8
Görbevonalú koordináták
A Descartes derékszög½u koordinátarendszert az i; j; k ortonormált bázis feszíti ki. Egy tetsz½oleges pont helyvektora ebben a bázisban r =xi+yj+zk ahol x; y; z a pont ún. Descartes-féle derékszög½u koordinátái. Ezek a derékszög½u koordináták kifejezhet½ok 3 másik független adat: u; v; w, ún. általános görbevonalú koordináták segítségével is, vagyis a derékszög½u koordináták az új, görbevonalú koordináták függvényei: x = x(u; v; w); y = y(u; v; w); z = z(u; v; w): A tér adott pontján három, kölcsönösen mer½oleges sík metszi egymást: az x = allando, y = allando és a z = allando sík. Egy pont helyzetét megadhatjuk mint ezen három koordinátasík közös pontját. Ha az u; v; w új koordináták közül pl. w-t rögzítjük, a kapott felület neve u; v-felület. Ha az u; v-felületen pl. v-t rögzítjük, a kapott görbe neve u-vonal. Ha az u; v-felületen u-t rögzítjük, akkor v-vonalat kapunk. Hasonlóan értelmezünk két további koordinátafelületet (v; w felület, u; w felület), valamint a w-vonalat. Ezek felelnek meg a korábbi koordináta-síkoknak és koordináta-tengelyeknek. A könnyebb jelölés kedvéért a Descartes derékszög½u koordinátákat x1 ; x2 ; x3 -mal, a görbevonalú koordinátákat u1 ; u2 ; u3 -mal jelöljük.
A derékszög½u koordináták az új, görbevonalú koordináták függvényei: r = r(u1 ; u2 ; u3 ) : x1 = x1 (u1 ; u2 ; u3 ); x2 = x2 (u1 ; u2 ; u3 ); x3 = x3 (u1 ; u2 ; u3 ): Mivel u1 ; u2 ; u3 független koordináták, az inverz függvényeknek is létezniük kell, azaz a görbevonalú koordináták felírhatók a derékszög½u koordinátákkal: ui = ui (x1 ; x2 ; x3 ); i = 1; 2; 3: A koordinátavonalak érint½oi, amelynek irányában a koordináta változik, a koordinátafelületre mer½oleges vektorok. Derékszög½u koordinátáik: @x1 @x2 @x3 @r gi = = ; ; @ui @ui @ui @ui
23
A tér egy P pontjában meghatározott g1 ; g2 ; g3 vektorok a görbevonalú koordinátarendszer bázisvektorai. Ily módon a tér minden pontjában de…niálunk egy koordinátarendszert. Ha a g1 ; g2 ; g3 vektorok páronként mer½olegesek, a koordinátarendszert ortogonális görbevonalú koordinátarendszernek hívjuk. A továbbiakban csak ortogonális koordinátákkal foglalkozunk. Jelöljük a gi bázisvektor hosszát hi -vel, hi = jgi j. A h1 ; h2 ; h3 mennyiségeket Lamé-féle állandóknak, vagy skála-faktoroknak nevezzük. A Lamé-féle állandók segítségével kifejezhet½ok az ívhossz-elem, a felületelem és a térfogatelem. Ívhossz-elem az u1 vonal mentén: ds1 = h1 du1 Felületelem az u1 =áll. , vagyis az u2 ; u3 koordinátafelületen: df23 = h2 h3 du2 du3 Térfogatelem (a koordinátafelületek által körbefogott térrész térfogata): dV = ds1 ds2 ds3 = h1 h2 h3 du1 du2 du3
9 9.1
Henger- és gömbi polárkoordinátarendszer Hengerkoordinátarendszer
hengerkoordináták: u1 = ; u2 = '; u3 = z
z-vonal ϕ-vonal ρ-vonal
r = r( ; '; z) x = cos ', y = sin '; z=z Koordinátafelületek: = all:felület henger ' = all: felület: félsík z = all: felület sík Koordinátavonalak: ld.. ábra Érint½ovektorok és skála-faktorok(Lamé-állandók) @r g = = (cos '; sin '; 0) h =1 @ 24
@r = ( sin '; cos '; 0) h' = @' @r g = = (0; 0; 1) hz = 1 @z Ívelem-négyzet: ds2 = d 2 + 2 d'2 + dz 2 Felületelemek: dfz = d d'; df' = d dz; Térfogatelem: dV = d d'dz g' =
9.2
df = d'dz
Gömbi polár koordinátarendszer
Gömbi polárkoordináták: u1 = r; u2 = #; u3 = '
z r vonal ϕ vonal ϑ vonal y
x
r = r(r; #; ') x = r sin # cos ', y = r sin # sin '; z = r cos # Koordinátafelületek: r = all:felület gömb # = all: felület: kúp ' = all: felület félsík Koordinátavonalak: ld.. ábra Érint½ovektorok és skála-faktorok(Lamé-állandók) @r = (sin # cos '; sin # sin '; cos #) hr = 1 gr = @r @r = (r cos # cos '; r cos # sin '; r sin #) h# = r g' = @# @r g' = = ( r sin # sin '; r sin # cos '; 0) hz = r sin # @' Ívelem-négyzet: ds2 = dr2 + r2 d#2 + r2 sin2 #d'2
25
Felületelemek: dfr = r2 sin # d#d'; Térfogatelem: dV = r2 sin # drd#d'
10 10.1
df# = r sin # drd';
df' = rdrd#
Vektoroperátorok ortogonális görbevonalú koordinátarendszerekben Gradiens
r = limV !0
1 V
H
ndF
F
Számoljuk ki a r vetületét pl. a 3. koordinátavonal irányára! Legyen a térfogat egy kis henger e3 irányú alkotóval, amelynek hossza ds3 = h3 du3 ; térfogata V = A h3 du3 .
