A törvények törvénye": a szimmetria

LÖWY DÁNIEL

A „törvények törvénye": a szimmetria V a n - e összefüggés B a r t ó k zenéje, a f e n y ő t o b o z szerkezete és D e s c a r t e s logar i t m u s o s c s i g a v o n a l a között, a vegyi a n a l í z i s e r e d m é n y é n e k m e g i s m é t e l h e t ő s é g e és az i n t e l l i g e n c i á n a k a n é p e s s é g b e n való elosztása között; közös e r e d e t r e v e z e t h e t ő k - e vissza a f i z i k á b a n i s m e r t m e g m a r a d á s i t ö r v é n y e k ; c á f o l j á k - e a g y e n g e kölcsönhatásokkal kapcsolatos legújabb ismereteink Platónnak a világ h a r m o n i k u s felépítésébe vetett hitét? A fenti kérdésekre mind a szimmetria különböző formáinak tanulmányozása s o r á n k a p u n k választ. Mit értünk szimmetrián? Mi, ókori

görögök:

arányok

harmóniáját,

jól

m é r e t e z e t t s é g e t , kiegyensúlyozottságot;

én, Vitruvius: az egész a l k o t ó r é s z e i n e k a r á n y á b ó l s z á r m a z ó egységbe illeszkedését; én, Arisztotelész: középarányt, a nikomakhoszi „arany középutat", amely — m i n t a k é t véglettől egyenlő t á v o l s á g r a levő k e d é l y á l l a p o t — a z e r é n y e s e k célkitűzése; én, Albrecht Dürer: az e m b e r i t e s t a r á n y a i n a k sorozatát; én, Leibniz: a s z i m m e t r i á t a u t o m o r f t r a n s z f o r m á c i ó k k a l h o z o m összefüggésbe, a m e l y e k az i d o m o t o l y a n a l a k z a t b a viszik át, „ m e l y n e m m e g k ü l ö n b ö z t e t h e t ő a z előzőtől, h a m i n d k é t á b r á t k ü l ö n t e k i n t j ü k " ; mi, a XX. század matematikusai: s z i m m e t r i á n egy e l e m k o n f i g u r á c i ó (a f e n t i m ó d o n é r t e l m e z e t t ) automorf t r a n s z f o r m á c i ó k c s o p o r t j á v a l s z e m b e n i i n v a r i a n c i á ját értjük; én, Lukács György: a m ű a l k o t á s részeit e g y m á s r a v o n a t k o z t a t ó s z i m m e t r i á t a r i t m u s s a l és a r á n n y a l e g y ü t t a v a l ó s á g esztétikai v i s s z a t ü k r ö z é s é n e k elvont f o r m á i közé sorolom; én, Hermann Weyl, s v á j c i születésű m a t e m a t i k u s , a p r i n c e t o n i e g y e t e m t a n á r a , a Szimmetria c í m ű k ö n y v szerzője: állítom, hogy f ü g g e t l e n ü l attól, m e n y n y i r e á l t a l á n o s a n v a g y l e s z ű k í t v e h a t á r o z z u k meg, a s z i m m e t r i a olyan á t f o g ó g o n dolat, a m e l y á l t a l az e m b e r é v s z á z a d o k s o r á n r e n d e t , szépséget és t ö k é l y t k í v á n t teremteni. V i z s g á l j u k meg, h o g y a n lehet s z i m m e t r i a r é v é n j e l e n s é g e k e t átfogni, r e n d szerezni. A s z i m m e t r i a k é r d é s é n e k h á r o m v o n a t k o z á s a v a n : m a t e m a t i k a i , s z e m a n tikai és k u l t ú r t ö r t é n e t i . Ezek közül fogok n é h á n y é r d e k e s e b b kérdéscsoportot érinteni. A szimmetriaelvek meghatározzák az alapvető történéseket H o g y a n ? A m e g m a r a d á s i elvek r é v é n , a m e l y e k v i l á g u n k a l a p v e t ő t ö r t é n é s e i t k o r m á n y o z z á k : a m i a m e g m a r a d á s i t ö r v é n y e k k e r e t e i n b e l ü l m e g t ö r t é n h e t — az m e g is t ö r t é n i k . A m e g m a r a d á s i t ö r v é n y e k a n n a k k ö v e t k e z m é n y e i , hogy a t e r m é szet t ö r v é n y e i i n v a r i a n c i á t m u t a t n a k a s z i m m e t r i a m ű v e l e t e k k e l s z e m b e n . E m m y N o e t h e r 1918-ban m e g f o g a l m a z t a a tételt, a m e l y s z e r i n t m i n d e n s z i m m e t r i a t u l a j d o n s á g egy-egy m e g m a r a d á s i t é t e l h e z vezet. P é l d á u l : 1. A t e r m é s z e t t ö r v é n y e k i n v a r i á n s a k a k o o r d i n á t a r e n d s z e r párhuzamos eltolásával szemben. Ez a z i n v a r i a n c i a az i m p u l z u s m e g m a r a d á s t ö r v é n y é t a d j a . A p á r h u z a m o s eltolás s z i m m e t r i a m ű v e l e t , m e r t a j e l e n s é g r e a l k a l m a z v a o l y a n j e l e n séget e r e d m é n y e z , a m e l y az e r e d e t i t ő l n e m m e g k ü l ö n b ö z t e t h e t ő . E m a t e m a t i k a i m ű v e l e t fizikai t a r t a l m a , hogy a t é r b e n n e m létezik k i t ü n t e t e t t p o n t , a jelenségek u g y a n í g y f o l y n a k le egyik helyen, m i n t a m á s i k o n . Az i m p u l z u s m e g m a r a d á s t ö r v é n y e t e h á t a tér h o m o g é n v o l t á n a k k ö v e t k e z ménye. 2. A t e r m é s z e t t ö r v é n y e k i n v a r i á n s a k a koordinátarendszer elforgatásával s z e m b e n . A m e g m a r a d ó m e n n y i s é g az i m p u l z u s n y o m a t é k (vagy p e r d ü l e t ) . A t ö r -

