A4 : Subsemigrup Fuzzy Karyati, Sri Wahyuni, Budi Surodjo, Setiadji

A4 : Subsemigrup

Fuzzy Karyati , Sri Wahyuni, Budi Surodjo, Setiadji

Subsemigrup

Fuzzy

Oleh Karyati , 3Sri Wahyuni, 4Budi Surodjo, 5Setiadji 1 Mahasiswa S3, Jurusan Matematika , FMIPA, Universitas Gadjah Mada Sekip Utara, Yogyakarta 2 Jurusan Penddikan Matematika, FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta 3,4,5 Jurusan Matematika , FMIPA, Universitas Gadjah Mada Sekip Utara, Yogyakarta 1,2

e-mail: 1,2 [email protected], [email protected], ,4 [email protected]

Abstrak Dalam tulisan ini akan diawali dengan memberikan konsep tentang definisi suatu subsemigrup

Fuzzy.

Selanjutnya dibahas tentang sifat-sifat Subsemigrup sifat-sifat ini akan dimanfaatkan sifat dari suatu Kata kunci: semigrup

Fuzzy. Dalam menggali -nya.

, Semigrup regular, Subsemigrup

Fuzzy,

1. Pendahuluan Misalkan dan adalah ruang vector atas lapangan , dengan karakteristik adalah nol. Suatu fungsi dikatakan bentuk bilinear jika linear terhadap masing-masing variabelnya. Pada dasarnya, setiap bentuk bilinear , yang dididefinisikan dengan menentukan dua pemetaan linear, yaitu dan , didefinisikan oleh . Dalam hal ini dan masing-masing menotasikan ruang dual untuk dan . Selanjutnya dinotasikan dan masing-masing adalah himpunan semua operator linear dan . Jika , maka diperoleh subruang vector : , Elemen dikatakan pasangan adjoin dari relatif terhadap bentuk bilinear dan sebaliknya jika untuk semua dan . Selanjutnya dinotasikan himpunan sebagai berikut:

Selanjutnya juga dinotasikan himpunan yang dibentuk berdasarkan himpunan tersebut sebagai berikut: . Himpunan tersebut membentuk semigrup terhadap operasi biner berikut: . Semigrup yang isomofik dengan disebut semigrup bentuk bilinear. Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika dengan tema ”Peningkatan Kontribusi Penelitian dan Pembelajaran Matematika dalam Upaya Pembentukan Karakter Bangsa ” pada tanggal 27 November 2010 di Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY

A4 : Subsemigrup


Misalkan adalah semigrup dan . Elemen disebut elemen eguler jika terdapat sedemikian sehingga . Semigrup disebut semigrup regular jika setiap elemen merupakan elemen regular. Elemen disebut regular lengkap jika terdapat elemen sedemikian sehingga dan . Semigrup disebut semigrup regular lengkap jika setiap elemen adalah regular lengkap. 2. Hasil dan Pembahasan Misalkan adalah semigrup bentuk bilinear, untuk didefinisikan dan Proposition 2.1. Kondisi berikut adalah ekuivalen untuk semua : i. elemen reguler ii. iii. Bukti: Jika dimiliki elemen regular , maka terdapat , sedemikian sehingga . Berdasarkan definisi , maka . Hal ini berarti bahwa . Jika , maka terdapat elemen sedemikian sehingga . Berdasar pada definisi diperoleh: , sehingga Jika , maka terdapat sedemikian sehingga , atau dengan kata lain adalah elemen reguler. Proposition.2.2. Kondisi berikut ekuivalen untuk semua i. adalah elemen reguler lengkap ii. iii. iv.

:

Proposition.2.3 Misalkan adalah homomorfisma dari ke , sehingga berlaku: 1. , 2. , Bukti: 1. Misalkan , untuk sebarang elemen . Sehingga terdapat sedemikian sehingga dan . Diketahui bahwa adalah suatu homomorfisma sehingga diperoleh: . Berdasarkan definisis maka diperoleh . Ambil

2. Berdasarkan definisi: sebarang elemen

, sehingga diperoleh:

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Yogyakarta, 27 november 2010

49

A4 : Subsemigrup


Proposition.2.4. Misalkan adalah homomorfisma dari semigrup T, sehingga berlaku : 1. adalah subsemigrup fuzzy jika subsemigup fuzzy 2. adalah subsemigrup fuzzy jika subsemigrup fuzzy Definition.2.1 Jika subsemigrup fuzzy dari terdapat sedemikian sehingga berlaku: Yang berarti

, maka

Propositon.2.5. Suatu pemetaan dari jika dan hanya jika

ke

dan untuk setiap

disebut subsemigrup bentuk bilinear fuzzy merupakan subsemigrup bentuk bilinear fuzzy , is a regular subsemigroup of .

