4. Fungsi Khusus Lainnya
(Hermite, Laguerre, Polinomial Chebyshev, Hipergeometri)
4.1. Fungsi Hermite Fungsi generator untuk polinomial Hermit: Hn(x): g ( x, t ) ≡ e − t
2
+ 2 tx
∞
tn = ∑ H n ( x) n! n =0
(4.1)
Hubungan rekursi: H n +1 ( x) = 2 xH n ( x) − 2nH n −1 ( x)
(4.2)
H n' ( x) = 2nH n −1 ( x)
(4.3)
dan
(turunkan f.g. thd tÆ(4.2); thd xÆ(4.3))
Dari fungsi generator dapat langsung diperoleh: H0(x)=1 dan H1(x)=2x. Daftar beberapa fungsi Hermite: H 0 ( x) = 1 H1 ( x) = 2 x H 2 ( x) = 4 x 2 − 2 H 3 ( x) = 8 x 3 − 12 x H 4 ( x) = 16 x 4 − 48 x 2 + 12 H 5 ( x) = 32 x 5 − 160 x 3 + 120 x H 6 ( x) = 64 x 6 − 480 x 4 + 720 x 2 − 120
Beberapa polinomial Hermite yang bernilai khusus: (2n)! H 2 n (0) = (−1) n! H 2 n +1 (0) = 0 n
(4.4)
Hubungan paritas: (diperoleh dari f.g.) H n ( x) = (−1) n H n (− x)
(buktikan!)
(4.5)
Representasi Alternatif: Diferensiasikan fungsi generator n kali terhadap t kemudian masukkan t=0, akan didapat: n 2 d n x − x2 (4.6) H n ( x) = (−1) e e dx n Ini merupakan representasi Rodrigues.
Ortogonalitas Fungsi Hermite Hubungan rekursi (4.2) dan (4.3) dapat membentuk pers. differensial orde-2: H n'' ( x) − 2 xH n' ( x) + 2nH n ( x) = 0
(4.7)
Fungsi ini tidak mempunyai sifat ortogonal. Supaya mempunyai sifat ortogonal, maka dikalikan dengan fungsi pemberat:
ϕ n ( x) = e
− x2
H n ( x)
(4.8)
Kembalikan ke (4.7) didapat:
ϕ n'' ( x) + (2n + 1 − x 2 )ϕ n ( x) = 0
(4.9)
Persamaan differensial ini dijumpai pada mekanika kuantum pada kasus osilator harmonis. Dengan menggunakan fungsi generator (detail lihat Arfken), dapat diperoleh ortogonalitas: ∞
∫e
−∞
− x2
[ H n ( x)] dx = 2 π 2
n
1/ 2
n!
(4.10)
Osilator Harmonis Sederhana pada Mekanika Kuantum Potensial osilator harmonis: V ( z ) = 12 kz 2
Persamaan gelombang Schrodinger: h2 2 − ∇ Ψ ( z ) + 12 kz 2 Ψ ( z ) = EΨ ( z ) 2m
Gunakan penyingkatan:
2 2 ω mk m 4 x = αz dengan α = 2 = h h2 1/ 2
2E ⎛ m ⎞ λ= ⎜ ⎟ h ⎝K⎠
2E = hω
Diperoleh d 2ψ ( x) 2 + ( λ − x )ψ ( x) = 0 2 dx
Persamaan ini serupa (4.9) dengan λ=2n+1. Jadi: ψ n ( x) = 2
−n / 2
π
−1 / 4
(n!)
−1 / 2
e
− x2 / 2
H n ( x)
(ternormalisasi)
Syarat batas fisis mengharuskan:
lim Ψ ( z ) = 0 z → ±∞
Hanya dapat dipenuhi bila n bilangan bulat.
Dengan demikian didapat kondisi kuantisasi: En = (n + 12 )hω
n bilangan bulat: n≥0. Energi terendah: E0 = 12 hω
Energi titik nol ini merupakan aspek prinsip ketidakpastian, murni fenomena kuantum.