vény a t é r i z o t r ó p i á j á n a k k ö v e t k e z m é n y e : n e m létezik egyetlen k i t ü n t e t e t t irány, amelyhez a jelenségek l e f o l y á s á t v o n a t k o z t a t n i kellene. 3. A t e r m é s z e t t ö r v é n y e k időeltolással s z e m b e n i i n v a r i a n c i á j á b ó l az e n e r g i a m e g m a r a d á s t ö r v é n y e következik. Az i n v a r i a n c i a az idő h o m o g é n v o l t á r a vezeth e t ő vissza. A klasszikus f i z i k a e h á r o m m e g m a r a d á s i tétele i s m e r t volt, m é g mielőtt H a m e l f e l i s m e r t e v o l n a k a p c s o l a t u k a t a t é r és idő a l a p v e t ő s z i m m e t r i á j á v a l . N e w ton p é l d á u l úgy f o g a l m a z t a egyenleteit, hogy azok m i n d e n t é r b e l i p o n t o t és m i n den t é r i r á n y t e g y e n é r t é k ű n e k h a g y n a k meg, v a g y i s egyenletei i n v a r i á n s a k a z eltolásokkal és e l f o r g a t á s o k k a l s z e m b e n . Az i n v a r i a n c i a - m e g f o n t o l á s o k a t a z o n b a n a k o r a b e l i fizikusok m a g á t ó l é r t e t ő d ő n e k t a r t o t t á k . A z e g y e n l e t e k i n v a r i a n c i á j á n a k jelentőségét Einstein r e l a t i v i t á s e l m é l e t e h a n g s ú l y o z t a ki, a m e l y m e g f o g a l m a z t a a t é r s z i m m e t r i á j á r a , a t é r i r á n y o k és a k ü l ö n böző p o n t o k e g y e n é r t é k ű s é g é r e v o n a t k o z ó k ö v e t e l m é n y e k e t . Az á l t a l á n o s r e l a t i v i t á s e l m é l e t a l a p j a , hogy u g y a n a z a tér, v a g y i s u g y a n a z az e s e m é n y s o r o z a t l e í r h a t ó m i n d a z o n k o o r d i n á t a r e n d s z e r e k k e l , a m e l y e k e g y m á s b a t r a n s z f o r m á l h a t ó k . (Az e l m é l e t egyik l e g f o n t o s a b b k ö v e t k e z m é n y e , hogy m i n d e n összefüggés m e g k a p h a t ó speciálisan választott k o o r d i n á t a r e n d s z e r e k segítségével. P é l d á u l az i m p u l z u s m e g m a r a d á s tétele a c e n t r á l i s m o z g á s speciális e s e t é b e n K e p ler egyik t ö r v é n y é t a d j a . ) Az i n v a r i a n c i a e l v e k s z e r e p e m e g n ő a k v a n t u m m e c h a n i k á b a n , a h o l a szimm e t r i a m é g a k k o r is jelentős, a m i k o r á t h á g j á k : a kis s z i m m e t r i a s é r t é s e k : perturbációk l e í r á s a é r t é k e s i n f o r m á c i ó t ad (pl. a Z e e m a n - e f f e k t u s esetében). Az e l m o n d o t t a k a l a p j á n úgy t ű n h e t : a v a l ó v i l á g m e g i s m e r é s é h e z elegendő a dolgok s z i m m e t r i á j á t vizsgálni. Hiszen a s z i m m e t r i a e l v e k s z a b j á k m e g a l e h e t séges t ö r t é n é s e k k e r e t e i t . „Világunkról, az azt k o r m á n y o z ó t ö r v é n y s z e r ű s é g e k r ő l így egy egyszerű [...], n y u g t a l a n í t ó a n egyszerű k é p a l a k u l t ki" — í r j a S i m o n y i K á r o l y A fizika kultúrtörténetében, és hozzáteszi: „A t e r m é s z e t gondoskodott arról, hogy a fizikusok n e é l j e n e k sokáig a n y u g t a l a n í t ó egyszerűség e m e h i t é b e n . " Mi is t ö r t é n t ? E g y i k m e g b í z h a t ó s z i m m e t r i á n k r ó l , a t é r t ü k r ö z é s r ő l k i d e r ü l t , hogy n e m v a l ó d i s z i m m e t r i a . S z á z a d u n k h a t o d i k évtizedéig a t e r m é s z e t e t a l a p v e t ő e n t ü k ö r s z i m m e t r i k u s n a k h i t t ü k . És m e