XI. Erdélyi Tudományos Diákköri Konferencia Kolozsvár, 2008. május 23–24.
A levegő törésmutatójának mérése Michelsoninterferométerrel
Szerző: Kovács Anikó-Zsuzsa, Babes-Bolyai Tudoányegyetem Kolozsvár, Fizika Kar, Fizika-Informatika szak, IV. Évfolyam Témavezető: Dr. Karácsony János, egyetemi adjunktus; Babes-Bolyai Tudományegyetem Kolozsvár, Fizika Kar, Molekuláris Spektroszkópia Tanszék
A levegő törésmutatójának mérése Michelson-interferométerrel Bevezetés A Fizika Kar Molekuláris Spektroszkópia Tanszéke 2007 őszén a PHYWE cégtől bemutató kísérletek elvégzésére egy Michelson-interferométert vásárolt. Dolgozatomban bemutatom azokat a kiegészítéséket, valamint az elméleti alapokat, amelyek lehetővé tették, hogy az interferométerrel hallgatói laboratórium körülményei között nagy pontossággal meg lehessen mérni a levegő abszolut törésmutatóját. Michelson-féle interferométer leírása
1. ábra
A Michelson-féle interferométer az amplitúdóosztásos (energiaosztásos) kétsugaras interferométerek csoportjába tartozik. Elvi felépítését az 1.ábrán követhetjük, míg a kereskedelemben kapható PHYWE interferométer az 1.fényképen látható Az interferométerben az interferáló sugarakat az L1 lemezre felvitt félig áteresztő réteg választja szét. A félig áteresztő rétegen visszavert sugár a T 1(mozdítható) tükör felé halad, majd azon visszaverődve az L1 lemezen áthalad, s bejut az interferométer távcsövébe, vagy a megfigyelési ernyőre. A rétegen áthaladó sugár a T 2(rögzített) tükrön, illetve a félig áteresztő rétegen való visszaverődés után jut a távcsőbe, s közben kétszer áthalad az L 2 kompenzátorlemezen. A kompenzátorlemezt azért iktatjuk a sugárnyaláb útjába, hogy kigyenlítsük azt az útkülönbséget, ami a T1 tükrön visszaverődő sugárnál lép fel az L1 lemezen való kétszeri áthaladás során. A megfigyelő
távcsőbe, vagy egy megfigyelő ernyőre érkező hullámok koherensek, így a interferenciára képesek. Az optikai út szempontjából a Michelson-interferométer egyenértékű avval a levegőréteggel, mely a T1 tükör és a T2 tükörnek a félig áteresztő réteg, mint síktükör által alkotott T2 képe között van. Helyes beállítás esetén, ha az egyenértékű levégőréteg síkpárhuzamos rétegként viselkedik, az egyenlő elhajlás interferencia görbéit, a Haidinger-gyűrűket figyelhetjük meg [1,2].
1.kép Az interferométer helyes beállítását a következőképpen végezzük el [3]. A nyalábosztó elé egy pontszerű kis tárgyat, például egy fején álló kis szöget helyezünk el. A megfigyelő az egyes karokban levő tükrökről visszavert két képet látja. A nyalábosztót monokromatikus fénnyel világítjuk meg, és a rögzített tükrön levő durvaállító csavarokkal a szög két képét fedésbe hozzuk. Ekkor a látótérben interferenciacsíkok jelennek meg. További finom állítással az interferenciakép középpontját a látótér közepére hozzuk. Az interferométert kiegészítve úgy, hogy egyik karjába egy mindkét végén mikroszkóp lemezzel lezárt, 2cm átmérőjű és 7,8 cm hosszú, levegőt tartalmazó csövet (2.kép), melyhez egy orvosi fecskendő csatlakozik, míg a másikba kompenzáló lemezeket helyeztünk, átalakítottuk az eszközt, alkalmassá téve a levegő törésmutatójának mérésére. A kiegészített interferométert a 3.kép mutatja
2.kép
3.kép A diszperzió klasszikus elmélete A mérések alapját a Lorentz–Lorenz-képlet adja, melyet a diszperzió klasszikus elmélete alapján vezethetünk le [1,2].
