Aantekeningen bij Leuker als je denkt

Aantekeningen bij Leuker als je denkt March 26, 2010 Beste Marjolein en Ed, Aanvankelijk niet bedoeld als te verspreiden stuk, hier wat aantekeningen bij jullie boekje. De indeling volgt jullie indeling. Ik denk nog steeds dat deze aantekeningen zouden kunnen helpen om er een beter boekje van te maken. Ik zou het wel aardig vinden als jullie ook wat formuleren met betrekking tot het SGR-alternatief voor de PABO-rekenkennisbasis. Jullie boekje is naar mijn mening veel beter dan het PABO-stuk. Een synthese met het SGR-alternatief zou het rekenonderwijs vooruit helpen. Het PABO-stuk is mijns inziens ongeschikt voor verder gebruik. Met vriendelijke groet en de beste wensen voor 2010, Joost Hulshof

1

Woord vooraf

Naar aanleiding van de titel zou ik graag meteen het onderscheid maken tussen nadenken bij het kale rekenen zelf en nadenken bij het het identificeren van de juiste/geschikste kale rekensom gegeven de probleemstelling in een contextopgave. Dat onderscheid mis ik in het boek. Verder zou ik willen benadrukken dat het aanleren en foutloos uitvoeren van methoden, los van de vraag of je de methode begrijpt en los van het belang van de methode, zijn waarde heeft.

2

Inleiding

Het eerste voorbeeld komt minder uit de verf omdat het genoemde onderscheid tussen kaal en context niet wordt gemaakt. Wat het voorbeeld zelf betreft, op het moment van ontmoeting kijken beiden elkaar aan en hebben bestemming/vertrekpunt voor/achter zich. Meteen duidelijk is dan wie iets 1

dichter bij elk van de punten is. Voor degene die de opgave moet maken is het fijn om te weten of de vraagsteller precies is in zijn formuleringen of niet. Hier is dat niet duidelijk. Wel duidelijk is dat hier niet gerekend hoeft te worden. En het boek gaat toch over rekenen? Op pag. 12 regel 5,6 is het onderscheid tussen dat je bij rekenen nadenkt en dat je eerst kritisch kijkt niet goed geformuleerd omdat de eerste dat hier niets met rekenen te maken heeft. Het tweede voorbeeld is leuk. Met name de uitwerking met verhoudingen. Maar waarom deze methode niet wat meer uitleggen? Wat ik bijvoorbeeld mis is de opmerking dat en de toelichting waarom de stap 6+5 = 11 onderdeel is van de methode. Wel een verwarrende verhaal over eerst een filmpje (een continu proces) in het hoofd maar daarna eigenlijk alleen een (discreet) tijdstapje dat toevallig meteen goed uitkomt. Ja, met deze getallen, maar dat is vanwege de niet-generieke keuze van de getallen. Wat ik in dit verband moet met een paar flarden van een natuurkundige pedagoog met alternatieven voor stereotype rekenschema’s is me onduidelijk. Vervolgens gaat de inleiding verder met een discussie en een historisch overzicht. Het overzicht is nauwelijks verifieerbaar maar op zich interessant. Storend is echter de techniek waarbij opvattingen worden geintroduceerd en aan anderen (pag. 13, regel -6, pag. 21, regel -9, sommigen) toegekend worden, waar vervolgens de eigen gedachten en analyses naast gezet worden. Pag. 14 onderaan: das eine in het citaat is me duidelijk, das andere aber nicht, en het vervolg op pag. 15 is weer zo’n verweving van andersmans en eigen opvattingen, waarbij ik op zich het verhaal over de tweeslag best kan volgen. De rest van de inleiding laat ik voor wat hij is. Dit is een discussie die eens face to face en niet op een podium gevoerd zou moeten worden. Dan hoeven we ook niet steeds meer op 20.001 − 3 terug te komen. Natuurlijk kun je dat handig doen en dat kun je weer op verschillende manieren leren. Bijvoorbeeld door het paar keer onhandig cijferend te doen. Wat weer helpt om de cijfermethode als methode beter te begrijpen. De denkoefening in de laatste opgave is erg leuk maar gaat misschien mank onder de formulering met de wat ongelukkige context. Misschien had hier beter een agressief heen en weer vliegend en prikkend insekt gekozen kunnen worden en het aantal prikken meegenomen kunnen worden in de overwegingen. Insekten gaan net wat langzamer dan fietsers.