g v o l t r á a z o k u n k ! M i n d e n á l t a l u n k i s m e r t e s e m é n y t ü k ö r k é p e is ö s s z h a n g b a n állt a t e r m é s z e t t ö r v é n y e i v e l . Ügy v é l t ü k : e g y e d ü l az élő szervezet r e n d e l k e z i k azzal a kiváltsággal, hogy a s z i m m e t r i á t t e r e m t s e n . I s m e r t t é n y ugyanis, h o g y az élő s z e r v e z e t e k az optik a i l a g a k t í v v e g y ü l e t e k n e k c s a k j o b b r a f o r g a t ó (dextrogir) i z o m é r j e i t t u d j á k szintetizálni. A m i k o r a b o r k ő s a v a t m e s t e r s é g e s e n is s i k e r ü l t előállítani, azt t a p a s z t a l t á k , hogy n e m r e n d e l k e z i k optikai a k t i v i t á s s a l . A jelenség m a g y a r á z a t a , hogy a s z e r v e t l e n v i l á g n e m tesz k ü l ö n b s é g e t j o b b és b a l között, t e h á t a b o r k ő s a v j o b b r a és b a l r a f o r g a t ó i z o m e r j é b ő l e g y e n é r t é k ű m e n n y i s é g k e l e t k e z e t t (ún. r a c é m módosulat). Ezt igazolta ötletes kísérletével Louis P a s t e u r , aki s z i n t e t i k u s b o r k ő s a v a t t a r t a l m a z ó t á p t a l a j o n n ö v e l t m i k r o b á k a t , s m i n t h o g y az élő szervezetek c s a k a j o b b r a f o r g a t ó i z o m e r t t u d t á k f e l h a s z n á l n i , s i k e r ü l t k i m u t a t n i a a r a c é m b ő l viszs z a m a r a d ó rész n ö v e k v ő b a l r a f o r g a t ó h a t á s á t . Mikor a t e r m é s z e t b e n v a l a m i m i n d i g v á l t o z a t l a n m a r a d , ezt a z i n v a r i a n c i á t a fizikusok egy m e g m a r a d á s i t ö r v é n n y e l f e j e z i k ki. A t e r m é s z e t a l a p v e t ő t ü k ö r szimmetriája a paritásmegmaradás törvényében jut kifejezésre. A paritás f o g a l m á t m a t e m a t i k u s o k vezették b e a p á r o s s z á m o k n a k a p á r a t l a n o k t ó l v a l ó m e g k ü l ö n b ö z t e t é s é r e . H a k é t s z á m páros, vagy m i n d k e t t ő p á r a t l a n , p a r i t á s u k azonos; h a a z egyik páros, a m á s i k p á r a t l a n , p a r i t á s u k k ü l ö n b ö z ő . A p a r i t á s f o g a l m a k i t e r j e s z t h e t ő a h á r o m d i m e n z i ó s t é r b e n f o r g ó m o z g á s t végző rendszerekre. Minden szimmetrikus rendszer változatlan marad a háromdimenziós t é r b e n , h a b á r m e l y k o o r d i n á t á j á n a k előjelét m e g v á l t o z t a t j u k . Az ilyen r e n d s z e r e k e t p á r o s p a r i t á s ú a k n a k nevezzük, s z e m b e n a p á r a t l a n p a r i t á s ú a s z i m m e t r i k u s r e n d s z e r e k k e l , m e l y e k egyetlen k o o r d i n á t á j u k e l ő j e l v á l t o z á s a esetén t ü k ö r k é p ü k k é alakulnak. H a s o n l ó a n é r t e l m e z t é k a z u g y a n c s a k t é r b e l i k o o r d i n á t á k t ó l f ü g g ő — a z elemi részecskék viselkedését leíró — h u l l á m f ü g g v é n y e k p a r i t á s á t . M i n d e n k í s é r l e t a r r a m u t a t o t t , hogy a p a r i t á s m e g m a r a d b á r m e l y izolált r e n d s z e r b e n . 1927-ben W i g n e r J e n ő m u t a t o t t r á a r r a , hogy a p a r i t á s a t o m i szinten való m e g m a r a d á s a a n n a k k ö v e t k e z m é n y e , hogy a részecskék közötti k ö l c s ö n h a t á s o k b a n é r d e k e l t e r ő k n é l n e m lehetségesek j o b b — b a l „kereszteződések", vagyis a paritás megsértése a természet törvényeinek alapvető tükörszimmetriáját sértené meg.

