5.
Differenci´ alegyenlet rendszerek
Els˝orend˝ u explicit differenci´alegyenlet rendszer ´altal´anos alakja: dx1 = f1 (t, x1 , x2 , . . . , xn ) dt dx2 = f2 (t, x1 , x2 , . . . , xn ) dt .. .
(5.1)
dxn = fn (t, x1 , x2 , . . . , xn ) dt t¨om¨orebben:
dx = f (t, x). dt
Defin´ıci´ o: Legyen x(t) az (5.1) megold´asa. Az (n + 1) dimenzi´os t´erben a t = t x = x(t), ahol t ∈ I egyenlet˝ u g¨orb´et az (5.1) differenci´alegyenlet rendszer integr´alg¨orb´ej´enek u (n dimenzi´os t´erben) a trajekt´ori´aj´anak (megold´asg¨orb´ej´enek), az x = x(t) egyenlet˝ (p´alyag¨orb´ej´enek) nevezz¨ uk. Ha az (5.1)-hez hozz´avessz¨ uk az x(t0 ) = x0 kezdeti felt´eteleket, akkor kezdeti´ert´ek feladatr´ol besz´el¨ unk.
5.1.
Line´ aris rendszerek
Az (5.1) rendszer speci´alis esete a line´aris differenci´alegyenlet rendszer, t¨om¨oren: dx = A(t)x + f(t). dt
(5.2)
Ha f(t) ≡ 0 akkor homog´en differenci´alegyenlet rendszerr˝ol besz´el¨ unk. dx = A(t)x. dt
(5.3)
T´ etel: Legyenek aik (t) ´es fi (t) folytonos f¨ uggv´enyek az I intervallumon. Legyen t0 ∈ I ´es x0 ∈ Rn , akkor a dx = A(t)x(t) + f (t) dt x(t0 ) = x0 kezdeti´ert´ek-probl´em´anak l´etezik egy´ertelm˝ u megold´asa. 28
uggv´enyek Defin´ıci´ o: Az I intervallumon ´ertelmezett x1 , x2 , . . . , xn vektor-skal´ar f¨ Wronski determin´ans´anak nevezz¨ uk a x1 x2 . . . xn 1 1 1 x1 x2 . . . xn 2 2 2 W (x1 , x2 , . . . , xn ) = .. .. . . .. . . . 1 .2 xn xn . . . xnn determin´anst.
T´ etel: Ha x1 , x2 , . . . , xn line´arisan ¨osszef¨ ugg˝o rendszer az (a, b) intervallumon akkor W (x1 , x2 , . . . , xn ) ≡ 0. n t 1 Megjegyz´ es: A t´etel megford´ıt´asa nem igaz! Tekints¨ uk az x (t) = x2 (t) = t t t ∈ R f¨ uggv´enyeket, ´es ezek Wronski determin´ans´at 1 2 t t 1 2 = t2 − t2 ≡ 0. W (x , x ) = t 1 uggv´enyek line´arisan f¨ uggetlenek a (−∞, ∞) intervallumon. Viszont x1 , x2 f¨
Defin´ıci´ o: Az (5.3) rendszer x1 , x2 , . . . , xn megold´asainak halmaz´at alaprendszernek nevezz¨ uk, ha line´arisan f¨ uggetlenek. T´ etel: (5.3)-nak van alaprendszere. o megT´ etel: (5.3) b´armely x(t) megold´asa el˝o´all´ıthat´o az alaprendszerben szerepl˝ old´asok line´aris kombin´aci´ojak´ent, ´es ez az el˝o´all´ıt´as egy´ertelm˝ u. Vagyis x(t) = n X uggv´enysereget a (5.3) rendszer ´altal´anos megci xi (t), ´es ezt az n param´eteres f¨ i=1
old´as´anak nevezz¨ uk.
Defin´ıci´ o: Ha {x1 , x2 , . . . , xn } (5.3) alaprendszere, akkor az X(t) = [x1 (t), x2 (t), n . . . , x (t)] m´atrix-f¨ uggv´enyt alapm´atrixnak nevezz¨ uk. Megjegyz´ es: 1. Alapm´atrix regul´aris. 29
2. Adott x(t0 ) = x0 kezdeti felt´etelt kiel´eg´ıt˝o megold´as x(t) = X(t)c
ahol
c = X −1 (t0 )x0 .
