71

Matematika II. Nagy Ábris Debreceni Egyetem

2015/2016. II. félév

Nagy Á. (Debrcenei Egyetem)

Matematika II.

1 / 71

Hasznos információk

e-mail: [email protected] honlap: math.unideb.hu/nagy-abris/oktatas.html Segédanyagok −→ Lajkó Károly Kalkulus I.-II. Kalkulus I.-II. példatár Analízis I.-II.-III. Iroda: M304 Matematikai Intézet (H 9-10, Sz 13-14)


Matematika II.

2 / 71

Vektorterek Legyen adott egy K számtest (pl. R) valamint egy V halmaz ellátva egy összeadásnak nevezett + : V × V → V kétváltozós muvelettel, ˝ továbbá adott egy skalárral való szorzásnak nevezett · : K × V → V leképezés. Ekkor V -t K feletti vektortérnek nevezzük, ha teljesülnek az alábbi tulajdonságok: (A1) az összeadás asszociatív: bármely v , w, u ∈ V esetén v + (w + u) = (v + w) + u ˝ (A2) létezik 0 ∈ V zéruselem, amelyre tetszoleges v ∈ V esetén 0+v =v +0=v (A3) bármely v ∈ V esetén létezik −v ∈ V ellentett, amelyre v + (−v ) = (−v ) + v = 0 (A4) az összeadás kommutatív: bármely v , w ∈ V esetén v +w =w +v Nagy Á. (Debrcenei Egyetem)

Matematika II.

3 / 71

Vektorterek (M1) bármely v , w ∈ V és λ ∈ K esetén λ(v + w) = λv + λw (M2) bármely v ∈ V és λ, µ ∈ K esetén (λ + µ)v = λv + µv (M3) bármely v ∈ V és λ, µ ∈ K esetén (λµ)v = λ(µv ) = µ(λv ) (M4) bármely v ∈ V esetén 1v = v


Matematika II.

4 / 71

Vektorterek

A V halmaz elemeit vektoroknak nevezzük és gyakran aláhúzott latin betukkel ˝ jelöljük (pl. v , w). A K halmaz elemeit skalároknak nevezzük és gyakran görög betukkel ˝ jelöljük (pl. λ, µ). ˝ ha K = C, akkor komplex Ha K = R, akkor valós vektortérrol, ˝ beszélünk. vektortérrol A vektortér definíciójában szereplo˝ skalárral való szorzás nem összekeverendo˝ a skaláris szorzással, amely egy másfajta muvelet. ˝ A skalárral való szorzás végeredménye egy vektor, a skaláris szorzásé egy szám.


Matematika II.

5 / 71

Vektorterek ˝ A v 1 , v 2 , . . . , v n ∈ V vektorokat lineárisan függonek nevezzük, ha valamelyik kifejezheto˝ a többi vektor lineáris kombinációjaként, azaz pl. v n = λ1 v 1 + λ2 v 2 + . . . + λn−1 v n−1 teljesül valamely λ1 , λ2 , . . . , λn−1 ∈ K skalárokkal. Ha a vektorok nem ˝ akkor lineárisan függetlennek nevezzük ezeket. lineárisan függok, Azt mondjuk, hogy a v 1 , v 2 , . . . , v n ∈ V vektorok a V vektortér generátorrendszerét alkotják, ha bármely w ∈ V vektor kifejezheto˝ ezek lineáris kombinációjaként, azaz léteznek olyan λ1 , λ2 , . . . , λn ∈ K skalárok, amelyekkel w = λ1 v 1 + λ2 v 2 + . . . + λn v n .


Matematika II.

6 / 71

Vektorterek Egy lineárisan független vektorokból álló generátorrendszert a V vektortér bázisának nevezünk.

Tétel Egy végesen generált V vektortér bármely két bázisának számossága megegyezik. Egy végesen generált V vektortér bázisainak közös számosságát a vektortér dimenziójának nevezzük. Tehát egy V vektorteret n-dimenziósnak nevezünk, ha V bármely bázisa n darab vektorból áll. A továbbiakban egy vektortér bázisának megadásakor rögzítjük a vektorok sorrendjét is.


Matematika II.

7 / 71

Vektorterek - Példák 1. a valós szám n-esek halmaza Rn vektortér az alábbi muveletekkel: ˝ Ha x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn és y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn , λ ∈ R, akkor legyen x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ), valamint λx = (λx1 , λx2 , . . . , λxn ). Rn természetes bázisa (e1 , e2 , . . . , en ), ahol ei i-edik eleme 1, a többi 0. Tehát e1 = (1, 0, 0, . . . , 0, 0) e2 = (0, 1, 0, . . . , 0, 0) .. . en = (0, 0, 0, . . . , 0, 1) Nagy Á. (Debrcenei Egyetem)

Matematika II.

8 / 71

Vektorterek - Példák 2. Az összes m × n-es K elemu˝ mátrixok halmaza Mm×n (K) a mátrixok összeadásával és skalárral való szorzásával K feletti vektorteret alkot. Azok az m × n-es mátrixok, amelyeknek egyetlen eleme 1 a többi 0 egy bázist alkotnak, így Mm×n (K) dimenziója n · m. 3. A legfeljebb n-edfokú K együtthatós polinomok halmaza Kn [x] a polinomok összeadásával és skalárral való szorzásával K fölötti vektortér. Ebben egy bázis: 1, x, x 2 , x 3 , . . . , x n Tehát Pn [x] dimenziója n + 1.


Matematika II.

9 / 71

Vektorterek - Példák

4. Az összes K együtthatós polinomok halmaza K[x] a polinomok összeadásával és skalárral való szorzásával K fölötti vektortér. Ez a vektortér nem végesen generált. 5. A valós számok halmaza R vektortér Q fölött a valós számok összeadásával és szorzásával. Ez a vektortér nem végesen generált. 6. Az [a, b] intervallumon értelmezett folytonos valós függvények halmaza C[a, b] valós vektortér a függvények pontonkénti összeadásával és szorzásával. Ez a vektortér nem végesen generált.


Matematika II.

10 / 71

Vektorterek Állítás Ha a (v 1 , v 2 , . . . , v n ) vektorok a V vektortér egy bázisát alkotják, akkor bármely w ∈ V esetén egyértelmuen ˝ léteznek olyan λ1 , λ2 , . . . , λn ∈ K skalárok, amelyekkel w = λ1 v 1 + λ2 v 2 + . . . + λn v n . Ha a (v 1 , v 2 , . . . , v n ) egy bázis a V vektortérben és w = λ1 v 1 + λ2 v 2 + . . . + λn v n akkor a fenti (egyértelmuen ˝ meghatározott) együtthatókat a w vektornak a (v 1 , v 2 , . . . , v n ) bázisra vonatkozó koordinátáinak nevezzük. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem)

Matematika II.

11 / 71

Vektorterek Egy V vektortér nem üres L részhalmazát (lineáris) altérnek nevezzük, ha L szintén vektortér a V -n adott muveletekkel. ˝

Altérkritérium A V vektortér nem üres L részhalmaza pontosan akkor altér, ha 1

minden v , w ∈ L esetén v − w ∈ L,

2

minden v ∈ L és λ ∈ K esetén λv ∈ L.