M i n d e z e k u t á n é r t h e t ő , m e n n y i r e m e g d ö b b e n t e k a fizikusok, a m i k o r k i d e r ü l t , hogy a B - b o m l á s n a k n e v e z e t t jelenségnél, speciális k ö r ü l m é n y e k között, a kibocsátott e l e k t r o n o k n e m azonos gyakorisággal i n d u l n a k a m á g n e s e s t é r m i n d k é t i r á n y á b a , a h o g y a n ezt a t ü k r ö z é s i s z i m m e t r i a és a p a r i t á s m e g m a r a d á s t ö r v é n y e m e g k ö v e t e l n é ; a m á g n e s e s t é r északi pólusa f e l é 40 s z á z a l é k k a l t ö b b e l e k t r o n i n dul. E f e l f e d e z e t t a s z i m m e t r i k u s j e l e n s é g a r r a utal, h o g y a s z e r v e t l e n t e r m é s z e t is „ k ü l ö n b s é g e t t u d t e n n i " j o b b és bal között. A t ü k r ö z é s t e h á t , a m e l y igen szigorúan érvényes szimmetria olyan folyamatoknál, amelyekben n e m h a t a B-boml á s é r t felelős k ö l c s ö n h a t á s , n e m igazán p o n t o s s z i m m e t r i a . Ebből az k ö v e t k e z n é k , h o g y le kell m o n d a n u n k a s z i m m e t r i á b a v e t e t t h i t ü n k r ő l ? N e m , m e r t t á g a b b k e r e t b e n h e l y r e á l l a t e r m é s z e t s z i m m e t r i á j a . Az a n t i részecske, a n t i e l e k t r o n (pozitron) b o m l á s a u g y a n i s é p p e l l e n k e z ő i r á n y b a n , vagyis a déli p ó l u s f e l é f o g n a g y o b b g y a k o r i s á g o t m u t a t n i . Az a n t i r é s z e c s k é t t ö l t é s k o n j u gációnak n e v e z e t t s z i m m e t r i a m ű v e l e t t e l r e n d e l h e t j ü k a részecskéhez. A t é r t ü k r ö zés és t ö l t é s k o n j u g á c i ó e g y ü t t e s m ű v e l e t é v e l s z e m b e n helyreáll a természet jelenségeinek szimmetriája. ( P o n t o s a b b a n : a t é r t ü k r ö z é s és t ö l t é s k o n j u g á c i ó m e l l e t t a z időt is t ü k r ö z n i kell.) A t e r m é s z e t j e l e n s é g e i n e k s z i m m e t r i á j á t t e l j e s s é teszi az u g y a n c s a k s z i m m e t r i k u s n o r m á l - v a g y Gauss-eloszlás, m e l y a t e r m é s z e t e s f o l y a m a t o k jellemzője. N o r m á l eloszláson a f o l y a m a t r a j e l l e m z ő m e n n y i s é g (jel) k ö z é p é r t é k k ö r ü l i s z i m m e t r i k u s eloszlását é r t j ü k . A n o r m á l eloszlást e x p o n e n c i á l i s f ü g g v é n y í r j a le, m e l y e t á b r á z o l v a h a r a n g alakú görbét kapunk. A vizsgált jel l e h e t : vegyelemzés eredménye, a t ö b b s z ö r m e g i s m é t e l t analízis e r e d m é n y e i (x) a k ö z é p é r t é k ü k k ö r ü l (x—) G a u s s t í p u s ú szórást m u t a t n a k (1. ábra). Az intelligencia-hányados Az é r t e l m i szint — vagy a h o g y a n a s z a k i r o d a l o m b a n n e v e z i k : intelligencia — a személyiség egyik f ő összetevője, a t e m p e r a m e n t u m m a l és k a r a k t e r r e l együtt. Az egyén é r t e l m i s z i n t j é t az e l s a j á t í t o t t i s m e r e t e k m e n n y i s é g e , a z o k n a k az e m l é k e z e t b e n t ö r t é n ő m e g ő r z é s e és h a t é k o n y f e l h a s z n á l á s a a d j a . Az intelligencia m a m á r t e s z t e k k e l m é r h e t ő (olyan időigényes és k ö r ü l t e k i n t ő e n végzett t e s z t e k r e gondolunk, m i n t p é l d á u l a Wechsler-teszt), s s z á m s z e r ű e n is k i f e j e z h e t ő az i n t e l l i g e n c i a h á n y a d o s (I. Q.) f o r m á j á b a n . E n n e k á t l a g é r t é k e 100; az e m b e r e k k b . k é t h a r m a d á n a k i n t e l l i g e n c i á j a 85 és 115 között mozog (2. ábra). S a j n o s , az 55 I. Q. a l a t t i t a r t o m á n y b a n a g y a k o r l a t i e l ő f o r d u l á s f e l ü l m ú l j a az e l m é l e t i l e g v á r t é r t é k e t . U g y a n c s a k Gauss-eloszlást m u t a t a z inkompetencia foka. Mivel a hozzá n e m értést az emberi tevékenység minden területén egyaránt tapasztalták, Laurence P e t e r a m e r i k a i t u d ó s és R a y m o n d H u l l ú j s á g í r ó a r r a a k ö v e t k e z t e t é s r e j u t o t t a k , hogy az i n k o m p e t e n c i a n e m v é l e t l e n s z e r ű , h a n e m szükségszerű jelenség, a k ü l ö n böző t e v é k e n y s é g i t e r ü l e t e k (termelés, k e r e s k e d e l e m , oktatás, k a t o n a s á g , egyház stb.) h i e r a r c h i k u s f e l é p í t é s é v e l f ü g g össze. Így s z ü l e t e t t m e g egy ú j „ t á r s a d a l o m t u d o m á n y " , a h i e r a r c h o l ó g i a , m e l y n e k a l a p t é t e l e a z ú n . Peter-princípium: „Egy h i e r a r c h i k u s r e n d s z e r b e n m i n d e n a l k a l mazott saját inkompetencia-fokának elérésére törekedik", vagyis addig halad a h i e r a r c h i k u s l é t r á n felfelé, m í g o l y a n pozícióba j u t , a h o l m á r k é p t e l e n h o z z á é r t ő h a t á r o z a t o k a t hozni. O n n a n n e m l é p t o v á b b . O t t m e g r e k e d . Egy k i a l a k u l t é r t é k r e n d b e n vizsgálva a z a l k a l m a z o t t a k s z a k é r t e l m é t , k i d e r ü l , hogy a k o m p e t e n c i a is s z i m m e t r i k u s eloszlást m u t a t : l e g n a g y o b b s z á m b a n a m é r s é k e l t e n k o m p e t e n s s z a k e m b e r e k e t t a l á l j u k (3. ábra). A n o r m á l eloszlás a r r a utal, hogy t e r m é s z e t e s f o l y a m a t t a l á l l u n k szemben. E l h a n y a g o l h a t ó a n kicsi a s z u p e r i n k o m p e t e n s e k és a h i e r a r c h i á t l e g a l á b b a n n y i r a b á n t ó s z u p r a k o m p e t e n s e k h á n y a d a . Utóbbi k é t k a t e g ó r i á v a l s z e m b e n f e l l é p n e k a h i e r a r c h i k u s „szervezet" i n t o l e r a n c i a - t ü n e t e i , m í g n e m k i v e t i őket m a g á b ó l . F e l m e r ü l h e t a k é r d é s : szabad-e a szimmetria szerepét túlhangsúlyozni? Nem. E z m ó d s z e r t a n i l a g n e m helyes. A t e r m é s z e t a s z i m m e t r i a és a s z i m m e t r i a d i a l e k t i k u s egységét jeleníti meg. Az é l e t t e l e n világot k o r m á n y z ó t ö r v é n y s z e r ű s é g e k csak speciális e s e t e k b e n m u t a t n a k a s z i m m e t r i á t , a n n á l g y a k o r i b b v i s z o n t az a s z i m m e t r i a a z é l ő v i l á g b a n . Az élő szervezetek m á s i k j e l l e m z ő j e az i r r a c i o n á l i s s z á m é r t é k ű g e o m e t r i a i a r á n y o k megjelenése, a s z e r v e t l e n v i l á g a r i t m e t i k a i a r á n y a i v a l szemben. Az élőlények a s z i m m e t r i á j a csak a f i l o g e n e t i k u s f e j l ő d é s m a g a s a b b f o k á n jelentkezik.

