A sorozat fogalma Defin´ıci´ o. A term´ eszetes sz´ amok N halmaz´ an ´ ertelmezett f¨ uggv´ enyeket sorozatoknak nevezz¨ uk. Amennyiben az ´ ert´ ekk´ eszlet a val´ os sz´ amok halmaza, val´ os sz´ amsorozatr´ ol besz´ el¨ unk, m´ıgha az ´ ert´ ekk´ eszlet a komplex sz´ amok halmaza, akkor komplex (´ ert´ ek˝ u) sorozatr´ ol. A f : N → R f¨ uggv´ enyjel¨ ol´ es helyett gyakoribb az an jel¨ ol´ es alkalmaz´ asa, ahol an a f¨ uggv´ eny´ ert´ ekeket jel¨ oli (an = f (n) ∀n ∈ N eset´ en), melyeket a sorozat tagjainak mondunk. Egy an val´ os(!) sz´ amsorozatot monoton n¨ ovekv˝ onek mondunk, ha an ≤ an+1 teljes¨ ul minden n ∈ N-re. Szigor´ uan monoton n¨ ovekv˝ o az an sorozat, ha an < an+1 teljes¨ ul minden n ∈ Nre. Anal´ og m´ odon ´ ertelmezz¨ uk a monoton cs¨ okken˝ o, illetve szigor´ uan monoton cs¨ okken˝ o sorozatok fogalm´ at.
• an = 1 − n12 • bn = [ 100 n ]
szigor´ uan monoton n¨ ovekv˝ o
monoton cs¨ okken˝ o, korl´ atos
• cn = log2 n, dn = (−1)nn • k(n) = 5
konstans sorozat
1 • tn = n
• qn = a1q n
m´ ertani sorozat
nem korl´ atosak
• sn = a1 + (n − 1)d
sz´ amtani sorozat
• a1 = 1, a2 = 1, an = an−1 + an−2 Fibonacci sorozat
Defin´ıci´ o. Egy an sorozat torl´ od´ asi pontj´ an olyan a sz´ amot ´ ert¨ unk, melynek tetsz˝ oleges ε > 0 sugar´ u ny´ılt k¨ ornyezet´ eben a sorozatnak v´ egtelen sok tagja tal´ alhat´ o. Azt mondjuk, hogy az an sorozat konvergens ´ es hat´ ar´ ert´ eke a, ha a-nak b´ armely ε > 0 sugar´ u ny´ılt k¨ ornyezete a sorozat ¨ osszes tagj´ at tartalmazza v´ eges sok kiv´ etel´ evel, azaz ha b´ armely ε > 0-hoz l´ etezik olyan n0 ∈ N k¨ usz¨ obsz´ am, hogy minden n > n0 eset´ en |an − a| < ε. Ilyenkor azt is mondjuk, hogy an konverg´ al (vagy tart) a-hoz, jelben: an → a, vagy lim an = a. n→∞
• a hat´ ar´ ert´ ek =⇒ torl´ od´ asi pont is • a hat´ ar´ ert´ ek 6⇐= torl´ od´ asi pont • ha an korl´ atos, s csak egyetlen torl´ od´ asi ponttal rendelkezik, akkor konvergens is, ´ es hat´ ar´ ert´ eke az egyetlen torl´ od´ asi pont lesz ar´ ert´ eke van • konvergens sorozatnak csak egyetlen hat´ • a konvergens sorozatok korl´ atosak P´ eld´ ak
1 konvergens sorozatra: an = . Ez a sorozat konvergens, s n hat´ ar´ ert´ eke 0, hiszen ha tetsz˝ oleges ε > 0-t ·v´ a¸lasztunk, hozz´ a 1 + 1-et, melyre lehet tal´ alni olyan k¨ usz¨ obindexet, pl. n0 = ε 1 b´ armely n > n0 eset´ en val´ oban |an − 0| = < ε. Nem konvergens n 1 et torl´ od´ asi pontja viszont, pl. az bn = (−1)n + sorozat, hiszen k´ n is van.
