6
Ordinální informace o kritériích Ordinální informací o kritériích se rozumí jejich uspořádání podle důleži-
tosti. Předpokládejme dále standardní značení jako v předchozích cvičeních. Existují tři základní metody, jak se znalostmi ordinálních informací pracovat – lexikografická metoda, permutační metoda a metoda ORESTE.
6.1
Lexikografická metoda
• Metoda je v zásadě velmi jednoduchá a princip řazení variant je velmi
podobný principu řazení slov ve slovníku (proto lexikografická metoda).
• Nejprve seřadíme kritéria podle důležitosti od nejdůležitějšího po nejméně důležité.
• Potom začneme varianty z množiny A = {a1 , a2 , . . . , ap } hodnotit podle jednotlivých kritérií (v pořadí důležitosti).
• Vybereme ty varianty z množiny A, které podle nejdůležitějšího kritéria
dosahují maximální hodnoty, a vytvoříme z nich množinu A(1) , A(1) ⊂ A.
• Z množiny A(1) vybereme ty varianty, které dosahují maximální hodnoty
pro druhé kritérium a vytvoříme tak množinu A(2) , A(2) ⊂ A(1) . Tímto
způsobem pokračujeme, dokud není množina A(n) jednoprvková.
• Prvek takovéto jednoprvkové množiny je považován za optimální variantu.
• Pokud bychom prošli všechna kritéria a množina A(k) by měla více než jeden prvek, jsou varianty z A(k) považovány za rovnocenné. V takovém případě vybereme libovolnou z nich za kompromisní variantu. • Nevýhodou této metody je skutečnost, že se nepřihlíží k hodnotám dosaženým podle dalších kritérií.
• Ukažme si praktické použití této metody na příkladu s Upírem.
1
Upír – lexikografická metoda Předpokládejme, že vyhledáváme vhodnou oběť podle 9 kritérií, která jsme si představili v předchozích cvičeních. Ohodnotili jsme důležitost jednotlivých kritérií a dospěli k výsledku, který jsme používali pro metodu pořadí (při určování vah). kritérium
i
pořadí
ČES
1
9
VUP
2
2
KPR
3
3
KOS
4
6
KS
5
7
OS
6
1
FIN
7
8
VOR
8
4
VĚK
9
5
Předpokládejme opět 10 možných obětí. Kriteriální matice (všechna kritéria maximalizační) vypadá tedy následovně:
121 5 80 3 4 1 19 9 15
148 6 68 3 3 1 21 7 20 107 3 72 3 3 1 22 6 6 150 6 91 2 3 1 30 9 12 110 3 40 1 2 0 18 8 0 118 4 40 1 3 1 14 7 10 109 5 37 2 4 1 15 2 7 111 3 62 3 2 0 19 3 14 113 4 90 1 3 1 18 7 2 121 3 48 2 4 1 20 2 13
• Nejdůležitější je šesté kritérium – OS, j = 6. • Pro šesté kritérium nabývají varianty nejvyšší hodnoty 1. • Vybereme tedy všechny varianty, pro které yi6 = 1, a získáme tak množinu A(1) = {a1 , a2 , a3 , a4 , a6 , a7 , a9 , a10 }. 2
• Druhým v pořadí je druhé kritérium – VUP, j = 2. • Pro druhé kritérium nabývají varianty nejvyšší hodnoty 6. • Vybereme tedy z A(1) všechny varianty, pro které yi2 = 6, a získáme tak množinu A(2) = {a2 , a4 }.
• A pokračujeme dále. Třetím v pořadí je třetí kritérium – KPR, j = 3. • Pro třetí kritérium nabývají varianty nejvyšší hodnoty 91. • Vybereme tedy z A(2) všechny varianty, pro které yi3 = 91, a získáme tak množinu A(3) = {a4 }.
• Vzhledem k tomu, že množina A(3) obsahuje jen jeden prvek a sice čtvrtou oběť v pořadí, zvolíme tuto variantu za optimální.