3

Nul is niet niks

Leuke grap maar nul is wel niks. Ik weet niet of nul historisch eerst als cijfer of als getal is geintroduceerd, maar los daarvan: het getal nul en getallen 2

u ¨berhaupt bestaan los van het feit dat we 10 vingers hebben en ook los van het feit dat we bijvoorbeeld (daarom) het decimale getalsysteem gebruiken. Vijf snoepjes, vier snoepjes, drie snoepjes, twee snoepjes, ´e´en snoepje, geen snoepje. Nul is inderdaad niks. Als je met eentallen, tientallen en andere veeltallen getallen representeert dat kan het zijn dat je een veeltal niet gebruikt. Maar zelfs als historisch nul=0 zo eerst gebruikt is, dan nog is de vraag of het nu nog wel zo natuurlijk is om eerst 0 als cijfer 0 in het getal 301 te introduceren. Ik vind het romeinse cijfergrapje leuk, maar minder leuk in een rekenboekje.

4

Positiesysteem

Het valt me nu pas op dat voor het cijfer 1 een bijna romeinse I wordt gebruikt. Waarom? Ik ben hier wel te spreken over de snelle introductie van machtsverheffen. Nog mooier zou het zijn om ook de rijen 1, 2, 4, 8, 16, . . . en 1, 10, 100, 1000, . . . in hun volle glorie te tonen. En ook hun omgekeerden. En daar de sommen weer van. Hier is veel vroeg mogelijk, voor of tegelijk met de uitleg van 1=0,9999.... etc.

5

Nul erachter en komma schuiven

Ik snap de eerste 10 regels niet als uitleg van (regel 10) Wat er gebeurt is .... De verwisseleigenschap bij vermenigvuldigen is mijns inziens hier nog niet zo duidelijk. De 2 als voorbeeld helpt ook niet echt. Maar met de distributieve eigenschap, alles 10 keer zoveel, is wat daarna komt toch meteen (veel) duidelijk(er) te maken? Op pag. 39 zou ik in ieder geval niet voor voor 120 en 400 de verwisseleigenschap gebruiken. Veel natuurlijker en realistischer lijkt me 120 × 400 = 12 × 10 × 400 = 12 × 4000 = 48 × 1000 = 48000. Pag. 38, regel 6,7. Is het niet veel beter om hier meteen te benadrukken dat wat in niet de komma maar de cijfers tegenover elkaar gezet wordt eigenlijk hetzelfde is? Door een paar keer het woordje eigenlijk (handig) te gebruiken? 3

6

De eindeloze telrij

Mooie vondst, eindeloos i.p.v. oneindig. Leuk de disussie over de kwadraten en mooi dat hier de n en de n2 worden geintroduceerd.

7

Aantal, nummer en code

Pag. 48, geen onderscheid tussen tellen en meten. Hogere vormen van geordend tellen zoals co¨ordinaten in positiebepalingen??? Pag. 49, anders dan in de TAL-boekjes, waar de hier terecht aanbevolen zorgvuldige didactiek ontbreekt, hier wel het onderscheid en verband tussen kralenketting en getallenlijn. Maar waarom is de keuze voor introductie van breuken op de getallenlijn zo natuurlijk? Haal eens een keer 30 in 6 stukken gesneden pizza’s voor de hele klas. De getallenlijn roept erg vroeg vragen op die nu nog erg lastig zijn (zoals pag. 50, regel 1-3). De discussie over een kleinste positieve getal is onnauwkeurig, niet alleen omdat alleen over negatieve machten van twee wordt gesproken. Wat is een positief getal hier? De discussie op pag. 51 is nauwelijks relevant in een rekenboek. Regel -5,-4: De computer? Welke computer? Van wie? Bij wat?

