(A.7) OPTIMISASI PORTOFOLIO BERDASARKAN MEAN-VALUE AT RISK DI BAWAH MODEL INDEKS BERGANDA DENGAN VOLATILITAS TAK KONSTAN

Prosiding Seminar Nasional Statistika Universitas Padjadjaran, 13 November 2010

(A.7) OPTIMISASI PORTOFOLIO BERDASARKAN MEAN-VALUE AT RISK DI BAWAH MODEL INDEKS BERGANDA DENGAN VOLATILITAS TAK KONSTAN Agus Supriatna, F. Sukono, Bunga Luvita Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran Jl. Raya Bandung-Sumedang km 21 Jatinangor ABSTRAK Pokok dalam kajian ini membahas tentang optimisasi investasi portofolio berdasarkan mean dan VaR di bawah model indeks berganda dengan volatilitas tak konstan. Dalam model indeks berganda diasumsikan bahwa korelasi return masing-masing saham dipengaruhi oleh respon saham tersebut terhadap perubahan indeks-indeks tertentu. Di sini return indeks diasumsikan memiliki volatilitas tak konstan sehingga akan diestimasi dengan menggunakan model GARCH. Risiko diukur menggunakan VaR yang dihitung berdasarkan quantile distribusi normal standar. Mean return dan VaR akan digunakan dalam formula optimisasi portofolio dan teknik penyelesaiannya menggunakan teorema Kuhn-Tucker. Dalam paper ini dianalisis pembentukan portofolio yang tersusun dari beberapa saham yang diperdagangkan di pasar modal Indonesia. Adapun yang menjadi target yang diinginkan adalah membentuk komposisi portofolio-portofolio efisien dan menentukan portofolio optimalnya.

Kata Kunci : VaR, return, model GARCH, model indeks berganda, teorema Kuhn-Tucker ABSTRACT The point of this paper is optimization of investment portfolio based on the mean and the VaR under the multi index model with non constant volatility. In multi index model, correlation of each stock return assumed it is influenced by that stock response to index changes. Index return is assumed has non constant volatility so will be estimated by GARCH models. Risk is measured by VaR that calculated based on quantile standard normal distribution. Mean return and VaR will be used for formulation of portfolio optimization problem and solution by using the Kuhn-Tucker theorem. In this paper will be analysed the formation of portfolio which formed by a few stock that are traded in the Indonesian capital market. The target of this problem is to obtain efficient portfolios and determine the optimum portfolio.

Keywords : VaR, return, GARCH model, multi index model, Kuhn-Tucker theorem

66


I. LATAR BELAKANG MASALAH Pada umumnya hampir semua investasi sekuritas di pasar modal mengandung unsur ketidakpastian atau risiko. Risiko adalah besarnya penyimpangan antara tingkat pengembalian yang diharapkan (expected return) dengan tingkat pengembalian aktual (actual return) (Halim, 2005:2). Tingginya risiko dalam dunia keuangan khususnya dalam pasar modal dapat dipengaruhi oleh tingkat relatif pergerakan naik turunnya saham (volatilitas) yang tajam. Volatilitas suatu saham merupakan suatu ukuran dari ketidakpastian tentang pengembalian yang disediakan. Dengan keadaan semacam itu maka dapat dikatakan bahwa investor dihadapkan pada risiko dalam investasi yang dilakukannya sehingga pilihan investasi tidak dapat hanya mengandalkan pada return (tingkat keuntungan) yang diharapkan. Agar dapat diketahui sampai sejauh mana investor bisa berinvestasi dengan aman, diperlukan alat ukur untuk mengukur risiko. Salah satunya yaitu dengan menggunakan Value at Risk (VaR). Untuk mengurangi risiko yang ditanggung, investor dapat menyebar investasinya pada berbagai kesempatan investasi. Kombinasi berbagai sekuritas dalam investasi tersebut dinamakan portofolio. Memegang portofolio adalah bagian dari investasi dan strategi dalam membatasi risiko yang disebut dengan diversifikasi. Untuk menyederhanakan analisis dalam menentukan portofolio yang optimal maka akan digunakan model indeks. Selanjutnya akan diselidiki bobot (proporsi) dana yang dapat diinvestasikan pada masing-masing saham yang menyusun portofolio agar menghasilkan return portofolio yang maksimum dan tingkat risiko (VaR) portofolio yang minimum. 2. PERUMUSAN MODEL 2.1 Penghitungan Return Saham Individual dan Return Indeks Return adalah pendapatan yang akan diterima jika kita menginvestasikan uang pada suatu aktiva finansial (saham, obligasi) atau aktiva riil (property, tanah) (Ghozali, 2007:55). Bila harga saham i pada hari ke- t dan ke- t − 1 masing-masing adalah sebesar Pit dan Pi (t −1) .