• Pozn.: Pro každé kritérium hledáme nejvyšší hodnotu mezi variantami ve výběru, nikoliv mezi variantami v původní množině.
• Lexikografickou metodou lze samozřejmě najít nejen nejlepší variantu, ale také varianty uspořádat. V našem případě by byl konečný výsledek: a4 , a2 , a1 , a7 , a9 , a6 , a3 , a10 , a8 , a5 .
6.2
Permutační metoda
Připomeňme, že i u této metody je třeba znát pořadí důležitosti jednotlivých kritérií. Dále si připomeňme, že počet permutací p variant a1 , a2 , . . . , ap je p!, což je zásadní nevýhoda této metody. V praxi je totiž použitelná opravdu jen pro malý počet variant. Vezměme v úvahu, že pro 1 variantu existuje jediná permutace, pro dvě varianty jsou permutace dvě, pro tři varianty jich je šest a pro 4 varianty je pormutací 24, což je tak maximum, které je člověk ještě ochoten v ruce počítat. Pro pět variant existuje 120 permutací, pro šest 720 permutací, . . . Už pro deset variant je permutací přes 3,6 milionů, což je dost už i na čekání u počítače. 6.2.1
Permutační metoda se znalostí vah
• Pro tuto část potřebujeme znát váhy, proto je odhadneme např. metodou pořadí, kterou jsme se již zabývali v prvním cvičení. 3
• Pro každou permutaci určíme pro každou dvojici (ai , aj ) všechna kritéria, pro která je ai preferováno před aj , či kde platí indiference.
• Množinu indexů těchto kritérií označíme Iij . • Pro každé (ai , aj ) stanovíme hodnotu cij =
P
vh .
h∈Iij
• Z hodnot cij sestavíme pro každou permutaci matici C. • Kompromisní (optimální) pořadí jednotlivých variant pak vybereme podle P P permutace, pro kterou je výraz R = cij − cij maximální. i<j
i>j
• Ukažme si metodu opět na příkladu s Upírem. Upír – permutační metoda Vzhledem k tomu, že pro 6 variant bychom museli dělat 720 výpočtů, omezíme množinu variant na první tři oběti. Počítat budeme se všemi devíti kritérii. Máme tedy kriteriální matici se všemi kritérii maximalizačními:
121 5 80 3 4 1 19 9 15 148 6 68 3 3 1 21 7 20 107 3 72 3 3 1 22 6 6 Metodou pořadí pak získáme následující váhy uvedené v tabulce: kritérium 1 2 3 4 5 6 7 8 9 váhy
0.02 0.17 0.17 0.09 0.07 0.20 0.04 0.13 0.11
Nejprve určíme množinu indexů kritérií, pro která je ai alespoň tak dobrá jako aj , tzn. ai P aj či ai Iaj . i j 1 2 3 4 5
6
7
8
9
Iij I12 = {3, 4, 5, 6, 8}
1 2
-
-
+ +
+ +
-
+
-
1 3
+ +
+ +
+ +
-
+
2 1
+ +
-
+
-
+
+
-
+ I13 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9}
2 3
+ +
-
+
+ +
-
+
3 1
-
-
+
+ +
+
-
-
+ I21 = {1, 2, 4, 6, 7, 9}
+ I23 = {1, 2, 4, 5, 6, 8, 9} -
I31 = {4, 5, 6, 7}
3 2 - - + + - + + - - I32 = {3, 4, 6, 7} Nyní spočítáme jednotlivé hodnoty cij . Poznamenejme, že hodnoty cii nejsou pro konečný výpočet důležité, proto cii = 0, pro všechna i. Nyní vypočítáme zbývajících šest hodnot cij : 4
c12 = c13 = c21 = c23 = c31 = c32 =
P
h∈I P11
h∈I P13
h∈I P21
h∈I P23
h∈I P31
vh = v3 +v4 +v5 +v6 +v8 = 0.17+0.09+0.07+0.20+0.13 = 0.66 vh = v1 + v2 + v3 + v4 + v5 + v6 + v8 + v9 = 0.96 vh = v1 + v2 + v4 + v6 + v7 + v9 = 0.63 vh = v1 + v2 + v4 + v5 + v6 + v8 + v9 = 0.79 vh = v4 + v5 + v6 + v7 = 0.40 vh = v3 + v4 + v6 + v7 = 0.50
h∈I32
Nyní již zbývá jen sestavit matice C a spočítat výrazy R =
P
i<j
cij −
P
i>j
cij .
