5. Atmoszférák 5.1. Sugárzásátvitel Az angol terminológia nyomán radiatív transzfernek nevezett kérdéskör azzal foglalkozik, hogy ha egy optikailag átlátszó, de saját sugárzással is rendelkező anyagon egyéb eredetű sugárzás halad keresztül, akkor ezen áthaladás után milyen sugárzás észlelhető, tekintetbe véve az anyag összes elnyelési és sugárzási jellemzőjét és azok hullámhosszfüggését. Tulajdonképpen ez határozza meg azt, hogy a csillagok belsejéből érkező sugárzás az atmoszférán áthaladva milyen spektrális tulajdonságokkal rendelkezik, tehát ez az alapja a csillagatmoszférák fizikai vizsgálatának. A radiatív transzfer alapegyenletének (melyet egyes magyar szövegek áramlási egyenletnek hívnak) egy lehetséges alakja a következő: μ
dI θ,z =ε λ z −κ λ z I λ θ,z dz
(5.1.)
vagyis a sugárzás intenzitását egy adott dz vastagságú rétegen való kereszülhaladás után két összetevő határozza meg, az első tag - ελ(z) - az adott réteg anyagának tömegegységre eső emisszióképessége, a második tagban Iλ(z) a réteghez érkező sugárzás intenzitása, κλ(z) pedig a tömegegységre eső abszorpcióképesség, más néven elnyelési hatáskeresztmetszet. A λ index a hullámhosszfüggést jelzi, a z irány merőleges az anyagréteg síkjára, a θ pedig a sík normálisával bezárt szög, továbbá alkalmazzuk a szokásos μ=cosθ jelölést is. Ha bevezetjük az Sλ = ελ/κλ forrásfüggvényt és a dτλ=–κλdz optikai mélységet (itt a negatív előjel azért van, mert a z-t a csillagból kifelé mérjük, az optikai mélységet pedig befelé, mivel kívülről észleljük), akkor (5.1) az alábbi egyszerűbb alakba írható: dI μ =I −S λ (5.2) dτ λ λ Az egyenlet megoldására azt az eljárást alkalmazzuk, hogy megszorozzuk (1/μ)exp(- τλ/μ)-vel és integráljuk az 1 és 2 optikai mélységek között, ekkor: I λ τ 1 ,μ =I λ τ 2 ,μ exp−
τ 2 −τ 1 μ
τ
2
τ−τ 1 1 ∫ S λ exp− dτ μτ μ 1
(5.3)
Ha az 1.szint a felszín, a 2. pedig a csillag mélye, akkor τλ =0 és τλ =∞ és ekkor: ∞ τλ 1 I λ 0, μ = ∫ S λ τ λ exp − dτ μ0 μ
(5.4) Ha a forrásfüggvény a mélység szerint konstans, az áthaladás iránya pedig merőleges, akkor τ2 mélységben: −τ I λ 0 =S λ 1−e (5.5) 2
A tárgyalás egyik legfontosabb idealizáló feltevése a termodinamikai egyensúly. Erre az esetre ismeretes Kirchoff törvénye, mely szerint az emisszió- és abszorpcióképesség hányadosa egyenlő a Planck-függvénnyel: ελ =B λ T (5.6) κλ ami a forrásfüggvény fenti definíciója szerint azt jelenti, hogy termodinamikai egyensúly esetén a forrásfüggvény maga a Planck-függvény. A valóságban inkább a lokális termodinamikai egyensúly (Local Thermodynamic Equilibrium - LTE) használatos, melynél a foton szabad úthossza jóval kisebb, mint amilyen távolságon belül a plazma hőmérséklete lényegesen változna. A csillag belsejében kontinuum-sugárzásra ez elég jó idealizáció. Az Eddington-Barbier reláció nevű fontos öszefüggésre juthatunk, ha a forrásfüggvényt nem konstansnak, hanem a mélységgel lineárisan változónak tételezzük fel: S λ τ λ =S λ 0 +bτ λ (5.7) Ha ezt (5.4)-be helyettesítjük, akkor:
