ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga DISERTASI

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

DISERTASI

KONSTRUKSI MODEL MATEMATIKA KOALISI ANTARA VIRUS INFLUENZA H5N1 DAN H1N1 PANDEMIK

( THE CONSTRUCTION OF MATHEMATICS COALISION MODELS BETWEEN H5N1 AND PANDEMIC H1N1 INFLUENZA VIRUS)

HARIYANTO

NIM. 090810117-D

PROGRAM STUDI S3 MIPA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA 2014

Disertasi

KONSTRUKSI MODEL MATEMATIKA KOALISI

HARIYANTO


Disertasi


HARIYANTO


DAFTAR ISI

Halaman

PENGESAHAN

i

DAFTAR ISI

ii

PRAKATA

v

UCAPAN TERIMAKASIH

vi

DAFTAR GAMBAR

vii

DAFTAR TABEL

ix

DAFTAR LAMPIRAN

xi

DAFTAR SINGKATAN

xii

DAFTAR SIMBOL

xiii

INTISARI

xiv

ABSTRACT

xvi

MOTTO

xviii

BAB I

PENGANTAR

1.1 LATAR BELAKANG

1

1.2 RUMUSAN MASALAH

3

1 3 TUJUAN PENELITIAN

4

1.4. MANFAAT PENELITIAN

4

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 DEFINISI

Disertasi

6

2.1.1 Phenomena Obyek

6

2.1.2 Pemodelan Matematika

9


HARIYANTO


2.1.3

Bilangan Reproduksi Dasar

17

2.1.4

Traveling Wave dari Virus

22

2.1.5 Analisa Persistensi dan Well-Posed

25

BAB III

KONSEP ILMIAH

3.1 KONSEP ILMIAH

29

3.2 ROADMAP PENELITIAN

37

3.3 PETA TEORI PENELITIAN DISERTASI

40

BAB IV METODE PENELITIAN 4.1 JUSTIFIKASI METODE PENELITIAN TERHADAP

43

PENELITIAN SEBELUMNYA 4.2 RANCANGAN PENELITIAN

BAB V

44

HASIL DAN PEMBAHASAN

5.1 KONSTRUKSI MODEL KOALISI 5.1.1 Perubahan Iindividual Populasi pada Lokasi

50 50

Spasial dan Temporal 5.1.2 Perubahan Individual Populasi karena Reaksi

56

Biologi 5.1.3

Mengkonstruksi Model Matematika Koalisi

61

5.1.4

Reduksi Konstruksi Model Matematika Koalisi

86

Berdasarkan Perubahan Individual Populasi 5.2 ANALISA KUALITATIF PADA KONSTRUKSI

92

MODEL MATEMATIKA KOALISI TAHAPAN PERTAMA 5.2.1 Well-posedness dari Konstruksi Model Matematika

100

Koalisi tahapan pertama

Disertasi

5.2.2 Analisa terhadap Densitas Populasi

108

5.2.3 Analisa Persistensi terhadap Virus Super-Strain

116


HARIYANTO


5.3 ANALISA KUALITATIF PADA KONSTRUKSI

121

MODEL MATEMATIKA KOALISI TAHAPAN KEDUA 5.3.1. Well-posedness dari Konstruksi Model Matematika

129

Koalisi tahapan kedua 5.3.2. Analisa terhadap Densitas Populasi

138

5.3.3. Analisa Persistensi terhadap Virus Super-Strain

144

5.4 ANALISA KUALITATIF PADA KONSTRUKSI

153

MODEL MATEMATIKA KOALISI TAHAPAN KETIGA 5.4.1. Well-posedness dari Konstruksi Model Matematika

158

Koalisi tahapan ketiga 5.4.2. Analisa terhadap Densitas Populasi

168

5.4.3. Analisa Persistensi terhadap Virus Super-Strain

176

5.5. ANALISA PENYEBARAN VIRUS SUPER-STRAIN

181

5.5.1. Analisa Persistensi Virus Super-strain

182

5.5.2. Analisa Model Traveling Wave dari penyebaran

192

Virus Super-strain

BAB VI KESIMPULAN DAN SARAN 6.1 KESIMPULAN

202

6.2 SARAN

203

DAFTAR PUSTAKA

Disertasi


204

HARIYANTO


PRAKATA Segala puji dan syukur kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan naskah disertasi ini. Disertasi

dengan

judul

“

KONSTRUKSI

MODEL MATEMATIKA

KOALISI ANTARA VIRUS INFLUENZA H5N1 DAN H1N1 PANDEMIK “ disusun untuk memenuhi salah satu syarat dalam menenpuh ujian kelayakan, tertutup dan terbuka dalam rangka untuk memperoleh gelar Doktor MIPA di FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI - UNAIR. Saya pilih judul dari disertasi ini dengan pertimbangan bahwa kedua virus tersebut telah menyebar di Indonesia yang bersifat endemik maupun pandemik lokal, kajian dari disiplin ilmu matematika terhadap gerakan spasial dan temporal dari individual sehingga terjadi koalisi dari kedua virus belum pernah dilakukan. Oleh karena itu hasil yang diperoleh dari disertasi ini diharapkan dapat memberikan masukan lebih dini pada pengambil kebijakan. Penyusunan naskah disertasi ini tidak terlepas dari dukungan berbagai pihak.Oleh karena itu, saya sampaikan rasa hormat dan ucapan terimakasih kepada: 1. Prof. Dr. Basuki Widodo, M.Sc selaku Promotor yang telah memberikan pengarahan tentang materi disertasi maupun publikasi internasional. 2. Dr. C.A Nidom, drh. M.S selaku Kopromotor yang telah memberikan pengarahan tentang materi disertasi. 3. Prof. Dr. I Nyoman Budiantara, M.Si selaku Kopromotor yang telah memberikan pengarahan tentang materi disertasi. 4. Rektor ITS yang telah memberikan ijin untuk studi lanjut S3 5. DITJEN-DIKTI

Kementerian

Pendidikan

dan

Kebudayaan

yang

telah

memberikan beasiswa BPPS 6. Prof. Win Darmanto,M.Si. PhD selaku Dekan FST-UA yang telah memberikan kesempatan untuk menyelesaikan studi S3

Disertasi


HARIYANTO


Kritik dan saran sangat diharapkan dalam rangka kesempurnaan naskah disertasi ini, semoga dapat bermanfaat untuk perkembangan teori pemodelan matematika dalam bidang biologi maupun epidemiologi. Hariyanto.

Disertasi


HARIYANTO


UCAPAN TERIMA KASIH

Saya sampaikan pula kepada berbagai pihak yang telah mendukung dalam penyelesaian disertasi ini antara lain: 1. Prof. Dr. Darminto, M.Sc selaku Pembantu Rektor IV yang telah mengajukan permohonan bantuan penyelesaian studi S3 2. Ketua LPPM-ITS yang telah memberikan kesempatan untuk mengikuti penelitian dari sumber dana Penelitian Hibah Doktor/ BOPTN – ITS 2012. 3. Prof. Dr. R Y Perry Burhan, MSc dan Dr.Mahmud Yunus, MSi. selaku Dekan dan Pembantu Dekan FMIPA-ITS yang selalu memantau perkembangan studi S3. 4. Prof. Dr. Suhariningsih, M.Si selaku ASDIR I Program Pasca Sarjana UNAIR yang telah memberikan semangat dan motivasi. 5. Prof. Dr. Bambang Irawan, MSc selaku Kaprodi S3 MIPA FST UNAIR yang telah memberikan kemudahan dalam penyelesaian disertasi 6. Prof. Dr. Marjono, M.Phil, Dr. Abadi, M.Sc, Dr. Fatma, Dr. Imam Utoyo selaku anggota Tim Penguji telah memberikan masukan pada penelitian disertasi. 7. Dr. Erna Apriliani, M.Si selaku Ketua Jurusan Matematika FMIPA –ITS yang telah memberikan semangat, motivasi dan pendanaan. 8. Dr. Subchan, M.Sc selaku Kepala Laboratorium Pemodelan dan Sistem Jurusan Matematika FMIPA-ITS yang telah memberikan fasilitas untuk menyelesaikan disertasi ini. 9. Dr. Miswanto, M.Si selaku Ketua Departeman Matematika FST-UA yang telah memberikan masukan dalam penyelesaian naskah disertasi 10. Teman-teman dari Dosen Matematika FMIPA-ITS terutama Dr. Subiono yang telah memberikan masukan dan diskusi dalam penyelesaian disertasi ini. 11. Teman-teman S3 MIPA FST-UA tahun 2008 yang telah memberikan motivasi dan masukan dalam penyelesaian disertasi. 12. Istri dan anak-anak tercinta Nisa,Kiki,Ufi dan Bagus serta cucu Ibang yang selalu memberikan dukungan dalam penyelesaian disertasi

Disertasi


HARIYANTO


DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1 : Network dari perubahan keadaan

10

Gambar 3.1 : Interaksi diantara subsistem melalui bidang singgung

32

Gambar 3.2 : Perubahan Dinamis pada lokasi 1

33

Gambar 3.3 : Proses terjadinya koalisi

33

Gambar 3.4 : Roadmap Penelitian Disertasi

37

Gambar 5.1 : Aliran individual bergerak pada lokasi 1 dan lokasi 2

51

Gambar 5.2 : Aliran individual pada volume kendali.

51

Gambar 5.3 : Gerakan silang individual populasi pada masing-masing lokasi.

54

Gambar 5.4 : Model transmisi virus multistrain multiinfeksi

57

Gambar 5.5 : Infeksi dinamis dari virus influenza H1N1-p

58

Gambar 5.6:

Network kontak individual pada penyebaran virus H1N1-p lokasi 1

Gambar 5.7

62

Network kontak individual pada penyebaran virus H5N1 lokasi 1.

Gambar 5.8

65

Network kontak dan intyeraksi individual pada penyebaran virus H1N1-p lokasi 1

Gambar 5.9

Network kontak dan interaksi individual pada penyebaran virus H5N1 lokasi 1

Disertasi

70


73

HARIYANTO


Gambar 5.10 Network kontak dan interaksi individual pada penyebaran

78

virus H1N1-p dan H5N1 serta subtitusi asam amino di lokasi 1 Gambar 5.11: Relasi nilai karakteristik dengan kecepatan penyebaran

195

Gambar 5.12 : Traveling Wave virus super-strain

201

Disertasi


HARIYANTO


DAFTAR TABEL Tabel 2.1

Konfirmasi tentang manusia terinfeksi virus H5N1 di

Halaman 7

Indonesia Tabel 2.2

Pandemik virus influenza A - manusia

8

Tabel 2.3

Perubahan pada status individual

10

Tabel 3.1

Keterangan dari komponen Roadmap Penelitian Disertasi

37

Tabel 3.2

Teori Penelitian Disertasi

40

Tabel 5.1

Aliran perubahan populasi terhadap penyebaran virus

63

H1N1-p Tabel 5.2 Aliran perubahan populasi unggas dan manusia

66

terhadap penyebaran virus H5N1 tahapan pertama Tabel 5.3 Aliran perubahan populasi manusia terhadap

71

penyebaran virus H1N1-p tahapan pertama Tabel 5.4a Aliran perubahan populasi manusia terhadap penyebaran

73

virus H5N1 tahapan kedua Tabel 5.4b Aliran perubahan populasi manusia terhadap penyebaran

74

virus H5N1 tahapan kedua Tabel 5.5a Aliran perubahan populasi manusia terhadap penyebaran

79

virus H5N1 dan H1N1-p tahapan ketiga Tabel 5.5b Aliran perubahan populasi manusia terhadap penyebaran

80

virus H5N1 dan H1N1-p tahapan ketiga Tabel 5.6a

Perubahan/transisi subpopulasi karena transmisi virus

87

Disertasi


HARIYANTO


Tabel 5.6b

Perubahan/transisi subpopulasi karena transmisi virus

88

Tabel 5.7

Perubahan/transisi subpopulasi karena recovery

89

Tabel 5.8

Perubahan/transisi subpopulasi kemampuan melakukan

90

transmisi

Disertasi


HARIYANTO


DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

Data Pribadi

I

Riwayat Pendidikan.

I

Riwayat Kerja.

I

Daftar Penelitian.

II

Daftar Publikasi.

II

Disertasi


HARIYANTO


Singkatan H1N1-p,H5N1

DAFTAR SINGKATAN Jenis virus A yang juga virus pandemik flu babi dan virus avian yang dapat menyerang manusia.

Outbreak

Penularan atau penyebaran virus yang terjadi diseluruh dunia.

Pandemik

Seperti pada Outbreak tetapi hanya regional saja.

Endemik

Penyebaran atau penularan virus yang setiap saat muncul.

Host

Individual populasi yang berpotensi untuk terinfeksi virus.

Epidemiologi

Ilmu yang mempelajari tentang penyakit atau penularan virus.

Virulence

Karakteristik virus yang dapat diamati pada pengaruh individual setelah terinfeksi.

Susceptible

Individual populasi yang tidak terinfeksi.

Ekspose

Individual populasi yang terinfeksi tetapi belum mentransmisi

Infection

Individual populasi yang terinfeksi dan mentransmisi.

Recovered

Individual populasi yang terinfeksi dan sembuh.

Transmisi

Penularan virus.

Singelton

Biasanya digunakan pada himpunan yaitu himpunan yang hanya mempunyai 1 elemen.

Strain

Regenerasi dari virus sebelumnnya dan mempunyai karakteristik yang berbeda walaupun dalam satu garis keturunan.

Co-infeksi

individual populasi yang terinfeksi lebih dari 1 virus.

Co-transmisi

Suatu kondisi sebelum terjadinya Co-infeksi.

Cross-transmisi. Transmisi virus yang terjadi diantara individual populasi terinfeksi.

Disertasi


HARIYANTO


Simbol

DAFTAR SIMBOL

Ω1

Domain dari individual populasi yang bergerak di lokasi 1.

Ω2

Domain dari individual populasi yang bergerak di lokasi 2.

( − ∗ −)

Operator dari integral konvolusi

R0

Bilangan reproduksi dasar.

R

Bilangan real.

maks( R0 )

Nilai maksimum dari R0 yang digunakan.

U−

Titik kesetimbangan bebas virus.

U+

Titik kesetimbangan endemik.

ϕ (u 0 )

Operator ϕ yang didefinisikan pada u 0 .

D1J

Koefisien diffusi dari virus super-strain di lokasi 1

f ( X (t ), t )

Norm matriks. f ( X (t ), t ) adalah nilai maksimum dari k (t ) yang memenuhi f ( X (t ), t ) < k (t ) maks X .

C(Ω1 , R)

Himpunan fungsi kontinu dengan domain di lokasi 1 untuk t ∈ R

∇2

Operator Laplacian

Δx

Operator beda pada x.

∫

Operator integral untuk integrand dengan domain di lokasi 1.

Ω1

π (M , K )

Menyatakan himpunan π ( x, t ) : x ∈ M , t ∈ K .

∑

Deret penjumlahan.

Disertasi


HARIYANTO


INTISARI KONSTRUKSI MODEL MATEMATIKA KOALISI ANTARA VIRUS INFLUENZA H5N1 DAN H1N1 PANDEMIK Hariyanto Jurusan Matematika FMIPA-ITS Basuki Widodo Jurusan Matematika FMIPA-ITS C.A. Nidom AVIAN Influenza Researc Center - UNAIR I. Nyoman Budiantara Jurusan Statistik FMIPA ITS Keberadaan Genotipe dari virus H5N1 menunjukkan

bahwa semua novel

genotipe selalu ditemukan dalam bentuk isolasi pada unggas dan burung domestik, virus H5N1 mampu beradaptasi pada binatang maupun manusia jika terjadi mutasi pada asam amino protein PB2 nomor 627 dan 701, sedangkan Virus H1N1-p

sudah mampu

beradaptasi terhadap binatang maupun manusia tanpa mutasi 627. Kedua virus tersebut mempunyai struktur yang sama yaitu 8 gen yang saling lepas sehingga sangat mudah untuk terjadi koalisi, untuk mengetahui proses terjadinya koalisi serta potensi terjadinya pandemik dari strain baru maka pada penelitian dilakukan konstruksi model matematika dengan mengamati setiap perubahan subpopulasi yang disebabkan oleh gerakan dinamis dan evolusi genetika pada setiap individual populasi. Analisis persistensi terhadap penyebaran virus influenza H5N1, H1N1-p dan Super-Strain dilakukan pada setiap tahapan konstruksi model yang didefinisikan sebagai metric transmisi, sedangkan untuk mengetahui penyebaran secara global maupun lokal dapat dilakukan dengan menganalisis terhadap kecepatan gelombang penyebaran dan kemampuan virus dalam melakukan transmisi.Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa virus super strain persisten terhadap

Disertasi


HARIYANTO


perubahan yang terjadi pada penyebaran virus influenza H1N1 pandemik akan tetapi persisten terhadap penyebaran virus influenza H5N1 pada kondisi stabil. Kata Kunci : Model Matematika, Koalisi virus influenza, Persistensi, Kecepatan gelombang..

Disertasi


HARIYANTO


ABSTRACT The Construction of Mathematics Coalision Models between H5N1 and Pandemic H1N1 Influenza Virus Hariyanto Mathematics Departement of ITS and Doctorate student in Airlangga University Basuki Widodo Mathematics Departement of ITS CA Nidom AVIAN Influenza Reseach Center - UNAIR I. Nyoman Budiantara Statistics Departement of ITS

The existence of genotypes of H5N1 viruses show that all novel genotype are always found in the form of isolation in poultry and domestic birds. The H5N1 virus adapting to humans and animals if there is a mutation in the PB2 protein amino acid numbers 627 and 701. While, the pandemic H1N1 virus has been able to adapt to animals and humans without mutations of 627. Both the virus have the same structure that is independent of the other eight genes that are so very easy to happen coalition. To understand the process of the coalition, as well as the potential for a pandemic of a new strain have been done. The construction of a mathematical model is applied to observe any changes in subpopulations that cause a dynamic movement and evolution genetics of each individual of the population. The analysis of the persistence of the spread of the H5N1 and the pandemic of H1N1 influenza virus and Super - Strain perform at each stage of the construction of the model. The model is defined as a metric transmission, in which it determines the spread globally and locally. It can be done by analyzing the spread of the wave speed and the ability of the virus to transmit. The oftained results

Disertasi


HARIYANTO


show that the super virus strains against persistent changes in the spread of the pandemic H1N1 influenza virus. However, if against persistently the spread of H5N1 influenza virus in a stable condition. Keywords: Mathematical Model, Influenza virus coalition, Persistence, wave speed.

Disertasi


HARIYANTO


Barang siapa menemukan ( merintis ) sesuatu yang baru dan baik maka baginya pahala atas penemuannya dan pahala bagi orang yang mengamalkannya ( Al- Hadits )

Disertasi


HARIYANTO


BAB I PENGANTAR 1.1

LATAR BELAKANG Koalisi diantara virus akan terjadi jika material genetika dari beberapa species

bergabung dan menghasilkan species baru yang mempunyai karakteristik berbeda tetapi masih mempunyai garis keturunan dari species sebelumnya. Koalisi dari virus influenza terjadi berasal dari genome yang terdiri dari 8 segmen berbeda pada RNA dan segmensegmen tersebut mirip dengan minikromosom yang setiap saat akan menyatu. Jika host yang berperan sebagai mixing vessel terinfeksi oleh 2 virus dengan strain yang berbeda maka kemungkinan yang terjadi adalah terbentuknya pasangan viral partikel baru. Partikel tersebut terbentuk oleh segmen-segmen asli, yang dapat berasal dari salah satu strain. Pasangan viral partikel tersebut disebut sebagai strain baru, yang akan menjadi bagian dari kedua virus tersebut. Pada umumnya koalisi yang terjadi berbentuk genetik shift, antara lain pandemik dari strain virus influenza Asian H2N2 pada tahun 1957, rekombinasi yang terjadi antara virus H5N1 dan H1N1 tahun 1918 dan potensi terjadi pandemik dari virus influenza H1N1 sebagai rekombinasi antara virus influenza burung,babi dan manusia (Trampuz et al., 2004,Flahault et al.,2009). Penyebaran virus influenza burung H5N1 secara global juga terjadi di Indonesia yang berpotensi terjadinya koalisi dengan virus manusia. Beberapa penelitian di laboratorium telah dilakukan antara lain koalisi antara H5N1 unggas A/Chicken/South Kalimantan/UT6028/06(SK06H5N1 dengan H3N2 A/Tokyo/UT-SK1/Tok07.H3N2 yang menghasilkan virus dengan patogen tinggi. Mutasi genetika yang dihasilkan dari outbreak flu babi pada tahun 2009 adalah H1N1 Pandemik yang sangat mudah dan cepat menyebar dari manusia ke manusia serta mampu beradaptasi terhadap manusia tanpa melalui asam amino.Virus influenza H5N1 sangat mudah berkoalisi dengan virus influenza H1N1-p jika kedua virus bertransmisi pada host yang sama (Lie et al.,2009;WHO.,2008). Untuk mengetahui pola penyebaran virus influenza secara global, Arino et al.,(2005) mengkonstruksi model berdasarkan pada transmisi virus pada multi species single strain

1 Disertasi


HARIYANTO


dimana individual bergerak dinamis pada beberapa lokasi sehingga model dapat digunakan untuk mengetahui pola penyebaran pada lokasi lainnya terhadap lokasi utama. Model yang diperoleh berbentuk sistem persamaan differensial biasa. Sedangkan Byluss,K.B.,(2005) mengembangkan konstruksi model global dengan menggunakan operator integral konvolusi dan operator diffusi sebagai distribusi lokasi dan global sehingga model yang diperoleh berbentuk sistem reaksi-diffusi. Pada penelitian yang lain, Coburn et al.,(2011) mengkonstruksi model penyebaran virus influenza H1N1 dan H5N1 berdasarkan pada kontak dan interaksi yang terjadi pada multi species sehingga transmisi dari multi strain yang terjadi pada individual berada pada lokasi yang tetap. Pergerakan dinamis dari individual hanya diamati pada satu lokasi secara tertutup. Domain dari penelitian disertasi adalah koalisi antara virus influenza H5N1 dan H1N1 pandemik. Penyebaran dari virus influenza H5N1 diamati menyerang pada unggas dan manusia dan H1N1-p menyerang pada manusia, pola penyebaran virus

tersebut

dinamakan multi strain multispecies. Konstruksi model matematika dilakukan secara bertahap berdasarkan pada proses koalisi, yang terdiri dari kontak dan interaksi dari 2 jenis individual yang bergerak pada 2 lokasi. Telah diketahui bahwa virus influenza H5N1 mempunyai patogenitas tinggi dan H1N1 pandemik mampu beradaptasi pada manusia sehingga pada setiap lokasi mempunyai peluang yang sangat besar untuk terjadi koalisi pada manusia.

1.1.1

Kajian Masalah Berdasarkan pada latar belakang masalah tersebut

maka kajian masalah yang

dilakukan adalah: 1. Penyebaran virus H5N1 dan H1N1 pandemik yang mempunyai 8 gen saling lepas mempunyai peluang yang sangat besar terjadinya koalisi. Selain itu kedua virus tersebut sangat mudah untuk bermutasi melalui asam amino dan kedua-duanya mampu beradaptasi terhadap manusia dan binatang. 2. Persistensi terhadap pathogenitas dari virus tersebut mencerminkan eksistensi virus yang memberikan peluang untuk bermutasi maupun koalisi.

2 Disertasi


HARIYANTO


3. Di Indonesia, virus H1N1 pandemik beradaptasi terhadap manusia, demikian pula flu burung (H5N1) beradaptasi pada hewan dan manusia artinya dengan mobilitas yang dinamis dari individual populasi dapat memperluas wilayah penyebaran, oleh karena itu terdapat peluang terjadinya pandemik dari koalisi antara virus H5N1 dengan H1N1 pandemik.

1.2

RUMUSAN MASALAH 1. Bagaimana membangun konstruksi model matematika koalisi virus influenza H5N1 dengan H1N1 pandemik sebagai suatu model sistem yang terdiri dari subsistemsubsistem sesuai dengan proses koalisi sampai pada co-infection dan akhirnya terdapat subpopulasi strain baru. 2. Bagaimana melakukan analisa persistensi

terhadap penyebaran virus influensa

H1N1 pandemik dan H5N1 pada masing-masing rangkaian tahapan konstruksi model koalisi, analisa eksistensi dan ketunggalan penyelesaian dari masing-masing tahapan proses koalisi dan bagaimana melakukan analisa terhadap model sistem koalisi sebagai sistem dinamik. 3. Bagaimana membangun model sistem traveling wave front dari model subsistem strain baru dan menganalisis kecepatan penyebaran virus baru serta menentukan jumlah gelombang dan panjang gelombang penyebaran virus baru.

1.2.1 Batasan Masalah Batasan masalah pada penelitian ini adalah: 1. Lokasi sebagai obyek mempunyai jarak atau saling bersinggungan, dan pada penelitian ini diambil 2 lokasi. 2. Virus influensa H5N1 dan H1N1 pandemik distribusi penyebarannya merata pada kedua lokasi tersebut dengan spesifikasi bahwa H5N1 mempunyai phatogenitas tinggi yang transmisinya melalui kontak dan interaksi dari unggas ke manusia. Sedangkan H1N1 pandemik beradaptasi pada manusia dan binatang, kedua virus tersebut mempunyai gen yang saling lepas sehingga mudah untuk koalisi.

3 Disertasi


HARIYANTO


3. Populasi host yang terdiri dari manusia dan unggas bergerak dinamis sehingga lokasi dianggap sebagai domain yang terbuka.

p q 4. Fungsi transmisi dari kedua virus berbentuk f ( S , I ) = βS I dengan p = q = 1dan dibangun dengan menggunakan hukum energi dengan mass infection sebagai landasan untuk formulasi kwantiti pada perubahan setiap subpopulasi. 5. Virus influensa H5N1 pada penelitian ini diambil khusus untuk virus yang hanya invasi pada manusia dan unggas.yaitu salah satu tipe virus dari 170 varian yang berada di Indonesia.

1.3 TUJUAN .PENELITIAN Tujuan dari penelitian desertasi ini adalah memberikan penyelesaian yang berkaitan dengan permasalahan obyek penelitian, permasalahan tersebut berkaitan dengan strategi pencegahan dan pengelolaan penyebaran virus influenza. Secara khusus; tujuan penelitian ini adalah: 1. Membangun konstruksi model matematika koalisi virus influenza H5N1 dengan H1N1 pandemik sebagai suatu model sistem yang terdiri dari subsistem-subsistem sesuai dengan proses koalisi sampai pada co-infection dan akhirnya

terdapat

subpopulasi strain baru. 2. Melakukan analisa persistensi

terhadap penyebaran virus influensa H1N1

pandemik dan H5N1 pada masing-masing rangkaian tahapan konstruksi model koalisi, analisa

eksistensi dan ketunggalan penyelesaian dari masing-masing

tahapan proses koalisi

dan melakukan analisa terhadap model sistem koalisi

sebagai sistem dinamik. 3. Membangun model sistem traveling wave front dari model subsistem strain baru dan menganalisis kecepatan penyebaran virus baru serta menentukan jumlah gelombang dan panjang gelombang penyebaran virus baru.

4 Disertasi


HARIYANTO


1.4 MANFAAT PENELITIAN Manfaat yang dapat diperoleh dari penelitian disertasi ini adalah: 1. Virus influenza H5N1 dan H1N1 pandemik merupakan virus dengan genetika yang tidak stabil sehingga sewaktu-waktu dapat berubah dengan melalui berbagai macam sebab antara lain mutasi dan koalisi, oleh karena itu penelitian disertasi ini dapat memberikan informasi lebih awal melalui kajian berbentuk analisa pada konstruksi model matematika koalisi. 2. Kecepatan gelombang penyebaran diprediksi berdasarkan pada penyelesaian sistem persamaan traveling wave yang dapat memberikan gambaran terhadap pengambil kebijakan yang berkaitan dengan akan terjadinya pandemik.

5 Disertasi


HARIYANTO


BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 DEFINISI Pada penelitian disertasi dimulai dengan melakukan beberapa kajian yang berkaitan dengan tujuan penelitian antara lain mengumpulkan beberapa materi yang diperlukan yang terbagi dalam 5 bagian yaitu: 1. Phenomena obyek, menjelaskan beberapa pustaka rujukan berupa jurnal dan artikel yang membahas tentang virus influenza A antara lain virus influenza H5N1, H1N1 pandemik dan koalisi dari kedua virus tersebut di Indonesia. 2. Pemodelan Matematika, menjelaskan beberapa pustaka rujukan yang berkaitan dengan model matematika untuk penyebaran virus dengan berbagai pendekatan antara lain model matematika penyebaran virus spasial, antar kota/wilayah, network spasial dan model matematika dibangun berdasarkan perubahan yang terjadi pada genetika virus. 3. Reproduksi dasar, menjelaskan beberapa pustaka rujukan yang berkaitan dengan trasnmisi kedua pada individual susceptible yaitu bilangan reproduksi dasar R0 . 4. Traveling wave, menjelaskan beberapa pustaka rujukan yang berkaitan dengan kecepatan gelombang penyebaran virus antara lain transformasi/ reduksi model pada penyebaran virus influenza. 5. Analisis, menjelaskan beberapa pustaka rujukan yang berkaitan dengan analisa persistensi, eksistensi dan ketunggalan.

2.1.1

Phenomena obyek.

Virus influenza H5N1 dan H1N1 Pandemik Kode genetik dari virus influenza tipe A adalah hemaglutinin atau disingkat H dan neuraminidase atau disingkat N dengan masing-masing terdiri dari 16 subtipe H dan 9 subtipe N, subtipe dari kode genetik pada virus influenza sangat mempengaruhi invasi virus tersebut pada manusia, unggas dan binatang. Perubahan yang terjadi pada kode genetik

6 Disertasi


HARIYANTO


mengakibatkan terjadinya evolusi genetik yang berbentuk mutasi atau koalisi (Al Hajjar and Mcintosh.,2010; Liu et al.,2009). Pandemik adalah epidemik dengan penyebaran yang sangat luas ( penyebaran virus yang diukur berdasarkan pada lokasi penyebarannya ) disebabkan oleh novel virus yang berpengaruh terhadap sebagian atau semua kelompok usia dengan satuan bulan untuk periode penyebarannya, novel virus dapat pula terjadi epidemik yang lebih besar dan meluas pada beberapa negara dalam waktu yang sama. Beberapa indikator yang menunjukkan terjadinya pandemik pada penyebaran virus influenza yaitu munculnya strain baru dan menyebar dari manusia ke manusia. Di Indonesia, penyebaran virus influenza dimulai pada unggas dan kemudian menyebar pada manusia. Penyebaran tersebut dalam jumlah kasus rendah dengan angka kematian ( case fatality rate) sangat tinggi yaitu 60%-80% (Trampuz et al.,2004;WHO,2008). Tabel 2.1: Konfirmasi tentang manusia yang terinfeksi virus influenza A-H5N1 di Indonesia. Tahun Juli 2005-Nopember 2006

Jumlah kasus 479 kasus komulatif, 33 kasus konfirmatif

Juli 2006- Juni 2007

Jumlah meninggal 74 orang positif terinfeksi, 56 meninggal 42 orang meninggal

Sampai dengan Januari 2008

124 kasus

101 orang meninggal

.Sampai dengan Juni 2008

135 kasus

112 orang meninggal

20 kasus

19 orang meninggal

1 Januari 2009 s/d 28 Desember 2009 Sampai dengan April 2010 Sampai dengan 24 Januari 2012

136 orang meninggal 11 kasus yang terjadi di tahun 2011

184 orang positif terinfeksi dan 152 orang meninggal

Sumber: (WHO.,2008).

7 Disertasi


HARIYANTO


Virus swine H1N1 merupakan subtipe dari virus influenza A secara kontinu bersirkulasi pada babi, di US,Asia dan Eropa

antigenik virus tersebut relatif stabil.

Transmisi silang dari virus H1N1 swine secara periodik terjadi pada manusia, dan terjadi outbreak di Hongkong pada tahun 2009

yang dikenal dengan virus influenza H1N1

pandemik. Pandemik dari virus influenza A manusia diberikan pada tabel berikut ini Tabel 2.2: Pandemik virus influenza A –manusia Tahun

Nama virus

Subtipe

Negara asal

Viral gene

19181919

Spanish flu

H1N1

China, Europe, South America

Unclear,contains mamalian and avian gene

25-50 juta

1957

Asian flu

H2N2

China

>1juta

1968

Hongkong flu

H3N2

China

1977

Russian flu

H1N1

China ,Russia

Reassortment with avian virus Reassortment with avian virus Reappereance of 1950 H1N1 virus

2009

Swain flu

H1N1

Meksiko

Diduga terjadi karena coinfection dan reassortment

Terdapat 137.232 kasus

Meninggal

>1juta

Low mortality

Sumber(WHO.,2008). Dari Tabel tersebut diatas dapat diketahui bahwa periode terjadinya pandemik virus influenza A – manusia antara 9 s/d 38 tahun. Muncul strain baru sebagai hasil koalisi antara virus influenza A-manusia ( H2N2 dan H3N2 ) dengan virus influenza A – burung sebanyak 2 kali. Sedangkan, 1 kali terjadi outbreak flu babi pada tahun 2009, virus tersebut mampu beradaptasi pada manusia maupun binatang tanpa harus bermutasi dengan asam amino Pb2 kode 627.

8 Disertasi


HARIYANTO


Koalisi virus influenza di Indonesia Virus influenza H5N1 mulai masuk ke Indonesia pada tahun 2003 dan sampai tahun 2009

berada ada phase 4 dengan FCR sebesar 76,28%, kondisi yang sangat

mengkawatirkan pada awal tahun 2010 dengan 20 kasus 19 diantaranya meninggal dunia. Berdasarkan hasil dari penelitian menunjukkan bahwa di Indonesia terdapat 170 variant flu burung yang terdiri dari 3 jenis virus dengan variasi invasi yang berbeda-beda tarhadap Host. Virus influenza H1N1 pandemik diperkirakan menyebar di Indonesia sekitar awal tahun 2010 dengan kharakteristik yang mudah menyebar dari manusia ke manuisa dan mudah beradaptasi, jika virus H5N1 yang beradaptasi pada manusia melalui Pb2 bertemu dengan virus influenza yang transmisinya melalui kontak dari manusia ke manusia maka kedua virus tersebut akan sangat mudah untuk berkoalisi(Liu et al.,2009;Lie et al.,2009; WHO,2008).

2.1.2 Pemodelan matematika Model matematika influenza sebagai model epidemiologi dibangun berdasarkan model kompartemen, phenomena epidemiologi sebagai obyek terdiri dari

komponen

individual populasi yang bergerak dinamis. Salah satu metode pendekatan yang dapat digunakan untuk membangun model epidemiologi adalah menyusun jaringan kontak pada populasi individual (host ). Pada pustaka ini, model matematika dibangun dengan menggunakan model kompatemen standar yaitu SIS atau SIR dengan tujuan untuk menentukan keterkaitan antara managemen virulence dengan struktur kontak pada individual populasi. Evolusi virulence pada host yang berkaitan dengan kontak network diantara host ekivalen dengan transmisi virus. Jika multiple infeksi merupakan faktor yang menentukan terjadinya evolusi virulence maka akan terdapat umpan balik melalui epidemiologi. Banyaknya strain menyebabkan host bergantung pada wilayah populasi virus maupun perubahan yang terjadi pada evolusi virulence, host diasumsikan dalam bentuk sosial network yang tetap, jika setiap host melakukan kontak dengan host lainnya sebanyak n maka kontak yang tarjadi merupakan hasil dari interaksi host terhadap sekelilingnya ( host pada graph dinyatakan sebagai vertex sehingga terdapat n + 1 vertex ). Setiap host dapat dinyatakan sebagai

9 Disertasi


HARIYANTO


individual susceptible S dan dapat terinfeksi oleh satu dari dua strain I dan J (recovered dan immune). Perubahan yang terjadi pada host ditunjukkan pada Tabel berikut ini:

Tabel 2.3. Perubahan pada status individual Event

Mirror image

Infection

βI 2

I 2 S1 → I 2 J 1 SI1 I→ J 1 Recovery

Rate

βJ

ϑI

JS JJ I 2 → R1

2

ϑJ

J 1 → R1

Loss of immunity

1

1

ρ

J →RS R 1 1 S

Sumber: (Kelling et al.,2005). Dalam bentuk network, tabel tersebut dapat digambarkan sebagai berikut:

I2 •

R1 • I1 •

S1 • S2 •

J1 •

Gambar 2.1. Network dari perubahan status individual. Mixing network diantara populasi susceptible dan terinfeksi terjadi karena terdapat kontak antara individual susceptible S1 dengan individual terinfeksi I 2 atau ditulis secara simbolik S1 I 2 , transmisi virus pada S1 menyebabkan terjadi perubahan pada S1 sebesar

S1 I 2 , demikian pula untuk individual populasi lain yang dinyatakan pada network tersebut (Kelling et al.,2005).

10 Disertasi


HARIYANTO


Pada bembahasan berikut, ditunjukkan bahwa transmisi suatu virus pada individual dapat berbentuk fungsi transmisi T ( S , I ), fungsi transmisi atau rate incidence adalah banyaknya kasus baru persatuan waktu dan merupakan komponen utama dari setiap model epidemiologi. Untuk model susceptible dinyatakan

d S (t ) = −T ( S , I ) dengan fungsi dt

transmisi T ( S , I ) sebagai kontak sebarang antara S dan I . Jika model dengan ukuran populasi konstan maka akan terdapat 2 fungsi transmisi yang berasal dari 2 titik dengan pupulasi sebagai peubah. Fungsi transmisi yang berbentuk bilinear dapat digunakan pada model epidemiologi yaitu

T ( S , I ) = β S p I q , p, q > 0

2.2

Bentuk fungsi transmisi tersebut digunakan bergantung pada keadaan phenomena yang diamati, berikut penjelasannya: 1. Fungsi

transmisi

berbentuk

T ( S , I ) = βS p I digunakan

untuk

mengamati

konsekuensi dari bermacam asumsi jika hukum atau aturan yang berkaitan dengan phenomena tidak diketahui. 2. Fungsi transmisi berbentuk T (S , I ) = βSI q

adalah fungsi transmisi yang

digunakan untuk fungsi transmisi yang tidak linear. Untuk mendapatkan formulasi model digunakan asumsi bahwa populasi susceptible dan infeksi heterogen dan misalkan S (t , w1 ) dan I (t, w2 ) menyatakan densitas dari susceptible

dan

infeksi

yang

independen

sehingga β (w1 , w2 ) = β1 (w1 )β 2 (w2 ).Jika

banyaknya susceptible dengan nilai w1 yang terinfeksi oleh individual terinfeksi dengan nilai w2 maka

β (w1. , w2 )S (t , w1 ).I (t , w2 ) = β1 (w1. )S (t , w1 )β 2 (w2 ) I (t , w2 ) dan total perubahan pada subpopulasi terinfeksi dengan nilai karakteristik w2 adalah n

.I (t , w2 )∑ β ( w1i , w2 )S (t , w1i )Δw1i = I (t , w2 ){β ( w11 , w2 ) S (t , w11 )Δw11 + i =1

β ( w12 , w2 ) S (t , w12 )Δw12 ... + β ( w1n , w2 ) S (t , w1n )Δw1n , untuk n besar dapat diperoleh

11 Disertasi


HARIYANTO


.I (t , w2 ) ∫ β ( w1 , w2 ) S (t , w1 )dw1 = β 2 (w2 ) I (t , w2 ) ∫ β1 .( w1 ) S (t , w1 )dw1 Ω1 Ω1

2.3

dengan kondisi awal

I (0, w2 ) = pi (0, w2 ) I (0), s(0, w1 ) = p s (0, w1 ) S (0) (Novozhilov, A.2008). Model spasial dari influenza

pertama kali dikembangkan pada tahun 1960,

kemudian dikembangkan menjadi bentuk model penyebaran geografik dari influenza di Uni Sovyet dengan menggunakan data perjalanan. Untuk melakukan kajian pengaruh dari perjalanan terhadap model pandemik influenza dilakukan kuantifikasi terhadap perjalanan tersebut sehingga dapat diketahui penyebaran influenza secara geografik. Model epidemik influenza yang terjadi di 9 kota di Eropa digunakan untuk mengestimasi derajat keterkaitan antara epidemik di kota utama dan juga digunakan untuk mengetahui sinkronisasi spasial dan temporal dari epidemic influenza yang terjadi

di kota lainnya (Coburn et

al.,2011;Flahault et al.,2009). Pemodelan berikutnya dibangun berdasarkan pada

asumsi bahwa individual

bergerak dan akan kembali pada lokasi tetapnya artinya bahwa individual mempunyai tempat ataupun lokasi yang tetap untuk waktu tertentu, dengan demikian individual melakukan gerakan terbatas dan populasi dari individual mempunyai distribusi uniform. Misalkan setiap individual mempunyai posisi spasial x dengan lokasi tetap x , individual h yang berada pada lokasi tetap konstan tetapi posisi individual berubah berdasarkan pada random walk atas waktu, secara khusus, diasumsikan bahwa individual adalah attracted pada lokasi tetapnya dengan rangkaian perubahan tempat dari lokasi tetapnya sebesar

x − x . Misalkan posisi awal y dengan density probabilitas p( x y , x , t ), jika individual h h bergerak dari y ke lokasi tetapnya kemudian bergerak ke posisi spasial x maka pergerakan individual tersebut merupakan gerak Brownian berbentuk

∂p ∂2 p ∂ = D 2 + α [( x − xh ) p] ∂t ∂x ∂x

2.4

dengan kondisi awal p( x y , x ,0) = δ ( x − y), D sebagai rate diffusi dan α adalah h kekuatan atractive dari individual terhadap lokasi tetapnya. Persamaan 2.4 mempunyai penyelesaian:

12 Disertasi


HARIYANTO


⎧ − α [( x − x ) − ( y − x )e −α .t ⎫ 1 ⎪ ⎪ h h p( x y , x , t ) = Exp⎨ ⎬ h −2α .t ) α − 2 t − 2 ( 1 D e ⎪⎭ ⎪ 2π (1 − e )D α ⎩

2.5

Model tersebut digunakan untuk menunjukkan bahwa terdapat kecepatan minimum c ∗ pada penyelesaian traveling wave dan dalam keadaan yang realistis kecepatan gelombang lebih besar dari c ∗ (Reluga et al.,2011). Metode pemodelan berikutnya membagi populasi menjadi beberapa subpopulasi dengan menyertakan komparteman latent, jika individual berada pada periode latent yang kemudian berada pada klas infeksi maka rate dari perubahan populasi terinfeksi pada waktu t dan lokasi x bergantung pada individual baru terinfeksi persatuan waktu t + Δt , misalkan terdapat peubah penyakit dalam individual a selama τ dapat ditulis E (t , a, x) yang menyatakan density dari populasi ekspose pada waktu t dan lokasi x. Model standar yang sering digunakan dengan populasi yang terbagi dalam struktur usia maka diffusi spasial dapat dinyatakan sebagai berikut (Li and Zou. 2009):

∂E (t , a, x) ∂E (t , a, x) ∂ 2 E (t , a, x) + = D( a ) - (σ (a) + γ (a) + d ) E (t , a, x) ∂t ∂a ∂x 2

2.6

dengan D (a ) , σ (a ) dan γ (a ) adalah rate diffusi, rate mortalitas dan rate recovery pada usia a dan d rate kematian natural dengan kondisi batas

E (t , a,±.∞) < ∞

2.7

∞ I (t , x) = ∫ E (t , a, x).da

2.8

τ τ

L(t , x) = ∫ E (t , a, x).da 0

2.9

dari persamaan (2.8) dideferensialkan terhadap t diperoleh:

∞ ∂ ∂ I (t , x) = ∫ ( E (t , a, x))da ∂t τ ∂t ∞ ∂ ∂ 2 E (t , a, x) - (σ (a) + γ (a) + d ) E (t , a, x) da I (t , x) = E (t ,τ , x) + ∫ ( D(a) ∂t ∂x 2 τ

2.10

menyatakan perubahan yang terjadai pada populasi terinfeksi(Li and Zou,2009).

13 Disertasi


HARIYANTO


Andaikan terdapat populasi yang terletak pada 2 lokasi yaitu Ω1 dan Ω 2 dengan ukuran

L1 dan L2 , populasi dibagi dalam 3 klas yaitu susceptible, infected dan recovered dengan densiti spasial S i ( xi , t ), I i ( xi , t ) dan Ri ( xi , t ) yang saling berhubungan dalam lokasi i dengan i = 1,2 , densiti dari total populasi pada 2 lokasi tersebut adalah N1 ( x1 , t ) dan

N 2 ( x2 , t ) maka total populasi pada kedua lokasi tersebut adalah TP (t ) =

∫

N1 ( x1 , t )dx1 +

Ω1

∫N

2

( x2 , t )dx 2 .

2.11

Ω2

Diasumsikan bahwa pergerakan individual kelokasi 1 sama dengan proporsi dari populasi pada lokasi 2 yang bergerak ke lokasi 1, jika diasumsikan bahwa transmisi dari virus terjadi pada kontak tertutup ( yaitu susceptible dapat terinfeksi hanya setelah kontak dengan beberapa individual terinfeksi dilokasi pada titik yang sama) dan tidak terdapat periode latent maka model penyebaran spasial dari epidemik pada 2 lokasi dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut:

∂S1 = f S ( S1 , I 1 ) + ( K 1S ∗ S1 ) − S1 ( K 12S ∗ 1) + ( K 21S ∗ S 2 ) ∂t ∂I 1 = f I ( S1 , I 1 ) − rI 1 + ( K 1I ∗ I 1 ) − I 1 ( K 12I ∗ 1) + ( K 21I ∗ I 2 ) ∂t

2.12

∂R1 = rI 1 . + ( K 1R ∗ R1 ) − R1 ( K 12R ∗ 1) + ( K 21R ∗ R2 ) ∂t dengan S i , I i dan Ri adalah vector dari individual susceptible, infected dan recovery pada model tersebut diatas diasumsikan bahwa penyakit menyebabkan terjadinya immunity permanent artinya setelah individual recovery dengan rate recovery memenuhi r ≥ 0 (Blyuss,K.B. 2005).

Tinjauan pustaka berikutnya dirujuk dari Ruan,S.(2006) yang melakukan generalisasi terhadap model Kermark-MCKendrick berbentuk persamaan diferensial integral yang bergantung pada ruang. dengan R = (−∞, ∞), R+ = [0, ∞). Misalkan S ( x, t ), I ( x, t ) dan R( x, t ) menyatakan density lokal dari individual susceptible, terinfeksi dan removed untuk t ∈ R+ dan x ∈ R dengan total populasi yang tidak bergantung

14 Disertasi


HARIYANTO


pada waktu t , diasumsikan bahwa semua individual terinfeksi dengan rate infeksi

∞

berbentuk β

∫ I ( x, t ) K ( x − y)dy dengan β > 0 konstan dan density K ( x − y) > 0 yang −∞

mempunyai kontribusi terhadap individual susceptible menjadi terinfeksi pada lokasi x setalah melakukan kontak dengan individual terinfeksi yang berasal dari lokasi y. Individual yang removed dinyatakan sebagai immune atau mati dengan rate removal γ > 0 berbentuk γI ( x, t ) ( γI ( x, t ) menunjukkan bahwa mati disebabkan oleh penyakit yang menyebar berarti terjadi penggabungan individual pada subpopulasi removed dan tidak mempengaruhi perubahan yang terjadi pada subpopulasi terinfeksi ), dengan penjelasan tersebut diatas maka model Kendal dapat dinyatakan sebagai berikut: ∞ ∂S = − β S ( x, t ) ∫ I ( y, t ) K ( x − y )dy ∂t −∞ ∞ ∂I = βS ( x, t ) ∫ I ( y, t ) K ( x − y )dy − γI ( x, t ) ∂t −∞

2.13

∂R = γI ( x, t ) ∂t Kondisi tunak dari sistem 2.13 diberikan oleh S = σ , I = R = 0 dengan σ > 0 konstan. Untuk melakukan kajian tentang perilaku asimtotik dari penyelesaian sistem tersebut diberikan oleh nilai awal sebagai berikut:

S (x,0) = σ , I ( x,0) = I 0 ( x) , R( x,0) = 0, x ∈ R

2.14

dengan I ( x) > 0 kontinu sedemikian hingga I ( x) ≡ 0 dan I ( x) ≠ 0 dalam [ x0 , ∞) untuk 0 suatu x0 ∈ R (Ruan,S. 2006). Model yang akan dibahas berikutnya adalah model multi species yang dibangun berdasarkan pada transmisi silang diantara 2 species yaitu burung sebagai host dan nyamuk sebagai vektor sehingga model sistem diperoleh dari interaksi antara burung dengan nyamuk yang terinfeksi, sedangkan submodel sebagai bagian dari sistem dibangun berdasarkan pada transmisi yang terjadi pada burung dan untuk transmisi pada nyamuk dapat diperoleh submodel yang dinamakan model vector.

15 Disertasi


HARIYANTO


Populasi individual burung dibagi dalam subpopulasi susceptible ( S B ), infection ( I B ), recovered ( R B ) dan mati ( X B ) dengan indek menyatakan burung dengan total populasi burung dinyatakan dengan N B =( S B + I B + R B ), sedangkan pada nyamuk dibagi dalam larva ( L N ), susceptible ( S N ), exposed ( E N ) dan infection ( I N ) untuk nyamuk perempuan dimana total populasi nyamuk perempuan dinyatakan oleh N N =( I N + S N +

E N + I N ), diharapkan model yang diperoleh secara esensial dapat mencakup dinamika dari penyakit yang berkaitan dengan WN dengan penjelasan sebagai berikut: 1. Model dibangun hanya untuk mengamati penyebaran virus west nile melalui transmisi silang antara nyamuk sebagai vektor dan host burung tanpa malakukan prediksi terhadap kemungkinan terjadinya pandemik. 2. Submodel dari nyamuk memberikan gambaran tentang pertumbuhan populasi nyamuk yang heterogen sehingga sangat mempengaruhi populasi nyamuk yang terinfeksi virus west nile dan berakibat meningkatkan rate trasnmsisi dari virus (Wonham et al.,2004). Model berikutnya merupakan pengembangan dari model pada Wonham et al.(2004) dengan 3 species dan model berbentuk sistem persamaan diferensial biasa yang digunakan sebagai landasan untuk melakukan monitoring terhadap populasi dinamik temporal dari nyamuk perempuan susceptible M u (t ), nyamuk perempuan terinfeksi M i (t ), burung susceptible Bu (t ), burung terinfeksi Bi (t ), manusia susceptible S (t ), manusia terinfeksi tanpa tanda-tanda E (t ), manusia terinfeksi dengan tanda-tanda I (t ), manusia terinfeksi dengan penanganan rumah sakit H (t ), manusia yang terinfeksi kemudian sembuh

R(t ), model dibangun berdasarkan karakteristik phenomena dari west nile yaitu: 1. Terjadi transmisi silang antara vector nyamuk dengan host burung artinya nyamuk terinfeksi oleh karena mendapatkan makanan berupa darah dari burung, demikian pula dapat terjadi pada burung terinfeksi, oleh karena gigitan nyamuk yang terinfeksi maka penyebaran virus dapat terjadi pada masing-masing species sehingga diperoleh model penyebaran pada nyamuk dan model penyebaran pada burung sebagai submodel.

16 Disertasi


HARIYANTO


2. Transmisi virus pada manusia terjadi jika transmisi dilakukan oleh nyamuk melalui gigitannya dan transmisi pada manusia tidak simetris, belum terjadi transmisi virus pada species yang sama.

N M = M u (t ) + M i (t ) menunjukkan total populasi dari nyamuk perempuan dalam komunitas, N B = Bu (t ) + Bi (t ) adalah total populasi dari burung dalam komunitas dan

N H = S (t ) + E(t ) + I (t ) + H (t ) + R(t ) adalah total populasi manusia. Populasi dari nyamuk perempuan susceptible meningkat melalui burung atau migrasi dari nyamuk susceptible pada tingkat konstan Π M , populasi tersebut akan berkurang oleh karena terinfeksi dan meninggal dengan rate µ B , submodel dari nyamuk dapat dinyatakan dalam bentuk sistem persamaan differensial sebagai berikut:

dM u b (N , N , N )β M B = Π M − 1 M B H 1 u i − µM M u dt NB dM i b1 (N M , N B , N H )β1 M u Bi = − µM M i dt NB

2.15

dengan b1 (N M , N B , N H ) adalah tingkat gigitan nyamuk per kapita pada host ( burung ) utama. β1 adalah probabilitas dari transmisi West Nile dari burung terinfeksi ke nyamuk tak terinfeksi, oleh karena nyamuk menggigit burung dan manusia dan jika jumlah rata-rata dari gigitan nyamuk yang diterima oleh burung dan manusia bergantung dari total populasi dari nyamuk, burung dan manusia pada komunitasnya maka dapat didefinisikan bahwa tingkat gigitan merupakan fungsi dari total populasi b1 = b1 (N M , N B , N H ) (Boman

et

al.,2005). 2.1.3 Bilangan reproduksi dasar Analisa terhadap penyebaran virus dapat dilakukan melalui 3 kuantiti threshold

R0 , σ dan R yang ketiganya saling terkait walaupun masing-masing muncul pada keadaan yang berbeda. 3 kuantiti threshold adalah 1. bilangan reproduksi dasar yang didefinisikan sebagai rata-rata banyaknya terinfeksi kedua terjadi jika individual terinfeksi masuk kedalam populasi host susceptible,

17 Disertasi


HARIYANTO


perlu dicatat bahwa

R0 juga disebut sebagai ratio reproduksi dasar atau tingkat

reproduksi dasar, secara implisit dapat diasumsikan bahwa individual yang terinfeksi berada diluar populasi susceptible dan berada pada populasi terinfeksi selama periode infeksi. 2. Bilangan kontak σ didefinisikan sebagai rata-rata banyaknya kontak yang cukup dari individual terinfeksi selama periode infeksi, pengertian kontak yang cukup adalah individual yang cukup untuk melakukan transmisi. 3. Bilangan replacement adalah rata-rata banyaknya individual terinfeksi kedua yang disebabkan oleh typical infective selama periode infeksi, beberapa peneliti menggunakan bilangan reproduksi dari pada bilangan replacement. Perlu diketahui bahwa 3 kuantiti R0 , σ dan R semuanya sama pada saat penyakit infeksi mulai menyebar pada populasi susceptible. Pada literatur pemodelan epidemiologi, bilangan reproduksi dasar R0 sering digunakan untuk kuantiti threshold yang ditentukan pada saat penyakit menyerang populasi, dengan demikian R0 hanya didefinisikan pada waktu invasi sedangkan R, σ didefinisikan pada semua waktu. Pada beberapa model matematika yang berkaitan dengan penyebaran infeksi bilangan kontak σ konstan sehingga kedua kuantiti threshold selalu sama dengan bilangan reproduksi dasar

R0 dan σ dapat digunakan secara bergantian.

Pada teorema invasi dapat ditentukan untuk kedua kuantiti tersebut akan tetapi untuk model matematika tertentu bilangan kontak σ lebih kecil dari bilangan reproduksi dasar R0 sesudah terjadinya invasi(Hectcote,H.W. 2000). Bilangan reproduksi dasar untuk network dengan n kota dapat diperoleh dengan menyelesaikan nilai eigen dari matriks Yacobian berukuran 4n x 4n. Seperti halnya pada perubahan parameter, nilai eigen harus dihitung kembali pada setiap kasus. Estimasi terhadap kondisi threshold (T0 ) dilakukan secara analitik yaitu ketika terjadi penyebaran infeksi R0 > 1 atau setelah

terjadi penyebaran infeksi R0 < 1 dan estimasi tersebut

diperoleh akan memberikan makna tentang perilaku epidemik.

18 Disertasi


HARIYANTO


Bilangan reproduksi dasar untuk multicity dapat diperoleh dengan menghitung bilangan reproduksi dasar untuk setiap kota dengan asumsi bahwa penyebaran virus diisolasi pada setiap kota dan selanjutnya dapat digunakan sebagai petunjuk untuk melakukan estimasi terhadap bilangan reproduksi untuk kota yang lain. Batas atas R0 kota ke-k untuk waktu maksimum bergantung dari infeksifitas β = β maks yang dinyatakan dalam bentuk

R0 = maks( dengan

rβ k ) φk + α

1 sebagai waktu rata-rata individual terinfeksi pada kota ke-k dan φ k φk + α

didefinisikan sebagai jumlahan dari rate mortalitas dan migrasi keluar dari kota –k dengan bentuk k

φ k = µ + ∑ Dki .

