5. Szerkezetek méretezése Hajlított, tömör gerincű gerendatartók és osztott szelvényű nyomott rúd méretezési példái. 5.1. Tömör gerincű gerendatartók méretezése 5.1.1. Melegen hengerelt gerendatartók Szükséges ismeretek: - Keresztmetszeti ellenállások számítása hajlítás, nyírás és ezek interakciója esetén (lásd 3.2 fejezetben) Az alábbi mintapéldáknál feltételezzük, hogy a gerendatartók nyomott öve oldalirányban kellő módon meg van támasztva, tehát stabilitási tönkremenetellel nem kell számolnunk. 5.1. Példa Vizsgáljuk meg egy födém acél gerendáját! A gerenda kéttámaszú tartó (5.1. ábra), egyenletesen megoszló teherrel terhelve, támaszköze 6 méter. A tartó anyagának minősége S235, profilja IPE 270 (5.2. ábra).
Terhek:
f u = 36,0 kN/cm 2
f y = 23,5 kN/cm 2
Alapanyag: S235
g k = 4 ,0 kN/m
γ g = 1,35
(állandó teher)
q k = 10,0 kN/m
γ Q = 1,5
(hasznos teher) qM
L=6m
5.1. ábra: Kéttámaszú gerenda. Mértékadó teherkombináció:
A terhek tervezési értéke q d = g k ⋅ γ g + q k ⋅ γ Q = 4,0 ⋅ 1,35 + 10,0 ⋅ 1,5 = 20 ,4 kN/m A terhek alapértéke q d,SLS = g k + q k = 4,0 + 10,0 = 14,0 kN/m A nyomaték és nyíróerő tervezési értéke:
M Ed = V Ed =
ε = 1,0
q d ⋅ L2 20 ,4 ⋅ 6 2 = = 91,8 kNm 8 8
q d ⋅ L 20 ,4 ⋅ 6 = = 61,2 kNm 2 2
103
Keresztmetszeti adatok: IPE 270 (táblázatból) f
tf
b f = 135 mm h = 270 mm r = 15 mm y
cw
h
y
t f = 10 ,2 mm t w = 6,6 mm
W pl ,y = 484 cm 3
tw
Av ,z = 22 ,14 cm 2 r
I y = 5789 ,8 cm 4
z
bf
5.2. ábra: A szelvény geometriája. A keresztmetszet osztályba sorolása:
Öv: cf =
bf
−r−
t w 135 6,6 = − 15 − = 49,2 mm 2 2 2
2 cf 49,2 = = 4,82 < 9 ⋅ ε = 9 tf 10,2
tehát az öv 1. keresztmetszeti osztályú. Gerinc: c w = h − 2 ⋅ r − 2 ⋅ t f = 270 − 2 ⋅ 15 − 2 ⋅ 10 ,2 = 219,6 mm c w 219,6 = = 33,27 < 72 ⋅ ε = 72 tw 6,6 tehát a gerinc 1. keresztmetszeti osztályú. Tehát a keresztmetszet 1. keresztmetszeti osztályba sorolandó. Keresztmetszet teherbírásának ellenőrzése hajlításra:
M c,R,d =
W pl,y ⋅ f y γM 0
=
484 ⋅ 23,5 = 11374 kNcm = 113,74 kNm 1,0
M Ed 91,8 = = 0,807 < 1,0 M c,Rd 113,74
→
Keresztmetszet teherbírásának ellenőrzése nyírásra:
Av ,z ⋅ Vc ,Rd =
γ m0
fy 3
22,14 ⋅ =
23,5
1,0
3
= 300,38 kN
VEd 61,2 = = 0,204 < 1,0 Vc ,Rd 300,38
104
→
Megfelel
Megfelel
Hajlítás és nyírás interakciójának ellenőrzése:
VEd = 0,204 < 0,5 Vc ,Rd
mivel
→ a nyírás és hajlítás egymástól függetlennek tekinthető.