Beberapa contoh fungsi eigen osilator harmonis n=0
n=2
n=1
n=3
Latihan: 1. Probabilitas transisi antara dua keadaan osilator tergantung pada bentuk: ∞
∫ xe
− x2
H n ( x) H m ( x)dx
−∞
Tunjukkan bahwa hasil integral ini π 1/ 2 2 n −1 n!δ m ,n −1 + π 1/ 2 2 n (n + 1)!δ m ,n +1
(Apa makna fisisnya?) 2. Dengan cara deduksi, tunjukkan: n
d ⎞ ⎛ ⎜ 2 x − ⎟ 1 = H n ( x) dx ⎠ ⎝
Raising and Lowering Operator Dalam Mekanika Kuantum dikenal operator tangga naik (raising) dan tangga turun (lowering) mω p a= x+i 2h 2 mh ω mω p a = x−i 2h 2mhω +
Operator momentum:
p = −ih∇
Dalam satu dimensi dan dalam satuan: 1 ⎛ d ⎞ a= ⎜x+ ⎟ dx ⎠ 2⎝ 1 ⎛ d ⎞ + a = ⎜x− ⎟ dx ⎠ 2⎝
aψ n = n1/ 2ψ n −1 a +ψ n = (n + 1)1/ 2ψ n +1
Energi terendah pada n=0, sehingga: aψ 0 = 0
atau
d ⎞ ⎛ ⎜ x + ⎟ψ 0 = 0 dx ⎠ ⎝
Menghasilkan: ψ 0 = π
2 −1 / 4 − 12 x
e
Latihan: Dari sini carilah fungsi dengan n lebih tinggi
Latihan: Dengan ψ n ( x) = 2 Tunjukkan bahwa:
−n / 2
π
−1 / 4
(n!)
−1 / 2
e
aψ n ( x) = n1/ 2ψ n −1 ( x) a ψ n ( x) = (n + 1) ψ n +1 ( x) +
1/ 2
− x2 / 2
H n ( x)
4.2. Fungsi Laguerre Persamaan diferensial Laguerre: Polinomial ini dapat dirumuskan dari formula Rodriguess:
Fungsi generator: ∞ e − xz /(1− z ) g ( x, z ) = = ∑ Ln ( x) z n 1− z n =0
| z |< 1
Beberapa polinomial Laguerre: L0(x) = 1 L1(x) = 1 − x L2(x) = 2 − 4x + x2 L3(x) = 6 − 18x + 9x2− x3
Hubungan rekursi (buktikan!): (n + 1) Ln +1 ( x) = (2n + 1 − x) Ln ( x) − nLn −1 ( x) xL'n +1 ( x) = nLn ( x) − nLn −1 ( x)
Persamaan diferensial Laguerre tidak self-adjoint, dan polinomial Laguerre Ln tidak saling ortogonal. Namun himpunan fungsi
ϕ n ( x) = e
−x/2
Ln ( x)
adalah ortonormal, yakni: ∞
∫e
−x
Lm ( x) Ln ( x)dx = δ m ,n
0
Fungsi ortonormal baru memenuhi p.d.:
xϕ ( x) + ϕ ( x) + (n + 12 − 4x )ϕ n ( x) = 0 '' n
' n
Fungsi Laguerre Asosiasi Dalam pemakaian, khususnya di teori Kuantum, yang banyak dipakai adalah fungsi Laguerre asosiasi k d Lkn ( x) = (−1) k k [ Ln + k ( x)] dx Pers. diferensial: xLkn'' ( x) + (k + 1 − x) Lkn' ( x) + nLkn ( x) = 0
Representasi Rodriguess: x −k n e x d − x n+k Lkn ( x) = ( e x ) n n! dx
Pemakaian Laguerre Asosiasi: Atom Hidrogen Ketika Mekanika Kuantum dikembangkan pada abad ke19, salah satu pemakaiannya adalah untuk mengerti atom hidrogen dan hidrogenik (serupa hidrogen, atom dengan satu elektron valensi). Potensial dalam medan Coulomb dapat ditulis: V(r) = −Ze2/r Dengan Ze merupakan muatan inti atom.
