A talajok in situ feszültségi állapota

Miskolci Egyetem Mőszaki Földtudományi Kar Mikoviny Sámuel Doktori Iskola

PhD - kutatószeminárium

dr. Szepesházi Róbert PhD-hallgató

A talajok in situ feszültségi állapota

Szemináriumvezetı

dr. Somosvári Zsolt egyetemi tanár

Miskolc 2007. június


dr. Szepesházi Róbert

1. Bevezetı A talajok kezdeti feszültségállapotát, különösen a vízszintes feszültségeket viszonylag kevés gyakorlati geotechnikai feladat hagyományos megoldásához kellett ismerni. A földstatikai feladatok nagyobb részét ugyanis úgy oldjuk meg, hogy különválasztjuk a teherbírási határállapok, a talajtörés okozta állékonyságvesztés, illetve a használhatósági határállapotok, a talaj alakváltozása miatti elmozdulások vizsgálatát. Az elıbbieket a csúszóvonalak elméletére építve, a talajt merev-képlékeny közegnek tekintve, állandó nyírószilárdsági jellemzıket feltételezve vizsgáljuk. Megállapítjuk az adott peremfeltételekre érvényes egyensúlyi határállapotot, és azzal szemben kellı biztonságot megkövetelve méretezzük a szerkezeteket. Eközben nem vizsgáljuk az alakváltozásokat és az elmozdulásokat, célunk csak az, hogy e határállapotokat elkerüljük. Így oldjuk meg a rézsőállékonysági, földnyomási és alaptörési feladatainkat. A használhatósági határállapotokat a biztonsággal csökkentett terhelésekre vagy az állékonyságvesztéssel szemben kellı biztonságot nyújtó geometriára vonatkozóan vizsgáljuk. A talajban mőködı feszültségeket általában a lineáris rugalmasságtan alapján vagy még ennél is egyszerőbb feszültség-eloszlási modellek alapján határozzuk meg. A feszültségekbıl az alakváltozásokat (majd az elmozdulásokat) általában lineáris összefüggéssel számítjuk, s a legtöbb esetben lineáris alakváltozási állapotot is feltételezünk, pl. a süllyedéseket a függıleges feszültségekbıl az összenyomódási modulussal meghatározva, vagy pl. amikor a Winkler-féle modellel egy fal vízszintes elmozdulásait határozzuk meg. E hagyományos számítások bizonyos korrekciójaként esetleg a feszültség-alakváltozás kapcsolatot már nem lineáris (hanem pl. a szemilogarit-mikus) összefüggéssel írjuk le. A vázolt rendszerben a talajok kezdeti feszültségi állapotát lényegében nem kell ismerni. Az egyensúlyi határállapotot az nem befolyásolja, miként a konstansnak feltételezett nyírószilárdsági paramétereket sem, a lineárisan rugalmas anyagok esetében csak a feszültségnövekmény számít. A nem-lineáris modellekben már megjelenik ugyan a kezdeti állapot, de pl. a lineáris alakváltozási állapot feltételezésével dolgozó süllyedésszámítási modellekben csak a kezdeti függıleges feszültségeket kell ismerni, amelyek könnyen meghatározhatók. A hagyományos eszköztárnak talán egyetlen olyan része van, mely a nehezebben megállapítható kezdeti vízszintes feszültségek ismeretét is megkívánja, a rugalmasan befogott, kihorgonyzott (megtámasztott) falak deformációinak és igénybevételeinek vizsgálata. Erre a hazai gyakorlat a Czap-féle programot használja, s annak bemenı adata a nyugalmi nyomás tényezıje. Van még néhány feladat, mely a kezdeti (nyugalmi) állapot mérlegelésébıl indul ki, ilyen pl. a cölöpök palástellenállásának becslése, de valójában a mindennapi gyakorlat még nem érzékeli a kezdeti feszültségállapot jelentıségét. Ekként inkább csak hazafiúi büszkeségünket erısíti, hogy a nyugalmi nyomás tényezıjére a most megjelent Eurocode 7 is, mely Jáky professzor ismert képletét ajánlja (lásd késıbb), s ezzel, mintegy hivatalosan is a magyar geotechnika legnagyobb produkciójaként ismeri azt el. A talajmechanika azonban napjainkban különös fejlıdést él át. A nagykapacitású személyi számítógépek terjedésével lényegében mindenki számára lehetıvé vált olyan véges elemes programok alkalmazása, melyek már képesek arra, hogy a talajok mechanikai viselkedését a valósághoz híven nem-lineáris anyagmodellekkel írják le. Ezek a talaj kezdeti feszültségállapotából indulnak ki, kezelik a terhelések, geometriai változások okozta állapotváltozásokat, akkor is, ha közben a vizsgált talajzóna már részben képlékeny állapotba jut. A kezdeti feszültségi állapot, illetve az azt leíró K0-tényezı ezekben a modellekben lényeges szerepet játszik: bemenı adat, melyet a felhasználó megadhat, vagy a programok maguk határozzák meg. Így a K0-tényezı jelentısége megnıtt, érdemes ezért az ezzel kapcsolatos ismereteket áttekinteni. A jelen dolgozat 1992 évi egyetemi doktori értekezésem korszerősítése, továbbgondolása (Szepesházi, 1992).

2007. június

1



2. A K0-állapot értelmezése, jellemzése 2.1. Alapösszefüggések A feszültségi állapot „in situ” jelzıvel való megjelölése valójában térbeli és idıbeli értelmezést ad. A térben a vizsgált talajzóna egy pontjának természetes, valós („ott helyben” uralkodó) feszültségállapotára utal. Ha így beszélünk róla, akkor általában (hallgatólagosan) feltételezzük, hogy a talajt vízszintes térszínnel lehatárolt végtelen féltérnek tekintjük. Az idıbeliség azt jelenti, hogy vizsgált pontnak a talaj keletkezése és a késıbbi geológiai hatások nyomán, a mérnöki beavatkozás (terhelés, geometriai változtatás) elıtt kialakult mechanikai állapotot vizsgáljuk. Ezt az állapotot szokás in situ, kezdeti vagy nyugalmi állapotnak, vagy a legegyszerőbben K0állapotnak nevezzük. A K0-állapot valójában a mechanikai állapotjellemzık (feszültségek, alakváltozások, elmozdulások) egy speciális együttese, sıt a legújabb modellek szerint bizonyos anyagjellemzıket (elsısorban alakváltozási modulusokat) is kapcsolhatunk hozzá. Az egyezményes definíció szerint a talaj egy pontjában akkor van K0-állapot, ha ott nincsenek vízszintes (horizontális) fajlagos alakváltozások és elmozdulások: ε x = ε y = εh = 0

2.1

u x = u y = uh = 0

2.2

Az elsı feltétel tulajdonképpen tengelyszimmetrikus alakváltozási állapotot jelent. A legtöbb gyakorlati geotechnikai feladatunkban síkbeli alakváltozási állapotot felvéve dolgozunk, ami az y-irányú alakváltozások zérus voltát tételezi fel. Így inkább csak az x-irányú alakváltozások zérus voltát szokás hangsúlyozni, és az ehhez tartozó x-irányú feszültségrıl szokás nyugalmi nyomásként beszélni. (Valójában ilyenkor az y-irányra vonatkozóan is nyugalmi állapotot tételezünk fel, de ezzel még szintén külön kell foglalkoznunk.) A földnyomások kérdéskörében megfogalmazott eredeti definíció szerint a nyugalmi állapot a 2.2 feltétel teljesülését jelentette, azaz hogy, a vizsgált földtömeget megtámasztó függıleges fal vízszintes elmozdulása zérus. A tetszıleges lehatárolású talajtömegek mechanikai állapotának vizsgálatakor viszont inkább a 2.1 értelmezés válik lényegessé, inkább erre gondolunk, amikor a K0-állapot teljesülésérıl beszélünk. Valójában az elmozdulási peremfeltételek és a geometriai egyenletek miatt mindkét feltevés általában egyszerre teljesül. Amikor a K0-állapotról az elıbbi alakváltozási-elmozdulási feltételt rögzítve beszélünk, illetve azzal számolunk, akkor valójában már egy feszültségi állapotra gondolunk, melyet egyetlen tényezıvel, a vizsgált pont vízszintes σ′h0 és függıleges σ′v 0 hatékony feszültségének hányadosaként értelmezett K0-tényezıvel lehet megragadni: K0 =

σ′h0 σ′v 0

2.3

Az indexben szereplı „0” a kezdeti jelzıre utal. A K0-állapotban vízszintes térszín esetén a függıleges és a vízszintes feszültségek egyben fıfeszültségek is. Mint már említettük a K0-tényezı számítására a normálisan konszolidált (NC-) talajok esetében ma szinte minden szakirodalom (így az MSZ EN 1997-1:2006) és számítógépes program Jáky (1944) K NC 0 = 1 − sin ϕ′

2007. június

2.4

2



képletét ajánlja, melyben ϕ′ a talaj hatékony belsı súrlódási szöge. Ez a képlet 0,5 körüli értékeket ad, így az NC-talajok esetében a függıleges feszültség az elsı fıfeszültség. (A következıkben még tárgyalni fogjuk a 2.4 képlet helyességét, de elıre bocsátjuk, hogy az – noha sok tekintetben vitatható – végül is elfogadható eredményt szolgáltat. Mindenesetre a vele kapcsolatos kétségek ellenére ahhoz itt elfogadhatjuk, hogy segítségével a K0-állapot általános jellegzetességeit megismerjük.) Régóta ismert (l. Kézdi, 1961), hogy egy ülepedés (az elsı terhelés) utáni tehermentesüléskor a vízszintes feszültségek nem csökkennek olyan mértékben, mint a függıleges feszültségek, a talaj oldalirányban „befeszül”. Az elıterhelt (OC-) talajban a K0-tényezı nagyobb, s erre a szakirodalom általában a NC K OC 0 = K 0 ⋅ OCR = ( 1 − sin ϕ′) ⋅ (OCR )

0,5

2.5

összefüggést fogadja el, ahol az elıterheltségi viszonyszám OCR =

σ′v max σ′v 0

2.6

ahol σ′v max a vizsgált pontban valaha mőködött legnagyobb hatékony függıleges normálfeszültség. A 2.5 szerint nagyobb elıterheltség esetén a vízszintes feszültségek nagyobbak lehetnek a függılegesnél, s így az utóbbi harmadik fıfeszültséggé is válhat. (A 2.5 képlet helyességét is érdemes vizsgálni, erre az 5. fejezetben térünk ki, a 2.5 képletet azonban az elıterheltség okozta sajátosságok bemutatására mindenképpen megfelelınek tarthatjuk.) A 2.6 képletet mind a tehermentesülésre, mind az újraterhelésre el szokás fogadni, s úgy tekintik, hogy az újraterhelés során, amint a σ′v közelít σ′v max értékéhez, s így OCR 1,0-hez, K0 is közelít a 2.4 szerinti értékhez. A 2.1. ábra azt mutatja be, miként alakult egy általam végzett triaxiális vizsgálat során a vízszintes és a függıleges feszültségek viszonya egy laza, egyszemcsés, finom homok (e=0,55, Cu=1,9, Dm=0,25 mm) elsı terhelése, tehermentesülése és az újraterhelése során. A 2.2. ábra az elıbbi alapján a 2.3 – 2.6 képletek felhasználásával készült, s erre berajzoltuk a 2.5. szerinti „elméleti” vonalat is. Az ábrákról megállapítható, hogy − a normálisan konszolidált állapotra K0≈0,43≈const. érték adódott, ami a 2.4 képlet szerint ϕ’=35° belsı súrlódási szögnek felel meg, s ez reális, − a tehermentesülési görbék jól illeszkednek a 2.5 szerinti vonalhoz, − az újraterhelés a tehermentesüléshez képest sokkal kisebb K0-értékekkel következett be. A K0-állapotú újraterhelést tehát – úgy tőnik – még tovább kellene kutatni, mert a 2.5 képlet erre nem igazán érvényes. Ez a felvetés azonban túlmutat a K0-tényezın, mert a legtöbb korszerő talajmodell axiómaként fogadja el, hogy a tehermentesülés és az újraterhelés azonos anyagtörvény szerint zajlik. Valójában a különbözı feszültség-alakváltozás összefüggésekben is hasonló hiszterézis tapasztalható, mint amilyent itt és a K0-tényezı vonatkozásában mutat a 2.1. és 2.2. ábra, ám a hiszterézist általában kiegyenlítve veszik figyelembe.