Proposition.2.6. Jika iadalah himpunan tak kosong dari , maka merupakan subsemigrup reguler dari Jika dan hanya jika , yaitu fungsi . karakteristik dari , merupakan subsemigrup reguler dari Bukti: Jika adalah subsemigroup regular , maka dan jika berakibat . Untuk setiap , jika yaitu atau . Lebih lanjut, karena reguler maka untuk setiap sedemikian sehingga atau . terdapat Akibatnya, . Sehingga adalah subsemigrup regular fuzzy. Sebaliknya, jika adalah subsemigrup regular fuzzy dari , maka untuk setiap , . Dari sini diperoleh , sehingga dan akibatnya . Selanjutnya . Sehingga subsemigrup regular . Proposition.2.7. Misalkan adalah homomorfisma semigrup yang surjektif dari onto , sehingga pernyataan berikut berlaku: 1. Jika adalah subsemigrup bentuk bilinear fuzzy , maka adalah subsemigrup bentuk bilinear 2. Jika adalah subsemigrup bentuk bilinear fuzzy , maka adalah subsemigrup bentuk bilinear fuzzy Bukti: 1. Untuk setiap subsemigrup bentuk bilinear dari yang berarti . Dalam kenyataannya, jika terdapat bukan himpunan kosong dan bukan regular, maka terdapat


sedemikian sedemikian

50

A4 : Subsemigrup


sehingga untuk setiap untuk setiap , untuk setiap terdapat suatu

,

, yaitu , untuk setiap , . Misal dan untuk setiap , dengan dan atau dengan , diperoleh atau

dan dan , untuk setiap . Selanjutnya , . Untuk . Jelas bahwa untuk

setiap dan sehingga untuk setiap , yaitu bukan regular. Hal ini kontradiksi dari yang diketahui bahwa adalah subsemigrup bentuk bilinear fuzzy dari semigrup . 2. Jika adalah subsemigrup bentuk bilinear fuzzy dari semigrup , maka untuk , . Karena sedemikian sehingga

setiap

’ terdapat maka untuk setiap

berakibat terdapat surjektif, maka untuk setiap , dan untuk setiap dengan

sedemikian sehingga terdapat , berakibat .

, terdapat

Dari sifat sebelumnya, sedemikian sehingga

. Hence:

Dengan demikian merupakan subsemigrup bentuk bilinear fuzzy dari Proposisi.2.8. Jika adalah subsemigrup regular fuzzy dari , maka Bukti: Selalu dipenuhi . Selanjutnya untuk setiap , jika maka , yang berakibat . Jika , maka terdapat dengan , sebab reguler fuzzy. Dengan demikian belaku : yang berarti bahwa . Akibatnay terbukti bahwa

.

dengan , untuk Bentuk suatu himpunan setiap . Sehingga adalah semigrup dengan elemen identitas. Untuk setiap subhimpunan fuzzy dari semigrup didefinisikan suatu subhimpunan dari suatu semigrup sebagai berikut: fuzzy

Jelas bahwa untuk setiap

.

Proposisi. 2.9. Pemetaan merupakan subsemigrupbentuk bilinear fuzzy dari jika dan hanya jika untuk setiap jika maka terdapat


51

A4 : Subsemigrup


dan terdapat elemen idempotent .

sedemikian sehingga

dengan Bukti: Jika subsemigrup bentuk bilinear fuzzy dari , maka untuk setiap , adalah subsemigrup bentuk bilinear dari yang membuktikan bahwa . Selanjutnya, untuk setiap jika maka dan adalah himpunan tak kosong dan subsemigrup bentuk bilinear . Sehingga sedemikian sehingga . terdapat Sebaliknya, misal untuk setiap terdapat suatu elemen idempoten sedemikian sehingga ketika . Ditunjukkan bahwa adalah subsemigrup bentuk bilinear fuzzy dari . Dalam hal ini cukup dibuktikan , adalah subsemigrup bentuk bilinear dari bahwa untuk setiap yang membuktikan bahwa . Dalam kenyataannya jika maka untuk setiap , . Dibentuk dan . Dengan asumsi terdapat elemen idempotent

sedemikian sehingga

dengan

dan terdapat dengan , yaitu , dan Sebagai konsekuensinya untuk setiap terdapat berarti adalah subsemigrup bentuk bilinear dari .

. Sehingga terdapat . Sekarang diperoleh yaitu . dengan , yang

3. Simpulan Berdasarkan hasil pembahasan di atas, dapat ditelusuri beberapa sifat terkait dengan subsemigrup bentuk bilinear fuzzy dengan memanfaatkan sifat dari alpha-cut atau levelnya. sering disebut juga dengan

Daftar Pustaka Howie, J.M, 1976. An Introduction to Semigroup Theory. Academic Press, Ltd, London Karyati, et.al. 2008. Ideal Fuzzy Semigrup. Seminar Nasional MIPA dan Pendidikan MIPA di FMIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, tanggal 30 Mei 2008. Yogyakarta Karyati, et.al. 2008. The Fuzzy Version Of The Fundamental Theorem Of Semigroup Homomorphism. The 3rd International Conference on Mathematics and Statistics (ICoMS-3)Institut Pertanian Bogor, Indonesia, 5-6 August 2008. Bogor Karyati, et.al. 2009. Beberapa Sifat Ideal Fuzzy Semigrup yang Dibangun oleh Subhimpunan Fuzzy. Seminar Nasional Matematika, FMIPA, UNEJ. Jember Mordeson, J.N & Malik, D.S. 1998. Fuzzy Commutative Algebra. World Scientifics Publishing Co. Pte. Ltd. Singapore


52

A4 : Subsemigrup Fuzzy Karyati, Sri Wahyuni, Budi Surodjo, Setiadji

Recommend Documents