4. modul Poliéderek felszíne, térfogata

Matematika „A” 12. évfolyam

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata

Készítette: Vidra Gábor

Matematika „A” – 12. évfolyam – 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA

Tanári útmutató

2

Időkeret

A felszín és a térfogat szemléletes fogalmának továbbfejlesztése. A poliéderek szemléletes definíciója, alapfogalmak ismerete (pl.: alkotó, alaplap, magasság). A hasáb, a gúla, a csonkagúla felszínének és térfogatának kiszámítása a megismert képletek alapján. 6 óra

Ajánlott korosztály

12. évfolyam

Modulkapcsolódási pontok

Sokszögek területe, kerülete, síkidomok és testek hasonlósága. Hegyesszögek szögfüggvényei, a szögfüggvények kiterjesztése.

A modul célja

AJÁNLÁS A modul óráin javasoljuk a Polydron készlet alkalmazását csoportmunkában: testépítés háló vagy leírás alapján, a test adatainak (élhosszak, testmagasság, lapszögek) mérése, a mért adatok felhasználása térfogat és felszín számításakor. Az eszközkészlet használata helyett a mintapéldákat a modulhoz készült bemutató segítségével is átvehetjük, de ekkor a tanulók ne használják a Tanulók könyvét, hanem csoportosan próbálják a mintapéldát megoldani. Érdemes felhívni a tanulók figyelmét arra, hogy a szöveget kék vagy fekete tollal írják, az ábrákat pedig grafittal és színes ceruzával készítsék el, vonalzót használva. Igyekeznünk kell megtalálni a csoportmunka és az egyéni feladatmegoldás helyes arányát, ezért a modulvázlatban több helyen szerepel a „tetszőleges módszerrel” megjegyzés. Nem kell minden feladatot megoldani a modulból. A tanulócsoport igényeinek és tudásszintjének megfelelően lehetőségünk van differenciálásra (lásd vegyes feladatok) és arra is, hogy a modul anyagát a heti 3 óránál nagyobb óraszámban tanuló diákokkal is fel tudjuk dolgozni.


A képességfejlesztés fókuszai

Tanári útmutató

3

Számolás, számítás, számlálás: A zsebszámológép biztos használata. A műveleti sorrend biztos alkalmazása, különösen a térgeometria összetettebb képleteinél. Mennyiségi következtetés: Testek ismert adataiból a hiányzó adatok kiszámítása. Nagyon fontos a jó vázlat elkészítése, melyen az ismert adatokat célszerű színessel kiemelni. A valóság tárgyainak geometriai modellezéséhez szükséges képességek fejlesztése. Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet: Valóságból vett feladatok matematikai átfogalmazása, azok megoldása, és az eredmények konvertálása a valós problémába. A feladatok várható eredményének becslése, különösen a szöveges feladatok esetén. Szöveges feladatok, metakogníció: Szövegértelmezés továbbfejlesztése, a lényegkiemelő képesség fejlesztése. Csoportmunkában a társak jó gondolatainak megismerése, elfogadása, helytelen következtetések cáfolata. A geometriai feladok algebrai megoldása során keletkező hamis gyökök kiválasztásának képessége. Rendszerezés, kombinatív gondolkodás: Az eddig tanult síkidomok kerületének és területének rendszerező áttekintése. Ugyanazon síkidom területének többféle képlete közötti kapcsolat felfedeztetése. A geometriai feladatok megoldási tervének elkészítési képessége. Az adatok rendszerezése, egy feladaton belül a szükséges egység kiválasztása, és arra való átszámítás. Geometriai fogalmak segítségével az absztrakciós képesség fejlesztése. Induktív, deduktív következtetés: Összefüggések, képletek felfedezése gyakorlati tapasztalatból kiindulva, azok általánosítása és alkalmazása más esetekben.


Tanári útmutató

4

ÉRETTSÉGI KÖVETELMÉNYEK Középszint • Ismerje a felszín és a térfogat szemléletes fogalmát. • Hasáb, gúla, forgáshenger, forgáskúp, gömb, csonkagúla és csonkakúp felszínének és térfogatának kiszámítása képletbe való behelyettesítéssel. Emelt szint • Térgeometriai feladatok megoldása.

TÁMOGATÓ RENDSZER A modulhoz készült egy bemutató, amely tartalmazza az elméleti anyagot, a mintapéldákat és az eszközök alkalmazásához szükséges információkat. Ezen kívül találhatók benne olyan képek, amelyek segítenek csoportmunkában tapasztalatokat gyűjteni (ld. Polydronnal megoldható feladatok).

A TANANYAG JAVASOLT ÓRABEOSZTÁSA 1. 2. 3. 4. 5. 6.

A hasáb térfogata, felszíne Feladatok megoldása A gúla térfogata, felszíne Feladatok megoldása A csonkagúla térfogata, felszíne Feladatok megoldása


Tanári útmutató

MODULVÁZLAT Lépések,

Kiemelt készségek, képességek

Eszköz/Feladat/

tevékenységek

Gyűjtemény

I. A hasáb 1. Testek származtatása, poliéderek, térfogat, felszín, testmagasság (hasáb, gúla esetén), 2. Csoportalakítás tetszőleges módszerrel, ismétlés

Metakogníció, figyelem, rendszerezés

Bemutató

Kooperáció, kommunikáció, rendszerezés

3. Hasáb építése, mérés, térfogat és felszín meghatározása (csoportmunka, ellenőrzés párban módszer) 4. Hasáb térfogatával, felszínével kapcsolatos feladatok (egyéni feladatmegoldás vagy csoportmunka)

Kooperáció, kommunikáció, mennyiségi Bemutató, Polydron, vagy következtetés, becslés

1. és 2. mintapélda

Mennyiségi következtetés, számolás,

1–14. feladatokból váloga-

becslés, ábrázolás, számológép használa- tunk ta

5. Mintapéldák testátlóra (frontális vagy csoportmunka) 6. Testátlóval kapcsolatos feladatok (tetszőleges módszerrel)

Kooperáció, kommunikáció, mennyiségi 3. és 4. mintapéldák, bemukövetkeztetés, becslés

tató

Kooperáció, kommunikáció,


metakogníció, mennyiségi következtetés, tunk számolás, becslés, ábrázolás, számológép használata

5


Tanári útmutató

II. A gúla 1. A gúla térfogata (csoportmunkában)

Kommunikáció, kooperáció,

•

3 egybevágó gúlát építünk, és ezeket kockává illesztjük össze; metakogníció, mennyiségi következtetés

•

szabályos tetraéder, négyzet alapú gúla.

2. Gúla térfogatával és felszínével kapcsolatos feladatok

Polydron, bemutató

Metakogníció, figyelem, számolás, becs- 21–30. feladatokból válogalés, ábrázolás, matematikai szöveg érté-

tunk

se, képletek alkalmazása 3. Hasonló testek térfogata, felszíne (testépítés és számítások csoportmunkában, majd mintapéldák frontális megoldása) 4. Feladatok megoldása

Kommunikáció, kooperáció,

Bemutató, 5. és 6. minta-

metakogníció, mennyiségi következtetés példa Metakogníció, figyelem, számolás, becs- 31–33. feladatokból válogalés, ábrázolás, matematikai szöveg érté-

tunk

se, képletek alkalmazása III. A csonkagúla 1. Mintapélda megoldása (frontális, tanári magyarázat)

Metakogníció, figyelem, számolás, becs- 7. mintapélda

2. Feladatmegoldás (tetszőleges módszerrel)

lés, ábrázolás, matematikai szöveg érté-


se, képletek alkalmazása

tunk

IV. Vegyes feladatok 1. Feladatok megoldása (frontális vagy egyéni, differenciált feladatmegoldás)

Metakogníció, figyelem, számolás, becs- 43–61. feladatok közül válés, ábrázolás, matematikai szöveg értése, képletek alkalmazása

logatunk

6

4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA

TANÁRI ÚTMUTATÓ

7

I. A hasáb A lakásban szeretnénk átalakításokat végezni: új falat emelni gipszkartonból, légkondicionálót beszereltetni, a falat lefestetni. Csupa olyan probléma, amelynek megoldásához alapvető térgeometriai ismeretekre van szükség: a festék mennyiségének meghatározásához területet, felszínt kell számolni, a megfelelő hűtőrendszer kiválasztásához pedig ismernünk kell a helyiség térfogatát. A test térfogata annak a térrésznek a mértéke, amelyet a test felülete határol. A térfogatot mindig valamilyen térfogategységhez hasonlítjuk, amely az egységélű kocka térfogata. Módszertani megjegyzés: Célszerű régi térfogategységeket feleleveníteni, esetleg a történetükkel és átszámításukkal kapcsolatban internetes kutatás-projektet indítani. A testek származtatása a 9. évfolyam anyaga, az ismétlést megbeszélhetjük a modulhoz készült bemutató segítségével is. A test felszíne a testet határoló felület területe. Síklapokkal határolt testek esetén a határoló lapok területének összege. Poliédernek nevezünk egy testet, ha azt véges sok sokszöglap határolja. A poliéder konvex, ha bármely két pontjának összekötő szakaszát is tartalmazza. Minden konvex poliéderre teljesül Euler tétele: l + c = e + 2 (lapok + csúcsok száma = élek száma + 2). A poliéder szabályos, ha élei, élszögei és lapszögei egyenlők. Összesen öt ilyen test van: tetraéder (4 lap), hexaéder (kocka; 6 lap), oktaéder (8 lap), dodekaéder (12 lap), ikozaéder (20 lap).

