Prosiding Seminar Nasional Statistika Universitas Padjadjaran, 13 November 2010
(A.3) PENDEKATAN MULTIFAKTOR UNTUK OPTIMISASI PORTOFOLIO INVESTASI DI BAWAH VALUE-AT-RISK Betty Subartini, Lily Dwi Noviyanti, F. Sukono Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran Jl. Raya Bandung-Sumedang km 21 Jatinangor ABSTRAK Dalam paper ini dirumuskan pendekatan multifaktor untuk optimisasi portofolio investasi di bawah Value at Risk (disingkat VaR). Diasumsikan faktor-faktor yang mempengaruhi perubahan saham adalah indeks ekonomi dan indeks industri. Diasumsikan pula bahwa tingkat pengembalian indeks pasar dalam premi risiko memiliki volatilitas tak konstan dimana premi risiko diformulasikan sebagai indeks pasar dikurangi dengan nilai aset bebas risiko. Volatilitas tak konstan dimodelkan menggunakan model-model GARCH. VaR sebagai ukuran tingkat risiko investasi, dirumuskan berdasarkan pendekatan multifaktor. Menggunakan mean dan VaR, selanjutnya persoalan optimisasi dirumuskan. Optimisasi portofolio dibentuk menggunakan Lagrangean Multiplier, dan penyelesaiannya dilakukan berdasarkan teorema Kuhn-Tucker. Hasil penurunan rumus digunakan untuk menganalisis beberapa saham yang diperdagangkan dalam pasar modal Indonesia. Kata Kunci: GARCH, Multifaktor, VaR, Kuhn Tucker.
ABSTRACT In this paper is formulated multifactor approach for the optimization of investment portfolio under Value at Risk (VaR). Assumed that factors affecting changes in stock is the economic index and industrial index. Assumed again that the return of market index in risk premium has non constant volatility where the risk premium is formulated as: market index minus risk free rate. The non constant volatility is modeled using GARCH models. VaR as a measure of the level of investment risk, is formulated based on the multifactor approach. Using mean and VaR, furthermore the portfolio optimization problem is formulated. Portfolio optimization is formed using the Lagrangean multiplier, and completion is based on the Kuhn-Tucker theorem. The results of the formulation are used to analyze some stocks traded at capital markets in Indonesia.
Key Words: GARCH, Multifactor, VaR, Kuhn Tucker.
1.
PENDAHULUAN Dalam dunia bisnis, hampir semua investasi mengandung unsur ketidakpastian atau risiko. Risiko dapat diartikan kemungkinan terjadinya hasil yang diinginkan atau berlawanan dengan yang diinginkan. Dalam perdagangan finansial, setiap investor selalu ingin mendapatkan keuntungan. Namun, investor tidak tahu dengan pasti hasil yang diperolehnya dari investasi yang lakukan. Hal lain yang dihadapi investor adalah jika ia mengharapkan keuntungan yang tinggi, maka ia harus bersedia menanggung risiko yang tinggi pula. Hampir semua investor pasti tidak menginginkan adanya kerugian pada waktu melakukan investasi. Oleh karena itu, untuk menghindari adanya kerugian, sebaiknya investor melakukan perhitungan risiko dengan teliti dan analisis yang cermat untuk memperoleh hasil yang diharapkan.
20
Prosiding Seminar Nasional Statistika Universitas Padjadjaran, 13 November 2010 Untuk mengontrol sistem risiko tersebut dapat menggunakan Value at Risk ( disingkat VaR). Nilai VaR selalu disertai dengan probabilitas yang menunjukkan seberapa mungkin kerugian yang terjadi akan lebih kecil dari nilai VaR tersebut. Salah satu kelebihan dari VaR adalah bahwa metode pengukuran ini dapat diaplikasikan ke seluruh produk-produk finansial yang diperdagangkan. Beberapa pendekatan dapat digunakan untuk menghitung besarnya nilai VaR tersebut. Meskipun berbagai metode dapat menghitung besarnya kerugian yang dicapai oleh investor, dalam paper ini akan dicoba optimisasi portofolio investasi di bawah Value-at-Risk dengan pendekatan multifaktor yang bertujuan untuk mengetahui komposisi portofolio optimal dengan menggunakan pendekatan tersebut.
2.
