a. minden számjegy csak egyszer szerepelhet? b. egy számjegy többször is szerepelhet?

Matematikai alapok 3

Az els® gyakorlat feladatai

1. Az 1, 3, 5, 7, 8 elemekb®l hány olyan 5-jegy¶ szám képezhet®, amelyeknek a harmadik számjegye 8? 2. Az 1, 2, 3, 5, 7, 8 elemekb®l hány olyan 6-jegy¶ szám képezhet®, amely 123-mal kezd®dik? Írja fel ezeket a számokat! 3. Az 1, 2, 3, 5, 7, 8 elemekb®l hány olyan 5-jegy¶ szám képezhet®, amely 123-mal kezd®dik? Írja fel ezeket a számokat! 4. Hány hatjegy¶ szám készíthet® a 0, 1, 2, 3, 4, 9 számjegyekb®l, ha? a. minden számjegy csak egyszer szerepelhet? b. egy számjegy többször is szerepelhet? 5. Hány négyjegy¶ szám készíthet® a 0, 1, 2, 3, 4, 9 számjegyekb®l, ha a. minden számjegy csak egyszer szerepelhet? b. egy számjegy többször is szerepelhet? 6. Hányféleképpen rakhatunk sorba 12 könyvet, ha 3 bizonyos könyvet egymás mellé akarunk rakni és a. a három könyv sorrendje nem számít? b. a három könyv sorrendje számít? 7. Hányféleképpen ültethetünk egy kerekasztal köré 9 embert, ha a forgatással egymásba vihet® ülésrendeket azonosnak tekintjük? 8. Hányféleképpen ültethetünk egy kerekasztal köré 19 embert, ha két ember mindenképpen egymás mellé szeretne kerülni és a forgatással egymásba vihet® ülésrendeket azonosnak tekintjük? 9. Hányféleképpen ültethetünk egy kerekasztal köré 5 fért és 5 n®t úgy, hogy két n® ne kerüljön egymás mellé és a forgatással egymásba vihet® ülésrendeket azonosnak tekintjük? 10. A MATEMATIKAI ALAPOK 3 szó bet¶inek (szóközökkel együtt) hány permutációja van? 11. Hány ötjegy¶ szám készíthet® a 0, 1, 1, 3, 3 számjegyekb®l? 12. Hány nyolcjegy¶ szám készíthet® a 0, 0, 0, 3, 3, 3, 6, 6 számjegyekb®l? 13. Hányféleképpen lehet kitölteni egy totószelvényt? (14 mérk®zés, 3 lehetséges kimenetel (1, 2, X )) 14. Hányféleképpen lehet kitölteni egy ötöslottó szelvényt? (90 számból kell eltalálni 5-öt) 15. Hányféleképpen lehet kitölteni egy ötöslottó szelvényt úgy, hogy a. pontosan 3 találatunk legyen? b. egy találatunk se legyen? 16. Kiindulva az origóból írást dobva jobbra lépünk egyet, fejet pedig balra. 10 dobás után hányféleképpen fordulhat el®, hogy visszatérünk az origóba? 17. Adott a térben 10 pont, melyek közül semelyik 3 nem esik egy egyenesre. Hány egyenest határoznak meg az egyes pontpárok? 18. Egy iroda 4 n®i és 4 fér alkalmazottat akar felvenni. A meghirdetett pozíciókra 5 fér és 8 n® jelentkezett. Hányféleképpen választhatják ki a felvevend® jelentkez®ket? 19. 12 hallgató 3 csónakot bérel. A csónakok rendre 3, 4 és 5 ülésesek. Hányféleképpen ülhetnek a csónakba?

20. Hány olyan négyjegy¶, különböz® számjegyekb®l álló szám van, amelyben két páros és két páratlan számjegy szerepel? 21. Egy csomag francia kártyából (52 lap, 4 szín, színenként 13 lap) kihúzunk 10 lapot. a. Hány esetben lesz ezek között ász? b. Hány esetben lesz ezek között pontosan egy ász? c. Hány esetben lesz ezek között legfeljebb egy ász? d. Hány esetben lesz ezek között pontosan két ász? e. Hány esetben lesz ezek között legfeljebb két ász? 22. Öt ú és öt lány közül hányféleképpen választhatunk ki 4 embert, hogy legyen közöttük legalább 2 lány? 23. Egy büfében 4-féle csokiszeletet árulnak. Hányféleképpen választhatunk ki 12 darabot közülük? (Tudjuk, hogy mindegyikb®l van legalább 12 darab.)

