9.o Mozaikos könyvvel felkészülési útmutató pótvizsgára és gyakorló feladatsor megoldással

9.o Mozaikos könyvvel felkészülési útmutató pótvizsgára és gyakorló feladatsor megoldással Felkészülési útmutató: A 8 hetes nyárra szerezzetek magatok mellé egy magántanárt. Hetente egyszer kétórás foglalkozás kb 2000-4000 forint, egész nyárra 8x2000-4000=16000-32000, ezt diákmunkával te magad max két hét alatt meg tudod keresni, ha anyagi gondokkal küszködtök. Ha a tanár segítségével végiggyakorlod ezt a dokumentumot, akkor az augusztus végi pótvizsga feladataihoz nagyon hasonló feladatokat csinálsz meg, és biztosan sikerülni fog! De ne felejtsd el: a magántanár csak abban segít, hogy elmagyarázza a dolgokat, hogy megértsed az anyagot. A HETI EGY DUPLA MATEKÓRA TANÁRRAL NEM LESZ ELÉG A SIKERES VIZSGÁHOZ!!! MINDEN NAP LEGALÁBB 30 PERCET EGYEDÜL KELL VELE FOGLALKOZNOD, MINDEN NAP TANULNOD KELL ÖNÁLLÓAN, HOGY SIKERÜLJÖN! DE HA EZT MEGTESZED, BIZTOSAN MEGLESZ!!!

Használati útmutató ehhez a word dokumentumhoz:   

 

először a könyvből az elméletet - definíciók, tételek – tanuld a könyvbeli és az itt leírt kidolgozott feladatok segítségével kell megértened a témát azután gyakorolj a itt leírt feladatokból a könyvben. A könyv feladatainak megoldásait az interneten itt találod: http://moldan.hu/mozaik-sokszinu-matematika-tankonyvekben-kituzott-feladatokmegoldasai/ Az inernet keresőjébe beírod a témakört, és nagyon sok további feladatot találsz megoldással, oktató videókat: egy a sok közül https://zanza.tv/matematika digitális tananyagokat is találhatsz, ezek közül egy: http://tudasbazis.sulinet.hu/hu/matematika/matematika/matematika-9-osztaly

A pirossal írt tananyagok címei a Mozaikos könyvekben a kiadási év dátumától függetlenül ugyanazok. A zárójelben írt oldalszámokat a 2016-os kiadásból írtam ki, másik évben kiadott könyvekben ez eltérhet!

Halmazok Könyvben elméletet tanulni: Halmazűveletek (26-28.o)és Halmazok elemszáma, logikai szita (32-34.o) Kidolgozott feladatok a könyvben: Halmazűveletek anyag első kidolgozott feladata (26.o) Halmazok elemszáma, logikai szita anyag első kettő kidolgozott feladata (32.o) 1.) Az A és B halmazokról tudjuk, hogy A∪ B = {1;2;3;4;5;6;7;8;9} és B \ A = {1;2;4;7}. Elemeinek felsorolásával adja meg az A halmazt! megoldás: A halmazos feladatoknál a Vend-diagramnak hívott ábra felrajzolása nagyon sokat segít: A = {3; 5; 6; 8; 9} 2.) Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az A, B, és A∩B halmaz elemeit! megoldás: A = {4; 5; 6; 7; 8; 9} B = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19} A∩B = {5; 7; 9}

3.) Egy évfolyam 50 tanulója közül 28-an felvételiznek matekból, 25-en angolból, 17-en matekból is és angolból is. Hányan nem felvételiznek egyik említett tárgyból sem? megoldás: csak matek 11, matek és angol 17, csak angol 8, 11+17+8=36 angol vagy matek, 50-36=14 sem angol sem matek