8

Meet-en rekengetallen

Ik pleit nogmaals voor een duidelijk onderscheid tussen meten en tellen. Meten is in feite tellen (pag. 52, regel 11) vind ik een ongelukkige en feitelijk onjuiste uitspraak. Meten is een zich herhalend telproces. Conceptueel gezien is het verschil tussen beiden zeker zo groot als de overeenkomst. Pag. 53, halverwege: dimensies! Heel goed. Maar mag hier wel wat uitleg bij? Een (echte) fysicus mag hier best voor geraadpleegd worden. Die kan vast wat met gewicht per oppervlakte in deze context. Regel -11. Dit sommetje is helemaal niet mooi. Waarom 60 ronden? Dit voorbeeld doet eigenlijk alleen maar afbreuk aan wat op zich een leuke discussie kan zijn over 60-tallige stelsels. Maar hoe belangrijk dat mogelijk is (pag. 54 regel 6) zien we in ieder geval zeker niet aan dit voorbeeld. Wat betreft de discussie over abstracte getallen. Hier mis ik fundamentele stappen. Nul is niet niks hebben we eerder gelezen. Hier is het moment lijkt me om daar eens goed bij stil te staan (na een goed gesprek met een wiskundige). Goldbach is leuk, maar wat voegt het toe? De voorliefde voor getaltheorie zou ik willen ombuigen in een voorliefde voor algebra (ik ben zelf analyticus).

4

Bovendien, naar aanleiding van de latere hoofdstukken, getaltheorie gaat vooral over getallen, en veel minder over hun tientallige representaties.

9

Orde op de getallenlijn

De eerste vraag, welk getal ligt precies midden tussen 4.9 en 4.11, heeft niets met orde te maken. Wel natuurlijk de verwarring door de 11 en 9. Zijn de problemen met groter en kleiner niet veel beter te verhelpen door goed te benadrukken dat 4.11 = 4 +

1 1 + , 10 100

4.9 = 4 +

9 , 10

of zelfs

1 1 1 +1× , 4.9 = 4 + 9 × ? 10 100 10 Overigens wordt in het TAL-breukenboekje betoogd dat komma-getallen de ordening juist duidelijker maken en ook daarom ingevoerd zijn. Helaas ook om kruislings vermenigvuldigen als irrelevant terzijde te schuiven. 4.11 = 4 + 1 ×

10

Goede tijden, slechte tijden

Mooi het kassavoorbeeld, dat heb ik vroeger ook zo geleerd. Pag. 42, regel 3: bijvoorbeeld? Erg toevallig voorbeeld weer. Meestal is het verschil van twee getallen wel groot. De verwisseleigenschap bij vermenigvuldigen zie ik vooral met rechthoekjes en tegels tellen. De regeltjes op pag. 66 moeten uit de voorbeelden worden afgeleid. Dat wordt bij compenseren (2x) en vergroten/verkleinen veel duidelijker als de tussenstappen erbij staan.

11

Fijn die rijtjes

Waarom zo’n aandacht voor een rijtje als op pag. 67? Zijn ervaren rekenaars mensen die vaak dit soort rijtjes doen? Ik vind het op zich best wel goed om wat handigheid voor de decimaal geschreven breuken met in de noemers machten van 2 bij te brengen. Wel leuk verder, alleen de laatste opgave lijdt weer onder gebrek aan precisie. Het antwoord op de vraag hangt bijvoorbeeld sowieso af van of er wel of geen randgetal gegeven is. 5

12

De verdeeleigenschappen

Best aardig, maar 616:28 is geen representatief voorbeeld. Onderaan pag. 73 wordt in feite de eerste stap van een staartdeling/hapdeling uitgelegd en dat wordt later (liever eerder) ook opgemerkt. Bovenaan pag. 74 wordt uitgegaan van delingen zonder rest. De formule eronder is veel algemener, jammer van de drukfout. De afsluitende bijzondere vermenigvuldingsregel is mij niet duidelijk. Het rijtje gaat over de kwadraten van 10n + 5. Wat heeft dat met regels te maken?

