Gyakorl´ o feladatok val´ osz´ın˝ us´ egsz´ am´ıt´ asb´ ol v´ egeredm´ enyekkel ♠ a megold´asra aj´anlott feladatokat jel¨oli, F a nehezebb feladatokat jel¨oli
1. ♠ Igaz-e, hogy tetsz˝ oleges A, B ´es C esem´enyekre teljes¨ ul (a) (A ∪ B) \ C = A ∪ (B \ C) ? (Nem) (b) A4(B4C) = (A4B)4C ? (Igen) (Itt A4B := (A \ B) ∪ (B \ A) a szimmetrikus differenci´at jel¨oli.) 2. ♠ Mutassuk meg, hogy tetsz˝ oleges A ´es B esem´enyekre P(A ∪ B) 6 P(A) + P(B). 3. Mutassuk meg, hogy tetsz˝ oleges A, B, C, D ´es E esem´enyek eset´en P (A ∩ B ∩ C ∩ D ∩ E) > P (A) + P (B) + P (C) + P (D) + P (E) − 4. 4. Bizony´ıtsa be, hogy P(A4B) 6 P(A4C) + P(C4B) teljes¨ ul tetsz˝oleges A, B ´es C esem´enyekre! (Itt A4B := (A \ B) ∪ (B \ A) a szimmetrikus differenci´at jel¨oli.) 5. K´et szab´ alyos kock´ aval dobunk. Tekints¨ uk az A = {az ¨osszeg p´aratlan} ´es B = {van 1-es} esem´enyeket. ´Irja le az A ∪ B ´es A ∩ B esem´enyeket ´es hat´arozza meg a val´osz´ın˝ us´eg¨ uket! A ∪ B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1), (2, 3), (3, 2), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3), (3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4), (5, 6), (6, 5)}, A ∩ B = {(1, 2), (2, 1), (1, 4), (4, 1), (1, 6), (6, 1)}, P(A) =
18 36 ,
P(B) = 1 −
25 36 ,
P(A ∪ B) =
23 36 ,
P(A ∩ B) =
1 6
6. ♠ Egy szab´ alyos dob´ okock´ aval k´etszer dobunk. Mennyi a val´osz´ın˝ us´ege annak, hogy az els˝o dob´ as 15 5 eredm´enye nagyobb, mint a m´ asodik´e? 36 = 12 7. ♠ Szab´ alyos kock´ aval n-szer dobva mennyi a val´osz´ın˝ us´ege annak, hogy n (a) legal´ abb egy 6-os van? 1 − 65 n−1 n−1 (b) pontosan egy 6-os van? n · 16 · 56 = n56n 8. ♠ Egy szab´ alyos ´erm´et 9-szer feldobunk. Tekints¨ uk az A := {a dobott fejek sz´ama p´aros} 9 9 9 esem´enyt. Hat´ arozza meg a P(A) val´osz´ın˝ us´eget! 0 + 2 + 4 +
9 6
+
9 8
·
1 29
=
1 2
9 3
+
9 4
·
1 29
=
1 2
9. ♠ Egy szab´ alyos ´erm´et 9-szer feldobunk. Tekints¨ uk az A := {a dobott fejek sz´ama legfeljebb 4} 9 9 9 esem´enyt. Hat´ arozza meg a P(A) val´osz´ın˝ us´eget! 0 + 1 + 2 +
10. ♠ Mennyi a val´ osz´ın˝ us´ege annak, hogy az 52 lapos k´arty´ab´ol 5 lapot kiosztva full lesz az eredm´eny, azaz 3 egyforma + 2 egyforma ? (P´eld´aul h´arom 6-os ´es k´et kir´aly; 4 sz´ınb˝ol 13–13 k¨ ul¨onb¨oz˝o lap van.) 13·12·(43)·(42) 6 = 5·17·49 ≈ 0.00144 (52 5) 11. ♠ Egy t´ arsas´ agot, mely 2n emberb˝ ol ´all, tal´alomra k´et egyforma csoportraosztunk. Mennyi annak n a val´ osz´ın˝ us´ege, hogy a k´et legnagyobb szem´ely k¨ ul¨onb¨oz˝o csoportba ker¨ ul? 2n−1 12. Egy urn´ aban feh´er ´es piros goly´ ok vannak. Visszatev´essel kih´ uzunk k´et goly´ot. Bizony´ıtsuk be, hogy legal´ abb 12 annak a val´ osz´ın˝ us´ege, hogy a kih´ uzott goly´ok egyforma sz´ın˝ uek! Ha f darab feh´er ´es f 2 +p2 1 > p darab piros van, akkor a val´ osz´ın˝ us´eg (f +p)2 2
13. F T´ız p´ ar cip˝ o k¨ oz¨ ul tal´ alomra kivesz¨ unk 4 darab cip˝ot. Mennyi a val´osz´ın˝ us´ege annak, hogy a kih´ uzott cip˝ okb˝ ol ¨ ossze´ all´ıthat´ o legal´ abb egy p´ar cip˝o, ha 24 (10 4) (a) a cip˝ ok k¨ ul¨ onb¨ oznek egym´ ast´ ol ? 