Mechanikai hullámok 1) Alapfogalmak A rugalmas közegekben a külső behatás térben tovaterjed. Ezt nevezzük mechanikai hullámnak. A hullám lehet egy-, két- vagy háromdimenziós, mint például kifeszített húr rezgése (egy dimenzió), vízhullámok (két dimenzió) vagy hanghullámok (három dimenzió). Két- és háromdimenziós hullámok esetén az azonos rezgés állapotú, azonos fázisú pontokat összekötő görbét hullámfelületnek nevezzük. A hullámforrástól legtávolabbi hullámfelületet hullámfrontnak nevezzük. Alakjuk szerint a hullámfrontok lehetnek, körök (vízbe dobott kő), gömb alakúak (hanghullámok) vagy párhuzamos síkok, síkhullámok esetén. A kör alakú hullámok nagy távolságra a hullámforrástól és kis részüket tekintve jó megközelítéssel síkhullámoknak tekinthetők. A hullám terjedési iránya a hullámfrontra merőleges egyenes. A hullámforrástól távolságra lévő pont, csak bizonyos idő elteltével kezd rezegni. A távolságnak és az időnek a hányadosa a hullám terjedési sebessége. Egy hullám periodikus, ha a hullámforrás rezgése periodikus. Jellemző mennyiségei: terjedési sebesség, amplitúdó, frekvencia, periódus, körfrekvencia (szögsebesség), hullámhossz. A hullám amplitúdója egyenlő a közeg részecskéinek legnagyobb kitérésével az adott helyen. A csillapítatlan, egydimenziós hullám amplitúdója független a helytől és egyenlő a hullámforrás rezgésének amplitúdójával. A hullám frekvenciája egyenlő a hullámforrás frekvenciájával, azzal a kikötéssel, hogy a hullámforrás és megfigyelő nyugalomban van. A közvetítő közeg részecskéi a hullámforrás rezgését ismétlik, bizonyos késéssel. A két legközelebbi, azonos rezgési állapotú részecske közötti távolság a hullámhossz. Másképp fogalmazva az a távolság melyet a hullám egy periódus idő alatt tesz meg. Jele: (lambda). A hullám harmonikus (szinuszos), ha a hullámforrás kitérés-idő függvénye szinuszos. 2) A síkhullám egyenlete A következőkben meghatározzuk egy hullámforrástól távolságra lévő részecske kitérés egyenletét és grafikusan ábrázoljuk az idő függvényében. Feltételezzük, hogy a hullámforrás rezgésegyenlete: = Az
távolságot
sin
=
sin
2
1
terjedési sebességgel teszi meg: idő alatt. Tehát az
távolságra lévő pont
ugyanakkora amplitúdóval, frekvenciával, de az időkésés miatt egy: =
=
2
2
fáziskéséssel fog rezegni a hullámforráshoz képest. Kitérésegyenlete tehát: Mechanikai hullámok
1
=
sin
sin
2
2
sin
2
3
3) Tranzverzális és longitudinális hullámok Aszerint, hogy a hullámzó közeg részecskéi milyen irányú mozgást végeznek a hullám terjeterj dési irányához képest, vannak tranzverzális hullámok, ahol a közeg részecskéi a terjedési irányra merőlegesen rezegnek és longitudinális hullámok, ahol a közeg részecskéi a terjedési iránnyal ránnyal megegyező irányú rezgéseket végeznek. Longitudinális hullámok például a hanghulhanghu lámok, ahol a levegő sűrűsödése és ritkulása a terjedés mechanizmusa, és tranzverzális pélpé dául, amikor egy kifeszített kötél egyik végét a kötél irányára merőlegesen rezegtetjük. rez 4) A hullámok terjedése Homogén izotrop közegben a terjedés iránya nem változik, a hullám egyenes vonalban terte jed. A terjedési sebesség a közeg tulajdonságaitól függ. Kifeszített húrban terjedő tranzverzátranzverz lis hullámok sebessége például a feszítőerőtől, feszítőerőtől, a húr tömegétől és a hosszától függ a követköve kező összefüggés szerint: 4 as csak a húrra vonatkozó mennyimenny ahol a feszítőerő, a húr hossza és a húr tömege. A 4-as ségeket tartalmaz, tehát a terjedési sebesség nem függ a hullámforrás hullámforrás jellemzőitől. LongituLongit dinális hullámok esetén a terjedési sebesség függ a közeg anyagi minőségétől: 5 ahol
a közeg rugalmassági modulusza és
a közeg anyagának sűrűsége.