Stabilitási vizsgálatok:
Kifordulás ellenőrzése elmarad, mert a tartót oldalirányban kellően megtámasztottnak tekintjük. Használati határállapot ellenőrzése (SLS):
(a lehajlási határértékeket az MSZ ENV 1993-1-1:1995 4.1 táblázatából átvéve) - lehajlás a hasznos teherből: δ2 =
5 q k ⋅ L4 5 10 ⋅ 600 4 ⋅ 10 −2 L ⋅ = ⋅ = 1,38 cm < = 2 cm 384 E ⋅ I y 384 21000 ⋅ 5789 ,8 300
→
Megfelel
- lehajlás a teljes terhelésből: 4 5 q d ,SLS ⋅ L 5 14 ⋅ 600 4 ⋅ 10 −2 L δ = ⋅ = ⋅ = 1,93 cm < = 2 ,4 cm 384 E⋅Iy 384 21000 ⋅ 5789 ,8 250
→ Megfelel
5.2. Példa
Tervezzük meg az előző feladat szerinti gerendát S355 anyagminőségből! A többi adat változatlan. Alapanyag: S355
f y = 35,5 kN/cm 2
f u = 51,0 kN/cm 2
ε = 0,81
Mértékadó igénybevételek: (lsd. az előző példát)
M Ed = 91,8 kNm V Ed = 61,2 kNm Szükséges keresztmetszeti modulus:
Melegen hengerelt szelvényt alkalmazunk, így feltételezhetjük, hogy a szelvény legalább 2. keresztmetszeti osztályú, vagyis a keresztmetszet tervezési nyomatéki ellenállása megegyezik a teljes keresztmetszet tervezési képlékeny ellenállásával. M c ,Rd = M pl ,Rd =
W pl , y ⋅ f y γM0
A szükséges keresztmetszeti modulust a M Ed ≤ M c ,Rd feltételből kapjuk. M Ed 91,8 ⋅ 100 ⋅ γM0 = ⋅ 1,0 = 258,59 cm 3 fy 35,5 Alkalmazott szelvény: W pl,y,szüks =
IPE 220
mert W pl , y = 285,41 cm 3 > W pl , y ,szüks = 258,59 cm 3
105
Keresztmetszeti adatok: IPE 220 f
h
y
y
cw
tf
b f = 110 mm h = 220 mm r = 12 mm
t f = 9,2 mm t w = 5,9 mm
W pl , y = 285,41 cm 3
tw
Av ,z = 15,88 cm 2 I y = 2771,8 cm 4
r
z
bf
5.3. ábra: A szelvény geometriája. A keresztmetszet osztályba sorolása:
Öv: cf =
bf
−r−
t w 110 5,9 = − 12 − = 40,05 mm 2 2 2
2 cf 40 ,05 = = 4,35 < 9 ⋅ ε = 9 ⋅ 0 ,81 = 7 ,29 9,2 tf
tehát az öv 1. keresztmetszeti osztályú Gerinc: c w = h − 2 ⋅ r − 2 ⋅ t f = 220 − 2 ⋅ 12 − 2 ⋅ 9,2 = 177 ,6 mm c w 177 ,6 = = 30 ,1 < 72 ⋅ ε = 72 ⋅ 0 ,81 = 58,32 tw 5,9 tehát a gerinc 1. keresztmetszeti osztályú Tehát a keresztmetszet 1. keresztmetszeti osztályba sorolandó. Keresztmetszet teherbírásának ellenőrzése hajlításra:
M c ,R ,d =
W pl , y ⋅ f y γM0
=
285,41 ⋅ 35,5 = 10132 kNcm = 101,32 kNm 1,0
M Ed 91,8 = = 0,906 < 1,0 M c ,Rd 101,32
→
Keresztmetszet teherbírásának ellenőrzése nyírásra:
Av ,z ⋅ Vc ,Rd =
γM0
fy 3
15,88 ⋅ =
35,5
1,0
3
= 325,47 kN
VEd 61,2 = = 0 ,188 < 1,0 Vc ,Rd 325,47 106
→
Megfelel
Megfelel
Hajlítás és nyírás interakciójának ellenőrzése:
mivel
VEd = 0 ,188 < 0,5 → a nyírás és hajlítás egymástól függetlennek tekinthető. Vc ,Rd
Stabilitási vizsgálatok:
A kifordulás ellenőrzése elmarad, mert a tartót oldalirányban kellően megtámasztottnak tekintjük. Használati határállapot ellenőrzése (SLS):
(a lehajlási határértékeket az MSZ ENV 1993-1-1:1995 4.1 táblázatából átvéve) - lehajlás a hasznos teherből: δ2 =
5 q k ⋅ L4 5 10 ⋅ 600 4 ⋅ 10 −2 L ⋅ = ⋅ = 2 ,9 cm > = 2 cm 384 E ⋅ I y 384 21000 ⋅ 2771,8 300
→
Nem felel meg
- lehajlás a teljes terhelésből: δ =
4 5 q d ,SLS ⋅ L 5 14 ⋅ 600 4 ⋅ 10 −2 L ⋅ = ⋅ = 4 ,06 cm > = 2 ,4 cm 384 E⋅Iy 384 21000 ⋅ 2771,8 250
→ Nem felel meg
Szelvényfelvétel a lehajlási feltétel alapján: I y ,szüks =
4 5 q d ,SLS ⋅ L 5 14 ⋅ 600 4 ⋅ 10 −2 ⋅ = ⋅ = 4687 ,5 cm 4 384 E ⋅δ 384 21000 ⋅ 2 ,4
most is legalább IPE 270 választandó, mert I y = 5789 ,8 cm 4 > I y ,szüks = 4687 ,5 cm 3 ! Az S355-ös minőségű IPE 270 ellenőrzése az 5.1. példa szerint elvégezhető.