A t e n g e r e k és óceánok v i z é b e n s z u s z p e n d á l t élőlények ( m e l y e k r e s e m m i l y e n k ü l s ő a l a k í t ó t é r n e m h a t ) gömbszimmetrikusak, mert a természet törvényeinek i n h e r e n s s z i m m e t r i á j á t csak a z a n y a g r é s z l e t helyzete korlátozza, m e l y körül g ö m b a l a k o t vesz fel. Az óceán f e n e k é r e t a p a d ó v a g y n a g y o n l a s s a n mozgó é l ő l é n y e k r e a gravitációs erőtér, v a l a m i n t a víz h i d r o s z t a t i k a i n y o m á s a h a t : ezek hengerszimmetrikusak; s z i m m e t r i a t e n g e l y e k ö r ü l e l f o r g a t v a a lény f e d é s b e h o z h a t ó ö n m a g á v a l — t e h á t a gravitációs e r ő h i á n y a a s z i m m e t r i a m ű v e l e t e k h a l m a z á t lecsökkenti a s z i m m e t r i a k ö z é p p o n t k ö r ü l i összes rotációról egy t e n g e l y k ö r ü l i összes rotációra. ( P é l d á u l a t e n g e r i csillag egy ötszörös rotációs tengellyel r e n d e l k e z i k : az á l l a t k á t e t e n g e l y k ö r ü l 72°-kal e l f o r g a t v a , a z e r e d e t i v e l e g y e n é r t é k ű pozícióba visszük át; r e n d e l k e zik e z e n k í v ü l 5 függőleges t ü k r ö z é s i síkkal és 5 k e t t ő s forgástengellyel, v a l a m i n t egy vízszintes tükrözési síkkal.) V a l a m e l y i d o m h o z r e n d e l h e t ő s z i m m e t r i a m ű v e l e t e k (így a t e n g e r i csillaghoz r e n d e l h e t ő k is) m a t e m a t i k a i é r t e l e m b e n a l g e b r a i csoportot a l k o t n a k . E r r e először P o i n c a r é jött r á . E z e k r e a m ű v e l e t e k r e u g y a n i s é r v é n y e s e k az a l g e b r a i csoport a x i ó m á i : m i n d e n m ű v e l e t belső m ű v e l e t , é r t e l m e z e t t az asszociativitás, létezik s e m leges e l e m (az identitás), és m i n d e n e l e m n e k v a n i n v e r z eleme. A f a j f e j l ő d é s egyre m a g a s a b b f o k á n m i n d a l a c s o n y a b b s z i m m e t r i á k k a l t a l á l k o z u n k . A vízben, s z á r a z f ö l d ö n , levegőben a u t o n ó m m o z g á s r a k é p e s élőlényeknél, h a a h a l a d á s i sebesség elég nagy, m i n d t e s t ü k hátsó-elülső i r á n y ú (postero-anterioris) mozgása, m i n d a g r a v i t á c i ó a l a k í t ó l a g h a t (a közegellenállás f o r m a m ó d o s í t ó tényező). K i a l a k u l a hátsó-elülső tengely, m á r csak a j o b b és b a l közötti k ü l ö n b s é g tetszőleges. Ettől a f e j l ő d é s i f o k t ó l k e z d v e m á r n e m s z á m í t h a t u n k a b i l a t e r á l i s s z i m m e t r i á n á l m a g a s a b b s z i m m e t r i á r a . Az a l a c s o n y a b b s z i m m e t r i á t viszont a h e l y z e t v á l toztatás szükséglete z á r j a ki, m i v e l a k é t - n é g y v é g t a g g a l t ö r t é n ő e l m o z d u l á s f e l t é t l e n ü l e l ő n y ö s e b b a helikoidális mozgásnál. E z é r t is s z i g o r ú b b a n é r v é n y e s e k a s z i m m e t r i a t ö r v é n y e i v é g t a g j a i n k r a , m i n t belső s z e r v e i n k r e , ahol szerephez j u t az a s z i m m e t r i a is. Egyes feltételezések szerint belső szerveink a s z i m m e t r i á j a (jó p é l d a az a s z i m m e t r i k u s c s a v a r a l a k ú szív) a b é l c s a t o r n a f e l ü l e t n ö v e k e d é s i s z ü k ségletével v a n összefüggésben. E f e l ü l e t n ö v e k e d é s a r á n y t a l a n u l n a g y o b b a test növekedésénél, a bélcsatorna aszimmetrikus csavarodása aszimmetriához vezet: a b é l c s a t o r n a t ú l n ö v e k e d é s e a f i l o g e n e t i k u s f e j l ő d é s s o r á n a t á p c s ő a f f e r e n s szerv e i b e n is a s z i m m e t r i á k a t hozott létre. A h á t s ó - m e l l s ő tengely ú j k é r d é s e k e t v e t fel. F e l m e r ü l a j o b b — b a l m e g v á l a s z t á s á n a k , k ü l ö n b ö z ő s é g é n e k , egységének k é r dése, a m i egész g o n d o l k o d á s u n k r a r á n y o m t a bélyegét, s a filozófiai g o n d o l k o d á s és esztétika egyik s a r k a l a t o s p r o b l é m á j á v á vált. K a n t a j o b b o t és a b a l t f o g a l m i l a g n e m m e g k ü l ö n b ö z t e t h e t ő n e k , v i s z o n t s z e m léletileg m e g k ü l ö n b ö z t e t h e t ő n e k t a r t o t t a . Ezzel s z e m b e n L e i b n i z m á r k o r á b b a n r á m u t a t o t t a r r a , hogy t e l j e s e n m i n d e g y , I s t e n e l ő b b b a l kezet t e r e m t e t t - e v a g y p e d i g j o b b o t : a v i l á g sorsa csak a v i l á g t e r e m t é s a k t u s á n a k k ö v e t k e z ő s z a k a s z á b a n változott v o l n a meg, h a a m á r m e g l é v ő bal m e l l é n e m jobbot, h a n e m egy m á s i k balt teremt. É r d e k e s m e g e m l í t e n i a j o b b — b a l s z i m b o l i k u s j e l e n t é s é t ; ez a m i n d e n n a p i é l e t b e n a l a k u l t ki, és j e l e n t ő s é g t e l j e s e n t ü k r ö z ő d i k a m ű v é s z e t b e n . A jobb a jót, az erőset, az erényest, a hivőt jelenti, a j o b b v á l l mögött vigyáz az ő r a n g y a l ; a bal a rosszat, a gyengét, a v é t k e s t jelenti, a b a l v á l l mögött leselkedik az ördög. A j o b b — b a l f e n t i asszociációinak számos i n v e r z i ó j á v a l is t a l á l k o z u n k . M á g i k u s ö s s z e j ö v e t e l e k e n a j o b b oldali v é g t a g o k r e m e g é s é t rossz j e l n e k , a bal v é g tagokét jó j e l n e k t e k i n t i k . A f r a n c i a f o r r a d a l o m j a k o b i n i z m u s a óta a p o l i t i k á b a n a bal a h a l a d á s t , a j o b b a k o n z e r v a t i v i z m u s t jelenti. A m ű v é s z e t b e n a j o b b — b a l k é r d é s azért k e r ü l előtérbe ( m o n d j u k a f e n t — l e n t k é r d é s s e l s z e m b e n ) , m e r t a m ű v é s z i a l k o t á s o k b a n — a legrégibb időktől k e z d v e — s z i m m e t r i k u s r e n d e z é s e k esetén a f ü g g ő l e g e s tengely m e s s z e m e n ő e n t ú l s ú l y b a n v a n a vízszintes t e n g e l y h e z k é p e s t . Ez v a l ó s z í n ű l e g az e m b e r f ü g g ő l e g e s j á r á s á r a v e z e t h e t ő vissza. W ö l f f l i n k i m u t a t t a , hogy a művészi a l k o t á s o k b a n a j o b b oldal m á s h a n g u l a t i é r t é k ű , m i n t a b a l : a bal az érzelmi, a jobb az értelmi zóna. Ezzel k a p c s o l a t b a n h a d d idézzük L e n d v a i E r n ő t , aki B a r t ó k z e n é j é n e k s z t e r e o - p r o b l é m á i t e l e m e z v e k i m u t a t t a , hogy a Zene húros hangszerekre, ütőkre és celestára című m ű b e n „az felől l é p n e k elő, a »szellemi« t a r t a l m ú g o n d o l a t o k viszont jobb oldalról". El Greco Szent Péter és Szent Pál c í m ű k é p e (1614, E r m i t á z s ) k é t s o k r é t ű , de élesen e l l e n t é t e s j e l l e m e t á b r á z o l : a k é p bal o l d a l á r ó l a szomorú szemű, lágy,