Problem pada atom hidrogen atau atom serupa hidrogen merupakan kasus spesial potensial sentral. Solusi umum dapat ditulis:
ψnlm(r,θ,φ) = ∑ Cnlm Rnl(r)Ylm(θ,φ) nlm
Persamaan radial untuk potensial Coulomb: 2 2 ⎛ d2 2 d ⎞ ⎛ ⎞ μ h 2 ( 1 ) Ze l l + ⎟R = 0 ⎜ ⎟R + ⎜E + + − 2⎜ 2 ⎟ ⎜ dr 2 r dr ⎟ r μ h 2 r ⎠ ⎠ ⎝ ⎝
Untuk mempermudah, kita gunakan variabel tanpa dimensi ⎛ 8μ | E | ⎞ ρ =⎜ 2 ⎟ ⎠ ⎝ h
1
2
r
Ze λ= h
2
⎛ μ ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 2| E |⎠
1
2
dengan substitusi ini persamaan menjadi ⎛λ 1⎞ 2 dR l (l + 1) + − R + − R = 0 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ dρ 2 ρ dρ ρ2 ⎝ ρ 4⎠
d 2R
Persamaan terakhir ini sesuai dengan p.d. Laguerre asosiasi.
Solusi persamaan radial (belum normalisasi) menjadi:
Rnl ( ρ ) = −e
−ρ / 2
ρL l
2 l +1 n +l
(ρ )
Dari hal ini, solusi radial ternormalisasi menjadi: 1/ 2
⎡⎛ 2 Z ⎞ (n − l − 1)! ⎤ ⎥ ⎟⎟ Rnl (r ) = − ⎢⎜⎜ ⎢⎝ na0 ⎠ 2n[(n + 1)!]3 ⎥ ⎣ ⎦ 3
l
⎛ 2 Zr ⎞ − Zr / na0 l 2l +1 2 Zr ⎟⎟ e ⎜⎜ ρ Ln +l ( ) na0 ⎝ na0 ⎠
disini telah digunakan ρ = 2Zr/na0 dan a0 = ħ2/μe2
Selanjutnya persamaan Ze ⎛ μ ⎞ λ= ⎜ ⎟ h ⎝ 2 | E |⎠ 2
1
2
menjadi: En = −
μZ 2e4 2h 2 n 2
Persamaan terakhir ini sama dengan yang ditemukan oleh Bohr. Namun tentu saja Bohr tidak dapat meramalkan spektrum dari momentum angular.
E 0
l=0
l=1
l=2
l=3
S
P
D
F
n 5 4 3
2
-5
-10 -13,6
1
Beberapa fungsi radial hidrogenik: 3/ 2
⎛Z ⎞ R10 (r ) = 2⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ a0 ⎠
e− Zr / a0
3/ 2
⎛ Z ⎞ ⎟⎟ R20 (r ) = ⎜⎜ ⎝ 2a0 ⎠
⎛ Zr ⎞ − Zr / 2a0 ⎟⎟e 2⎜⎜1 − ⎝ 2a0 ⎠
3/ 2
⎛ Z ⎞ ⎟⎟ R21(r ) = ⎜⎜ ⎝ 2a0 ⎠
3−1 / 2
Zr − Zr / 2a0 e a0
3/ 2 ⎡
2Zr 2( Zr )2 ⎤ − Zr / 3a0 + 2⎢1 − ⎥e 2 27 a0 ⎥⎦ ⎣⎢ 3a0
⎛ Z ⎞ ⎟⎟ R30 (r ) = ⎜⎜ ⎝ 3a0 ⎠
3/ 2
Zr ⎤ − Zr / 3a0 4 2 Zr ⎡ − e 1 ⎢ ⎥ 3 a0 ⎣ 6a0 ⎦
3/ 2
2 2 ⎛ Zr ⎞ − Zr / 3a0 ⎜⎜ ⎟⎟ e 27 5 ⎝ a0 ⎠
⎛ Z ⎞ ⎟⎟ R31(r ) = ⎜⎜ ⎝ 3a0 ⎠
⎛ Z ⎞ ⎟⎟ R32 (r ) = ⎜⎜ ⎝ 3a0 ⎠
2
Latihan Bagian radial fungsi gelombang hidrogenik ternormalisasi dapat ditulis: ⎡ 3 (n − l − 1)! ⎤ Rnl (r ) = − ⎢(α ) 3⎥ + 2 n [( n 1 )! ] ⎣ ⎦ 2 Z 2 Zme 2 dengan α = = na0 nh 2
Carilah:
1/ 2
(αr )l e −αr / 2 ρ l L2nl++l1 (αr )
∞
(a ). < r >= ∫ rRnl (αr ) Rnl (αr )r 2 0
∞
(b). < r −1 >= ∫ r −1 Rnl (αr ) Rnl (αr )r 2 0
Makna fisis?
