1. Gyors folyamatok szabályozása Gyors szabályozási rendszerekr l akkor beszélünk, ha az irányított folyamat id állandói másodperc, vagy az alatti nagyságrend ek. A gyors folyamatok esetében a holtid általában az irányítási algoritmus megvalósításánál alkalmazott mintavételi periódushoz képest elhanyagolható. A mintavételi periódust kisebbnek kell választani, mint az irányított folyamat legkisebb id állandóját, általában tizedmásodperc, s t ezredmásodperc (milliszekundum) nagyságrend re. Tipikusan gyors irányítási feladatok körébe tartoznak a szervo szabályozások, a szervomechanizmusok szabályozása. Ezek olyan szabályozási körök, amelyekben a beavatkozó kis id állandókkal rendelkez villamos vagy pneumatikus motor, és pozíció és/vagy sebességérzékel t tartalmaz. A motor általában mechanikai pozícionáló berendezést, robotkart hajt meg. A cél a mechanikai rendszer pozíciójának el írt értékre történ szabályozása. A legfontosabb szabályozási követelmények szervoszabályozások esetén: - Kis, az alkalmazott érzékel felbontásával megegyez nagyságrend , állandósult állapotbeli hiba. - Gyors, általában túllövés-mentes válasz. - A szabályozás érzéketlensége küls zajokra, küls terhelésre (például a mozgatott tárgy tömegére). Pozíciószabályozás esetén az irányított folyamat tartalmaz integrátort (a pozíció a sebesség integrálja), tehát egységugrás-szer alapjelre a szabályozás garantálja a nulla állandósult állapotbeli hibát. Ugyanakkor ahhoz, hogy a bemeneti zajokra (küls terhelésre) a szabályozás érzéketlen legyen a szabályozó is kell tartalmazzon integrátort vagy nagy er sítéssel kell, hogy rendelkezzen. Az alábbiakban bemutatott szabályozótervezési eljárások (kaszkád szabályozás, el recsatolás, két szabadságfokú szabályozó, véges beállású szabályozás) általános rendszerekre kidolgozott módszerek, de a gyakorlat azt mutatja, hogy gyors folyamatok irányítása esetén alkalmazhatóak hatékonyan.
1.1. Kaszkád szabályozási struktúrák Ha az irányítás folyamat fokszáma nagy, az irányítást megvalósító szabályozó is bonyolult struktúrájú lesz. Ha a folyamat sok pólust tartalmaz, a pólus-zérus kiejtést alkalmazó szabályozó sok zérust kell tartalmazzon, a szabályozó elveszítheti kauzalitását. Ilyen esetekben használhatjuk a kaszkád szabályozás elvét: a folyamatot felosztjuk több, egymással sorba lev részfolyamatra és az összes részfolyamatra szabályozót tervezünk. Példa a kaszkád szabályozás elvének alkalmazására: A 8.1 Ábrán a HF(s) irányított folyamatot két részfolyamatra osztjuk fel: HF1(s), HF2(s). A kaszkád szabályozás megvalósításához el ször szabályozót tervezünk a HF1(s) modellel leírt rendszernek. Legyen ez a HC1(s). Jelölje HO1(s) a visszacsatolt HF1(s) és HC1(s)–b l álló szabályozási rendszert. Ez képezi a bels hurkot kaszkád szabályozási körben. A küls hurokban a szabályozót (HC1(s)) már a HO1(s) és HF2(s) által képezett sorba csatolt
rendszerekre tervezzük. A küls hurok által kiszámított beavatkozó jel (u2) a bels hurok alapjele lesz (lásd 8.2 Ábra).
1.1 Ábra: a folyamat részfolyamatokra bontása kaszkád szabályozáshoz
1.2 Ábra: Kétszint kaszkád szabályozási struktúra
Ha a folyamatot kett nél több részfolyamatra bontjuk a szabályozónak is több tagja lesz. A többszint visszacsatolás segítségével a szabályozási feladatot is feloszthatjuk. Például a bels hurokkal növelhetjük a szabályozás gyorsaságát, míg a küls hurokban elhelyezett szabályozó biztosítja a szabályozás pontosságát. A többszint visszacsatolással a szabályozás robusztussága is növelhet . A módszer hátránya, hogy az összes részfolyamat kimenetét kell mérni, a szabályozási kör megvalósítása bonyolultabb, több érzékel t kell alkalmazni. A kaszkád szabályozó kialakításánál törekedni kell arra, hogy a bels szabályozási hurkok mindig gyorsabbak legyenek, mint a küls k. Így például bels hurokban alkalmazhatunk nagy er sítés P, PD szabályozót a küls hurkokban alkalmazhatunk PI vagy PID szabályozót.