2.16

i =1

Definisi untuk batas atas dari kondisi threshold pada sistem penyebaran beberapa kota ditentukan melalui definisi bilangan reproduksi untuk setiap kota karena jika penyebaran epidemik terjadi pada satu kota maka akan terjadi persisten untuk seluruh populasi, formulasi untuk kondisi threshold tersebut adalah :

T0 = maks( R0k ) untuk k=1.2.3…n

2.17

Bentuk formulasi tersebut sebagai ukuran untuk nilai threshold saja dan bukan bilangan reproduksi dasar, sedangkan T0 akan menunjukkan indikasi yang akurat jika epidemik pada persisten populasi pada beberapa kota atau penyebaran virus berhenti. Berdasarkan pada data dari CDC tentang baseline parameter diperoleh T0 = 1.02 dan terjadi di Pittsburgh. Jika terjadi R0 ≈ T0 ≈ 1maka model akan sensitive terhadap perubahan kecil dari βr dan jika ε > 0,02 maka bilangan reproduksi yang efektif akan berada dibawah 1 pada musim summer, indikasi tersebut menunjukkan bahwa influenza tidak persisten selama kondisi summer, oleh karena T0 dan R0 bergantung secara linear pada jumlah kontak perhari maka dilakukan strategi efektif untuk memperlambat outbreak awal dari epidemik yaitu dengan

R0 ≈ 1(Hyman and LaForce,2004).

19 Disertasi


HARIYANTO


Model spasial dari proses transmisi

lokal dimulai dari fungsi U (r ) sebagai

probabilitas dari transmisi penyakit dengan

jarak r = r diantara individual, U (r )

biasanya dinyatakan sebagai kernel dan bentuk normal untuk setiap individual dalam populasi sebesar N adalah:

∫ U (r )dr = 1

2.18

Q

dengan Q sebagai luasan yang menyatakan terjadinya transmisi.dan U (r ) adalah rata –rata dari semua individual yang berada pada luasan tersebut, Hazard infeksi didefinisikan sebagai individual terinfeksi i pada lokasi y i bergerak menuju ke host susceptible j pada lokasi x j sehingga diperoleh βU ( x j − yi ) dengan

β sebagai rate kontak yaitu kontak

antara individual terinfeksi dan susceptible, dapat pula didefinisikan bahwa fungsi hazard adalah individual yang sembuh dari infeksi sebesar γ . Beberapa contoh tentang bilangan reproduksi dasar dari pergerakan individual populasi antara lain:

R0 = ∫ (1 − Ω

1

β 1 + ( )U (r ) γ

R0 = n(1 −

1

τ (1 + ) γ

)dr , untuk model spasial

2.19

) , untuk model network (Ruan,S.2006).

Pada umumnya untuk menghitung bilangan reproduksi dasar pada populasi heterogen yang dinyatakan dengan R0 dapat dilakukan dengan menentukan nilai eigen dari operator liniear generasi mendatang, jadi dengan menggunakan iterasi pada operator tersebut dapat diperoleh banyaknya individual terinfeksi pada generasi yang susceptible, model tersebut juga telah dikembangkan pada derajat 2 dalam

R0 =

β yaitu γ

β β (1 − ) γ γn

2.20

20 Disertasi


HARIYANTO


Untuk n → ∞ diperoleh R0 =

β artinya bahwa model network spasial konvergen ke mass γ

action (Parham and Paul,2006). Bilangan reproduksi dasar dapat pula sebagai ukuran dari penyebaran suatu virus, suatu sistem yang spasial maka heterogenitas populasi yang bergerak dapat dilihat pada koefisien diffusinya sehingga untuk koefisien diffusi yang lebih besar nol dapat mengurangi terjadinya penyebaran virus yang labih luas. Bilangan reproduksi dasar dapat diformulasi sebagai rate transmisi virus dibagai dengan koefisien diffusi ditambah dengan rate recovery dan akan maksimum jika rate recovery mendekati nol. Misalkan domain terbatas Ω ∈ R m (m ≥ 1) dengan ∂Ω smooth jika m > 1 maka model reaksi diffusi SIS berbentuk

∂S βSI = d S ΔS − + γI , x ∈ Ω, t > 0 ∂t S+I

2.21

∂I βSI = d I ΔI + − γI , x ∈ Ω, t > 0 ∂t S+I bilangan reproduksi dari model 2.21 ditunjukkan pada Lemma berikut ini

Lemma 2.1 Didefinisikan bilangan reproduksi dasar dari model 2.21 adalah

⎧ ⎫ βϕ 2 ∫ ⎪ ⎪ Ω R0 = Sup ⎨ ⎬ maka 2 2 ϕ∈H 1 (Ω)⎪ ∫ d I ∇ϕ + γϕ ⎪ ⎩ Ω ⎭

2.22

(a). R0 adalah fungsi positif dan monoton turun bila d I > 0 (b) R0 → Max{

(c) R0 →

∫β

Ω

∫γ

β ( x) : x ∈ Ω} untuk d I → 0 γ ( x)

untuk d I → ∞

Ω

21 Disertasi


HARIYANTO


(d) R0 > 1 jika λ∗ < 0, R0 = 1 jika λ∗ = 0 dan R0 < 1 jika λ∗ > 0 (Allen et al.,2010).

2.1.4 Traveling wave dari virus Model yang dibangun berikut ini, merupakan pengembangan dari model Kendal dengan membagi populasi menjadi subpopulasi yang homogen, individual bergerak dinamis yang bergantung pada ruang dan waktu dengan subpopulasi terinfeksi yang spasial, misalkan S ( x, t ), I ( x, t ) dan R( x, t ) menyatakan density lokal dari individual susceptible, terinfeksi dan removed.pada waktu t dalam lokasi x ∈ R dengan rate infeksi

∞

β

∫ I ( x, t ) K ( x − y)dy , −∞

oleh karena individual pada subpopulasi bergerak dinamis maka akan terdapat perubahan status terhadap penyakit. Individual yang bergerak pada setiap titik pada subpopulasi bergantung pada kecepatan traveling wave, persamaan traveling wave dapat dibangun dengan transformasi ( S ( x − ct , t ), I ( x − ct , t ), R( x − ct , t )) terhadap model sistem sehingga dengan menyelesaikan persamaan traveling wave dapat diperoleh kecepatan traveling wave(Ruan,S,2006). Perhatikan model oleh Li and Zou.(2009) yang dibangun berdasarkan pada struktur usia dan diffusi berbentuk:

∂S (t , x) ∂ 2 S (t , x) = µ+D - dS (t , x) - rI (t , x) S (t , x) S ∂x 2 ∂t ∞ ∂I (t , x) ∂ 2 I (t , a, x) - βI (t , x) + ε ∫ rI (t − τ , y ) S (t − τ , y ). fα ( x − y )dy = DI ∂t ∂x 2 −∞ dengan fα ( x) =

1 4πα

x2 e 4α , β = σ + γ + d , t > 0, x ∈ R

2.23

2.24

Penyelesaian traveling wave front dari persamaan tersebut diatas adalah penyelesaian khusus dari bentuk S (t , x) = φ ( x + ct ) dan I (t , x) = ψ ( x + ct ) dengan c > 0 sebagai kecepatan gelombang, jika persamaan 2.23 dan 2.24 mempunyai 2 kondisi tunak konstan

U − = (S − , I − ) dan U + = ( S + , I + ) sedemikian rupa sehingga fungsi φ dan ψ memenuhi

22 Disertasi


HARIYANTO


persamaan φ (−∞) = S − , ψ (−∞) = I − , φ (+∞) = S + dan ψ (+∞) = I + maka penyelesaian traveling wave disebut sebagai traveling wave front. Secara biologi, traveling wave front merupakan kondisi terjadinya perubahan dari kesetimbangan U − menuju kesetimbangan

U + berdasarkan pada nilai dari kondisi tunak U − dan U + . Sedangkan kecepatan gelombang dapat menjelaskan kecepatan penyebaran spasial dari penyakit dan kemudian dapat mengukur bagaimana kecepatan penyakit tersebut menyerang secara geografik. Dengan demikian traveling wave front sangat penting untuk model penyakit dengan heterogenitas yang spasial. Model spasial dari penyebaran virus WN merupakan pengembangan secara spasial terhadap model dinamika non spasial yang menghasilkan model kompleks, reduksi model dilakukan agar supaya lebih mudah untuk melakukan analisa terhadap penyebaran virus dengan memberikan beberapa asumsi sehingga diperoleh model berbentuk:

∂I V ∂ 2 IV I = α V β R R ( AV − I V ) − dV I V + ε NR ∂t ∂x 2 ∂I R NR − IR ∂2IR = αRβR IV − γ R I R + D 2 ∂t NR ∂x

2.25

dengan AV , N R konstan dan I V ( x,0) + I R ( x,0) > 0 atau dapat ditulis

∂ ⎡ I V ⎤ ∂2 D = ∂t ⎢⎣ I R ⎥⎦ ∂x 2 ⎡ε dengan f ( f1 , f 2 ) T dan D = ⎢ ⎣ 0

⎡ I V ⎤ ⎢ I ⎥ + ⎣ R ⎦

⎛ ⎡ I ⎤ ⎞ f ⎜⎜ ⎢ V ⎥ ⎟⎟ ⎝ ⎣ I R ⎦ ⎠

2.26

0 ⎤ D ⎥⎦

Untuk mendapatkan penyelesaian traveling wave, perhatikan definisi berikut ini:

Definisi 2.1 Penyelesaian traveling wave dengan kecepatan c untuk model sistem 2.25 adalah penyelesaian yang mempunyai bentuk (I V ( x − ct ), I R ( x − ct ) ) dan berhubungan dengan titik kesetimbangan penyakit endemik dan bebas penyakit dari sistem sehingga

lim ( I V , I R ) = ( I V∗ , I R∗ ) dan

( x − ct ) → −∞

lim ( I V , I R ) = (0,0)

( x −ct )→∞

23 Disertasi


HARIYANTO


Penyelesaian traveling wave dengan kecepatan c dari model 2.25 adalah

−c −c

dI v I = εI V + α V β R R ( AV − I V ) − dV I V dt NR

dI R N − IR I V = DI R + α R β R R IV − γ R I R dt NR

2.27

dengan kondisi batas pada ± ∞ dapat ditentukan penyelesaian stasioner dari sistem diatas. Teorema 2.1 Jika kecepatan minimal dari traveling wave adalah c0 sedemikian hingga untuk setiap

c ≥ c0 maka pada model sistem tak linear akan mempunyai penyelesaian traveling wave non-increasing (I V ( x − ct ), I R ( x − ct ) ) dengan kecepatan c yang memenuhi

lim ( I V , I R ) = ( I V∗ , I R∗ ) dan

( x − ct ) → −∞

lim ( I V , I R ) = (0,0)

( x −ct )→∞

dan jika c < c0 maka bentuk tersebut diatas bukan traveling wave.

Teorema 2.2 Jika kecepatan wave minimal dari sistem tak linear 2.27 adalah c0 maka kecepatan minimal c0 sama dengan rate penyebaran c ∗ dari sistem tersebut (Lewis et al.,2006). Seperti yang dinyatakan pada model penyebaran spasial dari penyakit rabies berikut ini:

∂S = − β S ( x , t ) I ( x, t ) ∂t ∂I ∂2I = D 2 + βS ( x, t ) I ( x, t ) − µI ( x, t ) ∂t ∂t dengan

2.28

β adalah koefisien transmisi, µ −1 harapan hidup dari anjing terinfeski dan D

koefisien diffusi. Bilangan reproduksi dasar dari model dinyatakan oleh R0 = β

S0

µ

. Jika

R0 < 1 maka tingkat mortalitas akan lebih besar dari tingkat individual yang baru terinfeksi. Pada kasus dimana R0 > 1 menunjukkan adanya penyakit yang bertahan pada daerah

24 Disertasi


HARIYANTO


homogen spasial, diffusi spasial pada model merupakan penyebaran penyakit yang berkembang dari daerah dengan luas yang kecil menuju ke daerah yang lebih luas. Kecepatan gelombang penyebaran dapat ditentukan berdasarkan pada penyelesaian dari persamaan traveling wave yang diperoleh dari transformasi I ( x, t ) = f ( z ), S ( x, t ) = g ( z ) dengan peubah gelombang z = x − ct , kecepatan gelombang c ditentukan oleh persoalan nilai batas asimtotik dari persamaan traveling wave

Df 11 + cf 1 + βfg − µf = 0, cg 1 − βfg = 0

2.29

f (±∞) = 0, g (+∞) = S 0 , g (−∞) = S ∞ dengan S ∞ menyatakan banyaknya individual susceptible yang ada ( tersisa ) setelah gelombang penyakit berlalu dan dapat dihitung dengan menggunakan persamaan berikut ini(Thieme,H.R.2000)

S∞ S − R∞−1 ln( ∞ ) = 1 S0 S0

2.30

2.1.5 Analisa persistensi, well-posed Misalkan X ruang metric dengan metric d dan R menyatakan himpunan bilangan real dengan struktur aljabar dan topologi dan misalkan R + dan R − menyatakan himpunan bilangan real nonnegatif dan negatif maka aliran kontinu F = ( X , R, π ) didefinisikan pada X dengan π : XxR → X kontinu sedemikian hingga π ( x,0) = x untuk semua x ∈ X ,

t, s ∈ R ,

jika

M ⊂X

dan

K ∈R

maka

π (M , K )

menyatakan

himpunan

{π ( x, t ) : x ∈ M , t ∈ K }.

Definisi 2.2 Aliran F disebut •

1. Weakly persistence jika untuk semua x ∈ E , Lim Sup{d (π ( x, t ), ∂E)} > 0.

t →∞

•

2. Persistence jika untuk semua x ∈ E , Lim Inf {d (π ( x, t ), ∂E)} > 0.

t →∞

3. Weakly uniformly persistence jika terdapat ε

sedemikian hingga untuk semua 0 >0

25 Disertasi


HARIYANTO


•

x ∈ E Lim Sup{d (π ( x, t ), ∂E)} > ε 0 . t →∞ 4 Uniformly peersistence jika terdapat ε

•

sedemikian hingga untuk semua x ∈ E 0 >0

Lim Inf {d (π ( x, t ), ∂E)} > ε 0 (Das and Mukherjee.2009;Freedman et al.,1994). t →∞ Pada Das and Mukhejee.(2009),

kajian persistensi pada model penyakit Chagas

dengan melakukan analisa terhadap model sistem yang dibangun berdasarkan karakteristik penyakit antara lain penyakit yang berbentuk kronik dengan level rendah dan klinik sehingga analisa persistensi sistem harus dilakukan pada masing-masing komponen, misalkan x (t ) merupakan komponen dari sistem persamaan diferensial biasa dikatakan persisten ( uniformly strongly ) jika terdapat konstan k > 0 sedemikian hingga

Lim min(t ) > k dengan x(0) > 0, sistem dikatakan uniformly strongly persistemce jika t →∞ setiap komponen uniformly persistence. Berdasarkan pada

analisa yang dilakukan

diperoleh beberapa teorema tentang persistensi penyakit yang dikaitkan dengan parameter model yaitu:

Teorema 2.3 Jika q1 >

r1l + c1 + g , b < k1 + r dan b2l < r2l maka penyakit disebut sebagai uniformly b1l

waekly persisten pada i ∞ = Lim sup .i1 (t ) > ε dengan ε > 0 yang tidak bergantung pada 1 t →∞ data awal dan ditunjukkan oleh i1 (0) > 0.

Teorema 2.4 Jika suatu penyakit memenuhi Teorema 2.3 maka penyakit tersebut adalah uniformly strongly persisten pada i ∞ = Lim sup i1 (t ) ≥ ε dengan konstan ε yang tidak bergantung 1 t →∞ pada data awal dan ditunjukkan oleh i1 (0) > 0 ( Freedman et al.,1994).

26 Disertasi


HARIYANTO


Well-posedness konstruksi model Rangkaian dari membangun model matematika pada suatu sistem yang terdiri dari komponen partikel bergerak spasial dan temporal adalah well-posed, model yang mencerminkan phenomena obyek harus mampu memberikan jawaban dan bersifat tunggal terhadap persoalan obyek, oleh karena yang diamati bergerak secara dinamis maka setiap komponen dari sistem harus dipastikan berbentuk aliran kontinu.. Pengujian terhadap konstruksi model dinyatakan well-posed jika 1. Konstruksi model mempunyai penyelesaian dan bersifat tunggal. Misalkan sistem dinamik tak linear berbentuk

dX = f ( X (t ), t ), X (0) = X 0 dt

2.31

dengan X ∈ R n dan t ∈ R + , untuk menunjukkan eksistensi dan ketunggalan penyelesaian global dari model digunakan asumsi dari Desoer dalam De Carlo and Raymond,1989 yaitu 1. T ⊂ R + memuat titik-titik berhingga persatuan interval. 2. untuk setiap X ∈ R n , f ( X , t ) kontnu pada t ∉ T 3. untuk setiap t i ∈ T , f ( X , t ) mempunyai limit kiri dan kanan pada t = t i 4.

f : R n × R → R n memenuhi global Lipschitz yaitu terdapat fungsi kontinu sebagian demi sebagian k : R + → R + sehingga

f ( X 1 (t ), t ) − f ( X 2 (t ), t ) < k (t ) X 1 − X 2 untuk semua t ∈ R + dan semua titik X 1, X 2 ∈ Rn . 2. Konstruksi model merupakan sistem dinamis. Jika model sistem dinamik dapat dinyatakan dalam bentuk

∂φ ∂ 2φ = F{D 2 , kφ ) ∂t ∂x

2.32

dengan k parameter epidemiologi maka dapat didefinisikan bahwa F : C(Ω1 , R) → C(Ω1 , R) atau F : C (Ω 2 , R) → C(Ω 2 , R), G = (C , R, π ) sebagai aliran

kontinu pada C(Ω1 , R), C (Ω 2 , R) dan φ ∈ C (Ω, R) secara eksplisit dapat dinyatakan

27 Disertasi


HARIYANTO


sebagai π : C (Ω, R) xR → C (Ω, R) sedemikian hingga untuk semua φ ∈ C (Ω, R) dan untuk semua bilangan nyata s, t ∈ R berlaku (Thieme et al.,2007)

π (φ ( x, t ),0) = φ ( x, t ) dan π (π ( s, φ ), t ) = π (φ , t + s)

2.33

28 Disertasi


HARIYANTO


BAB III KONSEP ILMIAH 3.1. KONSEP ILMIAH Konsep ilmiah dari penelitian yang dilakukan merupakan teori yang digunakan maupun dikembangkan untuk memperoleh teori baru dari permasalahan phenomena obyek, konsep ilmiah dalam hal ini lebih menekankan pada alur pikir yang diinginkan peneliti walaupun bukan berbentuk metodologi. Terdapat 3 tahapan yang perlu disampaikan untuk konsep ilmiah yaitu: 1. Konsep ilmiah tentang koalisi virus H5N1 dan H1N1-p yaitu rancangan konsep berupa penjelasan tentang virus H5N1 dan H1N1-p yang dapat berkoalisi pada babi maupun manusia dan mempunyai peluang munculnya strain baru, rancangan yang dimaksud adalah peluang terjadinya koalisi antara virus H5N1dan H1N1-p. Beberapa koalisi virus H5N1 dan virus H1N1 dengan virus lainnya yang pernah terjadi antara lain: a. Koalisi yang terjadi antara virus avian H5N1 dengan virus manusia H2N2 sehingga muncul virus baru sebagai subtipe H2N2 yang disebut sebagai virus Asian dan terjadi pada tahun 1957 di Cina. b. Koalisi yang terjadi antara virus avian H5N1 dengan virus manusia H3N2 yang memunculkan virus baru sebagai subtipe H3N2 yang disebut sebagai virus Hongkong dan terjadi di Cina pada tahun 1968. c. Koalisi dan co-infeksi yang terjadi antara virus avian H1N1 dengan virus lainnya yang memunculkan virus baru sebagai subtipe H1N1 yang disebut virus Swain dan terjadi di Meksiko pada tahun 2009. d. Penelitian pada Laboratorium dengan melakukan percobaan terhadap kombinasi

semua

tipe

sebanyak

254

dari

koalisi

virus

antara

A/chicken/south Kalimantan/UT6028/06(SK06 H5N1) dan A/Tokyo/UTSK-1/Tok07.H3N2 virus influenza dengan reverse genetic, dari data dapat diperoleh bahwa koalisi antara virus avian H5N1 dengan pathogen rendah dan virus human H3N2 pada tikus dapat menghasilkan virus dengan

29 Disertasi


HARIYANTO


pathogen tinggi dan fungsi Pb2 pada virus manusia H3N2 berlatar belakang virus avian H5N1 yang sangat jelas meningkatkan virulence dari pathogen virus human H3N2. e. Para peneliti di Avian Influenza-zoonosis Research Center- Universitas Airlangga (AIRC- UNAIR) telah melakukan penelitian tentang pola virus influenza di lapangan dan di laboratorium. tahun 2006, dilakukan mutasi buatan pada virus H5N1 dari unggas di Indonesia tanpa koalisi.,ternyata diperoleh bahwa virus H5N1 unggas yang berkoalisi dengan H3N2 lebih virulence. Dari rangkaian kejadian koalisi terdapat koalisi dengan pathogenitas tinggi pada virus avian yang terjadi secara alamiah menghasilkan virus baru dengan pathogenitas tinggi, sedangkan koalisi dari hasil percobaan antara virus H5N1 pathogenitas rendah dengan vurus H3N2 juga menghasilkan virus dengan pathogenitas tinggi. Virus H5N1 dan Virus H1N1-p mempunyai struktur yang sama yaitu 8 gen yang saling lepas sehingga sangat mudah untuk terjadi mutasi didalam gen maupun diantara gen ( koalisi ). Berdasarkan penjelasan tersebut diatas konsep ilmiah dari penelitian yang berkaitan dengan phenomena koalisi disusun berdasarkan pada penyebaran virus H5N1 dengan pathogenitas tinggi dan virus H1N1-p pada host manusia dan unggas yang disebut dengan transmisi multiple strain pada multple host. yaitu: a. Transmisi virus H5N1 dan H1N1-p pada multiple Host manusia, unggas dengan memperhatikan transmisi yang sebelumnya terjadi, transmisi dinyatakan dalam bentuk fungsi transmsisi dengan menggunakan hukum energi dengan mass infection sebagai landasan untuk formulasi kuantiti pada perubahan setiap subpopulasi. b. Host sebagai individual populasi akan terbagi menjadi subpopulasi sebagai akibat dari mixing random. c. Kontak random pada individual ekivalen dengan transmisi virus, oleh karena transmisi virus tidak selalu simetris atau dapat dikatakan bahwa transmisi yang terjadi simetris maka disusun petakontak dalam rangka untuk memudahkan dalam membangun sistem network.

30 Disertasi


HARIYANTO


d. Lokasi terbatas yang dianggap sebagai pusat terjadinya koalisi dan berbentuk

spasial

dengan

memperhatikan

penyebaran

pada

lokasi

persekitaran.yang dapat berkembang pada lokasi yang lain. e. Setiap perubahan yang terjadi pada subpopulasi karena gerakan individual yang dinamis digunakan hukum kesetimbangan. f. Peluang terjadinya transmisi oleh karena kontak dan interaksi individual maupun pergerakan individual dari satu lokasi ke lokasi yang lain dinyatakan oleh fungsi densitas Kernel. g. Model Network spasial sebagai pijakan untuk membangun model matematika dirancang sedemikian rupa sehingga terdapat co-transmisi dan co-infeksi pada manusia. 2. Kerangka konsep yang berkaitan dengan model matematika dimulai dari definisi baku tentang model, pemodelan matematika maupun model matematika yaitu: a. Model secara obyektif didefinisikan sebagai berikut: M sebagai obyek akan disebut model dari obyek atau phenomena P jika M dapat menggantikan P sehingga dengan mengamati atau menyelidiki

M akan mendapatkan

informasi tentang P. b. Pemodelan

matematika

didefinisikan

sebagai

melakukan

formulasi

matematik yang menyatakan diskripsi dari suatu kejadian yang berasal dari model fisika, kimia,biologi dll. c. Model matematika didefinisikan sebagai himpunan persamaan-persamaan bersama dengan syarat awal,syarat batas dan sinyal terhadap nilai batas. Pada penelitian desertasi, pemodelan matematika dilakukan dengan pendekatan sistem sehingga obyek dapat dibagi dalam subsistem-subsistem yang saling berinteraksi, subsistem dapat diinterpretasikan sebagai: a. Subpopulasi

yaitu bagian dari populasi individual yang dapat berubah

terhadap peubah jarak dan waktu karena pergerakan dinamis, perubahan status, mengalami diffusi, dalam hal ini subpopulasi dapat berupa subpopulasi infeksi, ekspose dengan pembagian yang bergantung pada phenomena obyek dan tujuan dalam pemodelan.

31 Disertasi


HARIYANTO


b. Lokasi sebagai obyek dalam melakukan pengamatan terhadap phenomena obyek, 2 lokasi pengamatan yang saling berinteraksi dan lokasi 1 ditetapkan sebagai daerah terjadinya koalisi virus dan pusat penyebaran strain H5N1 atau H1N1-p terhadap daerah persekitaran maupun global. Dengan demikian sistem yang dibangun terdiri dari 2 subsistem sebagai lokasi pengamatan dengan komponen-komponen yang berbentuk subsistem dengan elemen subpopulasi, oleh karena itu pada masing-masing subsistem selalu berinteraksi melalui interface. Seperti pada Gambar berikut ini:

A

• C

• • B

D •

• G E

Lokasi 1

•

• F

Lokasi 2

Gambar 3.1. Interaksi diantara subsistem melalui bidang singgung

Interaksi diantara subsistem dengan diskripsi subpopulasi pada titik A,B,C di Lokasi 1 sebagai subsistem lokal, demikian pula pada lokasi 2 interaksi terjadi pada titik D,E,F sedangkan interaksi diantara subsistem lokasi terletak pada titik G sebagai interface.

32 Disertasi


HARIYANTO


Penggabungan individual pada subpopulasi

Proses koalisi

Subpopulasi Subpopulasi

• •

•

Subpopulasi

Transmisi virus

Transmisi virus

Gambar 3.2. Perubahan dinamis yang terjadi pada lokasi 1

Pada Gambar 3.2 menunjukkan perubahan dinamis yang terjadi pada lokasi 1 sebagai akibat dari interaksi diantara subpopulsi dalam bentuk kontak individual sehingga terjadi transmisi virus H5N1 dan H1N1-p dan masing-masing subpopulasi mengalami perubahan, hal tersebut juga terjadi jika terdapat migrasi keluar maupun masuk dari subpopulasi pada lokasi 2, koalisi terjadi pada saat transmisi kedua virus tersebut terjadi dan dapat dinyatakan seperti pada Gambar berikut: I1•α

•

I1α •

S1 •

I1α • I − coinfection

S2 • • I

2

Gambar 3.3. Proses terjadinya koalisi

33 Disertasi


HARIYANTO


Proses koalisi yang terjadi seperti pada Gambar 3.3 diawali adanya transmisi virus H5N1( salah satu jenis virus H5N1 yang beredar di Indonesia ) dan virus H1N1-p sehingga terdapat individual terinfeksi I dan I . Jika terdapat individual susceptible melakukan 1α 2 kontak dan interaksi maka akan terdapat individual yang akan terinfeksi oleh virus H5N1 dan H1N1-p atau disebut sebagai individual co-infeksi dan co-transmisi. Jika perubahan dinamis juga terjadi pada subsistem lokasi 2 maka konstruksi model sistem yang dapat dibangun adalah sebagai berikut: Misalkan U = U ( x, t ) individual pada subpopulasi dan U1 = U1 ( x, t ) perubahan yang disebabkan pergerakan dinamis individual pada subpopulasi yang mengalami diffusi,

U 2 = U 2 ( x, t ) perubahan yang disebabkan oleh transmisi virus dan U 3 = U 3 ( x, t ) perubahan yang disebabkan oleh individual yang masuk pada lokasi 1 berasal dari lokasi 2.

U 4 = U 4 ( x, t ) perubahan yang terjadi disebabkan oleh individual yang keluar dari lokasi 1 Dengan menggunakan hukum kesetimbangan maka total perubahan subpopulsi pada lokasi 1 adalah 4

U1 ( x, t ) + U 2 ( x, t ) + U 3 ( x, t ) + U 4 ( x, t ) atau dapat ditulis U = ∑ U i ( x, t ) artinya i =1

individual pada subpopulasi yang bergerak di lokasi 1 akan mengalami perubahan terhadap waktu yang disebabkan oleh gerakan individual itu sendiri menyebabkan terjadinya fluks, 4

6

i =1

i =1

demikian pula untuk subpopulasi yang lain V = ∑ Vi ( x, t ), W = ∑ Wi ( x, t ) untuk lokasi 1 maupun pada lokasi 2. Model sistem yang terbentuk adalah: 6

6

6

i =1

i =1

i =1

U = ∑ U i ( x, t ), V = ∑ Vi ( x, t ), W = ∑ Wi ( x, t )

3.1

U ( x,0) = U 0 , V ( x,0) = V0 , V ( x, t ) = 0 untuk t → ∞ . Misalkan model sistem 3.1 dapat dinyatakan

⎛ ∂pi ⎞ ∂ 2 pi ⎜ ⎟ = 0 G ,D , α p p , f , p . K ( x y ). dy , p K ( y x ) dx − − i j i i 2 ∫ i ∫ i i ⎜ ∂t ⎟ x ∂ Ω Ω ⎝ ⎠

3.2

34 Disertasi


HARIYANTO


i, j = 1.2.3 dan i ≠ j menyatakan jenis subpopulasi.

pi ( x, t ) adalah densitas dari subpopulasi yang terdiri dari individual –individual bergerak secara spasial dan temporal. D adalah koefisien diffusi.

K i . adalah densitas Kernel.

α adalah rate transmisi. kondisi awal:

pi ( x,0) = pi 0 , untuk t → ∞ dan i ≠ j terdapat pi ( x, t ) = 0 atau p j ( x, t ) = 0. kondisi batas:

∂p ∂pi = 0 dan i x= L = 0 untuk x ∈ [0, L] = 0 x ∂x ∂x Pada persamaan 3.2 menyatakan sistem persamaan diferensial yang secara implisit menunjukkan adanya perubahan waktu pada densitas individual subpopulasi pada lokasi tertentu, perubahan pada subpopulasi dapat disebabkan oleh pergerakan individual secara lokal, global ( bergerak lintas lokasi ) maupun oleh kontak individual yang menyebabkan terjadinya transmisi. Untuk melakukan analisis terhadap penyebaran infeksi maupun traveling wave maka dilakukan transformasi koordinat ξ = x + ct dengan c sebagai kecepatan gelombang penyebaran sehingga terdapat penyelesaian traveling wave berbentuk

pi ( x, t ) = wi (ξ ) yang memenuhi sistem persamaan: ⎛ dwi ⎞ d 2 wi G⎜ c ,D , αwi w j , f i ( wi ), ∫ wi .K i (ξ − ς ).dξ , wi ∫ K i (ς − ξ )dς ⎟ = 0 , 2 ⎜ dξ ⎟ dξ Ω Ω ⎝ ⎠

3.3

dengan kondisi batas: . lim wi (ξ ) = w0 dan lim wi (ξ ) = w1 ξ →∞ ξ →−∞ dengan w0 sebagai titik kesetimbangan bebas virus dan w1 sebagai titik kesetimbangan endemik. Kecepatan penyebaran yang dinyatakan oleh penyelesaian model sistem traveling wave dapat dikatakan sebagai ukuran dari penyerangan virus terhadap indivdiual populasi, pada saat itu dapat dilakukan formulasi yang berkaitan dengan bilangan reproduksi dasar

35 Disertasi


HARIYANTO


atau bilangan reproduksi invasi, sesuai dengan definisi bahwa bilangan reprodukasi dasar sebagai ukuran dari virulensi suatu virus dengan memperhatikan individual populasi yang terinfeksi pada kedua kalinya berarti dalam melakukan formulasi hanya memperhatikan subpopulasi individual terinfeksi saja. Formulasi dari bilangan reproduksi dasar R0 dinyatakan sebagai ratio perbandingan antara koefisien dari rate perubahan pada subpopulasi yang masuk pada subpopulasi terinfeksi dengan rate perubahan yang keluar dari subpopulasi terinfeksi dan untuk model sistem 3.2 reproduksi dasar dinyatakan R0 =

α f1

dengan f i menyatakan rate perubahan

yang keluardari p i . 3 Konsep teori yang berkaitan dengan analisa dirancang sesuai dengan tujuan yang diharapkan dari penelitian ini, rancangan konsep analisa pada penelitian ini adalah: a. Analisa terhadap penyelesaian positif dari konstruksi model matematika koalisi. b. Analisa eksistensi dan ketunggalan penyelesaian serta analisa sistem dinamis dari konstruksi model matematika koalisi. c. Analisa persistensi terhadap model sistem koalisi maupun terhadap virus H5N1 dan virus H1N1-p, dalam hal ini analisa juga dilakukan terhadap submodel sistem. d. Analisa permanen terhadap model sistem traveling wave dari model sistem koalisi dari virus H5N1 dan virus H1N1-p yang mempunyai penyelesaian tunggal. e. Analisa terhadap kecepatan gelombang maksimum dan minimum jika terjadi pandemik terhadap koalisi antara virus H5N1 dan H1N1-p.

36 Disertasi


HARIYANTO


3.2. ROADMAP PENELITIAN DISERTASI F D

H

O

I

G

C J L

M

N

Tabel 3.1

A

E

K

Gambar 3.4

B

Roadmap Penelitian Disertasi

Keterangan dari komponan Roadmap Penelitian Disertasi

Penulis/Tahun/Judul

Model Matematika

A Hariyanto.2014.Konstruksi Model MatematikaKoalisi antara virus influenza- H5N1dan H1N1 Pandemik B. Coburn,B.J.Cosner,C and Ruan,S. 2011. Emergence and Dynamic of Influenza Super strain. C Reluga,T.C. Medlock,J and Galvani,A.P. 2011.A Model of spatial epidemic spread when individuals move within overlapping home range. O Hariyanto.Widodo,B. Nidom,C.A. Budiantara,I.N.2013THE Construction of a Model of PRE-Coalition betwen H1N1-p and H5N1 Influenza Virus in Indonesia.

Sistem Persamaan differensial Parsial Integral

Sistem Persamaan Differensial Biasa.

Metode Pemodelan

Network spatial. multi strain multi species

Kompartemen Multi strain multi species


. Gerak Brownian, individual terinfeksi bergerak overlapping pada lokasi tetap.


fungsi transmisi dikonstruksi sesuai dengan peta kontak pada penyebaran lokal dan global

37 Disertasi


HARIYANTO


Penulis/Tahun/Judul

D Li,J.and Xou,X.2009. Modelling spatial spread of infectious diseases with a fixed latent periode in a spatially continous domain F Coburn,B.J.Wagner,B.G and Blower,S.2009.Modelling influenza epidemics and pandemics : insights into the future of swine flu. I Novozhilov,A.2008. Heterogenious Susceptibles Infectives models E Ruan,S and Wu,J.2009. Modelling spatial spead of communicable diseacesinvolving animal host. G Flahault,A. Vergu,E and Boelle,P.Y.2009. Potensial for a Global Dynamic of influenza A (H1N1).

J Blyuss,K.B.2005. On a model of spatial spread of epidemics with long – distanc.

Model Matematika

Metode Pemodelan


model diturunkan dari bentukstandar diffusi spasial,. populasi dibagi berdasarkan dalam struktur usia.

Sistem Persamaan Differensial Biasa.

Model kompartemen


fungsi transmisi dikonstruksi sesuai dengan peta kontak, populasi heterogen


Model dibangun dari sistemreaksi difusi, penyebaran local maupun global

Sistem distribusi Binomial


. Metapopulasi.

Metode Konvolusi, mengamati pergerakan individual pada 2 daerah, 2. Strain tunggal species tunggal.

38 Disertasi


HARIYANTO


Penulis/Tahun/Judul M Kelling,M.J and Eames, K.T.D. 2005. Network and epidemic models.

Model Matematika

Metode Pemodelan

Sistem persamaan differensial biasa, parsial.

L Hyman,J.M.LaForce,T .2004.Modelling the spread of influenza among cities. H Arino,J.Davis,J.R. Hartley,D.Jordan,R, Miller,J.M and Drissche,P.V.D. 2009. A multi species epidemic model with spatial dynamics. K Boman,C.Gumel,A.B. Driessche,P.V.D Wu,J and Zhu,H. 2005. A mathematical models for assessing control stratedies agains west nile virus. N Wonham,M.J.deCarmino-Beck,T and Lewis,M.A.2004 .An Epidemiological model for West Nile virus :invasion analysis and control application.

transmisi virus berdasarkan kontak dan interaksi.,kontak individualdikonstruksi dengan menggunakan teori graph.

Sistem persamaan differensial biasa

Model kompartemen SIR.


transmisisi multispecies dan penyebaran geografik.


Sistem Kompartemen . dengan transmisi strain tunggal pada 3 species. .


Sistem Kompartemen . dengan transmisi strain tunggal pada 3 species. .

39 Disertasi


HARIYANTO


3.3.

PETA TEORI PENELITIAN DISERTASI Peta Teori Penelitian Disertasi disusun berdasarkan Roadmap Penelitian Disertasi,

pembahasan dalam bentuk tabel 3.2 sesuai dengan cabang pada Gambar 3.4.

Tabel 3.2 : Teori Penelitian Disertasi Penulis,Tahun, Judul

Ruang Lingkup

Konsep Ilmiah

Hariyanto, 2014. Construcsion Models Coalision Between H5N1 and H1N1 Pandemic Influenza Virues.

Penyebaran virus super strain sebagai hasil dari koalisi virus influenza H5N1 dan H1N1 pandemik pada 2 lokasi

Penyebaran virus superstrain diamati dalam 3 tahapan dengan transmisi virus melalui kontak,interak si individual, subtitusi asam amino dilakukan melalui subpopulasi susceptible pada tahapan ketiga.

Li,J.and Xou,X.2009. Modelling spatial spread of infectious diseases with a fixed latent periode in a spatially continous domain.

Kosentrasi pemodelan terletak pada subpopulasi ekspose dengan masa latent yang ditentukan secara periodic.

Model penyebaran penyakit yang dibangun dari model dasar difusi spasial dengan struktur populasi yang dibuat oleh Metz dan Dickmann.

Teori mendukung disertasi

model matematika dikonstruksi bersifat spasialtemporal, oleh karena Konstruksi model pada setiap tahapan proses koalisi adalah wellposed.

Konstruksi perubahan pada subpopulasi terinfeksi ditentukan oleh perubahan masa penyakit berada pada host.

Kesimpulan

Keterangan

Konstruksi model koalisi mempunyai penyelesaian positif dab wellposed. Virus superstrain persisten sangat kuat terhadap virus H5N1 dan H1N1-p.

Pendekatan spasial temporal, model bergantung pada proses koalisi,multi strain multispecies, model wellposed dan mempunyai penyelesaian positif,analisa terhadap densitas,persi stensi virus dan traveling wave.

Model matematika yang terbentuk merupakan model khusus untuk penyakit yang beradaptasi pada host.

Model penyebaran dengan bentuk latent, pengemban gan dari model Metz dan Dickmann

40 Disertasi


HARIYANTO


Penulis,Tahun, Judul

Ruang Lingkup

Konsep Ilmiah


Kesimpulan

Keterangan

Reluga,T.CM edlock,J and Galvani,A.P.2 011.A Model of spatial epidemic spread when individuals move within overlapping home range.

Pemodelan matematika penyebaran penyakit berdasarkan pada populasi yang bergerak pada daerah persekitaran

individual begerak sebarang dan mempunyai titik tetap, setiap individual yang bergerak keluar daerah persekitaran akan kembali pada titik tetap.

Pergerakan populasi dari y menuju x merupakan gerak Brown sehingga peluang dari setiap individual yang bergerak dinyatakan sebagai fungsi densitas kondisional.

Model matematika terdiri dari model distribusi kontak, model distribusi terinfeksi, digunakan untuk memprediksi transmisi penyakit pada populasi.

Model lokal atau model pada daerah persekitaran, transmisi untuk single strain

Ruan,S and Wu,J.2009. Modelling spatial spread of communicable diseaces involving animal host.

Bebarapa metode pemodelan matematika yang khusus berkaitan dengan penyebaran spasial dari penyakit yang berasal dari binatang

Model matematika dibangun berdasarkan pada struktur populasi host dan gerakan dinamis dari individual host secara local maupun global.

Terdapat metode pemodelan dengan struktur populasi untuk gerakan spasial temporal yang menghasilkan model matematika berbentuk sistem reaksi diffusi

Metode yang diterapkan memberikan variasi model yang berbedabeda, untuk populasi heterogen tidak terdapat fluks, spasial temporal terdapat model dengan koefisien diffusi yang sama

Model dengan pendekatan spasial temporal pada populasi heterogen, individual bergerak dinamis diperoleh variasi model dengan koeffisien diffusi sama dan berbeda

Coburn,B.J. Cosner,C and Ruan,S. 2011. Emergence and Dynamic of Influenza Super strain.

Penyebaran virus super strain sebagai hasil dari rekombinasi virus H1N1 dan H5N1.

Penyebaran virus super strain dinyatakan dalam model matematika yang terdiri dari 3 species yaitu manusia, burung dan babi dengan babi sebagai mixing vessel .Transmisi virus melalui kontak, interaksi.

Model dikonstruksi sebagai model penyebaran dengan menekankan pada subpopulasi Co-infection, oleh karena itu model sistem kompartemen dinyatakan sebagai aliran virus pada babi.

Hasil yang diperoleh secara epidemiologi dipengaruhi oleh 3 faktor yaitu: 1. Kontak antara babi dengan manusia. 2. Transmisibilitas super strain pada manusia. 3. Transmisibilitas dari babi ke manusia.

Model dengan memperhatika n proses recombinasi, pendekatan sistem kompartemen, bentuk model sistem persamaan differensial biasa, multispecies multistrain, analisa persistensi dan stabilitas.

41 Disertasi


HARIYANTO


Ruang Lingkup

Arino,J.Davis,J.R. Hartley,D. Jordan,R,Miller,J. M and Drissche,P.V.D. 2009.A multi species epidemic model with spatial dynamics..

Pemodelan matematika dari virus tunggal yang menyebar secara spasial dan temporal, populasi bersifat heterogen.

Transmisi virus pada penyebaran geografik, individual bergerak melalui lintasan dari beberapa titik, formulasi model dilakukan berdasarkan pada kontak diantara species.

Penyebaran virus dengan model kompartemen multispecies multilintasan, dengan memasukkan subpopulasi latent.

Novozhilov,A. 2008. Heterogenious Susceptibles Infectives models

Fungsi transmisi dengan hukum energi pada populasi yang heterogen.

Fungsi transmisi dikonstruksi berbentuk bilinear dengan asumsi kontak individual bersifat random mixing, formulasinya berbentuk nonlinear.

Model metematika dibangun dari subpopulasi yang heterogen dengan fungsi transmisi yang mempunyai rate transmisi berbeda pada setiap titik sebarang untuk rate kontak tetap dinyatakan dalam lapangan ratarata.

Model matematika berbentuk persamaan diferensial parsial intergral

Model well-posed dan mempunyai penyelesaian positif, persistensi virus terhadap system ditentukan oleh nilai maksimum dari densitas subpopulasi susceptible.

Perbandingan densitas susceptible, terinfeksi maupun kondisi kestabilan menentukan persistensi virus terhadap system.

Hariyanto. Widodo,B. Nidom,C.A. Budiantara,I.N. 2013The Construction of a Model of PRE-Coalition betwen H1N1-p and H5N1 Influenza Virus in Indonesia.

fungsi transmisi dikonstruksi sesuai dengan Network kontak pada penyebaran lokal dan global

Konsep Ilmiah


Penulis,Tahun, Judul

Subpopulasi didefinisikan dalam ruang metric, transmisi virus terjadi pada Inf (d ) atau

Sup(d ).Persis tensi virus bergantung pada nilai reproduksi dasar.

Kesimpulan

Keterangan

Model digunakan untuk memprediksi dan analisis stabilitas linear pada kesetimbangan bebas penyakit

Model dengan pendekatan sistem kompartemen transmisi dari single virus pada populasi heterogen. analisa model terhadap perilaku sistem Model dengan transmisi mass action dari single virus yang menyebar pada populasi heterogen.

Model penyebaran multiple virus pada multiple lokasi dan multiple species, densitas susceptible yang monoton naik menyebabkan virus persisten terhadap perubahan sistem.

42 Disertasi


HARIYANTO


BAB IV METODE PENELITIAN 4.1 JUSTIFIKASI METODE PENELITIAN TERHADAP PENELITIAN SEBELUMNYA Metode penelitian disertasi ini merupakan pengembangan dari penelitian yang telah dilakukan, pada pembahasan berikut akan ditunjukkan penelitian yang sudah dilakukan terkait dengan konstruksi model matematika yang akan dikembangkan yaitu: 1. Konstruksi model matematika pada kajian pustaka Coburn et al.,(2011) dibangun berdasarkan transmisi dinamis dari influenza pada 3 species yaitu burung, babi dan manusia, model yang diperoleh ditentukan oleh factor epidimiologi dari reassortan superstrain pada manusia antara lain transmisibilitas pada manusia, transmisi dari babi ke manusia dan kontak dari babi ke manusia, model matematika yang diperoleh berbentuk sistem persamaan diferensial biasa antara lain model avian yang terdiri dari burung susceptible dan terinfeksi oleh strain avian, model manusia yang terdiri dari manusia susceptible dan terinfeksi oleh strain manusia musiman dan manusia yang terinfeksi oleh super strain dan model swine yang terdiri dari babi yang susceptible, babi terinfeksi oleh strain avian dan babi terinfeksi strain manusia musiman, babi yang terinfeksi kedua strain dan babi sipembawa super strain sebagai hasil rekombinasi selama periode co-infeksi. 2. Konstruksi

model

matematika

yang

dilakukan

pada

kajian

pustaka

Blyuss,K.B.(2005) dibangun berdasarkan pada gerakan individual pada 2 lokasi, redistribusi dari gerak dinamis individual diantara lokasi tersebut dinyatakan oleh operator integral yang bermakna sebagai probabilitas dari gerak dinamis diantara 2 lokasi, sedangkan gerak individual pada masing-masing lokasi dinyatakan oleh operator difusi. Model yang dibangun juga membicarakan tentang migrasi dari individual yang bergerak pada daerah persekitaran (migrasi sebagai pergerakan individual yang keluar masuk daerah dengan batasan minimal pada persekitaran) yang berarti bahwa setelah individual bergerak pada daerah lain dianggap menjadi bagian dari populasi lokasi tersebut. Jika diasumsikan bahwa transmisi dari infeksi yang terjadi pada kontak tertutup ( yaitu susceptible dapat terinfeksi hanya

43 Disertasi


HARIYANTO


setelah kontak dengan beberapa individual terinfeksi dilokasi pada titik yang sama) maka model spasial yang diperoleh berbentuk sistem persamaan diferensial parsial integral. 3. Konstruksi model dari kajian pustaka Arino et al.,(2005) dibangun berdasarkan pada transmisi dari virus yang menyebar pada beberapa kota yang berbentuk model spasial dari penyebaran geografik virus influenza berdasarkan pada data perjalanan, untuk melakukan kajian terhadap pengaruh dari perjalanan dengan menggunakan jasa penerbangan terhadap model pandemik influenza dilakukan kuantifikasi terhadap perjalanan tersebut sehingga dapat diketahui penyebaran influensa secara geografik. Seperti halnya kajian yang telah dilakukan dalam membangun model potensial untuk epidemik influenza yang terjadi di 9 kota di Eropa, model tersebut digunakan untuk mengestimasi derajat keterkaitan antara epidemik di kota utama.dan juga digunakan untuk mengetahui sinkronisasi spasial dan temporal dari epidemic influensa yang terjadi di kota lainnya. Pengembangan dari penelitian yang dilakukan oleh Arino et al.(2005), Blyuss,K.B.(2005) dan Coburn et al.,(2011) digunakan untuk penelitian disertasi dengan domain penelitian pada penyebaran virus influensa A di Indonesia yaitu virus influenza H5N1 dari subtipe yang melakukan invasi pada unggas dan manusia dan virus influenza H1N1-p. Konstruksi model matematika dilakukan berdasarkan pada kontak dan interaksi dari 2 jenis individual yang bergerak dinamis pada 2 lokasi dengan masing-masing lokasi terjadi transmisi dari kedua virus tersebut, telah diketahui bahwa virus influenza H5N1 mempunyai patogenitas tinggi dan H1N1-p mudah beradaptasi pada manusia sehingga pada setiap lokasi kedua virus mempunyai peluang yang sangat besar untuk koalisi pada manusia.

4.2 RANCANGAN PENELITIAN Penelitian disertasi yang telah dilakukan merupakan pengembangan dari penelitian yang pernah dilakukan dan dibahas pada road map,peta teori penelitian disertasi pada bab 3 dan subbab 4.1, rancangan disusun dalam bentuk langkah-langkah yang dilakukan sesuai dengan tujuan penelitian.

44 Disertasi


HARIYANTO


1. Metode Penelitian yang berkaitan dengan konstruksi model matematika koalisi disusun dengan langkah-langkah sebagai berikut: a. Membangun Sistem Koalisi. Transmisi penyebaran virus influenza H5N1 dan H1N1-p melalui kontak antara individual host populasi yang bergerak dinamis pada lokasi 1 atau lokasi 2 maupun lintas lokasi, host populasi pada kedua lokasi sama yang terdiri dari manusia, unggas dengan masing-masing individual host diklasifikasikan dalam subpopulasi. Lokasi sebagai obyek dalam pengamatan penelitian dianggap sebagai sistem yang terdiri dari komponen individual populasi yang saling kontak dan interaksi secara dinamis, untuk mencapai tujuan penelitian, obyek dibagi dalam rangkaian proses koalisi yang terdiri dari 3 tahapan yang berkaitan dengan pengembangan bentuk transmisi sehingga terdapat 3 rangkaian pengamatan penyebaran virus H5N1 dan H1N1-p terhadap unggas dan manusia. Misalkan pada lokasi 1, rangkaian awal dari pengamatan obyek adalah penyebaran virus influenza H1N1-p dari manusia ke manusia dan virus influenza H5N1 dari unggas ke unggas dan ke manusia sehingga akan terdapat individual manusia terinfeksi H1N1-p,individual unggas terinfeksi H5N1 dan individual manusia terinfeksi H5N1. Rangkaian tahapan kedua, transmisi virus dikembangkan melalui kontak dan interaksi dengan harapan muncul individual Coinfeksi, transmisi virus melalui kontak dalam hal ini didefinisikan sebagai transmisi yang disebabkan oleh pertemuan diantara individual susceptible dan ndividual terinfeksi atau individual terinfeksi dengan individual terinfeksi dalam selang waktu yang cukup, sedangkan transmisi melalui interaksi sama seperti pada kontak akan tetapi individual susceptible dan terinfeksi mempunyai tempat yang tetap dalam selang waktu yang lama. Rangkaian tahapan ketiga merupakan pengembangan dari kedua dengan melakukan subtitusi asam amino pada individual susceptible, sedangkan transmisi virus sama seperti pada rangkaian kedua. Pada lokasi 2, subsistem ini diamati sama seperti pada lokasi 1. Jadi pada setiap tahapan dari rangkaian proses koalisi saling terkait oleh individual populasi terinfeksi virus influenza H1N1-p dan H5N1 pada tahapan sebelumnya.

45 Disertasi


HARIYANTO


b. Mengkonstruksi Network kontak individual. Network kontak disusun berdasarkan pada penyebaran virus influenza yang pernah terjadi, transmisi virus influenza H5N1 terjadi jika terdapat kontak antara unggas ke unggas, unggas ke manusia, sedangkan transmisi virus influenza H1N1-p terjadi sama dengan transmisi yang terjadi pada pandemik swain flu pada tahun 2009 yaitu manusia ke manusia sehingga Network kontak yang telah tersusun dapat diketahui individual populasi terinfeksi, susceptible dan ekspose. Jika rate transmisi dari virus influenza H5N1 dan H1N1-p diketahui maka fungsi transmisi dapat diinterpretasikan sebagai populasi individual yang terinfeksi, formulasi dari fungsi transmisi bergantung pada pergerakan individual, jika individual bergerak atau melakukan kontak dengan individual pada lokasi yang sama maka fungsi transmisi dapat dinyatakan sebagai total populasi terinfeksi atau F ( x, t ) = βSI dengan β rate transmisi, sedangkan untuk individual yang bergerak secara global atau lintas lokal pergerakan individual ditentukan oleh fungsi densitas kernel. c. Mengkonstruksi model matematika koalisi. Model matematika pada penelitian dikonstruksi dalam bentuk sistem sehingga model yang dibangun berdasarkan pada pengamatan terhadap pergerakan sembarang dari populasi individual dalam melakukan kontak individual, jika pengamatan dilakukan pada populasi individual terinfeksi maka perubahan yang terjadi pada populasi tersebut ditentukan dengan menggunakan hukum kesetimbangan konservasi, total perubahan yang terjadi pada populasi individual adalah perubahan populasi individual terinfeksi karena adanya transmisi, perubahan yang disebabkan oleh kematian dan kelahiran. Perubahan pada populasi individual global artinya perubahan populasi individual terinfeksi yang disebabkan oleh pergerakan individual dari dan ke lokasi lain dan untuk memperoleh model dari perubahan tersebut digunakan hukum Ficks. Bahasan tersebut diatas merupakan landasan untuk mengkonstruksi model matematika koalisi dari virus influenza H5N1 dan H1N1-p, model matematika dirancang sedemikian rupa sehingga koalisi terjadi pada manusia, oleh karena itu dalam mengkonstruksi model dilakukan pada seluruh proses koalisi sampai terbentuknya subpopulasi super- strain. Untuk mengkonstruksi model matematika sistem koalisi dapat dilakukan secara bertahap

46 Disertasi


HARIYANTO


pada setiap lokasi dengan mengamati penyebaran awal dari masing-masing virus sampai terbentuknya virus dengan strain baru. Misalkan S m ( x, t ), I m ( x, t ), Em ( x, t ), SU ( x, t ), I U ( x, t ) ∈ W1 dan x ∈ Ω, t ∈ R + densitas susceptible, terinfeksi dan ekspose pada lokasi 1 dari penyebaran virus influenza H1N1-p pada manusia maupun virus influneza H5N1 pada unggas maka perubahan yang terjadi dapat disebabkan oleh pergerakan individual pada lokasi 1, evolusi genetika dan gerakan individual yang keluar maupun masuk lokasi 1. Ambil sebarang S ( x, t ) ∈W1 sebagai individual susceptible maka perubahan pada

S ( x, t ) yang disebabkan oleh pergerakan individual susceptible pada lokasi 1 digunakan persamaan diffusi yang dibangun dari hukum Ficks Pertama dan Persamaan kontinunitas

∂S ( x, t ) ∂S ( x, t ) ∂ 2 S ( x, t ) 2 sehingga diperoleh , perubahan individual = D∇ S ( x, t ) → =D ∂t ∂t ∂x 2 populasi yang terjadi karena recovery dapat dinyatakan γI ( x, t ) dengan individual terinfeski

F ( S , I ) = βS ( x, t ) I ( x, t ), individual yang bergerak masuk pada lokasi 1 berasal dari lokasi 2 berbentuk G1 ( s, i ) = .∫ S ( y, t ) K ( y − x)dy dengan K ( y − x) sebagai fungsi bobot yang Ω

berbentuk fungsi densitas Kernel dan individual yang bergerak keluar dari lokasi 1 dinyatakan dalam bentuk G2 ( s, i ) = S ( x, t ) ∫ K ( x − y )dx. Ω

Dengan demikian perubahan yang terjadi pada subpopulasi susceptible S ( x, t ) pada lokasi 1 adalah perubahan yang terjadi karena pergerakan individual subpopulasi susceptible didalam lokasi 1, pergerakan individual subpopulasi susceptible yang bergerak keluar lokasi 1 dan pergerakan individual susceptible dari lokasi 2 masuk ke lokasi 1, model matematika S ( x, t ) dapat dinyatakan dalam bentuk

∂S ( x, t ) ∂ 2 S ( x, t ) =D − βS ( x, t ) I ( x, t ) + ∫ S ( y, t ) K ( y − x)dy − ∂t ∂x 2 Ω S ( x, t ).∫ K ( x − y )dx.

