ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

ESTIMASI MODEL REGRESI POISSON MENGGUNAKAN METODE ITERATIVELY REWEIGHTED LEAST SQUARE

SKRIPSI

SANDY FAUZI

PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA 2012

Skripsi

Estimasi Model Regresi Poisson Menggunakan Metode Iteratively Reweighted Least Square

Sandy Fauzi


ESTIMASI MODEL REGRESI POISSON MENGGUNAKAN METODE ITERATIVELY REWEIGHTED LEAST SQUARE

SKRIPSI

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Bidang Matematika Pada Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga

Disetujui oleh :

Pembimbing I,

Toha Saifudin, S.Si, M.Si NIP . 19750106 199903 1 002

Skripsi

Pembimbing II,

Drs. Suliyanto, M.Si NIP. 19650907 199102 1 001


Sandy Fauzi


LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI

Judul Penyusun NIM Tanggal Ujian

: Estimasi Model Regresi Poisson Menggunakan Metode Iteratively Reweighted Least Square : Sandy Fauzi : 080810543 : 8 Agustus 2012

Disetujui oleh :

Pembimbing I,

Pembimbing II,

Toha Saifudin, S.Si, M.Si NIP. 19750106 199903 1 002

Drs. Suliyanto, M.Si NIP. 19650907 199102 1 001

Mengetahui : Ketua Program Studi S-1 Matematika Departemen Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga

Dr. Miswanto, M.Si NIP. 19680204 199303 1 002

Skripsi


Sandy Fauzi


PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI

Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi kepustakaan, tetapi pengutipan harus seizin penyusun dan harus menyebutkan sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen skripsi ini merupakan hak milik Universitas Airlangga.

Skripsi


Sandy Fauzi


KATA PENGANTAR

Puji syukur alhamdulillah senantiasa penulis panjatkan kepada Allah SWT atas berkat, rahmat, taufik, dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Estimasi Model Regresi Poisson Menggunakan Metode Iteratively Reweighted Least Square”. Penyusunan skripsi ini tidak lepas dari bantuan dan dukungan berbagai pihak baik secara material maupun spiritual. Sehingga dalam kesempatan ini, penulis menyampaikan ucapan terima kasih yang tulus kepada : 1.

Kedua orang tua, H. Nanang Suherman dan Hj. Noer Renny yang telah memberikan dukungan, kasih sayang, dan kepercayaan yang begitu besar. Dari sanalah semua kesuksesan ini berawal, semoga senantiasa dapat menuntun ke langkah yang lebih baik.

2.

Anita Noer Heryani, Muhammad Irfan, Ridho Rahmatulloh adik2ku tersayang yang selalu membantu aku. Semoga selalu sukses, tercapai semua doa dan harapanmu.

3.

Toha Saifudin, S.Si. M.Si selaku dosen pembimbing I dan Drs. Suliyanto, M.Si selaku dosen pembimbing II yang senantiasa memberikan nasehat, bimbingan, arahan serta dukungan selama penyusunan skripsi ini.

4.

Drs. Eko Tjahjono, M.Si dan Dra. Inna Kuswandari, M.Si. selaku dosen penguji I dan II, terimakasih atas kritikan, arahan, saran, dan masukan yang sifatnya membangun demi terselesaikannya skripsi ini.

Skripsi


Sandy Fauzi


5.

Dra. Utami Dyah P, M.Si. selaku dosen wali yang telah memberikan banyak nasehat serta bimbingan selama ini.

6.

Dr. Miswanto, M.Si selaku Ketua Departemen Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga.

7.

Seluruh dosen Matematika FST Unair yang telah memberikan ilmu dan pengalaman yang bermanfaat.

8.

Mas Edi, Mas Ony, Mas Aziz, dan Mas Udin terimakasih atas segala macam bantuannya.

9.

Serta rekan-rekan lain yang tidak dapat disebutkan satu persatu. Akhir kata penulis berharap agar skripsi ini bermanfaat bagi semua pembaca.

Surabaya, Agustus 2012 Penyusun

Sandy Fauzi

Skripsi


Sandy Fauzi


Sandy Fauzi, 2012, Estimasi Model Regresi Poisson Menggunakan Metode Iteratively Reweighted Least Square. Skripsi ini di bawah bimbingan Toha Saifudin, S.Si, M.Si. dan Drs. Suliyanto, M.Si. Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Surabaya

ABSTRAK Model regresi Poisson merupakan salah satu model regresi yang termasuk dalam penerapan Generalized Linear Model (GLM) yang tidak mengharuskan asumsi kenormalan dari variabel respon dan juga kehomogenan dari variansinya. Tujuan dari skripsi ini adalah menggunakan teknik iterative yang menghasilkan penaksir kemungkinan maksimum untuk koefisien regresi dalam melalui prosedur dengan pendekatan Iteratively Reweighted Least Square (IRWLS) dan melakukan uji kesesuaian model. Untuk mengestimasi parameter model dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan yang berbentuk : ℓ

=

−

exp

.

= 0 , = 0,1, … ,

Persamaan di atas hanya dapat dinyatakan dalam bentuk implisit sehingga harus diselesaikan dengan menggunakan iterasi numerik. Dalam skripsi ini digunakan iterasi dengan algoritma IRWLS. Data yang digunakan dalam penerapan model regresi Poisson adalah data jumlah penderita DBD di tiap Kabupaten/Kota di provinsi Jawa Timur tahun 2009 sebanyak 28 pengamatan dengan variabel respon adalah jumlah penderita DBD ( ), sedangkan variabel prediktor adalah prosentase rumah tangga yang memiliki limbah sehat ( ), prosentase rumah tangga yang bebas jentik nyamuk Aedes Aegepty ( ), prosentase rumah tangga yang memiliki akses air bersih ( ) dan prosentase rumah tangga yang memiliki rumah sehat ( ). Hasil estimasi menggunakan program yang dibuat dalam software S-Plus 2000 diperoleh bentuk dugaan model sebagai berikut : ( | ) = exp(8.840 − 0.095 − 0.028 − 0.017 − 0.571 ) Hasil uji kesesuaian model regresi Poisson dengan statistik uji deviance diperoleh kesimpulan bahwa dugaan model sesuai dengan model sebenarnya.

Kata Kunci : Regresi Poisson, Generalized Linear Model, Kemungkinan Maksimum, Algoritma IRWLS, Statistik Uji Deviance.

Skripsi


Sandy Fauzi


Sandy Fauzi, 2012, Estimation of Poisson Regression Model Using Iteratively Reweighted Least Square Method. This final project is under the guidance by Toha Saifudin, S.Si, M.Si, and Drs. Suliyanto, M.Si Mathematics Department, Science and Technology Faculty, Airlangga University, Surabaya

ABSTRACT Poisson regression model is a regression model that included the application of the Generalized Linear Model (GLM) which does not require the assumption of normality of the response variables and homogeneity of variance. The purpose of this final project is using an iterative technique that produces the maximum likelihood estimator for the regression coefficient β through the procedure with the approach Iteratively Reweighted Least Square (IRWLS) and testing the goodness of fit for the model. To estimate the model parameters can be obtained by solving the equation of the form: ℓ

=

−

exp

.