2007. június

3



1000

800 vízszintes hatékony feszültség

600

σ 'h kPa 400

200

0 0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

függıleges hatékony feszültség

2000 σ 'v kPa

2.1. ábra. A vízszintes és a függıleges feszültségek változása K0-állapotban egy homoktalaj elsı terhelése, tehermentesítése és újraterhelése során.

1,0

0,8 nyugalmi nyomás szorzója 0,6 K0

0,4

0,2

0,0 1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

elıterheltségi viszonyszám OCR

2.2. ábra. A K0-tényezı változása az elıterheltség függvényében egy egyszemcsés homoktalaj elsı terhelése, tehermentesítése és újraterhelése során.

2007. június

4



2.2. A nyírószilárdság mobilizálódása K0-állapotban A 2.3. ábrán a K0-állapotot a Mohr-féle feszültségábrázolásban mutatjuk be a Coulombegyenessel együtt. Látható, hogy a K0-állapot vonala laposabb a Coulomb-egyenesnél, s levezethetı, hogy a K0-állapotok Mohr-köreit a κ = arc sin

1− K0 sin ϕ′ = arc sin 1+ K0 2 − sin ϕ

2.7

hajlású egyenes érinti. Belátható, hogy a releváns 20 < ϕ < 40° tartományban 0,59 ⋅ ϕ′ < κ < 0,71⋅ ϕ′

2.8

azaz úgy is tekinthetı, hogy a normálisan konszolidált talaj K0-állapotában a nyírószilárdság kb. kétharmada mobilizálódik. Ha viszont elıterheltté válik a talaj, akkor a Mohr-kör sugara csökken, azaz a nyírószilárdság kevésbé van kihasználva. A korszerő talajmodellekben általában a p′ =

σ1′ + σ′2 + σ′3 3

2.9

átlagos normálfeszültséggel és a q = σ1 − σ3 = σ1′ − σ′3

2.10

deviátorfeszültséggel írjuk le a talajok feszültségi állapotát (Schofield és Wroth, 1968). Ezek nagysága K0-állapotban a 2.4. képletet is bevezetve p′ =

1+ 2 ⋅ K0 3 − 2 ⋅ sin ϕ′ ⋅ σ′z0 = σ′z0 ⋅ 3 3

q = (1 − K 0 ) ⋅ σ′z0 = σ′0 ⋅ sin ϕ′

2.11 2.12

A 2.4. ábra a p’ – q koordinátarendszerben mutatja be a K0-állapotot. A K0-vonal, melyen az ülepedés során halad a pont feszültségi állapota η0 =

q 3 ⋅ (1 − K 0 ) 3 ⋅ sin ϕ′ = = p′ 1 + 2 ⋅ K 0 3 − 2 ⋅ sin ϕ′

2.13

A törési vonalra vonatkozóan, ha a Coulomb-törvényt elfogadjuk, illetve a törési állapotra érvényes σ′3 = σ′2 = σ1′ ⋅

1 − sin ϕ′ 1 + sin ϕ′

2.14

összefüggést bevezetjük, levezethetı, hogy M=

q 6 ⋅ sin ϕ′ = p′ 3 − sin ϕ′

2.15

Így ebben a tárgyalási módban a 20 < ϕ < 40° tartományban a mobilizáltság 0,57 ⋅ M < η0 < 0,69 ⋅ M

2.16

Ez lényegében azonos a 2.8 szerinti értékekkel.

2007. június

5



nyírófeszültség τ

törési vonal K0-vonal

NC

ϕ'

OC1

χ σ’x0NC

OC2

σ’x0OC1

σ’z0

σ’x0OC2

normálfeszültség

σ'

2.3. ábra. K0-állapotok a Mohr-féle koordinátarendszerben.

deviátorfeszültség q

törési vonal

Ko-vonal NC

1

qNC

M

η0

1 OC εv=const.

qoc1 p’OC1 p’OC2

p’NC

átlagos normálfeszültség

p’

qoc2

2.4. ábra. K0-állapotok a p’ – q koordinátarendszerben

2007. június

6



2.3. A feszültség-alakváltozás kapcsolat K0-állapotban A talajok ülepedése K0-állapotban oldalirányú alakváltozás nélkül következik be. Úgy tekinthetı, hogy a K0-állapot p’ átlagos hatékony normálfeszültsége térfogati kompressziót, q deviátorfeszültsége nyírási alakváltozásokat okoz. Ez a kettıs hatás csökkenti a talaj hézagtényezıjét. Izotróp kompresszió esetén, azaz ha csak p’ feszültség mőködik, nagyobb p’ értékre van szükség egy bizonyos tömörség (hézagtényezı) eléréséhez, mint K0-állapotban, mert ez utóbbiban p’ mellett q deviátorfeszültség is hat. A 2.4. ábrán bejelölt lila vonal ezt fejezi ki. A K0-állapotban bekövetkezı tömörödést az ödométeres vizsgálattal kiválóan lehet modellezni, így kapjuk a kompressziós görbét. Ezt a hagyományos ábrázolásban a 2.5. ábra mutatja, s ezen jól érzékelhetı a talaj felkeményedı jellege, az összenyomódási folyamat során a tömörödı talajban ugyanazon feszültségnövekmény hatására egyre kisebb lesz a fajlagos összenyomódás növekménye. Az ábrán jelezzük azt is, hogy a tehermentesítés és az újraterhelés során laposabb a kompressziós görbe, mint az elsı terheléskor. A kompressziós görbe világszerte elterjedt, nálunk kevésbé használatos ábrázolását mutatja a 2.6. ábra. Ezen a σ′v függıleges hatékony feszültségek logaritmusának függvényében ábrázoljuk a talaj hézagtényezıjének változását. Egyezményesen elfogadott, hogy ebben az ábrázolásban a kompressziós görbe egyenes, s hajlása a normálisan konszolidált talaj (az elsı terhelés) esetében a Cc kompressziós index, míg a túlkonszolidált talaj (a tehermentesülés és az újraterhelés) esetében a Cur tehermentesítési-újraterhelési index. A kompressziós összefüggés σ′v > σ′v max terhelés esetén e = e0 − Cur ⋅ ln

σ′v max σ′v − Cc ⋅ ln σ′v 0 σ′v max

2.17

Ezen összefüggés továbbfejlesztése látható a 2.7. ábrán, ahol a p’ átlagos hatékony normálfeszültség logaritmusának függvényében a ν =1+e fajlagos térfogat változását adhatjuk meg (Schofield és Wroth, 1968). A feszültség-alakváltozás viszonyának ezen összefüggéstendszere része a legtöbb korszerő anyagmodellnek. Itt a K0-állapotú kompresszió egyeneseinek hajlása λ (NC-talaj) és κ (OC-talaj). Ebben az ábrázolásban megadható az izotróp kompresszió és a törési állapot vonala is: hajlásukat a kísérletek szerint a K0-vonaléval azonosra vehetjük, s a K0-vonal két oldalán helyezkednek el – összhangban a 2.4. ábra lila vonalának alakjával. Az általánosított kompressziós összefüggés p’>p’max terhelés esetén ν = ν 0 − κ ⋅ ln

p′max p′ − λ ⋅ ln p′0 p′max

2.18

A 2.7. ábra a 2.4. ábrával együtt érzékelteti igazán a K0-állapotnak az új talajmodellekben betöltött általánosabb szerepét, jelentıségét.

2007. június

7


σ’v0


σ’vmax

σ'v

εv 2.5. ábra. A K0-állapotbeli összenyomódás ábrázolása: a hagyományos kompressziós görbe.

e 1

e0 emin

Cur OC NC

1 Cc

ln σ’v0

ln σ'vmax

ln σ'v

2.6. ábra. Összenyomódás K0-állapotban: a kompresszió görbe szemilogaritmikus ábrázolása.

ν

törési vonal K0-vonal

1

ν0 ν0

izotróp kompresszió

ν=1+e

κ OC NC

1 λ

ln p’0

ln p'max

ln p'

2.7. ábra. A térfogatváltozás K0-állapotbeli törvényeinek általánosítása.

2007. június

8



3. Jáky képlete Az elıbbiekben érzékeltettük a K0-állapot jelentıségét, s azt hogy ezt lényegében a K0tényezıvel fogalmazzuk meg, melynek meghatározására általában Jáky 2.4 képletét használjuk. Jáky az 1948 évi rotterdami konferencián megjelent dolgozatában szerepeltette elıször a 2.4 formulát, de az a publikáció (Jáky, 1944), melyben a képlet levezetése szerepel, valójában más végeredményt tartalmazott. A Mérnökegylet lapjában megjelent dolgozatot a világ aligha ismerhette meg, valószínőleg inkább Kézdi (1961) mőve lehetett (volna) igazi forrás. Valójában azonban – úgy tőnik – a képlet eredete nem nagyon ismert, gyakori, hogy azt empirikusnak gondolják. Magam 1992-ben foglalkoztam elıször a képlettel, s akkor igyekeztem tisztázni a 2.4 közismertté vált formula tartalmát. Ekkor úgy tőnt, hogy – bár fel kellett fedeznem eredetének önkényes elemeit – sikerült rámutatni arra, hogy a 2.4 formula végül is Jáky megközelítésébıl is származtatható. Késıbb, tovább vizsgálva a problémát, azt kellett azonban felismernem, hogy a Jáky-féle levezetés súlyosabb problémákat is felvet. A következıkben igyekszem bemutatni Jáky eredeti levezetésének lényegét, annak elemzését, kritikáját és javítási próbálkozásait. 3.1. Jáky eredeti megoldása Jáky 1944-ben közölt levezetésében a 3.1. ábrán látható földék feszültségállapotának megoldásából származtatta a K0-tényezıt. Azt tételezte fel, hogy a földék szimmetriatengelyében nyugalmi állapot uralkodik, ami jogosnak látszik. x

x1

O

a Jáky (1944) b Jáky-Szepesházi (1992) c Szepesházi (1992)

τxz

t cc

a bb A

C B

ϕ

45+ϕ/2

z

3.1. ábra. A Jáky által vizsgált földék és a nyírófeszültség változásának különbözı közelítései. A természetes rézsővel határolt, szimmetrikus, síkbeli alakváltozási állapotú földék rézsőfelszínének közelében a ϕ hajlás miatt képlékeny határállapot van. Jáky erre a zónára érvényesnek tekintette Rankine-nek ϕ hajlású végtelen rézsőre vonatkozó megoldását. Eszerint a rézsővel párhuzamos és a függıleges síkok csúszólapok, a feszültségi fıirány pedig a vízszintessel 2007. június

9



45+ϕ/2 szöget zár be. Jáky úgy tekintette, hogy a Rankine-féle megoldás a földék csúcsából induló fıirány vonaláig érvényes. Rankine szerint az OAB tartományban σz = t ⋅

1 + sin2 ϕ sin ϕ ⋅ cos ϕ

3.1

σ x = t ⋅ ctgϕ

3.2

τ xz = t

3.3

E képletekben t = z ⋅ γ ⋅ sin ϕ ⋅ cos ϕ − x ⋅ γ ⋅ sin2 ϕ

3.4

melyben γ a földék térfogatsúlya. Az OB-vonalon x1 = z ⋅ tg(45 − ϕ / 2)

3.5

És így σ z1 = x1 ⋅ γ ⋅

1 + sin2 ϕ cos ϕ

3.6

σ x1 = x1 ⋅ γ ⋅ cos ϕ

3.7

τ xz1 = x1 ⋅ γ ⋅ sin ϕ

3.8

Az OBC tartomány feszültségállapotára Jáky (1944) azt a feltevést tette, hogy abban a τxy nyírófeszültség a τxy1 értékrıl másodfokú parabolaként csökken a C függélyig zérusra, mivel ott a szimmetria miatt ez kötelezı: τ xz = τ xz1 ⋅

x2 x2 = ⋅ γ ⋅ sin ϕ ⋅ tg(45 + ϕ / 2) z x12

3.9

E feltételezésbıl a Cauchy-féle egyensúlyi egyenletekbıl levezethetık az OBC tartománybeli normálfeszültségek:   z σ z = z ⋅ γ − x ⋅ γ ⋅ sin ϕ ⋅ tg(45 + ϕ / 2) ⋅ 2 ⋅ ln + 1 x ⋅ tg(45 + ϕ / 2)  