4.1

Ω

47 Disertasi


HARIYANTO


d. Mereduksi konstruksi model matematika koalisi. Konstruksi model matematika koalisi dilakukan berdasarkan gerakan dinamis dari individual populasi pada lokasi yang sama dan individual yang bergerak secara global ( lokasi 1 ke lokasi 2 atau sebaliknya ), oleh karena itu konstruksi model matematika koalisi berbentuk sistem persamaan differensial parsial integral. Untuk mempermudah dalam melakukan analisa maupun penyelesaian dilakukan reduksi model tanpa merubah makna dari model semula, reduksi dilakukan berdasarkan perubahan atau transisi dari setiap subpopulasi karena transmisi virus, recovery dan kemampuan melakukan transmisi. 2. Metode penelitian yang berkaitan dengan analisa terhadap persistensi, eksistensi dan ketunggalan penyelesaian dari konstruksi model matematika koalisi dengan langkah langkah sebagai berikut: a. Analisa Persistensi. Analisa persistensi pada setiap tahapan dari konstruksi model matematika koalisi dilakukan terhadap penyebaran virus influenza H1N1-p, H5N1 dan virus super-strain. b. Eksistensi dan Ketunggalan. Eksistensi dan ketunggalan penyelesaian dilakukan pada setiap tahapan dari konstruksi model matematka dengan menggunakan asumsi Desoer. 3. Metode Penelitian yang berkaitan traveling wave dari penyebaran virus super-strain dengan langkah-langkah sebagai berikut: a. Mengkonstruksi model sistem traveling wave Model sistem traveling wave front dikonstruksi dari model subsistem strain baru dari masing-masing lokasi ( lokal ) dengan melakukan subtitusi z = x + ct terhadap peubah lokasi dan waktu sehingga populasi individual J ( x, t ) menjadi J ( x, t ) = J ( z ). Misalkan terdapat persamaan berbentuk 3 ∂J ( x, t ) ∂ 2 J ( x, t ) 5 a f ( x , t ) J ( x , t ) − bi J ( x, t ), = DJ + ∑ ∑ i i ∂t ∂x 2 i =1 i =1

4.2

dengan melakukan reduksi terhadap subpopulasi yang mengalami transisi maka model persamaan 4.2 menjadi

48 Disertasi


HARIYANTO


3 ∂J ( x, t ) ∂ 2 J ( x, t ) 5 m J ( x , t ) − bi J ( x, t ), dengan melakukan substitusi = DJ + ∑ ∑ i ∂t ∂x 2 i =1 i =1

z = x + ct dapat diperoleh model traveling wave berbentuk

c

3 dJ ( z ) d 2 J ( z) 5 m J ( z ) − bi J ( z ) = DJ − ∑ ∑ i dz dz 2 i =1 i =1

dan misalkan

4.3

dJ ( z ) = U ( z ) maka persamaan 4.3 menjadi dz

dJ ( z ) = U ( z) dz c dU ( z ) 1 = U (z ) − DJ dz DJ

5

∑ mi J ( z) − i =1

1 DJ

3

∑ b J ( z) i =1

4.4

i

dengan kondisi batas Lim ( J ,U ) = (0,0) dan Lim ( J ,U ) = ( S ,U ) untuk z→∞ z→−∞

(0,0) sebagai titik kesetimbangan bebas virus dan ( S ,U ) titik kesetimbangan endemik. b. Menentukan kecepatan traveling wave. •

Model traveling wave 4.4 merupakan model sistem linear X = AX + b1+ sehingga kecepatan traveling wave dapat ditentukan oleh nilai karakteristik dari matrik A, jika pada model 4.4 terdapat kecepatan minimum sedemikian hingga cmin < c maka terdapat kecepatan traveling wave pada model 4.4.

49 Disertasi


HARIYANTO


BAB V HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN 5.1. KONSTRUKSI MODEL KOALISI Konstruksi model matematika koalisi antara virus influenza H5N1 dan H1H1-p dibuat berdasarkan pada rancangan dari subpopulasi yang terinfeksi oleh virus influenza H5N1 dan H1N1-p sampai terjadinya evolusi pada species yang sama, konstruksi model dilakukan berdasarkan pada pengamatan terhadap gerak dinamis dari setiap species dalam ruang keadaan maupun perubahan genetika yang disebabkan oleh transmisi, evolusi dan pola invasi virus. Ruang keadaan sebagai domain dalam mengamati gerak 2 species manusia dan unggas pada 2 lokasi, setiap species atau sebagai individual dianggap sebagai partikel yang bergerak dinamis pada lokasi 1 atau 2 dan bergerak pada lokasi 1 dan 2, jika setiap individual melakukan kontak maupun berinteraksi terhadap individual lain pada salah satu lokasi atau keduanya maka distribusi dari semua individual yang bergerak akan dinyatakan sebagai densitas populasi pada masing-masing lokasi. Koalisi dari 2 virus merupakan proses evolusi genetika yang dikonstruksi dalam tahapan pengamatan yaitu mengamati transmisi virus influenza H5N1 dan H1N1-p pada unggas dan manusia melalui kontak dan mengamati transmisi melalui kontak dan interaksi. Selama proses koalisi setiap individual subpopulasi mengalami perubahan-perubahan yang digunakan sebagai landasan dalam mengkonstruksi model matematika koalisi, pada pembahasan berikut ini akan dijelaskan beberapa perubahan individual.

5.1.1 Perubahan individual pada lokasi spasial dan temporal Perubahan individual populasi pada salah satu

lokasi yang disebabkan oleh

mobilitas individual populasi dinyatakan oleh model diffusi yang terdiri dari diffusi lokal dan diffusi global, seperti yang diberikan pada gambar berikut ini

50 Disertasi


HARIYANTO


y

x

Ω1

Ω2

Lokasi 1

Lokasi 2

Gambar 5.1. Aliran individual bergerak pada lokasi 1 dan lokasi 2 Volume kendali pada masing-masing lokasi dipilih berbentuk kubus yang berlaku sebagai kendali terhadap aliran individual yang bergerak pada lokasi 1, gerakan random dari individual pada lokasi 1 dapat diamati melalui fluxs pada volume kendali, seperti yang diberikan pada gambar berikut ini n J

U ( x, t )

U (x + x , t)

1 Δx Gambar 5.2. Aliran individual pada

volume kendali Jika banyaknya individual yang mengalir pada volume kendali adalah U ( x, t )ΔV dengan

U ( x, t ) jumlah partikel pada posisi x waktu t maka jumlah individual yang berada pada volume kendali persatuan luas (Δx) 2 persatuan waktu Δt adalah

U ( x, t ) − U ( x + Δx, t ) (Δx) 3 2 (Δx) Δt

5.1

yang juga disebut sebagai fluxs dari aliran individual.

(Δx) 2 U ( x + Δx, t ) − U ( x, t ) J =− Δt Δx atau

J = −D

∂U ( x, t ) ∂x

5.2

51 Disertasi


HARIYANTO


untuk Δx → 0 dan D =

(Δx) 2 didefinisikan sebagai koefisien diffusi. Δt

Misalkan Ω1 ⊂ R himpunan tertutup x ∈ Ω1 , U ( x, t ) fungsi densitas individual populasi dan U i (t ) untuk i = 1.2...n adalah individual populasi yang berpeluang untuk bergerak pada selang waktu t sampai pada batas Ω1 , jika pi peluang individual populasi bergerak maka banyaknya individual populasi yang bergerak sampai pada batas Ω1 dapat n

dinyatakan dengan ∑ U i (t ) pi atau disebut fungsi densitas populasi, demikian pula untuk i =1

setiap individual populasi U i (t ) yang berpeluang untuk bergerak sepanjang xi ∈ Ω1 pada n

selang waktu t sampai pada batas Ω1 adalah

∑U (t ) p . i =1

i

i

Jika individual populasi U i (t ) bergerak pada sebarang lintasan xi ∈ R dan t ∈ R + maka total individual populasi yang sampai pada batas Ω1 dinyatakan sebagai densitas n

populasi U ( x, t ) = ∑ U i (t ) p i , misalkan setiap individual populasi bergerak dengan peluang i =1

sama maka total populasi dapat dinyatakan

U (t ) ∫ pdx = ∫ U ( x, t )dx Ω

Ω

atau

U (t ) = ∫ U ( x, t )dx

5.3

Ω

dengan

∫ pdx = 1.

Ω

Misalkan terdapat elemen dL pada lokasi 1, individual populasi bergerak didalam maupun keluar

dL sehingga perubahan total populasi pada dL didefinisikan sebagai perubahan

yang disebabkan oleh individual populasi yang keluar, kelahiran dan kematian

dU (t ) = − J (t ) + kelahiran – kematian, dt

5.4

substitusi persamaan 5.2 dan 5.3 pada persamaan 5.4 diperoleh

52 Disertasi


HARIYANTO


∂ U ( x, t )dx = −∫ J ( x, t )dO + ∫ (b − d )U ( x, t )dx ∂t Ω∫1 O Ω1 atau

∂ ∂U ( x, t ) U ( x, t )dx = −∫ − D dO + ∫ F ( x, t ,U ( x, t ))dx ∫ ∂t Ω1 ∂ x O Ω1 dengan F ( x, t ,U ( x, t ))menyatakan perubahan yang disebabkan oleh kematian dan kelahiran. Jika F ( x, t ,U ( x, t ))menyatakan reaksi biologi yang disebabkan oleh transmisi virus maka F ( x, t ,U ( x, t ))dapat dinyatakan sebagai individual subpopulasi susceptible, terinfeksi,ekspose dan recovery. Berdasarkan Teorema Divergensi bahwa

∫D

Ω1

∫∫ D

Ω1

∂U ( x, t ) dO dapat dinyatakan dalam bentuk ∂x

∂U ( x, t ) ∂U ( x, t ) ∂ ∂U ( x, t ) n dxdy = ∫ ∇ • ( D n )dx = ∫ {D( x) }dx x x x ∂x ∂ ∂ ∂ Ω Ω 1

1

sehingga diperoleh perubahan total individual populasi karena perubahan waktu t berbentuk:

∂U ( x, t ) ∂ ∂U ( x, t ) dx = ∫ {D( x) }dx + ∂t x x ∂ ∂ Ω1 Ω

∫

1

∫ F ( x, t,U ( x, t ))dx

Ω1

atau

∂U ( x, t ) ∂U ( x, t ) ∂ = ( D( x) ) + F ( x, t ,U ( x, t )). ∂x ∂x ∂t

5.5

Bentuk persamaan differensial reaksi-diffusi 5.5 menyatakan gerakan individual pada lokasi 1 dengan

∂ ∂U ( x, t ) ( D( x) ) sebagai diffusi lokal dan F ( x, t ,U ( x, t ))menyatakan ∂x ∂x

reaksi biologi, diffusi lokal pada lokasi 1 menunjukkan adanya gerakan individual populasi pada lokasi 1 yang mempunyai distribusi U ( x, t ). Jika diambil sebarang titik xi ∈ Ω1 ,

i = 1,2,3...n dan individual populasi bergerak dari titik x menuju ketitik xi ∈ Ω1 maka n

akan terdapat fungsi f ( xi ) = ∑ Bi ( x − xi )Δxi dengan Bi ( x − xi ) sebagai fungsi densitas i =1

53 Disertasi


HARIYANTO


Kernel atau fungsi bobot yang mempunyai kontribusi sedemikian rupa sehingga individual dari titik x sampai di titik xi . Total individual populasi yang sampai di titik xi adalah n

U ( xi , t ) f ( xi ) atau U ( xi , t ) f ( xi ) =

∑U ( x , t ) B ( x − x )Δx i =1

i

i

i

i

dan untuk n → ∞ diperoleh

∫ U ( x, t ) B( x − y)dx

Ω1

dalam bentuk Konvolusi dinyatakan dalam bentuk (U • B)( x, t ) =

∂ ∂U ( x, t ) ( D( x) ) ∂x ∂x

dengan B(x) sebagai fungsi bobot atau fungsi densitas Kernel. Gerakan random individual populasi pada sistem merupakan gerakan individual pada lokasi 1 atau lokasi 2, individual pada lokasi 1 bergerak secara random pada lokasi 2 atau sebaliknya dapat digunakan sebagai interface diantara subsistem-subsistem ( lokasi sebagai subsistem ). Interaksi individual populasi antara individual pada lokasi 1 dengan lokasi 2 juga akan memberikan perubahan terhadap distribusi atau densitas individual populasi pada masing-masing lokasi, oleh karena itu perubahan densitas dari setiap subsistem atau lokasi merupakan perubahan lokasi spasial yang terdiri dari perubahan lokal maupun perubahan global ( non lokal ), perubahan lokal dan global dinyatakan oleh gerakan individual seperti pada gambar berikut ini

K ( y − x)

U1 ( x, t )

x ∈ Ω1 Lokasi 1, Ω1

Lokasi 2, Ω 2

U 2 ( x, t )

y ∈ Ω2

K ( x − y) Gambar 5.3. Gerakan silang dari individual populasi pada masing-masing lokasi.

54 Disertasi


HARIYANTO


Pada gambar 5.3 menunjukkan mobilitas individual populasi yang bergerak dari lokasi 1 menuju lokasi 2 dan sebaliknya dengan asumsi bahwa individual populasi well-mixed pada setiap lokasi yang menjadi tujuannya artinya individual akan menjadi bagian dari individual populasi pada lokasi tersebut, demikian pula setiap individual populasi yang bergerak pada lokasi lain akan kembali pada lokasi semula. Perhatikan individual populasi yang bergerak dari lokasi 1 menuju lokasi 2, total individual n

populasi yang bergerak menuju lokasi 2

adalah

∑U ( x , t ) B ( y − x )Δx i =1

1

i

i

i

i

dengan

Bi ( y − x) sebagai fungsi bobot yang dinyatakan sebagai fungsi densitas Kernel, untuk n → ∞ dapat diperoleh

∫ U ( x, t ) K ( y − x)dx 1

yang akan menjadi bagian dari individual

Ω1

populasi lokasi 2, sedangkan total populasi yang bergerak dari lokasi 2 menuju lokasi 1 adalah n

n

∑U 2 ( y, t ) Bi ( x − yi )Δyi = U 2 ( y, t )∑ Bi ( x − yi )Δyi i =1

i =1

U 2 ( y, t ) ∫ K ( x − y)dy Ω2 demikian pula untuk gerakan individual populasi lokasi 2 menuju ke lokasi 1. Dengan dimikian perubahan yang disebabkan oleh gerakan global dari individual populasi adalah

∂U 2 ( y, t ) = ∫ U 1 ( x, t ) K ( y − x)dx - U 2 ( y, t ) ∫ K ( x − y)dy. ∂t Ω1 Ω1

5.6

∂U 1 ( x , t ) = ∫ U 2 ( y, t ) K ( x − y)dy - U 1 ( x, t ) ∫ K ( y − x)dx, ∂t Ω2 Ω2

5.7

ruas sebelah kanan dari persamaan 5.6 dan 5.7 disebut diffusi global dengan K ( x − y ) atau

K ( y − x) sebagai fungsi densitas Kernel yang mempunyai kontribusi terhadap individual populasi yang bergerak pada lokasi1 atau 2 maupun bergerak pada kedua lokasi.

55 Disertasi


HARIYANTO


5.1.2 Perubahan individual populasi karena reaksi biologi Perubahan individual populasi karena reaksi biologi yang berkaitan dengan virulence virus influenza H5N1 dan H1N1-p adalah perubahan genetik yang disebabkan oleh mutasi, koalisi dan subtititusi asam amino pada virus influenza H5N1 yang mempunyai pengaruh sangat besar terhadap perubahan densitas populasi atau terjadi redistribusi pada setiap lokasi penyebaran. Pada penelitian yang telah dilakukan, penyebaran kedua virus diamati secara bersamaan pada masing-masing lokasi maupun kedua lokasi ( global ) dengan asumsi bahwa viirulence virus inflenza H5N1 tinggi dan virus influenza H1N1-p mampu beradaptasi terhadap manusia, setiap individual populasi yang terinfeksi akan dikatagorikan dalam dua status yaitu individual terinfeksi dengan kemampuan mentransmisi dan individual terinfeksi berada pada periode ekspose ( pada penelitian yang telah dilakukan periode ekspose dianggap tetap ). Pada pembahasan berikut akan dijelaskan mengenai faktor khusus yang mempengaruhi perubahan individual populasi antara lain transmisi virus, densitas individual terinfeksi, densitas individual recovered, evolusi genetika dan subtitusi asam amino.

Transmisi virus Transmisi virus melalui kontak maupun interaksi antara individual subpopulasi susceptible dengan terinfeksi menyebabkan terjadinya

perubahan individual dari

susceptible menjadi terinfeksi, transmisi virus H5N1 melalui kontak atau interaksi menyebabkan perubahan pada individual susceptible, sedangkan pada virus influenza H1N1-p mengakibatkan perubahan individual menjadi ekspose dan pada akhir periode ekspose terjadi perubahan individual ekspose menjadi individual terinfeksi yang mampu mentransmisi virus. Transmisi virus multistrain multi infeksi akan dijelaskan melalui gambar berikut ini

56 Disertasi


HARIYANTO


I1 ( x, t )

I11 ( x, t ) α

γ S ( x, t )

β

ν δ

I12 ( x, t )

I 2 ( x, t )

Gambar 5.4.Model transmisi virus multistrain multiinfeksi

Penyebaran virus influenza H5N1 dan H1N1-p dikonstruksi terdapat kontak dan interaksi indivdual seperti pada gambar 5.4 yang menjelaskan transmisi virus melalui kontak individual subpopulasi S ( x, t ) dengan I11 ( x, t ), individual subpopulasi S ( x, t ) dengan I12 ( x, t ) dan individual subpopulasi I11 ( x, t ) dengan I12 ( x, t ), sedangkan interaksi individual dikonstruksi antara I1 ( x, t ) dengan S ( x, t ) dan I 2 ( x, t ) dengan S ( x, t ) sehingga dari kontak dan interaksi tersebut susceptible

akan terdapat perubahan individual subpopulasi

S ( x, t ) menjadi individual subpopulasi terinfeksi I11 ( x, t ) dan I12 ( x, t ).Jika

I11 ( x, t ) merupakan individual subpopulasi terinfeksi H1N1-p dan I12 ( x, t ) individual subpopulasi terinfeksi H5N1 maka akan terdapat individual co-infeksi dari kedua virus tersebut. Transmisi virus dinyatakan sebagai fungsi transmisi dengan menggunakan metode mass action

yaitu transmisi virus yang diformulasikan berdasarkan pada kejadian bilinear

dengan subpulasi berbentuk fungsi densitas, jika γ menyatakan rate transmisi maka transmisi virus H1N1-p dari individual subpopulasi terinfeksi I11 ( x, t ) ke S ( x, t ) dapat dinyatakan dalam bentuk f (S , I11 ) = γSI11 , demikian pula peluang individual subpopulasi terinfeksi I12 ( x, t ) akan terinfeksi virus influenza I11 ( x, t ) dengan rate transmisi ν dapat dinyatakan dengan fungsi transmisi f ( I12 , I11 ) = νI12 I11.

57 Disertasi


HARIYANTO


Densitas individual terinfeksi Misalkan terdapat densitas individual terinfeksi pada masing-masing lokasi terdiri dari individual populasi terinfeksi yang mampu mentransmisi virus

dan individual

terinfeksi yang berada pada periode ekspose, kedua densitas tersebut digunakan khusus pada penyebaran virus yang mempunyai periode ekspose yaitu suatu virus atau penyakit yang mempunyai waktu tunggu sebelum batas akhir periode ekspose

atau sebelum

mempunyai kemampuan untuk dapat mentransmisi virus. Pembahasan tentang perubahan individual populasi akan dijelaskan dengan Gambar berikut ini: Batas akhir individual susceptible dinyatakan terinfeksi Individual populasi susceptible

Batas awal individual terinfeksi mampu mentransmisi virus

Periode Ekspose

Periode infeksi

t Masa infeksi Batas awal individual susceptible terinfeksi

Batas akhir individual terinfeksi pada status ekspose

Masa terjadinya perubahan genetika

Gambar 5.5.Infeksi dinamis dari virus influensa H1N1-p Perubahan individual populasi yang disebabkan oleh penyebaran virus influenza H1N1-p dapat dinyatakan dengan mengikuti aliran dinamis seperti pada Gambar 5.5, terdapat 3 status individual populasi terhadap virus influenza H1N1-p yaitu individual subpopulasi susceptible,ekspose dan terinfeksi. Setiap perubahan individual subpopulasi susceptible menjadi ekspose bergantung pada rate transmisi, demikian pula rate transisi untuk perubahan dari ekspose menjadi terinfeksi. Masa infeksi sangat bergantung pada masa inkubasi dari virus tersebut, jika individual mempunyai kekebalan alamiah maka individual tersebut tetap susceptible, akan tetapi individual tersebut akan berada pada periode ekspose bila individual tidak mempunyai kekebalan.

58 Disertasi


HARIYANTO


Perubahan individual dari ekspose ke terinfeksi harus melalui masa perubahan genetika yaitu suatu keadaan dimana virus mulai aktif untuk mampu transmisi pada individual lain, virus influenza H1N1-p yang mampu beradaptasi pada manusia mempunyai periode ekspose yang cukup lama dibandingkan dengan virus influenza H5N1,

Individual populasi recovered Penelitian yang telah dilakukan tidak membahas yang berkaitan dengan recovered dan perubahan individual populasi terinfeksi menjadi recovered, dalam hal ini recovered diasumsikan tetap artinya kekebalan individual setelah melampaui batas periode infeksi tetap sehingga individual tersebut langsung dikatakan sebagai individual subpopulasi susceptible.

Subtitusi asam amino Subtitusi asam amino dilakukan pada individual subpopulasi susceptible dengan harapan bahwa individual tersebut mempunyai peluang untuk terinfeksi, Individual subpopulasi susceptible dikonstruksi dalam 2 pengamatan yaitu mengamati individual populasi yang mempunyai peluang terinfeksi virus influenza H1N1-p dan individual yang mempunyai peluang terinfeksi virus influenza H5N1. Subtitusi ini dilakukan agar supaya virus influenza tersebut mampu beradaptasi pada manusia sehingga peluang terjadinya koalisi diantara kedua virus influenza tersebut sangat besar. Misalkan a banyaknya asam amino yang disubtitusikan dan τ (a) adalah rate transmisi yang merupakan fungsi dari asam amino artinya virus influenza H5N1 akan mengalami mutasi setelah beradaptasi pada manusia sedemikian rupa sehingga mempengaruhi perubahan transmisi penyebaran. Oleh karena subtitusi dilakukan melalui densitas individual subpopulasi susceptible maka perubahan terhadap transmisi penyebaran juga akan mempengaruhi distribusi individual subpopulasi susceptible atau dapat dikatakan bahwa a merupakan peubah sebarang. Misalkan S ( x, a, t ) fungsi densitas individual

59 Disertasi


HARIYANTO


subpopulasi susceptible maka total individual subpopulasi susceptible yang pernah a2 terinfeksi virus influensa H5N1 dengan a1 ≤ a ≤ a2 dinyatakan dengan ∫ S ( x, a, t )da. a1 Perubahan terhadap subpopulasi susceptible yang disebabkan oleh perubahan subtitusi asam amino dan perubahan waktu mengakibatkan terjadinya evolusi genetika pada individual subpopulasi susceptible. Dengan demikian perubahan pada subtitusi asam amino ekivalen dengan perubahan waktu dinyatakan Δa ≈ Δt untuk a = a(t ). Perhatikan fungsi densitas S ( x, a, t ) = S ( x, a(t ), t ) maka perubahan subpopulasi susceptible terhadap t dinyatakan dengan

∂S ( x, a(t ), t ) ∂S ∂S da = untuk t ∈ R + . + ∂t ∂t ∂a dt Perhatikan

∂S da yang bermakna sebagai perubahan subpopulasi susceptible yang ∂a dt

disebabkan oleh subtitusi asam amino sedemikian hingga terjadi evolusi genetika atau

Δa ≈ Δt , jika M adalah rate mutasi maka Δa = MΔt atau

da = M untuk Δt → 0. dt

Dengan demikian perubahan pada subpopulasi susceptible dapat dinyatakan

∂S ( x, a(t ), t ) ∂S ( x, a, t ) ∂S ( x, a, t ) = +M ∂t ∂t ∂a dan perubahan pada subpopulasi susceptible karena perubahan subtitusi asam amino dan diffusi adalah

∂S ( x, a, t ) ∂S ( x, a, t ) = diffusi lokal + diffusi global + reaksi biologi +M ∂t ∂a

5.8

dengan M sebagai rate mutasi. Transmisi penyebaran virus influenza H5N1

pada individual subpopulasi

susceptible melalui kontak maupun interaksi individual, reaksi biologi yang terjadi pada individual subpopulasi susceptible menghasilkan individual subpopulasi terinfeksi, dengan demikian redistribusi terhadap individual subpopulasi susceptible yang terjadi sebagai akibat dari perubahan subtitusi asam amino adalah

I ( x, t )τ (a) S ( x, a, t ).Sedangkan

60 Disertasi


HARIYANTO


redistribusi terhadap individual subpopulasi terinfeksi yang terjadi pada lokasi yang sama sebagai akibat dari perubahan individual subpopulasi susceptible adalah a2

I ( x, t ) ∫ τ (a) S ( x, a, t )da

5.9

a1

dengan τ (a) rate transmisi yang bergantung pada banyaknya subtitusi asam amino.

5.1.3 Mengkonstruksi model matematika koalisi Misalkan Ω1 , Ω 2 menyatakan himpunan tertutup terbatas pada lokasi 1 dan lokasi 2 dan Ω1 , Ω2 ⊂ R dengan Ω1 = [0, L1 ], Ω 2 = [0, L2 ], jika X himpunan dari individual populasi yang bergerak pada Ω1 dan Ω 2 maka reaksi biologi dan gerakan spasial-temporal menyebabkan terjadinya perubahan distribusi pada masing-masing lokasi. Konstruksi model matematika dilakukan berdasarkan pada pengamatan terhadap perubahan distribusi masing-masing lokasi dengan batasan-batasan sebagai berikut: 1. Setiap individual yang bergerak pada lokasi lain dianggap sebagai populasi pada lokasi tersebut dan akan kembali pada lokasinya semula. 2. Recovery dianggap tetap sehingga setiap individual yang sembuh akan mempunyai kekebalan tetap. 3. Pergerakan individual populasi terinfeksi dibatasi hanya pada pergerakan lokal kecuali untuk individual terinfeksi yang berada pada periode Ekspose. 4. Setiap kelahiran pada setiap individual populasi dianggap mempunyai kekebalan natural yang tidak terinfeksi oleh kedua virus influenza tersebut. 5. Lokasi 1 simetri dengan lokasi 2, oleh karena itu konstruksi model matematika dapat dilakukan pada lokasi 1 atau lokasi 2. Model matematika dikonstruksi berdasarkan pada network kontak dari penyebaran virus influenza H5N1 dan H1N1-p. Konstruksi model mengikuti proses koalisi yang terdiri dari 3 tahapan pada setiap lokasi yaitu 1. Tahapan pertama, konstruksi model pada tahapan pertama terdiri dari model matematika penyebaran virus influenza H1N1-p melalui kontakindividual, model matematika penyebaran virus influenza H5N1 pada unggas melalui kontak

61 Disertasi


HARIYANTO


individual dan model matematika penyebaran virus H5N1 dari unggas ke manusia melalui kontak individual. Konstruksi model pada tahapan pertama dilakukan pada lokasi 1 dan lokasi 2. 2. Tahapan kedua, konstruksi model tahapan kedua sama seperti pada konstruksi model tahapan pertama. Pada tahapan kedua, transmisi penyebaran virus influenza dikonstruksi melalui kontak dan interaksi individual, demikian pula dilakukan pengamatan terhadap transmisi silang antara individual terinfeksi virus influenza H5N1 dan H1N1-p. 3. Tahapan ketiga, konstruksi model pada tahapan ketiga merupakan pengembangan dari tahapan kedua yaitu dengan melakukan subtitusi asam amino pada individual subpopulasi susceptible.

Mengkonstruksi model pada Tahapan Pertama Pada

tahapan pertama, konstruksi model penyebaran virus H5N1 dan H1N1-p

dibangun berdasarkan pada Gambar 5.6 yaitu penyebaran virus influenza H5N1 melalui rangkaian kontak individual antara unggas dengan unggas dan unggas dengan manusia, kontak individual antara manusia dengan manusia pada penyebaran virus influenza H1N1p. Konstruski model dimulai dari penyebaran virus influenza H1N1-p melalui kontak diantara individual subpopulasi manusia susceptible dengan individual subpopulasi manusia terinfeksi pada lokasi 1.

I 11m ( x, t )

E11m ( x, t )

δ

α

α

γ S11m ( x, t )

δ I11m ( x, t ) • Gambar 5.6.Network kontak individual pada penyebaran Virus H1N1-p lokasi 1 Domain dari penyebaran virus influenza H1N1-p terdiri dari 3 kondisi individual terhadap virus yaitu individual subpopulasi susceptible dan ekspose yang bergerak pada

62 Disertasi


HARIYANTO


lokasi 1 dan 2 dan individual subpopulasi terinfeksi yang bergerak pada lokasi 1atau lokasi 2, Jika α menyatakan rate transmisi maka kontak antara I11m ( x, t ) dengan S11m ( x, t ) dapat dinyatakan sebagai fungsi transmisi berbentuk F ( S11m ( x, t ), I11m ( x, t )) = αS11m ( x, t ) I11m ( x, t ). Pada Gambar 5.6, Terdapat 4 perubahan individual populasi yaitu perubahan individual subpopulasi susceptible menjadi ekspose yang disebabkan oleh transmisi virus, perubahan individual subpopulasi ekspose menjadi terinfeksi dengan rate infeksi γ dan perubahan individual subpopulasi terinfeksi dan ekspose menjadi susceptible dengan rate recovered δ . Perubahan individual subpopulasi dapat dinyatakan pada Tabel berikut ini Tabel 5.1. Aliran perubahan populasi.terhadap penyebaran virus H1N1-p Garis aliran perubahan

Fungsi densitas yang mengalami perubahan

S11m ( x, t ) − αS11m I 11m I 11m ( x, t )

δ

E11m ( x, t )

α

α

E11m ( x, t )

I11m ( x, t )

αS11m I11m − γE11m

+ γE11m

+ γE11m − γE11m

γ S11m ( x, t )

− γE11m

δ I11m ( x, t ) •

+ δI 11m δE11m

+ γE11m

− δI 11m − δE11m

Keterangan α : rate transmisi, δ : rate recovered, γ : rate infeksi perubahan atau transisi dari individual populasi menyebabkan terjadi pengurangan total populasi dari individual awal sehingga diberi tanda (-) dan akan terjadi pertambahan pada total populasi dari perubahan individual akhir dan diberi tanda (+).

63 Disertasi


HARIYANTO


Berdasarkan pada

aliran perubahan individual subpopulasi maka konstruksi model

matematika dapat dinyatakan sebagai berikut: Perubahan densitas populasi susceptible = Diffusi lokal + Diffusi global + reaksi biologi Perubahan densitas populasi ekspose = Diffusi lokal + Diffusi global + reaksi biologi Perubahan densitas populasi terinfeksi = Diffusi lokal + reaksi biologi

5.10

atau dapat dinyatakan dalam bentuk model sistem sebagai berikut:

∂ 2 S11m ∂S11m − αS11m I 11m + δI 11m − dS11m + bS11M + = D11S ∂t ∂x 2

∫

Ω 21

S12 m K ( x − y )dy − S11m ∫ K ( y − x)dx + δE11m Ω1

2 ∂E11m E ∂ E11m = D11 + αS11m I 11m − γE11m − dE11m − bE11m + ∂t ∂x 2

∫E

12 m

Ω2

5.11

K ( x − y )dy − E11m ∫ K ( y − x)dx − δE11m Ω1

∂I11m ∂ 2 I 11m = D11I + γE11m − dI 11m − bI 11m − δI 11m ∂t ∂x 2 Kondisi awal Kondisi awal ditentukan berdasarkan pada penyebaran virus influenza H1N1-p yang diawali adanya virus yang berada pada manusia, oleh karena itu untuk t = 0 terdapat

S11m ( x,0) = S11m0 = S (0), I 11m ( x,0) = I 11m0 , E11m ( x,0) = E11m0 . Kondisi batas. Kondisi batas pada model ditentukan oleh individual subpopulasi bergerak pada x ∈ Ω1 di lokasi 1 atau x ∈ Ω1 di lokasi 2, jika Ω1 = [0, L] maka individual subpopulasi pada x = 0 atau x = L akan terjadi individual subpopulasi maksimum atau minimum, dengan menggunakan prinsip maksimum atau minimum diperoleh

∂S11m ∂S ∂E ∂E ∂I ∂I (0) = 11m ( L) = 0, 11m (0) = 11m ( L) = 0, 11m (0) = 11m ( L) = 0 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x

5.12

sedangkan individual subpopulasi terinfeksi. virus H1N1-p diisolasi di lokasi 1 atau 2

∂ 2 I 11m sehingga pada x = d individual subpopulasi terinfeksi minimum atau ( L) > 0, ∂x 2

64 Disertasi


HARIYANTO


kondisi batas tersebut diatas disebut kondisi batas Newmann. Total populasi pada konstruksi model tahapan pertama N11m (t ) = S11m (t ) + E11m (t ) + I11m (t ). Konstruksi model berikutnya membangun model matematika penyebaran virus influenza H5N1 melalui kontak individual seperti pada network kontak berikut ini:

• I 21u ( x, t )

δ • I 21m ( x, t )

β

β*

β* S 21m ( x, t )

S 21u ( x, t )

Gambar 5.7. Network kontak individual pada penyebaran virus H5N1 lokasi 1 Domain dari penyebaran virus influenza H5N1 terdiri dari 4 perubahan subpopulasi individual yaitu perubahan individual subpopulasi unggas susceptible S 21U ( x, t ) menjadi terinfeksi, individual subpopulasi manusia susceptible S 21m ( x, t ) menjadi terinfeksi dan perubahan individual subpopulasi manusia terinfeksi I 21m ( x, t ) menjadi susceptible setelah recovered. Transmisi penyebaran virus influenza H5N1 pada unggas dinyatakan

F (S 21U ( x, t ), I 21U ( x, t )) = βS 21U ( x, t ) I 21U ( x, t ) dengan β transmisi

penyebaran

virus

influenza

sebagai rate transmisi dan H5N1

pada

manusia

F ( S 21m ( x, t ), I 21U ( x, t )) = β ∗ S 21m ( x, t ) I 21U ( x, t ) dengan rate transmisi β ∗ . Perubahan densitas individual subpopulasi sebagai akibat dari reaksi biologi dapat ditunjukkan pada Tabel berikut ini.

65 Disertasi


HARIYANTO


Tabel 5.2

Aliran perubahan populasi unggas dan manusia terhadap penyebaran virus influenza H5N1 tahapan pertama.. Garis aliran perubahan

δ

• I 21u ( x, t )

• I 21m ( x, t )

β

β*

β* S 21m ( x, t )

S 21u ( x, t )


S 21U ( x, t )

− βS 21U I 21U

I 21U ( x, t )

S 211m ( x, t )

+ βS 21U I 21U

− β ∗ S 21m I 21U

I 21m ( x, t )

+ β ∗ S 21m I 21U

+ I 21mδ

− I 21mδ

Keterangan α : rate transmisi, δ : rate recovered, γ : rate infeksi β : rate transmisi virus H5N1 dari unggas ke unggas. β ∗ : rate transmisi virus H5N1 dari unggas ke manusia perubahan atau transisi dari individual populasi menyebabkan terjadi pengurangan total populasi dari individual awal sehingga diberi tanda (-) dan akan terjadi pertambahan pada total populasi dari perubahan individual akhir dan diberi tanda (+).

Berdasarkan pada perubahan individual subpopulasi yang terjadi maka konstruksi model matematika dapat dinyatakan sebagai berikut: Perubahan densitas populasi unggas susceptible = Diffusi lokal + Diffusi global + reaksi biologi

66 Disertasi


HARIYANTO


Perubahan densitas populasi unggas terinfeksi = Diffusi lokal + reaksi biologi Perubahan densitas populasi manusia susceptible = Diffusi lokal + Diffusi global + reaksi biologi

5.13

Perubahan densitas populasi manusia terinfeksi = Diffusi lokal + reaksi biologi atau dapat dinyatakan dalam bentuk

∂ 2 S 21u ∂S 21u = D21S − βS 21u I 21u − dS 21u + bS 21u + ∂t ∂x 2

∫S

Ω2

u K ( x − y )dy − S 21u ∫ K ( y − x)dx

22

Ω1

2 ∂I 21u I ∂ I 21u = D21 + βS 21u I 21u − dI 21u − bI 21u ∂t ∂x 2 2 ∂S 21m S ∂ S 21m = D21 − β *S 21m I 21u − dS 21m + bS 21m + 2 ∂t ∂x

∫S

Ω2

22

m K ( x − y )dy − S 21m ∫ K ( y − x)dx + δI 21m

5.14

Ω1

2 ∂I 21m M ∂ I 21m = D21 + β *S 21m I 21u − dI 21m − bI 21m − δI 21m 2 ∂t ∂x

kondisi awal dan batas dikonstruksi seperti pada konstruksi model 5.11 yaitu kondisi awal

S 21m ( x,0) = S 21m0 = S (0), I 21m ( x,0) = I 21m 0 S 21U ( x,0) = S 21U 0 , I 21U ( x,0) = I 21U 0 . kondisi batas Newmann dan dilakukan isolasi terhadap individual subpopulasi terinfeksi H5N1 pada manusia dan unggas

∂S 21m ∂S 21m ∂I 21m ∂I 21m ∂ 2 I 21m ( 0) = ( L ) = 0, ( 0) = ( L) = 0, ( L) > 0, ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x 2

5.15

∂S 21U ∂S 21U ∂I 21U ∂I 21U ∂ 2 I 21U ( 0) = ( L ) = 0, ( 0) = ( L) = 0, ( L) > 0, ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x 2 dengan total populasi N 21m (t ) = S 21m (t ) + I 21m (t ) , N 21U (t ) = S 21U (t ) + I 21U (t ). Jika dilakukan pengamatan terhadap penyebaran kedua virus secara bersamaan maka akan diperoleh model subsistem pada lokasi 1 yaitu model matematika dari penyebaran

67 Disertasi


HARIYANTO


virus influenza H5N1 dan H1N1-p melalui kontak individual tanpa interaksi pada lokasi 1 yang berbentuk: ∂ 2 S1m ∂S1m = D1S − β * S1m I 21u − αS1m I 11m − dS 1m + bS 1m + 2 ∂t ∂x

∫ S m K ( x − y)dy − S m ∫ K ( y − x)dx + δI 2

1

Ω2

m + δI 11m

21

Ω1

∂E11m ∂ 2 E11m = D11E + αS11m I 11m − γE11m − dE11m − bE11m + ∂t ∂x 2

∫E

12

Ω2

m K ( x − y )dy − E11m ∫ K ( y − x)dx − δE11m Ω1

2 ∂I11m I ∂ I 11m = D11 + γE11m − dI 11m − bI 11m − δI 11m ∂t ∂x 2 2 ∂I 21m M ∂ I 21m = D21 + β *S 21m I 21u − dI 21m − bI 21m − δI 21m 2 ∂t ∂x

5.16

∂S 21U ∂ 2 S 21U = D21S − βS 21U I 21U − dS 21U + bS 21U + ∂t ∂x 2

∫S

Ω2

22U

K ( x − y )dy − S 21U ∫ K ( y − x)dx Ω1

∂I 21u ∂ 2 I 21u = D21I + βS 21u I 21u − dI 21u − bI 21u ∂t ∂x 2 dengan kondisi awal

S1m ( x,0) = S1m0 = σ , I 11m ( x,0) = I 11m0 , E11m ( x,0) = E11m0 , I 21m ( x,0) = I 21m0 . S 21U ( x,0) = S 21U 0 , I 21U ( x,0) = I 21U 0 dan kondisi batas Newmann

∂S 1 m ∂S ∂E ∂E ∂I ∂I (0) = 1m ( L ) = 0, 11m (0) = 11m ( L) = 0, 11m (0) = 11m ( L) = 0 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂I 21m ∂I 21m ∂ 2 I 21m ( 0) = ( L) = 0, ( L) > 0 ∂x ∂x ∂x 2 ∂S 21U ∂S 21U ∂I 21U ∂I 21U ∂ 2 I 21U ( 0) = ( L ) = 0, ( 0) = ( L) = 0, ( L) > 0 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x 2

5.17

dengan total populasi

N1m (t ) = S1m (t ) + E11m (t ) + I11m (t ) + I 21m (t ), N 21U (t ) = S 21U (t ) + I 21U (t ).

68 Disertasi


HARIYANTO


Konstruksi model sistem dari penyebaran virus influenza H5N1 dan H1N1-p pada lokasi 1 dan 2 dalam bentuk umum dapat dinyatakan sebagai berikut: ∂S jm ∂t

∫

S

Ωk

km

∂E1 jm E

∂t

∫

S

2

∂I 2 ju ∂t

I

= D2 j S

ku

Ωj

K ( x − y )dy − E1 jm

= ( D1 j + D2 j )

∂S 2 ju

∫ K ( y − x)dx + δI

= D2 j

∫

Ωj

∂ 2 I ijm

jm + δI 1 jm + δE1 jm

∂ 2 S 2 ju ∂x 2

∂x

∂ 2 I 2 ju ∂x 2

5.18

K ( y − x)dx − δE1 jm

+ γE1 jm + β *S jm I 2 jU − dI ijm − bI ijm − δI ijm

2

− βS 2 ju I 2 ju − dS 2 ju + bS 2 ju +

K ( x − y )dy − S 2 ju

I

2

+ αS1 jm I 1 jm − γE1 jm − dE1 jm − bE1 jm +

∂x 2

I

∂t

Ωk

− β * S jm I 2 ju − αS jm I 1 jm − dS jm + bS jm +

∂ 2 E1 jm

= D1 j

k

∂I ijm

2

K ( x − y )dy − S jm

1 m

Ωk

∂x

E

∂t

∫

∂ 2 S jm

= D Sj

∫ K ( y − x)dx Ωj

+ βS 2 ju I 2 ju − dI 2 ju − bI 2 ju

dengan kondisi awal

S jm ( x,0) = σ , I ijm ( x,0) = I ijm0 , Eijm ( x,0) = Eijm0 S 2 jU ( x,0) = SU 0 , I 2 jU ( x,0) = IU 0 dan kondisi batas Newmann

∂S jm ∂x ∂I ijm ∂x

(0) = (0) =


(L) =

∂S 2 jU

( L) = 0 ,

∂x

(0) =

∂ 2 I ijm ∂x 2

∂S 2 jU ∂x

( L) > 0,

( L) = 0,

∂I 2 jU ∂x

∂E1 jm

(0) =

∂x

(0) =

∂I 2 jU ∂x

∂E1 jm ∂x

( L) = 0,

( L) = 0

∂ 2 I 2 jU ∂x 2

5.19

( L) > 0,

dengan total populasi:

N jm (t ) = S jm (t ) + E1 jm (t ) + I1 jm (t ) + I 2 jm (t ), N 2 jU (t ) = S 2 jU (t ) + I 2 jU (t ), indeks i = 1,2 menyatakan penyebaran virus influenza dengan i = 1 untuk virus influenza H1N1-p dan i = 2 untuk virus influenza H5N1, indeks j = 1,2 menyatakan lokasi dengan

69 Disertasi


HARIYANTO


j = 1 untuk lokasi 1 dan j = 2 untuk lokasi 2,.indeks m menyatakan penyebaran virus influenza pada manusia, indeks u menyatakan penyebaran virus influenza H5N1 pada unggas dan untuk .indeks k = 1 jika j = 2 dan k = 2 jika j = 1 menyatakan diffusi global.

Mengkonstruksi model pada Tahapan kedua Konstruksi model pada tahapan

kedua merupakan pengembangan dari model

tahapan pertama. Transmisi penyebaran virus H5N1 dan H1N1-p diamati melalui kontak dan interaksi individual susceptible dengan terinfeksi, demikian pula untuk transmisi silang antara individual terinfeksi H5N1 dengan individual terinfeksi H1N1-p. Konstruksi transmisi dinyatakan dalam network kontak berikut ini

I 11m ( x, t ) I 11m ( x, t )

δ δ α

e1

E11m ( x, t )

α

γ

S11m ( x, t )

• I co inf (x, t )

ρ1 δ

I 11m ( x, t ) ρ1

I 21m ( x, t ) Gambar 5.8. Network kontak dan interaksi individual pada penyebaran virus H1N1-p lokasi 1 Pada Gambar 5.8, konstruksi model pada tahapan kedua menunjukkan transmisi penyebaran virus influenza H1N1-p melalui interaksi individual yang dikonstruksi mempunyai rate transmisi > rate transmisi melalui kontak individual sehingga ekspetasi terhadap densitas subpopulasi terinfeksi I11m ( x, t ) sangat besar.Dengan demikian transmisi silang virus influenza H1N1-p melalui I11m ( x, t ) terhadap I 21m ( x, t ) mempunyai peluang yang sangat besar terjadinya I co−inf ( x, t ).

70 Disertasi


HARIYANTO


Perubahan densitas subpopulasi sebagai akibat reaksi biologi ditunjukkan pada Tabel berikut ini. Tabel 5.3

Aliran perubahan populasi manusia terhadap penyebaran virus influenza H1N1 tahapan kedua..

Garis aliran perubahan


S11m ( x, t )

δ

I11m ( x, t ) e1

α

I 11m ( x, t )

I 11m ( x, t )

− αS11m I 11m

+ αS11m I 11m

− e1 S11m I 11m

+ e1 S11m I 11m

S11m ( x, t )

S11m ( x, t )

S11m •

E11m

γ

E11m ( x, t )

δ

− γE11m

ρ1 • I co inf I11m

δ

E11m ( x, t )

I 21m

I11m ( x, t )

+ γE11m

+ δI c 0−inf

+ δI 11m

I co−ifn ( x, t )

− δI c 0−inf

− δI 11m

Keterangan α : rate transmisi kontak, e1 : rate transmisi interaksi, δ : rate recovered γ : rate infeksi, ρ1 : rate transmisi perubahan atau transisi dari individual populasi menyebabkan terjadi pengurangan total populasi dari individual awal sehingga diberi tanda (-) dan akan terjadi pertambahan pada total populasi dari perubahan individual akhir dan diberi tanda (+).

71 Disertasi


HARIYANTO


Berdasarkan pada

aliran perubahan individual subpopulasi maka konstruksi model

matematika dapat dinyatakan sebagai berikut: Perubahan densitas populasi susceptible = Diffusi lokal + Diffusi global + reaksi biologi Perubahan densitas populasi ekspose = Diffusi lokal + Diffusi global + reaksi biologi Perubahan densitas populasi terinfeksi = Diffusi lokal + reaksi biologi

5.20

Perubahan densitas populasi co-infeksi = Diffusi lokal + reaksi biologi atau dapat dinyatakan dalam bentuk

∂S11m ∂ 2 S11m = D11S − αS11m I 11m − e1 S11m I 11m − dS 11m + bS 11m + ∫ S12 m K ( x − y )dy − ∂t ∂x 2 Ω2 S11m ∫ K ( y − x)dx + δI 11m + δE11m + δI c 0−inf Ω1

∂E11m ∂ 2 E11m = D11E + αS11m I 11m + e1 S11m I 11m − γE11m − dE11m − ∂t ∂x 2 bE11m + ∫ E12m K ( x − y )dy − E11m ∫ K ( y − x)dx − δE11m Ω2

5.21

Ω1

2 ∂I11m I ∂ I 11m = D11 + γE11m − dI 11m − bI 11m − δI 11m ∂t ∂x 2

∂I co −inf ∂ 2 I co −inf I = Dc 0−inf + ρ1 I 21m I 11m − dI co −inf − bI co −inf − δI co −inf ∂t ∂x 2 dengan kondisi awal

S11m ( x,0) = S11m0 = σ , I 11m ( x,0) = I 11m0 , E11m ( x,0) = E11m0 , I co −inf ( x,0) = 0, kondisi batas Newmann

∂S11m ∂S ∂E ∂E ∂I ∂I (0) = 11m ( L) = 0, 11m (0) = 11m ( L) = 0, 11m (0) = 11m ( L) = 0 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂I ∂I ∂I ∂ 2 I 11m ( L) > 0, c 0−inf (0) = c 0−inf ( L) = 0, c 0−inf ( L) > 0 2 ∂x ∂x ∂x ∂x

5.22

dan total populasi N11m (t ) = S11m (t ) + E11m (t ) + I11m (t ) + I co −inf (t ). Pada langkah berikutnya melakukan konstruksi model pada penyebaran virus influenza H5N1 yang dapat diamati pada aliran kontak dan interaksi pada gambar berikut ini:

72 Disertasi


HARIYANTO


δ

I 21m ( x, t ) ρ1

I 11m ( x, t )

ρ1 I 21u ( x, t ) β * e2

δ S 21m ( x, t )

• I co inf ( x, t )

I 21u ( x, t ) Gambar 5.9. Network kontak dan interaksi individual pada penyebaran Virus H5N1 lokasi 1

Pada gambar 5.9, transmisi penyebaran virus influenza H5N1 melalui interaksi dikonstruksi sama seperti pada penyebaran virus influenza H1N1-p dengan rate transmisi > rate transmisi melalui kontak. Perubahan densitas subpopulasi yang terjadi sebagai akibat reaksi biologi ditunjukkan pada tabel berikut ini Tabel 5.4a. Aliran perubahan populasi manusia terhadap penyebaran .virus H5N1 tahapan kedua Garis aliran perubahan


S 21m ( x, t )

I 21m ( x, t ) •

δ

β*

I 21m ( x, t )

− β ∗ S 21m I 21U

+ β ∗ S 21m I 21U

− e2 S 21m I 21U

+ e2 S 21m I 21U

I co−ifn ( x, t )

S 21m ( x, t ) e2

+ δI 21m

− δI 21m

I 21u ( x, t ) I 21u ( x, t )

73 Disertasi


HARIYANTO


Tabel 5.4b. Aliran perubahan populasi manusia terhadap penyebaran virus.H5N1 tahapan kedua Garis aliran perubahan


S 21m ( x, t )

I 21m ( x, t )

− ρ1 I11m I 21m + ρ1 I11m I 21m

I11m

ρ1

+ δI co −inf

I 21m

− ρ1 I 21m I11m

− δI c 0−inf

+ ρ1 I 21m I 11m

• I co −inf

S 21m •

I co−ifn ( x, t )

δ

Keterangan δ : rate recovered, β ∗ : rate transmisi kontak, e1 : rate transmisi transmisi perubahan atau transisi dari individual interaksi, ρ1 : rate populasi menyebabkan terjadinya pengurangan total populasi dari individual awal sehingga diberi tanda (-) dan akan terjadi pertambahan pada total populasi dari perubahan individual akhir dan diberi tanda (+).

Berdasarkan garis aliran perubahan pada tabel 5.4.a dan 5.4.b maka konstruksi model matematika dapat dinyatakan sebagai berikut: Perubahan densitas populasi susceptible = Diffusi lokal + Diffusi global + reaksi biologi Perubahan densitas populasi terinfeksi = Diffusi lokal + reaksi biologi Perubahan densitas populasi co-infeksi = Diffusi lokal + reaksi biologi

5.23

atau dapat dinyatakan dalam bentuk

74 Disertasi


HARIYANTO


∂ 2 S 21m ∂S 21m = D21M − β *S 21m I 21u − e2 I 21U S 21m − dS 21m + 2 ∂t ∂x 2 ∂I 21 ∂ I ( xm− y )dy bS −S K ( y − x)dx + δI + δI co −inf 21m + ∫ Sm22 m K 21 + β *S 21m21mI 21∫u + e2 I 21U S 21m − 21ρm = D21 1 I 11m I 21m − 2 Ω 2 Ω 1 ∂t ∂x dI 21m − bI 21m − δI 21m

5.24

2 ∂I co −inf c 0 −inf ∂ I co −inf = D21 + ρ1 I 11m I 21m + ρ1 I 21m I11m − dI co −inf − bI co −inf − δI co −inf ∂t ∂x 2

dengan kondisi awal

S 21m ( x,0) = S 21m0 = σ , I 21m ( x,0) = I 21m0 , I co −inf ( x,0) = 0 kondisi batas Newmann

∂S 21m ∂S ∂I ∂I ∂ 2 I 21m (0) = 21m ( L ) = 0, 21m (0) = 21m ( L) = 0 ( L) > 0, ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x 2 ∂I co −inf ∂I ∂I (0) = co −inf ( L) = 0, co −inf ( L) > 0 ∂x ∂x ∂x dengan total populasi N 21m (t ) = S 21m (t ) + I 21m (t ) + I co −inf (t ). Jika pada lokasi 1 diamati secara bersamaan terhadap penyebaran dari kedua virus tersebut maka akan diperoleh model subsistem berbentuk konstruksi model matematika dari penyebaran virus influenza H5N1 dan H1N1-p melalui kontak dan interaksi sebagai berikut:

∂ 2 S1m ∂S1m = D1S − αS1m I 11m − β *S1m I 21u − e1 I 11m S1m − e2 I 21U S1m − ∂t ∂x 2 dS 1m + bS 1m + ∫ S 2 m K ( x − y )dy −S1m ∫ K ( y − x)dx + δI 21m + δI 11m + δE11m + δI co −inf Ω2

Ω1

2 ∂E11m E ∂ E11m = D11 + αS1m I 11m + e1 S1m I 11m − γE11m − dE11m − bE11m + ∫ E12 m K ( x − y )dy − ∂t ∂x 2 Ω2

E11m ∫ K ( y − x)dx − δE11m Ω1

2 ∂I11m I ∂ I 11m = D11 + γE11m − dI 11m − bI 11m − δI 11m ∂t ∂x 2

5.25

75 Disertasi


HARIYANTO


∂I 21m ∂ 2 I 21m + β *S1m I 21u + e2 I 21U S1m − ρ1 I 11m I 21m − ρ1 I 21m I 11m − = D21I 2 ∂t ∂x dI 21ms − bI 21m − δI 21m 2 ∂I co −inf co inf ∂ I co −inf = D21 + ρ1 I 11m I 21m + ρ1 I 21m I11m − dI co −inf − bI co −inf − δI co −inf ∂t ∂x 2

dengan kondisi awal

S1m ( x,0) = S1m0 = σ , I 11m ( x,0) = I 11m0 , E11m ( x,0) = E11m0 , I co −inf ( x,0) = 0 S 21m ( x,0) = S 21m0 = σ , I 21m ( x,0) = I 21m 0 dan kondisi batas Newmann

∂S 1 m ∂S ∂E ∂E ∂I ∂I (0) = 1m ( L ) = 0, 11m (0) = 11m ( L) = 0, 11m (0) = 11m ( L) = 0 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂I c 0−inf ∂I c 0−inf ∂I c 0−inf ∂ 2 I 11m ( 0 ) = ( L ) = 0 , ( L) > 0 ( L ) > 0 , ∂x ∂x ∂x ∂x 2

5.26

∂I 21m ∂I ∂ 2 I 21m (0) = 21m ( L) = 0 ( L) > 0 ∂x ∂x ∂x 2 dengan total populasi N1m (t ) = S1m (t ) + E11m (t ) + I11m (t ) + I 21m (t ) + I co −inf (t ). Bentuk umum dari model matematika penyebaran virus influenza H5N1 dan H1N1-p melalui kontak dan interaksi diantara individual subpopulasi pada lokasi 1 dan 2 adalah

∂S jm ∂t

= D Sj

∂ 2 S jm

2

2

− ∑ α n S jm I 1 jm − ∑ β n∗ S jm I 2 ju −

∂x 2

n =1

n =1

dS jm + bS jm + ∫ S km K ( x − y )dy −S jm ∫ K ( y − x)dx + δI 2 jm + δI 1 jm + δE1 jm + δI coj −inf Ω2

∂E1 jm ∂t ∂I 1 jm ∂t ∂I 2 jm ∂t

∂ 2 E1 jm

=D

E 1j

= D1I j

Ω1

∂x 2 ∂ 2 I 1 jm

= D2I j

∂x 2

4

n =1

n =1

Ω2

Ω1

3

+ γE1 jm − ∑ d n I 1 jm

∂ 2 I 2 jm ∂x 2

2

+ ∑α n S jm I1 jm − ∑ d n E1 jm + ∫ E1km K ( x − y)dy − E1 jm ∫ K ( y − x)dx 5.27

n =1

2

3

n =1

n =1

+ ∑ β n∗ S jm I 2 ju − ρ1 I 1 jm I 2 jm − ρ1 I 2 jm I 1 jm − ∑ d n I 2 jm

3 ∂I co −inf ∂ 2 I co −inf j = Dco −inf + ρ I I + ρ I I − d n I co −inf ∑ 1 1 jm 2 jm 1 2 jm 1 jm ∂t ∂x 2 n =1

76 Disertasi


HARIYANTO


dengan kondisi awal

I ijm ( x,0) = I ijm 0 , E1 jm ( x,0) = E1 jm0 , I co −inf ( x,0) = 0, S ijm ( x,0) = S ijm 0 = σ dan kondisi batas Newmann

∂S jm ∂x

(0) =

∂ 2 I ijm ∂x 2

∂S jm ∂x

( L) > 0,

( L) = 0,

∂E1 jm ∂x

(0) =

∂E1 jm ∂x

( L) = 0,

∂I ijm ∂x

(0) =

∂I ijm ∂x

( L) = 0

∂I co −inf ∂I (0) = co −inf ( L) = 0 ∂x ∂x

5.28

dengan total populasi N jm (t ) = S jm (t ) + E1 jm (t ) + I 1 jm (t ) + I 2 jm (t ) + I co −inf (t ), indeks i = 1,2 menyatakan penyebaran virus influenza dengan i = 1 untuk virus influenza H1N1-p dan i = 2 untuk virus influenza H5N1, indek. j = 1,2 menyatakan lokasi dengan

j = 1 untuk lokasi 1 dan j = 2 untuk lokasi 2, indeks m menyatakan penyebaran virus influenza pada manusia, indeks u menyatakan penyebaran virus influenza H5N1 pada unggas dan .untuk indek

k = 1 jika j = 2

dan k = 2 jika j = 1 yang menyatakan

pergerakan individual pada lokasi 1 atau 2.

