67) Čtyři Maxwellovy rovnice v nestacionárním poli – obecná časová závislost Zobecněný Ampérův zákon Faradayův indukční zákon
Gaussova věta
dψ ∫l H d l = I + d t
∂D rot H = J + ∂t
dφ ∫l E. d l = − d t
∂B rot E = − ∂t
∫∫ D d S = Q0
div D = ρ 0
∫∫ B d S = 0
div B = 0
S
S
d ∫ E . d l = − ( B ⋅ ∆S ) dt l d ∫l E. d l = − d t ( Bn ⋅ ∆Sn ) rot n E = lim
∆S → 0
∫ E. d l l
∆S n
d Bn =− dt
E. d l E. d l E . d l rot E = rot x E , rot y E , rot z E = lim l , lim l , lim l ∆S x →0 ∆S x ∆S y →0 ∆S y ∆S z →0 ∆S z
(
)
∫
∫
∫
∂E y ∂E z ∂E y ∂E z ∫l E. d l = E y d y + Ez + ∂y d y d z − E y + ∂z d z d y − Ez d z = ∂y − ∂z d y d z
∂E z ∂E y ∫l E. d l ∂y − ∂z d y d z ∂E z ∂E y rot x E = lim = − = ∆S x →0 ∆S ∂z d yd z x ∂y
68) Obecná vlnová rovnice pro intenzitu elektrického pole mimo oblast zdrojů
J = σ ⋅E
D =ε ⋅E
∂D ∂E rot H = J + = σ .E + ε ∂t ∂t B = µ⋅H
∂B ∂H rot E = − = −µ ∂t ∂t
2 ∂ ∂ E E 2 ∇ E − µσ − µε 2 = 0 ∂t ∂t
69) Energetická bilance elektromagnetického pole – Poyntingův teorém
Výkon vstupující obalovou plochou S do objemu V
Výkon který se přeměňuje v teplo
Výkon podílející se na zvýšení energie elektromagnetickéh o pole
∂W − ∫∫ ( E × H ) ⋅ d S = ∫∫∫ E ⋅ J . d V + ∂t S V
70) Poyntingův vektor
Poyntingův vektor – vektor jehož směr souhlasí se směrem toku energie a velikost je rovna plošné hustotě výkonu
S = E×H
71) Podmínky na rozhraní pro tečné složky v nestacionárním poli
dψ ∫l H d l = I + d t
S
dφ ∫l E. d l = − d t
φ = ∫∫ B ⋅ d S S
I = ∫∫ J ⋅ d S S
S → 0 ⇒ I ,ψ ,φ → 0
ψ = ∫∫ D ⋅ d S S
H1t = H 2t B 1t µ1 = B 2t µ2
E 1t = E 2t Podmínky na rozhraní jsou stejné jako ve stacionárním poli !
D 1t ε = 1 D 2t ε2
72) Podmínky na rozhraní pro normálové složky v nestacionárním poli
∫∫ Β d S = 0 S
∫∫ D d S = Q0 S
D2n −D1n = σ0
B1n = B2 n
σ0 = 0 H1n µ 2 = H 2 n µ1
Podmínky na rozhraní jsou stejné jako ve stacionárním poli !
D1n =D2n
E 1n ε 2 = E 2n ε1
73) Rovnice kontinuity pro volné náboje a proudy v nestacionárním poli
Součet proudů, které vtékají a vytékají plochou uzavřenou kolem určitého objemu, se projeví jako časová změna náboje obsaženého v tomto objemu.