13

Wendbare tafelkennis

Leuke grap, ik zou bijna zeggen, tik eens terror jaap in op google. Halverwege pag. 78 worden weer mensen genoemd die zogenaamd wat zeggen en waarop hier geantwoord wordt. Deze techniek blijft storen. Vooral ook omdat waar jullie op antwoorden niet is wat wij zeggen. Als ik en sommige andere mensen zeggen dat jullie of anderen onvoldoende onderscheid maken tussen methoden en trucjes, dan gaat het niet zozeer om de vraag of je het trucje of de methode wel of niet begrijpt (ook relevant), maar hoe algemeen de toepasbaarheid is. Ik ben het wel eens met de zin Inderdaad... midden op pag. 77. Verder zou ik in de uitleg van vermenigvuldigen in context veel meer uitleggen dat in een product van twee getallen beide getallen wel of niet benoemd kunnen zijn en dat aan de hand van voorbeelden uitleggen. 30 tegels in een 5 bij 6 rooster of 6 bij 5 rooster, 5 pizza’s met 6 stukken, 6 zakken met 5 snoepjes. De verwisselregel behoeft systematsiche en realistische uitleg. In het eerste geval is het vanuit de context meteen duidelijk, dus gebruik die context om de regel evident te laten zijn. Dat vervolgens 6 zakken met 5 snoepjes en 5 zakken met 6 snoepjes net zoveel is, herinner ik me van school als iets waarvan ik mezelf heb overtuigd, aan de hand van de andere context. De laatste vraag roept om een n. Ik neem aan dat dat de bedoeling is. Mooi dus, maar ik zou het graag zeker weten.

14

Kaal en verhaal

Daar is de techniek weer. Contexten liggen niet onder vuur. Slechte ONZINcontexten liggen onder vuur. Spaaractie 1 is prima. Voor 6 keer 5 zie ook boven. Spaaractie 2 is een stuitend voorbeeld van hoe het niet moet. Korting op wat? Wat is leeftijdskorting? Korting evenredig met de leeftijd van de klant? Interessant maar niet heus. Voor het wel of niet doorzien van deze 6

flauwekul zal het misschien wel uitmaken of je een zwakke of goede rekenaar bent, maar dat is geen reden om deze onzin te billijken. Wordt het Pavlov effect (bij de leeftijd van de boer) juist niet gestimuleerd door het hoge onzingehalte in veel van die verhaaltjes? Geweldig antwoord van Jantje trouwens. Mogen verhaaltjes gewoon concrete voorbeelden zijn? Was Jantje de verhaaltjes niet gewoon zat? Pag. 84 middenin: Dat lijkt me een goed plan. Mij ook, maar het is geloof ik ironisch bedoeld. Wat er duidelijk zou moeten worden is wederom niet helder geformuleerd. Sommen maken en denkend rekenen gaat over rekenen. Contextvragen gaan over het zelf formuleren van de juiste som die nodig is om een concreet probleem op te lossen. Zie mijn beginopmerking. Wat wordt hier bedoeld? Wat me in dit verband vaak opvalt is dat veel (en niet slechts sommige) didactici bijvoorbeeld 2 als oplossing van 5 min (of eraf) 3 benoemen en niet als antwoord/uitkomst. Een som heeft een uitkomst, een vergelijking met een onbekende heeft oplossingen. Een probleem kan opgelost worden. Maar dit loopt vaak door elkaar heen, zowel conceptueel als taalkundig. Contextopgaven zijn van alle tijden, misschien is de slechte formulering in de leuke afsluitende opgave alleen maar van deze tijd. Bedoeld wordt: voor elk deel dat de ene krijgt, krijgt de ander... Maar dat staat er niet. Waardoor het antwoord op de gestelde vraag simpelweg luidt: dat is op grond van de vraagstelling volslagen onduidelijk.

15

Rekenpijlen

Ik ben wel gecharmeerd van het gebruiken van pijlen om operaties aan te geven, met voor de pijl de input en achter de pijl de output, en boven de pijl de operatie. Onderscheid tussen (tussen-)resultaten en operaties. Dit was wel goed in de TAL-boekjes, maar werd daar helaas weer vervuild met de alles vertroebelende alles achter elkaar notatie die is overgenomen in de PABO-rekenkennisbasis. Geen van de experts die voor het legitimatierapport zijn opgetrommeld is daarover gevallen. Deze sectie vind ik verder wel leuk, alleen is op pag. 87, regel -8 niet duidelijk om welke twee pijltjes het gaat, aangezien de basisoperatoren alleen maar de heenpijltjes zijn, zo lijkt het althans. Ook in de slotopgaven moeten de terugpijlen erbij.

