Aansluiten of afsluiten: verschillen tussen reken-wiskundedidactiek in primair en voortgezet onderwijs

Joost Meijer, Kris Verbeeck, Martie de Pater en José van der Hoeven

Aansluiten of afsluiten: verschillen tussen reken-wiskundedidactiek in primair en voortgezet onderwijs Onderzoeksrapportage

Aansluiten of afsluiten: verschillen tussen reken-wiskundedidactiek in primair en voortgezet onderwijs Onderzoeksrapportage

Joost Meijer Kris Verbeeck Martie de Pater José van der Hoeven

’s-Hertogenbosch, KPC Groep, 2013

Colofon Deze publicatie is ontwikkeld door KPC Groep voor ondersteuning van het regulier en speciaal onderwijs in opdracht van het ministerie van OCW. KPC Groep vervult op het gebied van R&D een scharnierfunctie tussen wetenschap en onderwijsveld.

Illustratie omslag: Marinus van der Hoeven Het is toegestaan om in het kader van educatieve doelstellingen (delen van) teksten uit deze publicatie te gebruiken, te verveelvoudigen, op te slaan in een geautomatiseerd gegevensbestand of openbaar te maken in enige vorm zodanig dat de intentie en de aard van het werk niet worden aangetast. Bronvermelding is in alle gevallen vereist en dient als volgt plaats te vinden: Meijer, J., Verbeeck, K., Pater, M. de & Verhoeven, J. van der (2013). Aansluiten of afsluiten: verschillen tussen reken-wiskundedidactiek in primair en voortgezet onderwijs. Onderzoeksrapportage. ’s-Hertogenbosch: KPC Groep in opdracht van het ministerie van OCW. © 2013, KPC Groep, ’s-Hertogenbosch

B

Titel van de publicatie

Inhoud

1 Inleiding

3

2 Methode 2.1 Gebruik categorieën 2.2 Codering lesfragmenten 2.3 Montage lesfragmenten

5 5 5 7

3 Resultaten 3.1 Door onderzoekers geanalyseerde lesepisoden 3.2 Commentaar leerkrachten basisonderwijs op montage van lesepisoden

9 9 10

4 Conclusies

13

5 Discussie

15

6 Producten 6.1 Voorbeelddidactieken 6.2 Toepassing van het lesobservatieschema

17 17 18

7 Nabeschouwing 19 Literatuur 21 Bijlagen 23 Bijlage 1 – Analysekader (ontleend aan Gagné) 24 Bijlage 2 – Codering lesepisoden PO door twee onafhankelijke beoordelaars 25 Bijlage 3 – Gecodeerde lesfragmenten van drie leerkrachten PO en één docent VO 35 Bijlage 4 – Didactische handelingen per leerkracht/docent 58 Bijlage 5 – Vragen over de verschillen PO en VO voor enkele leerkrachten 62 Bijlage 6 – Commentaar van drie leerkrachten op montage van lesepisoden 63 Bijlage 7 – Toelichting bij voorbeelddidactieken 72 Bijlage 8 – Didactisch handelen van de leraar onder de loep 79

Inhoud 1

2

Aansluiten of afsluiten: verschillen tussen reken-wiskundedidactiek in primair en voortgezet onderwijs

1 Inleiding

Uit verschillende publicaties is gebleken dat er vrij aanzienlijke verschillen bestaan tussen de rekendidactiek in het primair onderwijs (PO) en de reken-wiskundedidactiek in het voortgezet onderwijs (VO) (Van Amerom, 2003; Bruin-Muurling, Gravemeijer & Van Eijck, 2010; Gravemeijer, Bruin-Muurling & Van Eijck, 2009; Sdrolias & Triandafillidis, 2008). Van Amerom laat zien dat leerlingen in het VO in het algemeen wel in staat waren om een realistische probleemstelling om te zetten in een correct stelsel van vergelijkingen met een abstracte notatie, i.e., met letters die variabelen aanduiden, maar bij de uitwerking daarvan vaak hun toevlucht namen tot lagere orde strategieën. Meijer en Riemersma (1986) en Meijer (1996) constateerden al eerder dat leerlingen opgaven waarvan verwacht werd dat ze deze door middel van stelsels vergelijkingen zouden oplossen, in plaats daarvan de opgaven oplosten met behulp van middel-doelanalyse (Meijer & Riemersma, 1986; Meijer, 1996). Hierbij deden zij een schatting voor één van de onbekenden, rekenden vervolgens de andere onbekende(n) uit op grond van een deel van de restricties in de probleemstelling en bepaalden daarna de discrepantie tussen deze uitkomst en de overige restricties. Aan de hand daarvan stelden zij hun schattingen bij en begonnen een nieuwe cyclus, net zo lang totdat de uitkomsten niet meer in strijd waren met de restricties in de probleemstelling. Gravemeijer et al. (2009) en Bruin-Muurling et al. (2010) vonden verschillen tussen rekenmethoden in het PO en reken-wiskundemethoden in het VO op het gebied van breuken. Daar waar de behandeling van het vermenigvuldigen van breuken in het PO ondersteund wordt door modellen, zoals het zogenaamde roostermodel, wordt in het VO onmiddellijk overgegaan tot de introductie van de formule breuk x breuk = teller x teller gedeeld door noemer x noemer. Een voorbeeld is de opgave

3 2 x 4 3

In methoden voor havo-vwo wordt deze opgave abstract opgelost volgens de gegeven formule, i.e., 3 x 2 gedeeld door 4 x 3 is 6 gedeeld door 12 is ½. In methoden voor het PO wordt de oplossing ondersteund door een roostermodel, zie figuur 1.

Figuur 1 – Roostermodel voor de opgave

3 2 x 4 3

Sdrolias en Triandafillidis (2008) beschrijven het verschil tussen het meetkundeonderwijs in PO en VO in Griekenland. Schoolboeken in Griekenland worden door de staat verschaft en dus zijn de didactische methoden nogal uniform over scholen heen. In het PO wordt de stelling dat de som van de hoeken van een driehoek altijd 1800 is in het algemeen door leerlingen onderzocht met behulp van een geodriehoek. Sdrolias en Triandafillidis beschrijven in een casestudy hoe leerlingen de hoeken meten en ze optellen. Eventuele discrepanties worden door de leerkracht verklaard als meetfouten.

1 Inleiding

3

In het VO daarentegen verlangt de docent een abstract bewijs van de stelling (zie figuur 2) en degradeert de empirische methode uit het PO zelfs als ‘onwetenschappelijk’. Het abstracte bewijs is gebaseerd op verwisselde binnenhoeken, i.e., α = B, β = A en γ = Γ, en omdat α, β en γ langs een rechte liggen, is de som van deze hoeken 1800.

Α a Β

β

γ Γ

Figuur 2 – Bewijs van de stelling dat de som van de hoeken van een driehoek 1800 is

Het moge duidelijk zijn dat er sprake is van een cesuur tussen de overgang van concrete handelingen en ondersteuning met behulp van diverse modellen in het PO en abstracte mentale handelingen in het VO. Dit was voor KPC Groep aanleiding tot het verrichten van een onderzoek naar deze discrepanties. Gekozen is daarbij voor een beschrijvend onderzoek. De lespraktijken in PO en VO zijn hiertoe nader geanalyseerd. De onderzoeksvragen zijn: 1 Welke discrepanties in de didactiek voor rekenen en wiskunde bestaan er tussen het PO en het VO? 2 Hoe kunnen deze discrepanties in reken-wiskundedidactiek tussen het PO en het VO verminderd worden?

4


2 Methode

Er is besloten om een systematische analyse uit te voeren van lesfragmenten op het domein rondom breuken, verhoudingen en procenten in PO en VO. Uit eerder onderzoek kon beschikt worden over video-opnamen van delen van rekenlessenseries op drie basisscholen in het zuiden van het land (Meijer et al., 2011). Voor het VO was dergelijk materiaal echter niet beschikbaar. Om hierin te voorzien is in 2011 een rekenles op een gymnasium in het westen van het land door een professioneel camerateam opgenomen. Deze rekenles besloeg een dubbel lesuur (2 x 50 minuten). Fragmenten van alle lessen zijn eerst door twee onderzoekers onafhankelijk van elkaar geanalyseerd aan de hand van een coderingssysteem dat werd ontleend aan het interpretatiekader van Krull, Oras en Pikksaar (2010). Deze auteurs baseren dit kader op de theorie van Gagné (Gagné, 1968). Het kader is na een preliminaire analyse uitgebreid met enkele nieuwe (ondergeschikte) categorieën (zie bijlage 1).

2.1

Gebruik categorieën Oorspronkelijk waren er geen ondergeschikte categorieën. Categorie 4 was bijvoorbeeld uitsluitend het presenteren van het leermateriaal, maar dit bleek onvoldoende gedifferentieerd, omdat leraren dat op verschillende manieren doen. Naast een kale presentatie, zoals het verwijzen naar een pagina in het boek, kunnen leraren dit vergezellen van een demonstratie of kunnen ze procesgerichte uitleg verschaffen. Ook de oorspronkelijk vijfde categorie (voorzien in begeleiding van het leren) werd nader onderverdeeld. Leraren kunnen klassikaal, in groepjes of individueel uitleg geven, ze kunnen de eindoplossing aanreiken of slechts een deeloplossing of hint geven en ze kunnen een handelingsadvies geven. De zesde categorie was prestaties oproepen en uitlokken en is nader onderverdeeld in het stellen van inhoudelijke vragen en het stellen van vragen op het metaniveau, dat wil zeggen ten aanzien van het begrip van leerlingen. De zevende hoofdcategorie, het verschaffen van terugkoppeling, werd ook nader gedifferentieerd. Leraren kunnen feedback geven door antwoorden te controleren (product), maar ze kunnen ook terugkoppeling geven op de manier waarop leerlingen het hebben aangepakt (proces). In het laatste geval kunnen ze dat bovendien gesloten doen, bijvoorbeeld door het aangeven van een correcte strategie, maar ze kunnen ook een open vraag stellen, bijvoorbeeld door een leerling te vragen of het ook op een andere manier kan of te vragen waarom een leerling een bepaalde strategie heeft gekozen. Ten slotte kan een leraar terugkoppeling op het gebied van zelfregulatie aanreiken door het geven van algemene strategische aanwijzingen. De overige categorieën werden niet nader onderverdeeld.

2.2

Codering lesfragmenten Om na te gaan of onafhankelijke beoordelaars overeenstemmen wanneer ze de lesfragmenten coderen met behulp van het schema in bijlage 1, hebben twee onderzoekers in totaal 105 lesepisoden uit het PO onafhankelijk van elkaar geanalyseerd. De beschrijvingen en coderingen van deze onderzoekers zijn vervolgens met elkaar vergeleken.

2 Methode 5

In bijlage 2 zijn deze beschrijvingen en coderingen systematisch naast elkaar weergegeven. Tabel 1 is een kruistabel van de codes die door beide beoordelaars zijn toegekend. Het is duidelijk dat de overeenstemming tussen beide beoordelaars gering is. De aantallen op de diagonaalcellen van de tabel zijn klein in verhouding tot de aantallen in de overige cellen. Niettemin is Pearson’s contingency coefficient, een maat voor de overeenstemming tussen nominale data, gelijk aan 0.90 en lijkt redelijk. Tabel 1 – Overeenstemming tussen twee beoordelaars

Beoordelaar 1/2

1

2

3

4a

4b

5a

5b

5c

5d

5e

6a

6b

7a

7b

7c

7d

8

9

10

11 Leeg

1 2

1

3

1 1

4a

1 2

4b

1

1

1

2

2

2

2

5a 5b

1

5c

1

5d

1

5e

2

2

2

1

6a

5

6b

2 1

2

1

2 2

3

1

4

1

2

7a

1

7b

1

7c

1

1 1

1

2

1

2

7d 8

1

1

9 10

1

1

4

9

11 Leeg

1 3

1

1

3

2

2

3

4

1

1

Totaal 105 Noot. Codes 1 tot en met 11 verwijzen naar de codes met beschrijvingen in bijlage 1; leeg: episode niet gecodeerd door beoordelaar

Beide beoordelaars hebben vervolgens in verscheidene gesprekken het coderingsschema verhelderd en voorzien van extra toelichting (zie de opmerkingen in bijlage 1). Doordat één van de beoordelaars in de hier opvolgende periode niet beschikbaar was, heeft de andere beoordelaar de lesepisoden van de drie leerkrachten basisonderwijs en de docent voortgezet onderwijs alleen gecodeerd. De beschrijvingen en coderingen van alle geanalyseerde lesepisoden zijn weergegeven in de tabel in bijlage 3.

6


1

1

2.3

Montage lesfragmenten Vervolgens is een montage gemaakt van een deel van de lesepisoden uit PO en VO. Deze montage duurt iets minder dan een uur en bestaat uit 10 fragmenten. Elk fragment bestaat uit een deel van een les van één van de leerkrachten in het basisonderwijs, gevolgd door een deel van de rekenles van de docent in het voortgezet onderwijs. Er is getracht om de onderwerpen van de opeenvolgende fragmenten PO en VO zo veel als mogelijk op elkaar af te stemmen. Omdat de rekenles in het VO voornamelijk over breuken ging, is dit naast verhoudingen het belangrijkste domein in de fragmenten. De montage is voorgelegd aan een drietal leerkrachten in het basisonderwijs. Er was helaas geen leraar uit het VO beschikbaar om de fragmenten van commentaar te voorzien. Er is aan de leerkrachten gevraagd om tussendoor commentaar te leveren op de verschillen in didactisch handelen van de leerkrachten in het basisonderwijs en de docent voortgezet onderwijs. Na het bekijken en becommentariëren van de fragmenten kregen de leerkrachten nog een aantal vragen voorgelegd betreffende de opvallendste discrepanties tussen het didactisch handelen van de leerkrachten PO en de docent VO (zie bijlage 5). De vragen hadden betrekking op de hoofdcategorieën van het analysekader dat door de onderzoekers is gebruikt bij het coderen van de lesepisoden. De gesprekken zijn opgenomen en samengevat (zie bijlage 6). Door omstandigheden kon de eerste leerkracht niet alle fragmenten van commentaar voorzien.

2 Methode 7

8


3 Resultaten

3.1

Door onderzoekers geanalyseerde lesepisoden De codes zijn per leraar geteld. De rechte tellingen van de codes die zijn toegekend aan de didactische activiteiten van de vier leraren staan in bijlage 4. Hieronder wordt een overzicht gegeven van de tellingen per leraar, die een karakteristiek opleveren van het didactisch handelen van elke leraar. Primair onderwijs Leerkracht A besteedt het meeste tijd aan het stellen van inhoudelijke vragen (6a) en het controleren van producten van leerlingen (7a). Daarnaast besteedt hij veel aandacht aan zelfregulatie, dat wil zeggen het verschaffen van strategische terugkoppeling, niet gericht op de inhoud (zelfregulatie, 7b), en het stimuleren van het ophalen van voorkennis. Verder besteedt hij circa 10% van de tijd aan het geven van gesloten terugkoppeling op het proces (7d). Minder vaak (ongeveer 5%) wordt tijd besteed aan respectievelijk open terugkoppeling op het proces geven (7c), het stellen van metavragen (6b) en het geven van individuele uitleg (5b). Het minste tijd wordt besteed aan het leerlingen informeren over het leerdoel (2), het vaststellen van prestatieniveaus (8) en het zorgen voor een taakgerichte, gemotiveerde stemming in de klas (11). De leerkracht vraagt op geen enkel moment om aandacht (1). Ten slotte bevordert hij in drie gevallen retentie en transfer (4,1%, code 9). Leerkracht B besteedt ook de meeste tijd aan het stellen van inhoudelijke vragen (6a) en het controleren van producten van leerlingen (7a). Daarnaast besteedt hij veel tijd aan organisatie en management van algemene klasactiviteiten (10). Relatief veel tijd wordt ook besteed aan het geven van deeloplossingen of hints (5d). Iets minder tijd gaat heen met het presenteren van leermateriaal (4a) en het geven van klassikale uitleg (5a). Het geven van individuele uitleg doet hij ongeveer net zo vaak als leerkracht A (5b). Het minste tijd wordt besteed aan het trekken van aandacht (1), leerlingen informeren over het leerdoel (2) en zelfregulatie (7b). Dit laatste is een contrast met leerkracht A. Ook leerkracht C besteedt het meeste tijd aan het stellen van inhoudelijke vragen (6a), maar in tegenstelling tot leerkrachten A en B geeft zij ongeveer net zo vaak gesloten terugkoppeling op het proces (7d). Daarnaast geeft zij ongeveer net zo vaak deeloplossingen of hints als leerkracht B (5d). Ongeveer 7 à 8% van de tijd wordt besteed aan presentatie van het leermateriaal (4), het geven van klassikale uitleg (5a) en het geven van open terugkoppeling op het proces (7c). De minste tijd gaat heen met het informeren van leerlingen over leerdoelen (2), het geven van individuele uitleg (5b) en het geven van eindoplossingen (5c). Overigens evalueert deze leerkracht de gang van zaken tijdens de les, spreekt haar leerlingen bemoedigend toe en stimuleert hun motivatie aan het einde van de les (code 11, circa 5%). Voortgezet onderwijs Ook de docent VO besteedt het meeste tijd aan het stellen van inhoudelijke vragen (6a), maar op de tweede plaats komt in contrast tot de leerkrachten PO organisatie en management (10). Ook controleert hij regelmatig producten van leerlingen (10% van de tijd, code 7a).

3 Resultaten

9

Hij besteedt daarnaast circa 5 à 6% van de tijd aan het geven van individuele uitleg, het geven van deeloplossingen of hints (5d) en het geven van handelingsadviezen (5e). Het laatste is ongeveer hetzelfde als bij leerkracht C, maar meer dan bij leerkrachten A en B. Opvallend weinig tijd wordt besteed aan het verkrijgen van aandacht (1), het geven van klassikale uitleg (5a) en het geven van eindoplossingen (5c). Vergelijken van lesepisodes Op zich zijn de verschillen tussen de leraren niet erg groot en is er ook geen duidelijk contrast te zien tussen de drie leerkrachten PO en de docent in het VO. Alle leraren besteden de meeste tijd aan het stellen van inhoudelijke vragen. Twee van de drie leerkrachten in het PO en de docent in het VO besteden relatief veel tijd aan het controleren van de producten van leerlingen. De derde leerkracht in het PO doet dat nauwelijks, in slechts 2 van de 102 geobserveerde interacties. Wat verder opvalt is dat de docent in het VO en leerkracht B uit het PO relatief veel tijd besteden aan organisatie en management (circa 13% respectievelijk 11%), terwijl beide andere leerkrachten dat minder doen (respectievelijk ongeveer 7% en 4%). Het lijkt er op dat de onderlinge verschillen tussen de drie leerkrachten in het PO niet veel kleiner zijn dan de verschillen tussen de leerkrachten in het PO en de docent in het VO. Wat wel opvalt is dat de leerkrachten in het PO regelmatig groepjes van 3 à 4 leerlingen apart nemen en daar instructie aan geven, terwijl de rest van de leerlingen zelfstandig aan het werk wordt gezet. In het VO geeft de docent alleen op verzoek individueel extra uitleg terwijl de rest van de klas zelfstandig werkt. Wellicht heeft dit verschil in differentiatiemethodiek te maken met de grotere heterogeniteit van leerlingen in het PO ten opzichte van het VO.

3.2

Commentaar leerkrachten basisonderwijs op montage van lesepisoden Uit het commentaar van de leerkrachten die de montage van lesepisoden bekeken, blijkt dat er voornamelijk op het gebied van de pedagogische aanpak van leerkrachten PO en de docent VO vrij sterke verschillen worden geconstateerd. Wat didactiek betreft constateren de leerkrachten PO dat de docent VO meer ‘trucjes’ gebruikt, terwijl de didactiek in het PO veel sterker is gericht op begripsvorming. Dat laatste gebeurt onder andere door het vrij veelvuldig gebruik van modellen en contexten. Op grond van de commentaren van de leerkrachten PO is de volgende opsomming opgesteld aangaande de discrepanties tussen de didactiek die wordt gehanteerd door de drie leerkrachten in het PO en de didactiek die de docent VO gebruikt: • De pedagogische aanpak is sterker in het PO dan in het VO. • Er vindt minder groepswerk plaats in het VO dan in het PO. • In het VO vindt geen nabespreking plaats. • De docent in het VO gaat sneller door de stof heen, met grotere stappen. • In het VO worden kale breukensommen behandeld, in het PO wordt veel meer met contexten gewerkt. • Lesdoelen worden in het algemeen niet besproken. Dat geldt zowel voor het PO, met als uitzondering leerkracht C, als voor het VO. • Antwoorden van leerlingen worden nauwelijks gecontroleerd. Leerkrachten modelleren oplossingsstrategieën zelden tot nooit. • Zowel in het PO als in het VO bestaat er weinig interactie tussen leerlingen. Interactie vindt voornamelijk plaats tussen de leerkracht en leerlingen. • In het VO is er meer nadruk op trucjes en minder op inzichtelijke oplossingen. • In het VO doet de docent al het denkwerk zelf en stelt alleen vragen. Het antwoord van één leerling bepaalt de volgende stap van de docent.

10


•

• • • • • •

• • • • •

Er is een verschil in setting. In het PO moeten leerlingen hun aandacht richten op de leerkracht. In het VO zitten leerlingen achter hun laptop en kunnen, zonder dat de docent dit merkt, met andere dingen bezig zijn. In het VO bestaan minder verbanden tussen de behandelde opgaven dan in het PO. In het VO doet de docent geen stap terug als een leerling iets niet begrijpt. In het PO doen de leerkrachten dat in het algemeen wel. In het PO zijn de leerkrachten meer gericht op begripsvorming. In het VO is de docent meer gericht op het eindantwoord. De docent in het VO is sterk gericht op de lesstof. De leerkrachten in het PO zijn meer gericht op verschillen tussen leerlingen en handelen daarom flexibeler. In het VO vindt geen herhaling plaats; de docent lijkt ervan uit te gaan dat zijn uitleg wel aankomt. In het VO wordt bij breukopgaven ‘de helen eruit halen’ niet noodzakelijk gevonden, terwijl leerlingen dit in het PO wel leren. Als het niet wordt gedaan, wordt het antwoord soms zelfs fout gerekend. De sfeer in het VO is veel zakelijker dan in het PO; met name de vrouwelijke leerkrachten in het PO hebben daar enige moeite mee. In het PO wordt gebruikgemaakt van een instructietafel, in het VO niet. In het PO wordt gewerkt met groepsplannen, in het VO niet. In het PO wordt veel sterker gedifferentieerd dan in het VO. In het VO wordt nauwelijks extra aandacht besteed aan bepaalde leerlingen.

3 Resultaten

11

12


4 Conclusies

De eerste onderzoeksvraag betreft de aard van de discrepanties in reken-wiskundedidactiek in het PO en het VO. Het lijkt er op dat de discrepanties tussen PO en VO met behulp van de door de onderzoekers gebruikte observatiemethode niet zo duidelijk aan het licht komen. Wat wel naar voren komt uit de observaties is dat de docent VO meer gebruikmaakt van regels en minder van modellen. Hij stelt bijvoorbeeld dat je bij het vermenigvuldigen van breuken de tellers mag verwisselen om de opgave te vereenvoudigen, zonder er op te wijzen dat je net zo goed de noemers zou kunnen verwisselen. Dit zou bijvoorbeeld een opstap kunnen zijn naar de regel breuk keer breuk is gelijk aan teller keer teller gedeeld door noemer keer noemer. Ook schrijft de docent VO een serie regels op het bord die gelden voor optellen, aftrekken en vermenigvuldigen van breuken. De leerkrachten in het PO gebruiken vaak verhoudingstabellen. De docent in het VO besteedt meer tijd aan management en organisatie van de rekenles dan de leerkrachten in het PO. Wellicht zijn er meer problemen omtrent orde houden in de les in het VO dan in het PO. Dat heeft waarschijnlijk te maken met het leeftijdsverschil tussen PO- en VO-leerlingen, maar ook met het verschil in setting. In het PO is de sfeer minder dwingend en wordt minder met frontaal klassikale didactiek gewerkt. Daarnaast is er natuurlijk minder heterogeniteit in het VO dan in het PO. Daardoor moeten leerkrachten in het PO veel meer rekening houden met verschillen tussen leerlingen dan docenten in het VO. Uit de commentaren van de leerkrachten PO op de filmfragmenten van de rekenlessen in PO en de rekenles in het VO komt enige kritiek naar voren betreffende pedagogiek en didactiek in het VO. Er wordt bijvoorbeeld geconstateerd dat er in het VO minder aandacht wordt besteed aan individuele leerlingen, dat er minder aandacht is voor modellen en contexten en dat de atmosfeer zakelijker en minder vriendelijk is dan in het PO. De tweede onderzoeksvraag is hoe de discrepanties in reken-wiskundedidactiek tussen het PO en het VO verminderd kunnen worden. De aansluiting tussen PO en VO zou verbeterd kunnen worden door deze discrepanties grotendeels weg te nemen. Het probleem blijft echter dat het ook wenselijk is om langzamerhand van concrete modellen naar abstracte representaties te komen. In hoofdstuk 6 worden enkele suggesties beschreven waarmee de aansluiting tussen PO en VO wat betreft reken-wiskundedidactiek verbeterd zou kunnen worden.

4 Conclusies

13

14


5 Discussie

De commentaren van leerkrachten uit het PO op de filmfragmenten van de rekenlessen in respectievelijk PO en VO leveren weliswaar een interessant beeld op van discrepanties tussen de gehanteerde reken-wiskundedidactiek in PO en VO, maar dit beeld is mogelijk partijdig. Er zijn immers alleen leerkrachten uit het PO betrokken bij deze commentaren. Er valt natuurlijk wel iets af te dingen op de wens om de rekendidactiek in het PO en de reken-wiskundedidactiek in het VO zonder enige cesuur naadloos op elkaar te laten aansluiten. Net zoals er van studenten in het hoger onderwijs, met name het wetenschappelijk onderwijs, verwacht wordt dat zij zelfstandiger kunnen werken en een hoger abstractieniveau aankunnen dan leerlingen in havo en vwo, zou ook verwacht mogen worden dat leerlingen in het VO een hogere mate van zelfstandigheid en abstractie aankunnen dan leerlingen in het PO. De overgang van concrete handelingen naar abstracte mentale handelingen is vanzelfsprekend essentieel en wordt ook niet betwist. Het probleem is dat deze overgang geleidelijker zou moeten verlopen en dat de oplossingsstrategieën in het VO zouden moeten voortbouwen op die in het PO. Zolang er nauwelijks verband tussen beide wordt gelegd kunnen leerlingen ze ervaren als twee volstrekt gescheiden systemen en dan is het geen wonder dat met name zwakkere leerlingen grote moeite zullen hebben met begripsvorming omtrent rekenen en wiskunde in het VO. Het kan dan voor hen lijken alsof er geen enkele relatie bestaat tussen het rekenonderwijs in het PO en het reken-wiskundeonderwijs in het VO. Omgekeerd zou in het PO al enige voorbereiding kunnen plaatsvinden op het abstractieniveau van het VO, bijvoorbeeld door het ‘rekenen met letters’. Dat er in het PO veel meer wordt gedifferentieerd dan in het VO komt wellicht door de veel grotere heterogeniteit van het cognitief niveau van de leerlingen in het PO ten opzichte van het VO. Daardoor is differentiatie in het PO wellicht gewoon een noodzaak. Desalniettemin lijkt het wenselijk om in het VO meer aandacht te besteden aan differentiatie dan nu het geval is. Het is duidelijk dat ook leerlingen in het VO verschillen wat betreft hun cognitieve capaciteiten.