T´ etel: Ha x1 ´es x2 megold´asa az (5.2) inhomog´en rendszernek, akkor x1 − x2 megold´asa az (5.3) homog´en rendszernek. K¨ ovetkezm´ eny: Ha xI megold´asa az (5.2) inhomog´en rendszernek, akkor x(t) = xI +
n X
cj xj ,
j = 1, . . . , n
j=1
¨osszes megold´asa az inhomog´en rendszernek ´es ezt nevezz¨ uk az ´altal´anos megold´as´anak. A homog´en rendszer ´altal´anos megold´as´ab´ol az inhomog´en rendszer egy partikul´aris megold´as´at megkereshetj¨ uk az ´alland´ok vari´al´as´anak m´odszer´evel. A paruk. Ezt, illetve a deriv´altj´at tikul´aris megold´ast xI = X(t)c(t) alakban keress¨ az eredeti (5.2) Z egyenletbe helyettes´ıtve ´es az egyenletet rendezve azt kapjuk,
X −1 (t)f (t) dt, ahol X(t) a homog´en rendszer alapm´atrixa, ´ıgy
hogy c(t) = I
x (t) = X(t)
Z
X −1 (t)f (t) dt.
P´ elda: Oldjuk meg az al´abbi rendszert: dx1 = x1 + (2 − t)x2 + t2 + t dt dx2 1 1 = x1 + − 1 x2 + t, dt t t ha tudjuk, hogy x1 (t) = (t2 , t) x2 (t) = (t − 1, 1) a homog´en rendszer alaprendszere. (Igazoljuk!). Akkor " 1 1−t # 2 t t−1 X(t) = , X −1 (t) = t t t 1 −1 t 2 t +t . f (t) = t Ha
X
−1
(t) · f (t) = 30
2 −t
,
akkor
2t 2 c(t) = dt = t2 , −t − 2 ´ıgy az inhomog´en egyenlet ´altal´anos megold´asa: 2 2 t2 t − 1 t t−1 t − 2t + c2 = x(t). + c1 t t 1 1 2 Z
´ Alland´ o egy¨ utthat´ os line´ aris rendszer
5.1.1.
Az (5.2) t´ıpus´ u differenci´alegyenlet rendszer megold´as´ara nincs ´altal´anos m´odszer. A line´aris rendszerek fontos speci´alis esete az, amelyben az egy¨ utthat´o m´atrix minden eleme ´alland´o, teh´at dx = Ax + f(t) dt
(5.4)
ha f(t) ≡ 0 akkor a rendszer homog´en. Teh´at dx = Ax. dt
(5.5)
T´ etel: Az (5.5) rendszer egy alapm´atrixa az X(t) = eAt m´atrix. A
Defin´ıci´o szerint e =
∞ X Ak k=0
P´ elda: Ha A= akkor 2
A = 3
A = eAt
−1 0 0 2
1 0 0 4
−1 0 0 8
k!
.