Huygens egyszerű módszert dolgozott ki a hullámfrontok megszerkesztésére. megszerkesztésére. Elve a követkekövetk ző: A hullámfelület minden pontja új elemi rezgésforrásnak tekinthető. A tovahaladó új hulhu lámfront a keletkező elemi hullámok közös érintője, burkoló görbéje. Az alábbi ábra síkhulsíkhu lám esetén szemlélteti ezt az elvet:
A t 0 időpillanatban, fekefek tével jelölt hullámfront minmi den egyes pontja új elemi hullámforrásnak rásnak tekinthető, melyekből kör alakú hulláhull mok indulnak ki. t idő alatt ezek a hullámok hullámfronthullámfron
Mechanikai hullámok
2
ja egy vt sugarú kör. A körök közös érintője egy az eredeti hullámfronttal hullámfronttal párhuzamos egyeegy nes lesz. 5) Hullámok visszaverődése Tegyük fel, hogy egy hullám két olyan közeg határára érkezik, melyekben a terjedési sebesség ség eltérő. Egy része átlép a második közegbe (törést szensze ved), a másik része visszatér az eredeti közegbe (visszaverődés). erődés). A rajzon vilávil goskékkel van ábrázolva a beeső hulhu lám (és hullámfront), mely α szöget zár be a beesési merőlegessel. A beeső hullám az A pontban érinti először a második közeget. Ebben a pillanatban a hullámfront másik széle a B pontban van. Ahhoz, hogy ez is elérje a két közeg határvonalát t időre van szüksége. A t idő alatt v1t utat tesz meg, amely egyenlő a BB’ távolsággal. Időközben az A pont részecskéi, mint elemi hullámforrás viselkednek és a belőle kiinduló hullámok is v1t utat tesznek meg, az AA’ távolságot. Az új hullámfront a B’A’ lesz és visszavert hullámnak nevezzük, a jelenséget pedig viszvi szaverődésnek. Mivel ′'′∆ egybevágó a ''′∆ -el, következik, hogy '* ' ≡ * '′ '′ ′ és a merőleges szárú szögek egybevágóságából következik, követ hogy az ) beesési szög kongruens az )′ visszaverődési szöggel. Ez a visszaverődés törvénye. 6) Hullámok törése Kezdeti időpontnak tekintsük az, amikor a beeső hullám eléri az A pontot. Huygens szerint az A pont elemi hullámforrásként működik és az általa keltett elemi hullám terjed a második közegben. Tételezzük fel, hogy a második közegben a terjedési sebessebe ség . / 0 és t idő alatt, míg a beeső hulhu lám eléri a B’ pontot a második közegben a hullám v2t utat tesz meg. Az új hullámfront ebben a pillanatban az A’B’ A’B’. Az AB’közös oldalt kifejezve az ABB’és AB’A’ háromszögekből következik, hogy: sin '* '′
Mechanikai hullámok
''′ '′
0
' '′
= sin ) é2 sin * '′ ′
′ '′
.
'′
sin 5 6
3
A 40-es összefüggésben kifejezzük mindkét egyenlőségből a közös AB’ átfogót és egyenlővé tesszük a két kifejezést: '7 =
0
sin )
=
.
sin 5
89
sin ) = sin 5
0 .
7
Mivel egy közeg törésmutatója egyenlő a fénysebesség értéke légüres térben osztva a fénysebesség értéke az adott közegben ; =
0 .