Mengkonstruksi model pada Tahapan ketiga Pada tahapan ketiga, virus influenza H5N1 dikonstruksi untuk mampu beradaptasi pada manusia. melalui subtitusi asam amino. Oleh karena substitusi asam amino dilakukan pada individual subpopulasi susceptible maka perubahan densitas subpopulasi susceptible bergantung pada banyaknya asam amino. Transmisi silang dari kedua virus secara significan menghasilkan co-infeksi, evolusi genetika pada I co−inf ( x, t ) diharapkan muncul virus dengan strain baru. Network kontak dan interaksi dari konstruksi model tahapan ketiga ditunjukkan pada Gambar berikut ini

77 Disertasi


HARIYANTO


I11m ( x, t )

I 21U ( x, t ) I 21U ( x, t )

β

f

ρ1 δ

I 21m ( x, t )

e2

m

∗

δ

S11m ( x, t ) I11m ( x, t ) e1 α E11m ( x, t ) δ • γ I11m ( x, t ) I11m ( x, t )

δ

I co−inf ( x, t )

• J ( x, t )

n

k

ρ1 I 21m ( x, t )

δ Gambar 5.10. Network kontak,interaksi individual pada penyebaran Virus H1N1-p dan H5N1 serta subtitusi asam amino pada H5N1 di lokasi 1. Aliran individual melakukan kontak dan interaksi

digunakan sebagai landasan

untuk mengkonstruksi model matematika. Fokus pengamatan ditujukan kejadian yang sangat penting dalam menentukan adanya transisi atau perubahan yang terjadi pada individual subpopulasi co-infeksi yaitu kontak dan interaksi antara individual subpopulasi terinfeksi

I11m ( x, t ) dan

I 21U ( x, t )

terhadap

individual

subpopulasi

S1m ( x, t ), dengan subtitusi asam amino dan transmisi silang antara

susceptible

I11m ( x, t ) dan

I 21m ( x, t ).akan diperoleh individual subpopulasi terinfeksi I co−inf ( x, t ). Perubahan densitas subpopulasi dapat dinyatakan pada tabel berikut ini.

78 Disertasi


HARIYANTO


Tabel 5.5a Aliran perubahan populasi manusia.terhadap penyebaran virus H5N1 dan H1N1 tahap ketiga Garis aliran perubahan

Fungsi densitas yang mengalami perubahan E11m ( x, t )

S1m ( x, t )

− γE11m

δI 21m

I11m ( x, t )

γE11m

I11m S1m

δ E11m

γ

m n I co−inf

I11m

− kI 11m J

δI co −inf

δ

δ I 21m δ

f

δJ

ρ1

− δI 11m

δI 11m J

k

ρ1 I 21m

− fS1m J I 21m ( x, t )

I co−inf ( x, t )

− mI 21m J

ρ1 I 21m I 11m

− ρ1 I 11m I 21m

ρ1 I11m I 21m

− δI 21m

− δI co −inf

− ρ1 I 21m I11m

− nI co −inf

J ( x, t )

kI 11m J

nI co −inf mI 21m J

fS1m J − δJ

Keterangan : δ :rate recovered, k , m, n, f , ρ1 rate transmisi, γ rate perubahan, a banyaknya asam amino,. perubahan atau transisi dari individual populasi menyebabkan terjadi pengurangan total populasi dari individual awal sehingga diberi tanda (-) dan akan terjadi pertambahan pada total populasi dari perubahan individual akhir dan diberi tanda (+).

79 Disertasi


HARIYANTO


Tabel 5.5b. Aliran perubahan populasi manusia.terhadap penyebaran virus H5N1 dan H1N1 tahap ketiga Garis aliran perubahan


E11m ( x, t )

S1m ( x, t )

I 21u e1

I11m

− e1 S1m I 11m e1 S1m I11m

I 21u β*

I 21m ( x, t )

I 21U ∫ e2 (a)S1m da Ω1

δ

I 21m

− αS1m I11m

αS1m I 11m

I 21U ∫ β ∗ (a)S1m da Ω1

e1

S1m

α I11m

− e2 (a) S1m I 21U

E11m

− δI 21m

δE11m

δ

δI 21m

Dengan demikian konstruksi model matematika koalisi antara virus influenza H5N1 dan H1N1 dengan subtitusi asam amino dapat dinyatakan dalam bentuk

∂ 2 S1m ∂S1m ∂MS1m + = D1S − β * (a ) S1m I 21u − e2 (a) I 21U S1m − e1 S1m I 11m − fS1m J − 2 ∂t ∂a ∂x

αS1m I 11m − dS 1m + bS 1m + ∫ S 2 m K ( x − y )dy −S1m ∫ K ( y − x)dx + δI 21m + δI 11m + δE11m + Ω2

Ω1

δI co −inf + δJ 2 ∂E11m E ∂ E11m = D11 + αS1m I 11m + e1 S1m I 11m − γE11m − dE11m − bE11m + ∫ E12 m K ( x − y )dy − ∂t ∂x 2 Ω2

E11m ∫ K ( y − x)dx − δE11m Ω1

∂I11m ∂ 2 I11m = D11I + γE11m − kI 11m J − dI 11m − bI 11m − δI11m ∂t ∂x 2

5.29

80 Disertasi


HARIYANTO


∂I 21m ∂ 2 I 21m = D21I + I 21U ∫ β ∗ (a) S1m da + I 21U ∫ e2 (a) S1m da − mI 21m J − ρ1 I 11m I 21m − ∂t ∂x 2 Ω1 Ω1

ρ1 I 21m I 11m − dI 21m − bI 21m − δI 21m ∂I co −inf ∂ 2 I co −inf = DcI0−inf + ρ1 I 21m I 11m + ρ1 I 11m I 21m − nI co −inf − dI co −inf − bI co −inf − δI co −inf ∂t ∂x 2 ∂J ∂2J = D1J 2 + kI 11m J + mI 21m J + nI co −inf + fS1m J − δJ − dJ − bJ ∂t ∂x dengan kondisi awal

S1m ( x,0) = S1m0 = σ , I 11m ( x,0) = I 11m0 , E11m ( x,0) = E11m0 , I co −inf ( x,0) = 0 S 21m ( x,0) = S 21m0 = σ , I 21m ( x,0) = I 21m0 , J ( x,0) = 0 dan kondisi batas Newmann

∂S 1 m ∂S ∂E ∂E ∂I ∂I (0) = 1m ( L ) = 0, 11m (0) = 11m ( L) = 0, 11m (0) = 11m ( L) = 0 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂I c 0−inf ∂I c 0−inf ∂ 2 I 11m ∂ 2 I c 0−inf ( 0) = ( L) = 0, ( L) > 0, ( L) > 0 ∂x ∂x ∂x 2 ∂x 2

5.30

∂I 21m ∂I 21m ∂ 2 I 21m ∂J ∂J ∂2J ( 0) = ( L) = 0 ( 0 ) = ( L ) = 0 ( L ) > 0 , ( L) > 0 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x 2 ∂x 2 dengan total populasi N1m (t ) = S1m (t ) + E11m (t ) + I11m (t ) + I 21m (t ) + I co −inf (t ) + J (t ). Bentuk umum dari konstruksi model matematika koalisi antara virus influenza H1N1-p dan H5N1 dengan subtitusi asam amino pada lokasi 1 atau 2 adalah

∂S jm ∂t

+

∂MS jm ∂a

=D

S j

∂ 2 S jm ∂x 2

2

2

n =1

n =1

− ∑ β n∗ (a) S jm I 2 ju − fS jm J − ∑ α n S jm I 1 jm − dS jm +

bS jm + ∫ S km K ( x − y )dy −S jm ∫ K ( y − x)dx + δI 2 jm + δI 1 jm + δE1 jm + δI co −inf + δJ Ωk

∂E1 jm ∂t

Ωj

=D

E 1j

∂ 2 E1 jm ∂x 2

2

3

n =1

n =1

+ ∑ α n S jm I 1 jm − γE1 jm − ∑ d n E1 jm + ∫ E1km K ( x − y )dy − Ωk

E1 jm ∫ K ( y − x)dx Ωj

∂I 1 jm ∂t

= D1I j

∂ 2 I 1 jm ∂x 2

3

+ γE1 jm − kI 1 jm J − ∑ d n I 1 jm

5.31

n =1

81 Disertasi


HARIYANTO


∂I 2 jm

= D2I j

∂t

∂ 2 I 2 jm ∂x

2

+ I 2 jU ∫ β ∗ (a) S jm da + I 2 jU ∫ e2 (a) S jm da − mI 2 jm J − ρ1 I 1 jm I 2 jm − Ωj

Ωj

3

ρ1 I 2 jm I 1 jm − ∑ d n I 2 jm n =1

3 ∂I co −inf ∂ 2 I co −inf = Dcoj inf + ρ ( I I + I I ) − nI − d n I co −inf ∑ 1 2 jm 1 jm 1 jm 2 jm co −inf ∂t ∂x 2 n =1

∂J j

∂2J j

= D jJ

∂t

∂x 2

3

+ kI 1 jm J j + mI 2 jm J j + nI co −inf + fS jm J j − ∑ d n J j n =1

dengan kondisi awal

S1m ( x,0) = S1m0 = σ , I 11m ( x,0) = I 11m0 , E11m ( x,0) = E11m0 , I co −inf ( x,0) = 0 S 21m ( x,0) = S 21m0 = σ , I 21m ( x,0) = I 21m0 , J ( x,0) = 0 dan kondisi batas Newmann

∂S jm ∂x

(0) =

∂ 2 I ijm ∂x 2

∂J j ∂x

∂S jm ∂x

( L) > 0,

(0) =

∂J j ∂x

( L) = 0,

∂E1 jm ∂x

(0) =

∂E1 jm ∂x

( L) = 0,

∂I ijm ∂x

(0) =

∂I ijm

∂I co −inf ∂I ∂ 2 I co −inf (0) = co −inf ( L) = 0, ( L) > 0 ∂x ∂x ∂x 2

( L) = 0

∂2J j ∂x 2

∂x

( L) = 0 5.32

( L) > 0

dengan total populasi N jm (t ) = S jm (t ) + E1 jm (t ) + I 1 jm (t ) + I 2 jm (t ) + I co −inf (t ) + J j (t ), indeks i = 1,2 menyatakan penyebaran virus influenza dengan i = 1 untuk virus influenza H1N1-p dan i = 2 untuk virus influenza H5N1. j = 1,2 menyatakan lokasi dengan j = 1 untuk lokasi 1 dan j = 2 untuk lokasi 2.sedangkan indeks m menyatakan penyebaran virus influenza pada manusia dan indeks u menyatakan penyebaran virus influenza H5N1 pada unggas..Untuk indeks k = 1 jika j = 2 dan k = 2 jika j = 1 yang menyatakan pergerakan individual pada lokasi 1 atau 2. Dengan demikian konstruksi sistem dari model matematika koalisi antara virus influenza H5N1 dan H1N1-p terdiri dari Model tahapan pertama sebagai subsistem pertama dari penyebaran H5N1 dan H1N1-p adalah

82 Disertasi


HARIYANTO


∂S jm ∂t

∫

S

Ωk

km

∂E1 jm E

∂S 2 ju ∂t S

Ωk

2

K ( x − y )dy − E1 jm

∂I 2 ju ∂t

= D2 j S

ku

∫ K ( y − x)dx + δI 2 jm + δI1 jm + δE1 jm Ωj

+ αS1 jm I 1 jm − γE1 jm − dE1 jm − bE1 jm +

∂x 2

= ( D1I j + D2I j )

∂t

∫

∂ 2 E1 jm

= D1 j

k

∂I ijm

− β * S jm I 2 ju − αS jm I 1 jm − dS jm + bS jm +

K ( x − y )dy − S jm

1 m

Ωk

∂x 2

E

∂t

∫

∂ 2 S jm

= D Sj

Ωj

∂ 2 I ijm

∂ 2 S 2 ju ∂x 2

= D2 j

∂ 2 I 2 ju ∂x 2

K ( y − x)dx − δE1 jm

+ γE1 jm + β *S jm I 2 jU − dI ijm − bI ijm − δI ijm

∂x 2

− βS 2 ju I 2 ju − dS 2 ju + bS 2 ju +

K ( x − y )dy − S 2 ju

I

∫

5.33

∫ K ( y − x)dx

Ωj

+ βS 2 ju I 2 ju − dI 2 ju − bI 2 ju

dengan kondisi awal

S jm ( x,0) = S jm0 = σ , I ijm ( x,0) = I ijm0 , Eijm ( x,0) = Eijm0 , S 2 jU ( x,0) = S 2 jU 0 , I 2 jU ( x,0) = I 2 jU 0 dan kondisi batas Newmann


(0) = (0) =


(L) =

∂S 2 jU

( L) = 0 ,

∂x

(0) =

∂ 2 I ijm ∂x 2

∂S 2 jU ∂x

( L) > 0,

( L) = 0,

∂I 2 jU ∂x

∂E1 jm

(0) =

∂x

(0) =

∂I 2 jU ∂x

∂E1 jm ∂x

( L) = 0,

( L) = 0

∂ 2 I 2 jU ∂x 2

( L) > 0

dengan total populasi

N jm (t ) = S jm (t ) + E1 jm (t ) + I1 jm (t ) + I 2 jm (t ), N 2 jU (t ) = S 2 jU (t ) + I 2 jU (t ).

83 Disertasi


HARIYANTO


Model tahapan kedua sebagai subsistem kedua merupakan kelanjutan dari model tahapan pertama sampai munculnya subpopulasi co-infeksi dengan I 2 jU dan I 1Jm sebagai interface adalah

∂S jm

∂ 2 S jm

= D Sj

∂t

2

2

− ∑ α n S jm I 1 jm − ∑ β n∗ S jm I 2 ju −

∂x 2

n =1

n =1

dS jm + bS jm + ∫ S km K ( x − y )dy −S jm ∫ K ( y − x)dx + δI 2 jm + δI 1 jm + δE1 jm + δI coj −inf Ω2

∂E1 jm

∂ 2 E1 jm

= D1Ej

∂t ∂I 1 jm

= D1I j

∂t ∂I 2 jm ∂t

Ω1

∂x 2 ∂ 2 I 1 jm ∂x 2

= D2I j

2

4

n =1

n =1

+ ∑α n S jm I1 jm − ∑ d n E1 jm + ∫ E1km K ( x − y)dy − E1 jm ∫ K ( y − x)dx Ω2

Ω1

3

+ γE1 jm − ∑ d n I 1 jm

∂ 2 I 2 jm ∂x 2

5.34

n =1

2

3

n =1

n =1

+ ∑ β n∗ S jm I 2 ju − ρ1 I 1 jm I 2 jm − ρ1 I 2 jm I 1 jm − ∑ d n I 2 jm

3 ∂I co −inf ∂ 2 I co −inf = Dcoj −inf + ρ I I + ρ I I − d n I co −inf ∑ 1 1 jm 2 jm 1 2 jm 1 jm ∂t ∂x 2 n =1

dengan kondisi awal

I ijm ( x,0) = I ijm 0 , E1 jm ( x,0) = E1 jm0 , I coj inf ( x,0) = 0, S ijm ( x,0) = S ijm 0

dan kondisi batas Newmann

∂S jm ∂x

(0) =

∂ 2 I ijm ∂x

2

∂S jm ∂x

( L) > 0,

( L) = 0,

∂E1 jm ∂x

(0) =

∂E1 jm ∂x

( L) = 0,

∂I ijm ∂x

(0) =

∂I ijm ∂x

( L) = 0

∂I co −inf ∂I (0) = co −inf ( L) = 0 ∂x ∂x

dengan total populasi N jm (t ) = S jm (t ) + E1 jm (t ) + I 1 jm (t ) + I 2 jm (t ) + I co −inf (t ). Model tahapan ketiga sebagai subsistem terakhir dari rangakian proses koalisi sampai munculnya virus dengan strain baru atau disebut super strain adalah

84 Disertasi


HARIYANTO


∂S jm

+

∂t

∂MS jm

=D

∂a

S j

∂ 2 S jm

2

2

n =1

n =1

− ∑ β n∗ (a) S jm I 2 ju − fS jm J − ∑ α n S jm I 1 jm − dS jm +

∂x 2

bS jm + ∫ S km K ( x − y )dy −S jm ∫ K ( y − x)dx + δI 2 jm + δI 1 jm + δE1 jm + δI co −inf + δJ Ωk

∂E1 jm

Ωj

=D

E 1j

∂t

∂ 2 E1 jm ∂x 2

2

3

n =1

n =1

+ ∑ α n S jm I 1 jm − γE1 jm − ∑ d n E1 jm + ∫ E1km K ( x − y )dy − Ωk

E1 jm ∫ K ( y − x)dx Ωj

∂I 1 jm

∂ 2 I 1 jm

=D

I 1j

∂t

∂I 2 jm

=D

∂t

∂x 2

I 2j

∂ 2 I 2 jm ∂x 2

3

+ γE1 jm − kI 1 jm J − ∑ d n I 1 jm

5.35

n =1

+ I 2 jU ∫ β ∗ (a) S jm da + I 2 jU ∫ e2 (a) S jm da − mI 2 jm J − ρ1 I 1 jm I 2 jm − Ωj

Ωj

3

ρ1 I 2 jm I 1 jm − ∑ d n I 2 jm n =1

3 ∂I co −inf ∂ 2 I co −inf j = Dco inf + ρ ( I I + I I ) − nI − d n I co −inf ∑ 1 2 jm 1 jm 1 jm 2 jm co −inf ∂t ∂x 2 n =1

∂J j

=D

∂t

∂2J j

J j

∂x 2

3

+ kI 1 jm J j + mI 2 jm J j + nI coj inf + fS jm J j − ∑ d n J j n =1

dengan kondisi awal

S1m ( x,0) = S1m0 = σ , I 11m ( x,0) = I 11m0 , E11m ( x,0) = E11m0 , I co −inf ( x,0) = 0 S 21m ( x,0) = S 21m0 = σ , I 21m ( x,0) = I 21m0 , J ( x,0) = 0

dan kondisi batas Newmann

∂S jm ∂x

(0) =

∂ 2 I ijm ∂x 2

∂J j ∂x

∂S jm ∂x

( L) = 0,

∂E1 jm ∂x

(0) =

∂E1 jm ∂x

( L) = 0,

∂I ijm ∂x

(0) =

∂I ijm ∂x

( L) = 0

∂I co −inf ∂I co −inf ∂ 2 I co −inf (0) = ( L) = 0, ( L) > 0 ( L) > 0, ∂x ∂x ∂x 2

(0) =

∂J j ∂x

( L) = 0

∂2J j ∂x 2

( L) > 0

dengan total populasi N jm (t ) = S jm (t ) + E1 jm (t ) + I 1 jm (t ) + I 2 jm (t ) + I co −inf (t ) + J j (t ),

85 Disertasi


HARIYANTO


indeks i = 1,2 menyatakan penyebaran virus influenza dengan i = 1 untuk virus influenza H1N1-p dan i = 2 untuk virus influenza H5N1, indeks j = 1,2 menyatakan lokasi dengan

j = 1 untuk lokasi 1 dan j = 2 untuk lokasi 2, indeks m menyatakan penyebaran virus influenza pada manusia, indeks u menyatakan penyebaran virus influenza H5N1 pada unggas dan untuk indeks

k = 1 jika j = 2

dan k = 2 jika j = 1 yang menyatakan

pergerakan individual pada lokasi 1 atau 2.

5.1.4. Reduksi konstruksi model matematika koalisi berdasarkan pada perubahan/transisi subpopulasi Konstrukai model dapat direduksi melalui perubahan individual subpopulasi yang disebabkan oleh transmisi virus dan recovery, seperti pada gambar 5.5, reduksi model pada penyebaran virus influenza H1N1-p dilakukan dengan mengamati perubahan individual pada masa infeksi dan masa perubahan genetika, sedangkan reduksi pada penyebaran virus influenza H5N1 dilakukan dengan mengamati pada masa infeksi. Terdapat beberapa indikator yang berkaitan dengan evolusi genetika pada individual populasi yaitu 1. Transmisi virus : Fungsi transmsisi virus influenza H1N1-p berbentuk F ( S1m , I 11m ) = αI11m S1m , pada saat awal penyebaran terjadi proses reaksi antara phatogen dan antigen sampai menghasilkan individual subpopulasi terinfeksi, misalkan t = τ sebagai waktu tetap yang menunjukkan adanya perubahan maka untuk t > τ terjadi transisi individual

αI11m S1m → E11m , proses tersebut berjalan terus sesuai dengan lama waktu penyebaran sehingga terdapat sebarang t = τ sedemikian hingga ∀t ∈ R + akan terdapat individual subpopulasi susceptible yang terinfeksi atau terdapat individual baru terinfeksi H1N1-p. Dengan demikian αI 11m S1m untuk ∀t ∈ R + mempunyai 2 bentuk perubahan yaitu αI11m S1m = rS1m yang bermakna individual subpopulasi susceptible pada masa awal terinfeksi dengan r sebagai rate transisi dan

αI11m S1m = kE11m sebagai individual baru terinfeksi dengan k sebagai rate

86 Disertasi


HARIYANTO


perubahan, perubahan/transisi dari setiap individual pada subpopulasi dinyatakan pada tabel berikut ini Tabel 5,6a. Perubahan/transisi subpopulasi karena transmisi virus Jenis virus H1N1-p manusia

H5N1 manusia

Superstrain

Fungsi transmisi

Parameter Model perubahan/transisi lama

Parameter baru

αS1m I 11m

α

αI11m S1m → rS1m

r

αS1m I 11m

α

αI11m S1m → kE11m

k

e1 I 11m S1m

e1

e1 I11m S1m → f1 S1m

f1

e1 I 11m S1m

e1

e1 I11m S1m → f 2 E11m

f2

β ∗ S1m I 21U

β∗

β ∗ S1m I 21U → pI 21m

p

β ∗ S1m I 21U

β∗

β ∗ S1m I 21U → mS1m

m

e2 I 21U S1m

e2

e2 I 21U S1m → h1 S1m

h1

e2 I 21U S1m

e2

e2 I 21U S1m → h2 I 21m

h2

kI 11m J

k

kI 11m J → h3 I 11m

h4

mI 21m J

m

mI 21m J → m1 I 21m

m1

87 Disertasi


HARIYANTO


Tabel 5.6b. Perubahan/transisi subpopulasi karena transmisi virus

Jenis virus

Fungsi transmisi

H5N1 & H1N1-p manusia

ρ1 I 21m I 11m

ρ1

ρ1 I 21m I11m → w2 I 21m

w2

ρ1 I 21m I 11m

ρ1

ρ1 I 21m I11m → w1 I co −inf

w1

ρ1 I 11m I 21m

ρ1

ρ1 I11m I 21m → w2 I 21m

w2

ρ1 I 11m I 21m

ρ1

ρ1 I11m I 21m → w1 I co −inf

w1

Superstrain


Parameter baru

fS1m J

f

fS1m J → f 3 S1m

f3

fS1m J

f

fS1m J → f 4 J

f4

kI 11m J

k

kI 11m J → h3 I 11m

h3

mI 2 jm J

m

mI 2 jm J → m2 J

m2

2. Recovery Setiap individual subpopulasi pada konstruksi model terdapat perubahan yang disebabkan oleh recovery dan recovery tetap pada konstruksi model dipandang sebagai kekebalan tetap sehingga setiap individual yang sembuh menjadi individual susceptible. Perubahan atau transisi individual subpopulasi karena recovery dinyatakan pada tabel berikut ini.

88 Disertasi


HARIYANTO


Tabel 5.7 Perubahan/transisi subpopulasi karena recovery Jenis virus

Populasi recovery

Parameter lama

Model perubahan/transisi

Parameter baru

H1N1 -p

δI11m

δ

δI 11m → q1 S1m

q1

δI 11m

δ

δI11m → vI 11m

v

δE11m

δ

δE11m → q 2 S1m

q2

δE11m

δ

δE11m → nE11m

n

δI 21m

δ

δI 21m → uI 21m

u

δI 21m

δ

δI 21m → oS 1m

o

H5N1 & H1N1 -p

δI co −inf

δ

δI co −inf → wS1m

w

δI co −inf

δ

δI co −inf → cI co −inf

c

Superstrain

δJ

δ

δJ → q3 S1m

q3

δJ

δ

δJ → qJ

H5N1

q

3. Kemampuan melakukan transmisi Kemampuan individual subpopulasi melakukan transmisi virus influenza H1N1-p setelah melampaui batas periode ekspose dan berada pada masa perubahan genetika. Perubahan atau transisi individual dinyatakan pada tabel berikut ini.

89 Disertasi


HARIYANTO


Tabel 5.8. Perubahan/transisi subpopulasi karena kemampuan melakukan transmisi

Jenis virus

Perubahan populasi

H1N1 -p

Superstrain


Parameter baru

γE11m

γ

γE11m → aI 11m

a

γE11m

γ

γE11m → lE11m

l

nI co −inf → n2 J

n2

nI co −inf → n1 I co −inf

n1

nI co −inf nI co −inf

n

n

Dengan demikian konstruksi model matematika koalisi dapat direduksi menjadi model terreduksi yang terdiri dari Model terreduksi dari konstruksi model matematika koalisi tahapan pertama ∂S1m ∂ 2 S1m = D1S − (m + r + d − b + µ − o − q1 − q 2 ) S1m + µS 2 m ∂t ∂x 2 ∂ 2 E11m ∂E11m = D11E − (−k + l + d + b + µ + n) E11m + µσE12m ∂t ∂x 2 2 ∂I 11m I ∂ I 11m = D11 − (−a + d + b + v) I 11m ∂t ∂x 2 2 ∂I 21m I ∂ I 21m = D21 − (− p + d + b + u ) I 21m ∂t ∂x 2

5.36

2 ∂S 21U S ∂ S 21U = D21 − (m3 + d − b + µ ) S 21U + µS 22U ∂t ∂x 2 2 ∂I 21u I ∂ I 21u = D21 − (− p1 + d + b) I 21u . ∂t ∂x 2

90 Disertasi


HARIYANTO


Model terreduksi dari konstruksi model matematika koalisi tahapan kedua. 2 ∂S1m S ∂ S1m = D1 − (r + m + h1 + f1 + d − b + µ − o − q1 − q2 − w) S1m + µS 2 m ∂t ∂x 2 2 ∂E11m E ∂ E11m = D11 − (−k − f 2 + l + d + b + µ + n) E11m + µσE12m ∂t ∂x 2 2 ∂I 11m I ∂ I 11m = D11 − (a + d + b + v) I 11m ∂t ∂x 2

5.37

2 ∂I 21m I ∂ I 21m = D21 − (− p − h2 + 2w2 + d + b + u ) I 21m ∂t ∂x 2 2 ∂I co −inf co inf ∂ I co −inf = D21 − (−2w1 + d + b + c) I co −inf . ∂t ∂x 2

Model terreduksi dari konstruksi model matematika koalisi tahapan ketiga. 2 ∂S1m S ∂ S1m = D1 − (mA + h1 A + f 3 + r + f1 + d − b + µ − o − q1 − q2 − w − q3 ) S1m + µS 2 m ∂t ∂x 2

2 ∂E11m E ∂ E11m = D11 − (−k − f 2 + l + d + b + µ + n) E11m + µσE12m ∂t ∂x 2 2 ∂I 11m I ∂ I 11m = D11 − (−a + h3 + d + b + v) I11m ∂t ∂x 2

5.38

2 ∂I 21m I ∂ I 21m = D21 − (−( p + h2 ) A + m1 + 2w2 + d + b + u ) I 21m ∂t ∂x 2

∂I co −inf ∂ 2 I co −inf I = Dc 0−inf − (−2w1 + n1 + d + b + c) I co −inf ∂t ∂x 2 2 ∂J J ∂ J = D1 − (−h4 − m2 − n2 − f 4 + d + b + q) J ∂t ∂x 2

91 Disertasi


HARIYANTO


5.2. ANALISA KUALITATIF PADA KONSTRUKSI MODEL MATEMATIKA KOALISI TAHAPAN PERTAMA Analisa kualitatif pada konstruksi model matematika koalisi tahapan pertama melalui parameter antara lain untuk menunjukkan bahwa model mempunyai penyelesaian tunggal dan bersifat dinamis, terdapat perubahan pada subpopulasi untuk t → ∞ dan pengaruh penyebaran virus H5N1 dan H1N1-p terhadap perubahan subpopulasi. Perhatikan konstruksi model tahapan pertama 5.36 ∂S1m ∂ 2 S1m S = D1 − (m + r + d − b + µ − o − q1 − q 2 ) S1m + µS 2 m ∂t ∂x 2 ∂ 2 E11m ∂E11m = D11E − (−k + l + d + b + µ + n) E11m + µσE12m ∂t ∂x 2

∂I 11m ∂ 2 I11m = D11I − (−a + d + b + v) I 11m ∂t ∂x 2 2 ∂I 21m I ∂ I 21m = D21 − (− p + d + b + u ) I 21m ∂t ∂x 2

5.39

2 ∂S 21U S ∂ S 21U = D21 − (m3 + d − b + µ ) S 21U + µS 22U ∂t ∂x 2 2 ∂I 21u I ∂ I 21u = D21 − (− p1 + d + b) I 21u . ∂t ∂x 2

dengan total populasi N jm (t ) = S jm (t ) + E1 jm (t ) + I1 jm (t ) + I 2 jm (t ) + I coj inf (t ) + J j (t ), bilangan reproduksi dasar virus influenza H1N1-p R01 =

ka , ( D + b + d + v)(D11I + b + d + n) E 11

bilangan reproduksi dasar virus influenza H5N1 manusia R02 = bilangan reproduksi dasar virus influenza unggas R0U =

p dan D +b+d +u I 21

p1 . D +b+d I 21

Penyelesaian konstruksi model matematika tahapan pertama ditunjukkan pada pembahasan berikut ini,seperti yang ditunjukkan pada 5.39 bahwa konstruksi model subpopulasi susceptible pada lokasi 1 adalah

92 Disertasi


HARIYANTO


∂S1m ∂ 2 S1m = D1S − (m + r + d − b + µ − o − q1 − q 2 ) S1m + µS 2 m ∂t ∂x 2

dan konstruksi model populasi susceptible pada lokasi 2 ∂S 2m ∂ 2 S 2m = D2S − (m + r + d − b + µ − o − q1 − q 2 ) S 2 m + µS1m ∂t ∂x 2

sedangkan konstruksi model populasi susceptible pada kedua lokasi dinyatakan dalam bentuk 2 ∂S1m ∂S 2 m ∂ 2 S1m S ∂ S 2m = ( D1S + + ) − m( S1m + S 2 m ) − r (S1m + S 2 m ) − d ( S1m + S 2 m ) + D 2 ∂t ∂t ∂x 2 ∂x 2

b(S1m + S 2m ) + µ (S1m + S 2m ) − µ ( S1m + S 2 m ) + o(S1m + S 2 m ) + q1 (S1m + S 2 m ) + q2 ( S1m + S 2 m ) atau ∂S m ∂ 2Sm = DS + (−m − r − d + b + o + q1 + q 2 ) S m ∂t ∂x 2

untuk S1m + S 2 m = S m

dan

koefisien

diffusi untuk lokasi 1 sama dengan lokasi 2, penyelesaian dari persamaan differensial tersebut dapat dilakukan dengan menggunakan Transformasi cosinus Fourier

f ( 2 ) (k ) = −k 2 f (k ) −

2

π

f (1) (0) sehingga diperoleh persamaan differensial berbentuk

dS m (k ) 2 dS m = D S (−ik ) 2 S m (k ) + (0) + (b + o + q1 + q 2 − m − r − d ) S m (k ) dt π dx

atau dS m (k ) = (− D S k 2 + b + o + q1 + q 2 − m − r − d ) S m (k ) dt

dengan penyelesaian berbentuk

S m (k ) = CExp(−( D S k 2 + m + r + d − b − o − q1 − q2 )t ), untuk t = 0 diperoleh

S m (k ) = Exp(−( D S k 2 + m + r + d − b − o − q1 − q2 )t ) S m (k ,0) atau dapat dinyatakan

S m (k ) = Exp(−(m + r + d − b − o − q1 − q2 )t ) Exp(− D S k 2 t ) S m (k ,0).

93 Disertasi


HARIYANTO


Dilakukan invers terhadap penyelesaian tersebut dengan menggunakan transformasi cosinus Fourier S m ( x, t ) =

2

π

∫S

m

(k , t ) cos kxdk sehingga diperoleh

Ω

S m ( x, t ) = Exp(−(m + r + d − b − o − q1 − q2 )t )

2

π

∫ Exp(− D

S

k 2 t ) cos(kx ) S m (k ,0)dk ,

Ω

Ekspansi menurut deret Mc-Laurin terhadap Exp(− D S k 2 t ) diperoleh Exp(− D S k 2 t ) = 1 +

kn dn ( Exp(− D S k 2 t ) sehingga transformasi cosinus Fourier dari S m (k , t ) menjadi ∑ n n =1 n! dk ∞

S m ( x, t ) = 2

π

2

Exp(−(m + r + d − b − o − q1 − q2 )t ) ∫ S m (k ,0) cos( kx )dk +

π

Ω

1 dn ( Exp(− D S k 2 t ) ∫ k n S m (k ,0) cos(kx )dk n n =1 n! dk Ω ∞

Exp(−(m + r + d − b − o − q1 − q2 )t ) ∑

atau

S m ( x, t ) = 2

π

2

π

Exp(−(m + r + d − b − o − q1 − q2 )t ) S m (x,0) + n 1 dn 2 S 2 n ∂ S m ( x,0) , ( Exp ( − D k t ) ( − i ) n π ∂x n n =1 n! dk ∞

Exp(−(m + r + d − b − o − q1 − q2 )t ) ∑

untuk x → ∞ dan n = 1.2.3... maka

∂ n S m ( x,0) → 0 untuk S m ( x, t ) fungsi eksponensial. ∂x n

Jadi Penyelesaian Umum Persamaan Differensial (PUPD) adalah

S m ( x, t ) =

2

π

Exp(−(m + r + d − b − o − q1 − q2 )t ) S m (x,0).

Dengan demikian dapat diperoleh

S 2 m ( x, t ) =

2

π

Exp(−(m + r + d − b − o − q1 − q2 )t ) S m (x,0) - S1m ( x, t )

atau

S1m ( x, t ) =

2

π

Exp(−(m + r + d − b − o − q1 − q2 )t ) S m (x,0) - S 2 m ( x, t ).

94 Disertasi


HARIYANTO


Untuk langkah selanjutnya perhatikan konstruksi model pada lokasi 1 ∂S1m ∂ 2 S1m = D1S + (−m − r − d + b − µ + o + q1 + q 2 ) S1m + µS 2 m dapat dinyatakan ∂t ∂x 2 ∂S1m ∂ 2 S1m S = D1 + (−m − r − d + b − µ + o + q1 + q 2 ) S1m + ∂t ∂x 2

2

π

Exp(−(m + r + d − b − o − q1 − q2 )t )µ S m (x,0) - µS1m ( x, t )

atau ∂S1m ∂ 2 S1m = D1S − (m + r + d + b + 2µ − o − q1 − q 2 ) S1m + ∂t ∂x 2

2

π

Exp(−(m + r + d − b − o − q1 − q2 )t )µ S m (x,0),

dengan menggunakan Tranformasi cosinus Fourier dapat diperoleh dS 1m = −( D1S k 2 + m + r + d − b + 2 µ − o − q1 − q 2 ) S1m (k ) + dt

2

π

Exp(−(m + r + d − b − o − q1 − q2 )t )µ S m (k ,0) yang mempunyai penyelesaian reduksi

berbentuk

S1m (k , t ) = Exp(−( D1S k 2 + m + r + d + 2µ − b − o − q1 − q2 )t ) S1m (k ,0) atau

S1m (k , t ) = Exp(−(m + r + d + 2µ − b − o − q1 − q2 )t ) S1m (k ,0) Exp(− D1S k 2 t ). Dilakukan invers terhadap penyelesaian tersebut dengan menggunakan transformasi cosinus Fourier S1m ( x, t ) =

2

π

∫S

1m

(k , t ) cos( kx )dk sehingga diperoleh

Ω

S1m ( x, t ) = 2

π

Exp(−(m + r + d + 2µ − b − o − q1 − q2 )t ) ∫ S1m (k ,0) cos( kx ) Exp(− D1S k 2 t )dk Ω

95 Disertasi


HARIYANTO


atau

S1m ( x, t ) = 2

π

Exp(−(m + r + d + 2µ − b − o − q1 − q2 )t ) ∫ S1m (k ,0) cos(kx ) {1 + Ω

kn dn ( Exp(− D1S k 2 t ) } dk untuk deret Mac-Laurin Exp(− D1S k 2 t ) = 1 + ∑ n n =1 n! dk ∞

kn dn ( Exp(− D1S k 2 t ) ∑ n n =1 n! dk ∞

S1m ( x, t ) = 2

π

Exp(−(m + r + d + 2µ − b − o − q1 − q2 )t ) { ∫ S1m (k ,0) cos( kx )dk + Ω

kn dn ( Exp(− D1S k 2 t ) ∫ k n S1m (k ,0) cos( kx )dk } ∑ n n =1 n! dk Ω ∞

S1m ( x, t ) =

2

π

Exp(−(m + r + d + 2µ − b − o − q1 − q2 )t ) { S1m ( x,0) +

n 1 dn 2 S 2 n ∂ S1m ( x,0) }, ( Exp ( − D k t ) ( − 1 ) ∑ 1 n π ∂x n n =1 n! dk ∞

∂ n S1m ( x,0) untuk x → ∞ dan n = 1.2.3... maka → 0 untuk S1m ( x, t ) fungsi eksponensial. ∂x n Jadi Penyelesaian Umum Persamaan Reduksi (PUPR) adalah

S1m ( x, t ) =

2

π

Exp(−(m + r + d + 2µ − b − o − q1 − q2 )t ) { S1m ( x,0).

Perhatikan persamaan lengkap dS 1m = −( D1S k 2 + m + r + d − b + 2 µ − o − q1 − q 2 ) S1m (k ) + dt

2

π

Exp(−(m + r + d − b − o − q1 − q2 )t )µ S m (k ,0),

96 Disertasi


HARIYANTO


untuk mendapatkan penyelesaian partikulir misalkan

d = p maka persamaan lengkap dt

tersebut diatas menjadi ( p + D1S k 2 + m + r + d − b + 2µ − o − q1 − q2 )S1m (k ) =

2

π

Exp(−(m + r + d − b − o − q1 − q2 )t )µ S m (k ,0)

atau

S1m (k , t ) =

µS m (k ,0) Exp(−(m + r + d − b − o − q1 − q2 )t ) π p + D k + m + r + d + 2µ − b − o − q1 − q2 2

2

S 1

atau

2

S1m (k , t ) =

π

µ Exp(−(m + r + d − b − o − q1 − q2 )t )

1 D k + 2µ S 1

2

S m (k ,0),

dilakukan invers terhadap S1m (k , t ) diperoleh

S1m ( x, t ) = 2

2

π

π

µ Exp(−(m + r + d − b − o − q1 − q2 )t ) ∫

S m (k ,0) cos( kx )dk dan

Ω D k + 2µ

1

ekspansikan

1

D k + 2µ S 1

=

D1S k 2 + 2 µ

S1m ( x, t ) =

2

1

µ

2µ

π

2

π

k 2n

∞

n =1

µ n+1

sehingga penyelesaian partikulir menjadi

Exp(−(m + r + d − b − o − q1 − q2 )t ) {

∑ (−1) n =1

2

menurut deret Mc-Laurin diperoleh

+ ∑ (−1) n

∞

S1m ( x, t ) =

1 S 1

1

n

µ

n +1

∫k

2n

1

µ Ω∫

S m (k ,0) cos( kx )dk +

S m (k ,0) cos( kx )dk }

Ω

Exp(−(m + r + d − b − o − q1 − q2 )t ) S m (x,0) +

∞

∑ (−1) n =1

2n

1

µ n+1

∂ 2 n S1m ( x,0) , ∂x 2 n

97 Disertasi


HARIYANTO


untuk densitas individual populasi dalam rumpun eksponensial misalkan densitas Gauss diperoleh

∂ 2 n S1m ( x,0) → 0 untuk x → ∞ dan nilai n = 1,2,3... sehingga diperoleh ∂x 2 n

penyelesaian partikulir persamaan differensial (PPPD) berbentuk

S1m ( x, t ) =

2

Exp(−(m + r + d − b − o − q1 − q2 )t ) S m (x,0).

π

Jadi PUPD adalah

S1m ( x, t ) =

2

π 2

π

Exp(−(m + r + d + 2µ − b − o − q1 − q2 )t ) S1m ( x,0) + Exp(−(m + r + d − b − o − q1 − q2 )t ) S m (x,0).

Pada penyelesaian selanjutnya, perhatikan persamaan differensial dari subpopulasi terinfeksi virus influenza H1N1-p berbentuk

∂I 11m ∂ 2 I11m = D11I − (−a + d + b + v) I 11m ∂t ∂x 2 dilakukan transformasi cosinus Fourier diperoleh persamaan berbentuk

dI 11m 2 dI 11m = D11I ((−ik ) 2 I11m (k ) − (0)) − (−a + d + b + v) I11m (k ) dt π dx atau

dI 11m = − D11I k 2 I 11m (k ) − (−a + d + b + v) I 11m (k ) dt atau

dI 11m = −( D11I k 2 − a + d + b + v) I 11m (k ), dt penyelesaian dari persamaan tersebut adalah

I 11m (k , t ) = Exp{−( D11I k 2 − a + d + b + v)t}I 11m (k ,0) . atau

I11m (k , t ) = Exp{−(−a + d + b + v)t} I 11m (k ,0) Exp{− D11I k 2 t},

98 Disertasi


HARIYANTO


dengan menggunakan invers transformasi Fourier I11m ( x, t ) =

2

π

∫I

11m

(k , t ) cos( kx )dk

dapat

Ω

diperoleh

2

I11m ( x, t ) =

π

Exp{−(−a + d + b + v)t}{

2

π

∫I

11m

(k , t ) cos( kx )dk +

Ω

1 d n Exp(− D21I k 2 t ) (0) ∫ k n I 11m (k ,0) cos(kx )dk ∑ n dk n =1 n! Ω ∞

atau

2

I11m ( x, t ) =

π

Exp{−(−a + d + b + v)t}{ I 11m ( x,0) +

n 1 d n Exp(− D21I k 2 t ) n ∂ I 11m ( x,0) }. (0) (−1) ∑ ∂x n dk n n =1 n!

∞

Populasi terinfeksi merupakan rumpun eksponensial sehingga untuk x → ∞ dan semua

∂ n I 11m ( x,0) sehingga PUPD adalah n = 1,2,3...dapat diperoleh (−1) ∂x n n

I11m ( x, t ) =

2

π

Exp{−(−a + d + b + v)t} I 11m ( x,0).

Untuk penyelesaian persamaan differensial lainnya pada konstruksi model koalisi tahapan pertama dapat dilakukan dengan cara yang sama sehingga diperoleh penyelesaian berbentuk

S1m ( x, t ) = 2

π

2

π

Exp(−(m + r + d + 2µ − b − o − q1 − q2 )t ) S1m ( x,0) +

Exp(−(m + r + d − b − o − q1 − q2 )t ) S m (x,0).

E11m ( x, t ) =

2

π

Exp (−(l + d + b + µ + µσ + n − k )t ) E11m ( x,0) +

1 Exp (−(l + d + b + n + µ − µσ − k )t ) Em (x,0) 2

99 Disertasi


HARIYANTO


I11m ( x, t ) = I 21m ( x, t ) =

S 21U ( x, t ) = I 21U ( x, t ) =

2

π

Exp{−(−a + d + b + v)t} I 11m ( x,0)

2

Exp{−(b + d + u + w2 − p)t} I 21m ( x,0)

π 2

π 2

π

5.40

Exp(−(m3 + d + 2µ − b)t ) S 21U ( x,0) +

2

π

Exp(−(m3 + d − b)t ) SU (x,0)

Exp{−(d + b − p)t} I 21U ( x,0).

Pembahasan berikut akan ditunjukkan bahwa model mempunyai penyelesaian tunggal dan bersifat dinamis.

5.2.1. Well – Posedness dari konstruksi model matematika koalisi Tahapan Pertama Konstruksi model tahapan pertama 5.39 menunjukkan bahwa model penyebaran dibangun berdasarkan pada perubahan yang terjadi terhadap fungsi densitas populasi atau terdapat redistribusi terhadap gerakan individual populasi pada lokasi 1 dan lokasi 2,fungsi densitas populasi yang well-defined akan memberikan penyelesaian dari model sistem yang positif. Dengan demikian densitas populasi maupun diffusi lokal dan global dapat dinyatakan sebagai berikut:

S1m ( x, t ), E11m ( x, t ), I11m ( x, t ), I 21m ( x, t ) > 0 , S 21U ( x, t ), I 21U ( x, t ) > 0 untuk setiap x, y ∈ Ω1 S 2 m ( x, t ), E12m ( x, t ), I12m ( x, t ), I 22m ( x, t ) > 0 S 22U ( x, t ), I 22U ( x, t ) > 0 untuk setiap x, y ∈ Ω2

∫S

2m

Ω2

∫E

Ω1

12 m

Ω2

K ( x − y )dy − E11m ∫ K ( y − x)dx > 0,

∫E

11m

Ω2

Ω1

K ( y − x)dx − E12 m ∫ K ( x − y )dy > 0, Ω1

u K ( x − y )dy − S 21u ∫ K ( y − x)dx > 0,

22

∫S

21

Ω2

Ω2

Ω1

∫S

Ω2

K ( x − y )dy − S1m ∫ K ( y − x)dx > 0, ∫ S1m K ( y − x)dx − S 2 m ∫ K ( x − y )dy > 0,

5.41

Ω1

u K ( y − x)dx − S 22u ∫ K ( x − y )dy > 0. Ω1

Langkah selanjutnya untuk menunjukkan bahwa konstruksi model adalah well-posed akan dibahas berikut ini

100 Disertasi


HARIYANTO


Eksistensi dan ketunggalan penyelesaian Untuk menunjukkan eksistensi dan ketunggalan penyelesaian dari model digunakan definisi yang menyatakan bahwa setiap penyelesaian dari model sistem dapat dinyatakan dalam Norm matriks dan bergantung pada konstante Lipschitz k (t ) untuk setiap t ∈ R, Dengan demikian sebagai langkah awal adalah melakukan reduksi terhadap model sistem dalam bentuk total populasi maupun perubahan genetika yang terjadi pada setiap individual populasi. Misalkan persamaan densitas subpopulasi susceptible 5.16 pada lokasi 1 dinyatakan dalam bentuk

S1m (t ) =

∫S

1m

( x, t )dx dan

Ω1

dS 1m (t ) ∂S ( x, t ) dx = ∫ 1m dt t ∂ Ω1

maka diperoleh konstruksi model matematika dalam sistem persamaan differensial biasa berbentuk

dX = f ( X (t ), t ). dt

Misalkan himpunan subpopulasi pada lokasi 1

X 1 = {S1m > 0, E11m > 0, I 11m > 0, I 21m > 0, S 21U > 0, I 21U > 0 S1m + E11m + I 11m + I 21m = N1 , S 21U + I 21U = M 1}

5.42

dan himpunan subpopulasi pada lokasi 2

X 2 = {S 2 m > 0, E12m > 0, I12m > 0, I 22m > 0, S 22U > 0, I 22U > 0 S 2 m + E12m + I12m + I 22m = N 2 , S 22U + I 22U = M 2 },

5.43

jika dibangun himpunan baru yang terdiri dari semua subpopulasi pada X 1 dan X 2 yaitu himpunan subpopulasi X pada lokasi 1 dan 2 maka dapat didefinisikan bahwa

X = X1 ∪ X 2 atau

X = {S m > 0, E m1 > 0, I m1 > 0, I m 2 > 0, SU > 0, I U > 0 S1m , S 2 m ∈ S m , E11m , E12 m ∈ E m1 , I 11m , I 12 m ∈ I m1 , I 21m , I 22 m ∈ I m 2

5.44

S 21U , S 22U ∈ SU , I 21U , I 22U ∈ I U }. Misalkan terdapat vektor

S1m = ( S11m , S12m ) , S 2 m = ( S 21m , S 22m ) , E11m = ( E111 m , E112 m ) , E12 m = ( E121 m , E122 m ),

101 Disertasi


HARIYANTO


1 2 1 2 I 11m = ( I 111 m , I 112 m ) , I 12 m = ( I 121 m , I 122 m ) , I 21m = ( I 21 m , I 21m ) , I 21U = ( I 21U , I 21U ) , 1 2 I 22U = ( I 22 U , I 22U )

maka akan terdapat f ( X 1 (t ), t ) dan f ( X 2 (t ), t ) dengan 1 1 1 1 1 1 X 1 = {S11m , S 21m , E111 m , E121 m , I 111 m , I 121 m , I 21 m , I 22 m , S 21U , S 22U , I 21U , I 22U } dan

X 2 = {S12m , S 22m , E112 m , E122 m , I 112 m , I 122 m , I 212 m , I 222 m , S 212 U , S 222 U , I 212 U , I 222 U }.

5.45

Untuk menunjukkan bahwa model sistem mempunyai penyelesaian global dan tunggal digunakan asumsi Desoer yaitu 1. T ⊂ R + memuat titik-titik berhingga persatuan interval. 2. untuk setiap X ∈ R n , f ( X , t ) kontnu pada t ∉ T 3. untuk setiap t i ∈ T , f ( X , t ) mempunyai limit kiri dan kanan pada t = t i 4.


f ( X 1 (t ), t ) − f ( X 2 (t ), t ) < k (t ) X 1 − X 2 untuk semua t ∈ R + dan semua titik X 1, X 2 ∈ Rn .

5.46

Misalkan terdapat interval [ai , bi ] dengan titik kesetimbangan endemik Y ∈ R n dan untuk sebarang t = t1 ∉ T maka terdapat f (Y , t1 ) untuk t = t1 sehingga

Lim f (Y , t ) = f (Y , t1 ) t→t1

berarti terdapat interval yang memuat titik berhingga, langkah berikutnya akan dicari konstante Lipschitz k (t ) yang memenuhi

f ( X 1 (t ), t ) − f ( X 2 (t ), t ) < k (t ) X 1 − X 2 , perhatikan a11 a 21 a f ( X 1 (t ), t ) − f ( X 2 (t ), t ) = 31 , a 41 a 51 a 61

102 Disertasi


HARIYANTO


jika elemen-elemen pada Norm dapat dinyatakan ai1 = bi1 + ci1 , i = 1.2...6 maka

a11 a 21

f ( X 1 (t ), t ) − f ( X 2 (t ), t ) =

a 31 = bi1 + ci1 a 41 a 51 a 61

atau

f ( X 1 (t ), t ) − f ( X 2 (t ), t ) ≤ bi1 + ci1 n

dengan ai1 = maks ∑ aij sebagai Norm matriks yang didefinisikan sebagai maksimum i

j =1

n

dari konstante Lipschitz k (t ) sedemikian hingga memenuhi ai1 = maks ∑ aij ≤ k (t ) X , i

j =1

k (t ) ditentukan berdasarkan nilai maksimum dari koefisien-koefisien aij sehingga pada konstruksi model matematika tahapan pertama dapat dinyatakan dalam bentuk

f ( X 1 (t ), t ) − f ( X 2 (t ), t ) ≤ k1 (t ) (

S11m − S12m 1 2 E11 m − E11m 1 2 I 11 m − I 11m 1 2 I 21 m − I 21m 1 2 S 21 U − S 21U 1 2 I 21 U − I 21U

+

S 21m − S 22m 1 2 E12 m − E12 m 1 2 I 12 m − I 12 m 1 2 I 22 m − I 22 m 1 2 S 22 U − S 22U 1 2 I 22 U − I 22U

)

5.47

dengan konstante Lipschitz

k1 (t ) = Maks ( b + o + q1 + q2 − m − r − d , k + µσ − l − d − b − µ − n , a − d − b − v , p − d − b − u , b − d − m3 , p1 − d − b ) atau

k1 (t ) = ( (b + o + q1 + q2 ) maks − (m + r + d ) min , (k + µσ ) maks − (l + d + b + µ + n) min , amaks − (d − b − v) min , pmaks − (d + b + u) min , bmaks − (d + m3 ) min , ( p1 ) maks − (d + b) min ).

5.48

103 Disertasi


HARIYANTO


Model tahapan pertama dikonstruksi sebagai bagian awal dari konstruski model koalisi sehingga perubahan dari setiap subpopulasi dipengaruhi oleh transmisi virus influenza H1N1-p dan H5N1 melalui kontak individual antara susceptible dengan terinfeksi,

dengan

demikian

parameter

transmisi

maupun

transisi

maksimum

mempengaruhi konstruksi model, parameter a − (d + b + v) sebagai rate perubahan atau transisi dari I 11m , parameter p − (d + b + u ) sebagai rate perubahan atau transisi dari

I 21m dan p1 − (d + b) sebagai rate perubahan atau transisi I 21U , jika d → 0 dan b merupakan rate kelahiran dan bagian dari susceptible maka konstante Lipschitz dapat dinyatakan dalam bentuk

k1 (t ) ≈ a maks + p maks + ( p1 ) maks . Untuk menunjukkan bahwa

5.49

k1 (t ) adalah fungsi kontinu sebagian demi sebagian untuk

semua t ∈ R + dan untuk semua X 1 , X 2 ∈ R n dapat dilakukan dengan memperhatikan perubahan atau transisi yang terjadi pada subpopulasi, perubahan atau transisi dari

β ∗ S11m I 21U akan menjadi pI 21m dengan rate perubahan atau transisi yang berlaku selama masa terinfeksi. Demikian pula untuk perubahan atau transisi yang berkaitan dengan transmisi virus influenza H1N1-p sehingga diperoleh individual subpopulasi terinfeksi I 11m dengan rate transisi a setelah akhir masa ekspose. Berdasarkan pada analisa tersebut diatas konstruksi model matematika koalisi tahapan pertama mempunyai penyelesaian tunggal, pada pembahasan berikut akan ditunjukkan bahwa sistem adalah dinamis.

Konstruksi model matematika koalisi tahapan pertama merupakan sistem dinamis Misalkan

X ruang metric dengan d sebagai metric dan C (Ω, R) ⊂ X adalah

himpunan fungsi kontinu dan terbatas dengan x ∈ Ω ⊂ R dan t ∈ R maka fungsi – fungsi kontinu bernilai positif dari model sistem didefinisikan sebagai

C + (Ω, R) = {φ ( x, t ) ∈ C (Ω, R) φ ( x, t ) > 0, ∀x ∈ Ω, ∀t ∈ R}.

104 Disertasi


HARIYANTO


Jika terdapat himpunan tertutup Ω1 , Ω 2 ∈ Ω maka pada masing-masing himpunan tersebut akan terdapat

C + (Ω1 , R) = {φ ( x, t ) ∈ C (Ω1 , R) φ ( x, t ) > 0, ∀x ∈ Ω1 , ∀t ∈ R} dan

C + (Ω 2 , R) = {φ ( x, t ) ∈ C (Ω 2 , R) φ ( x, t ) > 0, ∀x ∈ Ω 2 , ∀t ∈ R} yang merupakan penyelesaian dari model sistem pada lokasi 1 dan lokasi 2. Jika konstruksi model 5.39 dinyatakan dalam bentuk

∂φ ∂ 2φ = F{D 2 , kφ ) ∂t ∂x

5.50

dengan k parameter epidemiologi maka dapat didefinisikan bahwa F : C(Ω1 , R) → C(Ω1 , R) atau F : C (Ω 2 , R) → C (Ω 2 , R) dan G = (C , R, π ) adalah aliran

kontinu pada C(Ω1 , R) dan C (Ω 2 , R) dan merupakan aktifitas dari individual populasi φ yang dapat dinyatakan sebagai π : C (Ω, R) xR → C (Ω, R) sedemikian hingga untuk semua

φ ∈ C (Ω, R) dan untuk semua bilangan nyata s, t ∈ R berlaku

π (φ ( x, t ),0) = φ ( x, t ) dan π (π ( s, φ ( x, t )), t ) = π (φ ( x, t ), t + s).