,
... X n kt −t ∞ 0 (−1) X tk e 0 k n! A = = . X tk = 0 e2t k! 0 2k k=0 k! 31
T´ etel: Legyen λ1 , λ2 , . . . , λn az A n × n-es m´atrix k¨ ul¨onb¨oz˝o saj´at´ert´ekei ´es dx 1 2 n s , s , . . . , s a hozz´atartoz´o saj´atvektor rendszer, akkor a = Ax diffedt renci´alegyenlet rendszer egy alaprendszere {eλ1 s1 , eλ2 s2 , . . . , eλn sn }. P´ elda: 1. Oldjuk meg a k¨ovetkez˝o kezdeti ´ert´ek feladatot 1 2 −1 1 x(t) ´es x1 (t) = 1 0 4 −4 5
−1 x(0) = 0 . 0
A-nak 3 k¨ ul¨onb¨oz˝o val´os saj´at´ert´eke van λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3. A megfelel˝o saj´atvektorok −1 −2 −1 s1 = 1 , s2 = 1 , s3 = 1 . 2 4 4
´Igy az ´altal´anos megold´as −1 −2 −1 x(t) = c1 et 1 + c2 e2t 1 + c3 e3t 1 = 4 4 2 c1 −et −2e2t −e3t t 2t 3t c2 . e e e = t 2t 3t c3 2e 4e 4e Ebb˝ol
−1 −1 c1 −1 −2 −1 c2 = 1 1 1 0 . 0 c3 2 4 4
Teh´at a keresett megold´as
−2 −1 x(t) = e2t 1 − e3t 1 . 4 4 32
2. Hat´arozzuk meg az ′
x (t) =
−1 2 −1 −3
x(t)
´altal´anos megold´as´at. Saj´at´ert´ekek k¨ ul¨onb¨oz˝oek, de komplexek λ1 = −2 + i, λ2 = −2 − i. A λ1 -hez tartoz´o 0 2 2 1 +i s = = 1 −1 −i + 1 akkor 0 2 −2t −2t x(t) = c1 e cos t + − e sin t 1 −1 0 2 −2t −2t . + e cos t + c2 e sin t 1 −1 Az´ert, hogy a megold´as val´os f¨ uggv´eny legyen a k¨ovetkez˝o gondolatot alkalmazzuk. Ha λ = α ± βi alak´ u, akkor s = a ± bi lesz. Ezek felhaszn´al´as´aval k´et f¨ uggetlen val´os megold´ast kapunk x1 (t) = eαt cos βta − eαt sin βtb ´es x2 (t) = eαt sin βta + eαt cos βtb. A mi p´eld´ankban α = −2, β = 1, a =
2 0 ,b= . −1 1
Az (5.4) inhomog´en rendszer megold´as´at megkereshetj¨ uk az ´alland´ok vari´al´as´anak m´odszer´evel. P´ elda: Keress¨ uk meg az 2t 2 −3 e 1 x(t) + x (t) = , 1 −2 1 −1 x(0) = 0 kezdeti ´ert´ek probl´ema megold´as´at! Az egy¨ utthat´o m´atrix saj´at´ert´ekei λ1 = 1 ´es λ2 = −1, a saj´atvektorok 3 1 1 2 , s = s = 1 1 ´ıgy az alapm´atrix 33
X(t) =
3et e−t et e−t −1
. Z
t
x(t) = X(t)X (t0 )x0 + X(t) X −1 (s)f (s) ds. (5.6) t0 1 −t 1 −t − e e 2 X −1 (t) = 2 1 . 3 t t e − e 2 2 Az (5.6) formul´aba behelyettes´ıtve: 9 t 5 −t 4 2t − e − 6e + 3e + 3 x(t) = 23 5 1 − et − e−t + e2t + 2 2 6 3 lesz. Mivel ´alland´o egy¨ utthat´os a differenci´alegyenlet rendszer, az inhomog´en egyenlet egy partikul´aris megold´as´at megkereshett¨ uk volna a pr´oba f¨ uggv´eny m´odszerrel is. P´ elda: Keress¨ uk meg x1 (t) = Ax(t) + tf megold´as´at, ahol −9 1 −2 2 A = −2 1 2 ´es f = 0 . −18 2 2 1
A homog´en egyenlet ´altal´anos megold´asa: −1 −1 1 x(t) = c1 e3t 0 + c2 e3t 1 + c3 e−3t −1 . 1 0 1
Az inhomog´en egyenlet egy partikul´aris megold´as´at keress¨ uk xp = ta + b alakban, mivel a zavar´o f¨ uggv´eny t-nek els˝ofok´ u polinomja. xp -t ´es deriv´altj´at az eredeti egyenletbe helyettes´ıtve ´es az egyenl˝o egy¨ utthat´ok m´odszer´et alkalmazva 5 1 a= 2 , b= 0 4 2 lesz. ´Igy a keresett partikul´aris megold´as 5 1 2 + 0 . xp = t 4 2 34
Feladat: Keress¨ uk meg az inhomog´en egyenlet ´altal´anos megold´as´at, ha 1 t f(t) = t , ha f(t) = et . t2 sin t
35