1 − 20 ≈ 0.3065 (4) (b) a cip˝ ok nem k¨ ul¨ onb¨ oznek egym´ a balos ´es jobbos cip˝ok ebben az esetben ast´ol 10? (Term´eszetesen 2( 4 ) is k¨ ul¨ onb¨ oznek egym´ ast´ ol!) 1 − 20 ≈ 0.9133 (4) 14. ♠ Egy szab´ alyos ´erm´evel addig dobunk, m´ıg egym´as ut´an azonos eredm´enyeket nem kapunk. Adjuk meg ennek a k´ıs´erletnek egy val´ osz´ın˝ us´egi modellj´et! (Ω = {II, F F, IF F, F II, IF II, F IF F, . . . }, A = 2Ω , egy k-hossz´ us´ ag´ u elemi esem´ us´ege 21k ) Mennyi a val´osz´ın˝ us´ege annak, hogy eny val´osz´ın˝ 31 legfeljebb 6 dob´ asra van sz¨ uks´eg? 32 15. Egy egys´egnyi hossz´ us´ ag´ u szakaszt k´et ponttal h´arom szakaszra us´ege, bontunk fel. Mennyi a val´osz´ın˝ hogy lehet h´ aromsz¨ oget szerkeszteni a kapott darabokb´ol? 14 16. ♠ Haj´ ot¨ or¨ ottek egy lakatlan, n¨ ov´enyzet n´elk¨ uli szigeten azt tervezik, hogy a viharban z´atonyra futott eredeti vitorl´ as haj´ ojuk darabjaib´ ol u ´j, kisebb haj´ot ´ep´ıtenek. A vihar az ´arbocot v´eletlenszer˝ uen h´ arom darabra t¨ orte. Tudjuk, hogy ha az eredeti 40m hossz´ u ´arbocnak maradt egy legal´abb 20m-es darabja, akkor a haj´ o meg´ep´ıthet˝ o. Mi a val´osz´ın˝ us´ege, hogy amikor vissza´ usznak a haj´oroncshoz, tal´ alnak ilyen darabot? 34 17. V´eletlenszer˝ uen kiv´ alasztunk k´et, 0 ´es 1 k¨oz´e es˝o val´os sz´amot. Mennyi annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy (a) ♠ a kiv´ alasztott sz´ amok ¨ osszege kisebb, mint 3/2? 78 4 (b) a kiv´ alasztott sz´ amok szorzata kisebb, mint 1/4? 1+ln 4 18. F V´ alasszunk ki k´et sz´ amot a [0,1] intervallumban egym´ast´ol f¨ uggetlen¨ ul ´es v´eletlenszer˝ uen (azaz egyenletes eloszl´ assal). Mennyi annak a val´ o sz´ ın˝ u s´ e ge, hogy a kiv´ a lasztott sz´ a mok m´ e rtani k¨ozepe 4 kisebb mint 21 ? 1+ln 4 19. Mennyi a val´ osz´ın˝ us´ege, hogy valamely, tal´ us´ ag´ u alomra kiv´alasztott, az egys´egn´el r¨ovidebb ´elhossz´ t´eglatest test´ atl´ oja az egys´egn´el kisebb? π6 20. ♠ Legyen P (A) = 1/4, P (A | B) = 1/4 ´es P (B | A) = 1/2. Sz´am´ıtsuk ki a P (A ∪ B) ´es P (A | B) val´ osz´ın˝ us´egeket! P (A ∪ B) = 85 , P (A | B) = 34 21. ♠ H´ arom szab´ alyos kock´ aval dobunk. Tekints¨ uk az A = {legal´ abb egy 6-os van}
B = {k¨ ul¨onb¨oz˝ok a sz´amok} 3 esem´enyeket. Hat´ arozza meg a P(A) ´es P(A | B) val´osz´ın˝ us´egeket! P(A) = 1 − 65 ≈ 0.4213, 1 P(A | B) = 1 − 5·4·3 6·5·4 = 2 ´es
22. ♠ K´et szab´ alyos kock´ aval dobunk. Mennyi a val´osz´ın˝ us´ege, hogy a dobott sz´amok ¨osszege 7 ? Mennyi a val´ osz´ın˝ us´ege, hogy a dobott sz´ amok ¨osszege 7, felt´eve, hogy a dobott sz´amok ¨osszege p´aratlan? 1 1 6 , illetve 3 23. ♠ Feldobunk egy szab´ alyos dob´ okock´at, majd annyiszor l¨ov¨ unk egy c´elt´abl´ara, amennyit a kock´ aval dobtunk. A c´elt´ abl´ at minden egyes alkalommal 51 val´osz´ın˝ us´eggel tal´aljuk el. Mennyi a val´osz´ın˝ us´ege, 6 1 2 4 6 P 1 4 k hogy legal´ abb egyszer eltal´ aljuk a c´elt´abl´at? 1− 5 = 3 + 3 5 ≈ 0.5081 6 k=1
24. K´et j´ at´ekos, A ´es B a k¨ ovetkez˝ o j´ at´ekszab´alyok alapj´an j´atszik. A feldob egy szab´alyos dob´okock´ at, azut´ an pedig k´et ´erm´et annyiszor dob fel, ah´anyat a kock´aval dobott. Ha e dob´asok sor´an legal´ abb egyszer k´et fejet dobott, akkor B fizet A-nak 1 Ft-ot, ellenkez˝o esetben A fizet B-nek 1 Ftot. uknek el˝ ony¨ os a j´ at´ek (a j´at´ek annak el˝ony¨os, us´ege)? Melyik¨ akinek nagyobb a nyer´esi val´osz´ın˝ 6 A-nak el˝ ony¨ os a j´ at´ek, mert A nyer´esi val´osz´ın˝ us´ege 21 1 + 34 > 21 a 25. K´et v´ aros k¨ oz¨ ott a t´ av´ır´ o¨ osszek¨ ottet´es olyan, hogy a leadott t´av´ır´ojelek k¨oz¨ ul a pontok 25 r´esze vonall´ 1 5 a val´ o sz´ ın˝ u s´ e ge torzul, a vonalak 3 r´esze pedig pontt´a torzul. A leadott jelek 8 r´esze pont. Mennyi annak, hogy ha a vev˝ o oldalon pontot kapnak, akkor az ad´o pontot tov´abb´ıtott?