5.51

Perubahan dinamis yang terjadi pada konstruksi model ditunjukkan oleh perubahan atau transisi individual populasi yang disebabkan oleh transmisi virus, periode ekspose, periode infeksi maupun recovery tetap, akan tetapi perubahan dinamis juga disebabkan oleh gerakan dinamis dari individual subpopulasi pada lokasi 1 atau 2 maupun bergerak secara global pada lokasi1 dan 2. Dengan demikian untuk menunjukkan bahwa konstruksi model sebagai sistem dinamis maka akan ditunjukkan bahwa individual subpopulasi susceptible merupakan aliran kontinu yang bergerak secara global sedangkan untuk individual subpopulasi terinfeksi merupakan aliran kontinu yang bergerak secara lokal. Misalkan C1 (Ω, R) = ( I 11m ( x, t ), I 21m ( x, t ), I 21U ( x, t ) ) ⊂ X , φi ( x, t ) ∈ C1 (Ω, R) dan aliran kontinu π {φi ( x, t ),0} = {I11m ( x, t ), I 21m ( x, t ), I 21U ( x, t )}

C2 (Ω, R) = (S11m ( x, t ), E11m ( x, t ), S 21U ( x, t )) ⊂ X

105 Disertasi


HARIYANTO


dan

C3 (Ω, R) = ( S12m ( x, t ), E12m ( x, t ), S 22U ( x, t )) ⊂ X dan

misalkan

C (Ω, R) = C2 (Ω, R) ∪ C3 (Ω, R) =

(S m ( x, t ), Em ( x, t ), SU ( x, t ))

maka

π {φi ( x, t ),0} = {S m ( x, t ), Em ( x, t ), SU ( x, t )} untuk φi ( x, t ) ∈ C (Ω, R) sebagai aliran kontinu jika π memenuhi

π {π (φ ( x, t ), s}, t ) = π {φ ( x, t ), t + s}= π {I11m ( x, t ), t1 + t 2 }. Perhatikan bentuk penyelesaian

2

I11m ( x, t ) =

π

Exp (−(−a + d + b + v)t ) I 11m ( x,0) ∈ C1 (Ω, R)

dan π ( I11m ( x, t ),0) = I11m ( x, t ) , misalkan I 11m ( x, t1 ) bergerak pada selang waktu t1 ≤ t ≤ t 2 di lokasi 1 atau dapat dikatakan bahwa I 11m ( x, t1 ) bergerak pada interval waktu

0 ≤ t ≤ t1 + t 2 sehingga diperoleh I 11m ( x, t1 + t 2 ) =

2

π

Exp(−(−a + d + b + v)t1 ) Exp(−(−a + d + b + v)t 2 ) I11m ( x,0),

misalkan (t1 + t 2 ) merupakan batas akhir masa perubahan genetik maka

I 11m ( x, t1 + t 2 ) = Exp(−(−a + d + b + v)t1 ) I11m ( x, t 2 ) < I 11m ( x, t1 ) atau

I 11m ( x, t1 + t 2 ) = Exp(−(−a + d + b + v)t1 ) I11m ( x, t 2 ) = π {π ( I11m ( x, t ), t1 ), t 2 }

π {π ( I11m ( x, t ), t1 ), t 2 } = π {I11m ( x, t1 ), t 2 + t 2 }untuk 0 ≤ t ≤ t1 + t 2 . Misalkan I 11m ( x, t1 ) bergerak sebelum waktu t atau dapat dikatakan bahwa I 11m ( x, t1 ) bergerak pada interval waktu 0 ≤ t1 + t 2 ≤ t atau 0 ≤ t1 ≤ t − t 2 dan diperoleh

I11m ( x, t − t 2 ) =

2

π

Exp((−a + d + b + v)t 2 ) Exp (−(−a + d + b + v)t ) I11m ( x,0)

atau

I11m ( x, t − t 2 ) = Exp((−a + d + b + v)t 2 ) I 11m ( x, t ), misalkan (t1 + t 2 ) berada pada periode infeksi sehingga

I11m ( x, t − t 2 ) = Exp((−a + d + b + v)t 2 ) I11m ( x, t ) > I11m ( x, t )

106 Disertasi


HARIYANTO


I11m ( x, t − t 2 ) = Exp((−a + d + b + v)t 2 ) I11m ( x, t ) = π {π ( I11m ( x, t1 ), t ), t 2 } atau

π {π ( I11m ( x, t1 ), t ), t 2 }= π {I11m ( x, t1 ), t − t 2 } atau π {π ( I11m ( x, t ), t1 ), t 2 } Dengan

demikian

dapat

ditunjukkan

bahwa

individual

subpopulasi

terinfeksi

I11m ( x, t ) merupakan aliran kontinu. Perhatikan bentuk penyelesaian 4 2 Exp(−(m3 + d + 2µ − b)t ) + Exp(−(m3 + d − b)t )} SU (x,0) ∈ C (Ω, R) SU ( x, t ) = {

π

π

yang bergerak secara global

dari lokasi 1 ke lokasi 2 pada selang waktu t1 ≤ t ≤ s,

berdasarkan pada definisi bahwa π ( SU ( x, t ),0) = SU ( x, t ) penyelesaian dari konstruksi model sistem merupakan aliran kontinu global jika memenuhi

π (π ( SU ( x, t ), t1 ), s) = π (SU ( x, t ), t1 + s). Misalkan SU ( x, t ) bergerak pada interval 0 ≤ t ≤ t1 + s sehingga diperoleh

SU ( x, t1 + s) = {

2

π

Exp(−(m3 + d + 2µ − b)s) +

4

π

Exp(−(m3 + d − b) s)} SU ( x, t1 ) dan

misalkan (t1 + s) berada pada akhir masa infeksi sehingga

SU ( x, t1 + s) = {

2

π

Exp(−(m3 + d + 2µ − b)s) +

4

π

Exp(−(m3 + d − b) s)} SU ( x, t1 ) < SU ( x, t1 )

atau

SU ( x, t1 + s) = {

2

π

Exp(−(m3 + d + 2µ − b)s) +

4

π

Exp(−(m3 + d − b) s)} SU ( x, t1 ) = π (SU ( x, t ), t1 + s)

π (π ( SU ( x, t ), t1 ), s)= π (SU ( x, t ), t1 + s), demikian pula untuk interval 0 ≤ t1 + s ≤ t atau 0 ≤ t1 ≤ t − s dapat diperoleh

107 Disertasi


HARIYANTO


SU ( x, t − s) = { 4

π

2

π

Exp(−(m3 + d + 2µ − b)t ) +

Exp(−(m3 + d − b)t )} {

2

π

Exp((m3 + d + 2µ − b) s) +

4

π

Exp((m3 + d − b) s)} SU (x,0),

misalkan (t1 + s) berada pada periode susceptible atau berada pada masa infeksi sebelum terdapat tanda-tanda klinik sehingga

SU ( x, t − s) = {

2

π

Exp((m3 + d + 2µ − b) s) +

4

π

Exp((m3 + d − b) s)} SU ( x, t ) > SU ( x, s)

atau

SU ( x, t − s) = {

2

π

Exp((m3 + d + 2µ − b) s) +

4

π

Exp((m3 + d − b) s)} SU ( x, t ) =

π (SU ( x, t1 ), t − s) → π (π (SU ( x, t1 ), t ), s).= π (SU ( x, t1 ), t − s) atau

π (π ( SU ( x, t ), t1 ), s).= π (SU ( x, t ), t1 + s). Dengan demikian dapat ditunjukkan bahwa individual subpopulasi susceptible merupakan aliran kontinu. Untuk individual subpopulasi I 21m ( x, t ) dan I 21U ( x, t ) sebagai aliran kontinu dapat ditunjukkan sesuai dengan transmisi penyebaran virus influenza H5N1, demikian pula untuk individual subpopulasi E11m ( x, t ) sesuai dengan transmisi penyebaran virus influenza H1N1-p. Pada analisa tersebut diatas telah ditunjukkan bahwa konstruksi model matematika koalisi tahapan pertama adalah well-posedness, rangkaian analisa kualitatif terhadap konstruksi model berikutnya adalah analisa densitas populasi.Pada analisa ini akan dibahas eksistensi penyelesaian positif dari model.

5.2.2. Analisa terhadap densitas populasi Diberikan asumsi bahwa penyebaran virus influenza H5N1 mempunyai virulence tinggi sehingga pada kondisi pandemik akan terjadi perubahan atau transisi yang cukup signifikan terhadap subpopulasi susceptible maupun terinfeksi, perubahan densitas

108 Disertasi


HARIYANTO


subpopulasi pada konstruksi model tahapan pertama berpengaruh terhadap total subpopulasi. Berdasarkan konstruksi model 5.16, total populasi di lokasi 1 adalah

N1m (t ) = S1m (t ) + E11m (t ) + I11m (t ) + I 21m (t ) N1m = ∫ {S1m ( x, t ) + E11m ( x, t ) + I 11m ( x, t ) + I 21m ( x, t )}dx

5.52

Ω1

dN1m (t ) ∂S ( x, t ) ∂E11m ( x, t ) ∂I11m ∂I 21m ( x, t ) }dx = ∫ { 1m + + + dt ∂t ∂t ∂t ∂t Ω1 2 2 2 ∂ 2 S1m ( x, t ) dN 1m (t ) E ∂ E11m ( x, t ) I ∂ I 11m I ∂ I 21m ( x, t ) = ∫ {D S + D + D + D 2 2 2 2 dt ∂ x ∂ x ∂ x ∂ x Ω1

-

d (S1m ( x, t ) + E11m ( x, t ) + I11m ( x, t ) + I 21m ( x, t )) +

b(S1m ( x, t ) − E11m ( x, t ) − I11m ( x, t ) − I 21m ( x, t ))+

∫ (S

2m

( x, t ) + E12m ( x, t ))K ( x − y)dy -

Ω2

(S1m ( x, t ) + E11m ( x, t ) ∫ K ( y − x)dx.)dx. Ω1

5.53

Sedangkan total populasi yang berkaitan dengan virus influenza H5N1-unggas adalah

N 21U (t ) = S 21U (t ) + I 21U (t ) ∂S ( x, t ) ∂I 21u dN 21U (t ) = ∫ ( 21U + )dx ∂ ∂ dt t t Ω1

5.54

2 2 dN 21U (t ) S ∂ S 21U ( x, t ) I ∂ I 21u +D − d ( S 21U ( x, t ) + I 21U ( x, t )) + = ∫ (D dt ∂x 2 ∂x 2 Ω1

b(S 21U ( x, t ) − I 21U ( x, t )) +

∫S

22U

Ω2

( x, t ) K ( x − y)dy − S 22U ( x, t ) ∫ K ( y − x)dx )dx. Ω1

Analisa densitas subpopulasi terhadap penyebaran virus influenza H5N1 dan H1N1-p yang memenuhi penyelesaian positif dari konstruksi model dapat diperoleh total densitas subpopulasi, misalkan I 21m ( x, t ) = 0 dan I 11m ( x, t ) = 0 untuk t → ∞ sehingga perubahan total populasi pada lokasi 1 adalah

109 Disertasi


HARIYANTO


2 ∂ 2 S1m ( x, t ) dN 1m (t ) E ∂ E11m ( x, t ) = ∫ {D S + D − d (S1m ( x, t ) + E11m ( x, t )) + dt ∂x 2 ∂x 2 Ω1

b( S1m ( x, t ) − E11m ( x, t ))+

∫ (S

2m

( x, t ) + E12m ( x, t ))K ( x − y)dy -

Ω2

(S1m ( x, t ) + E11m ( x, t ) ∫ K ( y − x)dx.)dx Ω1 atau

dN 1m (t ) = ∫ ( − d (S1m ( x, t ) + E11m ( x, t )) + b( S1m ( x, t ) − E11m ( x, t ))+ dt Ω1

∫ (S

Ω2

2m

5.55

( x, t ) + E12m ( x, t ))K ( x − y)dy - ( S1m ( x, t ) + E11m ( x, t ) ∫ K ( y − x)dx.)dx )dx, Ω1

oleh karena

∂S ( x, t ) ∂E1m ( x, t ) ∂S1m ( x, t ) ∂E1m ( x, t ) dan 1m = = 0 = x= L x= L = 0 x =0 x =0 ∂x ∂x ∂x ∂x maka 2 ∂ 2 S1m ( x, t ) E ∂ E11m ( x, t ) )dx = 0 untuk x ∈ Ω1 = [0, L]. ∫Ω1{D ∂x 2 + D ∂x 2 S

Misalkan

dN 1m (t ) = k dengan k ∈ R + sehingga diperoleh dt

∫ ( − d (S

1m

( x, t ) + E11m ( x, t )) + b( S1m ( x, t ) − E11m ( x, t ))+

Ω1

∫ (S

Ω2

2m

( x, t ) + E12m ( x, t ))K ( x − y)dy - (S1m ( x, t ) + E11m ( x, t ) ∫ K ( y − x)dx.)dx )dx = k > 0 Ω1

bila (b − d ) S1m ( x, t ) - (b + d ) E11m ( x, t ) +

∫ (S

2m

( x, t ) + E12m ( x, t ))K ( x − y)dy -

Ω2

(S1m ( x, t ) + E11m ( x, t ) ∫ K ( y − x)dx.)dx > 0 dan akan terpenuhi untuk b > d dan Ω1

110 Disertasi


HARIYANTO


(b + d ) < K (x) dengan diffusi global

∫ (S

2m

Ω2

( x, t ) + E12m ( x, t ))K ( x − y)dy - (S1m ( x, t ) + E11m ( x, t ) ∫ K ( y − x)dx. > 0. Ω1

Misalkan S1m ( x, t ) = 0 untuk t → ∞ sehingga perubahan total populasi pada lokasi 1 adalah

dN 1m (t ) = ∫ (−d ( E11m ( x, t ) + I11m ( x, t ) + I 21m ( x, t ))+ b(− E11m ( x, t ) − I11m ( x, t ) − I 21m ( x, t )) + dt Ω1

∫E

12 m

Ω2

( x, t ) K ( x − y)dy - E11m ( x, t ∫ K ( y − x)dx.)dx. Ω1

atau

∫ (−d (E

11m

( x, t ) + I11m ( x, t ) + I 21m ( x, t )) + b(− E11m ( x, t ) − I11m ( x, t ) − I 21m ( x, t )) +

Ω1

∫E

12 m

Ω2

( x, t ) K ( x − y)dy - E11m ( x, t ∫ K ( y − x)dx.)dx. > 0 dan akan terpenuhi bila Ω1

(−d − b)(E11m ( x, t ) + I11m ( x, t ) + I 21m ( x, t )) +

∫E

12 m

( x, t ) K ( x − y)dy −

Ω2

E11m ( x, t ∫ K ( y − x)dx. > 0 untuk K (x) > (b + d ) dengan diffusi global Ω1

∫E

12 m

Ω2

( x, t ) K ( x − y)dy − E11m ( x, t ∫ K ( y − x)dx. > 0. Ω1

Misalkan konstruksi model koalisi tahapan pertama mempunyai penyelesaian negatif dengan

dN 1m (t ) = − k untuk k ∈ R + sehingga perubahan dari total populasi di lokasi 1 dt

adalah

dN 1m (t ) = ∫ ( − d ( S1m ( x, t ) + E11m ( x, t ) + I11m ( x, t ) + I 21m ( x, t ))+ dt Ω1

b(S1m ( x, t ) − E11m ( x, t ) − I11m ( x, t ) − I 21m ( x, t ))+

∫ (S

2m

( x, t ) + E12m ( x, t ))K ( x − y)dy -

Ω2

(S1m ( x, t ) + E11m ( x, t ) ∫ K ( y − x)dx.)dx. Ω1

111 Disertasi


HARIYANTO


atau

∫ ( − d (S1m ( x, t ) + E11m ( x, t ) + I11m ( x, t ) + I 21m ( x, t ))+ Ω1 b(S1m ( x, t ) − E11m ( x, t ) − I11m ( x, t ) − I 21m ( x, t ))+

∫ (S

2m

( x, t ) + E12m ( x, t ))K ( x − y)dy -

Ω2 (S1m ( x, t ) + E11m ( x, t ) ∫ K ( y − x)dx.)dx < 0 Ω1 dan akan terpenuhi bila

(−d − b)(S1m ( x, t ) + E11m ( x, t ) + I11m ( x, t ) + I 21m ( x, t )) +

∫ (S

2m

( x, t ) + E12m ( x, t ))K ( x − y)dy -

Ω2

(S1m ( x, t ) + E11m ( x, t ) ∫ K ( y − x)dx. < 0 untuk K (x) < (b + d ), hal tersebut tidak mungkin Ω1 terjadi karena individual subpopulasi sebagai aliran yang bergerak dinamis. Dengan demikian konstruksi model matemátika koalisi tahapan pertama mempunyai penyelesaian positif dan berlaku

Lim S ( x, t ) = 0 atau Lim I11m ( x, t ) = Lim I 21m ( x, t ) = 0. t →∞ 1m t →∞ t →∞ Analisa densitas subpopulasi pada konstruksi model matematika koalisi tahap pertama juga dilakukan terhadap penyebaran virus influenza H5N1 pada unggas, misalkan I 21U ( x, t ) = 0 untuk t → ∞ maka perubahan total populasi unggas pada lokasi 1 adalah

∂S ( x, t ) ∂I 21u dN 21U (t ) = ∫ ( 21U + )dx ∂ ∂ dt t t Ω1 atau

dN 21U (t ) = ∫ (b −d )(S 21U ( x, t ) + ∫ S 22U ( x, t ) K ( x − y)dy − S 22U ( x, t ) ∫ K ( y − x)dx)dx,. dt Ω2 Ω1 Ω1 misalkan

dN 21U (t ) = k untuk k ∈ R + sehingga diperoleh dt

∫ (b −d )(S

Ω1

21U

( x, t ) +

∫S

Ω2

22U

( x, t ) K ( x − y)dy − S 22U ( x, t ) ∫ K ( y − x)dx)dx > 0. Ω1

112 Disertasi


HARIYANTO


akan terpenuhi bila

(b − d ) S 21U ( x, t ) +

∫ S 22U ( x, t ) K ( x − y)dy − S 22U ( x, t ) ∫ K ( y − x)dx)dx > 0. Ω2 Ω1

untuk b > d , K ( x) > b + d dengan diffusi global

∫S

Ω2

22U

( x, t ) K ( x − y)dy − S 22U ( x, t ) ∫ K ( y − x)dx)dx > 0. Ω1

Oleh karena dilakukan isolasi atau pemusnahan pada individual subpopulasi terinfeksi H5N1 pada unggas maka perubahan total populasi unggas pada lokasi 1 tidak akan mungkin terjadi pada S 2U ( x, t ) = 0 untuk t → ∞, dengan demikian penyelesaian positif pada konstruksi model berlaku Lim I 21U ( x, t ) = 0.

t →∞

Berdasarkan pada hasil analisa terhadap densitas populasi tersebut diatas maka dapat disusun Teorema sebagai berikut

Teorema 5.1. Jika konstruksi model matematika koalisi tahapan pertama mempunyai penyelesaian positif maka berlaku: 1. jika Lim I 21U ( x, t ) = 0 maka S 21U ( x, t ) monoton naik.

t →∞

2. jika Lim S1m ( x, t ) = 0 maka I11m ( x, t ) dan I 21m ( x, t ) monoton naik.

t →∞

Bukti. 1. Penyelesaian

positif

pada

konstruksi

model

tahapan

pertama

berlaku

Lim I ( x, t ) = 0 artinya invasi virus influenza H51N1 pada unggas berada di titik t →∞ 21U kesetimbangan bebas penyakit sehingga sistem pada reproduksi dasar R

0U

kondisi stabil dengan

bilangan

< 1, perhatikan penyelesaian konstruksi model koalisi tahapan

pertama untuk populasi susceptible berbentuk

113 Disertasi


HARIYANTO


S 21U ( x, t ) =

2

π

Exp(−(m3 + d + 2µ − b)t ) S 21U ( x,0) +

2

π

Exp(−(m3 + d − b)t ) SU (x,0)

m3 , oleh karena subpopulasi S 21U ( x, t ) bergerak secara global maka DU + d + b

dengan R0U =

koeffisien diffusi DU sangat besar sehingga R0U < 1. Misalkan terdapat k ∈ R + sehingga m3 k = DU + d + b atau m3 k − DU = d + b, untuk menunjukkan bahwa S 21U ( x, t ) monoton naik perhatikan persamaan

m3 + d + b + 2µ − 2b = m3 + km3 − DU − 2b + 2µ = (1 + k )m3 − ( DU + 2b) + 2µ , oleh karena DU sangat besar maka m3 + d + b + 2µ − 2b < 0 atau fungsi Exp(−(m3 + d + 2µ − b)t ) monoton naik. Demikian pula untuk persamaan m3 + d − b = m3 + d + b − 2b = m3 + km3 − DU − 2b = (1 + k )m3 − ( DU + 2b), oleh karena

DU sangat besar maka m3 + d − b < 0 atau fungsi Exp(−(m3 + d − b)t ) monoton naik. Dengan demikian penyelesaian positif dari konstruksi model matematika koalisi tahapan pertama berlaku Lim I 21U ( x, t ) = 0 dan S 21U ( x, t ) monoton naik.

t →∞

2

Telah ditunjukkan bahwa konstruksi model mempunyai penyelesaian positif pada

penyebaran virus influenza H5N1 dan H1N1 – p didapatkan Lim S1m ( x, t ) = 0, hal tersebut

t →∞

menunjukkan bahwa invasi dari kedua virus mengalami outbreak sehingga pada titik kesetimbangan endemik sistem tidak stabil atau R01 > 1 dan R02 > 1. Perhatikan penyelesaian konstruksi model matematika koalisi tahapan pertama untuk subpopulasi I 21m ( x, t ) berbentuk

I 21m ( x, t ) =

2

π

Exp (−(b + d + u − p)t ) I 21m ( x,0)

dengan bilangan reproduksi dasar R02 =

D21m

p atau dapat dinyatakan +b+d +u

114 Disertasi


HARIYANTO


d +b+u =

p − D21m , oleh karena subpopulasi terinfeksi H5N1 diisolasi pada lokasi 1 R02

atau hanya bergerak secara lokal maka koeffisien diffusi D21m sangat kecil sehingga

R02 =

D21m

p > 1. +b+d +u

Perhatikan persamaan b + d + u − p = (b + d + u ) − p = =(

p - D21m - p R 02

1 − 1) p − D21 , oleh karena R02 > 1 maka R02

b + d + u − p < 0 atau fungsi Exp (−(b + d + u − p)t ) monoton naik sehingga diperoleh

I 21m ( x, t ) monoton naik. Demikian pula penyelesaian konstruksi model matematika koalisi tahapan pertama untuk subpopulasi I11m ( x, t ) berbentuk

I11m ( x, t ) = R01 =

( D11m

2

π

Exp (−(−a + d + b + v)t ) I 11m ( x,0) dengan bilangan reproduksi dasar

ka atau dapat dinyatakan (d + b + v) = + b + d + v) 2

subpopulasi diisolasi maka D11m → 0 sehingga R01 =

( D11m

ka − D11m , oleh karena R01

ka > 1. + b + d + v) 2

Untuk menunjukkan bahwa I11m ( x, t ) monoton naik perhatikan persamaan − a + d + b + v = − a + (d + b + v)

= −a+

ka − D11m , untuk R01 > 1 maka R01

− a + d + b + v < 0 atau fungsi Exp (−(−a + d + b + v)t ) monoton naik sehingga diperoleh

I11m ( x, t ) monoton naik. Dengan demikian penyelesaian positif dari konstruksi model matematika koalisi tahapan pertama berlaku Lim S1m ( x, t ) = 0 maka I11m ( x, t ) dan I 21m ( x, t ) monoton naik.

t →∞

115 Disertasi


HARIYANTO


Berdasarkan analisa terhadap densitas populasi diperoleh aturan biner terhadap penyebaran virus influenza H1N1-p dan H5N1 untuk t → ∞, hasil dari analisa tersebut digunakan untuk melakukan analisa persistensi terhadap virus influneza yang akan dibahas berikut ini

5.2.3. Analisa Persistensi terhadap virus influenza Individual subpopulasi yang bergerak dinamis pada lokasi 1 atau lokasi 2 menyebabkan terjadinya penyebaran virus influenza H5N1 dan H1N1-p secara meluas, indikator gerakan individual dan kemampuan virus invasi terhadap manusia

sangat

mempengaruhi terhadap perubahan sistem. Jika virus influenza H5N1 mempunyai virulence tinggi maka virus influenza H5N1 dapat dikatakan persisten terhadap sistem, demikian pula virus influenza H1N1-p persisten terhadap sistem. Untuk melakukan analisa persistence pada kedua virus tersebut perhatikan penyelesaian konstruksi model tahapan pertama 5.40 dan definisikan bahwa F : C(Ω1 , R) → C(Ω1 , R) atau F : C (Ω 2 , R) → C (Ω 2 , R)

dan G = (C , R, π ) aliran kontinu pada C(Ω1 , R) dan C (Ω 2 , R) maka untuk menunjukkan persistensi dari virus terhadap sistem digunakan definisi berikut ini

Definisi 5. 1. Metric d adalah kontak individual susceptible dengan terinfeksi sehingga terjadi transmisi virus. Berdasarkan pada definisi tersebut bahwa transmisi virus maksimum terjadi sebagai hasil kontak, interaksi atau kontak dan interaksi dari individual, sedangkan individual yang berada pada daerah terbatas dengan individual yang berada pada daerah interior maka kontak yang terjadi dapat menimbulkan transmisi minimum. Jika d min ~ {αS11m ( x, t ) I11m ( x, t )}maks atau Inf (d ) ~ Maks( I11m ( x, t )) maka akan terdapat individual subpopulasi susceptible terinfeksi yang terbesar dan sebaliknya jika

d maks ~ {αS11m ( x, t ) I11m ( x, t )}min . atau Sup(d ) ~ Min( I11m ( x, t )) maka akan terdapat individual subpopulasi susceptible terinfeksi terkecil.

116 Disertasi


HARIYANTO


Rangkaian perubahan yang terjadi dari setiap subsistem yang terhubung merupakan proses koalisi dan hasil yang diperoleh dari proses tersebut adalah virus dengan strain baru, sebagai rangkaian dalam proses koalisi dapat diamati pengaruh transmisi terhadap perubahan sistem dimulai dari penyebaran virus influenza H1N1-p dan H5N1 yang dikonstruksi dalam model matematika tahapan pertama. Misalkan S11m ( x, t ) = π ( S11m ( x, t ), t ), I11m ( y, t ) ∈ ∂C penyelesaian dari konstruksi model dan •

∀x, y ∈ Ω maka metric dari individual populasi yang bergerak untuk t ∈ R + ke individual populasi yang berada pada daerah terbatas didefinisikan sebagai

d (π (S11m ( x, t ), t ), ∂C ) = d (S11m ( x, t ), I11m ( y, t )) = ∫ S11m ( x, t ) − I 11m ( y, t ) dx Ω

maka analisa persistensi terhadap penyebaran virus influenza H5N1 pada unggas dan penyebaran virus influenza pada H1N1-p diformulasikan pada Teorema berikut ini

Teorema 5. 2. 1. Jika bilangan reproduksi dasar untuk virus influenza H5N1 pada unggas R0U > 1 maka virus influenza H5N1 pada unggas strongly uniformly persistence. 2. Jika bilangan reproduksi dasar virus influenza H1N1-p R01 > 1 maka virus influenza H1N1-p strongly uniformly persistence. Bukti. Pada teorema 5. 1 telah ditunjukkan bahwa konstruksi model matematika koalisi mempunyai penyelesaian t → ∞ pada subpopulasi S1m ( x, t ) dan I11m ( x, t ) maka pada pembuktian berikut ini penyelesaian dari konstruksi model untuk t → ∞ dapat digunakan untuk menunjukkan pengaruh penyebaran virus terhadap perubahan sistem. Pada pembuktian 1, perhatikan penyelesaian konstruksi model matematika pada 5.40 untuk densitas subpopulasi susceptible dan terinfeksi pada unggas berbentuk

S 21U ( x, t ) =

2

π

Exp(−(m3 + d + 2µ − b)t ) S 21U ( x,0) +

I 21U ( x, t ) =

2

π

2

π

Exp(−(m3 + d − b)t ) SU (x,0),

Exp(−(d + b − p1 )t ) I 21U ( x,0)

117 Disertasi


HARIYANTO


dengan SU (x,0) densitas subpopulasi global pada kondisi awal dan I 21U ( x,0) densitas subpopulasi terinfeksi lokasi 1 pada kondisi awal maka pengaruh transmisi dari virus influenza H5N1 pada unggas terhadap perubahan yang terjadi pada sistem di lokasi 1 dapat dinyatakan dengan definisi 5.1 sebagai metric

d ( S 21U ( x, t ), I 21U ( x, t )) =

∫S

21U

( x, t ) − I 21U ( x, t ) dx

Ω

dengan

S 21U ( x, t ) − I 21U ( x, t ) = 2

π

2

E xp(−(m3 + d + 2µ − b)t ) S 21U ( x,0) +

π

Exp(−(m3 + d − b)t ) SU (x,0) - Exp(−(d + b − p1 )t ) I 21U ( x,0)

atau

d ( S 21U ( x, t ), I 21U ( x, t )) = 2

π

2

π

∫ Exp (−(m

3

+ d + 2µ − b)t ) S 21U ( x,0) +

Ω

Exp(−(m3 + d − b)t ) SU (x,0) - Exp(−(d + b − p1 )t ) I 21U ( x,0) dx,

untuk S 21U ( x, t ) ≥ I 21U ( x, t ) dapat diperoleh

d ( S 21U ( x, t ), I 21U ( x, t )) = 2

π

2

π

{Exp(−(m3 + d + 2µ − b)t ) S 21U (0) +

Exp(−(m3 + d − b)t ) SU (0) - Exp(−(d + b − p1 )t ) I 21U (0)},

transmisi virus influenza H5N1 pada unggas terjadi setelah terdapat kontak individual antara individual subpopulasi terinfeksi I 21U (0)}dengan SU (0), dengan demikian perubahan yang terjadi pada masing-masing individual subpopulasi mencerminkan ukuran dari

d ( S 21U ( x, t ), I 21U ( x, t )). Oleh karena penyebaran virus influenza H5N1 pada unggas mengalami outbreak dengan R0U > 1 maka untuk t → ∞ terjadi perubahan pada subpopulasi S 21U ( x, t ) dan

I 21U ( x, t )}yang dapat dinyatakan dengan

118 Disertasi


HARIYANTO


Lim S ( x, t ) = 0 dan Lim I 21U ( x, t ) = I 21U ( x, t ) maks , t →∞ 21U t →∞ dengan demikian {Exp(−(m3 + d + 2µ − b)t ) dan Exp(−(m3 + d − b)t ) fungsi monoton turun dan Exp(−(d + b − p1 )t ) fungsi monoton naik untuk t → ∞ sehingga terjadi transmisi virus influenza H5N1 pada unggas sebagai hasil kontak individual pada daerah persekitaran dengan jarak minimum atau dapat dinyatakan

Lim Inf (d (S 21U ( x, t ), I 21U ( x, t )).) = − NI 21U (0) t →∞ dengan N nilai maksimum dari Exp(−(d + b − p1 )t ) untuk t → ∞, dapat pula ditunjukkan untuk S 21U ( x, t ) < I 21U ( x, t ) diperoleh

Lim Inf (d (S 21U ( x, t ), I 21U ( x, t )).) = NI 21U (0) t →∞ sehingga untuk sebarang S 21U ( x, t ) dan I 21U ( x, t ) terdapat ε 0 = N sedemikian hingga

Lim Inf (d (S 21U ( x, t ), I 21U ( x, t )).) = N I 21U (0) > ε 0 = N t →∞ dan virus influenza H5N1 disebut Strongly uniformly persistence untuk R0U > 1 atau dapat dikatakan bahwa transmisi dari virus tersebut sangat berpengaruh terhadap perubahan sistem pada lokasi 1. Untuk pembuktian 2, perhatikan penyelesaian konstruksi model koalisi pada 5.40 berbentuk

S1m ( x, t ) =

2

Exp(−(m + r + d + 2µ − b − o − q1 − q2 )t ) S1m ( x,0) +

π 2

π

Exp(−(m + r + d − b − o − q1 − q2 )t ) S m (x,0)

dan

I11m ( x, t ) =

2

π

Exp (−(−a + d + b + v)t ) I 11m ( x,0)

dengan S m (x,0) dan I 11m ( x,0) densitas subpopulasi pada kondisi awal sehingga pengaruh dari transmisi virus influenza H1N1-p terhadap perubahan pada sistem di lokasi 1 dapat dinyatakan dengan metric

d (S11m ( x, t ), I11m ( x, t )) = ∫ S11m ( x, t ) − I 11m ( x, t ) dx Ω

119 Disertasi


HARIYANTO


dengan

S11m ( x, t ) − I11m ( x, t ) = 2

π

2

π

E xp(−(m + r + d − b − o − q1 − q2 )t ) S m (x,0) +

Exp(−(m + r + d − b − o − q1 − q2 )t ) S m (x,0) − Exp{−(−a + d + b + v)t ) I11m ( x,0) .

atau

d (S11m ( x, t ), I11m ( x, t )) = 2

π

2

π

( ∫ Exp(−(m + r + d − b − o − q1 − q 2 )t ) S m (x,0) + Ω

Exp(−(m + r + d − b − o − q1 − q2 )t ) S m (x,0) − Exp{−(−a + d + b + v)t ) I11m ( x,0) .)dx

sehingga untuk S11m ( x, t ) ≥ I11m ( x, t ) dapat diperoleh

d (S11m ( x, t ), I11m ( x, t )) = 2

π

2

π

( Exp(−(m + r + d − b − o − q1 − q2 )t ) S m (0) +

Exp(−(m + r + d − b − o − q1 − q2 )t ) S m (0) − Exp{−(−a + d + b + v)t ) I 11m (0)),

oleh karena penyebaran virus influenza H1N1-p mengalami outbreak dengan bilangan reproduksi dasar R01 > 1 maka untuk t → ∞ terjadi perubahan pada individual subpopulasi susceptible S11m ( x, t ) dan terinfeksi I11m ( x, t ) atau dapat dinyatakan dengan

Lim S ( x, t ) = 0 dan Lim I11m ( x, t ) = I11m ( x, t ) maks , t →∞ 11m t →∞ dengan demikian fungsi Exp(−(m + r + d + 2µ − b − o − q1 − q2 )t ) dan

Exp(−(m + r + d − b − o − q1 − q2 )t ) monoton turun serta fungsi Exp (−(−a + d + b + v)t ) monoton naik untuk t → ∞ sehingga terjadi transmisi virus sebagai hasil kontak individual subpopulasi S11m ( x, t ) dengan terinfeksi I11m ( x, t ) pada daerah persekitaran dengan jarak minimum atau dapat dinyatakan dalam bentuk

Lim Inf (d (S11m ( x, t ), I11m ( x, t )).)= − N1 I11m (0) t →∞ dengan N1 sebagai nilai maksimum dari Exp (−(−a + d + b + v)t ) untuk t → ∞, dengan cara yang sama dapat diperoleh

120 Disertasi


HARIYANTO


Lim Inf (d (S11m ( x, t ), I11m ( x, t )).)= N1 I11m (0) untuk S11m ( x, t ) < I11m ( x, t ) t →∞ sehingga untuk sebarang S11m ( x, t ) dan I11m ( x, t ) terdapat ε 0 = N1 sedemikian hingga

Lim Inf (d (S11m ( x, t ), I11m ( x, t )).)= N1 I11m (0) . > ε 0 = N1 t →∞ dan virus influenza H1N1-p disebut strongly uniformly persistence untuk R01 > 1atau dapat dikatakan bahwa transmisi dari virus tersebut sangat berpengaruh terhadap perubahan sistem pada lokasi 1. Berdasarkan pada analisa kualitatif pada konstruksi model tahapan pertama

terhadap

transmisi virus influenza H1N1-p dan H5N1 melalui kontak individual dapat diketahui pengaruh penyebaran virus influenza H1N1-p terhadap penyebaran virus influenza H5N1 dan pengaruh penyebaran kedua virus terhadap perubahan sistem, pada pembahasan berikut akan dilakukan analisa kualitatif dengan mengembangkan transmisi melalui kontak dan interaksi yang dinyatakan dalam konstruksi model matematika koalisi tahapan kedua.

5.3

ANALISA KUALITATIF PADA KONSTRUKSI MODEL MATEMATIKA KOALISI TAHAPAN KEDUA Analisa kualitatif melalui parameter pada konstruksi model matematika koalisi

tahapan kedua antara lain untuk menunjukkan bahwa model mempunyai penyelesaian tunggal dan bersifat dinamis, perubahan yang terjadi pada subpopulasi untuk t → ∞ dan pengaruh penyebaran virus H5N1 dan H1N1-p terhadap perubahan yang terjadi pada subpopulasi. Perhatikan konstruksi model tahapan kedua 5.37 berikut ini

∂S1m ∂ 2 S1m − rS 1m − mS1m − h1 S1m − f1 S1m − dS1m + bS 1m + µS 2 m − µS1m + = D1S ∂t ∂x 2 oS1m + q1 S1m + q 2 S1m + wS1m

∂E11m ∂ 2 E11m = D11E + kE11m + f 2 E11m − lE11m − dE11m − bE11m + µσE12m − µE11m − nE11m ∂t ∂x 2 ∂I 11m ∂ 2 I 11m = D11I + aI 11m − dI 11m − bI 11m − vI 11m ∂t ∂x 2

5.56

121 Disertasi


HARIYANTO


∂I 21m ∂ 2 I 21m = D21I + pI 21m + h2 I 21m − 2w2 I 21m − dI 21ms − bI 21m − uI 21m ∂t ∂x 2 2 ∂I co −inf co inf ∂ I co −inf = D21 + 2w1 I co −inf − dI co −inf − bI co −inf − cI co −inf ∂t ∂x 2

dengan total populasi N jm (t ) = S jm (t ) + E1 jm (t ) + I 1 jm (t ) + I 2 jm (t ) + I co −inf (t ), bilangan reproduksi dasar virus influenza H1N1-p: R01 =

(k + f 2 )a , ( D + b + d + n)(D11I + b + d + v) E 11

bilangan reproduksi dasar virus influenza H5N1 manusia: R02 = bilangan reproduksi co-infeksi: R0co inf =

I c 0−inf

D

p + h2 dan D +b+d +u I 21

2w1 . +b+d +c

Penyelesaian konstruksi model matematika tahapan kedua ditunjukkan pada pembahasan berikut ini Konstruksi model subpopulasi ekspose di lokasi 1 2 ∂E11m E ∂ E11m = D11 + kE11m + f 2 E11m − lE11m − dE11m − bE11m + µσE12m − µE11m − nE11m , ∂t ∂x 2

konstruksi model populasi ekspose di lokasi 2 2 ∂E12m E ∂ E12 m = D12 + kE12m + f 2 E12m − lE12m − dE12m − bE12m + µσE11m − µE12m − nE12m ∂t ∂x 2

dan konstruksi model populasi susceptible pada kedua lokasi adalah

∂E11m ∂E12 m + = ∂t ∂t

∂ 2 E11m + kE11m + f 2 E11m − lE11m − dE11m − bE11m + µσE12m − µE11m − nE11m+ D ∂x 2 E 11

∂ 2 E12m + kE12m + f 2 E12m − lE12m − dE12m − bE12m + µσE11m − µE12m − nE12m D ∂x 2 E 12

∂E11m ∂E12 m + = ∂t ∂t

122 Disertasi


HARIYANTO


2 ∂ 2 E11m E ∂ E12 m + D ) + k ( E11m + E12 m ) + f 2 ( E11 + E12 ) − l ( E11m + E12 m ) − 12 ∂x 2 ∂x 2 d ( E11m + E12 ) − b( E11m + E12 m ) + µσ ( E12m + E11m ) − µ ( E11m + E12 m ) − n( E11m + E12 m )

( D11E

atau

∂2E ∂E = D E 2 + kE + f 2 E − lE − dE − bE + µσE − µE − nE , ∂t ∂x untuk mendapatkan penyelesaian dari persamaan tersebut dilakukan transformasi cosinus Fourier sehingga diperoleh

dE 2 dE (0, t ) = D E (−ik ) 2 E (k ) − + kE (k ) + f 2 E (k ) − lE (k ) − dE (k ) − bE (k ) + µσE (k ) − dt π dx µE (k ) − nE (k ) atau

dE = − D E k 2 E (k ) + kE (k ) + f 2 E (k ) − lE(k ) − dE (k ) − bE (k ) + µσE (k ) − µE (k ) − nE (k ) dt dE = − ( D E k 2 − k + l + d + b − µσ + µ + n) E (k ) yang mempunyai penyelesaian terreduksi dt berbentuk E (k , t ) = Exp{−( D E k 2 − k − f 2 + l + d + b − µσ + µ + n)t} E (k ,0) dan dengan menggunakan invers transformasi Fourier E ( x, t ) =

2

π

∫ E (k , t ) cos(kx )dk dapat

Ω

diperoleh

E ( x, t ) =

2

E (k ,0) Exp{− D π∫

E

k 2 t} Exp{−(−k − f 2 + l + d + b − µσ + µ + n)t} cos(kx ) dk

Ω

atau

E ( x, t ) = E ( x, t ) =

2

π 2

π

Exp{−(−k − f 2 + l + d + b − µσ + µ + n)t} ∫ E (k ,0) cos kx Exp{− D E k 2 t} dk Ω

Exp{−(−k − f 2 + l + d + b − µσ + µ + n)t} ∫ E (k ,0) ( 1 + Ω

123 Disertasi


HARIYANTO


kn dn ( Exp{− D E k 2 t} ) dk untuk ekspansi Exp{− D E k 2 t} menurut deret Mc Laurin ∑ n n =1 n! dk ∞

kn dn berbentuk Exp(− D k t ) = 1 + ∑ ( Exp(− D E k 2 t ),dengan demikian diperoleh n n =1 n! dk E

∞

2

penyelesaian berbentuk

E ( x, t ) = 2

π

Exp(−(−k − f 2 + l + d + b − µσ + µ + n)t ) { ∫ E (k ,0) cos(kx ) dk + Ω

1 dn ( Exp{− D E k 2 t} ∫ k n E (k ,0) cos(kx ) dk } ∑ n n ! dk n =1 Ω ∞

atau

2

E ( x, t ) =

π

Exp(−(−k − f 2 + l + d + b − µσ + µ + n)t ) { E (x,0) +

n 1 dn n ∂ E ( x,0) E 2 ). ( − 1 ) ( Exp { − D k t } ∑ n ∂x n n =1 n! dk

∞

Untuk x → ∞, n = 1,2,3 ... dan densitas populasi ekspose merupakan rumpun eksponensial

∂ n E ( x,0) diperoleh (−1) → 0 sehingga PUPD adalah ∂x n n

E ( x, t ) =

2

π

Exp(−(−k − f 2 + l + d + b − µσ + µ + n)t ) E (x,0)

atau

E11m ( x, t ) + E12m ( x, t ) =

2

π

Exp(−(−k − f 2 + l + d + b − µσ + µ + n)t ) E (x,0)

atau

E11m ( x, t ) =

2

π

Exp(−(−k − f 2 + l + d + b − µσ + µ + n)t ) E (x,0) - E12m ( x, t ).

Untuk mendapatkan penyelesaian dari konstruksi model pada lokasi 1,

124 Disertasi


HARIYANTO


perhatikan persamaan

∂E11m ∂ 2 E11m = D11E + kE11m + f 2 E11m − lE11m − dE11m − bE11m + µσE12m − µE11m − nE11m ∂t ∂x 2 atau

dE11m + ( D11E k 2 − k − f 2 + l + d + b + µ + n) E11m = µσE12m , dengan melakukan subtitusi dt

E12m (k , t ) = Exp(−( D E k 2 − k − f 2 + l + d + b − µσ + µ + n)t ) E (k ,0) − E11m (k , t ) pada persamaan tersebut diperoleh

dE11m + ( D11E k 2 − k − f 2 + l + d + b + µ + n) E11m = dt

µσExp(−( D E k 2 − k − f 2 + l + d + b − µσ + µ + n)t ) E (k ,0) − µσE11m (k , t ) atau

dE11m + ( D11E k 2 − k − f 2 + µσ + l + d + b + µ + n) E11m = dt

µσExp(−( D E k 2 − k − f 2 + l + d + b − µσ + µ + n)t ) E (k ,0) dengan penyelesaian tereduksi berbentuk

E11m (k , t ) = Exp(−(−k − f 2 + µσ + l + d + b + µ + n)t ) E11m (k ,0) Exp{− D11E k 2 t}, jika dilakukan invers dengan menggunakan invers transformasi Fourier maka diperoleh penyelesaian umum persamaan reduksi berbentuk

E11m ( x, t ) =

2

π

Exp(−(−k − f 2 + µσ + l + d + b + µ + n)t ) E11m ( x,0).

Untuk mendapatkan penyelesaian partikulir, perhatikan persamaan lengkap

dE11m + ( D11E k 2 − k − f 2 + µσ + l + d + b + µ + n) E11m = dt

µσExp(−( D E k 2 − k − f 2 + l + d + b − µσ + µ + n)t ) E (k ,0), misalkan

d = p maka dapat diperoleh persamaan berbentuk dt

( p + D11E k 2 − k − f 2 + µσ + l + d + b + µ + n) E11m =

µσExp(−( D E k 2 − k − f 2 + l + d + b − µσ + µ + n)t ) E (k ,0)

125 Disertasi


HARIYANTO


atau

E11m (k , t ) =

µσ Exp(−(−k − f 2 + l + d + b − µσ + µ + n)t ) dengan melakukan ekspansi perderetan pada

Exp(− D E k 2 t ) E (k ,0), 2µσ

Exp(− D E k 2 t ) maka diperoleh 2µσ

E11m (k , t ) = 1 Exp(−(−k − f 2 + l + d + b − µσ + µ + n)t ) ( 1 + 2

kn dn Exp{− D E k 2 t}) E (k ,0), ∑ n n =1 n! dk ∞

dengan menggunakan invers transformasi cosinus Fourier diperoleh 1 Exp(−(−k − f 2 + l + d + b − µσ + µ + n)t ) ( 2

E11m ( x, t ) =

∫ E (k ,0) cos(kx)dk +

Ω

1 dn Exp(− D E k 2 t ) ∫ k n E (k ,0) cos(kx )dk ) ∑ n n =1 n! dk Ω ∞

atau

E11m ( x, t ) =

1 Exp(−(−k − f 2 + l + d + b − µσ + µ + n)t ) ( E (x,0) + 2

n 1 dn n ∂ E ( x,0) E 2 ( 1 ) , densitas subpopulasi ekspose merupakan − Exp ( − D k t ) ∑ n ∂x n n =1 n! dk

∞

rumpun eksponensial maka (−1) 2 m

n ∂ 2 m E ( x,0) n ∂ E ( x,0) dan →0 (−1) → 0 untuk x → ∞ ∂x 2 m ∂x n

dan semua nilai n, m = 1.2.3... sehingga PPPD adalah

E11m ( x, t ) =

1 Exp(−(−k − f 2 + l + d + b − µσ + µ + n)t ) E (x,0). 2

Dengan demikian PUPD berbentuk

E11m ( x, t ) =

2

π

Exp(−(−k − f 2 + µσ + l + d + b + µ + n)t ) E11m ( x,0).+

1 Exp(−(−k − f 2 + l + d + b − µσ + µ + n)t ) E (x,0). 2

126 Disertasi


HARIYANTO


Pada penyelesaian selanjutnya, perhatikan persamaan differensial berikut ini

∂I 21m ∂ 2 I 21m = D21I + pI 21m + h2 I 21m − 2w2 I 21m − dI 21m − bI 21m − uI 21m ∂t ∂x 2 dilakukan transformasi cosinus Fourier diperoleh persamaan berbentuk

dI 21m 2 dI 21m (0, t ) = D21I {(−ik ) 2 I 21m (k ) − + pI 21m (k ) + h2 I 21m (k ) − 2w2 I 21m (k ) − π dt dx dI 21m (k ) − bI 21m (k ) − uI 21m (k ) dI 21m = − D21I k 2 I 21m (k ) + pI 21m (k ) + h2 I 21m (k ) − 2 w2 I 21m (k ) − dI 21m (k ) − dt bI 21m (k ) − uI 21m (k ) atau

dI 21m = −( D21I k 2 − p − h2 + 2 w2 + d + b + u ) I 21m (k ), dt penyelesaian dari persamaan tersebut adalah

I 21m (k , t ) = Exp (−( D21I k 2 − p − h2 + 2w2 + d + b + u )t ) I 21m (k ,0) . atau

I 21m (k , t ) = Exp(−(− p − h2 + 2w2 + d + b + u)t ) I 21m (k ,0) Exp(− D21I k 2 t}dan dengan menggunakan invers transformasi Fourier I 21m ( x, t ) =

2

π

∫I

21m

(k , t ) cos( kx )dk dapat

Ω

diperoleh

I 21m ( x, t ) =

2

π

Exp(−(− p − h2 + 2w2 + d + b + u)t ) { ∫ I 21m (k ,0) cos( kx )dk + Ω

1 d n Exp(− D21I k 2 t ) (0) ∫ k n I 21m (k ,0) cos( kx )dk ) ∑ n dk n =1 n! Ω ∞

atau

I 21m ( x, t ) =

2

π

Exp(−(− p − h2 + 2w2 + d + b + u)t ) { I 21m ( x,0) +

n 1 d n Exp(− D21I k 2 t ) n ∂ I 21m ( x,0) ). (0) (−1) ∑ ∂x n dk n n =1 n!

∞

127 Disertasi


HARIYANTO


Populasi terinfeksi merupakan rumpun eksponensial sehingga untuk x → ∞ dan semua

n = 1,2,3...dapat diperoleh I 21m ( x, t ) =

2

π

∂ n I 21m ( x,0) → 0 sehingga PUPD adalah ∂x n

Exp(−(− p − h2 + 2w2 + d + b + u)t ) I 21m ( x,0).

Untuk penyelesaian persamaan differensial lainnya pada konstruksi model koalisi tahapan kedua dapat dilakukan dengan cara yang sama sehingga diperoleh penyelesaian berbentuk

S1m ( x, t ) = 2

π

2

Exp(−(2µ + (r + f1 ) + (m + h1 ) + d − b − o − q1 − q2 − w)t ) S1m ( x,0) +

π

Exp(−((r + f1 ) + (m + h1 ) + d − b − o − q1 − q2 − w)) S m (x,0)

E11m ( x, t ) =

2

π

Exp(−(−(k + f 2 ) + l + d + b + µσ + µ + n)t ) E11m ( x,0) +

1 Exp(−(−(k + f 2 ) + l + d + b − µσ + µ + n)t ) Em (x,0) 2

I11m ( x, t ) = I 21m ( x, t ) =

2

S 21U ( x, t ) = I 21U ( x, t ) =

Exp(−(−a + d + b + v)t ) I 11m ( x,0)

π 2

Exp(−(b + d + u + 2w2 − p − h2 )t ) I 21m ( x,0)

π 2

I co −inf ( x, t ) =

π 2

π 2

π

5.57

Exp(−(−2w1 + d + b + c)t ) I co−inf ( x,0)

Exp(−(m3 + d + 2µ − b)t ) S 21U ( x,0) +

2

π

Exp(−(m3 + d − b)t ) SU (x,0)

Exp(−(d + b − p)t ) I 21U ( x,0)

Berdasarkan pada penyelesaian konstruksi model koalisi tahapan kedua pada pembahasan berikut akan ditunjukkan bahwa model mempunyai penyelesaian tunggal dan bersifat dinamis.

128 Disertasi


HARIYANTO


5.3.1

Well – Posedness dari konstruksi model matematika koalisi Tahapan Kedua Bentuk pengembangan pada konstruksi model koalisi tahapan kedua sebagai

rangkaian proses koalisi adalah transmisi virus influenza melalui kontak dan interaksi dan transmisi silang sehingga terdapat subpopulasi baru co-infeksi, langkah-langkah untuk menunjukkan bahwa konstruksi model adalah well-posed sama seperti yang dilakukan pada konstruksi model koalisi tahap pertama. Misalkan densitas populasi dari konstruksi model koalisi tahapan kedua bernilai positif yang dapat dinyatakan sebagai berikut: untuk setiap x, y ∈ Ω1 pada lokasi 1

S1m ( x, t ), E11m ( x, t ), I11m ( x, t ), I 21m ( x, t ), I co inf ( x, t ) > 0 , S 21U ( x, t ), I 21U ( x, t ) > 0 dengan diffusi global

∫ S m K ( x − y)dy − S m ∫ K ( y − x)dx > 0 dan ∫ E 2

1

Ω2

12

Ω1

Ω2

m K ( x − y )dy − E11m ∫ K ( y − x)dx > 0 Ω1

untuk setiap x, y ∈ Ω2 pada lokasi 2

S 2 m ( x, t ), E12m ( x, t ), I12m ( x, t ), I 22m ( x, t ), I co inf ( x, t ) > 0 S 22U ( x, t ), I 22U ( x, t ) > 0 dengan diffusi global

∫ S m K ( y − x)dx − S m ∫ K ( x − y)dy > 0 1

2

Ω1

Ω2

dan

∫E

m K ( y − x)dx − E12m ∫ K ( x − y )dy > 0,

11

Ω1

5.58

Ω2

untuk menunjukkan bahwa konstruksi model adalah well-posed akan dibahas berikut ini

Eksistensi dan ketunggalan penyelesaian Untuk menunjukkan eksistensi dan ketunggalan penyelesaian dari model digunakan definisi yang menyatakan bahwa setiap penyelesaian dari model sistem dapat dinyatakan dalam Norm matriks dan bergantung pada konstante Lipschitz k (t ) untuk setiap t ∈ R.

129 Disertasi


HARIYANTO


Dengan demikian sebagai langkah awal adalah melakukan reduksi terhadap model sistem dalam bentuk total populasi maupun perubahan-perubahan genetik yang terjadi pada setiap individual populasi. Misalkan persamaan densitas subpopulasi susceptible 5.21 pada lokasi 1 dapat dinyatakan dalam bentuk

S1m (t ) =

∫S

1m

( x, t )dx

Ω1 dan

dS 1m (t ) ∂S ( x, t ) dx = ∫ 1m dt t ∂ Ω1 maka diperoleh konstruksi model matematika dalam sistem persamaan differensial biasa berbentuk

dX = f ( X (t ), t ). dt Misalkan Himpunan subpopulasi pada lokasi 1

X 1 = {S1m > 0, E11m > 0, I 11m > 0, I 21m > 0, S 21U > 0, I co inf 1 > 0, I 21U > 0 S1m + E11m + I11m + I 21m + I co inf 1 = N1 , S 21U + I 21U = M 1}

5.59

dan himpunan subpopulasi pada lokasi 2

X 2 = {S 2 m > 0, E12m > 0, I12m > 0, I coin 2 > 0, I 22m > 0, S 22U > 0, I 22U > 0 S 2 m + E12m + I 12m + I 22m + I co inf 2 = N 2 , S 22U + I 22U = M 2 },

5.60

jika dibangun himpunan baru yang terdiri dari semua subpopulasi pada X 1 dan X 2 yaitu himpunan subpopulasi X pada lokasi 1 dan 2 maka dapat didefinisikan bahwa

X = X1 ∪ X 2 atau

X = {S m > 0, E m1 > 0, I m1 > 0, I m 2 > 0, I coif , SU > 0, I U > 0 S1m , S 2 m ∈ S m , E11m , E12 m ∈ E m1 , I 11m , I 12 m ∈ I m1 , I 21m , I 22 m ∈ I m 2

5.61

I co inf 1 , I co inf 2 ∈ I co inf , S 21U , S 22U ∈ SU , I 21U , I 22U ∈ I U }. Misalkan terdapat vektor

S1m = ( S11m , S12m ) , S 2 m = ( S 21m , S 22m ) , E11m = ( E111 m , E112 m ) , E12 m = ( E121 m , E122 m ) ,

130 Disertasi


HARIYANTO


1 2 1 2 I 11m = ( I 111 m , I 112 m ) , I 12 m = ( I 121 m , I 122 m ) , I 21m = ( I 21 m , I 21m ) , I 21U = ( I 21U , I 21U ) , 1 2 I co inf 1 = ( I co1 inf 1 , I co2 inf 1 ), I co inf 2 = ( I co1 inf 2 , I co2 inf 2 ), I 22U = ( I 22 U , I 22U ) dan 1 2 I 22 m = ( I 22 m , I 22 m )

5.62

maka akan terdapat f ( X 1 (t ), t ) dan f ( X 2 (t ), t ) dengan 1 1 1 1 1 1 1 1 X 1 = {S11m , S 21m , E111 m , E121 m , I 111 m , I 121 m , I 21 m , I co inf 1 , I co inf 2 , I 22 m , S 21U , S 22U , I 21U , I 22U }

dan

X 2 = {S12m , S 22m , E112 m , E122 m , I 112 m , I 122 m , I 212 m , I 222 m , I co2 inf 1 , I co2 inf 2 S 212 U , S 222 U , I 212 U , I 222 U }. Untuk menunjukkan bahwa model sistem mempunyai penyelesaian global dan tunggal digunakan asumsi Desour yaitu 1. T ⊂ R + memuat titik-titik berhingga persatuan interval 2. untuk setiap X ∈ R n , f ( X , t ) kontnu pada t ∉ T 3. untuk setiap t i ∈ T , f ( X , t ) mempunyai limit kiri dan kanan pada t = t i 4.


f ( X 1 (t ), t ) − f ( X 2 (t ), t ) < k (t ) X 1 − X 2 untuk semua t ∈ R + dan semua titik X 1, X 2 ∈ Rn

5.63

Misalkan terdapat interval [ai , bi ] dengan titik kesetimbangan endemik Y ∈ R n dan untuk sebarang t = t1 ∉ T maka f (Y , t1 ) ada untuk t = t1 sehingga

Lim f (Y , t ) = f (Y , t1 ) t→t1

berarti terdapat interval yang memuat titik berhingga dan untuk langkah berikutnya akan di cari konstante Lipschitz k (t ) yang memenuhi

f ( X 1 (t ), t ) − f ( X 2 (t ), t ) < k (t ) X 1 − X 2 ,

131 Disertasi


HARIYANTO


perhatikan

a11 a 21 a 31 , a 41

f ( X 1 (t ), t ) − f ( X 2 (t ), t ) =

a 51 a 61 jika elemen-elemen pada norm dapat dinyatakan ai1 = bi1 + ci1 , i = 1.2...6 maka

a11 a 21 a 31

f ( X 1 (t ), t ) − f ( X 2 (t ), t ) =

a 41 a 51 a 61

= bi1 + ci1

atau n

f ( X (t ), t ) − f ( X (t ), t ) ≤ bi1 + ci1 dengan ai1 = maks ∑ aij sebagai 1

2

i

j =1

Norm matriks yang didefinisikan sebagai maksimum dari konstante Lipschitz n

k (t ) sedemikian hingga memenuhi ai1 = maks ∑ aij ≤ k (t ) X , k (t ) ditentukan i

j =1

berdasarkan nilai maksimum dari koefisien-koefisien aij sehingga pada konstruksi model tahapan kedua menjadi

f ( X 1 (t ), t ) − f ( X 2 (t ), t ) ≤ k 2 (t ) ( I

S11m − S12m

S 21m − S 22m

1 2 E11 m − E11m

1 2 E12 m − E12 m

1 2 I 11 m − I 11m 1 2 I 21 m − I 21m

1 2 I 12 m − I 12 m 1 2 I 22 m − I 22 m

1 coin1 f 1 21U 1 21U

−I

2 co inf 1 2 21U 2 21U

S

−S

I

−I

+

I

1 co inf 2 1 22U 1 22U

−I

)

5.64

2 co inf 2 2 22U 2 22U

S

−S

I

−I

132 Disertasi


HARIYANTO


dengan

k 2 (t ) = Maks ( b + o + q1 + q2 + w − r − m − h1 − f1 − d , k + f 2 + µσ − l − d − b − µ − n , a − d − b − v , p + h2 − 2w2 − d − b − u , . 2w1 − d − b − c , b − d − m3 , p1 − d − b ) atau

k 2 (t ) = ( (b + o + q1 + q2 + w) maks − (r + m + h1 + f1 + d ) min , ( k + f 2 + µσ ) maks − (l + d + b + µ + n) min , amaks − (d + b + v) min , ( p + h2 ) maks − (2w2 + d + b + u) min , . (2w1 ) maks − (d + b + c) min , bmaks − (d + m3 ) , ( p1 ) maks − (d + b ) min ).

