden. Hierbij is λ de grootste golflengte die optreedt bij het diffractiefenomeen, Λ de corrugatieperiode en h de hoogte van de ribbels. h < 0.34Λ λ > 1.53348h

2.2

Beschrijving invallend en gediffracteerd geluid

De geometrie van de tweedimensionale situatie is voorgesteld in figuur 2.1.

6

Hoofdstuk 2. Diffractiefenomeen

Figuur 2.1: Schematische voorstelling tweedimensionale geometrie

We veronderstellen dat het gecorrugeerde oppervlak een oneindig uitgestrekte zaagtand is met hoogte h en periode Λ. De vergelijking van het periodische oppervlak wordt gegeven door vergelijking 2.1 en kan ook geschreven worden als vergelijking 2.3. z = f (x)

(2.1)

f (x + Λ) = f (x)

(2.2)

g (x, z) = f (x) − z = 0

(2.3)

Met

De invallende homogene golf wordt gekarakteriseerd door een golfvector Kinc , die ontbonden wordt in de componenten kxinc en kzinc , respectievelijk volgens de X- en de Z-as, zie figuur 2.2.

7


Figuur 2.2: Ontbinding golfvector in componenten volgens de X- en de Z-as

Op een analoge manier beschrijft men de gereflecteerde golf en de longitudinale en transversale materiaalgolven van elke orde m aan de hand van hun golfvectoren kxm en kzm , die men kan berekenen uit de roostervergelijking (vergelijking 2.5) en de dispersievergelijking (vergelijking 2.6). Km = kxm ex + kzm ez 2π kxm = kxinc + m Λ ω 2 2 2 (kx ) + (kz ) = v

(2.4) (2.5) (2.6)

Hier is ω de hoeksnelheid en v de voortplantingssnelheid van de geluidsgolf. De Sommerfeldvoorwaarden (ook wel causaliteitsvoorwaarden genoemd) eisen dat het teken van de golfvector kzm zo wordt gekozen dat de golfenergie ofwel afneemt met de afstand tot het oppervlak, ofwel gelijk blijft, maar zich voortplant in een richting die wegwijst van het oppervlak. In het geval kzm imaginair wordt, wordt aan de Sommerfeldvoorwaarden voldaan door te stellen dat de amplitude exponentieel afneemt met de afstand tot het oppervlak. Als we nagaan hoe een homogene geluidsgolf invalt op een zaagtandoppervlak, dan merken we dat er van ieder type golf m diffractieordes gegenereerd worden. Voor onze verdere berekeningen hebben we m = 7 verondersteld, wat een voldoende nauwkeurige benadering impliceert. We kunnen volgende verplaatsingen definiëren van de gediffracteerde golven. Ninc = Ainc ϕinc ikxinc ex + ikzinc ez Nr =

X

(2.7)

Arm ϕm,r (ikxm,r ex + ikzm,r ez )

(2.8)

Adm ϕm,d ikxm,d ex + ikzm,d ez

(2.9)

m

Nd =

X m

8


Ns =

X

Asm Pm,s ϕm,s

(2.10)

m

Waarbij

ς

ϕς = ei(k

•r) ,

A de amplitude is en P de polarisatievector.

We stellen de continu¨ıteitsvoorwaarden op voor de orthogonale verplaatsingen en spanningen langsheen het oppervlak. Ze worden samengevat in onderstaande formules. Ninc + Nr • ∇g = Nd + Ns • ∇g X

Tij1 (∇g)j =

j

X

Tij2 (∇g)j

langs

langs

g=0

g=0

(2.11)

(2.12)

j

Er moet ook voldaan worden aan een derde voorwaarde die enkel van toepassing is voor transversale golven. Asm Pxm,s kxm,s + Asm Pym,s kym,s + Asm Pzm,s kzm,s ϕm,s = 0

(2.13)

Passen we de bovenstaande drie vergelijkingen toe op de verplaatsingsvergelijking dan bekomen we een stelsel van vijf vergelijkingen. Om de x-afhankelijkheid van deze vergelijkingen weg te werken, passen we een discrete Fouriertransformatie toe waarbij de vergelijkingen getransformeerd worden naar een faseruimte die overeenstemt met, opnieuw, diffractieordes p. De vergelijkingen worden dus onafhankelijk van x (wegens integratie over één periode), maar worden wel bepaald door de vorm van het oppervlak en de periodiciteit van de corrugatie. Voor een correcte oplossing volstaat de eis dat de Fouriercoëfficiënten, in de rechterleden en linkerleden van de vergelijkingen, gelijk zijn over één periode. Wil men nu de waarden van de amplitudes van de gereflecteerde en materiaalgolven kennen, dan moet men vervolgens de volgende vergelijkingen oplossen. Vergelijking 1 2 +Ainc I inc,p i − k 1 + kxinc kxp X 2 + Arm I m,r,p i − k 1 + kxm kxp m

+

X

Adm I m,d,p i

k

d,2

2

−

kxm kxp

m

+

X

+

X

Asm P m, sx I m,s,p (kxp − kxm )

m

Asm P m, sz I m,s,p (kzm,s ) = 0

m

9

(2.14)


Vergelijking 2 −Ainc I inc,p ρ1 kxp − kxinc X − Arm I m,r,p ρ1 (kxp − kxm )

m

+

X

+

X

Adm I m,d,p ρ2

−kxm +

1+2

(kxm )2 − k d,2

Asm Pxm,s I m,s,p iρ2

1−

m

+

X

+ 1

Asm Pzm,s I m,s,p iρ2 (kzm,s )

2 (k d,2 )

m

(2.15)

1 2 (k d,2 )

! kxm −

(k s,2 )2

+

Asm Pym,s I m,s,p iρ2

(kxm )2

(k s,2 )2

Vergelijking 3 X

!

!

1

−

1

−

! kxp

(k s,2 )2

m

kxm kxp 2 (k d,2 )

2 !

1−

m

1 2 (k d,2 )

kxm kxp

−

!

2

! kxp

(k s,2 )2

=0

(k s,2 )2

=0

(2.16)

Vergelijking 4 +Ainc I inc,p ρ1 kzinc X + Arm I m,r,p ρ1 (kzm,r ) m

+

X

Adm I m,d,p ρ2

kzm,d

m p 2 (kx kx ) s,2 (k )

−1 +

m

+

X

1

Asm Pxm,s I m,s,p iρ2 (kzm,s )

2 (k d,2 )

m

+

X m

Asm Pzm,s I m,s,p iρ2

2

1 2

(k d,2 )

−

−

1 (k s,2 )2

1 (k s,2 )2

(2.17) ! kxm −

kxm kxp s,2 2

(k

! (kzm,s )2 + 1 −

!

)

kxm kxp

!

(k s,2 )2

=0

Vergelijking 5 Asm Pxm,s kxm,s + Asm Pym,s kym,s + Asm Pzm,s kzm,s δm,p = 0

(2.18)

δm,p is de Kronecker delta. Uit vergelijking 2.16 blijkt reeds dat Asm Pym,s = 0. De Lamé-constanten en viscositeitscoëfficiënten moeten voldoen aan vergelijking 2.6. Vergelijkingen 2.19 en 2.20 drukken deze voorwaarde uit. Voor de vaste stof (τ = 2) kunnen twee Laméconstanten opgesteld worden, één voor de longitudinale golf en een andere voor de transversale golf. In de vloeistof (τ = 1) hebben we enkel een Lamé-constante voor de gereflecteerde golf, aangezien er in vloeistoffen geen schuifspanning kan worden opgebouwd. Dit laatste is zeker

10


zo voor lucht, zoals in het hier bestudeerde geval. Aangezien in dit werk akoestische demping buiten beschouwing wordt gelaten, hoeven we geen rekening te houden met de termen λ2 en µ2 . kς • kς =

(λτ1

−

iωλτ2 )

kς • kς =

ρω 2 + 2 (µτ1 − iωµτ2 )

ρω 2 (µτ1 − iωµτ2 )

(2.19)

(2.20)

Na de discrete Fouriertransformatie blijven de volgende integralen over. Ze verwijzen nog steeds naar de x-afhankelijkheid van het oppervlak over één periode. I

I

inc,η

m,ξ,η

=

=

1 kzinc 1 kzm,ξ

Z

inc −k η x

ei(kx

)x ei(kzinc f (x)) dx

(2.21)

Λ

Z

m,ξ i(kxm −kxη )x i kz f (x)

e

e

dx

(2.22)

Λ

De gezochte amplitudes van de gereflecteerde golven en de doorgelaten materiaalgolven worden bekomen door het oplossen van het stelsel van vijf vergelijkingen en vijf onbekenden. Vergelijking 2.16 laten we buiten beschouwing, aangezien we de tweedimensionale diffractietheorie toepassen. Er blijven dus vier vergelijkingen en vier onbekenden over. Bij het uitvoeren van de numerieke simulaties hebben we de ordes m en p laten variëren van -7 tot +7. We mogen ervan uitgaan dat de bekomen resultaten zo voldoende accuraat zijn. Matlab laat ons toe de vergelijkingen op te lossen met behulp van matrices. We stellen een matrix A op met de coëfficiënten van de gezochte amplitudes, matrix X bevat alle onbekenden en matrix B bevat alle bekende termen uit de vergelijkingen. Het oplossen van de vergelijkingen komt dus neer op het oplossen van [A]*[X] = [B]. Om de coëfficiënten in de matrix A te berekenen moeten de Lamé-constanten en de bepaalde integralen (2.21) en (2.21) voor alle waarden van m en p ingevuld worden. De concrete matrixopbouw wordt hierna toegelicht. Matrix 2.23 bevat de coëfficiënten van de onbekende amplitudes uit vergelijkingen 2.14, 2.15, 2.17 en 2.18. Elk element uit deze matrix dient gevarieerd te worden over alle diffractieordes m en alle golfvectoren p. Dit wordt verduidelijkt door 2.24. Hierin is α de coëfficiënt voor een welbepaalde combinatie van m en p. De indices r, d, sx en sz staan respectievelijk voor de gereflecteerde golf, de longitudinale golf, de transversale golf volgens de X-as en de transversale golf volgens de Z-as. Matrix 2.24 bevat de coëfficiënten voor de gereflecteerde golf, de coëfficiënten voor de materiaalgolven worden analoog bepaald.  ar  1r a2 A= ar  3 ar4

ad1 ad2 ad3 ad4

11

asx 1 asx 2 asx 3 asx 4

 asz 1   asz 2   asz 3  asz 4

(2.23)


waarbij

 α−m,−p α−m+1,−p . . . αm,−p  −m,−p+1  α−m+1,−p+1 . . . αm,−p+1  α r   a1 =  .. .. ..  . . .   

α−m,p

α−m+1,p

...

(2.24)

αm,p

De matrix van de onbekenden wordt voorgesteld door 2.25. Ze bevat de gezochte amplitudes voor de gereflecteerde, longitudinale en transversale golven. In 2.26 wordt verduidelijkt hoe de amplitudes gevarieerd worden over alle diffractieordes m. 

 xr  d x   X= xsx    xsz

(2.25)

waarbij

 χ−m  −m+1  χ  r  x =  ..   .  

(2.26)

χm

Matrix 2.27 bevat de coëfficiënten die betrekking hebben op de invallende golf. Kolommatrix 2.28 toont hoe de coëfficiënten gevarieerd worden over de golfvectoren p. 

 br  d b   B= bsx    bsz

waarbij

12

(2.27)


 β −p  −p+1  β  r  b = .  .   .  βp 

(2.28)

De amplitudes worden nu gevonden door betrekking 2.29. [X] = inv[A] ∗ [B]

(2.29)

De berekende amplitudes en golfvectoren laten ons nu toe de gereflecteerde en doorgelaten longitudinale en transversale golven voor de verschillende ordes te beschrijven. Bij het bestuderen van de akoestiek van een ruimte zijn in feite enkel de eigenschappen van het gereflecteerde geluid van belang. Het gereflecteerde geluid wordt tevens genormaliseerd, zo kunnen we op een eenvoudige manier de bekomen resultaten interpreteren. Het normaliseren van de amplitude wordt verder in deze tekst meer in detail besproken.