PERUMUSAN MASALAH
2.1 Return Saham “Return adalah keuntungan investasi atau pendapatan yang diterima dari selisih lebih investasi yang dilakukan sedangkan keuntungan yang diharapkan merupakan rata-rata tertimbang dari pendapatan historis yang tercermin dari rata-rata profitabilitas tingkat keuntungan”(Husnan, 2000:204). Return saham dihitung secara harian menggunakan model geometrik yang memberikan continously compound return dan dihitung sebagai berikut : .G 2 H
IJ
IJKL
M
(1)
2.2 Model GARCH
Untuk deret log return .# , model GARCH (- =) (- < dan = < adalah bilangan bulat) didefinisikan sebagai berikut: .# N % ,# ,# O# P#
% RVT UV P#FV % P# O# Q % RGT QG O#FG S
W
(2)
di mana P# adalah urutan dari independent and identically distributed (11) variabel acak dengan mean 0 dan variansi 1, Q < , dengan Q > untuk 1 X - dan UV > untuk : X = (Tsay, 2005:114). 2.3 Model Multifaktor
Jika &G# menyatakan return sekuritas ke-1 pada waktu ", QG menyatakan unique return sekuritas 1, YV# menyatakan return indeks :, UGV menyatakan derajat kepekaan tingkat return sekuritas 1 terhadap perubahan return indeks : dan .Z menyatakan rata-rata return aktiva bebas risiko, maka model multifaktor dapat ditulis:
&G# .Z % QG % R^VT UGV [YV# \ .Z ] % PG#
(3)
di mana PG# adalah residual error dari unique return sekuritas ke-1. Juga diasumsikan bahwa PG# tidak berkorelasi dengan PV# untuk 1 _ :.
21
Prosiding Seminar Nasional Statistika Universitas Padjadjaran, 13 November 2010 2.4 Model Mean, Variansi, dan Kovariansi Saham Individual dengan Menggunakan Model Multifaktor
Misalkan NG# @B&G# C, maka expected return saham individual dengan model multifaktor dalam time series dapat ditulis: NG# .` % QG % R^GT UGV aNbV# \ .Z c
di mana NG# menunjukkan forecasting 1 langkah ke depan dari model return indeks.
(4)
Model variansi dan standar deviasi saham individual dengan model multifaktor dalam time series dapat ditulis OG# R^GT UGV ObV# % O d Je
(5)
% O d Je OG# fR^GT UGV ObV#
(6)
Dalam model time series, dapat dituliskan kembali persamaan kovariansi antar saham berdasarkan model multifaktor, yaitu OGV# R^gT UGg UVg Obg#
(9)
di mana OGV menunjukkan forecasting 1 langkah ke depan dari model kovariansi return indeks.
Estimasi VaR untuk saham individual 1 dengan koefisien kepercayaan \ Q100% adalah: 8,&G Q \ hi OG % NG
(10)
di mana adalah besar investasi awal, NG adalah mean return saham 1, OG adalah standar deviasi dari return saham 1 dan hi adalah persentil dari distribusi normal standar untuk tingkat konfidensi α . Tanda minus pada persamaan diatas menunjukkan bahwa VaR merupakan estimasi dari kerugian (losses).
2.5 Model Optimasi Portofolio Asumsikan vektor nilai-nilai ekspektasi adalah
µ T = ( µ1 , µ2 ,..., µn ) dengan NG @&G 1
X dan matriks kovariansi adalah R [OGV ] 1 : X , dengan OGV j/k[&G &V ] 1 : X . Seperti yang telah dijelaskan pada pembahasan sebelumnya bahwa bobot return saham pada suatu portofolio
w T = ( w1 , w2 ,..., wn ) , di mana R^GT lG atau eT w = 1 dengan eT = (1,1,...,1) vektor elemen satu-satu.
