Písemná část zkoušky z Inženýrské matematiky, 19.12.2011 (60 minut)
Body Jméno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3
4
5
6
7
8
První příklad vypočítejte na samostatný podepsaný papír a odevzdejte po 15 minutách. 1. [povinný] Pro mytí autobusů a trolejbusů dostal DPMB od EU novou myčku, která za směnu uspoří 16 procent vody a 5 procent elektřiny. Účet za vodu při použití staré myčky za jednu směnu je 6 tisíc Kč a účet za elektřinu 2 tisíce Kč. Kolik peněz nákupem nové myčky uspoří DPMB za jednu směnu a kolik za týden? (V pracovní dny jede myčka na dvě směny, o víkendech pouze jednu směnu. Nemáte-li kalkulačku, nemusíte dopočítávat numericky.) 2. [13 bodů] Pro lineární diferenciální operátor prvního řádu L[y] = y ′ + a(x)y dokažte, že je lineární a jsou-li u a v diferencovatelné funkce, odvoďte vztah pro L[u · v]. 3. [10 bodů] Napište definici parciální derivace funkce f (x, y) podle x a podle y. Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce z = f (x, y) v bodě (x0 , y0 ). 4. [3 body] Vypočtěte obě parciální derivace funkce z = x2 ex−y 5. [8 bodů]
Je dán autonomní systém x′ = x + y 5 + 1 y ′ = x(y − 1)
a jeden z jeho stacionárních bodů, bod [0, −1]. Určete vlastní čísla Jacobiho matice v tomto bodě, typ stacionárního bodu a načtrněte, jak vypadá typický průběh trajektorií ve stacionárním bodě uvedeného typu.
8. [4 body]
Integrál ZZ
Z
x2
M
zapište jako dvojnásobný integrál v polárních souřadnicích. Množina M je čtvrtina jednotkového kruhu ležící v prvním kvadrantu. y
1 x e x
1
Vyřešte rovnici
M
y ′′ − 2y ′ + y = x,
• • • • •
x2 dxdy.
Vyřešte rovnici y′ − y =
6. [8 bodů]
7. [4 body]
x
1
Požadavek: 16 bodů z 50 možných. Po vyřešení příkladů vyplníte testové otázky. Známky budou zapsány do UISu až po zapsání do indexu! Řešení příkladů budou na webových stránkách předmětu (chráněny heslem). Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny. 1 x 1 dx = arctg , + A2 A A
Z
A2
A + x 1 1 , dx = ln 2 −x 2A A − x
Z
√
1 x2 + B
dx = ln |x +
√
x + B|,
Z
√
1 A 2 − x2
dx = arcsin
x A
Písemná část zkoušky z Inženýrské matematiky, 11.1.2012 (60 minut) Body Jméno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . První příklad vypočítejte na samostatný podepsaný papír a odevzdejte po 15 minutách. 1. [povinný] Odhad maximálního počtu zvířat, která mohou být na pastvině pasena celou sezónu je Sm , n= kM T kde n je počet zvířat, S plocha pastviny, m průměrný výnos sušiny, M průměrná hmotnost paseného zvířete, T délka pastevní sezony a k = 0, 04 je konstanta. Je dán počet zvířat a je nutno určit plochu pastviny. Vyjádřete ze vzorce S pomocí zbylých proměnných, parametrů a konstant.
1
y ′ = g(x, y)
4
5
6
7
5. [8 bodů] Najděte obecné řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice druhého řádu y ′′ − 3y ′ + 2y = ex . Návod: Partikulární řešení hledejte ve tvaru y = Axex , kde A je reálné číslo. 6. [7 bodů] Najděte obecné řešení lineární diferenciální rovnice prvního řádu y ′ + 2xy = x2 e−x
7. [4 body]
2
Integrál ZZ
x dxdy. M
zapište jako dvojnásobný integrál v polárních souřadnicích. Množina M je čtvrtina jednotkového kruhu ležící ve druhém kvadrantu. Integrál nepočítejte. y
3. [10 bodů] Definujte pojem Jacobiho matice autonomního systému x′ = f (x, y)
3
4. [8 bodů] Určete lokální extrémy funkce z = ey (x2 + y). Návod: zx′ = 2xey , zy′ = ey (x2 + y) + ey
2. [13 bodů] Uvažujme homogenní diferenciální rovnici L[y] = 0, kde L[y] = y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y, kde L[y] je linerární diferenciální operátor druhého řádu. a) Rozepište, jak z linearity tohoto operátoru plyne, že lineární kombinace dvou řešení je také řešením této rovnice. b) Platí totéž i pro nehomogenní rovnici? Jsou-li y1 a y2 řešením rovnice L[y] = x, čemu je rovno L[y1 + y2 ]?