2.3

Corrugatievorm

In deze thesis wordt de mogelijke toepassing van verschillende corrugatievormen onderzocht. Het zaagtandoppervlak is de meest eenvoudige corrugatievorm en vergt numeriek de minste rekentijd. Het wordt met behulp van volgende vergelijkingen beschreven. 2hx h − Λ 2

als

0≤x<

3h 2hx − 2 Λ

als

Λ ≤x<Λ 2

f (x) =

f (x) =

Λ 2

(2.30)

(2.31)

De integralen 2.21 en 2.22 kunnen voor een zaagtandoppervlak tot 2.32 en 2.33 vereenvoudigd worden. inc 1 − (−1)−η eihkz inc (2.32) I inc,η = ihΛe−ihkz /2 (hkzinc )2 − (πη)2 m,ξ

I

m,ξ,η

−ihkzinc /2

= ihΛe

1 − (−1)(m−η) eihkz 2 hkzm,ξ − π 2 (m − η)2

(2.33)

In tweede instantie kan het interessant zijn om ook sinuso¨ıden te bestuderen. Voor een sinuso¨ıdaal oppervlak hebben we de integralen 2.21 en 2.22 vereenvoudigd tot 2.34 en 2.35. Hierin herkennen we de Bessel-functie van de eerste soort. I

inc,η

Λ 1 = inc kz π

Z

cos ηθ −

π

13

h kzinc 2

sin θ

dθ

(2.34)


en I

m,ξ,η

Λ 1 = m,ξ kz π

Z

cos (−m + η) θ −

π

h kzm,ξ 2

sin θ

dθ

(2.35)

Hiertoe hebben we volgende substitutie toegepast. y=

2πx Λ

(2.36)

Als derde geval wordt ook de vorm van een geribbelde staalplaat, die in de architectuur een wijde toepassing kent, onderzocht (zie figuur 2.3).

Figuur 2.3: Voorbeeld van een geribbelde staalplaat

We splitsen deze functie op in 4 lijnstukken, waarbij we aan elk lijnstuk een verschillende helling toekennen. Op figuur 2.4 kunt u zien hoe de horizontale stukken die normaal gezien deel uitmaken van een geribbelde staalplaat om numerieke redenen vervangen worden door lijnstukken met een minimale helling. Deze benadering is verdedigbaar als de helling voldoende klein genomen wordt in vergelijking met de afmetingen van de staalplaat.

14


Figuur 2.4: Opbouw geometrie geribbelde staalplaat

We passen een gelijkaardige substitutie toe als bij het sinuso¨ıdaal oppervlak. De bekomen uitdrukkingen voor de integralen 2.21 en 2.22 vindt u in Bijlage B. Tenslotte lijkt het ons interessant een onregelmatige zaagtand te onderzoeken. De integralen 2.21 en 2.22 worden op een analoge manier berekend als de integralen voor de geribbelde staalplaat. Een uitgebreide bespreking van de simulaties gebaseerd op deze onregelmatige zaagtand, vindt u in Bijlage C.

15

Hoofdstuk 3

Geometrie In dit hoofdstuk stellen we de geometrie op van een eenvoudige ruimte met een rechthoekige doorsnede. Deze geometrie vormt de basis voor de simulaties in de volgende hoofdstukken.

3.1

Geometrische parameters

De uitgevoerde simulaties zijn gebaseerd op de tweedimensionale diffractietheorie, we beperken ons dus tot enkelvoudige corrugatiemodellen. We maken een langssnede door de ruimte en bestuderen de effecten die optreden langs die snedelijn.

Figuur 3.1: Doorsnede van een eenvoudige rechthoekige ruimte

Volgende parameters karakteriseren de geometrie van deze doorsnede: Lengte zaal (D) Hoogte zaal (H) Lengte corrugatieperiode (Λ) Hoogte corrugatieperiode (h)

16

Hoofdstuk 3. Geometrie

3.2

Modellering geluid

We modelleren het geluidsveld door het oplossen van het stelsel van vier vergelijkingen uit hoofdstuk 2. Hierbij dient opgemerkt dat we het directe geluidsveld buiten beschouwing laten, aangezien diffractie hierop geen invloed kan uitoefenen. Bovendien maakt deze werkwijze een objectieve vergelijking met andere plafondtypes mogelijk. De hierna beschreven geometrie vormt de input van het simulatieprogramma.

3.2.1

Opdeling sferische bron in segmenten

In onze simulaties splitsen we het geluid afkomstig van een sferische bron op in radiale segmenten. Als gevolg van de opsplitsing in voldoende kleine segmenten, kunnen we het geluid binnen elk segment benaderen door een vlakke golf. Om te bepalen hoeveel geluidsstralen er moeten invallen op het plafond om voldoende nauwkeurig te werken, kiezen we een voldoende aantal diffractiepunten op het plafond. In ieder diffractiepunt passen we de theorie van diffractie toe. De sommatie van de interacties van het geluid in alle diffractiepunten levert ons een resultaat dat de werkelijkheid benadert. Voor kleine ribbels is het een goede benadering om te veronderstellen dat over een afstand gelijk aan de golflengte van de ribbel drie segmenten, en dus drie stralen invallen. Een sferische bron zendt in iedere richting een gelijk aantal stralen uit. We normaliseren de geluidsintensiteit bij de bron. De amplitude van een uitgezonden straal wordt bijgevolg bepaald door 3.1. De som van de amplitudes van alle uitgezonden stralen moet opnieuw gelijk zijn aan de eenheid. Ainc =

1 aantal stralen

(3.1)

Reductiefactor amplitude Aangezien we in de simulaties het geluid modelleren door een sferische bron, moeten we ermee rekening houden dat de intensiteit van het geluid afneemt naarmate we ons verder van de bron verwijderen. De vermindering van de amplitude hangt samen met de vorm van het golffront. √ Bij een sferische bron is de reductiefactor evenredig met 1/ R. Naast een amplitudedaling treedt er ook een defasering op die het gevolg is van de tijdsverschuiving tussen het moment waarop het signaal uitgezonden wordt en het moment waarop het door een luisteraar wordt ontvangen. De afstand die het geluid aflegt tussen bron en diffractiepunt enerzijds en tussen diffractiepunt en toehoorder anderzijds wordt bijgevolg door de reductiefactor voorgesteld door 3.2 in rekening gebracht. De teller in 3.2 drukt de defasering uit, de noemer de amplitudedaling. exp i kxinc (xd − xs ) + kxm (xc − xd ) − kzinc zs + kzm zc rq (3.2) q 2 2 2 2 (xs − xd ) + (zs ) (xd − xc ) + (−zc )

17


De verzwakking waargenomen door de luisteraars is dus een gevolg van de afstand afgelegd door het geluid en van het diffractiefenomeen zelf.

3.2.2

Geometrie bron, spiegelbron en publiek

Aangezien de geometrie de basis zal vormen voor een reeks simulaties waarbij we verschillende parameters zullen laten variëren, is het belangrijk dat we de bron overal kunnen plaatsen. Bijgevolg wordt deze voorgesteld door algemene coördinaten (xs , zs ). Op figuur 3.1 zijn ook de coördinaten (xl , zl ) van een luisteraar aangegeven. Bij de simulaties wordt de geluidsintensiteit, door elke luisteraar waargenomen, berekend. De luisteraars bevinden zich op regelmatige tussenafstanden in de zaal. Het aantal luisteraars in de ruimte wordt gelijk genomen aan het aantal diffractiepunten. Het door de bron verspreide geluid kan op drie verschillende manieren het plafond bereiken. Het kan rechtstreeks invallen op het geribbeld plafond, het geluid kan eerst reflecteren op een muur en dan pas het geribbeld oppervlak bereiken, een derde mogelijkheid bestaat erin dat het geluid eerst reflecteert op de voorgrond en daarna het plafond bereikt. De verschillende mogelijkheden zijn weergegeven op figuur 3.2. In de gevallen waarbij er eerst reflecties optreden vooraleer het plafond wordt bereikt, veronderstellen we dat de muren en ondergrond vlak zijn en goede reflectie-eigenschappen bezitten. In onze simulaties houden we hiermee rekening door de invoering van een gespiegelde bron, weergegeven door (x,s , zs, ). De spiegelbron wordt bekomen door de oorspronkelijke bron te spiegelen om de as van de muur of ondergrond. N. F. Declercq maakte reeds gebruik van deze methode bij het onderzoek naar de akoestische kwaliteiten van de piramide te Chichen-Itza [1].

18


Figuur 3.2: Voorstelling geometrie van de ruimte met geluidsbron (boven), voorstelling geometrie van de ruimte met bron en spiegelbron om wand (midden), voorstelling geometrie van de ruimte met bron en spiegelbron om ondergrond (onder)

In werkelijkheid zal door de reflectie op de muur of ondergrond een aandeel van de energie van de golf verloren gaan. Dit effect brengen we in ons programma in rekening door de invallende amplitude te vermenigvuldigen met een reflectiecoëfficiënt. De reflectiecoëfficiënt voor een materiaal kan geschreven worden als ρ=1−α (3.3) waarbij ρ staat voor de reflectiecoëfficiënt en α voor de absorptiecoëfficiënt. Voor de eenvoud veronderstellen we dat ρ en α niet afhangen van de invalsrichting. De hierboven beschreven methode ter berekening van de verzwakking door reflectie op een vlakke wand of ondergrond is misschien iets minder accuraat dan de methode waarbij de vergelijkingen

19


voor alle materiaal- en gereflecteerde golven worden opgesteld, maar is wel te verkiezen gezien de enorme voordelen die ze biedt qua rekentijd. Daarenboven heeft deze methode haar degelijkheid reeds bewezen in de bouwakoestiek.

3.2.3

Berekening per diffractiepunt

We kunnen de theorie van Claeys en Leroy [3] toepassen in elk diffractiepunt en voor iedere orde m, waarbij we telkens veronderstellen dat het oppervlak oneindig uitgestrekt is. De diffractiepunten worden over de hele lengte van de ruimte genomen op regelmatige afstanden, waarbij de tussenafstand eenderde van de golflengte bedraagt. De invalshoek van het geluid dat invalt in het punt waarin we diffractie beschouwen, wordt bepaald door formule 3.4 voor de bron en formule 3.5 voor de spiegelbron. xd − xs θinc = arctan (3.4) zs θinc = arctan

xd − x,s zs,

(3.5)

De gediffracteerde stralen worden niet allemaal door de luisteraars waargenomen. We moeten dus een marge opstellen waarbinnen we aanvaarden dat de golf binnen het gehoorveld van de toeschouwer valt. We doen dit door een voorwaarde op te stellen voor de afstand tussen de geluidsstraal en de luisteraar. Is die afstand groter dan de marge, dan negeren we de straal. In het andere geval wordt de geluidsstraal waargenomen en tellen we de intensiteit van de straal bij de reeds berekende intensiteit die door de toeschouwer wordt waargenomen. We doen dit voor iedere luisteraar en voor elk diffractiepunt. Om de realiteit zo goed mogelijk te benaderen, brengen we in onze simulaties ook de reflecties na diffractie in rekening. Het gediffracteerde geluid kan de luisteraar namelijk direct bereiken, of eerst reflecteren op een wand of de ondergrond. Directe waarneming gediffracteerde straal We berekenen de loodrechte afstand tussen de geluidsstraal en de luisteraar. We doen dit door het stelsel 3.6 op te lossen waarbij we het snijpunt (xc , zc ) bepalen tussen de geluidsstraal en de loodlijn hierop vanuit (xl , zl ). De richtingscoëfficiënt van de rechte die de gediffracteerde geluidsstraal voorstelt, wordt gegeven door 3.7.  z = rico (x − x ) d (xc , zc ) z − z = − (1/rico) (x − x ) l

rico =

(3.6)

l

< (kzm,r ) < (kxm )

20

(3.7)


Figuur 3.3: De loodrechte afstand van de luisteraar tot de geluidsstraal moet kleiner zijn dan de vooropgestelde marge

De loodrechte afstand, gegeven door uitdrukking 3.8, is de afstand tussen dit snijpunt en de luisteraar zelf. q (xl − xc )2 + (zl − zc )2 (3.8) Uitdrukking 3.8 kan ook toegepast worden wanneer we de reflecties op de zijwanden en de ondergrond in rekening brengen (cf. infra). Reflecties op de zijwanden Het gediffracteerde geluid kan invallen op een wand en een gereflecteerde geluidsstraal genereren. Die gereflecteerde straal kan ook door de luisteraar waargenomen worden wanneer de afstand ervan tot de luisteraar kleiner is dan de vooropgestelde marge. Om dit na te gaan bepalen we eerst de vergelijking van de geluidsstraal die reflecteert op de wand. We kunnen deze vergelijking opstellen aangezien we de richtingscoëfficiënt en een punt van deze straal kennen, nl. het snijpunt van de gediffracteerde straal met de wand (xw , zw ). We veronderstellen dat de wand een nagenoeg perfect reflecterend vlak is. Bovendien is de hoek waaronder de straal uitvalt in absolute waarde gelijk aan de hoek die de gediffracteerde straal maakt met de wand, dit is de bekende wet van Snell. Met behulp van de formule voor de richtingscoëfficiënt, nl. rico = tan (ϕ), kunnen we de richtingscoëfficiënt van de gereflecteerde straal berekenen.