elmosódónézésű P é t e r t e k i n t r á n k , h a j l o t t k e z é b e n f é l v e t a r t j a n e h é z kulcsait, lénye álmodozó, passzív, e l m é l k e d é s r e h a j l a m o s t e m p e r a m e n t u m o t sugall; P á l a kép jobb t e r é b e n t a l á l h a t ó : e n e r g i k u s és elszánt k ü l s e j ű , h o m l o k a a gondolkodók magas h o m l o k a , t e k i n t e t e a f a n a t i k u s o k égő t e k i n t e t e , keze s z i l á r d a n n y u g s z i k nyitott k ö n y v é n . M i n d k é t a l a k i n t e n z í v lelki életű. P é t e r és P á l El Greco általi m e g j e l e n í t é s e t e l j e s ö s s z h a n g b a n v a n k e t t e j ü k bibliai jellemzésével, m e l y e t R e n a n n y o m á n a k ö v e t k e z ő k b e n f o g l a l h a t u n k össze. P é t e r egyenes, nyílt és j ó i n d u l a t ú természet, cselekedeteit i n d u l a t o k vezérlik, Jézus i n t i m b i z a l m a s a i közé tartozott, s z e m b e n a t e l j e s e n h ű v ö s v é r m é r s é k l e t ű , , , p é l d á t l a n u l izzó a g y v e l e j ű " P á l l a l , aki J é z u s t s z e m é l y e s e n n e m i s m e r t e , K r i s z t u s a ,,képzeletének, a s a j á t f e l f o g á s á n a k K r i s z t u s a volt". Végső soron — á l l a p í t j a m e g R e n a n — „ P é t e r volt a k o n z e r v á l á s , P á l a f o r r a d a l o m " . N e m v é l e t l e n t e h á t , hogy EI Greco P é t e r t v á s z n á n a k b a l f e l é r e , a z érzelmi zónába, P á l t p e d i g a k é p j o b b terébe, az é r t e l m i z ó n á b a helyezte. E k é t t é r r é s z t s z e m ü n k k ü l ö n b ö z ő k é p p e n érzékeli. A k é p bal alsó s a r k á b ó l a j o b b felső s a r o k b a i r á n y u l ó átlót e m e l k e d ő n e k , a bal felső s a r o k b ó l a j o b b alsó s a r o k b a t a r t ó átlót e r e s z k e d ő n e k é r z é k e l j ü k . Weyl ezt az e u r ó p a i b a l r ó l j o b b r a olvasással hozza összefüggésbe. Ezt igazolta kísérletével D a v i d B. E i s e n d r a t h N e w York-i f é n y k é p é s z , aki ö t v e n j e l e n e t e t á b r á z o l ó f é n y k é p e t készített, m a j d m i n d e g y i k r ő l k é t m á s o l a t o t , amelyek közül egyik a m á s i k n a k t ü k ö r k é p e volt. E z u t á n k ü l ö n b ö z ő kísérleti alan y o k a t f e l k é r t e k , v á l a s s z á k ki a n e k i k j o b b a n tetsző k é p e k e t . A közelítőleg szimm e t r i k u s f e l v é t e l e k n é l a p r e f e r e n c i á k egyenlően oszlottak meg. Az erősen a s z i m m e t r i k u s á b r á k n á l viszont a m e g k é r d e z e t t e k 75 százaléka az e r e d e t i k é p e t részesitette e l ő n y b e n a t ü k ö r k é p p e l s z e m b e n . K i v é t e l t k é p e z t e k a csak h é b e r ü l — t e h á t e l l e n t é t e s i r á n y b a n — olvasó a l a n y o k , akik t ö b b n y i r e a t ü k ö r k é p e t v á l a s z t o t t á k . A j o b b — b a l s z i m m e t r i a m ű v é s z i t ü k r ö z ő d é s é v e l k a p c s o l a t b a n e m l í t s ü k meg, hogy az e m l é k m ű v e k e t és k ö z é p ü l e t e k e t létrehozó monumentális művészet messzem e n ő e n a f r o n t á l i s m e g j e l e n í t é s s e l és kétoldali s z i m m e t r i á v a l él. W ö l f f l i n p é l d á u l a n e m s z i m m e t r i k u s é p ü l e t e k e t c s u p á n „ v i d á m és festői h a t á s ú n a k " t e k i n t e t t e , csak a m a g á n h á z a k és v i d é k i h á z a k s z á m á r a t a r t o t t a l é t j o g o s u l t n a k . Az e m b e r i s é g k u l t ú r t ö r t é n e t é b e n , v a l a h á n y s z o r a z isteni f e n s é g e t , a m e g f e l l e b b e z h e t e t l e n örök igazságot v a g y s t a t u s q u ó t j e l e n í t e t t é k meg, az á b r á z o l á s m ó d f r o n t á l i s és s z i m m e t r i k u s volt ( r e n d s z e r i n t k é t o l d a l i a n s z i m m e t r i k u s ) , f ü g g e t l e n ü l attól, hogy az o b j e k t u m o k zsinagógák, görög t e m p l o m o k v a g y k e r e s z t é n y k a t e d r á l i s o k , p a r l a m e n t i v a g y t ö r v é n y s z é k i é p ü l e t e k . U g y a n c s a k f r o n t á l i s és kéto l d a l i a n s z i m m e t r i k u s az Úr m e g j e l e n í t é s e az i k o n f e s t é s z e t b e n . A j o b b — b a l k é r d é s e n t ú l m e n ő e n , a m ű v é s z e t b e n a s z i m m e t r i a m i n t az a r á n y o k h a r m ó n i á j a é r v é n y e s ü l . Ezek l e h e t n e k s z á m t a n i v a g y — az é l ő v i l á g b a n oly gyakori — m é r t a n i a r á n y o k . A s z i m m e t r i a lehet t é r b e l i v a g y időbeli. Utóbbi a l a p j a az a l k o t ó e l e m e k e g y f o r m a időbeli eloszlása. F o r m á i : a r i t m u s , ü t e m , v e r s m é r t é k (J. F. H e r b a r t ) . É r d e k e s p á r h u z a m o t v o n n i a z a r i t m e t i k a i és g e o m e t r i a i a r á n y o k k é p z ő m ű vészeti és zenei a l k a l m a z á s a i között. Míg a h e r a l d i k u s t ö k é l e t e s a r i t m e t i k a i s z i m m e t r i a az ókor a l k o n y á n h ó d í t teret, és az a l k o t ó k é p e s s é g — e k o r s z a k művészeti é l e t é b e n észlelhető — csökkenésével v a n összefüggésben, M o z a r t z e n é j é n e k két, négy ü t e m r e négy, n y o l c r a n y o l c ü t e m válaszol), a klasszikus k i e g y e n s ú l y o zottság, f o r m a i tökély csúcsa.