1.1.1. Egyenáramú motor kaszkád szabályozása Az egyenáramú motorral végzett pozíciószabályozás esetén a szabályozó tervezéséhez a motor dinamikus modelljéb l indulhatunk ki. A motor dinamikáját leíró egyenletek: L J
di + i ⋅ R = U − c1 ⋅ ω dt
dω + Fv ⋅ ω = c 2 ⋅ i − τ ext dt dα =ω dt
(8.1)
A folyamat bemenete a rotorra adott feszültség (U), kimenete a rotor szögpozíciója (α). A motor bels állapotai a rotor szögsebessége (ω) és a rotoron átfolyó áram (i). τext a motorra ható küls nyomatékot jelöli, vagyis azt a nyomatékot, amivel a mozgatott tárgy
visszahat a motorra. A motor viselkedését leíró (8.1) rendszer els egyenlete a rotor elektromos, a második egyenlet a rotor mechanikus viselkedését írja le. A harmadik egyenletben a szögpozíció változás egyenl a szögsebességgel. A paraméterek: R – a rotor ellenállása L – a rotor induktivitása c1 – a rotor sebességállandójának inverze J – a rotor inerciája c2 – a nyomatékállandó Fv – a viszkózus súrlódási együttható a rotor felfüggesztésénél megjelen súrlódás miatt. A (8.1) egyenletekre alkalmazva a Laplace transzformáltat, kapjuk: i (s ) 1 = U (s ) − c1 ⋅ ω (s ) L ⋅ s + R ω (s ) 1 = c2 ⋅ i(s ) − τ ext (s ) J ⋅ s + Fv α (s ) 1 = ω (s ) s
(8.2)
A 8.3 Ábrán a motor (8.2) összefüggés alapján felrajzolt tömbvázlata látható.
1.3 Ábra: Egyenáramú motor tömbvázlata
A pozíciószabályozási feladat megvalósításához a kaszkád szabályozási struktúrát alkalmazzuk. Habár a cél a szögpozíció el írt értékre történ szabályozása, az irányítás tervezésénél figyelembe vesszük a motor áramát és szögsebességét is. Az irányításnak teljesítenie kell a szervoszabályozási követelményeket (zérus állandósult állapotbeli pozícióhiba, gyors, túllövés-mentes válasz, érzéketlenség küls zajokra, terhelésváltozásra). 1.1.1.1.A bels áramszabályozási hurok F leg nagy elektromos id állandójú (nagy L/R érték) motoroknál célszer kialakítani az áramszabályozási hurkot. A bels áramszabályozás célja a rendszer gyorsítása. Ezt egy, a visszacsatolásban elhelyezett P szabályozóval megvalósíthatjuk. Legyen a P szabályozó
er sítése Ki. Képezzük úgy a beavatkozó jelet, hogy tartalmazza a küls beavatkozó jelét és a Ki er sít n keresztül kialakított áram visszacsatolást: U = u - Ki i
hurok (8.3)
A (8.3) beavatkozó jelet alkalmazva a bels , áramszabályozási hurkot, mint zárt rendszert az alábbi modell írja le (lásd 8.4 Ábra): c2 1 R + Ki c2 i( s) L⋅s + R H i (s ) = = ⋅ c2 = = 1 L u − c1ω ( s ) L ⋅ s + R + Ki 1+ Ki ⋅ s +1 R + Ki L⋅s + R
(8.4)
1.4 Ábra: Bels áramszabályozási hurok
A nem szabályozott (Ki=0), nyílt rendszer (
c2 ) L⋅s + R
id állandója L/R , er sítése c2/R. A
visszacsatolás kialakításával látható, hogy a szabályozott rendszer id állandója (
L R + Ki
)
kisebb lesz, bármely Ki>0 értékre, tehát a bels hurok gyorsabb, mint a nem szabályozott rendszer. Ugyanakkor a szabályozott rendszer er sítése (
c2 R + Ki
) is kisebb, az u küls
beavatkozó jel változásánál kisebb áramugrásokra számíthatunk. Tehát célszer a Ki értéket minél nagyobbra választani. Az er sítés növelésének határt szab a motort vezérl áramkör. Impulzusszélesség modulációt alkalmazva a motor beavatkozó jelének változtatásához, a bels hurok id állandója nagyobb kell legyen, mint a modulált jel periódusa. Mivel az áramszabályozó csak egy er sít t tartalmaz, akár elektronikus áramkörrel (m veleti er sít vel) is megvalósítható. 1.1.1.2.A küls sebesség és pozíciószabályozási hurok tervezése A küls hurok irányítási algoritmusának az alábbi követelményeket kell megvalósítania: - egységugrásra nulla állandósult állapotbeli hiba - 0% túllövés - gyors válasz