Matematikai alapok 3

A második gyakorlat feladatai

1. Oldja meg az alábbi egyenleteket! a.



b.



     x+1 x x + =2 4 4 2    2x + 3 2x + 2 = 4! 2x − 2 3

2. A hatványozások és az összevonás után hány tagú lesz az alábbi kifejezés? a.

(a + 3b − 4c)6

b.

(a + 3b − 4c − 5d)12

3. A binomiális tétel segítségével végezzük el a következ® hatványozásokat! a.

(4a + 2b)5

b.

(2 + c.

√

5)6

(a − 2b−3 )4

d.

(a −

√

2a)3

4. Határozza meg a. a (3x + z)5 kifejtésében x2 z 3 együtthatóját! b. az (x + y + z)6 kifejtésében (x + z)3 y 3 együtthatóját! 5. Bizonyítsa be, hogy fennáll a következ® azonosság!

k

    n n−1 =n k k−1

6. Határozza meg az alábbi összegek pontos értékét! a.

b.

1 2

        n n n n + + + ··· + 1 2 3 n−1 n   X n k=0

c.

k

3n−2k+1 2

        n n n n 1 +2 +3 + ··· + n 1 2 3 n

7. A polinomiális tétel segítségével végezzük el a következ® hatványozásokat! a. b.

(a + b)5 (a + 2b − 3c)3

8. A binomiális tétel segítségével végezzük el a következ® hatványozásokat! a. b. c.

(a + b)5 (a + b + c)3 (a − b + 2c)4

9. Határozza meg a. a (3x + z)5 kifejtésében x2 z 3 együtthatóját! b. az (x + y + z)6 kifejtésében (xy 2 )2 + 2xzy 4 + (zy 2 )2 együtthatóját! c. a (3x2 − 2x + 1)8 kifejtésében a konstans tagot!

Matematikai alapok 3

A harmadik gyakorlat feladatai

1. Igazolja a De-Morgan azonosságokat, azaz, hogy a.

A+B =A×B b.

AB = A + B 2. Egy érmével dobunk. Ha az esemény fej, akkor még kétszer, ha írás, akkor pedig még egyszer. Írja fel az eseményteret! 3. Jelölje A, B és C az alábbi eseményeket:

A = egy dobókockával dobva páros számot dobunk B = egy dobókockával dobva 4-nél kisebb számot dobunk C = egy dobókockával dobva 2-nél nagyobb számot dobunk Mit jelentenek az alábbi események? a. A + B b. AB c. AC d. (AB) − C e. AC + AB f. (A − (BC)) + ((A − B) − C) 4. Mutassa meg, hogy az A, B és C eseményekre a. AB = A akkor és csak akkor teljesül, ha A ⊂ B . b. (A + B)A = A. c. az ABC és az A + (B + C). 5. Dobjunk fel egy szabályos dobókockát! Írja fel és ábrázolja az eseményteret és a kedvez® esetek halmazát! Határozza meg az alábbi események bekövetkezésének valószín¶ségét! a. A dobás eredménye 5. b. Legalább 2-t dobunk. c. Páros számot dobunk. 6. Dobjunk fel két szabályos dobókockát egyszerre! Írja fel és ábrázolja az eseményteret és a kedvez® esetek halmazát! Határozza meg az alábbi események bekövetkezésének valószín¶ségét! a. Mindkét kockával 6-ost dobtunk b. A dobott számok minimuma 3. c. A dobott számok összege 8. 7. Dobjunk fel két érmét egyszerre. Tudjuk, hogy az egyik érme szabálytalan, ezzel az érmével a fej dobás 2 valószín¶sége . Írja fel és ábrázolja az eseményteret és a kedvez® esetek halmazát! Határozza meg az 3 alábbi események bekövetkezésének valószín¶ségét! a. Mindkét érmével fejet dobunk. b. Mindkét érmével írást dobunk. c. Fejet és írást is dobunk.