3 5 5·8 3 5 1 3 · 5 8+3·8
=
3 4
¨ es ut´an kih´ uzunk k´et goly´ot visszatev´es 26. ♠ Egy dobozban k´et feh´er ´es k´et piros goly´o van. Osszekever´ n´elk¨ ul, ´es ´ attessz¨ uk azokat egy kalapba. Ezut´an ¨osszekever´es ut´an kih´ uzunk egy goly´ot a kalapb´ ol. Mennyi a val´ osz´ın˝ us´ege annak, hogy a kalapban maradt m´ a sik goly´ o piros, ha a kalapb´ o l kih´ u zott 1 2 2·3 goly´ o feh´er? = 23 1 2 · +1· 1 2 3
6
27. ♠ Egy dobozban egy goly´ o van, ami (egyenl˝o val´osz´ın˝ us´eggel) feh´er vagy fekete. Betesz¨ unk a dobozba egy feh´er goly´ ot, ´es ¨ osszekever´es ut´ an kih´ uzunk egy goly´ot. Mennyi a val´ o sz´ ın˝ u s´ e ge annak, hogy az 1· 12 2 urn´ aban eredetileg feh´er goly´ o volt, ha a kih´ uzott goly´o feh´er? 1· 1 + 1 · 1 = 3 2
2 2
28. Egy dobozban N darab feh´er ´es M darab piros goly´o van. Valaki tal´alomra kivesz egy goly´ ot, amelynek nem tudjuk a sz´ın´et. Ezut´an visszatev´es n´elk¨ ul kih´ uzunk k´et goly´ot, melyek feh´ereknek bizonyulnak. Mennyi a val´ osz´ın˝ us´ege annak, hogy a legels˝onek kivett goly´o is feh´er volt? (N2−1) · N −1 (N +M ) N +M 2 N −2 = N +M (N −1) N −2 ( 2 2) N M N +M −1 · N +M + N +M −1 · N +M ( 2 ) ( 2 ) 29. K´et ´erm´enk van: egy szab´ alyos ´es egy ,,cinkelt”, amin´el a fej val´osz´ın˝ us´ege k´etszer akkora, mint az ´ır´ as´e. Kiv´ alasztunk egyet a k´et ´erme k¨ oz¨ ul egyenl˝o val´osz´ın˝ us´eggel ´es azt feldobjuk. Mi a val´osz´ın˝ us´ege, 2 1 4 3·2 hogy a cinkelt ´erm´evel dobtunk, ha az eredm´eny fej lett? = 2 1 7 · +1·1 3 2
2 2
30. ♠ T´ız gyerek k¨ oz¨ ul h´ arman zeneiskol´aba j´arnak, ketten sportolnak (a zeneiskol´asok k¨ozt nincs sportol´ o). V´eletlenszer˝ uen sorba´ all´ıtjuk ˝ oket. Jelentse A azt az esem´enyt, amelyik akkor k¨ovetkezik be, amikor a sorban a zeneiskol´ asok egym´as mell´e ker¨ ulnek, B pedig akkor, amikor a sportol´ok nem 1 1 , P(B) = 54 , P(A ∩ B) = 20 , ´ıgy A ker¨ ulnek egym´ as mell´e. F¨ uggetlen-e a k´et esem´eny? P(A) = 15 ´es B nem f¨ uggetlenek 31. Egy urn´ aban elhelyezz¨ uk az eg´esz sz´ amokat 1-t˝ol 8-ig, majd v´eletlenszer˝ uen kih´ uzunk egyet. Jelentse A1 a p´ aros, A2 az ¨ otn´el kisebb ´es A3 a 2-nek, vagy egy 5-n´el nagyobb sz´amnak a kih´ uz´ as´ at. Bizony´ıtsuk be, hogy a h´ arom esem´eny nem teljesen f¨ uggetlen egym´ast´ol, j´ollehet P (A1 A2 A3 ) = P (A1 )P (A2 )P (A3 ). 32. ♠ Egy ξ diszkr´et val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´o lehets´eges ´ert´ekei 1, 2, . . . , 10, eloszl´asa P(ξ = j) = a · j,
j = 1, 2, . . . , 10, 1 ahol a alkalmas val´ os sz´ am. Hat´ arozza meg a ´ert´ek´et! 55 Milyen k pozit´ıv eg´eszekre teljes¨ ul P(ξ 6 k) 6 12 ? (k 6 6) 33. ♠ Egy r´eszv´eny kiindul´ o´ ara egy pet´ ak. Egy ´ev m´ ulva vagy k´etszeres´ere n¨ovekszik az ´ara, vagy pedig fel´ere cs¨ okken. Mindk´et lehet˝ os´eg ugyanolyan val´osz´ın˝ us´eg˝ u. A k¨ovetkez˝o k´et ´evben ugyanez t¨ort´enik, ´es a v´ altoz´ asok f¨ uggetlenek. Mi lesz h´arom ´ev m´ ulva a r´eszv´eny´ar eloszl´asa? (Azaz milyen ´ert´ekeket vehet fel milyen val´ osz´ın˝ us´eggel?) 1 3 3 1 8, 8, 8, 8
Lehets´eges ´ert´ekek:
1 8,
1 2,
2, 8; a hozz´atartoz´o val´osz´ın˝ us´egek:
34. ♠ Mi a lott´ on kih´ uzott ¨ ot sz´ am k¨ oz¨ ul a legkisebbnek, illetve a legnagyobbnak az eloszl´asa? (A (90−k 4 ) legkisebb kih´ uzott sz´ am eloszl´ asa: , k = 1, . . . , 86, a legnagyobb kih´ uzott sz´am eloszl´ asa: (90 5) k−1 ( 4 ) , k = 5, . . . , 90.) (90 5) √ 35. ♠ Egy szab´ lyos dob´ okock´ at feldobunk. Az eredm´enyt jel¨olje ξ. Hat´arozza meg az E( ξ) v´arhat´ o a√ P6 √ 1 ´ert´eket! E( ξ) = 6 k=1 k 36. ♠ Legyen a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o egyenletes eloszl´as´ u a {−2, −1, 0, 1, 2, 3} halmazon, ´es legyen η := ξ 3 . Milyen ´ert´ekeket ´es milyen val´osz´ın˝ us´eggel vesz fel η? Hat´arozza meg η v´arhat´o ´ert´ek´et, varianci´ aj´ at! (Az η egyenletes eloszl´as´ u a {−8, −1, 0, 1, 8, 27} halmazon, E η = 92 , var η = 1475 12 .)