5 Discussie

15

16


6 Producten

6.1 Voorbeelddidactieken Aanvankelijk was het de bedoeling om met leraren uit het PO en VO gezamenlijk een voorbeelddidactiek te ontwikkelen waarin de gevonden discrepanties zoveel mogelijk zouden worden weggewerkt. Het bleek echter niet mogelijk om hiervoor scholen te vinden. Herhaalde oproepen via samenwerkingsverbanden zoals School aan Zet leverden niets op. Er is besloten om in plaats daarvan de onderzoeksresultaten aan het veld ter beschikking te stellen door het uitwerken van enkele voorbeelddidactieken en deze vervolgens aanschouwelijk te maken. Er zijn scenario’s ontwikkeld voor een drietal reken-wiskundeopgaven. Deze scenario’s bestonden uit omschrijvingen van de aanwijzingen die een leraar zou moeten geven om de gewenste oplossingsstrategieën adequaat uit te leggen. Vervolgens is één van de onderzoekers bereid gevonden om als acteur op te treden in drie korte films, waarin ze als leraar optrad. De filmpjes zijn te zien op de website www.taalenrekenenindeles.nl. Het uitgangspunt bij de voorbeelddidactieken is grotendeels gebaseerd op het zogenaamde ijsbergmodel voor rekenen, waarin toenemende niveaus van abstractie worden beschreven (Boswinkel & Moerlands, 2003). Op het laagste niveau worden uiterlijk en functionaliteit van getallen en bewerkingen verkend. Leerlingen maken bijvoorbeeld kennis met verschillende contexten waarin getallen voorkomen. Op het volgende niveau worden inhoud en structuur verkend. Leerlingen ontwikkelen in deze fase het kardinale getalbegrip doordat ze getallen loskoppelen van hun context. Op het derde niveau wordt er gewerkt met getalrelaties, waarin op den duur niet meer met concrete representaties, zoals kralen of munten, behoeft te worden gewerkt. Het hoogste niveau is het niveau van formele opgaven. Hierin wordt geautomatiseerd en gememoriseerd. Het gaat om verkorten en versnellen. Boswinkel en Moerlands (2003) benadrukken dat er in de traditionele reken-wiskundedidactiek voornamelijk op dit niveau werd geoefend, terwijl een goede opbouw vanuit de lagere niveaus noodzakelijk is. Soms is tijdelijke terugval naar de lagere niveaus zelfs onvermijdelijk. In het eerste filmpje behandelt de leerkracht het vermenigvuldigen van breuken. Er wordt duidelijk gemaakt dat de formele benadering (breuk keer breuk is teller keer teller gedeeld door noemer keer noemer) niet voor alle leerlingen onmiddellijk geschikt is. Voor sommige leerlingen kunnen beter eerst nog roostermodellen worden gebruikt ter ondersteuning. Bij het tweede filmpje gaat het om het berekenen van de inhoud van een balk in liters, terwijl de breedte, hoogte en diepte in respectievelijk meters, millimeters en centimeters zijn gegeven. In het basisonderwijs wordt een dergelijke opgave meestal niet zelfstandig aan leerlingen aangeboden, omdat de oplossing uit een flink aantal stappen bestaat. Deze stappen worden vaak expliciet uitgelegd door de leerkracht, maar het is niet zo dat leerlingen in het VO die uit groep 8 komen al deze stappen beheersen. In het VO zou het oplossingsproces kunnen worden ondersteund door het aanbieden van contexten, zoals het vullen van een aquarium. Ook kan groepswerk hierbij nuttig zijn. Leerlingen kunnen de oplossingsstappen onderling bespreken en uitwisselen.

6 Producten

17

In het laatste filmpje komt een voorbereiding op algebra in het PO aan de orde. Het gaat om de formule (a + b) x (c + d) = (a x c) + (a x d) + (b x c) + (b x d). Dit wordt uitgelegd met behulp van een kruistabel. Daarbij wordt aangesloten bij de splitsstrategie die in het PO vaak wordt gehanteerd bij het vermenigvuldigen van getallen groter dan tien. Door het geven van voorbeelden van kruistabellen met concrete getallen kan er langzaamaan worden toegewerkt naar de generalisatie met letters in plaats van getallen. Er is een toelichting bij de filmpjes beschikbaar (zie bijlage 7).

6.2

Toepassing van het lesobservatieschema Het aangepaste lesobservatieschema kan een hulpmiddel zijn voor leraren die hun eigen lessen of die van andere leraren (bijvoorbeeld in het kader van intervisie) systematisch willen observeren en analyseren. Het schema is echter niet zonder meer bruikbaar voor leraren; het behoeft een duidelijke toelichting. Deze toelichting is in bijlage 8 weergegeven (‘Het didactisch handelen van de leraar onder de loep’). Uitgangspunt bij de toelichting zijn opnamen van twee lesfragmenten van verschillende leerkrachten. In het ene fragment zien we een coachende leerkracht die kinderen een vrij complex verdeelprobleem laat oplossen. Zij laat kinderen in groepjes werken met concrete materialen en zij vat samen en ondersteunt. In het andere fragment zien we een leerkracht die zeer gestructureerd te werk gaat, leidend is, maar de leerlingen voornamelijk zelfstandig aan het werk zet. Daarbij geeft ze precies aan, aan welke opdrachten de leerlingen moeten werken en hoe de leerlingen het beschikbare materiaal moeten rangschikken. Elke categorie van het schema wordt punt voor punt voorzien van een concrete toelichting, waarna het handelen van beide leerkrachten wat betreft de onderhavige categorie in het kort wordt getypeerd. Op deze wijze komen overeenkomsten en verschillen tussen beide leerkrachten duidelijk en welomschreven naar voren. Zo informeren beide leerkrachten de leerlingen vooraf wel over de activiteit die ze gaan verrichten, maar niet expliciet over het leerdoel dat hiermee gemoeid is. Een duidelijk verschil tussen beide is dat de ene leerkracht duidelijk terugkoppeling verschaft op het proces, terwijl de andere leerkracht veel sterker gericht is op terugkoppeling op het product dat de leerlingen leveren, i.e., de uitkomsten van de door hen gemaakte rekenopgaven.

18


7 Nabeschouwing

Het onderzoek heeft niet het aanvankelijk beoogde resultaat opgeleverd, dat wil zeggen een door leraren uit PO en VO gezamenlijk ontwikkeld experimenteel deel van een curriculum voor rekenen en wiskunde. De voornaamste reden hiervoor is dat er onvoldoende scholen bereid werden gevonden om aan deze onderneming deel te nemen. Wel is er door analyse van reeds beschikbaar en nieuw opgenomen beeldmateriaal van rekenlessen een duidelijk beeld ontstaan van de discrepanties tussen de reken-wiskundedidactiek in PO en VO. Op grond van een voorafgaande literatuurstudie was al geconcludeerd dat de overgang van PO naar VO nogal abrupt is in de zin dat daar waar in het PO veel met ondersteuning door concrete modellen wordt gewerkt, er in het VO vrijwel onmiddellijk naar een redelijk hoog abstractieniveau wordt toegewerkt. Zelden wordt teruggegrepen op lagere abstractieniveaus, terwijl dit met name voor de wat zwakkere leerlingen zeer wenselijk zou zijn. De discrepanties in de reken-wiskundedidactiek zijn nog verhelderd door leraren te vragen commentaar te leveren op een montage van filmopnamen van lesfragmenten in PO en VO. Uiteindelijk heeft het onderzoek filmopnamen van enkele voorbeelddidactieken opgeleverd, waarmee leraren in PO en VO hun voordeel kunnen doen als zij willen proberen de aansluiting tussen PO en VO te verbeteren. Daarnaast is een observatie-instrument opgeleverd waarmee het didactisch handelen van leraren systematisch in kaart kan worden gebracht.

7 Nabeschouwing

19

20


Literatuur

Amerom, B.A. van (2003). Focusing on informal strategies when linking arithmetic to early algebra. Educational Studies in Mathematics, 54(1), 63-75. Boswinkel, N. & Moerlands, F. (2003). Het topje van de ijsberg. In: K. Groenewegen (Ed.), Nationale rekendagen 2002 – een praktische terugblik (103-114). Utrecht: Freudenthal Instituut. Bruin-Muurling, G., Gravemeijer, K. & Eijck, M. van (2010). Aansluiting schoolboeken basisschool en havo/vwo. Nieuw Archief Voor Wiskunde, 5(11), 33-37. Freudenthal Instituut, KPC Groep & CED-Groep (2003). Tussenrapportage Project Speciaal Rekenen maart 2002 – november 2003. Planning november 2003 - november 2005. Utrecht / ’s-Hertogenbosch / Rotterdam: Freudenthal Instituut, KPC Groep en CED-Groep. Opgehaald 15 januari 2011 van http://www.fi.uu.nl/speciaalrekenen/project/rapportages/ rapportage_2002-2003.pdf. Gagné, R.M. (1968). Learning hierarchies. Educational Psychologist, 6(1), 1-9. Gravemeijer, K.P.E., Bruin-Muurling, G. & Eijck, M. van (2009). Aansluitingsproblemen tussen primair en voortgezet onderwijs - geen doorgaande lijn voor het vermenigvuldigen van breuken. Panama-Post, 28(4), 14-19. Krull, E., Oras, K. & Pikksaar E. (2010). Promoting student teachers’ lesson analysis and observation skills by using Gagné’s model of an instructional unit. Journal of Education for Teaching, 36(2), 197-210. Meijer, J. (1996). Learning potential and fear of failure. A study into the predictive validity of learning potential and the role of anxious tendency. Amsterdam: Guus Bauer Publishers. Meijer, J., Hoeven, J. van der, Willems, W., Verschuren, M., Son, H. van & Loeffen, E. (2011). Onderzoeksrapportage rekenen overgang PO-VO 2008-2010: primair onderwijs. ‘s-Hertogenbosch: KPC Groep in opdracht van het ministerie van OCW. Meijer, J. & Riemersma, F. (1986). Analysis of thinking aloud protocols. Instructional Science, 15(1), 3-19. Oers, B. van (1987). Activiteit en begrip. Proeve van een handelings-psychologische didactiek. Dissertatie 19 februari 1987. Amsterdam: VU-uitgeverij. Sdrolias, K.A. & Triandafillidis, T.A. (2008). The transition to secondary school geometry: Can there be a “chain of school mathematics”? Educational Studies in Mathematics, 67(2), 159-169. Willems, W. & Verbeeck, K. (2011). De leraar als regisseur. Opbrengstgericht rekenonderwijs bij de invoering van de referentieniveaus in PO en VO. ‘s-Hertogenbosch: KPC Groep in opdracht van het ministerie van OCW.

Literatuur 21

22


Bijlagen

De volgende bijlagen zijn opgenomen: 1 Analysekader (ontleend aan Gagné) 2 Codering lesepisoden PO door twee onafhankelijke beoordelaars 3 Gecodeerde lesfragmenten van drie leerkrachten PO en één docent VO 4 Didactische handelingen per leerkracht/docent 5 Vragen over de verschillen PO en VO voor enkele leerkrachten 6 Commentaar van drie leerkrachten op montage van lesepisoden 7 Toelichting bij voorbeelddidactieken 8 Didactisch handelen van de leraar onder de loep

Bijlagen 23

Bijlage 1 – Analysekader (ontleend aan Gagné) 1 Aandacht vragen, krijgen Aan het begin van de les leerlingen duidelijk maken dat de les gaat beginnen en dat leerlingen hun aandacht op de leraar moeten vestigen. 2 Leerlingen over het leerdoel informeren Uitleggen wat het thema of het doel van de les is; controleren of het lesdoel begrepen is. 3 Stimuleren van het ophalen van voorkennis Met behulp van vragen vaststellen of leerlingen het vorig behandelde onderwerp beheersen en begrijpen. 4 Het leermateriaal presenteren Leerlingen wijzen op de bron waar zij bepaalde informatie kunnen vinden (bijvoorbeeld in een boek of op een ELO of website). a Alleen presentatie b Vergezeld van demonstratie c Zelfregulerend, strategisch advies gericht op het leerproces 5 Voorzien in begeleiding van het leren Leerlingen ondersteunen bij het zelfstandig werken aan het nieuwe onderwerp. a Uitleg geven klassikaal b Uitleg geven individueel (op conceptueel niveau) c Eindoplossing geven d Deeloplossing of hint geven e Handelingsadvies geven, i.e., suggestie voor aanpak f Uitleg geven in groepjes 6 Prestatie uitlokken, oproepen Vragen stellen aan de klas of aan individuele leerlingen. a Inhoudelijke vragen b Metavragen (bijvoorbeeld “Begrijp je?”) 7 Terugkoppeling verschaffen (op het product en het proces) Reageren op vragen en suggesties van leerlingen, uitleggen strategieën, commentaar geven op strategiegebruik van leerlingen. a Controleren (product) b Zelfregulatie (ook strategisch, maar niet inhoudelijk) c Proces, strategisch gericht op inhoud (rekenstrategieën); open d Als c, maar gesloten 8 Vaststellen prestatieniveau, toetsen (ook diagnostisch) Gestandaardiseerde of methodegebonden toetsen afnemen en analyseren van de resultaten, eventueel met behulp van leerlingvolgsystemen. 9 Bevorderen van retentie en transfer (ook zeer dichtbije transfer) Nieuwe opdrachten geven die generalisatie vereisen. 10 Organisatie en management van algemene klasactiviteiten Leerlingen vragen om handouts rond te delen of door te geven; orde houden; leerlingen indelen in groepen; ook rondlopen en reageren op vragen van individuele leerlingen. 11 Algemene onderwijsstrategie en atmosfeer in de klas Zorgen voor een taakgerichte, gemotiveerde stemming in de klas; competitie tussen leerlingen vermijden. Opmerkingen • Code 3 heeft altijd betrekking op het stellen van een vraag door L*. • Codes 5a, 5b en 5f hebben betrekking op groeperingsvorm, respectievelijk individueel, klassikaal of groepen. Codes 5c, 5d en 5e hebben betrekking op de activiteit van L. • Codes 5 en 7 worden vaak verward: code 7 heeft altijd betrekking op een reactie van L op een leerling, bijvoorbeeld als er door L gereageerd wordt op een leerling of leerlingen die een (deel)uitkomst hebben gegeven. * Leraar

24


Bijlage 2 – Codering lesepisoden PO door twee onafhankelijke beoordelaars Fragment

Beschrijving beoordelaar 1


150 vierden uitgerekend

Niet bruikbaar omdat alleen een kind gefilmd is en niet de leerkracht. Alle kinderen zitten in groepjes bij elkaar. Ze werken zelfstandig aan een opdracht uit de methode. Ze kunnen aan elkaar uitleg vragen en als ze er niet uitkomen, leggen ze een blokje met een gekleurd vlak op tafel zodat de leerkracht hen dan komt helpen. L zit bij een groepje. Hij geeft hulp aan een kind. Hij vraagt: “Hoe ... weten jullie dat?” L geeft aan: “... maar in dit gezin hoeft dat niet.”

Geen leerkracht-leerling interactie.

Hulpvraag met gekleurd vlakje op dobbelsteen

L gaat naar een ander groepje en biedt hulp bij een kind dat het blokje heeft gelegd.

Instructietafel met drie leerlingen

L gaat dadelijk in een klein groepje kinderen helpen. De kinderen komen aan een instructietafel zitten. L geeft aan wat de leerlingen moeten meenemen naar het groepje. L geeft aan welke leerlingen hij in het groepje wil hebben. De leerlingen gaan bij de leerkracht aan de tafel zitten. L deelt een blad uit waarop een opdracht staat. L wijst aan wat er op het blad staat en benoemt het als d.i. de uitslag. L stelt de leerlingen een vraag erover. “Van welke van die drie figuren kun je nu een kubus maken, denk je?”

Code beoordelaar 1 ---------

Code beoordelaar 2 N.v.t

10

L heeft plaatsgenomen tussen groep leerlingen. Hij vraagt: “Wat is dat … weten jullie dat?” L beaamt antwoord van leerling en verschaft meer uitleg. Leerling schrijft iets op en legt vlakje weg. L loopt rond en vervoegt zich bij andere leerling in een groepje van drie. Legt blijkbaar iets uit. Intussen werken leerlingen door in groepjes.

6

6a

5e?

7a (product) 5a 5b

5 (niet a, maar we kunnen niet verstaan wat hij zegt, dus ook niet uitmaken welke 5 het is) 10

10

L roept drie leerlingen uit verschillende groepjes bij zich aan tafel.

10

10

4a L legt uit wat de uitslagen zijn van 3D-figuren.

4b

4b

L vraagt van welke uitslagen na het uitknippen een kubus gemaakt kan worden.

6a

6a

Bijlagen 25

Fragment

26



L vraagt het aan een meisje. Zij zegt niets. L geeft aan met zijn handen: een bovenkant, een onderkant en vier zijkanten. L vraagt de leerlingen naar wat zij denken dat de goede oplossing is. (“Niet zeggen, maar hou er eentje in gedachte.”) “Hoe noemden ze zo’n figuur? Een uitslag.” Hij checkt of iedereen een oplossing heeft. “Hebben we er allemaal een?” L geeft aan dat beide oplossingen kloppen. L geeft weer een opdracht (“Het derde doosje is bijna hetzelfde alleen … en onderkant, bovenkant dicht; neem er een in je gedachten.”) en geeft ondertussen wat hints waarop de leerlingen kunnen letten: “Die schuine zijden, maakt eigenlijk niks uit.” L deelt een nieuw blad uit en geeft ondertussen een instructie. Ze moeten iets uitknippen. L laat het instructiegroepje even werken en loopt rond in de klas om te kijken of andere leerlingen zijn hulp nodig hebben. De andere leerlingen hebben ondertussen zelfstandig gewerkt. L loopt naar een kind toe. Bladert even in zijn schrift om te kijken wat hij gemaakt heeft. Spreekt vervolgens het kind aan. Het lijkt erop alsof hij het kind aangeeft wat hij in zijn boek verder moet maken (kan het niet goed verstaan).

L stelt: “Je hebt een bovenkant, onderkant en vier zijkanten. Van welke ….?” 5d

L vraagt: “Hoe noem je zo’n figuur?”

Code beoordelaar 1 6a


??????

3

6a

6b 5c L bevestigt antwoorden van leerlingen en verschaft extra uitleg: “… de rest heeft schuine zijden.”

5d

7a, 5a

5d L geeft aan welke uitslagen door leerlingen moeten worden uitgeknipt en verlaat de tafel.

4a

4a

10

10

L vervoegt zich bij leerling in een andere groep, bladert door het schrift van de leerling en wijst iets aan in het boek.

5 (welke 5 is niet duidelijk)

7a (4a?)


Fragment

MOVOOA

Onder elkaar uitrekenen met komma zonder rekenmachine

Beschrijving beoordelaar 1 L gaat naar een ander groepje. Hij praat even met een kind. Kijkt vervolgens naar wat de andere leerlingen al gedaan hebben. (Misschien ook naar de uitkomsten?) L loopt nog naar de andere groepjes. Hier en daar vraagt hij iets aan een kind. Maar hij kijkt vooral naar de kinderen die bezig zijn. L komt terug bij het instructiegroepje. Gaat gehurkt naast een kind zitten en bekijkt wat hij uitgeknipt en vervolgens gemaakt heeft en zegt er iets over. Hij wil zien hoe de figuur is opgebouwd. L is bij een bepaald groepje. Hij legt iets uit bij een kind en wijst naar wat een kind ernaast heeft. De leerling kijkt er naar. Hij zegt dat ze goed moeten kijken en vraagt of ze weer vooruit kunnen. De andere leerlingen werken zelfstandig door.

Een kind is op papier een som (vermenigvuldiging met kommagetallen) aan het uitrekenen. Op de achtergrond hoor je de leerkracht zeggen dat ze nog 10 minuten hebben en dat wat ze begrijpen, mogen ze laten zitten en wat ze niet begrijpen, daarmee moeten ze aan de gang. L gaat bij een kind kijken. Hij vraagt of ze een vraag heeft. Het kind vraagt of er altijd drie cijfers achter de komma moeten.


Code beoordelaar 1 5 (welke 5 is niet duidelijk)

Code beoordelaar 2

L loopt rond en controleert het werk van leerlingen in andere groepen.

5

7a (product)

L loopt terug naar eerste groep en verschaft uitleg over het vouwen van de uitgeknipte uitslagen.

7c?

7d (proces)

6b

L vraagt leerling om met werk en boek naar zijn tafel te komen; leerling doet dit; rest leerlingen werkt individueel. L legt uit dat er nog 10 minuten over zijn en dat leerlingen moeten overslaan wat ze al begrijpen.

Leerling zet eerst de komma verkeerd, daarna redeneert ze dat er drie decimalen achter de komma moeten staan, want het eerste getal heeft er 2, het andere 1. L vraagt wat leerling dan eigenlijk vooraf moet doen.

10

1

5e? 10?

10 (maar dit is ook meer het aangeven van een strategische aanpak om efficiënt te werken)

6b

6b (maar ook: strategie suggereren)

Bijlagen 27

Fragment

Overzicht weektaak Rondje leerkracht met tussentijds nakijken en uitleg



L vraagt wat het kind dan vooraf moet doen. Dat hebben ze in een vorige les gehad. Hij zegt: “Dan moesten we steeds vooraf … schatten en als je schat, dan had je het geweten.” L geeft de opdracht om de som te schatten. “Waar moet de komma dan staan?” Kind geeft aan dat deze niet klopt. L vraagt hoe het komt dat die dan niet klopt. Kind geeft aan dat ze het fout heeft uitgerekend. L vraagt wat ze fout heeft uitgerekend. Wat was het probleem?

L vult aan: “Schatten vooraf, dan had je dat geweten.”

L: “Tijdens het uitrekenen kwam het zo uit en tijdens het rekensommetje niet. Nu wil ik zien hoe jij het intypt, want dan heb je het wellicht verkeerd ingetypt op je rekenmachine.” Kind geeft aan dat ze fout maakt bij de komma. L geeft aan dat de grootste tip is te leren schatten. L geeft daarna nog een tip: “Als er drie cijfers achter de komma staan in de opdracht, dan moeten die er ook staan in de uitkomst.” Je ziet een opdracht en vervolgens een voorbeeld van een weektaak. L loopt rond en kijkt in de tussentijd na wat de kinderen gemaakt hebben (hij heeft een nakijkboekje).

Na het nakijken legt L ook iets uit bij een som die vermoedelijk niet goed is (kan het niet horen).

28

Code beoordelaar 1 5e

Code beoordelaar 2 7d (proces)

5e of 3

L spoort leerling aan te schatten. Leerling schat goed, maar stelt dat haar antwoord niet klopt.

5e 6a

7b

L vraagt wat er niet klopt en wat ze dan wel fout heeft uitgerekend volgens haar.

7c

6a

Discrepantie tussen resultaat schriftelijke bewerking en rekenmachine. L vraagt hoe dit komt.

7c

L suggereert dat er een fout is ingetoetst op de rekenmachine. Leerling doet het nog eens en concludeert dat het weer fout is.

7c

7b (want het gaat om strategie en minder om inhoud) 7a (product)

L benadrukt het belang van vooraf schatten aan de hand van een andere opgave. L wijst op andere, reeds geleerde strategie: optellen decimalen te vermenigvuldigen getallen.

5e?

7d (proces)

5e

3

Geen interactie; weektaak in beeld.

10

N.v.t.

L loopt rond; leerlingen werken zelfstandig.

8?

7a

L controleert antwoorden bij twee leerlingen van een groep. L begeleidt leerling bij het opdelen van een vermenigvuldiging met een breuk in subproblemen.

7a

5e?

5b (strategische instructie)


Fragment

Start rekenles



L heeft bij het uitleggen een blaadje waarop hij een en ander schrijft. Af en toe vraagt hij dingen aan de leerling. Vervolgens laat L de leerling zelf iets uitrekenen.

L laat leerling oorspronkelijk antwoord met nieuw antwoord vergelijken.

L geeft op basis van wat de leerling heeft uitgeschreven hier en daar nog wat uitleg of vraagt hem iets. L kondigt aan dat ze gaan rekenen. Hij geeft weer dat ze een toets gemaakt hebben. Naar aanleiding van de toets wordt gekeken waarop ingezet gaat worden. L vraagt de kinderen om het gele rekenboek te nemen op bladzijde 52. L geeft aan dat hij er eerst iets over gaat vertellen en dat ze dan een opdracht krijgen. L geeft aan dat ze het gaan hebben over breuken, keersommen, verhoudingstabellen met cijfers met kommagetallen etc. Hij wil dat de leerlingen dat vandaag gaan leren. L schrijft een voorbeeld op het bord: 3 x 4/5 =

L geeft aan wat het trucje is, geeft de uitkomst en vraagt vervolgens wat ze dan gaan doen.

L vraagt hoeveel groepjes van 5 ze eruit kunnen halen.

L laat leerling opgave nog eens doen en geeft terugkoppeling.

Code beoordelaar 1 5e/6b

Code beoordelaar 2 5b

4

7a

5b/6b

L legt uit dat leerlingen onlangs rekentoets hebben gemaakt en dat er aan de hand van de resultaten zal worden bekeken waarop ‘ingezet’ gaat worden. L vraagt leerlingen een bepaald rekenboek te pakken. L verwijst naar een bepaalde bladzijde in het boek.

1/2

8, 2?

10

10

4

4

2 L legt uit dat hij een korte uitleg geeft en dat leerlingen daarna een opdracht krijgen. “Het gaat vandaag over ‘breuken keer’-sommen.” Hij verwijst naar bepaalde opgave in boek. 4 L zegt dat er ook met verhoudingstabellen gewerkt gaat worden en met vermenigvuldigen van kommagetallen. 5d en 5e L legt ‘trucje’ uit: vermenigvuldigingen breuk met geheel getal: teller vermenigvuldigen met geheel getal, noemer laten staan.

L vraagt leerling wat er daarna moet gebeuren (vereenvoudigen) door te stellen: “Hoeveel groepjes van de teller (in dit geval 5) kun je daaruit halen?”

5e

4a

2, 3?