Model rata-rata portofolio dapat ditulis kembali sebagai berikut
µ P = E ( RP ) = µ T w
(11)
dan model variansi portofolio sebagai berikut
σ P2 = Var ( RP ) = w T Σw
(12)
Sehingga Value at Risk portofolio investasi adalah
22
Prosiding Seminar Nasional Statistika Universitas Padjadjaran, 13 November 2010
VaRP = zα σ P − µ P = zα ( w T Σw )1/ 2 − µ T w
(13)
n dan 8,&I 8,&m n . Untuk Suatu portofolio w * disebut efisien jika tidak ada portofolio w dengan NI > Nm mendapatkan suatu portofolio yang efisien, digunakan fungsi obyektif yang sangat sederhana. Yaitu maksimumkan oNI \ 8,&I o > di mana p adalah toleransi risiko investor. Sehingga, untuk investor dengan toleransi risiko o > harus menyelesaikan persoalan optimasi:
Maksimumkan
{2τ µ
T
w − zα ( w T Σw )1/ 2 + µ T w}
(14)
dengan batasan
eT w = 1 Fungsi Lagrange diberikan oleh
L ( w, λ ) = (2τ + 1)µ T w − zα ( w T Σw )1/ 2 + λ (eT w − 1) . Menggunakan teorema Kuhn-Tucker, syarat optimalitas adalah
z Σw ∂L = (2τ + 1)µ − Tα + λe = 0 ∂w (w Σw )1/ 2 ∂L = eT w − 1 = 0 . ∂λ
Untuk o , diperoleh suatu portofolio minimum dengan vektor bobot w Min . Berdasarkan atas perhitungan aljabar dan mengambil nilai-nilai:
A = e T Σ -1e , B = µ Σ e + e Σ µ , dan C = µ T Σ -1µ − zα2 , diperoleh nilai q r\ % \ js t u , T
-1
T
L
-1
dan vektor bobotnya adalah
w Min =
Σ -1µ + λ Σ -1e . e T Σ -1µ + λ e T Σ -1e
(15)
Untuk o < , diperoleh portofolio optimum dengan vektor bobot l n . Berdasarkan perhitungan aljabar dan mengambil nilai-nilai: T
-1
T
-1
A = e T Σ -1e , B = (2τ + 1)(µ Σ e) + e Σ µ) , dan C = (2λ + 1) 2 (µ T Σ -1µ ) − zα2 , diperoleh nilai
q r\ % \ js t u , dan vektor bobotnya adalah L
w* =
(2τ + 1) Σ -1µ + λ Σ -1e (2τ + 1)e T Σ -1µ + λ e T Σ -1e
(16)
23
Prosiding Seminar Nasional Statistika Universitas Padjadjaran, 13 November 2010 Jika vektor w Min disubstitusikan ke dalam persamaan (13) dan (15), maka diperoleh return portofolio minimum dan Value at Risk minimum. Sedangkan, jika vektor maka akan diperoleh return portofolio yang optimum.
w * disubstitusikan ke dalam persamaan (16),
3. ANALISIS DAN PEMBAHASAN Data observasi yang digunakan dalam paper ini merupakan harga penutupan saham selama 1183 hari periode 3 Januari 2005 dan 29 Desember 2009. Untuk data saham yaitu Bank Mandiri, Bank BRI, Bank BNI, dan PT Indofood, Tbk. Sedangkan untuk data indeks yaitu IHSG, kurs USD, kurs Euro, dan kurs Yen. Estimasi model GARCH yang diperoleh dengan pendekatan time series yaitu untuk return IHSG didapatkan parameter model AR(1)-GARCH(1,1) sebagai berikut: .# $v .#F % ,#
% $w O#F % P# O# $vwx % $ ,#F
Untuk return kurs USD didapatkan parameter model AR(1)-GARCH(2,1) sebagai berikut: .# \$w x .#F % ,#
\ $ yvv ,#F % $wv v O#F % P# O# $ yy % $ v y,#F
Untuk return kurs Euro didapatkan parameter model ARMA(1,1)-GARCH(1,1) sebagai berikut: .# $wywy.#F % ,# % $w wv,#F
% $vv O#F % P# O# $ % $wxv w,#F
Untuk return kurs Yen didapatkan parameter model ARMA(1,2)-GARCH(3,5) sebagai berikut: .# $xxx v .#F % ,# % $xy vx,#F
\ $x ,#F \ $ xw,#F % $ yyO#F % $ xyO#F O# $ w ,#F % $ O#F % $ wvwO#F \ $xxw O#Fz % P#
Dari data return saham Bank Mandiri (&{|}# ), Bank BRI (&~E# ), Bank BNI(&~}# ), dan PT Indofood (&b}# ) akan diperoleh persamaan regresi linear berganda dengan pendekatan multifaktor masing-masing return saham sebagai variabel terikat dengan return indeks IHSG, kurs USD, kurs Euro, dan kurs Yen sebagai variabel-variabel bebas yang dapat ditulis sebagai Yb Y Y Y dan disajikan pada Tabel 3.1 berikut ini. Tabel 3.1: Persamaan Model Regresi Setiap Saham Saham Bank Mandiri BRI BNI
Model Regresi &{|}# $y % $ wYb \ $wv \ $x Y \
$wv−$wY@−$wv%$v Y
−$wv%P "
&~E# $v y % $ vyYb \ $wv % $ yY \
$wv−$y Y@−$wv−$ Y
−$wv%P&"
&~}# $v yv % $wYb \ $wv \ $Y \
$wv%$ Y@−$wv−$ Y
−$wv%P"
&
- \ k,2*
369.9
55.69%
0.000
309.9
51.30%
0.000
191.9
39.48%
0.000
24
Prosiding Seminar Nasional Statistika Universitas Padjadjaran, 13 November 2010 PT Indofood
&b}# $vv % $ xYb \ $wv % $ Y \
$wv−$vY@−$wv%$ Y
−$wv%PY"
243.7
45.3%
0.000
Melalui uji signifikansi linear didapatkan nilai mean dan variansi return saham individual yang diberikan dalam Tabel 2 berikut ini.