´ ll´ıt´ A as. Val´ os, monoton n¨ ovekv˝ o korl´ atos sorozat konverg´ al a pontos fels˝ o korl´ atj´ ahoz. Val´ os, monoton cs¨ okken˝ o korl´ atos sorozat konverg´ al a pontos als´ o korl´ atj´ ahoz. Bizony´ıt´ as. Az an monoton n¨ ovekv˝ o korl´ atos sorozat pontos fels˝ o korl´ atj´ at jel¨ olje a, s tekints¨ unk egy tetsz˝ oleges poz´ıt´ıv εt. a − ε nem fels˝ o korl´ atja a sorozat elemeinek, ez´ ert van olyan n0 ∈ N, hogy an0 > a − ε. A monotonit´ as miatt ekkor minden n > n0 eset´ en a ≥ an > a − ε, teh´ at |an − a| < ε. Hasonl´ o´ ervel´ es adhat´ o monoton cs¨ okken˝ o sorozat eset´ en is. 2
M˝ uveletek konvergens sorozatokkal Sorozatokkal ugyanazon m˝ uveleteket v´ egezhetj¨ uk, mint a val´ os, illetve a komplex sz´ amokkal: Az an ´ es bn sorozatok ¨ osszeg´ enek, szorzat´ anak, illetve ha bn 6= 0, akkor h´ anyados´ anak nevezz¨ uk an rendre az an + bn, anbn, sorozatokat. bn ´ ll´ıt´ A as.
es bn korl´ atos, akkor an bn → 0. • Ha an → 0 ´
• Ha an → a ´ es bn → b, akkor an + bn → a + b.
• Ha an → a ´ es bn → b, akkor anbn → ab. an a • Ha an → a, bn → b ´ es b n = 6 0, b 6= 0, akkor → . bn b
Bizony´ıt´ as. Jel¨ olje K a bn sorozat egy korl´ atj´ at: bn ≤ K. Tetsz˝ oleges ε > 0 eset´ en an → 0 miatt van olyan n0, hogy ha ε n > n0, akkor |an| < . Ez´ ert K ε |anbn| = |an| |bn| < K = ε. K A m´ asodik igazol´ as´ ahoz is tetsz˝ oleges ε > 0-b´ ol indulunk ki. an ´ es bn konvergenci´ aja miatt ε/2-h¨ oz van olyan n1 ´ es n2, hogy n > n1, illetve n > n2 eset´ en |an − a| < ε/2, illetve |bn − b| < ε/2 teljesedik. Ekkor minden n > max{n1, n2} eset´ en |(an + bn) − (a + b)| ≤ |an − a| + |bn − b| < ε/2 + ε/2 = ε.
Szorzat eset´ eben a k¨ ovetkez˝ o´ atalak´ıt´ ast v´ egezz¨ uk el: |anbn − ab| = |anbn − anb + anb − ab| ≤ ≤ |an| |bn − b| + |b| |an − a| Az an sorozat korl´ atos, hiszen konvergens, teh´ at |an| ≤ K valamely K ∈ R-ra. an → a miatt l´ etezik olyan n1, hogy ha n > n1, akkor |an − a| < ε/2|b|. M´ asr´ eszt, bn → b miatt l´ etezik olyan n2, hogy ha n > n2, akkor |bn − b| < ε/2K. Ha n > max{n1, n2}, akkor a fenti becsl´ est is figyelembe v´ eve |anbn − ab| < ε ad´ odik. 2
A konvergencia monotonit´ asa ´ ll´ıt´ A as. Ha an → a, bn → b ´ es an ≤ bn minden n ∈ N-re, akkor a ≤ b. Bizony´ıt´ as. Tegy¨ uk fel indirekten, hogy a > b. Legyen ε = a−b . an → a miatt van olyan n1, hogy ha n > n1, akkor 2 an ∈ (a − ε, a + ε). Hasonl´ oan bn → b miatt van olyan n2, hogy ha n > n2, akkor bn ∈ (b − ε, b + ε). Ez´ ert, ha n > max{n1, n2} teljes¨ ul, akkor a+b = a − ε < an. 2 Ez ellentmond ´ all´ıt´ asunk felt´ etel´ enek. bn < b + ε =