7a (maar eigenlijk is dit verschaffen van zeer algoritmische uitleg; nieuwe code 12?) 3, 6a? (maar met zeer sterke sturing, niet open (13?))

Bijlagen 29

Fragment

MOVO17



L vraag wat ze overhouden etc., niet 2, maar 2 vijfde.

L vraagt naar rest en corrigeert leerling die onvolledig antwoordt.

De leerlingen wordt gevraagd 5 minuten te kijken naar bepaalde opdrachten. Leerlingen moeten voor zichzelf nagaan wat ze willen weten als hij uitleg geeft en na de 5 minuten kunnen ze vragen stellen. L geeft aan wanneer de 5 minuten beginnen. L gaat naar zijn computer om de volgende zaken op het digibord klaar te zetten. L staat vooraan in de klas. De kinderen zijn gestopt met zelfstandig werken. Hij vraagt aan de kinderen hoe het ging. Hij vraagt wie er iets over kan vertellen. L geeft een leerling de beurt. L vraagt wie een bepaalde som heel moeilijk vond en er niet zoveel van begrepen heeft. En wie denkt dat ie het begrepen heeft. “We gaan het dadelijk nakijken.” Kinderen steken hun hand op.

L geeft opdracht om sommen te maken binnen 5 minuten en vraagt leerlingen om op grond van hun problemen vragen voor L op te stellen.

L vraagt na wie een bewuste keuze heeft gemaakt van wat hij snapt en dus overslaat. Een leerling geeft aan dat hij dat gedaan heeft. L geeft aan dat hij dat uiteindelijk wil. Zelf weten wat je al kan, nog niet kan etc. “Dit snap ik, zoveel tijd heb ik nog, dit sla ik over …”

10

Code beoordelaar 2 7d (maar opnieuw met sterke sturing) 7b (maar ook suggereren leerstrategie)

10

7c

L vraagt wie som 4 heel moeilijk vond en er niet zo veel van begreep.

L vraagt wie het wel begrepen heeft, leerlingen steken handen op. L vraagt welke leerlingen dingen hebben overgeslagen omdat ze dat toch wel begrepen. Enkele leerlingen steken hand op. L kiest er één en vraagt wat hij heeft overgeslagen. Leerling antwoordt welke opgaven hij wel heeft gemaakt. L legt uit dat leerlingen zelf moeten kiezen waar ze aandacht aan willen besteden en wat ze willen overslaan op grond van taxatie van hun beheersing van het onderwerp.

30

Code beoordelaar 1 5d

11? 7c (inhoud)

3 (maar dan gewoon vragen aan de leerlingen; geen diagnose door vragen) 3

7b

3

7b

7b

7b (metacognitief, zelfregulatie)


Fragment



L geeft nog enkele kinderen de beurt.

L vraagt nog enkele leerlingen wat ze oversloegen. L vraagt wie som 3 moeilijk vond.

L vertelt dat ze bepaalde sommen moeten nakijken. En dat die in de toets dan weer gaan voorkomen.

L geeft aan dat wie vragen heeft in de kring komt zitten, de rest werkt zelf verder. L heeft het over som 1. Geeft leerlingen de tip om verhoudingstabellen te maken. L leest de opgave voor (staat op het digibord).

L geeft aan dat ze het puntje voor puntje zullen moeten uitrekenen. L vraagt welke vragen de leerlingen voor hem hebben. L tekent een verhoudingstabel op het bord en legt uit dat ze kunnen uitrekenen hoe ze van 5 reizigers naar 300 gaan. L vraagt of de kinderen een tussenstapje willen en hoe ze het dan gaan aanpakken: “Wat moet je dan met die drie broodjes doen?”

Code beoordelaar 2 7b 3 (maar dan gewoon vragen aan de leerlingen; geen diagnose door vragen)

7a L kondigt aan dadelijk nakijkboekjes uit te gaan delen en daarna te kijken hoe de leerlingen het hebben gedaan.

8?

10, 2?

10

De nakijkboekjes worden uitgedeeld zoals altijd. Een kind legt die straks in de bakken en dan kijkt hij bij hen hoe het gaat. Werkinstructie en uitleg met kinderen

Code beoordelaar 1 7 (proces)

L wil dat leerlingen vier opgaven in omgekeerde volgorde maken. 10 L nodigt leerlingen die hulp nodig hebben of vragen hebben, uit in de kring. De rest moet zelfstandig werken. 5d L stelt dat leerlingen in de kring verhoudingstabellen moeten maken. L stelt gegevens vast (“5 passagiers, 3 broodjes, 300 passagiers is ? broodjes”) en vraagt naar doel berekening.

4

5e (ook werkwijze voorschrijven) 10

5e

6a

5e

6a 5e

6a L vraagt of leerlingen de verhouding in één keer willen berekenen of een tussenstap willen.

6b, 7b? (maar leerlingen keuze geven)

Bijlagen 31

Fragment



Code beoordelaar 1

Leerling stelt verhoudingsgetal (60) vast. L vraagt wat ze met de broodjes moeten doen.

L geeft aan dat bij vraag b het gaat om 100 passagiers en duidt aan waar die 100 dan moet komen te staan.

L vraagt wat ze dan moeten doen: delen door 3 (verbetert een leerling die zei: keer 3).

32

Leerling antwoordt juist. L vraagt hoeveel 3 x 60 is, leerling geeft correct antwoord en L vat samen. L wijst erop dat leerlingen dit ook voor de andere opgaven moeten doen. 5e L stelt dat er voor 100 passagiers dezelfde strategie gevolgd kan worden, maar eventueel ook een andere op grond van het nu gevonden antwoord. 5d/5e Leerling antwoordt: “x 3”. L corrigeert; leerlingen antwoorden: “Delen”. L bevestigt. L vraagt of het duidelijk is.

Kinderen die alleen een vraag hadden over die som, gaan naar hun plaats. Nieuwe opdracht: “3/10, wie kan dat met een komma?”

10

“Vorige blok hebben we dat gehad. Weet je dat?” “Als ik 3/10 van iets neem, dan kan dat niet in één keer. Wat doen we dan eerst?”

3

Code beoordelaar 2 7c (vrij sturend, maar toch open, want geeft leerlingen keus) 7d (proces)

9

9 (gebruikmaken van eerder verkregen resultaat) 7d (met correctie)

6b (controle op begrip, maar zonder vragen te stellen)

6a

L constateert dat leerling een 3?/5e? vraag heeft; herschikt kring. Hij vraagt of leerlingen zich iets herinneren dat eerder is behandeld: “3/10 kan niet in één keer, wat bereken je eerst?” Een leerling geeft goede antwoord (1/10). L vraagt hoe je dat dan doet. Leerling antwoordt: “Gedeeld door 10.” L beaamt.

3

6a

7a


Fragment



“1/10, en dan doen we delen door 10. Dan heb je 1/10 en 3/10 … lk teken een cirkel en verdeel die in 10 stukjes. Hij heeft 3/10 nodig.”

L vraagt naar volgende stap, lijkt op onbegrip bij één leerling te stuiten en presenteert taartmodel, kleurt 3/10 in en vraagt hoeveel stukjes, tikt ritmisch drie stukken af. L vraagt of leerling het snapt, maar controleert niet verder. L vraagt leerlingen om 90% 6a in breuk te zetten.

Vervolgens leest L de opdracht. Mensen betalen 90% van de prijs. Vraagt: “Kan iemand dat in een breuk zetten?” “Weer hetzelfde als hier, eerst 1/10 en dan ...”

Leerling geeft goede antwoord. L wijst op overeenkomst met vorige opgave, maar nu 1/10 x 9.

Code beoordelaar 1 4b

5e

L vraagt naar voorbeeld (‘met z’n zessen’). Ze doen nog een som samen. L leest voor. Tijdens het lezen duidt L al relevante info aan. Hij vraagt ook naar de betekenis van een woord in de opdracht. 6x2

Code beoordelaar 2 4b (vrij sterk sturend, maar wel met model)

6b 6a

9 (want verband met vorige opgave is transfer?) 11

4a L gaat naar volgende opgave (opslag eenpersoonskamer) en herformuleert gegevens.

6a

7d (probleemstelling vereenvoudigen)

L helpt individuele leerling.

5b

L stelt vast dat som niet lukt. “Gaan we verder kijken.”

7b (instructie aanpassen aan niveau leerling) 6a

L vraagt vereenvoudiging 6/9. Leerling geeft goed antwoord. L vraagt naar vorige moeilijke som.

L spoort aan om probleem op te splitsen in deelproblemen. Leerling schrijft 6 x 2 en 6 x 4/7. Leerling rekent 6 x 4 uit. L spoort aan dit op te schrijven. L trekt deelstreep en schrijft er 7 onder. L schrijft er = teken achter en vraagt hoeveel groepjes van 7 eruit kunnen.

7b (instructie aanpassen aan niveau leerling) 7c (proces, want gericht op strategie) 7c (maar zonder verdere uitleg) 7c (maar zonder verdere uitleg) 6a

Bijlagen 33

Fragment



L zit bij een kind en buigt zich over de som 6/9. Het is de bedoeling om de breuk te vereenvoudigen. Hij vraagt: “Kan je 6 door 3 delen?” Dan komt er een som: 6 keer 2 4/7. De leerling geeft aan dat hij 6 keer 2 en 6 keer 4/7 moet doen. Hij vraagt hoeveel groepjes van 7 je er dan uit haalt.

Leerling komt tot antwoord 3 3/7. L vraagt hoeveel dat samen is. Leerling geeft goede antwoord



Noot. MOV…: naam van filmbestand.

34


Bijlage 3 – Gecodeerde lesfragmenten van drie leerkrachten PO en één docent VO Filmpje

Beschrijving

Code

150 / 4

Geen leraar-leerlinginteractie.

N.v.t.

L heeft plaatsgenomen tussen groep leerlingen. L: “Wat is dat … weten jullie dat?” L beaamt antwoord van leerling en verschaft meer uitleg.

6a

Leerkracht A Hulpvraag met gekleurd vlakje

Instructietafel met drie leerlingen

Onder elkaar uitrekenen met komma zonder rekenmachine

Leerling schrijft iets op en legt vlakje weg. L loopt rond en vervoegt zich bij andere leerling in een groepje van drie. Legt blijkbaar iets uit. Intussen werken leerlingen door in groepjes. L roept drie leerlingen uit verschillende groepjes bij zich aan tafel.

L legt uit wat de uitslagen zijn van 3D-figuren. L vraagt van welke uitslagen na het uitknippen een kubus gemaakt kan worden. L stelt: “Je hebt een bovenkant, onderkant en vier zijkanten. Van welke …?” L vraagt: “Hoe noem je zo’n figuur?” L bevestigt antwoorden van leerlingen en verschaft extra uitleg: “… de rest heeft schuine zijden.” L geeft aan welke uitslagen door leerlingen moeten worden uitgeknipt en verlaat de tafel. L vervoegt zich bij leerling in een andere groep, bladert door het schrift van de leerling en wijst iets aan in het boek. L loopt rond en controleert het werk van leerlingen in andere groepen. L loopt terug naar eerste groep en verschaft uitleg over het vouwen van de uitgeknipte uitslagen. L legt uit dat er nog 10 minuten over zijn en dat leerlingen moeten overslaan wat ze al begrijpen.

Leerling zet eerst de komma verkeerd, daarna redeneert ze dat er 3 decimalen achter de komma moeten staan, want eerste getal heeft er 2, het andere 1. L vraagt wat leerling dan eigenlijk vooraf moet doen. L vult aan: “Schatten vooraf, dan had je dat geweten.” L spoort leerling aan te schatten. Leerling schat goed, maar stelt dat haar antwoord niet klopt. L vraagt wat er niet klopt en wat ze dan wel fout heeft uitgerekend volgens haar.

7a (product) 5a 5b

10

4b 6a 6a 3 7a, 5a 4a 7a (4a?) 7a (product) 7d (proces) 10 (maar dit is ook meer het aangeven van een strategische aanpak om efficiënt te werken) 6b (maar ook: strategie suggereren) 7d (proces) 7b 6a

Bijlagen 35

Filmpje

Overzicht weektaak Start rekenles

Beschrijving

Code

Discrepantie tussen resultaat schriftelijke bewerking en rekenmachine. L vraagt hoe dit komt.

7b (want gaat om strategie en minder om inhoud) 7a (product) 7d (proces) 3

L suggereert dat er een fout is ingetoetst op de rekenmachine. Leerling doet het nog eens en concludeert dat het weer fout is. L benadrukt belang van vooraf schatten aan de hand van een andere opgave. L wijst op andere, reeds geleerde strategie: optellen decimalen te vermenigvuldigen getallen. Geen interactie; weektaak in beeld. L legt uit dat leerlingen onlangs rekentoets hebben gemaakt en dat er aan de hand van de resultaten zal worden bekeken waarop ‘ingezet’ gaat worden. L vraagt leerlingen een bepaald rekenboek te pakken. L verwijst naar een bepaalde bladzijde in het boek. L legt uit dat hij een korte uitleg geeft en dat leerlingen daarna een opdracht krijgen. Het gaat vandaag over ‘breuken keer’sommen. Hij verwijst naar bepaalde opgave in boek. L zegt dat er ook met verhoudingstabellen gewerkt gaat worden en met vermenigvuldigen van kommagetallen. L legt ‘trucje’ uit: vermenigvuldigingen breuk met geheel getal: teller vermenigvuldigen met geheel getal, noemer laten staan.

L vraagt leerling wat er daarna moet gebeuren (vereenvoudigen) door te stellen: “Hoeveel groepjes van de teller (in dit geval 5) kun je daaruit halen?” L vraagt naar rest en corrigeert leerling die onvolledig antwoordt.

Werkinstructie met keuze voor wie …

L geeft opdracht om sommen te maken binnen 5 minuten en vraagt leerlingen om op grond van hun problemen vragen voor L op te stellen. L wil dat leerlingen vier opgaven in omgekeerde volgorde maken.

L nodigt leerlingen die hulp nodig hebben of vragen hebben, uit in de kring. De rest moet zelfstandig werken. L stelt dat leerlingen in de kring verhoudingstabellen moeten maken. L stelt gegevens vast (“5 passagiers, 3 broodjes, 300 passagiers is ? broodjes”) en vraagt naar doel berekening. L vraagt of leerlingen de verhouding in één keer willen berekenen of een tussenstap willen.

36

N.v.t. 8, 2?

10 4 4a

2, 3? 7a (maar eigenlijk is dit verschaffen van zeer algoritmische uitleg; nieuwe code 12?) 3, 6a? (maar met zeer sterke sturing, niet open (13?)) 7d (maar opnieuw met sterke sturing) 7b (maar ook suggereren leerstrategie) 5e (ook werkwijze voorschrijven) 10 5e 6a 6b, 7b? (maar leerlingen keuze geven)


Filmpje

Beschrijving

Code

Leerling stelt verhoudingsgetal (60) vast. L vraagt wat ze met de broodjes moeten doen.

7c (vrij sturend, maar toch open, want geeft leerlingen keus) 7d (proces) 9

Leerling antwoordt juist. L vraagt hoeveel 3 x 60 is; leerling geeft correct antwoord en L vat samen. L wijst erop dat leerlingen dit ook voor de andere opgaven moeten doen. L stelt dat er voor 100 passagiers dezelfde strategie gevolgd kan worden, maar eventueel ook een andere op grond van het nu gevonden antwoord. Leerling antwoordt: “x 3.” L corrigeert. Leerlingen antwoorden: “Delen.” L bevestigt. L vraagt of het duidelijk is.

L constateert dat leerling een vraag heeft; herschikt kring. Hij vraagt of leerlingen zich iets herinneren dat eerder is behandeld: “3/10 kan niet in één keer, wat bereken je eerst?” Een leerling geeft goede antwoord (1/10). L vraagt hoe je dat dan doet. Leerling antwoordt: “Gedeeld door 10.” L beaamt. L vraagt naar volgende stap, lijkt op onbegrip bij één leerling te stuiten en presenteert taartmodel, kleurt 3/10 in en vraagt hoeveel stukjes; tikt ritmisch drie stukken af. L vraagt of leerling het snapt, maar controleert niet verder. L vraagt leerlingen om 90% in breuk te zetten. Leerling geeft goede antwoord. L wijst op overeenkomst met vorige opgave, maar nu 1/10 x 9.

L vraagt naar voorbeeld (‘met z’n zessen’). L gaat naar volgende opgave (opslag eenpersoonskamer) en herformuleert gegevens. 6x2

L helpt individuele leerling. L stelt vast dat som niet lukt: “Gaan we verder kijken.”

L vraagt vereenvoudiging 6/9. Leerling geeft goede antwoord. L vraagt naar vorige moeilijke som.

L spoort aan om probleem op te splitsen in deelproblemen. Leerling schrijft 6 x 2 en 6 x 4/7.

9 (gebruikmaken van eerder verkregen resultaat) 7d (met correctie) 6b (controle op begrip, maar zonder vragen te stellen) 3

6a 7a 4b (vrij sterk sturend, maar wel met model) 6b 6a 9 (want verband met vorige opgave is transfer?) 11 7d (probleemstelling vereenvoudigen) 5b 7b (instructie aanpassen aan niveau leerling) 6a 7b (instructie aanpassen aan niveau leerling) 7c (proces, want gericht op strategie)

Bijlagen 37

Filmpje

Beschrijving

Code

Leerling rekent 6 x 4 uit. L spoort aan dit op te schrijven

7c (maar zonder verdere uitleg) 7c (maar zonder verdere uitleg) 6a

L trekt deelstreep en schrijft er 7 onder.

MOD017

L schrijft er = teken achter en vraagt hoeveel groepjes van 7 er uit kunnen. Leerling komt tot antwoord 3 3/7. L vraagt hoeveel dat samen is. Leerling geeft goede antwoord. L vraagt wie som 4 heel moeilijk vond en er niet zo veel van begreep.

L vraagt wie het wel begrepen heeft. Leerlingen steken handen op. L vraagt welke leerlingen dingen hebben overgeslagen omdat ze dat toch wel begrepen. Enkele leerlingen steken hand op. L kiest er één en vraagt wat hij heeft overgeslagen. Leerling antwoordt welke opgaven hij wel heeft gemaakt. L legt uit dat leerlingen zelf moeten kiezen waar ze aandacht aan willen besteden en wat ze willen overslaan op grond van taxatie van hun beheersing van het onderwerp. L vraagt nog enkele leerlingen wat ze oversloegen. L vraagt wie som 3 moeilijk vond.

Rondje leerkracht met tussentijds nakijken en uitleg

L kondigt aan dadelijk nakijkboekjes uit te gaan delen en daarna te kijken hoe de leerlingen het hebben gedaan. L loopt rond; leerlingen werken zelfstandig.

L controleert antwoorden van twee leerlingen van een groep. L begeleidt leerling bij het opdelen van een vermenigvuldiging met een breuk in subproblemen. L laat leerling oorspronkelijk antwoord met nieuw antwoord vergelijken. L laat leerling opgave nog eens doen en geeft terugkoppeling.

6a 3 (maar dan gewoon vragen aan de leerlingen; geen diagnose door vragen) 3 3 7b

7b (metacognitief, zelfregulatie) 7b 3 (maar dan gewoon vragen aan de leerlingen; geen diagnose door vragen) 10, 2? 7a

7a 5b (strategische instructie) 5b 7a

Leerkracht B MOV00A MOV00B

38

L vraagt leerling om met werk en boek naar zijn tafel te komen. Leerling doet dit; rest leerlingen werkt individueel. L zit naast leerling in klas en vraagt haar iets in een verhoudingstabel te schrijven.

1 5b


Filmpje

MOC00C

MOV00D MOV00E

MOV00F

Beschrijving

Code

L wijst aan en zegt: “Dan schrijf je hier …. 300.” Leerling keert terug naar plaats. Leerling zit bij L aan tafel. Zij heeft een liniaal met de tafels naast zich liggen. L wijst aan in verhoudingstabel. In de verhoudingstabel staat 5 boven 3 en naast de 5 staat in de volgende kolom 300. L legt uit en dat ze 3 x 60 moet doen. Leerling zoekt 3 x 6 op in tafel. L corrigeert leerling en gaat door naar rest van opgave in boek.

5d 10 5b

L tekent deel verhoudingstabel en laat leerling die afmaken. In de eerste kolom staat een 6 boven een 2. L zegt: “6 mensen, 3 broodjes”. Leerling antwoordt: “18.” L corrigeert, schuift liniaal dichter naar hem toe. L vraagt: “Hoeveel keer past 6 in 30?” Leerling antwoordt. L zegt: “Dus niet 5 maar 50.” Hij concludeert terwijl hij boven in tabel wijst: “Dat is 50 keer zo veel, dus moeten het hier ook 50 keer zo veel zijn”, en vraagt: “Hoeveel is 2 x 50?” Leerling antwoordt: “100.” L bevestigt (zet kringetje om antwoord?) en gaat door naar rest opgave. Leerlingen werken zelfstandig in klas, twee meisjes werken samen. L zit nog met leerling aan zijn tafel. Twee jongens komen naar zijn tafel; één levert iets in en gaat terug naar plek. L vraagt iets aan de andere (die met boek in hand staat) en legt iets uit. Leerling antwoordt. L knikt aantal malen instemmend. L wendt zich tot klas en legt uit dat de opgaven niet altijd mooi uitkomen: “Soms past het maar een half keer, dan moet je dus met een half vermenigvuldigen.” Andere leerlinge neemt plaats tegenover L. Hij kijkt naar haar werk en zegt: “180.” (Antwoord lijkt goed te zijn.) L verwijst naar de volgende opgave met ‘6 en 2’ (dezelfde als in MOV00C?). L wendt zich weer tot leerlinge die naast hem zit. Leerlinge tegenover L tekent verhoudingstabel. L schrijft iets in schrift leerlinge naast hem. L wijst iets aan in verhoudingstabel die leerling tegenover hem heeft gemaakt. L zegt: “Maar je bent nog niet waar je wilt zijn.”

5d

L: “Hoeveel moet je er nou nog meer hebben?” L: “Dat komt niet zo mooi uit, hè, (56?), 7 x 8 is 56, hè, nou tel die er maar bij op.” L: “Wat je ook kunt doen, da’s misschien nog handiger (trekt schrift naar zich toe en begint er in te schrijven), je deelt 240 door 8.” L: “Nee sorry, je moet bij de 300 komen, en dan ga je kijken hoe vaak dat …” (Schuift schrift terug naar leerlinge.) Leerlinge naast L vraagt iets. L zegt: “Nee, dan moet je dat keer 6 doen.”

5d

7a

7a 5d

4 10 5b 10 5b 7a 5a

7a 4 10 5d 5b 7b (eindoplossing nog niet bereikt) 7c 7d 5e (maar is eigenlijk voordoen) 5d 5d

Bijlagen 39

Filmpje

MOV01A

MOV01C MOV01D

MOV01E MOV01F

40

Beschrijving

Code

L wendt zich weer tot leerlinge tegenover hem: “Nou moet je nog een komma zetten en een nul.” L: “Nee, hier de komma en daar een nul.” (Leerlinge gumt iets uit?) L: “Ik vind het niet nodig dat jullie helemaal tot het eind gekomen zijn, maar wel dat je snapt hoe je met verhoudingstabellen moet rekenen en ook snapt dat daar wel eens iets geks uit komt.” L vat samen wat er is uitgerekend: “Bij vlucht … waren dat 225 kopjes (kijkt achter hem op het IWB en zegt dat hij het niet op het bord heeft uitgerekend) en bij vlucht ... waren dat 250 kopjes koffie.” L: “En dan het fruit, hoeveel kwam daaruit, Dennis?” (Leerling antwoordt.) L: “En die ander, dat was een beetje gek, want daar kwam een half getal uit.” L vraagt: “Wat kwam daaruit, bij vlucht 643, wat kwam daar bij uit?” Leerling antwoordt. L: “Nee, daar heb je de frisdrankjes.

5d 7a 2

9 (maar alleen uitkomsten samenvatten) 6a 7c 6a 7a (corrigeren) 7a (corrigeren) 5a

Leerling antwoordt opnieuw fout. L: “Nee, da’s niet goed”, en laat nu andere leerling aan het woord. Leerling antwoordt: “187,5.” L: “187 ½ stukjes fruit is een beetje een gek aantal, dus zal die vliegtuigmaatschappij zeggen, ik neem 188 stukjes fruit mee, anders moet ik iemand een half stukje fruit geven.” L: “Wie had er uitgerekend die frisdrankjes?” 7a (Leerlingen steken vingers op.) L: “Eh, Sebas.” 10 (is waarschijnlijk routine) Leerling antwoordt blijkbaar goed. L: “En bij die andere vlucht?” 7a Leerling antwoordt: “125.” L: “Nee, niet 125”, laat andere leerling aan het woord die 225 7a antwoordt. (corrigeren) L: “Als je nou ziet, de vraag, voor welke vluchten is er meer 5c ingekocht?” (Geeft zelf de antwoorden.) L: “En de koptelefoons, daar kwam ook weer iets halfs uit.” 5c L: “Ga door, allemaal naar vraag 2, iedereen begint nu bij vraag 4 2.” (Klikt een paar keer op het IWB.) L. noemt leerlingnamen op, die naar de tandarts en … mogen. 10 Leerlinge haalt antwoordboek en kijkt erin om eigen antwoorden 7a te controleren. L: “ … gaat niet meer naar som 2c of 2d, maar ga door naar som 4 3; als je klaar bent met som 2 ga je naar som 3.” L: ”Want c en d zijn hetzelfde als a en b.” 9 (analogie opgaven aangeven) (Er is inmiddels een derde leerling bij L. aangeschoven.) 10 L kijkt toe hoe de drie leerlingen aan zijn tafel werken, rest klas 10 werkt zelfstandig. Sommigen roepen hulp in van andere leerling. L: “Kijk even naar mij.” 1 L leest opgave voor uit boek: “Reis naar ZA voor 1230,50 euro.” 4


Filmpje

MOV002

Deze leerkracht doet niets aan het ophalen van voorkennis. Lijkt wel opzettelijk minimale feedback (dat wil zeggen, alleen noodzakelijke) te geven

Beschrijving

Code

L: “Vader, moeder en R zijn 13 jaar of ouder, betalen dus het volle pond, zoals we dat noemen, dan moet je 1230,50 keer drie uitrekenen.” (Schrijft 3 onder prijs op IWB.) L: “Hoeveel kwam daar uit, kijk even mee.” L: “Had jij dat, helen?”, (leerling zwijgt), “Sebas wel, hè?”

5d

L: “Zes, lees ‘m eens voor Pieter.” (Leerling begint te lezen.)

