A GPS jelek terjedése a troposzférában (dr. Nagy Sándor, FÖMI, KGO) A troposzféra -a légkör alsó tíz kilométeres rétege- elektromosan semleges, ezért leírni is egyszerûbb mint az ionoszférát. A GPS másfél gigahertzes mûködési frekvenciája az anyaggal való kölcsönhatás szempontjából alacsonynak számít. A közeg itt nem diszperzív, a légkör törésmutatója független a frekvenciától. A légkörön áthaladó jel késést szenved a vákumbeli terjedéssel szemben. Látszólagos út-többlet (excess path) jelenik meg, amelynek karakterisztikus értéke az ionoszférában -a naptevékenységtõl függõen - 10-40 méter, a troposzférában pedig 2.3 méter [1]. A horizonthoz közeledve a fenti számok rohamosan nõnek. Az alap probléma, sat
a semleges légkör okozta
d = ∫ (n − 1) ds
út-többlet meghatározása. A képletben
rec
szereplõ törésmutató (n) helyett kényelmesebb az n-1 refraktivitással dolgozni, 6 hiszen gázok esetében n alig több az egységnél. Sokan az ( n − 1) 10 mennyiséget hívják refraktivitásnak. Az integrált egzakt módon akkor tudnánk kiszámítani, ha ismernénk a levegõ törésmutatóját a „fényút” mentén a vevõkészülék (rec) és a mûhold (sat) között. Sajnos a gyakorlatban ez nem valósítható meg, ezért kénytelenek vagyunk modellekhez folyamodni. A refraktivitás fizikája Elõször megnézzük milyen fizikai paraméterektõl függ a refraktivitás, majd pedig a magasság-függéssel foglalkozunk. Elméleti alapon [2] képlet vezethetõ le az elektromos térbe helyezett anyag dielektromos állandójára ( ε ): ⎛ 1 μ2 ⎞ ε − 1 = 4π N ⎜α + ⎟ 3 kT ⎠ ⎝ Itt N a térfogategységben lévõ molekukák száma (számsûrûség ) α a molekula polarizálhatósága μ a molekula permanens dipólusmomentuma
(
k a Boltzmann állandó 1,38 * 10 −16
erg Ko
)
T a közeg abszolút hõmérséklete A képletben atomfizikai és anyagi állandók szerepelnek. A légkört alkotó gázok esetében a mágneses permeabilitást egységnyinek tekintjük (CGS-ben), ezért n 2 = ε írható. Az N számsûrûség helyett vezessük be a ρ tömegsûrûséget: M
m n NA M ρ= = =N V V NA Itt n a teljes V térfogatban lévõ molekulák számát jelenti, m a tömegét, M a M moláris tömegét. A megjelenõ egyetlen molekula tömege, mert N A az NA
Avogardo-féle szám ( 6,02 * 10 23 mol −1 ) . Innen az N = MA ρ kifejezést az elsõ egyenletbe írva és az n 2− 1 ≈ 2 ( n − 1) közelítést felhasználva kapjuk az: ⎛ NA 1 μ2 ⎞ n − 1 = 2π M ρ ⎜α + ⎟ képletet. A formula két fontos megállapítást tartalmaz. 3 kT ⎠ ⎝ Elõször is kifejezi,hogy a refraktivitás arányos a gáz sûrûségével (Gladston-Dale törvény). Másodszor pedig megmutatja hogy poláros molekuka esetében ( μ ≠ 0) N
megjelenik egy hõmérséklettõl függõ tag is. A légköri refraktivitás kiszámításánál tehát másként kell figyelembe venni az apoláros gázokat ( N 2 , O2 ) , és másként a
poláros vízgõzt ( H 2 O) . Az ideális gáz állapotegyenlete alapján a sûrûségrõl (ρ) át lehet térni a nyomásra (p) m p és a hõmérsékletre (T): pV = mRT azaz ρ = = . A számításban az R univerV RT zális gázállandó helyett sokszor kényelmesebb individuális gázállandót használni [4]. 7
erg
8,3143 * 10 R mol K o erg J = 18,0153 g = 0,4615 *107 g K o = 461,5 kg K o Értéke vízgõzre Rw = Mw mol A levegõ apoláros (száraz) komponenseire pedig az átlagos molekulasúly alapján
R d = 287,1
J kg K
o
.. Az ideális gáz koncepció természetesen csupán közelítés. Reális