∞
I λ 0, μ =∫ 0
τλ τλ 1 1 S λ 0 exp − dτ λ +b ∫ τ λ exp − dτ λ μ μ μ 0 μ ∞
(5.8)
Ennek eredményét pedig a következőképp írhatjuk: I λ 0, μ =S λ 0 +bμ
(5.9)
ami (5.7)-tel egybevetve azt jelenti, hogy ha τ λ =μ , akkor I λ 0, μ =S λ τ λ
(5.10) τ =μ Vagyis a beesési irányban észlelt intenzitáseloszlás egyenlő azzal, ami λ optikai mélységben keletkezik. Ez az Eddington-Barbier reláció. A szürke atmoszféra modell egy fontos idealizáció, melyben az abszorpcióképesség - vagy a fentiek szerint az optikai mélység - nem függ a hullámhossztól, ekkor LTE esetén (5.2) helyett a következőt írhatjuk: dI λ (5.11) μ =I λ −B λ T dτ Hosszas levezetés árán belátható, hogy ebben az esetben a felszínen észlelt intenzitás irányfüggésére érvényes: 3F 2 I 0, μ = μ+ 4 π 3 (5.12) ahol az I argumentumában a 0 azt jelenti, hogy τ=0, vagyis a felszínt tekintjük, az F pedig a felületegység nettó energiafluxusa: F=σTeff. (5.12)-ből fontos összefüggés adódik, az ún szélsötétedés törvénye (limb darkening):
I 0, μ 3 2 = μ+ 3 I 0,1 5 (5.13) Az (5.13) azt mutatja, hogyan aránylik a napkorong adott μ-vel jellemzett pontjának az intenzitása a centruméhoz (μ=1). A szélsötétedés jelensége jól érzékelhető minden (nemmonokromatikus) napkorong-észlelésen.
5.2. Spektrumvonalak Ha egy csillag spektrumát nagy felbontásban vesszük szemügyre, akkor kiderül, hogy az tulajdonképpen két spektrum szuperpozíciója, egy folytonos és egy vonalas komponense van. Az eddigiekben nem tettünk különbséget a két komponens között, de a fentiekben inkább csak a kontinuum (hőmérsékleti) sugárzásra vonatkoznak. A fizikai elemzés számára azonban összehasonlíthatatlanul több információt szolgáltat a spektrumvonalak radiatív transzferjének elemzése, ami további megfontolásokat igényel. A technika alapjában véve megegyezik a kontinuuméval, a lényeges különbség az abszorpcióképesség hullámhosszfüggésében van, a κλ igen gyorsan változik az atomi átmenetek hullámhosszainak közvetlen környezetében. Mielőtt rátérnénk az elméleti tárgyalásra, érdemes egy néhány ábrán bemutatni, hogy hogyan is kell elképzelnünk a spektrumvonalakat. Az 5.1 ábrán a nátrium jól ismert vonalai láthatók a Liège-i napspektrum alapján (Delbouille et al. 1972, 1981) az 5.2 ábra a Nap spektumát mutatja megjelölve a nátrium-vonalakat (elnézést kérek, hogy fekete-fehér nyomtatásban nem mutat igazán jól), az 5.3 ábra pedig a spektrumvonalak ekvivalens szélességének definícióját illusztrálja, ez egy olyan
téglalap szélessége (hullámhosszban), melynek területe megegyezik a vonal alatti területtel. Ez a vonal erősségének fontos jelzőszáma.
5.1 ábra A nátrium két D-vonala (a két erős vonal) a Nap spektrumában
↑ Na D1,D2 5.2. ábra A Nap spektruma
5.3 ábra Az ekvivalens szélesség definíciója. Egy olyan (értelemszerűen egységnyi magasságú) téglalap szélességét jelenti, melynek területe megegyezik a vonalprofil területével.