= 0 , = 0,1, … ,

Above equation can only be expressed in implicit form that must be solved using numerical iteration. In this final project used IRWLS iteration algorithm. This Poisson regression model can be applied on the data of number of Dengue Hemorrhagic Fever (DHF) patients in each district / city in East Java province in 2009 with 28 observations. The variable response is the number of Dengue Hemorrhagic Fever (DHF) patients (y), whereas the predictor responses are the percentage of households who have health waste (x ), the percentage of households who free from mosquito larva of Aedes Aegepty (x ), the percentage of households who use clean water (x ) and the percentage of households who have healthy haouse (x ). The estimation result using S-Plus 2000 is: ( | ) = exp(8.840 − 0.095

− 0.028

− 0.017

− 0.571

)

The result of the Poisson regression model goodness of fit test with deviance statistic test can be concluded that the expectation model and the real model are fit. Key words : Poisson Regression, Generalized Linear Model, Maximum Likelihood, IRWLS Algorithm, Deviance Statistic Test

Skripsi


Sandy Fauzi


DAFTAR ISI

Halaman LEMBAR JUDUL LEMBAR PERNYATAAN LEMBAR PENGESAHAN LEMBAR PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI KATA PENGANTAR ...................................................................................

i

ABSTRAK …………………………………………………………………. iii ABSTRACT ……………………………………………………...………… iv DAFTAR ISI ..................................................................................................

v

DAFTAR TABEL ……………………………………………………..…… vii DAFTAR LAMPIRAN ………………………………….……………….… viii BAB I

BAB II

Skripsi

PENDAHULUAN 1.1

Latar Belakang ........................................................................ 1

1.2

Rumusan Masalah ................................................................... 3

1.3

Tujuan ..................................................................................... 3

1.4

Manfaat ................................................................................... 4

1.5

Batasan Masalah ...................................................................... 4

TINJAUAN PUSTAKA 2.1

Distribusi Poisson .................................................................. 5

2.2

Model Regresi Poisson …….................................................. 6

2.3

Maximum Likelihood Estimation ……..….…………............ 8

2.4

Metode Least Square.........……............................................. 9

2.5

Metode Newton-Raphson…………………………………... 9

2.6

Uji Kesesuaian Model Regresi Poisson .......……………….. 10

2.7

S-Plus………………….……………………………………. 11


Sandy Fauzi


BAB III METODE PENELITIAN ................................................................ 13

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Estimasi Model Regresi Poisson …..……………..……….

17

4.2 Uji Kesesuaian Model Regresi Poisson.........……………..

26

4.3 Algoritma Estimasi dan Uji Kesesuaian Model Regresi Poisson ……….………………………...…

28

4.3.1 Algoritma Penentuan nilai awal

………..……...…

28

4.3.2 Algoritma Estimasi Model Regresi Poisson .…….…

28

4.3.3 Algoritma Uji Kesesuaian Model Regresi Poisson…... 29 4.4 Penerapan Program pada Data …………….. ……………… 30 4.4.1 Sumber Data …………………………………………. 30 4.4.2 Analisa Data ………………………………………… 31 4.4.3 Uji Kesesuaian Model Regresi Poisson………..........

BAB V

34

KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan …………………………………………...……... 35 5.2 Saran ………………………………………………………… 37

DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 38 LAMPIRAN

Skripsi


Sandy Fauzi


DAFTAR TABEL

Nomor

Skripsi

Judul Tabel

Halaman

4.1

Nilai estimator awal parameter

32

4.2

Nilai estimator parameter

32


Sandy Fauzi


DAFTAR LAMPIRAN

No.

Skripsi

Judul Lampiran

1.

Data Jumlah Penderita DBD di Tiap Kabupaten/Kota di Provinsi Jawa Timur Tahun 2009 beserta Variabel-Variabel Prediktornya

2.

Program Mendapatkan Nilai Awal

3.

Output Program Mendapatkan Nilai Awal

4.

Program Uji Kesesuaian Model Regresi Poisson

5.

Output Program Uji Kesesuaian Model Regresi Poisson

dan Nilai Estimator dan Nilai Estimator


Sandy Fauzi


BAB I PENDAHULUAN

1.1

Latar Belakang Analisis regresi seringkali digunakan untuk mengetahui bentuk hubungan

antara variabel respon dengan satu atau lebih variabel prediktor. Analisis regresi yang umumnya digunakan adalah analisis regresi klasik, dengan variabel responnya merupakan data kontinu yang mengikuti distribusi normal. Namun dalam perkembangannya model regresi klasik ini tidak mampu mengatasi permasalahanpermasalahan seperti variabel respon yang berupa data diskrit dan tidak berdistribusi normal. Solusi untuk mengatasi masalah tersebut adalah dengan menggunakan model linier tergeneralisir atau biasa disebut Generalized Linear Model (GLM). Uji asumsi yang diterapkan pada GLM tidak mengharuskan asumsi kenormalan dari variabel respon dan juga tidak mengharuskan kehomogenan dari variansinya (de Jong dan Heller, 2008). Salah satu model regresi yang termasuk dalam penerapan GLM adalah regresi Poisson seperti dalam regresi ini variabel respon diasumsikan berdistribusi Poisson, dengan fungsi peluangnya adalah ( ; )=

dengan

!

( = 0,1,2, … , )

adalah mean distribusi Poisson. Mean dan variansinya adalah

(1.1) ( )=

( ) = . Baharuddin (2005: 114) menyatakan bahwa metode regresi Poisson

biasanya diterapkan pada penelitian kesehatan masyarakat, biologi, dan teknik

Skripsi


Sandy Fauzi


dimana variabel respon ( ) berupa cacahan objek yang merupakan fungsi dari sejumlah karakteristik tertentu ( ).

Metode ML (Maximum Likelihood) adalah salah satu metode penaksiran

parameter suatu model yang diketahui distribusinya. Sebagaimana diketahui bahwa penaksiran metode parameter melalui metode ML adalah menghitung turunan parsial fungsi kemungkinan terhadap parameter yang akan ditaksir. Berdasarkan persamaan distribusi Poisson maka fungsi kepadatan bersama adalah sebagai berikut (Myers,1991:20): ( ; )=

( ; ) [ ( ; )]

= ( ; )=

{∏

!

[ ( ; )] } ∏ !

[ (

; )]

[ (

; )]

Persamaan di atas akan dimaksimumkan dengan menggunakan teknik iterative yang menghasilkan penaksir kemungkinan maksimum untuk koefisien regresi dalam . Prosedur yang disarankan oleh Myers (1991: 85) untuk menentukan penaksir kemungkinan maksimum adalah dengan pendekatan Iteratively Reweighted Least Squares (IRWLS).

Skripsi


Sandy Fauzi


Berdasarkan uraian di atas penulis tertarik untuk membahas estimasi model regresi Poisson dengan menggunakan metode IRWLS dan menerapkan hasilnya pada data. Skripsi ini bukan sesuatu yang baru, tetapi penyusun mengambil salah satu topik yaitu regresi Poisson dalam buku yang berjudul An Introduction to Generalized Linear Models oleh Dobson, A.J. Penyusun hanya menuliskan kembali dengan katakata sendiri dalam melengkapi bukti yang ada jika dipandang perlu.

1.2

Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang, maka dapat disusun rumusan masalah adalah

sebagai berikut : 1.

Bagaimana menentukan bentuk estimasi model regresi Poisson dengan metode Iteratively Reweighted Least Square?

2.

Bagaimana menggunakan uji kesesuaian model regresi Poisson dengan menggunakan statistik uji deviance ?

3.

Bagaimana membuat algoritma dan program dalam software S-Plus 2000 untuk estimasi dan uji kesesuaian model regresi Poisson ?

4.

Bagaimana menerapkan model regresi Poisson pada data jumlah penderita DBD di tiap Kabupaten/Kota di Provinsi Jawa Timur tahun 2009.

1.3

Tujuan Berdasarkan rumusan masalah, maka tujuan penulisan skripsi ini adalah

sebagai berikut :

Skripsi


Sandy Fauzi


1.

Mengestimasi model regresi Poisson dengan metode Iteratively Reweighted Least Square.

2.

Menggunakan uji kesesuaian model regresi Poisson dengan menggunakan statistik uji deviance.

3.

Membuat algoritma dan program dalam software S-Plus 2000 untuk estimasi dan uji kesesuaian model regresi Poisson.

4.

Menerapkan model regresi Poisson pada data jumlah penderita DBD di tiap Kabupaten/Kota di Provinsi Jawa Timur tahun 2009.

1.4

Manfaat Manfaat yang dapat diperoleh dari penulisan skripsi ini diantaranya adalah :

1.

Jika estimator regresi sudah ditemukan maka dapat diuji apakah estimator tersebut sudah memenuhi kriteria estimator yang baik.

2.

Memberikan masukan kepada Dinas Kesehatan terkait bahwa faktor-faktor yang mempengaruhi peningkatan jumlah penderita DBD harus diperhatikan.

1.5

Batasan Masalah Untuk lebih memfokuskan tujuan dari penulisan skripsi ini, maka digunakan

batasan masalah sebagai berikut : 1.

Metode yang digunakan untuk mencari estimator mengggunakan metode Iteratively Reweighted Least Square.

2.

Skripsi

Estimasi yang dimaksud adalah estimasi titik.