A középiskolában leggyakrabban a poliéderek közül a hasábokkal, gúlákkal és csonkagúlákkal foglalkozunk. A test hálója poliéderek esetén az a sokszöglap, amelyet ha egy síklapból kivágunk, akkor összehajtogatható belőle a test felülete. Adott az alapsíkon egy sokszög (alaplap) és egy egyenes, amely az alapsíkkal nem párhuzamos. Ha a sokszög minden pontján keresztül párhuzamost húzunk az adott egyenessel,

8 MATEMATIKA „A” • 12. ÉVFOLYAM

TANÁRI ÚTMUTATÓ

hasábfelületet kapunk. Ezt elmetsszük egy, az alapsíkkal párhuzamos síkkal (fedőlap). Az így keletkező korlátos (zárt) térrészt nevezzük hasábnak. Egyenes hasábot kapunk, ha az adott egyenes merőleges az alapsíkra. Az oldallapokat együtt palástnak nevezzük. Az alaplap és a fedőlap síkjának távolsága adja a hasáb magasságát.

A hasáb térfogata: V = alapterület · testmagasság, felszíne: A = 2·alapterület + a palást területe.

A térfogat és felszínképletek bizonyítható állítások. Speciális hasábok a téglatest és a kocka. •

A kocka térfogata: V = a3, felszíne A = 6a2 (a a kocka élhossza).

•

A téglatest térfogata V = abc, felszíne A = 2 (ab + bc + ac) (a, b és c a téglatest egy csúcsából kiinduló éleinek hossza).

Módszertani megjegyzés: A Polydron készlet és hurkapálca segítségével tanulmányozhatjuk a testek testátlóit, lapátlóit, hajlásszögeit. Javasolt téglatesteket, hasábokat építtetni a tanulókkal csoportmunkában,

azon

méréseket

végezni,

kiszámítani

a

lapátlókat,

testátlókat,

hajlásszögeket, és a mért adatokat összehasonlíttatni a számított adatokkal. Hatékony módszer, ha a tanulók párban végzik a méréseket és számításokat: előbb egy téglatesten mér az egyik tanuló, számít a másik, majd egy szabályos hatszög alapú hasábon felcserélik a szerepeket. A csoport másik párja szintén ugyanezen a két testen dolgozik, és a párok egyeztetik az eredményeket. Így a mintapéldák helyett a gyakorlat során megépített testeken végezhetünk számításokat. Mindenképpen javasolt térfogatot és felszínt számíttatni, rajzoltassunk testhálót, írassuk be az adatokat a megfelelő élekre, és szögfüggvények alkalmazásával számítassunk hajlásszögeket is. Az alábbi mintapéldát frontálisan, a bemutató segítségével vegyük át. Választhatjuk a két mintapélda feldolgozása helyett Polydron készlet alkalmazását az előbb leírt módon.


TANÁRI ÚTMUTATÓ

9

Mintapélda1 Az ábrán látható prizma egy fényképezőgép alkatrésze. Négy darab téglalap határolja, amelyek közül a szomszédosak egy-egy oldala közös és 4 cm hosszú, valamint két szimmetrikus trapéz, amelyek alapjai 4 cm és 2 cm, magassága 2 cm. A két trapéz síkja merőleges a prizma alap és fedőlapjára. Számítsuk ki a prizma felszínét és a térfogatát! Megoldás: A

felszín

kiszámításához

szükségünk van a trapéz szárára: c = 2 2 + 11 = 5 .

A test hálóját felrajzolva láthatók a testet határoló síkidomok. A felszín ezek területének összege:

A = 4 ⋅ (2 5 + 2 + 4) +

2+4 ⋅ 2 = 30 + 8 5 ≈ 47,9 cm 2 . 2

A térfogat kiszámításához felhasználjuk, hogy a test egy trapéz alapú egyenes hasáb, az alapterület a trapéz területe: T =

2+4 ⋅ 2 = 6 cm2, a testmagasság M = 4 cm, így a 2

térfogat: V = T ⋅ M = 24 cm 3 .

Mintapélda2 Egy négyzet alapú ferde hasáb két oldallapja téglalap, másik két oldallapja olyan paralelogramma, melynek egyik szöge 60°. Mekkora a hasáb térfogata és felszíne, ha az alapél hossza 14 cm, az oldalél hossza 20 cm? Megoldás: Ábrát készítünk, és ráírjuk a megfelelő adatokat. Az alapterület T = 14 2 = 196 (cm2).

Az egyik alapél és az oldalél által alkotott derékszögű háromszögből számítható a testmagasság, amely ebben az esetben az egyik oldallap magassága is egyben: sin 60° =

m , ahonnan m = 20 ⋅ sin 60° ≈ 17,32 (cm). 20

A térfogat V = T ⋅ m ≈ 3394,7 cm 3 . A felszín kiszámításához minden adatot ismerünk: A = 2 ⋅ (14 2 + 20 ⋅14 + 14 ⋅17,32) ≈ 1436,96 cm 2 .


TANÁRI ÚTMUTATÓ

Feladatok Módszertani megjegyzés: A következő feladatokat csoportmunkában dolgozzuk fel: mindenki 1-1 részfeladattal foglalkozik a csoportból. Adott időre (például 8 perc) kell végezni. Az értékelés a megoldás helyessége alapján történik, a csoportban először a négyzetes oszlop térfogatának és felszínének képletét kell megkeresni, majd a munkamegosztásról kell dönteni. Az elkészült csapattagok segíthetnek társaiknak, ellenőrizhetik őket. Gyengébb képességű tanulók esetén a képleteket közösen is meghatározhatjuk. Ekkor a megoldáshoz kevesebb időt adunk.

1. Mekkora az a alapélű, b oldalélű négyzetes oszlop a térfogata és felszíne, ha

a) a = 12 cm, b = 2 dm;

b) a = 2,4 cm, b = 35 mm;

c) a = 400 mm, b = 4 dm;

d) a = 55 mm, b = 0,3 dm. Megoldás: a) 2880 cm3, 1248 cm2; b) 20,16 cm3, 45,12 cm2; c) 64 dm3; 96 dm2; d) 90,75 cm3; 126,5 cm2.

2. Egy négyzetes oszlop magassága háromszorosa az alapélnek. Töltsd ki a táblázat

hiányzó részeit! alapél

térfogat

felszín

a)

6 cm

648 cm3

504 cm2

b)

4,6 dm

292 dm3

296,24 dm2

c)

7 cm

1029 cm3

686 cm2

d)

2,5 m

46,875 m3

87,5 m2

3. Egy építkezéshez 32 darab, négyzetes oszlop alapú gerendát használnak fel. A gerenda

keresztmetszete 10,5 cm x 10,5 cm, hosszuk egységesen 8,4 m. a) Hány m3 a gerendák térfogata összesen? b) A gerendákat olyan felületkezelő anyaggal vonják be, amelynek kiadóssága 10 m2/liter. Hány liter vegyszerre van szükség? Megoldás: a) 32 ⋅ 2,96 m 3 ≈ 94,72 m3 ; b) 35500,5 cm2 ≈ 3,5 m2 egy gerenda felszíne, azt összes felszín: 112 m2, ehhez 11,2 l favédő anyag kell.


TANÁRI ÚTMUTATÓ

11

4. Számítsd ki az egyenlőszárú háromszög alapú hasáb térfogatát és felszínét, ha az

alaplap alapja 50 cm, szárai 45 cm hosszúak, és a hasáb magassága 70 cm! Megoldás: Az alaplap magassága T=

m = 452 − 252 = 1400 ≈ 37,4 cm, az alapterület

a ⋅ m 50 ⋅ 37,4 = ≈ 935 cm2, a térfogat V = T ⋅ M = 65450 cm3. 2 2

A felszín A = 2T + P = 2 ⋅ 935 + (50 + 2 ⋅ 45) ⋅ 70 = 11670 cm2.

5. Az üzletben 750 ml-es utántöltőben is árulják a folyékony szappant. Van egy hasáb

alakú tartónk, amelynek alaplapja egy 6 cm és 12 cm alapú, 7,2 cm szárú trapéz, a testmagassága 18 cm, és a tartó térfogatából 85% a tartály. Betölthető-e ebbe a szappantartóba a vásárolt folyékony szappan? Megoldás: Az alaplap magassága m = 7,2 2 − 32 ≈ 6,55 , az alapterület T =

6 + 12 ⋅ 6,55 = 58,95 2

(cm2). A térfogat V = T ⋅ M = 1061,1 cm3. 0,85 ⋅V ≈ 902 cm3 ≈ 9 deciliter, tehát a 7,5 dl belefér.

6. Az alábbi lakás szobáiba és konyhájába szeretnének

klímaberendezést vásárolni. A lakás magassága 2,8 méter. Becsüljük meg, mekkora teljesítményű berendezéseket vásároljanak az egyes helyiségekbe! Átlagosan 35 W/m3 teljesítményegységgel számolhatunk. Megjegyzés: A kapott érték valóban becslés, mert a kívánt teljesítmény függ a helyiség használatának jellegétől, a benne tartózkodó személyek számától, a burkolófelületek anyagától, a tájolástól stb.

Megoldás: A konyha térfogata

3,6 ⋅ 4,3 ⋅ 2,8 ≈ 43,3

m3,

a

szükséges

teljesítmény

43,3 ⋅ 35 = 1515,5 W ≈ 1,5 kW . Hasonlóan számolv: 1. szoba: 44,5 m3 és 1,6 kW; 2. szoba: 70 m3 és 2450 W ≈ 2,5 kW; 3. szoba: 32 m3 és 1120 W ≈ 1,1 kW.


TANÁRI ÚTMUTATÓ

7. Egy 9 cm oldalhosszúságú kocka sarkaiból levágunk egy-

egy 3 cm oldalélű kockát az ábra szerint. Mekkora a megmaradó rész térfogata és felszíne? Megoldás: V = 9 3 − 8 ⋅ 33 = 513 cm3 , a felszín megegyezik a kocka felszínével: A = 6 ⋅ 9 2 = 486 cm2.