8. Két kockával dobunk, melyek közül az egyik szabálytalan. A szabálytalan kockával a 4-es és az az 5-ös 1 dobás valószín¶sége , a többi dobás egyenl® valószín¶séggel következik be. Határozza meg az alábbi 3 események bekövetkezésének valószín¶ségét! a. A két kockával azonos számokat dobunk. b. A két kockával különböz® számokat dobunk. c. Mindkét kockával páros számot dobunk. 9. Egy kockát hatszor egymás után feldobunk. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számok mindegyike szerepelni fog? 10. Egy kockát hatszor egymás után feldobunk. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy második dobás 4-es? 11. Egy szabályos dobókockát kétszer egymás után feldobunk. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy az els® dobás eredménye nagyobb, mint a másodiké? 12. Egy dobozban n számú golyó van, 1, 2, . . . , n számokkal jelölve. Egyenként kihúzzuk az összes golyót. a. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy az els®t kivéve minden alkalommal nagyobb számot húzunk, mint az el®z® volt? b. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy a k -val jelölt golyót éppen k -adiknak húzzuk ki? c. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy a k -val jelölt golyót éppen k -adiknak, az l-lel jelölt golyót pedig éppen l-ediknek húzzuk ki? 13. Egy kör alakú asztalnál 10-en vacsoráznak. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy két fér és két n® nem kerül egymás mellé, ha 5 fér és 5 n® ül az asztalnál? 14. Egy kör alakú asztalnál 15-en vacsoráznak. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy a legmagasabb és a legalacsonyabb vendég egymás mellé kerül?

Matematikai alapok 3

A negyedik gyakorlat feladatai

1. A magyar kártyacsomagból (4 szín, színenként 8 lap) kihúzunk egyszerre három lapot. Határozza meg az alábbi események valószín¶ségét! a. A kihúzott lapok között nincs zöld. b. A kihúzott lapok között szerepel a makk ász. 2. A magyar kártyacsomagból (4 szín, színenként 8 lap) kihúzunk egyszerre négy lapot. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy a kihúzott lapok között mind a 4 szín el®fordul? 3. A magyar kártyacsomagból (4 szín, színenként 8 lap) kihúzunk egyszerre hét lapot. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy a kihúzott lapok között mind a 4 szín el®fordul? 4. Egy urnában 3 piros golyó van. Legalább hány fehér golyót kell hozzátenni, hogy a fehér golyó húzásának valószín¶sége nagyobb legyen 0.9-nél? 5. Egy urnában 6 piros, több fehér és fekete golyó van. Annak a valószín¶sége, hogy egy golyót kihúzva 3 az fehér vagy fekete golyó lesz, . Annak a valószín¶sége, hogy egy golyót kihúzva az piros vagy fekete 5 2 golyó lesz, . Hány fehér és hány fekete golyó van az urnában? 3 6. Egy dobozba 20 darab törékeny tárgy van elcsomagolva. A tárgyak között egyenként 5 darabnak az értéke 1000 Ft, 4 darabnak 2000 Ft, 7 darabnak 5000 Ft, 4 darabnak pedig 10000 Ft. Valaki leejti a csomagot és így 4 tárgy összetörik. Mennyi a valószín¶sége, hogy a kár összege 10000 Ft lesz? (Feltesszük, hogy a tárgyak egymástól függetlenül törnek össze.) 7. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy egy lottószelvényt kitöltve 2 találatot érünk el? 8. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy 10 kockával dobva pontosan a. pontosan 1 hatost dobunk? b. pontosan 5 hatost dobunk? c. legalább 1 hatost dobunk?

1 sugarú kört rajzolunk. Mennyi a valószín¶sége, 2 hogy véletlenszer¶en rál®ve a céltáblára (és eltalálva azt) a találat ezen a körön kív¶l éri azt?

9. Egységnyi oldalhosszúságú négyzet alakú táblára

10. Egy 1 méter hosszú botot egy véletlenszer¶en elhelyezett csapással 2 részre törünk. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy a kapott darabokból és egy fél méter hosszú botból háromszög szerkeszthet®? 11. Egy 1 méter hosszú botot egy véletlenszer¶en elhelyezett csapással 3 részre törünk. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy a kapott darabokból háromszög szerkeszthet®? 12. Véletlenszer¶en felírunk két egynél kisebb pozitív számot. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy összegük 2 kisebb 1-nél, szorzatuk pedig kisebb -nél? 9 13. Egy hétf®i napon 0 óra és 24 óra között két ember érkezik véletlenszer¶en egy térre. Az egyik 1 órát, a másik órát tölt el ott. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy elkerülik egymást?