Sandy Fauzi


BAB II TINJAUAN PUSTAKA

2.1

Distribusi Poisson Percobaan Poisson adalah percobaan yang menghasilkan variabel random

yang bernilai numerik, yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama selang waktu tertentu atau di suatu daerah tertentu. Panjang selang waktu tersebut dapat berupa semenit, sehari, seminggu, sebulan, atau bahkan setahun. Sedangkan daerah tertentu yang dimaksudkan dapat berupa suatu garis, suatu luasan, suatu volume, bahkan mungkin sepotong benda. Dalam hal seperti ini

mungkin menyatakan

banyaknya tikus sawah perhektar, banyaknya kriteria dalam suatu kultur. (Cameron dan Trivedi, 1998) menyatakan bahwa suatu variabel random Y yang bertipe diskrit akan mengikuti distribusi Poisson jika parameter

sebagai rata –

rata jumlah kejadian. Variabel random Y tersebut akan mempunyai fungsi peluang sebagai berikut : ( )= dengan ( ) =

Skripsi

dan

! 0

,

= 0,1,2, … ;

, y yang lain

>0

(2.1)

( )=


Sandy Fauzi


2.2

Model Regresi Poisson variabel random untuk jumlah pada kelompok ,

Misalkan

= 1,2, … , , dengan

menyatakan banyak kelompok. Jika

mengikuti distribusi

Poisson, maka fungsi peluangnya adalah : Pr(

=

)=

!

;

= 0,1,2, …

(2.2)

dengan rata-rata dan varians, ( ) =

( )=

Misalkan terdapat sekumpulan data dengan struktur sebagai berikut:

⋮ ⋮ ⋮

⋯ ⋯ ⋮ ⋯

⋮

Regresi Poisson pilihan yang tepat, ketika variabel respon

merupakan

bilangan cacah positif. Model regresi Poisson ditulis sebagai berikut (Myers,1991:8): =

( = 1,2, … , )

+

(2.3)

Dalam generalized linear model (GLM), terdapat sebuah fungsi

yang linier

dan menghubungkan mean dari variabel respon dengan variabel prediktor, yaitu: ( )=

Fungsi

=

+

+

+ ⋯+

(2.4)

disebut fungsi penghubung (link function). Hubungan antara mean

dan prediktor linier adalah: =

Skripsi

( )=

(

)


Sandy Fauzi


Terdapat dua fungsi penghubung yang biasa digunakan dalam regresi Poisson. Pertama adalah penghubung identitas (identity link). Kedua adalah penghubung log (log link). Fungsi penghubung identitas berbentuk: ( )=

=

Fungsi penghubung selanjutnya adalah fungsi penghubung logaritma yang berbentuk: ( ) = ln

=

Untuk fungsi penghubung log, hubungan antara mean variable respon dengan prediktor linear adalah: ln

= =

=

Fungsi penghubung log adalah fungsi yang lebih cocok digunakan, karena fungsi log menjamin bahwa nilai variabel yang diharapkan dari variabel responnya akan benilai non negatif. Dalam hal ini ln( ) =

, sehingga fungsi hubungan untuk

model regresi Poisson mempunyai bentuk sebagai berikut: ln ( | ) = ln( ) = = exp(

) = exp(

=

+

+

+

+

+ ⋯+

+ ⋯+

Fungsi peluang persamaan distribusi Poisson untuk model regresi Poisson ini dapat dinyatakan sebagai berikut: ( ; )= Skripsi

[

;

][

!

(

; )]


)

, = 1,2, … ,

dalam

(2.5)

Sandy Fauzi


dengan ( ; ) adalah mean Poisson dan vektor

menunjukkan parameter model

regresi Poisson. Mean dan varians untuk model regresi Poisson adalah sebagai berikut: )

= exp(

dan

Selanjutnya

model

( )=

regresi

= exp(

Poisson

)

dapat

ditulis

sebagai

berikut

(Myers,1991:18): = exp( 2.3

)+

Maximum Likelihood Estimation ,

Misalkan

,…,

merupakan sampel acak independen dari suatu

distribusi dengan pdf (probability density function) ( , ), untuk ruang

parameter,

maka

pdf

bersama

,

antara

,…,

Ω dengan Ω

adalah

( , ). ( , ). … . ( , ). Jika pdf bersama tersebut dinyatakan sebagai fungsi

terhadap ( ;

,

maka dinamakan fungsi likelihood yang dinotasikan L dan ditulis :

,…,

Jika statistik = ( ,

Skripsi

) = ( , ). ( , ). … . ( , ) = ∏

= ( ,

,…,

,…,

) memaksimumkan ( ;

,

( ; ) ,…,

) adalah Maximum Likelihood Estimator untuk .

(2.6) ) maka statistik

(Hogg dan Craig, 1995)


Sandy Fauzi


2.4

Metode Least Square Metode Least Square digunakan untuk mendapatkan nilai estimator

parameter yang dapat meminimumkan galat regresinya. Jika model regresi linier berbentuk

=

+ , dengan

dan

adalah suatu vektor berukuran

( + 1)dan

suatu matriks berukuran

1,

adalah

adalah suatu vektor parameter regresi

berukuran ( + 1) 1, maka dengan menggunakan metode Least Square akan diperoleh estimator parameter =(

2.4

sebagai berikut :

)

(2.7) (Draper dan Smith, 1992)

Metode Newton–Raphson Misalkan terdapat bentuk implisit dari

( )

= 0 dengan

maka iterasi metode Newton-Raphson adalah sebagai berikut :

dengan

=

−

( )=

Keterangan :

(

( )=

) (

( )

( )

,

)

,

,

= 1,2, … ,

Skripsi

(2.8) dan

= 1,2, … ,

adalah vektor parameter regressor (

= 0,1, … ,

= 1,2, … ,

) adalah matriks jacobians pada saat

1 pada iterasi ke


+1

Sandy Fauzi


(

): Vektor

parameter

1 dari fungsi turunan pertama log L, terhadap masing–masing

, = 1,2, … ,

Adapun langkah–langkah dalam metode Newton-Rapshon adalah sebagai berikut : 1.

Menentukan nilai awal estimator untuk n = 0 yaitu

2.

Menentukan (

3. 4.

) dan (

)

Menghitung estimator berikutnya Mengulangi iterasi sampai diperoleh nilai estimator max | dengan adalah galat yang ditentukan.

−

|<

(Lawless,1982)

2.5

Uji Kesesuaian Model Regresi Poisson Uji Kesesuaian model digunakan untuk membandingkan model sebenarnya

dengan model dugaan. Untuk menguji kesesuaian model digunakan hipotesis sebagai: H0 : model sesuai H1 : model tidak sesuai digunakan statistik uji deviance: =

( , ̂ ) = 2[ℓ( ) − ℓ( ̂ )]

Keputusan : Tolak H0, jika: kuadrat tabel dengan taraf

( , ̂) >

(

(2.9) )( )

dengan

dan derajat bebas n – p

(

)( )

adalah nilai chi-

(Ismail dan Jemain, 2005)

Skripsi


Sandy Fauzi


2.6

S – Plus S – Plus adalah suatu paket program yang memungkinkan membuat program

sendiri walaupun didalamnya sudah tersedia banyak program internal yang siap digunakan. Kelebihan dari paket program ini adalah baik program internal maupun program yang pernah dibuat dapat digunakan sebagai sub program dari program yang akan dibuat. Beberapa perintah internal yang digunakan S-Plus : a. fix(...) Untuk masuk kedalam S-Plus Command dan untuk memulai penulisan program. Bentuknya adalah : fix(...) b. function(...) Untuk menunjukkan fungsi yang akan digunakan dalam program. Bentuknya adalah : function(...) c. length(...) Untuk menunjukkan banyaknya data. Bentuknya adalah : length(...) d. Plot(...) Untuk membuat plot dari grafik yang ada. Bentuknya adalah : plot(x,y,xlab=” ”,ylab=” ”,type=”...”) e. Sort(...) Untuk mengurutkan data dari yang terkecil sampai yang terbesar. Bentuknya adalah : Sort(...)

