A BSc-képzés szakdolgozati témái

A BSc-képzés szakdolgozati témái ELTE TTK, Matematikai Intézet 2011/2012

1.

Geometriai Tanszék

G1. Szabadon választható téma Témavezet®:

A tanszék bármelyik oktatója, vagy (a tanszékvezet® által jóváha-

gyott) küls® szakember.

A téma rövid leírása:

Ha egy hallgató tetsz®leges geometriai téma iránt ér-

dekl®dik, akkor témavezet®nek választhatja azt a szakembert, aki ehhez ért, és ebben segítséget tud neki nyújtani.

Ajánlott irodalom: a hallgató és a témavezet® megállapodása alapján. Ajánlott szakirányok: mindegyik. G2. Görbék és felületek geometriai vizsgálata a Mathematica programmal Témavezet®:

Csikós Balázs


A Mathematica program egy szimbolikus számítások

elvégzésére alkalmas program, mely kiváló grakus lehet®ségekkel is rendelkezik, és a pontosan nem kiszámítható feladatokra jó numerikus közelítést tud adni. Használatával a görbék és felületek analitikus vizsgálatakor a hangsúly a fárasztó számolások elvégzésér®l áttev®dik a különféle fogalmak és konstrukciók geometriai tartalmának és viselkedésének megértésére, az eredmények elemzésére.

Ajánlott irodalom:

A. Gray, E. Abbena, S. Salamon:

Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica.

Ajánlott szakirányok:

mindegyik.

1

Modern Dierential

1

GEOMETRIAI TANSZÉK

2

G3. Geometriai széls®érték-feladatok Témavezet®:

Csikós Balázs


A geometriában gyakran találkozunk optimalizásási

feladatokkal. Ezek közt nagyon sok már megoldott klasszikus probléma van (izoperimetrikus, izodiametrális egyenl®tlenségek, stb.), és vannak régóta megválaszolatlan kérdések is. Ugyanakkor felvethet®k új problémák is, melyeket eddig keveset vizsgáltak.

Ajánlott irodalom:

D. O. Skljarszkij, N. N. Csencov, I. M. Jaglom: Válogatott feladatok és tételek az elemi matematika köréb®l. II. rész, 2. kötet. Geometriai egyenl®tlenségek és széls®érték-feladatok, D. S. Mitrinovi¢, J. E. Pe£ari£, A. M. Fink: Recent Advances in Geometric Inequalities (Mathematics and its Applications), Kluwer Academic Publishers.


mindegyik.

G4. Dinamikus geometriai programok (Geogebra, Euklides, Cabri, stb.) használata a geometriában Témavezet®:

Csikós Balázs


A dinamikus geometriai programok hasznos segédeszközt

jelentenek bizonyos típusú geometriai problémák megoldásában. Használatuk módszertanát érdemes minden középiskolai matematikatanárnak elsajátítani és továbbadni. Jól használhatja e programokat mindenki, akinek valamilyen geometriai problémát kell megoldania. A szakdolgozat célja annak bemutatása konkrét példákon keresztül, hogyan lehet e programokat a probléma elemzésére, sejtések megfogalmazására, mértani helyek megsejtésére használni.

Ajánlott irodalom:

versenyfeladatok gy¶jteményei, Középiskolai Matematikai

Lapok.


els®sorban tanári.

G5. Geometriai egyenl®tlenségek a síkon és a gömbfelületen Témavezet®:

Kertész Gábor


A feladat néhány egyszer¶en megfogalmazható, de

nem feltétlen könnyen bizonyítható egyenl®tlenség, mint a háromszöglemez pontjának csúcsoktól és oldalegyenesekt®l mért távolságai közti Erd®sMordell egyenl®tlenség körbejárása. Lehet®ség van még egyszer¶, de a Hajós-könyvön túlmutató gömbi egyenl®tlenségek vizsgálatára is. Hogyan változik a csuklókkal összekötött rudakból álló négyszög területe a síkon és a gömbfelületen? Analitikus és más bizonyítások.

Ajánlott irodalom: cov, Jaglom:

Bevezetés a geometriába, Sklarszkij, ScsenVálogatott feladatok és tételek az elemi matematika köréb®l. Hajós György:

1

GEOMETRIAI TANSZÉK


3

tanári.