4.) Egy középiskolába 420 tanuló jár. Az iskola diákbizottsága az iskolanapra három kiadványt jelentetett meg: I. Diákok Hangja II. Iskolaélet III. Miénk a suli! Később felmérték, hogy milyen volt az olvasottság az iskola tanulóinak körében. A Diákok Hangját 105 tanuló, az Iskolaéletet 168, a Miénk a suli! c. kiadványt pedig 189 olvasta. Az első két kiadványt 42, az első és harmadik kiadványt 84, a másodikat és harmadikat 105, mindhármat pedig a tanulók 5%-a olvasta. a) Hányan olvasták mindhárom kiadványt? megoldás: 420  0,05  21 b) Írja be egy halmazábra mindegyik tartományába megoldás: az oda tartozó tanulók számát! c) Hányan olvasták legalább az egyik kiadványt? megoldás: A halmazábrában szereplők együtt: 21+42+63+21+84+21=252 fő olvasta Hasonló feladatok a tankönyvben: Halmazműveletek anyag végén (30.o) 1,2,3,7 Halmazok elemszáma, logikai szita anyag végén (34.o)

Algebra és számelmélet Hatványozás Könyvben elméletet tanulni: Hatványozás (48-49.o) és Hatványozás egész kitevőre (52.o) Kidolgozott feladatok a könyvben: Hatványozás anyagrész (48-49.o) 1,2,3,4. Hatványozás egész kitevőre anyagrész (53.o) 1,2. 1.) Számítsd ki:

5

3

 72



6

 72   3 5

4

   

  5   7   7  megoldás:  7  7   5  5  7 2  7 3  52 3 6

2 6

3 5

2

5

2 4

2 5

3 4



518  7 20 7 3 343 518  712  7 8  7 3  5 4   4  2 22 15 10 17 12 625 7 7 5 5 5 7 5

9 4  25 3 15 6 vagy ? 5 32 6 6 6 36  5 6   3  5 3  5  3 8  5 6    2 2 2 3 3 3

2.) Melyik nagyobb:

15 6 32 4 3 9 4  25 3 38  5 6 32  5 2  38  5 7 vagy   5 5 5 1 1 1 1 15 6 9 4  25 3 5 7  7 és 5 6  6  7  6  2  5 5 5 5 5 3

megoldás:

   

Hasonló feladatok a tankönyvben: Hatványozás anyagrész végén (51.o) 1,2,3. és Hatványozás egész kitevőre anyagrész végén (54.o) 1,2,4

Nevezetes szorzatok 1.) Alakítsd összeggé a szorzatokat (a nevezetes szorzatok segítségével tudod ezt megtenni): Könyvben elméletet tanulni: Nevezetes szorzatok – Kéttagú összeg négyzete, Különbség négyzete (60.o), Két tag összegének és különbségének szorzata (62.o) Kidolgozott feladatok a könyvben: a Nevezetes szorzatok – Kéttagú összeg négyzete, Különbség négyzete (60.o), Két tag összegének és különbségének szorzata (62.o) szabály utáni 3-4 kidolgozott feladat.

c  52  megoldás:

a  b2  a 2  2ab  b 2

a szükséges nevezetes szorzat

"b"  5 a példában szereplő "a" és "b" " a"  c

 c   2  c  5  5

 c 2  10c  25

behelyettesítés a nevezetes szorzatba

kiszámolás

2

2

4 x  5a 2  megoldás:

a  b2  a 2  2ab  b 2

a szükséges nevezetes szorzat

"b"  5a a példában szereplő "a" és "b"

 4x   2  4x  5a  5a 

2 " a"  a 3

2    a   7b 2 3 

" a"  4 x

2

 16 x 2  40 xa  25 a 2

2

behelyettesítés a nevezetes szorzatba

kiszámolás

2 2 2 2  a  7b    a  7b   3  3  megoldás:

a  b a  b  a

2

b

2

2

"b"  7b

a szükséges nevezetes szorzat a példában szereplő "a" és "b" Hasonló feladatok a tankönyvben: a Nevezetes szorzatok anyagrész végén (64-65.o) 1, 4, 5b,5e.

