INTEGRAL TAK MUTLAK
A B S T R A K
Setiap teori integral selalu memuat masalah sebagai berikut. Jika untuk setiap n berlaku fungsi f
n
terintegral
dan barisan fungsi {f n } konvergen ke f hampir di mana-mana pada selang (a,b), maka syarat cukup apakah yang diperlukan agar fungsi f juga terintegral pada selang yang sama dan 1 i m Jb f (t)dt = J b l n n -+ m
i m f (t)dt n m
Untuk integral Lebesgue syarat cukup yang dimaksud telah terumuskan menjadi beberapa bentuk, antara lain jika if ) n merupakan barisan terdominasi atau jika fungsi asal Lebesgue f n kontinu mutlak seragam pada [a,b). Untuk integral Henstock syarat cukup yang dimaksud telah terumuskan dalam beberapa bentuk, antara lain jika {f n }
merupakan
barisan
konvergen terkendali ke f pada lad)) atau If } merupakan n barisan terdominasi. Sekarang masalah tersebut di atas akan diteliti untuk integral tumpat Bullen. Integral
tu mpat
Bullen
dibangun
berdasarkan
atas
pengertian partisi liput penuh tumpat. Liput penuh tumpat merupakan pengitlaktumpatan liput penuh. j adi integral tumpat Bullen merupakan pengitlaktumpatan integral Henstock. Oleh karena itu, setelah menelusuri pengertian dasar pengitlaktumpatan, jikalau mungkin disusun lebih dahulu bentuk itlak tumpat setiap pengertian yang berkaitan dengan integral Henstock. Sebagai contoh pengertian limit diitlaktum-
2
patkan menjadi pengertian limit tumpat, pengertian turunan diitlaktumpatkan menjadi pengertian turunan tumpat, pengertian kekontinuan diitlaktumpatkan menjadi pengertian kekontinuan tumpat, dan seterusnya. Pengertian-pengertian dalam bentuk tumpat seperti itu banyak yang telah dirumuskan. Dengan Cara yang sama pengertian barisan fungsi konvergen seragam dapat diitlaktumpatkan menjadi pengertian bentuk tumpatnya yaitu pengertian barisan fungsi konvergen tumpat lokal. Dengan Cara seperti itu penelitian masalah tersebut di atas dikerjakan. Hasil-hasil penelitian dapat dirumuskan sebagai berikut. Jika f e R (a,b), yaitu f terintegral tumpat Bullen ap pada [a,b) untuk setiap n dan {f n }
konvergen
ke f hampir
di mana-mana pada (a,b], diperoleh tiga pasang rumusan syarat cukup agar f E R (a,b] dan e.p 1 i m (R )f b f (t)dt = (R x ) f 1 i m f (t)dt nP a n ap a n -i m n n -i m Tiga pasang syarat cukup yang dimaksud ternyata ekuivalen dan masing-masing sebagai berikut : a.
b.
(i)
{ F } konvergen tumpat lokal ke F pada [a,b] den
(ii)
ngan F sebagai fungsi asal-R fungsi f , dan ap k F e ACG (a,b) seragam. n ap
(i)
dan
(iii) Ada barisan himpunan tutup {X . } dengan [a,b] _
U X, dan untuk setiap c > 0 dan i ada bilangan asli n sehingga untuk setiap k c (0,1) dan
3
ak , (ik e X. ( k=1,2, ... ,p ) dengan ada himpunan EX a(E X )
Ok5 a
k«s
ak<
[ a k, 0k ) dengan a k , (ik E Ek,
kC
(1-X)(flk -a k ) dan p
k
£ i 0(Fm -Fn ;E )
<
c
k
untuk setiap n,m c.
n..
(1)
dan
(iv)
Para f n paling sedikit mempunyai satu fungsi ma• * yor-P a dan satu fungsi minor-P secara bersama. P _ oP
Selain tiga pasang syarat cukup di atas Juga dapat disusun syarat-syarat cukup yang lain, tetapi masing-masing dapat dipandang sebagai akibat salah satu syarat cukup di atas. Di bawah ini ditulis syarat-syarat cukup yang dimaksud.
-
Fn
-
Ada fungsi G,H E C op[a,b) n ACG op [a,b) sehingga G(u,v) <_
E
AC[a,b) seragam.
Fn (u,v) -
5 N(u,v) untuk setiap u,v e (a,b) dan u < v. k
Ada fungsi g,h e R ap [a,b1 sehingga g(x) 5 f(x) 5 h(x) n hampir di mana-mana pada [a,bl.
-
fs(x) <_ fi (x) 5 f a (x) 5 ............ hampir di mana-mana pada (a,bl dan
-
{Fn (a,b)}
konvergen.