- küls zajok, bemenetre ható terhelés hatásának elnyomása - nem modellezett, a mechanikai rész rugalmas alakváltozásai miatt fellép , mechanikai rezgések elkerülése A követelmények teljesítéséhez a referenciamodell alapú tervezést alkalmazzuk. Legyen a referenciarendszer (el írt mintarendszer): H 0 ref ( s ) =
ω n2 s 2 + 2ξω n s + ω n2
(8.5)
A referencia rendszer er sítése 1, tehát egységugrásra nulla állandósult állapotbeli hibát biztosít. Közismert, hogy ha a ξ csillapítás értéke 1-nél nagyobb, a rendszer válasza aperiodikus, tehát nem tartalmaz túllövést. Ugyanakkor a leggyorsabb aperiodikus választ ξ=1 értékre érjük el. Tehát a ξ paraméter értéke 1-nél nagyobb, de 1-hez közeli kell legyen. Legyen a motorral meghajtott mechanikai rendszer sajátrezgéseinek frekvenciája ωM. Ahhoz, hogy a szabályozó által kiszámított beavatkozó jel ne gerjessze a mechanikai rész rezgéseit, a referenciamodell ωn saját frekvenciáját ω n ≤ 0.5 ⋅ ω0 M összefüggés alapján kell megválasztani. A jó zajelnyomás biztosítására a szabályozónak minél nagyobb er sítést kell választani. Számítsuk a küls szabályozási hurok beavatkozó jelét az alábbi formában:
(
)
(8.6)
u = K p α ref − α − K v ⋅ ω
A bels áramszabályozási hurok id állandója nagy Ki értékek esetén elhanyagolható a küls hurok id állandói mellett (
L ≅ 0 ). R + Ki
A bels
áramszabályozási hurok ideális
er sít vel approximálható: Ai =
c2 R + Ki
A visszacsatolt küls hurok tömbvázlata a 8.5 Ábrán látható.
(8.7)
1.5 Ábra: Küls sebesség és pozíciószabályozási hurok 1.
A 8.5 Ábra alapján a bels sebességszabályozási hurok átviteli függvénye: Ai J ⋅ s + Fv Ai ω (s) H ω (s ) = = = A (c + K v ) J ⋅ s + Fv + Ai (c 2 + K v ) u P (s) 1+ i 2 J ⋅ s + Fv
(8.8)
A teljes szabályozási kör átvitelét leíró modell: Kp
Ai K p ⋅ Ai s J ⋅ s + Fv + Ai (c 2 + K v ) α (s) H o (s ) = = = 2 Kp α ref ( s ) Ai J ⋅ s + (Fv + Ai (c 2 + K v )) ⋅ s + K p ⋅ Ai ⋅ 1+ s J ⋅ s + Fv + Ai (c 2 + K v ) ⋅
K p ⋅ Ai H o (s ) ==
J
s
2
(F + Ai (c2 + K v )) ⋅ s + K p ⋅ Ai + v J
(8.9)
J
Mivel a zárt rendszer modellje meg kell feleljen a referenciarendszer modelljének (H0(s)=H0ref(s)), a (8.5) és (8.9) összefüggések alapján kapjuk: ω n2 =
K p ⋅ Ai
J Fv + Ai (c 2 + K v ) 2ξω n = J
(8.10)
A (8.10) összefüggés alapján kapjuk az irányítási algoritmus paramétereit. J ⋅ ω n2 J ≤ ⋅ (0.5 ⋅ ω 0 M )2 Ai Ai 2ξω n J − Fv Kv = − c2 Ai
Kp =
(8.11)
Látszik, hogy a Kp er sítés értéke nem lehet tetsz legesen nagy, mivel ez gerjesztené a mechanikai rendszer sajátfrekvenciáját. Amennyiben a proporcionális zajelnyomás nem elégséges a kaszkád szabályozónak a pozícióhibát figyelembe vev ágában, a proporcionális tag mellé integráló tagot kell elhelyezni és ezt is figyelembe kell venni a tervezésnél. A (8.6) és (8.3) összefüggések alapján következik az irányítás végs formája:
(
)
U = K p α ref − α − K v ⋅ ω − K i i
(8.12)
A kapott irányítási algoritmus a kaszkád szabályozás elvét kihasználva teljesíti az el írt követelményeket, ugyanakkor nagyon egyszer struktúrájú. Nem tartalmaz dinamikus (integráló, deriváló) elemeket, megvalósítása akár analóg, akár mintavételes módon egyszer . Mivel csak három er sítésparamétert tartalmaz, már m ködés közben is könnyen finomhangolható.