Skripsi


Sandy Fauzi


f. Matrix (a, b, c) Untuk membentuk sebuah matrix yang anggotanya

dengan jumlah baris sebanyak

dan jumlah kolom sebanyak . Bentuknya adalah : matrix(..., ..., ...) g. Rep(a, b) Untuk membentuk sebuah vektor yang anggotanya

sebanyak

Bentuknya adalah : Rep(..., ....) h. for(i in 1:n) Untuk melakukan perulangan sebanyak n kali. Bentuknya adalah : for(... in ...:...) i. abs(...) Untuk membuat harga mutlak dari suatu bilangan. Bentuknya adalah : abs(...) j. Sum(...) Untuk menjumlahkan semua bilangan anggota dari suatu vektor. Bentuknya adalah : sum(...) k. Dimnames(a)<-list (NULL,c(”nama kolom1”,”nama kolom2”)) Untuk memberi nama pada kolom sebuah matrix . Bentuknya adalah : Dimnames (...)<-list (NULL, c(”...”,”...”)) (Everitt, 1994)

Skripsi


Sandy Fauzi


BAB III METODE PENULISAN

Langkah-langkah yang dilakukan dalam penulisan skripsi ini adalah : 1. Mengestimasi model regresi Poisson dengan metode Iteratively Reweighted Least Square dengan langkah-langkah sebagai berikut: a. Mengasumsikan terdapat = 1,2, … ,

b. Mengasumsikan

( ;

data berpasangan

,

,

,⋯,

),

berdistribusi Poisson dengan fungsi peluang: Pr(

=

)=

dengan rata-rata dan varians, ( ) =

!

;

( )=

= 0,1,2, …

c. Menentukan fungsi likelihood dari langkah (b), yaitu : = exp (

− )

( )

( !)

d. Menentukan fungsi ln-likelihood dari langkah (c), yaitu : ℓ=

[−

+

dengan ln

=

ln

− ln( !)]

e. Mengestimasi parameter

dengan langkah-langkah sebagai berikut:

1) Mendiferensialkan hasil ln-likelihood dari langkah (d) terhadap parameter .

Skripsi


Sandy Fauzi


2) Hasil dari diferensial pada langkah 1) disamakan dengan nol sebagai syarat perlu untuk memaksimumkan fungsi ln-likelihood dan diselesaikan. 3) Melakukan pendekatan iterasi, karena pada langkah 2) masih diperoleh persamaan yang berbentuk implisit. Langkah-langkah numerik dengan iterasi yaitu: Langkah 1,

Menentukan nilai awal estimator untuk

Langkah 2,

Menghitung ( ) dan ( )=(

ℓ

dan,

Langkah 3,

Untuk

=

misalkan

Skripsi

( ) dengan: ℓ

,…,

)

ℓ ⋮

ℓ

ℓ

⋮

ℓ

ℓ

⎤ ⎥ ℓ ⎥ ⎥ ⎥ ⋮ ⎥ ℓ ⎥ ⎦

⋯

ℓ

⋯

ℓ

⋯

⋱

= 1,2, … menghitung estimator berikutnya (

Mengganti − ( diperoleh

ℓ

,

⎡ ⎢ ⎢ ( )=⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ( )

Langkah 4,

ℓ

,

= 0 yaitu

( )

) (

− ( =

(

−[ ( )

(

(

)

)]

) dengan )

)

) = (

+ [


(

(

(

(− (

(

)

)

]

)

(

(

)

)

)

)),

sehingga (

)

)

Sandy Fauzi


Langkah 5,

Langkah 6,

Kedua ruas dikalikan ( (

(

)

)

( )

=

(

(

(

)

)

)

)

(

)

+ (

(

)

Menotasikan hasil terakhir, untuk ruas kiri dan

)

kanan masing-masing ke dalam notasi matriks . Langkah 7,

Mendapatkan iterasi Reweighted untuk estimasi . dengan tingkat ketelitian 0.0001

2.

Menggunakan uji kesesuaian model regresi Poisson dengan menggunakan statistik uji deviance. Statistik uji deviance dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut : i. Menulis hipotesis H0 dan H1 yang digunakan dalam menguji kesesuaian model regresi Poisson, yaitu : H0 : Model regresi Poisson sesuai H1 : Model regresi Poisson tidak sesuai ii. Menghitung nilai deviance, yaitu : ( , ̂ ) = 2[ℓ( ) − ℓ( ̂ )]

iii.Menghitung statistik uji deviance, yaitu tolak H0 jika diperoleh : ( , ̂) >

Skripsi

(

)( )


Sandy Fauzi


3.

Membuat algoritma dalam software S-Plus 2000 untuk estimasi dan uji kecocokan model regresi Poisson dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut : a. Menentukan nilai awal b.

.

Mengestimasi model regresi Poisson.

c. Menguji kesesuaian model regresi Poisson dengan statistik uji deviance. 4.

Menerapkan program pada data jumlah Penderita DBD di tiap Kabupaten/Kota di Provinsi Jawa Timur tahun 2009 dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut : a. Membuat program untuk menentukan nilai awal

.

b. Membuat program untuk estimasi model regresi Poisson. c. Membuat program untuk menguji kesesuaian model regresi Poisson dengan statistik uji deviance.

Skripsi


Sandy Fauzi


BAB IV PEMBAHASAN

4.1

Estimasi Model Regresi Poisson. Diasumsikan data berpasangan

( ;

memenuhi model regresi Poisson yaitu : ~ Poisson. Oleh karena

,

,

( | )=

, ⋯,

),

= exp(

= 1,2, … ,

) dengan

adalah variabel random berdistribusi Poisson maka

dipenuhi fungsi peluang : ( ,

)=

!

;

= 0,1,2, …

( )

( !)

Fungsi likelihood dari (4.1) adalah : = exp (

− )

fungsi ln-likelihood dari (4.2) adalah ℓ = ln , sehingga diperoleh : ℓ = ln exp ( =

−

+

( )

− ) ln

−

(4.1)

(4.2)

( !)

ln( !)

(4.3)

dengan ln

=

=

+

dengan mengikuti ln

Skripsi

=

+

+ ⋯+

maka persamaan (4.3) dapat dinyatakan:


Sandy Fauzi


ℓ=−

exp(

)+

(

)−

ln( !)

(4.4)

Syarat cukup agar fungsi ln-likelihood (4.4) mencapai nilai maksimum adalah ℓ

=0

Selanjutnya dihitung : ℓ

ℓ

⋮

ℓ

=0 −

exp

.

=0

(4.5)

−

exp

.

=0

(4.6)

−

exp

.

=0

(4.7)

=0

=0

Dari persamaan (4.5), (4.6) dan (4.7) diperoleh persamaan secara umum sebagai berikut : ℓ

Skripsi

=0


Sandy Fauzi


−

exp

.

=0

, = 0,1,2, … ,

(4.8)

Persamaan (4.8) merupakan persamaan yang dinyatakan dalam bentuk implisit sehingga tidak dapat diselesaikan secara analitik. Untuk mengestimasi vektor parameter

dari persamaan (4.8) digunakan langkah-langkah numerik dengan iterasi.

Dalam skripsi ini untuk iterasi numerik tersebut digunakan algoritma NewtonRaphson.

Untuk

keperluan

Algoritma

Newton-Raphson

maka

berikut

ini

didefinisikan :

dan ⎡ ⎢ ⎢ ( )=⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

Elemen-elemen dari

ℓ ⋮

ℓ

, ℓ

ℓ

⋮

ℓ

ℓ ℓ

,

ℓ

ℓ

,⋯,

ℓ

⋯

⋯ ⋯

(4.9)

⋱

⎤ ⎥ ℓ ⎥ ⎥ ⎥ ⋮ ⎥ ℓ ⎥ ⎦

(4.10)

( ) dapat dilihat pada persamaan (4.8) sedangkan elemen-elemen

( ) dapat diuraikan sebagai berikut:

ℓ

Skripsi

ℓ

( )=

=−

exp

.


(4.11)

Sandy Fauzi


ℓ ⋮

ℓ

=−

exp

.

(4.12)

=−

exp

.

(4.13)

Persamaan (4.11), (4.12), dan (4.13) secara umum dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut : ℓ

=−

exp

.

,

= 0,1,2, … ,

dan turunan kedua dari fungsi ln-likelihood terhadap

(4.14) dan

untuk

dengan , = 0,1, … , diperoleh : ℓ

=−

exp

.

Syarat perlu bahwa

(4.15)

memaksimumkan persamaan (4.4) adalah

persamaan (4.10) harus definit negatif.