37. Legyen a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o egyenletes eloszl´as´ u a {−3, −2, −1, 0, 1, 2} halmazon, ´es legyen η := ξ 2 . Milyen ´ert´ekeket ´es milyen val´osz´ın˝ us´eggel vesz fel η? Hat´arozza meg η v´arhat´o ´ert´ek´et, varianci´ aj´ at! (Az η lehets´eges ´ert´ekei 0, 1, 4, 9; a hozz´atartoz´o val´osz´ın˝ us´egek 61 , 26 , 26 , 16 ; 19 329 E η = 6 , var η = 36 .) 38. Egy r´eszv´eny kiindul´ o ´ ara egy pet´ ak. Egy ´ev m´ ulva vagy k´etszeres´ere n¨ovekszik az ´ara, vagy fel´ere cs¨ okken, vagy pedig v´ altozatlan marad. Mindegyik lehet˝os´eg ugyanolyan val´osz´ın˝ us´eg˝ u. A k¨ovetkez˝ o ´evben ugyanez t¨ ort´enik, az els˝ o ´evi v´ altoz´ast´ol f¨ uggetlen¨ ul. Mi lesz k´et ´ev m´ ulva a r´eszv´eny´ar eloszl´ asa? (Azaz milyen ´ert´ekeket vehet fel milyen val´osz´ın˝ us´eggel?) Mennyi k´et ´ev m´ ulva a r´eszv´eny´ar v´arhat´ o ´ert´eke?
Lehets´eges ´ert´ekek: v´ arhat´ o ´ert´ek 49 36
1 4,
1 2,
1, 2, 4; a hozz´atartoz´o val´osz´ın˝ us´egek:
1 9,
2 9,
3 9,
2 9,
1 9;
a
39. ♠ Az A ´es B j´ at´ekosok a k¨ ovetkez˝o j´at´ekot j´atsz´ak. Az A feldob egy szab´alyos dob´okock´ at ´es annyit fizet B–nek, amennyi a dob´ as eredm´enye. A B feldob egy szab´alyos ´erm´et, ´es ha fej, akkor x forintot fizet A–nak, ha ´ır´ as, akkor 2x forintot fizet A–nak. Mennyi x, ha a j´at´ek igazs´agos abban az ´ertelemben, hogy A illetve B nyerem´eny´enek v´arhat´o ´ert´eke 0? x = 73 40. Hat´ arozzuk meg egy lott´ oh´ uz´ as sor´ an kih´ uzott legkisebb, illetve legnagyobb sz´am v´arhat´o ´ert´ek´et! (A legkisebb kih´ uzott sz´ am v´ arhat´ o ´ert´eke: 91 uzott sz´am v´arhat´o ´ert´eke: 5 91 6 , a legnagyobb kih´ 6 ) 41. F Egy urn´ aban N c´edula van, melyek meg vannak sz´amozva 1–t˝ol N –ig. Kih´ uzunk k c´edul´ at visszatev´es n´elk¨ ul. Hat´ arozzuk meg a legnagyobb kih´ uzott sz´am eloszl´as´at ´es v´arhat´o ´ert´ek´et. (A k (k−1) (k−1 ) (N −1) lehets´eges ´ert´ekek k, k + 1, . . . , N , a hozz´atartoz´o val´osz´ın˝ us´egek k−1 , , . . . , k−1 , a N N (k) (k) (Nk ) k v´ arhat´ o ´ert´ek k+1 · (N + 1).) 42. ♠ Legyen ξ binomi´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´altoz´o 5, 13 param´eterekkel. Hat´arozza meg a P(ξ = 2 2 3 80 2) ´es P(−5 < ξ 6 −2) val´ osz´ın˝ us´egeket! P(ξ = 2) = 52 31 = 243 , P(−5 < ξ 6 −2) = 0 3 43. ♠ Egy szab´ alyos dob´ okock´ Jel¨olje ξ a h´armas dob´asok sz´am´at. Hat´arozza aval tizenk´etszerdobunk. 12 1 k 5 12−k ha k = 0, 1, . . . , 12 binomi´alis eloszl´ as´ u, meg ξ v´ arhat´ o ´ert´ek´et! P(ξ = k) = k 6 6 ez´ert E ξ = 12 · 61 = 2 44. Csavarokat gy´ art´ o automata esztergag´epen a selejtes csavar val´osz´ın˝ us´ege 0.01. Mi a val´osz´ın˝ us´ege, hogy a beind´ıtott g´ep (a) m´ ar els˝ ore selejtes csavart gy´ art? (0.01) (b) csak m´ asodikra gy´ art selejtes csavart?