Termodinamikai egyensúly (TE) Mielőtt rátérnénk a vonalak tárgyalására, szóba kell hozni egy lényeges egyszerűsítő feltevést: a tárgyalást a termodinamikai egyensúly (TE) esetére fogjuk korlátozni, ami egy sor összefüggés érvényességét jelenti. Először is a sugárzási tér a Planck-függvénnyel írható le, amit úgy is mondhatunk, hogy érvényes az (5.6) egyenlőség. Ami a részecskék sebességeloszlását illeti, azt TE esetén a Maxwell-eloszlás írja le. Az atomok gerjesztettségi állapotaira is létezik egy összefüggés: TE esetén egy atom m és n jelű állapotának populációira érvényes a Boltzmann-eloszlás: N n gn ΔE n −ΔE m = exp − N m gm kT
(5.14) Itt az N értékek jelentik az n és m szintek számát az adott populációban, a g értékek az adott szintek statisztikai súlyai (g = 2J + 1) és a ΔE értékek az adott szintek gerjesztési energiái (excitation potential). Egy további összefüggés a Saha-egyenlet mely az ionizáltsági állapotok között ad meg összefüggést az alábbi formában: 2N k 2πm e kT N k+ 1 = ne h3
3/2
g k+ 1 ΔE I exp − gk kT
(5.15) Itt a k indexet jelzik az ionizáltság fokát, a ΔEI pedig a k -adikról a k+1 -edik ionizációra való lépéshez szükséges energia. A gk itt nem az atomi szint statisztikai súlyát jelenti, hanem az ionizált atom alapállapotának g'k és az elektronok ge statisztikus súlyából képzett g k =g' k∗g e
(5.16) értéket, ahol a ge azoknak a fázistér-celláknak a számával arányos, melyeket a szabad elektronok el tudnak foglalni. A termodinamikai egyensúly helyett általában a lokális termodinamikai egyensúly (LTE) feltételezést szokták használni, amikor a foton szabad úthossza alatt a hőmérséklet nem változik lényegesen, azonban sok esetben még ez a közelítés sem alkalmazható. Az LTE-től való eltérés figyelembevétele azt jelenti, hogy a fenti relációk (Planck, Maxwell, Boltzmann, Saha) valamelyike helyett egy reálisabbat kell alkalmazni. Megemlítjük továbbá az átmenetekre vonatkozó alábbi összefüggéseket. Egy alacsonyabb m és magasabb n állapot közötti átmenet során megvalósuló abszorpció koefficiense: hc κ λ = N m Bmn λ (5.17) A spontán emisszióra vonatkozó hasonló összefüggés : hc ε λ= N n A nm λ (5.18) Itt a Bmn és Anm az abszorpcióra és a spontán emisszióra vonatkozó Einstein-koefficiensek. Mint ismeretes, a magasabb állapotból nemcsak spontán, hanem kényszerített (stimulált) emisszió révén is legerjesztődhet az elektron, ennek formulája: hc ε' λ= N n Bnm I λ λ (5.19) Az Einstein-koefficiensek között fennállnak a következő összefüggések: 2hc Anm = 3 Bnm λ (5.20) és g m Bnm =g n Bnm (5.21) A csillagatmoszférák tárgyalása során az Einstein-koefficiensek helyett nemritkán egy másik fogalmat használnak, az oszcillátorerősséget, ez egy olyan elmélet fogalma, mely a sugárzó atomot
kvantált oszcillátorként írja le. Az oszcillátorerősségek kapcsolata az Einstein-koefficiensekkel a következő: g n mcλ 2 f mn= A g m 8π 2 e 2 nm (5.22) és g m f mn=−g n f nm (5.23) Konvolúciók Mielőtt továbbmennénk, meg kell említeni egy matematikai eljárást, melyre alább fogunk hivatkozni. Ha van két mechanizmus, melyet ugyanazon változónak (pl hullámhossz) két különböző függvénye ír le és e két mechanizmus a változó minden értékénél egymástól függetlenül jelen van, akkor közös hatásukat nem a két függvény szorzata írja le, hanem ún. konvolúciójuk, amit az alábbi példával illusztrálunk. Ha egy spektrográfba fényt eresztünk, melynek egy f(λ) -val leírt spektumvonal a része, akkor ennek a vonalnak a spektrográf kimenetén mért g(λ) profilja ilyen alakú lesz: ∞