8. Mekkora az ábrán látható, 2 cm élű

játékkockákkal kirakott játékbástya térfogata és felszíne? Megoldás: Az építmény 42 kis kockából áll, így a térfogata V = 42 ⋅ 23 = 336 cm3. A felszínt 168 négyzet adja, aminek a területe A = 168 ⋅ 2 2 = 672 cm2. Módszertani megjegyzés: Csoportmunkához ajánlott, hogy a tanulók számítsák ki padjuk faanyagának (vagy bútorlapanyagának) térfogatát és felszínét. Határozzák meg, hogy milyen adatokat kell megmérniük, végezzék el a méréseket, majd a számításokat.

9. Egy téglatest egyik éle 3 m-rel hosszabb a másiknál, a harmadik éle 20 m, a térfogata

2600 m3. Mekkorák az élei és a hasáb felszíne? Megoldás: Másodfokúra visszavezethető egyenletet kapunk (a a rövidebbik él):

2600 = a(a + 3)20 , ahonnan a hiányzó élek 10 és 13 m, a felszín 1180 m2.

10. Egy téglatest felszíne 8576 cm2. Egyik oldaléle 2,4 dm, a másik két oldalél különbsége

12 cm. Mekkorák a hasáb élei és térfogata? Megoldás: Másodfokúra

visszavezethető

egyenletet

kapunk

(a

a

rövidebbik

él):

A = 8576 = 2[24a + 24(a + 12) + a (a + 12)], ahonnan a hiányzó élek 40 cm és 52 cm, a

térfogat 49920 cm3.


TANÁRI ÚTMUTATÓ

13

11. Egy ajtóban az üveg keretét 8 cm x 3 cm széles deszkából készítették. Az

ajtó 210 cm magas és 86 cm széles, az üveg 8 mm vastag. Az ajtó térfogatának hány százaléka az üveg térfogata? Megoldás: Az üvegtábla méretei: 194 cm x 70 cm, a térfogata V1 = 194 ⋅ 70 ⋅ 0,8 = 10864 cm3, a keret térfogata V2 = 2 ⋅ (210 ⋅ 8 ⋅ 3 + 70 ⋅ 8 ⋅ 3) = 13440 cm3. Az üveg

V1 ⋅100 = 44,7% . V1 +V2

12. Egy szabályos hatszög alapú hasáb magassága másfélszerese az alapélének. Mekkora

a hasáb felszíne, ha térfogatának pontos értéke 3888 3 ? Megoldás: a az oldalél, az alapterület T = 6 ⋅

a2 3 , a testmagasság M = 1,5a . A térfogat 4

6a 2 3 ⋅ 1,5a V =T ⋅M = = 2,25 3a 3 = 3888 3 , így a = 12, M = 18 . 4 A felszín A = 2T + P = 3a 2 3 + 6aM = 432 3 + 1296 ≈ 2044,2 (te).

13. Egy szabályos sokszög alapú hasáb alapéle 12 cm, testmagassága 25 cm. Számítsd ki a

hasáb térfogatát és felszínét, ha az alaplap a) hatszög;

b) ötszög;

c) nyolcszög;

Megoldás: a) V ≈ 9353 cm3, A ≈ 2548 cm2; c) V ≈ 17382 cm3, A ≈ 3791 cm2;

d) tízszög.

b) V ≈ 6194 cm3, A ≈ 1995 cm2;

d) V ≈ 27699 cm3, A ≈ 5216 cm2.

14. Egy szabályos háromszög alapú egyenes hasáb alapéle 8 cm hosszú, palástjának

területe (az oldallapok területösszege) hatszorosa az egyik alaplap területének. Mekkora a hasáb felszíne és térfogata? a2 ⋅ 3 Megoldás: Az alaplap területe T = = 16 3 . 4 A palást területe P = 3 ⋅ a ⋅ M ⇒ 6 ⋅16 3 = 3 ⋅ 8 ⋅ M , ahonnan a testmagasság M = 4 3 .

A hasáb térfogata V = T ⋅ M = 192 cm3, a felszíne A = 2T + 3aM = 128 3 ≈ 221,7 cm2. Módszertani megjegyzés: Ez a feladat szerepelt a 2006. májusi középszintű érettségin.


TANÁRI ÚTMUTATÓ

Mintapélda3 Egy ideiglenes, téglatest alakú színpad vas keretéhez merevítésként be kell hegeszteni síkonként egy-egy lapátlót és két testátlót (amelyek metszik egymást, ezért a két testátlót négy egyforma darabból kell összeállítani). Számítsuk ki, hogy a kerettel együtt mennyi vas anyagra lesz szükség, ha a színpad 1,6 m magas, és 10 m x 6m a felület, amin fellépnek a művészek. Mekkora szögben illeszkedik egymáshoz a két testátló, és milyen hosszú az a négy darab, amiből összehegesztve megkapjuk a merevítést? Megoldás: A téglatest lapátlóit Pitagorasz-tétellel számítjuk ki:

x = 6 2 + 1,6 2 = 38,56 ≈ 6,21 (m) y = 6 2 + 10 2 = 136 ≈ 11,66 (m) z = 1,6 2 + 10 2 = 102,56 ≈ 10,13 (m)

A testátlót a kiemelt derékszögű háromszögből Pitagorasz-tétellel határozzuk meg: d 2 = 10 2 + x 2 = 10 2 + 6 2 + 1,6 2 , ahonnan d 2 = 138,56 , d ≈ 11,77 (m). A megfelelő darabok hosszát összeadva kapjuk a szükséges anyagmennyiséget:

4 ⋅ (10 + 6 + 1,6) + 2 ⋅ ( x + y + z ) + 2 ⋅11,77 ≈ 150 m anyagra van szükség.

A hajlásszög kiszámításához derékszögű háromszöget keresünk a testátlók által meghatározott síkban. z z Szögfüggvény segítségével tg α = 2 = , ahonnan 5 10

α ≈ 45,5°. A feladat megoldása során láttuk, hogy a testátló hossza hogyan függ az oldalak hosszától: d2 = a2 + b2 + c2. Ebből kapunk egy általánosan is igaz összefüggést:

A téglatest testátlójának hossza: d = a 2 + b 2 + c 2 , ahol a, b és c a téglatest egy csúcsban összefutó éleinek hossza.


TANÁRI ÚTMUTATÓ

15

Mintapélda4 Hogyan függ a kocka testátlójának hossza a kocka (a) oldalhosszától? Megoldás: A kocka is téglatest, így a testátlóra kapott összefüggést itt is alkalmazhatjuk. Most minden oldal egyenlő: d = a 2 + a 2 + a 2 = 3a 2 , ahonnan d = a 3 .

Feladatok 15. Egészítsd ki a táblázat hiányzó részeit! a, b és c egy téglatest egy csúcsban összefutó

élei, d a testátló, A a felszín és V a térfogat. a

b

c

d

A

V

a)

5 cm

8 cm

10 cm

13,7 cm

340 cm

400 cm3

b)

12,3 cm

0,46 dm

72 mm

15 cm

356,5 cm2

407,4 cm3

c)

10 m

20 m

26 m

34,3 m

1960 m2

5200 m3

d)

6 cm

11 cm

14,8 cm

19,4 cm

635,2 cm2

976,8 cm3

a+8

a + 11

26,1 dm

1168 dm2

2432 dm3

16 dm

19 dm

e) 8 dm

2

16. Mekkora szöget zár be a kocka testátlója

a) a kocka éleivel;

b) a kocka lapjaival; c) a kocka egy másik testátlójával?

Megoldás: a) tgα = 2 , α ≈ 54,7° ; b) 90° − α ≈ 35,3° ;

c)

a 2 a 2 β sin = 2 = 2 = d 2 a 3 2 2

2 , 3

β ≈ 109,5° .

Azonban

a

hajlásszög 90°-nál nem nagyobb, ezért a keresett szög β mellékszöge: 70,5°.

17. Mekkora a kocka térfogata és a felszíne, ha testátlója 12 cm?

Megoldás: A testátló: d = 12 = a 3 , ahonnan a =

12 = 4 3 . A térfogat 3

V = a 3 = 192 3 ≈ 332,6 cm3, a felszín A = 6a 2 = 288 cm2.


TANÁRI ÚTMUTATÓ

18. Egy téglatest két éle 8 cm és 16 cm, felszíne 1168 cm2. Mekkora szöget zár be a

testátlója azokkal az élekkel és lapokkal, amelyek a testátló egyik csúcspontjában találkoznak? A = 2(ab + ab + bc) ⇒ 1168 = 2(8 ⋅ 16 + 8 x + 16 x) ,

Megoldás:

ahonnan a harmadik él: x = 19 cm. d = a 2 + b 2 + c 2 ≈ 26,1 . cos α =

x , ahonnan α ≈ 43,3° a 19 cm-es éllel bezárt szöge, és d

az alaplappal bezárt szöge 90° − α ≈ 46,7° . Hasonló módon a másik két éllel bezárt szögek 72,2° és 52,2°, a másik két lappal bezárt szögek 17,8°és 37,8°.

19. Mekkora szöget zár be a 4 cm alapélű, 499 cm3 térfogatú, szabályos hatszög alapú

hasáb leghosszabb testátlója az alaplappal? Megoldás: a2 3 V Az alapterület T = 6 ⋅ = 24 3 , a magasság M = ≈ 12 cm. 4 T tgα =

M 12 3 = = , ahonnan α ≈ 56,3° . 2a 8 2

20. Egy szabályos sokszög alapú egyenes hasáb alapéle a, oldaléle b. Fejezd ki a

leghosszabb testátlót a és b segítségével, ha az alaplap a) négyzet;

b) hatszög;

c) nyolcszög.