4, 10

L: “Denk eens even aan je liniaal, hoeveel millimeter gaat er in een centimeter?” Leerling antwoordt niet. L: “Kijk maar op je liniaal.” Leerling antwoordt: “10.” L: “Ja, dus weet ik dan meteen hoeveel mm er steeds in dat ene vakje staan.” L: “Zie je dat, steeds die centimeter en dan nog lichter zijn die mm-lijntjes.” L wijst op bord: “Nou moet ik gaan aangeven waar 147 komt te staan.” (Op linkerkant bord staat een schaalverdeling waarbij 0, 100 en 200 cm zijn aangegeven.) L: “Nou moet ik eerst aangeven wat hier komt te staan” (wijst op punt 50 cm). Vraagt leerling, deze antwoordt: “50.” L: “Precies tussen de 0 en 100 in, daar zal 50 staan.” (Schrijft op bord.) L: “En hier?” (wijst op punt 150). Leerling antwoordt: “150.” L: “Precies, hartstikke goed.”

3

6a 10 (helen wordt genegeerd!) Leerling: “Ehm.” L: “Had je die niet uitgerekend?” 6a Leerling: “Eh, 6000 …”. L: “Nee, alleen die drie volwassenen.” 7c Leerling vraagt iets. L: “…. We stoppen zo vaak mogelijk, in plaats 6a van doorrijden, zie je het verschil, wat jullie ervan gemaakt hadden, wie had dat, we stoppen zoveel mogelijk onderweg?” Geen enkele leerling antwoordt. L: “Niemand hè … je hoeft maar 7c één woordje om te draaien, dat zijn dus de hele lastige.”

Leerkracht C MOV02A

L: “Maar ja, 147, dan ga je hier kijken, tussen 100 en 150, hoeveel mm zit daar tussen?” L: “Ja, je kunt het hier misschien moeilijk tellen, maar dat kan wel in je werkboek.” L: “We hebben het er net over gehad, hoeveel mm, want we praten over mm-papier, zit er in die centimeter?” L: “Joeri? (antwoordt “10”), een zo’n klein streepje, hoeveel is dat dan waard?” L wijst stuk tussen 0 en 50 aan: “Zo’n stukje, daar zitten er 50 tussen, dan hebben we 10 mm, wat is dan die ene mm steeds?”

4

5a 4 (opgave herhalen) 7c

7a (maar leerling wordt ook geprezen) 6a 5e 3 6a 6a

Bijlagen 41

Filmpje

MOV02B

Beschrijving

Code

L: “Sander? (antwoordt “5”), juist, 5, elk stukje is 5, dus 147, ga je kijken (zet een streepje bij elke 5 mm en telt met stappen van 5 van 100 naar 145) dan zit je bij 145, ja, en dan …. 147, dat past niet, dat hoort niet bij 150 en niet bij 145.” L: “Dat is het lastige, dan moet je in die ene mm eigenlijk een klein stukje nog tekenen.” L: “Dus hij zit dan net iets boven de 145, nou, met potlood en liniaal doen jullie dat zo (trekt streep) en dan kleur je dit stuk in (arceert stuk onder streep), je mag dat met potlood of kleurpotlood doen, als je dat fijner vindt.” L: “… geven jou wat informatie die je nodig hebt voor de redactiesommen die daar staan.” L: “Lees het niet één keer, lees het twee keer, kijk goed, wat vragen ze, zoek het op in de tabel en dan ga je er een som van maken.” L: “Ja, som 2, welk getal ligt het dichtste bij?” L: “Nou heb je dus hier die kommagetallen, hè?” L “Nou zie je staan, 3 9/10.” L: “Die kan ik op mijn getallenlijn … bijvoorbeeld.” (Zet 3,9 boven de meest rechtse verticale lijn van een getallenlijn met drie verticale lijnen op het bord.) L: “En dan zie ik daaronder allemaal getallen staan, en dan is de vraag, waar zit het nou het dichtste bij, het ligt allemaal dicht bij elkaar, maar waar zit het nou het dichtste bij?” L: “Nou, die 3 8/10 kan ik bijvoorbeeld hier neerzetten, hè?” (Zet 3,8 boven de meest linkse verticale lijn.)

5a (met demonstratie!)

L: “Maar dan kom ik bij 3 92/100, oh, wel een beetje lastig.”

MOV02C

42

L: “Getal met 1 cijfer achter de komma, getal met 2 cijfers achter de komma, kan ik dat met elkaar vergelijken?” L: “Jouri? (antwoordt “nee”), nee, niet zo goed hè, is hetzelfde als kauwgum vergelijken met lekkere chocolaatjes, kan ik ook niet zo goed.” L: “Je hebt een idee (leerling zegt iets), je maakt daar ook twee cijfers achter de komma.” L: ”Wat mag je dan doen (leerling antwoordt: “Er een nul achter zetten”), ja, want er verandert niks aan de waarde” (zet een 0 achter 3,8 en 3,9). L: “En als je dit nou dit, kun je heel makkelijk die andere getallen ook op de getallenlijn zetten, 3 92/100 …. 3 75/100, en dan zie je eigenlijk heel gauw waar die het dichtste bij zit.” L: “Het is heel belangrijk waar de komma staat … hoe noemen we de cijfers die hier komen te staan?” (Wijst op schema voor positiesysteem op het bord.) L: “We praten nog niet over na de komma, hoe heet dit? (leerling zegt iets onverstaanbaars) hele.” Leerling zegt iets. L: “Eenheden, ja, zo’n grote E.” L: “En daarvoor, met twee getallen?” Leerling antwoordt: “tientallen”. L beaamt, schrijft T in kolom, leerlingen zeggen honderdtallen. L schrijft H in kolom en D in eerste kolom. L: “Nou, niet duizendste, want dan zou die hier komen.” (Wijst op ruimte achter laatste kolom in schema positiesysteem.)

5d 5a (voordoen, demonstreren) 4 5e

4 3 4 5a (weer met demonstratie) 6a

5a (weer met demonstratie) 7b? (problematiseren) 6a 7c

7d 7c

5a (opnieuw met demonstratie) 6a

5d 7d 7d

7d


Filmpje

MOV02D

MOV02E MOV02F

Beschrijving

Code

L: “Hier staat de komma, wat komt daarachter?” Leerling antwoordt: “Tienden.” L schrijft T in 5e kolom. L: “En daarachter?”, knikt naar leerling. L: “Honderdsten, goed zo Sven.”

6a 7d 6a 7d (en prijst leerling) 4

L: “Dat werkboek, die eerste som, met dat schema, van dat vliegen, met die tijden, daarvan maken jullie er twee, dan ga je gewoon met de rest verder.” L: “En het blauwe boek, som 1, daarvan maken jullie alleen a en b en de rest wel gewoon, ja heb j’m Daan?” (Leerling herhaalt wat er gedaan moet worden.) L: “Goed, wie heeft het helemaal ….. (meeste leerlingen steken vinger op) … zet even een kruisje in je werkboek.” L: “Goed, dan ga je nu starten, je weet wat je moet doen, ik kom dadelijk even kijken en … paar kinderen …. , ja? En heb je tussendoor een vraag en ik ben even bezig, dan vraag je het eventjes heel zachtjes aan (?), succes!” (L bevestigt bordje met tekst ‘alleen werken, vragen mag’ aan het bord.) Er komen drie leerlingen bij L zitten, blijkbaar voor extra uitleg. L richt zich tot deze leerlingen: “Dat kunnen jullie zien, hoe laat het is.” Leerling zegt iets. L: “Juist, en daar tel je de vertraging bij op.” Eén van de leerlingen haalt vier klokken uit kastje. L: “Gaan we eens kijken, kijken naar de 1e vlucht, de AW815.” L: “Hoe laat vertrekt-ie, waar staat-ie.” (Leerling zoekt in tabel in boek.) Leerling: “5 voor half 1.” L: (herhaalt) “Probeer eens op je klokje te krijgen, 5 voor half 1.” L: “Je moet wel de goede schijf pakken, want ze blijven af en toe een beetje aan elkaar plakken, ja?” (Twee van de leerlingen zetten klok eerst op 5 over half 1, maar doen het daarna goed.) L: “Zo moet je hem hebben, dan zit de kleine wijzer tussen de 12 en de 1 … ja, jij had ‘m andersom hè?” L: “Maak ‘m even in orde, tussen de 12 en de 1 en die grote wijzer, die wijst naar … die 5, van 5 voor half, zo ziet ’t eruit.” L: “Dan ga je kijken, we moeten naar de tijd, en dan ga ik effe uit van de geplande aankomsttijd, 16 uur 5.” L: “Hoe zet ik dat, 16 uur 5?” Leerling antwoordt. L: “Goed zo, 5 over 4, dus ik ga van 5 voor half 1, moet ik naar …. 5 over 4.” L: “Kun je het beste eerst naar het hele uur gaan.” L: “Hoeveel minuten moet ik er nou bijtellen om naar het volgende uur te gaan?” Leerling antwoordt: “35”. L: “En hoe laat is het dan?” Leerling: “1 uur.” L: “En nou ben ik zo’n klein vergietje, ik vergeet veel, dus pak ik mijn kladpapier erbij en dan schrijf ik alvast op, dat ik alvast 35 minuten erbij geteld heb en dan zit ik op 1 uur, nou kun je bijvoorbeeld je klokje op 1 uur zetten, zou kunnen.” L: “Misschien handig, jij hebt ‘m al.” L: “Van 1 uur kun je heel makkelijk rekenen naar ….?” Leerling antwoordt: “2”. L: “2, en 3, en 4!”

4

10 10

5b 5d (gegevens vaststellen) 5e 4 6a 5e 7d

7d 5d 6a 7c 5d 6a 7c 5e (modelleren!)

7d 6a 7d

Bijlagen 43

Filmpje

Beschrijving

Code

L: “We moesten naar 5 over 4, hè, tellen we eerst de hele uren erbij.” L: “Hoeveel hele uren is het van 1 tot 4 uur?” Leerling: “3”. L: “3, dus dan schrijf ik nu op, dat ik er ook nog 3 hele uren bij geteld heb.”

7d

L: “Dan ben ik er nog niet, hoeveel minuten staat er dan nog?” Leerling: “5”. L: “Goed zo, zie je dat Noëlle? 5 minuten.” Leerling: “Zonder vertraging.” L: “Juist, die vertraging niet vergeten hè?” L: “En hoeveel was de vertraging, Noëlle?”

6a 7d (maar ook modelleren van strategie) 6a 6b 7d 6a

Leerling antwoordt: “35 min.”. L: “Oké, en dan moet je dus eigenlijk nu optellen 35 min., 3 uur, 5 min., en nog eens 35 min.” L: “Tel dat maar eventjes uit.“ (Wijst naar boek leerling). L: “Had je geen kladpapiertje?”

5d

L: “… dat is een lastige voor jou, hè (geeft een andere leerling de beurt) ….., oké, 9, eh, Lisa.”

10 (L negeert nogal eens leerlingen) 7a

5e 7c

Leerkracht B MOV003

Leerling: “… ’s avonds laat.” L: “Oké, die had niemand fout, denk ik hè?” (Leerlingen knikken nee.) Leerling: “... makkelijk, oké, 10 (jongen steekt vinger op), Babette.”

10

Leerkracht C MOV03C

L: “We gaan de les nabespreken, niet om na te gaan wat makkelijk was … Ik heb veel kinderen heel veel zien opschrijven, maar ook heel goed zien werken.” L zegt dat ze net als in voorgaande jaren bij veel kinderen een goede houding ziet. “Hou die vast, hè, want die heb je nog heel lang nodig in je leven, hartstikke mooi gedaan.” L: “Oké werkboek (zegt dat kinderen dat goed hebben gedaan), die staafgrafieken, die zijn best moeilijk, wie vond ‘m eigenlijk makkelijk?” (Veel leerling steken vinger op.) L: “…, maar heel veel kinderen vonden het makkelijk, dan ligt het toch aan mijn leeftijd met die mms kijken, dan is het dat geloof ik.” L zegt dat leerlingen straks iets moeten inleveren, vervolgt: “Het blauwe boek, en als we dat gaan bespreken, Sander, pak even de goede bladzijde erbij, bladzijde 42 was het.” L: “…. Dat afronden ging bij de meeste leerlingen goed, als je vindt dat je te veel fouten had, dan leg je hem dadelijk bij mij hier even neer, hè.” L knikt naar leerling: “Ik kijk jou effe aan … besproken … daar kom ik morgen met jou even hier aan tafel op terug.” L: “Oké, hoeveel liter brandstof is er nodig? Dan gaat het hier over die Boeing 747-300, hoeveel liter heeft die nodig, kijk even mee.” L: “Dan zie ik een paar vingers, maar je hebt allemaal die som gemaakt, hoor.”

44

2

11

7b (maar evaluatief) ? (commentaar, 11?) 10

7b, 8 (L laat leerlingen zelf bepalen, kijkt niet na) 10 6a

11?


Filmpje

MOV03D

Beschrijving

Code

L kiest leerling uit voor antwoord, deze geeft het. L: “Oh, jij geeft nou meteen het antwoord, maar dat vroeg ik niet, uit het schema, uit de tabel lezen we dat-ie hoeveel nodig heeft, per uur, meer weet ik nog even niet.” L: “Jelske (leerling antwoordt “2880 liter”), oké, dat weten we, 2880 liter.” L: “Dan is het natuurlijk de vraag, hoe lang het duurt om van Asd naar NY te vliegen, dat staat in die andere tabel, hoeveel uur en hoeveel minuten doe ik er over?” Leerling: “8 uur en 10 minuten”. L: “Goed zo, ik weet het voor 1 uur, maar ik moet het weten voor 8 uur en 10 minuten … hoe ga je dat aanpakken, hoe heb je dat gedaan, Amy?” Leerling A: “Nou, ik deed eerst die 2880 keer 8, en dan deelde ik 2880 door 6.” L: “Dat was voor sommigen even lastig, die hele uren, dat vinden jullie niet zo’n probleem, dat is even keer 8, maar dan die 10 minuten hè …” L “Maar dan ga je bedenken, hé, een uur is, Thomas, hoeveel minuten?” Leerling T: “60 minuten.” L: “60 minuten, dus 10 minuten is een hoeveelste deel?” Leerling antwoordt. L: “1/6, dus mag ik ook 1/6 deel nemen van die 2000 880 liter.” L: “En dat tel je dan bij elkaar op en dan komt er uit, en dan heb jij gelijk, Sterre, 23520 liter.” L “… hele lastige, toen ik aan het rondlopen was, waren er heel veel kinderen … wat moet je daar mee, nou d’r staat ook nog al wat, hè, in die som, d’r staat een heleboel wat je eerst moet nagaan, ik zal je vertellen hoe je het aan had moeten of kunnen pakken. Martijn, jij bent er wel uitgekomen, hè?” L: “Had je ‘m ook goed, want je hebt het nagekeken, dan wil ik eerst van jou weten hoe je het hebt gedaan.” Leerling: “Ik heb …. duizend gedeeld door 8800, … 14 en nog … veel meer er achter.” L: “Ja.” Leerling: “… antwoord moest je dan delen door 100.000.” L: “Mm .. mm.” Leerling: “En dan kwam er 7 duizend, honderd, eh .. 7042 uit, nee 7040.” L: “Juist, de manier die jij gedaan hebt …., die is goed, ik heb één stap ergens anders gemaakt, maar we kwamen op hetzelfde uit.” L: “Ik vind het heel knap van jou dat jij deze som tot een goed einde hebt gebracht, want ….” L: “Hoe zit het, even voor de rest van de groep, als je gaat kijken, 125.000 liter weegt 100.00 kilo, dan ga ik dat stapje eenvoudiger maken, voor mezelf, om een goed beeld te hebben.” L: “Dat betekent dus, als ik er wat nullen afhaal, 125 liter is dus 100 kilogram, maak ik het iets eenvoudiger, al die grote getallen.” L: “Londen, ga ik kijken in mijn tabel, voor Londen had ik 8800 liter nodig, want dat hoorde bij het type vliegtuig DC10, en het is precies een uur vliegen naar Londen, dus het blijft 8800 liter.” L: “Dan moet je die 8800 liter delen door 125 liter, dan kreeg inderdaad eruit, 70 komma, hè, tiende.”

7c

7d 6a

6a

7d

6a 6a 5a 5c 7b

11 7d 7d 7c

7a (prijzen leerling ) 5e

5d 5d

5d

Bijlagen 45

Filmpje

Beschrijving

Code

L: “En dan moet je dat nog keer die 100 kilo doen, want ze vragen het niet in liters, ze vragen het in kilogrammen.” L: “Zie je bij deze som waarom dat ie lastig is?” L: “Want ze vragen niet één ding, je moet eigenlijk vier, vijf stappen maken.” L: “En dus ook terugkijken, in het ene schema weer en het andere.” L: “Martijn, zo gedaan hè jongen.” (Steekt duim op.)

5d

(Er staat een pagina van een boek van Malmberg op het digitale bord geprojecteerd.) L: “Gezondheid ….” (L loopt naar zijkant bord, terwijl een leerling iets op zijn bureau legt, L pakt het boekje of schriftje op, leerlingen werken zelfstandig, het is vrij rumoerig.) L: “Oké, ik zie er al een paar, die hebben … boekje, maar nog heel even wachten.” L: “We zijn begonnen … we hebben de route berekend, het aantal kilometers berekend en de …. berekend, en daar had ik jullie een opdracht bij gegeven.” L: “Jij heb ‘m opgeschreven, hè?” (Wijst naar leerling.) L: “…. rijtje uit je hoofd geleerd, laat maar eens horen.” (Leerling dreunt iets op, L beweegt op de maat mee.) L: “Die basis had je nodig voor het omrekenen, zoveel centimeter is zoveel kilometer, weten we het weer allemaal? Oké.” L: “Dan kunnen we route …., als je hier bijvoorbeeld, deze som en die hoef je ook niet te maken en van deze maar klein stukje, de eerste twee rijtje geloof ik, alleen ja, dat zijn de eerste twee rijtjes (wijst op opgaven op het bord), en som 4 ook, het laatste rijtje … stukje.” L: “Ik denk dat in dit blokje een paar sommen zullen zitten die best lastig zijn.” L: “Want we gaan het vandaag, waar gaan we het vandaag over hebben, als je terugkijkt?” L: “Deze sommen voor ons (wijst op opgaven op bord) … problemen opleveren.” L: “Wie vindt die …. methode nog moeilijk (enkele kinderen steken vinger op), Kim?” L: “Als wij … kommagetallen komen … vanzelf, hè, breuken vermenigvuldigen, daar zijn we ook mee bezig geweest, de laatste week.” L: “Wie vindt die nog lastig?” (Leerling steekt vinger op, L zegt naam.) “Prima (L wendt zich tot andere leerling), Kim, vindt je deze nog moeilijk met die breuken ….?” Leerling: “Ja.”

10

6b 7d 7d 11

Leerkracht B MOV004

MOV005

L: “Dus 10 kunnen we … zelfstandig maken, deze ook, maar deze twee, met name de eerste ... is een hele lastige, d’r zitten een paar hele lastige bij, dus het zou kunnen zijn dat dat misschien ook handig voor jullie is.”

46

10 4a

10 3 3 4a

4a 2 4a 7c 3

3 (+ controle welke leerlingen nog problemen hebben, maar alleen door zelfevaluatie van de leerlingen) 5a


Filmpje

MOV006 MOV007

Beschrijving

Code

L: “Dit blokje (vergroot iets uit op het bord), goed lezen, is eigenlijk technisch lezen, wat staat er?” L: “Dat zou ook voor de routeboek(?) kinderen een aardige opgave zijn om even te maken, kijk.” L: “D’r staan hier een aantal advertenties, een viertal, een vijftal zelfs en dan zie je ook dat er telkens een aantal mensen op vakantie gaan.” L: “En dan weet je zelf wel als je op vakantie gaat, dan moeten de volwassenen altijd meer betalen dan de kinderen, ook met een pretpark en zo en opa’s en oma’s kunnen ook vaak goedkoper mee omdat ze een 65+ kaart hebben.” L: “En al die advertenties die je ziet staan, die moet je heel goed gaan lezen, wat staat er nou eigenlijk in?” L: “We gaan er effe één als voorbeeld nemen, hier bijvoorbeeld reisbureau Fly-away heeft aantrekkelijke kortingen, ja zo adverteren ze altijd, hè, voor kinderen tot 4 jaar betaalt u 3 tien ….” L: “Wat betaal je dan eigenlijk, je deelt het bedrag door 10, keer 3, eigenlijk is het 30%, hè?” L beaamt antwoord leerling. “10%, dat is een handige hè, als je maar 90% … krijg je 10% korting.” L: “Nou zie je hier bij dat reisbureau een prachtig aanbod (wijst opgave aan op bord), hoogtepunten van het verre oosten, die gaan we samen eens effe bekijken.” L: “Want zo gaan alle andere sommen natuurlijk ook.”

6b

L: “Een complete 18-daagse rondreis vanaf 1998 euro en 80 cent p.p.” L: “Hadden ze d’r maar 2000 euro van gemaakt, was ’t handiger rekenen geweest misschien, hè.” L: “En dan staat er ook nog iets bij, toeslag eenpersoonskamer, wat betekent dat?” L: “Toeslag eenpersoonskamer, 252 euro, wat betekent dat nou? ….. nooit gezien in een advertentie?” L wenkt twee leerlingen van hun plaats, zegt: “Wij gaan op vakantie met z’n drieën, vader, z’n dochtertje Maartje, dat klopt hè, die heb ik echt en …ga je op vakantie in een hotel.” L: “Wat voor kamers hebben ze meestal in een hotel?” Leerling antwoordt: “Tweepersoons.” L: “2-persoons, 4-persoons, ook wel 3-persoons.” L: “Maar nou zeg ik: ik wil niet samen met m’n kinderen op de kamer, want die stinken zo ’s nachts, dat zou kunnen, ik wil een kamer alleen voor mezelf, jullie mogen een 2-persoonskamer, maar omdat ik een kamer alleen wil, moet ik daar extra voor betalen, en dat noemen ze toeslag 1-persoonskamer.” L: “Eigenlijk zouden er twee mensen in kunnen, maar ik wil alleen en daar moet ik extra voor betalen, snappen we dat of niet?”

4 (L differentieert?) 4

4b (want relateren aan alledaagse kennis) 5e 4a

5a 7d 4a

9 (want wijst op generalisatie) 4a 5d 6a 6a 4b

6a 7a 5a

6b

Bijlagen 47

Filmpje

MOV008

Beschrijving

Code

L: “Dus stel je voor dat je in een hotel bent met alleen maar 2-persoons- en 4-persoonskamers en je bent met z’n vijven, bij wie zijn ze thuis met z’n vijven (meisje steekt vinger op), bij jullie, papa en mama gaan samen in een kamer, jij en Kim, en Jan moet dus een aparte kamer hebben dan, en die krijgt een aparte kamer, maar daar moeten jouw vader en moeder wel extra voor betalen, 252 euro.” L: “Jullie mogen gaan zitten kinderen.” (Wijst naar de twee leerlingen die voor de klas staan.) L: “Gaan we eens even kijken naar deze als voorbeeld, want wat moet je doen, je moet telkens kijken, hoe oud zijn ze en wat moet je betalen.” L: “Vader, moeder, Carlijn en .. boeken de reis naar het verre oosten, wat betalen ze?” (Wijst naar opgave op het bord.) L: “Welke som moet ik uitrekenen?” L: “Is er iemand die tot 4 jaar is, in dit gezin?” L: “Dus dit heb je effe niet nodig.” (Wijst naar overige opgaven op het bord.) L: “Wie is tot 12 jaar?” Leerling antwoordt. L: “Ja, Carlijn is 11, maar dit is tot 12 jaar.” L: “Wat moet ik dan doen met Gijs, die is 15?” Enkele leerlingen steken vinger op. L: “Carola.” Leerling antwoordt: “Bij de volwassenen.” L herhaalt antwoord leerling. L: “Zit er een 65+er bij?”

5a

Leerling antwoordt: “Nee.” L: “Welke som moet ik nu uitrekenen, ik heb 3 volwassenen en 1 kind tot 12 jaar.” L: “Nou, die 3 volwassenen is makkelijk, wat moet ik daar voor rekenen?” Leerling: “Duizend 998 euro en 80 cent.” L: “Eentje maar?” Leerling: “Nee, 3.” L: “Oh, keer 3.” L: “En wat moet ik dan rekenen voor Carlijn?” Leerling: “De helft.” L: “De helft van dit bedrag.” L: “En dan moet ik niet vergeten om het ook nog .. op te tellen.” L wijst op opgaven op bord: “Als je ze allemaal goed bekijkt, zie je dat er soms iets in zit, zoals hier een oma, want een oma betaalt maar 90%.” L: “Maar wel even opletten of er iets bij staat voor een toeslag, staat hier iets bij van een toeslag voor een 1-persoonskamer, zoals bij deze advertentie?” L: “Staat er iets bij (wacht niet op antwoord leerlingen), nee, want als ik tel, zullen vader en moeder wel op een kamer slapen, misschien wel Reinier en Selma, en toevallig Inge en oma, maar ja, als ….niet was geweest, hoef je niks extra’s voor die aparte kamer te betalen.” L wijst op andere opgave: “Hier staat weer een heel verhaaltje, telkens goed kijken, wat kost het per week, wie gaat er mee en wat moet ik daar voor betalen.” L: “Wie heeft hier een vraag over, niemand, dan kan je die straks ook maken en dat zou ook best wat zijn voor de …. (routeboek?) kinderen.” (Bladert naar volgende pagina op digibord.)