0.99 · 0.01
(c) legfeljebb az els˝ o t´ız csavar ut´ an gy´artja az els˝o selejteset? 9 2 8 (d) a tizedik csavar lesz a m´ asodik selejtes? 0.01 0.99 1
(e) legfeljebb az els˝ o 10 csavar ut´ an k´esz¨ ul el a m´asodik selejtes?
0.9910
0.999 (10 − 9 · 0.99)
45. Egy u ¨zemben elektromos biztos´ıt´ekokat gy´artanak. A tapasztalat szerint ´atlagban ezek 12%-a hib´ as. A hib´ as biztos´ıt´ekok sz´ ama binomi´ alis eloszl´as´ u. Sz´am´ıtsuk ki annak val´osz´ın˝ us´eg´et, hogy 10 darab v´eletlenszer˝ uen kiv´ alasztott biztos´ıt´ek k¨oz¨ott (a) nincs selejtes; 0.8810 (b) legal´ abb egy selejtes van; 1 − 0.8810 (c) nincs l-n´el t¨ obb selejtes. 0.8810 + 10 · 0.12 · 0.889 46. ? Egy ´eletbiztos´ıt´ o t´ arsas´ agnak a t¨ obbi k¨oz¨ott 10000 olyan biztos´ıtottja van, akik egyforma kor´ uak ´es szoci´ alis helyzet˝ uek. Annak val´ osz´ın˝ us´ege, hogy egy ilyen szem´ely az ´ev folyam´an meghal, 0,002. A biztos´ıtottak egym´ ast´ ol f¨ uggetlen¨ ul halnak meg. Minden biztos´ıtott janu´ar 1-´en 12 Ft-ot fizet be, hal´ ala eset´en hozz´ atartoz´ oik 4000 Ft-ot kapnak. Mekkora a val´osz´ın˝ us´ege, hogy
(a) a t´ arsas´ agnak nem lesz nyeres´ege; 10000 P 20k −20 ≈ 0.0218; k! · e
10000 P k=30
10000 k
0.002k ·0.99810000−k ; Poisson-eloszl´assal k¨ozel´ıtve:
k=30
(b) legal´ abb 40 000 Ft-ja megmarad? 10000 P 20k −20 ≈ 0.5590; k! · e
10000 P k=20
10000 k
0.002k ·0.99810000−k ; Poisson-eloszl´assal k¨ozel´ıtve:
k=20
(A biztos´ıtottak k¨ oz¨ ott a hal´ aloz´ asok sz´ama egy ´ev alatt binomi´alis eloszl´as´ u, hiszen egym´ast´ol f¨ uggetlen¨ ul halnak meg.) 47. ? Annak val´ osz´ın˝ us´ege, hogy egy di´ aksz´all´o valamelyik lak´oja valamelyik napon beteg lesz, ´es a betegszob´ aban ´ agyat foglal el: 0,002. A di´ akok egym´ast´ol f¨ uggetlen¨ ul betegednek meg. Ha 1200 lak´oja van a di´ aksz´ all´ onak, h´ any ´ agyas betegszob´ at kell berendezni, hogy legfeljebb 1% legyen annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy egy beteg nem kap ´ agyat? A betegek sz´ama binomi´alis eloszl´as´ u, mivel a di´akok egym´ast´ol f¨ ugget1200 P 1200 0.002k · 0.9981200−k 6 0.01. len¨ ul betegednek meg. A sz¨ uks´eges ´ agysz´am olyan n, melyre k k=n+1
Poisson-eloszl´ assal k¨ ozel´ıtve:
∞ P k=n+1
nem.
2.4k k!
· e
−2.4
6 0.01. Ennek n = 7 m´ar megfelel, n = 6 m´eg
48. ♠ Egy augusztusi ´ejszak´ an ´ atlag 10 percenk´ent ´eszlelhet˝o csillaghull´as (a csillaghull´asok sz´ama Poisson eloszl´ as´ u). Mennyi annak a val´ osz´ın˝ us´ege, hogy egy negyed´ora alatt k´et csillaghull´ast l´atunk? 1.52 −1.5 e ≈ 0.2510 2! 49. ♠ Eloszl´ asf¨ uggv´enyek-e a k¨ ovetkez˝ o f¨ uggv´enyek? (a) F (x) =
3 4
+
(b) F (x) = e−e
1 2π
−x
arctan(x), x ∈ R. (Nem)
, x ∈ R. (Igen)
50. ♠ Defini´ aljuk a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´o eloszl´as´at a k¨ovetkez˝ok´eppen: 1 14 val´osz´ın˝ us´eggel, 2 1 val´osz´ın˝ us´eggel, 3 ξ= 1 us´eggel, 3 4 val´osz´ın˝ 4 1 val´osz´ın˝ us´eggel. 6 Adjuk meg ξ eloszl´ asf¨ uggv´eny´et (k´esz´ıts¨ unk ´abr´at is)! 51. ♠ Az al´ abbi f¨ uggv´enyek k¨ oz¨ ul melyek s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enyek? (a) ( sin(x) 2
f (x) = 0
ha
0 < x < 1,
(Nem)
egy´ebk´ent.
(b) ( f (x) =
1 x2
ha x > 1,
0
egy´ebk´ent.
52. ♠ Egy ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye 0 f (x) = a x3
(Igen)
ha x 6 2, ha x > 2.
Hat´ arozza meg az a egy¨ utthat´ o ´ert´ek´et! Sz´am´ıtsa ki, hogy milyen x ´ert´ekn´el lesz P(ξ > x) = √ (a = 8, x = 2 2)
1 2
?