Megoldás:

a) e 2 = 2a 2 , d 2 = b 2 + e 2 ⇒ d = 2a 2 + b 2 ; a 2 c) e = ; d 2 = ( 2e ) 2 + b 2 ⇒ d = cos 67,5°

b) d = 4a 2 + b 2 ;

a2 + b2 . 2 cos 67,5°


TANÁRI ÚTMUTATÓ

17

II. A gúla Módszertani megjegyzés: A gúla térfogatát szemléletesen pleximodellek és víz segítségével mutathatjuk be, ha van azonos alaplapú és testmagasságú, nyitott téglatestünk, illetve gúlánk. Ekkor 3 gúlányi vizet kell a téglatestbe tölteni, hogy tele legyen. A másik lehetőség: a modulvázlat mellékletében három gúla hálózata található (A4-es lapra kinyomtatható, kartonból kivágható és összeragasztható). A három gúlából összeállítható egy szabályos háromszög alapú hasáb (ragasztógyurmával összeragasztható). A három gúláról belátható, hogy térfogatuk megegyezik (ehhez előtte meg kell egyeznünk abban, hogy ha két gúlának egyenlő az alapterülete és a magassága, akkor azok térfogata is egyenlő), így a gúla térfogata a hasáb térfogatának harmada. A Polydron készletet is használhatjuk a szemléltetéshez:

A következő feladatokat csoportmunkában javasolt megoldani. Az első feladatot a csoport együtt oldja, vagy tanári irányítással az egész osztály. Ezután a feladatokat a csoporton belül megosztják a tanulók. Adott az alapsíkon egy sokszög (alaplap) és egy pont az alapsíkon kívül (csúcspont). Ha a sokszög minden pontját egyenesekkel összekötjük az adott ponttal, gúlafelületet kapunk. A keletkező korlátos térrészt nevezzük gúlának. A gúla magassága az alaplap síkjának és a csúcspontnak a távolsága.


TANÁRI ÚTMUTATÓ

Feladatok 21. Kheopsz fáraó négyzet alapú szabályos gúlát formáló Nagy Piramisának eredeti

alapéle 230 m, magassága 147 m volt. Számítsuk ki, hogy mekkora a térfogata és a felszíne! Megoldás: a = 230 m, M = 147 m; V=

T ⋅ M a2 ⋅ M = ≈ 2,6 ⋅ 10 6 m3, 3 3

A = a2 + 4⋅

a⋅m = a 2 + 2am ; 2

2

⎛a⎞ m = ⎜ ⎟ + M 2 ≈ 186,6 (m). Behelyettesítve A = 138736 ≈ 1,4 ⋅ 105 m2. ⎝2⎠

22. Egy négyzet alapú szabályos gúla alapéle 3,5 dm. Mekkora a térfogata és a felszíne, ha

50 cm a) a testmagassága;

b) az oldallapjának magassága;

c) az oldaléle?

Megoldás: a) a = 35 cm, M = 50 cm . V=

T ⋅ M a2 ⋅ M = ≈ 20417 cm3, 3 3 2

⎛a⎞ m = ⎜ ⎟ + M 2 ≈ 53 cm, A = a 2 + 2am = 4935 cm2. ⎝2⎠ 2

⎛a⎞ b) a = 35 cm, m = 50 cm , M = m − ⎜ ⎟ ≈ 46,8 (cm). V ≈ 19110 cm3, ⎝2⎠ 2

A = 4725 cm2. 2

⎛a 2⎞ a2 35 2 2 2 2 ⎜ ⎟ =b ⇒ M = b − = 50 − ≈ 43,4 cm, V ≈ 17721,7 cm3. c) M + ⎜ ⎟ 2 2 ⎝ 2 ⎠ 2

2

2

⎛a⎞ ⎛ 35 ⎞ m = b − ⎜ ⎟ = 50 2 − ⎜ ⎟ ≈ 46,8 cm, A ≈ 4501 cm2. ⎝2⎠ ⎝ 2⎠ 2


TANÁRI ÚTMUTATÓ

19

23. Egy szabályos hatszög alapú egyenes gúla alapéle a = 12 cm. Mekkora a térfogata és a

felszíne, ha 20 cm

a) testmagassága;

b) oldallapjának magassága;

Megoldás: az alapterület mindhárom esetben T = 6 ⋅ x=

c) oldaléle?

a2 3 ≈ 374,1 (cm2), és 4

a 3 T ⋅M ≈ 10,4 (cm). Az alkalmazott képletek: V = , 2 3

A = T + 6⋅

a⋅m . 2

a) a = 12 cm; M = 20 cm . V ≈ 2494 cm3. m = x 2 + M 2 ≈ 22,6 (cm), A ≈ 1188 cm2. b) a = 12 cm; m = 20 cm . M = m 2 − x 2 ≈ 17,1 (cm), V ≈ 2132,4 cm3. A ≈ 1094 cm2. c) a = 12 cm; b = 20 cm . M = b 2 − a 2 = 16 (cm), V ≈ 1995,2 cm 3 . m = x 2 + M 2 ≈ 19,1 (cm), A ≈ 1061,7 cm2. Módszertani megjegyzés: A következő két feladatnak a) és b) része is van, a megoldást „ellenőrzés párban” módszerrel javasoljuk. A 4 fős csoport egyik párja az a) feladatot oldja, mialatt a másik pár a b)-vel foglalkozik. Egy adott idő múlva (ez függ a gyerekek terhelhetőségétől) a párok feladatot cserélnek. Az „ellenőrzés párban” módszernek az a lényege, hogy a pár egyik tagja oldja a feladatot a másik ellenőrzése mellett, majd a következő feladatnál szerepet cserélnek. Mindkét feladat megoldása után a csoporton belül egyeztetik az eredményeket és megbeszélik a tapasztalatokat. A szerepcsere fontos, hogy a feladat jellegével és megoldásával minden tanuló megismerkedjen. 24. Egy négyzet alapú szabályos gúla alapéle 10 cm. Mekkora a gúla térfogata és a

felszíne, ha 75° a) az oldalél és az alaplap hajlásszöge;

b) az oldallap és az alaplap hajlásszöge?

Megoldás: a) a = 10 cm , α = 75° . Az alaplap átlójának a fele 5 2 (cm), a testmagasság

M = 5 2 ⋅ tg 75° ≈ 26,4 (cm). Az oldallap 2

⎛a⎞ magassága m = M 2 + ⎜ ⎟ ≈ 26,9 (cm). ⎝2⎠ A keresett adatok: V ≈ 880 cm 3 , A ≈ 638 cm 2 .


TANÁRI ÚTMUTATÓ

a b) a = 10 cm , β = 75° . m = 2 ≈ 19,3 (cm) , M = 5 ⋅ tgβ ≈ 18,7 (cm). cos β

A keresett adatok: V ≈ 623,3 cm 3 , A ≈ 486 cm 2 . 25. Egy hatszög alapú szabályos gúla alaplapja köré 12 cm átmérőjű kör írható. Mekkora

a térfogata és a felszíne, ha 45° a) az oldalél és az alaplap hajlásszöge;


Megoldás: a) A szabályos hatszög köré írható körének sugara egyenlő a hatszög alapélének hosszával: a = 6 cm , α = 45° . a2 3 M = a ⋅ tgα = 6 (cm), T = 6 ⋅ ≈ 93,5 (cm2). 4 2

⎛a 3⎞ ⎟ ⇒ m ≈ 7,9 . A keresett adatok: m = M + ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ V ≈ 187 cm 3 , A ≈ 235,7 cm 2 . 2

2

M a 3 ≈ 7,4 (cm), T ≈ 93,5 (cm2). ⋅ tgβ ≈ 5,2 (cm), m = sin β 2 A keresett adatok: V ≈ 162 cm 3 , A ≈ 226,7 cm 2 .

b) a = 6 cm , β = 45° . M =

26. Két szabályos gúla magassága megegyezik. Az egyik alaplapja szabályos ötszög, a

másiké szabályos hatszög. A két sokszög köré írható körök sugara is megegyezik. Hány százalékkal nagyobb az egyik test térfogata a másik térfogatánál? Megoldás: A hatszög területe: T1 = 6 ⋅

r2 3 ≈ 2,5981 ⋅ r 2 , az ötszög 4

területe T2 = 5 ⋅

r 2 ⋅ sin 72° = 2,3776 ⋅ r 2 . 2

A térfogatok aránya: T1 ⋅ M V1 T = 3 = 1 = 1,093 , vagyis a hatszög alapú gúla térfogata 9,3%-kal nagyobb az V2 T2 ⋅ M T2 3 ötszög alapú gúla térfogatánál.


TANÁRI ÚTMUTATÓ

21

27. Reklámcélra egy cég legyártja az ábrán látható testet: egy

120 cm élű kocka éleinek harmadoló pontjait kötötték össze, és levágták a kocka így adódó sarkait. a) Mekkora a keletkező test térfogata? b) Mekkora a felülete a piros és a kék részeknek összesen? Megoldás: a) A levágott gúla alaplapjának az egyik derékszögű háromszög alakú lapját tekintjük. Ekkor a gúla magassága 40 cm. 40 2 ⋅ 40 T ⋅M V1 = = 2 ≈ 10666,7 cm 3 . A test térfogata 3 3 V = 120 3 − 8 ⋅ V1 ≈ 1642666,4 cm 3 ≈ 1,6 m 3 . b) A testet 6 darab nyolcszög és 8 darab szabályos háromszög határolja.

Egy

T1 = 5 ⋅ 40 2 + 4 ⋅

(

nyolcszögek

40 2 = 11200 (cm2), 2

egy

)

területe:

háromszög

területe:

2

a 2 3 40 2 ⋅ 3 T2 = = ≈ 1385,6 (cm2). 4 4

A

test

A = 6 ⋅ T1 + 8 ⋅ T2 ≈ 78284,8 cm 2 ≈ 7,8 m 2 .

