AGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. KOMBINATORIKA FELADATSOR 1 1. Hányféleképpen rendezhető egy sorba egy óvodás csoport, ha 9 lány és 6 fiú van, és a lányokat mindig előre akarjuk állítani? 2. Hány 6-jegyű telefonszám van ahol mind 35-tel kezdődik? 3. A magyar kártyából visszatevés nélkül kihúzunk három lapot. Hány különböző megoldás lehet úgy, hogy mindhárom piros legyen? Oldja meg visszatevéses esetre is a problémát! 4. A síkban 16 db általános helyzetű pont hány egyenest határoz meg? 5. Ha egymás után feldobunk 4 dobókockát, és lejegyezzük a dobott pontszámokat az egyes dobások után, akkor hányféle dobássorozat lehetséges? FELADATSOR 2 6. Négy színből hányféle kétszínű, vízszintes csíkozású zászló készíthető? Ugyanezekkel a színekkel mennyivel több zászló készíthető, ha megengedett az egyszínű zászló is? 7. Egy pénzérmét 12.szer feldobunk, 10-szer fej és 2-szer írás adódik. Hányféleképpen lehetséges ez? Hányféleképpen valósulhat ez meg, ha az első és utolsó dobás fej? Hány olyan dobássorozat létezik, ahol a két középső dobás fej? 8. Hány, legfeljebb 5 elemű jel állítható össze a MORSE-ABC-ben? (A jelek pontokból és vonalakból állnak.) 9. Hány új rendszámtábla készíthető 25 betű és 10 számjegy felhasználásával, ha a rendszám 3 betűből, majd azt követően 3 számjegyből áll? Mekkora lenne ez a szám, ha a rendszám 2 betűből, majd 3 számjegyből állna? 10. A buszjegy kezelő automata a jegyet 9 pontban lyukaszthatja ki. Hányféle érvényesítés lehetséges, ha legalább 3 és legfeljebb 5 helyen lyukaszt? FELADATSOR 3 1. A binomiális tétel alapján fejtsük ki az alábbi hatványokat!
x y
2
x 3y
8
2 5
6
1 3x 4 1 3x 4
2x 2. Egyszerűsítse a következő kifejezést!
n 3 ! n 1 ! n 2 ! (n 1)!
1
AGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. 3. Egy 35 fős csoportban 7 különböző könyvet sorsolnak ki. Hányféleképpen történhet a könyvek szétosztása, ha egy tanuló csak egy könyvet kaphat? egy tanuló több könyvet is kaphat? 4. Hány 5-tel osztható négyjegyű szám képezhető a 0, 1, 3, 5 számjegyek felhasználásával, ha minden számjegy csak egyszer szerepelhet? 5. A lottón az 1, 2, 3, ... , 90 számok közül kihúznak ötöt. A kihúzás sorrendje nem számít. Tekintsük a lehetséges számötösöket. Hány számötösben fordul elő a 7-es és 13-as? VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS FELADATSOR 4 1. 20 db-ból álló borsómintából, melyek között 3 hibás van, kiveszünk 4-et visszatevéses mintavétellel. Mi a valószínűsége annak, hogy a kivett 4 szem között 0,1,2,3 hibás van? 2. 100 munkadarabból, melyek közül 10 selejtes, egymás után kiveszünk kettőt visszatevés nélkül. Mi a valószínűsége annak, hogy elsőre selejteset, másodikra meg jót veszünk ki. Oldja meg a feladatot azzal a feltétellel is, hogy a húzás visszatevéssel történik. 3. Dobjunk fel három szabályos kockát egymástól függetlenül. Mi a valószínűsége annak, hogy az így kapott pontok összege 10? 4. Öt cédulára rendre felírjuk a 0, 2, 4, 6, 8 számjegyeket, majd egy urnába téve hármat kihúzunk közülük, és ezeket a kihúzás sorrendjében egymás mellé tesszük. Mi a valószínűsége annak, hogy a kapott szám a) osztható 9-cel? b) osztható 18-cal? 5. Dobjunk fel két szabályos dobókockát egymástól függetlenül. Mi annak a valószínűsége, hogy az így kapott számok összege 9-nél kisebb lesz? FELADATSOR 5 1. Dobjunk fel három szabályos dobókockát egymástól függetlenül. Mi a valószínűsége annak, hogy a dobott számok mindegyike prímszám lesz? 2. 15 fiút és 15 lányt sorshúzás útján azonos létszámú csoportba osztunk. Mi a valószínűsége annak, hogy az egyik csoportba 5 fiú és 10 lány kerül?