Matematikai alapok 3

Az ötödik gyakorlat feladatai

1. Mutassuk meg, hogy ha P(B) > 0, akkor érvényesek a következ® összefüggések:

¯ a. P(A|B) = 1 − P(A|B) b. P(A1 ∪ A2 |B) = P(A1 |B) + P(A2 |B) − P(A1 ∩ A2 |B) 2. Legyen P(B) > 0. Mutassuk meg, hogy ekkor a. P(A|B) =

P(A) , ha A ⊂ B . P(B)

b. P(A|B) = 1, ha B ⊂ A. 3. Két kockával dobunk egyszerre. a. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy a dobott számok összege 7? b. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy a dobott számok összege 7, feltéve, hogy az összeg páratlan? c. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy a dobott számok összege 7, feltéve, hogy az els® dobás eredménye páros? 4. Két kockával dobunk egyszerre. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy legalább 1 hatost dobunk, feltéve, hogy a két dobás értéke különböz®? 5. Egy kétgyermekes családnál tudjuk, hogy az egyik gyerek lány. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy ú is van a családban?

2 valószín¶séggel tartózkodik egy illet® kocsmában. 5 kocsma bármelyikében egyenl® 6. Tudjuk, hogy 3 valószín¶séggel lehet. Négyben már megnéztük, de nem találtuk. Mi a valószín¶sége annak, hogy az ötödikben megtaláljuk? Valaki így gondolkodik: Az, hogy az illet®t az ötödikben megtaláljuk, azt jelenti, hogy kocsmában 2 van. Annak a valószín¶sége pedig, hogy kocsmában van, . Tehát annak a valószín¶sége, hogy az 3 2 ötödikben megtaláljuk, . Helyes-e ez a gondolatmenet? 3 7. Egyetlen szelvénnyel játszunk az ötöslottón. A szelvényen megjelölt számokat nagyság szerint rendezve a harmadik szám a 40. Az alábbi három esemény közül melyiknek a bekövetkezése növeli jobban az ötös találat esélyét? 1. A sorsoláson el®ször kihúzott szám a 40. 2. A kihúzott számok között szerepel a 40. 3. A kihúzott számokat nagyság szerint rendezve a harmadik szám a 40. 8. Egy egységnyi hosszúságú szakaszon találomra kiválasztunk két pontot. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy mindkét pont a szakasznak egy el®re kijelölt végpontjához van közelebb, feltéve, hogy a választott 1 pontok távolsága kisebb, mint ? 2 9. Egy televíziós vetélked®n a játékos 3 boríték közül választhat. Az els®ben 5 'Nem nyert', 3 '10.000 Ft nyeremény' és 2 '50.000 Ft nyeremény' feliratú cédula van. A másodikban 2 'Nem nyert', 7 '10.000 Ft nyeremény' és 1 '50.000 Ft nyeremény' feliratú cédula van. A harmadik boríték csupa 'Nem nyert' cédulát tartalmaz. A játékos véletlenszer¶en választ egy borítékot, majd húz egy cédulát. Számítsuk ki annak a valószín¶ségét, hogy nyer 50.000 Ft-ot!

10. Húsz cseresznye közül 15-b®l már eltávolították a magot. Egyszer csak jön egy mohó kismalac, és válogatás nélkül felfal 5 cseresznyét. Mindezek után véletlenszer¶en kiválasztunk egy cseresznyét. a. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy van benne mag? b. Feltéve, hogy van benne mag, mi a valószín¶sége, hogy a kismalac legalább 1 magot megevett? 11. Valamely alkatrész gyártásával egy üzemben négy gép foglalkozik. Az els® gép naponta 200 alkatrészt gyárt, a második 320-at, a harmadik 270-et, a negyedik 210-et. Az egyes gépeknél a selejtgyártás valószín¶sége rendre 2%, 5%, 3% és 1%. A kész alkatrészeket egy helyen gy¶jtik. A gépek napi termeléséb®l kiveszünk egy alkatrészt, megvizsgáljuk és jónak találjuk. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy azt a 4. gép gyártotta? 12. Egy gépesített ügyintézéssel rendelkez® irodában három gép dolgozik párhuzamosan, azonos típusú ügyiratok elemzésén. Az els® gép naponta 10, a második gép naponta 15, a harmadik gép naponta 25 aktával végez. Hibásan kezelt ügyirat naponta átlagosan 0.3, 0.9 illetve 0.5 darab található az egyes gépek munkájában. Az összesített napi mennyiségb®l találomra kiveszünk egy példányt és azt rossznak találjuk. Mekkora a valószín¶sége, hogy azt az els® gép készítette?