Mit nevezünk aranymetszésnek? Az a s z i m m e t r i k u s a r á n y o k között k i t ü n t e t e t t s z e r e p e t játszik az é l ő v i l á g b a n gyakran f e l l e l h e t ő egyik a r á n y , a m e l y e t L e o n a r d o d a Vinci n y o m á n „ a r a n y m e t s z é s " n é v e n i s m e r ü n k . A k é p z ő m ű v é s z e t e t a r e n e s z á n s z t ó l a k u b i s t á k i g b e f o l y á s o l t a , száz a d u n k e l e j é n p e d i g a z e n é b e is b e t ö r t : B a r t ó k és K o d á l y m ű v e i r é v é n . A r a n y m e t s z é s n e k , m a t e m a t i k a i m e g f o g a l m a z á s b a n , az a(\/5—1)/2 irracionális számot nevezzük, a m e l y n e m m á s , m i n t azon k é t s z a k a s z h o s s z á n a k m é r t a n i középarányosa, a m e l y e k e t egy szakasz jól m e g h a t á r o z o t t a r á n y b a n t ö r t é n ő felosztása s o r á n k a p u n k . É s p e d i g úgy, hogy a z e r e d e t i s z a k a s z ú g y a r á n y u l j o n a felosztás u t á n i h o s s z a b b i k szakaszhoz, m i n t a felosztás u t á n i h o s s z a b b s z a k a s z a r ö v i d e b b hez. A r a n y m e t s z é s b e n á l l n a k e g y m á s s a l a l o g a r i t m u s o s csigavonalból a csiga centr u m á n á t h a l a d ó b á r m e l y e g y e n e s á l t a l k i m e t s z e t t szakaszok. A l o g a r i t m u s o s spirális egyik fő t u l a j d o n s á g a (Bernoulli, 1692), hogy ö n m a g á h o z hasonló, vagyis szög- és a r á n y t a r t ó a n gyűrűzik, s ezáltal az élő szervezet n ö v e k e d é s é n e k m é r t a n i