 

2



behelyettesítés a nevezetes szorzatba

4 2 a  49 b 4 9

kiszámolás

2.) Alakítsd szorzattá az összegeket: Könyvben elméletet tanulni: A szorzattá alakítás módszerei (66.o) Kidolgozott feladatok a könyvben: A szorzattá alakítás módszerei (66.o) anyagrészben minden módszer után több kidolgozott feladat található

a 6  9b 2  megoldás:

a 2  b 2  a  b  a  b

a   3b

a szükséges nevezetes szorzat

összeg átalakítása

3 2

2

" a"  a 3





"b"  3b a példában szereplő "a" és "b"

 a 3  3b  a 3  3b

"b"  6 a példában szereplő "a" és "b"

 7 a  6



behelyettesítés a szorzatba

49 a 2  84 a  36  megoldás:

a 2  2ab  b 2  a  b 

7a 2  2  7a  6  62

a szükséges nevezetes szorzat

összeg átalakítása

2

" a"  7a

2

behelyettesítés a szorzatba

7  7c 2  megoldás:



7  7c 2  7  1  c 2



szorzattá alakítás kiemeléssel

a 2  b 2  a  b  a  b

12  c 2

a szükséges nevezetes szorzat

összeg átalakítása

"b"  c a példában szereplő "a" és "b" " a"  1

 71  c1  c behelyettesítés a szorzatba Hasonló feladatok a tankönyvben: A szorzattá alakítás módszerei anyagrész végén (67.o) 1, 3. 3.) Végezd el a műveleteket (alakíts szorzattá, majd egyszerűsíts): Könyvben elméletet tanulni: Műveletek algebrai törtekkel (68-72.o) Kidolgozott feladatok a könyvben: Műveletek algebrai törtekkel – Algebrai törtek egyszerűsítése anyagrész 2. és 3. feladata (68.o)

ab ab ab b  megoldás:    a  ab a  ab a1  b  1  b Hasonló feladatok a tankönyvben: Műveletek algebrai törtekkel anyagrész után (73.o) 1. feladat

a 2  6a  9 a 2  6a  9 a  3 a 3  megoldás:    5a  15 5a  15 5a  3 5 2

Oszthatóság, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös Könyvben elméletet tanulni: Oszthatóság anyagrésznél a 2,3,4,5,6,8,9-el való oszthatósági szabályok (75.o) prímszám, összetett szám definíciója (77.o) Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös (80-82.o) Kidolgozott feladatok a könyvben: Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös anyagrésznél (80-82.o) az összes 1,2,3,4. feladat 1.) Számold ki megoldás:

756 és 450 legnagyobb közös osztóját!

756  2 2  33  7 2.) Számold ki megoldás:

450  2  32  5 2

756 ; 450   2  32  18

756 és 450 legkisebb közös többszörösét!

756 ; 450   22  33  52  7  18900

450 2  32  5 2 52 25  megoldás:    3.) Egyszerűsítsd: 2 756 2  3  2  3  7 2  3  7 42 4.) Mindenhol írd le az oszthatósági szabályt, majd szövegesen indokold meg, hogy osztható-e vagy sem! megoldás:

2 95641 NEM, 4 95652 IGEN, 3 95641 NEM, 5 95645 IGEN, 6 95652 IGEN Hasonló feladatok a tankönyvben: Oszthatóság anyagrész után (79.o) 4. feladat Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös anyagrész után (82.o) az összes 1,3,5,8. feladat

Függvények A lineáris függvény Könyvben elméletet tanulni: Lineáris függvények (92.o) Kidolgozott feladatok a könyvben: Lineáris függvények anyagrésznél (93.o) 3. feladat és (94.o) 4. feladat 1.) Rajzold meg a négyzetrácsos lapon az f  x  

1 x  4 függvény grafikonját: 2

megoldás:



f x  mx  b a lineáris függvény általános alakja. b az a pont, ahol az egyenes metszi az y tengelyt. m az egyenes meredeksége. a grafikon megrajzolása:

f x  

1 x  4  b  4 -nél metszi az y tengelyt. 2 B0 ;  4 1 m   az y tengely metszéspontjából 0 ;  4 2 - a nevezőben levő számmal (2) mindig jobbra lépünk - a számláló, ha pozitív (+1) akkor felfele, ha negatív akkor lefele lépünk, A 2 ;  3 pontba jutunk.