Všimněme si, že výraz R je součtem hodnot nad diagonálou matice C mínus součet hodnot pod diagonálou téže matice. 0 0.66 0.96 • P1 = {a1 , a2 , a3 } =⇒ C1 = 0.63 0 0.79 0.40 0.50 0 R1 = (0.66 + 0.96 + 0.79) − (0.63 + 0.40 + 0.50) = 0.88 0 0.96 0.66 • P2 = {a1 , a3 , a2 } =⇒ C2 = 0.40 0 0.50 0.63 0.79 0 R2 = (0.96 + 0.66 + 0.50) − (0.40 + 0.63 + 0.79) = 0.30 0 0.63 0.79 • P3 = {a2 , a1 , a3 } =⇒ C3 = 0.66 0 0.96 0.50 0.40 0 R3 = (0.63 + 0.79 + 0.96) − (0.66 + 0.50 + 0.40) = 0.82 0 0.79 0.63 • P4 = {a2 , a3 , a1 } =⇒ C4 = 0.50 0 0.40 0.66 0.96 0 R4 = (0.79 + 0.63 + 0.40) − (0.50 + 0.66 + 0.96) = −0.30 0 0.40 0.50 • P5 = {a3 , a1 , a2 } =⇒ C5 = 0.96 0 0.66 0.79 0.63 0 R5 = (0.40 + 0.50 + 0.66) − (0.96 + 0.79 + 0.63) = −0.82 0 0.50 0.40 • P6 = {a3 , a2 , a1 } =⇒ C6 = 0.79 0 0.63 0.96 0.66 0 5
R6 = (0.50 + 0.40 + 0.63) − (0.79 + 0.96 + 0.66) = −0.88 Ze všech uspořádání tedy vybereme tu permutaci, pro kterou je R maximální, v našem případě je to R = 0.88 pro P1 a optimální uspořádání tedy je (a1 , a2 , a3 ). Povšimněme si, že hodnota R pro pořadí variant ai , aj , ak je rovna −R pro
varianty v opačném pořadí (ak , aj , ai ). 6.2.2
Permutační metoda bez znalosti vah
Permutační metoda je hojně využívána hlavně v případě, kdy váhový vektor neznáme. V této části potřebujeme znát pouze pořadí. Kritéria tedy seřadíme od nejdůležitějšího po nejméně důležité. Předpokládejme, že důležitost kritérií je f1 , f2 , . . . , fk . Potom pro váhy musí platit: • v1 ≥ v2 ≥ · · · ≥ v k •
k P
vj = 1
j=1
• vj ≥ 0 Sestavíme k různých váhových vektorů, které splňují výše uvedené podmínky: 1.) v 1 = (1, 0, 0, . . . , 0) 2.) v 2 = ( 21 , 12 , 0, . . . , 0) 3.) v 3 = ( 13 , 13 , 13 , . . . , 0) .. . k.) v k = ( k1 , k1 , k1 , . . . , k1 ) Pro každý jednotlivý váhový vektor určíme permutační metodou popsanou v předchozí části optimální pořadí (konkrétní váhový vektor je známý). Takto tedy zjistíme, jak se mění optimální pořadí v závislosti na vahách jednotlivých kritérií.
