3.roˇ cn´ık 2014/2015
2. s´ erie
1
´ Uvod
ˇ Skoln´ ı rok 2014/2015
R´ad/a si hrajeˇs s matematikou? R´ad/a zkoum´aˇs nov´e myˇslenky a postupy?
Pak pr´ avˇe pro tebe jsou tu Korespondenˇcn´ı-Matematick´e R´ebusy, zbrusunov´ y korespondenˇcn´ı matematick´ y semin´ aˇr pro ˇz´ aky druh´eho stupnˇe z´akladn´ıch ˇskol a odpov´ıdaj´ıc´ıch roˇcn´ık˚ u v´ıcelet´ ych gymn´ azi´ı. ´ Semin´ aˇr je organizov´ an studenty Gymn´azia Brno, tˇr. Kpt. Jaroˇse 14, pod z´aˇstitou Ustavu matematiky a statistiky Pˇr´ırodovˇedeck´e fakulty Masarykovy Univerzity.
Mil´ı ˇ reˇ sitel´ e, Pr´ azdniny jsou ty tam a z´ aˇr´ı n´ am uˇz taky doklepalo na dveˇre. S ˇr´ıjnem pˇrich´az´ı i zbrusu nov´a ˇrada KoM´ aRa. Je pln´ a zaj´ımav´ ych logick´ ych i poˇcetn´ıch pˇr´ıklad˚ u a k tomu zabalen´a do dalˇs´ıho pˇr´ıbˇehu, takˇze se pˇri jej´ım ˇreˇsen´ı urˇcitˇe nebudeˇs nudit. KoM´ aR, tedy Korespondenˇcn´ı Matematick´e R´ebusy, je korespondenˇcn´ı semin´aˇr z matematiky poˇr´ adan´ y studenty Gymn´ azia na tˇr´ıdˇe Kapit´ana Jaroˇse 14 v Brnˇe. Pˇredch´azel mu dlouholet´ y semin´ aˇr Pikomat. Tentro semin´ aˇr je urˇcen ˇz´ak˚ um druh´ ych stupˇ n˚ u z´akladn´ıch ˇskol a odpov´ıdaj´ıc´ıch roˇcn´ık˚ u v´ıcelet´ ych gymn´ azi´ı. Letos se opˇet m˚ uˇzeˇs tˇeˇsit na 5 s´eri´ı po 8 pˇr´ıkladech zabalen´ ych v kom´ aˇr´ım pˇr´ıbehu. Pokud se nechceˇs s KoM´ aRem setk´ avat jen na pap´ıˇre a m´aˇs chut’ vyrazit s jeho autory na mateˇ ˇ ´I! Pozn´aˇs nov´e pˇr´atele, zahrajeˇs matick´ y v´ıkend je tu pro tebe i naˇse PODZIMN´I SOUSTRED EN si spoustu her a dozv´ıˇs se nov´e informace z matematiky z´abavnou formou. Toto soustˇredˇen´ı je financov´ ano Pˇr´ırodovˇedeckou fakultou Masarykovy univerzity, proto se za nˇej plat´ı pouze minim´ aln´ı poplatek. Tentokr´at se bude konat v okol´ı Blanska. Pokud m´aˇs chut’ se z´ uˇcastnit, sleduj naˇse str´ anky, kde se v bl´ızk´e dobˇe objev´ı dalˇs´ı informace. A abychom nezapomnˇeli, na konci roku ˇcekaj´ı nejlepˇs´ı ˇreˇsitele s´eri´ı zaj´ımav´e ceny! Tak nev´ahej a pust’ se do poˇc´ıt´an´ı. Tˇeˇs´ıme se na tv´ a ˇreˇsen´ı. ˇ Petr, Ondra, Souky, Sorm´ ık, Ivˇca, Monˇca, V´ıtek, Met’a, Filip, B´ ara a dvˇe Katky Dalˇs´ı informace na internetov´ ych str´ ank´ach http://komar.math.muni.cz/
2
ˇ Skoln´ ı rok 2014/2015
Informace
Informace http://komar.math.muni.cz