A2 ;  3 és B0 ;  4 tengelymetszet 1 pontokat összekötő egyenes lesz a f  x   x  4 2 Az

Hasonló feladatok a tankönyvben: Lineáris függvények anyagrész után (95.o) 1. és 2. feladat



függvény grafikonja.

Az abszolútérték függvény Könyvben elméletet tanulni: Az abszolútérték-függvény (96.o) Kidolgozott feladatok a könyvben: Az abszolútérték-függvény anyagrésznél (96.o) 1,2,3. feladat 2.) Ábrázold, majd csinálj függvényvizsgálatot: y  3 x  2

megoldás: Könyvben tanulni: A függvénytranszformációk rendszerezése (124.o) - alap függvény x V betű lerajzolása zöld grafikon - Könyv (125.o alul) a zárójelen belüli  szám az x tengelyen való ellentétes irányú vízszintes eltolást jelöl x  2 itt jobbra 2-vel. kék grafikon (-Könyv (124.o (1) felül) a zárójelen kívüli  szám az y tengelyen való azonos irányú függőleges eltolást jelent, 3 x  2 ilyen szám nincs.) - Könyv (125.o (3) felül) a zárójel előtti számmal szorzás a grafikon x tengelyen levő pontjai helyben hagyja, a többi az x tengelytől lefelé és felfelé nyúlik, - Könyv (124.o (2) alul) negatív számmal szorzásnál a grafikon az x tengelyre tükröződik, azaz fejjel lefelé fordul.

3 x  2 itt a talppont helyben marad, a többi 3-szorosára nyúlik. piros grafikon Teljes függvényvizsgálat vagy jellemzés menete: 1. Értelmezési tartomány (ÉT) megmutatja, hogy mely számokat írhatjuk be az x helyére a függvénybe. 2. Érték készlet (ÉK) megmutatja, hogy az értelmezési tartomány x-eit beírva milyen függvény értékeket = y - okat kapunk. Könyvben (92.o) 3. Zérushely (zh) megmutatja, hogy a függvény grafikonja hol érinti vagy metszi az x tengelyt. Könyvben (93.o) 4. Szélsőérték hely és érték (min/max) megmutaja a függvény legkisebb (minimum) vagy legnagyobb (maximum) pontjának helyét, ami a pont első x koordinátája és értékét, ami a második y koordinátája. Könyvben (98.o) 5. Meredekségi viszonyok (monotonitás), ami megmutatja, hogy a függvény grafikonjára az x   -nél felállva balról jobbra   irányában sétálva lefelé haladok (szigorúan monoton csökken), vízszintesen megyek (monoton), vagy felfele haladok (szigorúan monoton nő). 6. Paritás, periodikusság: Egy függvény páros, ha grafikonja az y tengelyre tengelyesen tükrös (ha a papírt az y tengelynél félbehajtjuk, akkor a grafikon két oldala fedi egymást, ilyen például az abszolútérték függvény x V betű alakú grafikonja). Könyvben (102.o) Egy függvény páratlan, ha grafikonja az origóra középpontosan tükrös (ha a papírt az origó körül 180°-al elforgatva önmagába megy át, ilyen például az

1 függvény hiperbolája). Könyvben (110.o) x

Egy függvény periodikus, ha grafikonja ismétlődő szakaszokból áll (ilyen például a szinusz görbe). A y  3 x  2 piros függvény jellemzése/teljes függvényvizsgálata az előbb leírt szempontok alapján: 1.

ÉT x  

2.