2
1
.
Napište, jakého typu může být stacionární bod, pokud víme, že nula není vlastním číslem matice a že alespoň jedno z vlastních čísel je reálné a kladné. (Je-li to možné, posuďte i stabilitu stacionárního bodu.)
M x −1
• • • • • Z
x2
Požadavek: 16 bodů z 50 možných. Po vyřešení příkladů vyplníte testové otázky. Známky budou zapsány do UISu až po zapsání do indexu! Řešení příkladů budou na webových stránkách předmětu (chráněny heslem). Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny. 1 x 1 dx = arctg , + A2 A A
Z
A2
A + x 1 1 , dx = ln 2 −x 2A A − x
Z
√
1 x2 + B
dx = ln |x +
√
x + B|,
Z
√
1 A 2 − x2
dx = arcsin
x A
Písemná část zkoušky z Inženýrské matematiky, 11.1.2012 (60 minut) Body Jméno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . První příklad vypočítejte na samostatný podepsaný papír a odevzdejte po 15 minutách. 1. [povinný] Odhad maximálního počtu zvířat, která mohou být na pastvině pasena celou sezónu je Sm , n= kM T kde n je počet zvířat, S plocha pastviny, m průměrný výnos sušiny, M průměrná hmotnost paseného zvířete, T délka pastevní sezony a k = 0, 04 je konstanta. Je dán počet zvířat a je nutno určit plochu pastviny. Vyjádřete ze vzorce S pomocí zbylých proměnných, parametrů a konstant.
1
y ′ = g(x, y)
4
5
6
7
5. [8 bodů] Najděte obecné řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice druhého řádu y ′′ − 3y ′ + 2y = ex . Návod: Partikulární řešení hledejte ve tvaru y = Axex , kde A je reálné číslo. 6. [7 bodů] Najděte obecné řešení lineární diferenciální rovnice prvního řádu y ′ + 2xy = x2 e−x
7. [4 body]
2
Integrál ZZ
x dxdy. M
zapište jako dvojnásobný integrál v polárních souřadnicích. Množina M je čtvrtina jednotkového kruhu ležící ve druhém kvadrantu. Integrál nepočítejte. y
3. [10 bodů] Definujte pojem Jacobiho matice autonomního systému x′ = f (x, y)
3
4. [8 bodů] Určete lokální extrémy funkce z = ey (x2 + y). Návod: zx′ = 2xey , zy′ = ey (x2 + y) + ey
2. [13 bodů] Uvažujme homogenní diferenciální rovnici L[y] = 0, kde L[y] = y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y, kde L[y] je linerární diferenciální operátor druhého řádu. a) Rozepište, jak z linearity tohoto operátoru plyne, že lineární kombinace dvou řešení je také řešením této rovnice. b) Platí totéž i pro nehomogenní rovnici? Jsou-li y1 a y2 řešením rovnice L[y] = x, čemu je rovno L[y1 + y2 ]?
2
1
.
Napište, jakého typu může být stacionární bod, pokud víme, že nula není vlastním číslem matice a že alespoň jedno z vlastních čísel je reálné a kladné. (Je-li to možné, posuďte i stabilitu stacionárního bodu.)
M x −1
• • • • • Z
x2
Požadavek: 16 bodů z 50 možných. Po vyřešení příkladů vyplníte testové otázky. Známky budou zapsány do UISu až po zapsání do indexu! Řešení příkladů budou na webových stránkách předmětu (chráněny heslem). Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny. 1 x 1 dx = arctg , + A2 A A
Z
A2
A + x 1 1 , dx = ln 2 −x 2A A − x
Z
√
1 x2 + B
dx = ln |x +
√
x + B|,
Z
√
1 A 2 − x2
dx = arcsin
x A
Písemná část zkoušky z Inženýrské matematiky, 17.1.2012 (60 minut)
Body Jméno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
3
4
5
6
7
První příklad vypočítejte na samostatný podepsaný papír a odevzdejte po 15 minutách. 6. [6 bodů] 1. [povinný] Bazální metabolismus (BMR - Basal Metabolic Rate) muže vypočteme ze vzorce
Je dán autonomní systém x′ = −x + y 3 + 1 y ′ = x(y − 1)
BMR = k1 + k2 m + k3 h − k4 T, kde m je hmotnost, h výška, T věk a k1 = 66, 473, k2 = 13, 7516, k3 = 5, 0033, k4 = 6, 755 jsou konstanty. Pro konkrétního muže máme zadány hodnoty BMR, h a T . Vyjádřete ze vzorce hmotnost m.