48

10 5e

4a 6a 5d 5e 6a 7a 6a 7a 6a (socratische dialoog?) 6a 6a 7c 7a 5d 4a

6a

5a

5e

6b


Filmpje

MOV009

Beschrijving

Code

L vergroot opgave op bord: “Hier hoeft niet (iedereen?) aan mee te doen, de rest kan beginnen.” L: “De rest…. goed kijken wat er staat …. Begin ‘m eens te lezen.” (Leerling begint opgave over bediening aan boord vliegtuig op te lezen.) L: “Nou is dit een hele verre reis en dit ook, zie je dat, het zijn alle twee verre reizen, en ondertussen, dat je de reis gaat maken, wordt er wat gegeten, van iedere vijf reizigers eten er drie een broodje ….” (L leest rest opgave voor met wat commentaar.) L: “Van die andere vlucht hebben ze ook zo’n lijstje gemaakt (wijst op tweede lijst), in beide vluchten zitten er uiteindelijk 300 passagiers in het vliegtuig.” L: “Dan zijn ze vol. Snappen we dat?“ L: “Ze gaan allebei een andere kant op, maar ze hebben allebei 300 passagiers.” L: “A. Hoeveel artikelen moeten er mee per vlucht, we gaan er eentje samen doen, de rest kunnen jullie dan alleen. D’r zit een lastige bij, dat kan ik je alvast vertellen, da’s hier die onderste.” (Klikt opgave aan op bord.) L: “We gaan eerst eens kijken hoe we dit aan zouden kunnen pakken, hoe zou jij het aanpakken, Niels?” Leerling mompelt wat. L: “Hoe zou je dit op kunnen lossen, welk model hebben we hiervoor?” L: “Want ik weet iets van 5 …” Leerling zegt: “De verhoudingstabel.” L knikt instemmend en herhaalt het antwoord. L tekent een lege verhoudingstabel op het bord: “Nou zeg het maar.” (Leerling zegt iets, L zet 5 boven in entry tabel en 3 onder.) L: “Van de 5 eten er 3 een broodje, maar van hoeveel moet ik het weten?” Leerling antwoordt: “300.” L herhaalt en zet 300 naast de 5. Leerling mompelt iets. L: “En weet je dat zo uit je hoofd?” Leerling mompelt. L “Hoeveel keer zoveel, hoeveel keer zoveel broodjes.” Leerling antwoordt. L zet 180 onderin tabel. L omcirkelt kop opgave met vluchtnummer: “Dan schrijf je het vluchtnummer op, maakt een verhoudingstabel en dan zet je dus, 180 broodjes.” (Schrijft 180 naast vraag op bord.) L wijst naar lijst andere vlucht: “Dat kan ik natuurlijk ook voor deze doen, ook een verhoudingstabel, hoppekee, daar staat-ie.” (Tekent ook lege verhoudingstabel boven tweede lijst.) L: “En hoe pak je het dan aan … Tessa?” Leerling zegt: “6 en 2.” L zet de getallen in de tabel: “Ja, van de zes eten d’r twee een broodje.” L: “Hoeveel heb ik er hier ook in het vliegtuig zitten?” Leerling: “300.” L: ”Ja, 300.” L zet 300 rechts van 6 in de tabel: “Hoeveel keer zoveel is dat?” Leerling antwoordt: “50.” L: “Dus hoeveel keer zo veel broodjes?” Leerling antwoordt opnieuw: “50.” L: “Hoeveel broodjes zijn dat dan?” Leerling antwoordt, L herhaalt en zet antwoord in tabel: “Hartstikke goed, ...”

10 4a

4a

5a

6b 5a 4a

6a 6b of 7c 7a 4b 6a 7a 6b 6a 7a 5c

9 (analogie) 6a 7d 6a 7a 6a 6a 6a 7a (met prijzen leerling)

Bijlagen 49

Filmpje

MOV011

MOV012

MOV013

MOV014 MOV015

50

Beschrijving

Code

L: “Nou ik kan al meteen zien, bij die twee vluchten, ik moet hier 180 broodjes inkopen, en hier 100, dus hier moet ik meer broodjes inkopen als hier, maar of dat nou met de koffie, het fruit en de frisdrank ook zo is, dat weet ik niet.” L: “Ik weet wel één ding, deze laatste, daar mag je even aan puzzelen, want dat is een lastige.” L lijkt individuele leerling te helpen: “…. breuk …. zijn er dus …, ja goed zo.” Leerlingen werken zelfstandig, beeld van leerling die hele getallen en kommagetallen optelt. L: “Heel even kijken of we allemaal op de goede weg zijn, kijk even mee.” L klikt op het digibord. L zegt dat leerling N het al heeft voorgedaan, maar dat het niet mooi uitkwam. L: “Van elke 8 reizigers hadden er 6 koffie.” (Schrijft verhoudingstabel op bord.) L: “Maar we moeten het weten van 300, maar dan is er een probleem. Wat was dat probleem, N?” Leerling N antwoordt dat het niet op helen uitkomt. L bevestigt. L demonstreert staartdeling 300/8 op bord: “3 x 8 = 24, rest 6, 7 x 8 = 56, rest 4, en toen?” L zet ,0 achter 300: “Ik mag ook, dat heb ik geleerd, die 0 erachter zetten, moet ik hier ook die komma achterzetten”, en zet ,5 achter 37. L: “Past 37 en een half keer in 300, dus ik moet ook 37 en een half keer die 6 broodjes doen.” (Schrijft x6 onder 37,5 van staartdeling.) L: “6 x 5 = 30 (schrijft 0), 3 onthouden, 6 x 7 = 42 = 45 (schrijft 5), 4 onthouden, 18, 22, hoeveel moet daar achter de komma, 1 (schrijft 22, zet komma achter 225), 225 broodjes (schrijft 225 in tabel achter koffie).

7d (maar ook samenvatten) 7b 5b 10

5a

6b 7d 5d 5a

5d

5c (L doet wel heel veel voor, zonder leerlingen aan het woord te laten) L: “Die ander was makkelijker.” Zet verhoudingstabel met 6 boven 6a 5 en 300 rechts van 6 op bord, richt weer het woord tot leerling N, die 250 zegt, L zet dit onder 300: “250 broodjes, eh …, koffie.” L: “Waar gaat de meeste koffie in, op welke vlucht?” 6a Leerling antwoordt. L: “Bij de tweede vlucht, dus bij de eerste 7d moeten ze meer broodjes hebben en bij die andere meer koffie.” L: “Had iedereen deze goed, …., maak er in ieder geval nog één 5e of twee.” Leerlingen werken zelfstandig. L lijkt uitleg aan een individuele 5b leerling te geven. Beelden van leerling die zelfstandig aan het cijferen is, terwijl L 5b uitleg lijkt te geven aan een andere leerling. Klas werkt zelfstandig, terwijl drie leerlingen bij L aan bureau zijn 10 aangeschoven. L corrigeert één van deze drie leerlingen: “Dit moet 100 vijftig 7a zijn.” (met correctie) L: “Dit is dezelfde eigenlijk als deze, die heb je al uitgerekend, 9 hè.” (wijzen op overeenkomst) L verschaft opnieuw uitleg aan leerling. 5d L controleert het werk van de andere twee leerlingen. 7a L: “Die som over koffie ….. 37½ keer 5.” 5b


Filmpje

Beschrijving

Code

MOV016

L: “We hebben ook al ontdekt dat bij een … 187½ stuk fruit, dat dat een beetje gek is.”

7b (relateren aan werkelijkheid) 6a 7d 5a

L: “Hoeveel neem je dan mee?” Leerling antwoordt. L: “188.” L: “Dat rond je dan af naar boven, want anders is er een passagier, die wil nog een stukje fruit en dat is er dan niet, die krijgt dan een halve appel of een halve banaan.” Beelden van leerling die bezig is met verhoudingstabellen, terwijl L uitleg verschaft aan één van de leerlingen aan zijn bureau.

Fragment

10, 5b

Beschrijving

Code

D veegt bord schoon; legt uit dat hij iets te laat is. Vraagt leerlingen om hun aandacht op hem te vestigen. D schrijft drie sommen op het bord waarin breuken met elkaar moeten worden vermenigvuldigd. Geeft leerlingen ongeveer 2 minuten de tijd om ze te maken en zegt dat leerlingen sommen die ze niet kunnen, over mogen slaan. D loopt rond; zegt tegen een leerling: “Heel goed.” Legt leerlingen uit dat hij deze opgaven geeft omdat “het al zo lang geleden is, nog voor de vakantie”. D: “Aan de andere kant kon je het in groep 8 ook al, of misschien in groep 6, weet ik veel.”

1

Docent VO 0:00:00 0:04:25

D: “De eerste is wel een beetje gemeen, want misschien kon je die wel helemaal niet in groep 7 en groep 8, maar misschien nu wel.” D geeft leerlingen nog een minuut, stelt vervolgens vast dat er twee leerlingen afwezig zijn, vraagt zich af wie. D zegt dat eerste opgave niet makkelijk is, stelt dat hij wil weten hoe leerlingen het doen en minder geïnteresseerd is in het antwoord zelf. Leerling die vinger opsteekt wordt aanvankelijk genegeerd, maar krijgt alsnog kans om zijn oplossing toe te lichten. Leerling J: “Je doet dat bovenste en onderste bij elkaar en daar maak je zeg maar één breuksom van.” D onderbreekt leerling : “Heel goed, misschien kan het ook wel makkelijker, maar …. Hoe heet dat ook alweer, dat bovenste en onderste?” Leerling: “De noemer.” D: “Klopt dat?” Andere leerling: “De teller.” D: “Dat is makkelijker hè, hoeven we het niet steeds te hebben over de bovenste en de onderste.” D: “Het is goed, Jack, maar het kan makkelijker, ja, 8 x 15 (som is 3/8 x 2/15) kan je wel uit het hoofd, maar het kan makkelijker.” Leerling: “Ik heb de tellers omgewisseld.” D schrijft 2/8 x 3/15 op het bord, vraagt: “Waarom heb je dat gedaan eigenlijk?” Leerling legt uit. D zegt: “Da’s een trucje waar je een beetje gevoel voor moet krijgen, hebben we voor de vakantie ook wel gedaan, 3/8 kan je niet vereenvoudigen, 2/15 ook niet, maar als je nou kijkt (wijst op 3 en 15 en 2 en 8), lijkt wel een bij elkaar te horen.”

4a

2

D heeft geen idee wanneer dit in PO wordt behandeld. 10

4c

10 3

7a

5d 6a

Bijlagen 51

Fragment

0:23:22

Beschrijving

Code

D werkt verder uit tot ¼ x 1/5: “Da’s een makkelijk sommetje, Jack?” Leerling J antwoordt na enige aarzeling: “1/20.” D: “Ja, 1 x 1 en 4 x 5.” D: “Het voordeel is ook dat je nu vrij zeker bent dat je het goed hebt, want als je 8 x 15 zou doen, zoals Jack, ja pfffff, maar zo moeilijk is dat nu ook weer niet, en dan krijg je ook precies weer 1/20 uit.” (Leerling bevestigt.) D: “Het is gewoon makkelijker om het zo te doen, zeker als het moeilijker getallen zijn, 8 x 15 gaat nog wel, maar ik had ook 7 x 24 kunnen doen, dat je denkt, dat weet ik ook niet uit m’n hoofd.” D: “Eigenlijk had ik een groter bord willen hebben, …. , maar ik ga hier opschrijven wat je nou moet doen voor je gaat vermenigvuldigen.” (Trekt verticale lijn rechts op het bord en schrijft daar ‘voor vermenigvuldigen breuk.) “Schrijf het nog maar niet op, wat doe je nou voor je gaat vermenigvuldigen? Hebben we net gehad.” Leerlinge zegt: “Gelijk maken.” D vraagt sceptisch: “Nou, gelijk maken?” Leerling: “………… dan moet je de noemer keer de teller doen.” D: “Wacht even, daar gaan we het zo over hebben, goed onthouden, maar wat hebben we hier eerst gedaan?” Andere leerling krijgt beurt. D: “Ik schrijf het even zo op, breuken vereenvoudigen.” D: “En als het kan, moet je dus noemers wisselen, nee tellers wisselen.”

5c

D: “Dat kan heel vaak, en als het niet kan, doe je het natuurlijk niet … nou en dan die andere ….. weten jullie wat Anneke bedoelde net? Ik snap het wel, maar je zei het een beetje ingewikkeld net.” Andere leerlinge: “Gelijknamig maken, dat de noemers hetzelfde zijn.” D: “Gelijknamig maken, wanneer doe je dat?” Leerling: “Bij min ….” D: “Bij plus- en minsommen, want gelijknamig maken, hoeft helemaal niet, bij som 3 (1/7 + ¼) zullen we dat wel zien. Eh, effe som 2 (2½ x 3 1/3).” Som 2 en 3 zijn ook behandeld. D heeft rechts nog op bord erbij geschreven ‘helen in de breuk’, en ‘NIET gelijknamig maken’.” D: “Waar waren we ook alweer gebleven?” Leerling antwoordt: “48.” Sommige leerlingen werken op papier, anderen zitten op laptop te kijken, wat dacht ik niet de bedoeling is. D schrijft op bord ‘NIET sommen met een G’. D: “Sommen met een G, voor gevorderden, die slaan we nu nog even over.” Leerling vraagt of die wel in de toets zitten. D: “Omdat we een paar lessen hebben gemist, komen die ook niet in de toets, ik ga ze nog wel doen, maar nu even niet.” D schrijft op bord welke sommen leerlingen moeten maken bij wiskunde online. D: “Daarna kun je verder met de zelftoets (schrijft dit op bord) en als je daarmee klaar bent, moet je het even aan mij vragen.”

52

5e

5e

6a

7d

5e (noemers wisselen kan net zo goed!) Legt niet uit wanneer en waarom het soms niet kan 7d

5e 10 10 (negatief, want D let hier niet op) 4a 2

4a 4a


Fragment

0:34:20

Beschrijving

Code

D: “Ga aan de slag en ik loop rond om jullie te helpen, misschien kunnen we wel tot 66 komen met z’n allen, dat zou wel heel fijn zijn.” D: “Als je niet meer weet waar je het kunt vinden, steek dan even je vinger op, dan kom ik gelijk even helpen.” D loopt rond, gaat naar twee leerlingen rechts voor in klas en vraagt hoever ze ongeveer gekomen zijn, legt uit dat ze iets vandaag niet hoeven te doen, loopt naar andere leerling en vraagt hoever die is en zegt: “Pak even het goede deel van je schrift erbij.” Leerling legt iets uit en D: “Oh, oké, schrijf het hier …” en wijst naar schrift. D loopt naar andere leerling en vraagt of hij kan helpen. D loopt rond en controleert schriften: “Prima, gaat goed zo.” D adresseert individuele leerling, wijst op beeldscherm laptop: “Als het lichtje uitstaat, gaat het goed.” D vraagt twee leerlingen achterin de klas of het goed gaat; leerlingen beamen. Leerling vraagt: “Wordt het 1/18 of 1/19?” D: “Laat eerst die som eens zien, … , hoeveel stukken zijn er totaal over? Je hebt wel gelijk, je moet het bij elkaar optellen, wat had je bij a?” Leerling antwoordt (onverstaanbaar). D: “Nou, tel ze maar op.” Leerling: “7/18.” D: “Schrijf maar eerst even de som op, dan kunnen we kijken hoe het moet.” D maant klas tot stilte. D: “Waarom maken we er nu 18den van eigenlijk?” Leerling antwoordt: “Dat weet ik eigenlijk niet.” D: “Nou, oké, hoe tel je een breuk op, da’s een goeie, hè?” D: “Dit doe je goed, tellers tel je bij elkaar op, dus 5 + 2 = 7.” D: “Maar moet je dan iets doen met die noemers?” Leerling: (onverstaanbaar). D: “Bij optellen dus niet, dan blijft het gewoon 9.” D: “En wanneer verandert die noemer eigenlijk wel?” Leerling: “Bij minsommen.” D: “Nouou …” Leerling: “Bij gedeeld door …” D: “Bij gedeeld door of bij keer, dan verandert …” (D wordt gestoord door BT in verband met zijn microfoon.) D: “Dus bij vermenigvuldigen verandert-ie, maar bij plus en min nooit, dus jij weet zeker dat er 9 uit moet komen, heel goed.”

11

D: “Volgens mij kan je c nu zelf, kom ik zo weer even kijken.” D staat bij andere leerling en vraagt: “Welk sommetje ben je nou eigenlijk aan het uitrekenen, of, wat voor soort sommetje?” Leerling: “Keersom.” D: “Ja heel goed.” D wijst op scherm: “Wat is nou hier anders dan daar?” Leerling: “Ze verwisselen de tellers.” D: “Ja, waarom?” Leerling: “Omdat ze dan eenvoudiger worden.” D wijst op bord: “Ja, kijk of ze eenvoudiger worden, dus da’s stap 1.” D: “En gebeurt er nog iets belangrijks in stap 2?” Leerling: “Oh zo, ik dacht ze ….. met cijfertjes en zo.” D: “Ze willen gewoon dat je weet … en in stap 2, wat gebeurt er dan?” Leerling: “Dan vereenvoudigen ze ‘t’.” D: “Ja, nog steeds, heel goed.” D: “En in stap 3, wat doen ze dan?”

10 10

10 7a 7a 11 5b

5e

10 6a 6a 7d 7c 5b 6a 7d

5b (maar vrij algoritmisch) 10 6a 7a 6a 7d

6a

7c 6a

Bijlagen 53

Fragment

0:48:26

54

Beschrijving

Code

Leerling: “Dan doen ze ’t keer ...” D: “Wat doen ze keer?” Leerling: “Deze 3 …” D: “Dan is het wel handig … die, deze, wat, de teller, de noemer…?” D: “Wat is de teller?” Leerling: “De bovenste.” D: “Heel goed.” Leerling: “Alle tellers keer elkaar, en alle noemers keer elkaar.” D: “Ja heel goed, heel goed.” Leerling: “Volgens mij doen ze dat ook delen.” D: “Nee, dat doen ze niet, wat bedoel je met delen eigenlijk?” Leerling: “Ja, ik bedoel vereenvoudigen eigenlijk.” D: “Ja ja, dat hoeft niet hier, althans dat kan niet, omdat je al vereenvoudigd had.” Leerling: “Ja, dus …. Oh, ik snap ‘t’.” D: “Wat hebben ze nou gedaan, in 1 en 2, heel kort?” Leerling: “Eerst hebben ze de noemers, nee de tellers, vereenvoudigd.” D: “En daarna is het in stap 3 een simpel sommetje, uit je hoofd.” Leerling: “Ja, oké.” D: “Heel goed.” D: “Mag het nog iets stiller, dames en heren, want ik hoor mensen een beetje kletsen over van alles en nog wat.” Andere leerling: “Nou, bij deze antwoorden hebben ze zeg maar die helen d’r uit gehaald, alleen ik dus niet.” D: “Hoeft dus ook niet, is eigenlijk een beetje fout, soms staat het tussen haakjes, eigenlijk hoeft het dus niet.” Leerling: “Hier hebben ze die som dus ook helemaal berekend, zeg maar, gewoon, zonder te vereenvoudigen.” D: “Ja, omdat het een plus- of een minsom is, en dan kan het ineens weer wel.” D: “Dus als het straks weer een plus- of een minsom is, dan zou ik niet meer opschrijven dat je die helen er uit moet halen.” Leerling: “Dus alleen bij keer ….” D: “Ja, bij keer moet je echt die helen er uit halen, bij plus of min kan het ook zonder, da’s een beetje verwarrend, gewoon laten staan zo.” Leerling: “Oké!” (Op bord staat 2¼ + 5¾.) Leerling: “2 + 5.” D: “Ja, dus 2+5 = 7, en 1 erbij is 8, iemand er iets op tegen?” D: “Wat is er nou heel anders dan met vermenigvuldigen?” D: “Kijk nog even rechts naar dat lijstje, dat staat er nog.” D: “Wat doen we nou heel anders?” Leerling antwoordt: (onverstaanbaar). D: “Ja precies, dat is écht wel heel anders, dat vereenvoudigen dat zou wel mogen, hoor, dat doen we ook wel met optellen en aftrekken, dat hebben we nu niet gedaan, want dat kon niet.” D: “Je mag wel vereenvoudigen, dat doen we ook wel met optellen, maar doen we de hele in de breuk, dat hebben we nu niet gedaan, dat hoefde ook niet.” D: “Dat is wel echt anders, en we hebben gezegd, bij vermenigvuldigen moet je niet gelijknamig maken, bij optellen en aftrekken moet je juist wél gelijknamig maken, dus het is wel een beetje onhandig, althans, het is net precies andersom, en daarom is het verwarrend.” D: “Ehm, effe een ander voorbeeld, plus hebben we nou wel gezien, 8 één zevende min 2 drie zevende (schrijft som op bord), ook een leuke, mmmmm.” D: “Dus denk even na hoe je dat zou doen, hè, daar gaat het om.”

6a 5d 6a 7a 7d 6b 7d

6a 7d

10 7d

7d

5e 7d

7a 6b 5d 6b 7c

5a

5a

4a

3


Fragment

1:12:50

Beschrijving

Code

(Verschillende leerlingen steken vinger op.) D: “Effe kijken, wie hebben we nog niet aan het woord gehad (wijst leerling aan), ben effe je naam vergeten, hoe kan dat nou, hoe heet je ook weer?” Leerling antwoordt: “Rik.” D: “Rik natuurlijk, sorry Rik, te lang na de vakantie, mijn excuses Rik.” Rik: “Eerst 8 1/7 min 3/7.” D: “Ja, dat is een goede tussenstap, ja, heel goed.” Rik: “Dat is 7 5/7.” D: “Je doet het uit je hoofd (schrijft 7 achter het =teken van de som), waarom doe je niet gewoon 3/7 van 1/7 af eigenlijk, da’s toch makkelijker, dan hebben we met die hele even niks te maken, waarom doe je dat niet?” Rik: (onverstaanbaar). D: “Ja, da’ kan helemaal niet, hè, we kunnen helemaal niet 1/7 min 3/7 doen.” D: “Ik vond die tussenstap heel goed, maar ik ga hem net even iets anders doen, die jij deed mag ook, hoor, ik ga hem net iets anders opschrijven, want dat is makkelijker voor iedereen om te volgen.” Leerlinge: “Dan moet je toch van die 8 een 7 maken en dan 7 bij die breuk optellen.” D: “Wat we doen, we gaan hier een hele van lenen, dus we maken hier 7 van.” D: “Dus wat wordt die 1/7 dan?” Leerling antwoordt: “5/7.” D schudt hoofd: “Ja, je hebt het al berekend, als ik hier 1 afhaal en ik stop die in deze breuk, niet 5/7.” D: “Dat wordt dan 8/7 (schrijft 8/7 achter de 7), 7 8/7, da’s effe een lastige hoor (wijst naar 8), 1 is hier weg en die heb ik zo, hup, in deze breuk gestopt.” D: “Ziet iedereen ‘t, Koen, heb jij het ook gezien, want je zit weer een beetje te …” D: “7 8/7 min 2 3/7 (schrijft op), dan is het een makkelijk sommetje geworden, hoe reken je het dan verder uit?” D: “Of heb je een andere vraag?” Leerling antwoordt: “Ja.” D: “Wacht even met die vraag, wat kun je nou gewoon doen …. Koeoeoen.” D: “Rik.” Rik: “Die 8 min 3 doen.” D: “Ja, 8/7 min 3 /7 eigenlijk.” D: “En dat is …” Leerling: “5/7.” D: “5/7 (schrijft op), heel goed, en 7 min 2….” Leerling: “5.”, D: “5 5/7, dus dat is wel jouw 5/7.” D: “…. Tussenstap, dus dan hebben we die hele d’r weer in, en bij vermenigvuldigen hadden we die liever niet.” D: “Weet iemand een andere manier, we zitten hier een beetje moeilijk te doen, doe nou ’s even makkelijker.” D: “Rik, jouw manier was ook goed, hoor, maar dat je zegt van doe nou niet zo moeilijk, doe nou’s lekker makkelijk.” D staat bij groepje leerlingen die met laptop werken: “Eh, even kijken, volgens mij heb ik gewoon van jou, ja …. gewoon aan de slag.” D loopt rond: “…. ga jij ook even wat doen?” Leerling steekt vinger op. D loopt voorbij maar ziet het niet. D richt zich tot twee meisjes: “Hoever zijn jullie gekomen?” (Leerlingen antwoorden onverstaanbaar.) D: “Schiet dan even op, zit nou geen tijd te verspillen.” D: “Je mag ook best af en toe een som overslaan, als je denkt, ik snap ‘m niet, dat je even een beetje tempo maakt, zeg maar.”

11 (waarom D naam vergeten is, ligt voor de hand!) 7d 6a

7d 5e

5d

7d

5e

6b 6a 6a

7d 5c 7c 6b 6b 4

10 10 7a 10 7b

Bijlagen 55

Fragment

56

Beschrijving

Code

Leerlinge stelt vraag. D: “Oh, wat groter dan, kleiner dan, is gelijk aan betekent.” D: “Het wijst altijd naar het kleinste, dus dit is, is groter dan.” D: “Is 4/9, wat zou je dan moeten doen, we hebben het net even besproken eigenlijk?” D: “De noemers gelijk maken en dan kan je bedenken of het groter of kleiner is.” D: “Ga je ook verder, Pepijn, Jack, volgens mij jij ook?” D kijkt op laptop leerling: “Oh, da’s je rekenmachine.” D: “Netjes, …. heel goed.” D: “Is het gelukt met nakijken, je begon met nakijken, heel goed, ziet er prima uit.” Leerlinge stelt vraag. D: “Yes, ga maar even.” D: “Ga je aan de slag?” D: “Decimale breuk betekent met een komma, dus decimaal betekent met een komma.” D tegen leerling: “Volgens mij zit hier een tik … volgens mij moet het 38/12 zijn, laat ik even een makkelijker voorbeeld nemen, als ik nou ¼ zeg en jij moet dat als komma getal schrijven.” Leerling:”0,25.” D: “Nou dat bedoelen ze.” D: “Dit voorbeeld is een beetje moeilijk, maar kijk eens even naar dit voorbeeld.” Leerling wijst op beeldscherm: “Dus dit 743 …, dat moet ik dus als breuk opschrijven.” D: “Ja.” Leerling wijst op som: “Schrijf als één decimale breuk: 700 + 40 + 3 + 0,5 +0,007.” D: “Dus het antwoord moet zijn, 743 en dan komma, iets achter de komma.” D: “Dus wat zou je dan opschrijven?” Leerling: “743 komma 5 007.” D: “Is het echt 007?” D wijst op scherm: “Hier staat, dit is het derde getal.” D: “Komma 5.” Leerling: “En dan 07.” D: “Heel goed, da’s ’t antwoord en meer niet.” D: “Is een moeilijk woord, decimale breuk, maar is gewoon kommagetal.” Leerling: “Ik dacht dat je ’t helemaal als een breuk …” D: “Dat komt later, later.” D: “Ja sorry, ik heb gezegd tot 60 … Innemen.” Tot andere leerling: “Ja, heb je geluk, tot 65.” Enkele leerlingen zeggen tot hoever zij gekomen zijn. D: “Da’s mooi …. Heel goed.” D loopt rond. “Dan mag je de zelftoets doen ….. heel goed, heel goed.” D: “Dat schiet wel op, jullie zijn bij … heel goed, heel goed.” D: “Lukt het om het af te maken, mannen, er wordt hier een beetje gekletst.” D: “Ga maar even verder …” D: “Moet ik helpen, Koen? Nou vertel maar hoe het moet.” Leerling: “Bij die twee is-ie heel makkelijk, maar die andere is heel moeilijk.” D: “Nou, hoe doe je a dan?” Leerling: “a is die moeilijke.” D: “Oh, b vind je makkelijk, hoe doe je b?” Leerling: “Nou b is 0,8, dat 4/5.” D: “Dus je weet … 0,8 is 4/5.”