< ;0 ;. = < = = ;.0 8 ;0 ;.
ahol ;.0 -et a kettes közeg egyes közeghez viszonyított relatív törésmutatójának nevezzük. A hullámok visszaverődése és törése hasonló a már tanult fény visszaverődéséhez és töréséhez, hiszen a fény is hullám-természetű. 7) Hullám interferencia Rugalmas kötél két végéről indított hullámok zavartalanul áthaladnak egymáson. Találkozásuk helyén az eredő kitérés a két hullám által létrehozott kitérések vektori összegével egyenlő. Azt a tényt, hogy hullámok találkozásánál, mindegyik hullám létrehozza a saját kitérését, mintha csak egyedüli hullám lenne, az eredő kitérés pedig az egyes kitérések vektori összege, szuperpozíció elvnek is nevezzük. A jelenség hasonló a dinamikában tanult esettel, amikor egy testre több erő hat és az eredő hatás az egyes erők hatásainak vektori összegével egyenlő. A hullámok találkozását hullám interferenciának nevezzük. Időben állandó, jól észlelhető interferencia jön létre azonos frekvenciájú állandó fáziseltérésű hullámok szuperpozíciója esetén. Az ilyen hullámokat koherens hullámoknak nevezzük. A közeg adott pontjában kialakuló eredő rezgés amplitúdóját és fázisát a harmonikus rezgések összetételénél tanultak szerint kiszámíthatjuk feltéve, hogy a hullámok harmonikusak és a rezgések adott pontban egy egyenes mentén mennek végbe (tranzverzális hullámok esetén). Tételezzük fel, hogy két koherens, azonos fázisban rezgő hullámforrás kitérésegyenlete: 0
=
sin
é2
0
=
sin
9
Tanulmányozzuk az eredő hullám kitérését egy P pontban, amely az első hullámforrástól 0 távolságra, a másodiktól pedig . távolságra található. Alkalmazzuk a síkhullám egyenletét mindkét hullámra: 0A
=
sin
2
−
0
é2
.A
=
sin
2
−
.
10
Az eredő kitérés, felhasználva a Mechanikai hullámok
4
sin ) + sin 5 = 2 cos
)−5 )+5 sin 11 2 2
trigonometriai kifejezést:
A
= 2 <E2
2
−
.
0
2
sin
2
.
2 −
+
0
= 2 <E2
2
2
.
2
−
0
sin
2 −
.
+
0
Az utolsó egyenlet szerint az eredő amplitúdó a cos függvény argumentumától függ: <E2
2
.
2
−
0
= ±1
vagy: 2
.
2
−
0
.
= G ≫
−
0
= G 89 ∆ = G (12)
A 46-ban = (hullámhossz) egyenlőséget és ∆ = . − 0 útkülönbség jelölést használtam. A k egy pozitív egész szám, értékei k=0,1,2,3…. Tehát a P pont rezgéseinek amplitúdója maximálisan 2A és akkor következik be, ha az útkülönbség ∆ egyenlő a hullámhossz egész számú többszörösével. A fentiekből következik, hogy a hullámok maximálisan gyengítik egymást (egyenlő amplitúdók esetén kioltják egymást), ha az útkülönbség λ ∆ = (2G + 1) (13) 2 8) Állóhullámok Egy l hosszúságú kötél végét egy falhoz rögzítjük, a másik végéből szinuszhullámot indítunk el. Vizsgáljuk meg a hullámforrástól x távolságra lévő P pontban a kitérést. A P pontban két hullám tevődik egymásra: a beeső hullám és a falról ellentétes fázisban visszaverődött hullám. A beeső hullám egyenlete a P pontban: =
sin
−
(14)
A visszavert hullám egyenlete pedig: 7
=
sin L
−
2 −
+ M = − sin
−
2 −
(15)
A 49-ben felhasználtam a sin() + ) = − sin ) egyenlőséget. A két kitérés eredője: A
=
+
7
=
Lsin
−
− sin
−
2 −
M
Felhasználva a
Mechanikai hullámok
5
sin ) − sin 5 = 2 sin
)−5 )+5 cos 2 2
trigonometriai egyenlőséget, kapjuk: A
= 2 sin N
( − )
O cos L
−
M (16)