gáz esetében térfogati és nyomásbeli korrekciót kellene alkalmazni. Ezreléket sem elérõ hatásuk miatt a szakirodalomban ezeket figyelmen kívül hagyják [4]. A gázkeverék törésmutatója az egyes komponensek súlyozott átlagaként írható fel [3]. A matematikai súly azonban érdekes módon nem a gázkomponens „súlya”, hanem a relatív térfogata. (A levegõ 78% nitrogént, 21% oxigént és 1% argont tartalmaz térfogatában.) A fentiek figyelembevételével a levegõ refraktivitása: n − 1 = k1
pd T
+ k2
e T
+ k3
e T2
ahol pd a száraz levegõkomponens parciális nyomása e a vízgõz parciális nyomása k1 k 2 k 3 az atomfizikai és anyagi állandókat magukban foglaló konstansok Megadjuk az Essen és Frome által 1951-ben publikált és az IAG által 1963-ban ajánlott értékeket [4] [5] [6] : k1 = 77 , 64 *10 −6 k 2 = 64 , 68 * 10−6
Ko HPa Ko HPa
K2
k 3 = 0,3718 HPa Ezeket az együtthatókat már több kutató meghatározta. Rahnemoon összefoglaló táblázatot közöl az 1933-óta publikált eredményekrõl. A számok között némi eltérés mutatkozik, amely a polarizálhatóság és a dipólusmomentum mérési nehézségeire enged következtetni. A refraktivitás függése a földfelszín feletti magasságtól, és az út-többlet A GPS mérõmûszer és a mesterséges hold közötti jelkésés leírása egyetlen lépésben túl bonyolult feladat. A folyamat tanulmányozása szemponjából is célszerû olyan egyszerûsített modellel dolgozni, amelyben csupán a zenit irányú késést számítjuk és
2
sat
a zenittávolság függvényében szorzó faktort alkalmazunk. Az ∞
egyszerûbb
∫ (n − 1) ds
helyett az
rec
∫ (n − 1) dh
integrállal foglalkozunk. Elõször átalakítjuk a refraktivitás
0
képletét a p = pd + e helyettesítéssel, amely kifejezi, hogy a teljes légnyomás a száraz- és a nedves- összege.
n − 1 = k1
p−e
+ k2
T
e T
+ k3
T
= k1 T + ( k 2 − k1 ) T + k 3 p
e 2
e
e T
2
A számértékek beírása után: Ko
( n − 1) *106 = 77, 64 HPa
p Ko e K2 e − 12, 96 HPa + 371800 HPa 2 T T T
(1 HPa = 100 Pascal = 1 mbar) Az elsõ tag elõnyös, mert benne megjelenik a mérhetõ teljes nyomás (p). A második e kiemelésével, és egy és a harmadik tag Rahnemoon nyomán tovább alakítható T e⎡ k ⎤ e k4 k 2 − k1 ) + 3 ⎥ = újabb konstans k 4 bevezetésével: . ( ⎢ T⎣ T⎦ T T Az egyenletbõl k 4 = ( k 2 − k1 ) T + k3 adódik, amelynek elsõ tagja sokkal kisebb a másodiknál minden szóbajövõ T értékre. Így T=273 K fok helyettesítésével a p
2
K k 4 = 0, 36826 mbar nyerhetõ. A refraktivitás pedig az n − 1 = k1 T + k 4
e T2
formába ír-
ható, amelynek elsõ tagját nagyvonalúan száraz-, a másodikat pedig nedves refraktivitásnak is szokás nevezni. K Numerikusan:. ( n − 1) 106 = 77, 64 mbar o
p T
2
K + 368260 mbar
e T
2
.Az elsõ tag integrálása egy-
szerû, a másodiké kissé bonyoluttabb. Az ideális gáz állapotegyenlete alapján visszatérünk a sûrûségre:
p T
p T
-rõl
= R ρ . Az itt szereplõ R (individuális) gázállandó a
leve-gõt alkotó gázkomponensek Ri értékeinek súlyozásával számítható ki [4]. Jó közelí-téssel R = Rd = 287 ,1 kgJK o írható. ∞
Az elsõ tag integrálja: k1 ∫ 0
p T
∞
dh = k1 Rd ∫ ρ dh. Könnyen megmutatható, hogy a 0
jobb oldali integrál a felszínen mérhetõ légnyomással közvetlen kapcsolatban áll. A dp hidrosztatikai egyensúlyban lévõ gáz differenciál egyenlete: = − g ρ kifejezi, hogy dh a nyomás milyen ütemben csökken a magassággal. Megoldásával a felszini po ∞
nyomásra kifejezést nyerünk:
po = ∫ ρ g dh .