21


Figuur 3.4: Het geluid bereikt de luisteraar na reflecties op de wand

Het snijpunt van de gediffracteerde straal met de wand bepalen we door het onderstaande stelsel op te lossen. Hierbij is xw = 0.  z = rico (x − x ) d (xw , zw ) = (3.9) x = 0 De gereflecteerde straal heeft nu volgende vergelijking. z − zw = −rico x

(3.10)

Om de afstand te berekenen tussen de gereflecteerde straal (uitdrukking 3.10) en de luisteraar, stellen we de vergelijking op van de loodlijn (tweede uitdrukking in 3.11) vanuit het punt van de luisteraar (xl , zl ) op de gereflecteerde straal. We bepalen het snijpunt (xc , zc ) door onderstaand stelsel van twee vergelijkingen op te lossen.  z − z = −rico x w (xc , zc ) = z − z = 1 (x − x ) l

rico

(3.11)

l

Indien de afstand bepaald door uitdrukking 3.8 kleiner is dan de vooropgestelde marge tellen we de intensiteit op bij de reeds berekende intensiteit. We houden hierbij opnieuw rekening met de afname van de energie na reflectie op de wand. Hiertoe vermenigvuldigen we de invallende amplitude met de reflectiecoëfficiënt. Opmerking Uiteraard brengen we het effect van reflectie op een zijwand in rekening voor de twee wanden. De vergelijkingen voor de tweede wand worden analoog opgesteld aan de vergelijkingen voor de eerste wand.

22


Reflecties op de ondergrond Het gediffracteerde geluid kan reflecteren op de ondergrond en deze gereflecteerde straal kan ook door de luisteraar waargenomen worden. Het berekenen van de afstand van de luisteraar tot de gereflecteerde straal gebeurt op analoge manier als hierboven reeds werd vermeld. Indien deze afstand kleiner is dan de marge wordt de intensiteit in rekening gebracht.

Figuur 3.5: Het geluid bereikt de luisteraar na reflecties op de ondergrond

Vergelijking 3.12 is de vergelijking van de gereflecteerde straal. Hierbij is (xg , zg ) het snijpunt van de gediffracteerde straal met de ondergrond. z − zg = −rico (x − xg )

(3.12)

De loodlijn op de gereflecteerde straal en uit het punt van de luisteraar wordt weergegeven door het tweede deel van 3.13. We bepalen het snijpunt van de loodlijn met de gereflecteerde straal (xc , xc ) en kunnen zo de gezochte loodrechte afstand berekenen.  z − z = −rico (x − x ) g g (xc , zc ) = 1 z − z = (x − x ) l

rico

(3.13)

l

Indien de loodrechte afstand gegeven door 3.8 kleiner is dan de vooropgestelde marge, tellen we de intensiteit bij de reeds door de luisteraar waargenomen geluidsintensiteit, rekening houdend met de afname van de energie als gevolg van reflectie (cf. supra). Opmerking Wanneer we de verschillende situaties beschouwen waarbij het gediffracteerde geluid uitvalt, is het mogelijk dat het snijpunt van de loodlijn uit het punt van de luisteraar met de geluidsstraal buiten de geometrie van de ruimte valt. In dit geval moeten we niet de loodrechte afstand in rekening brengen, maar de afstand van de luisteraar tot het snijpunt van de geluidsstraal met de ondergrond. Dit ziet u op figuur 3.6.

23


Figuur 3.6: Afstand van luisteraar tot gediffracteerde en gereflecteerde geluidsstraal

We doorlopen de hierboven beschreven procedure voor de verschillende diffractiepunten en verschillende luisteraars binnen de doorsnede en berekenen dit voor de verschillende frequenties. Het frequentiedomein waarbinnen we de berekeningen uitvoeren wordt uiteraard bepaald door de Lipmann en Wirgin voorwaarden [8], [9] en [10].

24

Hoofdstuk 4

Simulaties voordrachtszaal In dit hoofdstuk worden de resultaten beschreven van de numerieke simulaties van een voordrachtszaal ontworpen door Alvar Aalto. We voeren deze gevalstudie uit om het fenomeen van diffractie te ontrafelen en meer concrete toepassingsgebieden van diffractie te achterhalen.

4.1

Simulatie basisgeval

Met het basisgeval bedoelen we de ruimte zoals die ontworpen is door Aalto. Hierbij dient nog opgemerkt te worden dat we enkel het indirecte geluid beschouwen bij het uitvoeren van de simulaties. Dit wil zeggen dat enkel de golven die worden be¨ınvloed door het diffractiefenomeen en de luisteraars dus op een indirecte manier bereiken in rekening worden gebracht. De waarden voor de intensiteit van het directe geluid zijn voor alle bestudeerde gevallen gelijk en worden niet meegeteld. Er dient dus omzichtig omgesprongen te worden met de resultaten omdat ze geen uitspraak doen over de werkelijk optredende geluidsintensiteiten in een ruimte, ze geven echter wel uitsluitsel over de mogelijkheden van diffractie. Alvar Aalto was een meester in het ontwerpen van plastische vormen. De discussiezaal in de bibliotheek van Vipurii is vanuit het oogpunt van de akoestiek bijzonder interessant. Aalto heeft hier een tweedimensionaal periodiek gegolfd oppervlak ontworpen vanuit de idee dat de akoestiek voor zowel zender als ontvanger overal in de ruimte akoestisch evenwaardig moet zijn. Figuur 4.1 is een authentieke schets van Aalto, waarop hij de akoestische levendigheid van de ruimte bewijst met behulp van de stralentrekmethode.

Figuur 4.1: Doorsnede met akoestisch diagram voor een discussie (schets Aalto)

Het nut van de ribbels wordt door sommige architectuurcritici in vraag gesteld. Om de efficiëntie ervan na te gaan, zullen we de simulaties voor een vlak en een geribbeld plafond vergelijken. We

25

Hoofdstuk 4. Simulaties voordrachtszaal

benaderen het plafond door een sinuso¨ıdaal oppervlak. Deze functie kan eenvoudig numeriek gesimuleerd worden (zie integralen 2.34 en 2.35) en sluit goed aan bij de reële vorm. We zullen in dit hoofdstuk ook simulaties uitvoeren met andere periodiek ruwe oppervlakken en andere geometrische en materiaalparameters om na te gaan wat de invloed hiervan is op de akoestiek. Volgende parameters karakteriseren de geometrie van de ruimte: Lengte zaal (D): 32,00 m Hoogte zaal (H): 4,20 m Lengte corrugatieperiode (Λ): 2,25 m Hoogte corrugatieperiode (h): 0,50 m

De periode van de ribbel zoals die is toegepast in de discussiezaal, bedraagt 2,25 m. De diffractietheorie kan enkel toegepast worden in het frequentiegebied waarbinnen de Lipmann voorwaarden [8] gelden. De bovengrens van het frequentie-interval hebben we bepaald aan de hand van de Wirgin voorwaarden [9], [10] en wordt gegeven door de voorwaarden 4.1.

λ > 1.53348h v f< λ

(4.1)

Deze voorwaarden geven ons een waarde van de bovengrens van 447 Hz. Wanneer we simulaties uitvoeren voor hogere frequenties levert dit voornamelijk afwijkende resultaten op binnen de ribbel. Aangezien wij de intensiteiten berekenen op een grote afstand van het gegolfde plafond, kunnen we ons frequentiedomein gerust uitbreiden tot 800 Hz zonder dat onze resultaten noemenswaardig zullen afwijken van de realiteit. Deze bewering wordt gestaafd door vroegere studies waarbij de theorie is gebruikt in het ultrasoon frequentiegebied voor niet-destructief onderzoek [communicatie met N. F. Declercq]. Indien we dus simuleren met een grote corrugatieperiode en -hoogte, zoals hier het geval is, zal het enkel mogelijk zijn om conclusies te trekken voor het laagfrequente gebied.

4.1.1

Excentrisch opgestelde bron

Een eerste simulatie levert een intensiteitenverdeling op die terug te vinden is in figuur 4.2. De figuur is een weergave van de geluidsintensiteiten in dB als functie van de frequentie en de afstand gemeten op de X-as. De oorsprong van het assenstelsel bevindt zich in de linker bovenhoek van de figuur. De x-coördinaat van de bron bedraagt 1,00 m: de bron is opgesteld in de nabijheid van één van de wanden. De waarnemingsposities van de luisteraars bevinden zich op 1,20 m hoogte, de bron bevindt zich op 1,70 m hoogte. We nemen aan dat een geluidsstraal door een luisteraar wordt gedetecteerd indien de afstand bepaald door uitdrukking 3.8 kleiner is dan een marge van 0,30 m. Het geluidsintensiteitsniveau

26


LI wordt berekend met behulp van formule 4.2 en wordt uitgedrukt in dB. Hierbij is I evenredig met het kwadraat van de amplitude van de geluidsdruk p. LI = 10 log

I I0

(4.2)

Aangezien de som van alle door de bron uitgezonden amplitudes gelijk wordt gesteld aan de eenheid, bedraagt de geluidsintensiteit bij de bron 0 dB en worden de bekomen intensiteiten ge¨ınterpreteerd als relatieve verzwakking ten opzichte van het uitgezonden signaal. In figuur 4.2 worden de reflecties op de wanden zowel voor als na de interactie van de geluidsstralen met het plafond in rekening gebracht. De absorptiecoëfficiënten α voor houten wanden en loodrecht invallend geluid worden per octaafband weergegeven in tabel 4.1. We beschouwen het horizontale vlak waarin de luisteraars zich bevinden als een absorberend oppervlak omwille van de absorberende eigenschappen van kledij en zitjes. Op dit vlak vinden dus geen reflecties plaats. Tabel 4.1: Absorptiecoëfficiënten hout per octaafband

octaafband [Hz]

125

250

500

1000

2000

4000

αhout

0,02

0,02

0,03

0,03

0,04

0,05

Wat betreft andere materiaalkarakteristieken werden volgende waarden aangenomen: ρlucht = 1.1466 kg/m3 , vlucht = 343 m/s, ρhout = 700 kg/m3 , vl,hout = 3600 m/s (longitudinale golfsnelheid) en vs,hout = 2000 m/s (transversale golfsnelheid). We zullen trachten de verschillende fenomenen die optreden (reflecties, diffractie, defasering . . . ) te onderscheiden om zo de akoestiek van de ruimte beter te begrijpen.