Jak ˇ reˇ sit V kaˇzd´e s´erii je osm pˇr´ıklad˚ u, c´ılem vˇsak nen´ı vyˇreˇsit vˇsechny, proto nev´ahej poslat byt’ i jedin´e ˇreˇsen´ı nebo jeho n´ astin. D˚ uleˇzit´e je ˇreˇsen´ı peˇclivˇe okomentovat, pouze v´ ysledek nebo zmˇet’ rovnic nem˚ uˇze dostat pln´ y poˇcet bod˚ u - pamatuj, ˇze opravuj´ıc´ı mus´ı z tv´eho ˇreˇsen´ı pochopit tv˚ uj tok myˇslenek. Kaˇzd´ y vyˇreˇsen´ y pˇr´ıklad sepiˇs na samostatn´ y pap´ır, na kaˇzd´ y list se podepiˇs a uved’ ˇc´ıslo u ´lohy, dej je do ob´ alky a do term´ınu odesl´an´ı dan´e s´erie je odeˇsli na n´ıˇze uvedenou adresu. My tv´e ˇreˇsen´ı oprav´ıme a spolu s novou s´eri´ı ti ho poˇsleme zpˇet. Odevzd´avat m˚ uˇzeˇs i online prostˇrednictv´ım naˇsich webov´ ych str´ anek. Spolu s ˇreˇsen´ım prvn´ı s´erie n´am poˇsli tak´e svou adresu, kam ti m´ ame pos´ılat opraven´ a ˇreˇsen´ı, a n´azev ˇskoly a tˇr´ıdu, kde studujeˇs. Pˇ r´ıklady Jak jsme jiˇz zm´ınili v´ yˇse, ˇcek´ a tˇe letos pˇet s´eri´ı po osmi u ´loh´ach, ˇc´ıslovan´ ych 0. - 7. Pokud’ jsou pˇr´ıklady rozdˇeleny na ˇc´ asti a) a b), pak se ˇz´ak˚ um 6. a 7. tˇr´ıd poˇc´ıt´a l´epe vyˇreˇsen´a z obou ˇc´ast´ı a ˇz´ ak˚ um 8. a 9. tˇr´ıd se poˇc´ıt´ a pouze ˇca´st b) (za ˇreˇsen´ı ˇc´ast´ı a) nez´ıskaj´ı ˇz´adn´e body). Hodnocen´ı Kaˇzd´ y pˇr´ıklad se hodnot´ı zvl´ aˇst’: za 0. pˇr´ıklad m˚ uˇzeˇs z´ıskat aˇz 2 body, za u ´lohy 1. - 5. po 5 bodech, za 6. u ´lohu 7 bod˚ u a za 7. u ´lohu 6 bod˚ u, celkem lze tedy za s´erii z´ıskat aˇz 40 bod˚ u. Pamatuj, lepˇs´ı je kvalita neˇz kvantita a pokud se ti podaˇr´ı opravdu elegantn´ı ˇreˇsen´ı, mohou se opravuj´ıc´ı rozhodnout ti udˇelit i nˇejak´ y ten bod nav´ıc. ˇ sen´ı pos´ılej na adresu: Reˇ KoM´ aR Gymn´ azium Brno, tˇr. Kpt. Jaroˇse 14 658 70 Brno S pˇr´ıpadn´ ymi dotazy ohlednˇe semin´ aˇre se m˚ uˇzeˇs obracet na: E-mail :
[email protected] Telefon : 777 182 312 – Petr Pup´ık 774 908 966 – Iveta Nahodilov´ a Web : http://komar.math.muni.cz/
3
ˇ Skoln´ ı rok 2014/2015
Zad´ an´ı 2. s´erie
Zad´ an´ı druh´ e s´ erie Term´ın Odevzd´an´ı: 19. 12. 2014
Kom´ ar pˇriletˇel do m´ıstnosti, ve kter´e byl jeden velk´ y vak pln´ y krve. Pˇriˇsel k nˇemu, sedl si na nˇej a zjistil, ˇze se m´ırnˇe pohybuje nahoru a dol˚ u. Zaˇcal sosat a vak se zaˇcal prudce pohybovat. Najednou kom´ ar vidˇel, jak na nˇej dopad´a st´ın rychle se bl´ıˇz´ıc´ıho pˇredmˇetu a pak uˇz jen tmu. Spytihnˇeva r´ ano probudil jeden otravn´ y kom´ar, a tak netuˇs´ıce, jak´e tr´apen´ı t´ım zp˚ usob´ı jeho rodinˇe a pˇr´ atel˚ um, na nˇej hodil peˇrinu. . . ´ Uloha 0. Vˇsichni kom´ aˇri velice truchlili pro sv´eho bl´ızk´eho, kter´y se nikdy nedostal zpod peˇriny, a tak na jeho poˇcest sloˇzili ´ odu. Zkuste to taky, napiˇste oslavnou p´ıseˇ n na