Egy altérnek mindig eleme 0 a nullvektor. Minden V vektortérnek altere önmaga és a nullvektorból álló egyelemu˝ halmaz. Ezeket triviális altereknek nevezzük. A nullvektorból álló egyelemu˝ halmaz egy 0 dimenziós altér.


Matematika II.

12 / 71

Vektorterek A V vektortér egy nem üres H részhalmaza által generált altér L(H), az a legszukebb ˝ altere V -nek, amely tartalmazza H-t. (L(H) másik jelölése span(H)) Tehát L(H) az összes V -beli H-t tartalmazó altér metszete.

Állítás L(H) éppen a H-beli vektorokból képzett összes lineáris kombinációk halmaza: L(H) = λ1 h1 + λ2 h2 + . . . + λn hn λi ∈ K, hi ∈ H, n ∈ N n db vektor által generált altér legfeljebb n-dimenziós és pontosan akkor n-dimenziós, ha a vektorok lineárisan függetlenek. 1 vektor által generált altér a vektor skalárszorosaiból álló „egyenes”. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem)

Matematika II.

13 / 71

Lineáris leképezések Ha V és W K feletti vektorterek, akkor egy f : V → W leképezést lineárisnak nevezünk, amennyiben teljesül az alábbi két tulajdonság 1

˝ tetszoleges v , w ∈ V esetén f (v + w) = f (v ) + f (w),

2

˝ tetszoleges v ∈ V és λ ∈ K esetén f (λv ) = λf (v ).

Megj.: Bármely f : V → W lineáris leképezés esetén f (0) = 0, hiszen f (0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0)

Lineáris leképezések 1. alaptétele Legyen (v 1 , v 2 , . . . , v n ) bázis a V vektortérben. Ha f , g : V → W lineáris leképezések és f (v i ) = g(v i ) (i = 1, 2, . . . , n), akkor ˝ tetszoleges v ∈ V esetén f (v ) = g(v ). Nagy Á. (Debrcenei Egyetem)

Matematika II.

14 / 71

Lineáris leképezések Lineáris leképezések 2. alaptétele ˝ Legyen (v 1 , v 2 , . . . , v n ) bázis a V vektortérben. Tetszoleges w 1 , w 2 , . . . , w n ∈ W vektorok esetén pontosan egy olyan f : V → W lineáris leképezés létezik, amelyre f (v i ) = w i (i = 1, 2, . . . , n). Egy f : V → W lineáris leképezést izomorfizmusnak nevezünk, ha bijektív (azaz kölcsönösen egyértelmu). ˝ A V és W vektortereket izomorfnak nevezzük, ha létezik köztük f : V → W izomorfizmus.

Tétel A V és W végesen generált K feletti vektorterek pontosan akkor izomorfak, ha dim V = dim W . Minden n-dimenziós valós vektortér izomorf Rn -nel. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem)

Matematika II.

15 / 71

Lineáris leképezések Legyen (v ) = (v 1 , v 2 , . . . , v n ) egy bázis a V vektortérben és (w) = (w 1 , w 2 , . . . , w m ) egy bázis a W vektortérben. Az f : V → W lineáris leképezés mátrixának nevezzük a (v ) (w) bázispárra vonatkozóan azt az A ∈ Mm×n mátrixot, amelynek i-edik sorának j-edik oszlopának aij eleme adja az f (v j ) vektor i-edik koordinátáját a (w) bázisra vonatkozóan. Tehát f (v j ) =

m X

aij w i = a1j w 1 + a2j w 2 + . . . + amj w m .

i=1

Ha egy v ∈ V vektor koordináta oszlopa a (v ) bázisra vonatkozóan X , az f (v ) ∈ W koordináta oszlopa a (w) bázisra vonatkozóan Y , akkor AX = Y .


Matematika II.

16 / 71

Lineáris leképezések Egy f : V → W lineáris leképezés képtere az f értékkészlete f (V ) = f (v ) v ∈ V ⊂ W , nulltere pedig azon vektorok halmaza, amelyek képe a nullvektor ker f = v ∈ V f (v ) = 0 ⊂ V . A nulltér szokásos elnevezései még: kernel, mag.

Állítás 1

Egy f : V → W lineáris leképezés képtere altér W -ben és nulltere altér V -ben.

2

Egy f : V → W lineáris leképezés pontosan akkor injektív, ha ker f = {0}


Matematika II.

17 / 71

Lineáris leképezések Tétel Ha V és W végesen generált vektorterek, f : V → W lineáris leképezés, akkor dim ker f + dim f (V ) = dim V . Egy f : V → W lineáris leképezés rangjának nevezzük a képterének ˝ dimenzióját. Egy lineáris leképezés rangja megegyezik tetszoleges bázisra vonatkozó mátrixának rangjával. Egy f : V → V alakú lineáris leképezést lineáris transzformációnak nevezünk. A fenti tétel szerint egy lineáris transzformáció pontosan akkor injektív, ha szürjektív. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem)

Matematika II.

18 / 71

Lineáris transzformációk Ha adott egy (v ) = (v 1 , v 2 , . . . , v n ) bázis a V vektortérben, akkor egy f : V → V lineáris transzformáció mátrixa a (v ) bázisra vonatkozóan ugyanaz, mint az f -nek, mint lineáris leképezésnek a mátrixa, ahol a V vektortér mindkét példányán ugyanazt a (v ) bázist tekintjük. Legyen (v ) = (v 1 , v 2 , . . . , v n ) és (w) = (w 1 , w 2 , . . . , w n ) két bázis a V vektortérben. A (v ) → (w) bázistranszformáció mátrixa annak az f : V → V lin. transzformációnak a (v ) bázisra vonatkozó mátrixa, amelyre f (v i ) = w i minden i = 1, 2, . . . , n esetén. Ha valamely v ∈ V vektor koordináta oszlopa a (v ) bázisra vonatkozóan X , a (w) bázisra vonatkozóan Y , a (v ) → (w) bázistranszformáció mátrixa pedig S, akkor S −1 X = Y . Az S −1 mátrix a koordinátatranszformáció mátrixa. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem)

Matematika II.

19 / 71

Lineáris transzformációk Tétel Legyen (v ) = (v 1 , v 2 , . . . , v n ) és (w) = (w 1 , w 2 , . . . , w n ) két bázis a V vektortérben, továbbá S a a (v ) → (w) bázistranszformáció mátrixa. Ha egy f : V → V lin. transzformáció mátrixa a (v ) bázisra vonatkozóan A, a (w) bázisra vonatkozóan B, akkor B = S −1 AS. Két A, B ∈ Mn×n négyzetes mátrixot hasonlónak nevezünk, ha létezik olyan S ∈ Mn×n invertálható mátrix, amelyre B = S −1 AS. Megj. Hasonló mátrixoknak megegyezik a rangja és a determinánsa. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem)

Matematika II.

20 / 71

Lineáris transzformációk Ha f : V → V lineáris transzformáció és valamely λ ∈ K skalárral, valamint v ∈ V , v 6= 0 vektorral f (v ) = λv , akkor λ-t az f sajátértékének, v -t pedig a λ sajátértékhez tartozó sajátvektornak nevezzük. Egy adott λ sajátértékhez tartozó sajátvektorok a 0-val alteret alkotnak, amelyet a λ sajátértékhez tartozó sajátaltérnek nevezünk: Lλ = v ∈ V f (v ) = λv . Egy λ sajátérték geometriai multiplicitásának nevezzük a hozzá tartozó Lλ sajátaltér dimenzióját.