G6. Tengelyes tükrözések az euklideszi és a gömbi geometriában Témavezet®:

Kertész Gábor


Ismert, hogy a tengelyes tükrözések generálják a sík

és a gömbfelület egybevágósági csoportját, de ún. tükrözésgeometriai eszközökkel sajátosan kezelhet®ek a sugársorok és a ciklusok (itt kör és egyenes) is. Segítségükkel bebizonyítjuk azt is, az adott oldalhosszúságú sokszögek halmazában, ha az nem üres és gömbön a kerület kisebb, mint

π,

egybevágóság

erejéig pontosan egy körbe írható van.

Ajánlott irodalom: Hajós György: Bevezetés a geometriába. Ajánlott szakirányok: tanári. G7. Szimmetrikus sudoku-megoldások Témavezet®:

Kiss György


Ha egy sudoku-megoldástól a szokásos tulajdonságokon

kívül minden sorban, minden oszlopban és minden kis négyzetben forduljon el® mind a 9 számjegy még néhány továbbit is megkövetelünk, akkor kapjuk az ún. szimmetrikus megoldásokat. Ezek szorosan kapcsolódnak bizonyos perfekt kódokhoz és véges geometriákhoz.

Ajánlott irodalom:

Bailey, Cameron, Connelly: Sudoku, gerechte designs, resolutions, ane space, spreads, reguli and Hamming codes, kézirat.


matematikus, alkalmazott matematikus.

G8. Focibajnokságok és véges geometriák Témavezet®:

Kiss György


Egy körmérk®zéses focibajnokság fordulóinak összeállí-

tása sok csapat esetén nem egyszer¶. Ennek a problémának sok szép geometriai megoldása van. Ezek közül néhány leírása a dolgozat témája.

Ajánlott irodalom:

Kiss, Sz®nyi:

Factorizations.


Véges geometriák,

12. fejezet, Wallis:

One-

mindegyik.

G9. Baricentrikus koordináták Témavezet®:

Lakos Gyula


A baricentrikus koordináták a háromszög geometriájá-

nak leghatékonyabb analitikus eszközei. Segítségükkel a háromszög nevezetes alakzatai mind jól leírhatóak; a háromszög geometriájának megnyugtatóan rendszeres kezelésére van mód.

1

GEOMETRIAI TANSZÉK

4

Ajánlott irodalom: Reiman István: A geometria és határterületei, 2., 3. Ajánlott szakirányok: tanári.

fejezet.

G10. Körök analitikus geometriája Témavezet®:

Lakos Gyula


A körtartó (konform) leképezések nagyon szép témakör,

O(3, 1) csoport megértéséhez. Coxeter: A geometriák alapjai, 6.

és természetesen csatlakozik az

Ajánlott irodalom:

H. S. M.

fejezet, a

nem

analitikus tárgyaláshoz, az alapfogalmak bemutatása végett.


matematikus, tanári.

G11. Geometriai módszerek a végtelen csoportok elméletében Témavezet®:

Moussong Gábor


A csoportelmélet legtöbb eszköze csak a véges csoportok

esetében m¶ködik hatékonyan. A végtelen csoportok megértéséhez különféle geometriai és topológiai módszerek állnak rendelkezésünkre: izometrikus csoporthatások, a Cayley-gráf geometriája és aszimptotikus viselkedése, görbületi feltételek.

Ajánlott irodalom:

Lectures on Geometric Group Theory, Metric Spaces of Non-positive Curvature.

M. Kapovich:

Bridson, A. Haeiger:


M.

matematikus.

G12. Coxeter-csoportok Témavezet®:

Moussong Gábor


A diszkrét transzformációcsoportok között a tükrö-

zésekkel generált csoportokat, illetve ezek absztrakt megfelel®it, a Coxetercsoportokat ismerjük a legalaposabban. A szakdolgozat felderítheti a geometria és az algebra között ebben a témában különösen szépen megmutatkozó összjátékot.

Ajánlott irodalom: ups,

H. Hiller:

The geometry and topology of Coxeter groThe geometry of Coxeter groups. M. W. Davis:


matematikus.

G13. Hiperbolikus geometria Témavezet®:

Moussong Gábor


A BolyaiLobacsevszkij-féle geometria b®ségesen kí-

nál felderítésre váró érdekes témákat úgy a modern, magasabb dimenziós vonatkozások területén (pl. transzformációcsoportok, térformák leírása), mint a

1

GEOMETRIAI TANSZÉK

5

klasszikus síkgeometriai kérdésekben (pl. a területszámítás elemi tárgyalása, háromszögek geometriája, trigonometria, szerkesztések).