3.10

2 ⋅ sin ϕ x 3 σx = ⋅ γ ⋅ ϕ ⋅ ( + ϕ ) + ⋅ γ ⋅ − ϕ ⋅ sin tg 45 / 2 z ( 1 sin ) 1 + sin ϕ 3 ⋅ z2

3.11

1+

3

A két feszültség értéke az OC-tengelyben, az x=0 helyen

σz = z ⋅ γ

3.12

2 ⋅ sin ϕ 3 σ x = z ⋅ γ ⋅ (1 − sin ϕ) ⋅ 1 + sin ϕ 1+

3.13

A két feszültség hányadosa a nyugalmi nyomás szorzója: 2 1 + ⋅ sin ϕ σ x0 3 = (1 − sin ϕ) ⋅ K0 = 1 + sin ϕ σz0 2007. június

3.14

10



A 3.1 képletrıl Jáky kimutatta, hogy a 20 < ϕ < 40° tartományban nagyon jól közelíthetı a K 0 = 0,9 ⋅ (1 − sin ϕ)

3.15

képlettel. Ez volt Jáky 1944 évi levezetése, és a 3.15 képletet tette közzé a Mérnökegylet lapjában. Ezután a rotterdami konferencián közölt cikkében Jáky elhagyta a 0,9 szorzót, és a már tárgyalt K 0 = (1 − sin ϕ)

3.16

szorzót alkalmazta, ám erre magyarázatot nem adott, s magam sehol sem találtam indoklást. Ekként meg kell állapítanunk, hogy Jáky közhasználatú 3.16 (2.4) képlete valójában megalapozatlan, legfeljebb a 3.15 praktikus egyszerősítésének tekinthetjük. 3.2. A Jáky-levezetés 1992-es elemzése Az elıbbiekben bemutatott 3.15 és 3.16 képlet közötti különbség kb. 15 %-kal eltérı eredményt ad a 20 < ϕ < 40° tartományban. Ezt akár el is nézhetnénk, de a K0-állapot fokozott jelentısége miatt mindenképpen érdemesnek látszott tisztázni, valójában mit is jelent a Jáky által 1948-ban bevezetett egyszerősítés. E célból 1992-ban megvizsgáltam, hogy mire jutunk, ha a 3.9 másodfokú parabola helyett más kitevıjő hatványfüggvénnyel írjuk le τxz nyírófeszültség OBC tartománybeli változását. Ha az általános x τ xz = τ xz1 ⋅    x1 

β

3.17

hatványfüggvényt vesszük fel, és aztán Jáky nyomán elvégezzük a levezetést, „meglepetésre” azt kapjuk, hogy éppen β=1 esetén kapjuk meg a 3.16 képletet, ami τxz lineáris átmenetét jelenti az x1 helyen lévı τxz1 és az x=0 helyen levı τxz=0 zérus között. Valójában 1992-ben azt gondolhattam, hogy ez a feltevés semmivel sem rosszabb, mint Jáky eredeti parabolikus átmenete volt. Annyiban talán még indokoltabbnak is ítélhettem, hogy a lineáris átmenet a legtermészetesebb. Ellene szólt viszont, hogy ekkor az x=0 helyen, a szimmetriatengelyben nem vízszintes a τxz függvény érintıje, amit elvileg akkor elvárhatónak gondoltam. Kifogásolható volt az is, hogy a B-vonalon, az x=x1 helyen sem folytonos így τxz változása, bár a törés a lineáris változás esetén kisebb, mint a parabolikusnál. Azt lehetett persze gondolni, hogy az egyenesek között az átmenetnél adódó szög a valóságban lekerekedik. 1992-ben, hogy az x=x1 és az x=0 helyeken „szebb” illeszkedést kapjunk, s ennek hatását megvizsgálhassuk, kerestem egy olyan függvényt, melynek deriváltja az x=x1 helyen azonos a τxz addigi lineáris függvényével, illetve x=0 helyen zérus. Ilyenként választottam a τ xz = A ⋅ z ⋅ xB ⋅ eC⋅ x

3.18

függvényt, illetve ennek τ xz = A ⋅ z ⋅ xB ⋅ (1 + C ⋅ x )

3.19

Maclaurin-sorát. A függvény konstansait a deriváltak elıbbi illeszkedési követelményeibıl és a τxy értékek x=x1 helyen kötelezı azonosságából lehetett megállapítani. Ebbıl Jáky nyomán le lehetett vezetni a  sin ϕ K 0 = (1 − sin ϕ) ⋅ 1 −  (1 + sin ϕ) ⋅ sin ϕ + 4,5 + 4 ⋅ sin ϕ + 3

(

2007. június

  

)

3.20

11



összefüggést. Errıl belátható, hogy a 20<ϕ<40 ° tartományban 1,2 % hibával közelíthetı a K 0 = 0,95 ⋅ (1 − sin ϕ)

3.21

képlettel. A 3.21 képlet tehát éppen az eredeti 3.15 és az ismertté vált 3.16 képlet átlaga. Ennek alapján 1992-ben azt gondoltam, nem érdemes a háromféle megoldás különbségének túlzott jelentıséget tulajdonítani, s a 3.18 képletet, mert tetszetısebbek a peremfeltételei, jobbnak tekinteni. Az elemzésbıl akkor inkább azt szőrtem le, hogy az ismert 3.16 képlet is származtatható a Jáky-féle alapgondolatból, annak egy lehetséges megoldásaként tekinthetjük. 3.3. A Jáky-féle megoldás felülvizsgálata Sajnálatos módon 1992-ben nem ismertem fel, hogy a Jáky-féle levezetésnek más, az elıbbieknél súlyosabb ellentmondásai vannak (– mentségemre: eddig senki sem). Jáky a σz feszültség x<x1=z·tg(45–ϕ/2) tartománybeli változására levezetése eredményeként a 3.10 képletet adta meg, majd a K0-tényezı meghatározásakor úgy tekintette, hogy ennek x=0 helyen σz=z·γ az értéke. Ám belátható, (eddig talán a tisztelet homályosította el látásunkat), hogy x=0 nem része a 3.10 függvény értékkészletének, nyilvánvaló, hogy a logaritmus-jel utáni törtbe x=0 nem helyettesíthetı be. A 3.10 képletet, illetve az x>x1=z·tg(45–ϕ/2) tartományra a Rankine-féle 3.4 képletet egy felvett esetre (belsı súrlódási szögre, mélységre, térfogatsúlyra) a 3.2. ábrán ábrázoltam. Látható, hogy a Jákynak, a Cauchy-féle egyenletbıl levezetett 3.10 képlete sem ad σz=z·γ=200 kPa értéket az x=0 helyre, ott a –∞-hez tart. A 3.2. ábrán megrajzoltam a 3.17 képletbıl kiindulóan levezett 1 + sin σ z = z ⋅ γ ⋅ tg(45 − ϕ / 2) ⋅

2

cos ϕ

ϕ

β −1   x β   + z ⋅ γ ⋅ sin ϕ ⋅ ⋅ 1 −  2 − β   z ⋅ tg(45 − ϕ / 2)   

3.22

megoldás képét a β=1,0, β=1,05 és β=0,90 esetekre. Érdekes módon a β=1,0 eset az x>x1 tartományra a σz = 167 kPa = const. értéket adja. β=1,05 az OC-tengelyhez közelítve növekvı értékeket eredményez, és a tengelyt σz≈200 kPa-nál közelíti, de aztán a +∞-hez tart. Megjegyzem, hogy tovább növelve β értékét a σz feszültségek rohamosan nınek, és fizikailag értelmetlen eredményre vezetnek. A β=0,90 az OC-tengelyhez közelítıen csökkenı értékeket eredményez, s –∞-hez tart. Ezt a görbét kb. ki lehet egyenlíteni az x=x1 és σz=167 kPa, ill. az x=0 és σz=100 kPa koordinátájú pontokat összekötı egyenessel, aminek jelentısége még elıkerül. Megjegyzem, hogy tovább csökkentve β értékét a σz feszültségek rohamosan csökkennek, és fizikailag értelmetlen eredményre vezetnek. A 3.22 képletbıl az is látható, hogy a β=2 valóban nem értelmezhetı, tehát Jáky 3.9 kiinduló feltételezése szerencsétlen volt. Az is megállapítható, hogy β=1 esetén az x=0 helyen a 3.22 képlet sem értelmezhetı, tehát helyettesítési értéke nincs, viszont a határértéke σz=167 kPa. A 3.2. ábrán vázolt megoldásokkal kapcsolatban statikai érzékünk is azt mondatja, hogy a függıleges feszültségeknek az OC vonal felé növekedniük kell, de a σz=z·γ nagyságot ott sem érhetik el. Képzeljünk el ugyanis valamely z mélységben egy vízszintes felszínt, s tekintsük a felette levı földéket lineárisan változó, szimmetrikus, megoszló terhelésnek. Nyilvánvaló, hogy a feszültségszétterjedés miatt az e terhelésbıl a z mélység alatt keletkezı függıleges feszültségek már kevéssel e szint alatt kiegyenlítıdésnek indulnak. Így a tengelyvonalban z·γ-nál kisebb lesz a feszültség, míg a tengelytıl távolodva nagyobb annál, mint ami a hely felett levı földmagasság-

2007. június

12



ból adódna. (Ez utóbbit jelöli a 3.2. ábrán a z·γ (piros) vonal.) Nyilvánvaló viszont, hogy a z mélységben mőködı σz függıleges feszültségek integráljának ki kell adnia a földék súlyát, mely általában és példánkban G=

1 2 1 ⋅ z ⋅ γ ⋅ ctgϕ = ⋅ 10 2 ⋅ 20 ⋅ ctg30 = 1732 kN / m 2 2

3.23

250

200

150

100

50 x = x1

0

függıleges feszültség σz kPa

Jáky (1944)

βλ = 1,00 βk= 1,05 βj = 0,904 zm· γ

-50

heurisztikus közelítés m

ϕ = 30 ° z = 10 m 3 γ = 20 kN/m

-100

-150 20

15

10

5

0

távolság a földék tengelyétıl x m

3.2. ábra. A függıleges feszültségek változásának lehetıségei a földékben A 3.2. ábrán vázolt σz feszültségváltozások közül csak az fogadható el, melyre igaz, hogy az alatta levı terület a z·γ (piros) vonal alatti területtel azonos nagyságú. Belátható, hogy ha az x>x1 tartományra elfogadjuk a Rankine-féle 3.1 összefüggést, akkor a területegyenlıség csak kb. a β=0,90 esetre érvényes vonallal volna teljesíthetı, mely azonban a csökkenés miatt irreálisnak ítélhetı. Ha a β=1,05 esetre érvényes enyhén növekvı és közelítıleg kb. σz=200 kPa-t elérı vonalat tekintjük, abból 2021 kN/m terület adódna, vagyis nincs meg a vetületi egyensúly. Ha a β=1,0 esetet vesszük alapul, akkor a σz=167 kPa=const. vonat kapjuk, amivel a teljes terület 1925 kN/m lenne. Érdemes megemlíteni, hogy a 3.22 képlet elsı tagja, azaz a 3.6 képlet, lényegében minden reális ϕ-re a σz≈0,83 z·γ értéket adja, ez érvényes az x=x1 helyen, s innen nyilván már nehezen növekedhet OC felé a σz úgy, hogy közben a vetületi egyensúly is meglegyen. Mindezekbıl úgy tőnik, ha az x>x1 helyre még elfogadjuk a Rankine-féle 3.6 értéket, akkor nem tudunk az OC felé való növekedés és a függıleges vetületi egyensúly követelményét egyaránt kielégítı megoldást találni.