Matematika II.

21 / 71

Lineáris transzformációk Egy A ∈ Mn×n négyzetes mátrix karakterisztikus polinomja p(x) = det(A − xE) ahol E ∈ Mn×n az egységmátrix. Egy f : V → V lin. transzformáció karakterisztikus polinomjának ˝ nevezzük tetszoleges bázisra vonatkozó mátrixának karakterisztikus polinomját. Ez a definíció független a bázis megválasztásától, mivel hasonló mátrixok karakterisztikus polinomja megegyezik.

Tétel λ ∈ K pontosan akkor sajátértéke az f : V → V lin. transzformációnak, ha gyöke a karakterisztikus polinomjának.


Matematika II.

22 / 71

Lineáris transzformációk A λ sajátérték algebrai multiplicitásán azt értjük, hogy λ hányszoros gyöke a karakterisztikus polinomnak. Jel: multλ. Egy f : V → V lin. transzformáció bármely λ sajátértéke esetén 1 ≤ dim Lλ ≤ multλ

Tétel Legyen adott egy f : V → V lin. transzformáció. A V vektortérnek pontosan akkor létezik f sajátvektoraiból álló bázisa, ha az alábbi két tulajdonság teljesül: 1

f sajátértékeinek a száma multiplicitással együtt számolva megegyezik dim V -vel,

2

f bármely λ sajátértéke esetén multλ = dim Lλ .

A fenti feltételek teljesülnek, ha f -nek n = dim V számú páronként különbözo˝ sajátértéke van. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem)

Matematika II.

23 / 71

Euklideszi vektorterek Egy valós V vektortéren adott kétváltozós valós értéku˝ f : V × V → R függvényt skaláris szorzásnak (vagy belso˝ szorzásnak) nevezünk, ha 1

szimmetrikus: f (v , w) = f (w, v )

2

(v , w ∈ V ),

az elso˝ (és így mindkét) változójában lineáris: f (v 1 + v 2 , w) = f (v 1 , w) + f (v 2 , w)

(λ ∈ R, v , w ∈ V )

f (λv , w) = λf (v , w) 3

(v 1 , v 2 , w ∈ V )

pozitív definit: f (v , v ) ≥ 0 (v ∈ V )


és f (v , v ) = 0 ⇔ v = 0

Matematika II.

24 / 71

Euklideszi vektorterek Egy V végesen generált valós vektorteret euklideszi vektortérnek nevezünk, ha adva van rajta egy f skaláris szorzás. Ha V komplex vektortér, akkor az f : V × V → C leképezést skaláris szorzásnak nevezünk, amennyiben az elso˝ változójában lineáris, pozitív definit és Hermite-szimmetrikus, azaz f (v , w) = f (w, v )

(v , w ∈ V ),

ahol a + bi = a − bi az a + bi komplex szám konjugáltját jelöli. Egy V végesen generált komplex vektorteret unitér vektortérnek nevezünk, ha adva van rajta egy f skaláris szorzás. Rövidített jelölés: hv , wi := f (v , w).


Matematika II.

25 / 71

Euklideszi vektorterek ˝ Egy V euklideszi vektortér tetszoleges v ∈ V vektorának a normája (hossza) p (v ∈ V ). kv k = hv , v i Ennek segítségével értelmezheto˝ a vektorok távolsága: d(v , w) = kv − wk

(v , w ∈ V ).

A V euklideszi vektortér metrikus tér ezzel a távolságfüggvénnyel. Példa: Rn esetén, ha x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn és ˝ y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn tetszoleges elemek, akkor legyen n

X x, y = xi yi = x1 y1 + x2 y2 + . . . + xn yn ∈ R. i=1

Ezt nevezzük az Rn téren adott természetes (vagy kanonikus) skaláris szorzásnak. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem)

Matematika II.

26 / 71

Euklideszi vektorterek Az Rn téren adott természetes skaláris szorzással egy x = (x1 , x2 , . . . , xn ) elem normája q kxk = x12 + x22 + . . . + xn2 továbbá az x = (x1 , x2 , . . . , xn ) és y = (y1 , y2 , . . . , yn ) elemek távolsága d(x, y ) =

q (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + . . . + (xn − yn )2 .

Ezeket nevezzük az Rn téren adott euklideszi normának illetve euklideszi távolságnak. Megj.: Az Rn téren másfajta norma is megadható: p ∈ R, p ≥ 1 esetén legyen 1 kxkp = |x1 |p + |x2 |p + . . . + |xn |p p Ez p = 2 esetén az euklideszi norma. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem)

Matematika II.

27 / 71

Euklideszi vektorterek Tétel (Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz) Egy V euklideszi vektortér bármely két v , w ∈ V vektora esetén hv , wi2 ≤ kv k2 · kwk2 . A fenti tétel szerint −1 ≤

hv , wi ≤1 kv k · kwk

Egy V euklideszi vektortér két v , w ∈ V vektora által bezárt szög az az α ∈ [0, π] szög, amelyre cos α =

hv , wi . kv k · kwk

A skaláris szorzás linearitása miatt ez a definíció független a vektorok hosszától. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem)

Matematika II.

28 / 71

Euklideszi vektorterek Egy V euklideszi vektortér két v , w ∈ V vektorát ortogonálisnak nevezzük, ha hv , wi = 0. Ez pontosan azt jelenti, hogy a két vektor ˝ meroleges egymásra. Egy v 1 , v 2 , . . . , v k ∈ V vektorrendszer ortonormált, ha páronként ortogonális egységnyi hosszúságú vektorokból áll. Az Rn tér természetes bázisa otronormált bázis. Egy V euklideszi vektortér egy L alterének ortogonális komplementerén azon vektorok összességét értjük, amelyek ortogonálisak L minden vektorára. L⊥ = v ∈ V hv , wi = 0 bármely w ∈ L esetén ˝ Bármely L altér esetén teljesülnek a következok: L ∪ L⊥ = V , Nagy Á. (Debrcenei Egyetem)

L ∩ L⊥ = {0} , Matematika II.

L⊥

⊥

= L. 29 / 71

Euklideszi vektorterek Gram-Schmidt ortogonalizálási eljárás Legyen v 1 , v 2 , . . . , v m ∈ V lineárisan független vektorrenszer a V euklideszi vektortérben. Képezzük a következo˝ vektorokat: e1 :=

ek +1

v1 , kv 1 k

P v k +1 − ki=1 hv i , ei i ei

, := Pk

v k +1 − i=1 hv i , ei i ei

(k = 1, 2, . . . , m).

Ekkor az e1 , e2 , . . . , em vektorrendszer ortonormált és L (e1 , e2 , . . . , ek ) = L (v 1 , v 2 , . . . , v k ) azaz e1 , . . . , ek ugyanazt az alteret generálja, mint v 1 , . . . , v k bármely k = 1, 2, . . . , m esetén. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem)

Matematika II.