5.65

Konstruksi model tahapan kedua merupakan submodel dari model sistem koalisi, oleh karena itu terdapat interface antara submodel 1 dan submodel 2 yaitu pada I 11m dan

I 21U yang berlaku sebagai input eksternal pada submodel 2. Konstante Lipschitz pada tahapan kedua dikonstruksi berdasarkan pada parameter

amaks − (d + b + v) min sebagai rate perubahan atau transisi dari I 11m yang berasal dari individual populasi ekspose setelah mengalami transisi a maks E11m pada akhir masa ekspose, parameter ( p + h2 ) maks − (2w2 + d + b + u) min sebagai rate perubahan atau transisi dari

pI 21m setelah terjadi kontak maupun interaksi dengan individual susceptible, parameter

( p1 ) maks − (d + b) min sebagai rate perubahan atau transisi dari I 21U dan parameter (2w1 ) maks − (d + b + c) min sebagai rate perubahan atau transisi I 21m setelah terjadi kontak dengan I 11m , dengan demikian konstante Lipschitz dapat dinyatakan

k 2 (t ) ≈ a maks + ( p + h2 ) maks + ( p1 ) maks + (2w1 ) maks

5.66

untuk d → 0 dan b rate kelahiran yang diasumsiskan sebagai bagian dari populasi susceptible. Untuk menunjukkan bahwa k 2 (t ) adalah fungsi kontinu sebagian demi sebagian untuk semua t ∈ R + dan untuk semua X 1 , X 2 ∈ R n dapat dilakukan dengan cara yang sama

133 Disertasi


HARIYANTO


seperti pada submodel 1 yaitu dengan memperhatikan perubahan atau transisi yang terjadi pada subpopulasi antara lain 1. Transmisi virus influenza H5N1 dengan perubahan atau transisi ( p + h2 ) S1m sebagai akibat kontak dan interaksi individual dalam bentuk ( β ∗ + e2 ) S11m I 21U dengan rate perubahan atau transisi yang berlaku selama masa terinfeksi, sedangkan pada akhir masa terinfeksi terdapat ( p + h2 ) I 21m yang bergantung pada saat tanda-tanda terinfeksi muncul. 2. Terdapat rate perubahan atau transisi dari individual akspose E11m sebesar a maks −

(d + b + v) min sehingga selama periode ekspose berlaku a maks E11m dan pada akhir masa ekspose atau berada pada masa infeksi terdapat a maks I 11m artinya pada saat terjadinya tanda-tanda terinfeksi rate perubahan tidak berlaku pada individual ekspose atau sebaliknya. 3. Transmisi virus influenza H1N1-p dapat pula terjadi pada individual terinfeksi H5N1 dengan rate perubahan atau transisi sebesar (2w1 ) maks − (d + b + c) min sehingga terdapat individual co-infeksi I co inf dengan rate perubahan atau transisi (2w1 ) maks hanya berlaku selama masa terinfeksi. Berdasarkan pada analisa tersebut diatas menunjukkan eksistensi dan ketunggalan global pada konstruksi model sistem koalisi tahapan kedua, pada pembahasan berikut akan ditunjukkan bahwa sistem adalah dinamis.

Konstruksi model matematika koalisi tahapan kedua merupakan sistem dinamis Konstruksi model matematika koalisi tahapan kedua merupakan rangkaian dari proses koalisi pada penyebaran virus influenza H5N1 unggas dan H1N1-p, pada konstruksi model koalisi tahapan kedua, transmisi kedua virus dikembangkan melalui kontak dan interaksi antara individual susceptible dengan individual terinfeksi dan juga transmisi silang antara individual terinfeksi oleh virus influenza yang berbeda. Misalkan X ruang metric dengan metric d dan himpunan fungsi kontinu

C1 (Ω, R) = ( I 11m ( x, t ), I 21m ( x, t ), I co inf ( x, t ), I 21U ( x, t ) ) ⊂ X , φi ( x, t ) ∈ C1 (Ω, R)

134 Disertasi


HARIYANTO


dan aliran kontinu

π (φi ( x, t ),0) = {I11m ( x, t ), I 21m ( x, t ), I co inf ( x, t ), I 21U ( x, t )} sebagai aliran kontinu jika memenuhi

π (π (φ ( x, t ), s), t ) = π (φ ( x, t ), t + s) = π ( I11m ( x, t ), t1 + t 2 ), misalkan himpunan fungsi kontinu

C2 (Ω, R) = (S11m ( x, t ), E11m ( x, t ), S 21U ( x, t )) ⊂ X dan

C3 (Ω, R) = ( S12m ( x, t ), E12m ( x, t ), S 22U ( x, t )) ⊂ X dan misalkan himpunan populasi global

C (Ω, R) = C2 (Ω, R) ∪ C3 (Ω, R) = (S m ( x, t ), Em ( x, t ), SU ( x, t )) maka aliran kontinu

π (φi ( x, t ),0) = {S m ( x, t ), Em ( x, t ), SU ( x, t )}untuk φi ( x, t ) ∈ C (Ω, R) sebagai aliran kontinu jika π memenuhi

π (π (φ ( x, t ), s}, t ) = π (φ ( x, t ), t + s)= π (S m ( x, t ), t1 + t 2 ). Perhatikan bentuk penyelesaian

E m ( x, t ) = {

2

π

Exp(−(−(k + f 2 ) + l + d + b + µσ + µ + n)t ) +

1 Exp(−(−(k + f 2 ) + l + d + b − µσ + µ + n)t ) } Em (x,0) 2

yang bergerak

dari lokasi 1 ke lokasi 2

pada selang waktu

π ( Em ( x, t ),0) = Em ( x, t ) merupakan penyelesaian konstruksi model

t1 ≤ t ≤ s, jika maka Em ( x, t )

merupakan aliran kontinu global jika memenuhi π (π ( Em ( x, t ), t1 ), s) = π ( Em ( x, t ), t1 + s). Oleh karena Em ( x, t ) bergerak pada interval 0 ≤ t ≤ t1 + s maka dapat diperoleh

Em ( x, t1 + s) = {

2

π

Exp(−(−(k + f 2 ) + l + d + b + µσ + µ + n)t1 ) +

1 2 Exp(−(−(k + f 2 ) + l + d + b − µσ + µ + n)t1}) { 2 π

Exp(−(−(k + f 2 ) + l + d + b + µσ + µ + n)s) +

135 Disertasi


HARIYANTO


1 Exp(−(−(k + f 2 ) + l + d + b − µσ + µ + n)s) } Em (x,0), 2

misalkan pada (t1 + s) merupakan batas masa ekspose sehingga fungsi

{

2

π

Exp(−(−(k + f 2 ) + l + d + b + µσ + µ + n)s) +

1 Exp(−(−(k + f 2 ) + l + d + b − µσ + µ + n)s)) 2

monoton turun dan diperoleh

Em ( x, t1 + s) = {

2

π

Exp(−(−(k + f 2 ) + l + d + b + µσ + µ + n)s) +

1 2

Exp(−(−(k + f 2 ) + l + d + b − µσ + µ + n)s) } Em ( x, t1 ) < Em ( x, t1 ) atau π ( Em ( x, t ), t1 + s).= π (π ( Em ( x, t ), t1 ), s). Misalkan Em ( x, t ) bergerak pada interval 0 ≤ t1 + s ≤ t atau 0 ≤ t1 ≤ t − s sebelum t sehingga

Em ( x, t − s) = {

2

π

Exp(−(−(k + f 2 ) + l + d + b + µσ + µ + n)t ) +

Exp(−(−(k + f 2 ) + l + d + b − µσ + µ + n)t ) } {

1 2

2

π

Exp((−(k + f 2 ) + l + d + b + µσ + µ + n)s) + 1 Exp((−(k + f 2 ) + l + d + b − µσ + µ + n)s) } Em (x,0), 2

oleh karena Em ( x, t ) bergerak sebelum batas masa ekspose maka akan terjadi peningkatan penyebaran virus influenza H1N1-p atau fungsi {

2

π

Exp((−(k + f 2 ) + l + d + b + µσ + µ + n)s) +

1 2

Exp((−(k + f 2 ) + l + d + b − µσ + µ + n)s)) monoton naik sehingga Em ( x, t − s) = {

2

π

Exp((−(k + f 2 ) + l + d + b + µσ + µ + n)s) +

1 2

Exp((−(k + f 2 ) + l + d + b − µσ + µ + n)s) } Em ( x, t ) > E m ( x, s)

136 Disertasi


HARIYANTO


atau

Em ( x, t − s) = {

2

Exp((−(k + f 2 ) + l + d + b + µσ + µ + n)s) +

π

1 2

Exp((−(k + f 2 ) + l + d + b − µσ + µ + n)s) } Em ( x, t ) = π (π ( Em ( x, t1 ), t ), s). sehingga diperoleh

π (π ( Em ( x, t1 ), t ), s). = π ( Em ( x, t1 ), t − s). atau

π (π ( Em ( x, t ), t1 ), s). = π ( Em ( x, t ), t1 + s). Dengan demikian dapat ditunjukkan bahwa individual subpopulasi susceptible merupakan aliran kontinu global dan dapat ditunjukkan pula untuk individual subpopulasi susceptible sebagai aliran kontinu global. Perhatikan bentuk penyelesaian dari subpopulasi co-infeksi

2


π

Exp(−(−2w1 + d + b + c)t ) I co−inf ( x,0) ∈ C1 (Ω, R)

atau

π ( I co−inf ( x, t ),0) = I co−inf ( x, t ), misalkan individual subpopulasi I co−inf ( x, t ) bergerak terbatas pada lokasi 1 pada selang waktu t1 ≤ t ≤ t 2 atau dapat dikatakan bahwa I co−inf ( x, t ) bergerak pada interval waktu

0 ≤ t ≤ t1 + t 2 sehingga diperoleh I co −inf ( x, t1 + t 2 ) =

2

π

Exp(−(−2w1 + d + b + c)t 2 ) Exp(−(−2w1 + d + b + c)t1 ) I co−inf ( x,0),

misalkan (t1 + t 2 ) batas akhir dari masa infeksi sehingga pada interval t1 ≤ t ≤ t 2 terjadi penurunan penyebaran virus influenza H1N1-p pada individual subpopulasi terinfeksi H5N1 dan diperoleh fungsi Exp(−(−2w1 + d + b + c)t 2 ) monoton turun, dengan demikian dapat diperoleh

I co −inf ( x, t1 + t 2 ) =

2

π

Exp(−(−2w1 + d + b + c)t 2 ) I co−inf ( x, t1 ) < I co−inf ( x, t1 )

137 Disertasi


HARIYANTO


atau

2

I co −inf ( x, t1 + t 2 ) =

π

Exp(−(−2w1 + d + b + c)t 2 ) I co−inf ( x, t1 ) = π {π ( I co−inf ( x, t ), t1 ), t 2 }

π (π ( I co−inf ( x, t ), t1 ), t 2 ) = π ( I co −inf ( x, t1 ), t 2 + t 2 ) untuk 0 ≤ t ≤ t1 + t 2 . Misalkan subpopulasi I co−inf ( x, t ) bergerak pada interval 0 ≤ t1 + t 2 ≤ t atau 0 ≤ t1 ≤ t − t 2 dengan (t1 + t 2 ) berada pada masa infeksi sehingga fungsi Exp(−(−2w1 + d + b + c)t 2 ) monoton naik dan diperoleh

2

I co −inf ( x, t − t 2 ) =

π

Exp(−2w1 + d + b + c)t 2 ) I co−inf ( x, t ) > I co−inf ( x, t1 )

atau

2

I co −inf ( x, t − t 2 ) =

Exp(−2w1 + d + b + c)t 2 ) I co−inf ( x, t ) = π (π ( I co−inf ( x, t1 ), t ), t 2 )

π

π (π ( I co−inf ( x, t1 ), t ), t 2 ) = π ( I co −inf ( x, t1 ), t − t 2 ) atau

dapat dinyatakan

π (π ( I co−inf ( x, t1 ), t ), t 2 ) = π ( I co −inf ( x, t ), t1 + t 2 ). Dengan demikian dapat ditunjukkan bahwa individual populasi co-infeksi merupakan aliran kontinu lokal. Transmisi penyebaran virus influenza H1N1-p dan H5N1 digunakan sebagai pedoman untuk menunjukkan bahwa individual subpopulasi pada konstruksi model tahapan kedua sebagai aliran kontinu. Pada analisa tersebut diatas telah ditunjukkan bahwa konstruksi model matematika koalisi tahapan kedua adalah well-posed, rangkaian analisa kualitatif terhadap konstruksi model berikutnya adalah analisa densitas populasi. Pada analisa ini akan dibahas eksistensi penyelesaian positif dari model.

5.3.2. Analisa terhadap densitas populasi. Penyelesaian

positif

pada

konstruksi

model

tahapan

pertama

berlaku

Lim S ( x, t ) = 0 atau Lim I11m ( x, t ) = ( I11m ( x, t )) maks , oleh karena I11m ( x, t ) merupakan t →∞ 1m t →∞ interface dengan konstruksi model tahapan kedua maka transmisi virus influenza H1N1-p

138 Disertasi


HARIYANTO


melalui kontak dan interaksi mengabatkan Lim E11m ( x, t ) = ( E11m ( x, t ))maks , demikian pula

t →∞

transmisi silang yang terjadi antara I11m ( x, t ) dan I 21m ( x, t ) dengan virus influenza H1N1-p lebih dominan sehingga diperoleh I co−inf ( x, t ) monoton naik atau I11m ( x, t ) monoton turun. Jika konstruksi model mempunyai penyelesaian positif maka perubahan dari total populasi pada masing-masing lokasi juga mempunyai nilai positif, perhatikan total populasi 5.26 pada lokasi 1 berikut ini.

N1m (t ) = S1m (t ) + E11m (t ) + I11m (t ) + I 21m (t ) + I co −inf (t ) atau

N1m (t ) =

∫ (S

1m

( x, t ) + E11m ( x, t ) + I11m ( x, t ) + I 21m ( x, t ) + I co −inf ( x, t ))dx, 5.67

Ω1

∂S ( x, t ) ∂E11m ( x, t ) ∂I 11m ( x, t ) ∂I 21m ( x, t ) ∂I c 0−inf ( x, t ) dN 1m (t ) = ∫ ( 1m + + + + )dx ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ dt t t t t t Ω1 ∂ 2 E11m ( x, t ) ∂ 2 I 11m ( x, t ) ∂ 2 I 21m ( x, t ) ∂ 2 S1m ( x, t ) dN 1m (t ) + + + + D D D = ∫ ( DS E I I 2 2 2 2 dt ∂ ∂ ∂ x x x x ∂ Ω1

∂ 2 I c 0−inf ( x, t ) DI + b( S1m ( x, t ) − E11m ( x, t ) − I11m ( x, t ) − I 21m ( x, t ) − I co −inf ( x, t )) − ∂x 2

d (S1m ( x, t ) + E11m ( x, t ) + I11m ( x, t ) + I 21m ( x, t ) + I co −inf ( x, t )) +

∫ (S

2m

Ω2

( x, t ) + E12m ( x, t ))K ( x − y)dx − ( S1m ( x, t ) + E11m ( x, t )) ∫ K ( y − x)dx.)dx; Ω1

Misalkan individual subpopulasi bergerak

pada Ω1 = [0, L] dengan kondisi batas

Newmann

∂S1m ( x, t ) ∂x

x =0

∂I co −inf ( x, t ) ∂x

= 0,

x =0

∂E11m ( x, t ) ∂x

x =0

= 0,

∂I 11m ( x, t ) ∂x

x =0

= 0,

∂I 21m ( x, t ) ∂x

x =0

= 0,

= 0 sehingga diperoleh

dN 1m (t ) = ∫ b( S1m ( x, t ) − E11m ( x, t ) − I 11m ( x, t ) − I 21m ( x, t ) − I co −inf ( x, t )) − dt Ω1


5.68

139 Disertasi


HARIYANTO


∫ (S

2m

Ω2

( x, t ) + E12m ( x, t ))K ( x − y)dx − ( S1m ( x, t ) + E11m ( x, t )) ∫ K ( y − x)dx.)dx, Ω1

dN 1m ( x, t ) = k untuk k ∈ R + maka dt

misalkan

∫ b(S1m ( x, t ) − E11m ( x, t ) − I11m ( x, t ) − I 21m ( x, t ) − I co−inf ( x, t )) − Ω1 d (S1m ( x, t ) + E11m ( x, t ) + I11m ( x, t ) + I 21m ( x, t ) + I co −inf ( x, t )) +

∫ (S

2m

Ω2

( x, t ) + E12m ( x, t ))K ( x − y)dx − (S1m ( x, t ) + E11m ( x, t )) ∫ K ( y − x)dx.)dx > 0 Ω1

untuk

b(S1m ( x, t ) − E11m ( x, t ) − I11m ( x, t ) − I 21m ( x, t ) − I co −inf ( x, t )) − d (S1m ( x, t ) + E11m ( x, t ) + I11m ( x, t ) + I 21m ( x, t ) + I co −inf ( x, t )) +

∫ (S

2m

Ω2

( x, t ) + E12m ( x, t ))K ( x − y)dx − (S1m ( x, t ) + E11m ( x, t )) ∫ K ( y − x)dx. > 0, Ω1

misalkan berlaku Lim E11m ( x, t ) = 0 sehingga pertidaksamaan diatas menjadi

t →∞

(b − d ) S1m ( x, t ) − (b + d )(I11m ( x, t ) + I 21m ( x, t ) + I co −inf ( x, t )) +

∫S

2m

Ω2

( x, t ) K ( x − y)dx − S1m ( x, t ) ∫ K ( y − x)dx. > 0 Ω1

dan akan terpenuhi untuk b > d , K ( x) > b + d dengan diffusi global

∫ S 2m ( x, t ) K ( x − y)dx − S1m ( x, t ) ∫ K ( y − x)dx. > 0, Ω2 Ω1 misalkan juga berlaku Lim I11m ( x, t ) = 0 sehingga diperoleh

t →∞

(b − d )S1m ( x, t ) − (b + d )(E11m ( x, t ) + I 21m ( x, t ) + I co −inf ( x, t )) +

∫ (S

2m

Ω2

( x, t ) + E12m ( x, t ))K ( x − y)dx − ( S1m ( x, t ) + E11m ( x, t )) ∫ K ( y − x)dx. > 0 dan Ω1

akan terpenuhi untuk b > d , K ( x) > b + d dengan diffusi global

∫ (S

Ω2

2m

( x, t ) + E12m ( x, t ))K ( x − y)dx − ( S1m ( x, t ) + E11m ( x, t )) ∫ K ( y − x)dx. > 0. Ω1

140 Disertasi


HARIYANTO


Jadi konstruksi model matematika koalisi tahapan kedua mempunyai penyelesaian positif dan berlaku Lim E11m ( x, t ) = 0 atau Lim I11m ( x, t ) = 0.

t →∞

t →∞

Demikian pula dapat ditunjukkan bahwa untuk Lim I11m ( x, t ) = 0. dan Lim I 21m ( x, t ) = 0

t →∞

t →∞

dari pertidaksamaan


∫ (S 2m ( x, t ) + E12m ( x, t ))K ( x − y)dx − (S1m ( x, t ) + E11m ( x, t )) ∫ K ( y − x)dx. > 0 Ω2 Ω1 diperoleh

(b − d )S1m ( x, t ) − (b + d )(E11m ( x, t ) + I co −inf ( x, t )) +

∫ (S

2m

Ω2

( x, t ) + E12m ( x, t ))K ( x − y)dx − ( S1m ( x, t ) + E11m ( x, t )) ∫ K ( y − x)dx. > 0 dan akan Ω1

terpenuhi untuk b > d , K ( x) > b + d dengan diffusi global

∫ (S

2m

Ω2

( x, t ) + E12m ( x, t ))K ( x − y)dx − (S1m ( x, t ) + E11m ( x, t )) ∫ K ( y − x)dx. > 0, Ω1

misalkan berlaku Lim I co −inf ( x, t ) = 0 sehingga pertidaksamaan

t →∞


∫ (S

2m

Ω2

( x, t ) + E12m ( x, t ))K ( x − y)dx − ( S1m ( x, t ) + E11m ( x, t )) ∫ K ( y − x)dx. > 0 Ω1

menjadi

(b − d )S1m ( x, t ) − (b + d ) E11m ( x, t ) + I11m ( x, t ) + I 21m ( x, t )) +

∫ (S

2m

Ω2

( x, t ) + E12m ( x, t ))K ( x − y)dx − ( S1m ( x, t ) + E11m ( x, t )) ∫ K ( y − x)dx. > 0 dan akan Ω1


∫ (S

Ω2

2m


141 Disertasi


HARIYANTO


Jadi konstruksi model matematika koalisi tahapan kedua mempunyai penyelesaian positif dan berlaku Lim I co −inf ( x, t ) = 0 atau Lim I11m ( x, t ) = Lim I 21m ( x, t ) = 0.

t →∞

t →∞

t →∞

Berdasarkan pada analisa densitas populasi tersebut dapat disusun Teorema sebagai berikut

Teorema 5.3. Jika konstruksi model matematika koalisi tahapan kedua mempunyai penyelesaian positif dan memenuhi teorema 5.1 maka berlaku 1.

Lim E ( x, t ) = 0 sehingga I11m ( x, t ) monoton naik. t →∞ 11m

2.

Lim S ( x, t ) = 0 dan terdapat I 21m ( x, t ) dan I11m ( x, t ) monoton naik sedemikian t →∞ 1m rupa sehinggá I co−inf ( x, t ) monoton naik.

Bukti. 1. Konstruksi model matematika koalisi tahapan kedua memenuhi Teorema 5.1 berarti invasi dari virus influenza H5N1 dan H1N1 menyebabkan terjadinya ketidakstabilan pada sistem sehingga I11m ( x, t ) monoton naik, pada analisa berikut ini akan ditunjukkan bahwa konstruksi model tahapan kedua mempunyai penyelesaian positif dan berlaku

Lim S ( x, t ) = 0 atau Lim I11m ( x, t ) = 0. t →∞ 1m t →∞ Perhatikan persamaan 5.68

dN 1m (t ) = ∫ b( S1m ( x, t ) − E11m ( x, t ) − I 11m ( x, t ) − I 21m ( x, t ) − I co −inf ( x, t )) − dt Ω1


∫ (S

2m

Ω2

misalkan

( x, t ) + E12m ( x, t ))K ( x − y)dx − ( S1m ( x, t ) + E11m ( x, t )) ∫ K ( y − x)dx.)dx, Ω1

dN 1m (t ) = k untuk k ∈ R + diperoleh dt

∫ b(S

1m

( x, t ) − E11m ( x, t ) − I11m ( x, t ) − I 21m ( x, t ) − I co −inf ( x, t )) −

Ω1


142 Disertasi


HARIYANTO


∫ (S

2m

Ω2

( x, t ) + E12m ( x, t ))K ( x − y)dx − (S1m ( x, t ) + E11m ( x, t )) ∫ K ( y − x)dx.)dx > 0 Ω1

untuk


∫ (S 2m ( x, t ) + E12m ( x, t ))K ( x − y)dx − (S1m ( x, t ) + E11m ( x, t )) ∫ K ( y − x)dx. > 0. Ω2 Ω1 Oleh karena I11m ( x, t ) monoton naik maka penyebaran virus influenza H1N1-p mengalami peningkatan yang berakibat S1m ( x, t ) = 0 untuk t → ∞, dengan demikian dapat diperoleh

− (b + d )(E11m ( x, t ) + I11m ( x, t ) + I 21m ( x, t ) + I co −inf ( x, t )) +

∫E

11m

Ω2

( x, t ) K ( x − y)dx − E11m ( x, t ) ∫ K ( y − x)dx. > 0 yang akan terpenuhi untuk Ω1

K ( x) > b + d dengan diffusi global

∫E

11m

Ω2 Pada kondisi

( x, t ) K ( x − y)dx − E11m ( x, t ) ∫ K ( y − x)dx. > 0. Ω1

setelah terjadi Lim I11m ( x, t ) = ( I11m ( x, t )) maks transmisi virus mengalami

t →∞

penurunan sehingga untuk t → ∞ berlaku S1m ( x, t ) monoton naik dan I 11m ( x, t ) = 0, diperoleh

(b − d )S1m ( x, t ) − (b + d )(E11m ( x, t ) − I 21m ( x, t ) − I co −inf ( x, t )) +

∫ (S

Ω2

2m

( x, t ) + E12m ( x, t ))K ( x − y)dx − ( S1m ( x, t ) + E11m ( x, t )) ∫ K ( y − x)dx. > 0.yang akan Ω1


∫ (S

Ω2

2m


Jadi penyelesaian positif dari konstruksi model koalisi tahapan kedua berlaku

Lim S ( x, t ) = 0 atau Lim E11m ( x, t ) = 0, dengan demikian jika Lim E11m ( x, t ) = 0 maka t →∞ 1m t →∞ t →∞ akan terjadi penyebaran virus influenza H1N1-p yang menyebabkan I11m ( x, t ) monoton naik.

143 Disertasi


HARIYANTO


2. Pada pembuktian berikutnya telah diketahui bahwa untuk Lim S1m ( x, t ) = 0 terjadi

t →∞

invasi virus influenza H5N1 dan H1N1 sehingga terjadi transmisi silang yang mengakibatkan munculnya subpopulasi co-infeksi I co−inf ( x, t ) dan I11m ( x, t ), I 21m ( x, t ) monoton naik, perhatikan penyelesaian konstruksi model 5.57 untuk co-infeksi berbentuk

I co−inf ( x, t ) =

2

π

Exp(−(−2w1 + d + b + o)t ) I co−inf ( x,0)

dengan bilangan reproduksi dasar

Ro−co inf =

Dco inf

2w1 2w1 atau d + b + o = − Dco inf R0co inf +d +b+o

− 2w1 + d + b + o = − 2w1 +

2w1 − Dco inf , oleh karena dilakukan isolasi R0co inf

terhadap subpopulasi I co−inf ( x, t ) maka untuk Dco inf → 0 diperoleh Ro −co inf monoton naik atau fungsi Exp(−(−2w1 + d + b + o)t ) monoton naik,dengan demikian dapat diperoleh bahwa untuk Lim S1m ( x, t ) = 0 akan terjadi I11m ( x, t ), I 21m ( x, t ) monoton naik sedemikian

t →∞

rupa sehingga I co−inf ( x, t ) monoton naik. Berdasarkan analisa terhadap densitas populasi diperoleh aturan biner terhadap penyebaran virus influenza H1N1-p dan H5N1 untuk t → ∞, hasil dari analisa tersebut digunakan untuk melakukan analisa persistensi terhadap virus influneza yang akan dibahas berikut ini

5.3.3. Analisa Persistensi terhadap virus influenza Berdasarkan Teorema 5.3, penyelesaian positif konstruksi model tahapan kedua berlaku Lim S1m ( x, t ) = 0 yang bermakna bahwa transmisi virus influenza H5N1 dan

t →∞

H1N1-p mengalami peningkatan sedemikian rupa sehingga Lim I11m ( x, t ) = ( I11m ( x, t )) maks

t →∞

dan Lim I 21m ( x, t ) = ( I 21m ( x, t )) maks , dengan demikian transmisi virus influenza H5N1 dan

t →∞

H1N1-p persisten terhadap sistem. Jika reproduksi dasar R01 > 1dari virus influenza H1N1p lebih dominan dalam mentransmisi pada manusia maka kontak antara I11m ( x, t ) dan

144 Disertasi


HARIYANTO


I 21m ( x, t ) menghasilkan individual subpopulasi baru terinfeksi I co−inf ( x, t ), jika I 21m ( x, t ) monoton turun setelah mencapai maksimum maka transmisi kedua virus persisten terhadap sistem tetapi lemah. Berdasarkan pada penjelasan tersebut persistensi dari transmisi virus influenza H5N1 dan H1N1-p diformulasikan pada Teorema berikut ini

Teorema 5. 4. 1. Jika bilangan reproduksi dasar untuk virus influenza H1N1-p R01 > 1 maka virus influenza H1N1-p strongly uniformly persistence. 2. jika bilangan reproduksi dasar virus influenza H5N1 pada R02 > 1 maka virus influenza H5N1 strongly uniformly persistence. 3. jika bilangan reproduksi dasar virus influenza H1N1-p R01 > 1 dan bilangan reproduksi dasar virus influenza H5N1 R02 < 1 maka virus influenza H1N1-p dan H5N1 weakly uniformly persistence. Bukti. Pada pembuktian (1 ), perhatikan penyelesaian konstruksi model tahapan kedua pada 5.57 untuk densitas subpopulasi susceptible S1m ( x, t ) dan terinfeksi I11m ( x, t ) berbentuk

2

S1m ( x, t ) =

Exp{−(2µ + (r + f1 ) + (m + h1 ) + d − b − o − q1 − q2 − w)t} S1m ( x,0) +

π

2

π I11m ( x, t ) =

2

π

Exp{−((r + f1 ) + (m + h1 ) + d − b − o − q1 − q2 − w)} S m (x,0) Exp{−(−a + d + b + v)t} I 11m ( x,0)

dengan kondisi awal S m (x,0) dan I 11m ( x,0) dari densitas subpopulasi susceptible pada lokasi 1 dan lokasi 2 dan densitas subpopulasi terinfeksi virus influenza H1N1-p lokasi 1, transmisi virus influenza H1N1-p di lokasi 1 dapat dinyatakan sebagai metric

d (S1m ( x, t ), I11m ( x, t )) = ∫ S1m ( x, t ) − I 11m ( x, t ) dx Ω

145 Disertasi


HARIYANTO


dengan

S11m ( x, t ) − I11m ( x, t ) = 2

π 2

π

E xp{−(2µ + (r + f1 ) + (m + h1 ) + d − b − o − q1 − q2 − w)t} S1m ( x,0) +

Exp{−((r + f1 ) + (m + h1 ) + d − b − o − q1 − q2 − w)} S m (x,0) − Exp{−(−a + d + b + v)t ) I11m ( x,0) ,

untuk S1m ( x, t ) ≥ I11m ( x, t ) dapat diperoleh d (S1m ( x, t ), I11m ( x, t )) =

2

π 2

π

∫ ( Exp{−(2µ + (r + f ) + (m + h ) + d − b − o − q 1

1

1

− q 2 − w)t} S1m ( x,0) +

Ω

Exp{−((r + f1 ) + (m + h1 ) + d − b − o − q1 − q2 − w)} S m (x,0) −

Exp{−(−a + d + b + v)t ) I11m ( x,0))dx atau

d (S1m ( x, t ), I11m ( x, t )) = 2

π 2

π

(Exp{−(2µ + (r + f1 ) + (m + h1 ) + d − b − o − q1 − q2 − w)t} S1m (0) + Exp{−((r + f1 ) + (m + h1 ) + d − b − o − q1 − q2 − w)} S m (0) −

Exp{−(−a + d + b + v)t ) I 11m (0)). Transmisi virus influenza H1N1-p pada konstruksi model tahapan kedua diasumsikan mempunyai rate transmisi interaksi > rate kontak, pengamatan terhadap invasi virus dilakukan setelah periode ekspose dengan R01 > 1 sehingga penyelesaian positif dari konstruksi model berlaku Lim S1m = 0 artinya terdapat fungsi Exp{−(−a + d + b + v)t )

t →∞

monoton naik dan fungsi Exp{−(2µ + (r + f1 ) + (m + h1 ) + d − b − o − q1 − q2 − w)t},

Exp{−((r + f1 ) + (m + h1 ) + d − b − o − q1 − q2 − w)}monoton turun untuk t → ∞. yang berakibat fungsi densitas subpopulasi terinfeksi H1N1-p monoton naik. Dengan demikian

146 Disertasi


HARIYANTO


transmisi antara individual subpopulasi S11m ( x, t ) dengan individual subpopulasi terinfeksi

I11m ( x, t ) terjadi pada daerah persekitaran dengan jarak minimum yang dapat dinyatakan dengan

Lim Inf (d (S11m ( x, t ), I11m ( x, t )).)= t →∞ 2

Lim Inf ( Exp{−(2µ + (r + f1 ) + (m + h1 ) + d − b − o − q1 − q2 − w)t} S1m (0) + π t →∞ 2

π

Exp{−((r + f1 ) + (m + h1 ) + d − b − o − q1 − q2 − w)} S m (0) −

Exp{−(−a + d + b + v)t ) I 11m (0)) atau

Lim Inf (d (S11m ( x, t ), I11m ( x, t )).)= − N1 I11m (0) t →∞ dengan N1 sebagai nilai maksimum dari Exp{−(−a + d + b + v)t ) maks untuk t → ∞. Untuk S1m ( x, t ) < I11m ( x, t ) dapat diperoleh

2

d (S1m ( x, t ), I11m ( x, t )) =

π

∫ ( Exp{−(−a + d + b + v)t ) I

11m

( x,0) −

Ω

Exp{−(2µ + (r + f1 ) + (m + h1 ) + d − b − o − q1 − q2 − w)t} S1m ( x,0) 2

π

Exp{−((r + f1 ) + (m + h1 ) + d − b − o − q1 − q2 − w)} S m ( x,0))dx

atau

d (S1m ( x, t ), I11m ( x, t )) =

2

π

( Exp{−(−a + d + b + v)t ) I11m ( x,0) −

Exp{−(2µ + (r + f1 ) + (m + h1 ) + d − b − o − q1 − q2 − w)t} S1m ( x,0) − 2

π

Exp{−((r + f1 ) + (m + h1 ) + d − b − o − q1 − q2 − w)} S m (x,0)),

fungsi Exp{−(−a + d + b + v)t ) monoton naik dan fungsi-fungsi

Exp{−(2µ + (r + f1 ) + (m + h1 ) + d − b − o − q1 − q2 − w)t} dan

147 Disertasi


HARIYANTO


Exp{−((r + f1 ) + (m + h1 ) + d − b − o − q1 − q2 − w)} monoton turun untuk t → ∞. sehingga dapat diperoleh

Lim Inf (d (S11m ( x, t ), I11m ( x, t )).)= N1 I11m (0). t →∞ Dengan demikian untuk sebarang S11m ( x, t ) dan I11m ( x, t ) terdapat konstante ε 0 = N1 sedemikian rupa sehingga

Lim Inf (d (S11m ( x, t ), I11m ( x, t )).)= N1 I11m (0) . > ε 0 = N1 t →∞ atau dapat dikatakan virus influenza H1N1-p disebut strongly uniformly persistence untuk

R01 > 1 artinya transmisi dari virus tersebut sangat berpengaruh terhadap perubahan sistem pada lokasi 1. Pada pembuktian ( 2 ), pengaruh penyebaran virus influenza H5N1 terhadap perubahan sistem ditunjukkan oleh interaksi dan kontak antara individual subpopulasi manusia susceptible dengan individual subpopulasi unggas terinfeksi H5N1, transmisi yang terjadi akan menghasilkan subpopulasi terinfeksi H5N1 pada manusia sehingga perubahan subpopulasi susceptible dan terinfeksi H5N1 pada manusia akan menunjukkan domain penyebaran virus. Perhatikan penyelesaian konstruksi model 5.57 berbentuk

S1m ( x, t ) =

2

Exp(−(2µ + (r + f1 ) + (m + h1 ) + d − b − o − q1 − q2 − w)t ) S1m ( x,0) +

π

2

π 2

I 21m ( x, t ) = I 21U ( x, t ) =

π 2

π

Exp(−((r + f1 ) + (m + h1 ) + d − b − o − q1 − q2 − w)) S m (x,0) Exp(−(b + d + u + 2w2 − p − h2 )t ) I 21m ( x,0)

Exp(−(d + b − p1 )t ) I 21U ( x,0).

Transmisi penyebaran virus H5N1 melalui kontak dan interaksi dapat dinyatakan dalam bentuk metric

d ( S1m ( x, t ), I 21U ( x, t )) = ∫ S1m ( x, t ) − I 21U ( x, t ) dx Ω

148 Disertasi


HARIYANTO


atau

d ( S1m ( x, t ), I 21U ( x, t )) ≤ ∫ S1m ( x, t ) − I 21m ( x, t )}dx + ∫ I 21m ( x, t ) − I 21U ( x, t ) dx Ω

Ω

d ( S1m ( x, t ), I 21U ( x, t )) ≤ d (S1m ( x, t ), I 21m ( x, t ) + d ( I 21m ( x, t ), I 21U ( x, t )). Transmisi yang terjadi antara individual subpopulasi manusia terinfeksi virus H5N1 dengan individual subpopulasi unggas terinfeksi H5N1 terjadi

karena

subpopulasi

I 21m ( x, t )

peluangnya sangat kecil, hal tersebut

diisolasi

pada

lokasi

1

sedangkan

I 21U ( x, t ) dimusnahan setelah diketahui tanda-tanda klinik, oleh karena itu transmisi virus influenza H5N1 tersebut dapat dinyatakan d ( I 21m ( x, t ), I 21U ( x, t )) → 0 untuk t → ∞. Dengan demikian transmisi penyebaran virus influenza H5N1 dari unggas terinfeksi ke subpopulasi manusia susceptible dapat dinyatakan

d ( S1m ( x, t ), I 21U ( x, t )) = d (S1m ( x, t ), I 21m ( x, t ) atau

d ( S1m ( x, t ), I 21U ( x, t )) = ∫ S1m ( x, t ) − I 21m ( x, t ) dx dengan Ω

S1m ( x, t ) − I 21m ( x, t ) = 2

π 2

π

E xp(−(2µ + (r + f1 ) + (m + h1 ) + d − b − o − q1 − q2 − w)t ) S1m ( x,0) +

Exp(−((r + f1 ) + (m + h1 ) + d − b − o − q1 − q2 − w)t ) S m (x,0) −

Exp(−(b + d + u + 2w2 − p − h2 )t ) I 21m ( x,0) , untuk S1m ( x, t ) ≥ I 21m ( x, t ) dapat diperoleh d ( S1m ( x, t ), I 21U ( x, t )) =

2

π 2

π

[ Exp(−((r + f1 ) + (m + h1 ) + d − b − o − q1 − q2 − w)t ) {Exp (−2µt ) S1m (0) +

S m (0)} − Exp(−(b + d + u + 2w2 − p − h2 )t ) I 21m (0)].

149 Disertasi


HARIYANTO


Untuk R02U > 1 yang mengakibatkan R02m > 1 sehingga

penyelesaian positif dari

konstruksi model tahapan kedua berlaku Lim S1m ( x, t ) = 0 dan I 21m ( x, t ) monoton naik

t →∞

untuk t → ∞ atau dapat dinyatakan dalam bentuk

Lim S ( x, t ) = 0 dan Lim I 21m ( x, t ) = I 21m ( x, t ) maks , t →∞ 1m t →∞ dengan demikian transmisi yang terjadi sebagai hasil kontak dan interaksi antara individual subpopulasi susceptible S1m ( x, t ) dan individual subpopulasi terinfeksi I 21U ( x, t ) pada daerah persekitaran dengan jarak minimum dan dinyatakan dengan

Lim Inf (d (S1m ( x, t ), I 21U ( x, t )) = − I 21m ( x, t ) maks I 21m (0) t →∞ atau

Lim Inf (d (S1m ( x, t ), I 21U ( x, t )) = − N1 maks I 21m (0) t →∞ dengan N1 nilai maksimum dari Ekp(−(b + d + u + 2w2 − p − h2 )t ) untuk t → ∞. Untuk S1m ( x, t ) < I 21m ( x, t ) akan diperoleh

d ( S1m ( x, t ), I 21U ( x, t )) =

2

π

(Exp(−(b + d + u + 2w2 − p − h2 )t ) I 21m (0) −

Exp(−(2µ + (r + f1 ) + (m + h1 ) + d − b − o − q1 − q2 − w)t ) S1m (0) − 2

π

Exp(−((r + f1 ) + (m + h1 ) + d − b − o − q1 − q2 − w)t ) S m (0)

atau

Lim Inf (d (S1m ( x, t ), I 21U ( x, t )) = N1 maks I 21m (0). t →∞ Dengan demikian untuk sebarang densitas subpopulasi S1m ( x, t ) dan I 21U ( x, t ) maka untuk

R02m > 1 terdapat konstante ε 0 = N1 sedemikian hingga

Lim Inf (d (S1m ( x, t ), I 21U ( x, t )) = N 1 I 21m (0.) > ε 0 = N1 t →∞ yang menunjukkan bahwa transmisi penyebaran virus influensa H5N1 dari unggas ke manusia mempunyai pengaruh terhadap perubahan sistem lokasi 1 atau disebut strongly uniformly persistence.

150 Disertasi


HARIYANTO


Pembuktian ( 3 ), perhatikan penyelesaian konstruksi model matematika pada 5.57 untuk densitas subpopulasi terinfeksi I 21m ( x, t ), I11m ( x, t ) dan I co−inf ( x, t ) berbentuk

2

I11m ( x, t ) = I co −inf ( x, t ) =

I 21m ( x, t ) =

Exp(−(−a + d + b + v)t ) I 11m ( x,0)

π

2

π

2

π

Exp(−(−2w1 + d + b + c)t}I co−inf ( x,0)

Exp(−(b + d + u + 2w2 − p − h2 )t ) I 21m ( x,0).

Berdasarkan pada asumsi bahwa virus influenza H1N1-p mampu beradaptasi pada manusia tanpa melalui Pb2 dan virus influenza H5N1 dapat beradaptasi pada manusia melalui Pb2 maka transmisi silang antara subpopulasi terinfeksi I11m ( x, t ) dengan I 21m ( x, t ) dapat dinyatakan dalam bentuk metric

d ( I11m ( x, t ), I 21m ( x, t ))=

∫I

11m

( x, t ) − I 21m ( x, t ) dx

Ω

atau

d ( I11m ( x, t ), I 21m ( x, t )) ≤

∫I

Ω

11m

( x, t ) − I co −inf ( x, t ) dx + ∫ I co −inf ( x, t ) − I 21m ( x, t ) dx Ω

dengan

∫I

11m

2

( x, t ) − I co −inf ( x, t ) dx =

π

Ω

∫ Exp (−(−a + d + b + v)t ) I

11m

(0) -

Ω

Exp(−(−2w1 + d + b + c)t ) I co −inf (0) dx dan

∫I

co −inf

2

( x, t ) − I 21m ( x, t ) dx =

π

Ω

∫ E xp (−(−2w

1

+ d + b + c)t ) I co−inf ( x,0) -

Ω

Exp(−(b + d + u + 2w2 − p − h2 )t ) I 21m ( x,0) dx. Untuk I 11m ( x, t ) ≥ I co −inf ( x, t ) dan I co −inf ( x, t ) < I 21m ( x, t ) diperoleh

∫I

Ω

11m

( x, t ) − I co −inf ( x, t ) dx =

2

π

( Exp (−(−a + d + b + v)t ) I11m (0) -

Exp(−(−2w1 + d + b + c)t ) I co −inf (0))

151 Disertasi


HARIYANTO


dan

∫I

co −inf

2

( x, t ) − I 21m ( x, t ) dx =

(Exp(−(b + d + u + 2w2 − p − h2 )t ) I 21m ( x,0) -

π

Ω

Exp(−(−2w1 + d + b + c)t ) I co−inf ( x,0))

∫I

11m

( x, t ) − I co −inf ( x, t ) dx +

∫I

Ω

2

π 2

π

co −inf

( x, t ) − I 21m ( x, t ) dx =

Ω

( Exp (−(−a + d + b + v)t ) I11m (0) − Exp(−(−2w1 + d + b + c)t ) I co −inf ( x,0)) +

(Exp(−(b + d + u + 2w2 − p − h2 )t ) I 21m ( x,0) - Exp(−(−2w1 + d + b + c)t ) I co−inf ( x,0))

atau

∫I

Ω

2

π

11m

( x, t ) − I co −inf ( x, t ) dx +

∫I

co −inf

( x, t ) − I 21m ( x, t ) dx =

Ω

( Exp (−(−a + d + b + v)t ) I11m (0) − 2Exp(−(−2w1 + d + b + c)t ) I co −inf ( x,0) +

(Exp(−(b + d + u + 2w2 − p − h2 )t ) I 21m ( x,0)), dengan demikian d ( I11m ( x, t ), I 21m ( x, t )) ≤

2

π

( Exp (−(−a + d + b + v)t ) I11m (0) −

2Exp(−(−2w1 + d + b + c)t ) I co −inf ( x,0) + (Exp(−(b + d + u + 2w2 − p − h2 )t ) I 21m ( x,0)) atau

Sup(d ( I11m ( x, t ), I 21m ( x, t ))) =

2

π

( Exp (−(−a + d + b + v)t ) I11m (0) −

2Exp{−(−2w1 + d + b + c)t} I co −inf ( x,0) + (Exp(−(b + d + u + 2w2 − p − h2 )t ) I 21m ( x,0)). Penyebaran virus influenza H1N1-p dan H5N1 dengan masing-masing bilangan reproduksi dasar R01 > 1 dan R02 < 1 sehingga fungsi densitas subpopulasi terinfeksi H1N1-p monoton naik dan fungsi densitas subpopulasi terinfeksi H5N1 monoton turun atau dapat dinyatakan bahwa fungsi Exp (−(−a + d + b + v)t ) monoton naik dan fungsi

Exp(−(b + d + u + 2w2 − p − h2 )t ) monoton turun untuk t → ∞, akibatnya densitas subpopulasi co-infeksi juga monoton turun dan diperoleh

152 Disertasi


HARIYANTO


Lim Sup(d ( I11m ( x, t ), I 21m ( x, t ))) = N I11m (0) t →∞ dengan N nilai maksimum dari Exp (−(−a + d + b + v)t ) untuk t → ∞. 1 1 Untuk I 11m ( x, t ) < I co −inf ( x, t ) dan I co −inf ( x, t ) ≥ I 21m ( x, t ) diperoleh

Lim Sup(d ( I11m ( x, t ), I 21m ( x, t ))) = − N I11m (0). t →∞ Dengan demikian untuk sebarang subpopulasi I11m ( x, t ) dan I 21m ( x, t ) dengan R01 > 1 dan R02 < 1 terdapat konstante ε 0 = N sedemikian hingga

Lim Sup(d ( I11m ( x, t ), I 21m ( x, t ))) = N I 11m (0) > ε 0 = N t →∞ yang menunjukkan bahwa transmisi virus influenza H1N1-p pada individual terinfeksi H5N1 dengan R01 > 1 dan R02 < 1

mempunyai pengaruh yang kecil terhadap perubahan

subpopulasi co-infeksi pada lokasi 1 atau disebut weakly uniformly persistence. Transmisi virus influenza pada konstruksi model tahapan kedua dikembangkan melalui kontak dan interaksi individual sehingga analisa kualitatif yang dilakukan menghasilkan subpopulasi baru yaitu subpopulasi co-infeksi, oleh karena virus influenza H5N1 belum dijamin untuk dapat beradaptasi pada manusia maka koalisi dari kedua virus influenza tidak akan terjadi. Pada pembahasan berikut sebagai rangkaian proses koalisi akan dilakukan analisa terhadap co infeksi setelah dilakukan subtitusi asam amino pada individual subpopulasi susceptible pada konstruksi model matematika koalisi tahapan ketiga. 5.4 ANALISA KUALITATIF PADA KONSTRUKSI MODEL MATEMATIKA KOALISI TAHAPAN KETIGA Analisa kualitatif

pada konstruksi model matematika koalisi tahapan ketiga

bertujuan untuk mengetahui bahwa model mempunyai penyelesaian tunggal positif dan bersifat dinamis, pengaruh penyebaran virus H5N1 dan H1N1-p terhadap perubahan sistem. Perhatikan konstruksi model tahapan ketiga 5.38 berbentuk ∂S1m ∂ 2 S1m = D1S − (mA + h1 A + f 3 + r + f 1 + d − b + µ − o − q1 − q 2 − w − q 3 ) S1m + µS 2 m ∂t ∂x 2

153 Disertasi


HARIYANTO


∂E11m ∂ 2 E11m = D11E − (−k − f 2 + l + d + b + µ + n) E11m + µσE12m ∂t ∂x 2 ∂I 11m ∂ 2 I 11m = D11I − (−a + h3 + d + b + v) I11m ∂t ∂x 2

5.69

∂I 21m ∂ 2 I 21m = D2I j − (−( p + h2 ) A + m1 + 2w2 + d + b + u ) I 21m ∂t ∂x 2 ∂I co −inf ∂ 2 I co −inf = DcI0−inf − (−2w1 + n1 + d + b + c) I co −inf ∂t ∂x 2 ∂J ∂2 J = D1J 2 − (−h4 − m2 − n2 − f 4 + d + b + q) J ∂t ∂x dengan total populasi N jm (t ) = S jm (t ) + E1 jm (t ) + I 1 jm (t ) + I 2 jm (t ) + I co −inf (t ) + J (t ), bilangan reproduksi dasar virus influenza H1N1-p R01 =

(k + f 2 )a , ( D + b + d + v)(D11I + b + d + n) E 11

bilangan reproduksi dasar virus influenza H5N1 manusia R02 = bilangan reproduksi dasar co-infeksi R0co inf =

I c 0−inf

D

bilangan reproduksi dasar virus super-strain R0 J =

( p + h2 ) A , D +b+d +u I 21

2w1 dan +b+d +c

h4 + m2 + n2 + f 4 . DJ + b + d + q

Penyelesaian konstruksi model matematika tahapan ketiga ditunjukkan pada pembahasan berikut ini

∂I co −inf ∂ 2 I co −inf I = Dc 0−inf + 2w1 I co −inf − n1 I co −inf − dI co −inf − bI co −inf − cI co −inf ∂t ∂x 2 penyelesaian dari persamaan differensial tersebut dapat dilakukan dengan menggunakan transformasi cosinus Fourier f ( 2) (k ) = −k 2 f (k ) −

2

π

f (1) (0) sehingga diperoleh

persamaan differensial berbentuk

dI co −inf 2 dI co −inf = Dco1 −inf ((−ik ) 2 I co −inf − (0) + 2w1 I co −inf (k ) − n1 I co −inf (k ) − π dx dt dI co −inf (k ) − bI co −inf (k ) − cI co −inf (k )

154 Disertasi


HARIYANTO


atau

dI co −inf = − Dco1 −inf k 2 I co −inf (k ) + 2w1 I co −inf (k ) − n1 I co −inf (k ) − dI co −inf (k ) − dt

bI co −inf (k ) − cI co −inf (k ) dI co −inf = −( Dco1 −inf k 2 − 2 w1 + n1 + d + b + c) I co −inf (k ) dt yang mempunyai penyelesaian tereduksi berbentuk

I co −inf (k , t ) = Exp (−( Dco1 −inf k 2 − 2w1 + n1 + d + b + c)t ) I co−inf (k ,0) atau 1 2 I co −inf (k , t ) = Exp(−(−2w1 + n1 + d + b + c)t ) I co−inf (k ,0) Exp (− Dco− inf k t ), 1 2 dengan melakukan ekspansi menurut deret Mc-Laurin terhadap Exp (− Dco− inf k t ) diperoleh

kn dn I co −inf (k , t ) = I co−inf (k ,0) Exp(−(−2w1 + n1 + d + b + c)t ) ( 1 + ∑ Exp(− Dco1 −inf k 2 t ) ), n n =1 n! dk ∞

dilakukan invers terhadap I co−inf (k , t ) dengan menggunakan invers transformasi Fourier berbentuk I co −inf ( x, t ) =

2

π

∫I

coi −inf

(k , t ) cos( kx )dk sehingga diperoleh

Ω

I co −inf (k , t ) = Exp(−(−2w1 + n1 + d + b + c)t )

2

π

∫I

co − inf

( k ,0) cos( kx )dk +

Ω

1 dn 2 n k I co −inf (k ,0) cos( kx )dk Exp(− Dco1 −inf k 2 t ) Exp(−(−2w1 + n1 + d + b + c)t ) ∑ n π Ω∫ n =1 n! dk ∞

atau

I co −inf (k , t ) = 2

π

2

π

Exp(−(−2w1 + n1 + d + b + c)t ) I co−inf ( x,0) + n 1 dn n ∂ I co −inf 1 2 ( 1 ) , − ( Exp ( − D k t ) co inf n ∂x n n =1 n! dk

∞

Exp(−(−2w1 + n1 + d + b + c)t ) ∑

untuk x → ∞, n = 1.2... dan I co −inf merupakan rumpun eksponensial diperoleh

(−1) n

d n I co −inf → 0 sehingga penyelesaian persamaan differensial tersebut adalah dx n

155 Disertasi


HARIYANTO


I co −inf (k , t ) =

2

π

Exp(−(−2w1 + n1 + d + b + c)t ) I co−inf ( x,0).

Pada penyelesaian selanjutnya, perhatikan persamaan differensial berikut ini

∂J ∂2J = D1J 2 + h4 J + m2 J + n2 J + f 4 J − dJ − bJ − qJ ∂t ∂x dilakukan transformasi cosinus Fourier diperoleh persamaan berbentuk

dJ 2 dJ = D1J (−ik ) 2 J (k ) − (0) + h4 J (k ) + m2 J (k ) + n2 J (k ) + f 4 J (k ) − dt π dx dJ (k ) − bJ (k ) − qJ (k ) atau

dJ = − D1J k 2 J (k ) + h4 J (k ) + m2 J (k ) + n2 J (k ) + f 4 J (k ) − dJ (k ) − bJ (k ) − qJ (k ) dt dJ = −( D1J k 2 − h4 − m2 − n2 − f 4 + d + b + q) J (k ), dt penyelesaian dari persamaan tersebut adalah

J (k ) = Exp(−( D1J k 2 − h4 − m2 − n2 − f 4 + d + b + q)t ) J (k ,0) atau

J (k ) = Exp(−(−h4 − m2 − n2 − f 4 + d + b + q)t ) Exp(− D1J k 2 t ) J (k ,0), dengan menggunakan invers transformasi Fourier J ( x, t ) =

2

J ( x, t ) =

π

2

π

∫ J (k , t ) cos(kx)dk

dapat diperoleh

Ω

Exp(−(−h4 − m2 − n2 − f 4 + d + b + q)t ) {

2

π

∫ J (k , t ) cos(kx)dk +

Ω

1 d n Exp(− D1J k 2 t ) (0) ∫ k n J (k ,0) cos(kx )dk } ∑ n dk n =1 n! Ω ∞

atau

2

J ( x, t ) =

π

Exp(−(−h4 − m2 − n2 − f 4 + d + b + q)t ) { J (x,0) +

n 1 d n Exp(− D1J k 2 t ) n ∂ J ( x,0) }, ( − 1 ) ( 0 ) ∑ ∂x n dk n n =1 n!

∞

156 Disertasi


HARIYANTO


untuk x → ∞, n = 1,2,3...dan subpopulasi super strain merupakan rumpun eksponensial

∂ n J 1 ( x,0) → 0. ∂x n

sehingga diperoleh (−1) n

Dengan demikian PUPD adalah

2

J ( x, t ) =

π

Exp(−(−h4 − m2 − n2 − f 4 + d + b + q)t ) J (k ,0).