28. a) Számítsuk ki az a élű szabályos tetraéder térfogatát és felszínét!

b) Mekkora az alaplap és az oldallap, illetve az alaplap és az oldalél hajlásszöge? Megoldás: a) s =

a 3 a2 3 . A testmagasság az alaplap ,T = 2 4

középpontjában, a súlyvonal oldalhoz közelebbi harmadoló pontjában metszi az alaplapot. Ezért 2

2 ⎛2 3⎞ a2 2 2 ⎛2 ⎞ ⎟ = a2 − M = a − ⎜ ⋅ s ⎟ = a 2 − ⎜⎜ ⋅ a = a , M = 2 ⎟⎠ 3 3 ⎝3 ⎠ ⎝3 2

2

2 a . Az oldallap 3

a 3 a2 3 . A felszín: A = 4 ⋅ = a 2 3 , a térfogat magassága m = 2 4 1 1 a2 3 2 a3 2 V = T ⋅M = ⋅ a= . 3 3 4 12 3

felszíne:


TANÁRI ÚTMUTATÓ

2 a 3 ⋅ 3 ⇒ α ≈ 54,7° , az b) Az alaplap és az oldalél által bezárt szög: cos α = 3 2 = a 3 alaplap és az oldallap szöge: cos β =

1 ⇒ β ≈ 70,5° . 3

29. A Téglatest együttes új nevet vett fel: Pyramys. Az együttes koncertjein árult,

műanyagból készült, 3 cm×4 cm×5 cm élű téglatestekből 360 darab megmaradt. Ezeket megolvasztják, és olyan négyzet alapú szabályos piramisokat gyártatnak belőle, amelyek alapéle 7 cm, testmagassága 3,5 cm. A gyártás során 7%-os térfogatveszteséggel kell számolni. Hány ilyen piramis készíthető? Megoldás: A megmaradt anyag térfogatának 93%-a megegyezik az új piramisok térfogatának összegével: V1 ⋅ 0,93 = V2 . V1 = 360 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 21600 cm3, n darab piramis esetén a térfogat V2 = n ⋅

7 2 ⋅ 3,5 ≈ n ⋅ 57,17 . Az egyenletet felírva: 21600 ⋅ 0,93 = n ⋅ 57,17 , 3

ahonnan n ≈ 351,4 , vagyis 351 darab piramis készíthető.

30. Egy vállalkozás reklámcélokra szabályos hatszög alapú szabályos gúlákat csináltat,

amit fából készítenek el. A gúla alapélei 4,2 cm hosszúak, magassága 25 mm. Eddig 250 ilyen ajándékot osztottak ki. a) Hány cm3 faanyag van az eddig kiosztott gúlákban? b) A gúla oldallapjait színesre festik. Hány cm2 felületet festenek be egy gúla oldallapjainak a színezésekor? Mennyi festékre volt szükség a 250 ajándék befestésekor, ha 1 m2-hez 3,6 liter festék kell? Megoldás: a2 3 a) Az alapterület hat szabályos háromszög összege: T = 6 ⋅ ≈ 45,83 (cm2), a gúlák 4 térfogata: V = 250 ⋅

T ⋅M 4,2 2 3 = 250 ⋅ 6 ⋅ ⋅ 2,5 ≈ 250 ⋅ 38,2 ≈ 9550 cm3. 3 4

b) A palást területének kiszámításához szükségünk van az oldallap magasságára. x=

a 3 ≈ 3,64 (cm), 2

a

Pitagorasz-tételt

felírva


TANÁRI ÚTMUTATÓ

x 2 + 2,5 2 = m 2 , ahonnan m ≈ 4,41 (cm). A palást területe: P = 6 ⋅

23

4,2m ≈ 55,6 cm2, 2

összesen a felszín: A = 250 ⋅ P ≈ 13900 (cm2) ≈ 1,4(m2), ezért 1,4 ⋅ 3,6 ≈ 5 liter festék kellett. Módszertani megjegyzés: Ez a feladat szerepelt a 2005. októberi középszintű érettségin. A következő mintapélda a hasonló testek térfogatának és felszínének arányára világít rá, a tapasztalat szintjén. A mintapélda helyett Polydron segítségével, csoportmunkában is megtapasztalhatjuk az ismereteket (3.1 feladatlap).

Mintapélda5 Egy 12 cm alapélű, 12 cm magasságú négyzet alapú szabályos gúlát elvágunk a testmagasság harmadoló pontjain átmenő, alaplappal párhuzamos síkokkal. a) Határozzuk meg az így keletkező három test térfogatát! Megoldás: A vázlat elkészítése a megoldás egyik kulcslépése. Három gúlát kapunk, amelyek alaplapja hasonló egymáshoz (a gúla csúcsából történő középpontos hasonlósággal ezek az alaplappal párhuzamos síkmetszetek egymásba vihetők). A hasonlóság arányát a megfelelő szakaszok, most a testmagasságok arányából határozzuk meg. A hasonló síkidomok területe a hasonlóság arányának négyzetével egyezik meg: T2 : T3 = (M 2 : M 3 ) = 2 2 , ami azt 2

jelenti, hogy T2 = 2 2 ⋅ T3 = 4T3 , és hasonlóan T1 = 32 ⋅ T3 = 9T3 . A szabályos egyes gúlák alapterülete: T3 = térfogata V =

T1 12 2 = = 16 cm2, T2 = 64 cm2, a gúla 9 9

T ⋅M 16 ⋅ 4 64 , a legkisebb gúláé V3 = = ≈ 21,3 cm3. 3 3 3

A másik két test térfogata gúlák térfogatának különbségeként állítható elő: V2 =

64 ⋅ 8 12 2 ⋅ 12 − V3 ≈ 149,3 cm3, illetve V1 = − (V2 + V3 ) ≈ 405,3 cm3. 3 3

Megjegyzés: A gúla alaplapjával párhuzamos síkok által levágott testek közül a gúla csúcsánál egy újabb gúla keletkezett, a másik két test pedig egy-egy csonkagúla, amellyel a későbbiekben részletesen foglalkozunk. A keletkezett kis gúla hasonló az eredetihez. A hasonlóság a térbeli alakzatokra is ugyanazt jelenti, mint a síkidomokra megadott definíció.


TANÁRI ÚTMUTATÓ

Mintapélda6 Egy T alapterületű, M testmagasságú gúlát a csúcsából k-szorosára nagyítunk. Írd fel T, M és k segítségével a keletkező új gúla térfogatát! Megoldás: Az eredeti gúla térfogata V =

T ⋅M T '⋅M ' , ahol T’ az új . A nagyított gúla térfogata V ' = 3 3

test alapterülete, M’ pedig a testmagassága. A nagyított és az eredeti gúla hasonlósága miatt M ' = k ⋅ M , míg az alapterület T ' = k 2 ⋅ T . Ezeket behelyettesítve V '=

(

)

T '⋅M ' k 2 ⋅ T ' ⋅ (k ⋅ M ') T '⋅M ' = = k3 ⋅ = k 3 ⋅V 3 3 3

Hasonló testek felszínének aránya a hasonlóság arányának második hatványa. Hasonló testek térfogatának aránya a hasonlóság arányának harmadik hatványa.

Ha az 1. és a 2. test hasonló és k a hasonlóság aránya, akkor A1 = k2 A2

és

V1 = k3 V2

Feladatok 31. Egy szabályos gúlát úgy vágunk el egy alaplappal párhuzamos síkkal, hogy a

keletkező két rész térfogata megegyezzen. A magasság hányad részénél kell elvágnunk a gúlát? Megoldás: A levágott és az eredeti gúla között k arányú hasonlóság van, M = k ⋅ m , és V V = k 3 ⋅ v (kisbetűk jelölik a levágott gúla adatait). Ez utóbbiból V = k 3 ⋅ , ahonnan 2 1 k = 3 2 . Innen m = 3 M ≈ 0,79 ⋅ M . Tehát a csúcstól számítva a magasság 79%-ánál 2 kell elvágni a gúlát. 32. Egy hatszög alapú szabályos gúla testmagassága és alapéle egyaránt 24 cm. Úgy

vágjuk el a gúlát egy alaplappal párhuzamos síkkal, hogy a keletkező két rész térfogatának aránya 3 : 2 legyen! a) Számítsd ki a keletkező részek térfogatát! b) Hol kell elvágni a gúlát? Módszertani megjegyzés: jobb képességű diákoknak feladhatjuk a felszín kiszámítását is.


TANÁRI ÚTMUTATÓ

25

1 1 24 2 3 ⋅ 24 ≈ 1995,3 (cm2). A kisebb Megoldás: a) A nagy gúla térfogata V = ⋅ T ⋅ M = ⋅ 3 3 4 3 2 gúla térfogata V1 = V ≈ 1197,2 cm 3 , a csonkagúla térfogata V2 = V ≈ 798,1cm 3 . 5 5 b) A hasonló testek térfogatának aránya a hasonlóság köbével egyenlő. A kis gúla és az 3 eredeti gúla hasonló, a hasonlóság aránya: k = 3 ≈ 0,84 , azaz a csúcstól számítva 5 20,1 cm-re kell az eredeti gúlát az alaplap síkjával párhuzamosan elvágni. 33. Egy 8,5 cm alapélű, szabályos négyoldalú gúla oldaléle az alaplappal 65°-os szöget

zár be. Az alaplaptól milyen távolságokban vágjuk el a gúlát két, alaplappal párhuzamos síkkal, hogy a keletkező részek térfogata egyenlő legyen? Megoldás: Legyen a legkisebb gúla magassága M1. A hasonlóság miatt M 2 = 3 2 ⋅ M 1 és M 3 = 3 3 ⋅ M 1 . Az alaplap átlójának fele, M3 és az oldalél által alkotott derékszögű háromszögben: tg 65° =

M3 ⇒ M 3 ≈ 12,9 (cm), így 8,5 2 2

M 1 ≈ 8,9 (cm), M 2 ≈ 11,3 (cm). Az alaptól tehát 1,6 cm és 4 cm-re kell elvágni a gúlát.