6
6.3
Metoda ORESTE
I při této metodě je nutná znalost pořadí kritérií (stačí kvaziuspořádání kritérií i kavaziuspořádání variant – tzn. že připouštíme stejně důležitá kritéria i stejně důležité varianty). Tato metoda je složená z šesti dílčích kroků. Jednotlivé kroky si nejprve vysvětlíme teoreticky, poté si je ukážeme přímo na příkladu Upíra. 1. V prvním kroku sestavíme vektor q a matici P . • Začneme vektorem q = (q1 , . . . , qk ), kde qj je pořadí j-tého kritéria. • Nyní sestavíme matici P = (pij ), i = 1, . . . , p a j = 1, . . . , k, kde pij je pořadí varianty ai podle j-tého kritéria.
• V případě indiference pro kritéria či varianty bereme průměrné pořadí – pokud po n-tém čísle (pořadí) následuje m indiferentních, pak průměrné pořadí je n +
m+1 . 2
2. V druhém kroku vytvoříme matici vzdáleností od fiktivního počátku. • Tuto matici budeme značit D = (dij ). h (p )r • Pro prvky této matice platí dij = ij2 +
(qj )r 2
i1/r
, kde r ∈ R.
• Obvykle se používá r = 3 a v tomto případě se vzdálenost měří tzv.
Dujmovičovou metrikou. Parametr r se nazává Dujmovičův expo-
nent. 3. Ve třetím kroku uspořádáme varianty. • Vezmeme hodnoty dij z celé matice, seřadíme je od nejmenší po největší a ohodnotíme pořadím.
• Na místo dij napíšeme pořadí (případně průměrné pořadí) a novou matici označíme R = (rij ).
• Pro každou variantu ai spočítáme hodnotu ri =
k P
rij .
j=1
• Hodnoty ri seřadíme od nejmenší, čímž získáme uspořádání variant. 4. Čtvrtý krok slouží k výpočtu normalizovaných preferenčních intenzit. • Začneme tím, že spočítáme hodnoty tzv. preferenčních intenzit, což P jsou hodnoty cij = (rjh − rih ), i, j = 1, . . . , p, kde Iij je množina h∈Iij
kritérií, pro která ai je preferováno před aj , neboli ai P aj . 7
• Dále spočítáme maximální intenzitu cmax = k 2 (p − 1). • Normalizovanou preferenční intenzitou budeme rozumět hodnotu cnij =
cij . cmax
Označme dále: – symbolem P relaci preference – symbolem I relaci indiference – symbolem N relaci nesrovnatelnosti – symobly α, β, γ prahové hodnoty, parametry pro testy indiference a nesrovnatelnosti. Předpokládejme, že cnij ≥ cnji 5. Pátý krok se zabývá testem indiference. • Test indiference se stává ze dvou podmínek. • První podmínka říká, že obě normované preferenční intenzity jsou dostatečně malé, neboli že větší z nich je menší než předem zvolená
hodnota α. V matematickém zápisu cnij ≤ α. • Druhá podmínka říká, že obě normované preferenční intenzity jsou dostatečně blízko u sebe, neboli že nejsou od sebe dále než je předem stanovená hodnota β. V matematickém zápisu cnij − cnji ≤ β. • Pokud jsou obě podmínky splněny, řekneme, že varianta ai je indiferentní s aj , neboli ai Iaj .
6. A šestý krok testuje nesrovnatelnost variant. • Podmínka nesrovnatelnosti říká, že preferenční intenzity jsou příliš velké vzhledem k tomu, jak blízko jsou varianty u sebe, ale nejsou
indiferentní. • Jinými slovy pokud jsme v předchozím kroku nedošli k závěru,
že jsou varianty indiferentní, jsou varianty nesrovnatelné, pokud cn ji n cij −cn ji
≥ γ.
• V takovém případě tedy konstatujeme nesrovnatelnost variant a značíme ai N aj .