Noha az integrálás felsõ határa
o
végtelen, maga a határozott integrál mégis véges értékû. A ht tropopauza-magasság ∞
ht
∞
o
o
ht
bevezeté-sével az integrált két tagra bontjuk: po = ∫ ρ g dh = ∫ ρ g dh + ∫ ρ g dh . Az elsõ (tro-poszférikus) tag véges, mert az integrandus is, és a határok is végesek. A sztratoszfé-rát figyelembe vevõ második tag pedig azért véges, mert ott a (modell 3
szerint) a hõmérséklet állandó, s így a sûrûség a barometrikus magasságformula szerint exponenciálisan csökken. A gravitációs gyorsulás (g) kiemelhetõ az integráljel elé, ha az effektív légkör vastagságán belül állandónak tekintjük. Csökkenõ g esetén pedig a légoszlop súlypontjához tartozó gravitációs gyorsulás g s emelhetõ ki [7]: m
g s = 9,784 s 2
(1 − 0,00266 *cos 2ϕ − 0,00028 H[ km] ) ,
ahol ϕ az állomás földrajzi szélessége, H a tengerszint feletti magassága. Penc (KGO) esetében g s = 9 , 782 sm2 érték adódik. A „száraz tagból” eredõ út-excesszus tehát így írható: ∞
d d = ∫ k1 T dh = k1 Rd o
p
po gs
= 2,278 *10−3 mbar po .Normális 1013 mbar felszini légnyomás m
esetén értéke 2,307 méter. Lineáris függvényrõl lévén szó, 1 mbar változásra (vagy mérési hibára) 2,3 mm távolsághiba jut. A második tag integrálásához a páranyomás és a hõmérséklet magasságfüggését kell ismerni. A meteorológiai rádiószondás mérések szerint a vízpára nyomása rohamosan csökken a magassággal, és már a tropopauza elérése elõtt gyakorlatilag zérussá válik. A hõmérséklet csökkenését lineárisnak tekintjük: T = To + γ h , ahol To a felszini hõmérséklet, h a magasság, γ pedig a hõmérséklet csökkenés mértéke: ⎛ dT Ko ⎞ ⎜ = γ ≈ − 6,7 km ⎟ . Valóságban a légkör nem statikus, így γ értéke sem állandó. ⎝ dh ⎠ (Zivataros idõben −10
o
K km
értékû is lehet.) A nyomás és a hõmérséklet kapcsolatát a
„száraz” levegõ komponensre a következõképpen vezethetjük le. Kiindulunk a fentebb már említett hidrosztatikai dp = − g ρ dh differenciálegyenletbõl, és az ideális dp g gáz p = ρ Rd T állapotegyenletébõl. Osztás után: =− dh . p Rd T dT A h magasság paraméterrõl a T hõmérséklet paraméterre térünk át: dh = γ . Így: −
g
p ⎛ T ⎞ Rd γ összefüggés nyerhetõ. A kitevõ po = ⎜⎝ To ⎟⎠ g = 5, 2 (dimenzió nélküli szám). A értéke az állandók behelyettesítése után: − Rd γ fenti képlettel leírt atmoszférát „politrop légkör modellnek” nevezi a szakirodalom ⎛ p⎞ ⎛T ⎞ [3]. A relatív nyomás ⎜ p ⎟ a relatív hõmérsékletnek ⎜ ⎟ kb. az ötödik hatványával ⎝ o⎠ ⎝ To ⎠
dp g dT =− . Integrálás után a p Rd γ T
csökken. Saastamoinen a fenti képlet kitevõjébe beírta a ν tapasztalati paramétert [5]. Ezzel fejezte ki, hogy a vízpára nyomása a száraz komponensétõl nagyobb −
νg
e ⎛ T ⎞ Rd γ ütemben csökken. =⎜ ⎟ Vizsgálata szerint 2 ≤ ν ≤ 5 intervallumban eo ⎝ To ⎠ változik a földrajzi hely és a klimatikus viszonyok függvényében. Néhány hazai meteorológiai szonda mérése alapján ν -re 4,2 - 4,4 közötti értékeket kaptunk.