2
AGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. 3. Egy csomag magyar kártyából kihúzunk egymás után öt lapot úgy, hogy a lapokat a húzások után tesszük vissza. Mi a valószínűsége annak, hogy a kihúzott öt lap közül három piros? 4. Visszatevés nélkül kihúzunk a 32 lapos magyar kártyacsomagból visszatevés nélkül véletlenszerűen 3-at. Mi annak a valószínűsége, hogy a) nem lesz köztük király, b) király, ász, király sorrendben húzzuk ki őket? 5. Egy raktárban 12 láda áruból 10 ládában első-, a többiben II. osztályú termék van. 4 ládát véletlenszerűen kiválasztva (visszatevés nélkül), mi a valószínűsége annak, hogy a) nincs köztük másodosztályú terméket tartalmazó láda, b) van köztük II. osztályú terméket tartalmazó láda? VEGYES FELADATOK FELADATSOR 6 1. Négy dobozba kilenc golyót helyezünk el. Hányféleképpen történhet ez, ha a golyók között nem teszünk különbséget? 2. Egy kör alakú asztal mellett tízen vacsoráznak. Mennyi annak a valószínűsége, hogy két nő nem kerül egymás mellé, ha az asztalnál 5 férfi és 5 nő van? 3. Legyen P( A) 14 , PA B 1 4 , PB A 1 2 . Számítsa ki a P A B -t! 4. Két tétel árunk van, az első tételben 14 darab termék, a másodikban 15. Mindkét tételben 1-1 hibás darab van. Véletlenszerűen átrakunk egy darab az első tételből a másodikba, majd a másodikból kiveszünk véletlenszerűen egyet. Mi a valószínűsége annak, hogy ez utóbbi hibás termék volt? 5. Három sportlövész célba lő, az elsőnél a telitalálat valószínűsége 0,01; a másodiknál 0,3 a harmadiknál 0,2. Mennyi annak a valószínűsége, hogy legalább az egyik nem ér el telitalálatot? FELADATSOR 7 1. Ötféle fagylaltból hányféle háromgombócos adagot lehet készíteni, ha az adagolás sorrendjére nem vagyunk tekintettel és két gombóc azonos is lehet? 2. Egy csomag magyar kártyából kiveszünk 5 lapot, mi a valószínűsége annak, hogy éppen kettő piros lesz közte? 3. Binomiális tétel segítségével hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést: 2 2 x 5 . 4. Az agrármérnök hallgatók 200 hallgatója közül 120 nő és 80 férfi. A női hallgatók 60%-a barna hajú, a férfi hallgatók 50%-a barna hajú. Mi a valószínűsége, hogy egy hallgatót véletlenszerűen kiválasztva az barna hajú lesz?
3
AGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. 5. Egy üzletbe 3 cég szállít kenyeret. Az első a teljes mennyiség 45%-át, a második a 30%-át, a harmadik a 25%-át végzi a beszállításnak. Ezeknek rendre 5%-a, 6%-a és 2%-a súlyhibás. Ha egy vásárolt kenyér súlyhibás, akkor mi a valószínűsége annak, hogy az első üzemben készült? FELADATSOR 8 1. Hány hatjegyű telefonszám készíthető, ahol mind 35-tel kezdődik? 2. 100 alma közül 1 férges. Kiveszünk az almák közül válogatás és visszatevés nélkül 5 darab almát. Mi a valószínűsége annak, hogy az 1 férges közte lesz? 3. A meteorológusok szerint holnap 0,6 valószínűséggel lesz eső és 0,8 valószínűséggel lesz szél. Ha lesz eső akkor 0,4 valószínűséggel szél is lesz. Mi a valószínűsége annak, hogy ha szél lesz eső is lesz? 4. 14 tanuló vizsgázik. Közülük 4 az anyag 10%-át, 7 az 50%-át, a többi a 90%-át sajátította el. Mekkora valószínűséggel megy át a vizsgán egy véletlenszerűen kiválasztott hallgató (feltéve persze, hogy valaki a 100 p% -át tanulta meg az anyagnak, akkor p valószínűséggel megy át a vizsgán). 5. Három fűnyíró egymástól függetlenül 0,2; 0,3 és 0,4 valószínűséggel romlik el. Mi annak a valószínűsége, hogy legalább az egyik jó a három fűnyíró közül?