ÉK y   y  0 ;  

3. zérushely

x2

x2 minimumának értéke y  0

4. minimumának helye

5. Szigorúan monoton csökkenő az szigorúan monoton növekvő az

maximuma nincs

x   ; 2 intervallumon

x  2;  

intervallumon

6. nem páros függvény (mert nem szimmetrikus az y tengelyre) nem páratlan függvény (mert nem szimmetrikus az origóra) Hasonló feladatok a tankönyvben: Az abszolútérték-függvény anyagrész után (101.o) 1. feladat

A másodfokú függvény Könyvben elméletet tanulni: A másodfokú függvény (102.o) Kidolgozott feladatok a könyvben: A másodfokú függvény anyagrésznél (102.o) 2,3. feladat 3.) Ábrázold, majd csinálj függvényvizsgálatot: x  x  1 2

megoldás: 2

- alap függvény x parabola lerajzolása zöld grafikon (- a zárójelen belüli  szám az x tengelyen való ellentétes irányú 2

vízszintes eltolást jelöl, itt x ilyen szám nincs.) - a zárójel előtti számmal szorzás a grafikon x tengelyen levő pontjait helyben hagyja, a többi az x tengelytől lefelé és felfelé nyúlik, - negatív számmal szorzásnál a grafikon az x tengelyre tükröződik, azaz fejjel lefelé fordul.  x kék grafikon - a zárójelen kívüli  szám az y tengelyen való azonos irányú 2

függőleges eltolást jelent, itt  x  1 felfele 1-el piros grafikon 2

Az x  x  1 piros függvény jellemzése/teljes függvényvizsgálata az előbb leírt szempontok alapján: 2

1.

ÉT x  

3. zérushely 4. max hely

2. ÉK y   y  1;  

x1  1 x2  1 x  0 , max értéke y  1

5. szig mon nő

x   ; 0

szig mon csökk

minimuma nincs

x  0;  

6. páros függvény, és nem páratlan függvény Hasonló feladatok a tankönyvben: A másodfokú függvény anyagrész után (105.o) 1,2. feladat

Háromszögek, négyszögek, sokszögek Könyvben elméletet tanulni: Ebben a 25 oldalban sok kis definíció, tétel szerepel, ideírom oldalszám szerint a legfontosabbakat: Forgásszög, Szögfajták (129.o) Nevezetes szögpárok, Távolság (130.o) A háromszögek szögei, A háromszög-egyenlőtlenség, Összefüggés a háromszög oldalai és szögei között, Öszefüggés a derékszögű háromszög oldalai között = Pitagorasz tétel (133-136.o) A négyszögekről (139-140.o) A sokszögekről (143.o) Szakaszfelező merőleges, Szögfelező, Körös definíciók (145-147.o) A háromszög beírt köre (149.o) A háromszög köré írt kör (151.o) Thálesz tétel (153-154.o) Kidolgozott feladatok a könyvben: Öszefüggés a derékszögű háromszög oldalai között = Pitagorasz tétel anyagrész 2. példa (137.o) A négyszögekről anyagrész 1,2,3. példa (140-141.o) A sokszögekről anyagrész 1,2. példa (143.o) Thálesz tétel anyagrész 1.példa (154.o) 1.) Hány fokos a tompaszög? megoldás: 90    180  2.) Mondd ki a háromszög-egyenlőtlenség tételét: megoldás: Bármely háromszög bármely két oldalának összege nagyobb a harmadik oldalnál. 3.) Mit értünk két párhuzamos egyenes távolságán? megoldás: (rajz vagy szöveg): Két párhuzamos egyenes távolsága  az egyik egyenes bármely pontjának a másik egyenestől mért távolsága, vagy  az egyeneseket összekötő rájuk merőleges szakasz hossza.

4.) Folytasd a tétel kimondását: A háromszög külső szögeinek összege… megoldás:

360  .