30 / 71

Euklideszi vektorterek Legyen e1 , e2 , . . . , en ∈ V egy ortonormált bázis a V euklideszi vektortéren. Ekkor (

1 ha i = j, ei , ej = δij = 0 ha i 6= j. Ha a v ∈ V vektor koordinátái erre a bázisar nézve (v1 , v2 , . . . , vn ), a w ∈ V vektor koordinátái pedig (w1 , w2 , . . . , wn ), akkor hv , wi =

n X

vi wi = v1 w1 + v2 w2 + . . . + vn wn .

i=1

Tétel Egy V végesen generált valós vektortér bármely v 1 , v 2 , . . . , v n bázisa esetén megadható olyan skaláris szorzás V -n, amelyre nézve v 1 , v 2 , . . . , v n ortonormált. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem)

Matematika II.

31 / 71

Euklideszi vektorterek transzformációi Ha f és g olyan lineáris transzformációk a V vektortéren, amelyekre hf (v ), wi = hv , g(w)i teljesül minden v , w ∈ V esetén, akkor g-t az f lineáris transzformáció adjungáltjának nevezzük. Jel: f ∗ . Bármely orotonormált bázis esetén f ∗ mátrixa az f mátrixának (konjugált) transzponáltja. Éppenezért egy A n × n-es valós (komplex) T mátrix adjungáltja A∗ = A . Valós esetben ez csak a mátrix transzponáltja. A V euklideszi vektortér f lineáris transzformációja önadjungált, ha f ∗ = f , ortogonális, ha f ∗ = f −1 , normális, ha f ∗ ◦ f = f ◦ f ∗ . Nagy Á. (Debrcenei Egyetem)

Matematika II.

32 / 71

Önadjungált transzformációk Valós euklideszi vektortér esetén az önadjungált transzformációkat szimmetrikusnak is nevezzük, ugyanis ortonormált bázisra vonatkozó mátrixuk szimmetrikus, azaz A = AT .

Állítás Önadjungált transzformációk karakterisztikus polinomjának gyökei valós számok. Következésképp a spektrum teljes.

Állítás Önadjungált transzformáció különbözo˝ sajátértékeihez tartozó sajátvektorai ortogonálisak.

Tétel Ha f önadjungált transzformáció a V euklideszi vektortéren, akkor V -nek mindig létezik f sajátvektoraiból álló ortonormált bázisa. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem)

Matematika II.

33 / 71

Ortogonális transzformációk Tétel Legyen f : V → V lin. transzformáció a V euklideszi vektortéren. Ekkor a következo˝ kijelentések ekvivalensek: 1

f ortgonális,

2

˝ a skaláris szorzatot, azaz f megorzi hf (v ) = f (w)i = hv , wi

3

(v , w ∈ V ),

˝ a vektorok normáját, azaz f megorzi kf (v )k = kv k

(v , w ∈ V ),

4

f távolságtartó (más szóval izometria),

5

f bármely ortonormált bázist ortonormált bázisba képez.


Matematika II.

34 / 71

Ortogonális transzformációk Ortogonális transzformáció = lineáris izometria Egy ortogonális transzformáció minden sajátértéke +1 vagy −1.

Tétel Egy n × n-es mátrix pontosan akkor ortogonális, ha oszlopvektorai ortonormált bázist alkotnak Rn természetes skaláris szorzására nézve. Ortogonális mátrixok determinánsa 1 abszolút értéku. ˝

Tétel ˝ Kétdimenziós euklideszi vektortér tetszoleges ortogonális ˝ valamelyike: transzformációja a következok identikus transzformáció, origó körüli forgatás, origóra illeszkedo˝ egyenesre vonatkozó tengelyes tükrözés. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem)

Matematika II.

35 / 71

Rn topológiája Az Rn euklideszi vektortér egy metrikus tér az euklideszi távolságfüggvénnyel: q d(x, y ) = kx − y k = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + . . . + (xn − yn )2 . Az x0 ∈ Rn pont körüli r -sugarú nyílt gömb B(x0 , r ) = x ∈ Rn d(x, x0 ) < r , míg az x0 ∈ Rn pont körüli r -sugarú zárt gömb B(x0 , r ) = x ∈ Rn d(x, x0 ) ≤ r . Az x0 ∈ Rn középpontú r -sugarú nyílt gömbfelület S(x0 , r ) = x ∈ Rn d(x, x0 ) = r . Nagy Á. (Debrcenei Egyetem)

Matematika II.

36 / 71

Rn topológiája Legyen H ⊂ Rn . Azt mondjuk, hogy x ∈ H belso˝ pontja H-nak, ha létezik 0 < ε valós szám, hogy B(x, ε) ⊂ H, x ∈ Rn külso˝ pontja H-nak, ha belso˝ pontja az Rn \ H komplementer halmaznak, x ∈ Rn határpontja H-nak, ha nem belso˝ és nem külso˝ pontja H-nak, azaz bármely 0 < ε esetén az B(x, ε) nyílt gömb egyaránt tartalmaz H-hoz tartozó és H-hoz nem tartozó pontokat. Egy H ⊂ Rn halmazt nyíltnak nevezünk, ha minden pontja belso˝ pont, és zártnak nevezzük, ha Rn \ H nyílt. Példa: A B(x, r ) nyílt gömb nyílt halmaz, a B(x, r ) zárt gömb zárt halmaz. A határpontok halmaza mindkét esetben az S(x, r ) gömbfelület. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem)

Matematika II.

37 / 71

Rn topológiája Rn és ∅ egyaránt nyílt és zárt halmazok, ˝ tetszolegesen sok nyílt halmaz uniója nyílt, véges sok nyílt halmaz metszete nyílt, ˝ tetszolegesen sok zárt halmaz metszete zárt, véges sok zárt halmaz uniója zárt. Egy x ∈ Rn pontot a H ⊂ Rn halmaz torlódási pontjának nevezünk, ˝ különbözo˝ ha minden 0 < ε esetén a B(x, ε) gömb tartalmaz egy x-tol elemet a H halmazból. Egy x ∈ H pontot izolált pontnak nevezünk, ha nem torlódási pont.

Állítás Egy H ⊂ Rn halmaz pontosan akkor zárt, ha tartalmazza minden határpontját. Továbbá H ⊂ Rn pontosan akkor zárt, ha tartalmazza minden torlódási pontját. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem)

Matematika II.

38 / 71

Rn topológiája A H ⊂ Rn halmaz belseje a belso˝ pontjainak halmaza, ami nem más, mint [ int H = H 0 = K K ⊂ H és K nyílt , lezártja pedig cl H = H =

\ K H ⊂ K és K zárt ,

˝ és a H halmaz torlódási ami nem más, mint a H halmaz elemeibol pontjaiból álló halmaz. A H ⊂ Rn halmaz határa a határpontjainak halmaza. Jel: bd H. ˝ Egy H ⊂ Rn halmazt összefüggonek nevezünk, ha nem lehet két nemüres, diszjunkt, nyílt halmaz uniójára bontani, azaz nem léteznek K1 , K2 ⊂ H nemüres, diszjunkt, nyílt halmazok, amelyekre H ⊂ K1 ∪ K2 . Nagy Á. (Debrcenei Egyetem)

Matematika II.