107
5.1.2. Hegesztett gerendatartók
Szükséges ismeretek: - Keresztmetszeti ellenállások számítása hajlítás, nyírás és ezek interakciója esetén (lásd 3.2 pontban) - Gerinclemez méretezése nyírási horpadásra (lásd 3.3.4 pontban) Az alábbi mintapéldáknál feltételezzük, hogy a gerendatartók nyomott öve oldalirányban kellő módon meg van támasztva, tehát stabilitási tönkremenetellel nem kell számolnunk. Ugyancsak feltételezzük, hogy a gerinclemez nyírási horpadásának ellenőrzését nem kell elvégezni, és a nyírási horpadás nem léphet kölcsönhatásba más tönkremeneteli módokkal. 5.3. Példa
Határozzuk meg az alábbi hegesztett szelvény M c ,Rd hajlítási tervezési ellenállását, ha anyaga a) S235, b) S275 és c) S355 minőségű! Alapanyag: S235
f y = 23,5 kN/cm 2
f u = 36,0 kN/cm 2
ε = 1,0
S275
f y = 27 ,5 kN/cm 2
f u = 43,0 kN/cm 2
ε = 0,92
S355
f y = 35,5 kN/cm 2
f u = 51,0 kN/cm 2
ε = 0,81
A szelvény geometriája:
öv: 260-14 gerinc: 230-10 nyakvarrat: a = 5 mm kétoldali sarokvarrat f
y
y
cw
hw
tf
z
tw
b f = 260 mm
t f = 14 mm
hw = 230 mm
t w = 10 mm
a = 5 mm
z
bf 5.4. ábra: A szelvény geometriája. A keresztmetszet osztályozása:
Gerinc: A gerincről könnyen látható, hogy mindhárom minőség esetén 1. osztályú. c w = hw − 2 ⋅ 2 ⋅ a = 230 − 2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 215,9 mm c w 215,9 = = 21,59 < 72 ⋅ ε = 58,32 tw 10
tehát a gerinc 1. keresztmetszeti osztályú. 108
Öv: cf =
bf
− 2 ⋅a −
2 c f 117 ,9 = = 8,42 tf 14
t w 260 10 ,0 = − 2 ⋅5 − = 117 ,9 mm 2 2 2
Az 1., 2. és 3.osztályú öv c f / t f határértékeit a három acélminőség esetén az 5.1 táblázat mutatja. Határérték 9ε 10ε 14ε
1. km. osztály 2. km. osztály 3. km. osztály
S235 9 10 14
S275 8,28 9,20 12,88
S355 7,29 8,10 11,34
5.1. táblázat: Keresztmetszeti osztályok határai. Az osztályba sorolást a keretezett értékek határozzák meg, mivel azok nagyobbak az aktuális c f / t f = 8,42 értéknél. Az öv és így az egész keresztmetszet is az S235, S275 és S355 anyagminőség esetén tehát 1., 2. ill. 3. keresztmetszeti osztályú. Keresztmetszeti jellemzők számítása:
hw3 ⋅ t w Iy = + 2 ⋅bf ⋅t f 12
tf ⎞ ⎛h ⋅ ⎜⎜ w + ⎟⎟ 2⎠ ⎝ 2
2
2
Iy =