Untuk penyelesaian persamaan differensial lainnya pada konstruksi model koalisi tahapan ketiga dapat dilakukan dengan cara yang sama sehingga diperoleh penyelesaian berbentuk

S1m ( x, t ) = 2

π

Exp(−(2µ + (r + f1 ) + (m + h1 ) A + f 3 + d − b − o − q1 − q2 − w − q3 )t ) S1m ( x,0) + 2

π

Exp(−((r + f1 ) + (m + h1 ) A + f 3 + d − b − o − q1 − q2 − w − q3 )) S m (x,0) 2

E11m ( x, t ) =

π

Exp(−(−(k + f 2 ) + l + d + b + µσ + µ + n)t ) E11m ( x,0) +

5.70

1 Exp(−(−(k + f 2 ) + l + d + b − µσ + µ + n)t ) Em (x,0) 2

2

I11m ( x, t ) = I 21m ( x, t ) =

2

π


J ( x, t ) =

S 21U ( x, t ) =

2

π

2

π

π

Exp(−(−a + h3 + d + b + v)t ) I 11m ( x,0)

Exp(−(b + d + u + 2w2 + m1 − ( p + h2 ) A)t ) I 21m ( x,0) 2

π

Exp{−(−2w1 + n1 + d + b + c)t}I co−inf ( x,0)

Exp(−(b + d + q − h4 − m2 − n2 − f 4 )t ) J (x,0)

Exp(−(m3 + d + 2µ − b)t ) S 21U ( x,0) +

I 21U ( x, t ) =

2

π

2

π

Exp(−(m3 + d − b)t ) SU (x,0)

Exp(−(d + b − p)t ) I 21U ( x,0).

157 Disertasi


HARIYANTO


Berdasarkan penyelesaian 5.70 dari konstruksi model tahapan ketiga, pembahasan berikut akan ditunjukkan bahwa model mempunyai penyelesaian tunggal dan bersifat dinamis.

5.4.1

Well – Posedness dari konstruksi model matematika koalisi Tahapan ketiga Rangkaian proses koalisi pada konstruksi model koalisi tahapan ketiga merupakan

pengembangan dari konstruksi model tahapan kedua dengan melakukan subtitusi asam amino, diharapkan pada konstruksi model tahapan ketiga dapat menghasilkan virus dengan strain baru, oleh karena itu subpopulasi co-infeksi dikonstruksi agar supaya virus influenza H5N1 dan H1N1-p untuk t → ∞ dapat berkoalisi. Substitusi asam amino pada virus influenza H5N1 dilakukan pada individual subpopulasi susceptible terutama individual susceptible yang berasal dari individual terinfeksi H5N1 setelah recovery, oleh karena subtitusi asam amino konstan maka pada konstruksi model tahapan ketiga tidak terdapat perubahan individual subpopulasi yang disebabkan oleh mutasi. Misalkan densitas subpopulasi dari konstruksi model koalisi tahapan ketiga dapat dinyatakan sebagai berikut.

S1m ( x, t ), E11m ( x, t ), I11m ( x, t ), I 21m ( x, t ) > 0 , I co inf 1 ( x, t ) > 0, J ( x, t ) > 0, S 21U ( x, t ), I 21U ( x, t ) > 0 untuk setiap x, y ∈ Ω1 pada lokasi 1 dengan diffusi global

∫ S m K ( x − y)dy − S m ∫ K ( y − x)dx > 0, ∫ E 2

1

Ω2

12

Ω1

∫S

Ω2

m K ( x − y )dy − E11m ∫ K ( y − x)dx > 0, Ω1

u K ( x − y )dy − S 21u ∫ K ( y − x)dx > 0

22

Ω2

Ω1

dan

S 2 m ( x, t ), E12m ( x, t ), I12m ( x, t ), I 22m ( x, t ) > 0, I co inf 2 ( x, t ) > 0, J ( x, t ) > 0, S 22U ( x, t ), I 22U ( x, t ) > 0 untuk setiap x, y ∈ Ω2 pada lokasi 2. dengan diffusi global

∫ S m K ( y − x)dx − S m ∫ K ( x − y)dy > 0, ∫ E 1

2

Ω2

∫S

Ω2

m K ( y − x)dx − E12m ∫ K ( x − y )dy > 0,

11

Ω1

Ω2

u K ( y − x)dx − S 22u ∫ K ( x − y )dy > 0

21

Ω1

5.71

Ω1

158 Disertasi


HARIYANTO


Langkah selanjutnya untuk menunjukkan bahwa konstruksi model adalah well-posed akan dibahas berikut ini

Eksistensi dan ketunggalan penyelesaian Misalkan persamaan densitas subpopulasi susceptible 5.29 pada lokasi 1 dapat dinyatakan dalam bentuk

S1m (t ) =

∫S

1m

( x, t )dx

Ω1 dan

dS 1m (t ) ∂S ( x, t ) dx = ∫ 1m dt ∂t Ω1 maka diperoleh konstruksi model matematika dalam sistem persamaan differensial biasa berbentuk

dX = f ( X (t ), t ). dt Misalkan Himpunan subpopulasi pada lokasi 1

X 1 = {S1m > 0, E11m > 0, I 11m > 0, I 21m > 0, I co inf 1 > 0, J 1 > 0, S 21U > 0, I 21U > 0 S1m + E11m + I 11m + I 21m + I co inf 1 + J 1 = N1 , S 21U + I 21U = M 1}

5.72

dan Himpunan subpopulasi pada lokasi 2

X 2 = {S 2 m > 0, E12m > 0, I 12m > 0, I 22m > 0, I co inf 2 > 0, J 2 > 0, S 22U > 0, I 22U > 0 S 2 m + E12m + I 12m + I 22m + I co inf + J 2 = N 2 , S 22U + I 22U = M 2 },

5.73

jika dibangun himpunan baru yang terdiri dari semua subpopulasi pada X 1 dan X 2 yaitu himpunan subpopulasi X pada lokasi 1 dan 2

maka dapat didefinisikan bahwa

X = X 1 ∪ X 2 atau X = {S m > 0, E m1 > 0, I m1 > 0, I m 2 > 0, I co inf , J > 0, SU > 0, I U > 0 S1m , S 2 m ∈ S m , E11m , E12 m ∈ E m1 , I 11m , I 12 m ∈ I m1 , I 21m , I 22 m ∈ I m 2 ,

5.74

I co inf 1 , I co inf 2 ∈ I co inf , S 21U , S 22U ∈ SU , I 21U , I 22U ∈ I U , J 1 , J 2 ∈ J } Misalkan terdapat vektor

S1m = ( S11m , S12m ) , S 2 m = ( S 21m , S 22m ) , E11m = ( E111 m , E112 m ) , E12 m = ( E121 m , E122 m ) ,

159 Disertasi


HARIYANTO


1 2 1 2 I 11m = ( I 111 m , I 112 m ) , I 12 m = ( I 121 m , I 122 m ) , I 21m = ( I 21 m , I 21m ) , I 21U = ( I 21U , I 21U ) , 1 2 1 2 1 2 I 22U = ( I 22 U , I 22U ), I co inf 1 = ( I co inf 1 , I co inf 1 ), I co inf 2 = ( I co inf 2 , I co inf 2 ),

J 1 = ( J 11 , J 12 ), J 2 = ( J 21 , J 22 ), maka akan terdapat f ( X 1 (t ), t ) dan f ( X 2 (t ), t ) dengan 1 1 1 1 X 1 = {S11m , S 21m , E111 m , E121 m , I 111 m , I 121 m , I 21 m , I 22 m , I co inf 1 , I co inf 2 , 1 1 1 1 J 11 , J 21 , S 21 U ,.S 22U , I 21U , I 22U }

dan

X 2 = {S12m , S 22m , E112 m , E122 m , I 112 m , I 122 m , I 212 m , I 222 m , I co2 inf 1 , I co2 inf ,.

5.75

J 12 , J 22 , S 212 U ,.S 222 U , I 212 U , I 222 U } Untuk menunjukkan bahwa model sistem mempunyai penyelesaian tunggal digunakan asumsi Desoer yaitu 1. T ⊂ R + memuat titik-titik berhingga persatuan interval. 2. untuk setiap X ∈ R n , f ( X , t ) kontnu pada t ∉ T 3. untuk setiap t i ∈ T , f ( X , t ) mempunyai limit kiri dan kanan pada t = t i 4.

f : R n xR → R n memenuhi global Lipschitz yaitu terdapat fungsi kontinu sebagian demi sebagian k : R + → R + sehingga

f ( X 1 (t ), t ) − f ( X 2 (t ), t ) < k (t ) X 1 − X 2 untuk semua t ∈ R + dan semua titik X 1, X 2 ∈ Rn

5.76

Misalkan terdapat interval [ai , bi ] dengan titik kesetimbangan endemik Y ∈ R n maka untuk sebarang t = t1 ∉ T terdapat f (Y , t1 ) sehingga untuk t = t1 Lim f (Y , t ) = f (Y , t1 ) berarti t→t1

terdapat interval yang memuat titik berhingga. Untuk langkah berikutnya akan di cari konstante Lipschitz k (t ) yang memenuhi

f ( X 1 (t ), t ) − f ( X 2 (t ), t ) < k (t ) X 1 − X 2 ,

160 Disertasi


HARIYANTO


a11 a 21 a 31

perhatikan f ( X 1 (t ), t ) − f ( X 2 (t ), t ) =

a 41 a 51

,

a 61 jika elemen-elemen pada norm dapat dinyatakan ai1 = bi1 + ci1 , i = 1.2...6 maka

a11 a 21 a f ( X 1 (t ), t ) − f ( X 2 (t ), t ) = 31 = bi1 + ci1 atau a 41 a 51 a 61

f ( X 1 (t ), t ) − f ( X 2 (t ), t ) ≤ bi1 + ci1 n

dengan ai1 = maks ∑ aij sebagai Norm matriks yang didefinisikan sebagai maksimum i

j =1

n

dari konstante Lipschitz k (t ) sedemikian hingga memenuhi ai1 = maks ∑ aij ≤ k (t ) X , i

j =1

k (t ) ditentukan berdasarkan nilai maksimum dari koeffisien-koeffisien aij sehingga pada konstruksi model tahapan ketiga menjadi

S11m − S12m S 21m − S 22m 1 2 1 2 E11 E12 m − E11m m − E12 m 1 2 1 2 I 11 I 12 m − I 11m m − I 12 m 1 2 1 2 I 21 I 22 1 2 m − I 21m m − I 22 m + 1 ) f ( X (t ), t ) − f ( X (t ), t ) ≤ k 3 (t ) ( 1 I co inf 1 − I co2 inf 1 I co inf 2 − I co2 inf 2 J 11 − J 12 J 21 − J 22 SU1 − SU2 SU1 − SU2 I U1 − I U2 I U1 − I U2

5.77

161 Disertasi


HARIYANTO


dengan

k 3 (t ) = Maks ( b + o + q1 + q2 + w + q3 − r − mA − h1 A − f 3 − f1 − d , k + f 2 − l − d − b − n , a − h3 − d − b − v , pA + h2 A − m1 − 2w2 − d − b − u , . 2w1 − n1 − d − b − c , h4 + m2 + n2 + f 4 − d − b − q , b − d − m3 , p1 − d − b ) atau

k 3 (t ) = ( (b + o + q1 + q2 + q3 + w) maks − (r + mA + h1 A + f 3 + f1 + d ) min , ( k + f 2 ) maks − (l + d + b + n) min , amaks − (h3 + d + b + v) min , ( pA + h2 A) maks − (m1 + 2w2 + d + b + u) min , . (2w1 ) maks − (n1 + d + b + c) min , (h4 + m2 + n2 + f 4 ) maks − (d + b + q) min , b − d − m3 , ( p1 ) maks − (d + b) min ).

5.78

Konstante Lipschitz pada tahapan ketiga dikonstruksi berdasarkan nilai maksimum dari parameter –parameter pada setiap perubahan subpopulasi, oleh karena Konstante Lipschitz

k 3 (t ) harus memenuhi

f ( X 1 (t ), t ) − f ( X 2 (t ), t ) < k (t ) X 1 − X 2 maka dilakukan reduksi terhadap konstruksi model sehingga diperoleh rate perubahan atau transisi sebagai berikut 1. rate perubahan atau transisi

(b + o + q1 + q2 + q3 + w) maks − (r + mA + h1 A + f 3 + f1 + d ) min yang berperan sebagai proporsi perubahan atau transisi subpopulasi susceptible menjadi terinfeksi atau recovery dari subpopulasi terinfeksi menjadi susceptible, konstruksi

k 3 (t ) pada parameter ini adalah ((b + o + q1 + q2 + q3 + w) maks − (r + mA + h1 A + f 3 + f1 + d ) min )S1m ~ (b + o + q1 + q2 + q3 + w) maks S1m . 2. rate perubahan atau transisi (k + f 2 ) maks − (l + d + b + n) min menyatakan proporsi perubahan atau transisi dari setiap subpopulasi susceptible yang terinfeksi pada masa ekspose sehingga konstruksi k 3 (t ) adalah

((k + f 2 ) maks − (l + d + b + n) min ) E11m ~ (k + f 2 ) maks E11m .

162 Disertasi


HARIYANTO


3. rate perubahan atau transisi amaks − (h3 + d + b + v) min pada akhir masa ekspose akan merubah subpopulasi ekspose menjadi subpopulasi terinfeksi H1N1-p sehingga konstruksi k 3 (t ) adalah (amaks − (h3 + d + b + v) min ) I11m ~ a maks I 11m . 4. rate perubahan atau transisi ( pA + h2 A) maks − (m1 + 2w2 + d + b + u) min pada masa infeksi akan merubah subpopulasi susceptible menjadi terinfeksi virus influenza H5N1 sehingga konstruksi k 3 (t ) adalah

(( pA + h2 A) maks − (m1 + 2w2 + d + b + u) min ) I 21m ~ ( pA + h2 A) maks I 21m . 5. rate perubahan atau transisi (2w1 ) maks − (n1 + d + b + c) min pada akhir masa inkubasi akan merubah subpopulasi co-infeksi menjadi subpopulasi super strain sehingga konstruksi k 3 (t ) adalah

((2w1 ) maks − (n1 + d + b + c) min ) I co −inf ~ (2w1 ) I co −inf . 6. rate perubahan atau transisi (h4 + m2 + n2 + f 4 ) maks − (d + b + q) min pada masa infeksi akan merubah setiap subpopulasi menjadi subpopulasi super strain sehingga

((h4 + m2 + n2 + f 4 ) maks − (d + b + q) min ) J 1 ~ (h4 + m2 + n2 + f 4 ) J 1 . 7. rate perubahan atau transisi (b − d − m3 ) maks dan ( p1 ) maks − (d + b) min merupakan proporsi dari penyebaran virus influenza H5N1 pada unggas dengan konstruksi

k 3 (t ) berbentuk (b − d − m3 ) maks S 21U ~ (b − d − m3 ) maks S 21U dan (( p1 ) maks − (d + b) min ) I 21U ~ ( p1 ) maks I 21U . Jika d → 0 dan b merupakan bagian dari individual susceptible makakonstruksi konstante Lipschitz adalah

k 3 (t ) ≈ a maks + ( pA + Ah2 ) maks + ( p1 ) maks + (2w1 ) maks + (k + f 2 ) maks E11m + (h4 + m2 + n2 + f 4 ) maks .

5.79

Untuk menunjukkan bahwa k 3 (t ) adalah fungsi yang kontinu sebagian demi sebagian dapat dilakukan seperti halnya pada submodel 2. Berdasarkan pada analisa tersebut diatas menunjukkan eksistensi dan ketunggalan global pada konstruksi model sistem koalisi tahapan ketiga, pada pembahasan berikut akan ditunjukkan bahwa sistem adalah dinamis.

163 Disertasi


HARIYANTO


Konstruksi model matematika koalisi tahapan ketiga merupakan sistem dinamis Rangkaian proses koalisi pada konstruksi model tahapan ketiga adalah melakukan subtitusi asam amino secara konstan pada virus influenza H5N1 melalui individual susceptible S1m ( x, t ) sehingga transmisi virus influenza melalui kontak dan interaksi terhadap I11m ( x, t ).dan I 21U ( x, t ) dapat beradaptasi pada I co−inf ( x, t ).Gerakan individual subpopulasi dalam proses koalisi merupakan aliran kontinu yang akan dibahas berikut ini Misalkan X ruang metric dengan metric d dan himpunan fungsi kontinu

C1 (Ω, R) = { I 11m ( x, t ), I 21m ( x, t ), I co inf ( x, t ), J ( x, t ), I 21U ( x, t ) } ⊂ X ,

φi ( x, t ) ∈ C1 (Ω, R) dan aliran kontinu

π (φi ( x, t ),0) = {I11m ( x, t ), I 21m ( x, t ), I co inf ( x, t ), J ( x, t ), I 21U ( x, t )} sebagai aliran kontinu .jika memenuhi

π (π (φ ( x, t ), s}, t ) = π (φ ( x, t ), t + s)= π ( I11m ( x, t ), t1 + t 2 ), misalkan himpunan fungsi kontinu

C2 (Ω, R) = {S11m ( x, t ), E11m ( x, t ), S 21U ( x, t )} ⊂ X dan

C3 (Ω, R) = {S12m ( x, t ), E12m ( x, t ), S 22U ( x, t )} ⊂ X dan misalkan himpunan subpopulasi global

C (Ω, R) = C2 (Ω, R) ∪ C3 (Ω, R) = {S m ( x, t ), Em ( x, t ), SU ( x, t )} maka aliran kontinu

π {φi ( x, t ),0} = {S m ( x, t ), Em ( x, t ), SU ( x, t )} untuk φi ( x, t ) ∈ C (Ω, R) sebagai aliran kontinu jika π memenuhi

π (π (φ ( x, t ), s}, t ) = π (φ ( x, t ), t + s)= π (S m ( x, t ), t1 + t 2 ). Pada pembahasan berikut akan ditunjukkan bahwa individual subpopulasi susceptible dan terinfeksi super strain merupakan aliran kontinu,

164 Disertasi


HARIYANTO


S m ( x, t ) = 2

Exp(−((r + f1 ) + (m + h1 ) A + f 3 + d − b − o − q1 − q2 − w − q3 )t ) S m (x,0) ∈ C (Ω, R)

π atau

π (S m ( x, t ),0) = S m ( x, t ) , misalkan S m ( x, t ) bergerak terbatas pada selang waktu t1 ≤ t ≤ t 2 di lokasi 1 maka dapat dinyatakan bahwa S m ( x, t ) bergerak pada interval waktu 0 ≤ t ≤ t1 + t 2 dan diperoleh

S m ( x, t1 + t 2 ) = 2

(

π

4

π

Exp(−(2µ + (r + f1 ) + (m + h1 ) A + f 3 + d − b − o − q1 − q2 − w − q3 )t 2 ) +

Exp(−((r + f1 ) + (m + h1 ) A + f 3 + d − b − o − q1 − q2 − w − q3 )t 2 ) (

2

π

Exp(−(2µ + (r + f1 ) + (m + h1 ) A + f 3 + d − b − o − q1 − q2 − w − q3 )t1 ) + 4

π

Exp(−((r + f1 ) + (m + h1 ) A + f 3 + d − b − o − q1 − q2 − w − q3 )t1}) S m (x,0),

misalkan pada saat (t1 + t 2 ) merupakan masa infeksi maka akan terjadi penurunan terhadap subpopulasi susceptible atau fungsi

2

{

π 4

π

Exp(−(2µ + (r + f1 ) + (m + h1 ) A + f 3 + d − b − o − q1 − q2 − w − q3 )t 2 ) +

Exp(−((r + f1 ) + (m + h1 ) A + f 3 + d − b − o − q1 − q2 − w − q3 )t 2 })

monoton turun sehingga diperoleh

S m ( x, t1 + t 2 ) = { 4

π

2

π

Exp{−(2µ + (r + f1 ) + (m + h1 ) A + f 3 + d − b − o − q1 − q2 − w − q3 )t 2 }+

Exp{−((r + f1 ) + (m + h1 ) A + f 3 + d − b − o − q1 − q2 − w − q3 )t 2 }} S m ( x, t1 ) < S m ( x, t1 )

165 Disertasi


HARIYANTO


atau

S m ( x, t1 + t 2 ) = π (π ( S m ( x, t ), t1 ), s) → π ( S m ( x, t ), t1 + s).= π (π (S m ( x, t ), t1 ), s). Misalkan S m ( x, t ) bergerak pada interval sebelum waktu t yaitu 0 ≤ t1 + t 2 ≤ t atau

0 ≤ t1 ≤ t − t 2 sehingga S m ( x, t − t 2 ) = 2

(

Exp((2µ + (r + f1 ) + (m + h1 ) A + f 3 + d − b − o − q1 − q2 − w − q3 )t 2 ) +

π

4

π

Exp9((r + f1 ) + (m + h1 ) A + f 3 + d − b − o − q1 − q2 − w − q3 )t 2 }) {

2

π

Exp(−(2µ + (r + f1 ) + (m + h1 ) A + f 3 + d − b − o − q1 − q2 − w − q3 )t ) + 4

π

Exp(−((r + f1 ) + (m + h1 ) A + f 3 + d − b − o − q1 − q2 − w − q3 )t}) S m (x,0),

oleh karena S m ( x, t ) bergerak sebelum akhir masa infeksi maka subpopulasi susceptible mengalami peningkatan atau fungsi

2

{


π

4

π

Exp(((r + f1 ) + (m + h1 ) A + f 3 + d − b − o − q1 − q2 − w − q3 )t 2 })

monoton naik dan diperoleh

S m ( x, t − t 2 ) = { 4

π

2

π


Exp(((r + f1 ) + (m + h1 ) A + f 3 + d − b − o − q1 − q2 − w − q3 )t 2 }) S m ( x, t ) . > S m ( x, t1 )

atau

S m ( x, t − t 2 ) = π (π (S m ( x, t1 ), t ), t 2 ) atau π (π (S m ( x, t1 ), t ), t 2 ) = π ( S m ( x, t1 ), t − t 2 ) atau dapat pula dinyatakan π {π ( S m ( x, t ), t1 ), t 2 }= π {S m ( x, t ), t1 + t 2 }, dengan demikian individual susceptible merupakan aliran kontinu.

166 Disertasi


HARIYANTO


Pada analisa berikutnya akan ditunjukkan aliran kontinu untuk individual subpopulasi strain baru. J ( x, t ) , perhatikan bentuk penyelesaian

J ( x, t ) =

2

π

J ( x,0) Exp(−(b + d + q − h4 − m2 − n2 − f 4 )t ) ∈ C (Ω, R)

atau

π ( J ( x, t ),0) = J ( x, t ), misalkan J ( x, t ) bergerak terbatas pada selang waktu t1 ≤ t ≤ t 2 di lokasi 1 maka dapat dinyatakan bahwa J ( x, t ) bergerak pada interval waktu 0 ≤ t ≤ t1 + t 2 dan diperoleh

J ( x, t1 + t 2 ) = 2

π

Exp(−(b + d + q − h4 − m2 − n2 − f 4 )t 2 ) Exp(−(b + d + q − h4 − m2 − n2 − f 4 )t1 ) J (x,0),

misalkan (t1 + t 2 ) merupakan batas akhir masa infeksi maka terjadi penurunan pada subpopulasi super strain atau fungsi Exp(−(b + d + q − h4 − m2 − n2 − f 4 )t 2 ) monoton turun sehingga

J ( x, t1 + t 2 ) = Exp(−(b + d + q − h4 − m2 − n2 − f 4 )t 2 ) J ( x, t1 ) < J ( x, t1 ) atau

J ( x, t1 + t 2 ) = Exp(−(b + d + q − h4 − m2 − n2 − f 4 )t 2 ) J ( x, t1 ) = π (π ( J ( x, t ), t1 ), s)

π ( J ( x, t ), t1 + s).= π (π ( J ( x, t ), t1 ), s). Misalkan J ( x, t ) bergerak pada selang waktu s pada interval 0 ≤ t1 ≤ s ≤ t 2 ≤ t atau dapat dinyatakan bahwa J ( x, t ) bergerak pada interval 0 ≤ t1 + t 2 ≤ t sehingga untuk t = t1 + t 2 diperoleh

J ( x, t1 + t 2 ) = 2

π

Exp(−(b + d + q − h4 − m2 − n2 − f 4 )t 2 ) Exp(−(b + d + q − h4 − m2 − n2 − f 4 )t1 ) J (x,0)

atau

J ( x, t1 + t 2 ) = Exp(−(b + d + q − h4 − m2 − n2 − f 4 )t 2 ) J ( x, t1 ), misalkan J ( x, t ) pada saat t = t1 + t 2 berada sebelum akhir masa infeksi maka

167 Disertasi


HARIYANTO


J ( x, t1 + t 2 ) = Exp(−(b + d + q − h4 − m2 − n2 − f 4 )t 2 ) J ( x, t1 ) > J ( x, t1 ) atau

J ( x, t1 + t 2 ) = Exp(−(b + d + q − h4 − m2 − n2 − f 4 )t 2 ) J ( x, t1 ) = π (π ( J ( x, t ), t1 ), t 2 )

π (π ( J ( x, t ), t1 + t 2 ) = π (π ( J ( x, t ), t1 ), t 2 ). Dengan demikian konstruksi model tahapan ketiga well-posed. Berdasarkan analisa tentang eksistensi dan ketunggalan global serta sistem dinamis pada masing-masing konstruksi model

maka dapat diperoleh kesimpulan bahwa konstruksi

model sistem koalisi antara virus influenza H5N1 dan H1N1-p dikatakan well-posed jika memenuhi ketentuan sebagai berikut: 1. Konstante Lipschitz k1 (t ) ≈ a maks + p maks + ( p1 ) maks untuk konstruksi model tahapan pertama, k 2 (t ) ≈ a maks + ( p + h2 ) maks + ( p1 ) maks + (2w1 ) maks untuk konstruksi model tahapan kedua dan k 3 (t ) ≈ a maks + ( pA + Ah2 ) maks + ( p1 ) maks + (2w1 ) maks +

(k + f 2 ) maks E11m + (h4 + m2 + n2 + f 4 ) maks . untuk konstruksi model tahapan ketiga dengan d → 0 dan b rate kelahiran yang diasumsikan sebagai bagian dari populasi susceptible. 2. Aliran kontinu dari individual subpopulasi pada himpunan fungsi kontinu

C (Ω, R) = {S m3 , E m2 , SU1 } dan aliran kontinu dari individual populasi pada himpunan fungsi

kontinu

1 1 2 3 3 C1 (Ω, R) = {I 21 U , I 11m , I co inf , I 21m , J }. dengan

indeks

1,2,3

menyatakan tahapan konstruksi model dari rangkaian proses koalisi. Pada analisa tersebut diatas telah ditunjukkan bahwa konstruksi model matematika koalisi tahapan ketiga adalah well-posed, rangkaian analisa kualitatif terhadap konstruksi model berikutnya adalah analisa densitas populasi. Pada analisa berikut ini akan dibahas eksistensi penyelesaian positif dari model.

5.4 .2. Analisa terhadap densitas populasi Densitas populasi pada konstruksi model matematika koalisi tahapan tiga lebih berkembang dibandingkan pada konstruksi model tahapan kedua, transmisi virus influenza H5N1 dan H1N1-p melalui kontak dan interaksi individual sedangkan transmisi virus

168 Disertasi


HARIYANTO


super-strain terjadi melalui kontak individual dan lebih dominan dibandingkan virus lainnya. Analisa densitas populasi pada konstruksi model tahapan ketiga lebih menekankan pada invasi virus super-strain melalui kontak individual dari manusia ke manusia terhadap seluruh subpopulasi, misalkan total populasi pada konstruksi model tahapan ketiga di lokasi 1 adalah

N1m (t ) = S1m (t ) + E11m (t ) + I11m (t ) + I 21m (t ) + I co inf (t ) + J (t ) atau

N1m (t ) =

∫ (S

1m

( x, t ) + E11m ( x, t ) + I 11m ( x, t ) + I 21m ( x, t ) + I co inf ( x, t ) + J ( x, t ))dx,

Ω1

Perubahan total populasi dari konstruksi model berbentuk

∂S ( x, t ) ∂E11m ( x, t ) ∂I 11m ( x, t ) dN (t ) = ∫ ( 1m + + + dt t t t ∂ ∂ ∂ Ω1

5.80

∂I 21m ( x, t ) ∂I co inf ( x, t ) ∂J ( x, t ) )dx + + ∂t ∂t ∂t atau

∂ 2 E11m ( x, t ) ∂ 2 I 11m ( x, t ) ∂ 2 I 21m ( x, t ) ∂ 2 S1m ( x, t ) dN (t ) + + + + D D D = ∫ {( DS E I I 2 2 2 2 dt ∂ ∂ ∂ x x x x ∂ Ω1

DI

∂ 2 I co inf ( x, t ) ∂ 2 J ( x, t ) + D ) − d ( S1m ( x, t ) + E11m ( x, t ) + I11m ( x, t ) + I 21m ( x, t ) + J ∂x 2 ∂x 2

I co inf ( x, t ) + J ( x, t )) + b(S1m ( x, t ) − E11m ( x, t ) − I11m ( x, t ) − I 21m ( x, t ) − I co inf ( x, t ) − J ( x, t )) + (S1m ( x, t ) + E11m ( x, t ))K ( x − y)dy − (S1m ( x, t ) + E11m ( x, t )) ∫ K ( y − x)dx )dx, Ω2 Ω1

∫

misalkan individual subpopulasi bergerak pada Ω1 = [0, L] dan

5.81

dN (t ) = k untuk k ∈ R + dt

maka untuk kondisi batas Newmann

∂S1m ( x, t ) ∂E11m ( x, t ) ∂I 11m ( x, t ) x = 0 = 0, x = 0 = 0, ∂x ∂x ∂x ∂I co −inf ( x, t ) ∂J ( x, t ) x = 0 = 0, x =0 = 0 ∂x ∂x

x =0

= 0,

∂I 21m ( x, t ) ∂x

x =0

= 0,

169 Disertasi


HARIYANTO


diperoleh

∫ ( − d (S1m ( x, t ) + E11m ( x, t ) + I11m ( x, t ) + I 21m ( x, t ) + I co inf ( x, t ) + J ( x, t )) + Ω1 b(S1m ( x, t ) − E11m ( x, t ) − I11m ( x, t ) − I 21m ( x, t ) − I co inf ( x, t ) − J ( x, t )) + (S1m ( x, t ) + E11m ( x, t ))K ( x − y)dy − (S1m ( x, t ) + E11m ( x, t )) ∫ K ( y − x)dx )dx > 0 Ω2 Ω1

∫

untuk

− d (S1m ( x, t ) + E11m ( x, t ) + I11m ( x, t ) + I 21m ( x, t ) + I co inf ( x, t ) + J ( x, t )) +

5.82

b(S1m ( x, t ) − E11m ( x, t ) − I11m ( x, t ) − I 21m ( x, t ) − I co inf ( x, t ) − J ( x, t )) + (S1m ( x, t ) + E11m ( x, t ))K ( x − y)dy − (S1m ( x, t ) + E11m ( x, t )) ∫ K ( y − x)dx > 0. Ω2 Ω1

∫

Misalkan Lim S1m ( x, t ) = 0 akan berlaku

t →∞

− (d + b)(E11m ( x, t ) + I11m ( x, t ) + I 21m ( x, t ) + I co inf ( x, t ) + J ( x, t )) + E11m ( x, t ) K ( x − y)dy − E11m ( x, t ) ∫ K ( y − x)dx > 0 untuk Ω2 Ω1

∫

diffusi global

K ( x) > b + d dengan

E11m ( x, t ) K ( x − y)dy − E11m ( x, t ) ∫ K ( y − x)dx > 0, Ω2 Ω1

∫

demikian pula untuk

Lim I ( x, t ) = Lim I 21m ( x, t ) = Lim I co inf ( x, t ) = Lim J ( x, t ) = 0 t →∞ 11m t →∞ t →∞ t →∞ maka akan berlaku

(b − d )S1m ( x, t ) − (b + d ) E11m ( x, t ) + (S1m ( x, t ) + E11m ( x, t ))K ( x − y)dy − (S1m ( x, t ) + E11m ( x, t )) ∫ K ( y − x)dx > 0. Ω2 Ω1

∫

untuk b > d , K ( x) > b + d dengan diffusi global

( S1m ( x, t ) + E11m ( x, t ))K ( x − y)dy − ( S1m ( x, t ) + E11m ( x, t )) ∫ K ( y − x)dx >0. Ω2 Ω1

∫

Dengan demikian konstruksi model tahapan ketiga mempunyai penyelesaian positif dan berlaku

170 Disertasi


HARIYANTO


Lim S ( x, t ) = 0 t →∞ 1m atau

Lim I ( x, t ) = Lim I 21m ( x, t ) = 0, Lim I co inf ( x, t ) = Lim J ( x, t ) = 0. t →∞ 11m t →∞ t →∞ t →∞ Berdasarkan pada hasil analisa terhadap densitas populasi tersebut diatas maka dapat disusun Teorema sebagai berikut

Teorema 5.5 Jika Lim I11m ( x, t ) = Lim I 21m ( x, t ) = Lim I co inf ( x, t ) = 0 maka subpopulasi super-strain

t →∞

t →∞

t →∞

J ( x, t ) monoton naik. Bukti. Misalkan X ruang metric dengan metric d dan himpunan dari densitas subpopulasi yang bergerak pada lokasi 1

C1 (Ω, R) = { I 11m ( x, t ), I 21m ( x, t ), I co inf ( x, t ), J ( x, t ), I 21U ( x, t ) } ⊂ X dan himpunan dari densitas subpopulasi yang bergerak pada lokasi 1 dan lokasi 2

C2 (Ω, R) = {S11m ( x, t ), E11m ( x, t ), S 21U ( x, t )} ⊂ X , model tahapan ketiga dikonstruksi oleh transmisi penyebaran 3 virus yang terdiri dari virus influenza H5N1,H1N1-p dan virus super strain dengan asumsi bahwa virus super strain lebih dominan dibandingkan dengan virus lainnya. Pada Teorema 5.3 menunjukkan bahwa

I co−inf ( x, t )

Lim S ( x, t ) = 0 mengakibatkan terjadinya t →∞ 1m

monoton naik, pada pembahasan berikut akan ditunjukkan bahwa

Lim S ( x, t ) = 0 akan mempengaruhi perubahan densitas subpopulasi yang lain. t →∞ 1m Misalkan Ω1 = [0, L] dan

dN (t ) = k untuk k ∈ R + sehingga perubahan yang terjadi pada dt

total populasi adalah

dN (t ) = ∫ ( − d (S1m ( x, t ) + E11m ( x, t ) + I11m ( x, t ) + I 21m ( x, t ) + I co inf ( x, t ) + J ( x, t )) + dt Ω1

b(S1m ( x, t ) − E11m ( x, t ) − I11m ( x, t ) − I 21m ( x, t ) − I co inf ( x, t ) − J ( x, t )) +

171 Disertasi


HARIYANTO


(S1m ( x, t ) + E11m ( x, t ))K ( x − y)dy − (S1m ( x, t ) + E11m ( x, t )) ∫ K ( y − x)dx )dx > 0 untuk Ω2 Ω1

∫

− d (S1m ( x, t ) + E11m ( x, t ) + I11m ( x, t ) + I 21m ( x, t ) + I co inf ( x, t ) + J ( x, t )) + b(S1m ( x, t ) − E11m ( x, t ) − I11m ( x, t ) − I 21m ( x, t ) − I co inf ( x, t ) − J ( x, t )) + (S1m ( x, t ) + E11m ( x, t ))K ( x − y)dy − ( S1m ( x, t ) + E11m ( x, t )) ∫ K ( y − x)dx > 0, Ω2 Ω1

∫

misalkan Lim S1m ( x, t ) = 0 akan diperoleh

t →∞

− (d + b)(E11m ( x, t ) + I11m ( x, t ) + I 21m ( x, t ) + I co inf ( x, t ) + J ( x, t )) + E11m ( x, t ))K ( x − y)dy − E11m ( x, t ) ∫ K ( y − x)dx > 0 Ω2 Ω1

∫


E11m ( x, t ) K ( x − y)dy − E11m ( x, t ) ∫ K ( y − x)dx > 0. Ω2 Ω1

∫

Untuk Lim J ( x, t ) = 0 akan diperoleh

t →∞

− d (S1m ( x, t ) + E11m ( x, t ) + I11m ( x, t ) + I 21m ( x, t ) + I co inf ( x, t )) + b(S1m ( x, t ) − E11m ( x, t ) − I11m ( x, t ) − I 21m ( x, t ) − I co inf ( x, t )) + ( S1m ( x, t ) + E11m ( x, t ))K ( x − y)dy − ( S1m ( x, t ) + E11m ( x, t )) ∫ K ( y − x)dx > 0 Ω2 Ω1

∫

atau

(b − d (S1m ( x, t ) − (b + d ) E11m ( x, t ) + I11m ( x, t ) + I 21m ( x, t ) + I co inf ( x, t )) +

∫

Ω2

( S1m ( x, t ) + E11m ( x, t ))K ( x − y)dy − ( S1m ( x, t ) + E11m ( x, t )) ∫ K ( y − x)dx > 0 Ω1


( S1m ( x, t ) + E11m ( x, t ))K ( x − y)dy − (S1m ( x, t ) + E11m ( x, t )) ∫ K ( y − x)dx > 0. Ω2 Ω1

∫

Dengan demikian penyelesaian positif dari konstruksi model tahapan ketiga berlaku

Lim S = 0 atau Lim J ( x, t ) = 0. t →∞ t →∞ 1m

172 Disertasi


HARIYANTO


Berikutnya akan ditunjukkan bahwa Lim I11m ( x, t ) = Lim I 21m ( x, t ) = Lim I co inf ( x, t ) = 0

t →∞

t →∞

t →∞

berpengaruh terhadap perubahan densitas subpopulasi yang lain, perhatikan

− d (S1m ( x, t ) + E11m ( x, t ) + I11m ( x, t ) + I 21m ( x, t ) + I co inf ( x, t ) + J ( x, t )) + b(S1m ( x, t ) − E11m ( x, t ) − I11m ( x, t ) − I 21m ( x, t ) − I co inf ( x, t ) − J ( x, t )) + (S1m ( x, t ) + E11m ( x, t ))K ( x − y)dy − ( S1m ( x, t ) + E11m ( x, t )) ∫ K ( y − x)dx > 0, Ω2 Ω1

∫

untuk Lim I11m ( x, t ) = Lim I 21m ( x, t ) = Lim I co inf ( x, t ) = 0 diperoleh

t →∞

t →∞

t →∞

(b − d )S1m ( x, t ) − (b + d ) E11m ( x, t ) J ( x, t ) + ( S1m ( x, t ) + E11m ( x, t ))K ( x − y)dy − ( S1m ( x, t ) + E11m ( x, t )) ∫ K ( y − x)dx > 0 Ω2 Ω1

∫


∫

Ω2

( S1m ( x, t ) + E11m ( x, t ))K ( x − y)dy − (S1m ( x, t ) + E11m ( x, t )) ∫ K ( y − x)dx > 0, Ω1

untuk Lim J ( x, t ) = 0 akan diperoleh

t →∞

(b − d )S1m ( x, t ) − (b + d ) E11m ( x, t ) + I11m ( x, t ) + I 21m ( x, t ) + I co inf ( x, t )) +

∫

Ω2

(S1m ( x, t ) + E11m ( x, t ))K ( x − y)dy − (S1m ( x, t ) + E11m ( x, t )) ∫ K ( y − x)dx > 0. Ω1


Lim I ( x, t ) = Lim I 21m ( x, t ) = Lim I co inf ( x, t ) = 0 atau Lim J ( x, t ) = 0. t →∞ 11m t →∞ t →∞ t →∞ Berikutnya akan ditunjukkan bahwa Lim I11m ( x, t ) = Lim I 21m ( x, t ) = Lim I co inf ( x, t ) = 0

t →∞

t →∞

t →∞

dan Lim S1m = 0 berpengaruh terhadap perubahan densitas subpopulasi yang lain,

t →∞

perhatikan

− d (S1m ( x, t ) + E11m ( x, t ) + I11m ( x, t ) + I 21m ( x, t ) + I co inf ( x, t ) + J ( x, t )) + b(S1m ( x, t ) − E11m ( x, t ) − I11m ( x, t ) − I 21m ( x, t ) − I co inf ( x, t ) − J ( x, t )) +

173 Disertasi


HARIYANTO


(S1m ( x, t ) + E11m ( x, t ))K ( x − y)dy − ( S1m ( x, t ) + E11m ( x, t )) ∫ K ( y − x)dx > 0, Ω2 Ω1

∫

untuk Lim I11m ( x, t ) = Lim I 21m ( x, t ) = Lim I co inf ( x, t ) = 0 dan Lim S1m = 0diperoleh

t →∞

t →∞

t →∞

t →∞

− (b + d )(E11m ( x, t ) + J ( x, t )) + E11m ( x, t ) K ( x − y)dy − E11m ( x, t ) ∫ K ( y − x)dx > 0 dan akan terpenuhi untuk b > d , Ω2 Ω1

∫

K ( x) > b + d dengan diffusi global

∫

Ω2

( S1m ( x, t ) + E11m ( x, t ))K ( x − y)dy − (S1m ( x, t ) + E11m ( x, t )) ∫ K ( y − x)dx > 0, Ω1

untuk Lim J ( x, t ) = 0.diperoleh

t →∞

(b − d )S1m ( x, t ) − (b + d ) E11m ( x, t ) + I11m ( x, t ) + I 21m ( x, t ) + I co inf ( x, t )) + (S1m ( x, t ) + E11m ( x, t ))K ( x − y)dy − (S1m ( x, t ) + E11m ( x, t )) ∫ K ( y − x)dx > 0. dan akan Ω2 Ω1

∫


( S1m ( x, t ) + E11m ( x, t ))K ( x − y)dy − (S1m ( x, t ) + E11m ( x, t )) ∫ K ( y − x)dx > 0. Ω2 Ω1

∫


Lim I ( x, t ) = Lim I 21m ( x, t ) = Lim I co inf ( x, t ) = 0 dan Lim S1m = 0 t →∞ 11m t →∞ t →∞ t →∞ atau

Lim J ( x, t ) = 0. t →∞ Jika diamati pada

Lim S = 0 mengakibatkan terjadinya peningkatan invasi virus t →∞ 1m

influenza H5N1 dan H1N1-p atau virus super strain, misalkan terjadi peningkatan pada invasi virus superstrain maka pada titik kesetimbangan endemik terdapat bilangan reproduksi dasar R0 J > 1. Perhatikan penyelesaian konstruksi model untuk subpopulasi terinfeksi virus super-strain

J ( x, t ) =

2

π

Exp(−(−(h4 + m2 + n2 + f 4 ) + b + d + q)t )

174 Disertasi


HARIYANTO


dengan bilangan reproduksi dasar

R0 J = atau dapat dinyatakan b + d + q =

h4 + m2 + n2 + f 4 DJ + b + d + q

h4 + m2 + n2 + f 4 − DJ , R0 J

5.83

Konstruksi model tahapan ketiga mempunyai penyelesaian positif dengan

R0 J > 1

sehingga DJ → 0 dan untuk menunjukkan bahwa J 1 ( x, t ) monoton naik perhatikan

− (h4 + m2 + n2 + f 4 ) + b + d + q dengan subtitusi persamaan 5.83 diperoleh

− (h4 + m2 + n2 + f 4 ) +

h4 + m2 + n2 + f 4 − DJ dan untuk DJ → 0 diperoleh R0 J

− (h4 + m2 + n2 + f 4 ) + b + d + q < 0. atau fungsi Exp(−(−(h4 + m2 + n2 + f 4 ) + b + d + q)t ) monoton naik. Jadi densitas subpopulasi super-strain J ( x, t ) monoton naik. Dengan demikian transmisi penyebaran dari ketiga virus tersebut saling berpengaruh satu dengan yang lain, hal tersebut telah ditunjukkan bahwa 1. jika

Lim S = 0 maka densitas dari virus super strain monoton naik meskipun t →∞ 1m

belum maksimum, demikian pula untuk Lim I11m ( x, t ) = Lim I 21m ( x, t ) = 0

t →∞

t →∞

Lim I ( x, t ) = 0 t →∞ co inf 2. jika

Lim I ( x, t ) = Lim I 21m ( x, t ) = Lim I co inf ( x, t ) = 0 dan Lim S1m = 0 maka t →∞ 11m t →∞ t →∞ t →∞

virus super strain monoton naik maksimum. Berdasarkan analisa terhadap densitas populasi diperoleh aturan biner terhadap penyebaran virus influenza H1N1-p dan H5N1 untuk t → ∞, hasil dari analisa tersebut digunakan untuk melakukan analisa persistensi terhadap virus influneza yang akan dibahas berikut ini

175 Disertasi


HARIYANTO


5.4.3. Analisa Persistensi terhadap virus influenza Analisa persistensi yang dilakukan pada konstruksi model matematika tahapan ketiga adalah mengamati pengaruh penyebaran virus influenza H5N1 dengan subtitusi asam amino terhadap perubahan sistem dan co-infeksi yang terjadi persisten terhadap perubahan sistem, pada pembahasan berikut akan ditunjukkan hubungan antara substitusi asam amino dengan bilangan reproduksi dasar dari virus influenza H1N1-p dan H5N1. Perhatikan bilangan reproduksi dasar untuk penyebaran virus influenza H1N1-p dan H5N1 berbentuk

R01 =

(k + f 2 )a → d +b+v = ( D + d + b + n) 2 E j

(k + f 2 )a - D EI j R01

artinya pertumbuhan populasi susceptible atau disebut growth demografi dan dapat dipandang sebagai recruitment susceptible. .

R02 =

A( p + h2 ) ( p + h2 ) A - D2I j , → d +b+u = D +d +b+u R02 I 2j

jika rate recovery, mortalitas dan fertilitas sama untuk setiap individual terinfeksi maka dapat diperoleh

( p + h2 ) A (k + f 2 )a - D EI = - D2I j j R01 R02 dan untuk koefisien diffusi lokal dari individual subpopulasi terinfeksi H1N1-p dan H5N1 sama maka diperoleh

(k + f 2 )a ( p + h2 ) A = R01 R02 atau dapat dinyatakan

(k + f 2 )a R01 ( R ) (k + f 2 ) ( p + h2 ) A 2 (k + f 2 )a =( a → A2 = . ) → A2 = 02 2 ( p + h2 ) 2 R01 ( p + h2 ) R02 R01 ( ) R02 2

Oleh karena koefisien diffusi lokal untuk individual terinfeksi H1N1-p dan H5N1 sama maka subtitusi asam amino yang dilakukan terhadap virus influenza H5N1 merupakan rasio perbandingan diantara reproduksi dasar virus H5N1 dengan H1N1-p dikalikan dengan rasio

176 Disertasi


HARIYANTO


perbandingan rate transmisi virus H1N1-p dengan H5N1 karena kontak dan interaksi dikalikan dengan rate perubahan individual dari ekspose menjadi individual yang mampu mentransmisi virus H1N1-p, dengan demikian dapat diperoleh beberapa hal yang berkaitan dengan subtitusi asam amino antara lain: 1. diasumsikan bahwa virus H5N1 mempunyai photogenitas tinggi dan H1N1-p mampu berdaptasi pada manusia sehingga ( p + h2 ) > (k + f 2 ) dan diperoleh subtitusi asam amino yang berbeda-beda. 2.

(k + f 2 ) adalah rate transmisi dari virus H1N1-p dengan individual yang terinfeksi berada pada subpopulasi ekspose dan untuk asam amino konstan diperoleh

R02 dan R01

(k + f 2 ) konstan artinya bilangan reproduksi dasar R02 berada pada kondisi yang ( p + h2 ) sama dengan R01 , demikian pula rate transmisi dari virus H5N1 sama dengan rate transmisi dari H1N1-p atau kedua virus berada pada kondisi yang sama. Berdasarkan pada analisa tersebut menunjukan bahwa perbedaan dalam melakukan substitusi asam amino sangat mempengaruhi keberhasilan terjadinya co-infeksi akan tetapi perbedaan tersebut dapat menunjukan perbedaan diatara rasio rate transmisi dari kedua virus, untuk mengetahui bahwa penyebaran dari kedua virus influenza saling persisten dapat ditunjukkan pada Teorema berikut ini

Teorema 5. 6. 1. Jika bilangan reproduksi dasar virus influenza H5N1 pada unggas

R0U > 1 dan

bilangan reproduksi dasar virus influenza H5N1 pada R02 > 1 maka virus influenza H5N1 strongly uniformly persistence. 2. Jika bilangan reproduksi dasar virus influensa H1N1-p R01 > 1 dan bilangan reproduksi dasar virus influenza H5N1 R02 < 1 maka virus influenza H1N1-p strongly uniformly persistence.

177 Disertasi


HARIYANTO


Bukti. Pembuktian ( 1 ), penyelesaian dari kosntruksi model matematika tahapan ketiga 5.70 berbentuk S1m ( x, t ) =

2

π


π

Exp(−((r + f1 ) + (m + h1 ) A + f 3 + d − b − o − q1 − q2 − w − q3 )) S m (x,0) I 21U ( x, t ) =

2

π

Exp (−(d + b − p)t ) I 21U ( x,0)

dan

I 21m ( x, t ) =

2

π

Exp(−(b + d + u + 2w2 + m1 − ( p + h2 ) A)t ) I 21m ( x,0),

transmisi virus influenza H5N1 terhadap individual susceptible dapat dinyatakan dengan metric

d ( S1m ( x, t ), I 21U ( x, t )) = ∫ S1m ( x, t ) − I 21m ( x, t ) dx Ω

dengan S1m ( x, t ) − I 21m ( x, t ) =

2

π

E xp(−(2µ + (r + f1 ) + (m + h1 ) A + f 3 + d − b − o − q1 − q2 − w − q3 )t ) S1m ( x,0) + 2

π

Exp(−((r + f1 ) + (m + h1 ) A + f 3 + d − b − o − q1 − q2 − w − q3 )) S m (x,0) -

Exp(−(b + d + u + 2w2 + m1 − ( p + h2 ) A)t ) I 21m ( x,0) sehingga untuk S1m ( x, t ) ≥ I 21m ( x, t ) dapat diperoleh

d ( S1m ( x, t ), I 21U ( x, t )) = 2

π

{Exp(−(2µ + (r + f1 ) + (m + h1 ) A + f 3 + d − b − o − q1 − q2 − w − q3 )t ) S1m (0) + 2

π

Exp(−((r + f1 ) + (m + h1 ) A + f 3 + d − b − o − q1 − q2 − w − q3 )) S m (0) -

Exp(−(b + d + u + 2w2 + m1 − ( p + h2 ) A)t ) I 21m (0)},

178 Disertasi


HARIYANTO


oleh karena R0U > 1 maka terdapat peningkatan subpopulasi terinfeksi H5N1 dan berlaku

Lim S ( x, t ) = 0 untuk penyelesaian positif konstruksi model tahapan ketiga sehingga t →∞ 1m diperoleh fungsi Exp(−(b + d + u + 2w2 + m1 − ( p + h2 ) A)t ) monoton naik dan fungsi

Exp(−(2µ + (r + f1 ) + (m + h1 ) A + f 3 + d − b − o − q1 − q2 − w − q3 )t ) dan

Exp(−(r + f1 ) + (m + h1 ) A + f 3 + d − b − o − q1 − q2 − w − q3 )t ) monoton turun untuk t → ∞ atau dapat dinyatakan dengan

Lim S ( x, t ) = 0 dan Lim I 21m ( x, t ) = I 21m ( x, t ) maks , t →∞ 1m t →∞ dengan demikian transmisi virus influenza H5N1 yang terjadi karena kontak dan interaksi pada daerah persekitaran dengan jarak minimum dinyatakan dengan

Lim Inf (d (S1m ( x, t ), I 21U ( x, t ))) = − I 21m ( x, t ) maks I 21m (0) t →∞ atau

Lim Inf (d (S1m ( x, t ), I 21U ( x, t ))) = − N1 I 21m (0) t →∞ dengan N1 sebagai nilai maksimum dari Exp(−(b + d + u + 2w2 + m1 − ( p + h2 ) A)t ) untuk

t → ∞. Dengan cara yang sama dapat pula diperoleh

Lim Inf (d (S1m ( x, t ), I 21U ( x, t ))) = N1 I 21m (0) untuk S1m ( x, t ) < I 21m ( x, t ). t →∞ Dengan demikian untuk sebarang densitas subpopulasi I 21U ( x, t. dan S1m ( x, t ) dengan

R02 > 1 dan R0U > 1 terdapat konstante ε 0 = N1 sedemikian hingga

Lim Inf (d (S1m ( x, t ), I 21U ( x, t ))) = N 1 I 21m (0) > ε 0 = N1 t →∞ atau dapat dikatakan bahwa virus influenza strongly uniformly persistence atau mempunyai pengaruh terhadap perubahan sistem lokasi 1. Pada pembuktian ( 2 ), perhatikan penyelesaian berbentuk

I11m ( x, t ) =

2

π

Exp(−(−a + h3 + d + b + v)t ) I 11m ( x,0)

179 Disertasi


HARIYANTO


I 21m ( x, t ) =

2

π


Exp(−(b + d + u + 2w2 − m1 − A( p + h2 ))t ) I 21m ( x,0) 2

π

Exp(−(−2w1 + n1 + d + b + c)t ) I co−inf ( x,0),

transmisi virus influenza H1N1-p melalui kontak silang antara individual subpopulasi terinfeksi I11m ( x, t ) dengan I 21m ( x, t ) akan menghasilkan individual subpopulasi terinfeksi oleh kedua virus dan dapat dinyatakan dengan metric

d ( I11m ( x, t ), I 21m ( x, t )) ≤

∫I

Ω

11m

( x, t ) − I co −inf ( x, t ) dx + ∫ I co −inf ( x, t ) − I 21m ( x, t ) dx Ω

atau

d ( I11m ( x, t ), I 21m ( x, t )) ≤ d ( I11m ( x, t ), I co −inf ( x, t )) + d ( I co−inf ( x, t ), I 21m ( x, t )). Oleh karena virus influenza H5N1 mampu beradaptasi pada manusia setelah dilakukan subtitusi asam amino maka terdapat I co −inf ( x, t ) maks yang mengakibatkan adanya

Inf (d ( I11m ( x, t ), I 21m ( x, t ))) dan Inf (d ( I11m ( x, t ), I co −inf ( x, t ))) kecuali untuk transmisi d ( I co−inf ( x, t ), I 21m ( x, t )). Dengan demikian transmisi virus influenza H1N1-p I11m ( x, t ) ke individual subpopulasi terinfeksi H5N1 I 21m ( x, t ) dapat dinyatakan dalam metric pada persekitaran minimum

Inf (d ( I11m ( x, t ), I 21m ( x, t ))) = Inf (d ( I11m ( x, t ), I co −inf ( x, t ))) dengan

d ( I11m ( x, t ), I co −inf ( x, t )) =

2

π

∫ Exp (−(−a + h

3

+ d + b + v)t ) I11m ( x,0) −

Ω

Exp(−(−2w1 + n1 + d + b + c)t ) I co−inf ( x,0)) dx, untuk I 11m ( x, t ) ≥ I co −inf ( x, t ) dapat diperoleh d ( I 11m ( x, t ), I co −inf ( x, t )) =

2

π

( Exp(−(−a + h3 + d + b + v)t ) I 11m (0) − Exp(−(−2w1 + n1 + d + b + c)t ) I co −inf (0)),

oleh karena R01 > 1 maka subpopulasi terinfeksi I11m ( x, t ) monoton naik atau

Exp(−(−a + h3 + d + b + v)t ) maks untuk t → ∞ dan untuk Inf (d ( I11m ( x, t ), I co −inf ( x, t ))) akan

180 Disertasi


HARIYANTO


terdapat subpopulasi I co=inf ( x, t ) monoton naik atau Exp(−(−2w1 + n1 + d + b + c)t ) maks untuk

t → ∞. Dengan demikian dapat diperoleh

Lim Inf (d ( I11m ( x, t ), I 21m ( x, t ))) = N I11m (0) − M I co −inf (0) t →∞ dengan Exp(−(−a + h3 + d + b + v)t ) maks = N dan Exp(−(−2w1 + n1 + d + b + c)t ) maks = M , dengan cara yang sama dapat diperoleh untuk I 11m ( x, t ) < I co −inf ( x, t ) yaitu

Lim Inf (d ( I11m ( x, t ), I 21m ( x, t ))) = M I co −inf (0) − N I11m (0) t →∞ sehingga untuk sebarang I11m ( x, t ) dan I 21m ( x, t ) akan terdapat ε 0 = ( N − M ) sedemikian rupa sehingga

Lim Inf (d ( I11m ( x, t ), I 21m ( x, t ))) = NI 11m (0) − MI co −inf (0) > ε 0 = ( N − M ) t →∞ dan transmisi virus influenza H1N1-p dari I11m ( x, t ) terhadap subpopulasi terinfeksi

I 21m ( x, t ) berpengaruh sangat besar terhadap subpopulasi yang terinfeksi oleh kedua virus influenza tersebut atau juga disebut strongly uniformly persistenc. Berdasarkan Teorema 5.6 menunjukkan bahwa virus influenza H1N1-p dan H5N1 yang berada pada I co−inf ( x, t ) saling berpengaruh sangat kuat dan hal tersebut mengindikasikan adanya co-infeksi untuk t → ∞, dengan demikian peluang terjadinya koalisi sangat besar. Pada pembahasan berikut akan dilakukan analisa terhadap penyebaran virus super strain.