53. V´ alasszunk a [0,1] intervallumon egyenletes eloszl´assal egy pontot. Jel¨olje ξ a pont t´avols´ag´at a [0,1] intervallum k¨ ozelebbi v´egpontj´ at´ ol. Hat´arozza meg ξ eloszl´asf¨ uggv´eny´et ´es s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny´et! ( ha x 6 0, 0 2 ha 0 < x < 12 , Fξ (x) = 2x ha 0 < x 6 21 , fξ (x) = 0 egy´ebk´ent. 1 ha x > 21 , (Teh´ at ξ egyenletes eloszl´ as´ u a 0, 12 intervallumon.) √ 54. ♠ Legyen ξ egyenletes eloszl´ as´ u az [1,2] intervallumon. Hat´arozza meg az E( ξ) v´arhat´o ´ert´eket! √ 2 3 (2 2 − 1) 55. Legyen ξ abszol´ ut folytonos eloszl´ as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye: q 2 e− x22 ha x > 0, π fξ (x) = 0 ha x < 0. Hat´ arozzuk meg ξ sz´ or´ asn´egyzet´et!
1−
2 π
56. ♠ Legyen as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o a [0, 1] intervallumon. Hat´arozza meg a ξ egyenletes eloszl´ P ξ = 31 ´es P(− 12 < ξ < 34 ) val´ osz´ın˝ us´egeket! P(ξ = 3) = 0, P = (− 21 < ξ < 34 ) = 34 57. ♠ Valaki egy s¨ urg˝ os telefonh´ıv´ ast v´ ar. A h´ıv´as id˝opontja egy reggel 8 ´orakor kezd˝od˝o, ismeretlen hossz´ us´ ag´ u intervallumon egyenletes eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o. A h´ıv´ast v´ar´o f´el tudja, hogya h´ıv´ as 80% val´ osz´ın˝ us´eggel 8 ´es 10 ´ ora k¨oz¨ott befut. ´ (a) Allap´ ıtsuk meg, mekkora annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy a h´ıv´as 1/2 10 ´es 10 ´ora k¨oz¨ott ´erkezik. (b) A h´ıv´ as 1/2 10-ig nem j¨ ott be. Mennyi a val´osz´ın˝ us´ege, hogy 1/2 10 ´es 10 ´ora k¨oz¨ott m´eg befut? (Jel¨ olje ξ a h´ıv´ as id˝ opontj´ at. Ez a (8, b) intervallumon egyenletes eloszl´as´ u. Mivel P(8 6 ξ 6 10) = 2 ´Igy P(9.5 6 ξ 6 10) = 0.2, P(9.5 6 ξ 6 10 | ξ > 9.5) = 0.5.) = 0.8, ez´ e rt b = 10.5. b−8 58. ♠ Legyen ξ exponenci´ alis eloszl´ as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o λ = 5 param´eterrel. Hat´arozza meg a P(ξ = 3) ´es P(−2 < ξ < 1) val´ osz´ın˝ us´egeket! (P(ξ = 3) = 0, P(−2 < ξ < 1) = 1 − e−5 ) 59. ♠ Annak val´ osz´ın˝ us´ege, hogy egy benzink´ utn´al a tankol´asra 6 percn´el t¨obbet kell v´arni, a tapasztalatok szerint 0.1. A v´ arakoz´ asi id˝ o hossza exponenci´alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o. Mennyi a val´ osz´ın˝ us´ege, hogy v´eletlenszer˝ uen a benzink´ uthoz ´erkezve 3 percen bel¨ ul sorra ker¨ ul¨ unk? √ (Jel¨olje ξ a v´ arakoz´ asi id˝ o hossz´ at. Mivel P(ξ > 6) = e−6λ = 0.1, ´ıgy P(ξ < 3) = 1 − e−3λ = 1 − 0.1 ≈ 0.68) 60. ♠ Legyen ξ standard norm´ alis eloszl´ as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o. Hat´arozza meg a P(ξ = π), P(ξ > 0), ´es P (ξ > 0) val´ osz´ın˝ us´egeket! (P(ξ = π) = 0, P(ξ > 0) = 12 , P(ξ > 0) = 21 ) 61. ♠ Legyen ξ norm´ alis eloszl´ as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o (1, 4) param´eterekkel. Hat´arozza meg a P(ξ = π), P(ξ > 1), ´es P (ξ > 1) val´osz´ın˝ us´egeket! (P(ξ = π) = 0, P(ξ > 1) = 12 , P(ξ > 1) = 21 ) 62. ♠ Tegy¨ uk fel, hogy bizonyos fajta izz´ol´amp´ak ”´elettartama” norm´alis eloszl´as´ u, m = 1000 ´ ora v´ arhat´ o ´ert´ekkel ´es σ = 100 ´ ora sz´ or´assal. Sz´am´ıtsuk ki, hogy az els˝o 900 ´or´aban a l´amp´ a k h´ a ny ξ−1000 sz´ azal´eka megy t¨ onkre. (Jel¨ olje ξ az izz´ol´ampa ´elettartam´at. Mivel P(ξ < 900) = P < 100 −1 = Φ(−1) = 1 − Φ(1) ≈ 0.8413, ez´ert az els˝o 900 ´or´aban a l´amp´ak k¨ozel´ıt˝oleg 0.1587 sz´azal´eka megy t¨ onkre.) 63. ♠ Legyen ξ egyenletes eloszl´ as´ u a (−5, 7) intervallumon. Legyen η := ξ 3 . Hat´arozza meg η eloszl´ asf¨ uggv´eny´et, s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny´et ´es v´arhat´o ´ert´ek´et. 0 ha y 6 (−5)3 , √ 1 3 y + 5 ha (−5)3 < y < 73 , 3 3 Fη (y) = fη (y) = 36x2/3 ha (−5) < y 6 7 , 0 egy´ebk´ent, 12 1 ha y > 73 , 1 Eη = 12
Z
7
1776 x dx = 48 −5 3
vagy
1 Eη = 36
Z
73
(−5)3
√ 3
y dy =
1776 48