A szűkebb értelemben vett diszperzión az anyagok törésmutatójának hullámhossz, illetve frekvencia szerinti változását értjük. Tágabb értelemben az anyagokat jellemző különböző fizikai menyiségek hullámhossz (frekvencia) szerinti változását is diszperziónak nevezzük. A fény elektromágneses hullám lévén, a diszperzióért az anyagban végbemenő elektromágneses kölcsönhatások a felelősek. Könnyen belátható, hogy a fény elektromágneses terének hatása a viszonylag nagy tömegű atommmagokra elhanyagolható az elektronokra kifejtett hatásához képest. Így, amikor a fény-anyag kölcsönhatást vizsgáljuk az atommagokat mozdulatlanoknak tekintjük és a fény elektromágneses terének a szélső, ún. optikai elektronokra kifejtett hatását vesszük csak figyelembe. Az elektronokra ható Lorentz erő: . Mivel az elektronok v sebessége az anyagokban nem túl nagy, a Lorentz erő kifejezésében a mágneses tag elhanyagolható, és a fényhatásáért csak az elektromos térerősség felelős. A diszperzió klasszikus elmélete ezt az elektromágneses kölcsönhatást veszi figyelembe, és elég jó megközelítéssel leírja a jelenséget. Mivel a diszperzió a fény és az elektron kölcsönhatásából ered, és a kölcsönhatások során a fény korpuszkuláris jellege kerül előtérbe, a diszperzió pontosabb magyarázatát a kvantumelmélet adja, amire dolgozatomban nem térek ki. A dielektrikumok diszperziója A dielektrikumokban kötött elektronokkal kell számolnunk, melyeket kvázielasztikus erők tartanak az egyensúlyi helyezetben. A fény hatására az egyensúlyi helyzetből kimozdított elektron kényszerrezgést végez. A klasszikus elektromágneses elmélet szerint a mozgó töltés – az elektron – elektromágneses hullámot bocsájt ki, így energiájának elvesztése a rezgés csilllapítását vonja maga után. A csillapítást egy fékező erővel írhatjuk le. Az elektron mozgásegyenlete: (1) ahol m az elektron tömege, e a töltése, x az egyensúlyi helyzettől mért távolsága, ω körfrekvenciája,
a kvázielasztikus együttható és
a fékező erőt megadó együttható,
a fény
a légüres tér
permitttivitása, P indukált elektromos polarizáció vektorának modulusza. Ha egységnyi térfogatban N elektron van (2) Behelyettesítve ezt az (1) mozgásegyenletbe, a tagok átrendezése után kapjuk:
(3) Bevezetve az
,
alakra hozható, ami egy
jelöléseket, az elektron mozgásegyenlete:
sajátfrekvenciájú oszcillátor kényszerrezgését írja le. Az egyenlet
megoldását: (4) alakban keressük, így az E
(5)
algebrai egyenlethez jutunk, melynek megoldása: (6) ahol X a rezgés amplitudója. Ennek ismeretlben a elektron elongációjára az (7) kifejezést kapjuk. Az időtől periódikusan függő elektromos térerősséget E ′ -tel jelölve E′ = a D elektromos indukció nagyságára a (8) kifejezést kapjuk, melyet átírhatunk a
(9) formába, ahol felismerjük, hogy a zárójelben található kifejezés az ε relatív permittivitás, mely esetünkben komplex szám, így a törésmutató is komplex mennyiség az n~ =
ε kapcsolat értelmében.
Külön választva a törésmutató n valós és k képzetes részét, írhatjuk: (10) ahonnan, a valós és képzetes tagok azonosítása után, kapjuk: (11)
(12) Ha a fényhullám frekvenciája nagymértékben különbözik az optikai elektronnak mint oszcillátornak a sajátfrekvenciájától, a (11) kifejezésben a képzetes tag elhanyagolható a valós taghoz képest, és így jó közelítéssel (13) Behelyettesítve ω
2 0
kifejezését, (13) az (14)
2 formába írható át, mely az ω 0′ = k 0 m jelölés felhasználásával a következővé módosul:
n2 − 1 =
Ne 2 ⋅ mε 0
1
ω 0′ 2 − ω
2
−
Ne 2 3mε 0
(15)
Adjunk a (15) egyenlet mindkét oldalához 3-at, ekkor kapjuk: (16) A (15) és (16) összfüggések elosztása után az (17) képletet kapjuk. Felhasználva, hogy az egységnyi térfogatban levő részecskék száma (18) (17) átalakítható az (19) formába, ahol a jobb oldal csak a frekvenciát tartalmazza mint változót. Ezt R -rel jelölve, írhatjuk: (20) Ez a Lorentz–Lorenz-képlet, ahol R a közeg fajlagos refrakciója, ami csak a frekvenciától függ, de gyakorlatilag állandó marad a halmazállapot-változások során.