2
Megjegyz´ es. Ha a felt´ etelben szigor´ u egyenl˝ otlens´ eg teljes¨ ul, a k¨ ovetkezm´ enyben m´ egsem ´ all´ıthat´ o, hogy a < b. Ezt mutatja az 1 sorozatok p´ an = 0, bn = n eld´ aja. ´ ll´ıt´ A as. (Rend˝ orelv) Ha an → a, bn → a, ´ es an ≤ cn ≤ bn minden n ∈ N-re, akkor cn → a. Bizony´ıt´ as. Tetsz˝ oleges ε > 0 eset´ en an → a miatt van olyan n1, hogy ha n > n1, akkor an ∈ (a − ε, a + ε). Hasonl´ oan bn → a miatt van olyan n2, hogy ha n > n2, akkor bn ∈ (a − ε, a + ε). Ez´ ert minden n > max{n1, n2} eset´ en an ≤ cn ≤ bn miatt cn ∈ (a − ε, a + ε) is teljes¨ ul. 2
Val´ os sz´ amsorozat t´ agabb ´ ertelemben vett hat´ ar´ ert´ eke Defin´ıci´ o. Azt mondjuk, hogy az an sorozat tart a v´ egtelenhez, ha b´ armely K val´ os sz´ amhoz van olyan n0 ∈ N, hogy ha n > n0, akkor an > K. Jele: an → ∞, vagy lim an = ∞. Hasonlatosan, n→∞ az an sorozat tart a m´ınusz v´ egtelenhez, ha b´ armely K val´ os sz´ amhoz van olyan n0 ∈ N, hogy ha n > n0, akkor an < K. Jele: an → −∞, vagy lim an = −∞. n→∞
• A m˝ uveletekkel kapcsolatosan majdnem ugyanazon tulajdons´ agok ´ erv´ enyesek, mint a sz˝ ukebben ´ ertelmezett konvergencia eset´ eben, pl.: Ha an → ∞, bn → ∞, akkor an + bn → ∞. Ha an → −∞, bn → −∞, akkor an + bn → −∞. Ha an → ∞, bn → ∞, akkor an bn → ∞. Ha an → ∞, bn → b > 0, akkor an bn → ∞. 1 es an 6= 0, akkor • Ha |an| → ∞, ´ → 0. Ugyanis, adott ε > 0 an 1 eset´ en K = -hoz van olyan n0 ∈ N, hogy ha n > n0, akkor ε
1 1 ol , azaz | | < ε. Ford´ıtva viszont an → 0-b´ ε an 1 k¨ ovetkezik | | → ∞, hasonl´ o´ ervel´ essel. an |an| > K =
Nevezetes hat´ ar´ ert´ ekek ´ ll´ıt´ A as. Legyen pr nr + pr−1nr−1 + . . . + p1n + p0 an = . s s−1 qsn + qs−1n + . . . + q1n + q0 pr Ha r = s, akkor an → . qr Ha r < s, akkor an → 0. Ha r > s, akkor an → −∞.
pr pr > 0 eset´ en an → ∞, m´ıg < 0 eset´ en qs qs
Bizony´ıt´ as. P´ eld´ akon kereszt¨ ul: r=s
2
+3n+1 an = n2n 2 −5n
Osszuk el a sz´ aml´ al´ ot ´ es a nevez˝ ot is n2-el: an =
3+ 1 1+n n2 5 2−n
1 A sz´ aml´ al´ oban ´ es a nevez˝ oben szerepl˝ o i tagok mindegyike n 0-hoz tart, s kihaszn´ alva a m˝ uveletek ´ es a hat´ ar´ atmenet 1 sorrendj´ enek felcser´ elhet˝ os´ eg´ et, val´ oban an → . 2
r<s
3n+1 an = 2n 2 −5n
Most n2-el osztjuk a sz´ aml´ al´ ot, s nevez˝ ot is: an =
3 n
+ n12
5 2−n
Ugyanazon ´ ervel´ essel a sz´ aml´ al´ o null´ ahoz tart, a nevez˝ o 2-hez, ¨ osszess´ eg´ eben an → 0. r>s
an =
n5 +3n+1 2n2 −5n