230 3 ⋅ 10 ⎛ 230 14 ⎞ + 2 ⋅ 260 ⋅ 14 ⋅ ⎜ + ⎟ = 118494686,7 mm 4 = 11849,47 cm 4 12 2⎠ ⎝ 2
Wel,y =
Iy hw +tf 2
=
11849 ,47 = 918,56 cm 3 23,0 + 1,4 2
tf ⎞ h ⎛h h S y max = b f ⋅ t f ⎜⎜ w + ⎟⎟ + w ⋅ t w ⋅ w 2⎠ 2 4 ⎝ 2 230 ⎛ 230 14 ⎞ 230 + ⎟+ S y max = 260 ⋅ 14 ⋅ ⎜ ⋅ 10 ⋅ = 510205 mm 3 = 510,21 cm 3 2⎠ 2 4 ⎝ 2 W pl , y = 2 ⋅ S y max = 2 ⋅ 510 ,21 = 1020 ,41 cm 3
Hajlítási tervezési ellenállás:
S235 és S275 acélminőség esetén a hajlítási tervezési ellenállást a képlékeny keresztmetszeti modulussal számítjuk, mert ez esetekben a szelvény 1. ill. 2. keresztmetszeti osztályú. S235: M c,Rd =
W pl,y ⋅ f y γM0
=
1020,41 ⋅ 23,5 = 23979,6 kNcm = 239,80 kNm 1,0
109
S275: M c,Rd =
W pl,y ⋅ f y γM0
=
1020 ,41 ⋅ 27 ,5 = 28061,3 kNcm = 280,61 kNm 1,0
S355 acélminőség esetén a hajlítási tervezési ellenállást a rugalmas keresztmetszeti modulussal számítjuk, mert ez esetben a szelvény 3. keresztmetszeti osztályú. S355: M c,Rd =
Wel,y ⋅ f y γM0
=
918,56 ⋅ 35,5 = 32641,7 kNcm = 326,42 kNm 1,0
5.4. Példa
Egy 6m támaszközű, kéttámaszú, hegesztett szelvényű S235 acélminőségű gerendára az 5.6. ábra szerinti elrendezésben FEd = 540 kN nagyságú koncentrált erők működnek. A gerenda önsúlya: 1,22 kN/m, a biztonsági tényező γ g = 1,35 . Ellenőrizzük a gerendát, ha a kifordulás és a gerinchorpadás meg van gátolva! A tartó szelvénye: z 240-20 550-10 y
y
240-20 z
5.5. ábra: A tartó keresztmetszete. Könnyen kimutatható, hogy a szelvény 1. keresztmetszeti osztályú (előző példa alapján). Keresztmetszeti modulus számítása: ⎛ 27 ,5 2 ⋅ 1 ⎞ ⎟⎟ ⋅ 2 = 3492 ,2 cm 3 W pl,y = ⎜⎜ 24 ⋅ 2 ⋅ 28,5 + 2 ⎠ ⎝
110
Igénybevételek:
FEd
1,5
FEd
3,0
1,5
L = 6m
542,5
VEd
544,9
MEd
815,6
817,4
5.6. ábra: Igénybevételi ábrák. Ellenőrzés hajlításra:
A mértékadó nyomaték (5.6. ábra) M max,Ed = 817 ,4 kNm Az 1. keresztmetszeti osztályba tartozó keresztmetszet megfelel, mert: M c,Rd =
W pl,y ⋅ f y γM0
=
3492,2 ⋅ 23,5 = 82067 kNcm 1,0
M c,Rd = 820,67 kNm > M max ,Ed = 817 ,4 kNm Nyírásvizsgálat:
A keresztmetszet nyírási tervezési ellenállása Av = η ⋅ hw ⋅ t w = 1 ⋅ 550 ⋅ 10 = 55 cm 2 V pl ,Rd =
Av ⋅ f y 3 ⋅ γM0
=
55 ⋅ 1,0 ⋅ 23,5 3 ⋅ 1,0
= 746 ,2 kN