dQ ∫∫ J ⋅ dS = − dt S
dρ div J = − dt
74) Zápis časového průběhu pomocí fázorů, zápis časových derivací
E x sin(ωt +ϕ 0) = Im(E x e jϕ0 e jωt ) = Im(Ε x e jωt ) = Im(Ε x−rot ) fázor
Ε x = Ex e
Rotující fázor
jϕ 0
Ε x − rot = Ε x e jωt = E x e jϕ 0 e jωt
[
]
d [E x sin(ωt +ϕ 0 )] = Im jω ⋅ ( E x e jϕ 0 e jωt ) = Im[ jω ⋅ Ε x −rot ] dt 2 [ ] [ ] [ E sin( ω t + ϕ ) = Im j ω ⋅ j ω ⋅ Ε = Im − ω Ε x −rot ] x x − rot 0 2
d2 dt
75) Maxwellovy rovnice pro harmonicky proměnné nestacionární pole
Pro harmonické průběhy jsou vektory z obecných časových rovnic nahrazeny fázory vektorů, silový a magnetický tok je nahrazen fázorem toku, časové derivace jsou nahrazeny součinem jω
Zobecněný Ampérův zákon
Faradayův indukční zákon
∫ H d l = I + jωψ
rot H = J + jωD
∫ E. d l = − jωφ
rot E = − jωB
l
l
76) Vlnová rovnice pro intenzitu elektrického pole mimo oblast zdrojů, harmonicky proměnné veličiny, zápis pomocí fázorů 2 ∂ E ∂ E 2 − µε 2 = 0 ∇ E − µσ ∂t ∂t
Obecná vlnová rovnice mimo oblast zdrojů
∇ 2E − jωµσ E + ω 2 µε E = 0 Vlnová rovnice pro harmonické průběhy
∇ 2E + k 2E = 0
Konstanta šíření
k 2 = − jωµ (jωε + σ )
77) Časová střední hodnota energie elektrického a magnetického pole zapsaná pomocí fázorů
78) Rovinná harmonická elektromagnetická vlna
Ex (z )
E má složku pouze ve směru osy x a ta je pouze funkcí z (rovinné vlnoplochy)
Ey , Ez = 0
E x ≠ f ( x, y ) k 2 = − jωµ (jωε + σ )
2
2
∇ E+k E = 0 d 2 Ex (z ) 2 + k ⋅ Ex (z ) = 0 2 dz
E x ( z ) = C1 e + j k z + C2 e − j k z
Vlna ve směru -z Vlna ve směru +z
Ex (z ) Ey , Ez = 0
E x ≠ f ( x, y )
H y (z ) H x , H z = 0
H
y
≠ f (x , y )
79) Orientace E a H, směr šíření rovinné vlny
Ex (z ) Ey , Ez = 0
E x ≠ f (x , y )
rot E = − jωµH H y (z ) H x , H z = 0
H
y
≠ f (x , y ) Tok výkonu
S = E× H
80a) Zápis fázoru E rovinné harmonické elektromagnetické vlny
E x (z ) = C1 e + j k z + C2 e − j k z = E0 e − j k z = Em e −α ⋅ z e jϕo e − j⋅β ⋅z Neuvažujeme odraženou vlnu
Fázor v bodě z=0
E x ( z = 0) = C1 e + j k ( z =0) = E0 = Em e jϕ0
Konstanta šíření
k 2 = − jωµ (jωε + σ ) Amplituda intenzity elektrického pole
k = − jωµ (jωε + σ ) = β − jα Fáze E v bodě z=0
80b) Zápis fázoru H rovinné harmonické elektromagnetické vlny
Ex (z) Em e jϕo e−α⋅ze− jβ⋅z j(ϕo −ϕz ) −α⋅z − jβ⋅z − jk⋅z Hy (z) = = = H e e e = H e m 0 jϕz Z Ze
Vlnová impedance
Z = Z ⋅e
jϕz
Amplituda intenzity magnetického pole
Em Hm = Z
Fázor v bodě z=0
H y ( z = 0) = H 0 = H m e j (ϕo −ϕ z )
81) Zápis okamžité hodnoty E a H rovinné harmonické elektromagnetické vlny
(
)
E x (z, t ) = Im E x ( z ) e jω t = Em e −α ⋅z sin(ω ⋅ t − β ⋅ z + ϕo ) Fázor E
E x ( z ) = Em e −α ⋅ z e jϕo e − j⋅β ⋅ z
(
)
H y ( z, t ) = Im H y ( z ) e jω t = H m e −α ⋅z sin(ω ⋅ t − β ⋅ z − ϕ z + ϕo ) Fázor H
Hy (z) = Hm e j(ϕo−ϕz )e−α⋅ze− jβ⋅z
81b) Časový průběh veličiny E ve dvou místech : z=0 a z=z1
81c) Časový průběh veličiny E a H ve místě : z=0
Ex X Z
Hy
Z=0
Y
λ
Z=Z1
Z=Z2
82) Konstanta šíření
d 2 Ex (z ) 2 + k ⋅ Ex (z ) = 0 2 dz λ2 + k2 = 0
k = − jωµ (jωε + σ ) 2
λ 1,2 = ± j k
E x ( z ) = C1 e + j k z + C2 e − j k z
Měrný útlum
k = − jωµ (jωε + σ ) = β − jα Konstanta šíření
Fázová konstanta
83) Vlnová délka a fázová rychlost
λ=
2π
β
ω vf = β
Vlnová délka je nejmenší vzdálenost dvou míst, ve kterých veličiny elektromagnetického pole kmitají se stejnou fází
Fázová rychlost je rychlost – se kterou se pohybují místa s konstantní fází – rovinné vlnoplochy
ω vf = β