27


Figuur 4.2: Intensiteitsverdeling voordrachtszaal, hierbij werden alle reflecties in rekening gebracht

Op figuur 4.2 zien we verticale blauwe banden die ontstaan vanaf een afstand van ongeveer 10 m van de bron. Dit wijst op een uitermate sterke verzwakking van het geluid (tot -90 dB). De verticale banden worden verklaard door het zogeheten ‘phase canceling’ fenomeen. Dit interferentiefenomeen wordt veroorzaakt door twee golven met gelijke frequentie en amplitude die echter in het observatiepunt een nagenoeg tegengestelde fase hebben. Het kan bijvoorbeeld gaan om een knooppunt in een staande golf, zoals hier het geval is. Reflecties op de wand kunnen namelijk interfereren met de golven die ontstaan door diffractie aan het plafond vermits diffractie ook teruggekaatste golven kan opwekken, die zich bijgevolg in tegengestelde richting voortplanten. De afstand tussen de knopen is een constante waarde die gelijk is aan de halve golflengte van de interfererende golven. De knopen die we waarnemen op figuur 4.2 zijn volledig te wijten aan de reflecties op de zijwanden die het staande golf fenomeen mogelijk maken. Het fenomeen treedt op bij frequenties waarvoor de lengte van de ruimte een veelvoud is van de halve golflengte en ontplooit zich ten volle op voldoende grote afstand van de bron. Op figuur 4.3 werden geen reflecties op de zijwanden meegeteld en nemen we bijgevolg nauwelijks knopen waar. Vervolgens zien we op figuur 4.2 een verticale bijna continue strook van -50 à -55 dB in het frequentiegebied tot ongeveer 80 Hz. We kunnen ook opmerken dat de hoogste intensiteiten voorkomen in het gebied dichtst bij de bron, maar dat ook daar het geluid al sterk verstrooid is. We vergelijken nu figuur 4.2 met figuur 4.3, waarop de intensiteiten berekend werden voor dezelfde ruimte, maar waarbij de reflecties op de zijwanden niet in rekening werden gebracht.

28


Figuur 4.3: Intensiteitsverdeling voordrachtszaal, waarbij de reflecties op de zijwanden buiten beschouwing zijn gelaten

Om een goede vergelijking te kunnen maken tussen beide figuren is het belangrijk om eerst het fenomeen van de overgangsfrequentie toe te lichten. De overgangsfrequentie voor een bepaalde orde is de frequentie waarbij het geluid overgaat van evanescent (aan het oppervlak klevend) naar propagerend geluid. Evanescente golven verschillen van oppervlaktegolven door het feit dat eerstgenoemde een verwaarloosbare energie bezitten. De voorwaarde waaraan moet voldaan zijn om een overgang te hebben van evanescente golven (puur imaginaire kz ) naar propagerende bulkgolven (puur reële kz ), is dat kzm = 0. Voor alle van de nulde orde verschillende ordes wordt de overgangsfrequentie beschreven door uitdrukking 4.3. fovergang = |

mv | Λ (±1 + sin (θinc ))

(4.3)

Hierin is m de orde, v de snelheid (in dit geval geluidssnelheid in lucht), Λ de corrugatieperiode en θinc de invalshoek. Deze laatste verklaart waarom de overgangsfrequentie afhangt van het diffractiepunt op het plafond. In grafiek 4.4 is het verloop van de reflectiecoëfficiënten te zien van de -1ste, 0de en +1ste orde voor een invalshoek van 60°. Met reflectiecoëfficiënten bedoelen we hier de verhouding van de amplitude van de op het plafond gereflecteerde geluidsstraal tot die van het invallend geluid.

29


Figuur 4.4: Verloop van de reflectiecoëfficiënten van verschillende ordes voor geluid dat invalt onder een hoek van 60°, de overgangsfrequentie van de -1ste orde is in stippellijn aangegeven

Vooraleer de overgangsfrequentie van een bepaalde orde bereikt wordt, kunnen de golven van die orde een amplitude hoger dan 1 hebben, dus groter dan 0 dB. Dit fenomeen druist niet in tegen de wet van behoud van energie aangezien het hier gaat om evanescente golven, waarvan de energie geconcentreerd zit in een kleiner deel van de ruimte dan bij gewone vlakke golven. Voorbij de overgangsfrequentie van de min eerste orde heeft de nulde orde minder energie dan de min eerste. De nulde orde, die normaal gezien de meeste energie bezit, draagt een deel van haar energie over naar de min eerste orde. De overgangsfrequentie van de positieve eerste orde bedraagt 1137 Hz. Deze orde is op figuur 4.4 dus overal evanescent. Beschouwen we nu opnieuw figuur 4.2 en figuur 4.3. Uit figuur 4.3 kunnen we afleiden dat het phase canceling fenomeen (cf. supra) zich minder uitgesproken voordoet als er geen reflecties mogelijk zijn op de zijwanden. Twee banden zijn echter wel expliciet aanwezig: namelijk rond 100 Hz en tussen 700 en 800 Hz. De band rond 100 Hz vindt zijn oorsprong in het ruimtelijk verloop van de overgangsfrequentie van de min eerste orde. De tweede band zou eventueel kunnen veroorzaakt worden door onvolmaaktheden van het numerieke model in de buurt van de bovengrens voor het gebied waarbinnen de Lipmann voorwaarden [8] gelden. Het gebied v´ o´ or 80 Hz is net als in figuur 4.2 duidelijk verschillend wat betreft de verdeling van de intensiteiten dan het gebied na 80 Hz. Dit verschijnsel is eveneens te wijten aan de overgangsfrequentie. Het gebied vertoont een meer continu verloop van de intensiteiten dan het gebied voorbij 80 Hz. We kunnen tenslotte nog een waaiervormig patroon onderscheiden dat zowel te zien is op de figuur

30


met als de figuur zonder reflecties. Figuur 4.5 laat het ruimtelijk verloop van de overgangsfrequenties zien voor de drie eerste positieve en de drie eerste negatieve ordes.

Figuur 4.5: Verloop van de overgangsfrequentie voor de eerste drie positieve en negatieve ordes

We kunnen de overgangsfrequentie voor elke orde eenvoudig uitzetten in functie van de xcoördinaat. Hiertoe berekenen we telkens de invalshoek van het geluid in functie van de positie van de bron en het beschouwde diffractiepunt. We zien dat het ruimtelijk verloop van deze overgangsfrequentie het optreden van het waaiervormig patroon kan verklaren. Er is namelijk een ruimtelijke interactie tussen de ordes die op de figuur een horizontaal verloop kennen wat betreft hun overgangsfrequentie (m = +1, -2, +2) en de ordes met een verticaal verloop (m = -1, -3, +3). De hogere ordes werden wel berekend maar voor de overzichtelijkheid weggelaten in de figuur. De min eerste orde is de orde die samen met de nulde orde en de eerste orde de meeste energie meedraagt. Het is dan ook niet toevallig dat bij de overgangsfrequentie voor deze orde het gedrag van de geluidsgolven zeer sterk wordt be¨ınvloed. We zien dat het geluid zich beneden deze frequentie gedraagt net alsof het interageert met een vlak plafond (zie figuur 4.7). Immers, beneden deze frequentie zijn alle van de nulde orde verschillende golven evanescent en gedraagt het geluid zich alsof enkel de nulde orde aanwezig is, wat neerkomt op reflectie volgens de wet van Snell. In figuur 4.6 wordt de intensiteitenverdeling weergegeven voor de discussiezaal waarbij telkens slechts één orde wordt geplot.

31


Figuur 4.6: Intensiteitsverdeling voor het basisgeval waarbij afzonderlijk de min eerste orde (links), de nulde orde (midden) en de eerste orde (rechts) worden bekeken

Het is duidelijk dat de min eerste orde beneden haar overgangsfrequentie geen geluid afstraalt naar de luisteraars. De nulde orde vertoont het verloop van een vlak plafond beneden deze overgangsfrequentie. De geluidsintensiteiten van golven van de eerste orde zijn vooral belangrijk in het gebied waar de overgangsfrequentie van deze orde zich bevindt. Buiten dit gebied zijn de waarden van de intensiteiten van de eerste orde verwaarloosbaar. Op figuur 4.7 zien we de geluidsintensiteit voor een vlak plafond, waarbij de reflecties op de ondergrond en de wanden buiten beschouwing worden gelaten.

Figuur 4.7: Intensiteitsverdeling in een ruimte met een vlak plafond, hierbij werden de reflecties op de zijwanden buiten beschouwing gelaten

We herkennen onmiddellijk het verloop van de intensiteit die optreedt beneden 80 Hz in figuur 4.3. Verder zien we een intensiteitsverloop dat over het algemeen hogere waarden aanneemt dan in het geval van een geribbeld plafond. Het verloop is voor alle frequenties gelijk: voor elke frequentie wordt de wet van Snell toegepast die stelt dat de invalshoek gelijk is aan de

32


uitvalshoek wanneer een golf weerkaatst op een vlak oppervlak. Op figuur 4.8 worden de intensiteiten weergegeven voor een vlak plafond, waarbij we wel rekening houden met de reflecties op de zijwanden.

Figuur 4.8: Intensiteitsverdeling in een ruimte met een vlak plafond rekening houdend met de reflecties

Vanaf een afstand van ongeveer 26 m kunnen we opnieuw de verticale banden met lage intensiteit onderscheiden. Deze verticale banden zijn analoog aan de banden op figuur 4.2. We zien dat ze op regelmatige afstanden optreden. De onregelmatigheden in figuur 4.2 zijn dus volledig toe te schrijven aan het diffractiefenomeen. In het gebied vóór 26 m zien we een langzame en gelijkmatige toename van de intensiteit die eveneens te wijten is aan de ruimtelijke en tijdsinteractie tussen gereflecteerde golven. Uit voorgaande simulaties kunnen we besluiten dat het geluid ruimtelijk verstrooid wordt als gevolg van diffractie. De bekomen resultaten tonen echter ook aan dat de geluidsintensiteiten erg worden afgezwakt. Verzwakking kan dus een nadelige bijkomstigheid zijn van een gegolfd plafond wanneer men enkel verstrooiing beoogt. We kunnen zelfs besluiten dat een geribbeld plafond beter wordt toegepast als men bewust geluidsdemping wil realiseren. We moeten wel rekening houden met het feit dat de simulaties enkel uitsluitsel geven over een bepaald frequentiegebied. Wat betreft de voordrachtszaal werd het gebied tot 800 Hz beschouwd. De optredende demping gebeurt vermoedelijk vooral binnen dit domein omwille van de karakteristieken van de gekozen ribbel. Dit werpt licht op mogelijke toepassingen waarbij we bijvoorbeeld een ander frequentiegebied wensen te be¨ınvloeden met behulp van een diffractierooster. Er is nog een belangrijk aspect dat we niet uit het oog mogen verliezen en dat niet uit de

33


grafieken kan worden afgeleid. Reflecties bereiken de toeschouwer pas na relatief lange tijd door hun lange afgelegde weg. Proeven wijzen uit dat het geluid afkomstig van een reflectie die meer dan 50 ms vertraagd is ten opzichte van het directe geluid en even luid is als dit directe geluid door het menselijke oor als een storende echo wordt ervaren. Indien enkel diffractie optreedt, doet dit fenomeen zich niet voor doordat het geluid onmiddellijk wordt verstrooid.

4.1.2

Centraal opgestelde bron

We kunnen ons nu de vraag stellen of geribbelde plafonds beter scoren op het vlak van achterwaartse verstrooiing dan vlakke plafonds, want in een discussiezaal kan de mogelijkheid tot het achterwaarts verspreiden van het geluid een belangrijke kwaliteit zijn. Om dit te onderzoeken voeren we simulaties uit waarbij we de positie van de bron vastleggen op x = 16 m, dus halverwege de ruimte. Figuur 4.9 geeft de geluidsintensiteiten weer, waargenomen door de luisteraars, in het geval van een bron die zich in het midden van de discussieruimte bevindt. Deze bron is gericht naar de wand met vergelijking x = 0 en stuurt enkel geluidsgolven uit in deze richting. Op die manier is het mogelijk het effect van achterwaartse diffractie te onderzoeken.