Maka return saham i adalah R it = ln

Pit Pi ( t −1)

(1) Misalkan indeks j pada saat ke- t dan ke- t − 1 adalah sebesar H jt dan H j (t −1) . Sama halnya dengan penghitungan return untuk saham tunggal, maka return indeks j yang diperoleh adalah: I jt = ln

H H

jt

j ( t −1 )

(2) 2.2 Model GARCH Bila I jt adalah variabel acak dari return indeks ke- j pada waktu t , maka model time series untuk menaksir mean dan variansi return indeks secara berturut-turut dapat ditulis sebagai berikut p

q

k =1

l =1

i jt = φ0 + ∑ φk i jt − k + at − ∑ θl at −l

, at = σ jt ε t

(3)

67

Prosiding Seminar Nasional Statistika Universitas Padjadjaran, 13 November 2010 m

n

k =1

l =1

σ 2jt = α 0 + ∑ α k at2− k + ∑ β lσ 2jt −l di mana

{ε t }

(4)

adalah urutan dari independent identically distributed (iid) variabel acak

dengan mean 0 dan variansi 1, α 0 > 0 dengan α i ≥ 0 untuk i = 1, 2,..., p dan β j ≥ 0 untuk j = 1, 2,..., q . Persamaan (3) dan (4) merupakan persamaan mean dan volatilitas untuk return indeks. Sehingga persamaan untuk meramalkan nilai mean dan variansi return indeks dalam l langkah ke depan adalah p

q

k =1

l =1

i jt ( l ) = φ0 + ∑ φk i jt + l − k + at − ∑ θl at + l −l

(5)

dan m

n

k =1

l =1

σ 2jt ( l ) = α 0 + ∑ α k at2+ l − k + ∑ β lσ 2jt + l −l

(6)

2.3 Model Indeks Berganda Model indeks berusaha menyederhanakan analisis portofolio serta prosedur analisis untuk menentukan portofolio yang optimal. Hal ini dapat dilakukan sebab dalam model indeks diasumsikan bahwa korelasi return masing-masing sekuritas terjadi karena adanya respon sekuritas tersebut terhadap perubahan indeks tertentu (Yuliati, Prasetyo & Tjiptono :1996). Jika Rit merupakan return sekuritas i pada saat t dan I jt adalah return indeks ke- j

pada waktu t , maka return sekuritas i adalah Rit = α i + βi1 I1t + βi 2 I 2 t + ... + βiL I Lt + ε it

; i = 1, 2,..., N

(7)

µit = E ( Rit ) dan µ Ijt = E ( I jt ) , dengan mengambil ekspektasi dari

Misalkan

persamaan (7) dan berdasarkan sifat pembentukan persamaan bahwa E ( ε it ) = 0 , maka dapat diperoleh L

µ it = α i + ∑ β ij µ Ijt

(8)

j =1

Dengan asumsi bahwa E ( I jt − µ Ijt ) ( I kt − µ Ikt )  = 0 dan E ε it ( I jt − µ Ijt )  = 0 , maka variansi (7) adalah σ it2 =

L

∑ β ij2σ Ijt2 + σ ε2i

(9)

j =1

Sehingga standar deviasi untuk return saham individual adalah L

σ it =

∑ β ij2σ Ijt2 + σ ε2i

(10)

j =1

Sementara

berdasarkan

pembentukan

persamaan

E  I jt − µ Ijt

(

) ( I kt − µ Ikt ) = 0

dan

E ε it I jt − µ Ijt  = 0 serta asumsi bahwa E (ε it ε jt ) = 0 , maka kovariansi antara return saham i dengan return saham j yaitu

(

)

L

σ ijt =

∑ β ik β jk σ Ikt2

(11)

k

68


2.4 Value at Risk Value at Risk didefinisikan secara umum sebagai kemungkinan kerugian maksimum untuk suatu posisi tertentu atau portofolio dalam confidence level yang telah diketahui terhadap waktu horizon spesifik (Redhead,1997). Estimasi VaR untuk saham individual i dengan koefisien kepercayaan (1 − α ) 100% adalah:

VaRi = − S0 ( zασ i + µi )

(12)

di mana S0 adalah besar investasi awal, µi adalah mean return saham i , σ i standar deviasi dari return saham i , dan zα persentil dari distribusi normal standar untuk tingkat konfidensi α. Dengan demikian Value at Risk untuk saham individual berdasarkan model indeks berganda dengan asumsi besar investasi sebesar Rp.1,00 adalah  V a R i =  z1 − α ×  



L

∑ j =1

β ij2σ Ijt2 + σ ε2i  − α i +  

L

∑β

ij

(13)

µ Ijt

j =1

2.5 Investasi Portofolio Portofolio adalah sekelompok bentuk investasi (Fabozzi, 1999). Asumsikan suatu portofolio terdiri dari N asset, jika portofolio memiliki bobot wT = ( w1 , w2 ,...wN ) , ∑N w i = 1 i =1

maka tingkat return portofolio diberikan oleh persamaan (Panjer, 1998:373): N

Rw =

∑wR i

i

i =1

(14) Jika mean return saham individual adalah µi , maka mean return portofolio ( µw ) adalah N

µ w = ∑ wi µi . Sedangkan variansi return portofolio ( σ w2 ) yaitu σ w2 = ∑ ∑ wiσ ij w j N

i =1

N

i = 1 j =1

di mana σ ij menunjukkan kovariansi antara return saham i dan return saham j untuk i ≠ j . Value at Risk portofolio untuk tingkat signifikansi kerugian sebesar α adalah VaRw = z1−α σ w − µ w . 2.6 Optimisasi Portofolio Asumsikan bahwa vektor nilai ekspektasi adalah µT = ( µ1 , µ2 ,..., µ N ) , dengan

µi = E ( Ri ) , i = 1, 2,..., N , dan matriks kovarians adalah Σ = (σ ij ) , i, j = 1, 2,..., N , dengan σ ij = Cov ( Ri , R j ) , i, j = 1, 2,..., N . Dengan bobot return portofolio wT = ( w1 ,..., wN ) di mana N

∑ w =1, i

maka eT w = 1 di mana eT = (1,1,...,1) adalah vektor identitas. Sehingga

i =1

berdasarkan asumsi di atas diperoleh: µw = E ( Rw ) = µT w

(15)

σ = Var ( Rw ) = w Σw 2 w

T

(16) Dengan demikian Value at Risk untuk portofolio dengan tingkat signifikansi kerugian sebesar α adalah

69


(

V a R w = z1− α w T Σ w

)

1 2

(17)

− µTw

Suatu portofolio dengan bobot w * dikatakan (mean-VaR) efisien jika tidak ada portofolio w dengan µw ≥ µw* dan VaRw < VaRw* (Panjer, 1998:379). Untuk memperoleh portofolio yang efisen, gunakan fungsi obyektif yaitu dengan memaksimumkan {2τµw − VaRw} , τ ≥ 0 di mana τ menunjukkan toleransi risiko dari investor. Sehingga dengan toleransi risiko τ ≥ 0 harus diselesaikan persoalan optimasi 1   (18) m a x  2τ µ T w − z ( w T Σ w ) 2 + µ T w  1−α





T

dengan pembatas e w = 1 . Masalah di atas adalah masalah optimisasi dengan fungsi kendala persamaan. Sehingga untuk mencari vektor bobot optimal dari masalah di atas perlu didefinisikan fungsi Lagrangean, yaitu

(

L ( w , λ ) = ( 2τ + 1 ) µ T w − z1 − α w T Σ w

)

1 2

(

+ λ eT w − 1

)

(19)

Karena matriks kovariansi Σ merupakan semi-definite positif, fungsi objektif adalah quadratic concave (Panjer, 1998:380). Lalu dengan menggunakan teorema Kuhn-Tucker, syarat optimalitas adalah ∂L = ( 2τ + 1) µ − ∂w ∂L = eT w − 1 = 0 ∂λ

z1− α Σ w

(w

T

Σw

)

1 2

+ λe = 0

.