84) Skupinová rychlost
vsk
dω = dβ
85) Co je a jak je definována vlnová impedance v obecném prostředí Vlnová impedance je komplexní veličina, která udává vztah mezi fázorem intenzity elektrického a magnetického pole
Ex ωµ jϕ z Z= = Ze = = Hy k Absolutní hodnota udává podíl amplitud
Em Z= Hm
jωµ jωε + σ
Argument udává fázové zpoždění H za E
86) Výkon přenášený rovinnou vlnou plochou 1m2 Výkon přenášený jednotkou plochy je charakterizován Poyntingovým vektorem S
S = E×H
S z ( z, t ) = E x ( z, t ) H y ( z, t )
okamžitý výkon Střední výkon
π S = S z = E H cos(α ) = E x H y cos = E x H y 2
2 E 1 1 m S stř ( z ) = Em H m e − 2α z cos(ϕ z ) = e − 2α z cos(ϕ z ) 2 Z 2
Střední výkon zapsaný pomocí fázorů
[
1 S stř ( z ) = Re E x ( z )H y ( z )* 2
]
87) Výkon přeměněný v teplo, bilance činného výkonu Výkon přeměněný v teplo v jednotce objemu
1 pϑ ( z ) = σ Em 2 2
Objem V
Vstupující výkon
Výkon přeměněný v teplo
Vystupující výkon
S stř ( z = 0 ) − S stř ( z = z1 ) =
∫∫∫ V
(
p ϑ d V = A = 1m 2
z1
)∫ pϑ ( z ) d z 0
88) Konstanta šíření v ideálním dielektriku
ωε >> σ
k = − jωµ (jωε + σ ) = β − jα k = ω µε = β − jα
β = ω µε =
ω c
εr
α =0 Vlna se netlumí
89) Vlnová délka a fázová rychlost v ideálním dielektriku
Rychlost světla
λ=
2π
β
=
2π
ω µε
=
c f εr
c ω ω vf = = = β ω µε εr
Ve vzduchu
c λ= f
Ve vzduchu
vf = c
90) Vlnová impedance v ideálním dielektriku
ωε >> σ Z=
jωµ jωε + σ
µ jϕ z Z= = Ze ε µ Z= ε
Ve vzduchu
Z = 120π
ϕz = 0 E a H je ve fázi
91) Konstanta šíření v dobrém vodiči
ωε << σ
k = − jωµ (jωε + σ ) = β − jα ωµ σ
k = − jωµ σ = (1 − j)
β =α =
2
ωµ σ 2
= β − jα
92) Vlnová impedance v dobrém vodiči
ωε << σ Z=
Z= ωµ Z= σ
jωµ
σ
jωµ jωε + σ π
ωµ j 4 jϕ z = e = Ze σ ϕz =
π 4
úhel, o který E předbíhá H
93) Typy polarizace elektromagnetické vlny Polarizace udává orientaci vektoru intenzity elektrického pole E v prostoru Lineární – koncový bod vektoru E obíhá po přímce
Polarizace
S ohledem na orientaci vektoru E vůči rovině země
horizontální
vertikální
kruhová – koncový bod vektoru E obíhá po kružnici levotočivá, pravotočivá eliptická – koncový bod vektoru E obíhá po elipse
94) Podmínky vytvoření vlny lineárně, kruhově a elipticky polarizované Superpozicí dvou lineárně polarizovaných vln geometricky natočených o úhel ψ=π/2 (např. Ex, Ey) a fázově posunutých o úhel ϕ dostaneme: Ex, Ey=0,ϕ=0
lineárně polarizovaná, přímka ve směru x
Ex=0, Ey,ϕ=0
lineárně polarizovaná, přímka ve směr y
Ex, Ey ,ϕ=0
lineárně polarizovaná, přímka v libovolném směru
Ex=Ey ,ϕ= π/2
Kruhově polarizovaná
Ex≠Ey ,ϕ= π/2
elipticky polarizovaná, osa elipsy ve směru x (y)
Ex≠Ey ,ϕ∈(0,π/2)
elipticky polarizovaná, osa elipsy v libovolném směru
lineárně polarizovaná přímka ve směru x
x
Ex
y
lineárně polarizovaná
x
přímka ve směr y
Ey
y
lineárně polarizovaná
x
Ex
Ey
y
lineárně polarizovaná přímka v libovolném směru
x
Ex
Ey
y
Kruhově polarizovaná
x
Ex Ey
y
elipticky polarizovaná
x
Ex Ey
y
elipticky polarizovaná
x
Ex Ey
y
elipticky polarizovaná
x
Ex Ey
y
95) Povrchový jev – proud tekoucí poloprostorem Ep,Hp fázory intenzity elektrického a magnetického pole na povrchu vodiče
Fázor celkového proudu, který teče pásem širokým 1m ve spodním poloprostoru
I=
∫∫
∞
J x (z) dS = (h = 1) σ Ep .e − j k z d z =
∫
z =0
S
σ Ep σ Ep = (1 − j) (1 + j)α 2α
Amplituda celkového proudu, který teče pásem širokým 1m ve spodním poloprostoru
Im =
σ Ep α 2
96) Co je jak je definována hloubka vniku?