Figuur 4.9: Intensiteitsverdeling voordrachtszaal met een centrale bron die in één richting spreekt

In het frequentiegebied beneden 80 Hz zien we de invloed van het vlak plafond terugkomen. In het gebied rond de bron worden de intensiteiten logischerwijze het minst verzwakt. De invloed van de bron is hoofdzakelijk te merken tot een afstand van 20 m ten opzichte van de oorsprong, wat neerkomt op een achterwaartse verstrooiing van het geluid over een viertal meter. We zien eveneens een uitwaaiering van de intensiteiten.

34


Op figuur 4.10 worden de intensiteiten afgebeeld voor hetzelfde geval als figuur 4.9, met als verschil dat de reflecties op de zijwanden nu buiten beschouwing worden gelaten. Aangezien de bron een uitgesproken gerichtheid heeft naar één van de wanden, kan achterwaartse verstrooiing enkel het gevolg zijn van diffractie aan het plafond.

Figuur 4.10: Intensiteitsverdeling voordrachtszaal met een centraal opgestelde bron, de reflecties op de zijwanden zijn buiten beschouwing gelaten

Figuur 4.11 toont hetzelfde als figuur 4.10, maar voor een vlak plafond. We zien duidelijk het verschil tussen een vlak en een gegolfd plafond. Bij afwezigheid van reflecties is het geribbelde plafond in staat een belangrijk aandeel van de energie achterwaarts te verstrooien, bij een vlak plafond wordt het geluid slechts in voorwaartse richting gestuurd. Bij een geribbeld plafond zien we echter wel dat de achterwaartse verstrooiing ten koste gaat van de intensiteiten in voorwaartse richting. Dit kan evenwel gecompenseerd worden door aanwezigheid van direct geluid in deze richting.

35


Figuur 4.11: Intensiteitsverdeling in een ruimte met een vlak plafond en centraal opgestelde bron (de reflecties op de zijwanden zijn buiten beschouwing gelaten)

Figuur 4.12: Intensiteitsverdeling in een ruimte met een vlak plafond en een centraal opgestelde bron (de reflecties op de zijwanden werden in rekening gebracht)

Figuur 4.12 geeft de intensiteiten weer voor een vlak plafond met reflecties op de zijwanden. Als gevolg van deze reflecties komt het geluid ook achter de spreker terecht. De stroken worden verklaard door het phase canceling fenomeen.

36


Algemeen kunnen we besluiten dat in een ruimte waar de bron zich op een redelijke afstand van de wanden bevindt, het toepassen van een geribbeld plafond enkel interessant is als er geen reflecties op de zijwanden mogelijk zijn. In dat geval scoort een geribbeld plafond beter dan een vlak plafond dankzij het optreden van achterwaartse verstrooiing. Bij aanwezigheid van reflecterende vlakken zal de geluidsintensiteit automatisch verspreid worden over de ruimte.

4.2

Onderzoek verscheidene parameters

We kunnen ons afvragen wat de invloed is van het wijzigen van de vorm van de ribbel of de verhouding tussen de periode Λ en de hoogte ervan. Het onderzoek naar de invloed van deze en andere parameters volgt hieronder.

4.2.1

Materiaalkeuze

We nemen onderstaande waarden aan voor de dichtheid (ρ) en snelheid (longitudinale geluidssnelheid vl en transversale geluidssnelheid vs ) in lucht en vaste stoffen. Tabel 4.2: Overzicht gebruikte materiaalkarakteristieken

materiaal lucht hout beton staal

ρ (kg/m3 )

vl (m/s)

vs (m/s)

1.1466 700 2400 7890

343 3600 3100 5790

2000 2000 3100

Om de invloed van de materiaalkarakteristieken na te gaan voeren we de simulaties achtereenvolgens uit voor hout, beton en staal. We kunnen besluiten dat er geen significant verschil bestaat tussen de waarden voor de bekomen intensiteiten in de drie gevallen: zie figuur 4.13.

Figuur 4.13: Intensiteitsverdeling in een ruimte met een gecorrugeerd plafond, waarbij het materiaal van het plafond hout (links), beton (midden) of staal (rechts) is

4.2.2

Invloed periode en hoogte

We onderzoeken de invloed van het variëren van de periode en de hoogte van de ribbel op de intensiteiten in de ruimte. Hiertoe worden 2 reeksen simulaties uitgevoerd. Ten eerste wordt de

37


hoogte van de ribbel gevarieerd, terwijl we de periode constant houden. Vervolgens variëren we de periode voor een constante hoogte. Wat betreft het variëren van de hoogte bekijken we drie interessante gevallen: ribbel met periode 225 cm en hoogte 50 cm (basisgeval) ribbel met periode 225 cm en hoogte 35 cm ribbel met periode 225 cm en hoogte 75 cm (maximaal toelaatbare hoogte volgens Wirgin)

De resultaten van de simulaties worden weergegeven in figuur 4.14.

Figuur 4.14: Intensiteitsverdeling in een ruimte met een gecorrugeerd plafond, met periode en hoogte resp. 225 cm en 50 cm (links), 225 cm en 35 cm (midden) en 225 cm en 75 cm (rechts)

Door het toekennen van voorgaande waarden aan de parameters tasten we de grenzen van het toepassingsgebied van de diffractietheorie af. Anderzijds kunnen we gegronde conclusies trekken dankzij de grote spreiding. De ribbel met hoogte 35 cm benadert beter het vlak plafond dan het basisgeval. Logischerwijze zou er met deze ribbel minder demping moeten optreden. Op analoge wijze zou de ribbel met hoogte 75 cm meer demping moeten veroorzaken dan het basisgeval. De resultaten van de simulaties bevestigen voorgaande hypotheses. De ribbel met hoogte 35 cm realiseert gemiddeld 2,37 dB minder demping dan het basisgeval. De ribbel met hoogte 75 cm realiseert gemiddeld 2,43 dB meer demping dan het basisgeval. Deze waarden liggen enerzijds aan de lage kant, anderzijds beantwoorden ze aan de verwachtingen en zijn ze dus wel significant. Bij het variëren van de periode onderzoeken we de drie onderstaande gevallen. De overgangsfrequentie bepaalt steeds welk aandeel aan intensiteiten overeenstemt met de intensiteiten voor een vlak plafond (cf. supra). ribbel met periode 225 cm en hoogte 50 cm (basisgeval) en overgangsfrequentie 80 Hz ribbel met periode 150 cm en hoogte 50 cm (ideale periode-hoogte verhouding volgens Wirgin) en overgangsfrequentie 120 Hz ribbel met periode 180 cm en hoogte 50 cm en overgangsfrequentie 100 Hz

38


De resultaten van de simulaties worden in figuur 4.15 weergegeven.

Figuur 4.15: Intensiteitsverdeling in een ruimte met een gecorrugeerd plafond, met periode en hoogte resp. 225 cm en 50 cm (links), 150 cm en 50 cm (midden) en 180 cm en 50 cm (rechts)

De ribbel met periode 150 cm realiseert de meeste verzwakking wegens haar ideale periodehoogte verhouding (gemiddeld 2,34 dB meer dan het basisgeval). Het basisgeval realiseert de minste verzwakking omdat deze relatief de laagste hoogte heeft (cf. supra). De ribbel met periode 150 cm wordt het meeste be¨ınvloed door het vlak plafond omdat ze gekenmerkt wordt door de hoogste overgangsfrequentie. We kunnen besluiten dat er twee factoren een rol spelen inzake de invloed van de periode en de hoogte op de verzwakking van het geluid. Enerzijds be¨ınvloedt de periode het frequentiedomein waarin de verzwakking het sterkste is. Anderzijds kan men door de hoogte te variëren de sterkte van de verzwakking enigszins be¨ınvloeden. Bijgevolg kan er in principe voor een opgelegde verzwakking binnen een bepaald domein een ideale ribbel opgesteld worden.

4.2.3

Invloed corrugatievorm

Om de invloed van de vorm van de ribbel na te gaan, hebben we simulaties uitgevoerd met een zaagtand, een sinus en een geribbelde staalplaat. De periode Λ = 23 cm en de hoogte h = 9 cm van de ribbel zijn bepaald door de afmetingen van de steeldeck. Dit zijn afmetingen die standaard in de bouwpraktijk terug te vinden zijn. Uit figuur 4.16 kunnen we afleiden dat de corrugatievorm nauwelijks een invloed heeft op de resultaten van diffractie.

Figuur 4.16: Intensiteitsverdeling in een ruimte met een gecorrugeerd plafond, waarbij de corrugatievorm een zaagtand (links), een sinus (midden) en een steeldeck (rechts) is

39


4.2.4

Invloed geometrie ruimte

Bij onze simulaties stellen we steeds een bepaalde hoogte en breedte van de ruimte voorop. Het is interessant om na te gaan wat de invloed is van de hoogte en de breedte van de ruimte op het diffractiefenomeen. Beschouwen we eerst de ruimte zoals Aalto die ontworpen heeft. We voeren een tweede simulatie uit waarbij we de hoogte laten toenemen tot 9 m. In een derde simulatie beschouwen we de invloed van een toegenomen breedte van de ruimte, stel D = 45 m. Op figuur 4.17 ziet u nogmaals de intensiteiten voor het basisgeval zonder reflecties, figuur 4.18 geeft de intensiteiten weer voor hetzelfde geval, maar waarbij de hoogte is toegenomen tot 9 m.

Figuur 4.17: Intensiteitsverdeling voordrachtszaal, reflecties niet in rekening gebracht

40


Figuur 4.18: Intensiteitsverdeling in een ruimte met een hoogte van 9 m

Een logisch gevolg van een toegenomen hoogte is dat ook de verzwakking toeneemt, aangezien de amplitude daalt met de afgelegde weg. Bij het vergelijken van beide figuren valt op dat het waargenomen patroon sterk veranderd is. Beneden de overgangsfrequentie van de min eerste orde hebben we nog steeds de gelijkenis met het vlak plafond. Op figuur 4.18 merken we banden op met een heel grote verzwakking afgewisseld met banden met een minder sterke verzwakking. In een eerste oogopslag is het patroon niet terug te vinden op figuur 4.17. Zoomen we in deze figuur in op het gebied tussen 0 en 10 m dan merken we echter wel veel gelijkenissen op (zie figuur 4.19). Dit fenomeen is te verklaren door het feit dat de interacties tussen verschillende golffronten worden be¨ınvloed door de verhoudingen van de lengte en hoogte van een ruimte en de plaats waar men deze interacties beschouwt.

41


Figuur 4.19: Intensiteitsverdeling tussen 0 en 10 m in de ruimte ontworpen door Aalto

Wanneer we de breedte van de ruimte laten toenemen dan nemen we een intensiteitsverdeling waar zoals weergegeven in figuur 4.20.

42


Figuur 4.20: Intensiteitsverdeling in een ruimte met een breedte van 45 m

Het diffractiepatroon is onveranderd gebleven, we kunnen wel opmerken dat naarmate de afstand toeneemt tot de bron, de verzwakking meer toeneemt. Dit wordt enkel en alleen veroorzaakt door het feit dat de amplitude daalt met een toegenomen afgelegde weg.

4.3

Besluit

We kunnen algemeen besluiten dat diffractie binnen rechthoekige ruimtes zorgt voor een afzwakking van het geluid. Deze filterwerking werd reeds door N. F. Declercq [1], [2] en C. Dekeyser [2] aangetoond, namelijk voor diffractie in open lucht. Aangezien het diffractiefenomeen vooral invloed heeft op frequenties gerelateerd aan de karakteristieken van het gekozen oppervlak, is het interessant mogelijke praktische toepassingen van diffractie te exploreren, waarbij de parameters geoptimaliseerd worden naargelang het gewenste resultaat. In het volgende hoofdstuk wordt hier uitvoerig op ingegaan.

43

Hoofdstuk 5

Bouwkundige toepassingen In hoofdstuk 4 hebben we de mogelijkheden van diffractie onderzocht aan de hand van een gevalstudie van een discussiezaal. De besluiten uit dat hoofdstuk laten ons nu toe om concrete toepassingen van diffractie te formuleren.