Untuk τ = 0 , diperoleh suatu VaR portofolio minimum dengan vektor bobot w Min . Berdasarkan perhitungan aljabar dengan mengambil nilai-nilai A = e T Σ − 1e , 1

T

B = µ Σ

−1

T

e+e Σ

−1

µ

dan

C = µ

T

Σ

−1

µ − z12− α

, dapat diperoleh nilai

− B + (B 2 − 4 AC )2 λ = 2A

dengan vektor bobot sebagai berikut: w M in =

Σ − 1µ + λ Σ − 1e

(20)

e Σ − 1 µ + λ e T Σ − 1e T

Sementara untuk τ > 0 , diperoleh portofolio optimum dengan vektor bobot w * . Berdasarkan

perhitungan

B = ( 2τ + 1)( µ T Σ − 1 e + e T Σ − 1µ )

aljabar dan

dan

mengambil

C = ( 2 τ + 1) 2 ( µ T Σ − 1 µ ) −

nilai-nilai A = eT Σ −1e , diperoleh nilai z12− α ,

1

− B + (B 2 − 4 AC )2 λ = 2A

w* =

, dan vektor bobotnya adalah

( 2τ + 1) Σ − 1 µ + λ Σ − 1 e

(21)

( 2τ + 1) e T Σ − 1 µ + λ e T Σ − 1 e

Apabila vektor w Min disubstitusikan ke dalam formula mean dan VaR portofolio, maka dapat diperoleh return portofolio dengan Value at Risk minimum. Dengan cara yang serupa, apabila vektor w * yang disubstitusikan maka akan diperoleh return portofolio optimum. 3. ANALISIS KASUS Untuk aplikasi dari metode yang telah diberikan di atas, dianalisis return saham dari empat perusahaan di Indonesia, yaitu Astra International Tbk, Bank Rakyat Indonesia Tbk,

70


Telekomunikasi Indonesia Tbk, dan Bank Mandiri Tbk. Sementara data indeks yang dianalisis meliputi indeks industri dan indeks ekonomi. Untuk indeks industri data yang digunakan adalah IHSG (Indeks Harga Saham Gabungan), sedangkan untuk indeks ekonomi data yang digunakan adalah kurs nilai tukar Rupiah terhadap Euro, US Dollar, dan Yen. Data harga saham dan data indeks yang digunakan adalah data dalam periode Januari 2005 s.d. Desember 2009 yang diperoleh melalui akses internet. Untuk menyelidiki nilai mean dan variansinya, data return indeks dianalisis menggunakan model time series. Melalui observasi terhadap sejumlah model, akhirnya berdasarkan uji diagnostik menggunakan Eviews 5 diperoleh hasil bahwa model yang cukup baik adalah AR(1)-GARCH(1,1) untuk data IHSG, AR(1)-GARCH(1,2) untuk data kurs nilai tukar Rupiah terhadap Euro, AR(1)-GARCH(2,1) untuk data kurs nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar, dan AR(1)-GARCH(2,1) untuk data kurs nilai tukar Rupiah terhadap Yen. Untuk return IHSG diperoleh parameter model AR(1)-GARCH(1,1) yaitu: rt = 0 .1 1 1 3 4 1 rt − 1 + a t

σ t2 = 0 .0 0 0 0 0 8 6 6 + 0 .1 3 7 0 2 1 a t2− 1 + 0 .8 3 4 5 2 8σ t2−1 + ε t

Untuk return kurs nilai tukar Rupiah terhadap Euro, diperoleh parameter model AR(1)GARCH(1,2) yaitu: rt = − 0 .0 7 0 7 7 2 rt − 1 + a t

σ t2 = 0 .0 0 0 0 0 0 8 5 3 + 0 .1 4 0 8 1 1 a t2− 1 + 0 .3 0 0 6 4 1σ t2− 1 + 0 .5 6 3 6 6 6 σ t2− 2 + ε t

Untuk return kurs nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar, diperoleh parameter model AR(1)GARCH(2,1) yaitu: rt = 0 .0 7 8 6 8 1 rt − 1 + a t

σ t2 = 0 .0 0 0 0 0 8 3 7 + 0 .3 8 6 9 1 2 a t2− 1 + 0 .4 7 8 5 7 7 a t2− 2 + 0 .3 7 2 5 1 6 σ t2− 1 + ε t

Sementara untuk return kurs nilai tukar Rupiah terhadap Yen, juga diperoleh parameter model AR(1)-GARCH(2,1) yaitu: rt = − 0 .0 9 4 1 0 7 rt − 1 + a t

σ t2 = 0 .0 0 0 0 0 0 4 6 7 + 0 .2 8 0 9 1 1 a t2− 1 − 0 .2 3 4 8 3 6 a t2− 2 + 0 .9 5 1 8 6 5 σ t2− 1 + ε t

