A kardáncsukló kinematikája – I. A szögelfordulások közti kapcsolat skaláris levezetése Bevezetés A Hooke -, vagy Kardán - csukló a gyakorlatban széles körben elterjedt gépelem. Feladata a forgó mozgás átszármaztatása abban az esetben, ha a hajtó tengely és a hajtott tengely középvonala közt szögeltérés van. Amint azt hamarosan beláthatjuk, e kapcsolási mód jellemző sajátossága, hogy a hajtó és a hajtott tengelyek szögsebessége nem egyenlő: az egyik tengely a másikhoz képest váltakozva előresiet, ill. elmarad. A mondott jelenség mind elméletileg, mind gyakorlatilag nagyon fontos következmé nyekkel jár, így egy bizonyos igényszint fölött az esetleges kísérleti / szemléltető bemutatáson túl az elméleti magyarázat is szükségessé válik. Ennek többféle módja lehetséges; mi most a geometriai szemléletre, ill. az ábrázoló geometriai összefüggésekre alapozott skaláris levezetéseket mutatjuk be. A geometriai szemléletre alapozott levezetés Az itt közöltek az [ 1 ] és [ 2 ] forrásokra támaszkodnak. A geometriai helyzetet az 1. ábra szemlélteti – v.ö.: [ 1 ].
1. ábra Az 1. tengely: a hajtótengely; szögelfordulása φ1, szögsebessége ω1. A 2. tengely: a hajtott tengely; szögelfordulása φ2, szögsebessége ω2. A tengelyek α szöget zárnak be egymással. Megjegyezzük, hogy az itt szereplő mennyiségek: skalárok. Az ábra jelöléseivel: a és c a villák, b a kereszt. A kinematikai feladat az alábbiak szerint fogalmazható meg.
2
Adott: α, φ1, ω1. Keresett: φ2, ω2. Megoldás: A kereszten megjelöljük az O metszésponttól egységnyi távolságban lévő B és C pontokat. Az 1. és 2. tengelyek forgása során a B és C pontok egy - egy körön mozognak, melyek síkja α szöget zár be egymással. Ezt szemlélteti az a.) ábrarész. A b.) ábrarész bal oldalán az 1. tengelyre merőleges síkon – mint képsíkon – megjelenő vetületek láthatók: ~ a B pont köre valódi nagyságban, ~ a C pont körének vetülete ellipszisként. A b.) ábrarész jobb oldalán a mondott körök síkja élből látszik, az általuk bezárt α szöggel. Most adjunk az 1. tengelynek φ1 szögelfordulást! Ekkor a B pont a B0 kezdeti helyzetéből a B1 véghelyzetbe, a C pont a kezdeti C0 helyzetéből a C1 véghelyzetbe kerül. Minthogy a B1O és OC1 szakaszok a forgás során merőlegességüket megtartják, ezért az OC1 szakasz benne van a B1O- ra merőleges síkban. Így az OC1 szakasz mint a mondott merőleges sík és a C pont ferde pályasíkjának metszésvonala adódik. Arra vagyunk kíváncsiak, hogy mekkora a ferde síkbeli C0C1 szög valódi nagysága. Ezt a C pont pályasíkjának a képsíkba forgatásával határozzuk meg. Ezek szerint a szerkesztés lépései az alábbiak. 1.) A B0OC0 szakasz φ1- gyel való elforgatásával B1 és C1 előállítása. 2.) A C1 pont C1’ - be való beforgatása, α szöggel. A C0OC1’ szög a keresett φ2 szög. A φ2 szög számítása az alábbi.
QC '1 OQ tg 2 ;
(1)
QC1 OQ tg1;
(2)
QC1 QC'1 cos .