5.1

Probleemstelling

In dit hoofdstuk zullen we een verband proberen aan te tonen tussen de eigenschappen van een bepaalde ribbel en het frequentiedomein waarbinnen deze ribbel haar impact kan laten gelden dankzij diffractie. In welbepaalde ruimtes kan het interessant zijn om piekgeluiden binnen een bepaald frequentiedomein te dempen. In zwembaden, sportzalen of kindercrèches bijvoorbeeld, zijn vaak groepen kinderen aanwezig die door hun geschreeuw piekintensiteiten tussen 90 en 120 dB kunnen teweegbrengen [11]. Ook het lawaai in industriële productieomgevingen kan gekenmerkt worden door hoge geluidsniveaus. Het is dus een interessante denkpiste om het plafond van een ruimte zodanig vorm te geven, dat het de piekintensiteiten kan dempen en een aanvulling kan zijn op de bestaande maatregelen genomen ter verbetering van de akoestische kwaliteit van de ruimte. We zullen in het licht hiervan een geval uitwerken, waarbij we specifiek de geluiden binnen het frequentiedomein 3000-4000 Hz willen dempen. Dit domein kan zowel betrekking hebben op het geschreeuw van kinderen in een zwembad als op het storende geluid van een machine.

5.2

Optimalisatie ruwheid

Uit het vorige hoofdstuk hebben we geconcludeerd dat door het toepassen van het principe van evanescente golven we bepaalde frequenties meer kunnen dempen dan andere. We moeten de periode en hoogte van de ruwheid zodanig kiezen dat de overgangsfrequentie van de min eerste orde vóór het frequentiegebied 3000-4000 Hz ligt. Net na die overgangsfrequentie heeft de nulde orde immers minder energie dan de min eerste orde, de plus eerste orde daarentegen is nog volledig evanescent. Als gevolg hiervan worden de geluidsintensiteiten lokaal sterk verzwakt.

44

Hoofdstuk 5. Bouwkundige toepassingen

Een andere mogelijkheid bestaat erin te werken met de overgangsfrequentie van de positieve eerste orde. In Bijlage A wordt uitvoerig beschreven hoe men in dit geval een verzwakking probeert te realiseren. Indien we werken met de positieve eerste orde, dan zijn de Wirgin voorwaarden niet langer voldaan en worden onze simulaties numeriek inconsistent. Het werken met de overgangsfrequentie van de min eerste orde geniet dus de voorkeur, de simulaties die volgen, zijn dan ook enkel gebaseerd op deze methode. Indien we een ribbel met hoogte h = 0,03 m en een periode Λ = 0,09 m kiezen, bekomen we een dip in de intensiteiten voor de gewenste orde en het gewenste frequentiegebied. Op figuur 5.1 zijn de reflectiecoëfficiënten (hier: gereflecteerde amplitude / invallende amplitude) te zien van de nulde, de min eerste en de plus eerste orde voor de verschillende frequenties. We voeren de simulaties uit voor frequenties tot 5000 Hz: binnen dit beschouwde frequentiedomein is steeds aan de Lipmann voorwaarden [8] voldaan. De overgangsfrequentie van de min eerste orde is op de figuur aangegeven door een stippellijn. Uiteraard is hier de reflectiecoëfficiënt slechts uitgezet voor een welbepaalde invalshoek. We kunnen uit voorgaande simulaties reeds voorspellen welke gemiddelde invalshoek we mogen aannemen om de karakteristieken van een geometrie te voorspellen. Hier bedraagt die invalshoek 60°.

Figuur 5.1: Reflectiecoëfficiënten van de -1e, 0de, +1e orde en overgangsfrequentie van de -1e orde

5.2.1

Excentrisch opgestelde bron

Op figuur 5.2 worden de geluidsintensiteiten weergegeven voor een ruimte met volgende karakteristieken:

45


Lengte zaal (D): 32,00 m Hoogte zaal (H): 9,00 m Bron op 1,00 m van de oorsprong van het X, Z-assenstelsel

Figuur 5.2: Intensiteitsverdeling veroorzaakt door een gecorrugeerd sinuso¨ıdaal plafond (hierbij werden geen reflecties in rekening gebracht)

We bekijken figuur 5.1 samen met figuur 5.2. Uit beide figuren valt duidelijk af te leiden dat de min eerste orde verantwoordelijk is voor een enorme lokale verzwakking van de geluidsintensiteit vanaf 2000 Hz. Vanaf deze frequentie is de nulde orde immers ondergeschikt aan de min eerste orde. In het gebied rond 4000 Hz heeft de nulde orde plaatselijk meer energie dan de min eerste orde (zie figuur 5.1). Als gevolg hiervan zien we op figuur 5.2 een rode band rond deze frequentie. Het diffractiefenomeen heeft een zekere afstand nodig vooraleer het ten volle tot ontplooiing komt. Dit is vergelijkbaar met het fenomeen van ‘near field’ en ‘far field’ in het geluidsveld veroorzaakt door luidsprekers. Vanaf een afstand van circa 4 m van de geluidsbron worden in het beoogde frequentiedomein de intensiteiten gemiddeld 20 dB meer verzwakt dan voor andere frequenties. Om de invloed van de verschillende ordes op de totale intensiteiten te onderzoeken, maken we een afzonderlijke intensiteitenplot per orde (zie figuur 5.3). We beschouwen hier enkel de nulde en de min eerste orde, aangezien de overgangsfrequentie van de eerste orde pas bij 28 446 Hz ligt. Vóór haar overgangsfrequentie bezit de plus eerste orde geen energie en heeft een plot van deze afzonderlijke orde geen zin.

46


Figuur 5.3: Intensiteitsverdeling waarbij afzonderlijk de min eerste orde (links) en de nulde orde (rechts) worden bekeken

Wanneer we de intensiteiten bekijken die door iedere orde afzonderlijk veroorzaakt worden, dan zien we dat de nulde orde vanaf 2000 Hz heel lage intensiteiten vertoont. Het is dan ook het verlies aan energie van de nulde orde dat de grootste oorzaak is van de lagere intensiteiten in figuur 5.2. We kunnen nu figuur 5.2 vergelijken met figuur 5.4. Op figuur 5.4 ziet u de intensiteitenverdeling voor dezelfde ruimte als figuur 5.2, maar nu worden de reflecties op de zijwanden en de ondergrond meegerekend. We veronderstellen dat deze oppervlakken nagenoeg perfect reflecterend zijn.

47


Figuur 5.4: Intensiteitenverdeling veroorzaakt door een gecorrugeerd sinuso¨ıdaal plafond (hierbij werden de reflecties zowel voor als na diffractie in rekening gebracht)

Op figuur 5.4 zien we een duidelijk patroon van knopen en buiken in het gebied vóór de overgangsfrequentie. Vanaf de overgangsfrequentie nemen we een gelijkmatiger patroon waar dan bij afwezigheid van reflecties. Bovendien blijft de vooropgestelde verzwakking gehandhaafd. Om een inschatting te maken van de dempende eigenschappen van een gecorrugeerd plafond, vergelijken we de resultaten met een referentiesituatie. Als referentiesituatie definiëren we een ruimte met een vlak, absorberend plafond, dat dezelfde absorberende eigenschappen heeft als baffles uit steenwolplaat (zie tabel D.1 in Bijlage D). De intensiteiten voor de referentiesituatie worden weergegeven in figuur 5.5. Hierbij werd ook rekening gehouden met de reflecties op de ondergrond en de zijwanden.

48


Figuur 5.5: Intensiteitsverdeling referentiesituatie (plafond met absorberende eigenschappen), reflecties inbegrepen

Wanneer we figuren 5.4 en 5.5 met elkaar vergelijken, merken we dat de gemiddelde verzwakking bij het vlakke absorberende plafond ongeveer 65-70 dB bedraagt. Het gecorrugeerde oppervlak realiseert een gemiddelde verzwakking van ongeveer 75 dB in het frequentiegebied 3000-4000 Hz. In het gebied voorafgaand aan de overgangsfrequentie zien we afwisselend gebieden met een verzwakking van 55 dB en 70 dB. We willen nu het effect van beide plafonds op het totale geluidsveld in de ruimte inschatten. Hiertoe berekenen we het verschil in intensiteit tussen beide gevallen, gesommeerd over alle frequenties. Indien we de resultaten uitzetten in functie van de afstand tot de oorsprong van het X, Z-assenstelsel, bekomen we volgende figuur.

49


Figuur 5.6: Waargenomen intensiteit bij ribbel 0,09-0,03 vergeleken met intensiteit bij referentiesituatie voor volledig frequentiedomein in functie van de afstand (excentrisch opgestelde bron)

Vergelijken we nu beide plafonds in het gebied 3000-4000 Hz, dan bekomen we figuur 5.7.

Figuur 5.7: Waargenomen intensiteit bij ribbel 0,09-0,03 vergeleken met intensiteit bij referentiesituatie voor het gebied 3000-4000 Hz in functie van de afstand (excentrisch opgestelde bron)

50


Uit figuur 5.6 kunnen we besluiten dat het geribbelde plafond even goed scoort als het absorberende plafond, wanneer we het volledig frequentiedomein beschouwen. Uit figuur 5.7 leiden we af dat de waargenomen intensiteiten bij de referentiesituatie gemiddeld 2,26 maal hoger liggen dan de intensiteiten bij het geribbelde plafond. In het beoogde frequentie-interval presteert het plafond met geoptimaliseerde ribbel dus tweemaal beter qua geluidsdemping dan het onderzochte akoestische plafond.

5.2.2

Centraal opgestelde bron

In tweede instantie bekijken we het geval waarbij de bron zich in het midden van de ruimte bevindt. De intensiteitenverdeling voor dergelijke opstelling is weergegeven op figuur 5.8. Hier werden de reflecties op zijwanden en ondergrond verwaarloosd.

Figuur 5.8: Intensiteitenverdeling in een ruimte met centraal opgestelde bron, de reflecties werden verwaarloosd

Op figuur 5.8 zien we dat het beoogde frequentiegebied ook hier pas vanaf een welbepaalde afstand van de bron ten volle wordt be¨ınvloed. Dicht bij de bron (met x-coördinaat 16 m) is de verzwakking minder optimaal. De gemiddelde verzwakking ten opzichte van figuur 5.2 is minder goed. Op figuur 5.9 zien we de intensiteitenverdeling voor een ruimte met een centraal opgestelde bron indien we rekening houden met alle reflecties voor en na diffractie. Om de akoestische prestaties van een gecorrugeerd plafond correct in te schatten is het belangrijk om ook nu de vergelijking

51


met de referentiesituatie te maken. Hiertoe vergelijken we figuur 5.9 met figuur 5.10. Op deze laatste figuur is de intensiteitenverdeling weergegeven voor de referentiesituatie maar dan nu met een centraal opgestelde bron, en met inbegrip van alle reflecties.

Figuur 5.9: Intensiteitsverdeling gegolfd plafond, bron centraal opgesteld, reflecties inbegrepen

52


Figuur 5.10: Intensiteitsverdeling referentiesituatie, bron centraal opgesteld, reflecties inbegrepen

Laten we met behulp van Excel de vergelijking maken tussen de intensiteiten voor het gecorrugeerde plafond en de intensiteiten voor de referentiesituatie. Figuren 5.11 en 5.12 geven de resulaten weer voor het volledig frequentiedomein en het interval 3000-4000 Hz.