Adapun hasil forecasting 1 langkah ke depan dari model mean dan variansi return indeks disajikan dalam Tabel 1 berikut ini Tabel 1 Peramalan Mean dan Variansi pada Return Keempat Indeks Indeks IHSG Kurs Rupiah terhadap Euro Kurs Rupiah terhadap USD Kurs Rupiah terhadap Yen

Mean 0,000677 -0,0000608 -0,000262 0,000578

Variansi 0,000172 0,0000238 0,0000223 0,0000639

Data return pada keempat saham diregresikan terhadap return indeks untuk mengetahui nilai koefisien beta yang merupakan tingkat sensitivitas perubahan return saham terhadap return indeks. Hasilnya diberikan pada Tabel 2 berikut ini Tabel 2 Model Regresi pada Data Return Keempat Saham Saham Astra BRI

Model Regresi R At = − 0, 000091 + 1, 34 I It − 0, 361I Et + 0, 400 I Ut − 0, 0507 I Yt + ε At (0,887) (0, 000) (0, 000)

(0, 002)

(0, 601)

RBt = −0,000165 + 1, 28I It − 0,0988I Et − 0,033IUt − 0,104IYt + ε Bt (0,797) (0,000) (0, 284)

(0,796)

(0, 282)

R2

F

50,7 % 49,8 %

304, 8 294, 6

pvalue 0,000 0,000

71


Telko m Mandi ri

RLt = −0, 000279 + 0,936 I It − 0, 200 I Et − 0,149 IUt − 0, 0260 IYt + ε Lt (0,575) (0, 000)

(0, 005)

(0,135)

(0, 729)

R Mt = − 0, 000352 + 1, 38 I It − 0,180 I Et − 0, 075 I Ut + 0,101I Yt + ε Mt (0, 564) (0, 000) (0, 040)

(0, 541)

(0, 276)

45,8 % 54,9 %

250, 9 361, 5

0,000 0,000

Adapun nilai yang berada di bawah penduga pada persamaan regresi linier berganda merupakan nilai probabilitas tobservasi sebagai ukuran tingkat ketelitian untuk pengujian hipotesis. Untuk menguji signifikansi model regresi dan parameternya, digunakan uji F dan uji t. Dari hasil forecasting 1 langkah ke depan untuk nilai mean return indeks, maka selanjutnya dapat diperoleh mean return setiap saham dengan menggunakan formula µit . Hasilnya penaksirannya diberikan ke dalam bentuk vektor T µ = ( 0, 000825 0, 000864 0, 000634 0, 000947 ) . Berdasarkan hasil penaksiran variansi return indeks dan koefisien beta, selanjutnya diestimasi nilai variansi return saham dan kovariansi return antar saham dengan menggunakan formula σ it2 dan σ ijt . Hasilnya diberikan dalam bentuk matriks kovariansi, dan invers dari matriks kovariansi adalah sebagai berikut:

Persoalan optimisasi dikembangkan berdasarkan (18) dengan menggunakan pengali Lagrange dan teorema Kuhn-Tucker. Lalu disesuaikan dengan jumlah saham yang dianalisis, definisikan eT = (1 1 1 1) sebagai vektor identitas. Dengan menggunakan tingkat signifikansi 5%, diperoleh hasil sebagai berikut: Ø Untuk toleransi risiko τ = 0 , menggunakan persamaan (20) diperoleh vektor bobot portofolio yang menghasilkan VaR minimum, yaitu µ T = ( 0,1 50 2 0,1 794 0, 51 60 0,15 44 ) . Komposisi portofolio ini memberikan expected return sebesar 0,000758 dengan tingkat VaR sebesar 0,02932046. Ø Untuk toleransi risiko τ = 1 , menggunakan persamaan (21) diperoleh vektor bobot portofolio µ T = ( 0,1511 0,1823 0, 5050 0,1616 ) . Komposisi portofolio ini memberikan expected return sebesar 0,000761 dengan tingkat VaR sebesar 0,02932118. Ø Untuk toleransi risiko τ = 2 , menggunakan persamaan (21) diperoleh vektor bobot portofolio µ T = ( 0 ,1 5 2 1 0 ,1 8 5 1 0 , 4 9 4 1 0 ,1 6 8 7 ) . Komposisi portofolio ini memberikan expected return sebesar 0,000764 dengan tingkat VaR sebesar 0,02933219. Pada prinsipnya besar toleransi risiko masih dapat terus ditingkatkan, dengan syarat bobot portofolio yang dihasilkan bernilai 0 < wi < 1 . Dalam kasus ini nilai maksimum toleransi risiko adalah τ = 39, 20 , di mana dihasilkan komposisi portofolio dengan expected return portofolio tertinggi yaitu sebesar 0,0008969 dengan VaR sebesar 0,03525298. Setiap peningkatan nilai toleransi risiko akan menyebabkan kenaikan nilai mean return portofolio yang juga disertai dengan kenaikan Value at Risk portofolio.

