4. Lineáris csillapítatlan szabad rezgés. Lineáris csillapított szabad rezgés. Gyenge csillapítás. Ger-jesztett rezgés. Amplitúdó rezonancia. Lineáris csillapítatlan szabad rezgés: Tételezzük fel, hogy a tömegpontra a kvázielasztikus vagy közel rugalmas erő hat, ez a kitéréssel arányos, de azzal ellentétes irányú: Fx = − Dx, D > 0 Ekkor a tömegpont mozgásegyenlete: ii
m x = − Dx Oldjuk meg ezt a másodrendű differenciálegyenletet az x(t) függvényre: ii D x=− x m Vezessük be a következő jelölést: D ω 02 = m Ekkor az egyenlet: ii
x = −ω 02 x ,
ii
x + ω 02 x = 0 Ez egy másodrendű, homogén, lineáris, állandó együtthatójú, és közönséges differenciálegyenlet. Az általános megoldás a két független partikuláris megoldás lineáris kombinációja. A partikuláris megoldások: x1 = sin ω 0t ,
x2 = cos ω 0t . Lineáris kombinációjuk: vagy más alakban:
x(t ) = C1 sin ω 0t + C2 cos ω 0t , x(t ) = A sin (ω 0t + δ )
Az első megoldásban C1 , és C2 , a másodikban pedig A , és δ integrációs állandók. A kitérés maximális értéke az amplitúdó A , δ pedig a kezdőfázis, ω 0 a körfrekvencia. A rezgés periódusideje T: 2π m T= = 2π ω0 D A rezgés frekvenciája: 1 f0 = . T A kitérés idő függvény látható a következő ábrán:
x A
T t −A
A rugalmas erő konzervatív erő, ekkor igaz, hogy: F = −∇V V a potenciális energia. Egy dimenzióban: ∂V Fx = − ∂x a rugalmas erő pedig: Fx = − Dx ∂V − Dx = − ∂x Így a potenciális energia: 1 V = Dx 2 + C 2 Válasszuk nullának a potenciális energiát az egyensúlyi helyzetben, így C = 0 . A rugalmas potenciális energia tehát: 1 V ( x ) = Dx 2 . 2 Lineáris csillapított szabad rezgés: A tömegpontra a már ismert rugalmas erő hat Fx = − Dx , valamint egy (folyadék) súrlódási vagy csillapító erő, amely kis sebesség esetén a sebességgel arányos, de vele ellentétes irányú: i
S x = −κ x ,
κ > 0 csillapítási tényező.
ii
i
m x = − Dx − κ x , ii κ i D x+ x+ x = 0 . m m
Bevezetve a két szokásos jelölést:
κ
D m 2m A homogén, lineáris, másodrendű differenciálegyenlet:
α= ii
, ω0 =
i
x + 2α x + ω 02 x = 0 A megoldást keressük az alábbi formában: x p = eλt
λ 2 eλt + 2αλ eλt + ω 02 eλt = 0 , de eλt ≠ 0 , így a karakterisztikus egyenlet:
λ 2 + 2αλ + ω02 = 0 .
Ennek a gyökei:
λ12 = −α ± α 2 − ω 02 . A három lehetséges eset: Ha α 2 − ω 02 < 0 , akkor gyenge csillapítás, ha α 2 − ω 02 = 0 , akkor kritikus csillapítás, ha pedig
α 2 − ω02 > 0 , akkor erős csillapítás esete valósul meg. Amennyiben a gyökök különböznek, akkor a két egymástól független partikuláris megoldás lineáris kombinációját kell venni: x(t ) = C1eλ1t + C2 eλ2t . Gyenge csillapítás esetén vezessük be a következő jelölést:
γ = ω 02 − α 2 ,
λ12 = −α ± iγ A megoldás:
x ( t ) = C1e( −α +iγ )t + C2 e( −α −iγ )t = e−α t ( C1eiγ t + C2 e −iγ t )
Az Euler-relációt felhasználva: eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ , x ( t ) = e−α t ⎡⎣C1 ( cos γ t + i sin γ t ) + C2 ( cos γ t − i sin γ t ) ⎤⎦ , x ( t ) = e−α t ⎡⎣( C1 + C2 ) cos γ t + i ( C1 − C2 ) sin γ t ⎤⎦ . A differenciálegyenlet általános megoldása: x ( t ) = e −α t [ A cos γ t + B sin γ t ] = Ce −α t sin (γ t + δ ) , A folyamatot a csillapodás miatt kváziperiódikusnak nevezzük. A kitérés idő függvény pedig: x
t
Megjegyzés: Ha α = ω 0 tejesül, akkor a kritikus csillapításnak megfelelő megoldás: x(t ) = ( C1 + C2t ) e −α t .