≠ ,

( ) pada

Untuk menyelesaikan persamaan (4.8) maka digunakan langkah-langkah numerik sebagai berikut: Langkah 1. (awal algoritma Newton-Raphson) = 0, dan nilai awal estimator parameter

Menentukan

dapat dihitung

menggunakan metode kuadrat terkecil seperti yang diusulkan Draper dan Smith (1992) sebagai berikut : = exp( Skripsi

) Estimasi Model Regresi Poisson Menggunakan Metode Iteratively Reweighted Least Square

Sandy Fauzi


ln

=

(4.16)

Persamaan (4.16) dapat dinyatakan sebagai model regresi linier berganda dalam bentuk matriks sebagai berikut : =

dengan :

+

(4.17)

= [ln( ) ln( ) ⋯ ln( )]

1 1 = ⋮ 1

… … ⋱ …

⋮

=[

(4.18) (4.19)

⋮ ]

⋯

Dengan menggunakan persamaan fungsi peluang (2.3) diperoleh estimator kuadrat terkecil sebagai berikut : =(

Langkah 2.

)

Menghitung

(4.20) (

) dengan menggunakan persamaan (4.9) dan menghitung

dengan menggunakan persamaan (4.15).

(

)

Langkah 3. (akhir algoritma Newton-Raphson) Untuk ( ) (

= )

= 1,2, … menghitung update estimator dengan rumus berikut: −[ (

(

)

)]

(

)

(4.21)

Langkah 4. (algoritma Fisher-Scoring) Mengganti − ( Skripsi

(

)

) dengan (− (

(

)

)).


Sandy Fauzi


− (

Misalkan

(

)

) = (

(

)

rumus berikut: ( )

(

=

)

+

(

)

) maka diperoleh update estimator dengan

(

) (

Selanjutnya untuk mencari matriks informasi

)

(4.22)

menurut Chapman &

Hall/CRC (2002) elemen-elemen dari matriks tersebut didefinisikan sebagai berikut: −

ℐ =

=

−(−

exp

.

) =

.

Langkah 5. (algoritma IRWLS) (

Kedua ruas dari persamaan (4.22) dikalikan (

)

( )

Langkah 6.

=

(

)

(

)

+

(

)

sehingga diperoleh:

)

(4.23)

Menotasikan ulang hasil terakhir pada persamaan (4.23) untuk ruas kiri dan kanan masing-masing ke dalam format matriks. (i)

Notasi matriks ruas kiri Berdasarkan langkah 4 maka dapat dituliskan matriks informasi sebagai berikut:

Skripsi


Sandy Fauzi


(

)

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

⎡ ⎢ =⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⋮

⎡ ⎢ =⎢ ⎢ ⋮ ⎣

)

(

)

(

)

(

)

)

(

(

(

⋮

)

… … … ⋱ …

⋮

=

(

( (

⋮

)

)

…

)

…

(

⎤⎡ ⎥⎢ ⎥ ⋮ ⎥⎢ ⎦⎣

)

… …

)

(

⋮

)

0 ⋮ 0

(

(

0 (

⋮ 0

(

)

⎤ ⎥ )⎥ ⎥ ⎥ ) ⎦ )

(

⋮

=

(

Skripsi

⋮ )

⋮ ⎡ =⎢ ⎢ ⎣

(

0 ⋮ 0

)

0 (

⋮ 0

)

… ⋱ …

)

⋮

0 … 0 0 … 0 ⋮ ⋱ ⋮ ( 0 …

(

)

(

)

(

)

(

⋮

)

… … ⋮ ⋱ ⋮ …

⋮

0 … 0 0 … 0 ⋮ ⋱ ⋮ ( 0 …

dengan … … ⋮ ⋱ ⋮ …

…

)

(

⋱

⋮

…

⎤ ⎥ ⎥ ) ⎦

⋮

⋮

… … ⋮ ⋱ ⋮ …

(4.24)

⎤ ⎥ ⎥ ) ⎦


⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Sandy Fauzi


(

sehingga ruas kiri persamaan (4.23) dapat ditulis sebagai

)

( )

(ii) Notasi matriks ruas kanan: (

)

(

)

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

(

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

Skripsi

)

(

)

+

−

(

)

(

)

(

)

+

−

(

)

(

)

(

)

+

−

(

)

+

−

(

)

(

)

+

)

)

(

(

(

+

(

)

(

)

⋮

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

)

(

)

(

)

+

−

(

)

+ ⋯+

(

)

(

)

+

−

(

)

(

)

(

)

+

−

(

)

+ ⋯+

(

)

(

)

+

−

(

)

(

)

(

)

+

−

(

)

+ ⋯+

(

)

(

)

+

−

(

)

+

−

(

+ ⋯+

(

)

(

)

+

−

(

)

(

)

(

)

)

⋮


Sandy Fauzi

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦


⎡ ⎢ =⎢ ⎢ ⎢ ⎣

)

(

)

(

)

(

)

(

⋮

⎡ ⎢ =⎢ ⎢ ⋮ ⎣

=

(

(

⋮

(

)

(

⋮

)

… … … ⋱ …

) (

⎤⎡ ⎥⎢ ⎥ ⋮ ⎥⎢ ⎦⎣

)

(

)

(

0 ⋮ 0

… … …

…

)

( (

⋱

(

⋮

0 (

⋮ 0

(

)

⎡ ⎢ ⎢ ) ⎢ ⎤⎢ ) ⎥⎢ )⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ) ⎦⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

0 … 0 0 … 0 ⋮ ⋱ ⋮ ( 0 …

)

dengan ⎡ ⎢ =⎢ ⎢ ⋮ ⎣

Skripsi

⋮

(

)

(

)

(

)

(

)

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ) ⎦⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

+ + + ⋮

+

− − − −

(

(

(

(

(

(

(

(

)

)

)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

)

⎤ ⎥ ⎥ ) ⎥ ⎥ ⎥ )⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ) ⎥ ⎥ ⎦

+ + + ⋮

+

(4.25)

… ⎤ … ⎥ … ⎥ ⋱ ⋮ ⎥ … ⎦


Sandy Fauzi

− − − −

(

(

(

(

(

(

(

(

)

)

)

)

)

⎤ ⎥ ⎥ ) ⎥ ⎥ ⎥ )⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ) ⎥ ⎥ ⎦


(

)

(

⎡ =⎢ ⎢ ⎣

)

0 ⋮ 0

0 (

)

⋮ 0

0 … 0 0 … 0 ⋮ ⋱ ⋮ ( 0 … (

)

⎤ ⎥ ⎥ ) ⎦

− ⎡ ⎤ ( ) + ( ) ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ( ) ⎢ ⎥ − ( ) + ⎢ ⎥ ( ) ⎢ ⎥ ( ) ( )⎥ =⎢ − ⎢ ⎥ ( ) + ( ) ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⋮ ⎢ ⎥ ( ) ⎢ ⎥ − ( ) + ⎢ ⎥ ( ) ⎣ ⎦ Jika persamaan (4.24) dan (4.25) disubtitusikan ke persamaan (4.23) maka diperoleh (

)

( )

=

(

) (

Dari (4.26) diperoleh estimator IRWLS untuk ( )

Skripsi

=(

(

)

)

(

) (

)

)

( )

adalah :


(4.26) (4.27)

Sandy Fauzi


4.2

Uji Kesesuaian Model Regresi Poisson Pemodelan diperlukan untuk mendapatkan hubungan yang menggambarkan

variabel respon dan variabel prediktor. Uji kesesuaian model digunakan untuk membandingkan model sebenarnya dengan model dugaan. Salah satu metode untuk menentukan kesesuaian model regresi Poisson adalah dengan menggunakan statistik uji deviance. Adapun hipotesis yang digunakan untuk menguji kesesuaian model regresi Poisson adalah sebagai berikut : H0 : Model regresi Poisson sesuai H1 : Model regresi Poisson tidak sesuai Untuk menguji hipotesis tersebut digunakan statistik uji deviance sebagai berikut : ( , ̂ ) = 2[ℓ( ) − ℓ( ̂ )]

(4.29)

Berdasarkan persamaan (4.3) dihitung : ℓ( ̂ ) =

[− ̂ +

=−

ln ̂ − ln( !)]

̂ +

ln ̂ −

ln( !)

dan ℓ( ) =

[−

+

ln

− ln( !)] =−

Skripsi

+

ln

−

ln( !)