kom´ ara tak, aby mˇela alespoˇ n 4 verˇse a nezapomeˇ nte na noty. . . Spytihnˇev a Kvˇetoslav se znaj´ı ze skautu, kam oba chod´ı uˇz odmaliˇcka. Letos se koneˇcnˇe dostali k tomu, ˇze povedou svoji druˇzinku, a to spoleˇcnˇe! Jenom to vym´ yˇslen´ı programu je obˇcas docela n´aroˇcn´e. A tak se rozhodli, ˇze budou sch˚ uzku pl´ anovat v jeden urˇcit´ y den. . . ´ Uloha 1. Den je pˇredevˇc´ırem od sch˚ uzky a n´ asleduje 3 dny po dni pˇredch´ azej´ıc´ım p´ atku. Kdy je sch˚ uzka? Po kr´ atk´em pˇrem´ yˇslen´ı se spoleˇcnˇe shodli na u ´vodn´ım programu. Hned na prvn´ı sch˚ uzku dali osvˇedˇcenou bojovku, ale aby nebyla takov´a jako vˇzdycky, vymysleli speci´aln´ı pravidlo: ´ Uloha 2. Aby mohl t´ym v˚ ubec zaˇc´ıt, mus´ı nasb´ırat pˇresnˇe 18 l´ıstk˚ u, na kaˇzd´em je bud’ ˇc´ıslo 4, nebo 5. Kdyˇz pak vˇsechna ˇc´ısla seˇctou, mus´ı b´yt v´ysledek dˇeliteln´y 17. Kolik l´ıstk˚ u s pˇetkou mus´ı kluci posb´ırat? Vˇsechny sch˚ uzky se jim daˇrily, a tak hned na podzim dostali za u ´kol vymyslet program pro mladˇs´ı dˇeti. Vˇsechno ˇslo dobˇre, aˇz do chv´ıle, kdy se mˇely dˇeti rozdˇelit na dvˇe skupiny; poˇr´ad se h´ ybaly a nebylo moˇzn´e je spoˇc´ıtat. . . ´ Uloha 3. Rozhodnˇete, kter´e z ˇc´ısel 563 x217 x815 x36 a 276 x429 x63x34 je vˇetˇs´ı, aniˇz byste je vyˇc´ıslovali. Kdyˇz po v´ anoc´ıch byli na v´ıkendovce, dostali se jejich vedouc´ı do nelehk´e situace. Mˇeli v m´ıstnosti 24 minilaviˇcek uspoˇr´ adan´ ych jako na obr´azku, ale potˇrebovali je pˇreskl´adat. Mus´ı z nich vzniknout 3 r˚ uznˇe velk´ au ´zem´ı tak, aby se prvn´ı nikde nedot´ ykalo s tˇret´ım (ˇz´adn´a dvˇe u ´zem´ı nesm´ı m´ıt spoleˇcnou laviˇcku), staˇcilo pˇrem´ıstit pouze 8 laviˇcek. . .
4
ˇ Skoln´ ı rok 2014/2015
Zad´ an´ı 2. s´erie
´ Uloha 4. a) V n´ asleduj´ıc´ı m´ıstnosti pˇrem´ıstˇete 8 laviˇcek tak, aby vznikly pr´ avˇe 3 r˚ uznˇe velk´e ˇctverce, kter´e nebudou m´ıt spoleˇcnou ani jednu laviˇcku.
Tento u ´kol se jim povedlo zd´ arnˇe vyˇreˇsit, ale hned odpoledne na nˇe ˇcekal dalˇs´ı, dost podobn´ y tomu pˇredchoz´ımu. Na louce jsou 4 stromy jako stanoviˇstˇe pro 4 t´ ymy. Je potˇreba louku rozdˇelit tak, aby vˇsechny t´ ymy mˇely stejn´e u ´zem´ı a aby vˇsichni mˇeli pˇr´ıstup k ohniˇsti uprostˇred louky. . . b) Rozdˇelte pozemek se ˇctyˇrmi stromy na ˇctyˇri stejnˇe velk´e a tvarovˇe shodn´e ˇc´ asti. Nav´ıc mus´ı b´yt z kaˇzd´e ˇc´ asti pˇr´ıstup k ohniˇsti, kter´e se nach´ az´ı uprostˇred pozemku (je oznaˇceno hvˇezdou) a kaˇzd´y d´ıl mus´ı obsahovat pr´ avˇe jeden strom.