64. Legyen ξ egyenletes eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´altoz´o a [0, 1] intervallumon. Hat´arozza meg az η := val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o eloszl´ asf¨ uggv´eny´et, s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny´et, v´arhat´o ´ert´ek´et! ha y 6 0, 1 0 y ha 0 < y < 21 , ha 0 < y 6 12 , Fη (y) = fη (y) = (1 − y)2 1−y 0 egy´ebk´ent, 1 ha y > 12 , 1
Z Eη = 0
Z
x dx = 1 − ln 2 1+x
vagy
Eη = 0
1/2
ξ 1+ξ
y dy = 1 − ln 2 (1 − y)2
65. ♠ Legyen ξ egy λ param´eter˝ u exponenci´ alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o. Hat´arozza meg √ s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny´et! Hat´ arozza meg 3 ξ s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny´et! ( ( 0 ha y 6 0, 0 ha y 6 0, √ √ f 3 ξ (y) = f ξ (y) = −λy 2 2 −λy 3 ha y > 0, 2λye ha y > 0. 3λy e
√
ξ
66. ♠ Legyen ξ standard norm´ alis eloszl´as´ u. Hat´arozzuk meg ξ 2 s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny´et. √ 1 e−y/2 ha y > 0, 2πy fξ2 (y) = 0 egy´ebk´ent. 67. Mennyi egy egys´egn´egyzetben egyenletes eloszl´assal v´alasztott v´eletlenpont legk¨ozelebbi oldalt´ol val´ o t´ avols´ ag´ anak v´ arhat´ o ´ert´eke? Mennyi ugyanez egy egys´egkock´aban? 16 , illetve 18 . 68. F Legyenek ξ1 , . . . , ξn f¨ uggetlen val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, E ξk = 0, E ξk2 = 1 ´es E ξk4 < ∞ minden k = 1, . . . , n eset´en. Legyen Sn := ξ1 + · · · + ξn . Bizony´ıtand´o, hogy E(Sn3 ) =
n X
E(ξk3 )
´es
E(Sn4 ) =
k=1
n X
E(ξk4 ) + 3n(n − 1).
k=1
69. ♠ A (ξ, η) k´etdimenzi´ os val´ osz´ın˝ us´egi vektorv´altoz´o egy¨ uttes eloszl´as´at a k¨ovetkez˝o kontingencia t´ abl´ azat tartalmazza: H η −1 ξ HH 0 1 −1 p 3p 6p 1 5p 15p 30p 1 (a) Mennyi p ´ert´eke? p = 60 50 6 (b) Adjuk meg a peremeloszl´ asokat! P(ξ = −1) = 10 60 , P(ξ = 1) = 60 , P(η = −1) = 60 , P(η = 0) = 18 36 60 , P(η = 1) = 60 (c) F¨ uggetlen-e ξ ´es η? (igen)
P(ξ + η = −2) = 11 15 30 , P(ξ + η = 1) = , P(ξ + η = 2) = 60 60 60
(d) Adjuk meg ξ + η eloszl´ as´ at!
1 60 ,
P(ξ + η = −1) =
3 60 ,
P(ξ + η = 0) =
70. ♠ V´ alasszunk ki egy pontot v´eletlenszer˝ uen a {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (2, 0)} halmazb´ ol u ´gy, hogy mindegyik pont ugyanolyan val´osz´ın˝ us´eggel ker¨ ul kiv´alaszt´asra. Jel¨oljea kiv´alasztott pontot (ξ, η). Hat´ arozza meg ξ ´es η v´ arhat´o ´ert´ek´et ´es a cov(ξ, η) kovarianci´at. E ξ = E η = 23 , 5 cov(ξ, η) = − 18 . F¨ uggetlenek–e a ξ ´es az η val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok? (Nem) 71. K´et szab´ alyos p´enz´erme egyik oldal´ ara null´at, a m´asikra egyet ´ırunk. A k´et ´erm´et feldobjuk. A ξ val´ osz´ı-n˝ us´egi v´ altoz´ o jelentse a dobott sz´amok ¨osszeg´et, az η val´osz´q ın˝ us´e gi v´altoz´o pedig a a dobott sz´ amok szorzat´ at. Sz´ am´ıtsuk ki ξ ´es η korrel´aci´os egy¨ utthat´oj´at!
2 3
72. K´et szab´ alyos kock´ aval dobunk. A ξ val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o legyen ah´any p´aros sz´am szerepel a dob´ asok k¨ oz¨ ott, az η val´ us´egi v´ altoz´ o pedig ah´any hatost dobunk. Sz´am´ıtsuk ki ξ ´es η korrel´ aci´ os osz´ ın˝ egy¨ utthat´ oj´ at. √15
73. A (ξ, η) k´etdimenzi´ os val´ osz´ın˝ us´egi v´altoz´o lehets´eges ´ert´ekeit a P1 (0, 0), P2 (0, 4), P3 (4, 4) ´es P4 (4, 0) pontok ´ altal meghat´ arozott n´egyzet belsej´ eben lev˝o eg´esz koordin´at´aj´ u pontok alkotj´ak. A (ξ, η) e pontokat egyenl˝ o val´ osz´ın˝ us´eggel veszi fel — a n´egyzet k¨oz´eppontja kiv´etel´evel, amely n´egyszer akkora val´ osz´ın˝ us´eggel k¨ ovetkezik be, mint a t¨obbi. Sz´am´ıtsa ki a ξ ´es η korrel´aci´os egy¨ utthat´ oj´ at! ´ Allap´ ıtsa meg, hogy f¨ uggetlenek–e a ξ ´es az η val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok? (A korrel´aci´os egy¨ utthat´ o 0, teh´ at korrel´ alatlanok, de nem f¨ uggetlenek.) 74. Legyenek ξ ´es η f¨ uggetlen us´egi v´altoz´ok, E ξ = E η = 3, var ξ = var η = 9. Hat´arozza meg qval´ osz´ın˝ corr(ξ + η, ξη) ´ert´ek´et!