2007. június

13



Azt kell tehát megállapítanunk, hogy Jáky megoldása, amelybıl a 3.16 képlet keletkezett, ötféle okból sem helyes, − az általa levezetett 3.10 képlet nem ad az OC-vonalra σz=z·γ függıleges feszültséget, amivel pedig Jáky továbbszámolt, − a 3.10 képlettel aligha teljesül a függıleges vetületi egyensúly, − nincs ésszerő indok arra, hogy a függıleges feszültségek az x<x1 tartományban úgy változzanak, amiként azt a 3.10 képlet kiadja, − nem tőnik helyesnek az a feltételezés, hogy a Rankine-féle megoldás még az x=x1 helyen is érvényes lenne, − a levezetéssel nyert 3.14 képletet Jáky indoklás nélkül módosította a 3.16 képletre. Hasonló módon kell értékelnünk természetesen a 3.22 képletet is, ez sem ad ésszerő megoldásokat, ami szintén azt jelzi, hogy nem lehet abból kiindulni, hogy a Rankine-féle megoldás még az x=x1 helyen is érvényes. Statikai érzékünk azt diktálja, hogy egy olyan σz feszültségváltozás lehet reális, amilyent például a 3.2. ábrán zöld színnel jelöltünk. Ez az OC-tengely felé növekszik és ott olyan értéket (most 150 kPa-t) ér el, hogy teljesül a függıleges vetületi egyenlet. 3.4. A földék mechanikai állapotának véges elemes vizsgálata Egy ésszerő megoldás kereséséhez a PLAXIS véges elemes programmal is megvizsgáltam a földék mechanikai állapotát. A szimmetria miatt elég volt a földék felét modellezni, s tengelyében az oldalirányú elmozdulást megtiltottam. A földék anyagának súrlódási szögét és térfogatsúlyát ugyanarra vettem, mint amilyen a 3.2. ábrán látható, viszont a kohéziót PLAXIS program számítástechnikai követelményei miatt 1 kPa-ra kellett felvenni. Hogy ez ne zavarja meg az elemzést, a rézső hajlását a természetes hajlásnál kissé meredekebbre, 30,25° hajlásúra vettem. A rugalmassági modulust nagyon nagyra választottam, hogy a földék lényegileg merev-képlékeny viselkedést mutasson, amilyent Jáky feltételezett. A földék alá ugyanezt a talaj illesztettem, szükségszerően vízszintes térszínnel, s hogy ez következtetéseinket ne befolyásolja, a földék magasságát 70 m-re választottam, s az eredményeket a felsı 30 m tartományból vettem ki. A modell a 3.3. ábrán látható. Érzékelhetı, hogy a programmal nagyon finom hálót szerkesztettem, hogy a feszültségváltozások jól érzékelhetık legyenek. Az ábra jelzi, hogy z=30 m mélységben jelöltem ki egy metszetet, mert a következıkben látni fogjuk, hogy a felsı 10 m kissé zavaros képet mutat, nyilván a véges elemes analízis a ék csúcsát nehezen kezeli. A 3.4 ábrán mutatom be, miként változnak a függıleges normálfeszültségek. Érzékelhetı, hogy az ék csúcsa körüli zónát kivéve a kontúrvonalak szabályosak, egyenlı távolságban követik egymást, azaz σz mindig arányos a mélységgel. Látható ugyanakkor, hogy a tengelyben mindig kisebbek, mint ami a z·γ képletbıl adódna, pl. a 70 m mélységben, az alapján éppen 1000 kPa adódik, ami 70 %-a a 70·20=1400 kP-nak. A 3.5 ábrán a vízszintes normálfeszültségek változása látható. Ez a rézsőtalp körül kevésbé szabályos, de a tengely felé közeledve hasonló, mint az elıbbi. A 3.6. ábra a vízszintes nyírófeszültségeket mutatja. Ezen jól érzékelhetı a maximális nyírófeszültségek helyének változása, s azt lehet megállapítani, hogy az inkább a mindenkori alapvonal felében, illetve attól a rézsőláb felé vannnak, mintsem a 3.1. ábra szerinti OB-vonalon. Látható az is, hogy a τzx-vonalak csak kb. 10 m mélységig párhuzamosak a határállapotban levı rézsőfelszínnel, illetve ez a mélység lefelé kissé növekedik. Mindezek azt jelzik, hogy a Rankine-állapot csak szőkebb tartományban érvényesül, mint azt Jáky feltételezte.

2007. június

14



3.3. A földék véges elemes modellezése

2007. június

15



3.4. ábra. A függıleges normálfeszültségek alakulása a földékben

2007. június

16



3.5. ábra. A vízszintes normálfeszültségek alakulása a földékben

2007. június

17



3.6. ábra. A vízszintes nyírófeszültségek alakulása a földékben

2007. június

18



A 3.7. ábra a z=30 m mélységben felvett vízszintes sík mentén bekövetkezı feszültségváltozásokat érzékelteti. Látható, hogy a σz feszültség szabályosan parabolikus, olyan, mint amilyent heurisztikus alapon is várhatunk, s amilyent a 3.2. ábrára is berajzoltunk. A tengelybeli 464 kPa a z·γ képletbıl adódó 600 kPa-nak 77 %-a. A vízszintes feszültség meglepı módon a lábvonal felétıl alig növekszik. A nyírófeszültség – összhangban a 3.6. ábra kapcsán tett megállapításokkal – már a lábvonal felétıl csökken, s a tengelyben zérus. Ám a τzx(x) függvény ide nem vízszintes érintıvel csatlakozik, ahogy azt Jáky a 3.9 képlettel biztosítani akarta, sokkal inkább lineáris átmenettel, amint pl. a 3.1 ábrán a b-vonallal a 3.16 képlethez vázoltuk.

3.7. ábra. A feszültségek változása z=20 m mélységben (a földék tengelye a bal oldalon van. felül: a σz függıleges feszültségek változása a max. érték 464 kPa, középen: a σx vízszintes feszültségek változása a max. érték 153 kPa, alul: a τxz vízszintes nyírófeszültségek változása a max. érték 78 kPa, A 3.8. ábra a földék tengelyében kiadódott függıleges és vízszintes normálfeszültségek változását mutatja. (A nyírófeszültségeket nem érdemes bemutatni, mert azok 1,5 kPa alatt maradnak, vagyis az elıbbiek szerint kötelezı zérustól alig különbözik.) Látható, hogy a függıleges feszültségek változása csaknem hibátlanul lineáris, a vízszinteseké a földék talpától felfelé lényegében szintén az, a felsı 15 m-ben ezen is érzékelhetı „rendetlenség” van. Ha a két ábra lineáris szakaszait összevetjük, akkor a vízszintes és függıleges feszültségek hányadosára 0,33 körüli értéket kapunk. Ez pedig ϕ=30° esetén éppen a Rankine-féle tg2(45-ϕ/2) aktív földnyomási szorzónak felel meg, tehát nem a mindenképpen 0,5 körüli nyugalmi nyomási szorzónak. A 3.9 ábrán azt mutatom be, hogy a vízszintes feszültségek valószínőleg azért olyan kicsik, mert a tengelyben ugyan nincs elmozdulás, de tıle kis távolságban már gyorsan kialakulnak az aktív állapotnak megfelelı mozgások.

2007. június

19



Meg kell tehát állapítanunk, hogy ezek az elemzések annak a koncepciónak a jogosságát is kétségbe vonják, hogy a földék tengelybeli feszültségi állapotát nyugalmi állapotnak tekinthetjük. Vessük ezt egybe azzal, hogy az elızı fejezetben is éppen a tengelyvonalra kaptunk furcsa eredményeket. A tengelyvonal talán inkább egy nehezen értékelhetı, matematikailag szinguláris helynek, mintsem a nyugalmi állapot vonalának gondolható.

3.8. ábra. A feszültségek mélység szerinti változása a földék tengelyében. balra: a σz függıleges feszültségek változása a max. érték 1420 kPa, jobbra: a σx vízszintes feszültségek változása a max. érték 750 kPa.

3.8. ábra. A vízszintes elmozdulások változása földékben.

2007. június

20



3.5. A teljes földék feszültségi állapotának leírása Látván azt, hogy a Rankine-állapotot nem lehet a földékben olyan mértékben kiterjeszteni, miként azt Jáky tette, illetve, hogy a függıleges feszültségek x szerinti változását valamilyen hatványfüggvénnyel lehet közelíteni, miközben z szerinti változásuk lineárisnak vehetı, tettem még egy kísérletet arra, hogy a földék egészére érvényes, az elıbbiekben kifogásolt vonásokat kiküszöbölı feszültségfüggvényeket állítsak elı, melyekbıl azután a K0-tényezı meghatározható lesz. A függıleges feszültségek változását σ z = A ⋅ z ⋅ xB + c

3.24

alakkal kerestem. Kikötöttem rá, hogy a rézsőfelszínen másodrendően is egyezzen meg a Rankineállapotnak megfelelı 3.1 és 3.4 képletekkel leírható feszültségekkel, azaz az x=z·ctgϕ helyen σz = 0, illetve dσz/dx = - γ·tgϕ·(1+sin2ϕ), ami a 3.1 és 3.4 képletek deriválásából adódik. Elıírtam természetesen, hogy a 3.24 integrálja a teljes x=0 és x=z·ctgϕ tartományra legyen azonos a földék súlyával. A σx vízszintes normálfeszültségre és a τzx vízszintes nyírófeszültségre is kikötöttem, hogy az x=z·ctgϕ helyen zérusok legyenek. A Cauchy-egyenletekbıl ezek alapján levezethetık voltak a következı feszültségek:   x 1+ 2⋅sin 1 + sin2 ϕ 1 −   z σz = ⋅ ⋅ γ ⋅   z ⋅ ctgϕ  1 + 2 ⋅ sin2 ϕ 

2

  

  x 3 + 2⋅sin cos2 ϕ 1 −   σx = ⋅ ⋅ γ ⋅ z   z ⋅ ctgϕ  3 + 2 ⋅ sin2 ϕ 

2

  x 1+ 2⋅sin sin2 ϕ 1 −   x = ⋅ ⋅ γ ⋅   z ⋅ ctgϕ  1 + 2 ⋅ sin2 ϕ 

2

τzx

ϕ

ϕ

  

ϕ

  

3.25

3.26

3.27

Könnyen belátható, hogy mindegyik képlet az x=z·ctgϕ helyen zérust ad, és az is, hogy ugyanott x szerinti deriváltjaik is azonosak a 3.1 – 3.4 képletekével. (Még a σx és τxz függvényeké is, pedig azokra azt nem kötöttük ki.) Az x=0 helyen a nyírófeszültség zérus, aminek helyességét már láttuk. A 3.25 – 3.27 képletek tehát egy „elég” jónak látszó megoldást adnak. Képüket az eddigiekben is számított esetekre a 3.9. ábra mutatja, s ezen a véges elemes analízisbıl kiadódottakhoz nagyon hasonló függvényeket kaptunk, de a σx és τxz értékei kisebbek. Ha a tengelybeli σx és σz értékeket összevetjük, hányadosuk 0,26-ra adódik, ami még az aktív földnyomás 0,33 szorzójánál is kisebb. Kb. kétszeres σx (és τxz) értékeket kellett volna kapnunk, s azokból kb. a ϕ=30° esetén várható 0,5 körüli nyugalmi nyomási szorzó adódna. Úgy tőnik tehát, hogy a 3.24 alakú függvényt keresve egy viszonylag sok feltételt kielégítı megoldást kaptunk ugyan a földék feszültségi állapotára, de ebbıl is kisebb K0-tényezı adódik, mint amit várunk. A próbálkozás mindenesetre azt jelzi, hogy elıállíthatók önkényes kiindulópontból különbözı megoldások, s azok között elvileg minıségi különbséget állapíthatnánk meg a peremfeltételeknek való megfelelés szerint. Ám úgy tőnik, e jobb minıség nem garantálja, hogy a K0-tényezıre jobb oldást kapjunk.

2007. június

21



250

σ zsz σmx τk z z·γ γ m

ϕ = 30 ° 200

z = 10 m feszültségek

γ = 20 kN/m

3

150 p kPa 100

50

0 20

15

10

5

0

távolság a földék tengelyétıl x m

3.9. ábra. A földék feszültségi állapotának egy lehetséges megoldása A jelen fejezet és a korábbiak alapján ki kell mondani, hogy a földék feszültségállapotából legalább is az eddigi megközelítésekkel nem lehet a nyugalmi nyomás szorzójára olyan képletet levezetni, mely összhangban van a mérésekkel és más alapon nyert képletekkel, illetve Jáky világhírővé vált 3.16 képletével. Azt is ki kell mondani, hogy ez utóbbi képlet valójában megalapozatlan, s a bemutatott elemzésekkel sem sikerült alátámasztani, mint ahogy azt 1992-ben végzett vizsgálataim nyomán vélelmeztem. A helyzet valójában rosszabbodott, egyértelmővé vált, hogy Jáky téves feltételezések, levezetésbeli hibák, helytelen megfontolások és önkényes módosítások szerencsés összegzıdéseként kapta világhírővé vált képletét. E megállapításokból fakadó teendıket most nem fogalmazom meg, hiszen az is elképzelhetı, hogy Jáky bemutatott matematikai elemzései és esetleg vizsgálati adatok alapján felismerte a K0-tényezı reális értéktartományát, s ennek nyomán vette fel a vonzó alakú K0=1-sinϕ képletet. Mivel elméleti alátámasztást nem tudott hozzá adni, Rotterdamban indoklás nélkül tette azt közzé. Ekként a képlet egy heurisztikus megoldásnak is tekinthetı, melyet azóta a szakma elfogadott. E lehetıség feltételezése mellett még inkább indokoltnak látszik azonban, hogy összevessük a képletet mások megoldásaival, illetve mérési eredményekkel.