8
• Pokud podmínka nesrovnatelnosti tedy
cn ji n cij −cn ji
cn ji n cij −cn ji
≥ γ není splněna, platí-li
< γ, konstatujeme, že varianta ai je preferována před
variantou aj , neboli ai P aj . Poznamenejme, že podle předpokladu uvedeného nakonci čtvrtého kroku, jsou všechny uváděné rozdíly nezáporné, neboť symbolem cnij označujeme vyšší normovanou preferenční intenzitu. Pro prahové hodnoty α, β, γ existují omezení, která bychm měli při volbě hodnot respektovat: • α≤
1 2(p−1)
• β≤
1 k(p−1)
• γ≥
k−2 4
Poznamenejme ještě nakonec, že existují 2 způsoby vyjádření výsledků preferenční analýzy: 1. Formou matice o rozměru (p × p), kde řádky i sloupce odpovídají variantám.
• Symboly v matici označují vztah varianty v řádku (ai ) k variantě ve sloupci (aj ).
• V matici jsou používány 4 symboly: – I pro indiferenci – N pro nesrovnatelnost – > pro případ, že varianta ai je preferována před variantou aj , ai P a j – < pro případ, že varianta aj je preferována před variantou ai , aj P a i • Pochopitelně, že v matici jsou na diagonále pouze symboly pro indiferenci, protože každá varianta je sama se sebou indiferentní.
• Dále jsou symboly pro nesrovnatelnost v matici umístěny symet-
ricky, neboť je-li varianta ai nesrovnatelná s variantou aj , pak také
varianta aj je nesrovnatelná s variantou ai . • Nakonec si všimněme, že na místech symetrických k preferenčnímu symbolu > je symbol opačný < a obráceně. 9
2. Grafickou formou, kde do grafu vynášíme normalizované preferenční intenzity pro každou dvojici variant, a používáme stejné symboly jako při užití maticové formy.
Upír – metoda ORESTE Použijeme opět stejné zadání o potenciálních obětích. Pracovat ovšem tentokrát budeme pouze s prvními 5 kritérii a pouze prvními 4 variantami.
121 5 80 3 4
148 6 68 3 3 107 3 72 3 3 150 6 91 2 3
1. V prvním kroku sestavíme vektor q a matici P . • Kritéria seřadíme podle důležitosti: kritérium
1
2
3
4 5
pořadí
5 1-2 1-2 3 4
• q = (q1 , . . . , qk ), kde qj je pořadí j-tého kritéria, z tabulky tedy q = (5, 1.5, 1.5, 3, 4).
• P = (pij ), i = 1, . . . , p a j = 1, . . . , k, kde pij je pořadí varianty ai podle j-tého kritéria.
10
– Podle 1. kritéria je pořadí variant: a4 P a2 P a1 P a3 – Podle 2. kritéria je pořadí variant: a2 I a4 P a1 P a3 – Podle 3. kritéria je pořadí variant: a4 P a1 P a3 P a2 – Podle 4. kritéria je pořadí variant: a1 I a2 I a3 P a4 – Podle 5. kritéria je pořadí variant: a1 P a2 I a3 I a4 • Matice P tedy bude 3 3 2 1.5 P = 4 4
vypadat: 2 2 1
4 2 3 3 2 3 1 1.5 1 4 3
2. V druhém kroku vytvoříme matici vzdáleností od fiktivního počátku. • Použijeme r = 3, Dujmovičovou metrikou. • Tuto matici budeme značit D = (dij ). h (p )r • Pro prvky této matice platí dij = ij2 + • Pro ukázku: h 3 – d11 = (p112 ) + h 3 – d45 = (p452 ) +
(qj )r 2
i1/r
=
h
(pij )3 2
(q1 )3 2
i1/3
=
h
33 2
+
53 2
i1/3
=
√ 3
76 = 4.24
(q5 )3 2
i1/3
=
h
33 2
+
43 2
i1/3
=
√ 3
45.5 = 3.57
+
(qj )3 2
i1/3
• Kompletně dopočítaná matice vzdáleností od fiktivního začátku tedy bude vypadat: 4.24 2.77 4.05 2.12 D= 4.55 3.41 3.98 2.12
2.28 2.60 3.19
3.41 2.60 3.57 2.77 2.60 3.57 2.03 3.57 3.57
3. Ve třetím kroku uspořádáme varianty. • Vezmeme hodnoty dij z celé matice, seřadíme je od nejmenší po největší a ohodnotíme pořadím.