TANÁRI ÚTMUTATÓ

III. A csonkagúla Ha a gúlát elmetsszük egy, az alaplappal párhuzamos síkkal, csonkagúlát kapunk.

Mintapélda7 Hány liter virágföldet vásároljunk abba a négyzet alapú, csonkagúla alakú virágládába, amelynek belső méretei: az alaplap éle 26 cm, a fedőlap éle 38 cm, a láda magassága 47 cm? Megoldás: A cserép térfogatának meghatározásához ismerni kell a csonkagúla térfogatának kiszámítási módját. Hasonlóság segítségével a következő képletet lehet levezetni: A csonkagúla térfogata: V =

(

)

M T + t ⋅ T + t , ahol M a 3

testmagasság, t a fedőlap, T az alaplap területe.

Az adatokat képletbe behelyettesítve: V=

)

(

47 2 26 + 382 ⋅ 26 2 + 382 = 48692 cm 2 ≈ 48,7 liter . Érdemes tehát egy 50 literes 3

zsák virágföldet megvásárolni. A csonkagúla felszínének kiszámításához nincs képlet, minden feladatot egyedi módon oldunk meg. Ha a csonkagúla négyzet alapú szabályos gúlából származott, melynek adatai az ábrán láthatók, akkor meghatározzuk az oldallapok (trapézok) területét. Az oldallap magassága (m) és testmagasság (M), valamint az oldallap magassága és az oldalél (b) között a Pitagorasz-tétel teremt kapcsolatot:

⎛a−c⎞ m = M +⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ 2

2

⎛a−c⎞ b = m +⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ 2

2

2

2


TANÁRI ÚTMUTATÓ

27

Módszertani megjegyzés: A következő feladatot csoportmunkában javasoljuk megoldani.

Feladatok 34. Egy egyiptomi matematikatörténeti emlék, a moszkvai papirusz a következőképpen

írja le a csonkagúla térfogatának kiszámítását: „[ … ] alapélek: 2, illetve 4 könyök, magasság: 6 könyök. 1. Add össze ezt a 16-ot 2. ezzel a 8-cal és ezzel a 4-gyel: 3. kijön 28. Számítsd ki 4. 1/3-át a 6-nak. Kijön 2. 5. Számolj 28-asával kétszer. Kijön 56. 6. Nézd, ez 56. Helyesen számítottad ki.”

Valóban helyes a számolás? Ellenőrizd! Megoldás: V =

)

) (

(

M 6 t + t ⋅ T + T = 2 2 + 2 2 ⋅ 4 4 + 4 2 = 56 . Jól számoltak. 3 3

Forrás: http://www.sulinet.hu/termeszetvilaga/archiv/2000/0004/24.html

35. Töltsd ki a táblázat hiányzó részeit!

a

b

c

a)

10

6

6

b)

18

c)

a1=2;

52 ≈ 7,2 5

m

M 32 ≈ 5,7

V

A

28 ≈ 5,3

346,3

318,4

906

760

10

6

20 ≈ 4,5

8

4

247 ≈ 15,7 439,6

a2=14 d)

23

306 ≈ 17,5 5

15

12

148

1946,8

436

2676

1394

36. Egy 3,6 dm élű kocka egyik oldalának csúcsait összekötjük a szemközti oldal

középpontjával, majd az így kapott gúlát elvágjuk az adott oldallal párhuzamos, a kocka középpontján átmenő síkkal. Határozd meg az így kapott csonkagúla térfogatát és felszínét!


TANÁRI ÚTMUTATÓ

Megoldás: V=

1,8 (3,62 + 1,8 ⋅ 3,6 + 1,82 ) ≈ 13,6 dm3 . 3

m = 1,82 + 0,9 2 ≈ 2,0 (dm). A = 3,6 2 + 1,82 + 4 ⋅

1,8 + 3,6 ⋅ 2 ≈ 37,8 dm 2 . 2

37. Egy sokszög alapú szabályos csonkagúla alaplapjának éle 18 cm, fedőlapjának éle

8 cm, oldaléle 20 cm. Mekkora a térfogata és felszíne, ha az alaplap a) négyzet;

b) szabályos hatszög?

Megoldás: a) m ≈ 19,4 cm; M ≈ 18,7 cm; V ≈ 3389,6 cm3; A ≈ 1396,8 cm2. b) M = 20 2 − 10 2 ≈ 17,32 cm; m = 20 2 − 5 2 ≈ 19,36 cm; V ≈ 8919,7 cm3; A ≈ 2518,1 cm2.

38. Egy négyzet alapú szabályos csonkagúla alapéle 26 cm, fedőlapjának éle 18 cm, és az

oldallapok 73°-os szöget zárnak be az alaplappal. Mekkora a térfogata és a felszíne? Megoldás: m =

4 ≈ 13,7 (cm); cos 73°

M = 4 ⋅ tg 73° ≈ 13,1 (cm); t = 182 = 324 (cm2); T = 26 2 = 676 (cm2); V=

(

)

M t + tT + T ≈ 6410,3 cm 3 ; 3

A = t +T + 4⋅

a+c ⋅ m ≈ 2205,6 cm 2 . 2

39. Egy négyzet alapú szabályos csonkagúla alapéle 16 cm, fedőlapjának éle 8 cm, és az

oldalélek 64°-os szöget zárnak be az alaplappal. Mekkora a térfogata és a felszíne? Megoldás: e = 8 2 ≈ 11,3 (cm); f = 16 2 ≈ 22,6 (cm); x=

f −e ≈ 5,65 (cm); M = x ⋅ tg 64° ≈ 11,6 (cm); 2


b=

TANÁRI ÚTMUTATÓ

29

x ≈ 12,9 (cm); m = b 2 − 4 2 ≈ 12,3 (cm); t = 8 2 = 64 (cm2); T = 16 2 = 256 cos 64°

(cm2). V =

(

)

M a+c t + tT + T ≈ 1732,3 cm 3 ; A = t + T + 4 ⋅ ⋅ m ≈ 910,4 cm 2 . 3 2

40. Egy szobor talapzata 1,7 méter magas szabályos hatszög alapú egyenes csonkagúla, az

alaplap éle 120 cm, és a fedőlap éle 30%-kal kisebb az alaplap élénél. a) Mekkora a talapzat tömege, ha az anyaga 2,7 kg/dm3 sűrűségű márvány? b) Télire becsomagolják a szobor talapzatát, hogy megóvják az időjárás viszontagságaitól. Mennyi csomagolóanyagra van szükség, ha a kötözéshez a talapzat felszínén kívül még 10% anyagot rá kell számolni? Megoldás: a) A fedőlap éle 1,2 ⋅ 0,7 = 0,84 (m). Az alaplap területe T = 6⋅ t = 6⋅ V =

1,2 2 3 ≈ 3,74 (m2), a fedőlapé 4

0,84 2 3 ≈ 1,83 (m2). 4

(

)

1,7 3,74 + 3,74 ⋅ 1,83 + 1,83 ≈ 4,639 (m3). A tömeg: 3

m = ρ ⋅ V = 2,7 ⋅ 4639 ≈ 12525 kg. 2

⎛ (1,2 − 0,84) 3 ⎞ ⎟ összefüggésből m ≈ 1,73 (m), Az oldallap magassága m = 1,7 + ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ 2

P = 6⋅

2

1,2 + 0,84 ⋅ 1,73 ≈ 10,59 (m2). Összesen tehát 10,59 + 1,83 ≈ 12,42 m2. 2

41. Az ábrákon kürtős páraelszívók láthatók. Számítsd ki a térfogatukat és a felszínüket! A

páraelszívók szimmetrikusak egy olyan síkra, amelyik az alaplap 60 cm-es élével párhuzamos és az alaplapra merőleges. Minden távolságadat cm-ben értendő. a)

b)


TANÁRI ÚTMUTATÓ

Megoldás: a) A csonkagúla térfogata: V1 =

)

(

49 ⋅ 60 ⋅ 90 + 22 2 + 60 ⋅ 90 ⋅ 22 2 ≈ 122511 (cm3), a 3

négyzetes oszlopé V2 = 22 2 ⋅ 65 = 31460 (cm3), együtt 153971 cm3. A felszínhez szükség van a kétféle oldallap magasságaira: m1 = 49 2 + 34 2 ≈ 59,6 (cm), m2 = 49 2 + 19 2 ≈ 52,6 (cm). A = 2⋅

90 + 22 (59,6 + 52,6) + 4 ⋅ 22 ⋅ 65 = 18286,4 cm2. 2

b) Itt nincs hátlap, a csonkagúla egyik oldallapja merőleges az alaplapra. A térfogat V1 =

(

)

49 ⋅ 60 ⋅ 90 + 21 ⋅ 25 + 60 ⋅ 90 ⋅ 21 ⋅ 25 ≈ 124276 (cm3), a négyzetes oszlopé 3

V2 = 21 ⋅ 25 ⋅ 70 = 36750 (cm3), együtt 161026 cm3.

A két magasság: m1 = 492 + 392 ≈ 62,6 (cm), m2 = 492 + 32,52 ≈ 58,8 (cm), a felszín: A =

90 + 25 90 + 21 ⋅ 62,6 + 2 ⋅ ⋅ 58,8 + (2 ⋅ 21 + 25) ⋅ 70 = 14816,3 cm2. 2 2

42. Egy szabályos háromszög alapú szabályos csonkagúla oldallapjai az alaplappal 70°-

os szöget zárnak be. A csonkagúla magassága 19 cm, az alaplap éle 32 cm. Mekkora a felszíne és a térfogata? Megoldás: m =

19 19 ≈ 20,2 (cm); x = ≈ 6,9 (cm). sin 70° tg 70°

A csonkagúla egyenes, ezért az alaplap és a fedőlap középpontján átmenő egyenes merőleges az alaplap síkjára. y a fedőlap magasságának harmada. y = PQ − x = az y =

1 32 3 − x ≈ 2,3 (cm), így a fedőlap éle 3 2

c2 3 1c 3 összefüggésből c ≈ 8,0 (cm). Az alaplap területe T = ≈ 27,7 (cm2), 4 3 2


a fedőlapé t ≈ 443,4 (cm2).