53


Figuur 5.11: Waargenomen intensiteit bij ribbel 0,09-0,03 vergeleken met intensiteit bij referentiesituatie voor volledig frequentiedomein in functie van de afstand (centraal opgestelde bron)

Figuur 5.12: Waargenomen intensiteit bij ribbel 0,09-0,03 vergeleken met intensiteit bij referentiesituatie voor het gebied 3000-4000 Hz in functie van de afstand (centraal opgestelde bron)

Uit voorgaande figuren kunnen we concluderen dat de referentiesituatie en het gecorrugeerde plafond even goed presteren, wanneer we het volledig frequentiedomein beschouwen. Indien we enkel het gebied tussen 3000 en 4000 Hz bekijken, merken we dat het gecorrugeerde plafond de

54


intensiteiten gemiddeld 2,18 keer beter afzwakt. Om een volledig beeld te geven van de mogelijkheden van diffractie simuleerden we nog het geval waarbij enkel de reflecties op de ondergrond in rekening werden gebracht. De resultaten van deze simulatie zijn weergegeven in figuur 5.13. Dit geval zou kunnen verwijzen naar een zwembad waarvan de wanden relatief goede absorberende eigenschappen bezitten (begroeiing, absorberende panelen, geribbelde wanden met andere corrugatieperiode, enzovoort).

Figuur 5.13: Intensiteitsverdeling in een ruimte met gegolfd plafond met een centraal opgestelde bron, waarbij enkel de reflecties op de ondergrond in rekening zijn gebracht

Het geluidsveld op figuur 5.13 vertoont een meer uitgesproken patroon van knopen en buiken dan het geluidsveld op figuur 5.9. We hebben hier immers te maken met een zuivere combinatie van twee evenwijdige vlakken, waarbij het ene nagenoeg perfect reflecterend is en het andere een periodieke ruwheid vertoont. De gewenste verzwakking treedt ook hier op.

5.2.3

Besluit

We vergelijken de intensiteiten voor de centraal opgestelde bron met het geval waarbij de bron in een uithoek van de ruimte wordt gepositioneerd. Voor beide gevallen krijgen we vergelijkbare resultaten, wanneer we het globale waargenomen geluidsveld beschouwen en een gemiddelde nemen over alle luisterposities. In beide gevallen is een geribbeld plafond in staat een even grote verzwakking te realiseren als een akoestisch plafond wanneer we het volledig frequentiedomein bekijken. In het gebied voorafgaand aan de overgangsfrequentie scoort het geribbeld plafond minder goed, vanaf de overgangsfrequentie is het geribbeld plafond in staat de intensiteiten

55


te halveren ten opzichte van het akoestisch plafond. De verschillen tussen beide locaties van de bron situeren zich vooral in de spreiding van de intensiteiten naargelang de afstand tot de geluidsbron en de frequentie. Samengevat stelt een geribbeld plafond ons in staat geluid binnen een gekozen frequentiedomein weg te filteren. De onderzochte ribbel slaagt erin het aandeel aan hoogfrequent geluid in het totale geluidsspectrum te verkleinen. Intu¨ıtief besluiten we dat het resulterende geluidsklimaat zachter en aangenamer is. Het is immers zo dat hoge frequenties voor het menselijk oor hard en pijnlijk overkomen. Men kan de simulaties herhalen voor een andere corrugatieperiode om zo een ander frequentiedomein te be¨ınvloeden. Indien men erin slaagt de geluidsintensiteiten voldoende te verzwakken in het frequentiegebied waarbinnen men demping beoogt, dan is dat op zich een mooi resultaat. Het is echter steeds aangewezen te onderzoeken wat de invloed van de filterwerking is op het globale geluidsklimaat. Wanneer we bijvoorbeeld laagfrequent geluid wegfilteren, heeft dit een andere invloed op de klankkleur dan wanneer we hoogfrequent geluid dempen (cf. supra). Verder experimenteel onderzoek omtrent de perceptie van dergelijke gemanipuleerde geluidsspectra is dus aangewezen.

5.3

Hypotheses omtrent verder onderzoek

In de eerste plaats is er verder onderzoek nodig naar de impact van diffractie op bepaalde akoestische parameters van een ruimte, zoals de spraakverstaanbaarheid, de helderheid van het geluid, de nagalmtijd, de klankkleur, enzovoort. Het zou ook interessant zijn verder onderzoek te verrichten naar de uitbreiding van de praktische toepassingdomeinen van diffractie. We denken dan bijvoorbeeld aan landschapskantoren, waarbij nieuwe ontwikkelingen in de verwarmings- en koeltechniek zich manifesteren. Een voorbeeld hiervan is betonkernactivering. Betonkernactivering is een principe dat gebruik maakt van de thermische traagheid van een betonoppervlak om via watervoerende leidingen die in het beton zijn verwerkt te koelen of te verwarmen. Het is logisch dat dergelijk betonnen oppervlak zeer goed het geluid reflecteert, met een oncomfortabele ruimteakoestiek als gevolg. We zouden kunnen concluderen dat er een mogelijke ribbel kan gekozen worden, die bovendien op eenvoudige wijze kan gerealiseerd worden door een aangepaste bekisting voor het beton. Het probleem hier is echter dat het frequentiegebied waarin we impact willen hebben het gehele gebied van de menselijke spraak beslaat (27-4000 Hz). Het is bijgevolg onmogelijk een ribbel te ontwerpen die voor dit ganse gebied ideaal is. Er zal dus nog een groot aandeel van het geluid moeten gedempt worden op de klassieke manier. Anderzijds blijft het ontwerpen van een plafond dat een periodieke ruwheid vertoont wel een mogelijke denkpiste omdat dergelijk oppervlak een grotere warmte- of koudeafgifte kan realiseren dan een vlak plafond. We hebben zelf reeds een poging ondernomen tot het verzwakken van de intensiteiten in een

56


breed frequentiespectrum door een onregelmatige zaagtand als corrugatievorm toe te passen. Simulaties leverden echter numeriek inconsistente resultaten op (zie Bijlage C). Het verder uitspitten van dit probleem valt buiten de ‘scope’ van onze thesis. Toch vermoeden we dat onregelmatige corrugatievormen een uitweg bieden voor het probleem. Het is ook mogelijk dat oppervlakken bestaande uit ribbels zowel in de X- als de Y-richting of grote ribbels samengesteld uit kleinere ribbels, in staat zijn een uitgestrekt frequentiespectrum te be¨ınvloeden. Het simulatieprogramma dat ontwikkeld werd voor deze thesis voorziet niet in de mogelijkheid te werken met dergelijke complexe gevallen. Verder onderzoek hieromtrent is dus aangewezen. Anderzijds kan het interessant zijn om te zoeken naar een optimum tussen een aangebrachte hoeveelheid absorberend materiaal en een geribbeld plafond. Diffractie bezit immers de eigenschap geluidsstralen te richten in de ruimte. Het is dus mogelijk deze stralen te manipuleren om ze in de richting van absorberende vlakken te sturen. Op die manier kunnen de aanwezige absorberende vlakken veel meer stralen verzwakken, wat de algemene akoestiek van de ruimte ten goede komt. Diffractie kan de werking van de absorberende panelen optimaliseren, waardoor er dus minder panelen nodig zullen zijn.

57

Hoofdstuk 6

Besluit Het simulatieprogramma dat ontwikkeld werd in het kader van dit eindwerk stelde ons in staat twee belangrijke wetmatigheden van diffractie aan het plafond van een rechthoekige ruimte te onthullen. In eerste instantie bleek dat een geribbeld plafond een ideale diffusor is. Er werd ook aangetoond dat de ruimtelijke spreiding van het geluid gepaard gaat met een niet te verwaarlozen verzwakking ervan. Deze verzwakking manifesteert zich vooral in het gebied waarbinnen de ribbel optimaal werkt. Ten tweede konden we bewijzen dat indien men erin slaagt een ribbel te optimaliseren voor een gewenst frequentiegebied, men in dit gebied meer demping mag verwachten dan met de klassieke methodes (baffles, sommige akoestische plafonds). Ons onderzoek bracht ook andere fenomenen aan het licht. We hopen uiteraard dat dit slechts een aanzet mag zijn tot het ontwikkelen van verdere praktische toepassingen van diffractie, maar ook tot de (experimentele) studie van de perceptie van het geluid in ruimtes waar diffractie optreedt.

58

Bijlage A

Overgangsfrequentie eerste orde In hoofdstuk 5 hebben we de periode Λ en de hoogte h van de corrugatie bepaald via de overgangsfrequentie van de min eerste orde. Door de overgangsfrequentie van deze orde goed te kiezen, kunnen we een dip in de intensiteiten teweegbrengen in het frequentiegebied dat we zelf vooropstellen. We onderzoeken nu of we analoog een lokale verzwakking in de intensiteiten kunnen creëren met behulp van de overgangsfrequentie van de positieve eerste orde. We stellen voorop dat we in het frequentiegebied 3000-4000 Hz de intensiteiten het meest willen verzwakken. Met behulp van de formule 4.3 voor de overgangsfrequentie van de +1ste orde kunnen we de periode bepalen: Λ wordt dan 85 cm. De hoogte die met deze periode overeenstemt, wordt bekomen door de Rayleigh en Wirgin voorwaarden. Dit levert een hoogte h = 29 cm op. Het toepassen van deze voorwaarden legt echter ook beperkingen op aan de geldigheid van onze simulatie. Op basis van de uitdrukkingen weergegeven door 4.1 kunnen we de bovengrens van het frequentie-interval bepalen. Deze uitdrukkingen worden hier ter informatie opnieuw weergegeven.

λ > 1.53348h v f< λ De simulaties zijn volledig correct tot 773 Hz. We zouden een analoge redenering kunnen opbouwen als bij de simulatie van de voordrachtszaal van Alvar Aalto. Indien we de grenzen van de geldigheid van de diffractietheorie overschrijden dan treden de onnauwkeurigheden vooral op in de ribbels. Vermits we hier het geluid waarnemen op een voldoende grote afstand van het plafond, kunnen we veronderstellen dat de resultaten wel voor een groter interval geldig zijn. Aangezien de overgangsfrequentie van de +1ste orde 3000 Hz bedraagt, moeten we het frequentiedomein minimaal tot 4000 Hz uitbreiden om de simulaties te kunnen interpreteren. Indien we het frequentiedomein zo sterk uitbreiden, bestaat de kans echter dat er ook op grote afstand van de corrugatie numerieke onjuistheden in onze simulaties sluipen.

59

Bijlage A. Overgangsfrequentie eerste orde

Figuur A.1: Intensiteitenverdeling in een ruimte met een sinuso¨ıdaal gecorrugeerd plafond, zonder reflecties

Figuur A.2: Reflectiecoëfficiënten van de -1ste, 0de en +1ste orde voor een ribbel met Λ = 0,85 m en h = 0,29 m

60

Bijlage A. Overgangsfrequentie eerste orde

Op figuur A.1 wordt de intensiteitenverdeling weergegeven. Onze vermoedens omtrent de numerieke incorrectheden zijn terecht. Voorbij de overgangsfrequentie van de +1ste orde nemen we intensiteiten waar die rond 0 dB schommelen. Wanneer we figuur A.1 samen bekijken met figuur A.2, zien we op beide figuren plaatsen waar intensiteiten groter dan 0 dB worden waargenomen. Dit impliceert dat door diffractie energie wordt bijgemaakt, wat niet kan volgens de wet van behoud van energie. We kunnen dus besluiten dat om een lokaal sterke verzwakking van de intensiteiten teweeg te brengen, we met de overgangsfrequentie van de min eerste orde moeten werken. De overgangsfrequentie van de positieve eerste orde gebruiken is immers geen mogelijkheid omdat voor deze frequentie de Wirgin voorwaarden niet langer voldaan zijn, en de simulaties numeriek inconsistent worden.