1.6 Ábra: Egyenáramú motor kaszkád szabályozása
1.2. Modellkövet szabályozás megvalósítása el recsatolással Szervoszabályozások esetén az alapjel minél pontosabb követése a legfontosabb szabályozási követelmény. Sok esetben ezt az el írt referenciamodell alapú tervezéssel oldjuk meg. A referenciamodell megválasztásánál a zárt rendszer tranziens tulajdonságait is meghatározzuk. A szabályozónak ugyanakkor biztosítania kell a szabályozási kör robusztusságát és érzéketlenségét küls zajokra. Az el recsatolást alkalmazó szabályozók ezt a két feladatot szétválasztják. A szabályozónak két része van: az el recsatoló ág (feedforward) biztosítja a pontos modellkövetést, a visszacsatoló ág (feedback) pedig a szabályozás robusztusságát, érzéketlenségét küls zajokra. A 8.12 Ábrán az el recsatolást alkalmazó szabályozókör tömbvázlatát láthatjuk. Hf(s) az irányított folyamat átvitelét leíró modellt jelöli. A szabályozó struktúrája egyrészt tartalmazza a Href(s) referenciamodellt, másrészt az el recsatoló Hff(s) és a visszacsatoló Hc(s) szabályozótagokat. A beavatkozó jelet az el recsatoló és visszacsatoló tagok kimeneteinek összegeként kell számolni.
1.7 Ábra: Szabályozási kör el recsatolást alkalmazó szabályozóval
Határozzuk meg a szabályozó el recsatoló tagját úgy, hogy a zárt szabályozási rendszer (az átvitel az alapjelr l a folyamat kimenetére) modellje megfeleljen az referenciarendszer modelljének. A 8.12 Ábra alapján a folyamat kimenetét az alábbi módon számíthatjuk:
(
)
y ( s ) = H f ( s )u ( s ) = H f ( s ) u c ( s ) + u ff ( s ) =
( ( ) ) = H f ( s )(H c ( s ) H ref ( s ) + H ff ( s ) )r ( s) − H f ( s ) H c ( s ) y ( s) = H f ( s ) H c ( s ) H ref ( s )r ( s ) − y ( s ) + H ff ( s )r ( s ) =
(8.13)
Ebb l kapjuk a zárt rendszer átvitelét. H 0 ( s) =
(
y ( s ) H f ( s ) H c ( s ) H ref ( s ) + H ff ( s ) = r (s) 1 + H f ( s) H c ( s)
)
(8.14)
Válasszuk a szabályozó el recsatoló ágát az alábbi módon: H ff ( s ) = H −f 1 ( s ) ⋅ H ref ( s )
(8.15)
Visszahelyettesítve a (8.15) szabályozótagot a (8.14) modellbe, kapjuk: H 0 (s) =
H f ( s ) H c ( s ) H ref ( s ) + H f ( s ) H −f 1 ( s ) H ref ( s ) 1 + H f (s) H c ( s)
=
(H f (s) H c (s) + 1)H ref ( s) = H 1 + H f (s ) H c ( s)
ref
(s)
(8.16)
Tehát a (8.15) összefüggés alapján meghatározott el recsatoló ág biztosítja, hogy a zárt rendszer kövesse a referenciamodellt. Az el recsatoló ág megvalósításához az irányított folyamat modellje két feltételt kell teljesítsen: - a folyamat relatív fokszáma (pólusok és zérusok számának különbsége) kisebb kell legyen, mint a referenciarendszer relatív fokszáma. Ha a feltétel nem teljesül, az el recsatoló ág nem lesz kauzális - A folyamat nem tartalmazhat instabil zérusokat. Ha a feltétel nem teljesül, az el recsatoló ág instabil pólusokat fog tartalmazni, tehát instabil viselkedést mutat.
Fontos, hogy a (8.15) összefüggés alapján kapott el recsatoló ág nem függ a szabályozó visszacsatoló ágától. Az el recsatoló ág a Hc(s) visszacsatoló ágtól függetlenül biztosítja a modellkövetést. Tehát a Hc(s) szabályozó tervezésénél nem kell figyelemmel lenni az alapjel követés problémájára. A visszacsatoló ág tervezésénél csak a robusztusságot, jó zajelnyomást kell figyelembe venni. Alkalmazhatunk például nagy fázistartalékot biztosító szabályozókat. A (8.15) összefüggés mintavételes szabályozásoknál is alkalmazható.