Matematikai alapok 3

A hatodik gyakorlat feladatai

1. Egy szabályos érmét feldobunk tízszer egymás után. Legyen A az az esemény, hogy van fej és írás is a dobások között, B pedig az az esemény, hogy legfeljebb egy írás van a dobások között. Független-e A és B? 2. Egy dobozban 1-t®l 8-ig számozott, 8 db papírlap van. Véletlenszer¶en kiveszünk egy lapot. Az A, B és C események jelentése legyen: A: a kivett lapon páros szám áll; B: 4-nél nem nagyobb szám áll; C: a kihúzott szám 2, vagy 5-nél nagyobb. Mutassuk meg, hogy P(ABC) = P(A)P(B)P(C) és a három esemény mégsem független! 3. Valaki két lottószelvényt tölt ki egymástól függetlenül. Mennyi a valószín¶sége, hogy nyer (azaz legalább két találata van)? 4. Ketten felváltva l®nek egy céltáblára az els® találatig. A kezd® találatának a valószín¶- sége 0.2, a másodiké 0.3. Mennyi a valószín¶sége, hogy a kezd®é lesz az els® találat? 5. Az alábbi számsorozatok közül melyek alkotnak valószín¶ségi eloszlást? 6. Két kockával dobunk egyszerre. Írja fel a dobott számok maximumának és minimumának az eloszlását! 7. Írja fel az ötös lottón kihúzott öt szám közül a legkisebb eloszlását!

Matematikai alapok 3

A hetedik gyakorlat feladatai

1. Egy dobozban 1-t®l 22-ig számozott, 22 darab cédulát helyezünk el. Véletlenszer¶en kihúzunk egy cédulát. A kihúzott szám két szempontból érdekel: a 2-vel és a 3-mal való oszthatóság szempontjából. A ξ valószín¶ségi változó legyen a 2-vel való osztás után kapott maradék, az η pedig a 3-mal való osztás maradéka. Írja fel a (ξ, η) együttes eloszlását és határozza meg a peremeloszlásokat! 2. A (ξ, η) együttes eloszlását a következ® táblázat tartalmazza:

(ξη) -1 1

-1 p 5

0 3p 15

1 6p 30

a. Mekkora a p értéke? b. Független-e ξ és η ? c. Írja fel a ξ + η és a ξ − η eloszlását! 3. Legyen (ξ, η) eloszlása az el®z® példában megadott eloszlás. Számítsa ki az a. P(η = i|ξ = −1)(i = −1, 0, 1) b. P(η < 1|ξ = −1) c. P(η ≥ 0|ξ = 1) d. P(ξ = 1|η ≥ 0) valószín¶ségeket! 4. Két szabályos kockával dobva mennyi a dobott számok maximumának illetve minimumának várható értéke? 5. Egy érmével dobunk. Ha az eredmény fej, akkor még kétszer dobunk, ha írás, még egyszer. Mennyi az összes fej dobások számának várható értéke? 6. Egy részvény kiinduló ára egy peták. Egy év múlva vagy kétszeresére növekszik az ára, vagy felére csökken, vagy pedig változatlan marad  mindegyik lehet®ség egyforma valószín¶ség¶. A következ® évben ugyanez történik, az el®z® évi változástól függetlenül. Mi két év múlva a részvényár eloszlása, mennyi a várható értéke és szórásnégyzete? 7. Négy szabályos kockával dobva mennyi a dobott számok összegének várható értéke és szórása? 8. A ξ valószín¶ségi változó lehetséges értékei: -1, 0, 2, 3. Az ezekhez tartozó valószín¶ségek rendre: 1/12, 5/12, 1/4, 1/4. Számítsuk ki ξ 2 várható értékét és szórását! 9. Egy dobozban 4 jó, 3 hibás és 3 selejtes termék van. Egymás után, visszatevés nélkül kiveszünk két terméket. Jellemezze ξ az els® húzás eredményét, mégpedig ξ = 0, ha selejteset húzunk, ξ = 1, ha hibásat, ξ = 2, ha jót. Jellemezze η a második húzás eredményét ugyanúgy. a. Független-e ξ és η ? b. Mekkora a ξ szórása? c. Határozza meg ξ és η korrelációs együtthatóját!