Az 50-ből látszik, hogy a elejétől x távolságra lévő P pontban lévő részecskék harmonikus rezgőmozgást végeznek, időben állandó amplitúdóval. Az amplitúdó nagysága a sin függvény argumentumától függ, amely az l-x távolságtól függ. Azokat a pontokat ahol az eredő amplitúdó maximális orsópontoknak nevezzük, ahol pedig minimális (zéró) csomópontoknak nevezzük. Az orsópontok létének feltétele tehát:
( − )
= (2G + 1) 89 2
2 ( − )
=
2 ( − )
= (2G + 1) (17) 2
Az 51-ből következik, hogy: ( − ) = (2G + 1) (18) 4 P
Az első orsópont tehát k=0 esetén Q távolságra van a kötél szélétől, a következő k=1 esetén
RP Q
P
távolságra és így tovább. Két orsópont közötti távolság .. Csomópontok létének feltétele: ( − )
= G 89
2 ( − )
=
2 ( − )
= G (19)
Az 51-ből következik, hogy: ( − ) = G (20) 2 Általános esetben a hullám többször is visszaverődhet és a csomópontok és orsópontok helye változhat. Ebben az esetben a hullámok sehol sem oltják ki egymást teljesen (nincs csomópontunk). Ha olyan kötelünk (húrunk) van, amely mindkét végén rögzített, akkor mindkét végén csomópontja van. Lehetséges, hogy mindig ugyanott legyenek a csomópontok, de csak akkor, ha a kötél hossza = G (21) 2 Mechanikai hullámok
6
, vagyis a kötél hossza egész számú csomópontot kell tartalmazzon. Ebben az esetben egy pont kitérésének maximuma időben állandó, ún. állóhullámok jönnek létre. Ha az 55-ben k=1, akkor a húron két csomópont keletkezik (a két végén) és egy orsópont a közepén. Ha k=2, akkor három csomópont és két orsópont keletkezik, és így tovább. Ha k=1, akkor azt mondjuk, hogy a húr alapfrekvenciája szerint rezeg. Ha k>1, akkor azt mondjuk, hogy felharmonikus rezgések keletkeznek. Ezeknek a felharmonikusoknak a frekvenciája az alapfrekvencia egész számú többszöröse. S=G
2
(22)
ahol v a hullám terjedési sebessége, l a húr hossza és k=1,2,3… egész szám. k=1 értékre megkapjuk az alapfrekvenciát és a többi értékre a felharmonikusait. 9) Hullámelhajlás Tekintsünk egy AB rést, melyre merőlegesen esik be egy síkhullám. Az AB hullámfelületet úgy foghatjuk fel, mint sűrűn elhelyezkedő azonos fázisú pontszerű hullámforrások. Ilyen esetben a legerősebb hullámzás a résre merőleges irányban jön létre. Ez a jelenség magyarázza a hullám egyenes vonalú terjedését. Ettől az iránytól jobbra és balra is haladnak hullámok, de ezek intenzitása sokkal kisebb. Azt a jelenséget, hogy a hullámok behatolnak az árnyéktérbe is elhajlásnak nevezzük. Az intenzitás eloszlást a hullám terjedési irányával bezárt α szög függvényében a csatolt grafikon mutatja. Az α nagyon kis értékeire az intenzitás nagy, míg nagyobb értékekre az intenzitás elenyésző. 10) Szeizmikus hullámok Eddig még nem tisztázott okokból a Föld belsejében 700km mélységig idővel óriási feszítőerők halmozódnak fel. Az erők következményeképpen hirtelen szakadások és elmozdulások jönnek létre a Föld mélyében. Az a helyet ahol létrejönnek, hipocentrumnak nevezzük. A földmozgás a kőzetek rugalmassága következtében szeizmikus hullám alakjában tovaterjed. Ahol a hipocentrumból induló, a Föld felületére merőleges egyenes metszi a felszínt ott van Mechanikai hullámok
7