• Na místo dij napíšeme pořadí (případně průměrné pořadí) a novou matici označíme R = (rij ).
• Matice tedy bude vypadat následovně: 11
.
19
8.5
4
6
10
18 2.5 11.5 6 14.5 R= 20 11.5 8.5 6 14.5 17 2.5 1 14.5 14.5 • Řádkové součty pak budou ri =
5 P
rij
j=1
– r1 = 19 + 8.5 + 4 + 6 + 10 = 47.5 – r2 = 18 + 2.5 + 11.5 + 6 + 14.5 = 52.5 – r3 = 20 + 11.5 + 8.5 + 6 + 14.5 = 60.5 – r4 = 17 + 2.5 + 1 + 14.5 + 14.5 = 49.5 • Hodnoty ri seřadíme od nejmenší, čímž získáme uspořádání variant a1 , a4 , a2 , a3 .
4. Čtvrtý krok slouží k výpočtu normalizovaných preferenčních intenzit. • Preferenční intenzity cij =
P
h∈Iij
(rjh − rih ), i, j = 1, . . . , p, kde Iij je
množina kritérií, pro která ai je preferováno před aj , neboli ai P aj . • Nejprve tedy pro každé kritérium určíme, zda ai je preferováno před aj : f1
1
2
3
4
f2
1
2
3
4
f3
1
2
3
4
1
-
-
+
-
1
-
-
+
-
1
-
+ +
-
2
+
-
+
-
2
+
-
+
-
2
-
-
-
-
3
-
-
-
-
3
-
-
-
-
3
-
+
-
-
4
+
+ +
-
4
+
-
+
-
4
+
+ +
-
f4
1
2 3
4
f5
1
2
3
4
1
-
-
-
+
1
-
+
+ +
2
-
-
-
+
2
-
-
-
-
3
-
-
-
+
3
-
-
-
-
4
-
-
-
-
4
-
-
-
-
• Odtud vidíme: – I11 = I22 = I31 = I33 = I44 = {} – pro všechna kritéria jsou na všech místech v tabulkách ”-” 12
– I12 = {3, 5}
– I13 = {1, 2, 3, 5} – I14 = {4, 5}
– I21 = I23 = {1, 2} – I24 = {4}
– I32 = {3}
– I34 = {4}
– I41 = I43 = {1, 2, 3}
– I42 = {1, 3}
• Pro ukázku si předveďme výpočet některých konkrétních peferenčP ních intenzit cij = (rjh − rih ): h∈Iij
– c11 = c22 = c31 = c33 = c44 = 0, neboť sčítáme přes prázdnou množinu. P P – c12 = (r2h − r1h ) = (r2h − r1h ) = r23 − r13 + r25 − r15 = h∈I12
h∈{3,5}
11.5 − 4 + 14.5 − 10 = 12 P P – c13 = (r3h −r1h ) = h∈I13
h∈{1,2,3,5}
(r3h −r1h ) = r31 −r11 +r32 −r12 +
r33 −r13 +r35−r15 = 20−19+11.5−8.5+8.5−4+14.5−10 = 13 P P – c14 = (r4h − r1h ) = (r4h − r1h ) = r44 − r14 + r45 − r15 = h∈I14
h∈{4,5}
14.5 − 6 + 14.5 − 10 = 13 P P (r2h − r4h ) = (r2h − r4h ) = r21 − r41 + r23 − r43 = – c42 = h∈I42
h∈{1,3}
18 − 17 + 11.5 − 1 = 11.5
• Celá dopočítaná matice preferenčních intenzit:
0
12
13
13
7 0 11 8.5 C= 0 3 0 8.5 8 11.5 19.5 0 • Maximální intenzita cmax = k 2 (p − 1) = 52 (4 − 1) = 75. • Normalizovaná preferenční intenzita cnij =
cij cmax
=
• Matice normalizovaných preferenčních intenzit: 13
cij . 75
0
0.16 0.17 0.17
0.09 0 0.15 0.11 C = 0 0.04 0 0.11 0.15 0.15 0.26 0 n
Předpokládejme, že cnij ≥ cnji 5. Test indiference variant • Test indiference se stává ze dvou podmínek: cnij ≤ α a cnij − cnji ≤ β. Pokud jsou obě podmínky splněny, platí ai I aj .