6a 5b 3 5e 10 7a 7a 7a 10 10 5b 6a

7a 4c 7a 5d

6a 6a 5d 7d 5b 4c 10 11 10 7a 10 7b 6b 7b 6b 7d


Fragment

Beschrijving

Code

Leerling: “En bij die, 0,75 is 3/4.” D: “Je weet sommige uit je hoofd, maar je weet nog niet hoe het moet.” Leerling: “Nee.” D: “Nou, deze, 0,789, dat is 789 1000ste (wijst aan op scherm), dat staat eigenlijk in dit stukje uitgelegd.” D: “Dus je hebt hier drie getallen en dat betekent 1000ste.” (Wijst weer aan op scherm.) Leerling: “Dus dat is 789 1000ste.” D: “En misschien kun je dat wel vereenvoudigen, maar dan moet je zelf even kijken.” D: “En dit (wijst op 0,8000 op scherm), dat zou dan zijn, 8000 …” Leerling: “Duizendste.” D: “Tienduizendste zelf, omdat het vier getallen zijn.” Leerling: “Maar die is dan wel veel makkelijker dan die.” D: “Ja.” Leerling: “Ja ik dacht, ik zag die en ik dacht, ik ga gewoon werken.” D: “En als je niet wist dat die 3/4 zou zijn …” Leerling: “75 ….” D: “Heel goed, en zo kan je verder.”

7c 5b 5b 5d 6a 7d 6a

7a

Bijlagen 57

Bijlage 4 – Didactische handelingen per leerkracht/docent Leerkracht A Frequentie Categorie

2

1

1,4

3

8

11,0

4

1

1,4

4a

2

2,7

4b

2

2,7

5b

4

5,5

5e

2

2,7

6a

10

13,7

6b

4

5,5

7a

10

13,7

7b

8

11,0

7c

4

5,5

7d

7

9,6

8

1

1,4

9

3

4,1

10

5

6,8

11

1

1,4

73

100,0

Totaal

58

Percentage


Leerkracht B Frequentie Categorie

Percentage

1

2

1,1

2

2

1,1

3

4

2,3

4

8

4,6

4a

12

6,9

4b

3

1,7

5a

12

6,9

5b

9

5,2

5c

4

2,3

5d

15

8,6

5e

6

3,4

6a

26

14,9

6b

7

4,0

7a

23

13,2

7b

3

1,7

7c

6

3,4

7d

7

4,0

9

5

2,9

10

20

11,5

174

100,0

Totaal

Bijlagen 59

Leerkracht C Frequentie Categorie

2

1

1,0

3

3

2,9

4

8

7,8

5a

7

6,9

5b

1

1,0

5c

1

1,0

5d

10

9,8

5e

7

6,9

6a

20

19,6

6b

2

2,0

7a

2

2,0

7b

4

3,9

7c

8

7,8

7d

19

18,6

10

4

3,9

11

5

4,9

102

100,0

Totaal

60

Percentage


Docent VO Frequentie Categorie

Percentage

1

1

,7

2

2

1,4

3

5

3,5

4

1

,7

4a

5

3,5

4b

1

,7

4c

3

2,1

5a

2

1,4

5b

9

6,4

5c

2

1,4

5d

7

5,0

5e

9

6,4

6a

23

16,3

6b

8

5,7

7a

14

9,9

7b

3

2,1

7c

5

3,5

7d

18

12,8

10

19

13,5

11

4

2,8

141

100,0

Totaal

Bijlagen 61

Bijlage 5 – Vragen over de verschillen PO en VO voor enkele leerkrachten Ziet u verschillen tussen de leerkracht uit het primair onderwijs en de docent uit het voortgezet onderwijs op de volgende gebieden, en zo ja, welke? •

Het vragen om aandacht van de leerlingen

Nee/ja, te weten: ……………………………………………………………………………………………… •

Het uitleggen van het leerdoel

Nee/ja, te weten: ……………………………………………………………………………………………… •

Het aanmoedigen van leerlingen om gebruik te maken van hun voorkennis

Nee/ja, te weten: ……………………………………………………………………………………………… •

De presentatie van het leermateriaal

Nee/ja, te weten: ……………………………………………………………………………………………… •

Het geven van uitleg, zowel individueel als klassikaal

Nee/ja, te weten: ……………………………………………………………………………………………… •

Het stellen van vragen aan leerlingen

Nee/ja, te weten: ……………………………………………………………………………………………… •

Het geven van terugkoppeling op antwoorden en opmerkingen van leerlingen

Nee/ja, te weten: ……………………………………………………………………………………………… •

Klassenmanagement, orde houden

Nee/ja, te weten: ……………………………………………………………………………………………… •

Het zorgen voor een prettige atmosfeer in de klas (taakgerichtheid en gemotiveerdheid)

Nee/ja, te weten: ……………………………………………………………………………………………… •

Zijn er nog andere verschillen tussen de leerkracht uit het primair onderwijs en de docent uit het voortgezet onderwijs?

…………………………………………………………………………………………………………………… •

Heeft u nog andere opmerkingen?

……………………………………………………………………………………………………………………

62


Bijlage 6 – Commentaar van drie leerkrachten op montage van lesepisoden Leerkracht 1 Montage

Opmerkingen

1:09

Over docent VO: het is misschien zijn stijl, maar het is weinig doelgericht, sturend, eerder nonchalant en aarzelend, hij doet net alsof hij het zelf niet weet. Hij laat het uit de leerlingen komen. Als je dat in de eerste week van het VO doet, is het dodelijk. Ik neem aan dat we midden in een les vallen, leerdoelen komen niet aan de orde, en het is natuurlijk wel een gymnasiumklas. Over de helen eruit halen: ik weet niet wat hij bedoelt met de helen eruit halen (5/2 x 10/3), of dat de snelste weg is, dat is inderdaad een trucje, maar dan zijn het wel 2 sommen in één. Voor de duidelijkheid is het absoluut niet handig. Dan zou ik alsnog kiezen voor 2 x 3, 2 x 1/3, ½ x 3 en ½ x 1/3. Bij wiskunde doe je bijvoorbeeld 3x x 4y = 3 x 4 + 3 x y + 4 x x + xy, uiteindelijk krijg je dit eruit, dus als je hier al leert dat je ’t op elkaar kan stapelen, is dat wel handig. Dit vind ik wel goed, want uiteindelijk is het begin groep 8 stof die nog even wordt herhaald in 1- of 2-gymnasium. Ik kan mij niet herinneren dat ooit op het vwo te hebben gehad, rekenen überhaupt, je oefende het gewoon door de stof heen, je was het niet kwijt na de basisschool, er zat zoveel tempo in dat je het gewoon bleef oefenen. Is wel goed, want de laatste tijd blijkt toch wel dat ze bepaalde rekenvaardigheden missen, dat ze bijvoorbeeld niet zomaar uit hun hoofd 3 1/3 = 10/3 kunnen doen. Dat hoor ik vaak uit het vwo, dus even weer terug naar de basis. Ik zag trouwens ook wel zijn opbouw, eerst een simpele breuk – keer som, dan een moeilijkere, en dit is volgens mij een min – som, die opbouw vind ik wel goed, hij heeft uiteindelijk niet een heel hoog tempo. Hij lijkt het goed voorbereid te hebben. Leerkracht I PO: de stijl van lesgeven is wel heel identiek, hij praat over zijn sommen, hij vraagt niemand voor het bord, dat doen ze allebei niet, zo van, ik schrijf ’t wel op, dus ik doe het, hij praat de sommen aan elkaar. Af en toe even een beurt, zo van help mij ’s even verder enz. Dat is een klassieke aanpak, maar met zo’n bord kun je veel meer, laat een leerling het eens opschrijven, laat ’t maar ’s redenerend zien. Het betrekken van de leerling erbij zouden ze beiden beter kunnen doen. Maar het is heel herkenbaar, als je niet de tijd hebt om instructie te geven, dan is dit de manier. Hier zijn ze in de kring bezig, heel betrokken, de anderen waren uiteindelijk ook wel heel gericht op de leraar. Als je in het VO zit te klieren, mis je alles en heb je niets aan de les. Hier is het gedwongen, ze zijn niet allemaal zelf gemotiveerd om ’t te volgen. Bij uitleg gelijknamig maken breuken door docent VO: dat doen wij hetzelfde. Het tempo ligt wel hoger, omdat het puur ophalen van voorkennis is. Hier zouden wij een half uur over doen. Ik vind het prima dat ze dit doen. Na vraag proefleider: nee, ik denk niet hij weet welke leerlingen het snappen, degene die z’n vinger opsteekt, krijgt de beurt, in het PO meer keuze. In het VO zullen ze het meer van testen laten afhangen, zo van, die heeft ’t nog niet begrepen, en daarna gaan ze wat doen, in het PO heb je dat veel sneller inderdaad. Maar misschien vergis ik me, het is maar 5 minuten.

3:36

4:48

7:27

10:02

Bijlagen 63

11:50

13:26

14:49 17:04

18:56

20:46 21:38

24:11

25:53

27:28 29:03

31:10

64

Het is een veel autoritairder sfeer in het VO, de omgang met leerlingen. Kortaf, wel compliment, maar zakelijk. Maar je hebt denk ik ook niet de tijd het pabo-achtig aan te pakken. Hij doet ook niks aan de sfeer, het is kale, droge stof. Minder pedagogisch verantwoord, technisch, dit en dat moet aan het einde van de les beheerst worden. Maar ik zou het denk ik in het VO ook zo doen. In het PO kijk je naar veilig voelen, die zit niet zo lekker in z’n vel. Er speelt veel buiten de rekenles om, terwijl ze in het VO gewoon voor de rekenles komen en klaar. Wat minder persoonlijk. Bij uitleg niet gelijknamig maken bij vermenigvuldigen breuken: apart wat hij hier doet, wel goed voor het begrip, denk ik. Hij laat eerst vermenigvuldigen van breuken zien, daarna optellen, wat eenvoudiger is, maar die geeft de kern weer van wat hij daarboven heeft gedaan. De leerlingen moeten dus achteraf begrijpen wat ze eerder hebben gedaan, dat kan heel verwarrend zijn, vraagt veel van de capaciteit van leerlingen. Wanneer moet ik nou gelijknamig maken? Heel onduidelijk, gaat razendsnel. Bij docent VO die leerlingen vraagt drie regels in hun schrift te schrijven: hij oefent er maar heel weinig in, hij geeft maar drie voorbeeldsommen. Ik herken dat wel van rekenen-wiskunde in het VO. Je legt het trucje even uit, je snapt er nog geen hout van, maar daarna ga je wel dingen doen. Als je ermee aan het werk gaat, moet je het wel snappen. Bij wiskunde kan dat makkelijker, 3x, 4y, ik ga er maar mee aan de slag, ik snap er eigenlijk nog niks van, er komt wat uit en dan na verloop van tijd snap je het. Ergens verwiskundigt hij het rekenen. Bij leerkracht PO: zij noemt het 3 acht tiende, dat zou ik niet doen, ik zou het gewoon 3 komma 8 noemen. 3 acht tiende is een uitspraak voor een breuk, niet voor een getallenlijn. Bij docent VO of iemand er iets op tegen heeft: dat is typisch VO, zo van, jullie zijn toch pubers, dus zal er wel iets op tegen zijn. Bij docent VO over wanneer gelijknamig maken: ik ben de draad kwijt nou, hij herhaalt geen dingen, hij bedt het niet in in de som, achterin zit er één te slapen, die krijgt er niks van mee. Bij leerkracht PO, de vliegtuigsom: daarom had ik ook een gruwelijke hekel aan Pluspunt, 1/6 x 2880! Zij legt de stappen heel goed uit, ze laat ook dingen uit de kinderen komen, alleen ligt hier het tempo ook wel weer heel hoog, vind ik, plus dat ze heel passief zit en niks op het bord laat zien. Bij docent VO, 7 8/7: hij doet het wel moeilijk, 1/7 is in principe ook 0,14, hij maakt van de breuk iets heel bijzonders, ik zie het ook als het verlengde van een kommagetal, het is wat handiger opgeschreven, maar je moet er niet anders mee gaan rekenen dan je met een kommagetal doet. Ik zou dat niet zo doen, het is natuurlijk moeilijker om over de hele breuk iets eraf te halen. Als je dat een paar keer laat zien, 6 2/7 min 3/7, eerst 1/7 eraf en dan nog 2/7, dan zien ze het vanzelf. 7/7 – 2/7 = 5/7, maar dat ze niet eerst weer helemaal gaan omvormen tot een nieuwe som, dat zou ik niet zo gauw doen. Dit maakt het heel diffuus, heel ondoorzichtig. Bij docent VO: er is weinig tijd en ruimte voor leerlingen om te zeggen: nee, ik snap het niet, hup doorgaan, er wordt veel zelfstandigheid van ze geëist. Bij leerkracht PO: ik ben haar nu kwijt, ze praat aan één stuk door. De docent VO praat veel meer in korte zinnetjes, dan weer actie, dan weer een vraag, dan weer een zinnetje, veel afwisselender. De kinderen bij de leerkracht PO kunnen zo’n lang verhaal echt niet volgen. Ook doet ze dat in combinatie met een hele slechte leshouding. Bij fout docent VO: dit is zinloos. Dat hebben ze in groep 6 gehad, wat 1/6 deel van een pannenkoek is. Bij zo’n som moet je dat helemaal niet gaan doen, dat slaat helemaal nergens op. 7 1/7 is gewoon een verlengde van een kommagetal, een normaal getal bij rekenen of wiskunde. Ik vraag me trouwens af waarom ze allemaal met een laptop zitten. Ik vind rekenen nog altijd iets wat je op papier moet doen.


34:56

Bij uitleg leerkracht II PO: dat is echt een valkuil waar ik zelf ook nog wel eens intrap, dat je even geen zin hebt om lang naar iets te luisteren en het dan maar snel doet. Dat is ook een minpunt van Pluspunt, met zo’n gigantisch moeilijke som. Veel te hoog tempo. Dat is met Pluspunt ook zo, eerst een eenvoudige verhoudingssom, bijvoorbeeld 3 x 8/6, en daarna kwamen al heel gauw dit soort sommen. Je was dan al snel het spoor bijster. Hij wordt hierdoor verplicht om zelf te gaan rekenen. Daarom ben ik blij dat ik Pluspunt niet heb gekozen, dat maakt het heel ondoorzichtig en die klap krijg je in het VO zeker terug. Dat ze uiteindelijk de basisbewerkingen niet meer weten omdat ze hier zo druk mee bezig zijn.

Bijlagen 65

Leerkracht 2 Montage

Opmerkingen

2:35 3:10

Bij docent VO die leerling fout antwoord laat toelichten: zo doen wij dat dus niet. Bij docent VO: hij gebruikt steeds ‘niet’ ik probeer zoveel mogelijk te zeggen wat leerlingen wél moeten doen. Kinderen mogen natuurlijk fouten maken. Dat hij meerdere antwoorden laat aangeven, vind ik prima, maar kinderen kunnen in de war raken doordat leerling een fout antwoord toelicht. Ga met het goede antwoord aan de slag zonder aan te geven hoe het niet moet. Het woordje ‘niet’ wordt niet gehoord. Kinderen die niet zo goed kunnen rekenen, vergissen zich hierdoor. Docent VO legt uit hoe de som werkt, maar legt niet uit waarom je dat mag doen. Leerlingen hebben dit in groep 8 gehad, maar je moet wel uitleggen waarom je 2 x 2 of 3 x 3 mag doen. Hij gaat ervan uit dat iedereen begrijpt dat je nu trucje 3 x 3 mag doen, maar ik zou dat herhalen. Dat mag omdat er drie derden in een hele zitten, en hij gaat ervan uit dat het begrepen wordt. Hij zou terug moeten vragen waarom dat mag of het zelf uitleggen, als hij zijn rekenles goed wil doen. Docent VO doet eerst bij breuken de x-sommen en dan gaat hij optellen behandelen. Dat doen wij andersom. Hij gaat er weer van uit dat het begrepen wordt. Hij gaat eraan voorbij of iedereen wel begrijpt waar hij mee bezig is. Hij herhaalt even snel wat ze al hebben gehad in het PO. Ik heb kinderen in groep 8 die breuken lastig vinden, dus die vinden het volgend jaar ook nog lastig. Docent VO gaat weer iets uitleggen wat je niet moet doen (niet gelijknamig maken bij vermenigvuldigen). Dat kost veel tijd en dat kan je beter besteden aan uitleg hoe je het wel moet doen. Docent VO zegt dat je de breuk moet vereenvoudigen bij vermenigvuldigen. Bij ons is vereenvoudigen de helen eruit halen, terwijl je ze er juist in moet doen bij vermenigvuldigen. Dus ik weet niet wat hij daar nou precies mee bedoelt. Ik vind het wel heel goed dat hij die drie regels opschrijft en ze het ook in hun schrift laat zetten, dat doe ik ook. Dan kunnen ze ze daar later opzoeken en hij hoopt dat ze ze straks uit het hoofd kennen. Maar ik begrijp niet goed wat hij bedoelt met: ga eerst vereenvoudigen. Ik probeer eerst aan begrip te werken, maar op het moment dat dat niet komt, geef ik het trucje en zeg: pas het zo toe. Bij uitleg leerkracht PO over 3 9/10 op getallenlijn: dat leg ik anders uit, ik vraag eerst wat die 9/10 betekent en bij 3,92 vraag ik weer wat het betekent dat die 2 er achter staat. Ik probeer de waarde van de getallen uit te leggen. Ze mogen van mij in groep 8 eigenlijk ook niet zeggen 3 komma 9 of 3 komma 92, want ik probeer uit te leggen wat de waarde van de getallen is (dus 3 9/10 en 3 92/100). Als je het zo zegt, begrijpen ze sneller dat ze bij elkaar in de buurt liggen. Bij docent VO: ik vind het wel verwarrend, ik weet niet of het de bedoeling is of ze +- en x-sommen allemaal door elkaar krijgen. Ik kan me voorstellen dat het heel verwarrend is. Als ik kijk naar mijn gymnasiumklanten in de klas, pakken ze het wel heel makkelijk op, maar als het om kader of mavo gaat, moet je het veel gestructureerder aanpakken. Hij gaat van hot naar her, wat doen we hier niet en hier wel. Bij uitleg leerkracht PO over vliegtuigsom: zij geeft aan hoe je aan het antwoord komt, wat vonden ze lastig en wat moeten ze doen? Dan kunnen de kinderen die het lastig vonden het nog een keer horen en opslaan. Dat is wel goed. Bij docent VO die zegt dat leerling het al heeft berekend: dat is wel leuk, want je wilt dan niet het antwoord hebben, maar de stap.

5:25

9:33

10:58

14:03

15:31 17:08

20:15

23:25

25:12

66


26:02

27:12

28:43

29:42

32:03

33:15

35:20

38:36

40:39

Bij docent VO die 1 1/7 omwerkt naar 8/7 (lenen): zo kan het ook, maar wij doen ook wel: haal er eerst af wat wel kan, 1/7 en daarna moet je er nog 2/7 afhalen. Dan trek je eerst de helen af en die 2/7 haal je dan op het laatst nog van dat getal af. Dus het ligt er maar net aan wat de leerlingen de beste weg vinden; wat hij doet, kan natuurlijk ook. Dat leren ze ook met bijvoorbeeld 22 - 15, dan halen ze het eerst eraf, en dan heb ik nog 5 tekort, dat zijn ze gewend. In principe kun je dat met breuken net zo doen. Dan doe je het op dezelfde manier als met de helensommen, zoals ze dat geleerd hebben. Dat hangt dus van het kind af. Bij leerkracht PO: dat vind ik dus heel leuk van haar, ze geeft complimenten, zo van wat heb jij dat goed gedaan. Even aangeven dat ie het anders heeft gedaan, maar wel goed. Dat hebben ze hard nodig. Zij is persoonlijk, bijvoorbeeld S. geeft het goede antwoord, maar dat wilde ze nog niet hebben, dus ging ze naar een andere leerling, maar later komt ze wel weer terug bij S. en zegt dat ze het goede antwoord gaf. Docent VO is bezig met de stof, hij vraagt wel dingen aan leerlingen, maar koppelt niet terug en geeft geen complimenten. Bij leerkracht PO die uitleg geeft over vliegtuigbrandstof: nu mis ik dat ze naar het bord gaat en laat zien wat ze doet. Sommige kinderen zijn heel visueel ingesteld en die horen nu alleen getallen. Ik was naar het bord gegaan en zou hebben uitgeschreven wat ze nu zegt. Idem: dat meisje is het helemaal kwijt, die let niet meer op. Dat vind ik dan wel weer goed, dat ze de stappen uitlegt, en niet alleen het antwoord, maar ik had ze wel op het bord geschreven. Ze had het ook aan leerlingen kunnen vragen, nu heeft ze zelf alles verteld zodat de leerlingen zelf niets hebben hoeven doen. Bij docent VO die zegt dat 40/7 hetzelfde is als 5 5/7: nee, dat is niet hetzelfde, je moet de helen eruit halen. Dat reken ik aan het begin van het schooljaar nog wel goed, maar later niet meer. Dat leren ze hier allemaal, dus dat zou in het VO moeten worden voortgezet. Bij leerkracht PO met verhoudingstabel en staartdeling: zij hebben Pluspunt, maar staartdelingen zitten niet in Pluspunt. In Pluspunt hebben ze de happenmethode, maar daar worden de leerlingen helemaal tureluurs van, dus wij beginnen in groep 7 met staartdelingen. Met x-sommen leren we ze ook weer cijferen; hier laten we de methode los, want het kost zoveel tijd en ze doen het in het VO ook niet. In groep 6 laten we nog wel de Pluspunt-aanpak doen om ze de waarde van getallen te leren. Op deze manier sluiten we ook aan bij het VO. Leuk dat hij het ook zo doet. Bij leerkracht PO: dat doen wij ook, cijferend vermenigvuldigen van kommagetallen is veel makkelijker dan in Pluspunt. Hij zegt ook: 1 cijfer achter de komma, dus in mijn antwoord ook 1 cijfer achter de komma. Dat leer ik ze ook. In groep 7 beginnen we hiermee en dat zetten we door in groep 8. Het is een trucje, maar we houden wel in de gaten of ze weten wat de getallen betekenen. Bij docent VO die 25/36 =? 1 1/9 uitlegt: wat ik niet snap, is dat hij nu bezig is met 8/32 =? 1/4, terwijl hij dat net zo goed had kunnen uitleggen met die negenden. Volgens mij wil hij ook laten zien dat 1 1/9 sowieso groter is omdat er een hele in zit en die ander is alleen een breuk. Laat dat dan zien en ga niet eerst deze stap doen. Hij spreekt zichzelf elke keer tegen, iets wat je niet moet doen, laat hij wel zien. Dat is heel bijzonder. Bij docent VO: de leerlingen gaan nu op een heel andere manier denken, ze weten uit groep 8 allang dat wil je zien of breuken aan elkaar gelijk zijn, dan moet je ze eerst gelijkwaardig maken. Ik denk dat hij de leerlingen hiermee in de war maakt. Als dit eerste klas gymnasium is, moeten ze dat kunnen. Dat hebben ze gehad op de basisschool, dit moet voor hen gesneden koek zijn. In mijn klas kunnen leerlingen dit ook. Maar hij brengt ze in de war doordat hij van de ene som naar de andere gaat en de manier waarop hij zijn vragen stelt. Hij brengt ze op het verkeerde spoor, ook door zijn woordkeuze. Hij maakt het moeilijk voor de leerlingen.

Bijlagen 67

46:09

47:57

49:53

51:08

53:38

56:34

68

Bij leerkracht PO: wat ze nu doet, is aangeven wat het doel van de les is, dit is wat ik aan het einde van de les van jullie wil. Er zullen een paar kinderen zijn die dat niet zullen halen, die zal ze nog wel apart nemen. Dat is goed van haar, dan weten leerlingen ook waar ze naartoe moeten werken. Bij docent VO: hij geeft wel aan dat hij wil ophalen wat ze voor de herfstvakantie geleerd hebben, dat is dus het doel, maar hij praat heel erg veel. Als je wilt dat je klas rustig is, moet je zelf ook rustig doen. Ten aanzien van het verschil tussen klasrondjes leerkracht PO en docent VO: leerkracht PO neemt haar tijd, vraagt leerlingen hoe ze het oplossen, eventjes terughalen waarden van getallen (1 decimaal achter de komma is 1/10, twee is 1/100 et cetera). Zij neemt de tijd voor de leerlingen. Docent VO loopt rond, en zegt, oké is goed, of geeft zelf het antwoord. Hij vraagt de leerlingen wel om hun antwoord te geven, geeft daar commentaar op en is weer weg. Leerkracht PO geeft meer aandacht, vraagt naar de manier waarop leerlingen aan hun antwoord zijn gekomen, net even persoonlijker. Wat leerkracht PO ook doet, is dat ze complimentjes geeft, ook over de vooruitgang van leerlingen. Maar ja, hoeveel contact heeft een docent VO met zijn groep, elk uur komt er weer een andere, maar je weet wel welke kinderen problemen met rekenen hebben. Ga daar dan even heen en geef ze een compliment, dat is heel belangrijk voor de kinderen. Ik kan niet zo goed zien in hoeverre hij dat doet, maar zij doet het in elk geval wel heel goed. Ik vind dat dat ook in het VO moet, dat zie ik aan mijn oudste dochter. Het moet ook duidelijk zijn wat er van ze gevraagd wordt, dat is ook niet altijd duidelijk. Wat ze moeten doen en hoe ze het moeten doen. Wij kennen de leerlingen natuurlijk langer in het PO, we kennen hun werkhouding en instelling. Dat duurt enkele weken in het VO voordat een docent dat weet, maar daar moeten ze wel op blijven inspelen. Ze krijgen natuurlijk ook informatie van ons. De overdracht van groep 8 naar VO is warm, maar het is maar net hoe dit wordt doorgespeeld naar de docenten. Ze hebben meer leerlingen, maar toch is dit in het VO ook heel belangrijk. De docent VO legt iets uit en zou eigenlijk even moeten wachten tot ze iets gedaan heeft en zeggen dat ze dat goed heeft gedaan. Dan kan hij weggaan, hij weet dan dat ze het begrijpt, zij weet dat ook door het complimentje en kan dan verder. Ze weet nu wel wat ze moet doen, maar het is niet gecheckt. De sfeer op de basisschool is prettiger dan in de VO-klas. Docent VO is heel erg bezig met zijn les, er is geen ruimte voor een grapje of een complimentje en dergelijke. Dat mis ik een beetje. Ze zijn wel allemaal aan het werk, dus orde houden zit het hem niet in.