f λ 0 = ∫ g λ− λ0 m λ dλ
(5.24) ahol m(λ) a spektrográf ún. műszerprofilja. A formula azt jelenti, hogy a műszer minden λ0 hullámhosszhoz tartozó intenzitásértékhez egy m(λ) eloszlást rendel. Létezik egy tétel is: két függvény konvolúciójának félértékszélességét a két függvény félértékszélességének négyzetösszegéből vont négyzetgyök adja. −∞
A spektrumvonalak profilja A továbbiakban κc-vel jelöljük a kon jelöljük a kontinuum abszorpciós koefficiensét és κL-lel a spektrumvonalakét. Az (5.4) most: ∞ τλ 1 I λ 0, μ = ∫ S λ τ λ exp − dτ λ μ0 μ (5.25) ahol az optikai mélység tartalmazza a kontinuum és vonal együttes járulékát: κL dτ λ =dτ C +dτ L = 1 dτ C κC
(5.26) A spektrumvonalak kiszélesedése két független mechanizmus következménye. A kiszélesedés egyik oka a hőmozgás, mely Doppler-szélesedést okoz. Mivel a hőmozgás sebességeloszlását a Gauss-féle normális eloszlás írja le, ezért a Doppler-profil normális eloszlású lesz: 1 Δλ f D Δλ = 1 /2 exp − Δλ D π Δλ D
2
(5.27)
Ahol a Doppler-kiszélesedés: Δλ D
v = λ c (5.28) Meg kell említeni, hogy a v sebességet ideális gáznál a T hőmérséklet határozza meg, de a csillagon a Wien-törvény segítségével mért hőmérséklet kisebb vonalszélességeket eredményez a mért értékeknél, ezért egy vt -vel jelölt turbulens sebességet szoktak alkalmazni a Doppler-szélesség kifejezésében: 1/2 λ 2RT Δλ D= +vt2 c μ (5.29)
Amint látható, itt a termikus és turbulens sebességek négyzetösszegéből vont négyzetgyök szerepel a sebesség helyén, ez is a fent említett konvolúciós tétel következménye. A Doppler szélesedés mellett a másik mechanizmus a sugárzási csillapítás, mely rezonanciaprofilt, ún. Lorentz-profilt eredményez. A Lorentz-féle elektronelmélet a rezgő elektonok, mint oszcillátorok sugárzás miatti csillapodását a csillapított rezgőmozgás differenciálegyenletével írja le: 2 ∂ x ∂x (5.30) +γ +ω20 x= 0 2 ∂t ∂t ahol γ a csillapítási tényező. A csillapítás következménye a Lorentz-profil: γ f L Δλ = 2πΔλ 2 +γ 2 /4 A végső vonalprofil a Doppler- és Lorentz-profil konvolúciója lesz.
(5.31)
Milne-Eddington modell A spektrumvonalak kialakulását két egyszerűsítő modell keretében szokták tárgyalni. Az egyik, a Schuster-Schwarzschild modell úgy tekinti a folytonos és vonalas spektrum kettősét, hogy a hőmérsékleti sugárzás folytonos spektruma háttérként szolgált, amely előtt egy ettől különálló "megfordító réteg" (reversing layer)-ben keletkeznek az elnyelési vonalak. Ez jelentős egyszerűsítés és bizonyos esetekben komoly könnyebbség, mert eszerint a megfordító rétegben tiszta elnyelés van, az egész vonal ebben a rétegben keletkezik, melyet optikailag olyan vékonynak tekintünk, hogy a benne keletkező folytonos sugárzástól eltekinthetünk. Ez az egyszerűsítés általában kényelmes, de valójában reálisabb az a megközelítés, hogy a hőmérsékleti sugárzás és a diszkrét atomi átmenetek ugyanabban a térrészben keletkeznek és egységesen tárgyalandók, ezt teszi a Milne-Eddington modell. Az M-E modell több egyszerűsítő feltevést (közelítést) alkalmaz. Az egyik az, hogy a forrásfüggvény (LTE esetben a Planck-függvény) az optikai mélységgel lineárisan változik: B λ T = a + bτ λ (5.32) Egy másik feltétel az, hogy a vonal és a kontinuum opacitásának hányadosa a mélység szerint konstans, melyet β-val jelölünk: κL κC
=β
(5.33)
(Itt abbahagyjuk, további részletek egy későbbi változatban .... maradjanak velünk !!)