A gerinc nyírásra megfelel, mert V pl ,Rd = 746,2 kN > VEd = 544,9 kN
111
A nyírási és nyomatéki hatás interakciója – a hajlítási tervezési ellenállás redukciója:
A terhelés sajátosságából adódik, hogy a koncentrált erőktől kifelé kis távolságra lévő keresztmetszetben egyidejűleg majdnem maximális nagyságú nyomaték és nyíróerő működik. Vizsgáljuk meg, hogy vajon nem kell-e redukálni a nyíróerő miatt a hajlítási tervezési ellenállást! A redukcióra akkor van szükség, ha V Ed ≥ 0,5 ⋅ V pl ,Rd . Esetünkben: V Ed = 542,5 kN > 0 ,5 ⋅ V pl,Rd = 0,5 ⋅ 746,2 = 373,1 kN Tehát a hajlítási tervezési ellenállást redukálni kell. Kétszeresen szimmetrikus I és zárt szelvényekre a redukált nyomatéki teherbírás: ⎛ ρ ⋅ Av2 M v,Rd = ⎜⎜W pl − 4 ⋅ tw ⎝
⎞ fy ⎟⋅ ⎟ γ ≤ M c,Rd ⎠ M0
ahol 2
2 ⎛ 2 ⋅ VEd ⎞ ⎛ 2 ⋅ 542 ,5 ⎞ ⎜ ⎟ ρ= −1 = ⎜ − 1⎟ = 0 ,206 ⎜V ⎟ ⎝ 746 ,2 ⎠ ⎝ pl,Rd ⎠
⎛ 0 ,206 ⋅ 55 2 M v,Rd = ⎜⎜ 3492 ,2 − 4 ⋅ 1,0 ⎝
⎞ 23,5 ⎟⎟ ⋅ = 78405 kNcm = 784 ,05 kNm ⎠ 1,0
A hajlítási tervezési ellenállás 94,8%-ára csökkent, és mivel M Ed > M v ,Rd , a tartó hajlításra nem felel meg!
112
5.2. Osztott szelvényű nyomott oszlop Osztott szelvényű nyomott rudak tervezése a szabvány [1] 6.4 fejezetének témája.
Szükséges ismeretek: - osztott szelvényű nyomott rudak méretezése (lásd pl. [5]). 5.5 Példa
Ellenőrizzük az 5.7. ábrán szereplő osztott szelvényű rudat N Ed = 1250 kN központos nyomóerőre! A rúd hossza 5 m és 1 m-ként hevederezéssel kötjük össze az U 240-es szelvényeket (5.8. ábra). Alapanyag: S235
f y = 23,5 kN/cm 2
ε = 1,0
L=5000 mm
L2
a = 1000 mm
NEd
e0 L2
z
NEd
y
y z
5.7. ábra: Az osztott szelvényű rúd kialakítása. A szelvény geometriája: 300
y z'
z
z'
t f = 13 mm hw = 240 mm t w = 9 ,5 mm r = 13 mm e = 2,23 cm
tw e
y
y tf
U 240
hw
z'
r
y
z
240
z'
z'
b f = 85 mm
z' bf
h0= 255,4 mm
5.8. ábra: Szelvény geometria. 113
1 db U 240-es szelvény adatai: Ach = 42,3 cm 2 keresztmetszeti terület (táblázatból), I 'z = 248 cm 4 inercia a szelvény gyenge tengelyére (5.8. ábra) i 'z = 2,42 cm ; i y = 9 ,22 cm inerciasugarak (táblázatból), Effektív inercia számítása: I eff = 0 ,5 ⋅ h02 Ach + 2μI ch
I ch = I 'z az alkotó szelvény inerciája.