(3)
Most képezve ( 1 ) és ( 2 ) hányadosát:
tg 2 QC '1 ; tg1 QC1
(4)
majd ( 3 ) - ból:
QC'1 1 ; QC1 cos
(5)
végül ( 4 ) és ( 5 ) - ből:
tg 2 1 , tg1 cos amiből
(6)
3
tg 2
tg1 , cos
(7/1)
illetve
tg1 2 arctg . cos
(7/2)
A szögsebességek definíció szerint:
d1 ; dt d 2 2 . dt 1
(8) (9)
Most differenciáljuk ( 7 / 1 ) bal oldalát:
d 1 d 2 tg 2 ; dt cos 2 2 dt
( 10 )
majd ( 7 / 1 ) jobb oldalát is:
d tg1 1 d 1 1 d1 tg1 . dt cos cos dt cos cos 2 1 dt
( 11 )
Ezután ( 10 ) és ( 11 ) egyenlővé tételével, felhasználva ( 8 ) és ( 9 )- et is:
1 1 1 1 , 2 cos 2 2 cos cos 2 1
( 12 )
ahonnan
2 cos 2 2 1 . 1 cos 2 1 cos
( 13 )
Most ( 13 ) - ból kiküszöböljük 2 - t, a ( 7 / 1 ) képlet segítségével. ( 7 / 1 ) négyzetre emelésével:
tg 2 2
1 tg 21; 2 cos
( 14 )
tovább alakítva:
sin 2 2 1 sin 2 1 ; 2 2 2 cos 2 cos cos 1
( 15 )
ismert azonossággal:
1 cos 2 2 1 sin 2 1 ; cos 2 2 cos 2 cos 2 1 innen:
( 16 )
4
1 1 sin 2 1 1 ; cos 2 2 cos 2 cos 2 1
( 17 )
ebből:
1 1 sin 2 1 cos 2 cos 2 1 sin 2 1 1 ; cos2 2 cos2 cos 2 1 cos 2 cos 2 1
( 18 )
véve ennek reciprokát:
cos 2 cos 2 1 cos 2 ; cos 2 cos 2 1 sin 2 1 2
( 19 )
majd ebből:
cos 2 2 1 cos . cos 2 1 cos cos2 cos2 1 sin 2 1
( 20 )
Most ( 13 ) és ( 20 ) képletekkel:
2 cos . 1 cos 2 cos 2 1 sin 2 1 Tehát adott (1 , , 1 ) mennyiségekkel: cos 2 1. sin 2 1 cos 2 cos 2 1
( 21 )
( 22 )
A szakirodalomban más képletalakok is előfordulnak. ( 21 ) - ből:
2 cos cos 1 sin 2 1 cos 2 cos2 1 1 cos2 1 cos 2 cos2 1
cos cos ; 1 cos2 1 1 cos2 1 cos 2 1 sin 2
( 23 )
végül:
2 cos . 2 2 1 1 sin cos 1
( 24 )
A ( 24 ) képlet szerint α = állandó esetén is a tengelyek szögsebességének aránya változó érték: a φ1 szögelfordulás függvénye. E viszonyszám legnagyobb értéke a nevező legkisebb értékénél van, azaz
cos2 1 1 esetén, amikor is 1 0, , 2, stb. Ekkor:
5
2
1 max
cos 1 . 2 1 sin cos
( 25 )
2 E viszonyszám legkisebb értéke a nevező legnagyobb értékénél van, azaz cos 1 0, 3 esetén, amikor is 1 , ,stb. Ekkor: 2 2
2
cos .
( 26 )
1 min
A ( 25 ) és ( 26 ) képletek szerint a hajtott és a hajtó tengely szögsebességének aránya,
1 vagyis az áttétel a cos és az értékek között ingadozik. cos Megjegyezzük, hogy a kardáncsuklóval összekötött gépészeti egységek egymáshoz képesti elmozdulása miatt a csukló működése közben az α szög is megváltozhat. Ilyen helyzet gyakran áll elő egy teherautó hátsó tengelyénél, amely mozgása közben az alvázhoz viszonyított helyzetét megváltoztatja.
Az ábrázoló geometriai összefüggésekre alapozott levezetés Az alábbiak a [ 3 ] forrásra támaszkodnak. Tekintsük az innen vett 2. ábrát!
2. ábra
6
A 2. ábra I. részén a csukló általános elrendezése, a II. részén a vetületi összefüggések tanulmányozhatók. A csuklós kereszt kiinduló helyzete legyen ABCD. Most AB - t a t1 tengely körül φ szöggel elforgatjuk, akkor az az A’B’ helyzetbe kerül. Ez a felülnézeti képen szemlélhető. Ugyanakkor CD - nek ~ egyfelől: egy az A’B’ - re merőleges síkban kell feküdnie, melynek P’C’ nyomvonala merőleges A’B’ - re; ~ másfelől: egy a t2 tengelyre merőleges síkban is, melynek 2. nyomvonala S2O’’. A CD egyenes valamely tetszőleges P pontja P’és P’’ képei által van megadva, és ha ezt CD körül a vízszintesbe beforgatjuk, P0 - ba kerül, és az O’P0 egyenes szöge O’D - vel megadja a t2 tengely ψ elfordulásának valódi nagyságát. A felülnézeti képről:
P ' D O ' D tg;
(a)
P0D O'D tg,
(b)
tehát ( a ) és ( b ) - vel:
tg P0 D . tg P 'D
(c)
Az elölnézeti képpel is:
P 'D P ''O '' cos ;
(d)
de P ''O'' P0 D, így
P0 D 1 ; P 'D cos
(e)
végül ( c ) és ( e ) - vel:
tg
tg . cos
(f)
A 1 és 2 megfeleltetésekkel a ( 7 / 1 ) és ( f ) képletek egyezése adódik. Eszerint mindkét megoldás ugyanarra az eredményre vezetett.