10. A (ξ, η) lehetséges értékeit a (0,0), (0,4), (4,4), (4,0) pontok által meghatározott négyzet belsejében lév® egész koordinátájú pontok alkotják. A (ξ, η) ezeket a pontokat egyenl® valószín¶séggel veszi fel  a négyzet középpontja kivételével, amely négyszer akkora valószín¶séggel következik be, mint a többi. a. Számítsuk ki ξ és η kovarianciáját! b. Független-e ξ és η ? c. Határozza meg ξ és η korrelációs együtthatóját! 11. Jelölje ξ és η két független kockadobás eredményét. Határozza meg ξ és ζ = max(ξ, η) korrelációs együtthatóját!

Matematikai alapok 3

A nyolcadik gyakorlat feladatai

1. Dobjunk fel egy érmét. Jelölje a ξ valószín¶ségi változó a dobás eredményét. Írja fel és ábrázolja ξ eloszlásfüggvényét! 2. A ξ valószín¶ségi változó értékei: 0, 1, 2, 3. Tudjuk, hogy ξ bármely páros számot azonos valószín¶séggel veszi fel. Ugyanez igaz a páratlan értékekre. Az is ismert továbbá, hogy ξ 4-szer akkora valószín¶séggel vesz fel páros értéket, mint páratlant. Írja fel és ábrázolja ξ eloszlásfüggvényét! 3. Vizsgálja meg, az alábbi függvények közül melyik lehet eloszlásfüggvény! a.

( F (x) =

b.

( F (x) =

c.

( F (x) =

d.

F (x) =

0 x−1 x+1 0 x−1 x+1 0 2x − 1 x+1

  0

x2  1 + x3

ha x ≤ ha x ≥

1 2 1 2

ha x ≤ 1 ha x ≥ 1 ha x ≤ 1 ha x ≥ 1 ha x ≤ 0 ha x ≥ 0

4. Határozza meg a [0, 1] intervallum két véletlenszer¶en kiválasztott pontja távolságának eloszlásfüggvényét! Mennyi a valószín¶sége, hogy ez a távolság az [ 21 , 34 ] intervallumba esik? 5. Válasszunk az egységnégyzetben egy pontot véletlenszer¶en. Jelölje ξ a pontnak a négyzet legközelebbi oldalától vett távolságát. Írja fel ξ eloszlásfüggvényét! Adja meg annak a valószín¶ségét, hogy a 1 távolság legalább . 8

Matematikai alapok 3

A kilencedik gyakorlat feladatai

1. Egy két méter hosszú botot egy véletlenszer¶en elhelyezett csapással két részre törünk. Határozza meg a rövidebb darab hosszának eloszlás- és s¶r¶ségfüggvényét! 2. Döntse el, az alábbi függvények közül melyek s¶r¶ségfüggvények! a.

( f (x) =

b.

sin x 2 0 (

f (x) = c.

( f (x) =

d.

 f (x) =

ha 0 < x < 1 máskor

1 x2 0

ha x > 1 máskor

x x+1 0

4x3 e−x 0

ha x > 0 máskor

4

ha 0 < x < 1 máskor

3. Egy ξ valószín¶ségi változó s¶r¶ségfüggvénye  A  f (x) = (1 − x)2  0

ha x ≥ 2 máskor

a. Mekkora az A érték? b. Határozza meg a P(1 < ξ < 3) valószín¶ség értékét! c. Írja fel ξ eloszlásfüggvényét! 4. Egy ξ valószín¶ségi változó s¶r¶ségfüggvénye

( f (x) =

ha x ≥ 2

0 A x3

ha x > 2

a. Mekkora az A érték? b. Határozza meg a P(ξ > 3) valószín¶ség értékét! c. Írja fel ξ eloszlásfüggvényét! 5. Számítsa ki az alábbi s¶r¶ségfüggvényekkel rendelkez® eloszlások várható értékét és szórását! a.

 f (x) =

b.

