Irányítástechnika (Ingineria Regl rii Automate) – Licenszvizsga tételek
1 Tétel - Gyors folyamatok irányításának tervezése. Modulus kritérium (Kessler változat). Szimmetria kritérium Alegerea i acordarea regulatoarelor pentru procese rapide. Criteriul modulului (varianta Kessler). Criteriul simetriei. Gyors szabályozási rendszerekr l akkor beszélünk, amikor az irányított folyamat kis (néhány másodperc nagyságrend , vagy az alatti) id állandókkal rendelkezik, és a holtid hatása elhanyagolható. Tipikus példa egyenáramú motorok, szervomotorok pozíció és sebességszabályozása. Az irányítás tervezésénél az alábbi feltételekb l indulhatunk ki (lásd 1.1. Ábra): - az irányítás biztosítsa az el írt érték (r) minél pontosabb, minél gyorsabb követését, - rendszerre ható zajok (d) hatása a folyamat kimenetére (y) minél kisebb legyen. - a zárt rendszer jó tranziens tulajdonságokkal rendelkezzen (kis túllövés mellett minél gyorsabb válasz)
1.1. Modulus kritérium Ideális esetben megkövetelhetjük, hogy az átvitel az el írt értékr l a folyamat kimenetére 1 legyen, valamint az átvitel az átvitel a rendszerre ható zajokról a folyamat kimenetére zérus legyen bármely frekvencián. Legyenek az átvitelek: y ( jω ) = H R ( jω )r ( jω ) d ( jω ) =0 y ( jω ) = H d ( jω )d ( jω ) r ( jω )=0 A modulus kritérium értelmében az átvitelek abszolút értéke az alábbi feltételeket kell, hogy kielégítse:
M r ( jω ) = H r ( jω ) = 1
M d ( jω ) = H d ( jω ) = 0
1.1. Ábra. Zajjal terhelt szabályozási rendszer
Irányítástechnika (Ingineria Regl rii Automate) – Licenszvizsga tételek
A fenti két feltétel a gyakorlatban nem megvalósítható, csak megközelít megoldásai vannak. A feltételeket az alábbi módon gyengíthetjük: 1. Az átvitel az el írt érték (alapjel) és a folyamat kimenete között minél jobban közelítse meg az egységnyi er sítést (a használt frekvenciatartományban, általában alacsony frekvenciákon) 2. Az átvitel a folyamat kimenetére ható zajok és a folyamat kimenete között minél jobban közelítse a zérus átvitelt (a használt frekvenciatartományban, általában alacsony frekvenciákon)
1.2. Az irányítás tervezése Kessler módszer alapján A Kessler módszer gyors folyamatkora kidolgozott szabályozótervezési eljárás, amely ω=0 k rfrekvencián garantálja a modulus kritérium feltételeit. Feltételezzük, hogy az irányított folyamat viselkedését az alábbi átviteli függvény írja le:
H F (s ) =
Kf n
(TΣ s + 1)∏ (Ti s + 1) i =1
TΣ = 10 −3...10 −1 [mp] jelöli a folyamat legkisebb id állandóját, vagy a rendszer parazita id állandóinak összege, Kf a folyamat er sítése. Kessler tervezési módszer alapján a szabályozót az alábbi módon kell megválasztani: n
H C (s ) =
∏ (T s + 1) i =1
i
Θs
, ahol Θ = 2 K f TΣ
A szabályozóban elhelyezett zérusok, a pólus-zérus kiejtés alapján a folyamat domináns, lassú id állandóit kiejtik, gyorsítva a szabályozást. A nyílt rendszer az alábbi módon számítható: n
H N (s ) = H C (s ) ⋅ H F (s ) =
∏ (T s + 1) i =1
i
2 K f TΣ s
⋅
Kf n
(TΣ s + 1)∏ (Ti s + 1)
=
1 2TΣ s(TΣ s + 1)
i =1
A nyílt rendszer integrátort tartalmaz, ezzel biztosítva a zérus állandósult állapotbeli hibát egységugrásszer el írt értékre. A zárt rendszer: 1 1 H N (s ) 2TΣ s(TΣ s + 1) 2TΣ2 1 H 0 (s ) = = = = 1 1 + H N (s ) 2TΣ2 s 2 + 2TΣ s + 1 s 2 + 1 s + 1 1+ 2TΣ s(TΣ s + 1) TΣ 2TΣ2
Irányítástechnika (Ingineria Regl rii Automate) – Licenszvizsga tételek
A másodfokú zárt rendszer standard alakban H 0 ( s ) =
ω n2 felírható az s 2 + 2ξω n s + ω n2
alábbi paraméterezéssel:
ω n2 =
1 1 , ωn = 2 2TΣ TΣ 2 1 2ξω n = TΣ
ξ=
1 2ω nTΣ
=
2 2
1.2.1. A szabályozás jellemz i Állandósul állapotbeli jellemz k: Vizsgáljuk a szabályozási hibát állandósult állapotban. Feltételezzük, hogy a rendszerre ható zaj nulla. 1 1 r ( s ) = lim s r ( s) = lim e(t ) = lim se( s ) = lim s t →∞ s →0 s →0 1 + H ( s ) s →0 1 N 1+ 2TΣ s (TΣ s + 1)
2TΣ s 2 (TΣ s + 1) r (s) s →0 2T s (T s + 1) + 1 Σ Σ
= lim
Behelyettesítve a nyílt rendszer kifejezését a fenti összefüggésbe egyszer en kapjuk, hogy egységugrásszer (r(s)=1/s) bemenetnél állandósult állapotban a válasz 0, sebességugrás-szer bemenetnél (r(s)=1/s2) az állandósult állapotbeli hiba TΣ . Amennyiben az el írt értéket vesszük nullának és feltételezzük, hogy a zaj-bemenet (d) egységugrásszer , az állandósult állapotbeli hibát ugyanúgy kell számolni, mint az el írt érték-bemenetre: 1 l im e(t ) = l im s d ( s) t →∞ s →0 1 + H ( s ) N Konstans el írt értékre (nulla frekvencia) az átvitel az el írt értékr l a folyamat kimenetére 1, és konstans zajnál az átvitel a zaj-bemenetr l a folyamat kimenetére 0, tehát zérus frekvencián a modulus kritérium feltételek teljesülnek. Tranziens jellemz k: Túllövés: σ = exp −
πξ 1− ξ 2
Szabályozási id : T2% =
→ σ = 4.3%
4 = ξ ⋅ ωn
4 1 2 ⋅ 2TΣ 2
= 8TΣ gyors válasz, mivel (TΣ << )
Irányítástechnika (Ingineria Regl rii Automate) – Licenszvizsga tételek
Habár a szabályozás ’ideális’ tranziens tulajdonságokat és jó állandósult állapotbeli jellemz ket mutat hátárnya, hogy amennyiben a folyamat sok pólust tartalmaz (nagy fokszámú), a szabályozó nem lesz kauzális, tehát nem megvalósítható. n=1 esetében a szabályozó alakja klasszikus PI szabályozó. Feladat: n=1-re határozzuk meg a PI szabályozó integrálási idejét és proporcionális er sítését.