39 / 71

Rn topológiája Egy H ⊂ Rn halmaz konvex, ha bármely két pontja összekötheto˝ a halmazon belül futó egyenes szakasszal, ˝ ha bármely két pontja összekötheto˝ poligoniálisan összefüggo, a halmazon belül futó törött vonallal, ˝ ha bármely két pontja összekötheto˝ a ívszeruen ˝ összefüggo, halmazon belül futó folytonos görbével. konvex ⇒ poligoniálisan összefüggo˝ ⇒ ívszeruen ˝ összefüggo˝ ⇒ összefüggo˝ A fordított irányú következtetések általában nem igazak, de belátható, ˝ akkor poligoniálisan összefüggo˝ hogy ha egy nyílt halmaz összefüggo, is. ˝ Összefüggo/konvex halmazok lezártja, illetve metszete szintén ˝ összefüggo/konvex. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem)

Matematika II.

40 / 71

Rn topológiája ˝ Egy H ⊂ Rn halmaz átméroje diam H = sup d(x, y ) x, y ∈ H . A H ⊂ Rn halmazt korlátosnak nevezzük, ha diam H véges, ami pontosan akkor következik be, ha létezik olyan r ∈ R, amelyre az origó középpontú r sugarú gömb tartalmazza H-t.

Tétel (Bolzano-Weierstrass) Bármely H ⊂ R korlátos végtelen halmaznak létezik torlódási pontja.

Tétel (Heine-Borel) Egy H ⊂ R halmaz pontosan akkor kompakt, ha korlátos és zárt.


Matematika II.

41 / 71

Többváltozós függvények Legyenek n, m ∈ N. Egy f : Rn → Rm függvény többváltozós, ha n ≥ 2, vektorértéku, ˝ ha m ≥ 2, valós értéku, ˝ ha m = 1, valós függvény, ha n = m = 1. A valós értéku˝ függvényeket skalár függvényeknek, az f : Rn → Rn ˝ típusú függvényeket vektormezoknek is szokás nevezni. ˝ Jelentse ei : Rn → R azt a függvényt, amely Rn egy tetszoleges eleméhez hozzárendeli annak i-edik koordinátáját a természetes bázisra nézve: ei (x1 , x2 , . . . , xi , . . . xn ) = xi . Egy vektorértéku˝ f függvény koordinátafüggvényei: fi = ei ◦ f

(i = 1, 2, . . . , m)

azaz f = (f1 , f2 , . . . , fm ). Nagy Á. (Debrcenei Egyetem)

Matematika II.

42 / 71

Vektorértéku˝ sorozatok Egy a : N → Rn függvényt Rn -beli sorozatnak nevezünk. Jel: (ak ). Azt mondjuk, hogy egy x ∈ Rn vektor határértéke az (ak ) sorozatnak, ha minden 0 < ε valós szám esetén létezik k0 ∈ N (küszöbindex), amelyre az teljesül, hogy ha k > k0 , akkor kak − xk < ε (azaz ak ∈ B(x, ε)). Egy (ak ) Rn -beli sorozat pontosan akkor konvergens, ha minden koordinátasorozata konvergens és ekkor határértéke a ˝ képzett vektor. koordinátasorozatok határértékeibol Egy (ak ) Rn -beli sorozatot Cauchy-sorozatnak nevezünk, ha bármely ε > 0 esetén létezik ko ∈ N (küszöbindex), amelyre ha k , l > k0 , akkor kak − al k < ε.

Tétel (Rn teljessége) Egy (ak ) Rn -beli sorozat pontosan akkor konvergens, ha Cauchy-sorozat. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem)

Matematika II.

43 / 71

Többváltozós függvények határértéke Legyen f : H ⊂ Rn → Rm egy függvény és x0 ∈ Rn torlódási pontja H-nak. Az f függvény határértéke az x0 pontban y ∈ Rm , ha bármely ˝ ε > 0 esetén létezik δ > 0, hogy tetszoleges x ∈ B(x0 , δ) ∩ H esetén f (x) ∈ B(y , ε). Jelölés: lim f (x) = y x→x0

Pontosan akkor határértéke y = (y1 , y2 , . . . , ym ) ∈ Rm az f = (f1 , f2 , . . . , fm ) függvénynek az x0 pontban, ha lim fi (x) = yi ,

x→x0

(i = 1, 2, . . . , m).

Tétel (átviteli elv) Az f : H ⊂ Rn → Rm függvénynek pontosan akkor határértéke y ∈ Rm az x0 ∈ Rn pontban, ha bármely x0 -hoz konvergáló (xn ) : N → H \ {x0 } sorozat esetén az (f (xn )) sorozat konvergens és határértéke y ∈ Rm . Nagy Á. (Debrcenei Egyetem)

Matematika II.

44 / 71

Többváltozós függvények folytonossága Azt mondjuk, hogy f : H ⊂ Rn → Rm függvény folytonos az x ∈ H pontban, ha az x0 -beli határértéke f (x). Továbbá f folytonos a H halmazon, ha H minden pontjában folytonos. Az f : H ⊂ Rn → Rm egyenletesen folytonos a H halmazon, ha bármely ε > 0 esetén létezik δ > 0, hogy ha x, y ∈ H és kx − y k < δ, akkor kf (x) − f (y )k < ε.

Tétel (jeltartás) Ha az f : H ⊂ Rn → R valós értéku˝ függvény folytonos az x0 ∈ H ˝ pontban és f (x0 ) > 0, akkor létezik ε > 0, hogy tetszoleges x ∈ B(x0 , ε) esetén f (x) > 0. Hasonlóan ha f (x0 ) < 0, akkor létezik ˝ ε > 0, hogy tetszoleges x ∈ B(x0 , ε) esetén f (x) < 0.


Matematika II.

45 / 71

˝ Szélsoértékek Az f : H ⊂ Rn → Rm függvényt korlátosnak nevezzük, ha f (H) ⊂ Rm korlátos halmaz. Ha f valós értéku, ˝ akkor az f (H) ⊂ R halmaz pontos alsó és felso˝ korlátját az f függvény pontos alsó és felso˝ korlátjának nevezzük a H halmazon. Ha az f : H ⊂ Rn → R korlátos, valós értéku˝ függvény esetén léteznek olyan x1 , x2 ∈ H pontok, amelyekre f (x1 ) = sup f (H),

f (x2 ) = inf f (H),

akkor x1 -et az f (globális) maximum helyének, x2 -t az f (globális) minimum helyének nevezzük. Az x1 , x2 ∈ H pontokat lokális maximum illetve lokális minimum helynek nevezzük, ha létezik ε > 0, amely esetén f (x1 ) = sup f (H ∩ B(x1 , ε)) , Nagy Á. (Debrcenei Egyetem)

f (x2 ) = inf f (H ∩ B(x2 , ε)) .

Matematika II.

46 / 71

Differenciálszámítás Az f : H ⊂ Rn → Rm függvény i-edik változó szerinti parciális deriváltja az x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ H belso˝ pontban f (x + tei ) − f (x) = t f (x1 , x2 , . . . , xi + t, . . . , xn ) − f (x1 , x2 , . . . , xn ) = lim , t t→0 amennyiben a fenti határérték létezik. Itt ei az Rn tér természetes bázisának i-edik tagján jelöli. ∂i f (x) = lim

t→0

A parciális deriváltak egyéb jelölései: ∂ ∂i f (x) = f (x) = Di f (x) = fxi (x) ∂xi Ha az f függvény 2 vagy 3 dimenziós téren értelmezett, akkor az x1 , x2 , x3 változókat jelölheti x, y , z és ekkor a parciális deriváltak ∂ ∂ ∂x f = f = Dx f = fx , ∂y f = f = Dy f = fy , stb. ∂x ∂y Nagy Á. (Debrcenei Egyetem)

Matematika II.