Sandy Fauzi


sehingga diperoleh deviance : ( , ̂ ) = 2[ℓ( ) − ℓ( ̂ )] ( , ̂) = 2 −

+

+ =2

ln ̂ − ( ̂ −

=2

( ̂ −

)+ )+

ln

−

ln( !) − (−

̂

ln( !)) ln ln

−

ln ̂

̂

(4.30)

Dengan menggunakan persamaan (4.29) diperoleh keputusan tolak H0 jika diperoleh : >

Keterangan:

(

)( )

(4.31)

n=banyak pengamatan p=banyak parameter

Skripsi


Sandy Fauzi


4.3

Algoritma Estimasi dan Uji Kesesuaian Model Regresi Poisson

4.3.1

Algoritma Penentuan Nilai Awal Algoritma untuk menentukan nilai awal

adalah sebagai berikut :

Langkah 1. Menginput data sekunder. Langkah 2. Mendefinisikan

sesuai dengan persamaan (4.18).

Langkah 3. Mendefinisikan


Langkah 4. Menghitung

4.3.2


Algoritma Estimasi Model Regresi Poisson Algoritma untuk estimasi model regresi Poisson dengan IRWLS adalah

sebagai berikut : Langkah 1. Menginput data sekunder. Langkah 2. Mendefinisikan




Langkah 4. Menghitung nilai awal Langkah 5. Set

=1


Skripsi

(

)

⎡ =⎢ ⎢ ⎣

.

(

0 ⋮ 0

)

0 (

⋮ 0

)


0

0 … 0 0 … 0 ⋮ ⋱ ⋮ ( …

⎤ ⎥ ⎥ ) ⎦

Sandy Fauzi


Langkah 7.Menghitung


(

)

( )

Langkah 9. Jika Max abs

(

⎡∑ ⎢ ⎢ ⎢∑ =⎢ ⎢∑ ⎢ ⎢ ⎢ ∑ ⎣

=( )

−

(

)

(

)

(

)

⋮

( ( (

) )

)

)

+

(

+

(

+

(

+

(

(

( ( (

(

) ) )

)

) (

)

⎤ ⎥ ) ⎥ ⎥ )⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ) ⎥ ⎦

)

< 0.0001 maka ke langkah 10. Jika

tidak maka kembali ke langkah 5 dengan update

=

Langkah 10. Menampilkan estimator iterasi Reweighted

+1 =

( )

Langkah 11. Mengestimasi model regresi Poisson adalah ( | ) = exp 4.3.3

.

Algoritma Uji Kesesuaian Model Regresi Poisson

Algoritma untuk menguji kesesuaian model regresi Poisson dengan statistik uji deviance dijabarkan dalam langkah-langkah adalah sebagai berikut : Langkah 1. Menentukan hipotesis. Langkah 2. Menginput data sekunder. Langkah 3. Mendefinisikan




Langkah 5. Menghitung ( , ̂ ) sesuai dengan persamaan (4.29).

Langkah 6. Membuat daerah kritis sesuai dengan persamaan (4.31). Langkah 7. Membuat keputusan.

Skripsi


Sandy Fauzi


4.4

Penerapan Program pada Data

4.4.1

Sumber Data Contoh kasus untuk model regresi Poisson adalah kasus penyakit DBD

(Demam Berdarah Dengue). Kasus ini merupakan suatu kasus yang menarik di dalam penelitian karena setiap tahunnya terdapat 50-100 juta kasus infeksi virus dengue di seluruh dunia. DBD adalah penyakit demam akut yang disebabkan oleh virus dengue, yang masuk ke peredaran darah manusia melalui gigitan nyamuk Aedes Aegypti. Data jumlah penderita DBD di tiap Kota/Kabupaten di Provinsi Jawa Timur diperoleh dari BPS (Badan Pusat Statistik) yang beralamatkan di Ngagel Jaya No.51 Kota Surabaya. Adapun variabel-variabel yang digunakan dalam penulisan skripsi ini meliputi variabel respon dan variabel prediktor. Sebagai variabel respon ( ) adalah jumlah penderita DBD di tiap Kota/Kabupaten di Provinsi Jawa Timur tahun 2009. Sedangkan

variabel

prediktornya

( )

berupa

faktor-faktor

yang

diduga

mempengaruhi jumlah penderita DBD di tiap Kota/Kabupaten di Provinsi Jawa Timur tahun 2009. Terdapat 9 variabel prediktor yang diduga mempengaruhi jumlah penderita DBD tiap Kota/Kabupaten di Provinsi Jawa Timur tahun 2009 (Badan Pusat Statistik, 2009) yaitu limbah sehat, bebas jentik nyamuk, akses air bersih, rumah sehat, kepadatan penduduk, mobilitas, ketinggian dari permukaan laut, jumlah rumah sakit/puskesmas, dan keberadaan juru/kader pemantau jentik. Namun penyusun hanya mengambil 4 variabel prediktor yang dipandang dapat mewakili

Skripsi


Sandy Fauzi


sebagai faktor yang mempengaruhi jumlah penderita DBD di tiap Kota/Kabupaten di provinsi Jawa Timur tahun 2009, 4 variabel prediktor tersebut yaitu: 1.

adalah persentase rumah tangga yang memiliki limbah sehat di tiap Kabupaten/Kota di Provinsi Jawa Timur tahun 2009.

2.

adalah persentase rumah tangga yang bebas jentik nyamuk Aedes Aegepty di tiap Kabupaten/Kota di Provinsi Jawa Timur tahun 2009.

3.

adalah persentase rumah tangga yang memiliki akses air bersih di tiap Kabupaten/Kota di Provinsi Jawa Timur tahun 2009. Indikator air bersih yaitu

4.

jernih, tidak bewarna, tidak keruh, dan temperatur normal (29 ).

adalah persentase rumah tangga yang memiliki rumah sehat di tiap

Kabupaten/Kota di Provinsi Jawa Timur tahun 2009. Indikator rumah sehat yaitu kering, bersih, bebas kontaminasi, memiliki ventilasi, dan terawat. Data jumlah penderita DBD beserta variabel yang diduga mempengaruhi dapat dilihat pada Lampiran 1. 4.4.2

Analisa Data Berdasarkan tabel data jumlah penderita DBD di tiap kabupaten/kota di

Provinsi Jawa Timur tahun 2009 (Lampiran 1), maka dapat dibuat model regresi Poisson sebagai berikut : ( | ) = exp(

+

+

+

+

) , = 1,2, … ,28

Proses analisis data dalam contoh kasus data jumlah penderita DBD di tiap kabupaten/kota di Provinsi Jawa Timur tahun 2009 dilakukan dengan menggunakan

Skripsi


Sandy Fauzi


program yang dibuat dalam software S-Plus 2000. Berdasarkan hasil penerapan program diperoleh nilai estimator awal

(lihat program pada Lampiran 2 dan

output pada Lampiran 3), hasilnya tertera pada Tabel 4.1 berikut: Tabel 4.1 Nilai estimator awal parameter

dari data jumlah penderita DBD di

tiap kabupaten/kota di Provinsi Jawa Timur tahun 2009 Nilai Estimator Awal 8.79200880 -0.09383474 -0.02783120 -0.01363888 -0.56653378

Berdasarkan hasil penerapan program pada data yang digunakan untuk memperoleh

( ) dan

( ) (lihat program pada Lampiran 2) dengan memasukkan

nilai estimator awal pada Tabel 4.1 didapatkan

( ) dan

( ) (output dapat dilihat

pada Lampiran 3). Langkah-langkah numerik dengan iterasi melalui software S-Plus 2000 diperoleh nilai estimator parameter

Skripsi

seperti pada Tabel 4.2 berikut :


Sandy Fauzi


Tabel 4.2 Nilai estimator parameter

dari data jumlah penderita DBD di tiap

kabupaten/kota di Provinsi Jawa Timur tahun 2009 Nilai Estimator 8.84018141 -0.09455570 -0.02803195 -0.01650381 -0.57056100 Berdasarkan Tabel 4.2 maka diperoleh bentuk estimasi model regresi Poisson untuk data jumlah penderita DBD di tiap kabupaten/kota di Provinsi Jawa Timur tahun 2009 sebagai berikut : ( | ) = exp(8.840 − 0.095

dengan

− 0.028

− 0.017

− 0.571

)

menyatakan banyaknya unit eksperimen yaitu kabupaten/kota di Provinsi

Jawa Timur. Berdasarkan persamaan model regresi Poisson di atas dijelaskan bahwa variabel prediktor yang paling dominan berpengaruh dalam model regresi Poisson di atas adalah ( ) yang menyatakan persentase rumah tangga yang memiliki rumah sehat dan juga dapat dilihat secara keseluruhan berdasarkan model di atas bahwa

semakin bertambahnya persentase rumah tangga yang memiliki limbah sehat ( ), persentase rumah tangga yang bebas jentik nyamuk Aedes ( ), persentase rumah tangga yang memiliki akses air bersih ( ), dan persentase rumah tangga yang

memiliki rumah sehat ( ), maka akan menurunkan jumlah penderita DBD di tiap

Kabupaten/Kota di provinsi Jawa Timur tahun 2009. Hal ini berarti semakin

Skripsi


Sandy Fauzi


bertambahnya rumah tangga yang memiliki limbah sehat, bebas jentik nyamuk Aedes, memiliki akses air bersih dan memiliki rumah sehat menyebabkan penurunan jumlah penderita DBD di tiap Kabupaten/Kota di provinsi Jawa Timur tahun 2009. Dengan demikian, pola hidup sehat sangat berpengaruh dalam penekanan jumlah penderita DBD di tiap Kabupaten/Kota di Provinsi Jawa Timur tahun 2009.