Kvˇetoslava se Spytihnˇevem zaˇcalo to veden´ı mladˇs´ıch kluk˚ u nˇejak bavit, a tak se rozhodli, ˇze budou jezdit na v´ ypravy i s nimi. Kdyˇz jednou jeli docela dlouho vlakem, nejmladˇs´ı kluci se zaˇcali nudit. Aby zahnali dlouhou chv´ıli, vypt´avali se vedouc´ıch, jak´e dˇelaj´ı povol´an´ı. Ti vyc´ıtili pˇr´ıleˇzitost a ˇrekli jim to jako h´ adanku. . . ´ Uloha 5. a) Eda, Vaˇsek a Honza vedou kluky ve skautsk´em odd´ıle. Jeden je mal´ıˇr, dalˇs´ı hudebn´ık a posledn´ı je herec. Mal´ıˇr nem´ a bratra ani sestru a je z nich nejmladˇs´ı. Honza je starˇs´ı neˇz hudebn´ık a je ˇzenat´y se sestrou Edy. Jak se jmenuje mal´ıˇr, jak hudebn´ık a jak´e je jm´eno herce? 5
ˇ Skoln´ ı rok 2014/2015
Zad´ an´ı 2. s´erie
Sv´e druˇzinky se ale nevzdali, zvl´ adali oboj´ı najednou. To takhle zase jednou chtˇeli troˇsku procviˇcit mozky sv´ ych svˇeˇrenc˚ u, a tak vymysleli detektivku. Na pomoc si pozvali 5 sv´ ych zn´am´ ych ze ˇskoly a hra mohla zaˇc´ıt. . . b) Nˇejak´y chlapec vysklil kamenem v´ylohu obchodu s obleˇcen´ım. Druˇzinka vyslechla pˇet kluk˚ u, kteˇr´ı se mˇeli pˇred v´ylohou nach´ azet. Kaˇzd´y z nich vyslovil tˇri v´yroky, z nichˇz dva byly vˇzdy pravdiv´e a jeden nepravdiv´y. Adam ˇrekl: ”Jsem nevinn´y.” ”Nikdy jsem nic nezniˇcil kamenem.” ”Udˇelal to David.” Bedˇrich ˇrekl: ”Neudˇelal jsem ˇz´ adnou ˇskodu.” ”V´yloha patˇrila obchodu s obleˇcen´ım.” ”Emil nen´ı m´ym kamar´ adem.” Ctirad ˇrekl: ”Jsem nevinn´y.” ”Emila jsem nikdy pˇredt´ım nevidˇel.” ”David je vinen.” David ˇrekl: ”Nehodil jsem t´ım kamenem.” ”Udˇelal to Emil.” ”Adam nemluvil pravdu, kdyˇz ˇrekl, ˇze jsem to udˇelal j´ a.” Emil ˇrekl: ”Jsem nevinn´y.” ”Bedˇrich je vinen.” ”Ctirad a j´ a jsme kamar´ adi uˇz od ˇskolky.” Kdo rozbil sklenˇenou v´ylohu?
Aby toho Spytihnˇev nemˇel m´ alo, pˇrihl´asil se do funkce hospod´aˇre odd´ılu. Ten m´a na starosti poˇc´ıt´ an´ı vyb´ıran´ ych penˇez, poˇc´ıt´ an´ı utracen´ ych penˇez, poˇc´ıt´an´ı,. . . A tak se nen´ı ˇcemu divit, ˇze jako provˇerku“ dostal tento pˇr´ıklad: ” ´ Uloha 6. V knize jsou vytrˇzen´e dva po sobˇe jdouc´ı listy. Dok´ aˇzeˇs urˇcit, kolik mˇela stran a kter´e listy z n´ı byly vytrˇzeny, kdyˇz souˇcet ˇc´ısel oznaˇcuj´ıc´ı zb´yvaj´ıc´ı strany v knize je 1007? Kdyˇz se ve ˇctvrtek veˇcer vr´ atil Kvˇetoslav dom˚ u, rozhodl se pod´ıvat na televizi. A co nevid´ı! Seri´ al o matematice! Jako v´ aˇsniv´ y ˇreˇsitel KoM´aRa si nemohl odpustit nepod´ıvat se na dalˇs´ı d´ıl sv´e obl´ıben´e ˇsou, a tak bedlivˇe sledoval. V polovinˇe poˇradu se dostala v z´abˇerech ˇrada na matematik´ aˇre, kter´ y mˇel pˇripravenou skvˇelou rozcviˇcku. . . ´ Uloha 7. Rozloˇzte ˇc´ıslo 2014 na nˇekolik sˇc´ıtanc˚ u tak, aby jejich souˇcin byl co nejvˇetˇs´ı.
6
ˇ Skoln´ ı rok 2014/2015
Zad´ an´ı 2. s´erie
Tato aktivita je realizov´ ana v r´ amci veˇrejn´e zak´azky Pilotn´ı ovˇeˇren´ı syst´emu popularizace technick´ ych a pˇr´ırodovˇedn´ ych obor˚ u vytv´aˇren´ım vazeb vysok´ ych ˇskol na ˇskoly niˇzˇs´ıch stupˇ n˚ u, kter´ a je souˇc´ ast´ı IPN Podpora technick´ ych a pˇr´ırodovˇedn´ ych obor˚ u (PTPO), reg. ˇc. CZ.1.07/4.2.00/06.0005 . Projekt je spolufinancov´an Evropsk´ ym soci´aln´ım fondem a st´atn´ım ˇ e republiky. rozpoˇctem Cesk´
7