(

)

19 27,7 + 27,7 ⋅ 443,4 + 443,3 ≈ 3684,9 cm 3 , 3 32 2 3 8 2 3 32 + 8 A= + + 3⋅ ⋅ 20,2 ≈ 1683,1 cm 2 . 4 4 2

V=

TANÁRI ÚTMUTATÓ

31


TANÁRI ÚTMUTATÓ

IV. Vegyes feladatok 43. Mekkora annak a háromszög alapú egyenes hasábnak a térfogata és felszíne, amelynek

alapélei 10 cm, 12 cm és 14 cm, oldaléle pedig 20 cm hosszú? Megoldás: Az alapterületet vagy a Héron-képlettel számítjuk ki, vagy a koszinusz-tétellel meghatározzuk a legkisebb szögét (ez biztosan hegyesszög), és a trigonometrikus területképletet használjuk.

10 2 = 12 2 + 14 2 − 2 ⋅ 12 ⋅ 14 ⋅ cos α , ahonnan α ≈ 44,42° . Az alapterület T =

12 ⋅14 ⋅ sin α ≈ 58,8 cm 2 , a hasáb térfogata V = 58,8 ⋅ 20 ≈ 1176 cm3. 2

A felszín: A = 2T + P = 2 ⋅ 58,8 + (10 + 12 + 14 ) ⋅ 20 ≈ 637,6 cm2.

44. Egy négyzetes oszlop oldalainak hossza centiméterrel mérve egész szám, térfogata

72 cm3. Mennyi lehet a felszíne?

{

}

Megoldás: A térfogat V = a 2b = 72 = 23 ⋅ 32 . Így a 2 ∈ 1; 2 2 ; 32 ; (2 ⋅ 3) , ezért a csak 1, 2, 3 vagy 6 lehet. A lehetséges megoldások:

2

a

1

2

3

6

(cm)

b

72

18

8

2

(cm)

A

290 152 114

120 (cm2)

45. Egy ajtót úgy készítettek, hogy két bútorlapot összeragasztottak. Az

egyik méretei: 82 cm×201 cm×23 mm, a másik méretei: 85 cm×202,5 cm×15 mm. a) Számítsd ki az egyes bútorlapok, majd az egész ajtó anyagának térfogatát! b) Mekkora a tömege az ajtónak, ha a bútorlap sűrűsége 600 kg/m3? A sűrűség, a tömeg és a térfogat közötti összefüggés: ρ = Megoldás: a) V1 = 0,82 ⋅ 2,01 ⋅ 0,023 ≈ 0,038 m 3 , V2 = 0,85 ⋅ 2,025 ⋅ 0,015 ≈ 0,026 m 3 , V = V1 + V2 ≈ 0,064 m 3 . b) m = ρ ⋅ V ≈ 38,4 kg.

m . V


TANÁRI ÚTMUTATÓ

33

46. Egy 108 cm élű kocka oldalait kilenc egybevágó négyzetre osztjuk, és a középső

négyzeteknek megfelelően teljesen átfúrjuk a kockát. a) Mennyi a megmaradó rész térfogata? b) A kocka lapjain megmaradó 8-8 négyzetet újra 9 egybevágó négyzetre osztjuk, és az itt megjelenő középső négyzeteknek megfelelően ismét átfurkáljuk a kockából megmaradt testet. Mekkora az így keletkező test térfogata? Módszertani

megjegyzés:

Érdeklődő

diákjainknak

megemlíthetjük, hogy ha a folyamatot a végtelenségig folytatjuk, fraktált kapunk (Menger-szivacs; sorozat felállítása a térfogatra). Indíthatunk gyűjtőprojekteket, amelyek eredménye a fraktálokat ismertető kiselőadás (bemutatóval), vagy a dimenzió olyan értelmezésével kapcsolatos, amely nem egész számot ad. A fraktáloknak nagy jelentősége van, mert segítségükkel jól leírhatók a cikcakkos tengerpartok, a csipkés hegygerincek, a páfránylevelek stb. A fraktáldimenzió (törtdimenziójú felületek, testek) értelmezése logaritmussal történik, az összes szükséges előismerettel rendelkeznek a tanulók. A következő honlapokon bővebb ismertetéseket is találunk (2007. márciusi állapot): http://t-t.freeweb.hu/minden/kaosz/menger.htm

http://fraktal.lap.hu/

Megoldás: a) 7 darab, 36 cm élű kockát távolítottunk el, a megmaradó rész térfogata: 1083 − 7 ⋅ 363 ≈ 933120 cm 3 . b) 20 darab, az eredetihez hasonló kis kocka keletkezik, a hasonlóság aránya 3

⎛1⎞ V = ⎜ ⎟ ⋅ 20 ⋅ Vere det i = 691200 cm3. ⎝3⎠

1 . Ezért 3


TANÁRI ÚTMUTATÓ

47. Mekkora annak a hasábnak a térfogata és felszíne, amelynek hálóját és méreteit az ábra

mutatja?

Megoldás: a) Derékszögű háromszög alapú hasáb. T =

8 ⋅ 13 = 52 (cm2), az alaplap átfogója 2

82 + 132 = 233 ≈ 15,3 (cm), M = 20 (cm). A térfogat V = T ⋅ M = 1040 cm 3 , a felszín A = 2T + M (a + b + c) ≈ 830 cm 2 . b) Rombusz alapú hasáb. T = 52 ⋅ sin 60° ≈ 21,7 (cm2). V ≈ 108,5 cm 3 , A ≈ 143,4 cm 2 . c) Deltoid alapú hasáb. Az átlók hossza e = 2 ⋅ 12 ⋅ sin 25° ≈ 10,1 (cm) és f = 12 ⋅ cos 25° +

12 ⋅ sin 25° e⋅ f ≈ 16,9 (cm), az alapterület T = ≈ 85,3 cm2. tg 40° 2

V ≈ 1279,5 cm 3 ≈ 1,3 dm 3 . A deltoid ismeretlen oldala

10,1 ≈ 7,9 (cm), a felszín 2 ⋅ sin 40°

A = 2T + 15 ⋅ (2 ⋅ 7,9 + 2 ⋅ 12) ≈ 767,6 cm 2 ≈ 7,7 dm 2 .

48. Egy egyenes hasáb alaplapja olyan trapéz, amelynek egyik alapja kétszerese a

másiknak. Hogyan tudnánk három, egyenlő térfogatú hasábra vágni két olyan síkkal, ami párhuzamos az oldalélekkel? Megoldás: A keresett síkok a hosszabbik alap F felezőpontjára és egy-egy oldalára illeszkednek. Így mindhárom hasáb alapterülete és testmagassága egyenlő, a térfogataik tehát megegyeznek.


TANÁRI ÚTMUTATÓ

35

49. Egy trapéz alapú egyenes hasábot az alaplap átlóját

tartalmazó, alaplapra merőleges síkokkal négy darab háromszög alapú hasábra bontunk az ábra szerint. Milyen összefüggések találhatók a keletkező hasábok térfogatai között? A trapéz rövidebbik alapja 6 cm, a hosszabbik 15 cm. Megoldás: T1 + T4 = T3 + T4 ⇒ T1 = T3 , így az 1. és a 3. test térfogata egyenlő. 2. és 4. 2

háromszögek hasonlósága miatt

⎛ 15 ⎞ T4 = ⎜ ⎟ ⋅ T2 , így a térfogatuk aránya is ⎝6⎠ 2

2

⎛ 15 ⎞ ⎛6⎞ ⎜ ⎟ = 6,25 . T1 = T3 = T − 2T1 = T − 2 ⋅ ⎜ ⎟ T = 0,68T ⇒ V1 = 0,69V . ⎝6⎠ ⎝ 15 ⎠

50. A 10 cm alapélű, 15 cm testmagasságú, rombusz alapú egyenes hasábok közül

melyiknek a legnagyobb a térfogata? Számítsd ki a maximális térfogatot és azt is, hogy ekkor mennyi a felszín! Megoldás: A trigonometrikus területképletet alkalmazva, az alapterület T = 10 2 ⋅ sin α , ahol α a rombusz hegyesszöge. Ez akkor maximális, ha sin α = 1 , azaz α=90°, a rombusz négyzet, a test négyzetes oszlop. Ekkor térfogata 10 2 ⋅15 = 1500 cm 3 , felszíne 800 cm2.

51. Egy hasáb alakú sarokgardrób alaplapja látható az ábrán.

Mennyibe kerül a bútorlap költsége, ha a szekrény magassága 193 cm, körbe mindenhol bútorlap határolja és a négyzetméter ár 2400 tallér? Megoldás: Az alapterület T = 90 2 −

60 2 = 6300 cm 2 . Az első 2

oldal szélessége (a két ajtó együtt) 60 2 ≈ 84,9 cm , így a felszín: A = 2 ⋅ 6300 + 193 ⋅ (2 ⋅ 90 + 2 ⋅ 30 + 84,9) = 75305,7 cm 2 ≈ 7,53 m 2 . A költség kb. 18072 tallér.


TANÁRI ÚTMUTATÓ

52. Egy szabályos négyoldalú gúla oldaléle az alapél kétszerese. Mekkora szöget zár be az

alaplap az oldallappal? 2

15 ⎛a⎞ Megoldás: m = (2a) − ⎜ ⎟ = a, 2 ⎝2⎠ 2

a a a 1 cos α = 2 = = = , ahonnan α ≈ 75° . m 2m 15a 15

53. Egy szabályos négyoldalú gúla alapélének és testmagasságának aránya 3 : 5, térfogata

1875 cm3. Mekkora a felszíne? Megoldás: Az arány miatt van egy közös egység (e), amivel felírva az alapél 3e, a magasság 5e. V=

(3e) 2 ⋅ 5e V = 15e 3 , ahonnan e = 3 = 5(cm), az alapél a = 15 cm, a testmagasság 3 15

M = 25 cm.