a rengés epicentruma. A szeizmikus hullám áthaladását a Föld felszínén, egyszerűen földrengésnek nevezzük. A hipocentrumból a rengések tranzverzális és longitudinális hullámok formájában terjednek minden irányban. A tranzverzális hullámok nem terjednek a Föld folyékony magjában (megközelítőleg 0,65RF, ahol RF a Föld sugara), a longitudinális hullámokat pedig lencseszerűen fókuszálja az epicentrummal szemben levő oldalra. A szeizmikus hullámok terjedésekor figyelembe kell venni, hogy visszaverődnek, megtörnek és elnyelődnek. Az emberek földrengésmérő műszereket fejlesztettek ki, melyek érzékenyek a földkéreg mozgásaira és grafikusan ábrázolják ezeket. A rengések sebességének mérése is fontos, mivel a longitudinális és tranzverzális hullámok terjedési sebességének különbségét mérve meghatározható a rengés hipocentruma. Így feltérképezhető a Föld belseje, megjelölhetők a földrengés-veszélyes területek, új információkra tehetünk szert a Föld felépítésével kapcsolatosan. 11) Akusztika A hang A hang fogalma az emberi hangérzettel kapcsolatos. A hangok longitudinális mechanikai hullámok, melyeket egy hangforrásnak nevezett rezgéseket végző test hoz létre. Az ember számára hallható hangok frekvenciája nagyjából 20-20000Hz között van, de egyénenként változik. A 20Hz alatti hangokat infrahangoknak, a 20000Hz feletti hangokat pedig ultrahangoknak nevezzük. A hanghullám terjedéséhez mindig szükséges egy terjesztő közeg, légüres térben nem terjed. A (longitudinális) hullámokra vonatkozó jelenségek, szabályok a hanghullámokra is érvényesek. Lássunk néhány hanghullámokra jellemző tulajdonságot: A hallható hang tulajdonságainak egy része a hangot jellemző fizikai mennyiségekkel, másik része a hangérzékelő szervünk sajátosságaival magyarázható. Három fizikai mennyiség jellemzi a hallható hangokat: hangmagasság, hangerősség és hangszínezet. A hangmagasságot kizárólag a hang frekvenciája határozza meg. Mivel egy alaphangot mindig felharmonikusai is kísérnek, ezért egyezség szerint hangmagasságon az alaphang („tiszta hang”) frekvenciáját értjük. A zenében a hangokat frekvenciájuk szerint skálákba osztják. Két alaphang frekvenciáinak arányát hangköznek nevezzük. A hangközök oktávnak nevezett távolságok után ismétlődnek. A hangokat összesen 10 oktávba sorolták. A fülünkhöz eljutó hangerősséget kétféleképpen jellemezhetjük: a) a hangintenzitás az egységnyi idő alatt egységnyi felületre jutó energiát fejezi ki. Mivel a fület érő hangok intenzitása nagyságrendben is eltérő, bevezették a logaritmikus skálát. Összehasonlításként az éppen még hallható 1000Hz frekvenciájú hangot tekintik (I0=1012 W/m2). Tehát: T= 9
Mechanikai hullámok
U (23) UV
8
ahol, L-intenzitásszint – mértékegysége a bel (jele B) vagy decibel (jele dB, 1dB=0,1B). Például 100dB azt jelenti, hogy a hang intenzitása: 100W' = 10' = 9
U Y ≫ U = UV 100V = 10X. . (24) UV
b) Mivel a két azonos intenzitásszintű, de különböző frekvenciájú hang, különböző erősségű hangérzetet okoz, szükséges egy olyan mértékegység is mely ezt a frekvenciafüggést figyelembe veszi. Alapul az 1000Hz frekvenciájú hangot választották. Adott frekvenciájú hang hangossága egyenlő annak az 1000Hz frekvenciájú hangnak az intenzitásával, amelyet a tanulmányozott hanggal egyenlő erősségűnek hall a normális fül. A hangszínezetet az alaphang mellett megjelenő felharmonikusok adják. Például ugyanaz a 440Hz frekvenciájú hang másképp szól zongorán és másképp hegedűn. Ez azért van, mert az alaphang mellett megjelenő felharmonikusok száma és intenzitása különböző a két hangszeren. Ha a hang nagyszámú összetevőt, sok apró hangközt tartalmaz, akkor zajnak nevezzük.
12) Ultrahang felhasználási területek
Mechanikai hullámok
9