Leerkracht 3 Montage

Opmerkingen

07:15

Docent VO laat leerlingen zelf een antwoord geven en vraagt hoe ze het hebben uitgerekend. Vervolgens zegt hij dat het antwoord fout is. Schenkt ook aandacht aan slechts één van de leerlingen zonder op anderen te letten, of ze bijvoorbeeld meeschrijven of iets dergelijks. Daarna vertelt hij wel waarom het anders moet, maar de andere leerlingen zullen daar waarschijnlijk minder op letten dan de leerling die het verkeerde antwoord gaf. Docent is wel heel erg gericht op een enkele leerling. Leerkracht PO vertelt daarentegen aan het begin van de les wat het doel is van de les en borduurt voort op wat de leerlingen in vorige lessen hebben gehad. Geeft duidelijke instructie hoe de breuk op te lossen. Docent VO geeft bij som 1/7 + ¼ aan dat ze het over gelijknamig maken gaan hebben, “is niet zo moeilijk”, maar waar gaat het dan nog om? Ook verschil in setting tussen VO en PO: in VO zitten leerlingen keurig in rijtjes achter hun laptop, terwijl de leerlingen in PO in een kring zitten zonder iets anders voor zich, zodat ze hun aandacht kunnen richten op de leerkracht, die daardoor ook kan zien wanneer leerlingen niet opletten. Bovendien kunnen leerlingen in PO weinig andere dingen doen, want ze hebben niks om afgeleid mee te worden. Docent VO leert leerlingen een trucje om breuken gelijknamig te maken: “Als je ’t niet weet, doe je dat.” Docent geeft elke keer zelf het antwoord. Bij leerkracht PO: vorige leerkracht PO praat alleen, laat niks zien. Ook leerlingen in groep 8 hebben nog baat bij visuele instructie, ook als het om herhaling gaat. Leerkracht gebruikt getallenlijn om aan te geven hoe groot een breuk is. Docent VO is voornamelijk bezig met het aangeven van oplossingsmethoden, maar legt niet echt uit. De reden waarom je bij optellen van breuken moet vereenvoudigen en bij vermenigvuldigen niet, wordt niet duidelijk gemaakt. Als leerlingen hierdoor een trucje leren, zullen ze zich later afvragen wat ze moeten doen bij optellen en vermenigvuldigen, dan wordt het gokken. Zelfs als leerlingen dit al in het PO hebben gehad, moet het toch weer uitgelegd worden. De docent zegt alleen dat ze dit regeltje achter in hun schrift moeten schrijven en desnoods uit hun hoofd leren. Dat kan een hulpmiddel zijn voor leerlingen die moeite hebben met deze stof, maar toch verdient uitleg de voorkeur. Leerkracht PO bekijkt het vanuit het perspectief van de leerlingen, zij probeert leerlingen aan het denken te zetten hoe ze iets moeten oplossen. Een leerling die een eindantwoord geeft, krijgt te horen dat ze dát niet heeft gevraagd. Ze geeft aan welke gegevens er al zijn en wat er gevraagd wordt, ze vertaalt de opgave naar kindertaal. Leerkracht PO gebruikt ook veel lichaamstaal bij haar uitleg. Docent VO: “1/7 – 3/7 kan niet, dus daar moeten we een trucje op verzinnen”. Doe de trucendoos maar weer open! Bij uitleg docent VO: dan moet je uitleggen wat een hele is in termen van breuken, als je merkt dat niemand dat weet. Dan moet je een stapje lager gaan in het ijsbergmodel, als je merkt dat geen van de leerlingen weet wat een hele is. Voor kinderen die moeite hebben met rekenen zijn breuken heel abstract en die snappen niets van deze uitleg van de docent VO. Je moet het uitschrijven: 1 is 7/7 plus die 1/7 erbij is 8/7. Je moet het visualiseren. Docent VO gebruikt wel heel veel het bord, maar bij zwakke rekenaars moet je alle stappen laten zien. Bovendien zou ik met die zwakke rekenaars in een apart instructiegroepje gaan zitten en niet alles klassikaal doen. Bij fragment leerkracht PO: dit is een nabespreking, zie je aan het blauwe boek. Ze vraagt naar de moeilijkheid. Dan leren leerlingen zelf kritisch kijken: hé, dit vind ik moeilijk.

11:12

12:55 17:40

23:40

24:40 25:13 26:10

26:58

28:05

Bijlagen 69

28:35 29:08 29:37 29:55 30:54

31:30

33:00 34:35 37:29 38:13 40:32 42:50 44:09 45:52

48:50

49:40

50:02

51:33 52:11

70

Bij uitleg docent VO over gelijknamig maken 7den en 8sten: dat gaat veel te snel. Bij fout docent VO: niemand zegt wat, niemand ziet het! Bij docent VO die de helen er niet uit haalt bij eindantwoord: dat zou worden fout gerekend, het is natuurlijk het zelfde, maar je maakt de breuk kleiner. Verhoudingstabellen leerkracht II PO: een zweetonderwerp. Bij uitleg leerkracht II PO over berekenen aantal broodjes: er zitten een heleboel problemen in deze som: kommagetallen, staartdelingen, verhoudingstabellen. Maar goed, het is groep 8, dus ze moeten het kunnen. Docent VO: is 25/36 en 1 1/9 gelijk aan elkaar. Waarom is dat handig om te weten, dat legt hij niet uit aan leerlingen. Bijvoorbeeld als je geen rekenmachine bij de hand hebt. Waarom licht docent niet toe dat het gaat om gelijknamig maken. Dat is net uitgebreid aan de orde geweest. Leerlingen hebben niet allemaal hetzelfde scherm voor zich. Leerkracht PO confronteert leerling met fouten die hij heeft gemaakt, dat is goed dat hij daar aandacht voor heeft, kan je soms ook uit schriftjes afleiden. Docent VO: “Oefen zo veel mogelijk van die sommen, gebruik je tijd nuttig.” Ja, natuurlijk! Leerkracht PO legt uit dat ze tabellen moeten kunnen straks. Ja, dat heb ik geleerd aan het einde van de les. Docent VO hanteert totaal andere benadering dan leerkrachten in PO. Veel vrijblijvender, veel minder op het kind gericht, minder inhoudelijk. Leerkracht PO geeft complimentjes, gebruikt lichaamstaal. In PO ken je de zwakheden van leerlingen, zeker wat betreft breuken, verhoudingen en kommagetallen. Dus als je een rondje loopt, ga je naar zo’n leerling en vraagt of het lukt. Heb je nog extra uitleg nodig, eventueel instructietafel. Docent VO loopt rond en kijkt of leerlingen opgaven hebben nagekeken, zegt: “Goed zo”, maar kijkt niet hoe ze het hebben gedaan. Oppervlakkig, algemene instructie, weinig aandacht voor leerlingen. Docent VO vraagt één leerling om antwoord, als het goed is gaat hij gewoon door. Hij koppelt de opgaven ook niet aan elkaar, zodat het in de beleving van de leerlingen allemaal losse elementen zijn. In de filmpjes van het PO wordt alles veel meer tot een geheel gemaakt, bijvoorbeeld door vooraf doelen te bespreken. In VO wordt veel meer zelfstandigheid van leerlingen verwacht. Als de instromende leerlingen VO problemen hebben met rekenen, zou je meer hulpmiddelen moeten gebruiken, niet alleen een bord en een stift. De docent zou ook leerlingen naar voren kunnen halen en ze vragen een oplossing te demonstreren. Maar dat doen ze in het PO ook veel te weinig. Docent VO zou eigenlijk ook moeten uitleggen wat een teller en een noemer is en waarom ze zo genoemd worden (maar dat heeft hij wel gedaan aan het begin van de les?). Les VO is heel klassikaal en het is de vraag of de docent zijn leerlingen allemaal kent. Hij probeert wel complimenten te geven, maar zegt bijvoorbeeld niet waar het compliment op is gericht. Kind vraagt iets, docent VO geeft alleen antwoord, maar verder geen terugkoppeling (“iets achter de komma”). Docent VO heeft bepaalde verwachting, daar werkt hij wel naartoe, maar als een leerling daar van afwijkt, gaat hij daar niet flexibel mee om. Hij vraagt dan niet: maar hoe kom je daar dan aan? Kinderen haken af als je daar niet op ingaat. In PO doen leerkrachten een stapje terug als leerlingen verkeerde methoden hanteren. Bij verbeteren aansluiting PO-VO zou daar meer op gelet moeten worden, ook bij de overdracht, zowel voor taal als rekenen.


55:05

56:03 56:30

Bij overdracht tussen groepen PO worden kinderen uitgebreid besproken, dat zou ook moeten bij overdracht PO-VO. Bespreek het of stel het op schrift. We hebben het tegenwoordig steeds over belemmerende en stimulerende factoren. Kan ook met leerlingvolgsystemen. Sommige wiskundestudenten (stagiaires?) denderden ook gewoon door en begrepen niet wat leerlingen aan het doen waren. Instructie belangrijke factor; dus leerkracht ook, ook in PO. Groot verschil tussen PO en VO wat betreft het vragen om aandacht van leerlingen, geven van uitleg. Uitleggen leerdoel wel op PO, op VO niet gehoord. Gebruikmaken van voorkennis: op eigen school PO in elk geval wel, maar bij docent VO weinig. Alleen een beetje, wat doen we dan? Geen verwijzing naar vorige lessen in VO. Presentatie leermateriaal: in VO op bord, bij PO gebruik van getallenlijn. Geven van uitleg: groot verschil, in PO geven van individuele en verlengde instructie. In VO veel minder, zeker geen extra uitleg. Alleen nog een keer herhalen som en oplossing, geen uitleg structuur opgave zoals in PO. Stellen van vragen gebeurde uitgebreid, zowel in PO als VO, maar het doel van de vragen was anders. In PO werd gevraagd waarom leerlingen het op een bepaalde manier deden of waarom ze het moeilijk vonden, in VO veel meer gericht op het antwoord. Als het antwoord niet goed was, ging docent het uitleggen, en vaak maar aan één kind of kinderen die hun vinger opsteken. Klassikaal: dit is de som en hoe je dat? Anders zou ook kunnen: leerlingen opgave laten maken, leerling oplossing laten demonstreren en klassikaal bespreken, moeilijkheden en wat leerlingen juist makkelijk vinden. Terugkoppeling in PO en VO heel ander niveau. In VO voornamelijk op antwoord, in PO met name veel meer op redenen voor moeilijkheden. Veel meer op leerlingen gericht in plaats van op de stof. Klassenmanagement: in PO leerkrachten relaxed, niet zo bezig met orde houden. Rustig in de klas, kinderen gingen zonder aansporing aan het werk. In VO veel meer aansporingen om aan het werk te gaan (generaal). Zakelijker. Atmosfeer, taakgerichtheid duidelijk verschil. Bijvoorbeeld meisje met stukke laptop, docent VO geeft leerling zijn laptop, maar weet niet of die voldoende opgeladen is, maar gaat dan weg. Persoonlijke aandacht veel minder. In PO veel meer ‘stapje terug doen’ als blijkt dat een leerling met breuken problemen heeft. Maar je moet ook wel weten wat dat stapje terug dan is. En: van leerlingen meer zelfstandigheid verwacht in VO. Minder zorgzaam, strenger.

Bijlagen 71

Bijlage 7 – Toelichting bij voorbeelddidactieken Joost Meijer, Kris Verbeeck, Martie de Pater en José van der Hoeven Verschillen in rekendidactiek PO en VO overbruggen: toelichting bij de filmpjes 1 Inleiding Met de komst van de referentieniveaus rekenen wordt geprobeerd een doorgaande leerlijn te maken van PO naar VO. Hiermee wordt duidelijk wat van leerlingen aan het eind van een basisschool verwacht mag worden en welk minimumniveau verondersteld wordt voordat leerlingen overstappen naar het voortgezet onderwijs. Doordat de leerlijn in elk geval doorloopt, is de kans groter dat er verder gebouwd wordt op reeds bestaande kennis en vaardigheden en dat er beter wordt aangesloten bij waar de leerlingen gebleven zijn. Toch blijkt dat niet alleen een aansluitende leerlijn nodig is, maar zeker ook een doorgaande didactische lijn. Het is immers de leraar die op dit vlak het verschil kan maken. Uit diverse publicaties blijkt echter dat er een groot aantal verschillen is tussen de gehanteerde rekendidactiek in het PO en het VO. Die verschillen worden niet zo maar overbrugd. In een eerder onderzoek dat uitmondde in de publicatie ‘De leraar als regisseur’ (Willems & Verbeeck, 2011) werd duidelijk dat de manier van lesgeven in het PO en VO sterk uit elkaar kan lopen. Getuige hiervan is de volgende anekdote uit een POVO-overleg: Tijdens een POVO-overleg vertelt een leraar uit groep 7-8 wat een geweldige les hij de afgelopen week heeft gegeven. De kinderen in de klas hebben aan den lijve kunnen ervaren wat een kubieke meter is. Ze hadden zelf een kubieke meter opgebouwd, gekeken hoeveel kinderen daar in kunnen en vervolgens de inhoud van ruimtes geschat en dan concreet de inhoud gemeten. De leraar VO keek zijn PO-collega aan en reageerde met: “Waarom geef je ze niet gewoon de formule en de uitleg? Dat gaat veel sneller.” (Uit: De leraar als regisseur) In het basisonderwijs raken ook leraren uit de midden- en bovenbouw er steeds meer van doordrongen hoe belangrijk het is om een concrete basis te leggen en om vanuit die basis in stapjes voort te bouwen richting een meer abstract niveau. Niet elke leerling is in staat voor elk rekenonderwerp het topje van de ijsberg te bereiken. De opbouw van concreet naar abstract wordt goed weergegeven in het zogenaamde ‘ijsbergmodel’ dat het belang erkent van ervaringen uit de werkelijkheid als een belangrijke stap op weg naar meer formeel rekenen. Het ijsbergmodel stelt dat de werkelijkheid op elk niveau betekenis verleent aan het rekenen en dat het rekenen op elk niveau toepasbaar is in de realiteit. De ijsberg (figuur 1) geeft een soort ‘didactische gelaagdheid’ aan. De didactiek van de ijsberg is ontstaan vanuit onderzoek naar het leren van zwakke leerlingen (Freudenthal Instituut, KPC Groep & CEDGroep, 2003): “Het grootste gedeelte van de ijsberg zie je niet, dat zit onder water, maar zorgt er wel voor dat het topje boven komt drijven. Als we de parallel trekken naar het reken-wiskundeonderwijs zou je kunnen zeggen dat het maken van sommen niet meer is dan het topje van de ijsberg. Het met inzicht kunnen oplossen van een rekenopgave is echter gebaseerd op een breed draagvlak van kennis en vaardigheden (het drijfvermogen). In het onderwijs wordt er relatief veel tijd en energie gestopt in het topje van de ijsberg (de formele bewerkingen) en naar verhouding weinig in het ontwikkelen van het drijfvermogen.” Boswinkel en Moerlands (2003) stellen dat “het zich eigen maken van reken-wiskundevaardigheden een proces is dat verschillende niveaus doorloopt.” Zij onderscheiden in de ijsberg vier niveaus: het niveau van de wiskundige wereldoriëntatie, het niveau van modelmateriaal, het bouwsteenniveau en het niveau van formele bewerkingen. Het niveau van de wiskundige

72


wereldoriëntatie is het meest basale niveau. Op dit niveau maken kinderen binnen een inleefbare situatie kennis met getallen. Op het niveau van de modelmaterialen maken de kinderen kennis met materialen die de concrete werkelijkheid symboliseren. Het bouwsteenniveau is het niveau van de getalrelaties. Tot slot is er het formele niveau van de sommen. Er wordt aangeraden met leerlingen de verschillende niveaus te doorlopen. Sommige kinderen hebben behoefte om langer stil te blijven staan bij ervaringen in de realiteit, terwijl andere kinderen op basis van eerder opgedane inzichten sneller kunnen overstappen naar een abstractere vorm. Als we de ijsberg van de voet naar de top bekijken, zien we een bepaalde formalisering: van wiskundige wereldverkenning (waar kom je wiskunde tegen in het dagelijks leven) tot symboliseren (bijvoorbeeld de eierdoos), modelleren (bijvoorbeeld de vijf- of tienstructuur) tot de ontwikkeling van notatievormen (bijvoorbeeld sommen). Dat betekent steeds meer afstand kunnen nemen van die realiteit. Dit model kan leraren helpen om de kinderen op een adequate manier te ondersteunen bij het formaliseren, zowel bij een stap vooruit als bij een stapje terug. Leraren kunnen bij de inrichting van de leeromgeving rekening houden met de achterliggende principes van het ijsbergmodel: van concrete ervaringen in de werkelijkheid tot formele sommen. Uit het praktijkvoorbeeld van de kubieke meter blijkt dat de betreffende VO-leraar eerder insteekt op het formele niveau bovenaan de ijsberg, terwijl de PO-leraar aandacht en tijd besteedt aan de verschillende stappen om te komen tot het formele niveau via ervaringen van de leerlingen en symbolisch materiaal.

Figuur 1 – IJsbergmodel uitgewerkt voor rekenen

Bijlagen 73

Verwoorden / communiceren

Mentaal handelen

Ook het steeds meer bekende handelingsmodel onderschrijft de opbouw richting formeel handelen:

Formeel handelen (Formele bewerkingen uitvoeren) Voorstellen - abstract (Representeren van de werkelijkheid aan de hand van de denkmodellen) Voorstellen - concreet (Representeren van objecten en werkelijkheidssituaties in concrete afbeeldingen) Informeel handelen in werkelijkheidssituaties (doen)

Figuur 2 – Handelingsmodel van Van Oers (1987)

Voor meer informatie kijk ook op: http://www.leraar24.nl/video/3957 en http://www.cps.nl/nl/ Documenten/DocumentenPublicaties/Grijp_de_rekenkansen/Filmpjes_ter_inspiratie.pdf. Beide modellen raken meteen een belangrijk verschil tussen PO en VO. In het VO wordt snel overgegaan naar meer abstract onderwijs. De nadruk komt sterk te liggen op oefenen en trainen. Uiteraard dienen leerlingen op termijn meer zelfstandig te kunnen leren en ook abstractere opdrachten aan te kunnen; toch verloopt dit proces momenteel in het VO te snel. Ook wordt in het VO vaak voorbijgegaan aan de modellen die leerlingen in het PO gewend waren te gebruiken. Leerlingen die uit het PO komen, zijn zeker niet allemaal in staat om op dit meer abstracte niveau van formules en toepassen van formules te functioneren. In de publicatie ‘De leraar als regisseur’ (Willems & Verbeeck, 2011) wordt een voorbeeld gegeven van hoe een docent uit het VO duidelijker vanuit concrete ervaringen probeert op te klimmen naar het meer formele rekenen. Deze docent gaf aan dat deze les best veel van hem vroeg. Hij werd geacht eerst zicht te hebben op de onderwijsbehoeften en dus niet gewoon te doen wat in de methode stond. Dit soort lessen, zeker met het gebruik van concrete materialen, was redelijk ongebruikelijk in zijn school. Het inspelen op de verschillende instructiebehoeften van de leerlingen en differentiëren in opdrachten en instructie waren nieuw voor hem. Eerder werkte hij vooral klassikaal en vanuit het boek. Hij gaf aan dat de betrokkenheid bij de leerlingen enorm was gestegen. Het is dus mogelijk meer aan te sluiten bij de werkwijze uit het PO, maar helemaal teruggaan naar het concrete niveau, afgestemd op de verschillen tussen leerlingen, vraagt veel van docenten in het VO. Het vraagt ook veel tijd waardoor ze niet hun hele programma ‘kunnen behandelen’. In de filmpjes wijzen we echter op drie mogelijkheden om meer af te stemmen zonder dat daarvoor alles dient te worden omgegooid. We sluiten meer aan bij het niveau van de gehanteerde denkmodellen, wat niet wegneemt dat dit voor enkele leerlingen mogelijk al te abstract is. Voor velen is het echter herkenbaarder en een mooie tussenstap op weg naar de formules en het abstractere oefenen. 2

Toelichting bij filmpje 1: breuken vermenigvuldigen met breuken

Zowel in het PO als in het VO is het rekenen met breuken van belang. Ook vanuit de referentieniveaus wordt dit beschreven. Vanuit het PO hebben de leerlingen kennisgemaakt met breuken vanuit concrete situaties waarbij ze bijvoorbeeld taarten hebben verdeeld in gelijke stukken, maar ook stukjes chocolade hebben opgedeeld en wellicht ook denkbeeldige pizza’s in stukken hebben opgedeeld. Nadat ze eerst het besef hebben gekregen wat een breuk is, zijn ze overgegaan naar breuken gelijknamig maken en bewerkingen uitvoeren met breuken. De leerlingen krijgen hierbij nog steeds houvast: eerst door concreet te doen, te ervaren, te zien, daarna ook met abstracter materiaal zoals breukenstokken of breukenstroken, vervolgens door middel van modellen en

74


ten slotte wordt hen de formule aangereikt. In het VO gaan de leerlingen breuken steeds meer toepassen in allerlei vakken, zoals bij aardrijkskunde: een derde deel van de bevolking van ... heeft te weinig water. In de rekenmethodes PO en VO is er een duidelijk verschil in aanpak wat betreft het vermenigvuldigen van breuken. In methoden voor het PO wordt het vermenigvuldigen van breuken ondersteund door modellen zoals het ‘roostermodel’ (zie figuur 3).

Figuur 3 – Roostermodel voor de opgave 3 4

x

2 3

In het VO wordt onmiddellijk overgegaan tot de formule voor breuk keer breuk is teller keer teller gedeeld door noemer keer noemer. Docenten in het voortgezet onderwijs geven soms direct een getalvoorbeeld, zoals: 3 4

x

2 3x2 6 1 = = = 4x3 12 2 3

In methoden voor havo-vwo wordt deze opgave abstract opgelost volgens de gegeven formule, i.e., 3 x 2 gedeeld door 4 x 3 is 6 gedeeld door 12 is ½. Onze suggestie om de brug te slaan tussen PO en VO betreft het hanteren van dit roostermodel in het VO. Door terug te grijpen op een aanpak die voor de leerlingen herkenbaar is, kan daarna makkelijker de stap verder worden gezet. Het is van belang om eerst een aantal voorbeelden te geven van breuken met een kleine noemer, want die voorbeelden zijn makkelijker te tekenen via een roostermodel. Zo krijgen de leerlingen weer inzicht in waar ze mee bezig zijn en waar het ook alweer vandaan komt. Op het ogenblik dat de leerlingen dat weer in de vingers hebben, kan stapsgewijs overgeschakeld worden naar een getalvoorbeeld met grotere breuken die niet zo makkelijk te tekenen zijn zoals 3/8 x 2/15 om pas daarna over te stappen naar de abstracte formule. Het gaat erom aan te sluiten bij het beginniveau van de leerlingen zoals ze dat in het PO hebben geleerd. Om te kunnen differentiëren tussen de sterkere leerlingen die dit roostermodel niet meer uitgelegd dienen te krijgen, kan de docent eerst vragen wie de vermenigvuldiging van de breuken nog kan uitvoeren aan de hand van het roostermodel. Die leerlingen kunnen het eerst zelf proberen. De andere leerlingen krijgen dan stapsgewijze begeleiding. Op die manier beklijft het onderwerp waarmee de leerlingen bezig zijn beter en is de kans groter dat ze ook begrijpen wat ze aan het leren zijn. Het teruggrijpen naar het gehanteerde model uit het basisonderwijs is dus geen stap terug, maar een stap die helpt om beter vooruit te komen. 3

Toelichting bij filmpje 2: de inhoud bepalen

Zowel in het basisonderwijs als in het voortgezet onderwijs is het rekenen met standaardmaten aan de orde. Het omzetten van maten in andere maten zodat er berekeningen op toegepast kunnen worden, is daarbij een belangrijk onderdeel. Een opgave zoals bij figuur 4 komt in het basisonderwijs vaak voor.

Bijlagen 75

Rekenopgave Hoeveel liter past er in? Reken uit. De inhoud is _________ liter.

300 mm

15 cm

0,5 m

Figuur 4 – Rekenopgave basisonderwijs

Wat komt er allemaal bij kijken om een dergelijke opgave te kunnen uitvoeren? Allereerst wordt van de leerlingen gevraagd om de vraag, het probleem te zoeken. Wat vraagt deze taak van hen? Zij moeten nagaan hoeveel liters er passen in de getekende figuur. Dat is gek, want op de tekening staat nergens liters vermeld. Zij dienen te weten dat er een verband is tussen inhoud, uitgedrukt in kubieke ... en liters. Namelijk, in 1 kubieke decimeter past 1 liter. Verder is het nodig dat ze weten wat de formule is om inhoud te kunnen berekenen: lengte x breedte x hoogte en dat de uitkomst iets is als kubieke, geschreven met een getal en een 3 daar boven. Om de berekening te kunnen maken is het belangrijk om getallen met dezelfde maat te vermenigvuldigen. Om dat te kunnen doen zullen ze zowel de uitgedrukte lengte, breedte en hoogte in dezelfde maat moeten omzetten en daar komen ook nog eens kommagetallen bij kijken. Gezien het aantal stappen dat de leerlingen moeten zetten en snappen is dit niet een opdracht die leerlingen even gauw uit hun hoofd kunnen maken. In het basisonderwijs krijgen de leerlingen een dergelijke opdracht niet direct als zelfstandig te verwerken opdracht. Ze worden stap voor stap meegenomen om deze opdracht te begrijpen. Leerkrachten kunnen hierbij gebruikmaken van het drieslagmodel:

Context

Reflecteren

Betekenisverlenen

Oplossing

Bewerking Uitrekenen

Voor meer informatie over het drieslagmodel zie http://www.kennisnet.nl/fileadmin/ contentelementen/kennisnet/Passend_Onderwijs/Kwaliteitskaart_rekenen.pdf. Meestal wordt eerst aan een leerling gevraagd om de opdracht te lezen (hardop door één leerling, in stilte voor zichzelf, of met een maatje). Aan de leerlingen kan gevraagd worden om een voorbeeld te geven uit de realiteit waarin een dergelijke opdracht zou voorkomen, bijvoorbeeld hoeveel liter water is er nodig om een zwembad helemaal vol te maken? Op die manier wordt een reële context gemaakt waardoor de leerlingen zich iets kunnen voorstellen bij de vraag. Daarna wordt gevraagd hoe ze dat op basis van de tekening te weten kunnen komen.