2007. június

22



4. A különbözı eredető K0-tényezık összehasonlító értékelése 4.1 A K0-tényezık rendszerezése, összehasonlítása A K0-tényezı meghatározására a szakirodalomban viszonylag sok képlet található, s ezek részben különbözı eredetőek. Az ismert képleteket a 4.1. táblázat és a 4.1. ábra tartalmazza. A földstatikai képletek közé azokat sorolhatjuk, melyek valamely speciális peremfeltételekkel felvett földtest fizikai és geometriai összefüggéseinek alkalmazásából erednek. Jáky (1944, 1948) képletérıl az elıbbiekben részletesen volt szó. Láttuk ugyan, hogy elméleti megalapozottsága kétes, de természetesen az összevetésben helye van. Mint bemutattuk, az 1944 évi megoldás egy természetes hajlású rézsőkkel határolt, szimmetrikus földék feszültségállapotának a vizsgálatából ered. A táblázatba a levezetés után bevezetett közelítı képlet került. Az 1948-as évhez a világhírővé vált képletet rendeltük, melyet a rotterdami konferencián megjelentett cikkben külön indoklás nélkül adott meg. Matsuoka, Sakakibara (1987) képlete egy új anyagmodellbıl ered, abból adódik ki, ha képleteibe az oldalirányú fajlagos alakváltozás nullértékségét bevezetjük. A második csoportba tartozó képleteket abból a megfontolásból vezették le, hogy a nyugalmi állapot a nyírószilárdság egy bizonyos mobilizálódási szintjét jelenti, amint arra az 1. fejezetben rámutattam. Az alapösszefüggés azonos, az aktív földnyomás szorzója: K 0 = tg2 ( 45 − ϕmob / 2) =

1 − sin ϕmob 1 + sin ϕmob

4.1

E képletek közti különbséget a ϕmob súrlódási szögre tett különbözı feltevések adják, melyek vagy empirikus eredetőek, vagy anyagmodellbıl levezetett összefüggések vagy spekulatív megfontolások, illetve ezek kombinációja. A szemcsemechanikai összefüggések gömbökbıl álló halmazok egy merev falra ható nyomásának levezetésébıl erednek. E megközelítések több vitatható elemet is tartalmaznak, a legkritikusabb részletük, miként számítsuk át a szemcsék közti súrlódást a talajok belsı súrlódási szögére. Az empirikus képletek párhuzamosan mért K0-tényezık és belsı súrlódási szögek szinuszai közti korrelációs vizsgálatok eredményei. Közülük a legelfogadottabb Mayne és Kulhavy (1982) összefüggése, mely 121 adatpár feldolgozásából származik. İk a függvény keresésekor ϕ=0-hoz rögzítették az 1,0 értéket, s így állapították meg a sinϕ legjobb korrelációs együtthatót adó szorzóját. Bizonyos mértékig tehát ráerıszakolták a Jáky-formulát az adatokra, bár sinϕ szorzója kijöhetett volna másra is. A 4.1. ábrán ábrázoltam a táblázatban megadott képleteket, s errıl a következıket lehet leszőrni: − a görbék többsége a ϕ<25° tartományban viszonylag közel fut egymáshoz, csak néhány „lóg ki”, − ϕ>25° esetén néhány görbe már jócskán eltér a többitıl, de a többség itt is 0,1-en belül van, − Matsuoka és Sakakibara, illetve Yamaguchi képlete a ϕ>30° tartományban lényegesen különbözik a többitıl, Pruska görbéje pedig már ϕ=20°-tól jóval a többi felett halad, − Rowe görbéje, miként szerzıje ajánlotta is, csak ϕ>25° tartományra, a szemcsés talajokra alkalmazható, amiként Boltoné is, − Brooker és Ireland, ill. Schmidt képlete csak a kötött talajokra jó, miként arra is ajánlották ıket, − Jáky eredeti képlete, annak általam javított változata és Simpson képlete elég jól egyezik és egy kissé alacsonyabb értéket adnak, mint a többi, − Jáky közismert képlete kb. az átlagot adja. 2007. június

23



4.1. táblázat. A K0-tényezı számítására ajánlott képletek Képletcsoport

Földstatikai levezetés

Nyírószilárdság mobilizálódásából felvéve

Szemcsemechanikai levezetés

Empírikus

2007. június

Képlet

Szerzı, forrás

K0

Jáky (1944)

0,9 ⋅ (1 − sin ϕ′)

Jáky (1948)

1 − sin ϕ′

Matsuoka, Sakakibara (1987)

1 1 + 2 ⋅ sin ϕ′

Rowe (1962)

1 − sin 0,85 ⋅ (ϕ′ − 8 ) 1 + sin 0,85 ⋅ (ϕ′ − 8 )

Vierbzbiczky (1979)

1 − sin 0,67 ⋅ ϕ′ 1 + sin 0,67 ⋅ ϕ′

Bolton (1991)

1 − sin(ϕ′ − 11,5 ) 1 + sin(ϕ′ − 11,5)

Simpson (1992)

1 ⋅ sin ϕ′ 2 1 1+ ⋅ sin ϕ′ 2

Pruska (1972)

tg(45 − ϕ′ / 2)

Yamaguchi (1972)

1 − 0,414 ⋅ sin ϕ′ 1 + sin ϕ′

Fuchs (1975)

1 − 0,64 ⋅ sin ϕ′ 1 + 0,64 ⋅ sin ϕ′

Brooker, Ireland (1965)

0,95 − sin ϕ′

Schmidt (1966)

1,0 − 1,2 ⋅ sin ϕ′

Mayne, Kulhawy (1982)

1 − 1,003 ⋅ sin ϕ′

1−

24



1,0

0,8

K0

0,6

Jáky (1944) Jáky (1948)

0,4

Matsuoka, Sakakibara (1987) Rowe (1962) Vierzbiczky (Rymsza, 1979) Bolton (1991) Simpson (1992) Yamaguchi (1972)

0,2

Pruska (1972) Fuchs (1975) Brooker, Ireland (1965) Schmidt (1966) Mayne, Kulhawy (1982) 0,0 0

10

20

30

40

ϕ' °

50

4.1. ábra. A különbözı K0-képletek ábrája

2007. június

25



4.2. A képletek értékelése a mérési adatok tükrében A szakirodalomból 156 K0–ϕ mérési eredményt győjtöttem össze. Ezekkel értékelhetı az elıbbiekben megadott képletek alkalmassága. Az elsı lépésben megállapítottam mindegyik képletre és mindegyik mérési adatpárra vonatkozóan a számított és mért K0-tényezık k hányadosát, majd képeztem mindegyik képletre vonatkozóan e k hányados átlagát és szórását. Ezen statisztikai paraméterek minısítik egy képlet jóságát, s ezeket a 4.2. ábrán ábrázoltam. Nyilvánvaló, azok a legjobb képletek, melyek a k=1,0 és s=0 koordinátájú ponthoz a legközelebb vannak. 0,4 Jáky (1944)

k =

K mért 0 K 0szám

Rowe (1962)

k

átlag

Vierzbiczky (Rymsza, 1979)

s k szórás

Jáky (1948) Matsuoka, Sakakibara (1987)

sk szórás

0,3

Bolton (1991)

N = 156

Simpson (1992)

adat

Pruska (1972) Yamaguchi (1972) Fuchs (1975) Brooker, Ireland (1965)

0,2

Schmidt (1966) Mayne, Kulhawy (1982)

0,1

0,0 0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

k

átlag

4.2. ábra. A K0-tényezık minısége a mérési eredmények tükrében Az ábrán az látszik, hogy Vierzbiczky képlete a legjobb, annál alig gyengébb Simpsoné, majd Rowe képlete következik. Azt lehet tehát megállapítani, hogy azok a képletek bizonyultak a legjobbnak, melyek a K0-tényezıt a nyírószilárdság részleges mobilizálódásából fogalmazzák meg. Tegyük hozzá, Rowe képlete még jobb minısítést kapna, s hasonlóan jó lenne Bolton ugyanilyen eredető képle2007. június

26



te is, ha ezeket csak a ϕ>25° tartományra vizsgálnánk, amiként ık azt ajánlották. Itt azért nem ezt tettük, mert a gyakorlat szempontjából mindenképpen célszerő, ha minden talajfajtára ugyanazt a képletet használjuk. Úgy tőnik tehát, hogy elvileg a „mobilizálódási megközelítés” lehet a legjobb. Sajnos ennek elméleti alapjai a legkevésbé ismertek, például a legjobbnak talált Vierzbiczkyképletrıl mindössze Rymsza (1991) tanulmányából szereztem tudomást, s azt egyébként egyetlen a K0-témakörrel foglalkozó dolgozat sem említi. Vierzbiczky eredeti publikációját pedig nem sikerült felkutatni. Simpson képlete a szerzı publikációjában megjelenik, ott vázolja ún. tégla- (bricks) modellje alapjait is, de azt teljeskörően nem mutatja be, s hogy abból miként következik K0-képlete, az sem derül ki. Rowe és Bolton képlete a mobilizálódás elve mellett kísérleti adatokon alapul. Viezbiczky-képlete valószínőleg heurisztikus jellegő volt, a 4.2. ábra viszont azt mutatja, hogy a kísérleti adatok alapján is ésszerő a nyírószilárdság kétharmadának mobilizálódását feltételezni. A 4.2. ábrán az is érzékelhetı, hogy Jáky (1948), valamint Mayne és Kulhawy (1982) K0=1-sinϕ képlete alig gyengébb az elıbbieknél. Az utóbbi persze nem véletlenül illeszkedik a mérési eredményekhez, hiszen a Mayne és Kulhawy által feldolgozott adatok átfedésben vannak az általam felhasználtakkal. Jáky-képletének jósága azt sugallja, hogy népszerőségét valószínőleg nem a világ nagyobb részén ismeretlen, az elıbbiekben sajnos kétségesnek talált elméleti hátterének, hanem a mérési adatokkal való jó egyezéseknek köszönhette. A legjobbnak talált képleteket a 4.3. ábrán a mérési adatokkal együtt külön is ábrázoltam. 1,0 Jáky (1948) Viezbiczky (Rymsza, 1979) Simpson (1992)

0,8

Mayne és Kulhawy (1982) Rowe (1962)