ütem

kifejezése. (Mert m i n d e n szervezet úgy n ö v e k e d i k , hogy á l l a n d ó a n h a s o n l í t előző a l a k j á r a — p é l d á u l a csigák, k a g y l ó k h á z a , a z e m b e r c o m b c s o n t j a stb.) Az a r a n y m e t s z é s t v a g y „isteni a r á n y t " ( m á s k é p p : „a h a r m ó n i a k a p u j á t " ) m á r V i t r u v i u s m e g f o g a l m a z t a , és a r e n e s z á n s z f e d e z t e f e l ú j r a L u c a Pacioli bolognai szerzetes r é v é n , aki 1509-ben Az Isteni arány c í m e n é r t e k e z é s t í r t róla. A k ö z é p k o r festői az isteni a r á n y n a k m e g f e l e l ő e n s z e r k e s z t e t t é k és m é r e t e z t é k f e s t m é n y e i k e t . D ü r e r k i m u t a t t a a tökéletes e m b e r i test a l a k j á b a n , S t r a d i v a r i b e s z e r k e s z t e t t e hegedűibe. A k é p z ő m ű v é s z e k 1912-ben f e d e z t é k f e l ú j r a J a c q u e s Villon f e s t ő és g r a f i k u s r é v é n , aki L e o n a r d o illusztrációiból v e t t e á t Pacioli s z e r kesztését. Z e n é b e n az a r a n y m e t s z é s csak a X X . század h a r m a d i k é v t i z e d é b e n j e l e n t m e g : először B a r t ó k , m a j d K o d á l y m ű v e i b e n m u t a t t a ki L e n d v a i Ernő. E szerkesztés a l k a l m a z á s á n a k egyik legszebb p é l d á j a a Zene húros hangszerekre, ütőkre és celestára I. t é t e l é n e k p i r a m i s f ú g á j a , a m e l y ú g y v a n f e l é p í t v e , hogy az ü t e m p e r i ó d u s o k hossza a r a n y m e t s z é s b e n á l l egymással. T ö b b t e r m é s z e t i j e l e n s é g n é l f i g y e l h e t ő m e g u g y a n e z a m a t e m a t i k a i szervezési f o r m a . A k ü l ö n b ö z ő t o b o z f a j t á k o n a s p i r á l v o n a l a k egész r e n d s z e r e k ö v e t h e t ő . V a n n a k o l y a n t o b o z f a j t á k , a m e l y e k n é l a z a l a p s p i r á l i s o k s z á m a 5, 8, 13, 21, a n a p r a f o r g ó t á n y é r j á n e l h e l y e z k e d ő spirálisok s z á m a 13, 21, 34, 55 és 89. Ezek a s z á m o k é p p e n az e m l í t e t t p i r a m i s f ú g a ü t e m p e r i ó d u s a i n a k hosszával egyenlőek. A m a t e m a t i k u s o k n a k n e m kell a t e r m é s z e t h e z f o r d u l n i u k a n a l ó g i á é r t : 1200-tól i s m e r t a pisai t e r m é s z e t t u d á s és f e s t ő F i b o n a c c i számsora, a m e l y n e k m i n d e n t a g j a az őt megelőző k é t s z á m összege: 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 8 9 . . . E számsor e g y b e n t a r t a l m a z z a a l e g e g y s z e r ű b b egész s z á m o k k a l k i f e j e z h e t ő a r a n y m e t s z é s - s o r t . Az a r a n y m e t s z é s k i m u t a t h a t ó B a r t ó k h a r m ó n i a r e n d s z e r é b e n is, ahol a p e n tatóniában j u t kifejezésre. A pentatónia hangközeit érezzük a legtermészetesebbnek, és ez n e m v é l e t l e n : f ü l ü n k fiziológiai j e l l e g é n e k , éspedig a hallócsiga l o g a r i t musos felépítésének következménye. B a r t ó k z e n é j é n e k f o r m a i és h a r m ó n i a i f e l é p í t é s e végső soron visszatérést j e l e n t a szerves t e r m é s z e t m o d e l l j e i h e z . A b a c h i k i e g y e n s ú l y o z o t t s á g o t f e s z ü l t s é g t e r e m t é s s e l , a t e r m é s z e t e s a s z i m m e t r i k u s g e o m e t r i a i a r á n y a l k a l m a z á s á v a l éri el. Kezdetben volt a szimmetria? A s z i m m e t r i a és a s z i m m e t r i a — m i n t l á t t u k — e l v á l a s z t h a t a t l a n o k a t e r m é s z e t b e n és a t e r m é s z e t m ű v é s z i t ü k r ö z é s é b e n . A szervetlen világban jelentkező szimmetria — elsősorban a kristályszerkezet — a z é p í t ő e l e m e k l e g k i s e b b e n e r g i a á l l a p o t r a v a l ó t ö r e k v é s é n e k k ö v e t k e z m é n y e . H e i s e n b e r g k i j e l e n t é s e , hogy a p l a t ó n i „ k e z d e t b e n volt a s z i m m e t r i a " s o k k a l szer e n c s é s e b b á l l í t á s a d é m o k r i t o s z i „ k e z d e t b e n volt a z a t o m " - n á l , é p p e n a r r a utal, hogy a s z i m m e t r i a az a n y a g l e g i n t i m e b b s z e r k e z e t é b e n fellelhető, az a n y a g l e g e l e m i b b é p í t ő k ö v e i n e k jellemzője. Az élővilág a s z e r v e t l e n v i l á g é n á l s o k k a l n a g y o b b s z á m ú é p í t ő e l e m e t kapcsol sokkal v á l t o z a t o s a b b m ó d o n . E z á l t a l m e g j e l e n n e k az a l a c s o n y a b b s z i m m e t r i á k , és t e r e t h ó d í t az a s z i m m e t r i a is. A c í m b e n f e l t e t t k é r d é s r e , hogy „ t ö r v é n y e k t ö r v é n y e " h á t a s z i m m e t r i a , a z t f e l e l h e t j ü k : h a n e m válaszol is m e g m i n d e n t , a s z i m m e t r i a e l v — m i n t a t e r m é szet a l a p v e t ő m e g n y i l v á n u l á s i f o r m á j a — a l e g v á l t o z a t o s a b b j e l e n s é g e k osztályozási k r i t é r i u m a , s igen n a g y h o r d e r e j ű r e n d s z e r e z ő szerepet játszik. IRODALOM Bouleau, Ch.: Geometria secretă a pictorilor. Buc., 1979. — G a r d n e r , M.: The Ambidextrous Universe. N e w York, 1969. — H e i s e n b e r g , W.: Paşi peste graniţă. Buc., 1977. — L e n d v a i E r n ő : Bartók költői világa. Bp., 1971. — Lit e a n u , C.—Hopîrtean, E.: Volumetria. Buc., 1973. — L u d w i g , W.: Rechts-linksProblem im Tierreich und beim Menschen. B e r l i n , 1932. — L u k á c s G y ö r g y : Az esztétikum sajátossága I. Bp., 1965. — Ouspenski, B. A.: Le „droit" et le „gauche" dans I'art des icones. I n : Travaux sur les systemes des signes. Moscou, 1970. — P a n o f s k y , E.: Az emberi arányok stílustörténete. Bp., 1976. — P e t e r , L. és Hull, R.: Le Principe de Peter ou pourquoi tout va toujours mal. Paris, 1970. — S i m o n y i K á r o l y : A fizika kultúrtörténete. Bp., 1978. — T a r pin, P. J. F.: Organographie végétale. P a r i s , 1820. I n : Recherche, 1958. 8. — Toporov, V. N . : R e m a r q u e s sur les arts plastiques boudhiques? In: Travaux sur les systemes de signes. Moscou, 1976. — Weyl, H.: Simetria. Buc., 1966