5.) Mondd ki a Pitagorasz-tételt (szövegesen): megoldás: Derékszögű háromszögben a befogók hosszának négyzet összege egyenlő az átfogó hosszának négyzetével. Hasonló feladatok a tankönyvben: Öszefüggés a derékszögű háromszög oldalai között = Pitagorasz tétel anyagrész után (138.o) 2,3,7. 6.) Rajzold le a rombuszok, trapézok és paralelogrammák halmazát egy közös halmazábrában úgy, hogy mindegyikben legyen pontos szemléltető rajzocska (szögek nagysága, oldalak hossza)! 7.) Rajzold le a téglalapok és paralelogrammák halmazát egy közös halmazábrában úgy, hogy mindegyikben legyen pontos szemléltető rajzocska (szögek nagysága, oldalak hossza)! megoldás: 6.) feladat ábrája

megoldás:

7.) feladat ábrája

8.) Egy háromszög három oldalára teljesül, hogy a  b  c , két belső szögének nagysága pedig 84 és 36 . a, b, c közül melyik oldal fekszik a harmadik belső szöggel szemben? Készíts rajzot a szögek és oldalak beírásával, válaszodat indokold meg a tanult tételek, definíciók leírásával!

Megoldás indoklással: A háromszög belső szögeinek összege 180   84   36     a harmadik szög

  60  .

Bármely háromszögben a hosszabb oldallal szemben nagyobb belső szög áll  ha rendre

a  b  c  a velük szemben levő belső szögek  a harmadik belső szöggel szemben oldal fekszik. 36  60  84 b 60

9.) Mekkorák a trapéz belső és külső szögei, ha belső szögeinek aránya 2 : 4 : 6 : 8 ? Készíts rajzot a szögek beírásával, válaszaidat minden esetben indokold meg a tanult tételek, definíciók leírásával!

Megoldás indoklással: Bármely négyszög belső szögeinek összege 360   360   2e  4e  6e  8e , e 18  A trapéz belső szögei 36 , 72 , 108 , 144  , az ezekhez tartozó külső szögek rendre 144 , 108 , 72 , 36  . A trapéz azonos száron fekvő szögei kiegészítő szögek  a helyes belső szögsorrend a rajzon pozitív irányban 36 , 72 , 108 , 144  . Hasonló feladatok a tankönyvben: A négyszögekről anyagrész után (142.o) 4,5,7,9. A sokszögekről anyagrész után (144.o) 1,2,4,5. A háromszög beírt köre anyagrész után (150.o) 2. A háromszög köré írt kör anyagrész után (152.o) 1. Thálesz tétel (156.o) 1,8.

Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek Az egyenlet, azonosság fogalma Könyvben elméletet tanulni: Az egyenlet, azonosság fogalma anyagrész (160-161.o közepe) az egyenletek fogalma már nem kell! Kidolgozott feladat a könyvben: Az egyenlet, azonosság fogalma anyagrésznél (161.o) 2. feladat

Egyenlet megoldása szorzattá alakítással Kidolgozott feladat a könyvben: Egyenlet megoldása szorzattá alakítással anyagrésznél (169.o) 1. feladat

x  N , x  32x  65  2x  0 megoldás: x  3  0 2x  6  0 x  3 2x  6 DE összevetve az alaphalmazzal x 3 összevetve az alaphalmazzal x  3 nem természetes szám, ezért a  3 nem megoldás x  3 természetes szám ezért a 3 megoldás 1.) Oldd meg:

5  2x  0 5  2x

x  2,5

összevetve az alaphalmazzal x  2,5 nem természetes szám,

ezért a 2,5 nem megoldás Hasonló feladatok a tankönyvben: Egyenlet megoldása szorzattá alakítással anyagrész után (172.o) 1,2abcd

Megoldás lebontogatással, mérlegelvvel Kidolgozott feladat a könyvben: Megoldás lebontogatással, mérlegelvvel anyagrésznél (174.o) 1,2. feladat

x  R ,0 , 53x  5  42x  3  5x  32x  12  1 megoldás: 15 x  25  8x  12  5x  6 x  36  1 zárójel felbontása összevonás 7 x  37  11x  37 0  4x x-ek és számok egy oldalra rendezése 4-el leosztás 0x  ,0 összevetés az alaphalmazzal 0  x  R része az alaphalmaznak, ezért 0  x megoldás lehet

2.) Oldd meg, majd ellenőrizz:

ellenőrzés: 0  x behelyettesítése az egyenlet bal oldalába:

53  0  5  42  0  3  5  5  4   3  25  12  37 0  x behelyettesítése az egyenlet jobb oldalába: 5  0  32  0  12  1  0  3 12  1  37 balo = jobbo, ezért 0  x jó megoldás Hasonló feladatok a tankönyvben: Megoldás lebontogatással, mérlegelvvel anyagrész után (176.o) 1.