4.3. Polinomial Chebyshev (Tschebyscheff) Persamaan diferensial Chebyshev:
P.d. ini dapat dikembangkan dari polinomial Gegenbauer (pers. 3.13): π 1/ 2 ∞ β 2β n = T ( x ) t 2 β +1 / 2 1 ∑ n (1 − 2 xt + t ) ( β − 2 )! n =0
Kita tahu pada β=0 maka polinomial ini menjadi Legendre.
Untuk β = ±½ dapat dihasilkan dua macam polinomial yang disebut Chebyshev. Tipe II: β = +½ π 1/ 2 ∞ 1/ 2 21/ 2 n = T ( x ) t ∑ n 2 (1 − 2 xt + t ) (0)! n =0
Lebih mudah kalau ditulis: π 1/ 2Tn1/ 2 ( x) ≡ U n ( x) Sehingga: ∞ 1 n = U ( x ) t ∑ n (1 − 2 xt + t 2 ) n =0
Polinomial Chebyshev tipe II
Tipe I: β = -½ Jelas akan ada masalah karena (β -1)! meledak. Namun hal ini dapat dihindari dengan terlebih dahulu mendiferensialkan terhadap t baru kemudian masukkan β = -½. Didapat: (x − t) π ∞ 1/ 2 n −1 (1 − 2 xt + t ) 2
=
nT ∑ 2
n
n =0
( x)t
Kalikan dengan 2t kemudian tambah 1, didapat: (1 − t 2 ) π ∞ 1/ 2 n (1 − 2 xt + t ) 2
= 1+
2nT ∑ 2 n =0
n
( x)t
Untuk n>0 dapat didefinisikan: π −1/ 2 2
( x) ≡ Tn ( x)
nTn
sehingga dapat ditulis polinomial Chebyshev tipe I: ∞ (1 − t ) n = 1 + 2 T ( x ) t ∑ n 2 (1 − 2 xt + t ) n =1 2
Untuk n=0, dapat didefinisikan: T0(x) = 0
Hubungan rekursi dapat diperoleh dari fungsi generator:
Beberapa bentuk Tn(x)
Beberapa bentuk Un(x)
Beberapa hubungan rekursi lainnya dan derivatif: Berasal dari fungsi generator: (1 − x 2 )Tn' ( x) = − nxTn ( x) + nTn −1 ( x) (1 − x 2 )U n' ( x) = − nxU n ( x) + (n + 1)U n −1 ( x)
Gabung dengan rekursi sebelumnya didapat p.d. Chebychev tipe I dan II: (1 − x 2 )Tn" ( x) − xTn' ( x) + n 2Tn ( x) = 0 (1 − x 2 )U n" ( x) − 3 xTn' ( x) + n(n + 2)Tn ( x) = 0
Nilai-nilai spesial dapat diperoleh dari fungsi generator:
Ortogonalitas:
Lihat di Arfken untuk latihan.
4.4. Fungsi Hipergeometrik 4.5. Fungsi Konfluent Hipergeometrik (Pelajari Sendiri!!)
Ke Bab 05