|x| ha −1 < x < 1 0 máskor (

f (x) =

3 x4 0

ha x > 1 máskor

Matematikai alapok 3

A tizedik gyakorlat feladatai

1. Valaki 10 lottószelvénnyel játszik. Mennyi a valószín¶sége, hogy 3 szelvényen lesz 2 találata, ha a szelvényeket egymástól függetlenül tölti ki? 2. Egy N ≥ 20 elem¶ alkatrészhalmazban pontosan 5% a selejtarány. Mennyi a valószín¶sége, hogy a halmazbóll egy 20 elem¶ mintát véve visszatevés nélkül, a mintában lev® selejtessek száma éppen 2 lesz, ha a. N=20? b. N=40? 3. Annak a valószín¶sége, hogy egy üzemben a nyersanyagellátás zavartalana, 0.75. a. Mekkora a valószín¶sége, hogy egy héten (6 napon) keresztül csak három napon át lesz a nyersanyagellátás zavartalan? b. Mennyi lesz az egy heti zavartalan ellátású napok számának várható értéke? 4. Meggyelések szerint Magyarországon 1000 újszülött közül átlagosan 516 a ú és 484 a lány. Mekkora annak a valószín¶sége, hogy egy 6 gyermekes családban a úk száma legalább annyi, mint a lányoké? 5. Egy augusztusi éjszakán átlag 10 percenként észlelhet® csillaghullás. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy egy negyedóra alatt két csillaghullást látunk? 6. Kalácssütéskor 1 kg tésztába 30 szem mazsolát tesznek. Mennyi a valószín¶sége, hogy egy 5 dekagrammos szeletben kett®nél több mazsolaszem lesz? 7. Valaki egy sürg®s telefonhívást vár. A hívás id®pontja egy reggel 8 órakor kezd®d®, ismeretlen hosszúságú intervallumon egyenletes eloszlású valószín¶ségi változó. A hívást váró fél tudja, hogy a hívás 80% valószín¶séggel reggel 8 és 10 óra között befut. a. Mekkora a valószín¶sége, hogy a hívás reggel fél 10 és 10 óra között érkezik? b. A hívás fél 10-ig nem jött be. Mennyi a valószín¶sége, hogy fél 10 és 10 óra között még befut? 8. Egy repül®gép pilótájával közlik a 100 m magasságú légifolyosó közepének földt®l vett távolságát. A repül®gép repülési magasságának ett®l való eltérése egy normális eloszlású valószín¶ségi változó, melynek várható értéke 20 m, szórása pedig 50 m. Számítsa ki annak a valószín¶ségét, hogy a repül®gép a légifolyosó alatt, a légifolyosóban, illetve a légifolyosó felett halad! 9. Valamely gép 15 mm átmér®j¶ alkatrészeket gyárt 0.5 mm szórással. Normális eloszlásúnak tekintve a legyártott alkatrész átmér®jét, mekkora valószín¶séggel gyárt a gép a névleges érték 5%-ánál nagyobb eltérés¶ alkatrészt? 10. Valamely szolgáltató vállalathoz a naponta beérkez® megrendelések ξ száma normális eloszlásúnak tekinthet® σ = 10 szórással. Mekkora a megrendelések várható értéke, ha tudjuk, hogy

P(ξ < 20) = 0.1? 11. Annak a valószín¶sége, hogy egy benzinkútnál a tankolásra 6 percnél tovább kell várni a tapasztalatok szerint 0.1. Feltéve, hogy a várakozási id® hossza exponenciális eloszlású, mennyi a valószín¶sége, hogy véletlenszer¶en a benzinkúthoz érkezve 3 percen belül sorra kerülünk?

12. Egy telefonfülke el®tt állunk és várjuk, hogy az el®ttünk beszél® befejezze a beszélgetést. Az illet® x 1 − véletlent®l függ® ideig beszél, a percben mért beszélgetési idejének s¶r¶ségfüggvénye e 3 , x > 0. 3 a. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy a beszélgetés 3 percnél tovább tart? b. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy a beszélgetés további 3 percnél tovább tart, feltéve, hogy az el®ttünk álló már több, mint 3 perce beszél? c. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy a beszélgetés t+3 percnél tovább tart, feltéve, hogy az el®ttünk álló már több, mint t percet beszélt?

Matematikai alapok 3

A tizenegyedik gyakorlat feladatai

1. Egy forgalmas pályaudvaron meghatározott id®ben egy újságárus által egy óra alatt eladott újságok ξ száma Poisson eloszlású λ = 64 várható értékkel. Adjon alsó becslést a

P(48 < ξ < 80) valószín¶ségre! 2. Egy gyufagyárban a dobozokat automata gép tölti. Az egyes dobozokban lév® gyufaszálak száma egy ξ valószín¶ségi változó, amelynek eloszlása a tapasztalatok szerint a következ®: darabszám valószín¶ség

47 0.05

48 0.10

49 0.15

50 0.40

51 0.15

52 0.10

53 0.05

a. A Csebisev egyenl®tlenség segítségével adjon becslést a P(48 < ξ < 52) valószín¶ségre! b. Az eloszlás alapján számítsa ki a fenti valószín¶ség pontos értékét! 3. Egy urnában fehér és fekete golyók vannak. Annak a valószín¶sége, hogy fehér golyót húzunk 0.7. Mennyi a valószín¶sége, hogy 1000 visszatevéssel húzott golyó között a fehér golyók száma 680 és 720 közé esik? Oldja meg a feladatot normális közelítéssel is! 4. Hány dobást kell végeznünk egy kockával, hogy a 6-os dobás valószín¶ségét (mely nem feltétlenül 1/6) a kapott relatív gyakoriság legalább 0.9 valószín¶séggel 1/20-nál kisebb hibával megközelítse?