Egyenlőtlenségek Könyvben elméletet tanulni: Egyenlőtlenség (178.o alul) két zöld keretes szabály Az egyenlőtlenség megoldásánál, ha mindkét oldalt negatív számmal szorozzuk vagy osztjuk, akkor a relációs jel megfordul. Kidolgozott feladat a könyvben: Egyenlőtlenségek anyagrésznél (178.o) 2. feladat 3.) Oldd meg, majd számegyenesen ábrázold a megoldást: megoldás:

xR ,

63 x  1 30  2 15  x  1 52 x  3    30 30 30 30 18 x  6  60  15 x  15  10 x  15 18 x  54  5x  30 13 x  84 84 x    6,46 13 összevetés az alaphalmazzal x  R , ezért x  

3x  1 x 1 2x  3 2  5 2 6 közös nevezőre hozás zárójel felbontása összevonás x-ek és számok egy oldalra rendezése 13-al leosztás

84  6,46 megoldás lehet 13

Hasonló feladatok a tankönyvben: Egyenlőtlenségek anyagrész után (181.o) 1,2. feladat

Abszolút értéket tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek Kidolgozott feladat a könyvben: Abszolút értéket tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek anyagrésznél (182.o) 1. feladat 4.)

x  N  x  2  3 megoldás: 1)

ellenőrizz!

x23 x1  1

2)

összevetés az alaphalmazzal 1  x  N , ezért megoldás lehet ellenőrzés 5.)

x  2  3 x2  5

összevetés az alaphalmazzal  5  x  N nem lehet megoldás

1 2  3

x  R  x  3  4 megoldás: 1)

a megoldásokat ábrázold közös számegyenesen!

x  3  4 x1  1

és

2)

x 3 4 x2  7

összevetés az alaphalmazzal x  R , ezért megoldások lehetnek

6.)

x  R  x  4  5 megoldás: 1)

a megoldásokat ábrázold közös számegyenesen!

x  4  5 x1  9

és

2)

x45 x2  1

összevetés az alaphalmazzal x  R , ezért megoldások lehetnek

Hasonló feladatok a tankönyvben: Abszolút értéket tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek anyagrész után (187.o) 1. feladat 7.) Írd le az abszolútérték definícióját: megoldás:

a, ha a  0 a   a, ha a  0

Kidolgozott feladat a könyvben: Abszolút értéket tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek anyagrésznél (182.o) 2.a) feladat 8.)

x  R , x  2  3  2 x ellenőrizz! megoldás: rendezve úgy, hogy az egyik oldalon csak az abszolútérték álljon x  2  2 x  3 1) ha

x  2  0 , akkor az abszolútérték jel elhagyása után az egyenlet x  2  2x  3 megoldás  5 

kikötés x  2 megoldás összevetése a kikötéssel: 2) ha

x

2  x  5 nem teljesül  5  x nem lehet megoldás

x  2  0 , akkor az abszolútérték jel elhagyása után az egyenlet  x  2  2x  3

kikötés

x2

 x  2  2x  3  1  3x 1 megoldás   x osztás 3

zárójel felbontás rendezés

1 1 teljesül    x megoldás lehet 3 3 1 7 7 7 9 2 ellenőrzés: visszahelyettesítés az eredeti egyenlet bal oldalába x  2  3    2  3    3   3     3 3 3 3 3 3 1 2  1 visszahelyettesítés az eredeti egyenlet jobb oldalába 2 x  2       balo = jobbo    x jó megoldás 3 3  3 megoldás összevetése a kikötéssel: 2  x  

Hasonló feladatok a tankönyvben: Abszolút értéket tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek anyagrész után (187.o) 2. feladat