1.3. Az irányítás tervezése szimmetria módszer alapján Ezt a módszert akkor használjuk, amikor a szabályozásnál sebességugrás-szer el írt értékre is zérus állandósult állapotbeli hibát kell biztosítsunk. Feltételezzük, hogy az irányított folyamat viselkedését az alábbi átviteli függvény írja le: H F (s ) =
Kf n
(TΣ s + 1) Π Ti s i =1
Vegyük észre, hogy a folyamat integráló jelleg . (például egyenáramú motor, n
amennyiben a kimenet a pozíció) TΣ = 10 −3...10 −1 [mp] , Kf a folyamat er sítése, Π Ti a i =1
folyamat integrálási ideje. A szimmetria tervezési módszer alapján a szabályozót az alábbi módon kell megválasztani:
H C (s ) =
θn (θ C s + 1) n , ahol θ c = 4nTΣ és Θ = 2 K f TΣ n c Θs Π Ti i =1
A továbbiakban n=1 esetre tárgyaljuk az irányítás viselkedését. A nyílt rendszer az alábbi módon számítható: H N (s ) =
(Θ C s + 1) Θs
Kf
(TΣ s + 1) ⋅ s
=
(4TΣ s + 1)
⋅
Kf
2 K f TΣ Θ C s (TΣ s + 1) ⋅ s
=
4TΣ s 2 2
+1
8TΣ s (TΣ s + 1)
Vegyük észre, hogy a nyílt rendszer dupla integrátort tartalmaz. A zárt rendszer alakja:
H 0 (s ) =
H N (s ) = 1 + H N (s )
4TΣ s 2 2
+1
8TΣ s (TΣ s + 1) 4TΣ s + 1 4TΣ s + 1 = = 3 3 2 2 4TΣ s + 1 8TΣ s + 8TΣ s + 4TΣ s + 1 (2TΣ s + 1) 4TΣ 2 s 2 + 2TΣ s + 1 1+ 2 8TΣ s 2 (TΣ s + 1)
(
)
A zárt rendszer egy másodfokú leng rendszer, kib vítve egy pólus-zérus párral. Domináns pólusoknak a másodfokú leng rendszer pólusait tekinthetjük, mivel TΣ értéke kicsi. A zárt rendszer pólusai a komplex térben az 1/2TΣ sugarú kör negatív oldalán szimmetrikusan helyezkednek el, innen ered a módszer neve. (lásd 1.2. Ábra)
Irányítástechnika (Ingineria Regl rii Automate) – Licenszvizsga tételek
1.2. Ábra. Szimmetria módszer – a zárt rendszer pólusai
1.3.1. A szabályozás jellemz i Állandósul állapotbeli jellemz k: Az állandósult állapotbeli hibát ugyanúgy számíthatjuk mind a Kessler módszernél, csak a nyílt rendszer kifejezése változik. Könnyen belátható, hogy a szabályozás nem csak egységugrásszer el írt értékre és zajra biztosítja a zérus állandósult állapotbeli hibát, hanem sebességugrás-szer el írt értékre is. Tranziens jellemz k: A szabályozás hátránya, hogy a zárt rendszer domináns komplex pólusai egységugrásszer bemenetnél nagy túllövést biztosítanak (43%). Ez könnyen belátható, 1 figyelembe véve a zárt rendszer részét. 2 2 4TΣ s + 2TΣ s + 1
(
)
Feladat: A fenti másodfokú átviteli függvénynek, határozzuk meg a csillapítását és sajátfrekvenciáját, majd a bizonyítsuk, hogy a túllövés σ=43%.
A nagy túllövés az el írt érték el sz résével oldható meg. Ebben az esetben nem az egységugrás el írt értéket egy egyszer struktúrájú alul-átereszt sz r n keresztül engedjük rá a szabályozási rendszerre. (lásd 1.3. Ábra) Ez nem engedi meg az el írt érték gyors ugrását. Az el sz r t az alábbi formában választhatjuk: H f (s ) =
1 4TΣ s + 1
1.3. Ábra: Szabályozási rendszer el sz réssel