Hloubka vniku je vzdálenost, na které se utlumí amplituda veličin elektromagnetického pole e-1 x
e
−α . z
=e
δ=
1
α
−1
97) Povrchová impedance – frekvenční závislost
Z=
Ep Hp
= (1 + j)
Efektivní odpor pásu vodiče o šířce h=1m a délce l=1m a tloušťce δ
Vnitřní indukčnost pásu vodiče o šířce h= 1m, délce l=1m a tloušťce δ
1
σδ
= Ref + jωLi
Ref =
1
σδ ωµσ
µ α 2 Li = = = = 2 2 2ωσ ωσδ ωσ ω σ 1
Amplituda celkového proudu spodním poloprostorem v pásu o jednotkové šířce
Im
Ztráty v pásu jednotkové šířky a délky na vodiči počítané pomocí efektivního odporu jsou ekvivalentní skutečným celkovým ztrátám
1 2
∆P = Ref I m 2
2
σ ⋅ Ep 1 1 σ ⋅ Ep = = 2 σδ 2 ⋅ α 4α
2
Ztráty v pásu jednotkové šířky a délky na vodiči počítané pomocí Jouleových ztrát ∞
2 ⋅ E σ 1 1 p 2 − 2α ⋅ z 2 ∆P = ∫∫∫σ ⋅ E d V = ∫ σ ⋅ E p e dz = 2 2 4α V z =0
98) Vlna TEM na vedení U symetrického homogenního dvojvodičového vedení (koaxiální kabel, symetrická dvoulinka) může vzniknout elektromagnetická vlna šířící se po vedení, která má obraz pole jako na obrázku. Siločáry elektrického a magnetického pole jsou navzájem kolmé linie, které jsou navíc kolmé na směr šíření vlny po vedení.
Vlna TEM na vedení
V tomto případě mluvíme o vlně TEM na vedení, což znamená: T … směr veličiny pole transverzální = kolmý ke směru šíření vlny E … veličiny elektrického pole jsou kolmé na směr šíření M … veličiny magnetického pole jsou kolmé na směr šíření Tato klasifikace je zvolena proto, že ve vlnovodech i na koaxiálních vedeních mohou vzniknout vlny i s jiným obrazem pole, například typ TE (intenzita elektrického pole má složky pouze ve směru kolmém na směr šíření, intenzita magnetického pole má i složku ve směru šíření vlny) a vlna TM.