Skripsi


Sandy Fauzi


4.4.3

Uji Kesesuaian Model Regresi Poisson Uji kesesuaian model digunakan untuk membandingkan model sebenarnya

dengan model dugaan. Adapun hipotesis yang digunakan untuk menguji kesesuaian model regresi Poisson untuk data jumlah penderita DBD di tiap kabupaten/kota di Provinsi Jawa Timur tahun 2009 adalah sebagai berikut : H0 : H1 :

( | ) = exp(8.840 − 0.095 ( | ) ≠ exp(8.840 − 0.095 Nilai statistik uji deviance

− 0.028

− 0.017

− 0.571 − 0.571

(

)( ,

)

(

)( ,

)

)

= 35.172 (program dapat dilihat

pada Lampiran 4 dan output dapat dilihat pada Lampiran 5). Oleh karena <

)

( , ̂ ) = 10.640, dengan menggunakan tingkat

= 0,05 diperoleh nilai

signifikan

− 0.028

− 0.017

( , ̂)

maka diperoleh keputusan terima H0, sehingga dapat disimpulkan bahwa

model dugaan sesuai.

Skripsi


Sandy Fauzi


BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

5.1

Kesimpulan Berdasarkan pada Bab IV Hasil dan Pembahasan, maka dapat disimpulkan

bahwa : 1.

Estimator parameter model regresi Poisson dengan MLE dapat diperoleh dengan menggunakan sistem persamaan sebagai berikut : ℓ

=−

exp

.

, = 0,1, … ,

yang dapat diselesaikan dengan pendekatan Iteratively Reweighted Least Squares ( )

(IRWLS) sehingga menghasilkan dengan

(

Skripsi

)

⎡ =⎢ ⎢ ⎣

(

0 ⋮ 0

)

0 (

⋮ 0

)

0

=(

(

0 … 0 0 … 0 ⋮ ⋱ ⋮ ( …

)

)

(

) (

)

⎤ ⎥ ⎥ ) ⎦


Sandy Fauzi


(

2.

)

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

(

)

(

)

(

)

(

)

−

+

−

+

−

+ ⋮

(

)

(

(

)

(

(

−

+

(

)

(

(

)

)

⎤ ⎥ ⎥ ) ⎥ ⎥ ⎥ ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ) ⎥ ⎥ ⎦

Statistik uji kesesuaian model regresi Poisson dengan menggunakan statistik uji deviance, yaitu : ( , ̂) = 2

( ̂ −

)+

ln

dan daerah kritisnya adalah

3.

̂

( , ̂) <

(

)( )

Hasil penerapan program estimasi model regresi Poisson pada data jumlah penderita DBD di tiap kabupaten/kota di Provinsi Jawa Timur tahun 2009 diperoleh model dugaan sebagai berikut : ( | ) = exp(8.840 − 0.095

Dengan (

)( ,

uji

)

kesesuaian

model

= 35.172. Karena

− 0.028

diperoleh

( , ̂) <

(

)( ,

− 0.017

nilai )

− 0.571

( , ̂ ) = 10.640

)

dan

diperoleh keputusan terima

H pada tingkat kepercayaan 95% . Jadi model dugaan sesuai.

Skripsi


Sandy Fauzi


5.2

Saran Saran

yang

dapat

diberikan

untuk

penulisan

selanjutnya

adalah

mengestimasi model regresi Poisson dengan metode momen dan menggunakan uji kesesuaian model regresi Poisson dengan statistik uji Pearson Chi – Square.

Skripsi


Sandy Fauzi


DAFTAR PUSTAKA 1. Badan Pusat Statistik, 2009, Data Jumlah Penderita Penyakit Demam Berdarah Dengue Provinsi Jawa Timur Tahun 2009, Badan Pusat Statistik, Surabaya. 2. Cameron dan Trivedi, 1998, Regression Analysis of Count Data, United Kingdom: Cambridge University Press. 3. Dobson, A.J., 2002, An Introduction to Generalized Linear Models, Chapman & Hall, USA. 4. Draper, N.R. dan Smith, H., alih bahasa Bambang Sumantri, 1992, Analisis Regresi Terapan, Edisi Kedua, PT Gramedia, Jakarta. 5. Everitt, S.B., 1994, A Handbook of Statistical Analysis using S-PLUS, : Chapman & Hall, London. 6. Hogg and Craig, 1995, Introduction to Mathematical Statistics, Fifth Edition, Prentice Hall, Englewood Clief, New Jersey. 7. Ismail, N., dan Jemain, A.Z., 2005, Generalized Poisson Regression: An alternative for risk classification, Jurnal Teknologi 43(C):39-54, Universitas Teknologi Malaysia. 8. Lawless, J.F., 1982, Statistical Models and Methods for Lifetime Data, University of Waterloo, New York. 9. Myers, R.H., 1991, A First Course in the Theory of Linear Statistical Models; PWS-KENT Publ. Co., Boston.

Skripsi


Sandy Fauzi


Lampiran 1 : Tabel Data Jumlah Penderita DBD di Tiap Kabupaten/Kota di Propinsi Jawa Timur Tahun 2009 beserta Variabel-Variabel Prediktornya. Kota

y (orang) 115 138 69 125 117 142

(Persen) 8.91 3.74 7.86 10.58 7.05 8.37

Persen) 4.54 14.87 23.59 13.61 14.86 13.97

Kediri Malang Probolinggo Mojokerto Madiun Batu Kabupaten 110 8.71 5.56 Ponorogo 135 3.64 13.81 Trenggalek 72 7.87 23.27 Tulungagung 123 10.52 13.52 Kediri 112 7.06 14.75 Malang 139 8.36 13.56 Lumajang 114 8.82 4.65 Banyuwangi 135 3.75 14.75 Bondowoso 70 7.75 23.45 Situbondo 123 10.47 13.30 Probolinggo 115 7.55 14.85 Sidoarjo 142 8.37 13.96 Mojokerto 105 8.95 4.65 Jombang 131 3.87 14.77 Madiun 72 7.59 23.39 Magetan 121 10.68 13.52 Ngawi 117 7.65 14.75 Bojonegoro 141 8.56 13.87 Tuban 67 7.85 23.75 Gresik 121 10.48 13.65 Bangkalan 115 7.55 15.87 Sampang 141 8.27 13.87 Pamekasan Sumber data : BPS (Badan Pusat Statistik) tahun 2009

Skripsi


(Persen) 6.42 7.63 5.98 6.71 5.63 5.76

(Persen) 5.343 5.319 5.460 4.482 4.934 4.758

6.41 7.62 5.71 6.82 5.65 5.71 6.32 7.53 5.78 6.61 5.65 5.75 6.41 7.52 5.76 6.68 5.45 5.50 5.92 6.75 5.51 5.70

5.31 5.32 5.47 4.40 4.94 4.73 5.35 5.30 5.41 4.45 4.91 4.76 5.35 5.52 5.40 4.41 5.00 4.60 5.45 4.41 4.9 4.7