47 / 71

Differenciálszámítás

Az f : H ⊂ Rn → Rm függvény v ∈ Rn irány menti deriváltja az x ∈ H belso˝ pontban f (x + tv ) − f (x) Dv f (x) = lim , t t→0 amennyiben a fenti határérték létezik. Egy függvény parciális deriváltjai speciális irány menti deriváltak: ∂i f (x) = Dei f (x). A szakirodalomban az iránymenti deriváltat gyakran csak egységvektorok esetén értelmezik, azaz megkövetelik, hogy a v irányvektor egységnyi hosszúságú legyen. Mi ezt a megszorítást nem alkalmazzuk!


Matematika II.

48 / 71

Differenciálszámítás Egy f : H ⊂ Rn → Rm függvényt (totálisan) differenciálhatónak nevezünk az x0 ∈ H belso˝ pontban, ha létezik olyan A : Rn → Rm lineáris leképezés, amelyre 0 = lim

x→x0

f (x) − f (x0 ) − A(x − x0 ) kx − x0 k

f 0 (x

Ekkor az 0 ) := A lineáris leképezést az f függvény x0 -beli differenciálhányadosának vagy deriváltjának nevezzük.

Tétel Ha f : H ⊂ Rn → Rm differenciálható az x0 ∈ H pontban, akkor az x0 -beli differenciálhányados egyértelmuen ˝ meghatározott, f folytonos x0 -ban, f bármely v ∈ Rn irány mentén differenciálható x0 -ban és Dv f (x0 ) = f 0 (x0 )(v ). Nagy Á. (Debrcenei Egyetem)

Matematika II.

49 / 71

Differenciálszámítás Ha f : H ⊂ Rn → Rm differenciálható az x0 ∈ H pontban és f = (f1 , f2 , . . . , fm ), akkor f 0 (x0 ) természetes bázisra vonatkozó mátrixa   ∂1 f1 (x0 ) ∂2 f1 (x0 ) · · · ∂n f1 (x0 )  ∂1 f2 (x0 ) ∂2 f2 (x0 ) · · · ∂n f2 (x0 )      ∈ Mm×n , .. .. ..   . . . ∂1 fm (x0 ) ∂2 fm (x0 ) · · · ∂n fm (x0 ) azaz a mátrix j-edik oszlopába kerülnek a koordinátafüggvények j-edik változó szerinti parciális deriváltjai. Ezt a mátrixot nevezzük az f függvény x0 pontbeli Jacobi-mátrixának.

Tétel Ha f : H ⊂ Rn → Rm függvénynek léteznek a parciális deriváltjai az x0 egy gömbkörnyzetének minden pontjában és a parciális deriváltak folytonosak x0 -ban, akkor f differenciálható x0 -ban. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem)

Matematika II.

50 / 71

Differenciálási szabályok Legyenek f , g : H ⊂ Rn → Rm és λ : Rn → R differenciálhatók x0 -ban. Ekkor f + g és λf , valamint λ 6= 0 esetén f /λ is differenciálhatók x0 -ban és (f + g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) + g 0 (x0 ), (λf )0 (x0 ) = f (x0 )λ0 (x0 ) + λ(x0 )f 0 (x0 ), 0 f λ(x0 )f 0 (x0 ) − f (x0 )λ0 (x0 ) (x0 ) = . λ (λ(x0 ))2 Itt f (x0 ) ∈ Rm oszlopvektorként, míg λ0 (x0 ) : Rn → R sorvektorként van reprezentálva, így a mátrixszorzás szabálya szerint f (x0 )λ0 (x0 ) ∈ Mm×n . Nagy Á. (Debrcenei Egyetem)

Matematika II.

51 / 71

Differenciálási szabályok Tétel (összetett függvény differenciálása) Ha f : H ⊂ Rn → Rm differenciálható az x0 ∈ H belso˝ pontban és g : K ⊂ f (H) ⊂ Rm → Rk differenciálható az f (x0 ) ∈ f (H) belso˝ pontban, akkor a g ◦ f : H → Rk összetett függvény is differenciálható x0 -ban és (g ◦ f )0 (x0 ) = g 0 (f (x0 )) · f 0 (x0 ). Ha k = 1, azaz g valós értéku, ˝ akkor 

 ∂1 f1 (x0 ) · · · ∂n f1 (x0 )   .. .. (g◦f )0 (x0 ) = ∂1 g (f (x0 )) , . . . , ∂m g (f (x0 )) · , . . ∂1 fm (x0 ) · · · ∂n fm (x0 ) ami azt jelenti, hogy ∂j (g ◦ f )(x0 ) =

n X

∂i g(f (x0 )) · ∂j fi (x0 ).

i=1 Nagy Á. (Debrcenei Egyetem)

Matematika II.

52 / 71

Magasabb rendu˝ deriváltak Az f : H ⊂ Rn → R valós értéku˝ függvény kétszer differenciálható az x0 ∈ H belso˝ pontban, ha létezik ε > 0, amelyre f differenciálható a B(x0 , ε) gömb minden pontjában és a ∂i f : B(x0 , ε) ⊂ Rn → R függvények differenciálhatók x0 -ban. Ekkor léteznek a ∂j (∂i f ) parciális deriváltak, amelyeket az f függvény x0 pontbeli második parciális deriváltjainak nevezünk. Jel: ∂j (∂i f )(x0 ) = ∂ji f (x0 ) =

∂2 f (x0 ) = fxi xj (x0 ) ∂xj ∂xi

Egy f : H ⊂ Rn → Rm függvényt akkor nevezünk kétszer differenciálhatónak az x0 pontban, ha minden koordinátafüggvénye kétszer differenciálható x0 -ban.


Matematika II.

53 / 71

Magasabb rendu˝ deriváltak A kétszeri differenciálhatóság úgy is megfogalmazható, hogy az f : H ⊂ Rn → R valós értéku˝ függvény pontosan akkor differenciálható kétszer x0 -ban, ha létezik ε > 0, amelyre f differenciálható a B(x0 , ε) gömb minden pontjában és az f 0 : B(x0 , ε) ⊂ Rn → L(Rn , R) ' Rn ,

x 7→ f 0 (x)

függvény differenciálható x0 -ban. Itt L(Rn , R) az összes ϕ : Rn → R lineáris leképezések vektorterét jelenti, amely izomorf az Rn térrel.

Tétel (Young) Ha f : H ⊂ Rn → Rm kétszer differenciálható az x0 ∈ H pontban, akkor ˝ tetszoleges i, j ∈ {1, 2, . . . , n} esetén ∂j ∂i f (x0 ) = ∂i ∂j f (x0 )


Matematika II.