61

Bijlage B

Geribbelde staalplaat We bekomen volgende uitdrukkingen voor een geribbelde staalplaat wanneer we de integralen 2.21 en 2.22 uitwerken. 2 i inc i inc inc k h a exp Λ −4ηaπ + 2kz Λα + kz Λh /π − 1 / I 2 z 8 2i h inc inc inc h −4ηaπ + 2kz Λα + kz Λh + inc Λexp −ikz − α / (b − a) b + kz 2 2 i inc inc 2 (−b + a) exp − bΛ −4πηb + 4ηaπ + kz Λh − 2kz Λα / (−b + a) /π 8 i inc inc 2 − exp − aΛ −4πηb + 4ηaπ + kz Λh − 2kz Λα / (−b + a) /π / 8 h 2i inc inc inc γ− / (c − b) c + γ −4πηb + 4ηaπ + kz Λh − 2kz Λα + inc Λexp −ikz kz 2 i inc inc 2 (−c + b) −exp − bΛ −4πηc + 4πηb + 2kz Λγ − kz Λh / (−c + b) /π 8 i inc inc 2 + exp − aΛ −4πηc + 4πηb + 2kz Λγ − kz Λh / (−c + b) /π / 8 2i h h inc inc inc 4πηc − 4πηb − 2kz Λγ + kz Λh + inc Λexp −ikz − − γ / (Λ − c) Λ − kz 2 2 i (Λ − c) exp − bΛ 4πηΛ − 4πηc + kzinc Λh + 2kzinc Λγ / (Λ − c) /π 2 8 i inc inc 2 − exp − aΛ 4πηΛ − 4πηc + kz Λh + 2kz Λγ / (Λ − c) /π / 8 4πηΛ − 4πηc + kzinc Λh + 2kzinc Λγ inc,η

2i = − inc Λexp kz

62

(B.1)

Bijlage B. Geribbelde staalplaat

m,ξ,η

2i

ikzm,ξ

h h − − − γ / (Λ − c) Λ − (Λ − c) 2 2

= m,ξ Λexp k z i m,ξ m,ξ 2 exp − bΛ −4πmΛ + 4πmc + 4πηΛ − 4πηc + kz Λh + 2kz Λγ / (Λ − c) /π 8 i m,ξ m,ξ 2 − exp − aΛ −4πmΛ + 4πmc + 4πηΛ − 4πηc + kz Λh + 2kz Λγ / (Λ − c) /π / 8 −4πmΛ + 4πmc + 4πηΛ − 4πηc + kzm,ξ Λh + 2kzm,ξ Λγ 2i h m,ξ + m,ξ Λexp ikz − γ− / (c − b) c + γ (−c + b) 2 kz i m,ξ m,ξ 2 −exp − bΛ 4πmc − 4πmb − 4πηc + 4πηb + 2kz Λγ − kz Λh / (−c + b) /π 8 i + exp − aΛ 4πmc − 4πmb − 4πηc + 4πηb + 2kzm,ξ Λγ − kzm,ξ Λh / (−c + b) /π 2 / 8 (B.2) m,ξ m,ξ −4πmc + 4πmb + 4πηc − 4πηb − 2kz Λγ + kz Λh 2i h h m,ξ − m,ξ Λexp ikz − − α / (b − a) b + (−b + a) 2 2 kz i m,ξ m,ξ 2 −exp − bΛ 4πmb − 4aπm − 4πηb + 4ηaπ + kz Λh − 2kz Λα / (−b + a) /π 8 i m,ξ m,ξ 2 + exp − aΛ 4πmb − 4aπm − 4πηb + 4ηaπ + kz Λh − 2kz Λα / (−b + a) /π / 8 2i i m,ξ m,ξ m,ξ 4πmb − 4aπm − 4πηb + 4ηaπ + kz Λh − 2kz Λα + m,ξ Λexp k h a 2 z kz 1 exp − Λ −4iaπm + 4iaπη − 2kzm,ξ Λα − kzm,ξ Λh /π 2 − 1 / 8 4iaπm − 4iaπη + 2kzm,ξ Λα + kzm,ξ Λh

I

63

Bijlage C

Onregelmatige zaagtand Bij het onderzoek naar de invloed van verschillende corrugatievormen hebben we ook een onregelmatige zaagtand (zie figuur C.1) onderzocht. Deze corrugatievorm zou heel interessant kunnen zijn, omdat door de verschillende hoogtes van deze zaagtand, verschillende frequentiegebieden zouden kunnen be¨ınvloed worden. Dit zou zijn toepassing kunnen vinden in een landschapskantoor aangezien hier demping over een groot frequentiedomein noodzakelijk is.

Figuur C.1: Schematische voorstelling van een onregelmatige zaagtand

Om de intensiteiten te kunnen berekenen, moeten we opnieuw de integralen 2.21 en 2.22 uitrekenen. De berekening van deze integralen levert een analoge uitdrukking op als de berekening van de steeldeck (zie uitdrukking B.1 en B.2).

64

Bijlage C. Onregelmatige zaagtand

We kiezen een ribbel waarvoor de overgangsfrequentie van de -1ste orde 2000 Hz bedraagt. Een onregelmatige zaagtand met periode Λ = 0,09 m en hoogte h = 0,03 m beantwoordt aan deze eis. Verder veronderstellen we onderstaande karakteristieken, met het oog op verzwakking van het geluid in een breed frequentiespectrum. a = 0,015 m b = 0,03 m c = 0,06 m α = -0,05 m γ = -0,025 m Op figuur C.2 zijn de reflectiecoëfficiënten van de eerste, nulde en min eerste orde afgebeeld.

Figuur C.2: Reflectiecoëfficiënten onregelmatige zaagtand (-1ste, 0de en +1ste orde, voor een invalshoek van 60°)

Het verloop van de verschillende ordes is heel grillig, maar toch zien we enkele gelijkenissen met figuur 4.4, waarop de reflectiecoëfficiënten van de sinus met periode Λ = 2,25 m en hoogte h = 0,50 m werden afgebeeld. Figuur C.2 vertoont inderdaad ook een dip rond de beoogde frequentie, nl. 2000 Hz. Op de plaats waar de nulde orde minder energie heeft, neemt de min eerste orde een deel van die energie over. Op figuur 4.4 zagen we dat de min eerste orde voorbij haar overgangsfrequentie overwegend meer energie bezat dan de nulde orde. Figuur C.2 toont

65

Bijlage C. Onregelmatige zaagtand

dat de min eerste orde slechts sporadisch meer energie bezit dan de nulde. Uit de vergelijking van deze twee figuren kunnen we nog geen uitspraak doen over de numerieke consistentie van onze simulatie. Daarom gaan we over tot het berekenen van de intensiteiten in een ruimte met lengte D = 32,00 m en hoogte H = 9,00 m. Berekenen we de intensiteiten voor deze onregelmatige zaagtand, dan verwachten we dat de intensiteitenplot een analoog verloop heeft als reeds eerder gemaakte figuren waarbij het oppervlak een sinus of regelmatige zaagtand was. In het frequentiegebied voorafgaand aan de overgangsfrequentie van de min eerste orde moet het geribbeld plafond zich gedragen als een vlak plafond, aangezien beneden deze overgangsfrequentie alle van nul verschillende ordes evanescent zijn en dus geen energie bezitten. De nulde orde bezit in dit gebied alle energie. Hier geldt de wet van Snell met m = 0. Een tweede element waarop we kunnen letten om de numerieke consistentie na te gaan, is dat er rond de overgangsfrequentie van de min eerste orde lokaal een grotere verzwakking plaatsvindt.

Figuur C.3: Intensiteitenverdeling veroorzaakt door een plafond met als corrugatie een onregelmatige zaagtand, hierbij werden geen reflecties in rekening gebracht

Wanneer we figuur C.3 bekijken, vinden we geen enkele gelijkenis met reeds eerder gemaakte intensiteitenplots voor sinus en zaagtand. We kunnen dus besluiten dat de uitdrukking van de integraal voor de onregelmatige zaagtand numerieke onjuistheden oplevert.

66

Bijlage D

Absorptieco¨ effici¨ enten Tabel D.1 geeft de absorptiecoëfficiënten per octaafband weer voor verschillende absorberende materialen, voor loodrecht invallend geluid. De absorptiecoëfficiënten voor baffles worden gegeven voor 1 baffle per m2 plafondoppervlak, tenzij anders vermeld in de tabel. Tabel D.1: Absorptiecoëfficiënten voor absorberende materialen per octaafband

octaafband [Hz]

125

250

500

1000

2000

4000

Acoustiglass 3 1200x600x50mm Acoustiglass 4 1200x600x50mm Isoleco® hygiënische baffle Acour balvast sportplafond 200mm Merford screenline 1200x600x40mm Merford soundstone 1200x600x40mm Rockfon 50 1200x300x50mm rij-afstand 200mm Steenwolplaat 60 kg/m3 rij-afstand 600mm

0,20 0,20 0,10 0,50 0,20 0,20

0,30 0,30 0,45 0,75 0,30 0,29

0,59 0,57 0,70 0,85 0,60 0,58

0,74 0,75 0,80 0,95 0,75 0,72

0,61 0,62 0,70 0,98 0,65 0,62

0,59 0,59 0,60 0,90 0,60 0,59

0,14

0,34

0,60

0,81

0,77

0,74

0,37

0,47

0,83

0,79

0,71

0,59

De waarden voor baffles uit steenwolplaat zijn representatief voor de absorptiecoëfficiënten in deze tabel.

67

Bijlage E

Invloedsgebied ribbel De idee die we in hoofdstuk 5 omschreven hebben om met een oppervlakteruwheid in een specifiek gebied verzwakkingen te veroorzaken, kan ook worden toegepast op andere frequentiespectra. We illustreren deze stelling ahv onderstaande voorbeelden. De periode wordt bepaald door de overgangsfrequentie van de min eerste orde. De hoogte volgt uit de toepassing van de formules van Rayleigh [7] en Wirgin [9], [10]. Stellen we een verzwakking voorop tussen 450 en 800 Hz, dan moeten de periode Λ = 43 cm en hoogte h = 14 cm bedragen. De intensiteitenverdeling is terug te vinden in figuur E.1.

Figuur E.1: Intensiteitsverdeling in ruimte veroorzaakt door een gecorrugeerd plafond met periode 43 cm en hoogte 14 cm

68

Bijlage E. Invloedsgebied ribbel

Willen we een verzwakking teweegbrengen in het gebied 500-1000 Hz, dan wordt de periode Λ = 33 cm en de hoogte h = 11 cm. De intensiteitenverdeling is terug te vinden in figuur E.2.


Met een ribbel met periode Λ = 6 cm en een hoogte h = 2 cm bekomen we een verzwakking in het frequentiegebied vanaf 3000 Hz. Figuur E.3 geeft deze intensiteitenverdeling weer.

69

Bijlage E. Invloedsgebied ribbel


70

Bibliografie [1] N. F. Declercq. The interaction of complex harmonic elastic waves with periodically corrugated surfaces and with anisotropic viscoelastic and/or piezoelectric layered media, 2004. [2] N. F. Declercq and Dekeyser C. Acoustic diffraction effects at the Hellenistic amphitheater of Epidaurus: Seat rows responsible for the marvelous acoustics. J. Acoust. Soc. Am.,, 121:2011 – 2022, 2007. [3] J.-M. Claeys and O. Leroy. Diffraction of plane waves by periodic surfaces. Revue du Cethedec, 72:183 – 193, 1982. [4] K. Fleig. The complete works of Alvar Aalto part 1 (1922-1962). Les Editions d’Architecture Artemis, Zurich, 1990. [5] W. Nerdinger. Alvar Aalto. Toward a Human Modernism. Prestel Verlag, M¨ unchen, Londen, New York, 1999. [6] P. Reed. Alvar Aalto. Between Humanism and Materialism. Harry N. Abrams, Inc., New York, 1998. [7] Lord Rayleigh. Theory of Sound. Dover, New York, 1945. [8] A. Lipmann. Note on the theory of gratings. J. Opt. Soc. Am., 43:408, 1953. [9] A. Wirgin. Reflection from a corrugated surface. J. Acoust. Soc. Am., 68:692 – 699, 1980. [10] A. Wirgin. New theoretical approach to scattering from a periodic interface. Opt. Commun., 27:189 – 194, 1978. [11] Website European Agency for Safety and Health at Work. http://osha.europa.eu/OSHA/, geraadpleegd op 28 april 2007. [12] H. W. Marsh. In defense of Rayleighs scattering from corrugated surfaces. J. Acoust. Soc. Am., 35:1835 – 1836, 1963.

71

Akoestische filterwerking van periodiek ruwe plafonds

Recommend Documents