a jeden z jeho stacionárních bodů, bod [0, −1]. • Určete vlastní čísla Jacobiho matice v tomto bodě, typ stacionárního bodu a načtrněte, jak vypadá typický průběh trajektorií ve stacionárním bodě uvedeného typu. • Najděte i všechny ostatní stacionární body, pokud existují (vlastní čísla ani další charakteristiky už v těchto bodech neurčujte).
2. [10 bodů] Jak poznáme z druhých derivací funkce dvou proměnných, zda ve stacionárním bodě je lokální extrém a jaký? Nadefinujte pojem Hessián a rozepište všechny možnosti, které mohou nastat. 3. [13 bodů] a) Napište, jak najdeme konstatní řešení a jak najdeme obecné řešení diferenciální rovnice se separovanými proměnnými y ′ = f (x)g(y). b) Napište, jak ověříme, zda rovnice y ′ = ϕ(x, y) je či není rovnicí se separovanými proměnnými.
7. [7 bodů]
Vypočtěte dvojný integrál ZZ (x + y) dxdy. M
Množina M je vyznačena na obrázku.
4. [6 bodů] Vypočtěte obě parciální derivace prvního řádu pro funkce
y =1−x
a) z = (x2 + y 2 ) sin x 2 2 b) z = −ex −y 5. [8 bodů] Najděte obecné řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice druhého řádu
M
y ′′ + y ′ + 2y = x2 − 1. • • • • •
Z
x2
Požadavek: 16 bodů z 50 možných. Po vyřešení příkladů vyplníte testové otázky. Známky budou zapsány do UISu až po zapsání do indexu! Řešení příkladů budou na webových stránkách předmětu (chráněny heslem). Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny. 1 x 1 dx = arctg , + A2 A A
Z
A2
A + x 1 1 , dx = ln 2 −x 2A A − x
Z
√
1 x2 + B
dx = ln |x +
√
x + B|,
Z
√
1 A 2 − x2
dx = arcsin
x A
Písemná část zkoušky z Inženýrské matematiky, 25.1.2012 (60 minut) Body Jméno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
3
4
5
6
7
První příklad vypočítejte na samostatný podepsaný papír a odevzdejte po 15 minutách. 1. [povinný] Na webových stránkách zlatnictví je následující návod na výpočet ceny prstenu v závislosti na katalogové ceně a velikosti K V (*) C= 54 kde C je konečná cena pro zákazníka, K katalogová cena a V je velikost prstenu. Nyní zlatnictví nabízí slevu 8 procent, ale nespecifikuje z jaké ceny. Je pro zákazníka výhodnější slevu požadovat z katalogové ceny, z konečné ceny, nebo je to jedno? Jak se bude lišit konečná cena pro prsten o velikosti V = 46 a v katalogové ceně K = 7000 Kč, pokud a) nejprve odečteme 8 procent z katalogové ceny K a poté použijeme vzorec (*), nebo b) nejprve použijeme vzorec (*) a z výsledné ceny C odečteme 8 procent. 2. [18 bodů] a) Stručně ale výstižně popište rozdíl mezi lokálním maximem, vázaným maximem a absolutním maximem funkce dvou proměnných. b) Jaká je nutná podmínka pro existenci lokálního extrému? (Přesněji: co v tomto bodě musí splňovat parciální derivace?) c) Je možné podat příklad funkce dvou proměnných takové, že funkce má v bodě (0, 0) lokální minimum, jednu parciální derivaci rovnu nule a druhá parciální derivace neexistuje? • Pokud ano, nakreslte, jak mohou vypadat řezy grafu funkce rovinami y = 0 (rovina zadaná osou x a osou z) a x = 0. • Pokud ne, vysvětlete proč. d) Pokuste se vytvořit úlohu na hledání absolutního maxima takovou, že úloha má řešení (a vysvětlete proč má úloha řešení), ale funkce z této úlohy nemá lokální extrém (a vysvětlete, proč nemá lokální extrém).