99) Vlnová rovnice pro časové proměnné napětí a proudy, vlna TEM na vedení
u (z , t ) − u (z + d z , t ) − u R − u L = 0 ∂u (z , t ) ∂i (z , t ) + R ⋅ i (z , t ) + L ⋅ =0 ∂z ∂t Obecný časový průběh veličin Harmonický průběh veličin fázorová rovnice
i (z , t ) − i (z + d z , t ) − iG − iC = 0
∂i ( z , t ) ∂u ( z , t ) + G ⋅ u (z , t ) + C ⋅ =0 ∂z ∂t
∂u 2 (z , t ) ∂u 2 (z , t ) ∂u (z , t ) − RG ⋅ u (z , t ) − ( LG + RC ) − LC =0 2 2 ∂t ∂z ∂t
d U 2 (z ) − (R + jω ⋅ L ) ⋅ (G + jω ⋅ C )U (z ) = 0 2 dz
100) Řešení telegrafní rovnice pomocí fázorů
d U 2 (z ) − (R + jω ⋅ L ) ⋅ (G + jω ⋅ C )U (z ) = 0 2 dz Konstanta šíření na vedení
γ 2 = (R + jω ⋅ L ) ⋅ (G + jω ⋅ C )
d U 2 (z ) d z2
γ = α + jβ =
(R + jω ⋅ L ) ⋅ (G + jω ⋅ C )
-γ 2 ⋅U (z ) = 0
U (z ) = C1 ⋅ e − γ⋅ z + C 2 ⋅ e + γ⋅ z = C1 ⋅ e − (α + j β )⋅ z + C 2 ⋅ e + (α + j β )⋅ z 14 4244 3 144244 3 smer + z
smer − z
Stanovení konstant v obecné rovnici pro vlnu na vedení Pro stanovení konstant je třeba znát fázor napětí (nebo proudu) v jednom bodě, bude-li tímto bodem konec vedení, potom
U K + Z 0 I K + γ ⋅l C1 = e 2
C2 =
U K − Z 0 I K − γ ⋅l e 2
U (z ) = C1 ⋅ e −γ ⋅ z + C 2 ⋅ eγ ⋅ z 1424 3 1 424 3 smer + z
smer − z
U K + Z 0 I K γ ⋅ (l − z ) U K − Z 0 I K − γ ⋅ (l − z ) ⋅e + ⋅e U (z ) = 2 2 Fázor napětí a proudu v libovolném místě o vzdálenosti z od začátku vedení
U (z ) = U K ⋅ cosh(γ ⋅ (l − z )) + Z 0 I K ⋅ sinh(γ ⋅ (l − z )) I (z ) = I K
Uk ⋅ cosh( γ ⋅ ( l − z )) + ⋅ sinh( γ ⋅ ( l − z )) Z0
101) Konstanta šíření po vedení
γ = α + jβ =
(R + jω ⋅ L ) ⋅ (G + jω ⋅ C )
Ideální bezeztrátové vedení
R = 0, G = 0
γ = α + j β = jω LC
Nezkreslující vedení,konstantní fázová rychlost
R G = L C
γ = α + j β = RG + jω LC
α = RG
α =0 !
β = ω LC = ω µ ⋅ ε
!
β = ω LC = ω µ ⋅ ε
102) Charakteristická impedance vedení
U + ( z) U − ( z) Z0 = = I + ( z) I − ( z) R + jω ⋅ L R + jω ⋅ L Z0 = = γ G + jω ⋅ C Ideální bezeztrátové vedení
R = 0, G = 0
L Z0 = C
Nezkreslující vedení,konstantní fázová rychlost
R G = L C
R L Z0 = Z0 = = G C
103) Charakteristická impedance koaxiálního vedení Pro ideální bezeztrátové vedení i nezkreslující vedení
µ0 b L= ln 2π a 2πε 0ε r C= b ln a
b εr
a
L b 1 = 60 ln Z0 = C a εr
104) Vlnová délka a fázová rychlost vlny TEM na ideálním vedení U každého symetrického dvouvodičového vedení platí
LC = µε
Vlnová délka
2π
c 2π 2π λ= = = = β ω LC ω µε f ε r
Fázová rychlost
c ω ω ω vf = = = = = konst ≠ f (ω) β ω LC ω µε εr
105) Impedance na vstupu bezeztrátového vedení Je-li vedení o délce l a charakteristické impedanci Z 0 zatíženo na konci impedancí zátěže Zk , bude se ze vstupní strany jevit jako impedance o velikosti Zp
Z p = Z0
Z K + j Z 0 tan( β ⋅ l ) Z 0 + j Z K tan( β ⋅ l )
λ=
β=
ZK = Z0
2π
β
λ
l Z 0 + j Z K tan(2π ⋅ )
λ
2π
λ
Z p = Z K = Z 0 ≠ f (l )
Přizpůsobené vedení
Zp = Z0
l Z K + j Z 0 tan(2π ⋅ )
l=n
λ 2
Zp = ZK
Hodnoty se opakují s násobky λ/2
106) Impedance na vstupu bezeztrátového vedení spojeného na konci nakrátko nebo rozpojeného Vedení nakrátko
Zp = Z0
Z K + j Z 0 tan( 2π ⋅ Z 0 + j Z K tan( 2π ⋅
ZK = 0
l
λ l
λ
Vedení naprázdno
) )
ZK → ∞ Zp = − j
l
Z p = j Z 0 tan(2π ⋅ )
λ
l=
l=
λ 8
λ 4
3 l= λ 8
l=
λ 2
l=
Zp → ∞
l=
Zp = 0
l tan(2π ⋅ )
λ
Zp = j Z0
Zp = − j Z0
Z0
λ 8
λ
4 3 l= λ 8 l=
λ 2
Zp = − j Z0 Zp → 0 Zp = j Z0 Zp → ∞