K0 0,6

0,4

0,2

0,0 0

10

20

30

40

50

ϕ' °

60

4.3. ábra. A legjobb képletek és a mérési adatok 2007. június

27



Errıl az ábráról mindenek elıtt az állapítható meg, hogy a releváns tartományban sokkal kisebb a képletek közötti különbség, mint amekkora az adatok szóródása e képletek görbéi körül. Érzékelhetı továbbá, hogy Vierzbiczky és Simpson képlete alighanem csak azért jobb a K0=1-sinϕ képletnél, mert a ϕ>48° tartományban levı 4 ponthoz közelebb vannak. E pontok egyébként tızegtalajokra vonatkoznak, melyek magas súrlódási szöge valójában a diagenezis kezdeti fázisában bekövetkezı markáns állapot- és szilárdságjavulás kifejezése, s így talán külön elbírálást is érdemelnének. Egy ilyen statisztikai elemzés egyébként közelebb is hozta a 4.3. ábrán ábrázolt képleteket a 4.2. ábrán bemutatott ábrázolásban. A különbségeknek azonban nincs gyakorlati jelentısége, ezért azt állapíthatjuk meg, hogy Jáky K0=1-sinϕ képlete csaknem ugyanolyan jó, mint Vierzbiczkyé. A képlet elterjedtsége, szimpatikus alakja indokolja használatát, ha mögé már nem is nagyon állíthatunk elfogadható elméleti hátteret. A képlet esztétikumát illetıen, aminek azért van haszna és szerepe, Vierzbickyé is versenyképes, Rowe, Simpson és Bolton képlete e tekintetben talán kevéssé elınyös. Vierzbiczky képletének hátterérıl csak a lényegét, a mobilizálódás elvét ismerjük, de úgy vehetjük, hogy a többiek mélyebb elméleti munkája az ı megfontolásait is igazolja. A 4. fejezet elemzéseinek zárásaként az fogalmazható meg, hogy noha Jáky képletének elméleti megalapozottságát a 3. fejezetben bemutatott vizsgálatok kétségessé teszik, a mások képleteivel és a mérési adatokkal való összevetés tulajdonképpen némi igazolást adott a képletnek. Rögzíthetjük, hogy nincsenek a szakirodalomban olyan más megoldások, melyeket elméleti alapok meggyızıen igazolnának. A nyírószilárdság részleges (kb. kétharmados) mobilizálódásán alapuló különbözı formulák lényegében azonos eredményre vezetnek, s ezek nagyon hasonló számértékeket adnak, mint Jáky képlete. A mérések is e mobilizálódási megközelítés helyességét igazolják, de a mérési adatokkal való összevetés Jáky képletét is közel ilyenre minısíti. Mindezek mellett Jáky képlete mellett szól elterjedtsége és elınyös alakja is. Feltárt ellentmondásainak értékelése egy magyar geotechnikus számára sajátos etikai kérdéseket is felvet, ezek megválaszolásához, illetve a belılük fakadó teendık megfogalmazásához idıre van szükség… Itt érdemes még megemlíteni, hogy a K0-tényezı természetesen mérhetı is, számos laboratóriumi és terepi módszert fejlesztettek ki, melyekrıl jó áttekintést ad doktori értekezésem (Szepesházi, 1992). A szakirodalom újabb áttekintése azt mutatta, hogy e tekintetben nincs újdonság, továbbá azt is, hogy a gyakorlatban meglehetısen ritka az ilyen vizsgálat. Úgy tőnik, a speciális vizsgálatok költsége és a kapott eredmények megbízhatósága nem áll arányban egymással, mivel mind a terepi, mind a laboratóriumi vizsgálat elıkészítésekor lényegében elkerülhetetlen a nyugalmi állapotot bizonyos mértékő megzavarása. Míg más talajvizsgálatok esetében a terhek és az alakváltozások növekedése e zavarások hatását valamelyest csökkenti, a mért K0-tényezıben ez a dolog lényegénél fogva nagy. Mindezek miatt is van különös jelentısége a K0-tényezı számításának, így pl. Jáky képletének is.

2007. június

28



5. Az elıterhelt talajok K0-tényezıje A 2. fejezetben már rámutattam az elıterheltség hatására, s ott jeleztem, hogy általában a 2.5 képlettet fogadhatjuk el az elıterheltség hatásának figyelembevételére. Ismertettem egy saját kísérletemet, mely megmutatta, hogy a tehermentesülési ágra a 2.5 képlet valóban jellemzı, de az újraterhelés során a hiszterézis miatt a K0-tényezı kisebb. A szakirodalomban számos kísérleten alapuló munkát találhatunk, de lényegében valamennyi megegyezik abban, hogy a K0 – OCR kapcsolat m K OC = K NC 0 0 ⋅ OCR

5.1

képlettel írható le, s az m kitevıre az 5.1. táblázatban szereplı ajánlások lelhetık fel. 5.1. táblázat sorszám 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

szerzı, forrás Schmidt (1966) Alpan (1967) Alpan (1967) Campanella és Vaid (1972) Schmertmann (1975) Ladd és tsai (1977) Belotti és tsai (1981) Ghionna és tsai (1981) Mayne és Kulhawy (1982) Sherif és ishibashi (1981) Azzouz és Lutz (1986) Ashmeida és Parry (1986) Tsuchida – Kikuchi (1991) Eurocode 7 (2006)

talajfajta agyag agyag homok agyag homok agyag homok homok minden homok agyag agyag agyag minden

m kitevı sin (1,2·ϕ’) 0,541 / (1,008 · exp IP) 0,9 – 0,7 · sin ϕ’ 0,41 0,42 0,44 – 0,001· IP 0,48 0,42 …0,46 sin ϕ’ 0,70 0,40 ϕ’ (rad) 0,40…0,55 0,50

Mayne és Kulhawy (1982) 82 adat feldolgozásával „állította elı” képletét, ezért általában azt tekintik a legmegbízhatóbbnak. Lényegében a többi is összhangban van vele, kivéve Alpanét. Ha az egyszerőség céljából m=const. értékkel kívánunk számolni, akkor agyagokra m=0,40…0,45, homokokra m=0,5…0,55 vehetı fel, de átlagosan megfelel az m=0,5 is, amit az Eurocode 7 is ajánl. Belátható, hogy ezek lényegében összhangban vannak Mayne és Kulhawy (1982) javaslatával is. Érdekes és mélyebb tartalmú összefüggések adódnak a K0 – OCR kapcsolatra a legújabb talajmodellekbıl, melyekre a 2. fejezetben már utaltam. A Cam Clay modell Ohta és Hata (1971) szerinti kiterjesztése ésa a PLAXIS programban szereplı Hardening Soil modell alapját képezı elméletek (Vermeer, 1978, Schanz, 1998) is az

εpv =

p′ λ−κ ± D ⋅ (η − η0 ) ⋅ ln 1 + e0 p′0

5.2

összefüggéssel írják le a képlékeny fajlagos térfogatváltozást a 2. fejezetben bevezetett jelölések értelmében. Ebben az elsı tag a p’ átlagos normálfeszültség, a második a deviátorfeszültség változá-

2007. június

29



sának hatását jelenti, mely pozítiv ha η közelít M-hez, ellenkezı esetben negatív. A képletben szereplı D dilatációs indexre Ohta és Hata (1971) kísérletek alapján a D=

λ−κ M ⋅ (1 + e0 )

5.3

képlet használatát ajánlja, amivel a kétféle eredető térfogatváltozás arányát adja meg. Mint már említettük, a legtöbb korszerő anyagmodell axiómának tekinti, hogy elıterhelt állapotban csak rugalmas térfogatváltozás van, azaz εpv = 0. Ebbıl az 5.2 és 5.3 képletek bevezetésével az elıterhelt állapotra az adódik, hogy M ⋅ ln

p′ = η − η0 p′0

5.4

Behelyettesítve a p’-re η-ra a 2. fejezetben adott defínició jellegő képleteket a  3  1 − K NC 1 − K OC 1 + 2 ⋅ K OC 0 0 0  + ln = ln OCR ⋅  −  M  1 + 2 ⋅ KNC 1 + 2 ⋅ K OC 1 + 2 ⋅ K NC 0  0 0

5.5

összefüggésre jutunk, melybe még bevezethetjük a 2.4 és a 2.15 képleteket, s így meghatározható a K0 – OCR kapcsolat. Ez a 2.5 képlettel együtt ϕ=30° esetére az 5.1. ábrán látható. A HS-modellben (Brinkgreve, Broere, és Waterman, 2004) a tehermentesülés közbeni csak rugalmas alakváltozásra elfogadják az oldalirányú alakváltozás zérus voltából az általános Hooketörvénybıl levezethetı ∆σ′h νur = ∆σ′v 1 − νur

5.6

rugalmasságtani képletet. A két feszültség változását felírva azt kapjuk, hogy ⋅ σ′v max − K OC K NC ⋅ OCR ⋅ σ′v 0 − K OC ∆σ′h σ′h max − σ′h0 K NC 0 ⋅ σ′v 0 0 ⋅ σ′v 0 = = 0 = 0 = ∆σ′v σ′v max − σ′v 0 σ′v max − σ′v 0 OCR ⋅ σ′v 0 − σ′v 0

5.7

K NC ⋅ OCR − K OC ν ur 0 = 0 = OCR − 1 1 − ν ur

Ebbıl K OC = K NC 0 0 ⋅ OCR −

ν ur ⋅ (OCR − 1) 1 − ν ur

5.8

A tehermentesülésre (és újraterhelésre) érvényes νur Poisson-tényezıre általában 0,2 értéket szokás felvenni, ezt valamint a 2.4 képletet figyelembe véve szintén kapunk egy összefüggést a K0 – OCR kapcsolatra, melyet az 5.1. ábrára szintén berajzoltam. Megjegyzem, hogy az elıterheltség miatt adódó nagyobb K0-tényezıt a passzív állapot Rankineféle, pl. ϕ=30 ° esetén Kp=3,0 szorzójával szokás korlátozni. Érdekesség: Terzaghi (1961) azt fejtette ki, hogy a felszín közelben a kezdeti feszültségi állapot a passzívhoz van közel.

2007. június

30



2,5

2,0

K OC 0 1,5

1,0 CAM CLAY - Ohta és Hata - 5.5 0,5

Eurocode 7 - 2.5 PLAXIS HS - 5.8

0,0 1

2

3

4

5

6

7

8

OCR

5.1. ábra. A K0-tényezı függése az elıterheltségtıl Az ábrán azt láthatjuk, hogy az anyagmodellekbıl levezetett két összefüggés lényegében azonos eredményre vezet, noha egészen más matematikai kifejezés van mögöttük. A mérési eredmények alapján megállapított, az EC 7-ben is elfogadott képlet is hasonló trendet ad, de számszerően eléggé különbözik az elıbbiektıl. Valószínőleg az 5.4 összefüggés és a νur=0,2 érték szorul felülvizsgálatra. Pl., ha az utóbbi helyett 0,3 értékkel számolunk, akkor közelebb kerülünk az empirikus értékekhez. Ha a tapasztalt „hibához” még hozzátesszük, hogy az anyagmodellek az újraterhelésre is ugyanígy számolják a K0-tényezıt, pedig arra a mérések a 2.4-nél is kisebbet hoztak, akkor adódik a következtetés: e kérdés még pontosításra vár. Ide kapcsolódik még, hogy miként és milyen megbízhatósággal lehet megállapítani az elıterheltséget, amire a 2.6. ábrával már utaltam. Itt csak arra térek ki, hogy a nemzetközi szakirodalom általában az ödométeres vizsgálatot és Casagrande módszerét ajánlja, melyet az 5.2. ábrán mutatok be. Az lnσ’v – e szemilogaritmikus ábrázolású kompressziós görbén meg kell keresni a legnagyobb görbülető pontot. Meg kell rajzolni az itteni érintıt és azinnen induló e=const. (vízszintes) vonalat, majd az így kiadódó szög felezıjét. Meg kell húzni továbbá a görbe végérintıjét (az ülepedési görbe vonalát), s ahol ezt a szögfelezı metszi, ott van a mintára valaha mőködött legnagyobb függıleges hatékony feszültség. Lefolytattam egy vizsgálatot annak ellenırzésére, hogy mennyire szubjektív ez a módszer. Egy kb. a folyási határon homogenizált talajmintát σ’v=200 kPa függıleges feszültséggel terheltem, majd tehermentesítés után újraterheltem, s csak az újraterhelés során kapott összetartozó σ’v – e adatokat adtam meg 30 fıiskolai hallgatónak. Ábrázolniuk kellett az lnσ’v – e függvényt és a bemutatott Casagrande-módszer szerint meg kellett állapítaniuk a σ’vmax feszültséget. A 30 hallgató által megadott adat átlaga 192,6 kPa lett, a szórás 8 kPa-ra adódott a valójában fevitt 200 kPa helyett. Ezt a „pontosságot” összességében jónak lehet ítélni, az átlag kb. 4 % eltésére és a relatív szórás kb. hasonló értéke a taajmechanikában feltétlenül elfogadható. Bizonyos, hogy a gyakorlatban sokkal nagyobb hibát okoz a fúráskori mintavétel és az ödométeres minta „kiszúrása”. 2007. június

31



ln σ 'v σ 'vmax

e

5.2. ábra. Az elıterhelı feszültség meghatározása Casagrande (1936) szerint. A következıkben majd látni fogjuk, hogy a túlkonszolidált talajok nagyobb K0-tényezıjének sokkal nagyobb a gyakorlati jelentısége, mint a normálisan konszolidált talajok K0-tényezıjének kisebb változásai. A számítással való felvételük nehézségeit az elıbbiekben láthattuk, mérésük pedig még problematikusabb az elıterhelt talajok merev, rideg viselkedése miatti mintakészítési problémák okán. Megemlítem még, hogy a legújabb véges elemes programokba általában beépítenek valamilyen algoritmust az elıterheltség megadására és figyelembevételére. Így az elıterhelést szimulálva a program nagyobb K0-értékekkel számítja a vízszintes feszültségeket. Mindenképpen szükséges azonban ezek ellenırzése.