Sandy Fauzi


Lampiran 2 : Program Mendapatkan Nilai Awal a. Nilai Awal

dan Nilai Estimator

prog.betanol<-function(data) { data<-as.matrix(data) d<-ncol(data) n<-nrow(data) y<-log(data[,1]) intersep<-rep(1,n) prediktor<-data[,2:d] x<-cbind(intersep,prediktor) betanol<-solve(t(x)%*%x)%*%t(x)%*%y return(betanol) }

b. Turunan Pertama dari Fungsi Ln-Likelihood ( ) U.beta<-function(data,betanol)

{

data<-as.matrix(data) d<-ncol(data) n<-nrow(data) y<-data[,1] satuan<-rep(1,n) prediktor<-data[,2:d] x<-cbind(satuan,prediktor) n<-nrow(x) k<-ncol(x) FF<-matrix(0,k,1) beta<-betanol[1:k,1] for(j in 1:k) { jml<-0 for(i in 1:n) { b<-y[i]*x[i,j] c<-exp(sum(x[i,]*beta))*x[i,j] jml<-jml+b-c } FF[j,1]<-jml } return(FF) }

Skripsi


Sandy Fauzi


c. Turunan Kedua dari Fungsi Ln-Likelihood H.beta<-function(data,betanol) {

( )

data<-as.matrix(data) d<-ncol(data) n<-nrow(data) y<-data[,1] x<-matrix(0,n,d) x[,1]<-rep(1,n) x[,2:d]<-data[,2:d] n<-nrow(x) k<-ncol(x) HH<-matrix(0,k,k) beta<-betanol[1:k,1] for(s in 1:k) { for(t in 1:k) { jml<-0 for(i in 1:n) { b<-exp(sum(x[i,]*beta)) c<-x[i,s]*x[i,t] jml<-jml-b*c } HH[s,t]<-jml } } return(HH) }

Skripsi


Sandy Fauzi


d. Nilai Estimator beta.topi<-function(data) { data<-as.matrix(data) y<-data[,1] n<-nrow(data) d<-ncol(data) satuan<-rep(1,n) prediktor<-data[,2:d] x<-cbind(satuan,prediktor) w<-matrix(0,n,n) z<-matrix(0,n,1) betanol<-prog.betanol(data) beta<-as.matrix(betanol) repeat { for(i in 1:n) { w[i,i]<-exp(sum(x[i,]*beta)) } z<-x%*%beta+(y-exp(x%*%beta))/exp(x%*%beta) betabaru<-(ginverse(t(x)%*%w%*%x))%*%(t(x)%*%w%*%z) error<-max(abs(betabaru-beta)) if(error<0.0001)break beta<-betabaru } betatopi<-betabaru return(betatopi) }

e. Nilai Dugaan estimasi<-function(data) { data<-as.matrix(data) betatopi<-beta.topi(data) d<-ncol(data) n<-nrow(data) y<-data[,1] x<-matrix(0,n,d) x[,1]<-rep(1,n) x[,2:d]<-data[,2:d] ydugaan<-exp(x%*%betatopi) galat<-log(y)-log(ydugaan) MSE<-sum(galat^2)/n M<-cbind(log(y),log(ydugaan),galat) dimnames(M)<-list(NULL,c("Log Y","Log Ytopi","error")) return(M,MSE)

Skripsi


Sandy Fauzi


Lampiran 3 : Output Program Mendapatkan Nilai Awal

dan Nilai Estimator

> prog.betanol(data) [,1] intersep 8.79200880 V2 -0.09383474 V3 -0.02783120 V4 -0.01363888 V5 -0.56653378

> k<-prog.betanol(data) > U.beta(data,k) [,1] [1,] 5.428521 [2,] 46.247153 [3,] 70.917961 [4,] 30.584481 [5,] 25.783161 > H.beta(data,k) [,1] [,2] [1,] -3221.571 -25250.28 [2,] -25250.283 -212275.40 [3,] -44842.732 -344853.37 [4,] -20264.896 -156763.85 [5,] -16018.538 -123863.53

[,3] -44842.73 -344853.37 -694299.18 -279998.67 -223293.62

[,4] [,5] -20264.9 -16018.54 -156763.9 -123863.53 -279998.7 -223293.62 -129119.9 -100948.85 -100948.8 -80101.92

> beta.topi(data) [,1] [1,] 8.84018141 [2,] -0.09455570 [3,] -0.02803195 [4,] -0.01650381 [5,] -0.57056100 > estimasi(data) $M: Log Y Log Ytopi [1,] 4.744932 4.715963 [2,] 4.927254 4.908970 [3,] 4.234107 4.221744 [4,] 4.828314 4.790272 [5,] 4.762174 4.848945 [6,] 4.955827 4.847353 [7,] 4.700480 4.725275 [8,] 4.905275 4.947734 [9,] 4.276666 4.228519 [10,] 4.812184 4.843439 [11,] 4.718499 4.847329 [12,] 4.934474 4.876592 [13,] 4.736198 4.719046 [14,] 4.905275 4.923879 [15,] 4.248495 4.267899 [16,] 4.812184 4.829272 [17,] 4.744932 4.815310

Skripsi

error 0.028968951 0.018283687 0.012362364 0.038041411 -0.086770629 0.108474346 -0.024794918 -0.042459129 0.048146892 -0.031254770 -0.128830208 0.057881668 0.017152318 -0.018604536 -0.019403311 -0.017087334 -0.070378293


Sandy Fauzi


[18,] 4.955827 [19,] 4.653960 [20,] 4.875197 [21,] 4.276666 [22,] 4.795791 [23,] 4.762174 [24,] 4.948760 [25,] 4.204693 [26,] 4.795791 [27,] 4.744932 [28,] 4.948760 $MSE: [1] 0.00306135

Skripsi

4.846657 4.705269 4.786614 4.290745 4.824915 4.760608 4.926630 4.224900 4.839027 4.794734 4.893694

0.109170111 -0.051308196 0.088583713 -0.014078949 -0.029124592 0.001565616 0.022129938 -0.020207806 -0.043236312 -0.049801853 0.055065647


Sandy Fauzi


Lampiran 4 : Program Uji Kesesuaian Model Regresi Poisson Uji Statistik Deviance uji.deviance<-function(data) { cat("====================================\n") cat("Uji Kesesuaian Model Regresi Poisson\n") cat("==================================\n\n") cat("H0 : Model Regresi Poisson Sesuai\n") cat("H1 : Model Regresi Poisson Tidak Sesuai\n\n") alfa<-as.numeric(readline("Masukkan Nilai Alfa = ")) cat("\n") data<-as.matrix(data) d<-ncol(data) n<-nrow(data) y<-data[,1] x<-matrix(0,n,d) x[,1]<-rep(1,n) x[,2:d]<-data[,2:d] n<-nrow(x) p<-ncol(x) beta<-beta.topi(data) jml<-0 for(i in 1:n) { f<-exp(sum(x[i,]*beta))-y[i] g<-log(y[i]/exp(sum(x[i,]*beta))) h<-y[i] jml<-jml+f+g*h } dyu<-2*jml chikuadrathitung<-dyu cat("Nilai Chikuadrat Hitung = ",chikuadrathitung,"\n") chikuadrattabel<-qchisq(1-alfa,n-p) cat("Nilai Chikuadrat Tabel = ",chikuadrattabel,"\n\n") if(chikuadrathitung>chikuadrattabel) cat("Karena Chikuadrat Hitung > Chikuadrat Tabel, Maka :\nKeputusan : Tolak H0\nKesimpulan : Model Regresi Poisson Tidak Sesuai\n") else cat("Karena Chikuadrat Hitung < Chikuadrat Tabel, Maka :\nKeputusan : Terima H0\nKesimpulan : Model Regresi Poisson Sesuai\n") }

Skripsi


Sandy Fauzi


Lampiran 5 : Output Program Uji Kesesuaian Model Regresi Poisson > uji.deviance(data) ==================================== Uji Kesesuaian Model Regresi Poisson ==================================== H0 : Model Regresi Poisson Sesuai H1 : Model Regresi Poisson Tidak Sesuai Masukkan Nilai Alfa = 0.05 Nilai Chikuadrat Hitung = 10.6402732515386 Nilai Chikuadrat Tabel = 35.1724534743733 Karena Chikuadrat Hitung < Chikuadrat Tabel, Maka : Keputusan : Terima H0 Kesimpulan : Model Regresi Poisson Sesuai

Skripsi


Sandy Fauzi


Skripsi


Sandy Fauzi

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

Recommend Documents