( F } konvergen tumpat lokal ke f pada [a,bl. Fungsi f dikatakan terintegral-RDa p pada [a,b1 jika
ada barisan fungsi langkah (O } yang konvergen n
t...,_4.,.
n,i.+!i
i, n•., i ,,.
4
ke f pada tad)), yaitu
{0 } n
konvergen ke f hampir
at
mana-
mana pada (a,bl dan memenuhi kondisi (a). Dengan menggunakan pengertian itu definisi tipe Riesz untuk integral tumpat Bullen dapat dirumuskan sebagai berikut : Fungsi f terintegral tumpat Sullen pada [a,bl Jika dan hanya jika f terintegral-RD
pada [a,b1 dan
*
b
f(t)dt = (RD )I f(t)dt ( R *ap)Ib a op a
A B S T R A C T
For every n let the function f n be integrable in some sense on [a,b] and the sequence
{id
convergent to f
almost everywhere on [a,b]. A common but interesting problem is to find sufficient conditions in order that f will be integrable on [a,b] and J b f(t)dt = 1 i m f b f (t)dt. In the ° a m case of Lebesque"s integral, several such sets of conditions have been established, for instance that all the functions f
are dominated by one integralble function or, that all
the primitives of 7 are uniformly absolutely continuous on [a,b]. In the case of Henstock"s integral, it is sufficient that the sequence {it } converges in the controlled sense or, that all the functions are dominated by some integral function. This dissertation is concerned with seeking solutions for the above problem in case of the approximately continuous integral of Sullen. This integral is based on the concept of an approximately full cover, which is an approximate generalization of a full cover. Therefore Builen"s approximate continuous integral is the approximate generalization of Henstock"s integral. It is therefore logical that the search for those sufficient conditions starts with formulating approximate generalizations for concepts and notions associated with the Henstock"s integral and convergence of functions. The new concepts include : limits, derivatives, primitives,
2 continuity, absolute continuity, local convergence and controlled convergence of functions. Let R
[a,b] denote the class of all approximately ap
continuously integrable functions on [a,b] and for f e [a,b] let CR * )f b f(t)dt be its Bullen integral over [a,b].
R op
The main result of this dissertation can be formulated as follows. Suppose the sequence of functions if 1 in a
* fas t)] Rap
converges almost everywhere on [a,b] to the function f and for each n let Fn be its Bullen R *ap -primitive. Then, the three following conditions are equivalent and are sufficient to insure that f c R * [a,b] and (Ra p )f b f(t)dt = 1 i m (R ap )fa bj n (t)dt : n -, co (a) (i)
the sequence {F n } converges locally approximately to F on [a,b] and
(ii) (b) (1) (ill)
the functions F ne ACG * [a,b] uniformly. and There is a sequence of closed sets {X.} such that [a,b] = U X , and for every e > 0 and i there is a positive integer n, such that for any X e (0,1) and
a k , (3 k
e X (k=1,2,...,p) with
there is a set EXk N(E ) k
>
c [a k
(l-X)(Rk-ak)
,P k ] with
and
a k <(3 k 5 a kts ak
,
(3k a
Ek,
3 p E o(Fm F n;E ) k-1
< e
k
for every n,m ? n.. (c) (1) ( iv)
and f
have at least one common R
-major function ap
and at least one common R *ap -minor function on [a,b]. Furthermore, other sufficient conditions can be derived as a corollary of condition (a), (b), or (c). (d)
There exist G,H E C ap [a,b] n ACG G(u,v)
F (u,v)
H(u,v)
[a,b] such that ap
for every u,v e [a,b] and
u < v.
(e)
There exist 8,h e R *ap [a,b] such that g(x) 5 h(x) almost everywhere on [a,b].
(f)
f i ( x) 5 f z ( x) f a
f(x) n
(x)............. almost everywhwre on
[a,b] and the sequence {F (a,b)} is convergent. (g)
{F } is locally approximately convergent to / on [a,b].
Based on the above main results, we may construct a type Riess definition of the approximately continuous integral of Sullen as follows. A function f is said to be RD up -integrable on[a,b] if there exists a sequence of simple functions { 0 n } which is approximately controlled convergent
4 to f on [a,b], i.e.,
{0 , 1
converges to f almost everywhere
on Ca,b] and satisfies the condition (a). Using RD
*
np -integral, the Riess type definition of the approximately continuous integral of Bullen can be formalated as follows. A function f is approximately continuous integrable of Bullen on [a,b] if and only if f is RD * -integrable on [a,b] and ).f e f(t)dt = (RD * )f b f(t)dt
(R ap