54 / 71

Magasabb rendu˝ deriváltak Az f : H ⊂ Rn → Rm függvény k + 1-szer differenciálható az x0 ∈ H belso˝ pontban, ha létezik ε > 0, amelyre f k -szor differenciálható a B(x0 , ε) gömb minden pontjában és a ∂i1 ∂i2 · · · ∂ik f

(1 ≤ i1 , i2 , . . . , ik ≤ n)

k -adrendu˝ parciális deriváltak differenciálhatók x0 -ban. Az f : H ⊂ Rn → Rm x0 -ban differenciálható függvény x0 -beli h ∈ Rn megváltozáshoz tartozó elso˝ differenciálja df (x0 , h) = f 0 (x0 )h Ez nem más mint a h irány menti derivált. Ha m = 1 (azaz f valósértéku) ˝ és h = (h1 , h2 , . . . , hn ), akkor df (x0 , h) =

n X

∂i f (x0 )hi .

i=1 Nagy Á. (Debrcenei Egyetem)

Matematika II.

55 / 71

Magasabb rendu˝ deriváltak Legyen f : H ⊂ Rn → R valós értéku˝ függvény (k + 1)-szer ˝ differenciálható x0 -ban. Ekkor d 1 f (x0 , h) = df (x0 , h) és tetszoleges k ∈ N esetén f x0 -beli h ∈ Rn megváltozáshoz tartozó (k + 1)-edik differenciálja d

k +1

f (x0 , h) =

n X i=1

k

∂i (d f (x0 ))hi =

n X

∂i1 ∂i2 · · · ∂ik +1 f (x0 )hi1 hi2 · · · hik +1

i1 ,...ik +1 =1

Tétel (Taylor) Legyen f : H ⊂ Rn → R (k + 1)-szer differenciálható az [x, x + h] ⊂ H szakasz pontjaiban. Ekkor létezik olyan t ∈]0, 1[, amelyre f (x +h) = f (x)+

df (x, h) d 2 f (x, h) d k f (x, h) d k +1 f (x + th, h) + +. . .+ + 1! 2! k! (k + 1)!


Matematika II.

56 / 71

Magasabb rendu˝ deriváltak Egy f : H ⊂ Rn → R x0 -ban kétszer differenciálható függvény esetén a h ∈ Rn 7−→ d 2 f (x0 , h) =

n X

∂i ∂j f (x0 )hi hj

i,j=1

hozzárendelés egy kavdaratikus formát ad az Rn téren, amelynek alapmátrixa   ∂1 ∂1 f (x0 ) ∂1 ∂2 f (x0 ) · · · ∂1 ∂n f (x0 ) ∂2 ∂1 f (x0 ) ∂2 ∂2 f (x0 ) · · · ∂2 ∂n f (x0 )     .. .. ..   . . . ∂n ∂1 f (x0 ) ∂n ∂2 f (x0 ) · · · ∂n ∂n f (x0 ) Ez a kvadratikus forma pontosan akkor pozitív/negatív definit, ha minden sajátértéke (szigorúan) pozitív/negatív. Továbbá akkor indefinit a fenti kavdratikus forma, ha egyaránt rendelkezik pozitív és negatív sajátértékkel is. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem)

Matematika II.

57 / 71

˝ Szélsoértékszámítás ˝ Tétel (lokális szélsoérték szükséges feltétele) Ha egy f : H ⊂ Rn → R x0 -ban differenciálható függvénynek lokális ˝ szélsoértéke van x0 -ban, akkor f 0 (x0 ) = 0.

˝ Tétel (lokális szélsoérték elegendo˝ feltétele) Ha az f : H ⊂ Rn → R függvény kétszer differenciálható x0 -ban, f 0 (x0 ) = 0 és d 2 f (x0 , h) pozitív/negatív definit, akkor f -nek x0 -ban (szigorú) lokális minimuma/maximuma van. Továbbá ha d 2 f (x0 , h) indefinit, akkor f -nek nincs szélso˝ értéke x0 -ban. ˝ Elofordulhat, hogy d 2 f (x0 , h) nem pozitív/negatív definit és nem is indefinit abban az esetben, ha a 0 sajátértéke és minden más ˝ u. sajátérték azonos elojel ˝ Ilyen esetben a fenti tétel alapján nem ˝ tudjuk eldönteni, hogy x0 lokális szélsoérték hely-e. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem)

Matematika II.

58 / 71

˝ Feltételes szélsoérték Legyen f : H ⊂ Rn+k → R és h : D → Rn . Azt mondjuk, hogy az f ˝ függvénynek az x0 ∈ D belso˝ pont lokális szélsoértékhelye a h(x) = 0 feltétel mellett, ha h(x0 ) = 0 és létezik ε > 0, amelyre ˝ tetszoleges x ∈ D ∩ B(x0 , ε), a h(x) = 0 feltételnek eleget tevo˝ pont esetén f (x) ≤ f (x0 ) (vagy f (x) ≥ f (x0 )) teljesül.

˝ Tétel (feltételes lokális szélsoérték szükséges feltétele) ˝ a Ha az f : H ⊂ Rn+k → R függvénynek x0 ∈ D lokális szélsoértékhelye h(x) = 0 feltételre nézve, továbbá f és h folytonosan differenciálhatók az x0 egy környezetében, akkor az alábbi két állítás közül pontosan az egyik igaz: 1

h0 (x0 ) mátrixának minden n-edrendu˝ aldeterminánsa 0,

2

léteznek λ1 , λ2 , . . . , λn valós számok, amelyekre az F : D → R,

F (x) = f (x) +

n X

λi hi (x)

i=1

függvény minden parciális deriváltja 0. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem)

Matematika II.

59 / 71

Görbék

Egy γ : [a, b] → Rn folytonos leképezés Γ ⊂ Rn értékkészletét Rn -beli görbének (pályának, vonalnak, ívnek) nevezzük. Magát a γ : [a, b] → Rn leképezést a görbe paraméterezésének nevezzük. Egy görbét többféleképpen is lehet paraméterezni. Például γ1 : [0, 4] → R2 ,

γ1 (t) = (t, t 2 )

γ2 : [0, 2] → R2 ,

γ2 (t) = (t 2 , t 4 )

ugyanannak a görbének két különbözo˝ paraméterezése. A görbét és annak egy paraméterezését együtt röviden parametrizált görbének nevezzük.


Matematika II.

60 / 71

Görbék Ha γ : [a, b] → Rn parametrizált görbe és θ : [c, d] → [a, b] szigorúan monoton, kölcsönösen egyértelmu˝ leképezés, akkor a γ ◦ θ : [c, d] → Rn parametrizált görbét a γ átparaméterezésének, θ-t pedig paraméter transzformációnak nevezzük. A θ paraméter transzformáció irányítástartó, ha szigorúan monoton ˝ növekvo˝ és irányításváltó, ha szigorúan monoton csökkeno. Egy γ : [a, b] → Rn parametrizált görbét egyszerunek ˝ nevezünk, ha injektív, azaz „a görbe nem metszi önmagát”, továbbá zártnak nevezzük, ha γ(a) = γ(b). Egy γ : [a, b] → Rn parametrizált görbét k -szor differenciálhatónak, illetve simának nevezünk, ha a γ leképezés k -szor differenciálható, illetve sima (azaz végtelen sokszor differenciálható) az ]a, b[ intervallumon. Sima/k -szor differenciálható parametrizált görbék bármely átparametrizálása esetén megköveteljük, hogy a paraméter transzformáció legyen sima/k -szor differenciálható. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem)

Matematika II.