4
A fentiek ismeretében az − κ −2
e integrandus a következõképpen írható: T2
e eo ⎛ T ⎞ νg , ahol a κ = rövidítést alkalmaztuk. Az integrálás határai a ⎟ 2 = 2⎜ T To ⎝ To ⎠ Rd γ felszín és a tropopauza magassága, illetve a megfelelõ hõmérsékleti értékek. A függvény zárt alakban integrálható.: Tt ht − κ −2 ⎛ ⎛ T ⎞ − κ −1 ⎞ e eo ⎛ T ⎞ dT e Rd o ∫ T 2 dh = T 2 ∫ ⎜⎝ To ⎟⎠ γ = To ν g + Rd γ ⎜1− ⎜⎝ Tot ⎟⎠ ⎟ . o T0 0 ⎝ ⎠ A zárójeles tényezõ második tagja még kedvezõtlen esetben is elenyészõ. Pl: − κ −1 ⎛T⎞ o o o o To = 273 K ( 0 C ) é s Tt = 213 K ( −60 C ) esetén ⎜ T ⎟ = 5 * 10−3 . ⎝ o⎠ A „nedves” út excesszus tehát így írható: ht
2 e K d w = ∫ k 3 2 dh = 0,3718 mbar T 0
287
J kg K o
m J Ko * 6, 7 4 ,3 * 9 ,78 2 − 287 o km kg K s
eo Ko e = 2,66 mbar o To To
mé ter
Két számpélda: To = 10 C o é s eo = 10 mbar esetén, (amikor is a relatív páratartalom kb. 80 %), d w = 94 mm, vagy 19 C o és 96 % relatív pára mellett d w = 192 mm. A képletbõl látható, hogy a d w inkább érzékeny az eo parciális nyomásra mint a hõmérsékletre. A relatív hõmérséklet-változás kicsiny, a relatív vízgõz-nyomás változás viszont nagy lehet. Száraz téli idõben néhány centiméteres, párás nyári idõben viszont 30-40 centiméteres úttöbblet (excesszus) adódik [8]. Az úttöbblet hibája A száraz komponens relatív hibája -mint korábban utaltunk rá- a felszini légnyomásmérés relatív hibájával egyezik. A nedves komponens relatív hibáját d w teljes Δ d w Δ eo Δ To differenciálja ( Δ d w ) , alapján számítjuk: = − . Az egyenletet To eo dw kifejezi, hogy a nedves út-excesszus relatív hibája a vízgõz-nyomás relatív hibájának és a hõmérséklet mérés relatív hibájának a különbsége. (Kedvezõ esetben a két hiba kiegyenlítheti egymást, de ha nem ismerjük a tévedés elõjelét, akkor az abszolút értékeket kell összegeznünk.) A második taggal nincs semmiféle gyakorlati probléma, hiszen még a szerény ±1 C o -os leolvasási pontosság mellett is
Δ To To
≈ 0, 33 % . A
páratartalom mérés sokkal pontatlanabb. A hajszál higrométer pontosságát 10 százalé-kosnak szokták megadni. Következésképpen az út-excesszus is 10 %-os hibával lesz terhelve, s ez párás idõszakban akár 4 centiméteres hibát is jelenthet. Relatív pára-tartalom mérés helyett a harmatpont mérése ajánlható, amelybõl az abszolút páratar-talom pontosabban származtatható. Cikkünkben a zenit irányú jel-késést tárgyaltuk, normális meteorológiai viszonyok mellett. Láttuk, hogy a troposzférikus korrekció kiszámításához elsõsorban a felszini
5
totális légnyomást és a vízgõz parciális nyomását kell ismernünk. A hõmérséklet ismerete másodlagos, erre nem érzékeny a képlet. A teljességhez hozzátartozna más zenit szögekre is számítási útmutatót adni. A Föld méretéhez képest vékony troposzféra elsõ közelítésben plánparalell rétegnek tekinthetõ, így a 30 foknál nagyobb elevációs szögekre az egyszerû „cosecans” függvény alkalmazható. A horizont közelében viszont összetett képletet kell használni [8]. Az elméletileg legjobban megalapozott megoldást a „sugár-követés” nyújtja, amely blokk-diagramm szintig részletezve Rahnemoon munkájában megtalálható.
1.
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Irodalom Newby,S.P.: An Assessment of Empirical Models for the Prediction of the Transionospheric Propagation Delay of Radio Signals. Technical Report No. 160. New Brunswick, 1992. Novobátzky - Neugebauer: Elektrodinamika és optika (Tankönyvkiadó, Bp. 1961.) Kustin, I.F.: A fénysugarak törése a légkörben . (Oroszul,Nyedra, Moszkva, 1971.) Rahnemoon, M.: Ein neues Korrekturmodell für Mikrowellen - Entfernungsmessungen zu Satelliten (DGK No.: 335, München 1988.) Saastamoinen, J.: Theory of atmospheric refraction. (Bull. Geod. No.: 105, 107.) Murray, C.A.: Vectorial Astrometry (Adam Hilger Ltd. Bristol 1983.) Mironov, N. et al.: Wet component of tropospheric delay for microwaves from surface meteorological data. (Artificial satellites No. 20. Warszawa 1993.) Seeber, G.: Satellite Geodesy (W. de Gruyter, Berlin, New York 1993.)
Wave propagation in the troposphere Summary (S. Nagy, FÖMI, SGO) The extended applications of GPS technique require investigations of neutral atmosphere. This article discusses the propagation delay on the basis of theoretical physics. Mereover it gives a practical formula for estimating the „excess-path” Based on Hungarian meteorological ballon measurements it gives a numerical value for Saastamoinen´s ν parameter, which is important for wet component determination of tropospheric delay.
6