Ha α > ω 0 , akkor erős csillapítás van, ilyenkor:
x(t ) = ( C1e β t + C2 e− β t ) e −α t , ahol β = α 2 − ω 02
Gerjesztett lineáris rezgés, rezonancia: Tekintsünk egy olyan mozgást, ahol a tömegpontra a már ismert két erőn kívül egy periodikus gerjesztő erő hat melynek ω a körfrekvenciája. Fx = − Dx kvázielasztikus erő, i
S x = −κ x közegellenállás,
Fx = F0 cos ω t gerjesztő erő. A mozgásegyenlet:
ii
i
m x = − Dx − κ x + F0 cos ω t
A jelölések: 2α = ii
κ m
, ω 02 =
D , m
f0 =
F0 , m
i
x + 2α x + ω 02 x = f 0 cos ω t .
Ez egy másodrendű, lineáris, állandó együtthatós inhomogén differenciálegyenlet, melynek általános megoldása a homogén egyenlet általános megoldásának és az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldásának az összege: xinh.ált = xhom.ált + xinh.part . Mivel xhom.ált időben exponenciálisan csökken, ezért elegendő idő után elhanyagolhatóvá válik. Az állandósult állapotban xinh.ált = xinh.part . A rezgés megindulását követő tranziens jelenségtől eltekintünk és az állandósult megoldást keressük. Ezt jelöljük x-szel. ii
i
x + 2α x + ω 02 x = f 0 cos ω t Vegyük fel az alábbi segédegyenletet, melyben i a komplex egység: ii
i
i y + i 2α y + iω 02 y = if 0 sin ω t a két egyenletet összegezve és bevezetve az új komplex változót z = x + iy , az alábbi egyenletet nyerhetjük: ii
i
z + 2α z + ω 02 z = f 0 eiω t Az átírás során felhasználtuk az Euler-relációt: eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ . Keressük ennek a komplex egyenletnek a megoldását a következő alakban: i ω t −δ ) z = Ae ( . i (ω t −δ ) 2 i (ω t −δ ) − Aω e + 2α Aiω e + ω 02 Aei(ω t −δ ) = f 0 eiω t
Egyszerűsítsük az egyenletet az eiω t taggal: Ae− iδ ⎡⎣ −ω 2 + 2α iω + ω 02 ⎤⎦ = f 0 , A ( cos δ − i sin δ ) ⎡⎣(ω 02 − ω 2 ) + 2αω i ⎤⎦ = f 0 . Ez egy komplex algebrai egyenlet, melyet két valós egyenlettel tudunk kielégíteni: A ⎣⎡cos δ (ω 02 − ω 2 ) + 2αω sin δ ⎦⎤ = f 0
A ⎡⎣sin δ (ω 02 − ω 2 ) + 2αω cos δ ⎤⎦ = 0 .
Az egyenletrendszer két ismeretlenje A , és δ , és a megoldásuk: 2αω tan δ = 2 , ω0 − ω 2 f0 A= 2 (ω02 − ω 2 ) + 4α 2ω 2
A keresett megoldás valós része pedig: x ( t ) = A cos (ω t − δ )
Az általunk felvett megoldás tehát valóban kielégíti a differenciál egyenletet, ha A és δ az előbb meghatározott alakú. A stacionárius megoldás tehát egy egyszerű harmonikus rezgés. A létrejövő rezgés körfrekvenciája megegyezik a gerjesztő erő körfrekvenciájával és azt δ fáziskéséssel követi. A rezgés amplitúdója függ a gerjesztő erő amplitúdójától és körfrekvenciájától. A következő ábra azt mutatja, hogy a létrejövő rezgés amplitúdója maximális értéket vesz fel egy bizonyos frekvencián. Ezt rezonancia frekvenciának nevezzük. A két különböző görbe különböző csillapításokhoz tartozik. Ha a csillapítás csökken, a rezonanciagörbe élesebbé válik. A
α1 α1 < α 2 α2 O
ωr
ω
Ez a megoldás, amit korábban alkalmaztunk csak a tranziens folyamat lejátszódása után írja le a rezgést. Ha a tranziensre is kíváncsiak vagyunk, akkor más módszerrel kell a differenciál egyenletet megoldani.