Hasznos gépészeti / mechanikai tudnivalók – [ 4 ], [ 1] ~ A kardáncsuklók úgynevezett szögkiegyenlítő kapcsolók, melyek nagy α szögtarto mányban képesek a forgómozgás átszármaztatására, a hajtó és a hajtott tengely között. Jellegzetes alkalmazási területe a gépkocsiipar – ld. 3. ábra. A 3. ábrán megfigyelhető, hogy az α szög nem kicsi, és menet közben változhat is; a gyakorlati alkalmazásokban sokszor nem egy, hanem két kardáncsuklót építenek be, egymás után, meghatározott módon.
7
3. ábra A két kardáncsukló beépítésének az az oka, hogy így – bizonyos feltételek betartása esetén – kiküszöbölhető a hajtott tengely egyenlőtlen forgása. Ennek belátásához tekintsük a 4. ábrát is – ld.: [ 1 ]!
4. ábra A 4. ábra azt az esetet szemlélteti, amikor az 1. tengelytől a 3. tengelyre a mozgást a 2. tengely közvetíti. Látjuk, hogy a villáik tengelyei egy síkban helyezkednek el. A ( 7 / 1 ) képletet átírjuk:
tg1 tg 2 cos .
(7/1a)
Ennek értelemszerű alkalmazásával:
tg1 tg 2 cos 12 , tg3 tg 2 cos 23 .
(g) (h)
Utóbbiakból:
tg 3 cos 23 . tg1 cos 12
(i)
Innen leolvasható, hogy ha 23 12 , akkor cos 23 cos 12 , és ( i ) szerint
tg 3 tg1 , amiből 3 1 , ebből következően 3 1. Ezek szerint a 3. és 4. ábrán bemutatott ún. Z - elrendezéssel a hajtott tengely szögsebesség - ingadozása elkerülhető.
8
Összefoglalva: két kardáncsukló egymás után való beépítésénél a következő feltételeket kell betartani – ld. [ 4 ]! – : 1. a közbenső tengelyen ( a kardántengelyen ) a két végén lévő villák egy síkba essenek; 2. mindhárom tengely ( a hajtó, a kardán, a hajtott ) egy síkban legyen; 3. a közbenső kardántengelynek a hajtó és a hajtott tengellyel alkotott szöge: 12 23 legyen. Megjegyzések: M1. Ha az 1. feltételt nem tartjuk be, és a kardántengelyen a villák síkjait derékszögben helyezzük el, úgy a hajtott tengely forgásának egyenetlensége az egyszerű kardáncsuk lóénál is nagyobb lehet. Szerelésnél nagyon figyelni kell erre! M2. A kardánhajtás szögsebesség - ingadozása gépészeti szempontból azért káros, mert ez szöggyorsulást, ezzel pedig többlet tehetetlenségi erőket / nyomatékokat okoz. Ezek a tengelyeket, a csapokat többlet erőkkel terhelik, az egyenletes forgás esetéhez képest. További kedvezőtlen hatás, hogy gyorsan forgó tengelyek estén a periodikus gerjesztés rezonancia okozója is lehet.
Összegzés Dolgozatunk I. részében összefoglaltuk a kardánhajtással kapcsolatos legfontosabb tudnivalókat, melynek során az alapvető összefüggéseket geometriai alapon állítottuk elő. A téma bőséges hazai és külföldi szakirodalmában azonban gyakran találkozhatunk az alapvető geometriai összefüggések vektorszámítást alkalmazó levezetésével is. Dolgozatunk II. részében ezzel foglalkozunk.
Irodalomjegyzék [ 1 ] – Sz. N. Kozsevnyikov: A mechanizmusok és gépek elmélete – I. rész Tankönyvkiadó, Budapest, 1952. [ 2 ] – I. I. Artobolevszkij: Teorija mehanizmov i masin Izd. 4., Moszkva, Nauka, 1988. [ 3 ] – Herrmann Miksa: Gépelemek Németh József Könyvkiadó, Budapest, 1923. [ 4 ] – Zsáry Árpád: Gépelemek I. Tankönyvkiadó, Budapest, 1989.
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2008. 09. 29.