A törésmutató meghatározása a Lorentz–Lorenz-képlet használatával Jelöljük a továbbiakban f ( n ) -nel a törésmutató értékét tartalmazó törtet: (21) A sűrűség ∆ ρ
kis változása a Lorentz–Lorenz-képlet értelmében a törésmutató ∆ n változását
eredményezi. Figyelembe véve a törésmutató változásának kicsiny értékét, fejtsük sorba az f ( n ) függvényt n0 kezdeti értékére, így írhatjuk: (22) Ennek felhasználásával (20) a (23) alakra hozható. Ha most a Lorentz–Lorenz-képletet a kezdeti állapotra alkalmazzuk, (24) és így (23) a
(25)
összfüggést eredményezi. Figyelembe véve, hogy a légköri nyomáson és szobahőmérsékleten a levegőre alkalmazható az ideális gáz termikus állapotegyenlete, a levegő sűrűségét a (26) kifejezés határozza meg, melyet felhasználva ∆ n -re a (27) képlet adódik, mely azt mutatja, hogy ∆ n és ∆ p p 0 között lineáris kapcsolat áll fenn, ahol az arányossági tényezőt a törésmutató n0 értéke határoza meg: (28) Kísérletileg
∆ n és ∆ p p 0 mérhetőek, ahonnan A meghatározható, és így kiszámítható n0 .
A mérések menete ∆ n mérésekor a következőképpen járunk el. Mint említettük az interferométer az interferencia szempontjából egyenértékű egy síkpárhuzamos levegőréteggel, így az interferáló hullámok optikai útkülönbségét a síkpárhuzamos lemezekre levezetett összefüggés határozza meg [1,2].
δ = 2 d n02 − sin 2 i1
(29)
ahol d = l1 − l 2 a síkpárhuzamos lemez vastagsága, melyet esetünkben az interferométer karjai hosszúságának különbsége határoz meg, i1 a beesési szög, n0 a levegő törésmutatója a normális légköri nyomáson ésszobahőmérsékleten. Az interferenciakép közepén i1 értéke közel nulla, így érvényes a
δ = 2n0 ( l1 − l 2 )
(30)
közelítő összefüggés. A kezdeti állapotban az interferométerrel kapott interferenciakép a 4.képen látható.
4.kép A (30) útkülönbségnek az interferenciakép közepén a
δ = k0λ
(31)
összefüggés által meghatározott k 0 interferencia rend felel meg. Kihúzva az orvosi fecskendő dugattyúját a csőben csökken a levegő nyomása, így sűrűsége és törésmutatója is. Ha a cső hossza L , az új helyzetben az optikai útkülönbséget a
δ ′ = 2n0 l1 − [ 2n0 ( l 2 − L ) + 2n1 L] −
λ = δ + 2 L( n0 − n1 ) = δ + 2 L∆ n 2
(32)
kifjezés határozza meg, ahol n1 a csökkent nyomású levegő törésmutatója. (32) és (31) értelmében az optikai útkülönbség változása
δ ′ − δ = 2 L∆ n
(33)
melynek az interferenciakép középpontjában k gyűrű megjelenése felel meg. Figyelembe véve, hogy egy új gyűrű megjelenésének λ -val egyenlő plussz optikai út felel meg, írhatjuk:
2 L∆ n = kλ
(34)
ahonnan
∆n=
kλ 2L
(35)
Így követve a megjelenő gyűrűk számát és ismerve a hullámhosszt, melynek értéke He-Ne lézer használatakor 632,8 nm, megmérhető a törésmutató változás. A ∆ p p 0 arány könnyen számolható az izoterm állapotváltozás
pV = p 0V0
(36)
egyenletének felhasználásával. ∆ n és ∆ p p 0 ismeretében meghatározható az A arányossági tényező,
melyből n0 értéke. Ennek kiszámítását azonban megnehezíti az a tény, hogy a (28) összefüggés n0 -ban negyedfokú egyenlethez vezet. Ha figyelembe vesszük, hogy a a levegő törésmutatója csak a negyedik számjegyben különbözik az egységtől, valamint azt, hogy a mérések szerint A nagyságrendje 10-4 a számítások lényegesen leegyszerűsödnek. Írjuk n0 -át a következő formában: n0 = 1 + y
(37)
ahol y < < 1 . Ekkor (28)-ból y -ra a következő egyenletet kapjuk:
( 2 y + y )(3 + 2 y + y ) = 6n A 2
2
0
(38)
Elhagyva az y 2 , illetve ennél nagyobb hatványú tagokat, y -ra az
y= A
(39)
értéket kapjuk. Így végeredményben a törésmutató kezdeti értékét az
n0 = 1 + A Az így mért törésmutató érétkek nagyon jól egyeznek a szakirodalomban található értékekkel.
(40)
Irodalmi hivatkozások 1. Kovács K., A fény elméletben és gyakorlatban, Dacia Könyvkiadó, Kolozsvár, 1985 2. Hecht E., Optics, Addison-Wesley Publ.Co., Massachusetts,1989 3. Nussbaum A.–Phillips R.A., Modern optika mérnököknek és kutatóknak, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1982