7

16

Cijferend aftrekken

Niet eerst cijferend optellen? Op pag. 93 is de uitleg correct maar toch weer niet helemaal. Cijferend rekenen is niet hetzelfde als rekenen waarbij de positie van de cijfers buiten beschouwing blijft. Deze van TAL bekende karakterisatie is, wellicht onbedoeld, misleidend en mijns inziens gewoon onjuist. Je begint bijvoorbeeld bij de eenheden en schuift daarna steeds op. Daarbij is er inderdaad een grote overeenkomst tussen de tussenstapjes die de systematiek in de methode erg ten goede komt. Maar je bent bij cijferend rekenen niet verplicht om te vergeten in welke kolom je bezig bent! Terzijde, onlangs zag ik in Euclides een uitleg van de staartdeling met een notatie waarbij de positie en waarde van de cijfers het juiste (vermeend achterwege gebleven) recht wordt gedaan. Weer terzijde, de uitleg van de staart/kolomdeling in de TAL-boekjes ziet over het hoofd dat cijferend aftrekken daarbij nodig is. Dat hier het cijferend aftrekken meteen maar helemaal naar voren gehaald wordt doet me daarom enig plezier. Ook fijn dat het eerst om gehele getallen gaat. Maar over de leerling die het fout doet moet gewoon opgemerkt worden dat hij moet leren om precies te werken en de methode precies moet gebruiken. Het controleadvies lijkt me aan iedereen welbesteed, niet alleen aan de cijferaars. De uitleg op pag. 94 kan ik wel volgen. Ik hoop dat jullie daarbij wel aanmoedigen om van euros naar tientjes, van tientjes naar honderdjes te rekenen, etc. zodat op pag. 95 eerst het getal rechtsonder wordt ingevuld. Op pag. 96 snap ik de toelichting juist wel verwisselen niet. Het gaat hier om een formulering in de opgave, niet om een fout in het toepassen van een methode. Het resultaat is trouwens niet altijd 99 want soms is de beschreven operatie niet uitvoerbaar.

17

Cijferend vermenigvuldigen

Mooi al die producten, maar wel een beetje veel van het goede. Natuurlijk handig om factorisaties snel bij de hand te hebben. De manier waarop dit midden pag. 98 wordt afgeserveerd is naar ik begrijp niet jullie mening. Toch lijkt me een kort pleidooi voor het het uit je hoofd leren van structuren (of het nu om getallen of om taal gaat) wel op zijn plaats. Leuk vond ik de oude methode op pag. 100, maar jullie leggen hem niet helemaal uit. Bijvoorbeeld dat de 1 boven en de 2 op een paardesprong daarvandaan samen de 12 van het product 2 keer 6 zijn, dus dat de cijfertjes naar beneden kieperen per kolom. Zo is dit dus eigenlijk precies hetzelfde als cijferend vermenigvuldigen. Grootste nadeel is dat het directe verband 8

tussen waar je rekent en waar je schrijft weg is. Pag. 101, regel 15. Ik zou i.p.v. nadenken over opletten praten, waarbij je al je rekenfeiten en -feitjes paraat hebt. Het is mij echter volstrekt onduidelijk waarom sommige feiten als gespeend van inzicht worden gezien en andere feiten als wel gebaseerd op inzicht. Ik noem maar wat: 9x9=81. Mag ik dat gewoon default paraat hebben of moet ik als ik dat gebruik eerst even stil staan bij een vierkantje met negen keer negen tegeltjes? Of ik in ´e´en klap iets uit de tafel van 12 kan plukken heeft toch nauwelijks met het verschil tussen wel of geen inzicht te maken, dan wel met nadenken bij rekenen? Misschien leuk die lettersommen, maar waarom zouden we die doen met kinderen die nog aan het leren rekenen zijn. En waarom zou je ze u ¨berhaupt willen doen?

18

Middeleeuws vermenigvuldigen

Wel leuk.

19

Wie kan nog staartdelen?

Weinig aan toe te voegen hier. Hoewel ik het Hoogland zeer aanreken dat hij als expert het PABO-rekenstuk heeft helpen legitimeren, inclusief de figuur op pag. 69 met 5-hoeken voor zowel 2/3=0.66 (fout op fout) en 3/4=0.75, om maar wat te noemen, ben ik het wel grotendeels met hem eens over de staartdeling. Dat had ik al geconstateerd bij het lezen van de TAL-boekjes. Klein puntje, pag. 110, regel -3, ik las hier eerst 2 i.p.v. 11, door de rechte 1-en. Ben benieuwd of meer mensen daar last van hebben.