• Zvolme parametry α a β pro test indiference: α = 0.1 ≤ a β = 0.05 ≤
1 2(p−1)
1 . k(p−1)
• Pro dvojice (i = j = 1), (i = j = 2), (i = j = 3) a (i = j = 4)
platí cnij = cnji = 0 ≤ α = 0.1 a zároveň cnij − cnji = 0 ≤ 0.05 = β ⇒
Indiference. Odtud tedy ai I ai .
• c12 = 0.16 > 0.09 = c21 ⇒ c12 > α ⇒ Test nesrovnatelnosti • c13 = 0.17 > 0 = c31 ⇒ c13 > α ⇒ Test nesrovnatelnosti • c14 = 0.17 > 0.15 = c41 ⇒ c14 > α ⇒ Test nesrovnatelnosti • c23 = 0.15 > 0.04 = c32 ⇒ c23 > α ⇒ Test nesrovnatelnosti • c42 = 0.15 > 0.11 = c24 ⇒ c42 > α ⇒ Test nesrovnatelnosti • c43 = 0.26 > 0.11 = c34 ⇒ c43 > α ⇒ Test nesrovnatelnosti 6. Test nesrovnatelnosti variant • Pokud nejsou varianty indiferentní, pak jsou nesrovnatelné (ai N aj ), pokud
cn ji n cij −cn ji
• Pokud
cn ji n cij −cn ji
≥ γ.
< γ, pak ai P aj .
– c12 = 0.16 > 0.09 = c21 ⇒
c21 c12 −c21
=
Nesrovnatelnost. Odtud tedy a1 N a2 .
– c13 = 0.17 > 0 = c31 ⇒
c31 c13 −c31
=
0 0.17
Odtud tedy a1 P a3 .
– c14 = 0.17 > 0.15 = c41 ⇒
c41 c14 −c41
natelnost. Odtud tedy a1 N a4 . 14
=
0.09 0.07
= 1.29 > γ ⇒
= 0 < γ ⇒ Preference.
0.15 0.02
= 7.5 > γ ⇒ Nesrov-
– c23 = 0.15 > 0.04 = c32 ⇒
c32 c23 −c32
– c42 = 0.15 > 0.11 = c24 ⇒
c24 c42 −c24
– c43 = 0.26 > 0.11 = c34 ⇒
c34 c43 −c34
=
0.04 0.11
= 0.36 < γ ⇒
=
0.11 0.04
= 2.75 > γ ⇒
=
0.11 0.15
= 0.73 < γ ⇒
Preference. Odtud tedy a2 P a3 . Nesrovnatelnost. Odtud tedy a2 N a4 . Preference. Odtud tedy a4 P a3 .
Výsledky shrneme do tabulky. Použité symboly: – I pro indiferenci – N pro nesrovnatelnost – > pro ai P aj – < pro aj P ai • Přehled preferenční analýzy: a1
a2
a3
a4
a1
I
N
>
N
a2
N
I
>
N
a3
<
<
I
<
a4
N
N
>
I
• Na diagonále pouze symboly pro indiferenci. • Nesrovnatelnost symetrická. • Na místech symetrických k > je symbol opačný < a obráceně.
15