e3 A ds3 =h3 du3
A (u1 ; u2 ; u3 ) függvényt a henger fels½o és alsó lapjára, valamint palástjára kell integrálni, de a palást normálisa 8 mer½oleges e3 -ra: 9 > > > > > > > > > > Z < = 1 [ (u3 + du3 ) (u3 )]A + ndF e3 = r e3 = lim A!0;du3 !0 Ah3 du3 > > > > > > palast > > > | {z }> : ; =0
1 @ r e3 = h3 @u3 A többi komponensre hasonlóan, így
r =
3 X 1 @ ei h @u i i i=1
Hengerkoordinátákban: h = 1; h' = ; hz = 1
26
r =
@ 1@ @ e + e' + ez @ @' @z
Gömbi polárkoordinátákban: hr = 1; h = r; h' = r sin r =
1@ 1 @ @ er + e + e' @r r@ r sin @'
Példa: rrn = nrn 1 er = nrn 2 r
10.2
Divergencia
1 H v ndf V!0 V F Legyen a térfogat egy kis paralelepipedon a koordinátavonalak mentén (ábra) Az integrált a hat lapra írt összegként kezeljük:
div v = r v = lim
Írjuk fel például az e1 normálisú 1. és a e1 normálisú 2. lapra vett felületi integrált: v1 h2 h3 du2 du3 j1: lapon v1 h2 h3 du2 du3 j2: lapon Ha ezt osztjuk a V = ds1 ds2 ds3 = h1 h2 h3 du1 du2 du3 térfogattal, kapjuk hogy 1 v1 h2 h3 j1:lapon v1 h2 h3 j2:lapon 1 @(v1 h2 h3 ) = lim V!0 h1 h2 h3 du1 h1 h2 h3 @u1 A másik két szemközti lap-párra hasonlóan eljárva, adódik: 3 1 X @ vi ( h1 h2 h3 ) div v = h1 h2 h3 i=1 @ui hi
Hengerkoordinátákban: div A =
1 @(A1 ) 1 @A2 @A3 + + @ @' @z
27
Gömbi polárkoordinátában: div A =
10.3
1 @ 1 @ 1 @ (A1 r2 ) + (A2 sin ) + (A3 ) 2 r @r r sin @ r sin @'
Rotáció:
rot v = r
1 H n V!0 V F
v = lim
vdF;
1H v ds: A!0 A G Az utóbbi alkalmasabb a komponensek meghatározására. Legyen a kis sík felület az el½oz½o ábra l = e3 normálisú lapja. vagy l rot v = l r
v = lim
A = h1 du1 h2 du2 Számoljuk ki a vonalintegrálokat a szemközti oldalpárokra: e3 rot v = ( rot v)3 = 1 [v1 h1 du1 ju2 v1 h1 du1 ju2 +du2 + v2 h2 du2 ju1 +du1 v2 h2 du2 ju1 ] = lim A!0 h1 du2 h2 du3 v2 h2 ju1 +du1 v2 h2 ju1 v1 h1 ju2 +du2 v1 h1 ju2 1 = lim A!0 h1 h2 du1 du2 1 @ @ ( rot v)3 = (v2 h2 ) (v1 h1 ) 1 h1 h2 @u @u2 Az els½o és második komponenst hasonlóan kaphatjuk meg. Az eredményeket egy formulába összefoglalva: rot v =
3 X
hi @vk hk "ijk ei h1 h2 h3 @uj i;j;k=1
Praktikusan megjegyezhet½o determináns alakban: e1 h1 e2 h2 e3 h3 1 @ @ @ rot v = h1 h2 h3 @u1 @u2 @u3 v1 h1 v2 h2 v3 h3
28
A rotáció hengerkoordinátákban 1 @v3 @v2 @v1 @v3 1 @(rv2 ) rot v = ( )e1 + ( )e2 + ( r @' @z @z @r r @r Gömbi polárkoordinátákban: 1 @ (rot v)1 = 2 (v3 r sin ) r sin @ stb.
10.4
1 @v1 )e3 r @'
@ 1 @ (v2 r) = (v3 sin ) @' r sin @
1 @v2 r sin @'
A Laplace-operátor:
a) Skalárfüggvényre: r2
= r(r ) r2
=
3 1 X @ h1 h2 h3 i=1 @ui
b) Vektormez½ore: r2 A = r(r A)
r
(r
h1 h2 h3 @ h2i @ui A)
Derékszögú koordinátarendszerben: 3 @2 P @2 @2 @2 + + r2 = = 2 @x2 @y 2 @z 2 i=1 @xi Hengerkoordinátarendszerben: 1 @ @ 1 @2 @2 r2 = ( )+ 2 2 + 2 @ @ @' @z 3. Gömbi polárkoordinátarendszerben: 1 @ @ 1 @ 1 @2 @ r2 = 2 (r2 )+ 2 (sin )+ 2 2 r @r @r r sin @ @ r sin @'2 Példa: A Coulomb-törvény: E = 2 er r r E = 0, ha r 6=0 Ha a V térfogat nem tartalmazza az origót ( r 6=0) akkor a Gauss tétel szerint: Z I r EdV = E ndf = 0.
V
F
Mit mondhatunk ha r = 0 2V ? A Gauss-tétel továbbra is alkalmazható ha az origót kihagyjuk egy kis " sugarú gömbbel, és utána " ! 0 határértéket veszünk: 0=
I
F0
E ndf =
I F
E ndf +
I
E ndf
" g• omb
29
V ε n F
Z I" F
E ndf =
4 "2 Er =
4 "2
"2
=
4
E ndf = 4 ez az elektrosztatika Gauss-törvénye.
30