• • • • •
Z
3. [5 bodů] Trajektorie autonomního systému x′ = f (x, y), y ′ = g(x, y) je možné chápat jako integrální křivky jisté diferenciální rovnice, kde y hledáme jako funkci proměnné x. Napište tuto diferenciální rovnici. Jak se tato rovnice změní (a jak se změní trajektorie původního autonomního systému), pokud funkce f a g obě zdvojnásobíme?
4. [9 bodů] Určete obě parciální derivace následujících funkcí (derivace už nemusíte upravovat) a) z = x2 + y 2 sin(x2 + y 2 ) x b) z = e−x y p c) z = 1 − (x2 + y 2 )
5. [10 bodů] Najděte obecné řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice druhého řádu y ′′ − 2y ′ + y = ex . Návod: Partikulární řešení hledejte ve tvaru y = Ax2 ex , kde A je reálné číslo.
6. [4 body] Najděte obecné řešení lineární diferenciální rovnice prvního řádu 1 y′ − y = 1 x na intervalu (0, ∞).
7. [4 body] Vypočtěte integrál funkce xy 3 přes množinu, kterou tvoří jednotkový čtverec s vrcholy (0, 1), (0, 1), (1, 0) a (1, 1).
Požadavek: 16 bodů z 50 možných. Po vyřešení příkladů vyplníte testové otázky. Známky budou zapsány do UISu až po zapsání do indexu! Řešení příkladů budou na webových stránkách předmětu (chráněny heslem). Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny.
1 x 1 dx = arctg , x 2 + A2 A A
Z
A + x 1 1 , dx = ln A2 − x 2 2A A − x
Z
√
1 x2 + B
dx = ln |x +
p
x + B|,
Z
√
1 A2 − x 2
dx = arcsin
x A
Písemná část zkoušky z Inženýrské matematiky, 1.2.2012 (60 minut) Body Jméno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
První příklad vypočítejte na samostatný podepsaný papír a odevzdejte po 15 minutách.
1
2
3
4
3. [6 bodů] Logistická rovnice je základní diferencíální rovnice používaná pro modelování růstu populací. Napište tuto rovnici a najděte její konstatní řešení. 4. [7 bodů] pojmy
Pro funkci f (x, y) dvou proměnných definujte
6
7
8. [5 bodů] Najděte (v explicitním tvaru) obecné řešení diferenciální rovnice prvního řádu y ′ − e2x y 2 = 0.
Vypočtěte integrál
9. [6 bodů] na obrázku.
ZZ
x dxdy přes množinu M M
y
y = 1 − x2
5. [8 bodů] Určete stacionární body funkce f (x, y) = x2 − xy 2 + x. Z těchto stacionárních bodů si jeden vyberte a určete, zda v něm má funkce lokální extrém a jaký.
M x
6. [4 body] Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce z = x2 + xy + y v bodě (1, 0).
Z
9
y ′′ − y ′ + 2y = 0.
a) parciální derivace podle x b) totální diferenciál
• • • • •
8
7. [4 body] Najděte obecné řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice druhého řádu
1. [povinný] Aritmetický průměr tří čísel je 5,31. Dvě z těchto čísel jsou 7,1 a 4,2. Jak vypočteme třetí z těchto čísel? (Není nutno dopočítávat numericky.) 2. [10 bodů] Zformulujte Weirstrassovu větu. Definujte pojmy kompaktní množina, uzavřená množina a ohraničená množina, které s touto větou úzce souvisí.
5
Požadavek: 16 bodů z 50 možných. Po vyřešení příkladů vyplníte testové otázky. Známky budou zapsány do UISu až po zapsání do indexu! Řešení příkladů budou na webových stránkách předmětu (chráněny heslem). Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny.
1 x 1 dx = arctg , x 2 + A2 A A
Z
A + x 1 1 , dx = ln A2 − x 2 2A A − x
Z
√
1 x2 + B
dx = ln |x +
p
x + B|,
Z
√
1 A2 − x 2
dx = arcsin
x A