72


Gambar 1 Efficient Frontier Portofolio Setelah diperoleh portofolio-portofolio efisien, selanjutnya berdasarkan komposisi portofolio efisien yang menghasilkan mean return dan Value at Risk portofolio dengan rasio terbesar, diperoleh portofolio optimal. Adapun komposisi portofolio yang memuat rasio expected return dan VaR terbesar dapat dilihat dalam Tabel 3 berikut ini: Tabel 3 Komposisi Portofolio Optimal

τ 17,00 17,50 18,00 18,65 19,00 19,50 20,00

Bobot 0,16688 0,16740 0,16793 0,16862 0,16899 0,16953 0,17006

0,22928 0,23084 0,23241 0,23447 0,23559 0,23719 0,23880

0,32422 0,31822 0,31217 0,30426 0,29997 0,29382 0,28763

µw

0,27962 0,28354 0,28749 0,29265 0,29545 0,29946 0,30351

0,00080978 0,00081140 0,00081302 0,00081514 0,00081630 0,00081795 0,00081961

VaRw

µ

w

VaRw

0,03020969 0,0268053 0,03026540 0,0268093 0,03032304 0,0268119 0,03040093 0,0268132* 0,03044428 0,0268128 0,03050793 0,0268111 0,03057365 0,0268078

Dengan demikian didapatkan hasil bahwa portofolio optimal ialah portofolio yang memberikan expected return 0,0008151 dengan tingkat VaR sebesar 0,030401. 4. KESIMPULAN Return keempat saham yang telah dianalisis memberikan respon terhadap perubahan return indeks. Model time series untuk memodelkan mean dan volatilitas return indeks adalah AR(1)-GARCH(1,1) untuk IHSG, model AR(1)-GARCH(1,2) untuk return kurs nilai tukar Rupiah terhadap Euro, model AR(1)-GARCH(2,1) untuk return kurs nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar dan model AR(1)-GARCH(2,1) untuk return kurs nilai tukar Rupiah terhadap Yen. Hasil optimisasi portofolio berdasarkan mean-Value at Risk menunjukkan bahwa setiap peningkatan toleransi risiko menyebabkan kenaikan nilai expected return portofolio yang juga disertai dengan kenaikan tingkat Value at Risk portofolio. Berdasarkan komposisi portofolio efisien yang menghasilkan mean return dan Value at Risk portofolio dengan rasio terbesar, diperoleh portofolio optimal yaitu portofolio yang memberikan expected return senilai 0,0008151 dengan tingkat Value at Risk sebesar 0,030401.

73


5. DAFTAR PUSTAKA Fabozzi Frank J. 2000. Manajemen Investasi Edisi Pertama. Jakarta : Salemba. Ghozali, I. 2007. Manajemen Risiko Perbankan. Semarang. Halim, A. 2005. Analisis Investasi. Jakarta : Penerbit Salemba Empat (PT Salemba Empat Patria). Panjer, H.H., Boyle, D.D., Cox, S.H., Dufresene, D., Gerber, H.U., Mueller, H.H., Pedersen, H.W., & Pliska, S.R. 1998. Financial Economics. With Application to Investments, Insurance and Pensions, the Actuarial Foundation, Schaumberg, Illinois. Redhead, Keith. 1997. Financial Derivatives: An Introduction to Future, Forwards, Options and Swaps. Prentice Hall Europe. Yuliati, Sri Handaru, Prasetyo, Handoyo & Tjiptono Fandy. 1996. Manajemen Portofolio dan Analisis Investasi. Yogyakarta: Penerbit ANDI.

74

(A.7) OPTIMISASI PORTOFOLIO BERDASARKAN MEAN-VALUE AT RISK DI BAWAH MODEL INDEKS BERGANDA DENGAN VOLATILITAS TAK KONSTAN

Recommend Documents