FELADATSOR 9 1. Egy áruházba 5 láda eper érkezik, amelyek első-, másod- és harmadosztályúnak minősülhetnek. Hányféle minőség szerinti osztályozás lehetséges? 2. Egy urnában 100 golyó van: 40 piros és 60 fekete. Véletlenszerűen kiválasztunk 35 darabot, visszatevés nélkül. Mi a valószínűsége annak, hogy lesz közte piros? 3. A meteorológusok szerint holnap 0,6 valószínűséggel lesz eső és 0,8 valószínűséggel lesz szél. Ha lesz eső akkor 0,4 valószínűséggel szél is lesz. Mi a valószínűsége annak, hogy ha szél lesz eső is lesz? 4. Egy törzs minden tagja az év egy napján leopárdvadászatra megy. A vadászaton egy vadászt 0,27 valószínűséggel támad meg egy leopárd és ekkor 0,36 valószínűséggel meg is öli a leopárd a vadászt. Egyéb veszélyek miatt 0,08 valószínűséggel halhat meg a vadász a vadászaton. Ha egy vadász meghalt a vadászaton, akkor mi a valószínűsége annak, hogy egy leopárd ölte meg? 5. Három lift egymástól függetlenül 0,3; 0,2 és 0,5 valószínűséggel romlik el. Mi annak a valószínűsége, hogy legalább az egyik jó a három fűnyíró közül?
4
AGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2.
FELADATSOR 10 1. Egy társaságban mindenki mindenkivel kezet fogott, pontosan egyszer. Összesen 105 kézfogás volt. Hányan voltak a csoportban? 2. Egy dobozban 25 izzó van, mely közül 5 szálhibás. Véletlenszerűen kiveszünk ötöt egymás után, visszatevéssel. Mennyi annak a valószínűsége, hogy éppen kettő szálhibás lesz közte? 3. Egy üzemben egy terméket három gép gyárt. Az „A” gép a termékek 50%-át, a „B” a 20%-át, a „C” a 30%-át. A selejtarány száma 2%, 3%, 5%. Egy véletlenszerűen kiválasztott termék selejtes. Mi a valószínűsége annak, hogy az „A” gép gyártotta? 4. Ha 10PA B 7 , 2PB A 1 , 45P A B 17 , akkor PB ? 5. Három kockát feldobunk egymás után. Mi a valószínűsége annak, hogy legalább egy hatost dobunk? FELADATSOR 11 1. Egy polcon 15 üveg bor van, amelyből 10 fehér, a többi vörös. Kiválasztunk 6 palackot. Mi a valószínűsége annak, hogy éppen 3 fehér lesz közte? 2. Az 1,2,3,6,7 számokból véletlenszerűen felírunk egy négyjegyű számot. Hány olyan négyjegyű szám van, amelyben legalább egyszer szerepel az egyes? 3. Három légkondicionáló berendezés egymástól függetlenül 0,1; 0,3 és 0,5 valószínűséggel romlik el. Mi annak a valószínűsége, hogy mindhárom jó? 4. Hozza egyszerűbb alakra a következő hatványt a binomiális tétel segítségével: 2 x y 4 ! 5. Egy csoportban 15 fiú és 5 lány van. A fiúk 45%-a szemüveges, a lányok 35%-a visel szemüveget. a) Mi a valószínűsége annak, hogy tetszőlegesen kiválasztva egy személyt a csoportból, az szemüveges lesz? b) Ha tudjuk, ha a kiválasztott személy szemüveget visel, akkor mi a valószínűsége, hogy az illető férfi?
5