Kidolgozott feladat a könyvben: Abszolút értéket tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek anyagrésznél (182.o) 2.b) feladat 9.)

x  R , 3x  2  3  2 x megoldás: rendezve úgy, hogy az egyik oldalon csak az abszolútérték álljon 1) ha

3x  2  0 , akkor az abszolútérték jel elhagyása után az egyenlőtlenség 3x  2  2x  3

kikötés x  

2 3

megoldás

megoldás összevetése a kikötéssel lesz a megoldás: 

2) ha

3x  2  2 x  3

x 1

2  x 1 3

3x  2  0 , akkor az abszolútérték jel elhagyása után az egyenlőtlenség  3x  2  2x  3

kikötés x  

2 3

zárójel felbontás

 3x  2  2x  3

rendezés megoldás

összevetés a kikötéssel a megoldás:  1  x  

 5  5x 1  x osztás

2 3

Hasonló feladatok a tankönyvben: Abszolút értéket tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek anyagrész után (187.o) 3. feladat

Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek Könyvben elméletet tanulni: Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek (200.o) A behelyettesítő módszer zöld keretes szabálya Kidolgozott feladat a könyvben: A behelyettesítő módszer anyagrész (199.o közepétől) 1. feladat 10.) Oldd meg behelyettesítős módszerrel az egyenletrendszert:

a, b  

a  6b  12   ha az egyik egyenletből az egyik ismeretlen előtt álló szám 1 vagy -1, akkor ez az ismeretlen 4a  2b  7 

könnyen kifejezhető belőle, ekkor a behelyettesítős módszert alkalmazzuk. Íme, a módszer alkalmazásának leírása: 1) az első egyenletből könnyen kifejezhető a  12  6b

a  12  6b -t behelyettesítjük a másik egyenletbe 412  6b  2b  7 48  24b  2b  7  22b  55 b  2,5 3) a megkapott b  2,5 -t visszahelyettesítjük az első egyenletből kifejezett a  12  6b -ba a  12  62,5 a  3 2)

4) ellenőrzés: mindig mindkettő eredeti egyenlet bal és jobb oldalába visszahelyettesítve kell első egyenlet bal oldala  3  6  2,5  3  15  12 jobb oldala  12 balo = jobbo  3 és 2,5 jó megoldások

 

második egyenlet bal oldala 4   3  2  2,5  7 jobb oldala  7 balo = jobbo  3 és 2,5 jó megoldások Hasonló feladatok a tankönyvben: A behelyettesítő módszert alkalmazva (203.o) 1,2,3. feladat Könyvben tanulni: Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek (202.o) Az egyenlő együtthatók módszerének zöld keretes szabálya Kidolgozott feladat a könyvben: Az egyenlő együtthatók módszere anyagrész (201.o) 4. feladat, (202.o) 5. feladat 11.) Oldd meg az egyenlő együtthatók módszerével az egyenletrendszert: Az egyenlő együtthatók módszerének leírása:

x, y  R

I  3 x  4 y  14   II 2 x  6 y  18 

1) a két egyenletet mindkét oldalát úgy szorozzuk meg, hogy az egyik ismeretlen előtti szám a szorzások után előjeltől függetlenül megegyezzen, ekkor

I  2  6 x  8 y  28 II  3  6 x  18 y  54

2) a két egyenlet összeadjuk vagy kivonjuk, ezzel az egyenlő együtthatós ismeretlen kiesik, a másikat kiszámoljuk

I  II

 6x  8 y  6x  18y  28  54 26 y  26 y 1

3) a megkapott eredményt bármelyik egyenletbe visszahelyettesítve kiszámoljuk a másik ismeretlent. y  1  et beírom I  be  3x  4 1  14

 3x  18 x6 4) ellenőrzés: mindig mindkettő eredeti egyenlet bal és jobb oldalába visszahelyettesítve kell Ell: II : 2  6  6 1  12  6  18 I :  3  6  4 1   18  4  14 Hasonló feladatok a tankönyvben: Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazva (203.o) 1,2,3. feladat