76


Wat moeten ze dan doen? Hoe kunnen ze de inhoud bepalen van een zwembad? Op dat moment zullen ze wellicht nadenken over een formule die hen kan helpen. Aan de hand van een voorbeeld van een kubus kan gekeken worden hoe ze de inhoud kunnen berekenen. De leerlingen denken na over de formule, bijvoorbeeld 10 x 10 x 10 = 1000, en dan dienen ze de juiste maat in te vullen (kubieke centimeter). Uiteraard zal de leerkracht vragen hoe ze van kubieke centimeter dan naar liters kunnen overstappen en wat ze daarvoor moeten doen et cetera. De leerkracht neemt hen vanuit de context mee naar de bewerking; daarna proberen ze de bewerking uit te voeren en te komen tot een oplossing. Het uitvoeren van de bewerking, het omzetten van de maten, kunnen leerlingen in kleine groepjes doen zodat ze met elkaar kunnen overleggen. Het is belangrijk om ook met de leerlingen die oplossing te checken: Kan deze oplossing? Hoe weten we dat? De leerlingen reflecteren over het gevonden antwoord. Ook dit kan in duo’s of in groepjes. Ze kunnen bij verschillende andere groepjes hun antwoorden vergelijken en daarover met elkaar in gesprek gaan. In het VO wordt op deze kennis verder gebouwd. Vaak krijgen leerlingen soortgelijke opdrachten, maar dan ingewikkelder. De leerlingen worden gevraagd de opdracht te lezen (klassikaal of in stilte voor zichzelf). Daarna checkt de docent of ze de formule nog weten en vervolgens gaan de leerlingen zelf of zelfstandig aan het werk. Alle stapjes die uitgelegd zijn bij het PO-voorbeeld worden als bekend verondersteld, maar de realiteit is echter anders. Veel leerlingen die uit groep 8 komen, hebben hulp nodig. Het zou hen enorm vooruithelpen als al duidelijk is welke stapjes ze moeten zetten om tot de oplossing te komen. Het toepassen van het drieslagmodel zou hen verder kunnen helpen. Hen op weg helpen door de verschillende stappen met elkaar te bespreken, zou leiden tot meer leerlingen die ook daadwerkelijk tot een oplossing kunnen komen. Ook het samen laten overleggen over wat van hen gevraagd wordt, welke stappen ze denken te kunnen zetten, geeft leerlingen de mogelijkheid om van en met elkaar te leren. Het uitrekenen kunnen ze uiteraard daarna ook in duo’s of voor zichzelf proberen en ook daar hebben ze hulp bij nodig, aangezien niet elke leerling even makkelijk met kommagetallen kan werken of niet even gemakkelijk maten in andere maten kan omzetten. Het is belangrijk om hen hierbij hulpmiddelen te geven zodat ze houvast hebben. Uiteraard is het nodig om de sterkere leerlingen samen te zetten en hen zonder hulp uit te dagen hoe ver zij al komen en te kijken welke hulp zij eventueel wel nodig hebben. Ook hier is differentiëren van belang. 4

Toelichting bij filmpje 3

In de vorige filmpjes kwam aan de orde hoe docenten uit het VO beter kunnen aansluiten bij de manier van werken in het PO, maar het is ook mogelijk dat leerkrachten uit het PO leerlingen voorbereiden op een werkwijze die in het VO gaande is. We nemen een voorbeeld uit de wereld van de algebra. Leerlingen zullen op een gegeven moment in aanraking komen met (a + b) x (c + d). Voor de leerlingen is dit al heel abstract. Wat stelt a?b?c?d? voor? De berekening hoe er tot die formule wordt gekomen, wordt voorgesteld door middel van een kruistabel. Dat ziet er als volgt uit:

a b a+b

c axc bxc c(a + b)

d axd bxd d(a + b)

c+d a(c + d) b(c + d) (a + b)(c + d)

Figuur 5 – Kruistabel

Bijlagen 77

Voor veel leerlingen klinkt dit als abracadabra. Ze kennen wel verhoudingstabellen, maar die werken anders. Toch is er een handig hulpmiddel dat kan gebruikt worden. Alle leerlingen uit het PO hebben leren vermenigvuldigen. Ze leerden dat bijvoorbeeld op de volgende manier: 89 x 17 = 80 x 10 = 800 80 x 7 = 560 9 x 10 = 90 9 x 7 = 63 Vervolgens tellen ze de uitkomsten kolomsgewijs op. Om de brug te maken richting de algebraïsche formule (a + b) x (c + d) zouden leraren uit het basisonderwijs een dergelijke vermenigvuldiging van getallen die uit tientallen en eenheden bestaat ook in een kruistabel kunnen laten uitvoeren. In feite doen ze gelijkaardige dingen als in het voorbeeld hierboven: ze halen 80 (te vergelijken met a) en 9 (te vergelijken met b) uit elkaar en 10 (te vergelijken met c) en 7 (te vergelijken met d) en tellen vervolgens alles op bij elkaar (1513 is (a + b) x (c + d) oftewel (80 + 9) x (10 + 7). Deze manier van uitrekenen is bij de meeste leraren in het PO niet bekend, maar zou geïntroduceerd kunnen worden, eerst met kleinere getallen en daarna met wat grotere.

80 9 89 5

10 800 90 890

7 560 63 623

17 1360 153 1513

Tot slot

In deze toelichting hebben we enerzijds getracht de problematiek ten aanzien van de aansluitende didactiek te schetsen. Anderzijds hebben we enkele doorkijkjes gegeven in hoe leraren PO en VO elkaar zouden kunnen vinden in de manier waarop ze opdrachten aanpakken. Die aansluiting kan zowel plaatsvinden doordat docenten in het VO aansluiten bij de gehanteerde modellen uit het PO als ook doordat leerkrachten PO al een stukje vooruitkijken op gehanteerde modellen en werkwijzen in het VO. Wij hopen dat deze voorbeelden en de filmpjes u kunnen inspireren om de aansluiting op didactisch vlak te verwezenlijken in uw praktijk. Speciale dank gaat uit naar Martie de Pater (Centraal Nederland). Literatuur Boswinkel, N. & Moerlands, F. (2003). Het topje van de ijsberg. In: K. Groenewegen (Ed.), Nationale rekendagen 2002 – een praktische terugblik (103-114). Utrecht: Freudenthal Instituut. Opgehaald 15 januari 2011 van http://www.fi.uu.nl/speciaalrekenen/project/topje_van_de_ijsberg. pdf. Freudenthal Instituut, KPC Groep & CED-Groep (2003). Tussenrapportage Project Speciaal Rekenen maart 2002 – november 2003. Planning november 2003 - november 2005. Utrecht / ’s-Hertogenbosch / Rotterdam: Freudenthal Instituut, KPC Groep en CED-Groep. Opgehaald 15 januari 2011 van http://www.fi.uu.nl/speciaalrekenen/project/rapportages/ rapportage_2002-2003.pdf. Willems, W. & Verbeeck, K. (2011). De leraar als regisseur. Opbrengstgericht rekenonderwijs bij de invoering van de referentieniveaus in PO en VO. ‘s-Hertogenbosch: KPC Groep in opdracht van het ministerie van OCW.

78


Bijlage 8 – Didactisch handelen van de leraar onder de loep Kris Verbeeck en Joost Meijer 1 Inleiding In het kader van het project ‘Aansluitende rekendidactiek’ hebben we lessen van leraren systematisch geanalyseerd. Het was de bedoeling om verschillen en overeenkomsten in de manier van lesgeven te ontdekken. Om de lessen op een gelijklopende manier te analyseren, hebben we een kader ontwikkeld (gebaseerd op het interpretatiekader van Krull, Oras & Pikksaar, 2010), die zich op hun beurt gebaseerd hebben op Gagné (1968) en verder uitgebreid met enkele andere categorieën). Dat kader willen we graag met u delen omdat we menen dat het bruikbaar is voor iedereen die rekenlessen wil bekijken, bespreken en mogelijk ook advies wil geven om ze te verbeteren. Uit de analyse komt ook een beeld van het didactisch handelingsrepertoire van de leraar. 2

Eerst even zelf kijken

De beste manier om goed te leren kijken, is eerst even zelf de volgende filmpjes te bekijken: • leerkracht 1: http://www.leraar24.nl/video/73; het gaat over een les waarbij kinderen een hoeveelheid pepernoten moeten verdelen voor de kleuters; • leerkracht 2: http://www.youtube.com/watch?v=P97Xfe5bCkA; deze les gaat over bussommen (erbij tot 10). Wat kun je zeggen over het didactisch handelen van deze leerkrachten tijdens de rekenles? Opvallend is dat leerkracht 1 veel door de kinderen zelf laat ontdekken en hen in duo’s zelf laat nadenken over hoe ze iets aanpakken voordat ze op zoek gaan naar een oplossing. Maar anderen zullen misschien gelet hebben op de manier waarop de leerkracht de belangrijke punten op het bord zet, structureert, een verhoudingstabel introduceert. Ieder zal vanuit zijn eigen referentiekader kijken: wat doet de leerkracht wat jij ook belangrijk vindt, maar ook wat doet de leerkracht anders en wat is het effect daarvan op de kinderen? Bij leerkracht 2 valt op dat ze heel gestructureerd aan de slag gaat. Zij stuurt het allemaal aan en geeft duidelijk weer wat de kinderen moeten doen, wanneer, op welke manier. De kinderen nemen zelf geen initiatief. Om de beelden systematischer te bekijken gaan we aan de hand van het door ons gehanteerde analysekader te werk. Het is een idee om eerst bij het punt de toelichting te lezen en vervolgens zelf te bedenken of je er iets van gezien hebt in het filmpje. Daarna kun je kijken naar onze toelichting. 3 Analysekader Het analysekader bestaat uit 11 punten. We lichten elk punt eerst toe. Daarna geven we toelichting bij wat we in het filmpje zagen. 1 Aandacht vragen, krijgen Het is belangrijk dat de leraar de aandacht vraagt en krijgt van de leerlingen zodat ze kunnen starten met de les. Het is belangrijk dat de leerlingen kunnen focussen op de les. Leerkracht 1 In het voorbeeld trekt de leerkracht de aandacht van de kinderen doordat ze iets heeft meegenomen: een blik. Het blik is gesloten. Ze geeft aan: “Ik heb hier een tamelijk groot blik. S. wil jij eens even kijken wat er in zit?” Daardoor vraagt ze de aandacht, maar krijgt die ook duidelijk van de kinderen.

Bijlagen 79

Leerkracht 2 De juf wacht om te beginnen met de les tot alle kinderen een boek voor zich hebben en een rekenrekje. Het moet redelijk stil zijn om te kunnen starten. De juf vraagt de kinderen ook om hun rode map te pakken en geeft precies aan waar de kinderen die op hun tafel moeten leggen. 2 Leerlingen over het leerdoel informeren Niet alleen wordt het lesdoel uitgelegd, maar er wordt ook gecheckt of de leerlingen begrepen hebben wat ze gaan leren. Dit draagt bovendien sterk bij aan de motivatie van de leerlingen. Als leerlingen weten wat ze leren, dan hebben ze zelf meer zicht op het doel van de les. Leerkracht 1 De leerkracht heeft het lesdoel niet specifiek uitgelegd. Ze heeft de focus gelegd op de activiteit: pepernoten verdelen voor de kleuters. Leerkracht 2 Deze leerkracht vertelt dat ze iets met de bussommen gaan doen. Ze benoemt eerder de activiteit, niet het doel. 3 Stimuleren van het ophalen van voorkennis Het ophalen van voorkennis speelt een belangrijke rol in het leerproces. Met behulp van vragen kan een leraar vaststellen of leerlingen het vorig behandelde onderwerp beheersen en begrijpen of nagaan wat ze al weten over het behandelde onderwerp. Leerkracht 1 Doordat de leerkracht voortdurend vragen stelt aan de kinderen over hoe ze dat gaan aanpakken, hoe ze het denken uit te rekenen etc. wordt voortdurend nagegaan wat ze al kennen of weten. Uit het filmpje blijkt dat kinderen nog niet eerder zo’n opdracht hebben gekregen. Wel had de leerkracht kunnen nagaan hoe ze het verdelen van een nog onbekende hoeveelheid al eerder hebben aangepakt. Leerkracht 2 Ze vraagt: “Wie kan me vertellen wat jullie gaan doen?” Vreemd genoeg haalt ze voorkennis naar boven met betrekking tot wat kinderen bij lezen en taal kunnen doen, terwijl de kinderen klaar zitten voor de rekenles. Verder wordt er geen voorkennis bij de kinderen opgehaald met betrekking tot de bussommen. 4 Het leermateriaal presenteren Het is voor leerlingen heel belangrijk om te weten waar ze informatie kunnen vinden, welke opdrachten ze kunnen maken. Leraren kunnen gewoon aangeven op welke bladzijde ze welke opdrachten moeten doen of op welke website of in welk programma ze kunnen oefenen. a We zien dat sommige leraren alleen aangeven op welke bladzijde of waar ze op de computer aan het werk kunnen. b Sommige leraren geven niet alleen de bladzijde aan, maar geven er ook een voorbeeld bij. c Er zijn ook leraren die het materiaal presenteren en aangeven hoe ze het het beste kunnen aanpakken: bijvoorbeeld die oefeningen maken die ze kunnen en de andere overslaan. Leerkracht 1 Er wordt gewerkt met levensecht materiaal en de kinderen mogen pepernoten pakken. De leraar geeft dat aan: “Je mag straks pepernoten pakken en kijken wat er nodig is …” (a). Leerkracht 2 Zij geeft aan wat de kinderen in de rode map moeten zoeken (a). Ze laat het betreffende blad aan de kinderen zien. Achteraf blijkt dit om taal te gaan en dat is verwarrend tijdens een rekenles. De juf laat de kinderen een opdracht maken met bussommen. Ze zetten de som op het rekje en noteren het in hun schrift (c).

80


5 Voorzien in begeleiding van het leren Het is voor de motivatie van leerlingen heel belangrijk dat ze niet alleen opdrachten krijgen, maar ook de ondersteuning die ze nodig hebben. Het is belangrijk dat de leraren de leerlingen ondersteunen tijdens het maken van opdrachten. Dat kan op verschillende manieren: a door een klassikale uitleg te geven aan iedereen (maar dit is natuurlijk niet afgestemd op de verschillende behoeften van de leerlingen); b door een individuele uitleg te geven met betrekking tot wat de leerlingen dienen te snappen; c door de eindoplossing te geven (gewoon de uitkomst te vermelden); d door deeloplossing of hint te geven (hierbij zetten ze aan om leerlingen zelf te laten nadenken); e door handelingsadvies te geven, bijvoorbeeld een suggestie om iets aan te pakken: “Stel dat je …, hoe zou het er dan uit komen te zien”; f door uitleg te geven in groepjes. Leerkracht 1 De leerkracht maakt gebruik van (d) want ze wil kinderen aanzetten om zelf na te denken. “Je weet nu dat dat er 38 kleuters zijn. We weten niet hoeveel pepernoten we hebben, maar wel hoeveel ze wegen en hoeveel 10 pepernoten wegen.” De leerkracht vat de gegevens samen, zet ze op het bord, maar laat de kinderen zelf nadenken hoe ze het gaan aanpakken en oplossen. Maar ook (e) komt aan bod. “Zullen we daar eens mee beginnen? Kijken hoeveel het blik weegt?” Leerkracht 2 Zij begeleidt de kinderen niet echt, maar vraagt naar de eindoplossing (de uitkomst bij de bussom) of de uitkomst van twee kinderen waar er een bij komt. 6 Prestatie uitlokken, oproepen De leraar kan ook nagaan in hoeverre de leerlingen het echt begrijpen. Hij kan daarvoor inhoudelijke vragen stellen of ook vragen om te checken of de leerlingen nog mee zijn of ze begrijpen wat hij heeft uitgelegd. Het gevaar van vragen als ‘Begrijp je het?’ is dat een leerling niet voor dom versleten wil worden en ja zegt, terwijl hij het niet echt snapt. We merken dat leraren vragen stellen aan de hele klas of aan individuele leerlingen. De vragen zijn soms inhoudelijk van aard (a) en inderdaad soms ook gewoon om te checken of ze nog mee zijn (b). Leerkracht 1 De leerkracht stelt vragen wanneer een kind komt met een vage suggestie: “Pepernoten wegen om de beurt?” (a) of: “Hoor eens wat J. zegt.” (b). De kinderen worden ook uitgenodigd om in tweetallen een werkwijze te bedenken hoe ze het gaan uitrekenen (a). Leerkracht 2 Ze vraagt aan de kinderen: “Wat gebeurt er nu?” (bij het maken van een bussom) en een kind vertelt hoeveel mensen er dan instappen (a). 7 Terugkoppeling verschaffen (op het product en het proces) Terugkoppeling en feedback zijn heel belangrijk. Leerlingen willen zicht krijgen op waar ze staan. Het is belangrijk om te reageren op vragen en suggesties van de leerlingen of om strategieën uit te leggen of commentaar te geven op gebruikte strategieën. We merken dat leraren vaak gericht zijn op (a) controle van het product, (b) wel inspelen op een strategie die ze gehanteerd hebben, niet zozeer op de inhoud, (c) soms heel sterk gericht op het proces: hoe ben je daartoe gekomen en dat doen leraren door open vragen te stellen; maar soms gaan ze ook vooral gesloten vragen stellen (d) die weinig ruimte bieden voor inbreng van de leerlingen.

Bijlagen 81

Leerkracht 1 Deze leerkracht is niet direct gericht op het product, maar veeleer op het proces. Ze zoomt eerst in op de werkwijze en pas later op de uitkomst (b). Soms stelt ze gesloten vragen: ’”Als je weet hoeveel in 200 gram zit, namelijk 110. Hoeveel zitten er dan in 100 gram?” Of: “Kun je komma 74 uitdelen?” (d). En er worden meer open vragen gesteld: “Hoe gaan we dat doen?” (c). Leerkracht 2 De leerkracht vraagt de kinderen bij de bussommen om op het rekenrek (b) erbij te schuiven wat er bij komt en vraagt ook naar de uitkomst aan de kinderen (a). 8 Vaststellen prestatieniveau, toetsen (ook diagnostisch) Dit onderdeel is moeilijk te observeren in de lessen, tenzij de leraar net een toets heeft afgenomen en die bespreekt. Het is echter belangrijk dat de leraar goed zicht heeft op wat de leerling al kan en waar hij nog aandacht aan moet besteden. Niet van toepassing in deze filmpjes. 9 Bevorderen van retentie en transfer Het is belangrijk dat leerlingen niet alleen iets leren wat ze bij een bepaalde opdracht kunnen toepassen, maar dat ze het geleerde ook kunnen gebruiken in nieuwe situaties. Het is nodig dat leraren dit ook aanmoedigen en uitlokken bij hun leerlingen. Leerkracht 1 Aan het eind van de les vraagt de leerkracht: “Als je nou morgen weer zo’n opdracht van me krijgt. Ik heb heel veel van iets en ik zeg dat gaan we verdelen over de hele school, zou je dan weten hoe je het kan aanpakken?” Het is een manier om kinderen alvast aan te moedigen om het geleerde toe te passen in een nieuwe, vergelijkbare situatie. Leerkracht 2 In de tweede opdracht die ze met de kinderen maakt wordt de overstap gemaakt van het busmodel naar een pijlenmodel waarbij er ook een bij komt. 10 Organisatie en management van algemene klasactiviteiten In een les wordt best wat tijd besteed aan de organisatie van de les en het managen van de leersituatie. Het gaat zowel om het uitdelen van hand-outs als om het houden van orde, het organiseren dat leerlingen aan de instructietafel komen, maar ook om het rondlopen om feedback te geven aan individuele leerlingen of om vragen te beantwoorden. Leerkracht 1 Ze hoeft niet veel organisatorische zaken te regelen. Ze geeft wel aan dat de kinderen straks pepernoten mogen pakken. Ze wijst kinderen aan, bijvoorbeeld die in het blik mogen kijken of die een aanpak mogen vertellen. Ze geeft de kinderen zelf de gelegenheid om groepjes te vormen en ook hoe ze het willen aanpakken. “Over 10 minuten gaan we met zijn allen terug …” Kinderen zijn duidelijk gewend om veel zelf te regelen. Ze vragen niet of ze het op een blad moeten uitrekenen of waar het blad ligt etc. Ze zijn gewend aan deze manier van werken. Een leerkracht die meer verantwoordelijkheid bij de kinderen legt en die dat systematisch heeft opgebouwd, is minder bezig met klassenmanagement. Leerkracht 2 Ze vraagt enkele kinderen om de rekenrekjes uit te delen. Ze vraagt de kinderen wat ze allemaal nodig hebben om te kunnen werken, bijvoorbeeld potlood, kladblok. Ze laat via het digibord zien met welke opdracht de kinderen aan de slag zullen gaan en zoekt eerst even de juiste pagina. De juf vraagt: “Wat moet je nou doen als je bezig bent en je hebt toch nog een vraag?” Ze geeft aan wat de kinderen kunnen doen als ze klaar zijn: in hun rode map werken en het blokje leggen. Ze geeft aan wat de kinderen kunnen doen als ze klaar zijn met rekenen en met de werkbladen. Ze zet de time-timer en geeft aan bij wie ze dadelijk langs komt.

82


11 Algemene onderwijsstrategie en atmosfeer in de klas Het is belangrijk om te zorgen voor een taakgerichte, gemotiveerde stemming in de klas en om competitie tussen leerlingen te vermijden. Leerkracht 1 De algemene sfeer van taakgericht werken, zorgen dat leerlingen gemotiveerd aan de slag gaan en dat het niet gaat om een competentiestrijd te leveren, vraagt aandacht van de leerkracht. Door de manier van werken zijn alle kinderen aan het werk en betrokken en taakgericht. Er is duidelijk geen competitie tussen de kinderen. Iedereen weet dat zijn antwoord gerespecteerd gaat worden. Dat ademt de hele sfeer in de klas uit. Leerkracht 2 Zij zorgt voor rust en stilte in de klas. Ze geeft aan wat de kinderen kunnen doen en hoe en wanneer ze mogen starten. De kinderen gaan vervolgens individueel en taakgericht aan de slag. Deze leerkracht staat voor de klas, bepaalt, legt uit, checkt of kinderen weten wat ze moeten doen. Verschillen tussen leerkracht 1 en 2 Leerkracht 1 is vooral bezig met 5, 6 en 7: begeleiden van de kinderen door ze zelf te laten nadenken (d en e), prestatie uitlokken, oproepen om zelf na te denken en terug te koppelen op proces en product en ook duidelijk gericht op het bevorderen van transfer (9). Deze leerkracht is sterk gericht op autonomie van kinderen, maar ondersteunt hen en geeft hulp waar nodig. De sfeer in de klas is er een van actie en zet alle kinderen aan het denken. De leerkracht is een regisseur van dit proces. In de beperkte tijd van het fragment hebben de kinderen veel gerekend. Leerkracht 2 besteedt relatief veel tijd aan klassenmanagement (10) en weinig tijd aan de inhoud van het rekenen. De kinderen wachten duidelijk op het teken van de leerkracht om iets te pakken. De juf zegt duidelijk wat ze nodig hebben, wanneer, waar ze dat moeten leggen etc. Enerzijds is dit te verklaren doordat de kinderen pas in groep 3 zitten, maar het behoort ook tot de leerkrachtstijl om alles in de hand te houden. Deze leerkracht is eerder controlerend van aard en wil alles goed georganiseerd en geregeld hebben. De leerkracht besteedt kort tijd aan 1 en 4; weinig aan 5, 6 en 7. De sfeer in de klas is er een van rust en orde. De leerkracht stuurt aan en de kinderen voeren de opdrachten uit. In de beperkte tijd (maar langer dan bij fragment 1) van het fragment hebben de leerlingen weinig gerekend. Het analyseschema (zie volgende pagina) kan verschillen tussen leerkrachten duidelijk maken en kan leerkrachten helpen om meer aandacht te besteden aan bepaalde onderdelen uit het schema. Zo zijn 5, 6 en 7 belangrijk voor het leerproces. 10 is eerder een voorwaarde om de les te kunnen geven en een manier om structuur aan te brengen in de les. Hopelijk heeft deze oefening met het analyseschema u geïnspireerd om ermee aan de slag te gaan in het begeleidingswerk met leraren.

Bijlagen 83

Kijkpunten en uitleg

Voorbeelden die je hebt gezien en/of turven hoe vaak je het hebt gezien

1 Aandacht vragen, krijgen Aan het begin van de les leerlingen duidelijk maken dat de les gaat beginnen en dat leerlingen hun aandacht op de leraar moeten vestigen. 2 Leerlingen over het leerdoel informeren Uitleggen wat het thema of het doel van de les is; controleren of het lesdoel begrepen is. 3 Stimuleren van het ophalen van voorkennis Met behulp van vragen vaststellen of leerlingen het vorig behandelde onderwerp beheersen en begrijpen. 4 Het leermateriaal presenteren Leerlingen wijzen op de bron waar zij bepaalde informatie kunnen vinden (bijvoorbeeld in een boek of op een ELO of website). a Alleen presentatie b Vergezeld van demonstratie c Zelfregulerend, strategisch advies gericht op het leerproces 5 Voorzien in begeleiding van het leren Leerlingen ondersteunen bij het zelfstandig werken aan het nieuwe onderwerp. a Uitleg geven klassikaal b Uitleg geven individueel (op conceptueel niveau) c Eindoplossing geven d Deeloplossing of hint geven e Handelingsadvies geven, i.e., suggestie voor aanpak f Uitleg geven in groepjes 6 Prestatie uitlokken, oproepen Vragen stellen aan de klas of aan individuele leerlingen. a Inhoudelijke vragen b Meta-vragen (bijvoorbeeld “Begrijp je?”) 7 Terugkoppeling verschaffen (op het product en het proces) Reageren op vragen en suggesties van leerlingen, uitleggen strategieën, commentaar geven op strategiegebruik van leerlingen. a Controleren (product) b Zelfregulatie (ook strategisch, maar niet inhoudelijk) c Proces, strategisch gericht op inhoud (rekenstrategieën); open d Als c, maar gesloten

84


Kijkpunten en uitleg

Voorbeelden die je hebt gezien en/of turven hoe vaak je het hebt gezien

8 Vaststellen prestatieniveau, toetsen (ook diagnostisch) Gestandaardiseerde of methodegebonden toetsen afnemen en analyseren van de resultaten, eventueel met behulp van leerlingvolgsystemen. 9 Bevorderen van retentie en transfer (ook zeer dichtbije transfer) Nieuwe opdrachten geven die generalisatie vereisen. 10 Organisatie en management van algemene klasactiviteiten Leerlingen vragen om handouts rond te delen of door te geven; orde houden; leerlingen indelen in groepen; ook rondlopen en reageren op vragen van individuele leerlingen. 11 Algemene onderwijsstrategie en atmosfeer in de klas Zorgen voor een taakgerichte, gemotiveerde stemming in de klas; competitie tussen leerlingen vermijden. Opmerkingen • Code 3 heeft altijd betrekking op het stellen van een vraag door L*. • Codes 5a, 5b en 5f hebben betrekking op groeperingsvorm, respectievelijk individueel, klassikaal of groepen. Codes 5c, 5d en 5e hebben betrekking op de activiteit van L. • Codes 5 en 7 worden vaak verward: code 7 heeft altijd betrekking op een reactie van L op een leerling, bijvoorbeeld als er door L gereageerd wordt op een leerling of leerlingen die een (deel)uitkomst hebben gegeven. * Leraar Literatuur Gagné, R.M. (1968). Learning hierarchies. Educational Psychologist, 6(1), 1-9. Krull, E., Oras, K. & Pikksaar E. (2010). Promoting student teachers’ lesson analysis and observation skills by using Gagné’s model of an instructional unit. Journal of Education for Teaching, 36(2), 197-210.

Bijlagen 85

Aansluiten of afsluiten: verschillen tussen reken-wiskundedidactiek in primair en voortgezet onderwijs

Recommend Documents