A rákos folyamat modell-családjának diszkutálása A sejt az élő szervezet (test) legkisebb önálló alaki és élettani egysége, amelynek kóros elszaporodása a környezetét pusztítva növekvő, rosszindulatú daganat formájában fejti ki káros hatását.1 Az [1] dolgozatban két modell alapján is vizsgáltuk a rákos sejtek szaporodásának folyamatát. Ebben a dolgozatban – az 1. Modellt általánosítva – diszkutáljuk az időben véletlenszerűen szaporodó rákos sejtek számának várható értékét. Ezt úgy végezzük el, hogy előbb a rákos folyamat lezajlásának jellegét tipizáljuk, majd kimutatjuk (belátjuk), hogy az [1]-ben tárgyalt 1. Modell általánosított változata ezeket a típusokat magába foglalja. A jelenség leírásának teljesebbé tétele végett az 1. és 2. Modellből egy általánosabb modell-családot hozunk létre, amely – mint látni fogjuk – eléggé univerzálisnak bizonyul.
A típusok jellemzése I. típus.
Menthetetlen állapot: A rákos sejtek száma (rendkívül) gyorsan növekszik, és viszonylag rövid idő alatt magas szintet ér el, ami 1 valószínűséggel rákban való elhalálozáshoz vezet. A gyors beavatkozás ugyan rövid időre meghosszabbíthatja a beteg életét, elhalálozása azonban betegsége súlyossága miatt elkerülhetetlen. Az ilyen mértékben rákos beteg tehát nem gyógyítható!
II. típus. Kockázatos állapot: A rákos sejtek száma (relatíve) nem túl gyorsan növekszik. Nem igényel azonnali beavatkozást, de a beteg föltétlenül kezelésre szorul azért, hogy élete meghosszabbodjék. Az ilyen betegre úgy tekinthetünk, mint akinek állapota bizonyos esetekben csak „átmenetileg” gyógyítható, más esetekben jelentősen javulhat; ami esélyt ad a rákos betegség leküzdésére.
1
A sejtek mérete többnyire mikrométeres. Általában minden életjelenség képességével rendelkeznek, ezért a sejtek önálló életre is képesek Tulajdonságaikkal és felépítésükkel a sejttan foglalkozik a biológián belül. A sejtek szövetekké, szervekké, szervrendszerekké és szervezetté szerveződnek. A rákos szövetburjánzás pusztító hatása következtében az élőlények szervezettségi és egyediségi állapota fokozatosan romlik; megszűnése rákban való elhalálozáshoz vezet.
1
III. típus. Szerencsés állapot: A rákos sejtek száma alacsony szintről lassan növekszik, miközben a beteg nem feltétlenül minden esetben szorul kezelésre. Halálának bekövetkezését nem a kimutathatóan jelenlevő rák okozza, vagyis nem föltétlenül rákban fog meghalni! (Gyakori eset ez az idősebb korosztálynál!) IV. típus. Kedvező állapot: Szinte elkerülhetetlen, hogy az emberben rákos sejtek ne képződjenek. Ezek száma egy ideig nő, majd egy idő után jelentősen se nem nő, se nem csökken: vagyis stagnál. Ez olyan szinten következik be, amikor kimutathatóan ugyan jelen van a rák a szervezetben, de anélkül, hogy rosszindulatú lenne. (A rák aktivitása stabilizálódik!) V. típus. Normál állapot: A korábban „észrevétlenül” kialakult rákos sejtek továbbra is „észrevétlenek” maradnak. Ha jelenlétük netán kimutatható is lenne, annak nincs semmilyen káros következménye a szervezetre. (Pszeudo-normál állapot.) Ezt a tünetmentes állapotot jellemezheti akár a 2. Modell is, amely Δt
µ
időközönként
periodikussá válhat. Sajnos a rákos folyamat állapotáról nem mindig rendelkezünk kellő információval időben. Ez nehezíti a gyógyítás kimenetelét, sőt gyakran lehetetlenné is teszi a gyógykezelést.
Az alapmodell diszkutálása Mielőtt behatóbb vizsgálatokba fognánk, az [1]-ben található 1. Modellt általánosítjuk azáltal, hogy megengedjük a γ paraméterre vonatkozóan a γ=0 előfordulását is. (Az 1. Modellben γ>0 esettel számoltunk!) A továbbiakban fontos felismerésnek bizonyul, hogy az 1. Modell akkor is működik, ha a γ=0 választással élünk. Ez az [1]-ben közölt matematikai megfontolások alapulvételével bizonyítható be. (Ennek – mint látni fogjuk – fontos következményei lesznek!) Legyen továbbra is η>0, α>0. A γ≥0-ból kifolyólag az alábbi helyzet áll elő: Ha γ>0, akkor t időpontban a rákos sejtek számának várható értéke (1)
M t
λ t
1
e
,
ha γ=0, akkor 2
(2)
M t
λ t
t .