Tabel 3.2: Mean dan Variansi Return Saham Individual Statistik
Saham Bank Mandiri
Bank BRI
Bank BNI
PT Indofood
Mean
0.000136
0.002713
0.005125
0.006383
Variansi
0.000707
0.000747
0.000887
0.000764
Standar Deviasi
0.026589
0.027331
0.029782
0.027640
Misalkan menginvestasikan dana sebesar Rp.1,00 pada masing-masing saham dengan koefisien kepercayaan sebesar 95%, maka diperoleh VaR masing-masing saham yaitu:
Tabel 3.3: Value at Risk Saham Individual Saham Bank Mandiri Bank BRI Bank BNI PT Indofood
Value at Risk $
$ $ w $ vwx
Diperoleh hasil bahwa portofolio-portofolio efisien terletak di sepanjang garis dengan toleransi risiko sebesar o $ w , di mana dihasilkan expected return portofolio tertinggi sebesar 0.005166 dan tingkat Value at Risk minimum portofolio sebesar 0.030136, seperti yang dapat dilihat pada Gambar 3.1 berikut ini:
25
Prosiding Seminar Nasional Statistika Universitas Padjadjaran, 13 November 2010
Gambar 3.1: Efficient Frontier Portofolio
Adapun komposisi portofolio efisien memuat rasio expected return dan VaR diberikan dalam Tabel 3.4 berikut ini.
Tabel 3.4: Komposisi Portofolio Optimal p
Bobot
NI
8,&I
NI 8,& I
0.41
0.050265
0.230204
0.294581
0.42495
0.004851
0.030389
0.159618
0.42
0.047797
0.229894
0.295439
0.426869
0.004866
0.030402
0.16006
0.43
0.045323
0.229584
0.296301
0.428793
0.004882
0.030415
0.160501
0.44
0.042843
0.229272
0.297164
0.430721
0.004897
0.030429
0.160941
0.45
0.040356
0.228959
0.298029
0.432654
0.004913
0.030442
0.161379
0.46
0.037864
0.228647
0.298897
0.434592
0.004928
0.030457
0.161817
0.48
0.032859
0.228019
0.300638
0.438483
0.00496
0.030486
0.16269
0.5
0.027829
0.227387
0.302389
0.442395
0.004991
0.030517
0.163559
0.52
0.022772
0.226752
0.304149
0.446327
0.005023
0.030549
0.164424
0.54
0.017687
0.226114
0.305919
0.450281
0.005055
0.030583
0.165286
0.56
0.012573
0.225472
0.307698
0.454257
0.005087
0.030618
0.166143
26
Prosiding Seminar Nasional Statistika Universitas Padjadjaran, 13 November 2010 0.58
0.007431
0.224826
0.309488
0.458256
0.005119
0.030655
0.166996
0.6086
2.28E-05
0.223896
0.312066
0.464015
0.005166
0.03071
0.168208
4. KESIMPULAN Pada paper ini, pemilihan portofolio optimal dapat ditentukan berdasarkan komposisi portofolio efisien yang menghasilkan mean return dan Value at Risk portofolio dengan rasio terbesar. Dari perhitungan rasio mean return dan Value at Risk portofolio diperoleh portofolio optimal yang memberikan mean return optimal sebesar 0.005166 dengan VaR optimal sebesar 0.03071.
DAFTAR PUSTAKA
Hogg, R. V. dan Craig, T. A. 1958. Introduction to Mathematical Statistics, Fourth Edition. New Jersey : Prentice Hall. Husnan, Suad. 2000. Dasar-Dasar Teori Portofolio dan Analisis Sekuritas Edisi Kedua. Yogyakarta : Unit Penerbit dan Percetakan STIM YKPN. Sudjana. 2005. Metode Statistika. Bandung : Transito Tufte. E. R. 1983. The Visual Display of Quantitative Information. Cheshire : Graphic Press. Tsay, Ruey S. 2005. Analysis of Financial Time Series. New Jersey : John Wiley & Sons, Inc.
27