Ajánlott irodalom:

E. B. Vinberg: Geometry II. (Springer EMS Vol. 29.), Bevezetés a BolyaiLobacsevszkij-féle geometriába, Reiman I.: A geometria és határterületei. Szász P.:



G14. Gömbi geometria. Témavezet®:

Moussong Gábor


A nem-euklideszi geometriák közül a legszemléletesebb

és legismertebb a gömbi geometria. Kísérletezni lehet bármilyen ismert síkgeometriai témakör átültetésével a gömbi geometriába (pl. háromszögek geometriája, szerkesztések, kúpszeletek, izoperimetrikus problémakör).

Ajánlott irodalom:

Gömbi geometria, rikus egyenl®tlenségek és gömbi geometria. Csikós B.:


Moussong G.:

Izopoerimet-

tanári.

G15. Poliéderek, mozaikok Témavezet®:

Moussong Gábor


A jól ismert szabályos poliédereken kívül jó néhány érde-

kes poliédertípus vár feltérképezésre és osztályozásra: félig szabályos, uniform, csillag-, Johnson-, Catalan-, stb. poliéderek. Rokon téma a mozaikok világa: a periodikus mozaikok osztályozása, nevezetes nem-periodikus mozaikok.

Ajánlott irodalom:

D. Wells:

ing Geometry.


The Penguin Dictionary of Curious and Interest-

tanári.

G16. Érdekes síkgörbék Témavezet®:

Moussong Gábor


A geometria hosszú története során változatos céllal és

igen nagy számban vizsgáltak különféle síkbeli görbéket. Ezek összegy¶jtése, rejtett összefüggéseik feltárása lehet a szakdolgozat témája.

Ajánlott irodalom:

A geometria és határterületei, Pelikán J.: Wells: The Penguin Dictionary of Curious and

Reiman I.:

Klasszikus algebrai görbék, Interesting Geometry.


D.

tanári.

G17. Kombinatorikus geometriai problémák Témavezet®:

Naszódi Márton

1

GEOMETRIAI TANSZÉK


6

Különböz® elemi módszereken alapuló síkgeometriai

eredményeket lehet bemutatni, illetve nyitott kérdéseket vizsgálni. példa: Erd®sSzekeres-tételkör, azaz konvex

n-szög

Néhány

létezése megfelel®en nagy

ponthalmazban, gráf síkbarajzolásában az élek metszeteinek száma, körlapok családjában páronként diszjunkt elemkb®l álló részcsalád keresése.

Ajánlott irodalom:

J. Matou²ek:

Combinatorial Geometry


Lectures on Discrete Geometry,

Pach J.:

tanári.

G18. Normált terek geometriája Témavezet®:

Naszódi Márton


Az euklideszi távolságot a síkon (általánosabban

Rn -ben)

kicserélhetjük más távolságfüggvényekre, amelyek az euklideszit®l különböz® érdekes geometriákhoz vezetnek.

Lehet például vizsgálni, hogy az euklide-

szi síkbeli trigonometria hogyan vihet® át normált síkba, mi a mer®legesség fogalma, mik az állandó szélesség¶ halmazok, stb.

Ajánlott irodalom: A. C. Thompson: Minkowski Geometry Ajánlott szakirányok: matematikus, tanári, alkalmazott matematikus. G19. Konvex geometriai módszerek Témavezet®:

Naszódi Márton


A magasdimenziós konvex testek vizsgálatában alkal-

mazott valószím¶ségi módszert lehetne bemutatni a Dvoretzky-tétel egy biE tétel szerint tetsz®leges k természetes számhoz van n természetes szám, hogy minden n-dimenziós konvex testnek van olyan

zonyításán keresztül. olyan

k -dimenziós

metszete, amely nagyon hasonlít az euklideszi gömbre.

Ajánlott irodalom: Matou²ek:

Introduction to Modern Convex geometry, Lectures on Discrete Geometry K. Ball:


J.

matematikus.

G20. Egybevágóságok Témavezet®:

Szeghy Dávid


Az egybevágóságok euklideszi osztályozásának mintájára

a gömbi és a hiperbolikus geometria egybevágóságait tekintjük át.

Ajánlott irodalom: metry,

H. S. M. Coxeter:

E. B. Vinberg:


Geometry II.

A geometriák alapjai,

M. Berger:

(Springer EMS Vol. 29.)


Geo-

1

GEOMETRIAI TANSZÉK

7

G21. An transzformációk Témavezet®:

Szeghy Dávid


Az anitások áttekintése és felhasználása sík- és térgeo-

metriai kérdésekben.