A két eset megkülönböztetése végett vezessük be a λγ(t) és λ0(t) jelölést. Ha γ>0, akkor legyen λ(t)= λγ (t). Ebből értelemszerűen következik az M(t)=Mγ(t)= λγ(t) illetve M(t)= M0(t)= λ0(t) jelölés, ennek folyományaként pedig a (3)
lim
M t
M t
összefüggés. Bizonyítható: ha t>0, akkor (4)
M t
M t
ami arra utal, hogy a rákosodás γ=0 esetén erőteljesebben és kíméletlenebbül zajlik le, megy végbe. Amikor a rák terjedését az I-V. típusú „besorolási változatoknak” eleget tevően vizsgáljuk, az alábbi összefüggéseket kell alapul venni: (5)
M t
(6)
M
t
M
t
(7) (8)
M t
ηt
e
η α
ηt
η α
1 t 1 t
ηγt
#e
.
Ha t>0, akkor láthatóan M t >0, M t >0, ami azt jelenti, hogy Mγ(t) és M0(t) monoton növekvő függvény. Ha t→∞, Mγ(t) korlátos, M0(t) viszont nem. (Az emberi élettartam korlátos. Ha a korlátot T-vel jelöljük, akkor t értelmezési tartománya 0≤t
alulról konkáv, a folyamat sebessége monoton csökkenő
(lassuló). Ha α>1, akkor az M t
0 egyenlettel jellemzett helyen Mγ(t)-nek inflexiós
pontja van. Az inflexiós pontnak az abszcisszatengelyen a koordinátája: (9)
t
%
c.
Ha α=γ+1, akkor t=c=1. Most, vagyis ha α>1, Mγ(t) a t=c pontig felülről konkáv, a folyamat sebessége a 0
c, akkor
3
a görbe alulról konkáv, a folyamat
lezajlásának sebessége egyre csökkenő tendenciát mutat (lassul). Ha γ>0, ugyanakkor α→0, akkor t (10)
∞, ezért lim
M t
ami stacioner (vagyis időben állandó) állapotra utal. Ekkor η/γ lehet akár számottevően kicsiny értékű is, ami egyben tünetmentességre is utalhat. Ha γ=0, a görbének nincs inflexiós (áthajlási) pontja. M t – vagyis a sebesség – α>1 esetén monoton növekedik, 0<α<1 esetén viszont fogy. Az alapmodell modell-családra egészül ki, ha hozzá vesszük [1]-ből a 2. Modellt is. Ebben az esetben a várható érték egy ideig monoton nő, elérve maximális értékét – attól kezdve monoton csökken, miközben a 0
M t
H t
e
µ (
) * (+
)*
ahol (12)
Δt , ≤t≤Δt ,+ ; Δt ,
, µ
; /
0,1,2, …
A modell-családot tovább lehet bővíteni, ezzel azonban itt nem foglalkozunk. * A kapott diszkutálási eredményekre támaszkodva belátható, hogy az I-V. típusba sorolt eseteket az általánosabb alapmodell-család valóban tartalmazza, illetve leírja. Mivel a paraméterek határozzák meg a folyamat várható értékeinek menetét, ezért ezek megválasztása (illesztése) révén a típusba sorolás már egyértelműen elvégezhető. A paraméterek nem feltétlenül maradnak állandók! Értékük idővel megváltozhat, mivel a beteg egészségi állapota is – más tényezők hatására – változásnak van kitéve. Ezáltal a kóros jelenség „homogenitása” megszűnik, a rákos folyamat megváltozott körülmények között zajlik le. Ez a helyzet áll elő akkor is, ha például hormonális vagy műtéti beavatkozásra kerül sor. – A típus- és modell-
4
azonosítás részletesebb tárgyalásával nem foglalkozunk, mert a leírtaknak ez csupán egyfajta ismételt visszaadása lenne. Megemlítjük, hogy az itt közölteken kívül a kérdéskörnek más aspektusból való behatóbb vizsgálatával is foglalkoztunk, további kutatások pedig folyamatban vannak.
Budapest, 2012. június 7.
Dobó Andor
Hivatkozás [1]
Dobó Andor: Sztochasztikus rákos folyamatok, kézirat, Budapest, 2012. május 24.
5