n2-el egyszer˝ us´ıtve, s kiemelve n3-et: 3 + 1 1 + n4 n5 an = n3 5 2−n
n3 2
1 → ∞, m´ıg a t¨ ort hez tart, ez´ ert szorzatuk v´ egtelenhez tart 2
´ ll´ıt´ A as. Legyen an = q n, ahol q ∈ R konstans. Ha q > 1, akkor an → ∞. Ha q = 1, akkor an → 1. Ha −1 < q < 1, akkor an → 0. Bizony´ıt´ as. Ha q > 1, akkor q = 1 + h alakban ´ırhat´ o, ahol h > 0. A Bernoulli egyenl˝ otlens´ eg miatt an = q n = (1 + h)n ≥ 1 + nh, ez´ ert ha adott K eset´ en n > n0 = [ K−1 h ] + 1, akkor K −1 h = K. an ≥ 1 + nh > 1 + h 1 1 1n Ha −1 < q < 1, q 6= 0, akkor | | > 1, ez´ ert | | = | | → ∞. Egy a an q el˝ oz˝ o´ all´ıt´ asunk miatt an → 0. 2
µ
¶ 1 n ´ ll´ıt´ A as. Az an = 1 + sorozat konvergens. n
Bizony´ıt´ as. A) an szigor´ uan monoton n˝ o: Alkalmazzuk a sz´ amtani ´ es m´ ertani k¨ oz´ ep k¨ oz¨ otti egyenl˝ otlens´ eget az 1 1 1 1 + ,1 + ,...,1 + ,1 n n n sz´ amokra: s
n+1
1 + ...1 + 1 + 1 1+n 1 1 n (1 + ) . . . (1 + ) · 1 ≤ n n n+1
n + 1-dik hatv´ anyra emelve: µ
¶ µ ¶n+1 1 n 1 1+ ≤ 1+ n n+1
azaz an ≤ an+1 B) an korl´ atos: Alkalmazzuk most a sz´ amtani ´ es m´ ertani k¨ oz´ ep k¨ oz¨ otti egyenl˝ otlens´ eget az 1 1 1 1 1 1 + ,1 + ,...,1 + , , n n n 2 2 sz´ amokra:
s n+2
(1 +
1 1 1 1 ) . . . (1 + ) · · ≤ n n 2 2
≤
1 + ...1 + 1 + 1 + 1 1+n n 2 2
n+2
n + 1-dik hatv´ anyra emelve: µ
1 1+ n
¶n ·
1 ≤1 4
azaz an ≤ 4 2 • Az an = (1 +
1 n ) sorozat hat´ ar´ ert´ ek´ et e-vel jel¨ olj¨ uk: n
1 n e = lim (1 + ) . n→∞ n • Bel´ athat´ o, hogy ez a sz´ am m´ asik sorozattal is el˝ o´ all´ıthat´ o:
e = lim (1 + n→∞
1 1 1 1 + + + . . . + ). 1! 2! 3! n!
• Bebizony´ıthat´ o, ´ es az alkalmaz´ asokban gyakran sz¨ uks´ eges, hogy ha egy bn sorozat olyan, hogy |bn| → ∞, akkor lim (1 +
n→∞
1 bn ) = e. bn
• 1 mFt kamatoztat´ asa 100 % kamattal 1 ´ ev alatt: Egy ´ eves t˝ ok´ es´ıt´ esn´ el: 2 mFt 2 =2,25 mFt F´ el´ eves t˝ ok´ es´ıt´ esn´ el: (1 + 1 ) 2 1 )4 ≈ 2,44 mFt Negyed´ evesn´ el: (1 + 4 1 )12 ≈2,61 mFt Havi t˝ ok´ es´ıt´ esn´ el: (1 + 12
1 )n = a ´ ev/n-es t˝ ok´ es´ıt´ esn´ el: (1 + n n
Bernoulli egyenl˝ otlens´ eg: ´ ll´ıt´ A as. B´ armely n ∈ N ´ es h ≥ −1 eset´ en teljes¨ ul a (1 + h)n ≥ 1 + nh egyenl˝ otlens´ eg. Bizony´ıt´ as. A bizony´ıt´ ast n szerinti teljes indukci´ oval v´ egezz¨ uk. n = 1 eset´ en nyilv´ an teljes¨ ul az ´ all´ıt´ as. Tegy¨ uk fel, hogy igaz valamely n-re: (1 + h)n ≥ 1 + nh. 1 + h ≥ 0, ez´ ert vele szorozva az egyenl˝ otlens´ eget, kapjuk, hogy (1 + h)n+1 ≥ (1 + nh)(1 + h) = 1 + (n + 1)h + nh2 ≥ ≥ 1 + (n + 1)h. Teh´ at n + 1 eset´ en is teljes¨ ul az ´ all´ıt´ as.
2