2007. június

32



6. A K0-tényezı gyakorlati jelentısége a FEM-analízisekben A bevezetıben rámutattam a K0-állapot jelentıségének növekedésére, a 2. fejezetben érzékeltettem, hogy az miként jelenik meg a korszerő talajmodellekben, a 3. és 5. fejezetben pedig jeleztem a K0tényezı bizonytalanságait. Ezek után a dolgozat zárásaként célszerő bemutatni olyan véges elemes számításokat, melyek világossá teszik a K0-tényezı súlyát, gyakolati jelentıségét. Ehhez két egyszerő, de fontos méretezési feladatot választottam: egy síkalap „próbaterhelését”, illetve egy befogott résfal viselkedésének modellezését. Hogy a lényegre koncentrálhassunk, egyszerő talajkörnyezetet: homogén talajt vettem fel, s ennek lényegében csak a K0-tényezıjét változtattam. A számításokat a PLAXIS-programmal végeztem, s az ebben megjelenı talajmodellek közül a sávalapot a gyakorlatban hagyományosan alkalmazott lineárisan rugalmas és a Coulomb-törvény szerint tökéletesen képlékeny, ún. Mohr-Coulomb modellel vizsgáltam. A munkagödör-nyitási és -megtámasztási feladat esetében viszont a legígéretesebbnek tartható, felkeményedı, ún. „Hardening Soil” modellel dolgoztam. E modellválasztások megfelelnek a legújabb német ajánlásoknak (Meißner, 2006). 6.1. A K0-tényezı szerepe a síkalapok teherviselésében Egy B=2,0 m széles, h=1,0 m magas, p=500 kPa terheléső sávalapot vizsgáltam, melyet egy homoktalaj felszínére „állítottam”. A homok belsı súrlódási szöge ϕ=30 és ϕ=40°, térfogatsúlya γ = 20 kN/m3 = const. volt. Alakváltozási jellemzıi Es=50 MPa (összenyomódási modulus) és ν=0,33 (Poisson-tényezı) lettek. A nyugalmi nyomás tényezıjét K0=0,35, K0=0,50 és K0=0,65 értékre vettem. Jáky szerint a 30°-hoz 0,50, 40°-hoz 0,35 érték tartozik, tehát az elıbbi értékek még a normálisan konszolidált talajokra jellemzık. Ezek mellett a K0=1,00 tényezıvel is végeztem számításokat, mely már nagyobb túlkonszolidáltság esetén jellemzı. A 6.1. ábrán a számítási eredmények érzékeltetésére egy példát mutatok be. Ez a sávalap és az altalaj süllyedésének (függıleges elmozdulásainak) p=280 kPa terhelés okozta változásait tartalmazza.

6.1. ábra. A sávalap véges elemes modellezésének egy jellemzı eredménye.

2007. június

33



A különbözı paraméterő futtatások eredményeként kapott terhelés-süllyedés görbéket a 6.2. ábrán mutatom be. Errıl az állapítható meg, hogy a K0-tényezı nem befolyásolja túlzottan a süllyedéseket, sokkal nagyobb a belsı súrlódási szög hatása. Az ilyen alap esetében üzemi terhelésként valószínőleg megengedhetı p=200-250 kPa terhelési tartományban jellemzıen 5 mm-t változik a K0-tól függıen az átlagosan 20 mm süllyedés, ami kb. 25 %-nak felel meg. Még a K0=1,0 értékkel kapott görbe is belefér ebbe a különbségbe. Eszerint e problémakörben a K0-tényezı hatása nem nagy, az öszszenyomódási modulus bizonytalanságának hatása ennél bizonyosan nagyobb. p 0

100

200

300

kPa 400

500

0

ϕ° − K0 5

30 - 0,35 30 - 0,50

10

30 - 0,65 30 - 1,00 40 - 0,35 40 - 0,50

15

40 - 0,65 20

40 - 1,00

25

30

35

Sávalap B=2,0 m

40

Mohr-Coulomb

45

γ =20 kN/m Es=50 MPa

s mm

3

50

6.2. ábra. Egy sávalap terhelés-süllyedés görbéi a ϕ súrlódási szög és a K0-tényezı függvényében. 5.2. Befogott résfal viselkedése a K0-tényezıtıl függıen A vizsgálat tárgyául egy 60 cm széles, felül belülrıl elég mereven megtámasztott, alul (biztosan) befogott résfalat választottam, mely egy 10 m mély munkagödör oldalfalát határolja. A talajkörnyezet ezúttal is homok, ϕ=30 és ϕ=40° belsı súrlódási szöggel, γ=20 kN/m3=const. térfogatsúllyal. A ref ref ref ref HS modell alakváltozási paramétereit E oed = E 50 = 50 MPa, valamint E ur = 3 ⋅ E 50 értékekben fogadtam el, s az utóbbihoz νur=0,2 Poisson-tényezıt csatoltam. A normálisan konszolidált talaj nyugalmi nyomási tényezıjét K0=0,45 és K0=0,55 értékre vettem, a HS-modell ennél kisebb illetve nagyobb értéket az elıbbi belsı súrlódási szögekhez és modulusokhoz nem enged felvenni. Hogy a nagyobb

2007. június

34



K0-tényezık szerepét is érzékelhessük, ugyanezen paraméterekkel úgy is lefutattam a programot, hogy a talaj elıterheltségét modelleztem, mégpedig POP=200 kPa elıterhelı feszültséget figyelembe véve, mely 10 m vastagságú réteg lepusztulását jelenti. Ezekbıl például a felszín alatt 5,0 m-re (gödörmélység felére) az elıterheltségi viszonyszám OCR =

POP + z ⋅ γ 200 + 5,0 ⋅ 20 = 3,0 = z⋅γ 5,0 ⋅ 20

6.1

Emiatt ott a nyugalmi nyomás tényezıje a 2.5 szerint az átlagos K0=0,5 esetén például NC NC NC K OC 0 = K 0 ⋅ OCR = K 0 ⋅ 3 = 1,732 ⋅ K 0 = 0,865

6.2

lenne. A PLAXIS program HS-modellje szerint NC K OC 0 = K 0 ⋅ OCR −

0,2 ν ur ⋅ (OCR − 1) = 0,5 ⋅ 3,0 − ⋅ (3,0 − 1) = 1,0 1 − νur 1 − 0,2

6.3

A 6.3 képlet tehát most is nagyobb nyugalmi nyomási tényezıket eredményez, mint az 5.2. A vizsgált feladatban az elıterheltség a felszín felé növekszik, lefelé csökken, s ezzel arányosan változik a K0-tényezı is. Például a felszín alatti 1,0 m mélységre a 6.1 képlet szerint OCR=16, s ebbıl a 6.3 képlet szerint K0=4,25-re jönne ki, amit a program a passzív állapot Rankine-féle, pl. ϕ=30 ° esetén Kp=3,0 szorzójával korlátoz. A 6.2 képlet ugyanide csak K0=2,0-t ad. A munkagödör fenékszintjére, z=10 m-re OCR=2,0, amibıl a 6.3 képlet K0=0,75-öt ad, míg a 6.2 K0=0,7-et. A POP=200 kPa elıterhelés tehát ilyen módon változó K0-tényezıt, a normálisan konszolidált állapotra felvett K0=0,45 és K0=0,55 értékek átlagosan két-háromszorosát eredményezi. A K0-tényezı hatását a munkatérhatárolás két lényeges jellemzıjén, a maximális vízszintes elmozdulásának, a résfal maximális nyomatékának és a támaszra jutó erınek a változásán mértem fel. A 6.3. ábra egy futtatási eredményt érzékeltet: a vízszintes elmozdulások változását. Gyakorlatilag mindegyik futtatás ehhez hasonló képet adott: a fal hasában alakultak ki a legnagyobb elmozdulások, s ezek nagysága változott kb. 10 és 20 mm között. A 6.4. ábra a fal nyomatékait mutatja, ez is mindegyik esetben ilyen volt, s a maximum kb. 220 és 410 kNm/m között változott. Az összes futtatás ezen eredményeit a 6.1. táblázat tartalmazza érzékeltetve a K0-tényezı és a POP hatását. Ebbıl elıször azt lehet kiolvasni, hogy a K0-tényezı és az elıterheltség hatása a mozgásokra viszonylag kicsi, valószínőleg a merev támasznak köszönhetıen. A nyomatékokat és a támaszerıket illetıen az látható, hogy normálisan konszolidált talaj esetében (POP=0) alig van annak jelentısége annak, hogy K0NC = 0,45 vagy K0NC = 0,55 értékkel számolunk-e. Ha viszont a talaj elıterhelt (POP=200 kPa), akkor e kis különbségnek a hatása már a nyomatékokban is felnagyítódva jelenik meg, de a vízszintes feszültségek növekedése fıleg a támaszerıket növeli meg, ami teljesen logikus. Ezekben a K0-tényezı 20 %-os különbsége (0,45 → 0,55) 50 %-os növekedést is okozhat. A bemutatott elemzések szerint tehát a K0-tényezı hatása elıterheltség esetén lehet számottevı, de azt azért látnunk kell, hogy a belsı súrlódási szög szerepe sokkal nagyobb.

2007. június

35



6.3. ábra. A befogott résfal egy PLAXIS futtatásának eredménye: a vízszintes elmozdulások alakulása

6.4. ábra. A befogott résfal egy PLAXIS futtatásának eredménye: a fal nyomatékainak változása 6.1. táblázat belsı súrlódási szög