61 / 71

Görbék Egy γ : [a, b] → Rn differenciálható parametrizált görbe t ∈ [a, b] pontbeli sebesség vektora vγ (t) = γ 0 (t) = γ10 (t), γ20 (t), . . . , γn0 (t) a t ∈ [a, b] pontbeli sebessége pedig kvγ (t)k = kγ 0 (t)k. Egy γ : [a, b] → Rn kétszer differenciálható parametrizált görbe t ∈ [a, b] pontbeli gyorsulás vektora aγ (t) = vγ0 (t) = γ 00 (t) = γ100 (t), γ200 (t), . . . , γn00 (t) a t ∈ [a, b] pontbeli gyorsulása pedig kaγ (t)k = kγ 00 (t)k. Egy γ : [a, b] → Rn folytonosan differenciálható parametrizált görbét regulárisnak nevezünk, ha bármely t ∈ [a, b] esetén γ 0 (t) 6= 0.


Matematika II.

62 / 71

Görbék ˝ Az [a, b] intervallum tetszoleges P = {t0 , t1 , . . . , tm } felosztása esetén képzhetjük az n X d(γ(ti ), γ(ti−1 )) s(γ, P) = i=1

összeget. A γ : [a, b] → Rn parametrizált görbét rektifikálhatónak nevezzük, ha a s(γ, P) P felosztása [a, b]-nek ˝ korlátos. Egy rektifikálható γ görbe ívhosszán az halmaz felülrol L(γ) = sup s(γ, P) P felosztása [a, b]-nek valós számot értjük.


Matematika II.

63 / 71

Görbék Ha a γ : [a, b] → Rn parametrizált görbe folytonosan differenciálható, akkor Zb

L(γ) = γ 0 (t) dt a

Megmutatható, hogy egy görbe ívhossza független a ˝ Egy γ : [a, b] → Rn parametrizált görbét paraméterezésétol. ívhosszparaméterezettnek nevezünk, ha minden s ∈ [a, b] esetén Zs s=

0

γ (t) dt,

a

˝ azaz s mindig megadja a görbének a kezdoponttól a γ(s) pontig tartó szakaszának ívhosszát. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem)

Matematika II.

64 / 71

Görbe menti integrál Legyen γ : [a, b] → Rn folytonosan differenciálható parametrizált görbe. Ekkor egy f : Rn → R folytonos skalárfüggvény γ görbe menti integrálja Z Zb

f = f (γ(t)) · γ 0 (t) dt, a

γ

továbbá egy f :

Rn

→

Rn

vektormezo˝ γ görbe menti integrálja Zb

Z f = γ

f (γ(t)), γ 0 (t) dt.

a

Egy egyszeresen összefüggo˝ D ⊂ Rn tartományon értelmezett ˝ konzervatívnak nevezünk, ha bármely D-ben futó zárt vektormezot görbe menti integrálja 0. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem)

Matematika II.

65 / 71

˝ Konzervatív vektormezok Egy f : D ⊂ Rn → Rn vektormezo˝ pontosan, akkor konzervatív, ha bármely x, y ∈ D pontok és a pontokat összeköto˝ bármely két γ1 és γ2 görbe esetén Z Z f = γ1

f. γ2

˝ potenciálosnak nevezünk, ha Egy f : H ⊂ Rn → Rn vektormezot ˝ amelyre F 0 (x) = f (x) létezik olyan F : H ⊂ Rn → R skalármezo, teljesül minden x ∈ H esetén. Ekkor F -et potenciálfüggvénynek vagy primitív függvénynek nevezzük.

Tétel Legyen D ⊂ Rn egyszeresen összefüggo˝ tartomány. Ekkor az f : D ⊂ Rn → Rn vektormezo˝ pontosan akkor konzervatív, ha potenciálos. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem)

Matematika II.

66 / 71

˝ Konzervatív vektormezok Tétel (Newton-Leibniz formula) Ha D ⊂ Rn egyszeresen összefüggo˝ tartomány, és az f : D ⊂ Rn → Rn vektormezo˝ potenciálfüggvénye F : D ⊂ Rn → R, akkor bármely D-ben futó γ : [a, b] → D parametrizált görbe esetén Z f = F (γ(b)) − F (γ(a)). γ

Tétel Az f : D ⊂ Rn → Rn , f = (f1 , f2 , . . . , fn ) vektormezo˝ pontosan akkor potenciálos, ha bármely x ∈ D és bármely i, j ∈ {1, 2, . . . , n} esetén ∂i fj (x) = ∂j fi (x). Nagy Á. (Debrcenei Egyetem)

Matematika II.

67 / 71

Vektoriális szorzás ˝ A 3-dimenziós R3 térben értelmezheto˝ tetszoleges két v , w ∈ R3 vektor vektoriális szorzata: v × w. A v × w vektoriális szorzat olyan vektor, amelyre ˝ hv × w, v i = hv × w, wi = 0, azaz v × w meroleges a v és w vektorokra kv × wk = kv k · kwk · sin α (v , w, v × w) jobbsodrású vektorrendszert alkotnak. Ha v = (v1 , v2 , v3 ) és w = (w1 , w2 , w3 ) az (e1 , e2 , e3 ) természetes bázisra vonatkozóan, akkor e1 e2 e3 v2 v3 v1 v3 v1 v2 v × w = v1 v2 v3 = e1 − w1 w3 e2 + w1 w2 e3 w w 2 3 w1 w2 w3


Matematika II.

68 / 71

Vektoriális szorzás

Mivel kv × wk = kv k · kwk · sin α, ezért könnyen látható, hogy ˝ azaz v × w = 0 pontosan akkor teljesül, ha v és w lineárisan függok, egyik a másiknak skalárszorosa (beleértve azt is, hogy valamelyik, vagy mindkét vektor 0). Ha v és w lineárisan függetlenek, akkor kv × wk megadja a v és w által kifeszített paralelogramma területét.


Matematika II.

69 / 71

Felületek Egy r : [a, b] × [c, d] → Rn folytonos, injektív leképezést Rn -beli parametrizált felületnek, az értékkészletét pedig röviden felületnek nevezzük. Az r : [a, b] × [c, d] → R3 térbeli parametrizált felületre akkor mondjuk, hogy reguláris, ha folytonosan differenciálható és ∂1 r (s, t) × ∂2 r (s, t) 6= 0. Egy térbeli, reguláris r : [a, b] × [c, d] → R3 parametrizált felület ˝ felszíne a következoképp számolható: Zb Zd k∂1 r (s, t) × ∂2 r (s, t)k dt ds

A(r ) = a


c

Matematika II.

70 / 71

Felületei integrálás A görbékhez hasonlóan felületek esetén is értlemezhetünk felületi integrálokat a felszínmérték segítségével. Legyen r : [a, b] × [c, d] → R3 reguláris parametrizált felület. Ekkor egy f : R3 → R folytonos skalárfüggvény felületi integrálja Zb Zd

Z

f (r (s, t)) k∂1 r (s, t) × ∂2 r (s, t)k dt ds,

f = r

a

c

továbbá egy F : R3 → R3 vektormezo˝ felületi integrálja Zb Zd

Z

hF (r (s, t)), ∂1 r (s, t) × ∂2 r (s, t)i dt ds.

F = r

a


c

Matematika II.

71 / 71

71

Recommend Documents