2 3
75. F Hat´ arozza meg a c konstans ´ert´ek´et u ´gy, hogy az ( c · (x + y) ha x, y ∈ [0, 1], f (x, y) = 0 egy´ebk´ent f¨ uggv´eny s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny legyen! Hat´arozza meg a koordin´at´ak korrel´aci´os egy¨ utthat´oj´at! (c = 1, a 1 korrel´ aci´ os egy¨ utthat´ o − 11 .) 76. F Hat´ arozza meg a c konstans ´ert´ek´et u ´gy, hogy az ( c · (x2 + y 2 ) ha x, y ∈ [0, 1], f (x, y) = 0 egy´ebk´ent f¨ uggv´eny s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny legyen! Hat´arozza meg a koordin´at´ak korrel´aci´os egy¨ utthat´oj´at! (c = 32 , a 15 korrel´ aci´ os egy¨ utthat´ o − 73 .) 77. F K´et darab egys´egnyi hossz´ us´ ag´ u botot v´eletlenszer˝ uen elt¨or¨ unk, ´es a keletkezett r¨ovidebb darabokat osszeragasztjuk. Mennyi az ´ıgy kapott bot hossz´anak eloszl´asf¨ ¨ uggv´enye, s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye ´es v´arhat´ o ´ert´eke? 0 ha x 6 0, 4x 2 ha 0 < x 6 12 , 1 2x ha 0 < x 6 2 , f (x) = 4(1 − x) ha 21 < x 6 1, F (x) = 1 2 1 − 2(1 − x) ha < x 6 1, 2 0 egy´ebk´ent, 1 ha x > 0, a v´ arhat´ o ´ert´ek 12 78. ♠ Egy szab´ alyos ´erm´et h´ aromszor feldobunk egym´as ut´an, jel¨olje ξ az ´ır´asok sz´am´at! Hat´arozzuk meg ξ medi´ anj´ at, m´ odusz´ at ´es 0.25-kvantilis´et! (M´odusz: 1 ´es 2, medi´an: [1, 2], 0.25-kvantilis: 1) 79. Egy irod´ aban 3 telefonk´esz¨ ul´ek van beszerelve. Annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy valamelyik k´esz¨ ul´eken egy ´ or´ an bel¨ ul h´ıv´ as fut be rendre 0.7, 0.4 ´es 0.6. A ξ val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o jelentse, hogy egy or´ ´ an bel¨ ul h´ any k´esz¨ ul´eken j¨ on h´ıv´ as. Hat´arozzuk meg ξ medi´anj´at, m´odusz´at ´es 0.1-kvantilis´et! (M´ odusz: 2, medi´ an: 2, 0.1-kvantilis: 1) 80. Legyenek a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o lehets´eges ´ert´ekei 1, 2, 3, . . ., eloszl´asa P(ξ = k) =
1 , k(k + 1)
k = 1, 2, 3, . . . .
Hat´ arozzuk meg ξ medi´ anj´ at, m´ odusz´at ´es 0.9-kvantilis´et! (M´odusz: 1, medi´an: [1, 2], 0.9-kvantilis: [1, 2]) 81. Legyen a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o eloszl´asf¨ uggv´enye: 3x−2 ha x+6 ha 10 Fξ (x) = 3 ha 4 1 − 2−x ha Hat´ arozzuk meg ξ medi´ anj´ at ´es interkvartilis´et!
x 6 1, 1 < x 6 32 , 3 2
< x 6 2,
2 < x.
Medi´an: 1, interkvartilis:
2 ln 2 ln 3
− 21 , 2lnln32
82. ♠ Legyen a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o egyenletes eloszl´as´ u a [0, 1] intervallumon, ´es legyen η := Hat´ arozza meg η v´ arhat´ o ´ert´ek´et, medi´anj´at, interkvartilis´et! (E η = 23 , az η medi´anja √ interkvartilise 3−1 2 .)
√
ξ.
√ 2 2 ,
83. Legyen a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o egyenletes eloszl´as´ u a [0, 1] intervallumon, ´es legyen η := ξ 2 . Hat´ arozza meg η v´ arhat´ o ´ert´ek´et, medi´anj´at, interkvartilis´et! (E η = 18 , az η medi´anja 14 , 1 interkvartilise 2 .) 84. ♠ Legyen ξ abszol´ ut folytonos eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye ( x2 xe− 2 ha x > 0, fξ (x) = 0 ha x 6 0. √ Hat´ arozzuk meg ξ medi´ anj´ at! ( ln 4 ) 85. Hat´ arozza meg a λ-param´eter˝ u exponenci´alis eloszl´as medi´anj´at ´es interkvartilis´et! (Medi´an: interkvartilis: lnλ3 .)
ln 2 λ ,
86. Hat´ arozza meg az [a, b] intervallumon egyenletes eloszl´as ferdes´eg´et ´es lapults´ag´at! (A ferdes´eg 0, a lapults´ ag − 56 .) 87. Hat´ arozza meg a λ-param´eter˝ u exponenci´alis eloszl´as ferdes´eg´et ´es lapults´ag´at! lapults´ ag 6.)
(A ferdes´eg 2, a