μ hatékonysági tényező I 1 = 0 ,5h02 Ach + 2 I ch = 0 ,5 ⋅ 25,54 2 ⋅ 42,3 + 2 ⋅ 248 = 14291,97 cm 4 i0 =
λ=
I1 14291,97 = = 13,0 cm 2 Ach 2 ⋅ 42 ,3
L 500 = = 38,46 i0 13
Mivel λ = 38,46 < 75 → μ = 1,0 Tehát I eff = I1 = 14291,97 cm 4 Külpontosság: e0 = L / 500 = 500 / 500 = 1 cm A keresztmetszet osztályozása tiszta nyomásra:
Öv: c f = b f − r − t w = 85 − 13 − 9 ,5 = 83,63 mm cf tf
=
83,63 = 8,8 < 9 ⋅ ε = 9 9,5
tehát az öv 1.keresztmetszeti osztályú. Gerinc: c w = hw − 2 ⋅ r − 2 ⋅ t f = 240 − 2 ⋅ 13 − 2 ⋅ 13 = 188,0 mm c w 188,0 = = 19,79 < 33 ⋅ ε = 33 tw 9 ,5 tehát a gerinc 1. keresztmetszeti osztályú. Tehát a keresztmetszet 1. keresztmetszeti osztályú. Tervezési nyomóerő meghatározása:
Az osztott szelvényű rúd alkotó szelvényét az N Ed nyomóerőből és e0 = L / 500 külpontosságból származó M Ed nyomatékból származó, a rúdhossz felében fellépő N ch ,Ed nyomóerőre kell ellenőrizni (5.9. ábra).
114
NEd MEd
h0
NEd
2
h0
e0 NEd
2
MEd
h0
NEd 5.9. ábra: Tervezési nyomóerő. N Ed M Ed ⋅ h0 ⋅ Ach + 2 2 I eff
N ch ,Ed =
M Ed =
N Ed ⋅ e0 N N 1 − Ed − Ed N cr Sv
Ahol N cr : az alkotó szelvény kritikus ereje
N cr =
π 2 EI eff L2
=
π 2 21000 ⋅14291,97 = 11848,70 kN 500 2
S v : nyírási merevség Sv =
2π 2 EI ch 2π 2 21000 ⋅ 248 = = 10280,18 kN 100 2 a2
A külpontosságból származó hajlító nyomaték: M Ed =
1250 ⋅ 1 = 1617 ,26 kNm 1250 1250 − 1− 11848,70 10280 ,18
Tervezési nyomóerő az alkotó szelvényben: 1250 1617 ,26 ⋅ 25,54 ⋅ 42 ,3 N ch ,Ed = + = 633,15 kN 2 214291,97
115
1 db U240-es szelvényből álló nyomott rudat kell ellenőriznünk N ch ,Ed központos nyomóerőre a hevederek közötti szakasz kihajlása alapján, lásd 5.10. a) ábra. Az anyagi tengelyre merőleges síkú kihajlás esetén a rúd kihajlási ellenállását úgy számoljuk, mintha tömör (2 db U240-es szelvényből álló) rúd lenne, 5.10. b) ábra. NEd
Nch,Ed a=1000 mm
L=5000 mm
z'
y
z'
Nch,Ed
NEd
a)kihajlás a hevederek között
b) kihajlás az anyagi tengely körül 5.10. ábra: Tervezési nyomóerő.
A karcsúságok:
λy = λ' z =
νy ⋅L 2 ⋅ iy
=
1,0 ⋅ 500 = 27 ,11 2 ⋅ 9,22
ν z ⋅ a 1,0 ⋅ 100 = = 41,32 2 ,42 i 'z
A viszonyított karcsúságok:
λy = '
λz =
λy λ1
=
27 ,11 = 0,29 93,9
λ' z 41,32 = = 0,44 λ1 93,9
A χ csökkentő tényező meghatározása: (táblázatból)
λ y = 0,29 → c kihajlási görbe '
λ z = 0,44 → c kihajlási görbe
χ y = 0,9593 χ'z = 0,8760
116
y
A nyomott rúd tervezési kihajlási ellenállása:
Kihajlás az y-y tengely körül N by,Rd = χ y ⋅
2 Ach ⋅ f y γM 1
= 0,9593 ⋅
2 ⋅ 42 ,3 ⋅ 23,5 = 1907 ,18 kN 1,0
Kihajlás az z’-z’ tengely körül N bz,'Rd = χ 'z ⋅
Ach ⋅ f y γM 1
= 0,8760 ⋅
42 ,3 ⋅ 23,5 = 870,79 kN 1,0
Ellenőrzés:
Kihajlás az y-y tengely körül N by,Rd = 1907 ,18 kN > N Ed = 1250 kN → MEGFELEL! Kihajlás a z’-z’ tengely körül N bz,'Rd = 870,79 kN > N ch ,Ed = 633,15 kN → MEGFELEL!
117