20

Delen en de rest

De woordgrapjes zijn leuker dan in de TAL-boekjes. Pag. 115. Waarom niet even de voorbeelden ordenen? Bijvoorbeeld: Afronden op een aantal decimalen, afronden op gehelen naar boven, afronden op gehelen naar beneden, niet afronden. Alle vier relevant, maar de eerste twee vallen hier een beetje samen en zijn zo toch wat verstopt. Bij de vierde onderscheid tussen rest-notatie en de volledige schrijfwijzen (breuk of decimaal). Ik mis de reden voor de laatste vraag met rest 4.

9

21

Delen door nul

Op zich erg leuk. Halverwege pag. 117: fijn zo’n leraar. Je zou iets meer met groot keer klein kunnen doen en verschillende overgangen in de limiet bij steeds groter en steeds kleiner. Als in een eerder stadium meer met machten gedaan is dan is hier meer mogelijk. De uitspraak dat je niet kunt delen door nul blijft vanuit wiskundig oogpunt gezien een hele onprecieze uitspraak, tenzij je kiest voor de uitleg op pag. 118. Verder zou ik naast 1:0 ook meteen 2:0 noemen. Dat wordt dan toch ook oneindig. Dat delen door 0 wel tot problemen moet leiden is misschien minder precies uitgelegd meer overtuigender.

22

Uit of met het hoofd

Ik blijf de formulering van dit onderscheid ongelukkig vinden, maar met de Duitse uitleg en naamgeving heb ik er nu minder problemen mee. Pag. 126, regel 8,9. Tja, die feiten/feitjes waar je niet over hoeft na te denken. Omdat je ze vaak gezien hebt, of omdat je ze zo ziet. Is het ene beter dan het andere? Pag. 127, zo’n lijstje. Waarom niet even een beschrijving als veelvouden van 25 of bijna veelvouden van 25? Die 12x12 valt er nogal buiten. Met welk doel staat die erbij? Wij moesten van onze wiskundeleraar vroeger de kwadraten van 1 tot en met 30 erin stampen. Ik ben er nu een paar kwijt. Verder, handigheid met veel nullen lijkt me belangrijk, bij de uitleg kan het onhandige cijferen prima helpen.

23

Tafelnetwerk

Feiten en feitjes. Tafels en wat extra’s. De laatste vraag roept om modulorekenen en echte algebra. Lekker laten roepen? Of iets mee doen?

24

Oefenen moet

Pag. 138, de figuur links: wat zijn tafelsommen?

25

Meneer van Dalen

Pag. 141, regel 6. Deze stelling verbaasde mij zeer, en in huiselijke kring was de ergernis bijzonder groot, maar ik ben wel verbaasd over het 8-2+5=11 10

voorbeeld. Leerden wij vroeger niet dat je eerst moest ophakken? En hadden V/D en O/A niet al dezelfde status? Ik betreur het erg dat machtsverheffen er nu uitgeknikkerd wordt. Oefenen met machtverheffen is relevant voor veel van wat later komt.

26

Schattend rekenen

Belangrijk, maar waar is de systematiek? Die ontbreekt in alle uitleg van schattend rekenen die ik tot nu toe gezien heb.

27

De rest

Naarmate ik verder in het boek kom heb ik minder precies gelezen en in grote lijnen meer geknikt dan hoofdgeschud. Nog een paar losse opmerkingen. Op pag. 160 zou ik overal nee kiezen en de zin bovenaan zou ik beginnen met Nadat de basisvaardigheden zijn bijgebracht, Tussen autorijden en algoritmen zie ik geen verband. Getaltheorie gaat niet echt over 10-tallige representaties. De behandeling van breuken en wat er na komt is wel duidelijk. Dichter bij Streefland dan bij TAL. Het PABO-stuk staat helaas heel dicht bij TAL. Op pag. 190 is het antwoord strijdig met de opgave want 9 is niet de helft van 17. Op pag. 195. Waarom deze mengbreuken? Op pag. 200. Breuken vermenigvuldigen met tellers kleiner dan de noeook. Dan mer lijkt me evident wel relevant. Omzetten van bv. 2 61 in 13 6 mogen sommetjes met producten van dit soort gemengde breuken toch ook wel? Zonder context een keertje? In vergelijking met andere contexten vind ik de hier afgekeurde context trouwens niet zo erg. Als jullie het op prijs stellen wil ik de rest ook nog wel in detail lezen, maar dan zou ik wel graag eerst een reactie op mijn commentaar tot nu toe willen horen.

11