ϕ

°

elıterhelı feszültség

POP

kPa

30 0

nyugalmi nyomás tényezıje

K NC 0

maximális vízszintes elmozdulás

uxmax

maximális nyomaték

Mmax kNm/m 375

támaszerı

2007. június

F

40 200

0

200

0,45 0,55 0,45 0,55 0,45 0,55 0,45 0,55 mm

kN/m

16,6 17,4 15,7 19,1

130

8,8

9,6

10,3 12,3

383

363

412

222

230

253

305

132

147

186

73

79

144

206

36



7. Összefoglalás Dolgozatomban a kezdeti, in situ feszültségállapotnak illetve az azt kifejezı K0-tényezınek néhány aktuális kérdését vizsgáltam. Az 1. fejezetben bevezetésül megfogalmaztam, hogy míg a hagyományos mérnöki tervezésben a kezdeti feszültségállapot, a K0-tényezı szerepe nem (volt) jelentıs, a nem-lineáris talajmodellekkel (is) operáló véges elemes programokban bemenı adat lett. A 2. fejezetben a K0-állapot és -tényezı értelmezését adtam. Kimutattam, hogy a K0-állapot a normálisan konszolidált talajok esetén a nyírószilárdság kb. kétharmados mobilizálódását jelenti, viszont a túlkonszolidált talajok esetében K0 értéke sokkal nagyobb lehet, miáltal a törési állapottól távolodik a talaj. Saját kísérletek alapján rávilágítottam, hogy a tehermentesítés közbeni K0tényezıt jól leírja az Eurocode 7-ben is megjelent OCR -arányos növelés, viszont az újraterheléskor sokkal kisebb a K0-tényezı. E fejezetben érzékeltettem továbbá, hogy a korszerő anyagmodellekben a K0-állapot mind a feszültségi-, mind a feszültség-alakváltozási összefüggésekben milyen általános szerepet kap, ugyanakkor az elıbbi különbséget ezek nem veszik figyelembe. A 3. fejezet Jáky világhírővé vált, általánosan használt képletének hátterét elemezte. Sajnálatos módon azt kellett megállapítani, hogy megalapozatlan Jáky azon megközelítése, mi szerint a természetes (ϕ) hajlású rézsővel határolt, szimmetrikus földék tengelyében uralkodó feszültségállapot megadja a K0-tényezıt. Kiderült, hogy Jáky csak több igazolhatatlan, illetve bizonyíthatóan téves lépést tartalmazó levezetés nyomán jutott a K0=1-sinϕ képlethez, így azt részérıl legfeljebb heurisztikus jellegő felismerésnek lehet tekinteni. FEM-analízissel és analitikus úton elemezve a földék feszültségi állapotát az is kiderült, hogy ebbıl a modellbıl korrekt módon nem lehet olyan képletre jutni, mely Jáky és mások alapvetıen helyesnek gondolható összefüggése által szolgáltatott, illetve mérésekkel megállapított K0-értékekre vezetnek. A 4. fejezetben összehasonlítottam a szakirodalomban fellelt, különbözı alapokon nyugvó K0képleteket egymással és a szakirodalomban talált mérési eredményekkel. Ebbıl az derült ki, hogy a nyírószilárdság részleges mobilizálódásán alapuló képletek adnak egymáshoz nagyon közeli és a mért adatokkal legjobban egybevágó eredményeket. A legjobbnak Vierzbiczky képlete bizonyult, aki Rankine tg2(45-ϕ/2) aktív földnyomási szorzóját a ϕmob=0,67·ϕ’ behelyettesítésével ajánlja. Jáky képlete ezekkel közel azonos és a mérési eredményekhez csaknem hasonló mértékben illeszkedı eredményeket ad. Így Jáky képletét az esetleg feltételezhetı heurisztikus eredet mellett empirikusan (is) igazoltnak lehet tekinteni, illetve érvelhetünk mellette azzal is, hogy számszerően kb. azonosat ad az elméletileg igazoltabbnak gondolható „mobilizálódás-alapú” képletekkel. Szimpatikus alakja és elterjedtsége ezért további használatát annak ellenére indokolttá teszi, hogy elméleti megalapozottságát a 3. fejezetben kétségbe kellett vonnom. Az 5. fejezetben az elıterheltség szerepét vizsgáltam. Bemutattam, milyen mérési eredményeken alapul az Eurocode 7-ben megjelent egyszerősített formula. Ezt összevetettem az újabb anyagmodellekbıl kiadódó K0 – OCR kapcsolatokkal. Az utóbbiak nagyobb K0-tényezıt adtak, úgyhogy ez a kérdés még vizsgálatra szorul, különösen mert a 6. fejezetben megmutatkozott ennek nagy gyakorlati jelentısége. A fejezetben még azt is ismertettem, hogy miként és milyen megbízhatósággal lehet az elıterheltséget ödométeres vizsgálatból Casagrande módszerével meghatározni. A 6. fejezetben a PLAXIS véges elemes programmal vizsgáltam a K0-tényezı tényleges hatását két geotechnikai alapfeladat, egy sávalap terhelése és egy megtámasztott, befogott résfallal határolt munkagödör esetében. Az elıbbit – német ajánlásokat is figyelembe véve – a szokásos MohrCoulomb (lineárisan rugalmas – tökéletesen képlékeny) anyagmodellel vizsgáltam, az utóbbit a fel-

2007. június

37



keményedı HS-modellel. A számítások azt mutatták, hogy a sávalap terhelés-süllyedés görbéjét a K0-tényezı nagysága kevéssé, a releváns tartományban kb. 20 %-nyit befolyásolja. A résfal esetében azt lehetett tapasztalni, hogy az elıterhelt talajok esetében lényeges a K0-tényezı szerepe, a nyomatékokat kb. 15, a támaszerıt 50 %-ban is befolyásolhatja K0 10 %-os növekedése. A dolgozat elıbbi megállapításait nyilvánvalóan még hasonló elemzésekkel vizsgálni kell, mert a K0-állapot és az elıterheltség kérdésköre a hazai geotechnikában kevéssé ismert, s ez nehezítheti a korszerő FEM-alapú programok használatát, melyektıl pedig gazdaságosabb terveket remélhetünk.

2007. június

38



8. Felhasznált irodalom Alpan, I.: The empirical evaluation of the coefficient K0 and K0r. Soils and Foundations, Vol. 7. No. 1. 1967. Azzouz, A. S., Lutz, J.: Shaft behaviour of a modell pile in plastic empire clays. Journal of the

Geotechnical Engineering Division, Vol. 112. No. 4. 1986. Belotti, R., Formigoni, G., Jamiolkowski, M.: Remarks on the effect overconsolidation on the coefficient of earth pressure at a rest. Proc. of the 1th Baltic Conf. on Soil Mech. and Found. Eng. Gdansk, 1975. Benz, T.: Das HS-small Modell. Elıadás diaképei. Kurs Finite Elemente in der Geotechnik – Theorie und Praxis. Technische Akademie Esslingen, Ostfildern-Nellingen, 2007. Bolton, M. D.: Geotechnical stress analysis for bridge abutment design. Workshop on Limit state design of Transport and Road Research laboratory. London, 1991. Brinkgreve, R. B. J.: Selection of soil models and parameters for geotechnical engineering application. Conference on Soil Constitutive Models. Evaluation, Selection, and Calibration. American Society of Civi Egineers, 2004. Brinkgreve, R. B. J.. Broere, W., Waterman, D. ed.: PLAXIS 2D-Version8. Kézikönyv, 2004. Brooker, E. W., Ireland, H. O.: Earth pressure at a rest related to stress history. Canadian Geotechnical Journal, Vol. 2. No. 1. 1965. Campanella, R., Vaid, Y.: A simple K0 triaxial cell. Canadian Geotechnical Journal, Vol. 9. No. 3. 1980. Casagrande, A.: The determination of pre-consolidation load and its practical significance. Proc. of the 1th Int. Conf. on Soil Mech. and Found. Eng. Harvard, 1936. Doležalová, M.: A kezdeti feszültség és a K0-tényezı szerepe numerikus vizsgálatoknál. Geotechnikai Ankét Jáky Józesf 10. születésnapja és Kézdi Árpád halálának 10. évfordulóján, Budapest, 1993. Fuchs, E.: Ruhedruck rolliger Erdstoffe. Schriftenreihe der bauforschung, Reihe Ingenieur- und Tiefbau, Heft 53, Berlin, 1975. Ghionna, R., Jamiolkowski, M., Paqualini, E.: Discussion of „On estimating K0 for overconsolidated granular soils. Geoetchnique, Vol. 31. No. 4. 1981. Jáky, J.: A nyugami nyomás tényezıje. Magyar Mérnök- és ÉpítészEgylet Közlönye, 22. sz. 1944. Jáky, J.: Pressure in silos. Proc. of the 2nd Int. Conf. on Soil Mech. and Found. Eng. Vol. 1. Rotterdam, 1948. Kézdi, Á.: Erdrucktherorien. Springer Verlag, berlin, Göttingen, Heidelberg, 1961. Kézdi, Á.: Talajmechanika I. Tankönyvkiadó, Budapest, 1972. Ladd, C. C., Foott, R., shihara, K., Schlosser, F. Poulos, H. G.: Stress-deformation and strength characteristics.

Proc. of the 9th Int. Conf. on Soil Mech. and Found. Eng. Vol. 2. Tokyo, 1977. Lade, P. V.: Overview of constitutive models for soils. Conference on Soil Constitutive Models: Evaluation, Selection, and Calibration. American Society of Civi Egineers, 2005. Lancelotta, R.: Geotechnical Engineering. Balkema, Rotterdam-Brookfield, 1995. 2007. június

39



Matsuoka, H., Sakakibara, K.: A constitutive model for sands and clays evaluating principal stress rotation. Soils and Foundations, Vol. 23. No.4, 1987. Mayne, P. W., Kulhawy, F. H.: K0 – OCR relationships in soil. Journal of the Geotechnical Engineering Division, Vol. 108, No. GT6, 1982. Meißner, H.: Baugruben. Empfehlungen des Arbeitskreises 1.6 „Numerik ind der Geotechnik”. Abschnitt 3. Geotechnik, 25, 2002. MSZ EN 1997-1:2006 EUROCODE 7-1: Geotechnikai tervezés. 1. rész: Általános szabályok. Magyar Szabványügyi Testület, Budapest, 2006. Ohta, H., Hata, S.: A theoretical study of the stress-strain relations for clays. Soils and Foundation, Vol. 11. No. 3. 1971. Potts, d. M., A. B.: A numerical study of the effects of wall deformation on earth pressures. Int. Journal of Numerical Analysis in Geomechanics, Vol. 10. No. 4, 1986. Potts, D. M., Zdravković, L.: Finite elemente analysis in geotechnical ngineering – theory. Thomas Telford, 1999. Potts, D. M., Zdravković, L.: Finite elemente analysis in geotechnical engineering- applicaion. Thomas Telford, 2001. Pruska, L.: Basic eqution of pressure at a rest of granular material. Proc. of the 5th European Conf. on Soil Mech. and Found. Eng. Vol. 1. Madrid, 1972. Rowe, P. W.: The stress-dilatancy relation for static equilibrium of an assembly of particles in contct. Proc. of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, Vol 269, 1962. Rymsza, B.: Earth pressure at rest in design of rteining structures. Proc. of the 7th European Conf. on Soil Mech. and Found. Eng. Vol. 1. Brighton, 1979. Schanz, T.: Aktuele Entwicklungen bei Standsicherheit- und Verformungsberechnungen in der Geotechnik. Empfehlungen des Arbeitskreises 1.6 „Numerik ind der Geotechnik”. Abschnitt 4. Geotechnik, 29, 2006. Schanz, T.: Zur Modellierung des mechanischen Verhaltens von Reibungsmaterialien. Mitteilungen des Instituts für Geotechnik No. 45, Universität Stuttgart, 1998. Schmertmann, J. H.: Measurement of in situ shear strength. State of the Art Report. Proc. ASCE Specialty on In Situ Measurement of Soil Properties. Raleigh, 1975. Schmidt, B.: Discussion of earth pressures at a rest realted to stress history. Canadian Geotechnical Journal, Vol. 3, No. 4. 1966. Schofield, A. N., Wroth, C. P.: Critical state soil mechanics. McGraw Hill London, 1968. Schweiger, H.: Das HS Modell. Elıadás diaképei. Kurs Finite Elemente in der Geotechnik – Theorie und Praxis. Technische Akademie Esslingen. Ostfildern-Nellingen, 2007/a. Schweiger, H.: Baugruben mit verschiedenen Modellen. Elıadás diaképei. Kurs Finite Elemente in der Geotechnik – Theorie und Praxis. Technische Akademie Esslingen. Ostfildern-Nellingen, 2007/b. Sherif, M. A., Ishibashi, I.: Overconsolidation effects on K0 values. Journal of the Geotechnical Engineering Division, Vol. 108, No. GT5, 1982. 2007. június

40



Simpson, B.: Retaining structures: displacement and design. Geotechnique, 42, No.4. 1992. Szepesházi R.: A talajok kezdeti (K0) feszültségi állapotának jellemzıi, meghatározási módszerei és következményei, egyetemi doktori értekezés, Budapesti Mőszaki Egyetem, 1993. Szepesházi R.: A K0-tényezırıl. Eıadás és cikk a Jáky József professzor születésének 100. évfordulója tiszteletére rendezett emlékülésen, ill. annak, a Budapesti Mőszaki Egyetem és a Mérnöki Kamara által megjelentetett kiadványába, Budapest, 1993. Szepesházi R.: On the K0 Factor. Periodica Politechnica Series Civil Engineering Vol. 38. NO. 1. PP. 127-135. 1994. Szepesházi R.: Some characteristics of the K0 conditions. Proceedings of the XI. European Conference on Soil Mechanics and Foundation Engineering, Copenhagen, Vol. 6. 1995. Terzaghi, K.: Discussion of (Skempton’s paper) „Horizontal stresses in an overconsoidated eocene clay. Proc. of the 5th Int. Conf. on Soil Mech. and Found. Eng. Paris, 1961. Tsuchida, T., Kikuchi, Y.: K0 consolidation of undisturbed clays by means of triaxial cells. Soils and Foundation, Vol. 31. No. 3. 1991. Vermeer, P.: A double hardening model for sand. Géotechnique, 28, London, 1978. Vermeer, P.: Steifigkeit des Bodens. I-II. ElQšdás diaképei. Kurs Finite Elemente in der Geotechnik, 2007. Yamaguchi, H.: Some consideration on the earth pressure at a rest. Proc. of the 27th Annual Meeting of Japanese Society of Civile Eng. Vol. III: 1972.

2007. június

41

A talajok in situ feszültségi állapota

Recommend Documents