5. 5. ANALISA PENYEBARAN VIRUS SUPER-STRAIN Analisa terhadap virus super - strain dilakukan berdasarkan pada konstruksi model koalisi tahapan ketiga, oleh karena itu well-posed dari konstruksi model penyebaran super strain merupakan bagian dari konstruksi model tahapan ketiga yang telah dibahas pada subsubbab 5.4.1, sedangkan analisa persistensi terhadap penyebaran virus super-strain untuk mengetahui pengaruh transmisi virus super-strain terhadap individual subpopulasi terinfeksi H1N1-p, H5N1 dan co-infeksi sangat diperlukan untuk mengetahui adanya traveling wave maupun gelombang penyebaran.

181 Disertasi


HARIYANTO


5. 5.1. Analisa persistensi terhadap virus super -strain Perubahan yang terjadi pada konstruksi model matematika tahapan ketiga adalah munculnya subpopulasi baru yaitu

subpopulasi terinfeksi oleh virus super-strain J ,

subpopulasi ini terbentuk oleh evolusi genetika setelah kedua virus tersebut mampu beradaptasi pada

I co−inf ( x, t ). Persistensi penyebaran virus super-strain terhadap

penyebaran multi strain multi infeksi pada konstruksi model matematika tahap ketiga ditunjukkan pada teorema berikut ini

Teorema 5. 7. Jika bilangan reproduksi dasar dari penyebaran virus superstrain R0 J > 1 pada konstruksi model matematika koalisi tahapan ketiga 5.69 maka 1. Virus super-strain strongly uniformly persistence terhadap penyebaran virus influenza H5N1 untuk R02 < 1. 2. Virus super-strain strongly uniformly persistence terhadap penyebaran virus influenza H1N1-p untuk R01 > 1. 3. Virus super-strain strongly uniformly persistence terhadap penyebaran virus influenza H1N1-p dan H5N1 untuk R01 > 1. Bukti. Pembuktian (1), seperti pada penyelesaian positif dari konstruksi model tahapan ketiga 5.70. untuk subpopulasi J ( x, t ) dan I 21m ( x, t ) adalah

2

J ( x, t ) =

π

Exp(−(h4 − m2 − n2 − f 4 + d + b + q)t ) J (x,0)

dan

I 21m ( x, t ) =

2

π

Exp{−(b + d + u + 2w2 + m1 − ( p + h2 ) A)t} I 21m ( x,0),

transmisi virus super-strain melalui kontak individual terhadap individual populasi terinfeksi I 21m ( x, t ) dinyatakan dengan metric

d ( J ( x, t ), I 21m ( x, t )) =

∫ J ( x, t ) − I

21m

( x, t ) dx

Ω

182 Disertasi


HARIYANTO


atau

d ( J ( x, t ), I 21m ( x, t )) =

2

∫ Exp (−(h

4

π

− m2 − n2 − f 4 + d + b + q)t ) J (x,0) −

Ω

Exp(−(b + d + u + 2w2 + m1 − ( p + h2 ) A)t ) I 21m ( x,0) dx dan untuk J ( x, t ) ≥ I 21m ( x, t ) diperoleh d ( J ( x, t ), I 21m ( x, t )) =

2

(Exp(−(h4 − m2 − n2 − f 4 + d + b + q)t ) J (0) − π Exp(−(b + d + u + 2w2 + m1 − ( p + h2 ) A)t ) I 21m (0)), oleh karena R0 J > 1 dan berdasarkan Teorema 5.5 maka penyelesaian positif dari konstruksi model koalisi tahapan ketiga berlaku Lim I 21m ( x, t ) = 0 dan subpopulasi super-

t →∞

strain J ( x, t ) monoton naik sehingga transmisi virus super strain melalui kontak pada individual subpopulasi terinfeksi I 21m ( x, t ) berada didaerah persekitaran dengan jarak minimum atau dapat dinyatakan

Inf (d ( J ( x, t ), I 21m ( x, t ))) =

2

π

(Exp(−(b + d + u + 2w2 + m1 − ( p + h2 ) A)t ) I 21m (0) −

Exp(−(h4 − m2 − n2 − f 4 + d + b + q)t ) J (0)), subpopulasi J ( x, t ) monoton naik dan I 21m ( x, t ) monoton turun untuk t → ∞ sehingga diperoleh

Lim Inf (d ( J ( x, t ), I 21m ( x, t ))) = t →∞

2

π

N J (0) dengan N nilai maksimum dari fungsi

Exp(−(h4 − m2 − n2 − f 4 + d + b + q)t ) untuk t → ∞. Dengan cara sama untuk J ( x, t ) < I 21m ( x, t ) diperoleh d ( J ( x, t ), I 21m ( x, t )) =

2

(Exp(−(h4 − m2 − n2 − f 4 + d + b + q)t ) J (0) − π Exp(−(b + d + u + 2w2 + m1 − ( p + h2 ) A)t ) I 21m (0)) atau

2 Lim Inf (d ( J ( x, t ), I 21m ( x, t ))) = − NJ 1 (0), t →∞ π

183 Disertasi


HARIYANTO


dengan demikian untuk sebarang J ( x, t ) dan I 21m ( x, t ) terdapat ε 0 =

2

π

sedemikian rupa

sehingga

Lim Inf (d ( J ( x, t ), I 21m ( x, t ))) = t →∞

2

π

N J (0) > ε 0 =

2

π

atau dapat dikatakan bahwa penyebaran virus super strain mempunyai pengaruh yang sangat besar terhadap subpopulasi terinfeksi H5N1 atau strongly uniformly persistence terhadap I 21m ( x, t ). Pembuktian (2), seperti pada penyelesaian positif dari konstruksi model matematika koalisi tahapan ketiga 5.70 untuk I 11m ( x, t ), I 21m ( x, t ), I co−inf ( x, t ) dan J ( x, t ) adalah

2

I11m ( x, t ) =

π 2


2

I 21m ( x, t ) =

π

Exp(−(−a + h3 + d + b + v)t ) I 11m ( x,0) Exp(−(−2w1 + n1 + d + b + c)t ) I co−inf ( x,0)

Exp(−(b + d + u + 2w2 + m1 − ( p + h2 ) A)t ) I 21m ( x,0)

π

dan

J ( x, t ) =

2

π

Exp(−(h4 − m2 − n2 − f 4 + d + b + q)t ) J (x,0),

transmisi virus super-strain melalui kontak individual terhadap individual populasi terinfeksi I11m ( x, t ) dinyatakan dengan metric

d ( I11m ( x, t ), J ( x, t )) =

∫I

11m

( x, t ) − J ( x, t ) dx.

Ω

Transmisi virus super strain melalui kontak terhadap individual populasi terinfeksi

I11m ( x, t ) menunjukkan adanya transmisi multistrain diantara virus influenza H1N1-p,H5N1 dan virus super strain, oleh karena itu dikonstruksi peluang terjadinya kontak individual pada ketiga virus tersebut yaitu 1. Transmisi virus influenza H1N1-p melalui kontak antara I11m ( x, t ) dengan

I 21m ( x, t ) sehingga diperoleh I co−inf ( x, t ),

184 Disertasi


HARIYANTO


2. Transmisi virus super strain melalui kontak antara J ( x, t ) dengan I 21m ( x, t ) oleh karena virus super strain lebih dominan maka akan diperoleh individual populasi terinfeksi super strain J ( x, t ). Berdasarkan pada kontak individual dari ketiga virus diperoleh metric

d ( I11m ( x, t ), I 21m ( x, t )) ≤

∫I

11m

( x, t ) − J ( x, t ) dx +

Ω

∫ J ( x, t ) − I

21m

( x, t ) dx

Ω

atau

d ( I11m ( x, t ), I 21m ( x, t ))- d ( J ( x, t ), I 21m ( x, t )) ≤ d ( I11m ( x, t ), J ( x, t )) ≤ d ( I11m ( x, t ), I 21m ( x, t )) + d ( J ( x, t ), I 21m ( x, t )) Inf (d ( I11m ( x, t ), J ( x, t ))) = d ( I11m ( x, t ), I 21m ( x, t ))- d ( J ( x, t ), I 21m ( x, t )), oleh karena I 21m ( x, t ) tidak dapat melakukan transmisi pada individual populasi manusia dan mampu beradaptasi pada manusia setelah dilakukan subtitusi asam amino maka

I 21m ( x, t ) mempunyai R02 < 1, berdasarkan pada Teorema 5.6 transmisi virus influenza H1N1-p I11m ( x, t ) pada I 21m ( x, t ) pada persekitaran minimum adalah

d ( I11m ( x, t ), I 21m ( x, t )) = d ( I11m ( x, t ), I co −inf ( x, t )) atau

d ( I11m ( x, t ), I 21m ( x, t )) = d ( I11m ( x, t ), I co −inf ( x, t )) = 2

π

∫ Exp (−(−a + h

3

+ d + b + v)t ) I 11m ( x,0) - Exp(−(−2w1 + n1 + d + b + c)t ) I co −inf ( x,0 dx

Ω

dan untuk I11m ( x, t ) ≥ I 21m ( x, t ) dapat diperoleh

d ( I11m ( x, t ), I 21m ( x, t )) = 2

π

( Exp(−(−a + h3 + d + b + v)t ) I11m (0) - Exp(−(−2w1 + n1 + d + b + c)t ) I co −inf (0)).

Sedangkan untuk transmisi virus super strain pada I 21m ( x, t ) dapat digunakan pembuktian 1 yaitu

185 Disertasi


HARIYANTO


d ( J (( x, t ), I 21m ( x, t )) = 2

π

(Exp(−(h4 − m2 − n2 − f 4 + d + b + q)t ) J (0) −

Exp(−(b + d + u + 2w2 + m1 − ( p + h2 ) A)t ) I 21m (0)), dengan demikian transmisi virus super-strain melalui kontak individual terhadap individual subpopulasi terinfeksi I11m ( x, t ) pada persekitaran minimum adalah

Inf (d ( I11m ( x, t ), J ( x, t ))) = d ( I11m ( x, t ), I 21m ( x, t )) - d ( J ( x, t ), I 21m ( x, t )) atau

Inf (d ( I11m ( x, t ), J ( x, t ))) = 2

π

( Exp(−(−a + h3 + d + b + v)t ) I 11m (0) − Exp(−(−2w1 + n1 + d + b + c)t ) I co −inf (0)) −

Exp(−(h4 − m2 − n2 − f 4 + d + b + q)t ) J (0) + Exp(−(b + d + u + 2w2 + m1 − ( p + h2 ) A)t ) I 21m (0)), oleh karena R0 J > 1 dan R02 < 1 maka penyelesaian positif dari konstruksi model berlaku

Lim I ( x, t ) = 0 atau subpopulasi super strain J ( x, t ) monoton naik dan subpopulasi t →∞ 21m I 21m ( x, t ) monoton turun untuk t → ∞ , sedangkan transmisi virus influenza H1N1-p pada I 21m ( x, t ) akan menghasilkan I co−inf ( x, t ) bila R01 > 1. Dengan demikian untuk t → ∞ transmisi virus super-strain melalui kontak individual terhadap individual populasi terinfeksi I11m ( x, t ) pada persekitaran minimum adalah

2 ( N1 I 11m (0) − N 2 I co −inf (0)) − N 3 J (0)) Lim Inf (d ( I11m ( x, t ), J ( x, t ))) = t →∞ π dengan N1 = Exp(−(−a + h3 + d + b + v)t ) maks , N 2 = Exp(−(−2w1 + n1 + d + b + c)t ) maks dan N 3 = Exp(−(h4 − m2 − n2 − f 4 + d + b + q)t ) maks . Dengan cara yang sama untuk I11m ( x, t ) < I 21m ( x, t ) dan J ( x, t ) < I 21m ( x, t ) dapat diperoleh

2 ( N 3 I 11m (0) − N 2 I co −inf (0)) − N1 J (0)) Lim Inf (d ( I11m ( x, t ), J ( x, t ))) = t →∞ π

186 Disertasi


HARIYANTO


dengan N1 = Exp(−(−a + h3 + d + b + v)t ) maks , N 2 = Exp(−(−2w1 + n1 + d + b + c)t ) maks dan N 3 = Exp(−(h4 − m2 − n2 − f 4 + d + b + q)t ) maks , dengan demikian untuk sebarang J ( x, t ) dan I11m ( x, t ) terdapat ε 0 =

2

π

sedemikian rupa

sehingga

2 2 N1 I11m (0) − N 2 I co −inf (0)) − N 3 J (0) > ε 0 = Lim Inf (d ( I11m ( x, t ), J ( x, t ))) = t →∞ π π atau dapat dikatakan bahwa invasi virus super strain J ( x, t ) mempunyai pengaruh yang sangat beasar terhadap subpopulasi terinfeksi I11m ( x, t ) atau strongly uniformly persistence. Pembuktian (3), seperti pada penyelesaian positif dari konstruksi model matematika tahapan ketiga 5.70 untuk I 11m ( x, t ), I 21m ( x, t ), S1m ( x, t ) dan J ( x, t ) adalah

S1m ( x, t ) = 2

π


π I11m ( x, t ) = I 21m ( x, t ) =

J ( x, t ) =

Exp(−((r + f1 ) + (m + h1 ) A + f 3 + d − b − o − q1 − q2 − w − q3 )) S m (x,0) 2

π 2

π 2

π

Exp(−(−a + h3 + d + b + v)t ) I 11m ( x,0)

Exp(−(b + d + u + 2w2 + m1 − ( p + h2 ) A)t ) I 21m ( x,0) Exp(−(b + d + q − h4 − m2 − n2 − f 4 )t ) J (x,0),

transmisi virus super-strain melalui kontak individual terhadap individual populasi terinfeksi I11m ( x, t ) dan I 21m ( x, t ) dinyatakan dengan metric

d ( J ( x, t ), I11m ( x, t )) =

∫ J ( x, t ) − I

11m

( x, t ) dx

∫ J ( x, t ) − I

21m

( x, t ) dx

Ω

d ( J ( x, t ), I 21m ( x, t )) =

Ω

187 Disertasi


HARIYANTO


atau

d ( J ( x, t ), I11m ( x, t )) + d ( J ( x, t ), I 21m ( x, t )) =

∫ J ( x, t ) − I

11m

( x, t ) dx +

Ω

∫ J ( x, t ) − I

21m

( x, t ) dx.

Ω

Transmisi virus super strain melalui kontak terhadap individual populasi terinfeksi

I11m ( x, t ) dengan R01 > 1 dan I 21m ( x, t ) menunjukkan adanya transmisi multistrain diantara virus influnza H1N1-p,H5N1 dan virus super strain, oleh karena itu dikonstruksi peluang terjadinya kontak individual pada ketiga virus tersebut yaitu 1. Transmisi virus influenza H1N1 melalui kontak dan interaksi antara I11m ( x, t ) dengan S1m ( x, t ). 2. Transmisi

virus

super

strain

melalui

kontak

antara

J ( x, t )

dengan

I 21m ( x, t ), I11m ( x, t ) dan S1m ( x, t ), oleh karena virus super strain lebih dominan dibandingkan dengan virus lainnya maka akan diperoleh individual populasi terinfeksi super strain J ( x, t ) 3. Transmisi virus influenza H5N1 melalui kontak dan interaksi antara I 21m ( x, t ) dengan S1m ( x, t ). Perhatikan transmisi virus super strain melalui kontak dan interaksi antara J ( x, t ) dengan

S1m ( x, t ) dinyatakan dalam metric d ( J ( x, t ), S1m ( x, t )) =

∫ J ( x, t ) − S

1m

( x, t ) dx

Ω

atau

d ( J ( x, t ), S1m ( x, t )) ≤ ∫ J ( x, t ) − I 11m ( x, t ) dx + Ω

∫I

11m

( x, t ) − S1m ( x, t ) dx

Ω

d ( J ( x, t ), S1m ( x, t )) ≤ d ( J ( x, t ), I11m ( x, t )) + d ( I11m ( x, t ), S1m ( x, t )) atau

d ( J ( x, t ), S1m ( x, t )) - d ( I11m ( x, t ), S1m ( x, t )) ≤ d ( J ( x, t ), I11m ( x, t )) ≤ d ( J ( x, t ), S1m ( x, t )) + d ( I11m ( x, t ), S1m ( x, t ))

188 Disertasi


HARIYANTO


menunjukkan penyebaran dari 2 virus yaitu H1N1-p dan super strain, sedangkan penyebaran virus H5N1 dan super strain adalah

d ( J ( x, t ), S1m ( x, t )) - d ( I 21m ( x, t ), S1m ( x, t )) ≤ d ( J ( x, t ), I 21m ( x, t )) ≤ d ( J ( x, t ), S1m ( x, t )) + d ( I 21m ( x, t ), S1m ( x, t )) dan untuk penyebaran virus influenza H5N1 unggas pada manusia dimulai adanya kontak dan interaksi antara I 21U ( x, t ) dengan S1m ( x, t ) sehingga konstruksi transmisi dapat dinyatakan

d ( S1m ( x, t ), I 21U ( x, t )) - d ( I 21m ( x, t ), I 21U ( x, t )) ≤ d (S1m ( x, t ), I 21m ( x, t )), oleh karena subpopulasi I 21m ( x, t ) diisolasi maka dapat diperoleh

d ( S1m ( x, t ), I 21U ( x, t ))= d ( S1m ( x, t ), I 21m ( x, t )). Dengan demikian transmisi virus super strain melalui kontak dan interaksi antara

J ( x, t ) dengan I 21m ( x, t ), I11m ( x, t ) pada persekitaran minimum adalah Inf (d ( J ( x, t ), I11m ( x, t ))) = d ( J ( x, t ), S1m ( x, t )) - d ( I11m ( x, t ), S1m ( x, t )) dan

Inf (d ( J ( x, t ), I 21m ( x, t ))) = d ( J ( x, t ), S1m ( x, t )) - d ( I 21m ( x, t ), S1m ( x, t )) atau

Inf (d ( J ( x, t ), I11m ( x, t ))) + Inf (d ( J ( x, t ), I 21m ( x, t ))) = 2d ( J ( x, t ), S1m ( x, t ))- d ( I11m ( x, t ), S1m ( x, t )) - d ( I 21m ( x, t ), S1m ( x, t )) dengan

2d ( J ( x, t ), S1m ( x, t ))= 2

2

π

∫ Exp(−(b + d + q − h

4

− m2 − n2 − f 4 )t ) J (x,0) −

Ω

Exp(−(2µ + (r + f1 ) + (m + h1 ) A + f 3 + d − b − o − q1 − q2 − w − q3 )t ) S1m ( x,0) − 2

π

Exp(−((r + f1 ) + (m + h1 ) A + f 3 + d − b − o − q1 − q2 − w − q3 )) S m ( x,0) dx

dan untuk J ( x, t ) ≥ S1m ( x, t ) diperoleh

189 Disertasi


HARIYANTO


2d ( J ( x, t ), S1m ( x, t ))= 2

2

(Exp(−(b + d + q − h4 − m2 − n2 − f 4 )t ) J (0) −

π

Exp(−(2µ + (r + f1 ) + (m + h1 ) A + f 3 + d − b − o − q1 − q2 − w − q3 )t ) S1m (0) − 2

π

Exp(−((r + f1 ) + (m + h1 ) A + f 3 + d − b − o − q1 − q2 − w − q3 )) S m (0)).

d ( I11m ( x, t ), S1m ( x, t )) = 2

∫ Exp (−(−a + h

+ d + b + v)t ) I11m ( x,0) −

3

π

Ω


π


dan untuk I11m ( x, t ) ≥ S1m ( x, t ) diperoleh

d ( I11m ( x, t ), S1m ( x, t )) = 2

π

( Exp(−(−a + h3 + d + b + v)t ) I11m (0) −

Exp(−(2µ + (r + f1 ) + (m + h1 ) A + f 3 + d − b − o − q1 − q2 − w − q3 )t ) S1m (0)). 2

π

Exp(−((r + f1 ) + (m + h1 ) A + f 3 + d − b − o − q1 − q2 − w − q3 )) S m (0)).

d ( I 21m ( x, t ), S1m ( x, t )) = 2

π

∫ Exp (−(b + d + u + 2w

2

+ m1 − ( p + h2 ) A)t ) I 21m ( x,0) −

Ω


π


dan untuk I 21m ( x, t ) ≥ S1m ( x, t ) diperoleh

190 Disertasi


HARIYANTO


d ( I 21m ( x, t ), S1m ( x, t )) = 2

π

(Exp(−(b + d + u + 2w2 + m1 − ( p + h2 ) A)t ) I 21m (0) −

Exp(−(2µ + (r + f1 ) + (m + h1 ) A + f 3 + d − b − o − q1 − q2 − w − q3 )t ) S1m (0) − 2

π

Exp(−((r + f1 ) + (m + h1 ) A + f 3 + d − b − o − q1 − q2 − w − q3 )) S m (0)),

oleh karena R0 j > 1 maka penyelesaian positif dari konstruksi model berlaku

Lim S ( x, t ) = 0 atau subpopulasi J ( x, t ) monoton naik untuk t → ∞ dan untuk t →∞ 1m R01 > 1, R02 > 1 diperoleh subpopulasi I 21m ( x, t ), I11m ( x, t ) monoton naik sehingga

Lim Inf (d ( J ( x, t ), I11m ( x, t ))) + Lim Inf (d ( J ( x, t ), I 21m ( x, t ))) = t →∞ t →∞ Lim 2d ( J ( x, t ), S1m ( x, t )) - Lim d ( I11m ( x, t ), S1m ( x, t )) - Lim d ( I 21m ( x, t ), S1m ( x, t )) t →∞ t →∞ t →∞ atau

Lim Inf (d ( J ( x, t ), I11m ( x, t ))) + Lim Inf (d ( J ( x, t ), I 21m ( x, t ))) = t →∞ t →∞ 2

π

(2 N1 J (0) + N 2 I11m (0) + N 3 I 21m (0)) dengan N1 , N 2 dan N 3 nilai maksimum dari

fungsi Exp(−(b + d + q − h4 − m2 − n2 − f 4 )t ), Exp(−(−a + h3 + d + b + v)t ) dan

Exp(−(b + d + u + 2w2 + m1 − ( p + h2 ) A)t ) untuk t → ∞. Untuk

J ( x, t ) < S1m ( x, t ), I11m ( x, t ) < S1m ( x, t ) dan I 21m ( x, t ) < S1m ( x, t ) diperoleh

Lim Inf (d ( J ( x, t ), I11m ( x, t ))) + Lim Inf (d ( J ( x, t ), I 21m ( x, t ))) = t →∞ t →∞ Lim 2d ( J ( x, t ), S1m ( x, t )) - Lim d ( I11m ( x, t ), S1m ( x, t )) - Lim d ( I 21m ( x, t ), S1m ( x, t )) t →∞ t →∞ t →∞ atau

Lim Inf (d ( J ( x, t ), I11m ( x, t ))) + Lim Inf (d ( J ( x, t ), I 21m ( x, t ))) = t →∞ t →∞

191 Disertasi


HARIYANTO


2

π

(−2N1 J (0) − N 2 I11m (0) − N 3 I 21m (0)) dengan N1 , N 2 dan N 3 nilai maksimum dari fungsi Exp(−(b + d + q − h4 − m2 − n2 − f 4 )t ), Exp(−(−a + h3 + d + b + v)t ) dan

Exp(−(b + d + u + 2w2 + m1 − ( p + h2 ) A)t ) untuk t → ∞., dengan demikian untuk sebarang subpopulasi I 21m ( x, t ), I11m ( x, t ) dan J ( x, t ) terdapat

ε0 =

2

π

sedemikian rupa sehingga

Lim Inf (d ( J ( x, t ), I11m ( x, t ))) + Lim Inf (d ( J ( x, t ), I 21m ( x, t ))) = t →∞ t →∞ 2

π

2 N1 J (0) + N 2 I11m (0) + N 3 I 21m (0) > ε 0 =

2

π

dengan N1 , N 2 dan N 3 nilai maksimum dari fungsi

Exp(−(b + d + q − h4 − m2 − n2 − f 4 )t ), Exp(−(−a + h3 + d + b + v)t ) dan Exp(−(b + d + u + 2w2 + m1 − ( p + h2 ) A)t ) untuk t → ∞ dan dapat dinyatakan bahwa invasi virus super strain

sangat berpengaruh terhadap penyebaran virus influenza H1N1-p

maupun H5N1 atau virus super strain strongly uniformly persistence terhadap penyebaran H1N1-p maupun H5N1. Berdasarkan analisa persistensi terhadap penyebaran virus super strain dapat diperoleh bahwa virus super strain persisten terhadap penyebaran virus influenza H1N1-p dan H5N1, hal tersebut merupakan indikator terhadap peluang terjadinya outbreak dari penyebaran virus super strain yang berakibat terjadinya peluang adanya gelombang penyebaran. Pada pembahasan berikut akan ditunjukkan gelombang penyebaran virus super strain melalui model traveling wave.

4.5.2. Analisa model traveling wave dari penyebaran virus super-strain Model traveling wave dari penyebaran virus super-strain dibangun dengan melakukan substitusi u = x + ct terhadap konstruksi model matematika koalisi tahapan ketiga dengan c sebagai kecepatan penyebaran virus, oleh karena terdapat banyak

192 Disertasi


HARIYANTO


parameter pada konstruksi model matematika tahapan ketiga maka dilakukan subtitusi terhadap konstruski model menjadi bentuk konstruksi model tanpa dimensi. Perhatikan model untuk subpopulasi super-strain berbentuk 2 ∂J J ∂ J = D1 + h4 J + m2 J + n2 J + f 4 J − dJ − bJ − qJ ∂t ∂x 2

D1S t misalkan J = L W , s = 2 , yL = x maka bentuk model subpopulasi super-strain tanpa L 2

∗

dimensi adalah

D1J

∗ ∂W ∗ ∂ 2W ∗ = D1J + h4 L2W ∗ + m2 L2W ∗ + n2 L2W ∗ + f 4 L2 − (d + b + q) L2W ∗ 2 ∂s ∂y

atau

∂W ∗ ∂ 2W ∗ = + a1W ∗ + b1W ∗ + c1W ∗ + d1W ∗ − e1W ∗ 2 ∂s ∂y dengan

h4 L2 n2 L2 m2 L2 f 4 L2 (b + d + q) L2 N1 L2 = , c1 = J , d1 = J , e1 = . a1 = J , b1 = D1 D1 D1J D1J D1J D1 Khusus untuk d → 0 total populasi susceptible e1 =

(b + d + q) L2 (b + q) L2 = yang D1J D1J

berasal dari subpopulasi terinfeksi super-strain dengan rate mortalitas yang dinyatakan oleh kekebalan alamiah dan rate recovery q tetap sehingga

e1W ∗ =

(b + q) L2 ∗ W = e. D1J

Jadi model subpopulasi super-strain tanpa dimensi dapat dinyatakan sebagai berikut

∂W ∗ ∂ 2W ∗ = + (a1 + b1 + c1 + d1 )W ∗ − e ∂s ∂y 2 dengan subtitusi z = y + Cs diperoleh model traveling wave berbentuk:

dW ∗ ∂z d 2W ∗ ∂z 2 = ( ) + (a1 + b1 + c1 + d1 )W ∗ − e 2 dz ∂s ∂y dz

193 Disertasi


HARIYANTO


C

dW ∗ d 2W ∗ = + (a1 + b1 + c1 + d1 )W ∗ − e 2 dz dz

dR dW ∗ = CR − (a1 + b1 + c1 + d1 )W ∗ + e = R dan dz dz

5.84

dengan kondisi batas

Lim (W ∗ , R) = (0,0) dan Lim(W ∗ , R) = (

Z →−∞

Z →∞

e , 0) a1 + b1 + c1 + d1

dengan W ∗ dan R sebagai titik kesetimbangan endemik dan bebas virus. Model traveling wave dapat dinyatakan dalam bentuk model sistem linear

d ⎡W ∗ ⎤ ⎢ ⎥ = dz ⎣ R ⎦

0 1 ⎤ ⎡W ∗ ⎤ ⎡0⎤ + ⎡ ⎢− (a + b + c + d ) C ⎥ ⎢ ⎥ + ⎢e ⎥1 1 1 1 1 ⎣ ⎦ ⎣ R ⎦ ⎣ ⎦

dengan persamaan karakteristik

−λ 1 = 0 → λ2 − Cλ + (a1 + b1 + c1 + d1 ) = 0 − (a1 + b1 + c1 + d1 ) C − λ atau

λ12 =

C ± C 2 − 4(a1 + b1 + c1 + d1 ) 2

5.85

dengan nilai dari akar karakteristik λ12 bergantung pada D = C 2 − 4(a1 + b1 + c1 + d1 ) yaitu 1. Jika C 2 − 4(a1 + b1 + c1 + d1 ) > 0 didapatkan λ12 mempunyai 2 nilai real positif untuk

C1 > 2 (a1 + b1 + c1 + d1 ) atau C1 < −2 (a1 + b1 + c1 + d1 ) . 2. Jika C 2 − 4(a1 + b1 + c1 + d1 ) = 0 didapatkan λ12 mempunyai nilai real positif tunggal untuk C1 = ±2 (a1 + b1 + c1 + d1 ) . 3. Jika C 2 − 4(a1 + b1 + c1 + d1 ) < 0 didapatkan λ12 mempunyai nilai komplek sekawan untuk − 2 (a1 + b1 + c1 + d1 ) < C < 2 (a1 + b1 + c1 + d1 ). Berdasarkan nilai karekateristik tersebut dapat diketahui bahwa sistem tidak stabil pada titik kesetimbangan endemik sehingga kecepatan penyebaran C > 0 bergantung pada nilai diskriminan D seperti pada gambar berikut ini

194 Disertasi


HARIYANTO


10

5

D>0

D-diskriminan

0

D>0

• −a

• a

-5 D<0

-10

-15

a = 2 a1 + b1 + c1 + d1 -20 -5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

C-kecepatan penyebaran

Gambar 5.11. Relasi nilai karakteristik dengan kecepatan penyebaran. Oleh karena C > 0 maka terdapat 2 interval penyebaran yaitu 1. D < 0 atau C 2 − 4(a1 + b1 + c1 + d1 ) < 0, untuk D = −a maka − 4(a1 + b1 + c1 + d1 ) =

C 2 − 4(a1 + b1 + c1 + d1 ) atau C = 0 berarti virus super

strain berada di titik

kesetimbangan bebas penyakit. Misalkan D = −a + δ untuk bilangan positif sebarang maka akan terdapat C = 0 + ε untuk bilangan positif sebarang ε sedemikian rupa sehingga Lim D = Lim D = D(ε ) = −a + δ , dengan demikian terdapat perubahan C →ε + C →ε − kecepatan penyebaran dan untuk bilangan positif kecil sebarang ε maka dapat diperoleh kecepatan penyebaran minimum C = 0 + ε . Perhatikan untuk titik C = a, jika didekati dari arah kiri dan kanan atau

Lim D = Lim D = D(a) = 0 sehingga C →a − C →a +

diperoleh interval diskriminan untuk kecepatan penyebaran bila D < 0 yaitu

− a < D(ε ) ≤ D ≤ 0 atau − a < ε ≤ C ≤ a, dengan demikian terdapat Cmin < C. 2. D > 0 atau C 2 − 4(a1 + b1 + c1 + d1 ) > 0, perhatikan gambar 5.11

D = C 2 − 4(a1 + b1 + c1 + d1 ) monoton naik untuk [0, ∞ ) yang tidak mungkin terjadi, oleh karena kecepatan penyebaran ekivalen dengan rate transmisi maka penyelesaian

195 Disertasi


HARIYANTO


positif dari konstruksi model berlaku Lim J1 ( x, t ) = 0 atau S1m ( x, t ) monoton naik

t →∞

sehingga Lim D = Dmaks atau Lim C = Cmaks . z→∞ C →∞ Dengan demikian pada model traveling wave terdapat kecepatan penyebaran dalam interval

− a < Cmin = ε ≤ C ≤ a ≤ Cmaks .

5.86

Berdasarkan analisa tersebut diatas dapat disusun Teorema berikut ini

Teorema 5. 8. Jika D1J C 2 − 4 L2 (h4 + m2 + n2 + f 4 ) < 0 dengan C sebagai kecepatan penyebaran virus super-strain maka pada titik kesetimbangan endemik virus super-strain melakukan invasi dengan panjang gelombang penyebaran

4nπL 4nπL .<ω < , (2n − 1)π + LC LC + 4nπ dan jumlah gelombang penyebaran adalah

(2n − 1)π + LC 4nπ + LC <λ< 4π 4π Bukti. Berdasarkan pada interval kecepatan penyebaran 5.86 terdapat Cmin sedemikian hingga pada model traveling wave penyebaran virus superstrain 5.84 terdapat kecepatan penyebaran C pada titik kesetimbangan endemik dan kecepatan penyebaran C untuk

s → ∞ , nilai karakteristik model traveling wave adalah

λ12 =

C ± C 2 − 4(a1 + b1 + c1 + d1 ) 2

sehingga untuk C 2 − 4(a1 + b1 + c1 + d1 ) < 0 atau

D1J C 2 − 4L2 (h4 + m2 + n2 + f 4 ) < 0

diperoleh nilai eigen komplek sekawan

λ12 =

C ± i 4 L2 (h4 + m2 + n2 + f 4 ) − D1J C 2 2

sehingga pada titik kesetimbangan endemik

196 Disertasi


HARIYANTO


Lim λ12 = Lim

C ± i 4 L2 (h4 + m2 + n 2 + f 4 ) − D1J C 2 2

Z →∞

Z →∞

=

C ± i 4 L2 (h4 + m2 + n2 + f 4 ) − D1J C 2 2 untuk 4L2 (h4 + m2 + n2 + f 4 ) − D1J C 2 > 0, dengan demikian PUPD dari model traveling wave adalah

4 L2 (h4 + m2 + n2 + f 4 ) − D1J C 2 C { cos( K z) + W (z ) = Exp( z ) 1 2 2 ∗

{K 2 sin(

4 L2 (h4 + m2 + n2 + f 4 ) − D1J C 2 2

z)

dan dilakukan subtitusi

cos(

Exp(

4 L2 (h4 + m2 + n2 + f 4 ) − D1J C 2 2

z)=

i 4 L2 (h4 + m2 + n2 + f 4 ) − D1J C 2 2

z ) + Exp(

− i 4 L2 (h4 + m2 + n2 + f 4 ) − D1J C 2 2

z)

2 dan

4 L2 (h4 + m2 + n 2 + f 4 ) − D1J C 2

z) = 2 J − i 4 L2 (h4 + m2 + n2 + f 4 ) − D1J C 2 i 4 L (h4 + m2 + n2 + f 4 ) − D1 C 2 Exp( z ) − Exp( z) 2 2 2i

sin(

2

pada PUPD dapat diperoleh

W ∗ (z ) = Exp(

K C iz z ) { 1 ( Exp( 4 L2 (h4 + m2 + n2 + f 4 ) − D1J C 2 ) + 2 2 2

Exp(

− iz 4 L2 (h4 + m2 + n2 + f 4 ) − D1J C 2 ) + 2

K2 iz ( Exp( 4 L2 (h4 + m2 + n2 + f 4 ) − D1J C 2 ) − 2i 2

197 Disertasi


HARIYANTO


Exp(

− iz 4 L2 (h4 + m2 + n2 + f 4 ) − D1J C 2 )}. 2

Pada titik kesetimbangan endemik (

e1 ,0) diperoleh a1 + b1 + c1 + d1

K C iz 4 L2 (h4 + m2 + n2 + f 4 ) − D1J C 2 ) + Lim W ∗ (z ) = Lim Exp( z ) { 1 ( Exp( z→∞ z→∞ 2 2 2

Exp(

− iz 4 L2 (h4 + m2 + n2 + f 4 ) − D1J C 2 ) + 2

K2 iz ( Exp( 4 L2 (h4 + m2 + n2 + f 4 ) − D1J C 2 ) − 2i 2

Exp(

− iz 4 L2 (h4 + m2 + n2 + f 4 ) − D1J C 2 )} 2

atau

K K Cz iz 4 L2 (h4 + m2 + n2 + f 4 ) − D1J C 2 ) { 1 + 2 ) Lim W ∗ (z ) = Lim Exp( + z→∞ z→∞ 2i 2 2 2 K iK b+d +q 2(b + d + q) = M ( 1 − 2 ) dan diperoleh K1 = dan K 2 = 0 2 2 h4 + m2 + n2 + f 4 M (h4 + m2 + n2 + f 4 ) dengan M sebagai nilai maksimum dari fungsi

Exp(

Cz iz + 4 L2 (h4 + m2 + n2 + f 4 ) − D1J C 2 ) untuk z → ∞ sehingga PUPD adalah 2 2 C z) 4 L2 (h4 + m2 + n2 + f 4 ) − D1J C 2 ∗ 2 cos( z) W (z ) = 2 M (h4 + m2 + n2 + f 4 ) 2(b + d + q) Exp(

untuk C 2 − 4(a1 + b1 + c1 + d1 ) < 0 atau D1J C 2 − 4L2 (h4 + m2 + n2 + f 4 ) < 0. Traveling wave maksimum W ∗ ( z ) maks bila Exp(

cos(

4 L2 (h4 + m2 + n2 + f 4 ) − D1J C 2

W ∗ ( z ) maks =

2

C z ) maks → ∞ dan 2

z ) maks = 1 sehingga diperoleh

2(b + d + q) M 1 C dengan M 1 nilai maksimum dari Exp( z ) maks untuk 2 M (h4 + m2 + n2 + f 4 )

z → ∞,

198 Disertasi


HARIYANTO


perhatikan

cos(

4 L2 (h4 + m2 + n2 + f 4 ) − D1J C 2 2

sehingga diperoleh

z ) maks = 1 saat W ∗ ( z ) maks

4 L2 (h4 + m2 + n2 + f 4 ) − D1J C 2 2

D1J C 2 − 4L2 (h4 + m2 + n2 + f 4 ) < 0 dan

=

2 nπ , n = 0,1,2... untuk L

2 J 2 C i 4 L (h4 + m2 + n2 + f 4 ) − D1 C = λ yang + 2 2

juga disebut sebagai banyaknya gelombang penyebaran virus superstrain. Didefinisikan jumlah gelombang berbentuk λ =

2nπ C 4nπ + LC dengan + atau λ = L 2 2L

panjang gelombang yang dapat dinyatakan sebagai ω = Traveling wave minimum W ∗ (z ) min bila Exp(

cos(

4 L2 (h4 + m2 + n2 + f 4 ) − D1J C 2 2

2nπ

λ

atau ω =

4nπL . LC + 4nπ

C z ) min = 0 dan 2

z ) min = 0 sehingga diperoleh W ∗ (z ) min = 0,

Dilakukan pengamatan terhadap Inf (W ∗ ( z )) sehingga traveling wave yang terjadi adalah

C z ) min 4 L2 (h4 + m2 + n2 + f 4 ) − D1J C 2 ∗ 2 cos( z ) diperoleh Inf (W ( z )) > 2 M (h4 + m2 + n2 + f 4 ) (b + d + q) Exp(

cos(

4 L2 (h4 + m2 + n 2 + f 4 ) − D1J C 2 2

z) = 0

atau

(2n − 1)π = 2L

4( a 6 + b6 + c6 + d 6 ) − C 32 2

untuk D1J C 2 − 4 L2 (h4 + m2 + n2 + f 4 ) < 0

yang dapat dinyatakan dalam bentuk 2 C i 4(a 6 + b6 + c6 + d 6 ) − C 3 (2n − 1)π C = + + 2 2 2L 2

199 Disertasi


HARIYANTO


sehingga jumlah gelombang penyebaran virus superstrain λ = panjang gelombang ω =

(2n − 1)π + LC dengan 2L

4nπL . (2n − 1)π + LC

Dengan demikian banyaknya gelombang penyebaran virus superstrain dari model traveling wave 5.81 adalah

(2n − 1)π + LC 4nπ + LC <λ< 4π 4π dengan panjang gelombang

4nπL 4nπL .<ω < . (2n − 1)π + LC LC + 4nπ

Traveling wave sebagai fungsi waktu dan lokasi pada Teorema 5.8 dinyatakan dalam bentuk W ∗ (z ) =

dengan

4 L2 (h4 + m2 + n2 + f 4 ) − D1J C 2 2(b + d + q) C z) Exp( z ) cos( 2 M (h4 + m2 + n2 + f 4 ) 2

4 L2 (h4 + m2 + n2 + f 4 ) − D1J C 2 2

=

2 nπ , L sebagai periode gelombang ditetapkan L

L = 2 dan n = 1, sedangkan untuk parameter rate kelahiran dan kematian dirujuk dari data

WHO,2013 yang berlaku di Indonesia yaitu b = 0,0063, d = 0,0018 sedangkan parameter lainnya ditentukan berdasarkan pada R0 J =

h4 + m2 + n2 + f 4 > 1 sehingga DJ + b + d + q

h4 + m2 + n2 + f 4 > DJ + b + d + q, oleh karena virus super strain lebih dominan dibandingkan dengan virus influenza H1N1-p dan H5N1 maka rate transmisi virus super strain terhadap subpopulasi lainnya diasumsikan sama sehingga diperoleh

4h4 > DJ + b + d + q, dengan demikian dapat ditentukan data sebarang

tentang rate

transmisi virus super strain h4 , rate recovery q dan koeffisien diffusi lokal D j . Dengan ditetapkan kecepatan penyebaran virus super strain C = 2

L2 (h4 + m2 + n2 + f 4 ) DJ

maka traveling wave dapat dinyatakan seperti pada gambar berikut ini

200 Disertasi


HARIYANTO


-4

Traveling Wave Virus Super strain

x 10 8

6

4

w-traveling wave

C 2

0

-2 L

-4

-6 0

1

2

3

4

5

6

7

8

z-peubah lokasi

Gambar 5.12. Traveling Wave virus superstrain Pada gambar 5.12, untuk z = 0 diperoleh W ∗ (0) = 1 mempunyai makna yang berbeda dengan kondisi awal dari konstruksi model matematika koalisi sedangkan pada bidang ∗ traveling wave W ∗ (0) = Wmaks (0) bila ditinjau pada gelombang penyebaran sebelumnya, ∗ ∗ setiap gelombang penyebaran dengan periode L mempunyai Wmin (z ) ( z ) dan Wmaks

∗ sehingga untuk t → ∞ gelombang penyebaran dengan periode L mempunyai Wmin ( z ) dan ∗ Wmaks (z ) semakin besar.

201 Disertasi


HARIYANTO


BAB VI KESIMPULAN DAN SARAN 6.1 KESIMPULAN Kesimpulan yang dapat dibuat

berdasarkan dari hasil penelitian disertasi pada

adalah: 1. Konstruksi model matematika koalisi pada setiap tahapan proses koalisi berbentuk sistem persamaan reaksi-diffusi atau sistem persamaan differensial parsial- integral. Untuk t = 0 setiap subpopulasi dikonstruski ada kecuali subpopulasi super-strain, sedangkan kondisi batas x = L untuk subpopulasi individual terinfeksi minimum kecuali subpopulasi susceptible dan ekspose. 2. Konstruksi model matematika koalisi pada setiap tahapan dalam proses koalisi adalah well-posed. Penyelesaian positif yang berkaitan dengan penyebaran virus influenza H5N1 dan H1N1 pandemik pada tahapan pertama menunjukkan bahwa pada kondisi sistem tidak stabil virus influenza H5N1 unggas monoton naik yang diikuti oleh virus influenza H5N1 manusia. Pada tahapan kedua, virus influenza H1N1-p monoton naik dan virus influenza H5N1 manusia monoton turun dan didapatkan kedua virus mempunyai pengaruh yang sangat lemah terhadap perubahan sistem, hal tersebut menunjukkan bahwa individual co-infeksi muncul dalam waktu yang terbatas.Pada tahapan ketiga, virus influenza H1N1-p monoton naik dan virus influenza H5N1 manusia monoton turun dan didapatkan virus influenza H1N1-p mempunyai pengaruh yang sangat kuat terhadap sistem, hal tersebut menunjukkan bahwa pengaruh susbtitusi asam amino menyebabkan virus H5N1 mampu beradaptasi pada individual co-infeksi. Virus super-strain sebagai hasil koalisi sangat dominan terhadap kedua virus dan menyebar melalui manusia ke manusia. 3. Model traveling wave untuk penyebaran virus super-strain pada titik kesetimbangan endemik diperoleh kecepatan penyebaran minimum

− 2L

h4 + m2 + n2 + f 4 h + m2 + n 2 + f 4 < C min = ε ≤ C ≤ 2 L 4 ≤ C maks . DJ

202 Disertasi


HARIYANTO


dan

C = 2L

h4 + m2 + n2 + f 4 .. DJ

6.2 SARAN. Saran yang disampaikan pada disertasi ini berkaitan dengan pengembangan penelitian lebih lanjut adalah 1. Diffusi global pada disertasi ini dikonstruksi sebagai recruitmen terhadap transmisi virus dan dapat dikembangkan sebagai individual populasi susceptible yang mengalami transmisi virus, misalkan

αI 11m ( x, t ) ∫ S12 m ( y, t ) K ( x − y )dy − αI 11m ( x, t ) S11m ( x, t ) ∫ K ( y − x)dx. Ω

Ω

2. Bilangan reproduksi dasar pada disertasi ini digunakan pada saat terjadi penyebaran virus H1N1-p dan H5N1 yang dapat dikembangkan seandainya terjadi outbreak pada penyebaran virus influenza H5N1. 3. Eksistensi dan ketunggalan dari model traveling wave pada disertasi ini ditunjukkan melalui titik kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik untuk transformasi z = x + Ct , dapat pula dikembangkan eksistensi dan ketunggalan tersebut dengan menggunakan teori pertubasi singular untuk traveling front dengan bentuk transformasi z = x + Ct.

203 Disertasi


HARIYANTO


DAFTAR PUSTAKA Arino, J, Davis, J.R,Hartley,D,Jordan,R, Miller,J.M, and Drissche, P.V.D.2005. A.multispecies epidemic model with spatial dynamic. Mathematical Medicine and Biology.22 , p. 129-142. Al Hajjar, S, Mcintosh,K. 2010. The first influenza pandemic of the 21st Century .

ANN Saudi Med [Internet] [sitasi 23 Jan 2010]; 30 (1) , p. 1-10. Didapat dari www.saudiannals.net

Allen,L.J.S, Bolker,B.M, Lou, Y and Nevai, A.L. 2010. Asymptotic Profile of the stedy states for an SIS Epidemic Reaction-Diffusion Model, Boman, C, Gumel, A.B, Driessche,P.V.D, Wu,J and Zhu,H.2005. A mathematical model for assessing control strategies against West Nile Virus, Buletin of Mathematical Biology [Internet] ; 67 , p. 1107-1133. Didapat dari www.elsevier.com/locate/ybulm. Blyuss,K.B. 2005.On a model of spatial spread of epidemics with long - distance travel, Physics Letters A [Internet]; 345 , p. 129-136. Didapat dari www. scinecedirect.com. Baalen, M.V. 2002. Contact Network and the Evolution

of Virulence.

Cambridge University Press , p.85-103 Coburn,B.J, Wagner,B.G and Blower,S.2009. Modelling influenza epidemics and pandemics : insights into the future of swine flu ( H1N1 ), BMC Journal [Internet]; 7 , p.1-8. Didapat dari www. Biomedcentral.com Coburn, B.J, Cosner, C, Ruan, S. 2011. Emergence and dynamics of influenza super strains, BMC Journal [Internet]; 11 , p.1-10. Didapat dari . www. Biomedcentral.com DeCarlo and Raymond A. 1989. Linear Systems. .Prentice Hall,Inc. Hal 157-172.. Driessche, P.V.D and Watmough,J.2002. Reproduction number and sub – threshold endemic equilibria for diseases

compartementaln models of

transmission, Mathematical Bioscience [Internet]; 180, p. 29-48.

-204 Disertasi


HARIYANTO


Didapat dari www.elsevier.com/locate/ybulm. Das, K.D. and Mukherjee D.2009. Persistence Aspects of an Epidemic Model of Chagas Diseases, Tamsui Oxford Journal of Mathematical Science 25 (3) , p.301-311. Flahault,A, Vergu,E and Boelle,P.Y.2009. Potensial for a Global Dynamic of Inlfuenza A ( H1N1), BMC Journal [Internet]; 9. Didapat dari . www. Biomedcentral.com Freedman, H.I,S. Runn and Tung,M. 1994. Uniform Persistence and Flows Near a Closed Positively Invariant Set, Journal of Dynamics and Differential Equation 6 (4 ). Hectcote H W. 2000. The mathematics of Infectious Diseases, SIAM [Internet]; 42 , p.599-653, Didapat dari www. Siam.org/journal/sirev/42-43/3710.html Hyman,J.M, LaForce,T.2004. Modelling The spread of Influenza Among Cities, in Computational and Applied Mathematics Program, (Center for Nonlinea Studies, Los Alamos National Laboratory ), Los Alamos Report, p. 215-240. Hariyanto. Widodo,B. Nidom,C.A. Budiantara,I.N. 2012. Analisis Eksistensi Traveling Wave Front pada Model Matematika Reassortment Virus Influensa H5N1 dan H1N1-p, Penelitian Program Doktor,LPPM-ITS, Surabaya. Hariyanto. Widodo,B. Nidom,C.A. Budiantara,I.N. 2012. Mengkonstruksi Model distribusi kontak pada Transmisi Penyebaran Virus pada 2 lokasi dengan strain yang berbeda. Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika –UNY. Yogyakarta Hariyanto. Widodo,B. Nidom,C.A. Budiantara,I.N. 2012. Analisis eksistensi traveling wave pada model distribusi terinfeksi dari penyebaran virus pada 2 lokasi dengan strain berbeda. Prosiding Seminar Nasional MIPA – UNESA.Surabaya. Hariyanto. Widodo,B. Nidom,C.A. Budiantara,I.N.2013. THE Construction of a Model of PRE-Coalition betwen H1N1-p and H5N1 Influenza Virus in

-205 Disertasi


HARIYANTO


Indonesia. Applied Mathematical Sciences .99, 4899-4907. HIKARI Ltd. Irawan.B. 2007. Genetika Molekuler. Penerbit Universitas Airlangga Jones,C.K.R.T.2003.Geometric Singular Perturbation Theory, Devision of Applied Mathematics Brown University. Kelling,M.J and Eames,K.T.D.2005. Networks and Epidemic models, J R Soc Interface , p.1-24. Liu,D, JingHua,Y, Jun,L.W.2009. GAO.G George, Interspecies transmision and host restriction of avian H5N1 influenza virus, Sci China Ser C- Live Sci [Internet]; 52(5), p. 428-438. Didapat dari www. scinecedirect.com. Li,B, Weinberger,H.F and Lewis, M.A.2005.Spreding speeds as slowes wave speeds for cooperative systems, Math Bio Science196 , p.82-98. Lie,C, Hatta,C.M, Nidom,C.A, Muramoto,Y, Watanabe,S, Neumann, G.2009. Reassortmen between avian H5N1 and human H3N2 influenza virues creates hybrid virues with substantial virulence, PNAS [Internet]; p. 1-6. Didapat dari www. Pnas.org/cgi/content/full/0912807107/DCsupplemental Li,J and Zou, X.2009.Modelling Spatial Spread of Infectious Diseases with a fixed latent period in a spatially continous domain, Buletin of Mathematical Biology ,p.1-36. Lewis,M, Renclawowicz,J, Driessche,P.V.D. 2006, Traveling Waveand Spread Rate for a West Nile Virus Model, Buletin of Mathematical Biology 68 ,p.3-23. Maia,M. 2011, An Evolutionary Model of Influenza A With Drift And

Shift,

Departement of Mathematics University of Florida. Novozhilov, A.2008. Heterogeneous Susceptibles - Infectives Models Mechanistic derivation of The Power Law Transmission function, qbio.PE. Parham Paul,P.E, Ferguson,N.M.2006. Space and contact networks:capturing the locality of disease transmission, J.R Soc Interface[Internet]; 3 , p. 483-493. Didapat dari Journal.royalsoc.ac.uk Reluga,T.C, Medlock, J and Galvani,A.P.2011. A Model of Spatial

-206 Disertasi


HARIYANTO


Epidemic Spread when Individuals Move Within Overlapping Home Ranges, Yale University Press. Ruan,S and Wu,J. 2009. Modeling Spatial Spread of Communicable Diseases Involving Animal Hosts, Depertement of Mathematics , University of Miami, Departement of Mathematics and Statistics, York University. Ruan,S.2006. Spatial Temporal Dynamics in nonlocal Epidemiogical Models, Miami University Press. Trampuz. et al.2004. AVIAN INFLUENZA : A New Pandemic Threat ?, Mayo Clin Proc [Internet]; 79 , p.523-530. Didapat dari www. WHO.int/en/ Thieme,H R. Tridane, A and Khuang, Y. 2007.. An Epidemic model with postcontact prophylaxis of distributed length I. Thresholds for disease persistence and axtinction, Jurnal of Biological Dynamics ,p 1-19. Thieme,H.R. 2000, Uniform persistence and permanence for non – autonomous semiflows in population biology, Elsevier Science Inc [Internet];166 , p. 173- 201. Didapat dari www.elsevier.com/locate/mbs Wonham,M.J, de-Camino-Beck,T and Lewis,M.A.2004. An epidemiological model for West Nile virus: invasion analysis and control applications, Proc.R.Soc.Loud.B. 271 , p. 501-507. . WHO.2008.

Pandemic influenza preparedness and mitigation in refuegee and

displaced populations,WHO guidelines for humanitarian agencies.

-207 Disertasi


HARIYANTO


LAMPIRAN I. DATA PRIBADI. 1. Nama Lengkap 2 Pangkat / Gol / NIP

: :

Drs. Hariyanto.M.Si. Pembina / VI.A / 19531404 198203 1 002

3. NIDN 1. Jabatan Fungsional 2. Perguruan Tinggi 3. Alamat Kantor

: : : :

4. Alamat Rumah

:

0014045301 Lektor Kepala ITS Jurusan Matematika FMIPA-ITS Kampus ITS Keputih Sukolilo Surabaya, 60111 Telp : (031) 5943354 Fax : (031) 5996506 E-mail : Hariyanto_its@ Yahoo. Co . id Perum YKP Blok MAIE / 29 Surabaya Telp. (031) 8710345, HP.081235107705.

II .RIWAYAT PENDIDIKAN S1 Nama Perguruan Tinggi ITS Bidang Ilmu Matematika Tahun Masuk-Lulus 1972-1979 Judul Application Skripsi/Thesis/Desertasi Matrics for Construction Analysis

S2 UGM Matematika 1995-1999 Asymtotik untuk Transformasi Densitas Estimator Kernel

Nama Pembibing/Promotor

Prof.Dr. Zamzawi Sayuti.M.Sc

Drs.Soehardjo

S3 UNAIR MIPA 2008 - sekarang Konstruksi Model Matematika Koalisi antaraVirus Influensa H5N1 dengan H1N1-p. Prof.Dr.Basuki Widodo M.Sc Dr.C.A.Nidom,M.Si. Prof.Dr. I.Nyoman Budiantara,M.Si.

III. RIWAYAT KERJA. 1. Dosen tetap Jurusan Matematika FMIPA-ITS, 1982 – sekarang 2. Sekretaris Jurusan Matematika FMIPA-ITS, 1991 – 1993. 3. Sekertaris Program Studi Pasca Sarjana Matematika-ITS , 2003- 2004 4. Anggota Senat-ITS wakil Jurusan Matematika, 2004-2006. 5. Anggota Pusat Rekayasa Teknologi dan Energi Alternatif-LPPM-ITS, 20062007.

I Disertasi


HARIYANTO


IV. DAFTAR PENELITIAN. 1. Hariyanto. Widodo,B. Nidom,C.A. Budiantara,I.N. 2012. Analisis Eksistensi Traveling Wave Front pada Model Matematika Reassortment Virus Influensa H5N1 dan H1N1-p, Penelitian Program Doktor,LPPM-ITS, Surabaya. V. DAFTAR PUBLIKASI ILMIAH. 1. Hariyanto. Widodo,B. Nidom,C.A. Budiantara,I.N. 2012. Mengkonstruksi Model distribusi kontak pada Transmisi Penyebaran Virus pada 2 lokasi dengan strain yang berbeda. Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika –UNY. Yogyakarta. 2. Hariyanto. Widodo,B. Nidom,C.A. Budiantara,I.N. 2012. Analisis eksistensi traveling wave pada model distribusi terinfeksi dari penyebaran virus pada 2 lokasi dengan strain berbeda. Prosiding Seminar Nasional MIPA – UNESA.Surabaya. 3. Hariyanto. Widodo,B. Nidom,C.A. Budiantara,I.N.2013. THE Construction of a Model of PRE-Coalition betwen H1N1-p and H5N1 Influenza Virus in Indonesia. Applied Mathematical Sciences .99, 4899-4907. HIKARI Ltd.

II Disertasi


HARIYANTO

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga DISERTASI

Recommend Documents