Matematikai alapok 3

A tizenkettedik gyakorlat feladatai

1. Az Ezt idd teát 200 grammos dobozokban árulják. A Fogyasztóvédelmi Felügyel®ség lemérte öt véletlenszer¶en kiválasztott teásdoboz tömegét, melyekre az alábbi grammban kifejezett értékek adódtak:

196, 202, 198, 197, 190. Határozza meg a mintaátlagot, a szórás torzítatlan becslését, valamint rajzolja fel a minta empirikus eloszlásfüggvényét! 2. Egy, a (0, 1) intervallumon egyenletes eloszlású véletlenszám generátor az alábbi 8 számot generálta.

0.18, 0.57, 0.82, 0.55, 0.63, 0.12, 0.91, 0.31. Határozza meg a mintaátlagot, a szórás torzítatlan becslését, valamint rajzolja fel a minta empirikus eloszlásfüggvényét és a tényleges eloszlásfüggvényt! 3. Egy ötelem¶ minta esetén a mintaelemek összege 155, a mintaelemek négyzeteinek összege 4837. Határozza meg a mintaátlagot és a szórás torzítatlan becslését! 4. 46 vállalat egy éves fogyasztása (GWh) az alábbi:

105, 145, 7, 10, 11, 24, 26, 50, 32, 59, 91, 7, 15, 40, 15, 57, 28, 115, 20, 19, 36, 7, 7, 11, 142, 160, 29, 15, 16, 32, 30, 57, 58, 178, 120, 76, 19, 17, 12, 12, 24, 23, 21, 30, 103, 30 Jellemezze az eloszlást középértékeivel, számítsa ki a szóródási mér®számokat! Rajzolja fel a dobozábrát! Értelmezze a kapott eredményeket! 5. Adottak a következ® ismérvértékek:

9.5, 2.5, 12, 10.5, 3, 10.5 Jellemezze a ferdeséget a tanult alkalmas mutatók segítségével! 6. Azonos tevékenységet végz® 20 cég szeptemberi bruttó árbevétele (millió Ft) az alábbi:

107, 85, 92, 64, 82, 72, 58, 87, 81, 109, 69, 40, 54, 59, 73, 79, 89, 99, 96, 105 P P 2 A fenti adatokból számított értékek a következ®ek: Xi = 1600, Xi = 134808 a. Számítsa ki és értelmezze a szórást és a relatív szórást! b. Készítse el a dobozábrát, vonjon le következtetést az eloszlásra! b. Számoljon ferdeségi és csúcsossági mér®számokat!

Irodalom [1] Baran Sándor: Valószín¶ségszámítás és statisztika feladatok. 2011/2012. tanév 1. félév [2] Bognár Jánosné (szerk.), Valószín¶ségszámítás feladatgy¶jtemény. Tankönyvkiadó, Budapest, 1971. [3] Denkinger Géza, Valószín¶ségszámítási gyakorlatok. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1995. [4] Fazekas István: Valószín¶ségszámítás. Kossuth Egyetemi Kiadó. Debrecen, 2003. [5] Ferenczy Miklós: Valószín¶ségszámítás és alkalmazása feladatgy¶jtemény. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1998. [6] Gy®r László, Gy®ri Sándor, Vajda István: Információ- és kódelmélet, TypoTeX Kiadó, 2002. [7] Hajnal Péter: Elemi kombinatorikai feladatok. Polygon, 1997. [8] Keresztély-Sugár-Szarvas: Statisztika közgazdászoknak, Példatár és feladatgy¶jtemény. Nemzeti tankönyvkiadó, 2005. [9] Major Péter, MTA Rényi Alfréd Kutatóintézet, www.renyi.hu/ major/ [10] Szendrei Ágnes: Diszkrét matematika, Polygon Könyvtár, 2002. B®vítés alatt...

19