Ajánlott irodalom:

H. S. M. Coxeter:

metry.


A geometriák alapjai,

M. Berger:

Geo-

tanári.

G22. Állandó görbület¶ zárt felületek Témavezet®:

Szeghy Dávid


Áttekintjük a zárt felületek topológiai osztályozását és

felderijuk, melyiken milyen állandó görbület¶ geometria létezik.

Ajánlott irodalom: E. B. Vinberg: Geometry II. (Springer EMS Vol. 29.) Ajánlott szakirányok: matematikus, tanári. G23. Projektív geometriai módszerek a CayleyKlein-modellben Témavezet®:

Verhóczki László


A síkbeli hiperbolikus geometria legismertebb modellje a

Cayley-Klein-féle körmodell. Alapvet® projektív geometriai ismereteket alkalmazva ebben a modellben már megoldhatóak olyan problémák, mint például egy szakasz felez®mer®legesének vagy két egyenes korrespondeáló pontjainak a megszerkesztése. Azt is igazolni lehet, hogy a modellbeli körök, paraciklusok és hiperciklusok euklideszi értelemben ellipszisek.

Ajánlott irodalom: Reiman István: A geometria és határterületei. Ajánlott szakirányok: tanári. G24. Trigonometriai összefüggések a CayleyKlein-modellben Témavezet®:

Verhóczki László


A Cayley-Klein-féle modellben viszonylag könnyen iga-

zolni lehet a hiperbolikus trigonometria olyan alapvet® eredményeit, mint a szinusztétel és a két koszinusztétel. Ezen kívül le lehet vezetni a parallelszögre, valamint a kör kerületére és területére vonatkozó összefüggéseket is.

Ajánlott irodalom: Reiman István: A geometria és határterületei. Ajánlott szakirányok: tanári. G25. Másodrend¶ görbesorok a projektív síkon. Témavezet®:

Verhóczki László


Mint ismeretes, a projektív síkon egy másodrend¶ görbét

öt független adattal (pédául három ponttal és közülük kett®ben az érint®vel)

1

GEOMETRIAI TANSZÉK

8

lehet egyértelm¶en leírni. Alapvet® kérdés, hogy az ilyen koordináta-adatokból miként lehet egyszer¶en kiszámítani a másodrend¶ görbe egyenletét.

Ez a

probléma jól kezelhet® a másodrend¶ görbesorok alkalmazásával.

Ajánlott irodalom:

I. Faux and M. Pratt:

and manufacture.


Computational geometry for design

tanári.

G26. Geometriai vetítések analitikus leírása Témavezet®:

Verhóczki László


A számítógépes grakában a térbeli alakzatok paral-

lel vagy centrális vetületeinek el®állításakor különféle geometriai transzformációkat alkalmaznak.

A cél ezen transzformációk részletes leírása és néhány

ábrázoló geometriai eredmény analitikus igazolása.

Ajánlott irodalom:

Computer graphics, prinSzámítógépes graka.

Foley, van Dam, Feiner, Hughes:

ciples and practice,

Szirmay-Kalos László:


tanári, alkalmazott matematikus.

G27. Vonalfelületek és minimálfelületek Témavezet®:

Verhóczki László


A klasszikus dierenciálgeometria gyakorlatban is al-

kalmazható eredményei közé sorolhatjuk a síkba lefejthet® vonalfelületek és a minimálfelületek jellemzését. A cél egy olyan könyvfejezet részletes feldolgozása, amely ezen felülettípusokat tárgyalja.

Ajánlott irodalom: M. do Carmo: Dierential geometry of curves and surfaces. Ajánlott szakirányok: alkalmazott matematikus. G28. A másodrend¶ felületek an osztályozása Témavezet®:

Verhóczki László


Ha megfelel® koordináta-transzformációt alkalmazunk

az euklideszi térben, akkor egy másodrend¶ felület egyenlete kanonikus alakra hozható. Ez a módszer lehet®séget nyújt a másodrend¶ felületek an osztályozására. Emellett célszer¶ még tárgyalni a síkba nem lefejthet® másodrend¶ vonalfelületek (az egyköpeny¶ hiperboloid és a hiperbolikus paraboloid) geometriai tulajdonságait.

Ajánlott irodalom: Hajós György: Bevezetés a geometriába. Ajánlott szakirányok: tanári.

A BSc-képzés szakdolgozati témái

Recommend Documents