Az oldallap magassága m = 7,52 + 252 ≈ 26,1 (cm), a palást P = 4 ⋅

a⋅m ≈ 738 (cm2), a 2

felszín A = a 2 + P ≈ 1008 cm2.

54. Egy 24 cm élű kocka egyik oldalának csúcsait összekötjük a szemközti oldal

középpontjával. Határozd meg az így kapott gúla térfogatát és felszínét! Megoldás: V=

a3 = 4608 cm 3 . Az oldallap magassága 3

m = 12 2 + 24 2 ≈ 26,8 (cm), így A = a ⋅ (a + 2m) ≈ 1862,4 cm 2 .


TANÁRI ÚTMUTATÓ

37

55. Egy kerítésdíszt úgy készítenek, hogy egy 26 cm élű kocka szemközti oldalainak

csúcsait összekötik a kocka középpontjával (középen pontszerűen összehegesztik). Határozd meg az így kapott dísz térfogatát és felszínét! 1 Megoldás: V = 2 ⋅ ⋅ 26 2 ⋅ 13 ≈ 5858,7 cm 3 . m = 13 2 , az egész test 3 felszíne A = 2 ⋅ 26 2 + 8 ⋅

26 ⋅ 13 2 ≈ 3264 cm 2 . 2

56. A 20 cm magasságú, 18 cm alapélű, négyzet alapú szabályos gúlát az alaplapjával

felfelé fordítjuk, és a magasság feléig megtöltjük vízzel. Ezután lezárjuk, és a gúlát az alaplapjára fordítva lerakjuk az asztalra. Milyen magasan áll benne a víz?

Megoldás: Az egész gúla térfogata 182 ⋅ 20 = 2160 , a beleöntött víz 3 térfogata

9 2 ⋅ 10 = 270 (cm3); a 3

hasonlóság miatt az alapél is felére csökken, 9 cm-re. Megfordítás után a hasonlóság miatt

x y = , ahonnan y = 0,9 x 20 18

A felső gúla térfogata 2160 − 270 = 1890 (cm3). A térfogat képletével számolva 1890 =

y2x 0,81x 3 , beírva az előbbi összefüggést 1890 = , x = 3 7000 ≈ 19,1 (cm). A víz 3 3

tehát mindössze kb. 9 mm magasan áll a gúlában.

57. Egy szabályos ötszög alapú szabályos gúla alaplapja köré 6,8 cm sugarú kör írható.

Mekkora a térfogata és a felszíne, ha 45° a) az oldalél és az alaplap hajlásszöge;


Megoldás: Az alapterület a trigonometrikus területképlettel számítva: T = 5 ⋅

6,82 ⋅ sin 72° ≈ 109,9 (cm2), az alapél 2


TANÁRI ÚTMUTATÓ

a = 2 ⋅ 6,8 ⋅ sin 36° ≈ 8,0 (cm). A 45° azt jelenti, hogy egyenlőszárú derékszögű háromszögekkel számolhatunk. x = 6,8 ⋅ cos 36° ≈ 5,5 (cm). a) M = r = 6,8 (cm); V =

T ⋅M a⋅m ≈ 249,1 cm 3 ; A = T + 5 ⋅ , ahol 3 2

m = x 2 + M 2 ≈ 8,7 (cm). Behelyettesítve az adatokat A ≈ 283,9 cm 2 . b) M = x ≈ 5,5 (cm); V =

T ⋅M ≈ 201,5 cm 3 ; m = x 2 ≈ 7,8 (cm); A ≈ 265,9 cm 2 . 3

58. Egy nyolcszög alapú szabályos gúla alaplapja köré 2,3 dm sugarú kör írható. Mekkora

a térfogata és a felszíne, ha 35° a) az oldalél és az alaplap hajlásszöge;


Megoldás: A nagyobb pontosság miatt centiméterben számolunk, és az eredményt a végén váltjuk át és kerekítjük. T = 8⋅

232 ⋅ sin 45° ≈ 1496,2 (cm2); 2

a = 2 ⋅ 23 ⋅ sin 22,5° ≈ 17,6 (cm); x = 23 ⋅ cos 22,5° ≈ 21,2 (cm). a) M = 23 ⋅ tg35° ≈ 16,1 (cm); m = M 2 + x 2 ≈ 26,6 (cm); 1 a⋅m V = T ⋅ M ≈ 8029,6 cm 3 ≈ 8 dm 3 ; A = T + 8 ⋅ ≈ 3368,8 cm 2 ≈ 33,7 dm 2 . 3 2 b) M = x ⋅ tg35° ≈ 14,8 (cm); m = M 2 + x 2 ≈ 25,9 (cm); V ≈ 7381,3 cm 3 ≈ 7,4 dm 3 ; A ≈ 3319,6 cm 2 ≈ 33,2 dm 2 .

59. Egy négyzet alapú szabályos csonkagúla testmagassága 25°-os szöget zár be az

oldallap magasságával, és a két magasság különbsége 6,8 cm. Mekkora a térfogata és a felszíne, ha a fedőlap éle 23 cm? Megoldás: m − M = 6,8 ; M = m ⋅ cos 25° , ezért M (1 − cos 25°) = 6,8 , ahonnan M ≈ 72,6 (cm), m ≈ 80,1 (cm).


TANÁRI ÚTMUTATÓ

39

x = m ⋅ sin 25° ≈ 33,9 (cm), a = 23 + 2 x ≈ 90,8 (cm); T ≈ 8244,6 (cm2), t = 529 (cm2), V ≈ 262861,4 cm 3 ≈ 262,9 dm 3 ; A ≈ 27004,4 cm 2 ≈ 270 dm 2 .

60. Egy négyzet alapú egyenes csonkagúla fedőlapjának és alaplapjának élei közötti

különbség 12 cm, testmagassága 13,8 cm. Mekkora a felszíne, ha a térfogata 2498 cm3? Megoldás: M = 13,8 (cm); a = c + 12 ; x =

a − c 12 = = 6 (cm); 2 2

m = M 2 + x 2 ≈ 15 (cm). A térfogat

2498 =

[

]

13,8 2 c + (c + 12) ⋅ c + (c + 12) 2 , ahonnan c 2 + 12c − 133 = 0 adódik. Ennek 3

pozitív megoldása: c = 7 (cm), ebből a = 19 (cm). A felszín A = t +T + 4⋅

a+c ⋅ m = 1190 cm 2 . 2

61. Mekkora annak a négyzet alapú csonkagúlának a

térfogata és felszíne, amelyiknek hálója az ábrán látható?

Megoldás: m = 10 2 − 52 = 75 ≈ 8,7 ;

M = m 2 − 52 = 50 ≈ 7,1 ; t = 82 = 64; T = 182 = 324 ;

V= A = t +T + 4⋅

(

)

M t + t ⋅ T + T ≈ 1259,1 cm 3 ; 3

a+c ⋅ m ≈ 840,4 cm 2 . 2


TANÁRI ÚTMUTATÓ

Kislexikon A test térfogata: annak a térrésznek a mértéke, amelyet a test felülete határol. A térfogatot

mindig valamilyen térfogategységhez hasonlítjuk. Térfogategység: az egységélű kocka térfogata. A test felszíne: a testet határoló felület területe. Síklapokkal határolt testek esetén a határoló

lapok területének összege. Poliédernek nevezünk egy testet, ha azt véges sok sokszög határolja. Konvex poliéder: bármely két pontjának összekötő szakaszát is tartalmazza. Euler tétele: l + c = e + 2 (lapok + csúcsok száma = élek száma + 2); minden konvex

poliéderre teljesül. Szabályos poliéder: élei, élszögei és lapszögei egyenlők. Hasáb: Adott az alapsíkon egy sokszög (alaplap) és egy egyenes, amely az alapsíkkal nem

párhuzamos. Ha a sokszög minden pontján keresztül párhuzamost húzunk az adott egyenessel, hasábfelületet kapunk. Ezt elmetsszük egy, az alapsíkkal párhuzamos síkkal (fedőlap). Az így keletkező bezárt térrészt nevezzük hasábnak. Egyenes hasáb: olyan hasáb, amelynél az adott egyenes merőleges az alapsíkra. Palást: a poliéder oldallapjainak együttese. Gúla: Adott az alapsíkon egy sokszög (alaplap) és egy pont az alapsíkon kívül (csúcspont).

Ha a sokszög minden pontját egyenesekkel összekötjük az adott ponttal, gúlafelületet kapunk. A keletkező bezárt térrészt nevezzük gúlának. A gúla magassága az alaplap síkjának és a csúcspontnak a távolsága. Csonkagúlát kapunk, ha a gúlát elmetsszük egy, az alaplappal párhuzamos síkkal.


TANÁRI ÚTMUTATÓ

41

Gyakran előforduló poliéderek térfogata és felszíne:

•

A kocka térfogata: V = a3, felszíne A = 6a2 (a a kocka éle).

•

A téglatest térfogata V = abc, felszíne A = 2 (ab + bc + ac) (a, b és c a téglatest élei).

•

A hasáb térfogata: V = alapterület · testmagasság, felszíne: A = 2·alapterület + a palást területe.

•

A gúla térfogata V =

alapterüle t ⋅ magasság , felszínét a határoló lapok területeinek 3

összege adja. •

A csonkagúla térfogata: V =

(

)

M T + t ⋅ T + t , ahol M a testmagasság, t a fedőlap, 3

T az alaplap területe.

Hasonló testek: két test hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely egyiket a

másikhoz rendeli. Hasonló testek esetén fennáll a síkidomokra is érvényes állítás: az egyik alakzat két tetszőleges pontjának egymástól való távolsága s a másik alakzat megfelelő pontjainak egymástól való távolsága között levő arány állandó. Hasonló testek felszínének aránya a hasonlóság arányának négyzete. Hasonló testek térfogatának aránya a hasonlóság arányának köbe.

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata

Recommend Documents